TD 14 : Énergétique du point matériel · Tony adepte du skateboard, assimilé à un point matériel M de masse m, se lance sans vitesse initiale depuis le point A d’une rampe,

LYCÉE JEAN BART PHYSIQUE - PCSI

I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours

1) Monter que le travail d'une force dépend en général du trajet effectivement suivi.

2) Calculer le travail du poids. Que remarquez-vous ?

3) Établir les théorèmes de la puissance cinétique et de l'énergie cinétique.

4) Qu'appelle-t-on force conservative ? Déterminer l'énergie potentielle associée au poids.

5) Rappeler le théorème de l'énergie mécanique. Dans quel cas se conserve-t-elle ?

6) Illustrer à l'aide d'un schéma les positions d'équilibre d'un système. Discuter de leur stabilité.

7) A partir du profil d'énergie potentielle, tracer le portrait de phase du pendule simple.

II. Questions de réflexion – Physique pratique

1) Skieur

Un skieur de masse m = 80 kg skie sans frotter sur la neige et effectue un dénivelé de h = 15 m.

Sachant qu'il est parti à l'arrêt, quelle vitesse atteint-il ?

2) Saut à la perche

D'un point de vue énergétique, expliquer le principe du saut à la perche.

Sachant qu'un athlète peut acquérir la vitesse de 10 m.s-1, quelle hauteur peut-il espérer sauter ?

Commenter sachant que le record est de 6,17 m.

3) Molécule de HCl

a) La fréquence de vibration de la molécule HCl est υ = 8,7.1013 Hz.

Que vaut la raideur du ressort équivalent agissant sur l'atome d'hydrogène ? On donne mH = 1,7.10-27 kg

b) Que dire de la fréquence de vibration de DCl (D est le deutérium, isotope de l'hydrogène dont le

noyau comporte un proton et un neutron) ?

III. Exercices d'entraînement

1) Distance de freinage d'une voiture

Une voiture de masse m = 1,5.103 kg roule à la vitesse de 50 km.h-1 sur une route horizontale.

Devant un imprévu, le conducteur écrase la pédale de frein et s'arrête sur une distance d = 15 m.

On modélise la force de freinage par une force constante opposée à la vitesse.

1. Calculer le travail de la force de freinage.

2. En déduire la norme de cette force.

3. Quelle distance faut-il pour s'arrêter si la vitesse initiale est de 70 km.h-1 ?

4. Commenter cette phrase relevée dans un livret d'apprentissage de la conduite :

« La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile »

TD 14 : Énergétique du point matériel


2) Distance de freinage d'une moto

Avant l'achat de sa future moto, Joe (de masse m = 70 kg) teste une moto (de masse m' ) sur une route

rectiligne et horizontale.

A partir d'un instant t = 0 où sa vitesse est v⃗0=v0 e⃗ x , il freine de façon constante jusqu'à l'arrêt de la

moto. L'action conjointe des freins et de la roue peut être modélisée comme une force de frottement

solide, colinéaire et de sens contraire à la vitesse et de norme constante F (indépendante de la vitesse).

1. Par application du théorème de l'énergie cinétique, calculer la distance de freinage d, c'est à dire la

distance parcourue par la moto jusqu'à l'arrêt.

2. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, déterminer l'équation horaire du mouvement

de la moto. De quel type de mouvement s'agit-il ?

3. Les essais ont donné les valeurs suivantes :

m' (kg) v0 (km.h-1) d (m)

Suzuki XF650

16290 39

130 79

YamahaR1

20690 34

130 71

Ces valeurs confirment-elles la relation précédente ?

Déterminer pour les deux motos la norme F de la force de freinage, et celle de l'accélération subie par

le motard pendant le freinage. Comparer à g = 9,8 m.s-2


3) Étude du « loop of the death »

Tony adepte du skateboard, assimilé à un point matériel M de masse m, se lance sans vitesse initiale

depuis le point A d’une rampe, situé à une hauteur h au dessus de O, point le plus bas de la rampe.

A partir de O la rampe a une forme cylindrique de rayon a : le skateur peut rouler à l’intérieur de ce

cylindre en restant dans le plan vertical (Oxy), et éventuellement faire le tour complet.

Le contact est sans frottement sur toutes les surfaces.

On note :

g⃗=−g e⃗y l’intensité du champ de pesanteur

Terrestre,

et on désigne par e⃗r=C⃗MCM

le vecteur unitaire

radial par rapport au cercle.

1. Déterminer la norme v0 de la vitesse du skateur lorsqu’il arrive au point O.

2. Déterminer la norme v de la vitesse du skateur en un point M quelconque du cercle, repéré par

l’angle θ(t) .

3. Montrer que la réaction exercée par le support cylindrique sur le skateur vaut :

R⃗=−m g (2ha

+3cosθ−2) e⃗r

4.1. Que se passe-t-il si, en un certain point du cylindre, v s’annule avec R non nulle ?

(Répondre sans calculs).

4.2. Que se passe-t-il si c’est la réaction R qui s’annule avec v non nulle ? (Répondre sans calculs).

5. Déterminer la valeur minimale que doit avoir la hauteur h pour que le skateur puisse faire un tour

complet du cylindre.


4) A propos du Marsupilami

Le Marsupilami est un animal de bande dessinée créé par Franquin aux capacités

physiques remarquables, en particulier grâce à sa queue qui possède une force

importante.

Pour se déplacer, le Marsupilami enroule sa queue comme un ressort entre lui et le

sol et s'en sert pour se propulser vers le haut.

On note l0 = 2 m la longueur à vide du ressort équivalent.

Lorsqu'il est complètement comprimé, la longueur du ressort est lm = 50 cm.

La masse m de l'animal est 50 kg et la queue quitte le sol lorsque le ressort mesure l0.

On prendra g = 10 m.s-2

Quelle est la constante de raideur du ressort équivalent si la hauteur maximale d'un saut est h = 10 m ?

Quelle est sa vitesse lorsque la queue quitte le sol ?

5) Interaction entre particules chargées

On considère deux particules A (fixe) et B (mobile), de même masse m et de charge respective qA et qB.

On considère la force de Coulomb entre ces deux particules comme étant la seule force en jeu dans ce

problème.

1. Rappeler l'expression de la force de Coulomb.

2. Déterminer l'énergie potentielle dont dérive cette force.

3. On suppose qA = qB = q. On lance B vers A avec la vitesse v0.

A quelle distance minimale B s'approche-t-elle de A ? On pourra s'aider d'un profil énergétique.

4. On suppose qA = - qB = q.

Quelle vitesse minimale faut-il donner à B pour qu'elle puisse s'échapper à l'infini ?

6) A propos du « Verrückt » , plus haut Toboggan aquatique du monde !!!

Les amateurs de sensations fortes peuvent désormais tester le plus haut toboggan aquatique du monde à

Kansas City aux Etats-Unis.

Pour rejoindre le sommet de ce toboggan d’environ 51 mètres (qui est donc plus haut que les 46 mètres

de la Statue de la liberté, ou des chutes du Niagara), il faudra gravir 264 marches.

Le canot qui accueille ceux qui ont le cœur bien accroché peut atteindre 105 km.h-1

Considérons un adulte (de masse m = 70 kg) qui envisage une telle descente d'une hauteur h = 51 m

faisant un angle α = 60° avec le sol.

La norme de la force de frottement est donnée par T = f .N , où f = 0,3 est le coefficient de frottement.

On prendra g = 9,8 m.s-2


1. Calculer la variation d'énergie mécanique due au frottement entre le haut et le bas du toboggan.

2. Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan.

Comparer la à celle qu'il aurait s'il n'y avait pas de frottement.

7) Équilibre et mouvement sur un cercle

Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M, peut

coulisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayon r.

L’anneau est lancé à l’instant initial avec une vitesse de norme v0

depuis le point A, point le plus bas du cerceau.

On repère sa position au cours de son mouvement par l’angle θ(t).

1. Établir l’expression de l’énergie potentielle de M en fonction

de l’angle θ(t)

2. Tracer la courbe Ep(θ) et déterminer les positions d’équilibre de M.

3. On cherche à déterminer le mouvement possible de M selon la vitesse initiale.

3.1. Montrer que l’énergie mécanique de M se conserve et donner sa valeur.

3.2. En déduire, à partir d’un raisonnement graphique, qu’il y a deux types de mouvement possibles en

fonction de la valeur de v0. Préciser la valeur critique de v0 séparant ces deux cas.


8) Ressort sur tige inclinée

Considérons une masse m accrochée à un ressort (k,l0) et pouvant glisser sans frottement sur une tige

inclinée d'un angle α par rapport à la verticale.

On définit un axe (Ox) selon la direction de la tige, avec l'origine O prise à l'autre extrémité du ressort.

1. Énergie et équilibre

1.1. Déterminer l'énergie potentielle totale Ep(x) de la

masse m.

1.2. En déduire la position d'équilibre stable xéq

1.3. Exprimer l'énergie potentielle en fonction de

u = x- xéq

2. Oscillations

2.1. Établir l'équation différentielle du mouvement.

2.2. En déduire la période des petites oscillations.

9) Oscillations d'une molécule

Une molécule diatomique est constituée de deux noyaux de charges positives et d'un nuage

électronique chargé négativement qui assure la cohésion de l'ensemble.

La répulsion électrostatique entre les noyaux est compensée par l'action attractive de la liaison

chimique.

L'énergie potentielle d'interaction entre les deux atomes de la molécule est donnée en fonction de la

distance r entre ces atomes par la relation suivante, dans laquelle la constante r0 est une longueur

positive et la constante E0 est négative :

E p(r )=E0[2 r0r

−(r0r

) ²]

1. Représenter graphiquement les deux termes de cette énergie potentielle et donner leur signification

physique.

2. Tracer le profil d'énergie potentielle de la molécule. Que désignent les constantes E0 et r0 ?

3. Établir l'équation du mouvement en étudiant le mouvement des deux atomes à partir du centre de la

molécule. Est-il possible de résoudre cette équation ?

4. Décrire la nature du mouvement relatif des noyaux en fonction de l'énergie mécanique Em de la

molécule.

5. L'énergie mécanique prend la valeur suivante Em = 8 E0 / 9

Déterminer les valeurs extrêmes rmin et rmax prises par la liaison chimique au cours de l'évolution de la

molécule.

Calculer la moyenne de ces deux valeurs et commenter.

x

O

α


10) Système masse-ressort horizontal

Un point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements sur une tige, le long de l’axe

(Ox) horizontal. Il est lié à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0,

l’autre extrémité étant fixe.

L’origine O coïncide avec sa position d’équilibre. A l’instant t = 0, on écarte le point M d’une distance

X0 = 8,0 cm et on le lâche sans vitesse initiale.

1. Établir l’expression de l’énergie mécanique du point M.

2. Montrer que cette énergie mécanique est une constante du mouvement et donner sa valeur.

3. Établir l’équation différentielle du mouvement de M.

4. Déterminer sa solution et calculer la période des oscillations.

5. Avec quelle vitesse le point M repasse-t-il par le point O?

Données : m = 250 g , k = 20 N.m-1.

11) La masse, le cerceau et le ressort !!

Un point matériel M de masse m glisse sans frottements sur un

cerceau vertical de rayon R. Le point M est fixé à un ressort

dont l’autre extrémité glisse sans frottement sur un axe vertical

tangent au cerceau, de sorte que le ressort reste horizontal.

On note θ(t) l’angle que fait le vecteur position avec la verticale.

On note k la raideur du ressort et sa longueur à vide est égale au

rayon du cerceau : l0 = R.

1. Montrer que le problème est conservatif. Montrer que l’énergie potentielle associée au point M a

pour expression :

E p=m g R (1−cosθ)+12k R2sin2θ

2. Montrer que le système présente des positions d’équilibre :

➢ deux existent toujours

➢ deux n’existent qu’à une condition à préciser

On pourra noter α=mgk R

3. Étudier la stabilité de ces positions d’équilibre.

4. Pour de petites oscillations autour de la seule position d’équilibre stable, déterminer l’équation

différentielle du mouvement, puis en déduire la période du mouvement.

y

x


12) La physique du tir à l'arc !!

Je vous propose dans cet exercice d'étudier un modèle simplifié du tir à l’arc.

On considère pour cela que la résultante des forces exercées par la corde sur le point M de la figure est

une force de rappel élastique idéale : son intensité est proportionnelle à l’écart de M par rapport à la

position de repos, avec une constante de raideur k.

La flèche est assimilée à un point matériel de position M et de masse m en mouvement rectiligne selon

l’axe (Ox) incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. On considère tout d’abord le cas α = 0.

Arc au repos (gris clair) et armé

1. L’archer arme l’arc pour amener le point matériel de la position O à la position M, d’abscisse x0.

Déterminer le travail qu’il doit fournir.

2. Il relâche ensuite la corde. Déterminer la module de la vitesse de la flèche quand elle repasse par le

point O.

3. L’archer peut exercer une force maximale d’intensité maximale F0 et l’amplitude maximale du

mouvement de sa main est l. Justifier qualitativement qu’il existe une valeur optimale de la raideur k,

notée k0 permettant d’avoir v0 maximale puis déterminer son expression en fonction de F0 et l.

4. On donne m = 30 g, F0 = 2,0.102 N et l = 70 cm.

Déterminer l’expression de k0 et calculer sa valeur, ainsi que celle de la valeur correspondante de la

vitesse v0.

5. Quel autre travail doit on considérer si l’angle α est non nul ? Montrer que la vitesse en O ne sera

pas changée.

6. Quelle serait l’altitude maximale atteinte en l’absence de frottement pour α = π/4 ? Commenter.

Quelles critiques pourriez-vous faire au modèle ?

Documents

TD 14 : Énergétique du point matériel · Tony adepte du skateboard, assimilé à un point matériel M de masse m, se lance sans vitesse initiale depuis le point A d’une rampe,