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Premiere Scientifique - 1ère S - 11th grade Fonctions de référence 1 TD 1 (4 PAGES ) Activité 1 PARTIE A : Etude d’un exemple historique Le mathématicien arabe du IXème siècle Muhammad Ibn Musa, surnommé AL-KHWARIZMI, a posé et résolu géométriquement le problème suivant : « Trouver un nombre tel que le carré et dix racines égalent 39 unités ». On peut traduire cet énoncé par l’équation : ! + 10 = 39, soit ! + 10 39 = 0. On considère l’article ci-dessous : DROCHON Sébastien (2005, juillet) : « le défi des nombres imaginaires » Fusion, n°105, p.6

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Premiere Scientifique - 1ère S - 11th grade Fonctions de référence

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TD 1 (4 PAGES) Act iv i té 1

PARTIE A : Etude d’un exemple h istor ique

Le mathématicien arabe du IXème siècle Muhammad Ibn Musa, surnommé AL-KHWARIZMI, a posé et résolu

géométriquement le problème suivant : « Trouver un nombre tel que le carré et dix racines égalent 39 unités ».

On peut traduire cet énoncé par l’équation 𝐸 : 𝑥! + 10𝑥 = 39, soit 𝑥! + 10𝑥 − 39 = 0.

On considère l’article ci-dessous :

DROCHON Sébastien (2005, juillet) : « le défi des nombres imaginaires » Fusion, n°105, p.6

Premiere Scientifique - 1ère S - 11th grade Fonctions de référence

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1) Analyse de l ’ar t ic le :

a) A partir du paragraphe 4, une méthode géométrique de résolution d’équations est décrite. Faites les figures

correspondant aux différentes étapes de cette résolution. Vous annoterez ces figures et numéroterez les étapes

afin d’illustrer la résolution. Vous indiquerez les nouvelles équations obtenues à chaque étape.

b) Quelle est alors la solution de 𝑥! + 10𝑥 = 39 trouvée par AL-KHWARIZMI ?

c) A l’aide de la calculatrice, déterminez le nombre de solution de 𝑥! + 10𝑥 = 39 ? Ceci correspond-il au résultat

trouvé par AL-KHWARIZMI ? Comment l’expliquez-vous ?

d) En vous inspirant de la méthode décrite ci-dessous, résoudre le problème « Un carré plus

quatre fois sa racine est de 12 unités. Trouvez un tel carré. »

2) Méthode géométr ique : la résolution proposée par AL-KHWARIZMI s’appuie sur la figure ci-

contre ou ABCD est un carré de côté inconnu, noté 𝑥 𝑥 > 0 , CFIG est un carré de coté 5,

DCGH et CBEF sont des rectangles.

a) En considérant les aires, expliquer pourquoi l’équation 𝐸 peut s’écrire 𝑥 + 5 ! − 25 = 39.

b) Quelle est la valeur de 𝑥 calculée par AL-KHWARIZMI ?

c) Quel type d’équation peut- on résoudre à l’aide de cette méthode ?

3) Méthode algébr ique : en modifiant le membre de gauche de l’équation 𝐸 , on va obtenir une équation que l’on

sait résoudre. En considérant 𝑥! + 10𝑥, on reconnaît le début du développement de 𝑥 + 5 !.

En effet, on a 𝑥 + 5 ! = 𝑥! + 10𝑥 + 25. On en déduit que 𝑥! + 10𝑥 = 𝑥 + 5 ! − 25.

Ainsi, l’équation 𝐸 est équivalente à 𝑥 + 5 ! − 25 − 39 = 0, c’est à dire 𝑥 + 5 ! − 64 = 0 𝐸! .

On dit 𝑥 + 5 ! − 64 est la forme canonique de 𝑥! + 10𝑥 − 39.

Factoriser le premier membre de 𝐸′ , puis résoudre l’équation.

4) Résoudre l ‘équation 𝑥! + 12𝑥 = 85 en utilisant la méthode algébrique vue à la question 3).

PARTIE B : Autres exemples d’ut i l isat ion de la forme canonique

1) Soit 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies sur ℝ par 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 5𝑥 + 6 et 𝑔 𝑥 = 𝑥! − 6𝑥 + 13.

a) En utilisant la méthode vue dans la PARTIE A, déterminer les formes canoniques de 𝑓(𝑥) et 𝑔 𝑥 .

En déduire le minimum sur ℝ de la fonction 𝑓 puis celui de la fonction 𝑔.

b) Factoriser 𝑓(𝑥) puis résoudre l’équation 𝑓 𝑥 = 0.

c) Pourquoi l’équation 𝑔 𝑥 = 0 n’a-t-elle pas de solution ?

2) Soit ℎ et 𝑖 les fonctions définies sur ℝ par ℎ 𝑥 = 2𝑥! − 𝑥 − 10 et 𝑖 𝑥 = −3𝑥! − 3𝑥 + 7.

a) Déterminer les formes canoniques de ℎ(𝑥) et 𝑖 𝑥 .

En déduire le minimum sur ℝ de la fonction ℎ puis celui de la fonction 𝑖.

b) Résoudre les équations ℎ 𝑥 = 0 et 𝑖 𝑥 = 0.

3) Vérifier les résultats trouvés aux questions 1) et 2) en traçant les représentations graphiques des fonctions 𝑓,𝑔, ℎ, 𝑖 à

l’aide d’une calculatrice graphique.

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Exercice 1

Parmi les expressions proposées, reconnaître les

trinômes du second degré. Dans ce cas, préciser leurs

coefficients.

a) 6𝑥! − 2𝑥 + 7

b) 2𝑥 − 4

c) 3𝑥! − 2𝑥

d) !!!!!!!!

e) 2𝑥 − 1 7 − 𝑥 4𝑥 + 2

f ) 2 𝑥 − !!

!− 5

g) 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 + 2 − 𝑥!

h) !!!!!!

i ) 2𝑥! − 𝑥 + 1

j ) 𝑥! − 𝑥 5 − 3

k ) !!!!!!!!!!!!

l ) 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 − 𝑥!

Exerc ice 2

Déterminer la forme canonique de chaque

trinôme.

a) 𝑥! − 6𝑥 + 2

b) 4𝑥! − 3

c) 3𝑥! − 12𝑥 + 21

d) −𝑥! + 4𝑥 − 3

e) 𝑥! − 6𝑥 + 9

f ) 2𝑥! + 𝑥 + 1

g) −3𝑥! + 𝑥

h) 2𝑥! − 4𝑥 2 − 7

Exerc ice 3

Soit 𝑓 la fonction définies sur ℝ par

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 ! − 3𝑥 − 2 !

1) Déterminer la forme développée et réduite de

𝑓 𝑥 .

2) Déterminer une forme factorisée de 𝑓 𝑥 .

3) Déterminer la forme canonique de 𝑓 𝑥 .

4) Répondre aux questions suivantes en choisissant

la forme de 𝑓(𝑥) la plus adéquate pour résoudre

le problème posé :

a) Calculer les images par 𝑓 de 0 ; 5 ; !! ;

1 + 2.

b) Trouver l’extremum de 𝑓 sur ℝ.

c) Résoudre l’équation 𝑓 𝑥 = 0.

d) Résoudre l’inéquation 𝑓 𝑥 ≤ 0.

e) Tracer l’allure de la courbe représentative de

𝑓.

Exerc ice 4

Soit 𝑔 la fonction définies sur ℝ par

𝑔 𝑥 = 4 𝑥 − 1 ! − 3(𝑥! − 𝑥 − 1)

1) Déterminer la forme développée et réduite de

𝑔 𝑥 .

2) Peut-on factoriser de 𝑔 𝑥 .

3) Déterminer la forme canonique de 𝑔 𝑥 .

4) Répondre aux questions suivantes en choisissant

la forme de 𝑔(𝑥) la plus adéquate pour résoudre

le problème posé :

a) Calculer les images par 𝑔 de 0 ; 3 ;

2 + 3.

b) Trouver l’extremum de 𝑔 sur ℝ.

c) Résoudre l’équation 𝑔 𝑥 = 0.

d) Résoudre l’inéquation 𝑔 𝑥 ≥ 0.

e) Tracer l’allure de la courbe représentative de

𝑔.

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Exercice 5

Sur un segment [AB] de longueur 10, on place un point M puis on construit des carrés de côtés respectifs [AM] et

[MB]. On note 𝑥 la longueur AM et 𝒜(𝑥) la somme des aires des deux carrés.

1) Déterminer 𝒜(𝑥) puis en donner la forme canonique.

2) Déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que 𝒜(𝑥) soit minimale.

Exercice 6

On considère un rectangle ABCD et quatre points I, J, K, L situés respectivement sur es côtés [AB], [BC], [CD], [DA],

tels que AI = BJ = CK = DL.

1) Démontrer que IJKL est un parallélogramme.

2) Déterminer la position du point I sur le côté [AB] pour que l’aire du parallélogramme IJKL soit minimale dans chacun

des cas suivants :

f ) BC = 2AB

BC = 3AB