Taik Cours3 TL TF

A. Taik Cours FI-GET-GPE-IMIAE

Cours FI-GET-GPE-IMIAE: Transform ee de Laplace

Transformee de Fourier

Preface. Le but de ce cours est d’introduire les transformees de Laplace et Fourier et d’enpresenter les applications les plus usuelles. Nous insistons plus sur l’aspect calculatoire, la pluspart des resultats sont ennonces sans demonstration.

Departement de MathematiquesFST-Mohammedia, (2008)

1

Contents

1. Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. Transformee de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83. Applications de la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.1. Applicationa la solution d’equations differentielles ordinaires . . . . . . .113.2. Applicationa la solution de systemes differentiels ordinaires . . . . . . . .123.3. Applicationa la solution de quelquesequations aux derivees partielles (EDP) 13

4. Transformee Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165. Equations aux Derivees Partielles. Solutiona l’aide des Transformees de Fourier . 18References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2


1. Transformee de Laplace

Introduction

La transformee de Laplace constitue une methode puissante pour resoudre lesequations differentielleslineaire, certainesequations integrales etequations aux derivees partielles. Elle reduit le problemede resoudre uneequation differentielle lineairea coefficients constantsa un probleme algebrique.

Definition 1. Soitf : R+ → R, si l’integrale suivante existe∫∞

0e−stf(t)dt, alors elle s’appelle

transformee de Laplace de la fonctionf et on note

L(f(t)) = F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt.

Transformee de quelques fonctionselementaires

1. L(ekt) = 1s−k

, s > k. En effet :

L(ekt) =∫∞0

e−stektdt = limR→∞∫ R

0e(k−s)tdt = limR→∞ 1

k−s(e(k−s)R − 1) = 1

k−s, si s >

k.En particulier sik = 0, alorsL(1) = 1

s, s > 0.

2. L(tn) = n!sn+1 , s > 0 etn entier positif.

En effet:L(tn) =∫∞

0e−sttndt, une integration par partie donne:L(tn) = L(tn−1), si s > 0,

par reccurence on aboutitaL(tn) = n!sn L(t0) = n!

sn+1 .

3. Montrer en utilisant la definition queL(cos(kt)) = ss2+k2 , s > 0.

Proposition 2. L’operateurL est lineaire, c’esta dire siL(f1(t)), L(f2(t)) existent et sic1, c2 sontconstantes, alors

L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2).

Ceci provient de la linearite de l’integrale.

Existence de la transformee de Laplace

La transformee de Laplace n’existe pas pour n’importe quelle fonction. Nous allons maintenantdonner des conditions surf(t) qui garantiront l’existence de

∫∞0

e−stf(t)dt.

Definition 3. Une fonctionf(t) est dite sectionnellement continue sur[a, b], si elle est continuesauf en un nombre fini de points et la discontinuite en ces points est de premiere espece (i.e) leslimitesa droite eta gauche en ces points existent mais nonegales.

Definition 4. On dit quef(t) est d’ordre exponentiel quandt →∞ s’il existe des constantesM, bet t0 telles que|f(t)| ≤ Mebt pour t > t0. On dit alors quef(t) est de l’ordre deebt quandt →∞


3


Theoreme 5.Si f(t) est sectionnellement continue sur chaque intervalle fini[0, a], a > 0, et estde l’ordre deebt quandt →∞, la transformee de LaplaceL(f(t)) existe pours > b.

Demonstration:La demonstration de ce theoreme est un exercice pour lesetudiants.

Theoreme 6.Sif(t) verifie les hypotheses du theoreme 5, siL(f(t)) = F (s), alors

lims→∞F (s) = 0.

RemarqueCe theoreme donne une condition necessaire mais non suffisante.

Theoreme 7.Transforme de la deriveeSi f(t), f

′(t), f

′′(t), ... ,fn(t), sont continues pourt > 0, sont de l’ordre deebt et si L(fn(t))

existe alors:

L(fn(t)) = snL(f(t))− sn−1f(0)− sn−1f′(0)− ...− f (n−1)(0).

En particulier:L(f

′(t)) = sL(f(t))− f(0),

L(f′′(t)) = s2L(f(t))− sf(0)− f

′(0),

L(f′′′(t)) = s3L(f(t))− s2f(0)− sf

′(0)− f (′′)(0).

Exemples

1. TrouverL(t2 + t + 2 + e2t + cos(kt)).Gracea la linearite de l’operateurL et des relations

L(ekt) =1

k − s, L(tn) =

n!

sn+1, L(cos(kt)) =

s

s2 + k2,

on a

L(t2 + t + 2 + e2t + cos(kt)) =2

s3+

1

s2+

2

s+

1

s− 2+

s

s2 + 1, s > 2.

2. On a:L(cos(kt)) = ss2+k2 , s > 0. Commesin(kt) = − 1

kddt

(cos(kt)), on a:

L(sis(kt)) = −1

k(−cos(0) +

s2

s2 + k2) =

k

s2 + k2.

RemarqueSi dans le theoreme 7,f(t) n’est pas continue en0 mais silimt→0+f(t) = f(0+) existe, alors

L(f′(t)) = sL(f(t))− f(0+).


4


Theoreme 8.Si f(t), f′(t) satisfont les hyptheses du theoreme 5 et sif(t) est continue sauf pour

un nombre fini de pointst1, t2, ..., tn, alors:

L(f′(t)) = sL(f(t))− f(0)−

n∑i=1

e−sti(f(t+i )− f(t−i )).

Theoreme 9.Transformee d’intgraleSif(t), satisfait les hyptheses du theoreme 5 alors:L(

∫ t

0f(u)du) = 1

sL(f(t)).

Theoreme 10.Derivee de transformeeSif(t) satisfait les hyptheses du theoreme 5 et siL(f(t)) = F (s), alors pour tout entier positifn,on a alors:L(tnf(t)) = (−1)n dn

dsn F ((s). En particulierL(tf(t)) = −F′((s)).

Exemples

1. Calculerf′(t) de deux facons,

f(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1

= 2, 1 < t ≤ 2

= t + 1, t ≥ 2

1ere facon: on a:

f′(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1

= 0, 1 < t ≤ 2

= 1, t ≥ 2

On trouve facilementa l’aide de la definition: L(f′(t) = −1

se−s + 1

s+ 1

se−2s, s > 0.

2eme facon: on a d’aborda l’aide de la definition

L(f(t)) =1

se−s − 1

s2e−s +

1

s2+

1

se−2s +

1

s2e−2s.

Si on utilise le theoreme 8 on a:L(f′(t) = −1

se−s + 1

s+ 1

se−2s, s > 0.

2. SupposonsL(t−12 ) =

√(π

s), s > 0, calculerL(t−

12 ).

On utilisant theoreme 10 on a:L(t−12 ) = L(tt−

12 ) = − d

ds

√(π

s) = 1

2sπs

Theoreme 11.Transformee de fonctions periodiquesSif(t) admet une transformee de Laplace et si f est periodique (i.e)f(t + T ) = f(t), T > 0 pourtout t > 0, alors :

L(f(t)) =

∫ T

0esuf(u)du

1− e−sT, s > 0.


5


ExempleTrouverL(|cos(wt)|).Posonsf(t) = |cos(wt)| elle est periodique de periodeπ

w, d’apres le theoreme 11:

L(|cos(wt)|) =

∫ πw

0esu|cos(wu)|du

1− e−s πw

.

Apres integration on trouve:

L(|cos(wt)|) =1

s2 + w2(s +

w

sinh( πs2w

)).

Exercices

1. Trouver la transformee de Laplace des fonctions:a) t3 + 5t2 + 2t− 1 b) e4t − 2e−4t

c) etcos(3t) d) eat − ebt, a 6= b.

2. Montrer que∫∞0

e−4tcos(2t)dt = 3100

en trouvant d’abordL(tcos(2t).

3. La fonction gamma est definie poura > 0 parΓ(a) =∫∞0

e−tta−1dta) A l’aide d’une integration par parties, montrer queΓ(a + 1) = aΓ(a).b) Montrer queΓ(1) = 1 et queΓ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, ...

c) Montrer queL(tα−1eat) = Γ(α)(s−a))α

4. Utiliser les developpements:e−t =

∑∞n=0(−1)n tn

n!, ln(1 + x) =

∑∞n=0(−1)n−1) xn

n, |x| < 1, pour montrer que

L(1−e−1

t) = ln(1 + 1

s, s > 1.

5. TrouverL(f(t)) si:

a) f(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 2 b) f(t) = t2, 0 ≤ t ≤ 1

= t, 2 < t ≤ 4 = 2t, 1 ≤ t ≤ 3

= 3, 4 < t ≤ 6 = 4, t ≥ 3

= 0, t ≥ 6

6. Montrer queL(cosh(wt) = ss2−w2 , |s| > w etL(sinh(wt) = w

s2−w2 , |s| > w


6


Table de quelques transformees


7


2. Transformee de Laplace inverse

On va voir plus loin comment la transformee de Laplace permet de transformer uneequationdiff erentielle impliquant une fonctionx(t) et certaines de ses derivees en uneequation algebriqueordinaire. La solution de cetteequation algebrique permet alors d’obtenir la transformee de la


8


solution de l’equation differentielle. Il faut donc dvelopper des methodes pour retrouver une fonc-tion f(t) lorsqu’on connaıt sa transformeeF (s). On peut,a partir de la table, trouver quelquestransformees inverses. On considerera quelques theoreme utiles pour en trouver d’autres.

Theoreme 12.SiL−1(F (s)), L−1(G(s)) existent et sic1, c2 sont des constantes alors:L−1(c1F (s) + c2G(s)) = c1L

−1(F (s)) + c2L−1(G(s)).

Theoreme 13.L−1(F (s)) = e−atF (s− a).

ExempleTrouverL−1(F (s)) si F (s) = s

s2−6s+13

Solution:on ecrit F (s) = s(s−3)2+4

. Comme on sait queL−1( ss2+w2 ) = cos(wt) et L−1( w

s2+w2 ) =

sin(wt), on utilise le theoreme 15 avecF (s) = s(s−3)2+4

eta = −3 pour obtenir

L−1(F (s)) = e3tL−1( s+3s2+4

) = e3tL−1( ss2+4

+ 3s2+4

) = e3t(cos(2t) + 32sin(2t)).

Fonction etagee unitaire (Heaviside)On definit une fonctionu(t) de la facon suivante:

u(t) = 0, si t < 0

= 0, si t ≥ 0.

On aurau(t− c) = 0, si t < c

= 0, si t ≥ c.

ou c est une constante.

Theoreme 14.SiL−1(F (s)) = f(t), alors:

L−1(e−csF (s)) = u(t− c))f(t− c).

Exemples

1. TrouverL(f(t)) sif(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1

= 2, 1 < t ≤ 2

= t2, 2 < t ≥ 4

= 1, t > 4

En utilisant la fonctionu que l’on vient de definir, on peutecrire:


9


f(t) = t + (2− t)u(t− 1) + (t2 − 2)u(t− 2) + (1− t2)u(t− 4),

f(t) = t+(−(t−1)+1)u(t−1)+((t−2)2+4(t−2))+2)u(t−2)+(−(t−4)2−8(t−4)−15)u(t−4),

on a la forme apparaissant dans le theoreme 15 d’ou:

F (s) =1

s2+ e−s(

1

s− 1

s2) + e−2s(

2

s3+

4

s2+

2

s) + e−4s(− 2

s3− 8

s2− 15

s)

2. TrouverL−1(G(s)) si :

G(s) =1

s2+ e−2s(

1

s− 1

s2) + e−4s(−4

s+

2

s2).

En appliquant la formule du theoreme 15 on a:

g(t) = t + (3− t)u(t− 2) + (2t− 12)u(t− 4),

etg(t) s’ecrit;g(t) = t, 0 ≤ t ≤ 2

= 3, 2 < t ≤ 4

= 3t− 9, t > 4

Fonction delta de Dirac, impulsion unitaireOn s’interessea la reaction d’un sysemea une impulsion qui agit pendant un tres court intervallede temps. Soita > 0 et definissons une fonctionδa(t) parδa(t) = 1

a, si 0 ≤ t ≤ a et δa(t) = 0,

ailleurs.En utilisant la regle de l’Hopital on montre queL(δa(t) = 1. Si a → 0, la hauteur de la regionrectangulaire croıt indefiniment alors que la largeur decroıt de facon que l’aire soit toujoursegalea 1 et ainsi

∫∞0

δ0(t)dt = 1. Cette idee nous amenea concevoir une fonction limite, noteeδ(t) etappelee distribution de Dirac ou impulsion unitaire. Certaines des proprietes de cette fonction sont∫∞0

δ(t)g(t)dt = g(0) et∫∞

0δ(t− a)g(t)dt = g(a).

Theoreme 15.ConvolutionSiL−1(F (s)) = f(t), L−1(G(s)) = g(t) alors:

L−1(F (s)G(s)) =

∫ t

0

f(v)g(t− v)dv =

∫ t

0

f(t− v)g(v)dv.

Exemple: Si on poseG(s) = 1s

alorsg(t) = 1 et on obtient:L−1(F (s)s

) =∫ t

0f(v)dv.


10


Exercices

1. Trouver la transformee de Laplace inverse des fonctions:a) 6s−4

s2−4s+20b) 3s+7

s2−2s−3

c) s2

(s+2)3d) s2+2s+4

(s+1)3

e) 1s3(s2+1)

f) 1(s−1)2(s−2)2

g) 2s2+1s(s+2)2

h) 1s(s+1)(s−2)(s−3)

2. Montrer queL−1(F (as + b)) = 1ae−

bta f( t

a).

3. a) SiF (s) = L(f(t)), ou

F (s) =1

s3+ e−s(

1

s− 2

s2) + e−3s(

1

s+

2

s2− 2

s3),

trouverf(12), f(2) etf(4).

b) SiF (s) = L(f(t)), ou

F (s) =2

s+ e−2s(

2

s2+

6

s3) + e−4s(

1

s+

3

s3),

trouverf(1), f(3) etf(5).

4. Utiliser le theoreme de convolution pour obtenirL−1( 2

(s2+1)2) a partir deL−1( 2s

(s2+1)2) = tsin(t).

5. Montrer que:a)L−1( s

(s2+a2)(s2+b2)) = cos(at)−cos(bt)

b2−a2 ,

b) L−1( s2

(s2+a2)(s2+b2)) = asin(at)−bsin(bt)

a2−b2, a2 6= b2, ab 6= 0.

3. Applications de la transformee de Laplace

Nous allons maintenant voir comment on peut utiliser la transformee de Laplace pour obtenir lasolution de certainesequations differentielles ordinaires, de certains systemes differentielles et decertainesequations aux derivees partielles.

3.1. Application a la solution d’equations differentielles ordinaires

Exemples

1. Resoudre l’equation differentielles:x′′(t)− 3x

′(t) + 2x(t) = 4e3t, avec les conditions initiales:x(0) = 4, x

′(0) = 9.

Solution:posonsL(x(t)) = X(s) et prenons la transformee de chaque membre nous obtenons

s2X(s)− 4s− 9− 3(sX(s)− 4) + 2X(s) =4

s− 3


11


d’ou l’on tire

X(s) =4s− 3

(s− 1)(s− 2)+

4

(s− 1)(s− 2)(s− 3)

soit

X(s) =1

s− 1+

1

s− 2+

2

s− 3

et ainsix(t) = et + e2t + 2e3t est la solution cherchee

2. Resoudre l’equation differentielle:x′′(t) + 4x(t) = 6cos(t)− 3sin(t), avec les conditions initiales:x(0) = 3, x(π

4) = 1 + 1√

2.

PosonsL(x(t)) = X(s) etx′(0) = a apres transformation on trouve:

X(s) =6s− 3

(s2 + 1)(s2 + 4)+

a + 3s

s2 + 1

en prenant la transformee inverse, on aboutita:

x(t) = 2cos(t)− sin(t) +1

2sin(2t) + cos(2t) +

1

2asin(2t)

commex(π4) = 1 + 1√

2on trouvea = 1 etx(t) = 2cos(t)− sin(t) + cos(2t) + sin(2t).

3. tx′′(t)− (2t + 2)x

′(t) + 4x(t) = (4− 2t)et,

x(0) = 6, x(1) = 5 + 2e + 3e2.PosonsL(x(t)) = X(s) apres transformation on trouve:

X′(s) +

4s− 6

(s(s− 2))X(s) =

18

s(s− 2)− 4

s(s− 1)(s− 2)+

2

s(s− 1)2(s− 2),

equation differentielle de premier ordre enX(s) en utilisant par exemple la methode de lavariation de constante on trouve:

X(s) =4

s− 2+

2

s− 1− 1

s3− 1

4s+ C(

−1/2

s3)− 1/4

s2− 1/8

s+

1/8

s− 2)

C est une constante d’integration la conditionx(1) = 5 + 2e + 3e2 donneC = −10. Lasolution cherchee est doncx(t) = 3e2t + 2et + 2t2 + 2t + 1.

3.2. Application a la solution de systemes differentiels ordinaires

L’operateur de Laplace transforme un systeme d’equations differentielles ordinairesa coefficientsconstants en un systemeequations algebriques.

Exemples

Resoudre le systeme differentiel:


12


x′(t)− y

′(t) + x(t)− y(t) = 2 + 3e2t,

x′(t) + 2y

′(t)− 3x(t) = −3 + 2e2t,

x(0) = 4, y(0) = 1

Solution:posonsL(x(t)) = X(s), L(y(t)) = Y (s) et prenons la transformee de chaque mem-bre nous obtenons

sX(s)− 4− sY (s) + 1 + X(s)− Y (s) =2

s+

3

s− 2

sX(s)− 4 + 2sY (s)− 2− 3X(s) = −2

s+

2

s− 2

que l’on peutecrire

(s + 1)X(s)− (s + 1)Y (s) = 3 +2

s+

3

s− 2

(s− 3)X(s) + 2sY (s) = 6− 2

s+

2

s− 2

en multipliant la 1ereequation par2s, la 2ieme par(s + 1) est additionnant, on obtient:

X(s) =12s3 − 9s2 − 15s + 6

3s(s + 1)(s− 1)(s− 2)=

1

s+

1

s− 1+

2

s− 2

etx(t) = 1 + et + 2e2t De meme on obtient:

Y (s) =s3 + s2 − 2s− 2

s(s + 1)(s− 1)(s− 2)= −1

s+

1

s− 1+

1

s− 2

ety(t) = et + e2t − 1.

3.3. Application a la solution de quelquesequations aux derivees partielles(EDP)

Si on suppose que la fonctionu(x, t) verifie les hypothses du theoreme 5 lorsqu’elle est considereecomme une fonction det, en posantU(x, s) = L(u(x, t)), on a:

L(∂u

∂t) =

∫ ∞

0

e−st ∂u

∂tdt = sU(x, , s)− u(x, 0)

et

L(∂2u

∂t2) = s2U(x, , s)− su(x, 0)− ∂u

∂t(x, 0)

on a aussi

L(∂u

∂x) =

∫ ∞

0

e−st ∂u

∂xdt =

dU

dx


13


en utilisant la regle de Leibniz pour deriver sous le signe de l’integrale. On aurait aussi:

L(∂2u

∂x2) =

d2U

dx2

ExemplesResoudre l’EDP suivante:∂u∂t

= ∂2u∂x2 − 4u,

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 u(x, 0) = 6sin(x)− 4sin(2x).

Solution:posonsL(u(x, t)) = U(x, s) et prenons la transformee de chaque membre nous obtenons

d2U

dx2− (s + 4)U = −6sin(x) + 4sin(2x).

C’est uneequation differentielle lineaire d’ordre 2 par rapporta la variablex. on a :

Uh = C1e√

s+4x + C2e−√s+4x, Up =

6

s + 5sin(x)− 4

s + 8sin(2x)

la solution genrale est donnee par:

U(x, s) = C1e√

s+4x + C2e−√s+4x +

6

s + 5sin(x)− 4

s + 8sin(2x)

en utilisant les conditions aux limites on trouveC1 = C2 = 0, donc:

U(x, s) =6

s + 5sin(x)− 4

s + 8sin(2x)

et ainsiu(x, t) = 6e−5tsin(x)− 4e−8tsin(2x)

est la solution cherchee.

Exercices

1. Resoudre lesequations differentielles avec les conditions initiales:a)x

′′(t) + 2x

′(t) + x(t) = et,

x(0) = 3/4, x′(0) = 0.

b) x′′(t)− x(t) = sin(t),

x(0) = 1, x′(0) = 5/2.

c) x′′′(t) + x

′(t) = t2 − t + 2,

x(0) = 3, x′(0) = −1/2, x

′′(0) = 0, x

′′′(π) = −18.


14


d) x(4)(t)− 16x(t) = 30sin(t),x(0) = 0, x

′(0) = 2, x

′′(π) = 6.

e)x′′(t)− x(t) = 2u(t− 1),

x(0) = 0, x′(0) = 1.

f) x′′(t)− x(t) = δ(t),

x(0) = 0, x′(0) = 1.

2. Resoudre lesequations differentiellesa coefficients non constantsa) tx

′′(t)− (2t + 1)x

′(t) + (t + 1)x(t) = 0,

x(0) = −3, x′(1) = 0.

b) tx′′(t)− tx

′(t) + x(t) = 2t− t2,

x(0) = 0, x(1) = 7.

c) tx′′(t)− (2t + 1)x

′(t) + 2x(t) = 2t,

x(0) = 0, x(1) = 7.

d) Calculerx(1) etx(4) pourx(t) verifiant:x′′(t) + 2x

′(t) + x(t) = 2 + (t− 3)u(t− 3),

x(0) = 2, x′(0) = 1.

3. Resoudre les systemes suivantsa)x

′(t) + y

′(t) + 2y(t) = sin(t),

x′(t) + y

′(t)− x(t)− y(t) = 0,

x(0) = 3

b) x′′(t)− 2y

′(t) = e−t,

x′(t) + y

′(t) = 3e2t − e−t + 1,

x(0) = 2, y(0) = 2

4. Resoudre lesequations differentielles suivantes:a) ∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2 − 2 = 0, x > 0, t > 0,u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0 ∂u

∂t(x, 0) = 0, limx→∞ ∂u

∂x(x, t) = 0

b) ∂u∂x

+ 4∂u∂t

+ 8t = 0, x > 0, t > 0,limt→0u(x, t) = 0, limx→0u(x, t) = 2t2


15


4. Transformee Fourier

Introduction

Historiquement, les series de Fourrier tirent leur origine d’uneetude de l’equation des cordesvibrantes par Daniel Bernoulli (1753). Fourier les a beaucoup utilisees dans son ouvrage: Theorieanalytique de la chaleur (1822).

Definition 16. Soit f un fonction sectionnellement continue et la discontinuite est de premiereespece, verifiant la condition

∫ +∞−∞ |f(t)|dt < ∞, alors on a:

f(x) =1

2π

∫ +∞

−∞F (w)eiwxdw, F (w) =

∫ +∞

−∞f(v)e−iwvdv.

F (w) est appelee transformee de Fourier def(x) etf(x) transformee de Fourier inverse deF (w)dans ce cas,f(x) est dfinie sur(−∞,∞). De meme si0 < x < ∞ on a :

f(x) =2

π

∫ +∞

0

Fs(w)sin(wx)dw, Fs(w) =

∫ +∞

0

f(v)sin(wv)dv

Fs(w) est la transformee sinus de Fourier def(x), x > 0. On peut aussiecrire:

f(x) =2

π

∫ +∞

0

Fc(w)cos(wx)dw, Fc(w) =

∫ +∞

0

f(v)cos(wv)dv

Fc(w) est la transformee cosinus de Fourier def(x), x > 0.

Transformee de Fourier finies. Les transformee Fourier finies sont definiesa l’aide des sriessinus et cosinus de Fourier sur un intervalle(0, l).La transformee sinus finie de Fourier def(x) sur0 < x < l, est definie par:

f(x) =2

l

+∞∑0

Fs(n)sin(nπx

l)dx, Fs(n) =

∫ l

0

f(x)sin(nπx

l)dx

n est un entier positifLa transformee cosinus finie de Fourier def(x) sur0 < x < l, est definie par:

f(x) =1

lFc(0) +

2

l

+∞∑0

Fc(n)cos(nπx

l)dx, Fc(n) =

∫ l

0

f(x)cos(nπx

l)dx

Transformees de derivees. Nous allons obtenir une expression pour chacune des transformeesdes derivees premiere et seconde d’une fonctio,f en terme de la transformee correspondante def . Cest transformees de derivees seront utilises plus loin pour la solution de certainesequationsdiff erentielle partielle. On a alors:


16


Proposition 17. Transformee sinus finie:0 < x < ldef

′(x): −nπ

lFc(n)

def′′(x): −n2π2

l2Fs(n) + nπ

l((−1)n+1f(l) + f(0))

Transformee cosinus finie:0 < x < ldef

′(x): nπ

lFs(n)− (f(0)− (−1)nf(l))

def′′(x): −n2π2

l2Fc(n)− (f

′(0)− (−1)nf

′(l))

Transformee sinus finie:0 < x < ∞def

′(x): −wFc(w)

def′′(x): −w2Fs(w) + wf(0)

Transformee cosinus :0 < x < ∞def

′(x): wFs(w)− f(0)

def′′(x): w2Fc(w)− f

′(0)

Transformee de Fourier:−∞ < x < ∞def

′(x): iwF (w)

def′′(x): −w2F (w)

Exercices

1. Trouver la transformee de Fourier def(x) = 1, |x| < af(x) = 0, |x| > a

et utiliser ce resultat pourevaluer∫∞−∞

sin(wa)cos(wx)w

dw et, en particulier∫∞0

sin((u)u

du

2. a) sif(x) = e−x, 0 < x < l, trouverFs(n) etF − c(n).b) sif(x) = e−|x|, −∞ < x < ∞, trouverF (w).c) sif(x) = e−x, 0 < x < ∞, trouverFs(w) etFc(w) .d) utimiser le resultat de c) pour montrer que:∫∞0

xsin(mx)x2+1

dx = π2e−m, m > 0 et∫∞

0cos(mx)

x2+1dx = π

2e−m, m > 0

3. Trouverf(x) sia)Fs(n) = 1−cos(nπ)

n2π2 , 0 < x < π

b) Fc(n) =6(sin(nπ

2)−cos(nπ))

(2n+1)πn = 1, 2, ...

Fc(0) = 2π

et0 < x < 4

c) Fc(n) =cos( 2nπ

3)

(2n+1)2n = 0, 1, 2, ... et0 < x < 1

d) Fs(n) =cos( 2nπ

3)

(2n+1)2n = 0, 1, 2, ... et0 < x < 1


17


4. En utilisant seulement les espressions pour les transformees sinus et cosinus def′′(x) et ladefinition des transformees sinus et cosinus inverse, montrer que:e−kx = 2

π

∫∞0

wsin(wx)w2+k2 dw, x > 0, k > 0

e−kx = 2kπ

∫∞0

cos(wx)w2+k2 dw, x ≥ 0, k > 0

5. Equations aux Derivees Partielles. Solutiona l’aide des Trans-formees de Fourier

Une equation aux derivees partielles est uneequation impliquant une ou plusieurs derivees par-tielles d’une fonction de deux ou plusieurs variables independantes.Considerons le probleme

∂u

∂t=

∂2u

∂x2− 2u, 0 < x < l, t > 0

avec les conditions∂u

∂x(0, t) = 0,

∂u

∂x(l, t) = 0, u(x, 0) = x

Comme on s’interessea x entre0 et l, on pensea une transformee finie. Comme on connaıt laderivee par raportax ax = 0 etx = l, on utilisera la transformee cosinus par rapportax.Soit Fc(n, t) =

∫ l

0u(x, t)cos(nπx

l)dx. La transformee de∂2u

∂x2 est−n2π2

l2Fc(n, t) et celle de∂u

∂test

F′c(n, t). On obtient:

F′c(n, t) = (−n2π2

l2− 2)Fc(n, t)

dont la solution estFc(n, t) = Ae−(n2π2

l2−2)t orFc(n, 0) = A =

∫ l

0xcos(nπx

l)dx = l2

n2π2 ((−1)n−1)d’ou

Fc(n, t) =l2

n2π2((−1)n − 1)e−(n2π2

l2−2)t, n = 1, 2, ...

on a aussiFc(0, 0) =∫ l

0xdx = l2

2, Fc(0, t) = l2

2e−2t et la transformee inverse est :

u(x, t) =l

2e−2t +

2l

π2

∞∑n=1

((−1)n − 1)

n2e−(n2π2

l2−2)tcos(

nπx

l)

apres simplication il vient:

u(x, t) =l

2e−2t − 4l

π2

∞∑n=1

(1

(2n− 1)2e−(

((2n−1)2π2

l2−2)tcos(

(2n− 1)πx

l)

Considerons le probleme∂u

∂t= 4

∂2u

∂x2, x > 0, t > 0


18


avec les conditions

u(0, t) = 0, u(x, 0) = x2, 0 < x < 2, u(x, 0) = 0, x > 2

On pense donca la transformee sinus ou cosinus par rapporeta x. Comme on connaıt u(0, t), onpensea une transformee sinus de Fourier. On trouve comme solution:

u(x, t) =2

π

∫ ∞

0

(−4cos(2w)

w+

4sin(2w)

w2+

2cos(2w)− 2

w3)e−4w2tsin(wx)dw

Exercices

1. Utiliser dans chaque cas une transformee de Fourier dappropriee et resoudre le probleme.a)

∂u

∂t=

∂2u

∂x2, 0 < x < 4, t > 0

u(0, t) = 0, u(4, t) = 0, u(x, 0) = 2x

b)∂u

∂t=

∂2u

∂x2, x > 0, t > 0

∂u

∂x(0, t) = 0, u(x, 0) = x, 0 < x < 1, u(x, 0) = 0, x > 1

c)∂u

∂t=

∂2u

∂x2, 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, u(x, 0) = a, a ∈ Rd)

∂u

∂t=

∂2u

∂x2+ 2x, 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 0, u(1, 0) = 0, u(x, 0) = x− x2, 0 < x < 1

e)∂u

∂t= 4

∂2u

∂x2, 0 < x < 4, t > 0

∂u

∂x(0, t) = 0,

∂u

∂x(4, t) = 0,

u(x, 0) = 3x, 0 < x < 2, u(x, 0) = 12− 3x, 2 < x < 4

2. Resoudre le probleme∂2u

∂t2+

∂4u

∂x4= 0, 0 < x < 2, t > 0

u(0, t) = 0, u(2, t) = 0,∂2u

∂x2u(0, t) = 0,

∂2u

∂x2u(2, t) = 0

u(x, 0) = 0,∂u

∂t(x, 0) = sin(x),


19


3. Une feuille de metal d’epaisseur10 cm eta une temperature de1000C est immergee dans unbain d’huilea150C. Supposons la feuille suffisammment grande pour que la perte de chaleurseu le contour soit negligeable. La temperatureT a une distancex d’une face de la feuille autempst satisfait l’equation∂T

∂t= α∂2T

∂x2 , α = 0.8cm2/sec est la diffusion thermique. Calculerla temperature au centre de la feuille apres10 seconde.

References[1] Real Gelinas, Equations diffrentielles et Transformee de Laplace, Leseditions SMS, Mathematiquespour Ingenieurs et Scientifique.[2] Real Gelinas, Suites et Series et Transformee de Fourier, Variables complexes, LeseditionsSMS, Mathematiques pour Ingenieurs et Scientifique.


20

Documents

Taik Cours3 TL TF