TB Onde Stationnaire

Rfrence : Marc Sguin, Physique XXI Volume C Page 1 Note de cours rdige par : Simon Vzina

Chapitre 1.12a Les ondes stationnaires

Onde stationnaire

Une onde stationnaire est le nom que porte laddition de deux ondes de frquence identique se propageant dans un milieu dans des directions diffrentes. Le rsultat de laddition produit une onde immobile (onde qui ne se dplace pas vers la gauche ni vers la droite) dans le milieu. Le milieu vibre alors de faon stationnaire do le nom onde stationnaire provient.

Caractristique dune onde stationnaire

Une onde stationnaire se caractrise par les lments suivants : ( vT= ) Ventre : Endroit o lamplitude de loscillation du milieu est maximale. Nud : Endroit o lamplitude de loscillation du milieu est nulle. Vitesse du milieu (v) : Vitesse des ondes progressives produisant londe stationnaire. Priode (T) : Temps pour effectuer un cycle complet. Demi longueur donde ( 2/2/1 = ) : Distance entre deux nuds ou deux ventres conscutifs.

Noeud Ventre

2/1 2/1


Onde stationnaire par rflexion

laide dun oscillateur, il est possible de crer une onde stationnaire sur une corde tendue. On attache une extrmit de la corde loscillateur et lautre extrmit une interface (mur ou anneau). Londe se dplaant vers la droite sera londe produite par loscillateur et londe se dplaant vers la gauche sera londe rflchie par linterface. Corde fixe un mur : (rflexion dure extrmit droite fixe) Temps : 0=t (aucun dplacement) Temps : Tt = (dplacement de )

Onde rouge :

Onde bleu :

Onde stationnaire : (forme de la corde)

Onde rouge :

Onde bleu :


Temps : 4/TTt += (dplacement de 4/5 ) Temps : 2/TTt += (dplacement de 2/3 )

Onde rouge :

Onde bleu :


Onde rouge :

Onde bleu :



Corde fixe un anneau : (rflexion mole extrmit droite libre) Temps : 0=t Temps : Tt = (dplacement de )

Onde rouge :

Onde bleu :


Onde rouge :

Onde bleu :


Temps : 4/TTt += (dplacement de 4/5 ) Temps : 2/TTt += (dplacement de 2/3 )

Onde rouge :

Onde bleu :


Onde rouge :

Onde bleu :


On remarque :

Prs dun mur (rflexion dure), londe stationnaire commence par un nud. Prs dun anneau (rflexion mole), londe stationnaire commence par un ventre.


Superposition donde stationnaire

Lorsque plusieurs ondes stationnaires sont prsentes dans un milieu, le milieu se comporte en superposant lensemble des ondes stationnaires. La forme peut tre trs varie et dpend du nombre dondes stationnaires, de leur longueur donde et de leur dphasage.

Analysons la superposition de deux ondes stationnaires ayant les caractristiques suivantes :

Amplitude identique Priode identique Onde progressive de mme vitesse Longueur donde identique ( vT= ) Onde stationnaire sinusodale

Dcalage : aucun ou (dphasage de 0 ou 2pi)

Amplification maximale de londe stationnaire

Dcalage : 4/ (dphasage de pi/2)

Petite amplification de londe stationnaire

Dcalage : 2/ (dphasage de pi)

Annihilation de londe stationnaire

Dcalage : 4/3 (dphasage de 3pi/2)

Petite amplification de londe stationnaire

On remarque : ( : dcalage spatial) N= , N (multiple de ) Amplification maximale 2/ += N , N (multiple de plus 2/ ) Annihilation complte quelconque= Amplification mineure

Lorsque les amplitudes ne sont pas gales, on ne retrouve plus une onde stationnaire globale de forme sinusodale : (dcalage de 4/ )


Onde stationnaire sur une corde fixe un mur

Lorsquune corde stimule par un oscillateur est attache un mur, il se produit beaucoup de superpositions dondes stationnaires, car les ondes ayant subit une rflexion dure sur le mur subissent nouveau une rflexion dure sur loscillateur (on suppose que lamplitude de loscillateur est faible). Le dcalage entre toutes ces ondes stationnaires dpend de la longueur de la corde. Il y a deux types de longueur de corde :

1) Longueur multiple de / 2 : (2NL = , N )

Nombre pair de / 2 : (Dessin aprs un temps de 8T) Temps : 0=t Temps : Tt =

Onde oscillateur :

Onde oscillateur :

Onde rflexion mur :

Onde rflexion mur :

Onde rflexion oscillateur :




Nombre impair de / 2 : (Dessin aprs un temps de 7T) Temps : 0=t Temps : Tt =

Onde oscillateur :

Onde oscillateur :

Onde rflexion mur :

2/

Onde rflexion mur :

2/


2/


2/

Onde stationnaire : (forme de la corde) 2/


Explication : La formation de londe stationnaire se termine exactement sur un nud lendroit o loscillateur est situ. Ainsi, londe progressive formant cette onde stationnaire (bleu) rflchie sur loscillateur (verte) et devient identique londe produite par loscillateur (rouge). Cette nouvelle onde formera alors une onde stationnaire identique la prcdente sans dcalage. Il y a donc une amplification maximale.


Lorsque la corde possde une longueur qui est un multiple de / 2, la corde vibre dans un mode stationnaire unique et lamplitude peut augmenter beaucoup plus que lamplitude de loscillateur, car il y a de la superposition constructive entre toutes les ondes stationnaires. Lamplitude maximale de la corde dpend de llasticit de la corde et du rythme de perte dnergie par frottement dans la corde.

Nous pouvons tablir la relation suivante entre la frquence de loscillateur, la longueur de la corde et le nombre de ventre. Le mode doscillation N de la corde est dtermin par le nombre de ventres observs dans londe stationnaire :

2NL = NL =2 (Multiplication par 2)

( )vTNL =2 (Remplacer, vT= )

( )LvN

T 21

= (Isoler T/1 )

LvNf

2= (Remplacer, Tf /1= )

LvNf N 2= (Frquence du N

ime mode doscillation, N )

Exemple : Observation de 3 modes doscillation dune corde ayant les caractristiques

Longueur : m2,1=L Calcul de la densit : kg/m0833,0/ == Lm Masse : kg1,0=m Calcul de la vitesse : m/s120/ == Fv Tension : N1200=F

1ier mode 2ime mode 3ime mode

( ) ( )( ) Hz502,1212011 ==f ( ) ( )( ) Hz1002,12

12022 ==f ( ) ( )( ) Hz1502,1212033 ==f

Premier mode

f1 = 50 Hz

Deuxime mode

f2 = 2f1 =100 Hz

Troisime mode

f3 = 3f1 =150 Hz

2) Longueur quelconque : ( quelconqueL = ) Lorsque la corde possde une longueur quelconque, les ondes stationnaires sont dcales entre elles ce qui produit de la superposition destructive partielle. La corde aura donc une amplitude comparable lamplitude de loscillateur. Exemple :


Onde stationnaire sur une corde fixe un anneau

Reprenons la dmonstration prcdente en effectuant maintenant une rflexion molle laide dune corde fixe un anneau pouvant bouger seulement verticalement. Le dcalage entre toutes les ondes stationnaires dpend encore une fois de la longueur de la corde et nous observons nouveau deux types de comportement pour deux types de longueur de corde :

1) Longueur multiple de / 2 plus / 4 : (42

+= NL , N ) Nombre pair de / 2 : (Dessin aprs un temps de 6,5T) Temps : 0=t Temps : Tt =

Onde oscillateur :

Onde oscillateur :

Onde rflexion mur :

4/

Onde rflexion mur :

4/


4/


4/

4/ Onde stationnaire : (forme de la corde)


Nombre impair / 2 : (Dessin aprs un temps de 7,5T) Temps : 0=t Temps : Tt =

Onde oscillateur :

Onde oscillateur :

Onde rflexion mur :

2/

4/

Onde rflexion mur :

2/

4/


2/

4/


2/

4/


4/


4/

Comme dans le cas de la corde fixe un mur, londe qui rflchie sur loscillateur (bleu) produit une onde (verte) en phase avec londe produite par loscillateur (rouge) ce qui produit des ondes stationnaires en interfrence constructive.


Nous pouvons tablir la relation suivante entre la frquence de loscillateur, la longueur de la corde et le nombre de ventre. Nous voulons que le mode doscillation N de la corde soit dtermin par le nombre de ventres observs dans londe stationnaire. Par contre, le premier mode est accessible sans ventre :

42

+= NL 2

2 += NL (Multiplication par 2)

+=

212 NL (Factoriser )

( )vTNL

+=

212 (Remplacer, vT= )

LvN

T 2211

+= (Isoler T/1 )

LvNf

221

+= (Remplacer, Tf /1= )

LvNf N 22

1

+=

(Frquence du Nime mode doscillation, *N )

Pour respecter la dfinition de la variable N (N mode doscillation), il est prfrable dcrire lquation prcdente sous la forme suivante :

LvNf N 22

1

= o N , Nime mode doscillation

Exemple : Observation de 3 modes doscillation dune corde ayant les caractristiques

Longueur : m2,1=L Calcul de la densit : kg/m0833,0/ == Lm Masse : kg1,0=m Calcul de la vitesse : m/s120/ == Fv Tension : N1200=F

1ier mode 2ime mode 3ime mode

( ) ( )( ) Hz252,12120

2111 =

=f ( ) ( )( ) Hz752,12

1202122 =

=f ( ) ( )( ) Hz1252,12

1202133 =

=f

Premier mode

f1 = 25 Hz

ventre

Deuxime mode

f2 = 3 f1 = 75 Hz

Troisime mode

f3 = 5 f1 = 125 Hz

2) Longueur quelconque : ( quelconqueL = ) Lorsque la corde possde une longueur quelconque, les ondes stationnaires sont dcales entre elles ce qui produit de la superposition destructive partielle. La corde aura donc une amplitude comparable lamplitude de loscillateur.


Onde stationnaire dans un tuyau

Il est possible de produire des ondes stationnaires dans un tuyau grce aux molcules dair qui transportent les ondes longitudinales. Lorsquune onde atteint une des extrmits du tuyau, elle peut entrer en contact avec une surface ferme o une section ouverte. La rflexion de londe due un changement dinterface respecte les rgles suivantes :

1) Section ferme Rflexion dure (avec inversion) 2) Section ouverte Rflexion molle (sans inversion)

Ainsi, nous pouvons retrouver les diffrents modes de vibration suivants selon les diffrentes combinaisons douvertures : (Amplitude du mouvement horizontal)

Premier mode

Deuxime mode

Troisime mode

Modes de rsonance dun tuyau ferm-ferm (ferm aux deux extrmits)

(Longueur multiple de / 2)

Premier mode

Deuxime mode

Troisime mode

Modes de rsonance dun tuyau ferm-ouvert

(Longueur multiple de / 2 plus / 4)

Premier mode

Deuxime mode

Troisime mode

Modes de rsonance dun tuyau ouvert-ouvert

(Longueur multiple de / 2 )

Nous pouvons utiliser les mmes rgles que celles utilises avec la vibration dune corde afin dtablir la frquence des diffrents modes de vibration de lair en fonction de la longueur du tuyau et de ses types ouvertures.


Rsonance

La rsonance est lexcitation dun systme avec une frquence gale la frquence naturelle doscillation du systme. Lorsquun systme possde plusieurs frquences naturelles (ex : corde, tuyau), on identifie chaque frquence naturelle (valeur propre) un mode doscillation (mode propre). Lorsquun systme entre en rsonance, lamplitude associe au mouvement du milieu est amplifie. Lamplitude atteindra une valeur maximale lorsque le rythme auquel lappart en nergie est donne au milieu est gal au rythme auquel le milieu dissipe son nergie ( ex : frottement, dgagement de chaleur).

Longueur multiple de / 2 Situation quation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Corde fixe un mur

2NL =

LvNf N 2=

N , (Nime mode doscillation)

Tuyau ferm-ferm

Tuyau ouvert-ouvert

Longueur multiple de / 2 plus / 4 Situation quation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Corde fixe un anneau

( )42

1 += NL

LvNf N 22

1

=

N , (Nime mode doscillation)

Tuyau ferm-ouvert

Dfinitions des paramtres :

Nf : Frquence de rsonance du Nime mode (Hz ou 1s ) N : Numro du mode de rsonance ( { },...4,3,2,1N ) v : Vitesse de propagation des ondes dans le milieu (m/s) L : Longueur du milieu o il y a londe stationnaire (m) : Longueur donde produite par la frquence de stimulation (m) ( fv /= )


Situation 4 : Lamplification du son par rsonance. En faisant vibrer un diapason (f = 440 Hz) au-dessus dun cylindre gradu de 1 m de hauteur partiellement rempli deau, on saperoit que le son rsultant est plus intense lorsque la hauteur de leau dans le cylindre possde certaines valeurs bien prcises. On dsire les dterminer. (Le module de la vitesse du son est gal 340 m/s. On nglige les effets de bord).

Lamplification du son sera prsente lorsque le cylindre vibrera en rsonance sous la prsence du diapason (oscillateur). valuons la longueur du tuyau requis pour exciter les diffrents modes de rsonance.

Puisque le tuyau est ouvert (contact avec lair) et ferm (contact avec leau), nous utiliserons lexpression suivante :

NN L

vNf22

1

=

o NL : Longueur pour le Nime

mode

L1

L2

L3 H1

H2

H3

1 m

440 Hz

Pour 1=N : 1

1 2211

Lvf

= ( ) ( )

12340

21440

L= m193,01 =L

Pour 2=N : 2

2 2212

Lvf

= ( ) ( )

22340

23440

L= m580,02 =L

Pour 3=N : 3

3 2213

Lvf

= ( ) ( )

32340

25440

L= m966,03 =L

Ainsi, nous pouvons valuer la colonne deau ncessaire grce la hauteur de notre tuyau initial de 1 m :

LH = 1 ( )193,011 =H m807,01 =H

( )580,012 =H m420,02 =H

( )966,013 =H m034,03 =H


Les effets de bord

Dans un tuyau rel, les conditions aux frontires ne sont pas toujours respectes entirement, car :

une section ferme peut quand mme osciller avec une petite amplitude. une section ouverte nest jamais parfaitement ouverte.

Pour valuer la longueur donde de londe stationnaire et ainsi dterminer le mode de rsonance, il est prfrable dvaluer la distance entre deux nuds conscutifs et dvaluer 2/ . Mesurer la distance entre une frontire et le premier nud devient alors une estimation de la longueur donde .

Mesure idale : Distance entre deux nuds conscutifs 2/ =

Mesure approximative : Distance entre une ouverture ferme et le 1er nud 2/ Distance entre une ouverture ouverte et le 1er nud 4/

Exemple : 4ime mode de rsonance dun tuyau rel ouvert-ferm

4/ 2/ 2/

2/


Diffrentes situations de rsonance

Voici diffrentes situations o un milieu entre en rsonance : Table vibration : (nuds situs o le sable se retrouve)

Leffondrement du pont de Tocama1 en 1940 (tat-Unis) : (vitesse du vent : 67 km/h)

Instruments de musique

Vibration dune corde (vibration indirect de lair) :

Guitare (Corde pince) Piano (Corde frappe)

Violon (Corde frotte)

Vibration direct de lair avec longueur de tuyau variable :

Flte de pan

Flte bec

Trombone

1 Dautres thories proposent une autre explication leffondrement du pont de Tacoma quune excitation

dun mode de torsion du pont par rsonance (stimulation la frquence propre du mode de vibration).

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