Analyse Numrique 1 L2- 2iE Semestre 4 2010-2011

TD N1TD N1TD N1TD N1 ---- Calculs derreurCalculs derreurCalculs derreurCalculs derreurs s s s Arithmtique flottanteArithmtique flottanteArithmtique flottanteArithmtique flottante Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : : : : Notation Notation Notation Notation flottanteflottanteflottanteflottante Etant donn un rel, lcriture flottante de a note fl(a) est telle que : fl(a) = $m.10n avec m =m =m =m =0.0.0.0.d1 d2d1 d2d1 d2d1 d2.ds.ds.ds.ds (les di sont des entiers naturels compris entre 0 et 9 tels que : d1 0; n est un entier relatif compris entre -307 et +308 en prcision double)

i. Ecrire 98.17, -100.987, 0.0057869, -13600 en notation flottante 10-4 prs. ii. Ecrire -0.00286403, 11.25845, -31681.55 en notation flottante 10-6 prs.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 . . . . Les rglesLes rglesLes rglesLes rgles de lde lde lde laaaarithmtique rithmtique rithmtique rithmtique flottanteflottanteflottanteflottante

AAAAdditiondditiondditionddition : : : : xxxx 9 y = fl( fl(x)+fl(y)y = fl( fl(x)+fl(y)y = fl( fl(x)+fl(y)y = fl( fl(x)+fl(y))))) SoustractionSoustractionSoustractionSoustraction : x : x : x : x < y = y = y = y = fl(fl(fl(fl(fl(x)fl(x)fl(x)fl(x) fl(fl(fl(fl(y)y)y)y))))) MultiplicationMultiplicationMultiplicationMultiplication : x: x: x: x > y = fl( fl(x)y = fl( fl(x)y = fl( fl(x)y = fl( fl(x)?fl(y))fl(y))fl(y))fl(y)) Division : x Division : x Division : x Division : x @ y = fl(y = fl(y = fl(y = fl(fl(x)fl(x)fl(x)fl(x)Afl(y)fl(y)fl(y)fl(y)))))

1. Montrer que laddition flottante nest pas associative 2. Quen est-il de la distributivit de la multiplication par rapport de laddition ? Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 i. Calculer D.EFGGE

(HI.JFKLHI.IMJ) 10-5 prs, puis arrondir le rsultat obtenu 4, 3 et 2 dcimales

significatives. ii. Dans la question prcdente, le quotient est de la forme N

(OLP)

a. Lcrire sous la forme N(OQP)(ORLP)

. Faire le calcul 10-5 prs.

b. Arrondir le numrateur 12.996 et le dnominateur 0.028. Comparer tous les rsultats obtenus et commenter.

Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4 Exercice 4 PePePePerte de significativitrte de significativitrte de significativitrte de significativit : cas dune : cas dune : cas dune : cas dune quation du second degr quation du second degr quation du second degr quation du second degr

Par dfinition, lorsque le rsultat obtenu lissue dune opration a moins de dcimales significatives que les nombres partir desquels il a t calcul, on dit quil y a une perte de significativit des dcimales. Soit lquation quadratique (E) : a x + b x + c = 0 avec a 0 et b-4ac > 0

Les 2 solutions exactes de (E) sont de la forme LO$ORLGNP

KN (*). Notons x1 la plus grande solution

de ( E) , comme x1 . x2 = c/a, la seconde solution x2 peut scrire sous la forme x2 = P

NZ[ (**)

1. Rsoudre x - 40x +2 = 0 de deux manires diffrentes 10-4 prs : a. dterminer x1 et x2 en utilisant ( *) b. dterminer la plus grande racine de lquation (on la note x1) en utilisant (*),

puis utiliser (**) pour calculer x2 c. Comparer et commenter les rsultats obtenus. d. Si dans la mthode dcrite en b) on avait dabord calcul la plus petite racine

puis dduit la seconde en utilisant (**), aurait on obtenu le mme rsultat le choix des variables

Refaire le calcul avec 3 et 2 dcimales significatives. Conclure

2. Rsoudre x - 20x +1 = 0 de deux manires diffrentes 10-6 prs. Refaire le calcul avec 4, 3 et 2 dcimales significatives. Conclure.

Analyse Numrique 1 L2- 2iE Semestre 4 2010-2011

3. Mmes questions pour x + 100x + 2 = 0. Faire le calcul avec 5, puis 4 et 2 dcimales significatives.

ExerciceExerciceExerciceExercice 5 5 5 5 ---- Approximations de Approximations de Approximations de Approximations de pipipipi = 3.141 592= 3.141 592= 3.141 592= 3.141 592 653653653653 589 79589 79589 79589 79 Les approximations de pipipipi = 3.141 592= 3.141 592= 3.141 592= 3.141 592 653653653653 589 79589 79589 79589 79 sont 22/ 7 et 355/113. Dterminer les erreurs commises 10-3 prs Faire de mme pour les erreurs relatives

EEEErreur absoluerreur absoluerreur absoluerreur absolue (ou erreur) (ou erreur) (ou erreur) (ou erreur) = valeur relle = valeur relle = valeur relle = valeur relle valeur approchevaleur approchevaleur approchevaleur approche

ErreurErreurErreurErreur relative (ou taux derreur) = erreur absoluerelative (ou taux derreur) = erreur absoluerelative (ou taux derreur) = erreur absoluerelative (ou taux derreur) = erreur absolue/valeur relle/valeur relle/valeur relle/valeur relle Exercice 6Exercice 6Exercice 6Exercice 6 Calculer 1/e = 0.367879 ( 10-6 prs) partir des sommes partielles de 5 10 termes du dveloppement en srie de Taylor de

a. e-x en x=1 b. ex en x= 1 et passage linverse

Quelle est la mthode la plus efficace ? (la notation e dsigne lexponentielle) Exercice Exercice Exercice Exercice 7777 Overflow et underflowOverflow et underflowOverflow et underflowOverflow et underflow Ces situations de dpassement peuvent tre vites par un simple changement de formule. Expliquer ce constat en utilisant `K + aK = `b1 + (a/`)K avec `K c aK de ` suffisamment grand pour causer un dpassement (overflow). Comment peut-on viter ces 2 situations ? Exercice 8 Exercice 8 Exercice 8 Exercice 8

1. Laddition flottante nest pas associative. Trouver une rgle empirique qui dfinit le meilleur ordre pour additionner 2 nombres

2. Dans quel cas la propagation de lerreur est la plus grande a. arrondir puis additionner des nombres b. additionner puis arrondir le rsultat

Exercice 9Exercice 9Exercice 9Exercice 9 Forme emboteForme emboteForme emboteForme embote Soit f(x) = x3 +7.5 x +11.2 x +2.8 = ((x-7.5)x+11.2)x+2.8. La deuxime criture de f est dite embote (nested form )

1. Estimer 10-3 prs f(x) en x = 3.94 de 2 manires 2. Comparer les erreurs relatives commises

NB : La forme embote est souvent la plus prfrable car elle minimise le nombre doprations effectuer et par consquent les erreurs darrondis.