Table des matires

Chapitre I. Spectre et idaux premiers 11. Spectre premier et maximal dun anneau. Points rationnels. 11.1. Gnralits sur le spectre 12. Idaux trangers, lemme chinois 32.1. Idaux tranger 32.2. Thorme chinois 33. Nilradical dun anneau et anneaux rduits 33.1. Dfinitions et premiers rsultats 33.2. Une autre description du nilradical 43.3. Nil-idal et idal nilpotent 54. Idempotents dun anneau, connexit 54.1. Algbre de Boole des idempotents 54.2. Ensemble des composantes connexes, connexit 74.3. Produit et connexit 95. Exercices 13

Chapitre II. Algbres finies sur un corps, extensions algbriques 151. Algbres finies sur un corps 151.1. Gnralits et thorme de structure 151.2. Algbres diagonalisables 171.3. Produit tensoriel de deux k-algbres 192. Extensions algbriques 222.1. Premires dfinitions et proprits 222.2. Extensions composes 252.3. Corps de rupture et de dcomposition dun polynme 272.4. Corps de dcomposition dune famille de polynmes 282.5. Clture algbrique 303. Trace et norme 313.1. Dfinition et premires proprits 313.2. Fonctorialit 323.3. Trace et norme dlments nilpotents 344. Algbres tales sur un corps, extensions algbriques sparables 344.1. k-algbres potentiellement diagonalisables 354.2. Algbres monognes ; polynmes et extensions algbriques sparables 364.3. Algbres gomtriquement rduites 38

3

4 TABLE DES MATIRES

4.4. Algbres formellement nettes 394.5. Algbres tales 414.6. Sorites sur les extensions algbriques sparables 434.7. Clture sparable 444.8. Corps parfait 455. Le thorme de llment primitif 475.1. Un rsultat de finitude 475.2. nonc et dmonstration du thorme 486. Notes 497. Exercices 50

Chapitre III. Corps finis 531. Proprits lmentaires 531.1. Caractristique 531.2. Le morphisme de Frobenius 542. Polynmes irrductibles 582.1. Polynmes minimaux et lments conjugus 582.2. Critres dirrductibilit 612.3. Polynmes irrductibles et extensions 653. lments primitifs et groupe multiplicatif 673.1. lments primitifs 673.2. Polynmes cyclotomiques et corps finis 703.3. Trace et norme 743.4. Polynmes de Conway 754. Le caractre quadratique et la rciprocit quadratique 784.1. Le caractre quadratique en caractristique impaire 784.2. La caractristique 2 804.3. Symbole de Legendre, rciprocit quadratique et formule complmentaire 814.4. Symboles de Jacobi et de Kronecker 845. Hypersurfaces diagonales ; rciprocit quadratique 865.1. Dualit dans les groupes abliens finis 865.2. quation Xn = g dans un groupe ablien fini ; application 885.3. Sommes de Jacobi, sommes de Gau 915.4. Applications : cardinal des sphres, polygones rguliers et rciprocit

quadratique 94

Chapitre IV. Algorithmique des corps finis 971. Calculs de racines carres, quations quadratiques 971.1. Calculs de racines carres en caractristique impaire 971.2. La caractristique 2 1002. Factorisation de polynmes sur les corps finis 1022.1. Calcul de la partie sans facteur carr 1022.2. Dcomposition en degrs distincts 104

TABLE DES MATIRES 5

2.3. Algorithme de Cantor-Zassenhaus 1052.4. Applications 1072.5. Algorithme de Berlekamp 109

Chapitre V. Corps C1 1111. Gnralits 1111.1. Corps Cr et C r 1111.2. Les corps algbriquement clos 1152. Polynmes sur les corps finis 1162.1. Le thorme de Chevalley-Warning 1162.2. Gomtries finies et coniques 1173. Polynmes sur les fractions rationnelles 1263.1. Le thorme de Tsen 126

Chapitre VI. Bases de Grbner et applications 1291. Bases de Grbner 1291.1. Motivations 1291.2. Monmes et idaux monomiaux 1301.3. Ordres admissibles sur les monmes 1311.4. Bases de Grbner 1351.5. Relations entre monmes 1381.6. Lalgorithme de Buchberger 1391.7. Bases de Grbner rduites 1421.8. Algorithmes fondamentaux 1431.9. Bases de Grbner et limination 1442. Idaux de dimension 0 1452.1. Fonction et polynme de Hilbert-Samuel 1452.2. Idaux de dimension 0 et algbres finies 145

Chapitre VII. Correspondance de Galois 1471. Conjugus dun lment, extensions normales et galoisiennes 1471.1. Conjugus dun lment 1471.2. Extensions normales 1481.3. Extensions galoisiennes et groupe de Galois 1511.4. Algbres galoisiennes sur un anneau 1552. Groupe de Galois dun polynme 1602.1. Dfinition et premires proprits 1602.2. Rduction modulo p 1612.3. quation gnrique ; discriminant et distinguant 1643. Correspondance de Galois 1693.1. nonc de la correspondance 1693.2. Clture galoisienne 1693.3. Application : le corps des nombres complexes est algbriquement clos 1703.4. Groupe de Galois de lextension cyclotomique 170

6 TABLE DES MATIRES

3.5. Fonctorialit : extension des scalaires 1703.6. Exercices 1734. Rfrences 174

Chapitre VIII. Calculs de groupes de Galois : exemples 1751. Gnralits 1752. quations de petits degrs 1772.1. quations quadratiques 1772.2. Extensions cubiques 1772.3. quations biquadratiques 1782.4. Exemples de degr 5 1833. Polynmes en X2 1863.1. Gnralits 1863.2. Digression : extensions de Sd et Ad par des groupes abliens dexposant 2 1883.3. Exemples explicites 1914. Autres exemples 1984.1. PSL3(F2) 1984.2. M12 200

Chapitre IX. Formes tordues 2031. Formes et cohomologie galoisienne, gnralits 2031.1. Correspondance de Galois-Grothendieck 2031.2. Formes, cocycles associs 2071.3. k-algbres finies diagonalisables par K/k 2101.4. Torseurs sur k sous un groupe fini G 2112. Descente galoisienne : thorme 90 de Hilbert, tenseurs 2142.1. Thorme 90 de Hilbert 2142.2. Descente galoisienne de tenseurs 2162.3. Un critre pour que les formes tordues soient galoisiennes 218

Chapitre X. Algbres dAzumaya et groupe de Brauer 2211. Algbres dAzumaya 2211.1. Dfinition et interprtation cohomologique 2211.2. 2-cocycle associ une algbre dAzumaya 2232. Groupe de Brauer 2262.1. Dfinition 2262.2. Structure de groupe et description cohomologique 2263. Algbres de quaternions 2283.1. Dfinition et premires proprits 2283.2. Quaternions inversibles, norme spinorielle 2334. Torsion du groupe de Brauer absolu , cohomologie profinie 2374.1. Motivation 2374.2. Gnralits 2374.3. Suites exactes 240

TABLE DES MATIRES 7

4.4. Description cohomologique de la n-torsion du groupe Br(k) 2415. Algbres simples centrales, corps gauches 2415.1. Conventions 2415.2. Lemme de Schur, thorme de densit de Jacobson-Chevalley 2415.3. Le thorme de Wedderburn 2435.4. Existence dune trivialisation tale 2466. Trivialit du groupe de Brauer dun corps C1 2476.1. Norme et trace rduites 2476.2. Formes normiques sur un corps gauche 2487. Addendum : Skolem-Nther sur un anneau commutatif quelconque et une

application 2497.1. Skolem-Nther (II) 2497.2. Seconde dmonstration du thorme 1.1.7 (esquisse) 2508. Rfrences bibliographiques 252

Chapitre XI. quations verselles et petits degrs 2551. Extensions de groupe C2 = Z/2 2552. Extensions de groupe C3 = Z/3 2562.1. Dtermination dune quation verselle 2562.2. Critre pour quun polynme de degr trois ait un groupe de Galois

cyclique 2573. Extensions de groupe C4 = Z/4 2593.1. Caractristique diffrente de deux 2593.2. Caractristique deux 2614. Extensions de groupe quaternionique 2624.1. Caractristique diffrente de deux 2624.2. Dmonstration cohomologique 2654.3. Existence dune quation verselle : gnralits 2684.4. Caractristique deux 2715. Extension de degr 5 : un thorme de Hermite 2716. Thorme de la base normale et G-algbres galoisiennes verselles 2726.1. Notations et nonc 2726.2. Dmonstration du thorme de la base normale 2726.3. Interprtation gomtrique 2746.4. Digression sur les algbres de groupes 2756.5. Thorie de Kummer et dArtin-Schreier (I) 2776.6. Exercices 2797. Rfrences 280

Chapitre XII. Algorithmes de calcul 2811. Algorithmes gnraux 2811.1. La mthode de Kronecker 281

8 TABLE DES MATIRES

1.2. Bornes explicites sur les coefficients des diviseurs dun polynme coefficients entiers 284

1.3. Factorisations successives 2862. Transformations de Tschirnhaus 2862.1. Gnralits 2862.2. Transformations de Tschirnhaus et factorisation 2922.3. Polynmes Tschirnhaus-quivalents 2943. La notion de rsolvante 2953.1. Polynmes invariants 2953.2. Rsolvantes 3003.3. Utilisation de la notion de rsolvante 3043.4. Complments sur les rsolvantes 3064. Calculs en petits degrs 3124.1. Degrs 2 et 3 3124.2. Degr 4 3134.3. Degr 5 3164.4. Degr 6 3194.5. Degr 7 327

Chapitre XIII. Notions sur les groupes de permutations 3311. tude des sous-groupes primitifs de Sn 3311.1. Gnralits 3311.2. Groupes de permutations primitifs 3361.3. Construction de quelques actions primitives 3391.4. Le thorme de ONan-Scott 3461.5. Un thorme de Jordan 3472. Groupe de Galois dun polynme de degr quatre 3492.3. Exercices 350

Chapitre XIV. Thorie de Galois infinie 3511. Thorie de Galois infinie 3511.1. Topologie de Krull sur le groupe de Galois 3511.2. Gnralits sur les limites projectives 3541.3. Le groupe de Galois, muni de la topologie de Krull, est profini 3561.4. Correspondance de Galois profinie 3571.5. Une autre quivalence de catgories 360

Chapitre XV. Thories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt 3631. Thorie de Kummer 3631.1. Introduction 3631.2. Extension de groupe Z/n : noncs 3631.3. Dmonstrations 3641.4. Amplification : extension abliennes dexposant divisant n 3671.5. Digression : dualit des Z/n-modules 368

TABLE DES MATIRES 9

1.6. Dmonstration 3681.7. Cas o les racines de lunit ne sont pas dans k 3692. Thorie dArtin-Schreier 3742.1. Introduction 3742.2. Extensions de groupe Z/p ; noncs 3752.3. Dmonstrations 3762.4. Amplification : extensions abliennes dexposant p 3782.5. Amplification : extension de groupe Z/p2 3803. Vecteurs de Witt et thorie dArtin-Schreier-Witt 3823.1. (Gros) vecteurs de Witt : dfinitions et premires proprits 3833.2. Verschiebung, Frobenius, sries p-typiques et exponentielle de Artin-Hasse 3853.3. Exemple : p-vecteurs de Witt tronqus lordre deux 3923.4. Vecteurs de Witt tronqus coefficients dans une Fp-algbre 3933.5. Extensions galoisiennes de groupe Z/pr+1 3953.6. Composantes fantmes, structure danneau 3973.7. Algbres simples-centrales de degr pr 397

Chapitre XVI. Diffrentielles 3991. 3992. 399

Chapitre XVII. Notions dalgbre commutative 4011. Localisation 4011.1. Localisation 4011.2. Conditions locales sur les modules 4022. Lespace topologique Spec(A) 4022.1. Premires proprits 4022.2. Topologie constructible, thorme de Chevalley 4033. Quelques conditions de finitude 4034. lments et morphismes entiers 4044.1. Dfinitions et premires proprits 4044.4. Morphismes de type fini 4074.5. Intgrit et changement de base 4084.6. Clture intgrale, anneaux normaux 4094.7. Normalisation dans une extension sparable 4104.8. Lemme de normalisation 4104.9. Normalisation dune k-algbre de type fini 4104.10. Relvements des idaux premiers 4104.11. Anneau des invariants sous laction dun groupe fini 4114.12. Groupes de dcomposition et dinertie ; action de G sur les fibres de

Spec(B) Spec(A) 4125. Thorie de la dimension 4155.1. Gnralits 415

10 TABLE DES MATIRES

5.2. Nullstellensatz 4155.3. Applications 4155.4. Anneaux de Jacobson 4156. Compltion 4156.1. Henslisation 4167. Fonctions 4168. Un thorme de comparaison 4168.1. 4169. Divers 416

Chapitre XVIII. Anneaux de valuation discrte, anneaux de Dedekind 4171. Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : gnralits 4171.1. Anneaux de valuation 4171.2. Places 4171.3. Valuations 4181.4. Anneaux de valuation discrte 4181.5. Valeurs absolues 4181.6. Espaces vectoriels topologiques sur un corps valu non discret 4191.7. Exemples 4212. Thorie lmentaire de la ramification 4212.1. Prolongement des valuations 4212.2. Henslisation et compltion 4222.3. Indice de ramification 4222.4. Lemme de Krasner et applications 4232.5. Sorites 4232.6. Structure du groupe de Galois 4232.7. Cas dun anneau de valuation discrte 4243. Discriminant et diffrente 4264. Puiseux-Newton 4264.1. Polygone de Newton 4264.2. Thorme de Puiseux et structure de linertie modre 4275. Extensions cyclotomiques 4276. Diffrentielles 4277. Anneaux de valuation discrte tronqus 4288. Anneaux de Dedekind : gnralits 4288.1. 4288.2. Diviseurs 4288.3. Sorites sur la ramification 4298.4. Diffrente 4299. Notes 429

Chapitre XIX. corps locaux, corps globaux 4311. Corps locaux 431

TABLE DES MATIRES 11

1.1. Premires dfinitions, notations 4311.2. Mesures 4321.3. Corps localement compacts : gnralits et classification 4381.4. Mesure de Tamagawa locales 4421.5. Caractres additifs dun corps local 4431.6. Transformation de Fourier locale 4451.7. Quasi-caractres multiplicatifs dun corps local 4471.8. Transformation de Mellin 4491.9. Facteurs 4572. Corps globaux 4582.1. Premires dfinitions, notations 4582.2. Points de Q et Fp(t) ; applications 4603. Adles, idles 4633.1. Groupes topologiques : quelques gnralits 4633.2. Isomorphismes modulo les compacts 4653.3. Produits restreints 4663.4. Adles 4673.5. Idles 4713.6. Quasi-caractres multiplicatifs dun corps global 4743.7. Groupes de Picard 4744. Formule de Poisson et thorme de Riemann-Roch 4764.1. Transformation de Fourier 4764.2. Formules dinversion et de Poisson 4814.3. Le thorme de Riemann-Roch 4834.4. Corps de fonctions et courbes algbriques 4844.5. Calculs de volumes 4855. Fonctions zta 4875.1. Fonctions zta de Dedekind : dfinitions 4875.2. Exemples 4885.3. Lquation fonctionnelle de la fonction zta : nonc 4906. Thormes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications 4946.1. Le thorme de Minkowski 4946.2. Le thorme de Riemann-Hurwitz 4956.3. Un thorme de Selmer 4967. Hypothse de Riemann pour les courbes 4977.1. Applications du thorme de Riemann-Roch 4978. Fonction zta de Hasse de lquation homogne X3 + Y3 + Z3 = 0 4979. Notes 498

Chapitre XX. Rduction modulo p 4991. Gnralits 4991.1. Le thorme de spcialisation du groupe de Galois par rduction modulo p 4991.2. Abondance des polynmes de groupe de Galois maximal 500

12 TABLE DES MATIRES

2. Le thorme de Frobenius-Cebotarv 5022.1. nonc du thorme 5022.2. Applications 5073. Exemples 508

Annexe A. Catgories 5091. Catgories et foncteurs 5091.1. Catgories, objets et morphismes 5091.2. Foncteurs 5141.3. Transformations naturelles 5181.4. Foncteurs reprsentables, lemme de Yoneda 5252. Limites et colimites 5282.1. Dfinition de la limite 5282.2. Cas particuliers de limites 5292.3. Fonctorialit des limites 5322.4. Existence de limites 5352.5. Colimites 5402.6. Colimites filtrantes 5423. Foncteurs adjoints 5433.1. Dfinition, unit et conit 543

Annexe B. Produit tensoriel 5511. Produit tensoriel de modules 5511.1. Cas non ncessairement commutatif 5511.2. Premires proprits 5621.3. Cas de familles de modules sur un anneau commutatif 5642. Changement de base et produit tensoriel dalgbres 5682.1. Extension des scalaires dun module 5682.2. Produit tensoriel dalgbres 5703. faire 570

Bibliographie 571

CHAPITRE I

Spectre et idaux premiers

Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, les anneaux sont commutatifs unitaires.

1. Spectre premier et maximal dun anneau. Points rationnels.

1.1. Gnralits sur le spectre.

Dfinition 1.1.1. Un idal p dun anneau A est dit premier (resp. maximal) si lanneauquotient A/p est intgre (resp. est un corps). On note (p) le corps des fractions delanneau intgre A/p ; cest le corps rsiduel de A en p.

Rappelons que par convention un anneau intgre est non nul : 0 6= 1.

Dfinition 1.1.2. Soit A un anneau. On appelle spectre (resp. spectre maximal) de A len-semble de ses idaux premiers (resp. maximaux). On le note Spec(A) (resp. Specmax(A)).

Proposition 1.1.3. Soit f : A B un morphisme danneaux. Pour tout idal premier p de B,lidal q = f1(p) de A est premier. De plus, le morphisme A/q B/p dduit de f est injectif etinduit un morphisme (q) (p) entre les corps rsiduels.

On note Spec(f) : Spec(B) Spec(A), lapplication ci-dessus. On vrifie sans peineque si f : A B et g : B C sont des morphismes danneaux, les applications Spec(gf)et Spec(f) Spec(g) de Spec(C) vers Spec(A) concident. En dautres termes (Cat-1.2.1),A 7 Spec(A), (f : A B) 7 (Spec(f) : Spec(B) Spec(A)) est un foncteur contrava-riant de la catgorie des anneaux (commutatifs) vers la catgorie des ensembles.

Dmonstration. Soit p B. Notons N le noyau du morphisme compos A B B/p. Le morphisme A/N B/p qui sen dduit est donc injectif ; puisque B/p est in-tgre, lanneau A/N lest galement. Il suffit alors de remarquer queN = f1(p). Le der-nier point rsulte du fait que linclusion A/q B/p induit une inclusion Frac(A/q) Frac(B/p).

Observons que lapplication Spec(f) nenvoie en gnral par le sous-ensemble Specmax(B)de Spec(B) dans Specmax(A) Spec(A) : un sous-anneau intgre dun corps nest pasncessairement un corps.

Considrons maintenant le cas particulier o B est un quotient de A.

Proposition 1.1.4. Soient A est un anneau, I un idal de A et la surjection canonique A A/I. Lapplication J 7 1(J) induit une bijection, croissante pour linclusion, entre les idaux(resp. les idaux premiers, resp. les idaux maximaux) de lanneau quotient A/I et lensemble

1

2 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

des idaux deA (resp. premiers, maximaux) contenant I. De plus, si p Spec(A/I) et q dsigneson image dans Spec(A), linjection canonique (p) (q) est un isomorphisme.

Cf. Bourbaki, A., I, 8, n8 proposition 5.

Convention 1.1.5. Un morphisme f : A B tant donn, on note parfois q A (resp.J A) limage inverse f1(q) (resp. f1(J)) de lidal premier q (resp. de lidal J) de B.

Thorme 1.1.6 (Krull). Tout idal strict dun anneau est contenu dans un idal maximal.

Cf. Bourbaki, A., I, 8, n6 thorme 1.

Dfinition 1.1.7. Un anneau est dit local sil possde un unique idal maximal.

Exemple 1.1.8. Si m est un idal maximal dun anneau A, le quotient A/mn est localpour tout entier n 1. En effet, tout idal maximal dun tel quotient contient mn (1.1.4)donc m.

Proposition 1.1.9. Soit A un anneau local didal maximal m. Lensemble A des units de Aest gal Am.

Dmonstration. Une unit dun anneau ntant contenue dans aucun idal strict, on alinclusionA Am. Rciproquement, si x Am, lidal (x) = Ax nest pas contenudans m. Sil tait diffrent de A tout entier, il serait contenu dans un idal maximal(1.1.6), qui ne peut tre que m, lanneau tant suppos local. Ainsi (x) = A : llment xest inversible.

Bien que nous nen ferons pas un usage immdiat, signalons lnonc suivant, dualde 1.1.6 :

Thorme 1.1.10. Tout idal premier dun anneau contient un idal premier minimal.

Dmonstration. Il suffit daprs le thorme de Zorn de vrifier que si P est une fa-mille non vide didaux premiers, totalement ordonne pour linclusion, lintersection pdes idaux q P est un idal premier. Or, si ni x ni y nappartiennent p, il existe q Ptel que x / q et y / q, la famille des idaux tant totalement ordonne. Ainsi, xy / q et,a fortiori, xy / p.

1.1.11. Soient k un anneau (par exemple Z) et A une k-algbre, cest--dire un mor-phisme danneaux k A. Pour toute k-algbre T , on notera souvent A(T) ouA(T)lensemble Homk(A, T) i En un sens quil nest pas ncessaire de prciser ici, la collec-tion des A(T), pour T variable, caractrise A (cf. Cat-1.4.4). Lensemble A(k) jouesouvent un rle particulier ; cest lensemble des points rationnels de A.

Soit f A(k). La source du morphisme Spec(f) est lensemble un lmentSpec(k) = {(0)}. Limage de Spec(f) dans Spec(A) est, par dfinition, le singleton dl-ment f1(0) = Ker(f) Spec(A).

i. Lusage le plus courant est dutiliser plutt les lettres h ( Hom ) ou y ( Yoneda ) au lieu de.

3. NILRADICAL DUN ANNEAU ET ANNEAUX RDUITS 3

Lemme 1.1.12. Lapplication A(k) Spec(A), f 7 Ker(f), est une injection dimagecontenue dans Specmax(A). Son image est lensemble des q dans Specmax(A) tel que le mor-phisme compos k A A/q soit un isomorphisme.

Dmonstration. Commenons par montrer que pour chaque f comme dans lnonc,pf := Ker(f) est maximal. Le morphisme f : A/pf k dduit de f par passage auquotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une sous-k-algbrede k, donc gale k, f est un isomorphisme. Lidal pf est donc maximal. Dautre part,le morphisme compos k A A/pf k, o la premire flche est le morphismestructural str : k A (dfinissant la k-algbre A), est lidentit car Homk(k, k) = {Id}.Lisomorphisme A/pf

k est donc linverse du morphisme compos str : k A A/pf munissant le quotient A/pf de sa structure de k-algbre naturelle. Linjectivit delapplicationA(k) Specmax(A) est alors vidente : le seul k-morphisme A k denoyau p est A A/p k o la seconde flche est linverse de lisomorphisme k A A/p. Il rsulte de cette description que limage de lensemble des points rationnelsdans Specmax(A) est lensemble des idaux maximaux de corps rsiduel k.

2. Idaux trangers, lemme chinois

2.1. Idaux tranger.

Dfinition 2.1.1. Deux idaux I et J dun anneau A sont dits trangers si lidal I + Jquils engendrent est gal A.

Lemme 2.1.2. Soient I et J deux idaux trangers dun anneau A etN un entier. Alors IN et JNsont trangers.

Dmonstration. Par hypothse, I + J = A ; il existe donc deux lments i I et j Jtels que i + j = 1. Daprs la formule du binme de Newton, llment 1 = (i + j)2N estla somme de i =

N=0

((2N

)j)i2N IN et de j =

2N=N+1

((2N

)i2N

)j JN. On a

donc IN + JN = A.

2.2. Thorme chinois.

Thorme 2.2.1. Soient I1, . . . , In (n 1) des idaux dun anneau A, deux--deux trangers.Lhomomorphisme Ani=1A/Ii est surjectif de noyau I1 In = I1 In.

Cf. Bourbaki, A.C., II, 1, n2 proposition 5.

3. Nilradical dun anneau et anneaux rduits

3.1. Dfinitions et premiers rsultats.

Dfinition 3.1.1. Soit A un anneau. Un lment a A est dit nilpotent sil existe unentier n N tel que an = 0. On note Nilp(A) leur ensemble.

4 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

Il rsulte de la formule du binme de Newton que la somme de deux lments nil-potents est nilpotente. Dautre part, le produit dun lment nilpotent par un lmentquelconque est nilpotent. Lensemble Nilp(A) est donc un idal de A. Par construction,lanneau quotient A/Nilp(A) na pas dlment nilpotent non nul.

Dfinition 3.1.2. Un anneau A est dit rduit si Nilp(A) = {0}.

Proposition 3.1.3. Pour tout anneauA, lanneau quotientAred = A/Nilp(A) est rduit. Cestle plus grand quotient rduit de A : pour tout morphisme danneau A B avec B rduit, ilexiste un unique morphisme Ared B travers lequel A B se factorise. En dautres termes,si B est un anneau rduit, lapplication injectiveAred(B) A(B) dduite de la surjectionA Ared est une bijection.

Dans le langage de Cat-3.1.1, le foncteurA 7 Ared, de la catgorie des anneaux (com-mutatifs) vers la catgorie des anneaux (commutatifs) rduits, est un adjoint gauchedu foncteur doubli (inclusion des anneaux rduits dans les anneaux).

Dmonstration.

3.2. Une autre description du nilradical.

Proposition 3.2.1. Pour tout anneauA, la surjection canoniqueA Ared induit une bijectionSpec(Ared)

Spec(A).Dmonstration. Daprs 1.1.4, cela revient dmontrer que tout idal premier de A

contient Nilp(A). Or, si p Spec(A), et x Nilp(A), il existe nx N tel que xnx = 0 p.Il en rsulte que x p. CQFD.

Comme on vient de le voir, la proposition prcdente est quivalente linclusionNilp(A)

pSpec(A) p. Cette inclusion est une galit :

Proposition 3.2.2. Soit A un anneau.

Nilp(A) =

pSpec(A)

p.

Dmonstration. Soit a un lment non nilpotent. Daprs le lemme ci-dessous, lidalprincipal (1 aT) de A[T ] est distinct de A[T ]. Daprs le thorme de Krull, il existedonc un idal maximal m de A[T ] contenant 1 aT . Observons quil ne contient pasllment a sans quoi 1 appartiendrait m. Limage inverse de m dans A est un idalpremier de A (cf. 1.1.3), qui ne contient pas a non plus.

Lemme 3.2.3. Soient A un anneau et a A. Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) a Nilp(A) ;

(ii) 1 aX A[X].

4. IDEMPOTENTS DUN ANNEAU, CONNEXIT 5

Dmonstration. Limplication (i)(ii) rsulte de lgalit formelle (1aX)(i0 aiXi) =1 : le terme de droite est un polynme si a est nilpotent.

Rciproquement, supposons que 1 aX soit une unit de A[X] et notons b0 + b1X+ + brXr son inverse. De lgalit1 = (1aX)(b0+b1X+ +brXr) = (abr)Xr+1+(brabr1)Xr+ +(biabi1)Xi+ +(b1ab0)+b0,on tire : b0 = 1, a = b1 (car b1 ab0 = 0), b2 = ab1 = a2 (car b2 ab1 = 0) et, parrcurrence, bi = abi1 = ai pour i r. Dautre part, ar+1 = abr = 0. CQFD.

3.3. Nil-idal et idal nilpotent.

Dfinition 3.3.1. On dit quun idal I dun anneau est un nil-idal (resp. nilpotent) sitous ses lments sont nilpotents (resp. si il existe un entier N tel que IN = {0}).

Tout idal nilpotent est donc nil ; la rciproque est fausse en gnral. Cependant, ona la rciproque partielle suivante.

Lemme 3.3.2. Tout nil-idal de type fini est nilpotent.

Rappelons quun idal est dit de type fini sil est engendr par un nombre fini dl-ments.

Dmonstration. Soit I = a1A+ + arA un nil-idal de type fini dun anneau A. Parhypothse, il existe un entier n tel que pour tout 1 i r, on ait ani = 0. Puisque toutlment de lidal IrN+1 est somme de multiples des aNi , lidal I est nilpotent.

Corollaire 3.3.3. Le nilradical dun anneau nthrien est nilpotent.

Rappelons quun anneau est dit nthrien lorsque tous ses idaux sont de type fini.

Dmonstration. En effet, le nilradical est un nil-idal par dfinition ; cest dailleurs leplus grand. Si A est nthrien, il est de type fini.

4. Idempotents dun anneau, connexit

4.1. Algbre de Boole des idempotents.

Dfinition 4.1.1. Un lment e dun anneau commutatif A est dit idempotent si e2 = e.On note Idem(A) leur ensemble.

Si A est un anneau intgre, on a Idem(A) = {0, 1}.Deux idempotents de produit nul sont dits orthogonaux.4.1.2. Opration sur les idempotents. Soit e un idempotent dun anneau A. Llment

e := 1 e est galement idempotent : (e)2 = 1 2e + e2 = 1 2e + e = e. Si e estun second idempotent, on vrifie galement par le calcul que les lments e e := ee

et e e := (e e)2 de A sont idempotents.

Proposition 4.1.3. SoitA un anneau. Lensemble Idem(A) muni de laddition et de la multi-plication est un algbre de Boole, cest--dire un anneau dont chaque lment est idempotent.Les lments neutres pour laddition et la multiplication sont 0A et 1A respectivement.

6 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

Pour une analyse de ces formules, cf. 4.1.4 ; pour une justification de la terminologie(algbre versus anneau), cf. 4.2.2.

Dmonstration. Les seuls points ncessitant une vrification sont lassociativit deladdition et la distributivit de la multiplication par rapport laddition. Elles rsultentrespectivement des galits

e (e e) = e+ e + e 2(ee + ee + ee) + 4eee = (e e) e

etf (e e) = f(e e)2 = f2(e e)2 = (fe fe)2 = (f e) (f e).

4.1.4. Treillis et algbres de Boole. On appelle treillis (ou ensemble rticul) un ensembleordonn dans lequel toute famille finie (ou de faon quivalente : deux lments)a une borne infrieure et une borne suprieure. (Cela revient dire que, dans la ca-tgorie associe la relation dordre, les limites et colimites finies existent.) Il est dit distributif si le minimum (not souvent , lu et ) de deux lments et le maxi-mum (souvent not , lu ou ) de deux lments sont des oprations distributiveslune par rapport lautre. Explicitement : sup(x, inf(y, z)) = inf(sup(x, y), sup(x, z))et inf(x, sup(y, z)) = sup(inf(x, y), inf(x, z)). Considrons maintenant une algbre deBoole B dont on note laddition. La relation dordre sur B dfinie par :

x y si et seulement si y divise xfait de B est un treillis distributif dlments minimum 0 et maximum 1 et pour lequelx y = xy. Fixons en effet deux lments x et y dans B. Si z satisfait les deux ingalitsz x et z y, il existe donc a et b dans B tels que z = xa et z = yb. On a doncz2 = z = xy(ab) ; il en rsulte immdiatement que le produit xy est le minimum x yde x et y. Dautre part, on a les galits x = (x+ y+ xy)x et de mme pour y si bien quex + y + xy majore x et y. Rciproquement, si x z et y z cest--dire si x = za ety = zb pour a et b dans B on a x + y + xy = z(a + b + ab) do x + y + zy z. Ilen rsulte que le maximum x y de x et y existe et vaut x + y + xy. La distributivitrsulte dun simple calcul : on vrifie par exemple que x (y z) = x + yz + xyz et(x y) (x z) = (x + y + xy)(x + z + xz) = x + yz + xyz. Observons que pour toutx B, il existe un unique lment, appel complment et not x, tel que xx = 0et x x = 1 : poser x = 1 + x. Les oprations prcdentes permettent de retrouverladdition dans lalgbre de Boole B : pour chaque x et y on a les galits

x y = (x y) (x y) = ((x y) (x y)).Il en rsulte notamment que laddition dfinie en 4.1.2 est la seule addition sur Idem(A)pour laquelle on ait e e = ee (produit dans A) et e = 1 e (soustraction dans A).

Proposition 4.1.5. Tout idal de type fini dune algbre de Boole est principal.

Dmonstration. Cela rsulte immdiatement du fait que tout ensemble fini a uneborne infrieure pour lordre dfini ci-dessus et du fait quun idal est stable par lop-ration . Voir aussi lexercice 5.5.

4. IDEMPOTENTS DUN ANNEAU, CONNEXIT 7

Proposition 4.1.6. Le seul lment idempotent inversible (resp. nilpotent) dun anneau estlunit (resp. llment nul).

Dmonstration. Soit e un idempotent. Si e est inversible, lgalit a e(1 e) = 0 en-trane 1 e = 0. Si e est nilpotent, les galits en = e pour tout n 1 entranente = 0.

Corollaire 4.1.7. Un anneau local est connexe.

Dmonstration. Soit e un idempotent dun anneau local A didal maximal m. Lundes deux idempotents e,e = 1 e nappartient pas m et est donc inversible (1.1.9).Daprs 4.1.6, cet idempotent est lunit de lanneau. Ainsi, e = 0 ou e = 1.

Proposition 4.1.8. Toute algbre de Boole intgre est isomorphe au corps F2 = Z/2.

Dmonstration. Mme argument : si e est un lment dune telle algbre, on a e2 = edo e(1 e) = 0 et, par intgrit, e = 0 ou e = 1.

Corollaire 4.1.9. Tout idal premier dune algbre de Boole est maximal de corps rsiduel F2 =Z/2.

Dmonstration. Cela rsulte de la proposition prcdente et du fait que si B une al-gbre de Boole et p un idal premier, le quotientB/p est une algbre de Boole intgre.

4.2. Ensemble des composantes connexes, connexit.

Dfinition 4.2.1. On appelle ensemble des composantes connexes dun anneau commuta-tifA le spectre Spec(Idem(A)) de lalgbre de Boole de ses idempotents. On le note 0(A).

Cet ensemble est parfois appel spectre de Pierce , ou spectre boolien delanneau A, cf. [Borceux & Janelidze, 2001, 4.2].

4.2.2. Soit B une algbre de Boole et soit x B. Les galits 4x = 4x2 = (2x)2 = 2xmontrent que 2x = 0 de sorte que B est naturellement une F2-algbre. Ceci justifie la ter-minologie ; notons cependant que N. Bourbaki les appelle plutt anneaux booliens .Daprs 4.1.9 et 1.1.12, appliqus Idem(A), on a donc :

0(A) =Idem(A)(F2),

o lensemble de droite est HomF2(Idem(A),F2).

Proposition 4.2.3. Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) lensemble 0(A) est un singleton ;

(ii) lanneau A possde exactement deux idempotents.

Dmonstration. (ii) (i). Si A a exactement deux idempotents, lalgbre de BooleIdem(A) est isomorphe F2 et son spectre est ponctuel. (i) (ii). Nous allons montrerplus gnralement que si B est une algbre de Boole de spectre ponctuel, alors B estisomorphe F2. Supposons B non isomorphe F2 de sorte quil existe x B diffrentde 0 et 1. Lidal (x) = Bx engendr par x est strict car x ne peut pas tre une unit,sans quoi lgalit x(1 x) = 0 entranerait x = 1. Ainsi, il existe un idal maximal

8 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

contenant x. Pour la mme raison, il existe un idal maximal contenant 1x. Ces idauxsont ncessairement distincts : sils taient gaux, ils contiendraient x+ (1 x) = 1.

Dfinition 4.2.4. Un anneau commutatif A est dit connexe lorsquil satisfait les condi-tions quivalentes de la proposition prcdente.

Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont llment nul 0 et lunit 1.

Exemple 4.2.5. Un anneau local est connexe.

4.2.6. Points et spectre dun produit. Soient k un anneau, A =

xXAx un produit finide k-algbres, une k-algbre B et enfin un morphisme f Homk(A,B). Pour chaque x X, notons ex lidempotent de A dont la seule coordonne non nulle est celle dindice x,valant un. Notons fx son image par le morphisme f. Tout comme les (ex), les (fx) sontdes idempotents orthogonaux deux--deux et de somme gale lunit. Si lanneau Best connexe, il existe donc un unique y X tel que fy = 1. Il en rsulte que pour chaquea A, lgalit f(a) =

x f(ae

2x) =

x f(aex)fx devient f(a) = f(aey)fy. En dautres

termes, f se factorise, de faon unique, travers le quotient A Ay.On peut appliquer cette observation B = A/p, o p est un idal premier de A :

le morphisme canonique A A/p se factorise, de faon unique, travers un quotientq : A Axp : lidal p Spec(A) appartient limage de linjection Spec(q).

Nous avons dmontr de la proposition suivante.

Proposition 4.2.7. Soient k un anneau et A =

xXAx un produit fini de k-algbres.

(i) Pour toute k-algbre connexe B, lapplicationx

Homk(Ax, B) Homk(A,B)induite par les surjections A Ax est une bijection.

(ii) Lapplication

x Spec(Ax) Spec(A) dduite des applications canoniques Spec(Ax)Spec(A) est une bijection.

4.2.8. Fonctorialit. Soit f : A B un morphisme danneaux. Limage par f dunidempotent de A tant idempotent, le morphisme f induit un morphisme danneauIdem(f) : Idem(A) Idem(B). On vrifie sans peine que si g : B C est un secondmorphisme, les applications Idem(gf) et Idem(g) Idem(f) de Idem(A) vers Idem(C)concident. En dautres termes (Cat-1.2.1), A 7 Idem(A), (f : A B) 7 (Idem(f) :Idem(A) Idem(B)) est un foncteur covariant de la catgorie des anneaux (commu-tatifs) vers la catgorie des algbres de Boole. Par passage au spectre, chaque mor-phisme f : A B induit (de faon contravariante) une application 0(f) : 0(B) 0(A).

Proposition 4.2.9. Lapplication Spec(A) 0(A), p 7 p Idem(A) est surjective.Dmonstration. Notons que p Idem(A) est bien un idal premier de Idem(A) : cest

le noyau du morphisme Idem(A) Idem(A/p) = F2. Soit x 0(A) = Spec(Idem(A)).

4. IDEMPOTENTS DUN ANNEAU, CONNEXIT 9

Lidal xA de A engendr par x (vu comme sous-ensemble de A) est strict. En effet silunit 1 appartenait xA, elle appartiendrait un yA, pour une idal y de type finiconvenable de Idem(A) contenu dans x. (crire 1 comme une somme finie.) Or, y estprincipal (4.1.5) : on a donc 1 = ya, do y A et, finalement y = 1 (4.1.6). Cestabsurde car x est un idal strict de Idem(A). Lidal xA tant strict, il est contenu dans unidal maximal m deA. Par construction lidal premier mIdem(A) contient x. Comme xest maximal (4.1.9), on a lgalit m Idem(A) = x. CQFD.

4.3. Produit et connexit.4.3.1. Soit X un ensemble. On dfinit sur lensemble P(X) des parties de X une

structure danneau boolien en posant : EF = EF et E+F = (ECF)(FCE) (diffrencesymtrique, aussi note EF). Soit (Ax)xX une famille danneaux. Lanneau des idempo-tents du produit

xXAx est naturellement isomorphe au produitA =

xX Idem(Ax) :

a = (ax)x est idempotent si et seulement chaque ax lest. Si les Ax sont connexes, cest--dire si Idem(Ax) = F2 pour chaque x, lanneau Idem(

xAx) est donc isomorphe

lanneau boolien FX2 = Hom(X,F2). Cet anneau est, son tour, isomorphe lanneauP(X) : lapplication f 7 f1(1) est un isomorphisme dalgbres de Boole dinverse en-voyant un sous-ensemble E de X sur sa fonction caractristique.

Proposition 4.3.2. Soient X un ensemble et k un corps.(i) (a) Pour chaque x X, lensemble px = {E X : x / E} est un idal maximal

de P(X).(b) Pour chaque x X, lensemble qx = {f kX : f(x) = 0} est un idal maxi-

mal de kX. Il est principal, engendr par llment 1 x o x est la fonctioncaractristique du singleton {x}.

(ii) Supposons X fini.(a) Les applications p : X Spec(P(X)) et q : X Spec(kX) sont des bijections.(b) Lapplication E 7 IE := {f : X k : f(E) = {0} } est une bijection entre

P(X) et lensemble des idaux de kX. De plus, pour tout E X le morphisme deprojection kX kE (restriction des fonctions) induit un isomorphisme kX/IE kE.

Dmonstration. (i)(a) Pour chaque x, limage de px par est le sous-ensemble de FX2des fonctions nulles en x. Il suffit donc de dmontrer la proposition pour lanneau FX2et, plus gnralement, kX o k est un corps. (Notons que kX nest boolien que lorsquele corps k est F2.) (b) Il est clair que qx est un idal de kX, maximal. Notons que lap-plication quotient kX k = kX/qx nest autre que le morphisme dvaluation evx en x.Lgalit qx = kX(1 x) est de vrification immdiate. (ii)(a) Il suffit de vrifier lnoncconcernant kX, qui est un cas particulier de (b). (b) Soit I un idal de kX et soit E Xlensemble lannulation de I , cest--dire lensemble des x X tels que f(x) = 0 pourchaque f dans I . Par construction on a linclusion I IE. Dautre part, pour chaquex / E, il existe une fonction f I telle que f(x) 6= 0. La fonction x ( Dirac en x) ap-partient galement I , comme on le constate en multipliant fx I par llment 1fx(x)x

10 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

de kX. Lensemble X tant fini, ces fonctions caractristiques engendrent le k-espace vec-toriel IE de sorte que lon a linclusion IY I et, finalement, lgalit. Le dernier pointest vident.

Remarque 4.3.3. Lorsque X est infini, le spectre de kX o k est un corps (resp. lensembledes composantes connexes dun produit indic par X danneaux connexes) est en bijec-tion avec le compactifi de Stone-Cech de lespace topologique discret X, cf. 5.2.

Corollaire 4.3.4. Soit A =

xXAx un produit fini danneaux connexes. Lapplication X0(A), x 7 px = (ex)Idem(A) est une bijection, o ex dsigne lidempotent de A sont toutesles coordonnes sont nulles excepte celle indice par x, gale un.

Dmonstration. Rsulte de la discussion 4.3.1 et de la proposition 4.3.2.

(Nous ferons parfois implicitement lidentification prcdente.)Nous allons montrer (4.3.8) que, rciproquement au (i) ci-dessus, tout anneau dont

lensemble des composantes connexes est fini est isomorphe un produit danneauxconnexes. Lobservation suivante est un premier pas important dans cette direction.

Proposition 4.3.5. Soient A un anneau et e un idempotent de A.(i) Le morphisme canonique A A/eA/(1 e) est un isomorphisme.

(ii) LapplicationA/e A(1e), x mod e 7 x(1e) est un isomorphisme danneauxsi lon munit A(1 e) de laddition et la multiplication dduites de A par restriction.

Notons que pour chaque idempotent e 6= 1, linclusion Ae A nest pas un mor-phisme danneaux ; elle induit cependant une injection Idem(Ae) Idem(A).

Dmonstration. Le premier point rsulte du lemme chinois (2.2.1). Le second est tri-vial.

Proposition 4.3.6. SoientA un anneau, e un idempotent. Notons f son complment e = 1e.Les conditions suivantes sont quivalentes :

(i) lanneau A/e est connexe ;(ii) lidal engendr par e dans Idem(A) est premier ;

(iii) lanneau Af est connexe ;(iv) lidempotent f est non nul et il nexiste pas didempotents non nuls f1, f2 tels que

f = f1 + f2 et f1f2 = 0.

Dfinition 4.3.7. Un idempotent e dun anneau A est dit indcomposable sil satisfait lesconditions quivalentes de la proposition prcdente.

Dmonstration. (i) (ii) La dcomposition en produitA = A/eAA/(1e)A induitun isomorphisme Idem(A) = Idem(A/eA)Idem(A/(1e)A), envoyant llment e surllment (0, 1) du produit. Le quotient Idem(A)/e est donc isomorphe Idem(A/eA).La conclusion rsulte maintenant de la dfinition de la connexit et de 4.1.9. (i) (iii)Les anneaux A/e et A(1 e) sont isomorphes. (iv) (iii). Soit g un idempotent de

4. IDEMPOTENTS DUN ANNEAU, CONNEXIT 11

Af, donc de A. Les lments gf et (1 g)f sont des idempotents orthogonaux et ona lgalit : f = gf + (1 g)f. Il rsulte de lhypothse que lon a que gf = 0 ou bien(1g)f = 0. Notons que gf = g : cela rsulte du fait que g appartient Af et de lidentit(af)f = af2 = af. Ainsi, g = 0 ou g = f. (iii) (iv) Rciproquement, si f = f1 + f2avec f1f2 = 0, on vrifie immdiatement que les idempotents fi appartiennent Af ; ilsappartiennent donc lensemble {0, f} = Idem(Af). CQFD.

Les deux propositions prcdentes suggrent le thorme suivant.

Proposition 4.3.8. Soit A un anneau tel que 0(A) soit fini. Pour chaque x 0(A), notonsxA lidal de A engendr par x Idem(A). Le morphisme canonique

A x0(A)

A/xA

est un isomorphisme et chaque quotient Ax = A/xA est connexe.

Dmonstration. Surjectivit. Daprs 2.2.1, il suffit de montrer que si x et x sont deuxidaux premiers distincts de Idem(A), les idaux xA et xA de A quils engendrent sontpremiers entre eux. Par maximalit de x et x, il existe deux idempotents e x et e xtels que e e = 1. Par dfinition, cette galit se rcrit : e + e 2ee = 1, o le termede gauche appartient visiblement lidal xA+ xA de A. CQFD.

Injectivit. Daprs loc. cit., il suffit de montrer que le produit

x0(A) xA didauxde A est lidal nul. Or, tout lment de ce produit est une somme fini dlments de laforme (

x ex) a, o les ex sont dans x et a dans A. Lanneau B = Idem(A) tant rduit

(4.1.6), lintersection

xSpec(B) x est nulle (3.2.2). Il en est donc de mme du produit

x x

et de ses lments

x ex. On utilise ici le fait que le produit dans A concide avec leproduit, not , dans Idem(A).

Connexit des quotients. Soient x 0(A) et Idem(Ax). Choisissons un relve-ment a de dans lanneau A. Par hypothse, on a a2 = a+

ni=1 eii o n est un entier,

les ei dans x et les i dans A. Llment e := a

i(1 ei) est un idempotent de Adimage dansAx. Lidal x de Idem(A) tant premier, il rsulte de lidentit e(1e) = 0que soit e appartient x soit son complment 1 e lui appartient. Dans le premier cas, = 0 ; dans le second, = 1. Enfin, on a vu en 4.2.9 (dmonstration) que A/xA est unanneau non nul : on a donc 1 6= 0. CQFD. Dfinition 4.3.9. Un anneau commutatif A est dit artinien (resp. nthrien) si toute fa-mille dcroissante (resp. croissante) didaux est stationnaire.

Il rsulte immdiatement de 1.1.4 quun quotient dun anneau artinien (resp. nth-rien) est artinien (resp. nthrien).

Proposition 4.3.10. Si A est un anneau artinien, lensemble 0(A) est fini.

Dmonstration. Supposons quil existe une suite infini x1, x2, . . . dlments distinctsde 0(A). On a vu ci-dessus (4.3.8, dmonstration) que pour chaque n 1, le mor-phisme canonique A A/x1A A/xnA est surjectif. La suite des noyaux est doncstrictement croissante ; cest absurde.

12 I. SPECTRE ET IDAUX PREMIERS

Proposition 4.3.11. Un anneau artinien connexe A est local, didal maximal Nilp(A). Si Aest de plus intgre, cest un corps.

Rappelons que lon a dj constat quun anneau local est connexe 4.1.7.

Dmonstration. Soit A un tel anneau. Nous allons montrer que lidal Nilp(A) estmaximal. Il suffit pour cela de montrer que son complmentaire ANilp(A) est consti-tu dunits. Soit x A. LanneauA tant suppos artinien, la suite dcroissante didauxA (x) (x2) est stationnaire. Existent donc un entier n N et un lmenta A tels que xn = axn+1. On en dduit immdiatement, par rcurrence, lgalitxn = arxrxn pour chaque r 0. Prenant r = n, on obtient : xn = exn, o e = anxn, ete = anxn = eanxn = e2. Ainsi, (xn) est lidal engendr par lidempotent e (voir aussilexercice 5.5). Lanneau A tant connexe, on a e = 0 ou bien e = 1. Dans le premier cas,x est nilpotent ; dans le second, il est inversible.

Si A est intgre, largument prcdent montre que tout lment non nul (donc nonnilpotent) est inversible.

Corollaire 4.3.12. Soit A un anneau artinien.

(i) Lanneau A est isomorphe au produit fini des anneaux locaux artiniens A/xA, o xparcourt 0(A).

(ii) Les applications Specmax(A) Spec(A) et Spec(A) 0(A) sont des bijections.Dmonstration. (i). Rsulte de 4.3.10, 4.3.8 et 4.3.11. (ii) Soit p un idal premier dun

anneau artinien. Le quotient A/p est intgre et artinien ; cest un corps daprs loc. cit. :linclusion Specmax(A) Spec(A) est une bijection. Le fait que Spec(A) 0(A) soitune bijection rsulte de 4.2.7 et du fait que le compos Spec(Ax) Spec(A) 0(A)est dimage x.

5. Exercices

Exercice 5.1. Soit A un anneau. Montrer que Nilp(A[X]) = Nilp(A)[X] : tout polynmenilpotent est coefficients nilpotents, et rciproquement.

Exercice 5.2. Soit X un ensemble non vide. Un ultrafiltre F sur X est un ensemble departies non vides de X stable par intersection finie et maximal pour linclusion. Il est ditprincipal si

EF E 6= .

(i) Montrer quun ultrafiltre non principal ne contient pas densemble fini. Endduire quun tel ultrafiltre contient tous les ensembles cofinis (cest--dire decomplmentaire fini).

(ii) Vrifier que les ensembles cofinis dun ensemble X ne constituent pas un ultra-filtre.

(iii) Soit k un corps. Montrer que lapplication F 7 pF = {E : X k|E / F},o dsigne la fonction caractristique, est une bijection entre lensemble desultrafiltres sur X et le spectre de lanneau kX.

5. EXERCICES 13

Dans un chapitre ultrieur, on munira le spectre dun anneau commutatif dune topolo-gie, dite de Zariski. On peut alors montrer que lespace topologique Spec(kX) est homo-morphe au compactifi de Stone-Cech (X) de lespace topologique discret X, lui-mmetrivialement homomorphe au coproduit

xX Spec(k).

Exercice 5.3. Soit A un anneau.(i) Montrer que si (ex)xX est une famille finie didempotents deux deux ortho-

gonaux telle que

x ex = 1, le morphisme A xAex, a 7 (aex)xX, estun isomorphisme. La proprit

x ex = 1 se traduit parfois en disant que la

famille didempotents est complte. (On peut y penser comme une partitionde lunit particulire.)

(ii) Montrer quune telle famille existe si et seulement si 0(A) est fini. Comparerle rsultat obtenu avec 4.3.8.

(iii) Montrer que si A est nthrien, 0(A) est fini.

Exercice 5.4. Soit A lanneau des suites de nombres rationnels constantes partir duncertain rang.

(i) Montrer queA nest pas un produit danneaux connexes. Indication : on pourrautiliser un argument de cardinalit.

(ii) Montrer que tout idal maximal de A est un ensemble de fonctions nulles enun point fix ou bien au voisinage de linfini. Etc. dvelopper [David], cf.Gillman-Jerison.

Exercice 5.5. Soit I un idal de type fini dun anneau A. Montrer que si I = I2, il existee Idem(A) tel que I = (e).

Exercice 5.6. Soit k un corps et soientA,B deux k-algbres dont on note respectivementX et Y les ensembles de composantes connexes.

(i) Montrer que pour chaque y Y, chaque morphisme f : A B induit unmorphisme de k-algbres connexes A/x B/y, o x = 0(f)(y).

(ii) Montrer que si Y est fini, lensembleHomk(A,B) est naturellement en bijectionavec lensemble

YX

yY

Homk(A/(y)A,B/yB).

Ainsi, le calcul densembles dhomomorphismes se ramne au calcul densembles decomposantes connexes et et dhomomorphismes entre anneaux connexes.

CHAPITRE II

Algbres finies sur un corps, extensions algbriques

Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, k dsigne un corps et les anneaux sontcommutatifs unitaires.

1. Algbres finies sur un corps

1.1. Gnralits et thorme de structure.

Dfinition 1.1.1. Soit k un corps. Une k-algbre de dimension finie en tant que k-espacevectoriel est dite finie sur k.

On note galement [A : k] sa dimension dimk(A).Le thorme suivant est lingrdient clef qui mne la structure des k-algbres finies.

Proposition 1.1.2. Tout idal premier dune k-algbre finie est maximal.

En dautres termes, si p est un idal premier dune k-algbre A, lanneau quotientA/p, a priori seulement intgre, est un corps. Il est dusage de noter Spec(A) (resp. Specmax(A))lensemble des idaux premiers (resp. maximaux) de A (Spec-1.1.2). Le thorme af-firme donc que, pour une k-algbre finie, linclusion a priori Specmax(A) Spec(A) estune bijection.

Dmonstration. Soit p un idal premier dune k-algbre finie A. Le quotient A/p estun k-espace vectoriel de dimension finie, intgre par hypothse. Il suffit de dmontrerle corollaire suivant.

Corollaire 1.1.3. Toute k-algbre de dimension finie intgre est un corps.

Dmonstration. SoientA une telle k-algbre et a A{0} ; on souhaite montrer que aest inversible. Considrons lapplication k-linaire multiplication par a , [a] : A A. Elle est injective car A est intgre donc bijective car A est de dimension finie sur k. Enparticulier, il existe un a A tel que [a](a ) = aa = aa = 1. CQFD.

1.1.4. Quotients isomorphes un produit de corps. Considrons une k-algbre finie A.Pour chaque p Spec(A) = Specmax(A) notons (p) le corps A/p. Les idaux p Spec(A) tant maximaux donc premiers entre eux deux--deux, il rsulte du lemmechinois, rappel en (Spec-2.2.1), que pour toute famille (p1, . . . , pn) didaux premiersdistincts de A, le morphisme A ni=1 (pi) est surjectif. En consquence, on a lesingalits [A : k]

ni=1[(pi) : k] n. La seconde ingalit provient du fait que chaque

(pi), tant un corps, est un k-espace vectoriel non nul. En consquence, Spec(A) est fini,15

16 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

de cardinal au plus [A : k]. Il rsulte nouveau du lemme chinois, appliqu cette fois Spec(A) tout entier, que lapplication canonique est une surjection

(?) A

pSpec(A)

(p)

de noyau lidal

pSpec(A) p. Daprs Spec-3.2.2, cet idal est lensemble Nilp(A) des l-ments nilpotents de A. (Seule linclusion

p Nilp(A) est non triviale.) La surjection

ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulement si Nilp(A) = {0} on dit alors queA est rduit ou encore si et seulement si [A : k] =

pSpec(A)[(p) : k].

Dautre part, on a un morphisme de projection

(??)

pSpec(A)

(p)

pSpec(A)t.q. k (p)

k,

donn par la restriction de lensemble des facteurs. Le second ensemble dindexationdu produit est lensemble des idaux premiers p de A tels que le morphisme composk A A/p = (p) soit un isomorphisme. De tels idaux premiers sont dits rationnelssur k. Comme observ en Spec-1.1.12, lapplication qui un morphisme de k-algbresf : A k associe Ker(f) Spec(A) induit une bijection entre lensembleHomk-Alg(A, k),aussi not A(k) ou A(k) dans ce livre, et le sous-ensemble de Spec(A) des idauxpremiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulementsi linjection densemblesA(k) Spec(A) est une bijection.

1.1.5. Morphisme dvaluation. Il rsulte des dfinitions (voir aussi loc. cit., dmons-tration) que lapplication compose de (?) et (??), rcrite sous la forme

A kA(k),

concide avec lapplication dvaluation a 7 (f A(k) 7 f(a)). Daprs ce quiprcde, cest un isomorphisme si et seulement si A est rduit et chaque idal premierest rationnel.

1.1.6. Composantes connexes. Une k-algbre finie est un anneau nthrien (resp. ar-tinien (Spec-4.3.9)) car toute suite croissante (resp. dcroissante) de sous-k-espaces vec-toriels et a fortiori didaux est stationnaire. Nous verrons dailleurs en AC-?? quetout anneau artinien est nthrien. Il rsulte donc de Spec-4.3.12 et Spec-3.3.3 que Aest un produit index par lensemble 0(A) des composantes connexes de k-algbreslocales didaux maximaux nilpotents.

1.1.7. Pour toute k-algbre A, les ensembles introduits ci-dessus sinscrivent dansle diagramme suivant, fonctoriel (de faon contravariante) en A :

A(k)

Specmax(A) Spec(A) 0(A)

1. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS 17

Les flches horizontales sont des bijections lorsque A est finies sur k. Pour rfrenceultrieure, consignons une partie de ces observations dans le thorme suivant.

Thorme 1.1.8. Soient k un corps et A une k-algbre finie.

(i) Les trois ensembles A(k), Spec(A) et 0(A) sont finis ; ils satisfont la conditionsuivante :

]A(k) ]0(A) = ]Spec(A) [A : k].(ii) Le spectre Spec(A) concide avec le spectre maximal Specmax(A). Il est en bijection

naturelle avec 0(A) et reoit naturellementA(k).

(iii) Lanneau A est canoniquement isomorphe un produit

x0(A)Ax de k-algbres lo-cales didal maximal nilpotent.

(iv) Le morphisme chinois A

p (p), o (p) = A/p, est surjectif ; cest un isomor-phisme si et seulement si A est rduit.

(v) Le morphisme dvaluation A kA(k) est surjectif ; cest un isomorphisme si etseulement si on a galit :

]A(k) = [A : k].

En consquence, une k-algbre finie rduite est isomorphe un produit fini de corps.

Dfinition 1.1.9. Un anneau local k est dit henslien si toute k-algbreA finie en tant quek-module est un produit danneaux locaux.

Daprs 1.1.8 (ii), un corps est un anneau henslien. Nous verrons dautres exemples,comme lanneau des sries formelles sur un corps, dans des chapitres ultrieurs.

1.2. Algbres diagonalisables.

Proposition 1.2.1. Soit A une k-algbre finie. Les conditions suivantes sont quivalentes :

(i) lpimorphisme dvaluation A kA(k) est un isomorphisme ;

(ii) lingalit a priori ]A(k) [A : k] est une galit ;(iii) lingalit a priori ]0(A) [A : k] est une galit ;

(iv) il existe un ensemble fini X et un k-isomorphisme dalgbres A kX ;(v) la famille dapplications linaires [a] = (x 7 ax) Endk- ev(A), o a parcourt

lanneau A, est codiagonalisable.

(vi) linjectionA(k) Specmax(A) est une bijection et A est rduit.Dmonstration. (i) (ii) est vident et dj signal en 1.1.8 (v). (ii) (iii). Rsulte

de 1.1.8 (iii). (iii) (iv). Si A = x0(A)Ax, on a [A : k] = x[Ax : k], o chaqueentier [Ax : k] est suprieur ou gal un. Lgalit ]0(A) = [A : k] ne peut donc seproduire que si chaque algbre Ax est isomorphe k, de sorte que A est isomorphe k0(A). (iv) (ii). Il suffit de dmontrer que pour chaque ensemble fini X, le cardinal

18 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

de lensemble Homk-Alg(kX, k) est au moins gal [kX : k] = ]X. Ceci rsulte de lexis-tence des projections pr

x: kX k (valuation en x), chacune dentre elles tant un

morphisme de kX vers k. (iv) (v). La base canonique de kX est une base de vecteurspropres des endomorphismes de multiplication par les lments de kX. (v) (iv). Rci-proquement, si (ex)xX est une base de vecteurs propres des endomorphismes de multi-plication par les lments a dune k-algbre A, le morphisme A kX, a 7 (x(a))x, oaex = x(a)ex, est un isomorphisme. (vi) (i). Nest mis que pour mmoire : cf. fin duparagraphe 1.1.5.

Dfinition 1.2.2. Une k-algbre finie A est dite diagonalisable ou diagonale si elle satisfaitles conditions quivalentes de la proposition prcdente.

Le choix dun isomorphisme comme en (ii) est parfois appel une diagonalisation deA sur k.

Notons que si A est une algbre diagonalisable, les trois ensembles finis A(k),Spec(A) et 0(A) sont naturellement en bijection.

1.2.3. Sous-quotients et endomorphismes dune algbre diagonalisable. Soient k un corps,X un ensemble fini et A = kX. On a donn en Spec-4.3.2.(ii.b) une description explicitedes idaux de A : ils sont en bijection naturelle avec lensemble P(X) des parties de X etlensemble X est naturellement en bijection avec 0(A) (Spec-4.3.4). Dautre part, le quo-tient de A par lidal correspondant par cette bijection une partie Y X est isomorphe lalgbre diagonale kY . Il en rsulte que toute algbre B quotient de A est diagonali-sable. Ceci peut galement se vrifier de la faon suivante. Daprs 1.1.8 (ii), on peutsupposer que B est une k-algbre finie connexe, car un quotient dun quotient est unquotient et un produit fini dalgbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous cettehypothse de connexit, il rsulte du lemme Spec-4.2.7 (i) que le morphisme A Bse factorise travers un morphisme de projection kX k sur lun des facteurs. Lemorphisme induit k B tant surjectif, cest un isomorphisme. Lalgbre B est doncisomorphe k et, a fortiori, diagonalisable.

Considrons maintenant un morphisme de k-algbres f : B A. Le compos de favec le morphisme dvaluation evA : A

kA(k) de A se factorise travers le mor-phisme dvaluation evB : B kB(k) de B :

B A

kB(k) kA(k)

evB evA

f

kf

Si le morphisme f est injectif, il en rsulte que evB est galement injectif, donc bi-jectif. En dautres termes, la sous-algbre B de A est diagonalisable. Dautre part,le morphisme kf tant injectif, lapplication f : A(k) B(k) est surjec-tive. Limage de kf est lensemble des applications de A(k) vers k constantessur les fibres def. Ces fibres forment une partition deA(k). Rciproquement,

1. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS 19

toute partition de A(k) dfinit une sous-k-algbre de A, savoir lalgbre desfonctions constantes sur les constituants de la partition.

Si lon ne suppose plus f injectif mais que lon suppose B diagonalisable, la com-mutativit du diagramme ci-dessus dont les flches verticales sont des isomor-phismes montre que la donne de f est quivalente la donne du morphismedensembles f : B(k) A(k). Rappelons que ces ensembles sont respecti-vement canoniquement isomorphes 0(B) et 0(A) et dautre part que f cor-respond 0(f) par ces isomorphismes.

Rsumons les rsultats obtenus.

Thorme 1.2.4. Soit A une algbre diagonalisable sur un corps k.

(i) Lensemble des didaux de A est en bijection avec lensemble fini des parties de 0(A)et toute algbre quotient de A est galement diagonalisable.

(ii) Lensemble des sous-algbres de A est en bijection avec lensemble fini des partitionsde 0(A) et toute sous-algbre de A est galement diagonalisable.

(iii) Lapplication Endk(A) EndEns(0(A))op , f 7 0(f) est un isomorphisme dan-neaux non ncessairement commutatifs. Si B est une seconde k-algbre diagonalisable,Homk(B,A) HomEns(0(A), 0(B)), f 7 0(f) est une bijection.

Le lecteur vrifiera sans peine, laide des techniques et noncs de [Spec] queEndk(k

X) est isomorphe EndEns(X)op ds lors que k est un anneau connexe. Voir ga-

lement lexercice Spec-5.6 pour une gnralisation.

1.3. Produit tensoriel de deux k-algbres. La notion de produit tensoriel dalgbreset de modules joue un rle central dans ce livre. Pour la commodit du lecteur nousen donnons ici une dfinition ad hoc dans le cas particulier de deux algbres sur uncorps. La dfinition gnrale, ainsi que les dmonstrations dtailles de ses propritsessentielles se trouvent galement en appendice, Tens-??.

Lemme 1.3.1. Soient E et F deux k-espaces vectoriels et : E F G une applicationbilinaire. On note x

y pour (x, y). Les conditions suivantes sont quivalentes :

(i) Il existe des bases (ei)iI et (fj)jJ de E et F respectivement telles que la famille (ei

fj)(i,j)IJ soit une base de G.

(ii) Pour tout choix de bases (ei)iI et (fj)jJ de E et F respectivement, la famille (ei

fj)(i,j)IJ est une base de G.

Dmonstration. (i)(ii). (Pour allger les notations, nous omettons parfois ci-dessousla description des ensembles dindices, en notant (ei) ou e pour (ei)iI, etc.) Soient e et fcomme en (i) et considrons deux bases (e i)iI et (f

j)jJ de E et F. Soient et les matrices

de passage, ventuellement infinies, de la base e e et de la base f f respectivement.Pour tout i I (resp. j J) on a donc ei =

i I i,i e

i (resp. fj =

j J j,j f

j ). Par

20 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

bilinarit de , pour tout couple (i, j) I J, on a lgalit

ei fj =

(i ,j )IJ

i,i j,j (ei f j ) =

(i ,j )

(i,j),(i ,j )(ei f j ),

o est le produit de Kronecker de et , dfini par ()(i,j),(i ,j ) = i,i j,j . Il noussuffit de montrer que si et sont inversibles, il en est de mme de . Ceci rsulte delgalit (11)(22) = (12)(12), dont la vrification pdestre est laisseau lecteur. (ii)(i). Rsulte de lexistence de bases (corollaire du lemme de Zorn).

Remarquons que dans la dmonstration ci-dessus, on pourrait supposer que e =e ou bien f = f , cest--dire = Id ou = Id, de sorte quil suffit dtablir le casparticulier (1 Id)(2 Id) = (12 Id) de la formule prcdente.

1.3.2. Deux k-espaces vectoriels E et F tant donns, lexistence dun k-espace vec-torielG et dune application bilinaire satisfaisant la condition (i) du lemme ci-dessusest claire : il suffit de considrer G = k(IJ), de base canonique note (g(i,j)), et po-ser : (

iei,

jfj) =

ijg(i,j). Dautre part, il rsulte de ce mme lemme que

si : E F G et : E F G sont deux applications bilinaires satisfaisant lesconditions quivalentes (i) et (ii), il existe un unique isomorphisme k-linaire G G envoyant x

y sur x

y : si (ei) et (fj) sont des bases de E et F, cest lunique applica-

tion linaire envoyant chaque ei fj G sur ei

fj G .

Dornavant, on note E k F et (x, y) 7 x y lune quelconque deces paires (G,), et on lappelle le produit tensoriel des k-espacesvectoriels E et F. Les lments de Ek F de la forme x y sont appelstenseurs purs ; ils engendrent le produit tensoriel.

Lemme 1.3.3. Soient A et B deux k-algbres et C le k-espace vectoriel A k B. Il existe uneunique application bilinaire m : C C C associative telle que m(a b, a b ) =(aa ) (bb ) pour tous a, a A et b, b B. De plus, pour tout k, on a lgalit 1 = 1 . Enfin, si lon munit C de la structure de k-algbre k C, 7 1 = 1 ,les morphismes A C, a 7 a 1 et B C, b 7 1 b sont des morphismes injectifs dek-algbres.

Dmonstration. Existence. Choisissons (ei)iI et (fj)jJ des bases de A et B respective-ment, et dfinissonsm par bilinarit partir des galits

m(ei fj, ei fj ) = (eiej) (fjfj ).On veut montrer quem(a b, a b ) = (aa ) (bb ) pour tous a, a A et b, b B.Par construction, les deux termes sont quadrilinaires deABAB dans C. On peutdonc supposer a = ei, a = ei , b = fj et b = fj , auquel cas cest immdiat par dfinitionde m. Dornavant, si x, y C, notons xy pour m(x, y). Unicit : vident. Associativit.Les deux termes de lgalit (xy)z = x(yz) sont trilinaires de C3 dans C. Il suffit doncde vrifier lgalit sur les lments de la base (eifj) deC, ce qui est immdiat. Identit 1 = 1 . Rsulte de la formule gnrale (e) f = e (f) o e et f font partie

1. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS 21

dune base deA et B, jointe au fait que lon peut complter llment 1A (resp. 1B) en unebase deA (resp. B), de sorte que lon peut prendre e = 1 ou f = 1. Enfin, les applicationsk-linaires A C et B C sont injectives car elles envoient toute base sur une famillelibre. Elles respectent les structures de k-algbres par construction.

La k-algbre ainsi obtenue est appele le produit tensoriel des k-algbres A et B. On lanote galement Ak B.

Remarque 1.3.4. Si les scalaires ai i,i et bj

jj sont les constantes de structure des k-algbresA et B dfinies par les relations

ei ei =i I

ai

i,i ei

etfj fj =

j J

bj

j,j fj ,

il rsulte de la formule (ei fj)(ei fj ) = (eiei ) (fjfj ) ci-dessus que les constantes destructure de A k B relativement la base constitue des ei fj sont les c(i

,j )(i,j),(i ,j ) =

ai

i,i bj

j,j . Il aurait t possible de dfinir directement le produit tensoriel de deux k-algbres de cette faon cest la dfinition la plus conomique mais cela auraitlaiss ouverte la question de la dpendance en le choix des bases.

1.3.5. Extension des scalaires. Soient V un k-espace vectoriel et k une k-algbre. Ilexiste une unique extension de la structure de k-espace vectoriel naturelle sur V =V k k en une structure de k -module telle que pour tout v V et tout k , on ait (v 1) = v . On dit que le k -module V est obtenu partir du k-espace vectorielV par extension des scalaires de k k . On le note souvent Vk . Si (ei) est une k-base de V ,les lments e i = ei 1 forment une base du k -module V . Ils sont gnrateurs daprsla formule e i = ei et le fait que les tenseurs purs sont des gnrateurs sur k. Ilssont libres sur k car si

i iei = 0, on a

i ei i = 0 et finalement i = 0 comme on le

voit en dcomposant i suivant une k-base de k .Si maintenant V est une k-algbre A, la structure de k -module ci-dessus provient de

la structure de k -algbre dduite du morphisme canonique k A , 7 1 . Ilrsulte de la remarque 1.3.4 ci-dessus que les constantes de structure de la k -algbre A et de la k-algbre A relativement ces bases sont les mmes. Lalgbre A est donclalgbre A, considre avec dautres coefficients (plus gros).

Signalons enfin pour rfrence ultrieure que si f : W V (resp. f : B A) estune application k-linaire (resp. un morphisme de k-algbres), lapplication Wk Vk (resp. Bk Ak ), caractrise par x 7 f(x) , est une application k -linaire(resp. un morphisme de k -algbres). Comme on le voit immdiatement en choisissantdes bases adaptes, ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) si et seulement si flest.

22 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

Exemple 1.3.6. Soient X, Y deux ensembles finis. Le produit tensoriel kX k kY des al-gbres de fonctions sur X et Y valeurs dans k est k-isomorphe lalgbre kXY desfonctions sur X Y. En effet, si lon prend pour bases de A = kX et B = kY les fonctionsde Dirac dfinies par ex(x) = 1 et ex(x ) = 0 si x 6= x (resp. fy(y) = 1 et fy(y ) = 0si y 6= y), les constantes de structures ax x,x (resp. b

y

yy ) valent un si x = x = x (resp.

y = y = y ) et zro sinon. Les constantes de structure c(x,y )

(x,y),(x ,y ) = ax

x,x by

y,y de A k Bsont donc non nulles si et seulement si (x, y) = (x , y ) = (x , y ) auquel cas elles valentun. Cette proprit caractrise la k-algbre kXY .

Proposition 1.3.7. Soient A et B deux k-algbres diagonalisables. La k-algbre A k B estdiagonalisable.

Dmonstration. Cela rsulte du calcul fait en 1.3.6 ci-dessus.

2. Extensions algbriques

On rappelle que, dans ce chapitre, on note k un corps.

2.1. Premires dfinitions et proprits. Les rsultats de cette section sont pour unegrande part des cas particuliers de rsultats de AC-??. Pour la commodit du lecteur,nous prsentons une partie des rsultats de loc. cit. dans le cadre moins gnral de cechapitre.

Dfinition 2.1.1. Soit k un corps. On dit dune k-algbre K qui est un corps quelle estune extension de k. On note alors K/k la donne du morphisme injectif k K. Si K estde dimension finie sur k, la dimension [K : k] = dimk(K) est appele degr de lextensionK/k.

Dfinition restreinte 2.1.2. Soient k un corps et A une k-algbre. On dit quun lmenta A est entier, ou algbrique, sur k si la sous-k-algbre k[a] = {P(a) : P k[X]} de A estfinie sur k. Une extension K/k est dite algbrique si tout lment de K est algbrique surk. Une k-algbre A est dite entire si tout lment de A est entier sur k.

(Comparer avec AC-4.1.1.)

Proposition 2.1.3. (i) SoientA une k-algbre et a un lment deA entier sur k. Il existeun unique polynme unitaire de degr minimal a(X) coeffients dans k sannulanten a. Le k-morphisme k[X] A envoyant X sur a induit par passage au quotient unisomorphisme k[X]/(a)

k[a].(ii) Rciproquement, si un lment a dune k-algbreA est racine dun polynme non nul

coefficients dans k, il est entier sur k.

Rappelons quun polynme est dit unitaire sil est non nul et de coefficient dominantgal un.

On dit que le polynme a est le polynme minimal de llment a. Il est irrductiblesi et seulement si k[a] est un corps, que lon note alors souvent k(a). Dans tous les cas,on a [k[a] : k] = deg a.

2. EXTENSIONS ALGBRIQUES 23

Dmonstration. (i) Soit a comme dans lnonc. Limage du morphisme k[X] A estk-espace vectoriel de dimension finie k[a]. Son noyauN est donc non nul, ce qui prouvedores et dj quil existe un polynme non nul P k[X] tel que P(a) = 0. Dautre part,lanneau k tant un corps, lanneau k[X] est euclidien donc principal. LidalN est doncprincipal de gnrateur bien dfini multiplication par un lment non nul de k prs.En particulier, il existe un unique gnrateur unitaire. Enfin, lisomorphisme k[X]/N k[a], o N = (a), est un cas particulier du fait gnral que limage dun morphismedanneaux est isomorphe au quotient de la source par le noyau. (ii) Rciproquement, siP(a) = 0, la surjection k[X] k[a] induit une surjection k[X]/(P) k[a]. Le quotientk[X]/(P) est de dimension finie si P est non nul.

Proposition 2.1.4. Soient K/k et L/K deux extensions finies. Lextension L/k est alors finie, dedegr

[L : k] = [L : K][K : k].

Dmonstration. Soient e1, . . . , en une base de K sur k et f1, . . . , fm une base de L surK. Chaque lment x de L scrit de faon unique

mj=1 jfj, o les j sont dans K et

scrivent leur tour de faon unique j =n

i=1 i,jei avec i,j k de sorte que, finale-ment, x =

i,j i,jeifj scrit de faon unique comme combinaison k-linaire des eifj o

(i, j) parcourt {1, . . . , n} {1, . . . ,m}. On remarquera quen particulier [K : k] divise [L : k].

Corollaire 2.1.5. Soit K/k une extension. Lensemble des lments de K algbriques sur k estun sous-corps K.

On lappelle parfois clture algbrique de k dans K.

Dmonstration. En effet, si x et y sont algbriques sur k, les extensions k(x)/k etk(x)(y)/k(x) sont finies. Pour la seconde extension, cela rsulte du fait que y est en-tier sur k donc a fortiori sur le sous-corps k(x) de K. Daprs la proposition prcdente,lextension k(x)(y)/k est finie. Or, le corps k(x)(y) contient x et y de sorte que xy, x+ yet, lorsque x est non nul, x1, qui appartiennent k(x)(y), sont donc algbriques sur k.Voir aussi lexercice 7.6.

Donnons une application numrique de la proposition et du corollaire prc-dents.

2.1.6. Exemple numrique. Soient3 et

[3]2 les racines relles positives des poly-

nmes T 2 3 et T 3 2 respectivement. Ces polynmes de petit degr tant sans racinedans Q, ils sont irrductibles sur Q, si bien que [Q(

3) : Q] = 2 et [Q(

[3]2) : Q] = 3.

Considrons les sous-corps de R engendrs par ces racines : K = Q(3) et L = K(

[3]2).

Comme

[3]2 est racine du polynme T 3 2 coefficients dans K, on a trivialement[L : K] 3, avec galit si et seulement si T 3 2 est irrductible dans K. De lga-lit [L : Q] = [L : K][K : Q] il rsulte que lextension L/Q est finie, de degr au plus6 et, dautre part, que toute expression polynomiale coefficients rationnels en

3 et

24 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES[3]2, par exemple =

3 +

[3]2, appartient L. En particulier llment R

est algbrique sur Q. Cependant, cet argument nexplicite pas de polynme annulateurnon trivial. Voici une manire de procder pour construire un tel polynme. Soit Vle Q-espace vectoriel de dimension 6 de base des lments nots, des fins mnmo-techniques, e, X, X2, Y, XY et X2Y. Notons x (resp. y) lendomorphisme de V dfini parx(e) = X, x(X) = X2, x(X2) = 2e, x(Y) = XY, x(XY) = X2Y et x(X2Y) = 3Y (resp. y(e) = Y,y(X) = XY, y(X2) = X2Y, y(Y) = 3e, y(XY) = 3X et y(X2Y) = 3X2). De toute vidence,les polynmes T 3 2 et T 2 3 sont les polynmes annulateurs de ces endomorphismes.(Il suffit pour largument qui suit de savoir quils annulent x et y.) Observons que lamatrice x (resp. y) est le produit de Kronecker (1.3.1, dmonstration) de la matrice com-pagnon du polynme T 3 2 et de la matrice identit 2 2 (resp. de la matrice identit3 3 et de la matrice compagnon du polynme T 2 3).

Dans la base ci-dessus, la matrice de lendomorphisme x+ y est

0 0 2 3 0 0

1 0 0 0 3 0

0 1 0 0 0 3

1 0 0 0 0 2

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

.

On vrifie par le calcul que son polynme caractristique det(T IdV (x + y)

)est

T 69 T 44 T 3+27 T 236 T23. Par construction,3 (resp.

[3]2) est une valeur propre

de x (resp. y). Ces endomorphismes commutent, de sorte quils sont codiagonalisablessur C. La somme =

3 +

[3]2 est donc une valeur propre de lendomorphisme

somme x + y, et est donc une racine du polynme ci-dessus. La rduction modulo 7de ce polynme tant irrductible (cf. Fin-2.2.3 ou 2.2.6), il est irrductible sur Q. Il enrsulte que [Q(

3 +

[3]2) : Q] = 6 = [Q(

3) : Q][Q(

[3]2) : Q]. (Pour un rsultat

gnral en ce sens, cf. ??.)De la mme faon, on vrifie par le calcul que

3

[3]2, ou plus gnralement toutlment de Q[

3,

[3]2] = {P(3,

[3]2) : P Q[U,V]}, est algbrique sur Q.

Proposition 2.1.7. Soient k un corps et A une k-algbre entire. Pour toute extension K/k, laK-algbre AK = Ak K est entire.

Ce rsultat est un cas particulier de AC-4.5.2. Nous nous contentons donc ici dunesimple

Esquisse de dmonstration. Soit x AK. Il faut montrer que la sous-K-algbre K[x]de AK engendre par x est de dimension finie sur K. Lexistence dune dcompositionx =n

1 ai i en somme de tenseurs purs, montre que x appartient la sous-algbreK[a1, . . . , an] de AK, o les ai, dans A donc entiers sur k, sont a fortiori entiers surK. Les calculs ci-dessus montrent en toute gnralit que la somme et le produit de deux

2. EXTENSIONS ALGBRIQUES 25

lments entiers dune algbre sur un corps sont galement entiers. (Pour les dtails, cf.AC-4.3.2, premire dmonstration).

Convention restreinte 2.1.8. Pour toute k-algbreA et toute partie S deA, on note k[S] laplus petite sous-k-algbre deA contenant S, cest--dire limage de lunique morphismede k-algbres k[xs : s S] A, envoyant xs sur s A. Si A est un anneau intgre, onnote k(S) le corps des fractions de son sous-anneau k[S].

Avec cette convention, le corps k(x)(y) de la dmonstration de 2.1.5 ci-dessus nestautre que k(x, y) (ou encore k[x, y] qui est ici un corps).

Corollaire 2.1.9. SoientK/k et L/K deux extensions algbriques. Lextension L/k est galementalgbrique.

Dmonstration. Soit x L. Par hypothse, il existe P = Xd+a1Xd1+ +ad K[X] telque P(x) = 0. Posons K0 = k(a1, . . . , ad). Lextension K/k tant algbrique, il rsulte de2.1.4 que lextension K0 est finie sur k, de degr au plus

[k(ai) : k]. Par construction x

est algbrique sur K0. Lextension K0(x)/k est donc finie (cf. loc. cit.) de sorte que k(x) K0(x) est de dimension finie sur k. CQFD.

2.2. Extensions composes.

Dfinition 2.2.1. Soient K/k et K /k deux extensions dun corps k. On dit quun triplet(E, u, u ), o E est un corps et u (resp. v) est un plongement k-linaire u : K E(resp. u : K E), est une extension compose de K et K sur k si lon a lgalit E =k(u(K) u (K )).

Le corps E est donc une k-extension commune de K et K, minimale pour cette pro-prit relativement aux plongements que lon sest donn.

Par la suite, lorsque nous considrerons E comme une K-algbre (resp. K-algbre), lemorphisme structural sera, sauf mention expresse du contraire, le plongement u : K E (resp. u : K E).Mise en garde 2.2.2. Si E est une extension compose comme ci-dessus, la sous-k-algbrek[u(K) u (K )] de E engendre par u(K) et u (K ) diffre en gnral du sous-corpsengendr, not k

(u(K) u (K )

), qui concide par hypothse avec E.

Proposition 2.2.3. Pour toute paire dextensions K/k et K /k, il existe une extension compose.

Dmonstration. Considrons la k-algbre produit tensoriel A = Kk K dfinie en1.3.2 ; rappelons que cette k-algbre a pour k-espace vectoriel sous-jacent Kk K , munidu produit caractris par les identits ( )( ) = () ( ). Par construction,elle est non nulle et possde donc, daprs le thorme de Krull (Spec-1.1.6), un idalmaximal m. Soit E = A/m le corps rsiduel correspondant et notons u : K E (resp.u : K E) le morphisme de k-algbres 7 1 mod m (resp. 7 1 mod m) ;ce sont des k-plongements des corps K et K dans E. Il reste vrifier que u(K) u (K )engendre E sur k, comme corps. Plus prcisment, nous allons vrifier que la partie

26 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

u(K) u (K ) engendre E comme k-algbre i. Ceci rsulte du fait que la k-algbre A estengendre par K 1 et 1 K . En effet, le produit ( 1)(1 ) est gal au tenseurpur et, comme on la observ aprs la dfinition 1.3.2, ces tenseurs engendrentlinairement le produit tensoriel. (Voir aussi Tens-1.1.2.3.)

Mise en garde 2.2.4. (i) Si (E, u, v) est une extension compose quelconque deK/k et K /k, le noyau du morphisme de k-algbres u ? u : K k K E, 7 u()u ( ) est un idal premier, car E est intgre, mais non ncessai-rement maximal. Cela est li au fait que limage de u ? u nest a priori quunesous-k-algbre (cf. 2.2.2).

(ii) Deux extensions composes ne sont pas ncessairement isomorphes. Par exemple,si K1 = K2 = K est lextension Q[

[3]2] C de degr 3 de Q, lanneau KQ K

se surjecte sur K, par lapplication vidente 7 , mais aussi sur lex-tension Q[

[3]2, j] de degr 6 de Q, par lapplication envoyant

[3]2 1 sur

[3]2 et 1[3]2 sur j

[3]2. (Voir aussi lexercice 7.9 ci-dessous.) En particu-

lier, la notation KK pour une extension compose de K/k et K /k nest raison-nable que si lon sest auparavant donn un sur-corps de K et K et des plon-gements de ces corps dans celui-ci ou bien ventuellement si des hypothsessupplmentaires nous assurent que tous les corps composs sont isomorphes(cf. CG-1.2.7).

Observons que si K et K sont des sous-corps dun corps C, pour tout choix de gn-rateurs sur k, K = k(i, i I) et K = k(j, j J), la sous-extension E = k(i, j, (i, j) I J) de C (muni des plongements vidents K E et K E) est une extension com-pose de K et K . Signalons la variante suivante, de dmonstration immdiate.

Lemme 2.2.5. Soient L/k et L /k deux extensions algbriques et (E, u, v) une extension com-pose sur k. Alors, E est la runion de ses sous-corps k

(u(K), v(K )

), o K (resp. K ) parcourt

lensemble des sous-k-extensions finies de L (resp. L ).

Lemme 2.2.6. Si K/k est une extension algbrique et K /k est une extension quelconque, touteextension compose de K/k et K /k est algbrique sur K .

Dmonstration. Soit (E, u, u) une extension compose. On a par dfinition on a E =u(K)

(u() : K

). Chaque tant algbrique sur k, il en est de mme de chaque

u() sur k et, a fortiori, des u() sur u(K). Daprs, 2.1.5, lensemble des lments de Ealgbriques sur K est un sous-corps. Comme il contient les u(), cest E tout entier. Celemme est galement un corollaire de 2.1.7 et AC-4.5.2.

2.3. Corps de rupture et de dcomposition dun polynme.

Convention 2.3.1. Soit k un corps et soit f un polynme coefficients dans k. On notekf lanneau quotient k[X]/(f(X)) et x limage de X dans kf par la surjection canoniquek[X] kf.

i. Ceci nest pas en contraction avec 2.2.2 car le corps E construit ici nest pas une extension composeabsolument quelconque.

2. EXTENSIONS ALGBRIQUES 27

Cet anneau reprsente , au sens du lemme ci-dessous, les racines de f.

Lemme 2.3.2. Soient f k[X] et A une k-algbre. Le morphisme dvaluation en x( : kf A) 7 (x)

Homk-Alg(kf, A) {a A : P(a) = 0}est une bijection.

La dmonstration est immdiate.Observons que si f est non nul, kf est une k-algbre finie.

Proposition 2.3.3. Soit f k[X] un polynme non constant.(i) Il existe une extension finie K/k telle que f ait une racine dans K et que K/k soit

engendre par cette racine.

(ii) Toute telle extension K/k est isomorphe un quotient de kf. En particulier, si f estirrductible, elles sont isomorphes kf.

Dmonstration. (i) On peut supposer f unitaire. Par construction, f(x) = 0 dans lak-algbre kf. Cette algbre possde un idal maximal donc se surjecte sur un corps, quenous noterons K. Si est limage de x dans K, on a bien f() = 0. Puisque la k-algbrekf est engendre par x, lextension K/k est engendr par . (ii) Soit une racine de fdans K telle que K = k(). Le noyau du morphisme k[X] K, X 7 dvaluation en contient f. Il en rsulte que ce morphisme se factorise en une surjection kf K. Si f estirrductible, kf est un corps si bien que ce morphisme est galement injectif.

Dfinition 2.3.4. Une extension K/k satisfaisant la condition (i) ci-dessus est appeleextension, ou corps, de rupture de f sur k.

Proposition 2.3.5. Soit f k[X] un polynme non constant de degr d.(i) Il existe une extension K/k telle le polynme f se factorise dans K[X] sous la formecdeg f

i=1 (X i), o c k, i K, et que K soit engendre par les i sur k.(ii) Deux telles extensions sont isomorphes, de degr au plus d!.

Lorsque f se factorise comme en (i), on dit alors que f est scind sur K.

Dfinition 2.3.6. Une extension K/k satisfaisant la condition (i) de la proposition prc-dente est appele extension, ou corps, de dcomposition de f. On note parfois deck(f).

Dmonstration de la proposition. Existence et majoration du degr. Procdons par r-currence sur le degr d de f. Si d = 1, il ny a rien dmontrer. Daprs la propositionprcdente, il existe une extension K de k dans laquelle f scrit f = (X)g. Le corps Kest un quotient de kf si bien que lextension K/k est de degr au plus d. Par hypothsede rcurrence, il existe une extension finie L de K, de degr au plus (d 1)! telle que lepolynme g, de degr d 1, soit scind sur L. Le polynme f est alors scind sur L et[L : k] = [L : K][K : k] d!. La sous-k-extension de L engendre par les racines de f dansL est un corps de dcomposition de f, de degr au plus celui de L.

28 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

Unicit. Soient K1 et K2 deux corps de dcomposition pour f. Considrons une ex-tension compose (E, u1, u2) de K1 et K2 sur k. Soit R (resp. Ri) lensemble des racinesde f dans E (resp. ui(K)). Le polynme f tant scind sur les corps Ki, il lest gale-ment sur les sous-corps ui(Ki) de E. Il en rsulte que les inclusions a priori Ri Rsont des galits. Dautre part, ui(Ki) = k(Ri) E de sorte que E = k(R) et les inclu-sions ui(Ki) = k(Ri) E sont des isomorphismes. Comme ui induit un isomorphismeKi

ui(Ki), on a un diagramme disomorphismes K1 E K2. 2.4. Corps de dcomposition dune famille de polynmes. Expliquons maintenant

comment gnraliser la construction prcdente au cas dune famille quelconque (nonncessairement finie) de polynmes.

Nous ferons usage de la gnralisation suivante des dfinitions et rsultats de 1.3,qui est aussi un cas particulier de Tens-1.3.4.

Dfinition restreinte 2.4.1. Soient k un corps, I un ensemble ventuellement infini et(Ai)iI une famille de k-algbres. Choisissons pour chaque i I, une k-base (eij)jJi deAi. On note

iIAi la k-algbre dont lespace vectoriel sous-jacent est libre de base des

lments nots I J , o I est une partie finie de I et J une partie finie de

iI Ji contenant

un unique lment ji de Ji pour chaque i I . On note galement ei1j1 einjn

(dansun ordre quelconque) llment {i1,...,in}

{j1,...,jn}. La structure multiplicative est dfinie par k-

linarit partir des formules suivantes :

(i) si I I = ,

(?) I

J I

J = I I J J ;

(ii) si I I = {i},

(??) I

J I

J =jJi

ajji,jiII

(J {ji})(J {j i}){j},

o les scalaires a, sont les constantes de structure (1.3.4) de la k-algbre Ai.

Remarquons que si i I I , les formules I J = I {i}J {j i}

{i}

j iet I J =

I {i}J {j i }

{i}

j i, qui

dcoulent de (?), permettent de calculer I J I

J partir de (??) par rcurrence sur lecardinal de lintersection I I .

Il est ais de vrifier, par rduction au cas o I est fini et suivant la mme m-thode quen 1.3, que le produit ainsi dfini est associatif, commutatif, indpendant k-isomorphisme prs du choix des bases, et que les applications

jJ

jej A 7

jJ

j{}

{j} iI

Ai

sont des morphismes injectifs de k-algbres, dits canoniques , dont les images en-gendrent le produit tensoriel. Nous renvoyons le lecteur lappendice Tens-?? pourune approche plus conceptuelle, prsente en dtail.

2. EXTENSIONS ALGBRIQUES 29

2.4.2. Soit (fi)iI une famille de polynmes non constants. Pour chaque i I, consi-drons une extension de dcomposition ki de fi sur k ; il en existe daprs les rsultatsdu paragraphe prcdent (2.3.5). Soit A la k-algbre produit tensoriel de la famille desk-algbres non nulles ki. Elle est non nulle donc daprs le lemme Krull se sur-jecte sur un corps K, qui est naturellement une extension de k ainsi que de chacun descorps ki, via les morphismes composs ui : ki A K, o la premire flche est lemorphisme canonique.

Lemme 2.4.3. Pour tout i I, le polynme fi est scind dans K et K est engendr sur k par lesracines des fi.

Dmonstration. Chaque fi est scind dans ki donc dansA et K car une dcompositionen produit fi = g1 gdi dans ki[X] induit une dcomposition semblable dans B[X] pourtoute ki-algbre B, comme A ou K. Ceci prouve le premier point. Pour le second point,on observera que dune part chaque ui(ki) K est engendr sur k par Ri = { K :fi() = 0} et que dautre part A, donc K, est engendr sur k par les images des ki dansA, comme cela a t observ brivement plus haut.

Tout comme dans le cas dune famille rduite un lment, on dit que K est uneextension de dcomposition de la famille (fi)iI.

Remarquons que si lensemble dindexation I est fini, une extension de dcomposi-tion de la famille (fi)iI est une extension de dcomposition de f =

i fi.

Proposition 2.4.4. Deux k-extensions de dcomposition dune famille de polynmes dans k[X]sont k-isomorphes.

Dmonstration. Soient K et K deux telles extensions et E une extension compose.Limage de K (resp. K ) dans E concide avec le sous-corps k(R) o R est lensemble desracines des polynmes considrs. Ainsi les corps K et K sont tous deux k-isomorphes k(R) (cf. 2.3.5 (ii)).

Proposition 2.4.5. Soient (fi)iI une famille de polynmes non constants coefficients dans ket K un corps de dcomposition. Pour toute extension k /k, toute extension compose de K et k sur k est un corps de dcomposition sur k des fi, vus dans k [X].

Dmonstration. Soient k /k comme dans lnonc et (K , u, v) une extension compo-se de K et k . Si R dsigne lensemble des racines des fi dans K, on a K = k(R) etK = k (R), o lon note abusivement k et R leurs images dans K par les applications vet u respectivement. Cette galit est quivalente la conclusion dsire.

2.5. Clture algbrique.

Proposition 2.5.1. Soit k un corps. Les conditions suivantes sont quivalentes :

(i) tout polynme non constant de k[X] a une racine dans k ;

(ii) tout polynme non constant de k[X] est scind sur k ;

(iii) toute extension algbrique de k est de degr un.

30 II. ALGBRES FINIES SUR UN CORPS, EXTENSIONS ALGBRIQUES

Dmonstration. Montrons que (i) entrane (ii). On procde par rcurrence sur le degrdu polynme, le cas du degr un tant trivial. Soit donc f k[X] de degr > 1. Daprs(i), il existe une racine k de f de sorte que f se factorise en f = (X )g, pour ung k[X]. Puisque deg(g) < deg(f), lhypothse de rcurrence assure que g est scindsur k. Il en est donc de mme de f. Limplication (ii) entrane (i) est vidente. Montronsmaintenant que (ii) entrane (iii). Soit K/k une extension algbrique. On veut montrerque K = k. Il suffit pour cela de considrer le cas o K est monogne, car K =

k(a),

o a parcourt K. Dans ce cas, K est isomorphe un quotient de kf, pour un f k[X]convenable. Le polynme f tant scind, ce quotient nest un corps que si f est de degrun. Dans ce cas, linclusion k K est un isomorphisme : [K : k] = 1. Vrifions que(iii) entrane (ii). Soient f k[X] est un polynme non constant et K/k un corps dedcomposition de f sur k ; cest une extension algbrique de k. Daprs (iii), k = K desorte que f est scind sur k, do (ii).

Il rsulte de la dmonstration que la condition (iii) : toute extension algbriquemonogne de k est de degr un est quivalente (iii).

Dfinition 2.5.2. Un corps satisfaisant les conditions quivalentes prcdentes est ditalgbriquement clos. On appelle clture algbrique dun corps k toute extension algbriquede k qui est un corps algbriquement clos.

Proposition 2.5.3 (Steinitz). Tout corps admet une clture algbrique.

Dmonstration. Soit k un corps. Daprs ce qui prcde, il existe un corps de dcom-position K de la famille de tous les polynmes unitaires non constants coefficientsdans k. Cest une extension algbrique de k dans laquelle tout polynme non constantde k est scind. Vrifions quelle est algbriquement close en utilisant le critre (iii) ci-dessus. Soit K /k une extension algbrique de K ; elle est algbrique sur k (2.1.9). Endautres termes, tout lment K est racine dun polynme unitaire f k[X]. Or,par construction, les racines de f sont toutes dans K. Finalement K et K = K.

Remarque 2.5.4. Il rsulte de la dmonstration quune clture algbrique dun corpsk est un corps de dcomposition de lensemble des polynmes non constants de k. Eneffet, contient un tel corps de dcomposition D et puisque ce dernier est algbrique-ment clos avec/D algbrique, on a bien = D.

Proposition 2.5.5. Tout corps algbriquement clos est infini.

Dmonstration.

La proposition suivante nous sera trs utile dans l