Table des matières

4 Intégrales généralisées 2

4.1 Dé�nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.1.1 Intégrales impropres à gauche ou à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.1.2 Quatre résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1.3 Extensions des dé�nitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Critères de convergence et de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1 Les critères au programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.2 Deux critères hors-programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

Chapitre 4

Intégrales généralisées

Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à l'intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-

ouvert ou ouvert. Nous allons voir que les analogies avec les séries numériques sont nombreuses,

pour aider le lecteur à identi�er ces liens nous reprenons la structure de ce chapitre.

4.1 Dé�nitions et premières propriétés

4.1.1 Intégrales impropres à gauche ou à droite

Dé�nition 4.1.1 (intégrale impropre à droite)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[.

• On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre)

∫ →ba

f(t) dt converge si et seulement si la

fonction F : [a, b[ −→ R

x 7−→∫ x

af(t) dt

admet une limite �nie en b.

Lorsque c'est le cas, cette limite est notée

∫ b

af(t) dt et est appelée intégrale impropre de f

sur [a, b[.

• On dit que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt diverge si et seulement si elle ne converge pas.

Remarque 4.1.2

• Une intégrale impropre n'est pas une intégrale au sens qui était celui du cours de première

année : c'est une limite.

• Déterminer la nature d'une intégrale impropre consiste à déterminer si cette intégrale

impropre est convergente ou divergente.

• Nous utiliserons dans le cours la notation

∫ →ba

f(t) dt. Cette notation est souvent remplacée

par

∫ b

af(t) dt : dans ce cas il convient de déterminer si

∫ b

af(t) dt est bien dé�nie ou non,

c'est à dire la nature de l'intégrale impropre.

Remarquons que si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], le réel

∫ b

af(t) dt peut

être vu de deux manières : comme F (b)− F (a) où F désigne une primitive quelconque de f sur

2

[a, b] mais aussi comme la limite de

∫ x

af(t) dt lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. La

proposition suivante montre qu'il n'y a pas d'incohérence :

Proposition 4.1.3

Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a, b].

On a :

limx→ b

x < b

∫ x

af(t) dt =

∫ b

af(t) dt.

Démonstration :

La fonction f est continue sur [a, b] donc est bornée (sur [a, b]). Soit M un réel tel que, pour tout x de [a, b],

|f(x)| ≤M .

Pour tout x de [a, b[, on a :∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t) dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

x

f(t) dt

∣∣∣∣ (d'après la relation de Chasles)

≤∫ b

x

|f(t)| dt

≤∫ b

x

M dt (pour tout x de [a, b], |f(x)| ≤M)

= M (b− x).

On a limx→ b

x < b

M (b− x) = 0, d'où, par encadrement : limx→ b

x < b

∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt

∣∣∣∣ = 0 et donc :

limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t)dt =

∫ b

a

f(t)dt.

Proposition 4.1.4

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[.

Si f est positive sur [a, b[ et que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge, on a :

0 ≤∫ b

af(t) dt.

Démonstration :

La fonction f est continue sur [a, b[ donc admet des primitives sur [a, b[. Soit F l'une d'elles.

Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

a

f(t) dt = F (x)− F (a).

Comme F est de dérivée f qui est positive sur [a, b[, la fonction F est croissante. Ainsi, pour tout x de [a, b[,

on a F (x)− F (a) ≥ 0 (⇐⇒ F (a) ≤ F (x)).

D'où : ∫ b

a

f(t) dt = limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t)dt = limx→ b

x < b

F (x)− F (a) ≥ 0.

3

Exercice 1

Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée.

Exemple 4.1.5 (Exemple de Riemann en +∞)

Soit α un réel. D'après l'exercice précédent, l'intégrale impropre

∫ →+∞

1

1

xαdx converge si

et seulement si α > 1.

Remarque 4.1.6

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[.

Puisque l'intégrale impropre

∫ b

af(t) dt est par dé�nition une limite (et pas l'intégrale d'une

fonction continue sur un segment), nous ne pouvons pas appliquer de changement de variable

ou d'intégration par parties directement à cette intégrale. Nous pouvons en revanche e�ectuer

ces manipulations aux intégrales

∫ x

af(t) dt (pour tout x de [a, b[), comme nous l'avons vu

dans l'exercice précédent.

Dé�nition 4.1.7 (intégrale impropre à gauche)

Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soit f une fonction continue

sur ]a, b].

• On dit que l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt converge si et seulement si la fonction

F : ]a, b] −→ R

x 7−→∫ b

xf(t) dt

admet une limite �nie en a.

Lorsque c'est le cas, cette limite est notée

∫ b

af(t) dt et est appelée intégrale impropre de f

sur ]a, b].

• On dit que l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt diverge si et seulement si elle ne converge pas.

Remarque 4.1.8

• Là encore la notation

∫ b

af(t) dt (à la place de

∫ b

→af(t) dt) est plus courante mais plus

ambigüe.

• On montre facilement que la proposition (4.1.3) a son analogue �à gauche�. La dé�nition

précédente n'entraîne donc pas d'incohérence.

Exercice 2

Exercice 2 de la feuille d'exercices distribuée.

Exemple 4.1.9 (Exemple de Riemann en 0)

Soit α un réel. D'après l'exercice précédent, l'intégrale impropre

∫ 1

→0

1

xαdx converge si et

seulement si α < 1.

4

4.1.2 Quatre résultats élémentaires

Proposition 4.1.10 (intégration par parties pour les intégrales impropres)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions

de classe C 1 sur [a, b[.

On a les résultats suivants :

• Si la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures alors les intégrales

impropres

∫ →ba

f(t)g′(t) dt et

∫ →ba

f ′(t)g(t) dt sont de même nature.

• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b

af(t)g′(t) dt = lim

x→ b

x < b

[f(t)g(t)]ba +

∫ b

af ′(t)g(t) dt.

Démonstration de la proposition :

• ◦ Supposons que la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures et que l'intégrale impropre∫ →ba

f ′(t)g(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t)g′(t) dt converge.

Pour tout x de [a, b[, on a, par intégration par parties :∫ x

a

f(t)g′(t) dt = f(x)g(x)− f(a)g(a) +∫ x

a

f ′(t)g(t) dt. (∗)

Comme l'intégrale impropre

∫ →ba

f ′(t)g(t)dt converge,

∫ x

a

f ′(t)g(t)dt admet une limite (�nie) lorsque x tend

vers b par valeurs inférieures. De plus, la fonction fg admet une limite �nie en b par valeurs inférieures donc le

membre de droite de l'égalité (∗) admet une limite �nie lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. On en déduit

que

∫ x

a

f(t)g′(t) dt admet une limite (�nie) lorsque x tend vers b par valeurs inférieures c'est à dire que l'intégrale

impropre

∫ →ba

f(t)g′(t) dt converge.

◦ Le travail pour établir la réciproque est analogue : il su�t d'inverser les rôles de f et g.

• Par hypothèse, les intégrales

∫ →ba

f(t)g′(t) dt et

∫ →ba

f ′(t)g(t) dt convergent donc :

limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t)g′(t) dt =

∫ b

a

f(t)g′(t) dt et limx→ b

x < b

∫ x

a

f ′(t)g(t) dt =

∫ b

a

f ′(t)g(t) dt.

D'où le résultat en passant à la limite dans l'égalité (∗).

Remarque 4.1.11

• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.

• En pratique, on n'utilise que rarement ce résultat directement : on reprend le raisonnement

de la démonstration dans le cas particulier considéré.

5

Proposition 4.1.12 (changement de variable pour les intégrales impropres)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction continue

sur [a, b[ et ϕ une fonction de classe C 1 strictement monotone sur [a, b[.

On a les résultats suivants :

• Si la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = ϕ(a) et β = limt→ b

t < b

ϕ(t)

6

(fermé en α et ouvert en β) alors les intégrales impropres

∫ →ba

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et

∫ →βα

f(x) dx

sont de même nature.

• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b

af (ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ β

αf(x) dx.

Démonstration de la proposition :

• On traite le cas ϕ strictement croissante (le cas où ϕ est strictement décroissante est laissée au lecteur). Le

tableau de variation de ϕ est alors le suivant :

x a b

ϕ(x)

α

���

�

β

Le théorème de la bijection assure que le tableau de variation de ϕ−1 est le suivant :

x α β

ϕ−1(x)

a

���

�

b

Supposons que la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = ϕ(a) et β = limt→ b

t < b

ϕ(t) (fermé en α

et ouvert en β).

La fonction f est continue sur [a, b[ donc admet des primitives. Soit F l'une d'elles. La fonction F ◦ ϕ est de

dérivée ϕ′ × f ◦ ϕ, d'où, pour tout y de [a, b[ :∫ y

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt = [F (ϕ(t))]ya =

∫ ϕ(y)

ϕ(a)

f(x) dx =

∫ ϕ(y)

α

f(x) dx

◦ Supposons que l'intégrale impropre

∫ →ba

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt converge.

Par bijectivité de ϕ, l'égalité précédente peut se réécrire : pour tout z de [α, β[, on a :∫ ϕ−1(z)

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ z

α

f(x) dx.

Remarquons que lorsque z tend vers β par valeurs inférieures, ϕ−1(z) tend vers b par valeurs inférieurs. Or,

par hypothèse,

∫ y

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt admet une limite �nie lorsque y tend vers b par valeurs inférieures donc∫ ϕ−1(z)

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt admet une limite lorsque z tend vers β par valeurs inférieures. Ainsi, avec l'égalité pré-

cédente, on en déduit que

∫ z

α

f(x)dx admet une limite �nie lorsque z tend vers β par valeurs inférieures, c'est à

dire que l'intégrale impropre

∫ →βα

f(x) dx converge.

◦ Supposons que l'intégrale impropre

∫ →βα

f(x)dt converge. On a vu plus haut que pour tout y de [a, b[,

on a : ∫ y

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(y)

α

f(x)dx.

Remarquons que lorsque y tend vers b par valeurs inférieures, ϕ(y) tend vers β par valeurs inférieurs. Or, par

hypothèse,

∫ z

α

f(x) dx admet une limite �nie lorsque z tend vers β par valeurs inférieures donc

∫ ϕ(y)

α

f(x) dx

7

admet une limite lorsque y tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi, avec l'égalité précédente, on en déduit que∫ y

a

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt admet une limite �nie lorsque y tend vers b par valeurs inférieures, c'est à dire que l'intégrale

impropre

∫ →ba

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt converge.

• On a vu plus haut que pour tout y de [a, b[, on a :∫ y

a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ ϕ(y)

α

f(x)dx.

Par hypothèse, les intégrales

∫ →ba

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et

∫ →βα

f(x) dx convergent donc :

limy → b

y < b

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt dt =

∫ b

a

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt et limz → β

z < β

∫ z

α

f(x)dt =

∫ β

α

f(x)dt.

Comme limy → b

y < b

ϕ(y) = β, on obtient le résultat en passant à la limite dans l'égalité précédente.

Remarque 4.1.13

• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.

• En pratique, on n'utilise que rarement ce résultat directement : on reprend le raisonnement

de la démonstration dans le cas particulier considéré.

Proposition 4.1.14 (linéarité des intégrales impropres)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions

continues sur [a, b[. Soit λ un réel. On suppose que les intégrales impropres

∫ →ba

f(t) dt et∫ →ba

g(t) dt convergent.

On a les résultats suivants :

• L'intégrale impropre

∫ →ba

(f(t) + g(t)) dt converge et on a :

∫ b

a(f(t) + g(t)) dt =

∫ b

af(t) dt+

∫ b

ag(t) dt.

• L'intégrale impropre

∫ →ba

(λf(t)) dt converge et on a :

∫ b

a(λf(t)) dt = λ

∫ b

af(t) dt.

Remarque 4.1.15

Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.

Démonstration de la proposition :

• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

a

(f(t) + g(t)) dt =

∫ x

a

f(t) dt+

∫ x

a

g(t) dt. (∗)

Les intégrales impropres

∫ →ba

f(t) dt et

∫ →ba

g(t)dt sont convergentes par hypothèse. On en déduit que

∫ x

a

f(t)dt

et

∫ x

a

g(t) dt admettent une limite lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi

∫ x

a

(f(t) + g(t)) dt admet

8

une limite lorsque x tend vers b par valeurs inférieures, donc l'intégrale impropre

∫ →ba

(f(t) + g(t)) dt converge.

De plus, en passant à la limite (lorsque x tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗), on obtient que

l'intégrale impropre de f + g sur [a, b[ est donnée par :∫ b

a

(f(t) + g(t)) dt =

∫ b

a

f(t)dt+

∫ b

a

g(t)dt.

• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

a

(λf(t)) dt = λ

∫ x

a

f(t)dt. (∗∗)

L'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt est convergente par hypothèse. On en déduit que

∫ x

a

f(t) dt admet une limite

lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. Ainsi

∫ x

a

(λf(t)) dt admet une limite lorsque x tend vers b par

valeurs inférieures, donc l'intégrale impropre

∫ →ba

(λf(t)) dt converge. De plus, en passant à la limite (lorsque x

tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗∗), on obtient que l'intégrale impropre de λf sur [a, b[ est

donnée par : ∫ b

a

(λf(t)) dt = λ

∫ b

a

f(t) dt.

La proposition suivante montre que la nature d'une intégrale impropre est une caractéristique

locale :

Proposition 4.1.16 (relation de Chasles pour les intégrales impropres)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction continue

sur [a, b[ et c un réel appartenant à l'intervalle [a, b[.

On a les résultats suivants :

• L'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre

∫ →bc

f(t) dt

converge.

• Lorsque les intégrales impropres

∫ →ba

f(t) dt et

∫ →bc

f(t) dt convergent, on a :

∫ b

af(t) dt =

∫ c

af(t) dt+

∫ b

cf(t) dt.

Remarque 4.1.17

Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.

Démonstration de la proposition :

• ◦ Supposons que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge et montrons que l'intégrale impropre

∫ →bc

f(t)dt

converge.

Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

c

f(t)dt =

∫ a

c

f(t) dt+

∫ x

a

f(t)dt. (∗)

Comme l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge,

∫ x

a

f(t)dt admet une limite �nie lorsque x tend vers b par

valeurs inférieures. Avec (∗), on en déduit que

∫ x

c

f(t) dt admet une limite lorsque x tend vers b par valeurs

inférieures, et donc l'intégrale impropre

∫ →bc

f(t) dt converge.

◦ Supposons que l'intégrale impropre

∫ →bc

f(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t)dt

converge.

Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

a

f(t) dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ x

c

f(t) dt. (∗∗)

9

Comme l'intégrale impropre

∫ →bc

f(t) dt converge,

∫ x

c

f(t)dt admet une limite �nie lorsque x tend vers b par

valeurs inférieures. Avec (∗∗), on en déduit que

∫ x

a

f(t) dt admet une limite lorsque x tend vers b par valeurs

inférieures, et donc l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge.

• Pour tout x de [a, b[, on a : ∫ x

a

f(t) dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ x

c

f(t) dt. (∗∗)

Les intégrales impropres

∫ →ba

f(t)dt et

∫ →bc

f(t)dt sont convergentes par hypothèse, on peut donc passer à la

limite (lorsque x tend vers b par valeurs inférieures) dans l'égalité (∗∗).On obtient ainsi :

limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t) dt

︸ ︷︷ ︸=

∫ b

a

f(t) dt

(par dé�nition)

=

∫ c

a

f(t)dt+ limx→ b

x < b

∫ x

c

f(t) dt

︸ ︷︷ ︸=

∫ b

c

f(t) dt

(par dé�nition)

d'où le résultat.

4.1.3 Extensions des dé�nitons

Dé�nition-Proposition 4.1.18 (intégrale impropre à gauche et à droite)

Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel ou +∞ (avec a < b dans le cas où a et b sont des réels).

Soit f une fonction continue sur ]a, b[.

• On dit que l'intégrale impropre

∫ →b→a

f(t) dt converge si et seulement si il existe un réel c

appartenant à ]a, b[ tel que les intégrales impropres

∫ c

→af(t) dt et

∫ →bc

f(t) dt convergent.

• Lorsque c'est le cas, le réel

∫ c

af(t) dt+

∫ b

cf(t) dt est appelé intégrale impropre de f sur

]a, b[ et est noté

∫ b

af(t) dt.

Démonstration :

Montrons que la dé�nition donnée est indépendante de c.

• Soient c et d deux réels appartenant à ]a, b[. D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)) l'intégrale

impropre

∫ c

→af(t)dt converge si et seulement si l'intégrale impropre

∫ d

→af(t)dt converge. De même l'intégrale

impropre

∫ →bc

f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre

∫ →bd

f(t)dt converge. On en déduit que les

intégrales impropres

∫ c

→af(t)dt et

∫ →bc

f(t)dt convergent si et seulement si les intégrales impropres

∫ d

→af(t)dt

et

∫ →bd

f(t)dt convergent.

• Supposons que les intégrales impropres précédentes convergent. Pour tout couple (x, y) d'éléments de ]a, b[,

on a : ∫ c

x

f(t)dt+

∫ y

c

f(t) dt =

∫ d

x

f(t) dt+

∫ y

d

f(t) dt (∗)

En passant à la limite dans l'égalité (∗) lorsque x tend vers a par valeurs supérieures, on obtient, pour tout y de

]a, b[ : ∫ c

a

f(t) dt+

∫ y

c

f(t)dt =

∫ d

a

f(t) dt+

∫ y

d

f(t)dt

et donc en passant à la limite lorsque y tend vers b par valeurs inférieures :∫ c

a

f(t) dt+

∫ b

c

f(t)dt =

∫ d

a

f(t)dt+

∫ b

d

f(t) dt

10

d'où le résultat.

Exemple 4.1.19

Montrons que l'intégrale impropre

∫ →+∞

→−∞

1

1 + t2dt converge et déterminons

∫ +∞

−∞

1

1 + t2dt.

Pour tout x de [0,+∞[, on a :∫ x

0

1

1 + t2dt = [Arctan(t)]x0 = Arctan(x).

Comme limx→+∞

Arctan(x) =π

2, l'intégrale impropre

∫ →+∞

0

1

1 + t2dt converge et on a

∫ +∞

0

1

1 + t2dt =

π

2.

De même, pour tout y de ]−∞, 0], on a :∫ 0

y

1

1 + t2dt = [Arctan(t)]0y = −Arctan(y) −−−−→y→−∞

−(−π2

)=π

2.

Ainsi l'intégrale impropre

∫ 0

→−∞

1

1 + t2dt converge et on a

∫ 0

−∞

1

1 + t2dt =

π

2.

On en déduit que l'intégrale l'intégrale impropre

∫ →+∞

→−∞

1

1 + t2dt converge et que l'on a :

∫ +∞

−∞

1

1 + t2dt =

∫ 0

−∞

1

1 + t2dt+

∫ +∞

0

1

1 + t2dt = π.

On montre de la même façon la généralisation du changement de variable pour les intégrales

impropres suivante :

Proposition 4.1.20 (changement de variable pour les intégrales impropres bis)

Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f une fonction

continue ]a, b[ et ϕ une fonction de classe C 1 sur ]a, b[.

On a les résultats suivants :

• Si la fonction f est continue sur l'intervalle d'extrémités α = limt→ a

t > b

ϕ(t) et β = limt→ b

t < b

ϕ(t)

(ouvert en α et β) alors les intégrales impropres

∫ →b→a

f (ϕ(t))ϕ′(t) dt et

∫ →β→α

f(x) dx sont de

même nature.

• Si de plus les intégrales convergent, on a l'égalité :∫ b

af (ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ β

αf(x) dx.

11

Dé�nition 4.1.21 (fonctions à ensemble de points de discontinuité �ni)

Soit a un réel ou −∞. Soit b un réel ou +∞ (avec a < b dans le cas où a et b sont des réels).

Soient n un élément de N∗ et a1, a2, . . ., an des réels tels que : a < a1 < a2 < . . . < an < b.

On pose a0 = a et an+1 = b. Soit f une fonction continue sur ]a, b[ sauf éventuellement en

les points a1, a2, . . ., an.

• On dit que l'intégrale impropre

∫ →b→a

f(t) dt converge si et seulement si, pour tout i de [[0, n]],

l'intégrale impropre

∫ →ai+1

→aif(t) dt converge.

• Lorsque c'est le cas, le réel

n∑i=0

∫ ai+1

ai

f(t) dt est appelé intégrale impropre de f sur ]a, b[ et

est noté

∫ b

af(t) dt.

Remarque 4.1.22

• La convergence de l'intégrale impropre

∫ →b→a

f(t) dt ne dépend pas de f(a1), f(a2), . . .,

f(an). En cas de convergence

∫ b

af(t) dt ne dépend pas non plus de ces réels.

• Dans le cas où f est continue par morceaux sur [a, b], on retrouve le résultat vu en première

année.

Exercice 3

Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée.

4.2 Critères de convergence et de divergence

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[.

Lorsqu'on peut déterminer, pour tout x de [a, b[,

∫ x

af(t) dt, il est facile de déterminer la nature de

l'intégrale impropre

∫ →ba

f(x) dx : il su�t de déterminer si

∫ x

af(t) dt admet une limite lorsque x

tend vers b par valeurs inférieures ou non.

Dans cette partie nous allons voir que même lorsque l'on ne peut pas expliciter

∫ x

af(t) dt, on

dispose de résultats permettant de déterminer la nature de l'intégrale impropre

∫ →ba

f(x) dx (ces

résultats auront bien entendu leurs analogues �à gauche�).

4.2.1 Les critères au programme

Proposition 4.2.1

Soit a un réel. Soit f une fonction continue sur [a,+∞[.

On a l'implication suivante :

Si f admet une limite �nie l en +∞ et que l'intégrale impropre

∫ →+∞

af(t) dt converge alors

l = 0.

12

Démonstration :

Raisonnons par l'absurde. Supposons que f admette une limite �nie l non nullr en +∞ et que l'intégrale impropre∫ →+∞

a

f(t) dt converge.

• Cas l > 0. Puisque limx→+∞

f(x) = l, il existe un réel A tel que :

∀t ≥ A , f(t) ≥ l

2. (∗)

D'où, pour tout x de [A,+∞[ :∫ x

a

f(t)dt =

∫ A

a

f(t)dt+

∫ x

A

f(t) dt

≥∫ A

a

f(t)dt+

∫ x

A

l

2dt (d'après (∗))

=

∫ A

a

f(t)dt+l

2

∫ x

A

1dt

=

∫ A

a

f(t)dt+ (x−A) l2.

Commel

2> 0, on a lim

x→+∞(x−A) l

2= +∞. On en déduit, par comparaison :

limx→+∞

∫ x

a

f(t) dt = +∞

ce qui contredit la convergence de l'intégrale impropre

∫ →+∞

a

f(t)dt.

• Cas l < 0. La preuve est analogue. Puisque limx→+∞

f(x) = l, il existe un réel A tel que :

∀t ≥ A , f(t) ≤ l

2. (∗∗)

D'où, pour tout x de [A,+∞[ :∫ x

a

f(t) dt =

∫ A

a

f(t)dt+

∫ x

A

f(t) dt

≤∫ A

a

f(t)dt+

∫ x

A

l

2dt (d'après (∗∗))

=

∫ A

a

f(t)dt+l

2

∫ x

A

1dt

=

∫ A

a

f(t)dt+ (x−A) l2.

Commel

2< 0, on a lim

x→+∞(x−A) l

2= −∞. On en déduit, par comparaison :

limx→+∞

∫ x

a

f(t) dt = −∞

ce qui contredit la convergence de l'intégrale impropre

∫ →+∞

a

f(t) dt.

Finalement l = 0.

Remarque 4.2.2

• Les inégalités (∗) et (∗∗) sont claires graphiquement, on les obtient en choisissant un ε

bien adapté dans la dé�nition quanti�ée de limx→+∞

f(x) = l.

• La réciproque de cette proposition est fausse : l'intégrale impropre

∫ →+∞

1

1√tdt diverge

(cf exemple (4.1.5)) et limx→+∞

1√x= 0.

13

• Le lecteur pourra se convaincre à l'aide de l'exercice 5 de la feuille d'exercices que l'intégrale

impropre

∫ →+∞

af(t) dt peut être convergente sans que l'on ait lim

x→+∞f(x) = 0.

L'analogue à gauche de la proposition précédente est :

Proposition 4.2.3

Soit b un réel. Soit f une fonction continue sur ]−∞, b].On a l'implication suivante :

Si f admet une limite �nie l en −∞ et que l'intégrale impropre

∫ b

→−∞f(t) dt converge alors

l = 0.

Proposition 4.2.4 (intégrale faussement impropre)

Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a, b[ admettant une

limite �nie l en b.

On a les résultats suivants :

• L'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge.

• L'intégrale de f sur [a, b[ est donnée par :∫ b

af(t) dt =

∫ b

af̃(t) dt

où f̃ désigne le prolongement par continuité de f sur [a, b], c'est à dire la fonction :

f̃ : [a, b] −→ R

x 7−→

{f(x) si x ∈ [a, b[

l sinon.

Remarque 4.2.5

• Le résultat de cette proposition est clair graphiquement.

• Bien entendu, la proposition précédente a son analogue �à gauche�.

Démonstration de la proposition :

D'après la proposition (4.1.3), on a limx→ b

x < b

∫ x

a

f̃(t)dt =

∫ b

a

f̃(t) dt. Or, pour tout x de [a, b[,

∫ x

a

f̃(t)dt =

∫ x

a

f(t)dt

donc l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge et on a :

∫ b

a

f(t) dt = limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t)dt =

∫ b

a

f̃(t)dt.

14

Proposition 4.2.6 (cas des fonctions paires ou impaires)

Soit a un réel strictement positif.

• Soit f une fonction continue et paire sur ]− a, a[.On a les résultats suivants :

◦ L'intégrale impropre

∫ →a→−a

f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre∫ →a0

f(t) dt converge.

◦ En cas de convergence, l'intégrale de f sur ]− a, a[ est donnée par :∫ a

−af(t) dt = 2

∫ a

0f(t) dt.

• Soit f une fonction continue et impaire sur ]− a, a[.On a les résultats suivants :

◦ L'intégrale impropre

∫ →a→−a

f(t) dt converge si et seulement si l'intégrale impropre∫ →a0

f(t) dt converge.

◦ En cas de convergence, l'intégrale de f sur ]− a, a[ est donnée par :∫ a

−af(t) dt = 0.

Démonstration :

• ◦ L'implication=⇒ découle immédiatement de la dé�nition-proposition (4.1.18). Montrons l'implication⇐=.

La fonction f étant paire, on a, pour tout x de ]− a, 0] :∫ 0

x

f(t) dt =

∫ −x0

f(t) dt.

Comme l'intégrale impropre

∫ →a0

f(t) dt converge on obtient :

limx→ −ax > −a

∫ 0

x

f(t) dt = limx→ −ax > −a

∫ −x0

f(t) dt = limy → a

y < a

∫ y

0

f(t) dt =

∫ a

0

f(t)dt.

Donc l'intégrale impropre

∫ 0

→−af(t)dt converge et donc l'intégrale impropre

∫ →a→−a

f(t) dt converge d'après la

dé�nition-proposition (4.1.18).

◦ On a :∫ a

−af(t) dt =

∫ 0

−af(t)dt+

∫ a

0

f(t) dt (d'après la dé�nition-proposition (4.1.18))

=

∫ a

0

f(t) dt+

∫ a

0

f(t)dt (d'après le point précédent)

= 2

∫ a

0

f(t)dt

d'où le résultat.

• La démonstration est tout à fait analogue à la précédente et est laissée au lecteur.

Exercice 4

Exercice 7 de la feuille d'exercices distribuée.

15

Théorème 4.2.7

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

et positive sur [a, b[.

Soit F la fonction :F : [a, b[ −→ R

x 7−→∫ x

af(t) dt

.

On a les résultats suivants :

• La fonction F est croissante et positive (sur [a, b[).

• L'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge si et seulement si la fonction F est majorée (sur

[a, b[).

• Si l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge, on a, pour tout x de [a, b[ :

∫ x

af(t) dt ≤

∫ b

af(t) dt.

• Si l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt diverge alors limx→ b

x < b

∫ x

af(t) dt = +∞.

Démonstration :

Montrons le premier point. Puisque f est continue sur [a, b[, la fonction F est dérivable sur [a, b[ de dérivée f .

Comme f est positive sur [a, b[, on en déduit que la fonction F est croissante. Comme F (a) =

∫ a

a

f(t)dt = 0, F

est positive sur [a, b[.

Les autres points découlent alors du théorème dit �de la limite monotone�.

Remarque 4.2.8

D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)), le théorème précédent reste vrai si

f(x) n'est positif que pour tout x de [c, b[ pour un certain élément c de ]a, b[.

L'analogue �à gauche� de ce théorème est :

Théorème 4.2.9

Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soit f une fonction continue

et positive sur ]a, b].

Soit F la fonction :

F : ]a, b] −→ R

x 7−→∫ b

xf(t) dt

.

On a les résultats suivants :

• La fonction F est décroissante et positive (sur ]a, b]).

• L'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt converge si et seulement si la fonction F est majorée (sur

]a, b]).

16

• Si l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt converge, on a, pour tout x de ]a, b] :

∫ b

af(t) dt ≥

∫ b

xf(t) dt.

• Si l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt diverge alors lim

x→ a

x > a

∫ b

xf(t) dt = +∞.

Corollaire 4.2.10 (théorème de comparaison)

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions

continues et positives sur [a, b[.

On suppose que, pour tout x de [a, b[ :

f(x) ≤ g(x).

On a les résultats suivants :

• Si l'intégrale impropre

∫ →ba

g(t) dt est convergente alors l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt

est convergente.

• Si l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt est divergente alors l'intégrale impropre

∫ →ba

g(t) dt est

divergente.

Démonstration du corollaire :

Notons F et G les fonctions suivantes :

F : [a, b[ −→ R G : [a, b[ −→ R

x 7−→∫ x

a

f(t)dt x 7−→∫ x

a

g(t)dt.

• On a :

Pour tout t de [a, b[ : f(t) ≤ g(t)

d'où pour tout x de [a, b[ :

∫ x

a

f(t)dt ≤∫ x

a

g(t)dt

d'où pour tout x de [a, b[ :

∫ x

a

f(t)dt ≤∫ b

a

g(t)dt (d'après le troisième point

du théorème (4.2.7))

d'où pour tout x de [a, b[ : F (x) ≤∫ b

a

g(t)dt.

Ainsi la fonction F est majorée sur [a, b[, donc elle converge d'après le deuxième point du théorème (4.2.7).

• 1ère méthode : ce résultat est la contraposée du premier point. 2ème méthode :

On a vu plus haut que, pour tout x de [a, b[,

∫ x

a

f(t)dt ≤∫ x

a

g(t) dt. Or, d'après le dernier point du théorème

(4.2.7), on a limx→ b

x < b

∫ x

a

f(t)dt = +∞.

Par comparaison on en déduit limx→ b

x < b

∫ x

a

g(t) dt = +∞ et donc l'intégrale impropre

∫ →ba

g(t) dt diverge.

L'analogue �à gauche� de ce corollaire est :

17

Corollaire 4.2.11

Soit b un réel. Soit a un réel strictement inférieur à b ou −∞. Soient f et g deux fonctions

continues et positives sur ]a, b].

On suppose que, pour tout x de ]a, b] :

f(x) ≤ g(x).

On a les résultats suivants :

• Si l'intégrale impropre

∫ b

→ag(t) dt est convergente alors l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt est

convergente.

• Si l'intégrale impropre

∫ b

→af(t) dt est divergente alors l'intégrale impropre

∫ b

→ag(t) dt est

divergente.

Remarque 4.2.12

• D'après la relation de Chasles (cf proposition (4.1.16)), le théorème de comparaison reste

vrai si l'inégalité f(x) ≤ g(x) n'est vraie que pour tout x de [c, b[ (ou de ]a, c] selon le cas),

où c est un élément de ]a, b[.

• Le théorème de comparaison donne une méthode pour établir la convergence ou la diver-

gence d'une intégrale impropre :

◦ Pour montrer que l'intégrale impropre d'une fonction positive converge, il su�t de

majorer cette fonction par une fonction (positive) dont l'intégrale impropre converge.

◦ Pour montrer que l'intégrale impropre d'une fonction positive diverge, il su�t de

minorer cette fonction par une fonction positive dont l'intégrale impropre diverge.

Les résultats obtenus sur les fonctions positives permettent d'obtenir une condition su�sante de

convergence pour les fonctions de signe quelconque, c'est ce que nous allons voir maintenant.

Dé�nition 4.2.13

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[.

On dit que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt est absolument convergente si et seulement si

l'intégrale impropre

∫ →ba|f(t)| dt converge.

18

Remarque 4.2.14

• La notion de convergence absolue d'une intégrale impropre n'a de l'intérêt que pour les

fonctions qui ne sont pas positives sur l'intervalle considéré.

En e�et, avec les notations précédentes, si f est positive sur [a, b[, on a clairement l'équiva-

lence :

l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge

⇐⇒ l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge absolument.

• Bien entendu, la dé�nition précédente a son analogue �à gauche�.

Théorème 4.2.15

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soit f une fonction continue

sur [a, b[. On suppose que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt est absolument convergente.

On a les résultats suivants :

• L'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge.

•∣∣∣∣∫ b

af(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(t)| dt.

Remarque 4.2.16

Bien entendu, le théorème précédent a son analogue �à gauche�.

Démonstration du théorème :

Introduisons les fonctions suivantes :

f+ : [a, b[ −→ R et f− : [a, b[ −→ R

x 7−→

{f(x) si f(x) > 0

0 sinonx 7−→

{0 si f(x) > 0

−f(x) sinon

.

Les fonctions f+ et f− sont continues sur [a, b[ et, pour tout x de [a, b[, on a (le véri�er !) :

f(x) = f+(x)− f−(x) , |f(x)| = f+(x) + f−(x) , f+(x) ≥ 0 et f−(x) ≥ 0. (∗)

• ◦ Montrons que les intégrales impropres

∫ →ba

f+(t) dt et

∫ →ba

f−(t)dt convergent.

Pour tout x de [a, b[ on a :

0 ≤ f−(x) d'où f+(x) ≤ f+(x) + f−(x)

d'où f+(x) ≤ |f(x)| (d'après (∗)).

Puisque l'intégrale impropre

∫ →ba

|f(t)| dt converge par hypothèse et que f+ est positive sur [a, b[, l'intégrale

impropre

∫ →ba

f+(t) dt converge d'après le théorème de comparaison. On obtient de façon tout à fait analogue la

convergence de l'intégrale impropre

∫ →ba

f−(t) dt.

◦ Comme les intégrales impropres

∫ →ba

f+(t) dt et

∫ →ba

f−(t) dt convergent, l'intégrale impropre

∫ →ba

(f+(t)− f−(t)

)dt

converge d'après la proposition (4.1.14) et donc l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t) dt converge (pour tout t de [a, b[,

on a f(t) = f+(t)− f−(t) d'après (∗)).

19

• On a : ∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

a

(f+(t)− f−(t)

)dt

∣∣∣∣ (d'après (∗))

=

∣∣∣∣∫ b

a

f+(t) dt−∫ b

a

f−(t) dt

∣∣∣∣ (d'après la proposition (4.1.14))

≤∣∣∣∣∫ b

a

f+(t) dt

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ b

a

f−(t)dt

∣∣∣∣ (inégalité triangulaire)

=

∫ b

a

f+(t)dt+

∫ b

a

f−(t) dt (car f+ et f− sont positives)

=

∫ b

a

(f+(t) + f−(t)

)dt (d'après la proposition (4.1.14))

=

∫ b

a

|f(t)| dt (d'après (∗)).

4.2.2 Deux critères hors-programme

Le théorème suivant relie, dans un cas particulier, la nature d'une intégrale impropre à celle

d'une série numérique :

Théorème 4.2.17

Soient n0 un élément de N et f une fonction continue, positive et décroissante sur [n0,+∞[.

On a les résultats suivants :

• La série∑n≥n0

f(n) converge si et seulement si l'intégrale impropre

∫ →+∞

n0

f(t) dt converge

(autrement dit, la série∑n≥n0

f(n) et l'intégrale impropre

∫ →+∞

n0

f(t) dt sont de même nature).

• En cas de convergence, on a, pour tout n de N tel que n ≥ n0 :∫ +∞

n+1f(t) dt ≤

+∞∑k=n+1

f(k) ≤∫ +∞

nf(t) dt.

Démonstration : laissée au lecteur (on utilise l'inégalité f(n+ 1) ≤∫ n+1

n

f(t) dt ≤ f(n) valable pour tout n de

[[n0,+∞[[ -cf chapitre 2-).

Théorème 4.2.18

Soit a un réel. Soit b un réel strictement supérieur à a ou +∞. Soient f et g deux fonctions

continues sur [a, b[.

Si f est positive sur [a, b[ et que l'on a f(x) ∼x→b

g(x) alors les intégrales impropres

∫ →ba

f(t) dt

et

∫ →ba

g(t) dt sont de même nature.

Remarque 4.2.19

Bien entendu, le théorème précédent a son analogue �à gauche�.

Démonstration du théorème :

Puisque f(x) ∼x→b

g(x), il existe une fonction λ dé�nie sur [c, b[ telle que, pour tout x de [c, b[, g(x) = λ(x)f(x) et

20

telle que limx→ b

x < b

λ(x) = 1.

• Montrons d'abord qu'il existe un élément d de [a, b[ supérieur ou égal à c tel que, pour tout x de [d, b[, g(x) ≥ 0.

Puisque limx→ b

x < b

λ(x) = 1, il existe un réel d de [a, b[ supérieur ou égal à c tel que, pour tout x de [d, b[, λ(x) ≥ 0.

Pour tout x de [d, b[, on a donc :

g(x) = λ(x)︸︷︷︸≥0

f(x)︸︷︷︸≥0

≥ 0.

• Supposons que l'intégrale impropre

∫ →ba

f(t)dt converge et montrons que l'intégrale impropre

∫ →ba

g(t)dt

converge.

Puisque limx→ b

x < b

λ(x) = 1, il existe un réel e de [a, b[ tel que, pour tout x de [e, b[, λ(x) ≤ 3

2.

Ainsi, pour tout x de [a, b[ tel que x ≥ max(d, e), on a : 0 ≤ g(x) = λ(x)f(x) ≤ 3

2f(x).

Puisque l'intégrale impropre

∫ →bmax(d,e)

f(t) dt converge (cf proposition (4.1.16)) l'intégrale impropre

∫ →bmax(d,e)

3

2f(t)dt

converge (cf proposition (4.1.14)), donc d'après le théorème de comparaison l'intégrale impropre

∫ →bmax(d,e)

g(t)dt

converge et donc l'intégrale impropre

∫ →ba

g(t) dt converge.

On montre la réciproque de façon analogue.

21