TD Analyse

5/16/2018 TD Analyse - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/td-analyse 1/300

ANALYSE

70%APPLICATIONS

30%COURS

Jean-Pierre LecoutrePhilippe Pilibossian

4e

édition



ANALYSE





70%APPLICATIONS

30%COURS

4édition

e4e

édition

30%COURS


ANALYSE



© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-054432-5



Sommaire

Avant-propos VII

TD Fonction numérique d’une variable réelle 1

L’essentiel 1

QCM 5

Réflexion 5

Entraînement 6

Solutions 12

TD Dérivées et différentielles 26

L’essentiel 26

QCM 29

Réflexion 29

Entraînement 30

Solutions 35

TD Formule de Taylor et applications 54

L’essentiel 54

QCM 59

Réflexion 59

Entraînement 60

Solutions 67

TD Fonctions puissance, logarithmeet exponentielle 95

L’essentiel 95

QCM 98

Réflexion 98

Entraînement 99

Solutions 106

1

2

3

4



VI TD Analyse

TD Fonction de plusieurs variableset optimisation 133L’essentiel 133

QCM 141Réflexion 141Entraînement 142Solutions 148

TD Calcul intégral 176L’essentiel 176

QCM 181Réflexion 182Entraînement 183Solutions 188

TD Suites et équations de récurrence 209L’essentiel 209QCM 216

Réflexion 217Entraînement 217Solutions 227

TD Annales corrigées 265

Index 290

5

6

7

8



Avant-propos

Pour se familiariser avec l’usage de l’outil mathématique, indispensable àtoute formalisation en économie, nous proposons une série d’exercices,

regroupés en deux volumes : Analyse et Algèbre. Cet ouvrage s’adresse aux étu-diants de Licence d’Économie et Gestion ou d’AES.

Chacun des sept premiers chapitres présente la même structure. Au début, lesprincipales notions de cours et les résultats importants sont rappelés de façonsuccincte dans « L’essentiel » du cours. Un bref texte introductif indique lespoints essentiels qui vont être abordés et présentés dans le chapitre. Il ne s’agitpas d’un résumé de cours, mais seulement d’un avant-propos où on essaied’expliquer, dans un langage peu formalisé, le fondement et l’utilité des

notions définies ensuite de façon plus formelle.Un certain nombre d’affirmations constituent le paragraphe « Q.C.M ». Laréponse en vrai-faux permet à l’étudiant de vérifier s’il a bien compris les prin-cipaux points de cours. Il doit exercer sa vigilance face à des affirmations, par-fois simples, mais qui peuvent contenir un piège.

Les questions de « Réflexion » qui sont proposées ensuite ont essentiellementpour but de mettre l’accent sur certaines notions un peu délicates du cours. Ilfaut être attentif aux commentaires qui figurent dans la solution de l’exercice,en fin de chapitre.

Les exercices d’« Entraînement » permettent enfin à l’étudiant de tester sa capa-cité à passer de la théorie à la pratique. Ils suivent l’ordre de progression du courset sont précédés d’un titre indiquant la principale notion à laquelle ils se rap-portent. Une rubrique « Analyse de l’énoncé et conseils » précise la démarcheà suivre et les résultats de cours à utiliser pour résoudre l’exercice proposé.

Les solutions très détaillées sont regroupées en fin de chapitre, très souvent

assorties de commentaires. Certaines solutions se concluent par un énoncéd’exercice identique (« Vous avez compris ? ») et la seule réponse figure aus-sitôt après.

En fin d’ouvrage, les textes récents des examens de 1re année de la Licenced’Économie et Gestion de l’université Paris II Panthéon-Assas permettent deretrouver les principaux points abordés dans les chapitres précédents. L’étu-diant peut ainsi évaluer le niveau de difficulté de ce qui peut être demandé àune épreuve d’examen. Les corrigés sont regroupés après les énoncés.



1Fonction numériqued’une variable

réelle

On trouvera dans ce chapitre la définition et les principalescaractérisations d’une fonction numérique d’une variable réelle.L’étude d’une fonction commence par la détermination de sonensemble de définition, formé par un ou plusieurs intervalles. Oncherche ensuite à réduire l’ensemble d’étude en examinant si la

fonction est périodique, paire ou impaire. On introduit alors lanotion très importante de continuité. La recherche de points dediscontinuité éventuels consiste à examiner la limite de la fonctionen certains points particuliers. Dans de très nombreux cas, c’estl’utilisation des équivalents qui permet de calculer simplementcette limite. On complète l’étude par la mise en évidence des inter-valles où cette fonction est monotone, croissante ou décrois-sante et par la recherche des limites aux bornes des intervalles qui

constituent l’ensemble de définition ou de monotonie. Parmi lesrésultats importants de ce chapitre, on doit noter que l’image d’unintervalle fermé, par une fonction continue, est un intervalle fermé.De plus, toutes les valeurs de cet intervalle image sont atteintes parcette fonction. Dans le cas où elle est strictement monotone sur cetintervalle, elle admet alors une fonction réciproque. Notons queseules les bijections admettent des applications réciproques.

1 Définitions et qualifications d’une fonctionnumérique

Définition. On appelle fonction numérique d’une variable réelle toute application f d’une partie E de dans .

La notation usuelle est :

f E: →



2 TD Analyse

et, pour tout réel x de E, on écrit :

Fonction paire ou impaire. Une fonction f définie sur E est dite :• paire si, pour tout , on a et ;

• impaire si, pour tout , on a et .

Fonction périodique. Une fonction f définie sur E est dite périodique s’il existeun nombre réel non nul T tel que, pour tout :

Ce nombre T est la période de f s’il est le plus petit réel positif qui satisfaitcette condition.

Fonction bornée. Une fonction f définie sur E est dite bornée s’il existe unnombre positif M tel que, pour tout , on ait .

Fonction monotone. Une fonction f définie sur E est dite :

• croissante sur E si, pour tous x, tels que , on a;

• décroissante sur E si, pour tous tels que , on a;

• monotone sur E si elle est croissante ou décroissante sur E.

2 Composition d’applications

Si f est une fonction définie sur E et g une fonction définie sur F, avec

, on peut définir la fonction composée de f par g, notée , et quiassocie à tout le nombre réel .

Il faut souligner que la composition des applications n’est pas une opéra-tion commutative, c’est-à-dire qu’en général est différente de .

3 Continuité

Définition. Une fonction numérique f définie sur un intervalle I de est con-tinue en un point de I si :

On dit que f est continue à droite (resp. à gauche) si :

( ) f x f x:

x E∈ x E− ∈ ( ) ( ) f x f x− =

x E∈ x E− ∈ ( ) ( ) f x f x− = −

x E∈

et ( ) ( ) x T E f x T f x+ ∈ + =

x E∈ ( ) f x| | M≤

x E∈′ x x< ′( )( ) f x f x≤ ′

x x E, ∈′ x x< ′( )( ) f x f x≥ ′

( )F f E⊃ g f x E∈ [ ]( ) g f x

g f f g

0 x

0 00lim ( ) existe avec lim ( ) ( )

x x x x f x f x f x

→ →=

( )0 0 0 0

0 0 0 0( 0) lim ( ) ( ) resp ( 0) lim ( ) ( ) x x x x x x x x

f x f x f x f x f x f x→ , > → , <

+ = = . − = =



TD 1 Fonction numérique d’une variable réelle 3

C O U R S

Une fonction est continue sur un intervalle fermé si elle est continueen tout point de l’ouvert et si elle est continue à gauche en a et à droiteen b.

Théorème. Si une fonction f est continue sur un intervalle I, alors l’ensembleimage est lui aussi un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. L’image d’un intervalle fermépar une fonction continue f est un intervalle fermé [α,β] avec :

La fonction f est bornée et elle atteint ses bornes, ainsi que toutes les

valeurs intermédiaires comprises entre ses bornes.Théorème. Si f est une fonction continue en un point a et g une fonction con-tinue en , alors la fonction composée est continue en a.

4 Application réciproque

Définition. Une application f de E dans F admet une application réciproque,notée , si, et seulement si, f est une bijection de E dans F. Pour tout y fixédans F, l’équation admet alors une solution unique x dans E, notée

.

Théorème. Une fonction continue sur un intervalle I admet une applicationréciproque sur I si, et seulement si, elle est strictement monotone sur I.

5 Formes indéterminées algébriques

Il existe quatre formes indéterminées algébriques, c’est-à-dire d’expressionsdont la limite ne peut pas être déterminée immédiatement :

• forme : toute expression avec et ;

• forme : toute expression avec

;

• forme : toute expression avec et

;• forme : toute expression avec et

.

[ ] a b,] [ a b,

( ) f I

[ ] a b,

min ( ) et max ( ) a x b a x b

f x f x≤ ≤ ≤ ≤

α = β =α β

( ) f a g f

1 f −

( ) f x y=1( ) x f y−=

0

0

( )

( )

f x

g x( ) 0 f x → ( ) 0 g x →

∞∞----

( )

( )

f x

g x( ) f x| |→ +∞

et ( ) g x| |→ +∞

0×∞ ( ) ( ) f x g x ( ) 0 f x →

( ) g x| |→ +∞∞−∞ ( ) ( ) f x g x− ( ) f x →+∞

( ) g x →+∞



4 TD Analyse

6 Fonctions équivalentes

Deux fonctions numériques f et g définies sur un intervalle I de sont

dites équivalentes quand x tend vers a, avec , s’il existe une fonction εdéfinie sur un voisinage de a telle que :

Si , pour tout , on écrit plus simplement :

C’est une relation d’équivalence, notée . Si et , alors, mais on n’a pas en général .

Dans le cas d’un polynôme, il est équivalent à son monôme de plus basdegré au voisinage de zéro et à son monôme de plus haut degré au voisinagede l’infini.

Une fraction rationnelle est équivalente au voisinage de zéro au rapportdes monômes de plus bas degré et, au voisinage de l’infini, au rapport des

monômes de plus haut degré.

a I∈( )V a

[ ] ( )( ) ( ) 1 ( ) avec lim 0 x a

f x g x→

= + ε χ ε χ = x xε ε

( ) 0 g x ≠ ( ) x V a I∈ ∩

( )lim 1

( ) x a

f x

g x→=

f g∼ 1 1 f g∼ 2 2 f g∼

1 2 1 2 f f g g∼ 1 2 1 2 f f g g+ +∼




E X E R C I C E S

10. Sans déterminer la dérivée, montrer que la fonction f définie paradmet sur son ensemble de définition un maximum et un

minimum que l’on déterminera.

Vrai Faux

1. Le produit de deux fonctions impaires est une fonc-tion paire.

2. La somme de deux fonctions périodiques définiessur le même ensemble est une fonction périodique.

3. Le produit de deux fonctions monotones sur unmême ensemble E est une fonction monotone sur E.

4. La composée de deux fonctions f et g décrois-santes sur leur ensemble de définition est croissante.

5. Si f et g sont deux fonctions continues sur un inter-

valle, les fonctions et fg sont continues sur lemême intervalle.

6. La réciproque d’une application continue et stricte-ment croissante sur un intervalle est aussi continue etstrictement croissante.

7. Si la fonction f admet une limite finie l , non nulle,quand x tend vers a, alors .

8. Si on a les équivalences et , alors ona aussi l’équivalence .

9. Si f et g sont deux fonctions équivalentes quand lavariable x tend vers , alors tend vers 0.

g f

f g+

( ) f x l ∼

1 1 f g∼ 2 2 f g∼

1 2 1 2 f f g g ∼

+∞ ( ) ( ) f x g x−

( ) (10 ) f x x x= −



6 TD Analyse

11. On considère les applications et . Déterminer lesapplications composées et . Les applications f et g sont-elles récipro-ques l’une de l’autre ?

12. Soit f et g les fonctions définies par :

où m est un paramètre réel. Indiquer pour quelle(s) valeur(s) de m l’expressionadmet une limite finie quand .

13. À partir de l’expression , définir une fonction f qui soit

continue sur tout .14. La fonction f est définie à partir de :

Déterminer les paramètres réels a et b pour que f soit continue partout.15. On considère l’expression :

où a et b sont deux nombres réels quelconques. Étudier la limite dequand x tend vers a2.

Intervalles de R

16. Déterminer les intervalles de définis par les conditions suivantes sur x :

Analyse de l’énoncé et conseils. On remplace la condition imposée par unecondition équivalente qui ne fait plus intervenir de valeur absolue ou deradical.

f x x: 2

g x x:

g f f g

3 2

2

( 1) 3 2 2( ) e et ( )

1mx mx m x x

f x g x x x x x

+ − − += = + +

+ +

( ) ( ) ( )h x g x f x= − x →+∞e

( )e 1

x

x

x f x =

−

0 si 2

( ) si 2 4

1 si 4

x

b f x a x

x

x

≤

= − < ≤

<

2

3( )

x b f x

x a

+ −=

−

( ) f x

2 25 2 3 1 1 1 4 2 2 1 2 x x x x x x x+ ≥ − + ≤ − ≤ − < + ≥




E X E R C I C E S

17. En utilisant des valeurs absolues, exprimer sous forme de conditions sur x

les relations d’appartenance suivantes :

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour que x appartienne à un intervalle, ilfaut que la distance de ce point au milieu de l’intervalle soit inférieure à sademi-longueur.

18. À partir des intervalles , , et, déterminer les ensembles , , , , ,

, , , et .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’être attentif à la forme des inter-valles où les extrémités sont comprises ou non.

19. Pour , on définit les intervalles :

Déterminer les ensembles :

Étudier les limites de ces ensembles quand p tend vers l’infini.

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut examiner l’inclusion de deux ensem-

bles d’indices successifs k et et en tirer une conclusion quant à leur unionou leur intersection.

Ensemble de définition

20. Les expressions ci-après définissent une fonction f sur un ensemble Dque l’on demande de déterminer à chaque fois :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

[ ] ] [ ] [1 5 1 3 4 2 x x x∈ − , ∈ , ∈ − ,−

] ]1 A = −∞,− [ ]1 3B = − , ] [1 5C = − ,[ [2 D = − ,+∞ c

A A B∩ A C∩ A D∩ B C∩ A D∪ B C∪ ( )B C∩ ∪ ( )B D∩ c c

A C∪ c c A D∩

0n >

1 1 10 0 et 0n n n

A B Cn n n

= , , = , = − , . [ [] [ [ [

1 1 1 1

et p p p p

p k p k p k p k

k k k k

E A F A G B H C= = = =

= , = , = = .∩ ∪ ∩ ∩

1k+

( ) f x

2

2

3 2

2 3

x x

x x

+ +

− −3

1 x −

3 21 x− 2 2 x x+ −

1

1

x

x

+

−

1

1

x

x

+

−

1 2(2 ) x x − /− + + ( )1 2

x x− /

− | |



8 TD Analyse

i) ; j) ;

k) ; l) .

Analyse de l’énoncé et conseils. L’ensemble de définition est obtenu à partirde celui des fonctions usuelles : dénominateur non nul pour une fraction, argu-ment positif pour une racine carrée ou un logarithme...

Parité, périodicité, graphe

21. Les expressions ci-après définissent une fonction f sur un ensemble Doù l’on demande d’examiner si elles sont paires ou impaires :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit de remplacer x par − x dans l’expres-sion de et de vérifier si on retrouve comme nouvelle expressionou .

22. Les expressions ci-après définissent une fonction f sur un ensemble

D où l’on demande d’examiner si elles sont périodiques, paires ou impaires,puis de les représenter graphiquement :

a) qui représente la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grandentier relatif inférieur ou égal à x ;

b) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. L’expression de à l’aide depeut permettre de déceler une périodicité éventuelle des fonctions précédentes

et de simplifier la représentation graphique.

Composition d’applications

23. a) Déterminer l’application composée , avec

b) Déterminer l’application composée , avec :

1

2

x

x

− | |

− | |2 2 x x+ − −

2ln2

x x+−

2

3 2ln1

x x x− ++

( ) f x

1 x− | | 2 21 1 x x x x+ + − − +

2 x x− 1 1 x x| + | − | − |

1

1

x x

x x

− /

+ /

1ln

1

x

x

+

−

1

1

(1 )

(1 )

x

x

x

x

−

+

+

+ –

( ) f x ( ) f x

( ) f x−

( ) f x

( )E x

2 ( ) x E x− [ ]2 2 x ∈ − ,

( 1)E x + ( )E x

3 f f f f =

1( )

1 f x

x= ⋅

− f g

2 2( ) 1 et ( ) 3 2 f x x g x x x= − = − +




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. L’application est définie par, donc il faut que x appartienne au domaine de définition

de g et que appartienne à celui de f . Ayant ainsi déterminé les valeurs de x pour lesquelles existe, on remplace x par dans l’expression de

pour obtenir celle de ( x).

Application réciproque

24. Déterminer la réciproque des fonctions f définies par les expressionsci-après :

a) 2 ; b) ;

c) ; d) pour et pour .

Analyse de l’énoncé et conseils. La résolution de l’équation , où x

est l’inconnue, conduit à une solution unique si la fonction f estinversible, et la fonction g obtenue est alors la réciproque .

Calcul de limites25. Déterminer les limites des expressions suivantes, sans utiliser defonctions équivalentes :

a) , ; b) , ;

c) , ; d) , ;

e) , ; f) , ;

g) , ; h) , ;

i) , , avec ; j) , avec a

réel quelconque ;

k) .

f g

( ) f g [ ]( ) ( ) x f g x=( ) g x

f g ( ) g x( ) f x ( ) f g

( ) f x

1 x +3 3

1 x−1

ln1

x

x

−

+( ) f x x= 0 x ≤ 2( ) f x x= 0 x >

( ) y f x=( ) x g y=

1 f

−

( ) f x

4 2

3

1

2

x x

x

+ +

−x →+∞

3 2

2

3 3 1

2

x x x

x x

+ − −

+ −1 x →

2

1x

x x

+ + 0 x →2 4 1

x x x

x x

+

+ +x →+∞

2 x x x− − x →+∞

x

x x x+ +

x →+∞

3

1 3

1 1 x x−

− −1 x →

3

1 1

1 1

x

x

+ −

+ −0 x →

x a x a−−

x a→ 0 a > ( ) x x a x x+ − , → +∞

3 31 x x x+ − , → +∞



10 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. Dans cet exercice, on demande de ne pasutiliser les fonctions équivalentes pour déterminer les limites, bien que cetteméthode soit en général plus rapide. Dans le cas d’une fraction rationnelle, sile numérateur et le dénominateur s’annulent simultanément, c’est qu’il y a unesimplification possible après factorisation. Quand l’expression est un rapportde fonctions puissances, la limite pour x tendant vers l’infini s’obtient en divi-sant numérateur et dénominateur par le terme d’exposant le plus élevé. La pré-sence de radicaux conduit presque toujours à utiliser les identitésremarquables permettant de faire disparaître la forme indéterminée initiale.

Fonctions équivalentes26. Pour chacune des expressions suivantes, déterminer une fonctionéquivalente, puis la limite.

a) , ; b) , ;

c) ; d) , ;

e) , ; f) , ;

g) , ; h) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. Avant d’étudier la limite en un point, il fautvérifier si la fonction est définie au voisinage de ce point. Dans le cas contraire,on n’étudie que la limite à gauche ou à droite. Toute fonction polynôme estéquivalente à son terme de plus haut degré au voisinage de l’infini et à sonterme de plus bas degré au voisinage de zéro. Cependant, les équivalents peu-vent disparaître par différence ; dans le cas d’expressions avec radicaux, on peutmultiplier par la quantité conjuguée afin d’éviter cet inconvénient. Enfin, si x

tend vers un réel non nul a, l’équivalent de f s’exprimera à l’aide d’une puis-sance de .

Continuité

27. Les expressions ci-après définissent une fonction f dont on demandede déterminer l’ensemble de continuité et la nature des points de discontinuitééventuels.

( ) f x

2 3

4

3 (2 1)

2

x x x

x x

+ +

+

((

x →+∞

2 4

3

2 (2 )

2

x x x

x x

+ +

+

((

0 x →

3 12 x x x x x+ + − + x, → +∞

( ) ( )

2

4 22

1 2 1

1 1

x x

x x

− +−

− −1 x →

2 2

2

x x

x

− −

−2 x → 3

2

1 1( 1)

4 ( 1) x

x+ − −

+1 x →

2

3 1

1 1

x x

x x

−−

| − | −1 x →

1 11

2 1 x

x+ − −

+1 x →

u x a= −

( ) f x




E X E R C I C E S

a) ; b) ;

c) pour et ;

d) pour et :

e) pour et ;

f) pour et pour ,

où a est un nombre réel quelconque.

Analyse de l’énoncé et conseils. Après avoir déterminé l’ensemble de défi-nition de la fonction f , on étudie sa continuité aux bornes finies des intervallesqui composent cet ensemble. Si une fonction n’est pas définie en un point a,

mais avec des limites à gauche et à droite de ce point égales à , on peut pro-longer cette fonction par continuité en définissant .

22 1

1

x x

x

+ −

+

3 22 2 1

1

x x x

x

+ − −

| + |

2

22

x x

x

+0 x ≠ (0) 0 f =

2

2 2 1

x x

x x

−

− +1 x ≠ (1) 1 f =

1 1 x x x x

x x

/ + − / −

+ | |

0 x ≠ (0) 0 f =

2( ) 4 1 f x x= + 1 x ≤2

2 2 2

1( )

x f x

x a x a

−=

+ − +1 x >

( ) f a =



12 TD Analyse

QCM

1. Vrai. Si f et g sont deux fonctions impaires définies sur un même ensembleE, pour tout x de E, leur produit vérifie :

2. Faux. Le résultat est faux en général, mais peut être vrai dans certains casparticuliers. Si f et g sont deux fonctions périodiques définies sur un mêmeensemble E, il existe deux nombres réels et tels que sur E on ait

et . Pour que leur somme soit une fonctionpériodique, il faut qu’il existe un réel T tel que ( soit

. Cela se produira si T est un multiple entierde et , c’est-à-dire s’il existe deux entiers relatifs p et q tels que

soit / / p. Donc la fonction somme sera périodique dans

le cas où le rapport / est un nombre rationnel.3. Faux. Soit par exemple et ; les fonctions f et g sontmonotones sur mais leur produit fg défini par estdécroissant sur , puis croissant sur , donc non monotonesur .

4. Vrai. Soit deux réels x et tels que ; la fonction f étant décrois-sante, on a . Comme g est décroissante, on en déduit

, soit .

5. Vrai. Ces propriétés sont des conséquences immédiates des opérations surles limites.

6. Vrai. Soit f continue et strictement croissante sur l’intervalle I et y etdeux réels de tels que . Nous allons établir que la réciproqueest strictement croissante. Les nombres réels et sonttels que et et on a donc . Comme f eststrictement croissante, cela implique que , donc que

est aussi strictement croissante.7. Vrai. Propriété évidente puisque par hypothèse quand .

8. Faux. Soit par exemple , , et

avec . On a bien , , mais

= et .

[ ][ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fg x f x g x f x g x f x g x fg x− = − − = − − = =

1T 2T

1( ) ( ) f x T f x+ = 2( ) ( ) g x T g x+ =)( ) ( )( ) f g x T f g x+ + = +

( ) ( ) ( ) ( ) f x T g x T f x g x+ + + = +

1T 2T

1 2T pT qT = = 1T 2T q=

1T 2T ( ) f x x= ( ) 1 g x x= −

[ ]0 1, 2( ) ( ) fg x x x= −[ ]0 1 2, / [ ]1 2 1/ ,

[ ]0 1,

x′ x x< ′( )( ) f x f x≥ ′

[ ] ( )( ) g f x g f x≤ ′ [[

( )( ) ( ) ( ) g f x g f x≤ ′

y′( ) f I y y< ′ 1

f −1( ) x f y−= ( )1

x f y−=′ ′

( ) y f x= y =′ ( ) f x′ ( )( ) f x f x< ′( )1 1( ) x f y x f y− −= < =′ ′

1

f

−

( )1

f x

l → x a→

31( ) f x x x= + 3

1( ) g x x= 2

1( ) f x

x=

2

2 3( )

1

x g x

x=

+ x →+∞ 1 1( ) ( ) f x g x∼ 2 2( ) ( ) f x g x∼

( )1 2 ( ) f f x3

1 1 1

x x x+ ∼ ( )

32

1 2 3 3

1( )

1

x g g x

x x

= +

∼((




S O L U T I O N S

9. Faux. Soit, par exemple, et ; ces deux polynômessont équivalents, quand , à leur terme de plus haut degré qui est x2.Cependant, tend vers plus l’infini avec x.

10. La fonction f est positive sur son domaine de définition qui est l’intervallefermé . Sa valeur minimum est donc la valeur 0, obtenue pour et

. Par ailleurs, f atteint son maximum quand le terme sous radical estmaximum. Celui-ci est le produit de deux termes dont la somme est constante,égale à 10, donc est maximum quand ces deux termes sont égaux, soit pour

. Le maximum a pour valeur .

11. Les applications f et g paraissent réciproques l’une de l’autre, puisqu’elles

associent le carré ou la racine carrée d’un nombre. On a d’ailleurs, mais n’est pas l’application identique sur , car

f n’est définie que sur . D’autre part, pour tout x réel,

. Ces deux applications ne sont donc pas réciproques l’une de l’autre ; elles

le seraient si elles étaient restreintes à .

12. Pour , le théorème des croissances comparées permet d’affirmer que

est un infiniment grand par rapport à . Pour , on aet , donc . Il reste à étudier le cas où est uninfiniment petit, ayant donc même limite que , qui est équivalentà pour . Dans ce dernier cas, est un infiniment grand.Enfin, pour on obtient :

C’est donc uniquement pour que admet une limite finie.

13. L’expression n’est pas définie pour . Pour , le dénomi-nateur est équivalent à x donc tend vers 1. Il suffit de poser alorset de conserver l’expression de pour , afin d’obtenir une fonction f

qui soit définie et continue partout. C’est ce qu’on appelle un prolongement par

continuité, où on a défini la valeur à partir de la limite de l’expression dequi n’était pas définie pour .

14. C’est aux points et où l’expression de change, que sepose le problème de la continuité de f . On calcule la limite à droite

qui doit être égale à . De même, doitêtre égale à . Ces deux conditions de continuité permettentd’obtenir et , soit pour .

15. Le dénominateur tend vers zéro et le numérateur vers . Pour

, est donc un infiniment grand. Pour , on

2( ) f x x= 2( ) g x x x= − x →+∞

( ) ( ) f x g x x− =

[ ]0 10, 0 x =10 x =

10 5 x x= − = (5) 5 f =

2

( ) ( ) g f x x x

= = ((

g f

+ ( ) ( ) f g x =2 x =

x| |

+

0m >

( ) f x ( ) g x 0m = ( ) 1 f x =( ) g x x∼ ( )h x →+∞ 0m < ( ) f x

( )h x ( ) g x

( 1)m x+ 1m ≠ − ( )h x

1m = −

21

2

2 2 2( ) e 1

1 x x x

h x x x x

−− − += + − → −

+ + –x

1m = − ( )h x

( ) f x 0 x = 0 x →( ) f x (0) 1 f =( ) f x 0 x ≠

(0) f

( ) f x 0 x =

2 x = 4 x = ( ) f x

(2 0) 2 f a b+ = − / (2) 0 f = (4 0) 1 f + =(4) 4 f a b= − /

4b = 2 a = ( ) 2 4 f x x= − / 2 4 x< ≤

2 3 a b+ −2 3b a≠ + ( ) f x 2 3b a= +



14 TD Analyse

obtient une forme indéterminée , avec pour :

donc .

16. On remplace la condition initiale par une condition équivalente portantsur x :

5 x + 2 ≥ –3 5 x ≥ –5 x ≥ –1

ce qui correspond à l’intervalle . La condition n’est réaliséeque pour , soit l’intervalle . On obtient les équivalences :

x –1 ≤ 4 –4 ≤ x –1 ≤ 4 –3 ≤ x ≤ 5

soit l’intervalle . Le terme sous radical doit être positif, d’où les

équivalences :

0 ≤ 2 x – x2< 0 ≤ x (2 – x) et 0 < x2 –2 x +

la première condition est vérifiée pour et la seconde s’écrit

, soit . Ces conditions réunies définissent les inter-

valles et .

Le nombre est positif, donc la condition imposée s’écrit .Pour , on obtient et cette condition n’est donc pas vérifiée.Pour , elle est équivalente à 2 , d’où l’intervalle .

Déterminer les intervalles définis par les conditions , puis.

Réponses : .

17. Le milieu de l’intervalle est , donc l’appartenance de x à cetintervalle se traduit par la condition :

0

02

x a≠

2 2

2 2 2

2

3 3( )3 3

1

3 3

x a x a f x x a x a x a

x a

+ − + −= =

− − + + +

=+ + +

(((

(

2( ) 1 2 3 f x a→ / +

⇔ ⇔

[ [1− ,+∞ 2 1 1 x + ≤0 x = [ ]0 0,

⇔ ⇔

[ ]3 5− ,

22 2 1 x x− < ⇔1

4⇔

1

4

0 2 x≤ ≤

2 3( 1) 0

4 x − − >

31

3 x − >

2

30 12

, − 31 22

+ , [ [ x x+ 2 x x+ ≥

0 x ≤ 0 x x+ =0 x > 2 x ≥ [ [1,+∞

1 1 x + <2 x x− <

[ [ ] [1 0 1et − , − ,+∞

[ ] a b,1

( )2

a b+

2 2

a b b a x

+ −− ≤

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

On a en effet les équivalences suivantes :

Donc est équivalent à . Lorsque l’intervalle estouvert, on remplace l’inégalité large par une inégalité stricte. Ainsi,est équivalent à et équivalent à .

18. On obtient les intervalles suivants :

19. Pour tout entier positif k on a la relation d’inclusion :

L’intersection de ces deux ensembles se réduit donc au plus petit et l’unionau plus gros, soit :

Comme 0 appartient à A p pour tout entier p, cela reste vrai à la limite,

donc :

On a également l’inclusion , donc . On a

encore 0 qui appartient à B p pour tout entier p, donc même si tend vers zéro

ce point est encore dans l’ensemble limite, soit :

2 2 2

2 2 2

a b a b a b a x b a x b

b a a b b a x

+ + +≤ ≤ ⇐

− + −⇐⇔

⇔ −

−

− −

−

≤

≤≤

≤

[ ]1 5 x ∈ − , 2 3 x| − |≤] [1 3 x ∈ ,

2 1 x| − |< ] [4 2 x ∈ − ,− 3 1 x| + |<

] [1 1c A A B A C= − ,+∞ , ∩ = − , ∩ = ∅ [ ]2 1 A D, ∩ = − ,− ,

] ] [ [1 3 1 5 ( ) ( )

( ) ( )c c c c c c

B C A D B C B C B D B

A C A C A D A D

∩ = − , , ∪ = , ∪ = − , , ∩ ∪ ∩ = ,

∪ = ∩ = , ∩ = ∪ = ∅

1

1 10 0

1k k

A A

k k+

= , ⊂ , =

+ [ [

[ ]1

10 et 0 1 p p pE A F A

p

= = , = = ,

[

[ ]11 1

0 et 0 1k k

k k

E A F A A∞ ∞

= =

= = = = = ,∩ ∪

1k kB B+ ⊂1

0 p pG B

p

= = ,

1

p

1

0k

k

G B∞

=

= =∩



16 TD Analyse

En raison de l’inclusion , on a . Cette fois

par contre le point 0 est exclu de tous les intervalles H p

, donc il en est de mêmeà la limite et :

20. a) Le dénominateur se factorise en ), donc. Cependant, le numérateur se factorise aussi par

, donc on peut simplifier la fraction par pour

, soit , et prolonger cette fonction par continuité en

posant .

b) Le terme sous le radical s’écrit ), donc estpositif pour x supérieur à 1, soit .

c) S’agissant d’une racine cubique, elle est toujours définie, donc .

d) Le terme sous radical s’écrit , qui est positif en dehors de l’intervalle des racines, soit .

e) Le terme sous radical doit être positif, et il est du signe de .Par ailleurs, le dénominateur doit être non nul, d’où .

f) Les termes sous radicaux doivent être tous deux positifs et le dénomina-

teur non nul, soit et , donc .

g) La fonction f est définie pour et , soit .

h) Pour tout réel x, on a , donc la fonction f ne peut pas être définieet D = .

i) Cette fonction f est définie pour et . Nousallons distinguer deux cas pour pouvoir retirer les valeurs absolues. Pour x

positif, la condition s’écrit , donc ou , soit avec

la condition précédente . Pour x négatif, on doit avoir

, soit ou , donc . Au

total, on obtient .

j) Chacun des termes sous radical doit être positif, soit et. Les deux membres de l’inégalité étant positifs, on peut

élever au carré et obtenir comme conditions équivalentes et. La condition 0 étant impossible à réaliser, on

a D = .

1k K C C+ ⊂ k

10

p pH C

p

= = − ,

1k

k

H C∞

=

= =∩ ∅

2 2 3 ( 1)( 3 x x x x− − = + − 1 3 D = − − ,

2 3 2 ( 1)( 2) x x x x+ + = + + 1 x +

1 x ≠ − 2( )3

x f x x+=−

1( 1)

4 f − = −

3 1 ( 1) x x− = − 2( 1 x x+ +[ [1 D = ,+∞

D =

2

2 ( 1) x x x+ − = − ( 2) x +] ] [ [2 1 D = −∞,− ∪ ,+∞

( 1)( 1) x x− +

] ] ] [1 1 D = −∞,− ∪ ,+∞

1 0 x + ≥ 1 0 x − > ] [1 D = ,+∞

0 x− ≥ 2 0 x+ > ] ]2 0 D = − ,

x x≤| |∅

2 x| |≠ (1 ) (2 ) 0 x x− | | − | | ≥

(1 ) (2 ) 0 x x− − ≥ 1 x ≤ 2 x ≥

[ ] ] [0 1 2 x ∈ , ∪ ,+∞

(1 ) (2 ) 0 x x+ + ≥ 2 x ≤ − 1 x ≥ − ] [ [ ]2 1 0 x ∈ −∞,− ∪ − ,

] [ [ ] ] [2 1 1 2 D = −∞,− ∪ − , ∪ ,+∞

0 x ≥2 x x+ ≥ 2+

0 x ≥2 4 4 x x x+ ≥ + + 2 4 x+ ≤∅




S O L U T I O N S

k) L’argument du logarithme doit être positif, soit et.

l) L’argument du logarithme est du signe de :

donc .

21. a) Comme on trouve , donc f est paire.

b) On obtient :

donc f est impaire.

c) Comme ne peut pas s’exprimer à l’aide de , on enconclut que f n’est ni paire ni impaire.

d) On a :

donc f

est impaire.e) Pour x non nul :

donc f est paire.

f) Pour :

donc f est impaire.

g) Pour :

donc f est paire.

Déterminer si les expressions ci-après définissent une fonction paire ou impaire sur

son domaine de définition :

Réponses : la première fonction est paire et la seconde impaire.

(2 ) (2 ) 0 x x+ − >] [2 2 D = − ,

( )2 3 2 ( 1) ( 1) ( 2)( 1) x x x x x x− + + = − − +

] [ ] [1 1 2 D = − , ∪ ,+∞

x x− = ( ) ( ) f x f x− =

2 2( ) 1 1 ( ) f x x x x x f x− = − + − + + = −

2( ) f x x x− = + ( ) f x

( ) 1 1 1 1 ( ) f x x x x x f x− = − + − − − = − − + = −

1 1( ) ( )

1 1

x x x x f x f x

x x x x

− + / − /− = = =

− − / + /

1 1 x− < <

1 1( ) ln ln ( )1 1

x x f x f x x x− +− = = − = −+ −

1 1 x− < <

1 1

1 1

(1 ) (1 )( ) ( )

(1 ) (1 )

x x

x x

x x f x f x

x x

− − −

− + +

− +− = = =

+ −

2 23 3 1( 1) ( 1) e

e x

x x x et + + − −

Vous avez compris ?



18 TD Analyse

22. a) La fonction partie entière, notée E, est définie partout. Elle est constantesur tout intervalle de la forme , de valeur sur cet intervalle,avec un saut pour tout entier relatif k. Elle est croissante au sens large sur tout

, donc elle ne peut pas être périodique. Pour tout entier positif k, on apour x dans l’intervalle et car − x est dans

l’intervalle , donc E n’est ni paire ni impaire. La figure 1.1 ci-aprèsreprésente le graphe de E sur l’intervalle .

b) Compte tenu des propriétés de la fonction partie entière, cette fonctionn’est ni paire, ni impaire, ni périodique. Cependant, on peut remarquer quesur tout intervalle où l’entier k peut prendre les valeurs , 0 et1, la fonction f a pour expression , avec donc

, et que . La figure 1.2 ci-après représente le graphe de cette fonction sur l’intervalle .

23. a) La fonction f est définie sur , donc est définie pour

, soit , avec :

Enfin, est définie aussi sur , avec :

[ [1k k, + ( )E x k=

( )E x k= ] [1k k, + ( ) 1E x k− = − −

] [1k k− − ,−

[ [3 4− ,

Figure 1.1

[ [1k k, + 2 1− ,−( ) 2 ( ) 2 f x x E x x k= − = −

( ) f k k= [ ]( 1) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 f x x E x f x+ = + − + = +[ ]2 2− ,

1− f f

( ) 1 f x ≠ 0 x ≠

( ) [ ]1 1 1 1

( ) ( ) 11 ( ) 1 1

x x f f x f f x

f x x x x

− −= = = = = −

− − −

f f f 0 1− ,

( ) 2

2

1 1( ) ( )

1 ( ) 1

f f f x f f x x

f x x

= = = =

− /

[

[




S O L U T I O N S

b) La fonction g est définie pour , soit sur

, et la fonction f pour . La fonction estdonc définie pour tout x de D1 tel que , soit ou

, condition qui est équivalente à ou

. Le domaine de définition de est donc l’intersection de D1

et de , soit . Sur cet ensemble :

24. a) La fonction f est croissante sur et son image est . Pour tout réel y,

on écrit l’équation , qui admet la solution . La réci-

proque de f est donc définie pour tout réel x par .b) La fonction f est décroissante sur tout et l’équation

admet pour solution , donc . Ainsi, ,application identique sur .

c) Cette fonction f est définie et monotone croissante sur chacun des inter-valles et , qui ont comme intervalles images respectifs

Figure 1.2

2 3 2 ( 1) ( 2) 0 x x x x− + = − − ≥

] ] [ [1 1 2 D = −∞, ∪ ,+∞ 21 0 x− ≥ f g21 ( ) 0 g x− ≥ 2 3 2 1 x x− + ≤

2 3 1 0 x x− + ≤

23 5

02 4

x

− − ≤ ((

3 5

2 2 x − ≤ f g

3 5 3 5

2 2

− +,

[[ 3 5 3 5

1 22 2

− +, ∪ , [ [

( ) [ ] [ ]2 2( ) ( ) 1 3 1( ) f g x f g x x x g x= = − = − + −

2 1 y x= +1

( 1)2

x y= −

1 1

( ) ( 1)2 f x x

−

= + –

3 31 y x= −

33 1 x y= − 1 f f − = 1 f f f f i−= =

] [1−∞,− ] [1,+∞



20 TD Analyse

et . Pour , l’équation s’écrit :

La réciproque est donc définie pour x différent de zéro par :

d) La fonction f est la fonction identité sur , donc il en est de mêmepour sa réciproque. Pour x positif, cette fonction est croissante et a pour image

, l’équation admettant la solution unique . La réciproque estdonc :

25. a) Comme il s’agit d’une fraction rationnelle avec la forme indéterminée, on divise numérateur et dénominateur par pour obtenir :

résultat prévisible car le polynôme numérateur est de degré plus élevé que lepolynôme dénominateur.

b) Nous obtenons la forme indéterminée , c’est-à-dire que 1 est racine

du numérateur qui se factorise par et du dénominateur

qui se factorise par . Pour x différent de 1, cette fraction se sim-plifie donc par :

c) Comme , il va falloir étudier deux cas selon le signe de x.Pour :

quand x tend vers zéro par valeurs positives.

Pour :

quand x tend vers zéro par valeurs négatives. Ces deux limites étant distinctes,on en conclut que n’admet pas de limite quand x tend vers zéro.

] [0,+∞ ] [0−∞, 0 y ≠ ( ) y f x=

1 1 1 eln e

1 1 1 e

y y

y

x x y x

x x

− − += ⇐

+ + −

⇔ ⇔= =

1 f

−

1 1 e( )

1 e

x

x f x− +

=−

−

∗

+

2 y x= x y=

1

si

si

x x f x

x x

− −

∗

+

∈:

∈

∞

∞

3 x

3

31 1( )

1 2 x x x f x

x+ / + /= → +∞− /

0

0( )1 x − ( )2 4 1) x x+ +

( 1) ( 2) x x− +

2 4 1 6( ) 2

2 3

x x f x

x

+ += → =

+2

x x=0 x >

( ) 1 2 x

f x x x= + + →

0 x <

( ) 1 0 x

f x x x

= + − →

( ) f x




S O L U T I O N S

d) On divise le numérateur et le dénominateur de cette forme indéter-

minée par , soit :

e) On résout cette forme indéterminée en multipliant par la quan-tité conjuguée pour faire disparaître le radical :

f) On divise numérateur et dénominateur par :

g) On réduit au même dénominateur :

Comme numérateur et dénominateur s’annulent pour , on peut sim-plifier cette fraction par , avec pour :

−

h) On peut poser , avec u qui tend vers 1 quand x tend vers zéro :

i) On factorise le dénominateur, puis on simplifie parpour :

j) On multiplie par la quantité conjuguée pour faire disparaître le radical :

0

02

x

2

1 1( ) 01 4 1

x x f x

x x

/ + /= →

+ / + /

∞ −∞

2 2

2 2

1 1( )

21 1 1

x x x x x x x f x

x x x x x x x

− − + −

= = = →

+ − /+ − + −

( (

x

1( ) 1

1 1 1 f x

x x x

= →

+ / + /

2

32( )

1 x x f x

x+ −=−

1 x =1 x − 1 x ≠

2

( 1) ( 2)( )

(1 ) 1

x x f x

x x x

− += =

− + + ) ) 2

21

1

x

x x

+→ −

+ +

61 x u+ =

( )23 2

2

( 1) 11 1 3( )

1 ( 1)( 1) 1 2

u u uu u u f x

u u u u

− + +− + += = = →

− − + +

x a− x a≠

1 1( )2

x a f x x a a x a x a

−= = →

+− +( () )

2( )( )

2( ) 1 1

x x a x ax a f x

x x a x x a x

+ −= = →

+ + + + /[ ]



22 TD Analyse

k) Pour résoudre cette forme indéterminée on utilise l’identité, avec ici et , donc

et :

car les trois termes du dénominateur tendent vers quand x tend vers .

Déterminer les limites des expressions suivantes pour :

Réponses : ces deux formes indéterminées tendent respectivement vers 2/3 et 1.

26. a) Au voisinage de l’infini, on remplace chaque polynôme par son terme deplus haut degré qui lui est équivalent :

donc cette valeur 6 est la limite de .

b) Au voisinage de zéro, on remplace chaque polynôme par son terme deplus bas degré qui lui est équivalent :

donc tend vers 0 quand x tend vers 0.

c) Chacun des termes de la différence est équivalent à , donc cestermes disparaissent. Nous allons multiplier par la quantité conjuguée :

donc tend vers 0 quand x tend vers .

d) On remplace les radicaux par leurs expressions, soit

et . Il va donc falloir distinguer les limites à droite et à

∞−∞3 3 2 2( ) a b a b a ab b + = + − +( ) a x= 3 31b x= − 3 3 1 a b+ =

23 32 3 3

1( ) 0

1 1 f x

x x x x

= →+ − + −( )−

+∞ +∞

x →+∞

2

2 3 3

2 3 1 1

3 1 2

x x x

x x x

+ − +,

+ +∞

∞

3

43 2( ) 6 x x f x

x× =∼

( ) f x

24( ) 4

x f x x

x

=∼

( ) f x

x x

3 2

3

3 2

3

2 ( 1 )( )

2 1

2 222 1 1

x x x x x f x

x x x x x

x x x x x x x

− /

+ + − + /=

+ + + + /

= =+ + + + /

∼

( ) f x +∞

4 2( 1) ( 1) x x− = −

( )22 21 1 x x− = −

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

gauche pour pouvoir retirer la valeur absolue. Au voisinage de 1 et pour :

donc tend vers plus l’infini quand x tend vers 1 par valeurs supérieures.Pour :

et tend vers moins l’infini quand x tend vers 1 par valeurs inférieures.

Ainsi, n’admet pas de limite quand x tend vers 1.e) La fonction f n’est définie que pour , donc on étudie la limite

quand x tend vers 2 par valeurs supérieures. Dans ce cas, on peut simplifierpar :

et tend vers 0 par valeurs supérieures.

f) On remarque que f n’est définie que pour , donc on étudie la limitequand x tend vers 1 par valeurs supérieures. Pour obtenir l’équivalent, on pose

:

Comme u est voisin de zéro, on ne conserve que les termes de plus basdegré :

et donc tend vers zéro par valeurs supérieures.

g) Au voisinage de 1 on obtient :


1 x >

2 2

2 2 2

1 2 1 1 2 1 1( )

( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) 2( 1)

x x x x x f x

x x x x x x x

− + + += − = − =

− − − − − + −∼

( ) f x

1 x <

2 2

2 2 2

1 2 1 1 2 1 4 2 7( )

( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) 2( 1)

x x x x x x f x

x x x x x x x

− + + + + += = = + =

− − − − − + −∼ –

( ) f x

( ) f x

2 x >

2 x −

( ) ( 1) 2 3 2 f x x x x= + − −∼

( ) f x

1 x >

2 1u x= −

( )( )

2 3 32 22 2

3

2 2

23

22

1 1 1 11 1

4 42 1 2

1 1 1

1 14 1 2 1 2

11

1 24 2

f u u uu u

u u u

uu

uu

+ = + − = + −

+ + /

= + + − + / + /

= + + .

+ /+

( )

( )

( ) ( )( )

22 1

( ) ( 1)8 4

u f x x

= −∼

( ) f x

23 1 2 1 1 1( ) 1

1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2

x x x x x f x x

x x x x x x

− − + | − |= − = = | − || − | + | − | + | − | +

∼

( ) f x



24 TD Analyse

h) La fonction f n’est définie que pour , donc on étudie la limitequand x tend vers 1 par valeurs supérieures. On obtient :


Déterminer un équivalent, puis la limite, des expressions suivantes :

Réponses : les équivalents sont et quand .

27. a) Le numérateur est un polynôme défini et continu partout et le dénomi-nateur défini et continu pour . Le rapport est donc continu sur sonensemble de définition .

b) Cette fraction n’est pas définie pour . Nous allons cependantétudier les limites à gauche et à droite, à cause de la valeur absolue, pour exa-miner si on peut prolonger cette fonction par continuité. Pour :

et, pour :

Les limites à gauche et à droite sont distinctes et f n’est pas définie pouroù il y a une discontinuité de première espèce.

c) La fonction f est définie partout sur . Mais la valeur en doitêtre la limite de pour et , afin qu’elle soit continue en cepoint. Il faut étudier les limites à gauche et à droite. Pour :

et, pour :

Il y a une discontinuité de première espèce pour .

1 x ≥

1 2 1( ) 1 1 1 12( 1) 2( 1)

x x f x x x x x x

+ − −= + − = − + − + +

∼[ ]( ) f x

( )

2 4 2 2

2

2 510 15 1

x x xx x et x

x x x

+ +−, → , →

+ −( )

2 0 x → 2 1 0 x +− → 1 x +→

1 0 x + ≥] [1− ,+∞

1 x = −

1 x < −

( ) f x = −2

22 ( 1) ( 1)2 1 1

1

x x x x

x

+ − += − + → −

+

1 x > −

2

2

2 ( 1) ( 1)( ) 2 1 11

x x x f x x

x

+ − += = − →+

1 x = −

0 x =( ) f x 0 x ≠ 0 x →

0 x <

( 1) 1 1( ) ( 1)2 2 2

x x f x x x+= − = − + → −

0 x >

( 1) 1 1( ) ( 1)

2 2 2

x x f x x

x

+= = + →

0 x =

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

d) Le terme sous radical est , donc f est définie partout sur . Ellesera continue pour si les limites à gauche et à droite sont égales à

. Pour :

et, pour :

donc f est continue à droite et discontinue à gauche.e) Les termes sous les radicaux doivent être positifs et le dénominateur de, pour , non nul. Or, pour on a , donc les condi-

tions sont :

Le domaine de définition est donc l’intervalle puisqu’on adéfini .

Comme , la fonction f est continue à gauchepour . Pour :

donc f est continue à droite pour et par conséquent continue sur sonensemble de définition .

f) Pour x supérieur à 1, on a toujours , donc la fonc-tion f est définie partout. Les expressions de étant différentes sur lesintervalles et il faut étudier la continuité pour . On a

. D’autre part, pour :

donc il faut que pour que f soit continue partout.

2( 1) x −

1 x =(1) 1 f = 1 x <

( 1)( ) 1

1

x x f x x

x

−= = − → −

−

1 x >

( 1)( ) 1

1

x x f x x

x

−= = →

−

( ) f x 0 x ≠ 0 x ≤ 0 x x+ =

0 ( 1) 0 (1 ) 0 0 1 0 x x x x x x x> , + ≥ , − ≥ ⇐ ⇔ ≥> −,

[ ]0 1,(0) 0 f =

21 (1)2

f f − = =( )1 x = 0 x >

2 2

2

2 22 2

1 1 1 1( )

2 2

20

1 12 1 1

x x x x x x f x

x x x

x x

x x x x x x

+

/ + − / − + − −= =

= = →

+ + −+ + −( )0 x =

[ ]0 1,2 2 2 x a x a+ > +

( ) f x

] ]1−∞, ] [1,+∞ 1 x =(1 ) (1) 4 2 f f − = = 1 x >

( )2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1( )

14 1

x x a x a f x

x a x a

x x a x a a

x

− + + +

=+ − +

+= + + + → +

() )(

( )

)(

2 1 a =



2Dérivéeset différentielles

La dérivée d’une fonction est définie à partir du tauxd’accroissement de celle-ci, divisé par le taux d’accroissement ∆x

de la variable. Si ce rapport admet une limite quand ∆x tend verszéro, alors la dérivée existe. Cette limite bien sûr n’existe que si lafonction est continue. L’existence d’une dérivée prouve donc une

certaine régularité de cette fonction, traduite par une direction privi-légiée du graphe au voisinage d’un point. La constance du signe decette dérivée sur un certain intervalle correspond à la monotonie decette fonction sur cet intervalle. C’est donc un outil essentiel del’étude d’une fonction. La dérivation est une opération linéaire surl’ensemble des fonctions dérivables, c’est-à-dire que la dérivéed’une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéairedes dérivées de ces fonctions. La dérivée des fonctions usuelles

permet d’obtenir celle de fonctions plus complexes, à partir des for-mules indispensables de dérivation d’un produit, d’un rapport oud’une composition de fonctions. La dérivée logarithmique peut êtreutile notamment pour le calcul de la dérivée d’un produit ou d’uneforme exponentielle. Elle permet aussi de calculer l’élasticité d’unefonction, notion utile en économie.

1 Notion de dérivée

Définition. Une fonction numérique f , définie au voisinage d’un point x0 de, est dérivable en x0 si le rapport :

où x est différent de x0, admet une limite quand x tend vers x0. Cette limite,quand elle existe, est appelée dérivée de f au point x0 et notée ou

.

0

0

( ) ( ) f x f x

x x

−

−

0( ) f x′

0

d ( )

d x x

f x

x =

[ ]



[ ]TD 2 Dérivées et différentielles 27

C O U R S

Notons que toute fonction dérivable en un point est continue en ce pointmais que la réciproque est fausse.

Définition. Si une fonction f est dérivable en tout point d’un intervalle ouvert,la fonction qui associe à tout point x de cet intervalle le nombre estla fonction dérivée de f , définie sur cet intervalle.

Dérivées à droite et à gauche. On dit que f est dérivable à droite (resp.gauche) en x0, si le rapport :

où x est différent de x0, admet une limite à droite (resp. gauche) quand x tendvers . Cette limite, quand elle existe, est notée

.

Une fonction est dérivable sur un intervalle fermé [ a, b] si elle est déri-vable en tout point de l’ouvert , si elle est dérivable à droite en a et àgauche en b.

Dérivées successives. Si la fonction dérivée est dérivable à son tour en

tout point d’un intervalle ouvert, la fonction dérivée est définie sur lemême intervalle, notée . Elle se nomme dérivée seconde de f . On peut ainsidéfinir de proche en proche, quand elle existe, la dérivée n-ième, ou d’ordre n,

qui se note ou .

2 Calcul des dérivées

Si u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle ouvert et dérivables

en un point x0 de cet intervalle, alors les fonctions et sont déri-vables en x0 avec :

Dérivée d’une fonction composée. Si u est une fonction définie sur un inter-valle ouvert I contenant x0, dérivable en x0, et si f est une fonction définie surun intervalle ouvert contenant , dérivable en , alors la fonction com-posée est dérivable en x0, de dérivée :

f ′ ( ) f x′

0

0

( ) ( ) f x f x

x x

−

−

0 x+ (resp. 0 ) x

−

0( )d f x′ (resp. 0( )) g f x

′

] a b, [

f ′

( ) f

′ ′

f ′′

( )n f d

d

n

n

f

x

u v u uv+ ,λ ,λ uv--

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 020

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) si ( ) 0( )

u v x u x v x

u x u x

uv x u x v x u x v x

u x v x u x v xu

x v xv v x

+ = +′ ′ ′

λ = λ , λ ∈′ ′

= +′ ′ ′

′ −′ ′

= , ≠

( )

λ λ λ

( )u I 0( )u x

f u

0 0 0( ) ( ) [ ( )] ( ) f u x f u x u x′ ′ ′= [ ]



28 TD Analyse

Formule de Leibniz. Si u et v sont deux fonctions n fois dérivables sur unintervalle ouvert I, alors la fonction uv est n fois dérivable sur I, avec :

Dérivée d’une fonction réciproque. Soit f une fonction strictement mono-tone et dérivable sur un intervalle ouvert I. En tout point y0 de telque est différent de zéro, où , la fonction réciproqueest dérivable, avec :

Dérivée logarithmique. Si f est une fonction réelle, définie et dérivable surun intervalle ouvert I, non nulle sur I, on appelle dérivée logarithmique de f

l’expression , qui n’est autre que la dérivée de ln | f |.

Élasticité. Si f est une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert I, déri-vable en un point x0 de I, l’élasticité de la fonction f au point x0, par rapport àla variable x, est le nombre :

( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( )

( )n n n p n p p n

n nuv u v C u v C u v uv

− ′ −

= + + + + +

( ) J f I=

0( ) f x′

0 0( ) y f x= 1 g f

−=

[ ]00 0

1 1( )

( ) ( ) g y

f x f g y

′

′ ′= =

f

f

′

′

0

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0

d ( )de ( ) ( )

d d ( ) y x

x x

y y x x f x y x f x x

x x y x y f x

′′

/

=

/ = = = =

/( )



TD 2 Dérivées et différentielles 29

E X E R C I C E S

8. En utilisant la propriété suivante de la fonction logarithme :

retrouver l’expression de la dérivée de cette fonction.

9. Calculer la dérivée de la fonction f définie par f ( x) = | x3 – 3 x|.

10. Montrer comment on peut déterminer par récurrence les dérivées succes-sives de la fonction f définie par .

Vrai Faux

1. Une fonction peut être continue mais non déri-vable en un point.

2. Si deux fonctions ont la même dérivée sur unintervalle ouvert, elles sont égales.

3. Si les dérivées à gauche et à droite en un pointsont égales, la fonction est dérivable en ce point.

4. Si une fonction est deux fois dérivable en unpoint, elle est indéfiniment dérivable en ce point.

5. Une fonction à élasticité constante est une fonc-tion puissance.

6. L’élasticité d’une somme de deux fonctions est lasomme de leurs élasticités.

7. Si une fonction paire est dérivable, sa fonctiondérivée est impaire.

0ln(1 )lim 1

u

uu→+ =

2 2( ) e x f x/−=



30 TD Analyse

11. La fonction f est définie par , pour , et par, pour . Déterminer les constantes réelles a et b pour que

f soit dérivable sur +.

Dérivée en un point12. Utiliser la définition de la dérivée d’une fonction en un point x0 pourcalculer les dérivées des fonctions f définies par les expressions ci-après :

a) ; b) ; c) .

Analyse de l’énoncé et conseils. La dérivée en un point x0 est définie comme

la limite, lorsqu’elle existe, du taux d’accroissement quand x

tend vers x0. Il faut donc calculer ce rapport, en posant avec h quitend vers zéro.

Calcul de dérivées

13. Calculer, lorsqu’elle est définie, la dérivée des expressions suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

2 1( ) e 2 x f x x

−= − 1 x ≥2( ) bx f x axe= axe 0 1 x≤ <

0( ) f x′ ( ) f x

3 x x+ 1

1

x x

x, ≠ −

+

11

1 x

x, > −

+

0

0

( ) ( ) f x f x

x x

−

−

0 x x h= +

( ) f x

34 x2 3( 1) x +

3 1

x

x + 23

1

(2 1) x +

2

x

x x+

2

2

(1 )

1 ( 1)

x

x

+

+ −

2

3

(1 )

( 1)

x

x

+

+ 3 2

1

( 1)

x

x/

+

+




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. À partir de la dérivée de la fonction puis-sance, on déduit ces dérivées par application des formules de dérivation d’unrapport ou d’une fonction composée.

14. Calculer, lorsqu’elle est définie, la dérivée des expressions suivantes :

a) x ln |x + 1| ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j) ;

k) .

Analyse de l’énoncé et conseils. En utilisant les formules de dérivation d’unproduit ou d’un rapport, ainsi que la dérivée logarithmique, on obtient cesdérivées à partir de celles des fonctions exponentielle et logarithme.

15. Calculer, lorsqu’elles sont définies, les dérivées des expressions suivantes :

Analyse de l’énoncé et conseils. Toutes ces expressions étant de la forme ,

on calculera leur dérivée logarithmique qui sera , définie pourtoutes les valeurs de x telles que .

Dérivées à droite et à gauche

16. Étudier la dérivabilité des fonctions f définies par les expressions ci-après :

a) | x2 + x – 2| + | x + 1| ; b) x ;

c) ; d) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On écrit les expressions de ne faisantpas intervenir des valeurs absolues. On calcule ensuite leur dérivée, et auxpoints où ces expressions changent, on calcule les limites à gauche et à droite

( ) f x

3( ln ) x x+

1 ln2ln

x x

x x+ −

2

ln

x

x

ln

ln

x x

x x

+

−

(2 1)ln

3

x x

x

−

+

3 x 2 1e x x /

11

x

x

+ ( ) 3ln (1 ) x+

ln (1 e ) x x+

ln(ln ) x u x xu x v x w u t x= , = , = , =

g f

ln g f gf f ′ ′

+ /( ) 0 f x >

( ) f x

1 pour1 x

x

e/+ e 0 avec (0) 0 f ≠ =

x 1 x–+

21ln 1 e pour 0 avec (0) 0 x x f − /+ ≠ =( )

( ) f x



32 TD Analyse

qui définissent les dérivées à gauche et à droite. Pour que la fonction soit déri-vable, il faut que ces dérivées coïncident.

Dérivée d’une fonction composée17. Calculer la dérivée de la fonction composée dans les cassuivants :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’appliquer la formule de dérivation

d’une fonction composée . Elle peut se retenir plus

facilement en l’écrivant sous la forme différentielle .

En effet, si on assimile ces dérivées à des fractions, on retrouve le premiermembre par une simplification symbolique de du au numérateur et au déno-minateur dans le second membre.

18. Les fonctions f et g étant définies par :

où a est un réel non nul, avec , montrer que les fonctions g et ont

la même dérivée par rapport à la variable x.Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule la dérivée de la fonction g sur sondomaine de définition, puis on applique la formule de dérivation d’une fonc-tion composée. Bien entendu, si ces deux fonctions ont la même dérivée, c’estqu’elles diffèrent seulement d’une constante, ce que l’on pourrait vérifier encalculant explicitement .

Dérivées successives

19. Calculer la dérivée seconde de la fonction f définie par :

20. Soit n un entier naturel et . Calculer l’expressionsuivante :

h f u=

2 4( ) 5 2 3 ( )u x x x f u u= + + , =1

( ) e ( ) 0 xu x x f u u x

x= + , = , >

1

( ) ( ) 0u x x x f u xu= + , = , >

2

( ) 1 ln ( ) 01

u

u x x f u xu= + , = , >+

( ) 1 ( ) e 1uu x x f u x= + , = , > −

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) f u x f u x u x′ ′ ′=

[ ]d ( ) d ( ) d

d d d

f u x f u u

x u x

= ×

1( ) ( ) ln

1 1

a x x f x g x

ax x

+ += =

+ − a 1≠ g f

( ) ( ) g f x

2( ) exp (2 3 1) f x x x= − + .

2( ) 1n

f x x x

= + −( )

2 2( 1) ( ) ( ) ( ) x f x xf x n f x′′ ′− + −




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut exprimer les deux dérivées à partirde la fonction elle-même et on obtiendra ainsi facilement l’expressiondemandée.

21. Calculer la dérivée d’ordre cinq de la fonction f définie par .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il est conseillé de faire apparaître dansl’écriture de la fraction rationnelle sa partie entière polynômiale, avant decalculer les dérivées successives.

22. Calculer la dérivée d’ordre n des fonctions f définies par les expressionssuivantes :

a) où a et b * ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) avec a *+ et b *.

Analyse de l’énoncé et conseils. Le calcul des deux ou trois premières déri-vées permet de pressentir quelle est l’expression générale de en fonc-tion de n. On dérive alors cette expression et ce que l’on obtient doit se déduirede la forme générale précédente en remplaçant par n.

23. Calculer la dérivée d’ordre n de la fonction composée , où f est unefonction indéfiniment dérivable et , avec a et b réels non nuls.

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’appliquer la formule de dérivationd’une fonction composée pour obtenir cette dérivée par récurrence.

Formule de Leibniz

24. En utilisant la formule de Leibniz, calculer la dérivée d’ordre n des fonc-tions f définies par les expressions suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule les dérivées d’ordre quelconque p des deux fonctions u et v dont le produit donne f . On pourra éventuellementutiliser les résultats de l’exercice 22. Enfin, dans certains cas, on remarquera

3

( )1

x f x

x=

−

( ) f x

( ) f x

( )n ax b+ ∈ ln x

1

1 2 x+ln (1 2 ) x x+

x x ln ( ) ax b+ ∈ ∈

( 1) ( )n f x

−

1n −

f u

( )u x ax b= +

( ) f x

e x

x

2 1

1

x

x

+

+

3 ln x x1 x

x

+



34 TD Analyse

que les dérivées sont nulles au-delà d’un certain ordre, ce qui simplifie l’utili-sation de la formule de Leibniz.

Dérivée logarithmique25. Calculer la dérivée logarithmique des fonctions f définies par les expres-sions suivantes et en déduire leur dérivée .

a) ; b) ; c) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour calculer la dérivée logarithmique de lafonction f , il suffit d’écrire le logarithme de | f |, puis de dériver. La dérivée de f s’obtient ensuite en multipliant le résultat par f et en précisant le domaineoù elle est définie.

Élasticité

26. Si f et g sont deux fonctions dérivables en un point x, d’élasticités notéeset , on demande d’exprimer l’élasticité des fonctions fg, et

. En déduire alors l’élasticité des fonctions définies par les expressions ci-après :

a) , avec a et α constantes réelles ;

b) , , , ;

c) , , .

Analyse de l’énoncé et conseils. Les formules de dérivation d’un produit etd’une fonction composée permettent d’exprimer les élasticités demandées enconsidérant le quotient comme le produit de f par . On utiliseraensuite ces formules pour le calcul des élasticités, en essayant d’exprimer àchaque fois une fonction à l’aide de celles qui la précèdent.

( ) f x ( ) f x′

( 1) (2 1) (3 1) x x x+ + +2 33

1

( 2) ( 3)

x

x x

−

+ +

x x

e ( ) f x e ( ) g x f g/

f g

3 23

2x ax

α

2 1 x +2

1

1 x +2

1

1

x

x

+

+ 2

2 1

4 1

x

x

+

+

3 1 x +3 2 x x+

1311

x

+ ( )

f g/ 1 g/




S O L U T I O N S

QCM

1. Vrai. On sait que la dérivabilité implique la continuité mais que la réci-proque est fausse. Par exemple, la fonction f définie par | x | est continueà l’origine. Cependant, puisque pour et pour

, elle admet une dérivée à gauche égale à et une dérivée à droite égale

à 1. Elle n’est donc pas dérivable en ce point.2. Faux. L’égalité implique seulement que estconstante sur cet intervalle.

3. Vrai. Si les limites à gauche et à droite du taux d’accroissement sont égales,cela implique que ce taux admet une limite qui est par définition la dérivée dela fonction en ce point.

4. Faux. Une fonction peut n’admettre des dérivées en un point que jusqu’àun ordre p fini, et pas au-delà. Par exemple, est définie pour

, ainsi que les dérivées et . Cependant,n’est pas définie pour .

5. Vrai. Si , on a , donc en intégrant ln | f ( x)| =ln | x|a + C.

La fonction est bien de la forme , avec λ constante quelconque.

6. Faux. C’est l’élasticité d’un produit qui est la somme des élasticités. L’élas-

ticité de la somme est qui n’est pas la somme de et .

7. Vrai. Par hypothèse , donc en dérivant cette égalité onobtient , ce qui traduit le fait que est impaire.

8. Pour déterminer la dérivée, on écrit le taux d’accroissement pour , en

utilisant la relation :

et par conséquent on retrouve bien comme dérivée de .

( ) f x =( ) f x x= − 0 x ≤ ( ) f x x=

0 x ≥ 1−

( ) ( ) f x g x′ ′= ( ) ( ) f x g x−

2( ) 4 f x x x=

0 x = ( ) 10 f x x x′ = ( ) 15 f x x′′ =(3) ( ) 15 2 f x x= / 0 x =

( ) ( ) xf x f x a′ / =

( )

( )

f x a

f x x

′

=

( ) a f x x= λ

f g+ f g x f g

′ ′

++

f x f

′

g x g

′

( ) ( ) f x f x= −( ) ( ) f x f x′ ′= − − f

′

0 x >

ln( ) ln ln 1h

x h x x

+ = + + ( )

ln 1 ln 1ln ( ) ln 1 1

0

h h

x h x x xh

hh h x x

x

+ + + −

= = → , →( ) ( )

1 x--- ln x



36 TD Analyse

9. Cette fonction est définie et continue partout sur . Pour pouvoir calculerla dérivée, il faut retirer la valeur absolue. L’expressionchange de signe pour x = − et . Nous allons donc distinguer quatre

cas. Pour , on a et . Pour, on a et . On peut noter que

alors que , donc f n’est pas dérivable pour

. Comme f est paire, on en déduit pour x positif sa dérivée par la rela-tion , soit pour et

pour . Bien entendu, f n’est pas dérivable non plus enet comme et elle n’est pas dérivable non plus à

l’origine.

10. La fonction f est indéfiniment dérivable, de dérivée logarithmique ,soit . En dérivant cette expression, on obtient :

En dérivant une nouvelle fois :

On constate donc que les dérivées successives s’écrivent sous la formeoù est un polynôme de degré n, avec ,, et . Vérifions que cela reste vrai à

l’ordre en dérivant :

Cette expression est bien de la forme , avec

qui est un polynôme de degré puisque est dedegré et de degré .

11. Les deux expressions qui définissent f sont des produits de fonctions puis-sance et exponentielle, donc continues et dérivables sur les intervalles consi-dérés. C’est au point de séparation de ces deux intervalles qu’il faut examinerla continuité d’abord, puis la dérivabilité. Puisque et ,la continuité de f impose comme première condition que . Pour

, on a , donc . Pour, on a et . La dérivabilité en ce point,

donc sur +, implique , soit avec l’autre condition .On en déduit et a = −e, et ainsi pour .

12. a) On obtient comme accroissement de la fonction f :

3 23 ( 3) x x x x− = −

3 0, 3

3 x < − 3( ) 3 f x x x= − + 2( ) 3 3 f x x′

= − +3 0 x− < < 3( ) 3 f x x x= − 2( ) 3 3 f x x

′ = −63 f

− ′ − = −( ) 63 f

+ ′ − =( )

3 x = −( ) ( ) f x f x′ ′= − − 2( ) 3 3 f x x

′ = − + 0 3 x< <2( ) 3 3 f x x

′ = − 3 x >3 (0 ) 3 f

′ − = − (0 ) 3 f ′ + =

x−( ) ( ) f x xf x

′ = −

2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) f x f x xf x f x x f x x f x′′ ′= − − = − + = −

(3) 2 3( ) 2 ( ) ( 1) ( ) ( 3 ) ( ) f x xf x x f x x x f x′= + − = − +

( ) ( ) ( ) ( )n

n f x P x f x=

n P 0 ( ) 1 P x =

1( ) P x x= − 22 ( ) 1 P x x= − 3

3 ( ) 3 P x x x= − +1n + ( ) ( )n f x

[ ] ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n n n n f x P x f x P x f x P x xP x f x+ = + = −′ ′ ′

1( ) ( )n P x f x+ 1( )

n P x+ =

( ) ( )n n P x xP x−′ 1n + ( )n xP x1n + ( )n

P x′ 1n −

(1) 1 f = − (1 ) eb f a− =

e 1b a = −

0 1 x≤ <2 22( ) e 2 ebx bx

f x a abx= +′ (1 ) e (1 2 )b f a b

− = +′1 x ≥ 1 2 1( ) 2 e e x x f x x x− −= −′ (1) 1 f =′

e (1 2 ) 1b a b+ = 1 2 1b+ = −

1b = −21( ) e x

f x x−= − 0 1 x≤ <

3 30 0 0 0 0 0

2 2 30 0

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

f x h f x x h x h x x

hx h x h h

+ − = + + + − −

= + + +




S O L U T I O N S

Et comme taux d’accroissement :

Sa limite, quand h tend vers zéro, est qui est donc .

b) L’expression de l’accroissement de la fonction est ici :

Donc le taux d’accroissement :

a pour limite qui représente .

c) On écrit l’expression de l’accroissement de la fonction, puis on réduitau même dénominateur et enfin on multiplie par la quantité conjuguée pourfaire disparaître au numérateur les radicaux :

En divisant par h, puis en faisant tendre h vers zéro, on obtient comme

limite :

13. a) La dérivée de est , définie sur un ensemble quiest si n est un entier supérieur à 1. L’ensemble de définition de est * si

avec p entier inférieur à l’entier q impair ; c’est +* si n est un réel

quelconque. Ici , donc la dérivée est définie pour.

b) On a encore une fonction puissance de la forme , avec , maiscette fois u est une fonction de x, donc la dérivée est de la forme .Comme , on obtient et qui est définiepartout.

c) Cette fois f se présente sous la forme d’un rapport u/v avec et, de dérivées et . La dérivée a pour

2 20 00 0

( ) ( )3 3 1

f x h f xh hx x

h

+ −= + + +

203 1 x + 0( ) f x′

0 00 0

0 0 0

( ) ( )1 1 ( 1)( 1)

x h x h f x h f x

x h x x x h

++ − = − =

+ + + + + +

0 0

0 0

( ) ( ) 1

( 1)( 1)

f x h f x

h x x h

+ −=

+ + +

20

1

( 1) x + 0( ) f x′

0 00 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 11 1( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

x x h f x h f x

x h x x x h

h

x x h x x h

+ − + ++ − = − =

+ + + + + +

−=

+ + + + + + +( )

0 1 x + 0 1 x h+ +

0 3 20

1( )

2( 1) f x

x /= −′

+

( ) n f x x= 1( ) n f x nx−=′

f ′

n p q= /

3 4n = / 4( ) 3 4 f x x= /′

0 x >nu 3 2n = /

1n unu− ′

2 1u x= + 2u x=′ 2( ) 3 1 f x x x= +′

u x=3 1v x= + 1u =′

23v x=′ ( ) 2u v uv v− /′



38 TD Analyse

expression :

définie, comme f , pour x différent de −1.

d) L’expression de peut se mettre sous la forme , avecet . La dérivée est définie pour x différent de par :

e) Il s’agit d’un rapport de la forme u/v avec et , de déri-vées et . La dérivée est définie pour par :

f) Nous avons encore un rapport u/v avec et ,

de dérivées et . La dérivée est définie pour

par :

g) Le numérateur est et le dénominateur v = (1 + x)3, dedérivées et . D’où une dérivée définie surpar :

h) On peut remarquer que l’expression à dériver ici est la racine carrée dela précédente. Il faut donc diviser la dérivée obtenue par , où

3

23

1 2( )

1

x f x

x

−=′

+( )

( ) f xnu 2 1u x= +

2 3n = − / 1nnu u−

′12---–

53

4( )

3 (2 1)

f x

x

= −′

+u x= 2v x x= +

1u =′ 2 1 2v x x= + /′ 0 x >

( )

2 2

2 2 22

1 22 2 1 2( )

2 2 11

x x x x x x x x x f x

x x x x x x x x

−+ − − / −

= = =′+ ++( ) ( ) ( )

( )

21u x = +( ) 21 ( 1)v x= + −

2 1 /2u x x

= +′ ( ) 2( 1)v x= −′

0 x >

( )

( )

( )( )

22

22

2

22

1 2 2 2( 1) 1( )

2 2

1 2 2 2

2 2

x x x x x x f x

x x x

x x x x x

x x x

+ − + − − +

=′− +

+ − − + +=

− +

( ) ( )

( )

2

1u x

= +( )1 /u x x

= +′ ( ) 23(1 )v x= +′

∗

+

( )

2

3 2

6

4

1 (1 ) 3 1 (1 )( )(1 )

1 1 3 2

(1 )

x x x x x f x

x x

x x x

x x

+ + − + +=′

+

+ − −=

+

( ) ( )

( )

2 ( ) f x ( ) f x




S O L U T I O N S

représente l’expression de la question g), soit la dérivée :

Calculer la dérivée des expressions suivantes :

Réponses :

14. a) Il s’agit de la dérivée d’un produit, définie pour x différent de −1 :

b) La dérivée de est 3 , avec ici , donc . Ladérivée, définie pour 0, est :

c) On considère comme le produit de par pour calculer ladérivée, définie pour :

d) L’expression à dériver est sous la forme u/v avec et , dedérivées et . Soit, pour :

e) On a encore un rapport u/v avec et . D’oùet et donc, pour :

( ) 3 2

4 5 2

1 1 3 2 (1 ) 1 3 2

(1 ) 2 (1 )2 1

x x x x x x

x x x x x

/

/

+ − − + − −

× =+ ++

( )

( )

( )324

25

11

( 1)

x x et

x x x, −

+ −′

25 24 2

1 3 (1 )(1 3 )0 1 0

5 2 1 2 ( 1)

x x x x x x

x x x x x x

− +− , > ; , > ; , >

− + −; ;

[ ]

( ) ln 1 1

x

f x x x= | + | +′ +

3u 2u u′ lnu x x= +

11u

x= +′

x >

21( ) 1 ( ln ) f x x x

x

= + +′ ( )

ln x

x--------

ln x

1

x---

0 x >

2 2 2 2

1 2 1 ln 1( ) (2 ln 2)

x f x x x

x x x x x= − + − + = + −′

2u x= lnv x=

2u x=′ v =′1 x--- ] [ ] [0 1 1 x ∈ , ∪ ,+∞

22 ln( )

(ln ) x x x f x

x−=′

lnu x x= + lnv x x= −

1u = +′1 x--- 1v = −′

1 x--- 0 x >

2

1 ln( ) 2

( ln )

x f x

x x

−=′

−

Vous avez compris ?



40 TD Analyse

f) On écrit sous la forme :

D’où la dérivée, définie pour x différent de −3, 0 et 1/2 :

g) On a , donc la dérivée logarithmique est , soit.

h) On peut aussi déterminer la dérivée logarithmique à partir de

dont la dérivée est . Soit pour x différent de

zéro :

i) On écrit encore :

dont la dérivée est :

qui est définie quand l’argument du logarithme est strictement positif, soitpour ou .

j) La dérivée de est avec ici , donc . Soit, pour:

k) L’expression est toujours positive, de dérivée .Donc pour tout x réel :

( ) f x

( ) ln ln 2 1 ln 3 f x x x x= | | + | − | − | + |

21 2 1 2 12 3( )

2 1 3 (2 1)( 3)

x x f x

x x x x x x

+ −= + − =′

− + − +

ln ( ) ln3 f x x= ln3( ) 3 ln3 x

f x =′

1ln ( ) 2ln f x x x

= | | + 22 1 x x−

1( ) (2 1)e x f x x

/= −′

1ln ( ) ln 1 f x x

x

= + ( )

2( ) 1 1 1 1ln 1 ln 1

( ) 1 1 1

f x x x

f x x x x x

/′ = + − = + −

+ / +( ) ( )

1 x < − 0 x >

ln u u u/′

3

1u x= +

2

3u x=′1 x > −

2

3

3( )

1

x f x

x=′

+

1 e xu x= + e e x x

u x= +′

1( ) e1 e

x x

x f x

x

+=′ +




S O L U T I O N S

Calculer les dérivées des expressions suivantes :

Réponses :

15. La fonction u est définie et dérivable pour , avec ln , donc

.Pour , on a ln ln x, donc , soit :

La fonction w est définie et dérivable aussi pour , avec ln ,

donc , soit :

L’expression de t est de la forme avec . D’après ce qui pré-cède, sa dérivée est donc , soit pour :

16. a) Comme , il faut distinguer quatre intervalles

pour pouvoir retirer les valeurs absolues.• Pour , on a et , donc .

• Pour , on obtient et, donc et . La fonction n’est pas

dérivable pour , les dérivées à gauche et à droite étant dis-tinctes.

• Pour , on a et , d’où

et . La fonction n’est pas dérivable non pluspour .

• Pour , et , donc et f n’est pas dérivable au point .

3 2ln 1 et eln 1

x x x x

−+−

et

] [ ] [ 2 22

20 e e e (3 2 )

(ln 1) x

x et x x x x x

−− , ∈ , ∪ ,+∞ − , ∈−

0 x > lnu x x=

( ) (ln 1)u x u x= +′0 x > v u= ( ln )v v u x u x= + /′ ′

2 1( ) (ln ) lnv x uv x x

x

= + +′ [ ]

0 x > lnw x u=

( )lnw w u xu u= + /′ ′

( ) (2ln 1)w x xw x= +′

f f ( ) ln f x x=

(ln 1)t t f f = +′ ′ 1 x >

[ ]( )

( ) 1 ln(ln )t x

t x x x

= +′

2 2 ( 1)( 2) x x x x+ − = − +

2 x < − 2( ) 3 f x x= − ( ) 2 f x x=′ ( 2 ) 4 f −− = −′

2 1 x− < < − 2( ) 2 1 f x x x= − − + ( ) f x =′2 2 x− − ( 2 ) 2 f

+− =′ ( 1 ) 0 f +− =′

2 x = −

1 1 x− < < 2( ) 3 f x x= − + ( ) 2 f x x= −′

1 2 f +

− =′ ( ) 1 2 f −

= −′ ( )1 x = −

1 x > 2( ) 2 1 f x x x= + − ( ) 2 2 f x x= +′ 1 4 f + =′ ( )

1 x =

Vous avez compris ?



42 TD Analyse

b) La fonction f est définie partout mais il faut étudier l’existence d’unedérivée à l’origine en cherchant la limite du taux d’accroissement :

quand x tend vers zéro. L’exposant tend vers l’infini avec le signe de x, doncce rapport tend vers 1 quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et vers 0 quand

x tend vers 0 par valeurs supérieures. Ainsi, f admet une dérivée à gauche égaleà 1 et une dérivée à droite nulle, donc elle n’est pas dérivable à l’origine.

c) La fonction f est définie pour et admet des expressions distinctes

selon le signe de x. Pour , on obtient , d’où ladérivée :

qui tend vers moins l’infini quand x tend vers 0 par valeurs inférieures. Pour, on a et :

n’est pas définie pour et tend vers plus l’infini quand x tend vers 0 parvaleurs supérieures. Ainsi, f n’admet ni dérivée à gauche ni dérivée à droitepour .

d) Pour étudier la dérivabilité à l’origine, on utilise la définition de ladérivée comme limite du taux d’accroissement :

quand x tend vers zéro. La limite de est nulle, quelle que soit la façondont x tend vers 0. On sait que :

quand u tend vers 0, donc le taux a même limite que qui tend vers zéro,d’après le théorème des croissances comparées. Par conséquent, f est dérivableà l’origine avec . Pour x différent de zéro on obtient comme dérivée :

qui tend bien vers zéro quand x tend vers zéro.

1( ) (0) 10 1 e x f x f x

/− =− +

1 x---

1 x ≤

0 x < ( ) 1 f x x x= − + −

1 1( )

2 2 1 f x

x x= − −′

− −

0 1 x< < ( ) 1 f x x x= + −

1 1( ) 2 2 1 f x

x x= −′

−

1 x =

0 x =

21( ) (0) 1 ln 1 e0

x f x f

x x

− /− = +−

( )21e x− /

0

ln(1 )lim 1u

u

u→

+=

21e x− /

x

(0) 0 f =′

2

2 2

1 3

1 3 1

2e 2( )

1 e 1 e

x

x x

x f x

x

− /

− / /

/= =′

+ +( )




S O L U T I O N S

17. a) Les fonctions f et u sont dérivables partout sur , avec et, donc .

b) La fonction f est dérivable pour , ce qui est bien le cas ici, avec. La fonction u est définie et dérivable pour x différent de zéro,

avec :

=

D’où :

c) La fonction f est définie et dérivable pour u différent de zéro, avec/ et u est dérivable pour , avec d’où :

d) La fonction f est définie et dérivable pour et on peut écrire :

donc sa dérivée est :

La fonction u est définie et dérivable pour , avec . Ainsi,pour et différent de :

e) La fonction f est définie et dérivable partout sur , avec et

la fonction u est dérivable pour , de dérivée , d’où :

3( ) 4 f u u=′

( ) 10 2u x x= +′ ( )32( ) 8(5 1) 5 2 3h x x x x= + + +′ ( )

0u >

( ) 1 2 f u u= /′

( )u x′ 2

1e e x x

x x

+ −

2

2

(1 )e 1

( ) 2 1 e

x

x

x x

h x x x x

+ −

=′ +( )

( ) 1 f u = −′2

u 0 x > ( ) 1 1 2u x x= + /′

2

1 2( )

2 1

xh x

x x x

+= −′

+( )

1u ≠ −

1( ) 1

1 f u u

u= − +

+

2 2

1 (2 )( ) 1

(1 ) (1 )

u u f u

u u

+= − =′

+ +

0 x > 1( )u x x

=′0 x > 2e−

2

(1 ln )(3 ln )( )

(2 ln )

x xh x

x x

+ +=′

+

( ) eu f u =′

1 x > − ( ) 1 2 1u x x= / +′

exp 1( )

2 1

xh x

x

+

=′+

( )



44 TD Analyse

Calculer la dérivée de .

Réponse : , , .

18. La fonction g est définie et dérivable pour , avec :

La fonction f est définie et dérivable pour , avec :

Pour , f prend aussi ses valeurs dans l’intervalle , doncest dérivable, de dérivée :

car, | a | étant différent de 1, on a pu simplifier par .19. La dérivée logarithmique de f est définie partout et a pour expression

. Ainsi, et, en dérivant à nouveau :

20. La fonction f est définie et dérivable pour avec :

On dérive une nouvelle fois :

( ) ln(ln )h x x=

( ) lnu x x= ( ) ln f u u=1

( )ln

h x x x

=′

1 x <

2

1 1 2( )

1 1 1 g x

x x x= + =′

+ − −

1 x a≠ − /2

2

1( )

(1 )

a f x

ax

−=′

+

1 x < ] [1 1− , g f

[ ]

22

2 2 2 2

2 2

2

2 1d ( ) d d 2 1d d d 1 (1 ) (1 ) ( )

2 1 2 1

(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )(1 )

2

1

a g f x g f a

x f x f ax ax a x

a a

ax a x ax a x a x a x

x

−−= = =

− + + − +

− −= =

+ + + + − − + + − −

=−

( )

( ) ( )

2

1 a−

4 3 x − ( ) (4 3) ( ) f x x f x= −′

( )2 2( ) 4 ( ) (4 3) ( ) 4 (4 3) ( ) 16 24 13 ( ) f x f x x f x x f x x x f x = + − = + − = − +′′ ′ [ ]

1 x >

212

2 2 2

1 ( )( ) 1 11 1 1

n

n x x x nf x f x n x x n

x x x

− + − = + − + = =′ − − −

( ) ( ) ( )

( )3 2 22 22

( ) ( ) ( )( )

11 11

nf x nxf x nf x x f x n

x x x x/

′= − = −′′ − − −−

( )

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

Par conséquent ( et l’expression demandéeest nulle pour tout réel x du domaine de définition de f . La fonction f est doncsolution de cette équation différentielle du second ordre.

21. La division de x3 par permet d’obtenir la partie entière de cette frac-tion rationnelle, pour :

Les dérivées successives sont alors :

et, à partir de cette dérivée, on peut établir par récurrence que :

En particulier :

22. a) On obtient facilement :

On suppose donc que la dérivée d’ordre p s’écrit :

qui par dérivation donne :

Cette expression est bien de la forme précédente, ayant remplacé p par. Ainsi :

b) Pour , la dérivée de est , donc la dérivée d’ordre n de

est la dérivée d’ordre de . On obtient , puis

2 21) ( ) ( ) ( ) x f x n f x xf x− = −′′ ′

1 x−1 x ≠

2 1( ) 1

1 f x x x

x= − − − +

−

2

3

1( ) 2 1 (1 )

2( ) 2

(1 )

f x x x

f x x

= − − +′−

= − +′′−

( )( )

1

1( )

1 (1 )

n

n

n

n f x

x x+

! = =

− −( )(5)

6

120( )

(1 ) f x

x=

−

( ) f x na=′1

( )n

ax b−

+( ) f x′′ = ( 1)n n− 2 2( )n a ax b −+

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) p p n p f x n n n p a ax b

−= − ... − + +

( 1) 1 1

( ) ( 1) ( ) ( ) p p n p

f x n n n p a ax b+ + − −

= − ... − +

1 p +

( ) ( )n n f x n a= !

0 x > ln x1 x

( ) f x

1n −1

x2

1( ) f x

x

= −′′



46 TD Analyse

, donc la forme générale doit être :

Par dérivation, on obtient :

Il s’agit bien de la formule précédente où on a remplacé par n.

c) Cette fonction est indéfiniment dérivable pour x différent de −1/2, avec

comme dérivées :

On suppose donc que la forme générale est :

Par dérivation, on obtient :

qui se déduit bien de l’expression précédente en remplaçant par n.

d) On obtient comme première dérivée :

qui peut s’exprimer par , ayant noté g la fonctionde la question précédente. Ainsi, pour on en déduit :

puis :

(3) 3( ) 2 f x x= /

( 1 2

1

( 2)( ) ( 1)n n

n

n f x

x

− −

−

− != −

( ) ( 1) ( 1)( ) ( 1)n n

n

n f x

x

− − != −

1n −

2

2

3

2( )

(1 2 )

2 2( )

(1 2 )

f x x

f x x

−=′

+

×=′′

+

( 1) 1 ( 1)( ) ( 2)(1 2 )

n n

n

n f x

x

− − − != −+

( )1

( ) ( 2)(1 2 )

n n

n

n f x

x+

!= −

+

1n −

2 1( ) ln(1 2 ) ln(1 2 ) 1

1 2 1 2

x f x x x

x x= + + = + + −′

+ +

( ) ln(1 2 ) 1 ( ) f x x g x= + + −′1 2 x > − /

2( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 2 f x g x g x g x

x= − = −′′ ′ ′

+

( ) ( 2) ( 1)( ) 2 ( ) ( )n n n f x g x g x− −= −




S O L U T I O N S

Soit, d’après le résultat précédent, pour :

e) Cette fonction est indéfiniment dérivable pour , avec :

On retient donc comme forme générale :

Et, en dérivant cette expression :

qui se déduit bien de la forme générale en remplaçant par n.

f) Pour , on obtient comme dérivée :

Le résultat des dérivations successives sera identique à celui de la

question c), où on remplace 2 par a et n par , soit :

On obtient en dérivant à nouveau :

Calculer les dérivées d’ordre n des expressions suivantes :

Réponses :

2n ≥

2 1( )

1

( 2) ( 2) ( 2) ( 1)( ) 2

(1 2 ) (1 2 )( 2) ( 2)

( 2)(1 2 )

n nn

n n

n

n

n n f x

x xn x n

x

− −

−

− − ! − − != −

+ +− ! + /

= −+

( x + n/2)

0 x >

3 2 1 3 2 23 3 3( ) ( ) 1

2 2 2 f x x f x x

/ − / − = , = −′ ′′ ( )

( 1) 3 2 13 3 3( ) 1 2

2 2 2n n

f x n x− / − +

= − ... − + ( ) ( )

( ) 3 23 3 3( ) 1 1

2 2 2n n

f x n x/ −

= − ... − + ( ) ( )1n −

b x

a> −

( )a

f x ax b

=′+

1n −

( 1) 21

( 2)( ) ( )

( )n n

n

n f x a a

ax b

− −

−

− != −

+

( ) 1 ( 1)( ) ( 1)

( )n n n

n

n f x a

ax b

− − != −

+

1( ) e 0 ( )

1 ax x

f x a et g x x

+= , ≠ =

−

( ) ( )1( ) e ( ) 2 1

(1 )n n ax n

n

n f x n et g x x

x+

!= = , ≠

− a

Vous avez compris ?



48 TD Analyse

23. La fonction u est dérivable partout sur , de dérivée constante ,donc la dérivée de la fonction composée est :

Ainsi, en dérivant à nouveau :

D’où par récurrence :

24. a) Les fonctions u et v qui définissent f par leur produit sont telles que, pour , et pour tout entier p. La

formule de Leibniz se réduit donc à :

b) Les dérivées de sont nulles à partir de l’ordre trois, doncpar application de la formule de Leibniz pour :

Pour , la fonction v a pour dérivées successives :

Par conséquent :

On aurait pu également obtenir ce résultat plus simplement en écrivant :

d’où :

et donc la dérivée d’ordre n de f est aussi celle de .

( )u x a=′ f u

[ ]d ( ) d d ( )d d d f u x f u af u

x u x= = ′

[ ]22

2

d ( ) d d( )

d d d

f u x f u a a f u

x u x

′= = ′′

[ ]d ( ) dd d

n nn

n n

f u x f a

x u=

( ) 1u x =′( ) ( ) 0 p

u x = 2 p ≥ ( ) ( ) e p xv x =

( ) ( ) 1 ( 1)( ) ( )n n n

n f x uv C u v x n

−= + = +′ e x

2( ) 1u x x= +

2n ≥

( )( ) 2 ( ) 1 ( 1) 2 ( 2)( ) 1 2 2n n n n

n n f x x v C xv C v− −= + + +

1 x ≠ −

( )2 3 1

1 2( ) ( ) ( ) ( 1)

(1 ) (1 ) (1 )

p p

p

pv x v x v x

x x x+

!= − , = ,..., = −′ ′′

+ + +

( ) 2 21

1

( ) ( 1) 1 2 (1 ) (1 )(1 )

2( 1)(1 )

n n

n

n

n

n f x x x x x

x

n

x

+

+

!= − + − + + +

+

!= −

+

[ ]

2( ) 1

1 f x x

x= − +

+

2

2( ) 1

( 1) f x

x= −′

+2

2 ( )

1

v x

x

=

+




S O L U T I O N S

c) Comme , la formule de Leibniz, pour , se réduit à :

La dérivée d’ordre p de a été calculée pour dans la ques-tion d) de l’exercice 22. Ainsi :

où on a posé :

soit :

Il était ici beaucoup plus facile de calculer les dérivées successives :

On remarque alors que la dérivée d’ordre n de f , pour , n’est autreque la dérivée d’ordre de , multipliée par 6.

d) Comme , la formule de Leibniz se réduit à :

avec :

Ainsi :

25. a) L’expression de se présente sous la forme d’un produit dont ladérivée logarithmique s’obtient comme somme des dérivées logarithmiquesde chacun des facteurs :

3( )u x x= 4n ≥

( ) 3 ( ) 1 2 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)( ) 3 6 6n n n n n

n n n f x x v C x v C xv C v− − −= + + +

( ) lnv x x= 0 x >

( ) 13

( 4)( ) ( 1)n n

nn

n f x u

x

−

−

− != −

( 1)( 2)( 3) 3 ( 2)( 3)

3 ( 1)( 3) ( 1)( 2)

nu n n n n n n

n n n n n n

= − − − − − −

+ − − − − −

( )3

( 4)( ) 6( 1)n n

n

n f x

x−

− != −

2 2 (3)

( ) 3 ln ( ) 6 ln 5 ( ) 6 ln 11 f x x x x f x x x x f x x= + , = + , = +′ ′′

4n ≥3n − ln x

( ) 1u x x= +

( ) ( ) 1 ( 1)( ) (1 )n n n

n f x x v C v−= + +

3 2 5 2

( ) 1 2

1 1 3( ) ( )2 2 2

1 3 2 1( ) ( 1)

2 2 2 p p p

v x x v x x

pv x x

− / − /

− − /

= − , = × ,...,′ ′′

−= − × × ...×

[ ]( )1 2

1 2

1 3 5 (2 3)( ) ( 1) (2 1)(1 ) 2

21 3 5 (2 3)

( 1) (2 1 )2

n n

n n

n

n n

n f x n x nx

x

nn x

x

+ /

+ /

× × × ...× −= − − + −

× × × ...× −= − − −

( ) f x

ln ( ) ln 1 ln 2 1 ln 3 1 f x x x x= | + | + | + | + | + |



50 TD Analyse

On en déduit par dérivation :

La dérivée de f est donc définie sur par :

b) La fonction f est définie pour et peut s’écrire comme le produit :

Sa dérivée logarithmique est donc :

et sa dérivée est définie pour par :

c) Pour on obtient :

Soit, en dérivant :

D’où la dérivée de f :

( ) 1 2 3

( ) 1 2 1 3 1

f x

f x x x x

′= + +

+ + +

2

( ) (2 1)(3 1) 2( 1)(3 1) 3( 1)(2 1)

2(9 11 6)

f x x x x x x x

x x

= + + + + + + + +′

= + +

1 x ≥

1 2 2 3 3 2( ) ( 1) ( 2) ( 3) f x x x x/ − / − /= − + +

2

( ) 1 2 3

( ) 2( 1) 3( 2) 2( 3)

5 24

3( 1)( 2)( 3)

f x

f x x x x

x x

x x x

′= − −

− + +

+ −= −

− + +

1 x >

2

5 53

5 24( )

3 1 ( 2) ( 3)

x x f x

x x x

+ −= −′

− + +

0 x >

ln ( ) ln f x x x=

( ) ln

( ) 2

f x x x

f x x x

′= +

1 21( ) (ln 2)

2 x f x x x− /= +′




S O L U T I O N S

Calculer la dérivée logarithmique, puis la dérivée de :

Réponse :

26. En utilisant la formule de dérivation d’un produit et la définition de l’élas-ticité d’une fonction en un point :

Calculons l’élasticité de la fonction 1/ f :

On en déduit alors l’élasticité de par :

La dérivée d’une fonction composée s’obtient par :

d’où l’élasticité :

31( )

( 2) x x f x x

−=−

] [ ] [

2

2

4

( ) 1 1 3 3 2 4

( ) 2( 1) 2 2 ( 1)( 2)

3 2 4

( ) 1 2 22 1( 2)

f x x x

f x x x x x x x

x x

f x x x x

+ −′= + − = −

− − − −

+ −

= − , ∈ , ∪ ,+∞′ − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )e ( ) e ( )

( ) ( )

fg

f g

fg x f x g x f x g x x x x

fg x f x g x

f x g x x x x x

f x g x

+′ ′ ′= =

′ ′= + = +

1

(1 ) ( ) ( )e ( ) e ( )

(1 )( ) ( ) f f

f x f x x x x x

f x f x/

/ ′ ′= = − = −

/

1

8

f f

g= ×

g

1e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) f g f g f g x x x x x/ /= + = −

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) f g x f g x g x=′ ′ ′

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]

( ) ( ) ( )( )e ( ) ( )( ) ( ) ( )

e ( )e ( )

f g

g f

f g x g x f g x g x

x x x g x f g x g x f g x

x g x

′ ′ ′′

= = ×

=

Vous avez compris ?



52 TD Analyse

a) La dérivée de est , d’où l’élasticité :

Pour une fonction puissance quelconque de la forme f ( x) = axα, sa dérivéeest , donc et son élasticité est cons-tante, égale à l’exposant α.

b) On peut écrire , avec et ,donc en utilisant l’élasticité d’une fonction composée :

L’expression étant l’inverse de la précédente :

On peut écrire :

en ayant posé . Ainsi :

On remarque que :

Donc on utilise la formule donnant l’élasticité d’une fonction composée :

puisque l’élasticité de la fonction puissance est constante, égale à 1.

2 33( )

2 f x x /= 1 3( ) f x x

− /=′

1 3

2 32e ( )

3 2 3 f

x x x x

− /

/= =

/

1( ) f x a xα−= α′ α ( ) ( ) xf x a x f x

α= α = α′ α α

[ ]2 1 ( ) x f g x+ = 2( ) 1 g x x= + ( ) f u u=

[ ]2

2 2

1 2e ( ) e ( )e ( )

2 1 1 f g g f

x x x x g x x

x x= = =

+ +

2

1( )

1h x

x=

+

2

2

e ( )1

h

x x

x= −

+

2

1( ) ( ) ( )

1

xk x f x h x

x

+= =

+

( ) 1 f x x= +

2

2 2(1 )e ( ) e ( ) e ( )

1 1 (1 ) 1k f h

x x x x x x x x x x x

−= + = − =+ + + +( )

2

2 1( ) (2 )

4 1

xl x k x

x

+= =

+

2

2 (1 2 )e ( ) e (2 )

(1 2 ) 1 4l k

x x x x

x x

−= =

+ +( )

( ) 2 g x x=




S O L U T I O N S

c) On écrit encore avec cette fois et. Par conséquent :

L’expression peut s’écrire comme le produit de la fonction

précédente par dont l’élasticité vaut 1/3, d’où :

On peut remarquer que :

et par conséquent :

Calculer l’élasticité des fonctions définies par les expressions ci-après :

Réponses :

[ ]3 1 ( ) x f g x+ = ( ) 1 g x x= +3( ) f u u=

1e ( ) e ( )3 3( 1) f g g x x x x

= =−

+

3 2( )h x x x= +3 x

1 2 1e ( )

3( 1) 3 3( 1)h

x x x

x x

+= + =

+ +

1 3 3

3

1 1( ) 1

xk x

x x

/+

= + = ( )

1 1e ( )

3( 1) 3 3( 1)

k

x x

x x

= − = −+ +

1 3

3

1( ) ( ) ( 1) f x et g x x

x

− /= = +

1e ( ) e ( )3 3( 1) f g

x x et x x

= − = −+

Vous avez compris ?



3Formule de Tayloret applications

La notion de développement limité est une des plus utilesdans la recherche des limites et l’étude d’une fonction au voisinaged’un point. Elle vient compléter celle de fonction équivalente, insuf-fisante dans certains cas où les équivalents peuvent disparaître paraddition. Elle consiste à remplacer, au voisinage d’un point, une

fonction régulière, c’est-à-dire admettant des dérivées jusqu’à uncertain ordre, par un polynôme, fonction beaucoup plus simple àétudier. Elle se déduit des formules fondamentales de Taylor et deMaclaurin. Il est indispensable de connaître les développementslimités des fonctions usuelles.

Dans de nombreux problèmes, on doit rechercher l’existenced’extremums d’une fonction et parfois étudier sa convexité. Il esttrès important de noter que ces deux notions ne sont pas liées a

priori à celle de dérivée, association que l’on a souvent tendance àfaire trop rapidement. Elles sont définies de façon totalement indé-pendante. Dans un certain nombre de cas, moins rares qu’on pour-rait le penser, une fonction f présente un extremum en un point x 0où justement elle n’est pas dérivable. Cet extremum ne pourradonc se trouver que par l’étude directe du signe de f (x ) –f (x 0), quidoit rester constant quand x reste au voisinage de x 0.

1 Théorème de RolleSi f est une fonction numérique définie et continue sur un intervalle fermé, dérivable sur l’ouvert et telle que , alors il existe au

moins un point c de l’ouvert tel que .[ ] a b, ] [ a b, ( ) ( ) f a f b=

] [ a b, ( ) 0 f c =′



TD 3 Formule de Taylor et applications 55

C O U R S

Ce théorème traduit le fait que la fonction f présente au moins unminimum ou un maximum sur l’intervalle ouvert, avec une tangente horizon-tale en ce point.

2 Théorème des accroissements finis

Si f est une fonction numérique définie et continue sur un intervalle ferméet dérivable sur l’ouvert , alors il existe au moins un point c de

l’ouvert tel que :

D’après ce théorème, il existe au moins un point du graphe de f ,d’abscisse c , où la tangente est parallèle à la droite qui relie les points

et . Il montre aussi comment le sens de variation d’unefonction peut être déterminé à partir du signe de la dérivée, qui est celui del’accroissement .

On peut écrire différemment ce résultat en faisant apparaître la longueurde l’intervalle et en posant . Le point c de l’ouvert peut alors

s’écrire sous la forme θh, où θ est un nombre, dépendant de h, tel que. Avec ces nouvelles notations, la formule des accroissements finisdevient :

3 Formules de Taylor

Si f est une fonction dérivable jusqu’à un certain ordre, le résultat précé-dent se généralise à l’aide des dérivées successives. Les formules de Taylor sedifférencient par un reste qui peut s’exprimer sous différentes formes.

3.1 Formule de Taylor-Lagrange

Si f est une fonction numérique définie et continue sur un intervalle fermé, admettant n dérivées successives continues sur cet intervalle, telle que

existe sur l’ouvert , alors il existe au moins un point c de l’ouverttel que :

[ ] a b, ] [ a b,] [ a b,

( ) ( ) ( ) ( ) f b f a b a f c − = − ′

( )( ) A a f a, ( )( )B b f b,

( ) ( ) f b f a−

h b a= − a x=

c x= +0 1< θ <θ

( ) ( ) ( ) f x h f x hf x h+ − = + θ′ θ

[ ] a b,( 1)n

f +

] [ a b,] [ a b,

2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

b a b a f b f a f a f a

− −= + + + ...′ ′′

! !

1( ) ( 1)( ) ( )

( ) ( )( 1)

n nn nb a b a

f a f c n n

++− −

+ +! + !



56 TD Analyse

Il s’agit du développement de la fonction f au point a par la formule deTaylor à l’ordre , où le dernier terme se nomme reste de Lagrange.

3.2 Formule de Taylor-YoungSi f est une fonction numérique définie et continue sur un intervalle fermé

, admettant n dérivées successives continues sur cet intervalle, telle queexiste, alors il existe une fonction ε définie pour tout point x de

l’ouvert telle que :

avec ε( x) qui tend vers 0 quand x tend vers a. Il s’agit du développement de lafonction f au point a par la formule de Taylor à l’ordre , où le dernierterme se nomme reste de Young.

Si on écrit l’expression précédente pour , on obtient la formule deMaclaurin avec reste de Young :

avec ε( x) qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

4 Développement limité

Définition. Une fonction f , définie au voisinage de 0, admet un développement limité d’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme de degré inférieurou égal à n tel que soit un infiniment petit d’ordre supérieur à npar rapport à x, c’est-à-dire si on peut écrire :

où ε est une fonction définie sur un voisinage de 0 et qui tend vers 0 avec x.

1n +

[ ] a b,( 1) ( )n f a+

] [ a b,

2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

x a x a f x f a f a f a

− −= + + + ...′ ′′

! !1 1

( 1)( ) ( )( ) ( )

( 1) ( 1)

n nn x a x a

f a xn n

+ ++− −

+ + ε+ ! + !

ε

1n +

0 a =

2 1( 1) 1( ) (0) (0) (0) (0) ( )

1 2 ( 1)

nn n x x x

f x f f f f x xn

++ += + + + ...+ + ε′ ′′

! ! + !ε

n P( ) ( )n f x P x−

20 1 2( ) ( )n n

n f x a a x a x a x x x= + + + ...+ + εε




C O U R S

Développement limité au voisinage de 0 des fonctions usuelles :

où, pour chaque développement, ε est une fonction définie sur un voisinage de0 et qui tend vers 0 avec x.

5 Extremum

Définition. Une fonction f présente un extremum en un point s’il existe unintervalle ouvert I de centre tel que garde un signe constantpour tout point x de cet intervalle. Si , il s’agit d’un minimumet si , il s’agit d’un maximum.

Si le signe est constant dans tout le domaine de définition de la fonction,

il s’agit d’un extremum global. Dans le cas contraire, on peut préciser qu’ils’agit d’un extremum local.

6 Fonction convexe

Définition. Une fonction numérique f définie sur un intervalle I est dite con-vexe sur cet intervalle si, pour tous les points x et y de I et pour tout nombre t de , on a l’inégalité :

On dit que f est concave si la fonction − f est convexe.

Si f est dérivable, la condition de convexité s’écrit plus simplement :

pour tous les points x et de I. Cela traduit géométriquement le fait quele graphe de la fonction est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes.

2

2

2 3

2 31

3 5 2 12 2

e 1 ( )

1 2( 1) ( 1) ( 1)

(1 ) 1 ( )2

11 ( 1) ( )

1

ln (1 ) ( 1) ( )2 3

sin ( 1)3 5 (2 1)

n x n

n n

n n n

nn n

nn n

x x x x x

nn

x x x x x xn

x x x x x x x

x x x x x x x

n

x x x x x x

n

α

−

++

= + + + ...+ + ε

! ! !α α − α α − ... α − +

+ = + α + + ...+ + ε! !

= − + − + ... + − + ε+

+ = − + − ...+ − + ε

= − + − ...+ − +! ! + !2 4 2

2 1

( )

cos 1 ( 1) ( )2 4 (2 )

nn n

x

x x x x x x

n+

ε

= − + − ...+ − + ε! ! !

ε

α αα x

α α αε

ε

ε

ε

ε

0 x

0 x 0( ) ( ) f x f x−

0( ) ( ) 0 f x f x− ≥

0( ) ( ) 0 f x f x− ≤

[ ]0 1,

[(1 ) ] (1 ) ( ) ( ) f t x ty t f x tf y− + ≤ − +[ ]

( ) ( ) ( ) f x h f x hf x+ ≥ + ′

x h+



58 TD Analyse

Si f est deux fois dérivable, la condition de convexité s’écrit encore plussimplement :

en tout point x de I.

Point d’inflexion. Une fonction numérique admet un point d’inflexion en unpoint où elle est continue, s’il existe un intervalle ouvert tel que cettefonction soit concave (resp. convexe) sur et convexe (resp. concave) sur

.

En un point d’inflexion où le graphe admet une tangente, la courbe tra-

verse cette tangente.

( ) 0 f x≥

′′

0 x ] [ a b,

0 a x ,] [

] [0 x b,




E X E R C I C E S

9. Soit f la fonction définie par . Existe-t-il un point c de l’inter-valle tel que ?

Vrai Faux

1. Le reste de la formule de Maclaurin peut être nulen tout point du domaine de définition d’une fonction.

2. Si deux fonctions ont le même développementlimité à l’ordre n, elles sont égales.

3. Si une fonction possède un développement limitéà l’ordre n, ce développement est unique.

4. Le développement limité d’une fonction paire necomprend dans sa partie polynomiale que des puis-

sances paires de x. 5. Si une fonction admet un développement limité àl’ordre deux, elle est deux fois dérivable.

6. La condition est nécessaire pour qu’unefonction f admette un extremum en un point x0.

7. Si une fonction f est deux fois dérivable, la condi-

tion est nécessaire pour que f admette unpoint d’inflexion en x0.

8. Une fonction convexe sur un intervalle ouvert estcroissante ou admet un seul minimum sur cet inter-valle.

0( ) 0 f x =′

0( ) 0 f x =′′

5 4( ) f x x=

[ ]1 1− , ( ) 0 f c =′



60 TD Analyse

10. Le développement de Taylor-Lagrange peut s’écrire sur l’intervalleet le point c de l’ouvert s’écrit alors sous la forme θh, où θ est

un nombre de l’intervalle qui en général dépend de h. On va établir que,

dans le cas d’un polynôme, θ ne dépend que de son degré. Pour cela, ondemande d’écrire le développement de Taylor-Lagrange d’un polynôme P dedegré n, à l’ordre avec θh, puis à l’ordre . Par différence, onen déduit l’expression de . En appliquant ensuite lethéorème des accroissements finis au polynôme sur l’intervalle

on pourra obtenir l’expression de θ en fonction de n.

11. Indiquer comment, à partir de l’expression :

on peut définir une fonction f continue et dérivable sur .

12. Déterminer les extremums éventuels des fonctions f définies par lesexpressions suivantes :

a) , ; b) , ;

c) ; d) pour etpour .

13. Montrer que la fonction f définie par présente un pointd’inflexion pour .

Théorème de Rolle

14. Examiner si on peut appliquer le théorème de Rolle aux fonctions f défi-nies par les expressions ci-après.

a) , ; b) , ; c) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut vérifier toutes les hypothèses duthéorème de Rolle, c’est-à-dire la continuité de la fonction sur l’intervallefermé et sa dérivabilité sur l’ouvert, sans oublier la condition d’égalité auxbornes de l’intervalle. Bien entendu, si une seule de ces hypothèses n’est pasvérifiée le théorème ne s’applique pas.

[ ] a a h, + c a= +

] [0 1,

1n − c a= + 1n +( 1) ( 1)( ) ( )n n P a h P a− −+ θ −θ

( 1)n P −

[ ] a a h, + θθ

2ln( )1

x x f x x

=−

] [0,+∞

( ) f x x= [ ]1 2 x ∈ , 3( ) f x x= x ∈

( ) f x x x= , ∈ ( ) 0 f x = 0 x <

( ) e x f x −= 0 x ≥3( ) 2 f x x= +

2 x = −

( ) f x

2

1

3 x − [ ]2 2 x ∈ − , 1 x| − | [ ]0 2 x ∈ , 11 x x

−

+ [ ]0 1 x ∈ ,




E X E R C I C E S

15. Utiliser le théorème de Rolle pour déterminer le nombre de racines del’équation :

Analyse de l’énoncé et conseils. Le calcul de la dérivée de f permet de déter-miner une racine de cette équation et d’en localiser une seconde sur l’intervalle

. Le théorème de Rolle permet d’affirmer qu’il ne peut pas y avoirune autre racine sur cet intervalle.

Théorème des accroissements finis

16. Examiner si on peut appliquer le théorème des accroissements finis surl’intervalle à :

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut examiner si les fonctions f et g sontcontinues sur l’intervalle fermé et dérivables sur l’ouvert.

17. Appliquer le théorème des accroissements finis à :

sur l’intervalle en précisant la valeur de c .

Analyse de l’énoncé et conseils. Après avoir vérifié les hypothèses du théo-rème, on calcule la dérivée de f pour obtenir la valeur de c qui figure dans laformule des accroissements finis.

18. Appliquer le théorème des accroissements finis à :

sur un intervalle qui ne contient pas l’origine, en précisant la valeur de c .Si on pose et θh, calculer θ = θ(h) puis étudier sa limitequand h tend vers 0.

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour que f soit dérivable sur l’ouvert ,il ne doit pas contenir l’origine, donc les réels a et b sont de même signe. Onexprime d’abord θh, puis θ, en fonction de a et de pour faire

tendre ensuite h vers 0 et obtenir ainsi la limite de θ.19. Si f est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur ,de dérivée négative, montrer, en utilisant le théorème des accroissementsfinis, qu’elle vérifie :

En déduire que la limite de est nulle quand x tend vers plus l’infini,si admet une limite finie.

3 2( ) 4 20 17 4 0 f x x x x= − + − =

] [17 6/ ,+∞

[ ]1 1− ,2 3 1 3( ) et ( ) f x x g x x/ /= =

3( ) f x x x= −

[ ]2 1− ,

1( ) f x

x

=

[ ] a b,b a h= + c a= +

] [ a b,

c a= + a h+

] [0,+∞ f ′′

( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) f x f x f x f x f x+ − ≤ ≤ − −′

( ) f x′( ) f x



62 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. La fonction f vérifie les hypothèses du théo-rème des accroissements finis sur n’importe quel intervalle inclus dans

, donc en particulier sur les intervalles et pour tout. L’hypothèse faite sur permet d’en déduire les inégalités demandées.

On calcule ensuite les limites quand x devient infini, ce qui permet de con-clure que tend vers zéro.

Formule de Taylor-Lagrange

20. Écrire la formule de Taylor, avec reste de Lagrange, à l’ordre quatre, desfonctions f définies par les expressions suivantes :

a) , pour ; b) , pour ;

c) , pour ; d) , pour .

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule les dérivées successives de f , puison écrit la formule de Taylor-Lagrange sur l’intervalle avec x voisin

de 0 ou sur l’intervalle avec x voisin de a.

Formule de Maclaurin

21. Écrire la formule de Maclaurin, à l’ordre quatre, au voisinage de zéro, pourla fonction f définie par .

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule les dérivées successives de f , puison écrit la formule de Taylor-Young au point .

Développements limités

22. Écrire les développements limités à l’ordre n des fonctions f définies par lesexpressions ci-après :

a) , au voisinage d’un nombre a > 0 ; b) , où α ,au voisinage de 1 ;

c) , au voisinage de plus l’infini ; d) , au voisinage du réel

a ≠ 0 ;

e) , au voisinage de 0.

] [0,+∞

[ ]1 x x− ,

[ ]1 x x, +

1 x > f ′′

( ) f x′

( ) f x

3 22 3 5 x x x− + + 2 a =1

1 x+1 a =

ln x 1 a =

1

( 1) x x +1 a =

[ ] a a x, +

[ ] a x,

( ) 1 f x x x= + −

0 a =

( ) f x

ln x (1 ) x α+ ∈

2 1 x x

− e x a/

ln ( 1)

1

x

x

+

+




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. On effectue un changement de variable per-mettant d’utiliser les développements des fonctions usuelles au voisinage dezéro. Pour la dernière question, il faut effectuer le produit de deux développe-ments usuels et regrouper les termes de même degré, en ne dépassant pasl’ordre n.

23. Écrire les développements limités à l’ordre quatre, au voisinage de 0 de :

Analyse de l’énoncé et conseils. Le développement de s’obtient paraddition de deux développements usuels. Celui de s’en déduira par chan-gement de variable et en utilisant un autre développement usuel. Après unchangement de variable, il faut faire attention de ne pas réintroduire destermes d’un ordre supérieur à ceux qui ont été négligés auparavant.

Recherche des équivalents et limites

24. Déterminer un équivalent, au voisinage de 0, des expressions suivantes :

a) , où a + − 1 ; b) ;

c) ; d) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour obtenir un équivalent, il faut pousserle développement limité suffisamment loin, car on sait que les équivalents peu-

vent disparaître par différence. On utilise les développements limités usuels.25. Déterminer les limites des expressions suivantes :

a) , quand ;

b) , quand ;

c) , quand ;

d) , quand ;

e) , quand .

( ) 1 1 f x x x= + + − ( ) ln 1 1 g x x x = + + −( )

( ) f x

( ) g x

1 x a − ∈ 1 12

x x− − +

2 231 1 2 3 x x x+ − − − + ( )2

1e e 2 1 x x

x−+ − −

( ) f x

2

2sin

1

x x

x + x → +∞

( )

2 2

2

e e 1

e 1

x x

x

x x

x

− + +

−0 x →

3

1exp exp 2e

1 1 x x x

x x x

+ −+ −

( ) 0 x →

2

lncos x

x0 x →

[ ]2

1ln (1 sin ) x x

x+ − 0 x →



64 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. C’est l’utilisation des développementslimités usuels qui va permettre de déterminer ces limites, l’infiniment petitétant 1/ x quand x tend vers l’infini.

26. Déterminer un équivalent des expressions suivantes, quand:

a) , où m ; b)

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit dans la première expression d’intro-

duire le dénominateur x sous le radical numérateur. Dans la seconde expres-sion, on utilise une identité remarquable et ensuite on écritpour faire apparaître l’infiniment petit .

27. Déterminer les nombres réels a et b pour que les expressionssuivantes soient des infiniment petits d’ordre le plus élevé possible par rapportà l’infiniment petit x :

a) ; b) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On écrit le développement limité du secondterme de la différence et on l’identifie avec celui du premier terme, ce qui don-nera deux équations à résoudre pour trouver a et b.

28. Déterminer un équivalent au voisinage de de :

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut d’abord faire un changement devariable permettant d’utiliser le développement limité des radicaux au voisi-nage de zéro. Ensuite on effectue le développement d’une fraction dont ledénominateur est écrit sous la forme , où u est un infiniment petit.

Recherche d’asymptotes

29. Les expressions suivantes définissent des fonctions f . On demande dedéterminer les équations des asymptotes au graphe de f et de préciser leur posi-tion par rapport à ce graphe.

a) ; b) ;

c) ; d)

( ) f x x → +∞

211 2

m

m x

x

++ − ( ) ∈

[ ] [ ]2 2

ln ( 1) ln

ln

x x

x

+ −⋅

1 (1 1 ) x x x+ = + /1 x/

( ) f x

1

e 1

x ax

bx

+

− +

2

2

1 2

ln 1 1

x ax

x x bx

+ +

−− +

2 x =

2 2 3( )

27 3

x f x

x

+ −= −

+ −

1 u+

( ) f x

2

2 1

x

x −

e e

e e

x x

x x x

−

−

−

+

3 23 2 1

1

x x x x

x

− − ++

+

32

23 2

1

x x x

x

− + − ⋅

−




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. On examine d’abord l’existence d’uneasymptote verticale. Ensuite, pour x tendant vers l’infini, on cherche un déve-loppement limité des expressions qui définissent par rapport à l’infini-ment petit . Si on obtient une expression de la forme ,où est un infiniment petit, est l’équation de l’asymptote et lesigne de donne la position du graphe de f par rapport à cette asymptote.

Recherche d’extremums

30. Déterminer les extremums des fonctions f définies par lesexpressions suivantes et préciser leur nature.

a) ; b) ; c) ;

Analyse de l’énoncé et conseils. Lorsque la fonction f est dérivable, on étudiele signe de la dérivée seconde au voisinage des points où la dérivée premières’annule. Aux points où la fonction f n’est pas dérivable, il faut faire uneétude locale, c’est-à-dire examiner si le signe de reste constant.

Convexité31. Les expressions suivantes définissent une fonction f . On demande dedéterminer les parties de où elle est convexe.

a) ; b) ;

c) ; d) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Lorsque la fonction f est dérivable, l’étudedu signe de permet de déterminer les intervalles où elle est convexe.Dans le cas où elle n’est pas dérivable partout, on doit vérifier l’inégalité défi-nissant la condition de convexité sur un intervalle.

Point d’inflexion

32. Déterminer les éventuels points d’inflexion des fonctions f qui sont défi-

nies par les expressions ci-après :a) ; b) ;

c) ; d) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On étudie le signe de la dérivée secondepour déterminer les points éventuels où f change de concavité.

( ) f x1 x/ ( ) ( ) f x ax b g x= + +

( ) g x ax bϒ = +( ) g x

( ) f x

2 2 x x− / 2( 1) x − 3( 1) x +3 22 3 x x+

0 x

0( ) ( ) f x f x−

( ) f x

x| |2 2e x− /

2 2 1 x x+ | − |1

2 e( 1)

x

x x

/

−

( ) f x′′

( ) f x4 33 4 x x− 43 1 x x− +

3 2 x +3 2

2

2 3

3

x x x

x

+ − −

−



66 TD Analyse

Étude de fonction

33. Étudier et représenter graphiquement les fonctions f qui sont définies par

les expressions ci-après :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On détermine au préalable le domaine dedéfinition et les limites de la fonction aux bornes de ce domaine. On calculeensuite la dérivée pour obtenir le sens de variation. On peut avoir à étudier ladérivabilité en certains points particuliers. On examine ensuite s’il existe desasymptotes, obliques ou non. Enfin, le graphe peut être précisé par l’étude dela convexité et la recherche de points d’inflexion éventuels.

( ) f x23 1 2 x x x+ + − −

2

41

( 1) x

x+ +

−

2 3 3 1 x x x+ + + / 33 3 2 x x− +

1

1

x

x

−

+




S O L U T I O N S

QCM

1. Vrai. C’est le cas des polynômes, quand on écrit la formule de Maclaurin àun ordre supérieur à leur degré.

2. Faux. Si les dérivées à l’origine de deux fonctions distinctes prennent lesmêmes valeurs, les développements seront identiques.

3. Vrai. Le développement limité se déduisant de la formule de Taylor àl’origine, il est défini de façon unique pour une fonction donnée. Ce résultatn’est pas contradictoire avec le précédent, car si à une fonction est associé undéveloppement unique, un développement donné peut être lui associé àplusieurs fonctions distinctes.

4. Vrai. La partie polynomiale du développement limité d’une fonction est demême parité que celle-ci. Voir par exemple le développement des fonctionssinus et cosinus.

5. Faux. Si par exemple une fonction impaire n’admet pas de dérivée seconde,son développement limité à l’ordre deux existe quand même et s’écrit

ε( x).

6. Faux. Une fonction peut admettre un extremum en un point où elle n’estpas dérivable. On trouvera des contre-exemples dans la question 12.

7. Faux. Considérons par exemple la fonction f définie par . Onobtient en dérivant et qui s’annule sans changer de

signe pour . Il y a un minimum à l’origine mais pas de point d’inflexion.8. Vrai. Si par exemple f est dérivable, sa dérivée est croissante et il ne peut yavoir au plus qu’une valeur pour laquelle elle s’annule. Si la fonction présentaitdeux minimums, il devrait y avoir un changement de concavité sur l’inter-valle.

9. La fonction f est définie et continue sur l’intervalle , avec de plus. Cependant, sa dérivée n’est pas définie pour

et ne s’annule en aucun autre point de l’intervalle . Le théorèmede Rolle ne s’applique pas, car cette fonction n’est pas dérivable sur toutl’ouvert . On voit sur cet exemple qu’il faut être attentif à toutes leshypothèses qui figurent dans l’énoncé du théorème de Rolle.

10. Le développement de Taylor-Lagrange du polynôme P à l’ordres’écrit :

21( ) f x a x x= +

4( ) f x x=3( ) 4 f x x=′

2( ) 12 f x x=′′

0 x =

[ ]1 1− ,(1) ( 1) 1 f f = − = 5( ) 4 5 f x x= /′

0 x = [ ]1 1− ,

] [1 1− ,

1n −

2 1( 2) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 2) ( 1)

n nn nh h

P a h P a hP a P a P a hn n

− −− −+ = + + ...+ + + θ′

− ! − !θ



68 TD Analyse

Le même développement à l’ordre ne comportera pas de reste, car ladérivée du polynôme P de degré n, à l’ordre , est identiquement nulle :

Par différence, on en déduit :

D’après le théorème des accroissements finis appliqué au polynôme

sur l’intervalle , il existe un nombre dans tel que :

Le polynôme étant une constante, on conclut de ces deux égalitésque :

11. La fonction f doit d’abord être définie pour . L’expression de seprésente sous la forme indéterminée quand x tend vers 1. Pour étudier lalimite, nous allons poser , où u tend vers 0, donc admet commeéquivalent u. D’après les propriétés des fonctions équivalentes, on obtientdonc :

Donc, si on pose par définition qui est la limite de quand x tend vers 1, on aura défini une fonction f continue sur . Pour qu’ellesoit aussi dérivable sur cet intervalle, il faut que le rapport :

admette une limite quand x tend vers 1, la fonction f étant dérivable pour tous

les autres points de son domaine de définition. L’expression de ce rapport est :

Si on se contentait de prendre un équivalent du logarithme au numérateurqui s’écrit , on obtiendrait qui n’est pas l’équi-valent du numérateur. Les termes du premier degré disparaissant par diffé-rence, il faut écrire le développement du logarithme à l’ordre deux, pour

1n +1n +

1

( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)

n n

n nh h P a h P a hP a P a P an n

−

−+ = + + ...+ +′− ! !

( 1) ( 1) ( )( ) ( ) ( )n n nh P a h P a P a

n− −+ θ − =θ

( 1)n P −

[ ] a a h, + θθ θ′ ] [0 1,( )( 1) ( 1) ( )( ) ( )n n n P a h P a a hhP

− −+ θ − = θ + θθ′θ θ θθ

( )n P

1

nθ =θ

1 x = ( ) f x00---

1 x u= + ln x

1 1( )

(2 ) 2

u f x u

u u

+→

+∼

(1) 1 2 f = / ( ) f x] [0,+∞

( ) (1)

1

f x f

x

−

−

2

2

2 ln 1

2( 1) ( 1)

x x x

x x

− +

− +

2(1 ) ln(1 ) (2 )u u u u+ + − + 2u




S O L U T I O N S

introduire le terme du second degré qui avait été négligé en prenant seulementun équivalent, soit :

On constate que les termes d’ordre deux disparaissent aussi, donc il fautécrire le développement limité à l’ordre trois du logarithme :

pour obtenir /3 comme équivalent du numérateur et au total :

qui tend vers 0 quand x tend vers 1. La fonction f est donc dérivable en ce pointavec .

12. a) La fonction f est définie, continue et dérivable sur l’intervalle , de

dérivée constante , qui ne s’annule donc en aucun point de cet inter-valle. Cette fonction étant croissante, elle admet cependant un minimumpour et un maximum pour . Notons bien sûr qu’elle n’admetaucun extremum sur l’intervalle ouvert .

b) La fonction f est définie, continue et dérivable partout, de dérivéequi s’annule pour . Cependant, il n’y a pas d’extremum à

l’origine puisque cette fonction est croissante sur tout .

c) On a , donc l’origine est un minimum global, bien

que la dérivée ne soit pas nulle en ce point. En effet, pour etpour , donc et . Par conséquent, cette

fonction admet un minimum en un point où elle n’est pas dérivable.

d) Pour tout réel positif la fonction f est décroissante, donc, et au point il y a donc un maximum, qui est d’ailleurs

un maximum global puisque cette fonction est nulle pour les réels négatifs. Ence point où la fonction présente un extremum, la dérivée ne s’annule paspuisque f n’y est pas dérivable, n’étant pas continue à l’origine.

13. La fonction f admet comme dérivée pour x différent

de . Si on dérive à nouveau, on obtient , expression

qui est positive pour et négative pour . Il y a donc un pointd’inflexion pour , point où la dérivée seconde change de signe, maissans s’annuler, puisque la fonction n’y est pas dérivable.

2

2 22(1 ) ln (1 ) (2 ) 2(1 ) ( ) 22uu u u u u u u u u u + + − + = + − + ε − − ( )ε

2 33ln (1 ) ( )

2 3

u uu u u u+ = − + + εε

3

u−3

2

( ) (1) 1

1 3 2 (2 ) 12 12

f x f u u x

x u u

− −− − =

− × +∼ ∼

(1) 0 f =′

[ ]1 2,

( ) 1 f x =′

1 x = 2 x =

] [1 2,

2( ) 3 f x x=′ 0 x =

( ) 0 (0) f x x f = ≥ =

( ) 1 f x = −′ 0 x <( ) 1 f x =′ 0 x > (0 ) 1 f − = −′ (0 ) 1 f + =′

( ) (0) 1 f x f < = 0 x =

2 31( ) ( 2)

3 f x x − /= +′

2− 5 32( ) ( 2)

9 f x x − /= − +′′

2 x < − 2 x > −

2 x = −



70 TD Analyse

14. a) Cette fonction n’est pas définie pour et , donc le théo-rème de Rolle ne s’applique pas sur l’intervalle . Cependant, si on serestreint à l’intervalle où la fonction est définie, continue et dérivable,

le théorème s’applique puisque . La dérivée est, donc elle ne s’annule que pour .

b) Cette fonction est définie et continue sur l’intervalle , avec. Cependant, elle n’est pas dérivable pour , admettant

une dérivée à gauche et une dérivée à droite . Le théo-rème de Rolle ne s’applique pas ici.

c) Cette fonction est définie, continue et dérivable sur , maisavec et , donc le théorème ne s’applique pas non plus.

Examiner si on peut appliquer le théorème de Rolle à sur l’intervalle .

Réponse : la fonction f est définie et continue sur avec ; elle n’est pas dérivable aux extrémités de cet intervalle, mais

la dérivée existe sur l’ouvert , donc le théorème de Rolle s’applique, avec .

15. On obtient comme dérivée . Les racines desont 1/2 et 17/6. On remarque aussi que , donc on

obtient une première racine . La dérivée étant négative sur l’intervalle, la fonction f est décroissante, donc prend des valeurs négatives.

Comme tend vers plus l’infini avec x, il y a une valeur dans l’inter-valle telle que . S’il existait sur cet intervalle une autre

valeur telle que , on pourrait appliquer le théorème de Rolle suret il y aurait ainsi une valeur c telle que . Cela est impossiblepuisque est un polynôme du second degré qui n’admet que deux racines.S’il n’y a que deux racines distinctes de c’est parce que estracine double, ce que l’on aurait pu déduire du fait que et

. On peut donc factoriser , la division de donnant :

l’autre racine étant donc .

16. La fonction f est continue sur , de dérivée , non

définie pour , donc les hypothèses du théorème des accroissements finisne sont pas remplies. On a ici et il n’y a aucun point où

. On voit sur la figure 3.1 qu’il y a un point de rebroussement à l’ori-gine.

3 x = 3 x = −

[ ]2 2− ,

[ ]1 1− ,

( 1) (1) 1 2 f f − = = − /

( )22( ) 2 3 f x x x= − / −′ 0 x =

[ ]0 2,(0) (2) 1 f f = = 1 x =

(1 ) 1 f − = −′ (1 ) 1 f + =′

[ ]0 1,(0) 1 f = − (1) 0 f =

2( ) 1 f x x= −

[ ]1 1− ,

[ ]1 1− ,( 1) (1) 0 f f − = =

] [1 1− ,

(0) 0 f =′2( ) 12 40 17 f x x x= − +′

( ) 0 f x =′ (1 2) 0 f / =

1 1 2 x = /

[ ]1 2 1 7 6/ , /( ) f x 2 x

] [17 6/ ,+∞ 2( ) 0 f x =

3 x 3( ) 0 f x =2 3 x x ,[ ] ( ) 0 f c =′

f ′( ) 0 f x = 1 1 2 x = /

(1 2) 0 f / =(1 2) 0 f / =′

2( 1 2) x − / ( ) f x

2

21( ) (4 16) (2 1) ( 4)

2

f x x x x x

= − − = − − ( )4 x =

[ ]1 1− , 1 32( )

3 f x x− /=′

0 x =( 1) (1) 1 f f − = =

( ) 0 f x =′

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

La fonction g est continue sur , de dérivée , non

définie pour , donc les hypothèses du théorème des accroissements finisne sont pas remplies. Cependant, si on considère cette fonction successivement

sur les intervalles et , les hypothèses vont être vérifiées, puisque gest dérivable sur les intervalles et . On a et il y abien un point c de où , soit ou . Demême, au point B d’abscisse la tangente au graphe est parallèle à lacorde OA (voir figure 3.2).

Figure 3.1

[ ]1 1− , 2 31( )

3 g x x− /=′

0 x =

[ ]1 0− , [ ]0 1, ] [1 0− , ] [0 1, (0) ( 1) 1 g g− − =

] [1 0− , ( ) 1 g c =′2 3 3c − / = 1 3 3c = − /

1 3 3/

Figure 3.2



72 TD Analyse

17. Le polynôme f vérifie bien entendu les hypothèses du théorème, avecet . La dérivée étant , la valeur de c doit

vérifier soit , de solution unique sur l’intervalle

.

Appliquer le théorème des accroissements finis à sur l’intervalleet préciser la valeur de c.

Réponse :

18. Les hypothèses du théorème des accroissements finis sont vérifiées sur toutintervalle qui ne contient pas l’origine, avec , donc le point c de

vérifie :

soit . Dans le cas où a et b sont positifs par exemple, on obtient. Pour et , on en déduit ,

soit :

obtenu en multipliant par la quantité conjuguée et en simplifiant ensuite par h

différent de zéro. Ceci peut encore s’écrire, en simplifiant par a non nul :

quand h tend vers zéro.

19. On applique le théorème des accroissements finis à la fonction f , successi-vement sur les intervalles et :

où et sont respectivement des points de et . Commeest négative, la fonction est décroissante, donc les inégalités

impliquent les inégalités suivantes :

(1) 0 f = ( 2) 6 f − = 2( ) 1 3 f x x= −′

( )26 3 1 3c − = − 2 1c = 1c = −

] [2 1− ,

2( ) f x x=

[ ] a b,

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

2 f b f a b a b a f x x c a b− = − + , = , = +′

2( ) 1 f x x= − /′

] [ a b,

2

1 1 b a

b a c

−− = −

2c ab=c ab= b a h= + c a h= + θθ ( ) a h a a h+ θ = +θ

1( )

( )

a a a h a

h a a h a θ = + − = + +[ ]θ

1 1

21 1 h aθ = →

+ + /θ

[ ]1 x x− , [ ]1 x x, +

1

2

( ) ( 1) ( )( 1) ( ) ( )

f x f x f x f x f x f x

− − = ′

+ − = ′

1 x 2 x ] [1 x x− , ] [1 x x, + f ′′ f ′

1 2 x x x< <

2 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) f x f x f x f x f x f x f x= + − ≤ ≤ − − =′ ′ ′

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

Si admet une limite finie , les différences et) ont comme limite , ce qui impose, d’après les inéga-

lités précédentes, que tend vers 0 quand x tend vers .

20. a) La fonction f est un polynôme indéfiniment dérivable partout, avec, , et . Au point

, le développement de Taylor-Lagrange s’écrit donc sans reste, avec :

Dans ce développement x est voisin de 0. Bien entendu, on aurait puobtenir directement ce résultat à partir de l’expression du polynôme en rem-plaçant x par .

b) Cette fonction est indéfiniment dérivable sur , pour x voisin de 1,avec :

Le développement de Taylor-Lagrange est donc :

avec θ dans l’intervalle . On pourrait également écrire ce développementsous une autre forme en posant , avec u voisin de 0 :

c) La fonction logarithme est indéfiniment dérivable au voisinage de 1,avec :

( ) f x ( 1) ( ) f x f x+ −( ) ( 1 f x f x− − 0− =

( ) f x′ ∞+

2( ) 3 4 3 f x x x= − +′ ( ) 6 4 f x x= −′′(3) ( ) 6 f x = (4) ( ) 0 f x =

2 a =

2 3(3)

2 3

(2 ) (2) (2) (2) (2)2 6

11 7 4

x x f x f xf f f

x x x

+ = + + +′ ′′

= + + +

2 x +

[ ]1 x,

2 3

(3) (4)

4 5

1 2( ) ( )

(1 ) (1 )

6 24( ) ( )(1 ) (1 )

f x f x x x

f x f x x x

= − , = ,′ ′′+ +

= − , =+ +

[ ]

2 3(3)

4(4)

42 3

5

( 1) ( 1)( ) (1) ( 1) (1) (1) (1)

6

( 1)1 ( 1)

241 1 1 1 ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)2 4 8 16 (2 )

x x f x f x f f f

x

x f x

x x x x

x

− −= + − + +′ ′′

−+ + θ −

−= − − + − − − +

− θ + θ

2

θ

θ θ

] [0 1,1 x u− =

42 3

5

1 1 1 1(1 )

2 4 8 16 (2 )

u f u u u u

u

+ = − + − +

+ θθ

(3) (4)

2 3 4

1 1 2 6( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x

x x x x= , = − , = , = −′ ′′



74 TD Analyse

Le développement de Taylor-Lagrange sur s’écrit donc, avec

:

d) On peut remarquer que f peut s’écrire sous la forme :

où . Nous allons donc pouvoir utiliser le résultat de la question b) oùnous avions écrit le développement de Taylor de :

La partie régulière polynomiale de ce développement était :

Celle de f est donc :

Pour exprimer le reste, on écrit la dérivée d’ordre quatre en utilisantencore le résultat de la question b) :

On calcule sa valeur au point ), avec , pour obtenirenfin :

[ ]1 x,

0 1< θ <θ

[ ]

2 3 (3)

4(4)

42 3

4

( 1) ( 1)( ) (1) ( 1) (1) (1) (1)2 6

( 1)1 ( 1)

24

1 1 ( 1)1 ( 1) ( 1)

2 3 4(1 )

x x f x f x f f f

x f x

x x x x

x

− −= + − + +′ ′′

−+ + θ −

−= − − − + − −

− θ + θ

θ

θ θ

1 1 1 1( )

1 1 22 1

2 2 2

f x x x u u

u u

= − = −+ + +

= −+ +

1u x= −

2

1(1 )

2 f u

u+ =

+

2 31 1 1 1( )

2 4 8 16 P u u u u= − + −

2 3 2 3

2 3

1 1 1 12 (2 ) ( ) 1

2 4 8 16

1 3 7 15

2 4 8 16

P u P u u u u u u u

u u u

− = − + − − − + −

= − + −

( )

(4)

5 5

24 24( )

(1 ) f x

x x= −

+

1 ( 1 x+ θ −θ 0 1< θ <θ

[ ]4

2 3 (4)1 3 7 15 ( 1)( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)

2 4 8 16 24

x f x x x x f x

−= − − + − − − + + θ −θ




S O L U T I O N S

21. On calcule les dérivées successives de la fonction f , définies pour :

dont les valeurs pour sont :

Cela permet d’écrire le développement de Maclaurin au voisinage de zéro :

où tend vers zéro avec x.

Écrire le développement de Maclaurin, à l’ordre quatre, au voisinage de zéro, dela fonction f définie sur par .

Réponse :

22. a) On effectue le changement , pour pouvoir utiliser le dévelop-

pement de au voisinage de 0. L’expression de devient ainsi :

Pour x voisin de a, on a u, donc , qui est voisin de 0, et par conséquent :

Soit, en fonction de x, au voisinage de a :

où ε désignera dans toutes les questions une fonction de limite nulle à l’ori-gine.

1 x <

3 2

(3) (4)

5 2 7 2

1 1( ) 1 ( )

4(1 )2 13 15

( ) ( )8(1 ) 16(1 )

f x f x

x x

f x f x x x

/

/ /

= − , = −′ ′′

−−

= − , = −− −

0 x =

(3) (4)1 1 3 15(0) (0) (0) (0)

2 4 8 16 f f f f = , = − , = − , = −′ ′′

2 3 443 15

( ) 1 ( )2 8 48 384

x x x x f x x x= + − − − + εε

( ) xεε

[ ]1 1− , 2( ) 1 f x x= −

2 44( ) 1 ( )

2 8

x x f x x x= − − + εε

x a u= + ln (1 )t + ( ) f x

ln ln ( ) ln 1 ln ln 1u u

x a u a a a a

= + = + = + + ( )[ ] ( )

u a/

2 31

2 3ln 1 ( 1) ( )

2 3

nn u

n

u u u u uu u

a a a a na

− + = − + − ...+ − + ε

( )2

1

2

( ) ( )ln ln ( 1) ( ) ( )

2

nn n

n

x a x a x a x a x a x a

a a na−− − −

= + − + ...+ − + − ε −ε

Vous avez compris ?



76 TD Analyse

b) Pour utiliser le développement de au voisinage de 0, on pose:

avec :

Soit, avec x au voisinage de 1 :

c) L’expression à développer peut s’écrire :

On peut donc utiliser le développement de au voisinage de 0, enremplaçant t par , qui est voisin de 0, et α par 1/2. Ainsi :

d) On pose , avec u voisin de 0, ce qui permet d’écrire e x/ a

= eeu/ a

et de déduire le résultat du développement de au voisinage de 0, enremplaçant t par :

e) Nous allons effectuer le produit des deux développements usuels :

Pour obtenir le terme en du produit, avec , il faut multiplierun terme en dans le premier développement par un terme en dans lesecond et faire varier i de 1 à k. Le coefficient de dans le produit est donc la

(1 )t α+1 x u= +

(1 ) (2 ) 2 12u x u

α

α α α + = + = + ( )

2 ( 1) ( 1)1 1 ( 1) ( )

2 2 8 2

nn

n

u u u n uu u

n

αα α − ... α − +

+ = + α + α α − + ...+ + ε !( ) α α α

α α αε

2( 1)(1 ) 2 1 ( 1) ( 1)

2 8

( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

2n n

n

x x x

n x x x

n

α α α α α −+ = + − + − + ...

α α − ... α − + + − + − ε − !

[

]

α α α

α α αε

1 22

21 11 x x x

/

− = − ( )(1 )t α+

21 x− /

2

2 4 2

1 1 1 1 3 (2 3) 11

2 8 2 4 2 n

x n

x x x n x

− × × ...× −= − − − ...− × +

× × ...×

ε 1 x2

⁄ ( )

x2n

-------------------ε

x a u= +et

u a/

2

2

( ) ( )e e 1 ( ) ( )

2

n x a n

n

x a x a x a x a x a

a a n a/ − − −

= + + + ...+ + − ε − !

[ ]ε

2 11

22

ln (1 ) ( 1) ( )2

11 ( 1) ( )

1

nn n

n n n

x x x x x xn

x x x x x x

−+ = − + ... + − + ε

= − + − ... + − + ε+

ε

ε

k x 1 k n≤ ≤i x k i x −

k x




S O L U T I O N S

somme des produits des coefficients respectifs de et dans chacun de cesdéveloppements, soit :

Ainsi :

Écrire les développements limités des expressions suivantes, au voisinage de 0 :

Réponses :

23. On utilise le développement limité de , pour , et ensuiteon remplace x par . Par addition des deux développements ainsi obtenus,les termes de degré impair vont disparaître, puisque la fonction f est paire :

i x k i x −

1

1

1 1

( 1) 1( 1) ( 1)ik k

k i k

i ii i

−

− −

= =

− × − = − ∑ ∑

1

1

ln (1 ) 1 1 1( 1) 1 ( )

1 2 3

nk k n

k

x x x x

x k−

=

+ = − + + + ... + + ε

+ ( )∑ ε

3

ln 1 e 2 ln cos 4

1 sin 3 ln (1 sin ) 3

x à lórdre x à lórdre

x à lórdre x à lórdre

+ , ,

+ , + .

( )

22

2 44

2 333

2 33

ln 1 e ln 2 ( )

2 8lncos ( )

2 12

1 sin 1 ( )3 9 162

ln (1 sin ) ( )2 6

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

+ = + + + ε

= − − + ε

+ = + − + + ε

+ = − + + ε

( ) ε

ε

ε

ε

(1 ) x α+ 1 2α = /α

x−

2 3 44

1

2 3 44

2

2 44

51 1 ( )

2 8 16 128

51 1 ( )2 8 16 128

51 1 2 ( )

4 64

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

+ = + − + − + ε

− = − − − − + ε

+ + − = − − + ε

ε

ε

ε

Vous avez compris ?



78 TD Analyse

On peut alors écrire :

en ayant posé . On utilise alors le développement de

, à l’ordre deux seulement, puisque u est un infiniment petit d’ordredeux par rapport à x. Dans le terme on ne doit retenir que le terme en ,puisque les termes d’ordre supérieur ont déjà été négligés. Ainsi :

d’où le développement à l’ordre quatre :

Toutes les fonctions , sont de limite nulle à l’origine.

24. a) On utilise le développement limité à l’ordre 1 de en écrivant :

Par conséquent, au voisinage de 0.

b) Pour obtenir un équivalent, on doit écrire le développement à l’ordredeux de :

et ainsi .

c) Il suffit d’écrire le développement à l’ordre un des deux radicaux :

pour obtenir .

d) Le développement de ne comporte que des termes pairs et ilfaudra donc utiliser ici des développements jusqu’à l’ordre quatre pour obtenir

ln 1 1 ln 2 ln (1 ) x x u + + − = + +( )

2 445

( )8 128

x xu x x= − − + εε

ln (1 )u+2u 4 x

22 2 24

3

5 1ln (1 ) ( )

8 128 2 8

x x xu x x

+ = − − − − + ε ( ) ε

2 44

4

3ln 1 1 ln2 ( )

8 64

x x x x x x

+ + − = − − + ε( ) ε

1 4i iε , ≤ ≤ε

eu

lne 1 ln ( ) x x a a x a x x= = + + εε

1 ln x a x a− ∼

1 x−

221 1 ( )

2 8

x x x x x− = − − + εε

21 1 2 8 x x x− − + / − /∼

21

232

1 1 ( )22

1 2 3 1 ( )

3

x x x x x

x x x x x

+ − = + + ε

− + = − + ε

ε

ε

2 231 1 2 3 7 6 x x x x x+ − − − + /∼

e e x x−+




S O L U T I O N S

un équivalent :

et ainsi :

25. a) Au voisinage de l’infini, est équivalent à et l’argument dusinus est équivalent à / qui est un infiniment petit, donc le sinus est équi-valent aussi à 2/ x. On en conclut donc que la limite demandée vaut 2.

b) Le dénominateur est équivalent à 2 puisque est équivalent à2 x. Il nous faut également trouver un équivalent du numérateur en utilisant

le développement :

D’où :

obtenu en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à trois. Lenumérateur est donc équivalent à 2 /3 et le rapport à x/3, dont la limite estnulle.

c) On doit d’abord écrire les développements des arguments des exponen-tielles qui tendent vers zéro :

2 3 44

1

2 3 44

2

42 4

3

e 1 ( )

2 6 24

e 1 ( )2 6 24

e e 2 ( )12

x

x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

−

−

= + + + + + ε

= − + − + + ε

+ = + + + ε

ε

ε

ε

( )2

21 e e 2 112

x x x x

−+ − − ∼

2 1 x + 2 x2 x 2 x

2 x 2e 1 x −

32 2 34

e 1 2 2 ( )3

x x x x x x= + + + + εε

32 2 3

3 3

4( 1)e 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 ( )

3

2 ( )3

x x x x x x x x x x x x

x x x

− + + = − + − + − − + + + ε

= + ε

ε

ε

3 x

2 3 31

2 3 32

( )1

( )1

x x x x x x

x x

x x x x x x

= − + + ε+

= + + + ε−

ε

ε



80 TD Analyse

Ensuite, on utilise le développement de l’exponentielle :

En remplaçant successivement u par , puis par , eten ne conservant que les termes d’ordre inférieur ou égal à trois :

Et enfin :

L’expression étudiée est donc équivalente à 2, qui est sa limite.

d) On écrit le développement à l’ordre deux du cosinus :

Puis on utilise celui du logarithme :

où est équivalent à /2 et donc aussi. La limite deest donc égale à −1/2.

e) On utilise le développement à l’ordre deux du sinus :

et on remplace dans le développement à l’ordre deux de :

La limite de est donc égale à −1/2.

2 33

3e 1 ( )

2 6

u u uu u u= + + + + εε

2 3 x x x− + 2 3 x x x+ +

2 3 2 3 3 34

2 3 2 3 3 34

1 1exp 1 2 ( )

1 2 61 1

exp 1 2 ( )

1 2 6

x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x

x

= + − + + − + + ε+

= + + + + + + + ε

−

( )

( )

ε

ε

2 32 3

3 3 3

7exp exp 2e 2 2 2 1

1 1 3 2 6

( ) 2 ( )

x x x x x x x x x

x x

x x x x x

+ − = + + + − + + + + −

+ ε = + ε

( )ε ε

22

1cos 1 ( )2

x x x x= − + εε

22

2ln (1 ) ( )2

uu u u u+ = − + εε

cos 1u x= − 2 x− lncos x( ) f x

21sin ( ) x x x x= + εε

ln (1 )u+

2

2ln (1 sin ) ( )2

x x x x x+ − = − + εε

( ) f x




S O L U T I O N S

Déterminer les limites des expressions suivantes quand x tend vers 0 :

Réponses : ; ; ; .

26. a) On écrit :

qui peut se développer à l’ordre un par rapport à l’infiniment petit 1/ :

Ainsi, est équivalent à x−2.

b) On factorise le numérateur :

Ensuite, on écrit :

pour faire apparaître l’infiniment petit 1/ x et obtenir :

27. a) On utilise le développement à l’ordre trois :

2

2 3

1 1 sinln (1 e ) ln 2 ln

1 1 1 1ln (1 ) 1

1

x x x x x

x x x x x

+ − ; ;

+ − ; − −

( )

[ ]

1

2

1

6−

1

2−

1

3

2

2

1 11

x

x x

+= +

2 x

12 2

12 2

1 (1 )( ) 1 1 2

21 (1 )

2 1 14 2

m

m

m

m

x f x

x x x

x x

ε / = + + + −

ε / = + + −

[ ][ ( ) ]( ) f x 2 22 4 2m mm x m −/ =

[ ] [ ] [ ][ ]

2 2

ln ( 1) ln ln ( 1) ln ln ( 1) ln x x x x x x+ − = + − + +

1 1ln ( 1) ln 1 ln ln 1 x x x

x x

+ = + = + + ( )[ ] ( )

1 1ln 1 2ln ln 11 2

( ) 2ln 1ln

x x x

f x x x x

+ + +

= + ∼ ∼( )( )( ) [ ]

2 2 3 3 31

11 ( )

1bx b x b x x x

bx= − + − + ε

+ε

Vous avez compris ?



82 TD Analyse

On le multiplie par , en ne conservant que les termes d’ordre infé-rieur à trois, pour obtenir :

Pour que soit un infiniment petit d’ordre le plus élevé possible, ilfaut que les premiers termes de ce développement soient identiques à ceux de

. Cela impose et , soit et . Onobtient alors :

b) Le développement de ne comportera que des termes impairspuisque cette fonction est impaire. Comme les deux termes de la différencesont équivalents à 2 x, ils vont disparaître. Pour déterminer a et b, il faut iden-tifier les deux termes suivants qui sont d’ordres respectifs trois et cinq, et donc

pousser les développements jusqu’à l’ordre sept. Pour obtenir le développe-ment de , on multiplie par deux les termes

d’ordre impair du développement de :

On écrit ensuite le développement à l’ordre trois, par rapport à l’infini-ment petit :

On le multiplie par 2 x + ax3 :

L’identification des premiers termes de ces développements conduit auxéquations et , de solution et .On obtient donc :

1 ax+

2 2 3 3 2 2 3 32

2 2 3 32

1 1 ( )1

1 ( ) ( ) ( ) ( )

ax bx b x b x ax abx ab x x xbx

a b x b b a x b a b x x x

+ = − + − + − + + ε+

= + − + − + − + ε2 2 3 321 ( ) ( ) ( ) ( ) a b x b b a x b a b x x x= + − + − + − + εε

ε

( ) f x

e x 1 a b− = ( ) 1 2b b a− = / 1 2b = − / 1 2 a = /

32( ) e

2 12 x x x

f x x

+= − −

−∼

( ) f x

1ln ln (1 ) ln (1 )

1

x x x

x

+= + − −

− ln (1 ) x+

3 5 77

3

1ln 2 ( )

1 3 5 7

x x x x x x x

x

+= + + + + ε

− [ ]ε

2 x

2 2 4 3 6 742

11 ( )

1bx b x b x x x

bx= − + − + ε

+ε

23 2 5 3 7 3 5 2 7 7

52

3 5 2 7 75

2

2 2 2 2 ( )12 ( 2 ) (2 ) ( 2 ) ( )

ax

x x bx b x b x ax abx ab x x xbx x a b x b b a x b a b x x x

+= − + − + − + + ε

+

= + − + − + − + ε

ε

ε

2 2 3 a b− = / (2 ) 2 5b b a− = / 8 15 a = − / 3 5b = − /

2 7

2

2 15 41 8( ) ln

1 1753 5 3

x x x x f x

x x

−+= −

− −∼

( )

( )




S O L U T I O N S

28. On effectue le changement , où u sera un infiniment petit, et onécrit les développements limités à l’ordre deux des radicaux :

Les termes constants au numérateur et au dénominateur disparaissent etla fraction se simplifie par u. C’est pourquoi il était nécessaire d’effectuer les

développements jusqu’à l’ordre deux. Après simplification de la fraction paru/12 on obtient :

donc est équivalent à .

29. a) Cette fonction est définie pour , avec qui tend vers plusl’infini quand tend vers 1. Il y a donc deux asymptotes verticales, legraphe de f étant à gauche de l’asymptote et à droite de . La fonc-tion étant paire, le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour x tendant vers plus l’infini, le terme sous radical est équivalent à etdonc est équivalent à x. Il y a une direction asymptotique qui est cellede la première bissectrice. On écrit :

et le développement du radical permet d’obtenir 1/2 x comme équivalent de

quand x tend vers plus l’infini. Ainsi, la droite est une asymp-tote oblique située au-dessous du graphe de f , puisque est positif. Parsymétrie, la droite est aussi asymptote oblique située au-dessous dugraphe de f .

b) La fonction f est définie sur tout et paire, donc on étudie son com-portement seulement pour x tendant vers plus l’infini. Dans ce cas, est

2 x u= +

1 22 2

1

1 2 22

2

2 4 2 1 2 1 ( )4 8 128

7 9 3 1 3 1 ( )9 18 648

u u u x u u u

u u u x u u u

/

/

+ = + = + = + − + ε

+ = + = + = + − + ε

[ ][ ]( )

( ) ε

ε

3

4

5

1 16 ( )3 3( )

2 1 36 ( ) 2

3 31 1 ( )

2 16 36 2

5 ( )96

u u u f x

u u u

u uu u

u u u

− / + ε= × −

− / + ε

= − + + ε −

= − + ε

( ) ( )

ε

ε

ε

ε

( ) f x 5(2 ) 96 x− /

1 x > ( ) f x x| |

1X = − 1X =

2

x( ) f x

1 22

2 2 22

1 1 (1 )( ) 1 1

21 1

x x f x x x

x x x x x

− /ε /

= = − = + + − /

( ) ( )ε

( ) f x x− xϒ =( ) f x x−

xϒ = −

( ) f x



84 TD Analyse

équivalent à x puisque tend vers 0. On étudie alors :

qui tend vers 0 par valeurs négatives. Donc, et, par symétrie, ,sont des asymptotes situées au-dessus du graphe de f .

c) Lorsque x tend vers par valeurs inférieures, tend vers plusl’infini, donc est une asymptote verticale située à droite du graphede f . Pour obtenir un développement du radical au voisinage de l’infini, oneffectue la division euclidienne du polynôme numérateur par ledénominateur :

On factorise ensuite pour faire apparaître l’infiniment petit 1/ x :

Donc, pour x tendant vers plus l’infini :

Cela établit que est une asymptote oblique située au-dessus dugraphe, puisque tend vers 0 par valeurs négatives.

Pour x tendant vers moins l’infini :

Donc, asymptote horizontale , située au-dessus du graphe de f puisque est équivalent à 1/ x, qui tend vers 0 par valeurs négatives.

d) La fonction f est définie pour , avec qui tend vers plusl’infini quand tend vers 1. Il y a donc deux asymptotes verticales, legraphe de f étant à gauche de l’asymptote et à droite de . La frac-tion est équivalente à quand x tend vers l’infini, donc est équiva-lent à quand x tend vers moins l’infini, ce qui correspond à une brancheparabolique. Pour x tendant vers plus l’infini, les termes en disparaissent,

e x−

2 2

2 2

1 e e

( ) 1 21 e 1 e

x x

x x f x x x x

− −

− −

−

− = − = − + + ( ) xϒ = xϒ = −

1− ( ) f x1X = −

3 223 2 1 1

4 21 1

x x x x x

x x

− − += − + −

+ +

2 x

( )

1 23 2

2 2

2

2 2

3 2 1 4 2 11

1 ( 1)

42 1 1 (1 )1

4 2

x x x x

x x x x x

x x x

x x x

/− − +

= − + − + +

− / ε /= − + − +

[ ][ ]ε

1 (1 )( ) 2 2

x f x x

x x

ε /= − − +

ε

2 2 xϒ = −( ) f x − ϒ

1 (1 )( ) 2

x f x

x x

ε /= + −

ε

2ϒ =( ) 2 f x −

1 x > ( ) f x x| |

1X = − 1X =3 x x/ ( ) f x

22 x2 x




S O L U T I O N S

donc il faut écrire un développement limité du radical en factorisant pourfaire apparaître l’infiniment petit 1/ x :

On voit ainsi que est une asymptote située au-dessus dugraphe de f .

On demande de déterminer les équations des asymptotes au graphe des fonctionsdéfinies par les expressions suivantes et de préciser leur position par rapport à ce

graphe.

Réponses : la fonction f est définie pour , avec équivalent à − 1/2 x pour , donc courbe au-dessous de l’asymptote et

équivalent à 1/2 x pour , donc courbe au-dessous del’asymptote ; asymptote verticale à gauche du graphe de g et

équivalent à 3/2 x, donc asymptote au-dessus du graphe pour et au-dessous pour .

30. a) La fonction f est dérivable partout, avec qui s’annule pouret négatif, donc maximum au point (1,1/2).

b) La fonction f est dérivable partout, avecqui s’annule pour , et . La dérivée seconde est

, positive pour et négative pour .Donc, minimum au point (1,0) et maximum au point (1/5, 3 456/3 125). Pour

, la dérivée seconde s’annule en changeant de signe, donc il y a un pointd’inflexion en (−1,0). Ce point n’est pas un extremum puisque

est du signe de dans son voisinage et donc ne gardepas un signe constant (voir figure 3.3).

c) On obtient par dérivation qui n’est pas définie pouret s’annule pour , c’est-à-dire pour . La dérivée seconde

est définie, pour , par et par conséquent il y a unmaximum au point (−1,1). Au voisinage de 0, est équivalent à son termede plus bas degré, soit qui est positif. Il y a donc un minimum à l’ori-gine, puisqu’au voisinage de ce point on a . La dérivée

2 x

3

22

2 2

2 4 4

2 2

( ) 3 21 1

1 3 (1 )3 2 1

2 8

3 3 (1 )3

2 8

x f x x x x x

x x x x

x x x

x x

x x

= − + −− /

ε / = − + − + + +

ε /= − + − −

[ ]ε

ε

3 3 2 xϒ = − + /

22 1( ) 1 ( ) ( 2) exp

3

x f x x g x x

x x

+ = − = −

−( )1 x > ( ) ( 2) f x x− + x → +∞ 2 xϒ = +

( ) ( 2) f x x− − − x → −∞2 xϒ = − − 3X =

( ) ( 1) g x x− − 1 xϒ = − x → −∞ x → +∞

( ) 1 f x x= −′1 x = ( ) 1 f x = −′′2( ) ( 1) ( 1) (5 1) f x x x x= − + −′

1 x = 1 x = − 1 5 x = /

( )2( ) 4( 1) 5 2 1 f x x x x= + − −′′ 1 x = 1 5 x = /

1 x = −

( ) ( 1) ( ) f x f f x− − = 1 x +

3( ) 2 2 f x x= + /′0 x = 3 1 x = − 1 x = −

0 x ≠ 3( ) 2 3 f x x x= − /′′( ) f x

2 33 x /

( ) (0) 0 f x f > =

Vous avez compris ?



86 TD Analyse

première tend vers moins l’infini (resp. plus l’infini) quand x tend vers 0 parvaleurs inférieures (resp. supérieures), ce qui correspond à un point de rebrous-sement (voir figure 3.4).

Figure 3.3

Figure 3.4




S O L U T I O N S

Déterminer les extremums des fonctions définies par les expressions ci-après et déterminer leur nature :

Réponses : minimums aux points et , maximum au point pour f ; minimum pour et maximum à l’origine où g n’est pas

dérivable, mais avec puisque g(x) est équivalent à auvoisinage de 0.

31. a) La fonction f n’est pas dérivable pour . Nous allons donc essayer

d’établir l’inégalité qui définit la convexité, à partir de deux réels quelconques x et y et d’un nombre t de l’intervalle . On obtient ici :

Le majorant s’écrit :

Par conséquent cette fonction est convexe sur tout .

b) La fonction f est définie et dérivable partout, avec et, qui est positive pour . Elle est donc convexe surles intervalles et .

c) La fonction f peut s’écrire comme somme des fonctions g et h, avecet . La fonction g est convexe partout puisque

. D’après la première question, h est aussi convexe partout puisqu’ilsuffit de faire un changement d’origine en remplaçant x par . Ainsi,

f est convexe comme somme de deux fonctions convexes.

d) On peut calculer la dérivée logarithmique de cette fonction, qui n’estpas définie pour :

Soit, en dérivant à nouveau :

432 2( ) 1 ( ) ( 1)

2

x f x x g x x x= − + = −

( )1,1/2− ( )1,1/2( )0, 1 2 5 x = /

( ) (0) 0 g x g< =3 2 x−

0 x =

[ ]0 1,

[(1 ) ] (1 ) (1 ) f t x ty t x ty t x ty− + = − + ≤ − +[ ]

(1 ) (1 ) ( ) ( )t x t y t f x tf y− | | + = − +

2 2

( ) e x

f x x− /

= −′( )22 2( ) 1 e x f x x − /= −′′ 1 x >

] ]1−∞,− [ [1,+∞

2( ) g x x= ( ) 2 1 2h x x= | − / |( ) 2 g x =′′

1 2 x − /

0 x =

2

1ln ( ) 2ln 1 ln

( ) 2 1 1

( ) 1

f x x x x

f x

f x x x x

= | − | − | | +

′= − −

−

2 2 3 2

1 122 3 2

4 5

12

5

2 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )

( 1) 1

e e( 2) ( 1) 2 2 ( 1) ( 1)

e1 2

x x

x

f x f x f x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

/ /

/

= − + + + − −′′ ′ − −

= + − − + − − +

= + −

( )[ ][ ] [ ]

( )

Vous avez compris ?



88 TD Analyse

La dérivée seconde est du signe de , donc f est convexe sur

chacun des intervalles et .

Déterminer les intervalles de où les fonctions définies par les expressions sui-vantes sont convexes :

Réponses :

32. a) La fonction f est définie et dérivable partout sur , avecet ). La dérivée seconde s’annule en

changeant de signe pour et , qui correspondent donc à des pointsd’inflexion où le graphe traverse la tangente.

b) La fonction f est définie et dérivable partout sur , avecet . La dérivée seconde est toujours positive,

donc la fonction est convexe. Pour cette dérivée s’annule sans changerde signe.

c) On obtient , qui n’est pas définie pour , et. Cette dérivée est positive pour et négative

pour , donc la fonction est convexe puis concave, avec un pointd’inflexion pour où il y a une tangente verticale.

d) Cette fonction est dérivable pour , avec :

On calcule la dérivée logarithmique :

Au voisinage du point , la dérivée première est positive et la fonction g négative, donc est du signe de . La dérivée seconde s’annule enchangeant de signe au point (0,1) qui est un point d’inflexion, avec une tan-gente de pente .

2(1 2 ) x x x+ −

1 2 −∞, −] ] 0 1 2

, +] ]

3

2

ln( ) ( )

12

x x f x g x

x x= =

+

] ]

3

2

32

2ln 3( ) e e

36( ) 24 6 [0 6]

12

x f x f convexe sur x

x g x x g convexe sur et

x

− = , ,+∞ ;′′

−= , −∞,− , .′′

+

[ [

( )[ ]

3 2( ) 12 12 f x x x= −′ ( ) 12 (3 2 f x x x= −′′

0 x = 2 3 x = /

3( ) 12 1 f x x= −′

2( ) 36 f x x=′′0 x =

2 3( ) ( 2) 3 f x x − /= + /′ 2 x = −5 3( ) 2( 2) 9 f x x − /= − + /′′ 2 x < −

2 x > −2 x = −

3 x ≠

( )

( )

2 2

22

1 ( 6)( )

3

x x f x

x

− −=′

−

( )

2 2 2

( ) 2 2 42 ( )

( ) 1 6 3

f x x x x xg x

f x x x x

′′= + − =

− − −′

0 x =( ) f x′′ x−

(0) 2 3 f = /′

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

Déterminer les éventuels points d’inflexion de la fonction f définie par :

Réponse : s’annule en changeant de signe pour /

et où il y a des points d’inflexion.

33. a) Pour retirer la valeur absolue, il faut tenir compte du signe de. En dehors de l’intervalle , on obtient

, de dérivées et , donc la fonctionest convexe. Dans l’intervalle , on a avec

et , donc la fonction est concave. Elle est définiepartout, mais n’est pas dérivable pour et , admettant des dérivéesà gauche et à droite distinctes. Au voisinage de l’infini, est équivalenteà , donc il y a une branche parabolique. Le graphe de f est d’ailleurs cons-titué de trois tronçons de deux paraboles. On obtient le tableau de variation

suivant :

On constate d’après ce tableau que f admet un minimum global au point(voir figure 3.5).

b) La fonction f est définie pour x différent de 1, avec comme dérivée :

qui est du signe de ). Quand x tend vers 1, tend vers plusl’infini, donc la verticale est asymptote. D’après l’expression de ,on voit que :

tend vers 0 par valeurs positives quand x tend vers l’infini, donc la droiteest une asymptote située au-dessous du graphe de f . Le tableau de

variation suivant permet ensuite de tracer le graphe (voir figure 3.6).

2

+ +

6

21( )

1 f x

x= ⋅

+

( )

2

32

3 1( ) 2

1

x f x

x

−=′′

+1 x = − 3

1 3 x = /

2 2 ( 2) ( 1) x x x x− − = − + [ ]1 2− ,2( ) 2 2 f x x x= + − ( ) 2 2 f x x= +′ ( ) 2 f x =′′

[ ]1 2− , 2( ) 4 2 f x x x= − + +( ) 2 4 f x x= − +′ ( ) 2 f x = −′′

1 x = − 2 x =( ) f x

2 x

x −∞ 1− +∞

( ) f x′ − 0 6|| 0 6||

( ) f x −∞ 3− +∞

( )1 3− ,−

2

3 3

8 ( 3) ( 3)( ) 1

( 1) ( 1)

x x f x

x x

− += − =′

− −

( 1) ( 3 x x− − ( ) f x1X = ( ) f x

2

4( ) ( 1)

( 1) f x x

x− + =

−

1 xϒ = +

Vous avez compris ?



90 TD Analyse

x 1 3

+ 0 +

5

−∞ +∞

( ) f x′ || −

( ) f x −∞ +∞ +∞|| +∞

Figure 3.5

Figure 3.6




S O L U T I O N S

c) On peut écrire en ayant posé . La fonction f est donc définie sur les intervalles et , avec comme dérivée :

Pour x tendant vers 0 par valeurs supérieures, tend vers , doncl’axe des ordonnées est asymptote. Au voisinage de l’infini, on effectue undéveloppement limité en mettant en facteur sous le radical :

Ainsi, pour , est équivalent à 3/8 x, donc ladroite est asymptote oblique située au-dessous du graphe de f .Pour , est équivalent à −3/8 x, donc la droite

est asymptote oblique située au-dessous du graphe de f . Legraphe présente un minimum au point . Le tableau de variationpermet ensuite de tracer le graphe (voir figure 3.7). Au point (−1,0) la tan-gente est l’axe des abscisses.

d) La fonction f est définie partout sur et admet comme dérivée :

pour x différent de 1 et −2. Cette dérivée est du signe de . Au voi-

sinage de l’infini on peut obtenir un développement limité de en met-tant en facteur sous le radical :

x 0 1/2

− 0 − 0 +

0

( ) f x u= 3( 1)u x x= + /

] ]1−∞,− ] [0,+∞

31 1( )22

u x f x x xu+′ = = −′ ( )

( ) f x +∞

2 x

1 2

2 3

2 2 2

3 3 1( ) 1

3 3 9 (1 )1

2 2 8

f x x x x x

x x

x x x x

/

= + + +

ε / = + + − +

( )

( ) x → +∞ ( ) ( 3 2) f x x− + /

3 2 xϒ = + / x → −∞ ( ) ( 3 2) f x x− − − /

3 2 xϒ = − − /1 2 3 3 2 / , /( )

−∞ 1− +∞

( ) f x′ ||

( ) f x +∞ +∞ 3 3 2/ +∞

2

1 3 2 34 23

1 1( )

( 1) ( 2)( 1) ( 2)

x x f x

x x x x/ /

− += =′

− +− +

( 1) ( 1) x x− +

( ) f x3 x

1 3

2 3 2 2

3 2 1 (1 )( ) 1 1

x f x x x

x x x x

/ε /

= − + = − + ( ) ( )ε



92 TD Analyse

Donc est équivalent à −1/ x. La droite est une asymptote

située au-dessous du graphe pour x tendant vers et au-dessus pour x ten-dant vers . Calculons la dérivée seconde :

Elle est du signe opposé à , donc la fonction est convexe pour x infé-rieur à −2 et concave au-delà. La dérivée n’est pas définie au point ,

mais le graphe présente un point d’inflexion avec tangente verticale puisquequand x tend vers −2. Quand x tend vers 1, tend versl’infini avec le signe de ; il y a un point de rebroussement en , ladérivée seconde étant négative au voisinage de ce point. Le tableau de variationci-dessous montre qu’il y a un maximum local en . La figure 3.8représente le graphe de cette fonction.

1

( ) f x x− xϒ =

−∞+∞

( )

2

5 3 4 3 5 33

2( 1) 2( )

( 1) ( 2)3 2

x f x

x x x x/ / /

−= − = −′′

− +− +

Figure 3.7

2 x +2 x = −

( ) f x → +∞′ ( ) f x′1 x − (1 0),

31 4 − ,( )

x −∞ 2− 1− +∞

( ) f x′ + +∞ +∞|| + 0 − −∞ +∞|| +

( ) f x −∞ 0 3 4 0 +∞




S O L U T I O N S

e) Cette fonction est définie pour x différent de −1 et sa dérivée se calculeen examinant le signe de . Si on introduit ε qui vaut 1 pour

et −1 sinon, on peut écrire :

On peut alors dériver :

On a donc 1/2 et , donc f est continue mais nondérivable au point (1,0). Quand x tend vers −1, tend vers , donc laverticale est asymptote. Quand , tend vers 1, doncl’horizontale est aussi asymptote. Le tableau de variation est donné ci-dessous et le graphe dans la figure 3.9.

1

1 0

Figure 3.8

( 1) ( 1) x x− +1 x >

1 2( ) 1

1 1

x f x

x x

− = ε = ε −

+ +( )ε ε

2

2( )

( 1) f x

x

ε=′

+

ε

(1 ) f − = −′ (1 ) 1 2 f + = /′( ) f x +∞

1X = − x → +∞ ( ) f x1ϒ =

x −∞ 1− +∞

( ) f x′ + || − 1 2 1 2− / /|| +

( ) f x +∞ +∞|| +∞



94 TD Analyse

Figure 3.9



4Fonctions puissance,logarithme et

exponentielle

Les progressions arithmétique et géométrique sont dessuites numériques fondamentales qui peuvent être définies à partirde deux termes consécutifs, dont respectivement la différence oule rapport est constant, appelé raison de cette progression. Il estessentiel de connaître l’expression de la somme des n premiers

termes de ces suites.La fonction logarithme népérien, ou de base e, est définie

comme primitive de 1/ x qui s’annule pour x = 1, la fonction expo-nentielle étant sa réciproque. On définit ensuite les fonctions loga-rithme et exponentielle de base quelconque, réciproques l’une del’autre. Le théorème des croissances comparées est un outil fonda-mental pour déterminer les limites qui font intervenir ces trois typesde fonctions : puissance, logarithme et exponentielle. Il peut se tra-

duire en langage familier en disant que dans une confrontationentre ces trois fonctions, c’est la fonction exponentielle quil’emporte sur la fonction puissance, elle-même l’emportant sur lafonction logarithme.

1 Progressions arithmétique et géométrique

Définition. On appelle progression arithmétique de raison r une suite de

nombres réels telle que la différence de deux termes consécutifs est constante,égale au réel r . Les termes de cette suite sont donc définis, à partir du premierterme et, pour tout entier k, par :

ou par le terme de rang n :

1u

1k ku u r + = +

1 ( 1)nu u n r = + −



96 TD Analyse

La somme des n premiers termes de cette suite a pour expression :

Définition. On appelle progression géométrique de raison q une suite de

nombres réels telle que le rapport de deux termes consécutifs est constant, égalau réel q. Les termes de cette suite sont donc définis, à partir du premier terme

et, pour tout entier k, par :

ou par le terme de rang n :

La somme des n premiers termes de cette suite a pour expression :

si , avec si . Lorsque la suite des sommes partielles

converge, quand , vers S = .

2 Fonction logarithme

Définition. On appelle fonction logarithme népérien la primitive de 1/ x qui

s’annule pour . Elle est définie pour tout réel x strictement positif par :

Il s’agit de la fonction logarithme de base notée e, définie par .

Pour tout nombre a strictement positif et différent de 1, on peut définir unefonction logarithme de base a, c’est-à-dire telle que , proportion-nelle à la fonction logarithme népérien :

Elle est indéfiniment dérivable sur son domaine de définition, de dérivée, donc monotone croissante pour a supérieur à 1 et décroissante pour a

inférieur à 1. Les propriétés fondamentales de cette fonction sont les suivantes :

pour tous réels strictement positifs x et y.

1 1 1

1( )

2 2

n n n

n n S u … u u u n u r

− = + + = + = +

( )

1u

1k ku qu

+=

1

1

n

nu q u−

=

1 1

1

1

n

n n

q S u … u u

q

−= + + =

−

1q ≠ 1n S nu= 1q = 1q <

n →∞u1

1 q–

-----------

1 x =

1

dln

x t x

t = 1

x

∫ln e 1=

log 1 a a =

lnlog

ln a

x x

a=

1 ln x a/

2log 1 0 log ( ) log log

1log log log log log

log log

a a a a

a a a a a

y

a a

xy x y

x x y x

y x

x y x

= , = +

= − , = −

=

( )



TD 4 Fonctions puissance, logarithme et exponentielle 97

C O U R S

Si a et b sont deux bases de logarithme, les formules de changement debase s’écrivent :

3 Fonction exponentielle

Définition. On appelle fonction exponentielle de base e la fonction réciproquede la fonction logarithme népérien, c’est-à-dire telle que pour tout réel y stric-tement positif :

Cette fonction est définie, continue et indéfiniment dérivable partout sur, toutes ses dérivées étant égales à . De la même manière, la fonction expo-

nentielle de base a est définie comme fonction inverse de la fonction loga-rithme de base a, avec pour :

Elle est indéfiniment dérivable partout sur , de dérivée , doncmonotone croissante pour a supérieur à 1 et décroissante pour a inférieur à 1.Les propriétés fondamentales de cette fonction sont les suivantes :

pour tous réels x et y et tout réel b strictement positif et différent de 1.

4 Formes indéterminées exponentiellesIl existe trois formes indéterminées exponentielles, c’est-à-dire d’expres-

sions dont la limite ne peut pas être déterminée immédiatement :

– forme : toute expression avec et ;

– forme : toute expression avec et g( x) ;

– forme : toute expression avec et .

Théorème des croissances comparées. Si a est une base quelconque de loga-rithme et un exposant strictement positif, on obtient les limites suivantes :

1

log log log

log log a b a

b b

x x b

x x/

= ×

= −

e ln x y x y= ⇐⇔ =

e x

0 y >lne log x x a

a y a x y= = ⇐ =⇔

ln x a a

2

( )

x x y x y x y

y

y x xy x x x

a a a a a

a

a ab a b a

+ −

= =

= =( )

00 [ ]( )

( )g x

f x ( ) 0 f x → ( ) 0 g x →0∞ [ ]

( )( )

g x f x ( ) f x| |→ +∞ 0→

1∞ [ ]( )

( )g x

f x ( ) 1 f x → ( ) g x| |→ +∞

α

0

limlog

lim

lim log 0

x a

x

x

a x

x

x

a

x

x x+

α

→+∞

α→+∞

α

→

= +∞

= +∞

=



98 TD Analyse

6. Montrer sans calculs que la fonction f définie paradmet, sur son ensemble de définition, un maximum que l’on déterminera.

7. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis, que si f et g sontdes fonctions équivalentes qui tendent vers 0, alors est équivalent à

.

8. Montrer que peut s’écrire sous la formeet préciser le domaine de définition de f .

9. Montrer que si a et b sont des nombres réels distincts, on a l’inégalité :

et l’interpréter géométriquement.

Vrai Faux

1. Une suite de nombres réels peut être simultanémentune progression arithmétique et géométrique.

2. Si a et b sont deux réels tels que existe, on atoujours la décomposition .

3. Si f et g sont deux fonctions équivalentes, alors etsont aussi équivalentes.

4. Un nombre peut être égal à son logarithme.

5. La forme est une forme indéterminée exponen-

tielle.

ln abln ln ln ab a b= +

e f

e g

0∞

2( ) ln ( 3 2) f x x x= − + −

e e f g− f g−

2( ) ln( 1) ln 1 f x x x= − + −

( ) ln ( ) f x g x=

( ) 21e e e

2 a b a b+ / + >( )




E X E R C I C E S

10. Déterminer les racines des équations suivantes :

a) ; b) ;

c) où a et b + ; d) où a *+−1.

Progression arithmétique

11. Trouver trois nombres en progression arithmétique dont la somme estégale à 30 et le produit à 910.

Analyse de l’énoncé et conseils. On écrit ces trois nombres sous la forme

, x, où r est la raison de la progression.12. Trouver n nombres insérés entre les réels a et tels que cesnombres forment une progression arithmétique.

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’exprimer le dernier nombre enfonction du premier pour obtenir la raison et ainsi tous les termes de la pro-gression.

13. Calculer la somme de chacun des ensembles de nombres définis ci-après :

a) tous les nombres formés de trois chiffres ;b) les n premiers nombres pairs ;

c) les n premiers nombres impairs ;

d) les n premiers multiples de trois.

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit de remarquer à chaque fois que cesnombres sont les termes d’une progression arithmétique dont on déterminera

le premier et le dernier terme.

Progression géométrique

14. Trouver deux nombres a et b tels que les réels a, , soient lestermes successifs d’une progression arithmétique et , ,soient les termes successifs d’une progression géométrique.

e 1 0 x x− − =2

e 1 0

2

x x x− − − =

e 0 ax bx− = ∈ log 0 a x x− = ∈

x r − x r +b a> 2n +

2 a b+ 2 a b+2( 1)b + 5 ab+ 2( 1) a +



100 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. On exprimera d’abord la raison de la pro-gression arithmétique et le nombre a en fonction de b et on calculera ensuitela valeur de b en utilisant la seconde condition.

15. Déterminer la raison d’une progression géométrique dont le troisièmeterme est la somme des deux premiers.

Analyse de l’énoncé et conseils. La condition imposée permet d’écrire uneéquation vérifiée par la raison de cette progression.

16. Dans chacune des questions suivantes on définit trois nombres à l’aide desréels a et b tels que . Montrer qu’ils forment les termes successifs d’une

progression géométrique dont on donnera la raison.

a) , , ; b) , , .

Analyse de l’énoncé et conseils. On formera le rapport de deux termes con-sécutifs et, s’il est constant, il déterminera la raison de la progression.

17. Si est le k-ième terme d’une progression arithmétique de raison r ,montrer que est le k-ième terme d’une progression géométrique donton donnera la raison. Calculer la somme des n premiers termes de cetteprogression géométrique et indiquer dans quel cas elle converge.

Analyse de l’énoncé et conseils. On constate aisément que le rapport dedeux termes consécutifs de la suite est constant, ce qui fournit la raison decette progression géométrique.

Calcul logarithmique et exponentiel

18. Résoudre les équations suivantes :

a) ;

b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’utiliser les propriétés de la fonc-tion logarithme, de poser dans les questions c) et d), et, dans la der-nière question, de grouper les termes de façon à pouvoir mettre en facteurdans un membre et dans l’autre.

2 2 a b≠

2( ) a b+ 2 2 a b− 2( ) a b−2

1

( ) a b+

3 3

2 2

a b

a b

−

−2 2 2( ) a ab b+ +

ku

e ku

kv =

kv

ln ln 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2 2 x

= + + + + + + − +( ) ( )( )

2ln( 1) ln(2 ) ln(3 ) x x x− = − + − 2e 3e 2 0 x x− + =

e e 3 x x−− =1 x

x x x+

= )( 1 2 1 2 2 14 3 3 2 x x x x− / + / −− = −

e xX =4 x

3 x




E X E R C I C E S

19. Résoudre les systèmes d’équations suivants en fonction du paramètre:

a) b)

c) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Les deux premiers systèmes se transforment

en un système où le produit et la somme de deux réels ont une valeur fixée. Letroisième système doit être transformé en prenant les logarithmes de chaquemembre.

Théorème des accroissements finis

20. Appliquer le théorème des accroissements finis pour déterminer la limitequand de :

Analyse de l’énoncé et conseils. Le théorème des accroissements finis estappliqué à la fonction f définie sur l’intervalle par , cequi permet d’exprimer en fonction de la dérivée de f en un point del’ouvert correspondant.

Formule de Taylor

21. Montrer, en utilisant la formule de Taylor, que pour tout réel x positif ona les inégalités :

En déduire la limite pour n tendant vers l’infini du produit :

Analyse de l’énoncé et conseils. On applique la formule de Taylor, avec restede Lagrange, à sur l’intervalle , successivement àl’ordre un puis à l’ordre deux. Les inégalités obtenues permettent ensuite dedéterminer un encadrement de , dont on déduira la limite.

0 a >

2 2 24ln ln 2ln 3 3ln 2

x y a

x y a

+ =

+ = − ;2

2 2 2

5ln ln ln2

xy a

x y a

=

+ = ;

1

x a

x a x

a y

a y+ +

=

= ;

x →+∞1 1 ( 1) 1 1

( ) ( 1)x x

g x x x+ / + + /

= + −

[ ]1 x x, + 1 1( ) x f x x

+ /=( ) g x

2

ln(1 )2

x x x x− ≤ + ≤

21

1n

n

k

ku

n=

= + ∏ )(

( ) ln (1 ) f x x= + [ ]0 x,

ln nu



102 TD Analyse

Règle de L’Hospital

22. Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle fermé et dériva-

bles sur l’ouvert . On suppose également qu’il n’existe aucun point deoù et sont simultanément nulles. Appliquer le théorème de Rolleà la fonction ϕ définie par :

pour en déduire la formule des accroissements finis généralisés :

où c est un point de l’ouvert .

Supposons maintenant que f et g sont continues et dérivables sur un inter-valle ouvert contenant a, avec . Montrer que si le rapport

admet une limite, finie ou infinie, quand x tend vers a, alors lerapport admet la même limite. Appliquer ce résultat dans le cas où :

α et β étant deux réels strictement positifs, pour x tendant vers 0.

Analyse de l’énoncé et conseils. On vérifie que le théorème de Rolles’applique à la fonction ϕ et on en déduit la formule demandée en formant lerapport qui y figure. On applique ensuite cette formule sur l’intervalle , x étant un point quelconque de . En faisant ensuite tendre x vers a on obtientle résultat demandé, qui s’appelle la règle de L’Hospital. L’application de cette

règle permet d’obtenir la limite de qui est une formeindéterminée .

Développement limité

23. Donner un développement limité à l’ordre deux des expressionssuivantes :

a) , au voisinage de 1 ; b) , au voisinage de 0 ;

c) , au voisinage de 0 et a, b *+.

Analyse de l’énoncé et conseils. On applique la formule de Maclaurin avecreste de Young à chaque fonction f , en remplaçant x par si on effectuele développement au voisinage de . Pour les questions b) et c), on utilise lesdéveloppements usuels que l’on applique à une variable u qui va dépendre de

[ ] a b,

] [ a b,[ ] a b, f ′ g′

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f b f a g x g b g a f xϕ = − − −ϕ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b g a g c

− ′=

− ′

] [ a b,

I ( ) ( ) 0 f a g a= =( ) ( ) f x g x/′ ′

( ) ( ) f x g x/

e e

( ) e e et ( )

x x x x

f x g x

α β

= − = α −βα β

[ ] a x,I

( ) ( ) f x g x/0 0/

( ) f x

2 1ln

x

x

− 1

(1 ) x x/

+

ln( ) x x a b+ ∈

0 x x−

0 x




E X E R C I C E S

x. Il faut faire attention après ce changement de variable à ne pas réintroduiredes termes d’un ordre supérieur ou égal à ceux qui ont déjà été négligés.

24. Donner un développement limité à l’ordre trois des expressionssuivantes :

a) , au voisinage de 0 ; b) , au voisinage de 0 ;

c) , au voisinage de 0 ; d) , auvoisinage de .

Analyse de l’énoncé et conseils. Comme dans l’exercice précédent, on utiliseun développement limité usuel et on effectue un changement de variable, enprenant soin de ne conserver que des termes d’ordre au plus égal à celui dudéveloppement déjà effectué.

Calcul de limites

25. Déterminer la limite des expressions suivantes :

a) , ; b) , ;

c) , ; d) , ;

e) , ; f) , , a et b étant

deux réels distincts ;

g) , ; h) , et ;

i) , avec et ;

j) , avec et .

Analyse de l’énoncé et conseils. En présence de forme indéterminée on uti-lise un équivalent, ou si nécessaire un développement limité. Lorsque x tendvers un réel a non nul on effectue le changement de façon à faireintervenir l’infiniment petit u.

( ) f x

ln (1 e ) x+ 1 3(e ) x x /−

ln ( e ) x x + ln ( 1) ( 1) ln x x x x+ − +

+∞

( ) f x

1

1

1 ex/

+

0 x →1 1

ln(1 ) x x

−

+

0 x →

1 1ln

1

x

x x

+

−0 x →

ln(1 e ) x

x

+ x →+∞

(ln 1) ln( e) x x− − e x →1

(e e ) ax bx

x− 0 x →

11 ln

x x x x

−− +

1 x →2 1exp1 (1 )

x x x x

− − [ ] 0 x → 1 x →

log 1 a

x a

x

−

−x a→ 0 a > 1 a ≠

log log

a x

a x

x a

x a

−

−x a→ 0 a > 1 a ≠

x a u= +



104 TD Analyse

Formes indéterminées exponentielles

26. Déterminer la limite des expressions suivantes :

a) , ; b) , ;

c) , ; d) , ;

e) , avec ;

f) , , a, α , β *+ et n, b *+ ;

g) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. On détermine la limite de ln en utili-sant éventuellement des équivalents.

Étude de fonction27. Étudier et représenter graphiquement les fonctions f qui sont déterminéespar les expressions ci-après :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On détermine au préalable les intervalles dedéfinition de la fonction et les limites aux extrémités de ces intervalles. Lecalcul de la dérivée permet ensuite d’obtenir le sens de variation. On peut par-fois avoir à étudier la dérivabilité en certains points particuliers. On complètel’étude par la recherche d’asymptotes éventuelles, l’étude de la convexité et larecherche de points d’inflexion. Le graphe peut enfin être précisé par les coor-données de certains points particuliers.

Taux d’intérêt

28. Préciser la durée à l’issue de laquelle un capital C, placé à un taux d’intérêtannuel , aura doublé ; aura été multiplié par dix.

( ) f x

1 ln 3 x x / 0 x +→ [ ]ln(1 )x

x+ 0 x +→

1(ln ) x x / x →+∞

21

3

x x

x

+−

+( ) x →+∞

( )1

xu x

x

+ )( x →+∞ lim ( )

xu x a

→+∞=

( )( )1 ln x

n a bx/ α+β

+ x →+∞ ∈ ∈ ∈

( )21 ln 1 x x

/ + x →+∞

( ) f x

( ) f x

( )21ln 1 x x

x− −

ln x

x

11 e x x /+

11

x

x + )(1( 2)e x x /+ ln e 1 x x | − |

6i %=




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’utiliser la définition du tauxannuel qui transforme au bout d’un an un capital C en . Les réponsesseront données en années et mois.

Taux instantané

29. Un capital de 1 000 euros est placé à un taux d’intéret annuel de 5%.Déterminer la valeur de ce capital à un instant t quelconque, et calculer savaleur au bout de 1 000 jours, l’année civile étant de 360 jours.

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut d’abord déterminer le taux instan-

tané en fonction du taux annuel, puis exprimer la valeur du capital à l’aide dece taux, à une date quelconque exprimée en fraction d’année.

Valeur actualisée

30. La valeur d’un bien à la date t est déterminée par . Déterminerle taux de croissance instantané de ce bien et sa valeur actualisée A, en fonctiondu taux d’escompte annuel r . Calculer la date où cette valeur actualisée est

maximum dans le cas où .Analyse de l’énoncé et conseils. Le taux de croissance instantané d’une fonc-tion du temps est sa dérivée logarithmique. Si C est la valeur d’un capital dis-ponible à la date t , sa valeur actualisée dans le cas d’un escompte pratiqué à lafin de l’année est C(1 + r )−t .

(1 )C i+

0( ) e t V t V =

10r %=



106 TD Analyse

QCM

1. Vrai. Mais seulement dans le cas très particulier d’une suite constante quiest à la fois une progression arithmétique de raison nulle et une progressiongéométrique de raison 1.

2. Faux. L’expression est définie pour a et b de même signe, qui

peuvent donc être négatifs. On doit donc écrire .3. Faux. Le résultat est faux en général. Il devient vrai si en plus tendvers 0. Soit par exemple et qui sont équivalentesquand x tend vers . On obtient qui tend vers 0, doncet ne sont pas équivalentes.

4. Vrai. On pourra voir dans la question de réflexion 10 d) que l’équationadmet des solutions si on choisit convenablement la base a. Par

exemple, dans la base le nombre e est égal à son logarithme, c’est-à-direque .

5. Faux. Soit avec et . On obtientqui tend vers l’infini avec le signe de , donc il n’y a

pas d’indétermination. Si , alors et si alors.

6. On peut écrire avec . La fonction f estdonc définie sur l’intervalle ouvert . Par ailleurs, on peut écrire le poly-

nôme u sous la forme , donc u est maximumpour . Comme la fonction logarithme est croissante, il en est de mêmepour f qui admet le maximum .

7. On sait que et sont respectivement équivalents aux infini-ment petits f et g. Cependant, on ne peut pas en déduire directement par diffé-rence que est équivalent à , car l’équivalent d’une différence n’estpas toujours la différence des équivalents. Nous allons donc appliquer le théo-rème des accroissements finis à la fonction exponentielle sur l’intervalle

: il existe un nombre u de l’ouvert tel que .Comme f et g tendent vers 0, il en est de même de u, et par conséquent :

ce qui traduit bien que est équivalent à .

ln ab

ln ln ln ab a b= | | + | | f g−

2( ) f x x= 2( ) g x x x= ++∞ ( ) ( )e e e f x g x x−/ = e f

e g

log a x x=1 ee /

1 eelog e e/ =

[ ]( )

( ) ( )g x

h x f x= ( ) 0 f x +→ ( ) g x →+∞ln ( ) ( ) ln ( )h x g x f x= g−

( ) g x →+∞ ( ) 0h x → ( ) g x →−∞( )h x →+∞

( ) ln ( ) f x u x= ( ) (1 )( 2)u x x x= − −] [1 2,

2

( ) ( 3 2) 1 4 1 4u x x= − − / + / ≤ /3 2 x = /

(3 2) ln 4 f / = −

e 1 f − e 1 g −

e e f g− f g−

[ ] g f , ] [ g f , e e ( )e f g u f g− = −

e ee 1

f gu

f g

−= →

−

e e f g− f g−




S O L U T I O N S

8. La somme de deux logarithmes est égale au logarithme du produit, soit :

mais on ne peut pas en déduire que pour tout x réel. Il faut en effetdéterminer au préalable le domaine de définition de la fonction f , qui estl’intervalle . L’expression obtenue n’est donc celle de que sur cetintervalle.

9. Supposons par exemple que b soit supérieur à a et posons , avec. On a alors et avec, par

conséquent :

Cette fonction g admet pour dérivée qui estnégative pour et positive pour . Ainsi g admet un minimum pour

, de valeur , et par conséquent, on a bien l’inégalité :

Si on pose , cette inégalité s’écrit :

ce qui exprime que la fonction exponentielle est convexe (voir figure 4.1), pro-priété évidente puisque la dérivée seconde est positive.

10. a) La dérivée de est , qui est négative pour et posi-tive pour . Cette expression admet donc un minimum pour , qui apour valeur 0, et donc l’équation admet comme seule racine .

b) La dérivée de est , qui est l’expression précé-dente dont on a vu qu’elle était toujours positive. Il s’agit donc d’une fonctionmonotone croissante, qui ne s’annule que pour la valeur (voirfigure 4.2).

c) La fonction f déterminée par admet pour dérivée, qui s’annule pour α. On obtient le tableau de

variation suivant :

x α – 0 +

β

2ln( 1) ln ln2

1

x

x

− + =

−( ) ln 2 f x =

] [1,+∞ ( ) f x

2b a h= +0h > ( ) 2 a b a h+ / = + 2e e e (1 e ) a b a h+ = +

2

( ) 2

e e 1 ee e ( )

e e

a b hh h

a b hg h

−

+ /

+ += = + =

2( ) e e e (e 1)h h h h g h− −= − = −′

0h < 0h >0h = (0) 2 g =

( ) 2

e e

2e

a b

a b+ /

+

>

( ) e x f x =

1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2 f a b f a f b

+ < + ( )

e 1 x x− − e 1 x − 0 x <0 x > 0 x =

0 x =2e 1 2 x x x− − − / e 1 x x− −

0 x =

( ) e

ax

f x bx= −( ) e ax f x a b= −′

1ln

b x

a a= =

−∞ +∞

( ) f x′

( ) f x +∞ +∞



108 TD Analyse

Figure 4.1

Figure 4.2




S O L U T I O N S

On voit ainsi que f passe par un minimum pour , de valeur

. Si cette valeur minimale est positive, c’est-à-dire si

, l’équation n’admet aucune racine. Pour , ce minimum

est nul et il y a donc une racine unique . Pour , le minimum

étant négatif, il y a deux racines qui encadrent .

d) La dérivée de est qui s’annulepour , soit . La fonction g étant définie pour

, cette valeur n’appartient pas au domaine de définition si etdans ce cas est toujours positive. La fonction g est donc strictement crois-sante de à et il existe alors une valeur unique telle que

. Pour , on obtient le tableau de variation suivant :

La fonction g présente donc un minimum de valeur. Si ce minimum est

positif, c’est-à-dire si , alors l’équation n’admet aucuneracine. Pour , on a ce qui correspond à une racine uniquede valeur , la base étant donc définie par , soit

. Enfin, pour le minimum est négatif et dans ce cas il y a

deux racines qui encadrent la valeur .11. Ces trois nombres ont pour somme , donc

. Leur produit est , soit , donc laraison est 3 ou , ce qui donne les mêmes nombres : 7, 10 et 13.

12. Le nombre b se déduit du premier terme a de cette progression par la rela-tion . La raison est donc :

et les termes intermédiaires s’écrivent, pour :

13. Si et sont les termes de rang 1 et n d’une progression arithmétique,elle a pour somme .

x 0

II – 0 +

II β

x = α

e( ) ln

b a f

a bβ = α =β α

e a b> ( ) 0 f x = eb a=

1 x a= / eb a>

1 1ln

b

a a aα = >α

( ) log a g x x x= − ( ) 1 1 ln g x x a= − /′ln 1 x a = ln e ln log e a x a= / =

0 x > 0 1 a< < g′−∞ +∞ 1α <α

( ) 0 g α =α 1 a >

log e a +∞

( ) g x′

( ) g x+∞

+∞

(log e) log e log (log e) log (e log e) a a a a a a gβ = = − = /β

e log e a> ( ) 0 g x =e ln e ln a= / 0β =β

log e e a x = = ln ln e e a = /1 ee a/= 1 e1 e a

/< <

log e a

( ) ( ) 3 30 x r x x r x− + + + = =10 x = 10(10 )(10 ) 910r r − + = 2100 91r − =

3−

( 1)b a n r = + +

1

b a

r n

−

= +

1 2k n= , ,...,

1k

b a x a k

n

−= +

+

1u nu

1( ) 2n n S n u u= + /



110 TD Analyse

a) Le premier nombre de trois chiffres est et le dernier ,soit un total de nombres en progression arithmétique de raison .Leur somme est donc égale à .

b) Les nombres pairs forment une progression arithmétique de raison, le premier terme étant et le n-ième . On obtient donc

.

c) Les nombres impairs forment une progression arithmétique de raison, le premier terme étant et le n-ième . On obtient donc

.

d) Les multiples de trois forment une progression arithmétique de raison

, le premier terme étant et le n-ième . On obtient donc.

14. Si r est la raison de la progression arithmétique, on a et, donc et . La condition suivante se traduit par :

Soit en remplaçant a par 3b :

Cette équation admet la solution unique , d’où et , laraison de la progression géométrique étant aussi égale à deux.

15. Les trois premiers termes , et sont liés par la relation, soit . En dehors de la suite nulle constante, la

raison q de la suite doit vérifier , soit deux solutionset .

Déterminer la raison et les trois premiers termes d’une progression géométrique,liés par les relations et .

Réponse : , , , ou , ,

, .

16. a) Les rapports de deux termes consécutifs ont pour expressions :

Ces rapports étant égaux, leur valeur commune est la raison de la progres-sion.

1 100u = 999nu =900n = 1r =

900 450 1099 494550 S = × =

2r = 1 2u = 2nu n=( 1)n S n n= +

2r = 1 1u = 2 1nu n= −2

n S n=

3r = 1 3u = 3nu n=3 ( 1) 2n S n n= + /

2 a b a r + = +2 2 a b a r + = + 2r b= 3 a b=

2

2

5 ( 1)

( 1) 5

ab a

b ab

+ +=

+ +

( )22 2 2( 1) (3 1) 3 5b b b+ + = +

1b = 3 a = 2r =

1u 2 1u qu= 23 1u q u=

3 1 2

u u u= + 2

1

(1 ) 0q q u+ − =2 1 0q q− − =

1 5 2q

= + /( ) 1 5 2q

= − /( )

1 2 3 312u u u+ + = 3 1 192u u− =

3q = 1 24u = 2 72u = 3 216u = 7 5q = − / 1 200u =

2 280u = − 3 392u =

2 2 2

2 2 2

( )et

( )

a b a b a b a b

a b a b a b a b

− − − −= =

+ + − +

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

b) De la même manière :

Le rapport constant de deux termes consécutifs fournit la raison.

17. Le rapport de deux termes consécutifs est tel que :

donc il s’agit bien d’une progression géométrique de raison . La somme desn premiers termes de cette suite est :

pour r différent de 0, avec pour . Pour que cette somme

admette une limite finie, il faut que r soit négatif, et dans ce cas la limite est :

18. a) On utilise d’abord la propriété , avec

et . Donc et l’équation devient :

La solution unique est .

b) L’égalité des logarithmes implique l’égalité des arguments, soit :

de solution .

c) En posant , on obtient l’équation du second degré

, de solutions et , soit et.

d) Si on pose , l’équation s’écrit ou ,dont seule la racine positive convient, soit

.

e) En prenant le logarithme des deux membres, on obtient

de solution unique .

3 32 2 2

2 2

2 222 2 2 2

3 3

( ) ( )

( )

a b a b a ab b a b

a b a b

a ab b a b a ab b a b

−+ = + + +

−−

+ + = + + +−

)(

)(( )

11exp( ) er k

k k

k

vu u

v

++= − =

er

11 e

e1 e

nr u

n r S

−=

−

1eu

n S n= 0r =

1e

1 e

u

r −

ln ln ln a b ab+ = 2 2 2 a = + +

2 2 2b = − + 4 2 2 2 2 ab

= − + = −)(

ln ln2 ln 2 2 ln 2 2 ln2 ln(4 2) 2ln 2 x

= + + + − = + − =( ))(4 x =

2 21 (2 )(3 ) 5 6 x x x x x− = − − = − +

7 5 x = /

e xX =2 3 2 ( 1)( 2) 0X X X X− + = − − = 1X = 2X = 0 x =

ln 2 x =

e xX = 1 3X X− / = 2 3 1 0X X− − =3 13 2X

= + /( )ln 3 13 ln2 x

= + −( )

1ln ( 1) ln

2

x x x x= + 1 x =



112 TD Analyse

f) On écrit l’équation sous la forme :

Ce qui permet les mises en facteur suivantes :

Cette équation est équivalente à :

de solution .

Résoudre les équations suivantes :

a) ;

b) ;

c) .

Réponses :

a) , ;

b) , et ;

c) , , , .

19. a) La seconde équation peut s’écrire :

Le système se transforme alors en :

On a donc :

soit puisque x et y doivent être positifs. Connaissant la somme etle produit des nombres x et y, ce sont les deux racines de l’équation du second

2 1 1 2 1 24 2 3 3 x x x x− + / − /+ = +

1 14 1 3 3

2 3 x x + = + ( )( )

3 24 4

3 3

x /

=

)( ( )3 2 x = /

3 1 2 1 1e 2e e 0 x x x+ + +− + =

0 x

x x x

− =

2 13 9 1458 x x+ −+ =

3 1 2 1 1 1 2e 2e e e (e 1) x x x x x+ + + +− + = − 0 x =1

ln ln2

x x x x= 1 x = 4 x =

3 xX = 2 281 2 81 0X X+ − × = 81X = 4 x =

2 29ln ln9 ln8 ln

8 xy a a= − =

2 2 2

2

4

9

8

x y a

xy a

+ =

=

2 2 2 2 2 29

( ) 2 ( ) 44

x y x y xy x y a a+ = + − = + − =

5 2 x y a+ = /

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

degré :

Soient les solutions :

b) Nous posons , et et le système devient :

On en déduit donc ,

soit le système :

Donc et sont les deux solutions de l’équation ,

soit , ou , . Les solutions correspon-

dantes sont , ou , .

c) Pour , le système est indéterminé avec et x quelconque.Pour , en prenant les logarithmes le système s’écrit :

Soit, en formant le rapport de ces équations :

Les solutions sont et , l’autre inconnue étant respective-

ment et .

2 25 90

2 8

X aX a− + =

5 7 5 74 4ou

5 7 5 74 4

a a x x

a a y y

= + = −

= − = + y y

( )

)( )(

( )

lnX x= ln yϒ = ln A a=

2 2 2

2

5

2

X A

X A

+ ϒ =

+ ϒ =2 2 2 2 2( ) 2 4 2 5 2X X X A X A+ ϒ = + ϒ − ϒ = − ϒ = /

2

2

3

4

X A

X A

+ ϒ =

ϒ =X ϒ 2 23

42 0z Az A− + =

2X A= / 3 2 Aϒ = / 3 2X A= / 2 Aϒ = /

x a= y a a= x a a= y a=

1 a = 1 y =1 a ≠

ln ln

( 1) ln ( ) ln

x a a y

x a x a y

=

+ = +

11 1

x

x a+ = +

x a= x a= −

1 a y a/= 1 a y a

− /=



114 TD Analyse

Résoudre le système suivant :

Réponse : .

20. On applique le théorème des accroissements finis à la fonction f , avec :

Sur l’intervalle cela permet d’écrire , où θ est unnombre de l’ouvert . La dérivée de f est :

Et ainsi :

Quand , il en est de même de et, d’après le théorème descroissances comparées, on en déduit aisément que tend vers 1.

21. Les dérivées de sont :

D’où les développements de Taylor-Lagrange sur :

où θ1 et θ2 sont deux nombres de . L’expression des restes, de signe cons-tant pour , montre que :

22 2 1 x y

x y− −+ =

+ =

1 x y= =

1 1 ln( ) exp x x

f x x x x

+ / = = ( )

[ ]1 x x, + ( ) ( ) g x f x= + θ′ θ

] [0 1,

2 2

ln 1 ln ln( ) exp exp

1 ln lnexp

x x x f x x

x x x x

x x x

x x

= + −′

+ − =

( ) ( ) )(

( )

1 ln( ) ln( )( ) 1 exp

x x g x

x x x

+ θ + θ = + −

+ θ + θ + θ)( )(θ

θ

θ

θ

θ

x →+∞ x + θθ( ) g x

( ) ln(1 ) f x x= +(3)

2 3

1 1 2( ) ( ) ( )

1 (1 ) (1 ) f x f x f x

x x x= , = − , =′ ′′

+ + +

[ ]0 x,

2

21

2 3

32

ln(1 )2(1 )

ln(1 )2 3(1 )

x x x

x

x x x x

x

+ = −+ θ

+ = − ++ θ

θ

θ

] [0 1,0 x >

2

ln(1 )2

x x x x− ≤ + ≤

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

On calcule le logarithme du produit :

On utilise ensuite la double inégalité :

Par ailleurs, on utilise les résultats suivants :

On en déduit l’encadrement :

Les deux termes de l’encadrement ont la même limite 1/2, qui est doncaussi celle de . Par conséquent admet pour limite .

22. La fonction ϕ est continue sur le fermé et dérivable sur l’ouvert

, avec de plus . D’après le théorème de

Rolle, il existe un point c de l’ouvert tel que , soit :

Ce qui conduit à la formule des accroissements généralisés :

Si on applique cette formule sur l’intervalle , il existe alors un pointc de l’ouvert tel que :

Si x tend vers a, il en est de même du point c , ce qui permet d’obtenir larègle de L’Hospital :

nu

21

ln ln 1n

n

k

ku

n=

= +

( )∑

2

2 4 2 2ln 1

2

k k k k

n n n n

− ≤ + ≤ ( )

1

2

1

( 1)

2

( 1)(2 1)

6

n

k

n

k

n nk

n n nk

=

=

+=

+ +=

∑

∑

3

1 ( 1)(2 1) 1ln

2 12 2n

n n n nu

n n n

+ + + +− ≤ ≤

ln nu nu e

[ ] a b,

] [ a b, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a f b g a f a g bϕ = ϕ = −ϕ ϕ

] [ a b, ( ) 0c ϕ =′ϕ

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f b f a g c g b g a f c − − − =′ ′

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b g a g c

− ′=

− ′

[ ] a x,] [ a x,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x f a f x f c

g x g a g x g c

− ′= =

− ′

( ) ( )lim lim

( ) ( ) x a x a

f x f x

g x g x→ →

′=

′ ⇒ =



116 TD Analyse

Appliquons cette règle aux fonctions f et g qui sont telles ici queet qui admettent pour dérivées :

Ainsi et . Par conséquent :

23. a) On obtient comme dérivées :

de valeurs et , ce qui conduit au développement limité :

avec quand .

b) On écrit :

et on utilise le développement au voisinage de 0 de :

On peut alors mettre sous la forme , en ayant posé

. On utilise enfin le développement limité de l’expo-

nentielle au voisinage de 0 :

Soit, en ne retenant que les termes en x de degré inférieur ou égal à deux :

où tous les termes tendent vers 0 avec x.

(0) (0) 0 f g= =

e e

( ) e e ( ) e ln e ln x x x x

f x g xα β

= α −β , = α α −β β′ ′α β α α β β

(0) f = α − β′ α β (0) e ln e ln g = α − β′ α β

e e0

e elim

e ln( )

x x

x x x

α β

→

− α −β=

α −β α/β

α β

α ββα

2 2

2 1 1 1 4

( ) ( )2 1 (2 1) (2 1)

x

f x f x x x x x x x

−

= − = , =′ ′′− − −

(1) 1 f =′ (1) 3 f = −′′

2 22 1 3ln 1 ( 1) ( 1) ( )

2

x x x x x

x

−= − − − + − εε

( ) 0 xε →ε 1 x →

1ln ( ) ln(1 ) f x x

x= +

ln(1 ) x+

22

1ln ( ) 1 ( )2 3

x x f x x x= − + + εε

( ) f x 1( ) e u f x +=2

21( )

2 3

x xu x x= − + + εε

22

2e 1 ( )2

u uu u u= + + + εε

2 22

3

2 23

( ) e 1 ( )2 3 8

11e 1 ( )

2 24

x x x f x x x

x x x x

= − + + + ε

= − + + ε

[ ][ ]

ε

ε

( )i xεε




S O L U T I O N S

c) On utilise d’abord le développement limité de la fonctionexponentielle :

On écrit ensuite :

en ayant posé :

On utilise enfin le développement de la fonction logarithme :

Soit, en ne conservant que les termes en x et :

où tous les termes tendent vers 0 avec x.

Donner le développement limité à l’ordre deux, au voisinage de 0, de.

Réponse :

24. a) L’expression de est de la forme , avec , qui n’est pasun infiniment petit au voisinage de 0 et qui admet comme développement àl’ordre trois :

2

ln 2 21

2ln 2 2

2

e 1 ln ln ( )2

e 1 ln ln ( )2

x x a

x x b

x a x a a x x

xb x b b x x

= = + + + ε

= = + + + ε

ε

ε

( ) ln( ) ln(2 2 ) ln 2 ln(1 ) x x f x a b u u= + = + = + +

( )2

2 2 232 (ln ln ) ln ln ( )

2

xu x a b a b x x= + + + + εε

22

4ln(1 ) ( )2

uu u u u+ = − + εε

2 x

( ) ( )

( )

22 2

22 2

5

22 2 2

6

ln ln 2 (ln ln ) ln ln2 4

(ln ln ) ( )8

ln 2 (ln ln ) ln ln 2ln ln ( )2 8

x x x x a b a b a b

x a b x x

x x a b a b a b x x

+ = + + + +

− + + ε

= + + + + − + ε

ε

ε

( )i xεε

( ) (1 ) x f x x= +

2 2

(1 ) 1 ( ) x

x x x x+ = + + εε

( ) f x ln(1 )u+ e xu =

2 33

1e 1 ( )2 6

x x x x x x= + + + + εε

Vous avez compris ?



118 TD Analyse

Soit :

en ayant posé :

On écrit également le développement à l’ordre trois du logarithme, auvoisinage de 0 :

On remplace ensuite t par son expression en fonction de x, mais dans lestermes en et on ne retient pas les termes en x de degré supérieur à trois.Ainsi :

où toutes les fonctions εi sont des infiniment petits au voisinage de 0.

b) On utilise le développement de l’exponentielle à l’ordre trois :

et ensuite on écrit , avec . On écrit alors

le développement de cette fonction puissance, à l’ordre un seulement puisqueu est du second degré par rapport à x :

On remplace enfin u par son expression en fonction de x :


c) Le développement à l’ordre trois de l’exponentielle permet d’obtenir :

( ) ln(2 ) ln 2 ln(1 ) f x v t = + = + +

2 33

12 ( )2 6

x xt v x x x= = + + + εε

2 33

2ln(1 ) ( )2 3

t t t t t x+ = − + + εε

2t 3t

2 32 3 3 3

3

23

3

1 1 1( ) ln2 ( ) ( )

2 2 6 8 24

ln2 ( )2 8

x x f x x x x x x x

x x

x x

= + + + − + + + ε

= + + + ε

( ) ε

ε

2 33

1e 1 ( )2 6

x x x x x x− = + + + εε

1 3( ) (1 ) f x u /= +

2 3

3 1( )2 6 x xu x x= + + εε

1 32(1 ) 1 ( )

3

uu u u/+ = + + εε

2 31 3 3

3(e ) 1 ( )6 18

x x x x x x

/− = + + + εε

2 33

1e 1 2 ( )2 6

x x x x x x x+ = + + + + εε




S O L U T I O N S

On écrit alors , ayant posé . Le

développement à l’ordre trois du logarithme, au voisinage de 0, est :

Soit, en remplaçant u en fonction de x et ne conservant que les termes dedegré inférieur ou égal à trois :


d) L’infiniment petit est et on obtient comme nouvelleexpression :

Soit en développant le logarithme au voisinage de 0 :

25. a) Il faut distinguer deux cas :

• si , alors et , donc ;

• si , alors et , donc .

b) Un équivalent de ne permet pas de résoudre cette forme indé-terminée . Il faut écrire le développement limité à l’ordre deux pourobtenir :

~

c) Il suffit ici d’utiliser les équivalents ~ x et ~ – x pour

( ) ln(1 ) f x u= +2 3

312 ( )

2 6

x xu x x x= + + + εε

2 33

2ln(1 ) ( )2 3

u uu u u u+ = − + + εε

( ) ( )

2 32 3 3 3

3

2 3 33

1 8ln e 2 4 2 ( )

2 6 2 33 11

2 ( )2 6

x x x x x x x x x x

x x x x x

+ = + + − + + + ε

= − + + ε

ε

1t x= /

1 1 1 1( ) ln 1 1 ln ln( 1) ln f x t t t t t t t

= + + + = + + ( ))(

2 33

2 3 3

( ) ln 1 ( )2 3 4

1 1 1 1 (1 )

ln 1 2 3 4

t t t f x t t t

x

x x x x x

= + − + − + ε

ε /

= + − + − +

ε

ε

0 x +→1

x→ +∞ 1e x/ →+∞ ( ) 0 f x →

0 x −→1

x→−∞ 1e 0 x/ → ( ) 1 f x →

ln(1 ) x+∞−∞

ln(1 )( )

ln(1 )

x x f x

x x

− +=

+

2

2

2 1

2

x

x

/=

ln(1 ) x+ ln(1 ) x−



120 TD Analyse

obtenir :

d) Quand , ~ et par conséquent tendvers 1.

e) Pour résoudre cette forme indéterminée on fait le changement:

On voit ainsi que est équivalent à , qui tend vers 0 d’aprèsle théorème des croissances comparées.

f) En effectuant le développement limité à l’ordre 1 des exponentielles, onobtient les équivalences ~ et ~ . Donc est équi-valent à . La limite de est .

g) C’est une forme indéterminée que nous allons résoudre en prenantdes équivalents du numérateur et du dénominateur, après le changement

. Le numérateur devient :

car ~ , puis ~ . Le dénominateur devient :

~

et par conséquent tend vers 1/2 quand u tend vers 0.h) Il faut distinguer deux cas selon le signe de x :

• si , alors et d’après le théorème des crois-

sances comparées ;

• si , alors et se présente sous une forme indé-

terminée , ayant même limite que qui

tend vers d’après le théorème des croissances comparées.

Quand x tend vers 1, il faut encore distinguer deux cas :

• si , alors et ;

1 1( ) ln(1 ) ln(1 ) 2 f x x x

x x

= + − − →

x →+∞ ln(1 e ) x+ ln e x x= ( ) f x

0×∞e x u= +

[ ] [ ]( ) ln(e ) 1 ln ln(e ) ln e ln ln ln 1

e

u f x u u u u u

= + − = + − = × +

( )( ) f x ln eu u/

e 1 ax − ax e 1bx − bx e e ax bx−( ) a b x− ( ) f x a b−

0

01 x u= +

[ ]1 exp( ln ) 1 exp (1 ) ln(1 ) 1 x x x x u u u− = − = + + − ∼

(1 ) ln(1 )u u+ + u e 1u − u

1 ln ln(1 ) x x u u− + = + + 2u

( ) f x

0 x−→

1

(1 ) x x→−∞

−( ) 0 f x →

0 x +→1

(1 ) x x

→+∞

−

( ) f x

0×∞1

2

2

e) exp(1 )

(1 )

x

gx x x x

/

= − / = −/

−∞

1 x −→1

(1 ) x x→+∞

−( ) f x →−∞




S O L U T I O N S

• si , alors et est une forme indéterminée qui

a même limite que , ayant posé .

Quand , tend vers 0 d’après le théorème des croissancescomparées, donc il en est de même pour .

i) L’expression se présente sous la forme indéterminée . Avec le change-ment , le numérateur devient :

~

et le dénominateur :

~

Par conséquent, a pour limite .

j) Nous avons une forme indéterminée que nous transformons avec lechangement . Le numérateur s’écrit :

avec comme équivalents au voisinage de 0, ~ u et~ soit au total :

~

à condition que a soit différent de e. Le dénominateur a pour expression :

Soit, en utilisant l’équivalent ~ :

~

Pour a différent de e, en effectuant le rapport des équivalents, on obtientcomme limite de :

1 x +→1

(1 ) x x→−∞

−( ) f x

0

0

1 1( ) exp1 1 euu g x x x

= = − −( ) 1 1

u x

=−

u →+∞ ( ) g x( ) f x

0

0 x a u= +

1 1u x a a a

− = + − ( ) 2

u a

ln( ) ln(1 )log 1 1

ln ln a

a u u a x

a a

+ + /− = − =

ln

u

a a

( ) f x ln a a

00

x a u= +

( ) 1 a

a x a a u a uu x a a u a a a

a

+ − = + − = + − )([ ]

(1 ) 1 au a+ / −1u a − lnu a

a x x a− (1 ln ) aua a−

ln( ) ln ln(1 ) lnlog log 1

ln ln( ) ln ln ln(1 ) a x

a u a u a a x a

a a u a a u a

+ + /− = − = + −

+ + + /

ln(1 )u a+ / u a/

log log a x x a−2

ln

u

a a

( ) f x

11ln (1 ln )

2 a

a a a+ −



122 TD Analyse

Il reste à étudier le cas particulier où le numérateur devient, avec:

Il faut ici utiliser les développements limités à l’ordre deux :

soit par différence :

~

L’équivalent du dénominateur étant , on obtient finalement :

~

Donc la limite est égale à 0.

Déterminer les limites des expressions suivantes :

Réponses :

26. a) C’est une forme indéterminée exponentielle avec :

donc tend vers e.

b) C’est encore une forme indéterminée avec :

e a =eu x= −

e

e ee e 1 ee

x uu x

− = + − [ ]( )

e

2 21

22

2

e 11 1 ( )

e 2e

e 1 ( )2u

uu u u u

u

u u u

− + = + + + ε

= + + + ε

( ) ε

ε

e e x x −2

e 1e2

u −−

2 eu/

( ) f x

ee( e)4 x− −

2 2

3

2

1( ) ln(1 e ) ( ) ln(1 ) 2 0

ln(1 ) 1( ) 0

x f x x g x x x x x x

xh x x

x x

− = − , → +∞; = + − + , → ;

+= − , → .

[ ]

2 1( ) 0 ( ) ( )

3 2 f x g x h x→ , → , → −

0

0ln ln 1

ln ( ) 1ln3 ln ln3 1 ln3 ln

x x f x

x x x= = = →

+ + /

( ) f x00

[ ]ln ( ) ln ln(1 ) f x x x= +

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

Comme est équivalent à x, a même limite que ,qui tend vers 0 d’après le théorème des croissances comparées. Donc tendvers 1.

c) C’est une forme indéterminée , avec :

où on a posé . D’après le théorème des croissances comparées, ce rap-port tend vers 0 donc tend vers 1.

d) C’est une forme indéterminée , avec :

Donc tend vers et vers .

e) C’est une forme indéterminée , avec :

donc tend vers a et vers .

f) C’est une forme indéterminée , avec :

donc converge vers .

g) C’est une forme indéterminée , avec :

Donc tend vers 1/2 et vers .

27. a) Cette fonction est définie et continue pour x strictement positif, en

raison de la présence du logarithme. Elle admet pour dérivée :

qui est du signe du numérateur . Sa dérivée est ,toujours négative. La fonction u est donc strictement décroissante de à ,

s’annulant pour une seule valeur α. Comme et , on

ln(1 ) x+ ln ( ) f x ln x x( ) f x

0∞

( )1 ln

ln ( ) ln lneu

u f x x

x= =

lnu x=( ) f x

1∞

1ln ( ) ( 2) ln3

1 3 1 3( 2) ln 1 ln 1

x f x x x

x x x x x x

−= ++

= + − − + − − ∼][ ( ) )( ( )~

ln ( ) f x 4− ( ) f x4e−

1∞

( )ln ( ) ln 1 ( )u x f x x u x x

= + ∼[ ] ~

ln ( ) f x ( ) f x e a

0∞

( )ln ln lnln ( )

ln ln ln

n n a bx bx n x f x

x x x

+=

α +β β β∼ ∼~~

( ) f x en/β

0∞

2 2

ln lnln ( )

ln( 1) ln

x x f x

x x=

+∼~

ln ( ) f x ( ) f x e

2 2

2 2

1 1 1 1( ) (ln 1) 2 (2 ln ) f x x x x x x

x x x x

= − − − + − = − −′ )(

22 lnu x x= − − 2 1u x x= − − /′+∞ −∞

(1) 1u = (2) 2 ln 2 0u = − − <



124 TD Analyse

en conclut que cette racine α est comprise entre 1 et 2 ; sa valeur approchée est

1,31. La fonction passe par un maximum d’ordonnée ,

proche de . Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, , doncl’axe des ordonnées est asymptote. Pour x tendant vers plus l’infini, le numérateurest équivalent à , et à . D’autre part :

converge vers 0 par valeurs positives, donc la droite est une asymptotesituée au-dessous du graphe représenté dans la figure 4.3. L’asymptote coupele graphe pour , soit pour . Le tableau de variation est lesuivant :

b) Cette fonction est définie et continue pour x strictement positif, avecpour dérivée :

x 0 α

II + 0 –

II β

21( ) (1 2 ) f β = α = − α

αβ α

αα

1 86− , ( ) f x →−∞

2 x− ( ) f x x−

1( ) (ln 1) f x x x

x+ = −

xϒ = −

ln 1 0 x − = e x =

+∞

( ) f x′

( ) f x −∞ −∞

Figure 4.3

1 ln 2 ln( )

2 2

x x f x

x x x x x x

−= − =′




S O L U T I O N S

qui change de signe pour . D’après le théorème des croissances compa-rées, tend vers 0 quand , donc l’axe des abscisses est asymptote.De même, quand x tend vers 0, donc l’axe des ordonnées est aussi

asymptote. On obtient le tableau de variation suivant :

Pour préciser le graphe représenté dans la figure 4.4, on calcule la dérivéeseconde :

Le graphe présente un point d’inflexion d’abscisse , la fonctionétant convexe pour .

c) Cette fonction n’est pas définie pour , mais on peut remarquer quetend vers 0 quand x tend vers 0. On peut donc la prolonger par conti-

nuité en posant par définition . On obtient comme dérivée, pour xdifférent de 0 :

x 0

II + 0 –

II 0

2e x =( ) f x x →+∞

( ) f x →−∞

2e +∞

( ) f x′

( ) f x −∞ 2 e/

5 2

3ln 8( )

4

x f x

x/

−=′′

8 30 e x /=

0 x x>

Figure 4.4

0 x =( ) f x

(0) 0 f =

1 1

1 2

1 e e( )

(1 e )

x x

x

x f x

/ /

/

+ + /=′

+



126 TD Analyse

qui est toujours positive, donc la fonction est croissante. On peut étudier ladérivabilité à l’origine en formant le rapport :

qui admet comme limite à gauche 1 et comme limite à droite 0. Le grapheadmet des demi-tangentes à gauche et à droite distinctes. Quand x devientinfini, on peut écrire le développement limité :

Ce qui permet d’obtenir :

ayant posé . Ainsi :

donc la droite est une asymptote située au-dessous du graphereprésenté dans la figure 4.5.

1( ) (0) 10 1 e x f x f x /− =− +

1 12 3 3

1 1 1 (1 )e 1

2 6 x x

x x x x

/ ε /= + + + +

ε

( )2 3 32( ) 1 ( )

2(1 ) 2

x x f x u u u u u

u= = − + − + ε

+ε

12 3 3

1 1 1 (1 )2

2 6

xu

x x x x

ε /= + + +

ε

32 3 2 3 3 3

2

(1 )1 1 1 1 1 1( ) 1

2 2 4 12 4 4 81 1 (1 )

2 4 48

x x f x

x x x x x x x x x

x

ε / = − − − + + − +

+ ε /= − + )( ε

ε

2 1 4 xϒ = / − /

Figure 4.5




S O L U T I O N S

d) La fonction est définie pour positif, expression qui est du signede , donc positive à l’extérieur de l’intervalle . Le domaine dedéfinition est donc formé des intervalles et . On calcule

ensuite la dérivée logarithmique :

dont on étudie le signe en calculant sa dérivée :

On détermine maintenant les limites de g aux bornes des intervalles dedéfinition. Quand x devient infini, on doit écrire les développements limités àl’ordre deux, par rapport à l’infiniment petit , car les deux termes sontéquivalents :

Donc :

tend vers 0 quand x devient infini. Quand x tend vers par valeurs infé-rieures, on écrit :

où est un infiniment petit positif. Le terme entre crochets tend vers1, donc tend vers . Enfin, quand x tend vers 0, il est facile de voir quetend aussi vers .

Il reste maintenant à étudier les limites de la fonction elle-même. Quand x devient infini :

1 1 x+ /( 1) x x + [ ]1 0− ,

] [1−∞,− ] [0,+∞

( ) 1 1ln 1 ( )

( ) 1

f x g x

f x x x

′ = + − =

+)(

2 2

1 1 1( )

( 1) ( 1) ( 1) g x

x x x x x= − + = −′

+ + +

1 x/

12 2

2

1 1 1 (1 )ln 1

2

1 1 1 1 1 (1 )11 1 1

x

x x x x

x x x x x x x

ε / + = − +

ε / = = − + + + /

( )

)(

ε

ε

2

1 (1 )( )

2

x g x

x

+ ε /=

ε

1−

[ ]

[ ]

1( ) ln( 1) ln( )

11

1 ( 1) ln( 1) ( 1) ln( )1

11 ln ln(1 )

g x x x x

x x x x x

u u u uu

= − − − − −+

= − − + − − + + −+

= + − +

1u x= − −( ) g x +∞( ) g x +∞

1ln ( ) ln 1 1 f x x

x

= + → ( )



128 TD Analyse

donc tend vers e. La droite est donc une asymptote horizontale.Quand x tend vers , alors , donc . La droite

est une asymptote verticale. Enfin, quand x tend vers 0 :

donc tend vers 1. Comme la dérivée logarithmique tendait vers ,l’axe des ordonnées est la demi-tangente verticale au point (0,1). Le tableau devariation ci-après résume tout cela et le graphe est représenté dans la figure 4.6ci-dessous.

e) Cette fonction n’est pas définie pour et admet pour dérivée :

qui tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs inférieures. De même,tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs inférieures, donc l’axe des abscisses

x –1 0

+ II II –

0 II II 0

+ II II +

e II II1 e

( ) f x eϒ =1− ln ( ) f x →+∞ ( ) f x →+∞

1X = −

ln ( ) ln( 1) ln 0 f x x x x x= + − →

( ) f x +∞

−∞ +∞

( ) g x′

( ) g x +∞ +∞

( ) f x′ +∞

( ) f x +∞

Figure 4.6

0 x =

1 1 1

2 2

2 ( 2)( 1)( ) e e e x x x x x x

f x x x

/ / /+ − += − =′

( ) f x




S O L U T I O N S

est une demi-tangente à l’origine. Quand x devient infini, on utilise un déve-loppement limité de l’exponentielle :

qui permet de constater que la droite est asymptote au graphe, avec

qui est du signe de x. On obtient le tableau de variation suivant :

On peut préciser le graphe de la figure 4.7, en étudiant la dérivée

seconde :

La fonction est donc convexe sur les intervalles et . Il ya un point d’inflexion pour .

x –1 0 2

+ 0 – II – 0 +

0 II

Figure 4.7

12 2

1 1 (1 ) 5 (1 )( ) ( 2) 1 3

2 2

x x f x x x

x x x x

ε / + ε / = + + + + = + + ][ ε ε

3 xϒ = +

( ) f x − ϒ

−∞ +∞

( ) f x′

( ) f x −∞ 1e− +∞ 4 e +∞

11 1

2 3 2 2 4

1 4 e 1 2 5 2( ) e 1 e

x x x x

f x x x x x x x

// /+

= + − − − =′′ )( )([ [2 5 0− / , ] [0,+∞

2 5 x = − /



130 TD Analyse

f) La fonction n’est pas définie pour , c’est-à-dire pour .Cependant, est équivalent à x au voisinage de 0 et tend vers 0,donc on peut prolonger f par continuité en posant . Les dérivées ont

pour expression :

La dérivée seconde est du signe de , de dérivée. Ce qui permet de construire le tableau de variation suivant :

Le minimum de g est , donc il y a deux valeurs α et 0pour lesquelles g s’annule. La dérivée seconde change de signe au voisinage deces deux points qui sont donc des points d’inflexion. La fonction f est convexesur et . Pour , est équivalent à , donc

a même limite que , soit d’après le théorème des croissancescomparées. L’axe des abscisses est asymptote. Pour ,

~ , donc . Comme , il y a unebranche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées.

Sur , est croissante de à donc elle s’annule pour unecertaine valeur où la fonction f présente un minimum. On obtientcomme valeurs numériques approchées et . La dérivées’annule aussi pour où f présente un maximum local. Tout cela estrésumé dans le tableau de variation ci-après. Le graphe de f est représenté dansla figure 4.8.

28. Si le capital a doublé à l’issue de t années, on a la relation :

x 0

– 0 + 1 +

0

x 0 β + 0 – II – 0 +

0 0 II 0 m

e 1 0 x − = 0 x =e 1 x − ln x x| |

(0) 0 f =

2

2

e( ) ln e 1

e 1

e e 1( ) e

e 1 (e 1)

2(e 1)e

(e 1)

x x

x

x x x

x x

x x

x

f x x

x f x

x

= − +′−

− −= +′′

− −

− −=

−

( ) 2(e 1) x g x x= − −( ) 2e 1 x g x = −′

−∞ ln2− +∞

( ) g x′

( ) g x+∞

ln2 1−

+∞

ln 2 1 0− < ln 2< −

] [−∞,αα ] [0,+∞ x →−∞ ln e 1 x − e x

( ) f x e x x ( ) 0 f x → x →+∞

( ) f x 2ln e x x x= ( ) f x →+∞ ( ) f x x/ → +∞

] [0,+∞ f ′ −∞ +∞0β >β

1 6α = − ,α 0 28β = ,β f ′ln2 x = −

−∞ ln2− +∞

( ) f x′

( ) f x 2(ln2) +∞

2 (1 )t C C i= +




S O L U T I O N S

Donc ans 11 mois. Il est multiplié par dix après une

durée ans 6 mois.29. Le taux annuel i et le taux instantané α équivalent donnent le mêmecapital au bout d’une année, soit la relation . Ainsiα et la valeur du capital à une date t quelconqueexprimée en fraction d’année est :

Pour on obtient euros.

30. Le taux de croissance instantané est la dérivée logarithmique de lafonction V :

La valeur actualisée du bien est :

Pour déterminer son maximum, on calcule aussi sa dérivéelogarithmique :

ln 2 ln(1 ) 11t i= / + =

ln10 ln(1 ) 39t i= / + =

Figure 4.8

1000(1 ) 1000ei α+ =ln(1 ) 0 04879i= + = ,

( ) 1000e t C t α=

1000 360t = / 1145 14C = ,

( ) 1

( ) 2

V t

V t t

′=

0(1 ) e (1 )t t t

A V r V r − −

= + = +

0ln ln ln(1 )

1ln(1 )

2

A V t t r

Ar

A t

= + − +

′= − +



132 TD Analyse

La dérivée s’annule pour , avec une dérivée seconde :

de valeur négative en ce point où . Le maximum de A est donc obtenupour ans 6 mois.

La valeur d’un bien à la date t est déterminée par . Calculer la

date où la valeur actualisée A est maximum dans le cas où le taux d’escompte annuel est .

Réponse :

pour ans 4 mois.

1 2ln(1 )t r = / +

1ln(1 )

2 4

A A A r

t t t

= − + −′′ ′

][ 0 A =′[ ]

12ln(1 ) 27t r

−= + =

0( ) 2 t V t V =

12r %=

0

ln 22 (1 ) ln(1 ) 0

2t t A V r et A r

t

− = + = − + =′ [ ]

2ln2

92ln(1 )

t r

= = + ][

Vous avez compris ?



5Fonction de plusieursvariables

et optimisation

Les notions de limite, de continuité et de dérivabilité sontétendues aux fonctions de deux ou trois variables. Si la définition dela continuité n’est qu’une généralisation de celle donnée pour unefonction d’une variable, il faut être attentif au fait que cette notionconcerne l’ensemble des variables et non pas chacune d’elles prise

séparément. Toutes les propriétés relatives aux fonctions conti-nues d’une variable ne sont donc pas généralisables à l’identique.La notion de dérivée partielle, par contre, concerne la dérivabilitépar rapport à chacune des variables prise isolément. Lorsque lesdérivées partielles secondes sont continues, l’ordre de dérivationpar rapport aux variables est indifférent. L’étude d’une fonction, auvoisinage d’un point, peut se faire à l’aide de la formule de Taylorqui se généralise au cas d’une fonction de plusieurs variables. Son

expression est beaucoup plus compliquée, mais souvent très utile,notamment lors de la recherche d’un extremum local.

Il est important de noter que la recherche d’un extremumlocal d’une fonction n’est pas a priori liée à l’étude de ses dérivées.Cet extremum peut notamment se situer en un point où la fonctionn’est pas dérivable. Une fonction présente un extremum en unpoint si ses valeurs, au voisinage de ce point, sont toutes supé-rieures, ou toutes inférieures, à la valeur en ce point. Cependant, si

la fonction admet des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordre 2et si on recherche un extremum dans un ensemble ouvert, alorscette recherche peut se ramener à l’étude du comportement desdérivées. Dans ce cas, on cherche d’abord les points où toutes lesdérivées partielles premières sont nulles, ce qui correspond auxconditions dites du premier ordre. Ces points candidats à unextremum sont alors en effet les seuls où il peut y avoir unextremum. On les appelle points critiques ou points stationnaires.



134 TD Analyse

Pour savoir ensuite s’il s’agit effectivement d’un extremum etquelle est sa nature, maximum ou minimum, on examine les condi-tions du second ordre. Nous donnerons des conditions suffisantes

explicites d’existence d’un extremum dans les cas particuliers defonctions de deux ou trois variables. Il arrive parfois que les varia-bles soient liées par une ou plusieurs relations, appelées con-traintes. On introduit alors une nouvelle fonction, faisant intervenirces contraintes, en utilisant des multiplicateurs de Lagrange.

1 Fonction de plusieurs variables

Définition. On appelle fonction numérique de n variables réelles une application f d’une partie E de dans .

L’image d’un point M de coordonnées est donc un nombreréel noté ou .

Définition. Une fonction f, définie dans une partie E de , est continue en unpoint a de E si elle admet une limite quand x tend vers a, avec :

Pour simplifier la présentation, nous n’introduirons le concept de dérivéepartielle que dans le cas d’une fonction f de trois variables notées x, y et z. Onattribue à deux variables des valeurs constantes, par exemple etQuand on fait varier x, f devient une fonction continue de la seule variable x.Si cette fonction admet une dérivée au point elle définit la dérivée

partielle en A de f par rapport à x :

On définit bien sûr de façon analogue les 2 autres dérivées partielles :

Il est important de noter que l’existence des dérivées partielles en un pointn’entraîne pas la continuité en ce point. On a seulement le résultat suivant.

Théorème. Si une fonction f admet des dérivées partielles toutes continues enun point, alors elle est continue en ce point.

Dérivées partielles du second ordre. Si les dérivées partielles existent, ellesdéfinissent les fonctions dérivées, notées , , . Ces fonctions peuvent àleur tour admettre des dérivées partielles, appelées dérivées partielles du second ordre ou secondes. Par exemple, les dérivées de par rapport aux variables x, y,

n

, , ,1 2 n x x … x( ) f M ( ), , ,1 2 n f x x … x

n

( ) ( )→ =lim x a f x f a

= y b = .z c

( ), , , A a b c

( ) ( ) ( ) ( )′

∆ →

∂ + ∆ , , − , ,= =∂ ∆0

lim x x

f A f a x b c f a b c f A x x

( )( )

( )( )′ ′∂ ∂

= =∂ ∂

y z

f A f A f A f A

y z

′ x f

′ y f ′

z f

′ x f



TD 5 Fonction de plusieurs variables et optimisation 135

C O U R S

z sont notées respectivement :

On peut bien sûr continuer à définir des dérivées partielles d’ordre 3,puis 4...

Théorème de Schwarz. Si une fonction f admet des dérivées partielles dusecond ordre dans un voisinage du point A et si elles sont continues en cepoint, alors :

Dérivée d’une fonction composée. Soit f une fonction définie dans unepartie E de 2, admettant des dérivées partielles continues dans E. Si x et ysont des fonctions d’une seule variable indépendante t , continues et dérivablesdans un intervalle ouvert de , elles définissent une fonction composée de t par :

Cette fonction est dérivable par rapport à t , avec :

Si x et y étaient des fonctions de deux variables indépendantes t et s, onaurait, avec des conditions analogues :

Formule de Taylor. Si f est une fonction admettant des dérivées partiellesd’ordre continues en et , la formulede Taylor à l’ordre pour la fonction f s’écrit :

Dans le développement par la formule du binôme de :

′′ ′′ ′′ ∂ ∂ ∂, , , ,

∂ ∂ ∂ ∂ ∂2

2 2 2

2ou xy xz

x

f f f f f f

x x y x z

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= = = xy yx xz zx yz zy

f A f A f A f A f A f A

( ) ( ) ( )= , F t f x t y t [ ]

∂ ∂= +∂ ∂

dF f dx f dy

dt x dt y dt

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f x f y f f x f y

t x t y t s x s y s

+1 p ( ), ,M x y z ( )+ + , + , +M H x h y k z l +1 p

( ) ( ) ( )

( )( )

=

+

∂ ∂ ∂+ = + + + !

∂ ∂ ∂+ + + + θ + !

1

1

1

1

1

i p

i

p

f M H f M h k l f Mi x y z

h k l f M H p x y z

∑ ( )

(∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂θ

∂ ∂ ∂+ +

i

h k l x y z∂ ∂ ∂( )

)



136 TD Analyse

le terme :

représente l’opérateur :

qui est appliqué à f , au point M, avec qui définit le point

Pour une fonction de deux variables, on peut écrire la formule de Taylor àl’ordre deux, au voisinage du point en posant :

où tend vers 0 quand tend vers .

Fonction implicite d’une variable. Soit f une fonction définie dans un ouvertde 2, admettant des dérivées partielles premières continues dans Si

est une solution de , avec , alors il existe 2intervalles ouverts I et J tels que pour tout x de I, il existe un réel unique y de

J tel que Cette propriété définit une fonction continue ,

de dérivée continue surI

définie par :

Fonction convexe. Une fonction f de dérivées partielles secondes continuesdans un ouvert de 2 est convexe si en tout point de :

On dit que f est concave si – f est convexe.

Fonction homogène. Une fonction f définie dans une partie E de est ditehomogène de degré r , nombre réel, si pour tout point M de E et tout réel positif λ tel que λ M est aussi un point de E, elle vérifie :

βα γ ∂ ∂ ∂

α + β + γ = ∂ avec i x y z∂ ∂ ∂( ) ( ) ( )α β γ

α β γ

∂

∂ ∂ ∂

i

x y z

< θ <0 1θ

( )+ θ + θ , + θ , + θ .M H x h y k z l θ θ θθ

( ), a b = − , = −h x a k y b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

′ ′ ′′ ′′

′′

+ , + = , + , + , + , + ,

+ , + + ε ,

2

2

2

22 2

2

2

x y xy x

y

h f a h y k f a b h f a b k f a b f a b hk f a b

k f a b h k h k( ) ε

( )ε ,h kε ( ),h k ( ),0 0

Ω Ω.( ),0 0 x y ( ), = 0 f x y ( )′ , ≠0 0 0 y f x y

( ), = .0 f x y ϕ : →I J ϕ

( )( )

( )

′

′

,ϕ ϕ = −′

,ϕ

x

y

f x x x

f x x

[[

]]

ϕϕ

ϕ

Ω ( ), x y Ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ , ≥ , ≥ , , − , ≥

2 2 2 2

20 0 0

xy x y x y

f x y f x y f x y f x y f x y

][

n

( ) ( ) ( ) ( )λ = λ λ ,λ , ,λ = λ , , ,1 2 1 2our r n n f M f M f x x … x f x x … xλ λ λ λ λ λ




C O U R S

Propriété. Si une fonction homogène de degré r admet des dérivées partielles,alors ce sont des fonctions homogènes de degré r – 1.

Théorème d’Euler. Une fonction f définie dans une partie E de est homo-gène de degré r si et seulement si, en tout point où ses dérivées partielles sontcontinues, elle vérifie :

2 Extremum sans contrainte

Définition. On dit que f présente un extremum local au point s’il existe unvoisinage de où garde un signe constant. Si ce signe estpositif, il s’agit d’un minimum local et s’il est négatif, d’un maximum local. Si

garde un signe constant pour tous les points M où f est définie,il s’agit d’un extremum absolu ou global .

Théorème. Si f admet des dérivées partielles premières toutes continues, pourque f présente un extremum en un point d’un ouvert, il est nécessaire, maisnon suffisant, que toutes les dérivées partielles premières s’annulent en cepoint :

Définition. Un point où toutes les dérivées partielles premières s’annu-lent est appelé un point stationnaire ou point critique.

Extremum d’une fonction de deux variables. Si f admet des dérivées par-

tielles continues jusqu’à l’ordre 3, au voisinage d’un point stationnaire , lestermes du premier ordre du développement de Taylor sont nuls. Ainsi,

est du signe de :

pour voisin de Nous pouvons donc donner des conditions suffi-santes du second ordre d’existence d’un extremum. On utilise pour cela les nota-

tions de Monge :

• si il y a un extremum en qui est un minimum si(ou et un maximum si (ou ;

• si il n’y a pas d’extremum en ; on dit que est unpoint col , ou point-selle ;

n

( ) ( )′

=

, , , = , , ,1 2 1 21

i

n

n i x ni

rf x x … x x f x x … x∑

0M

0M ( ) ( )− 0 f M f M

( ) ( )− 0 f M f M

0

M

( )′ = = , , ,0 0 pour 1 2i x f M i … n

0M

0M

( ) ( )+ , + − ,0 0 0 0 f x h y k f x y

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, + , + , 2 2

2 20 0 0 0 0 02 xy x y

h f x y hk f x y k f x y

( ),h k ( ), .0 0

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′= , = , = ,2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 xy x yr f x y s f x y t f x y

− > ,20 0 0 0r t s 0M>0 0r >0 0)t <0 0r <0 0)t

− < ,20 0 0 0r t s 0M 0M



138 TD Analyse

• si on ne peut pas conclure; il faut étudier directement lesigne de pour voisin de ouécrire la formule de Taylor à un ordre supérieur si cela est possible.

Extremum d’une fonction de trois variables. Si f admet des dérivées par-tielles continues jusqu’à l’ordre 3, au voisinage d’un point stationnaire , lestermes du premier ordre du développement de Taylor sont nuls. Ainsi,

est du signe de :

pour voisin de Il s’agit d’une forme quadratique des trois varia-bles que l’on peut décomposer par la méthode de Gauss (voir Algèbre, chap.8). Les conclusions dépendent alors de la nature de cette forme quadratique :

• si est définie positive (resp. négative), il y a un minimum (resp.maximum) en ;

• si est non définie, il n’y a pas d’extremum en qui est un pointcol ;

• si est semi-définie, on ne peut pas conclure; il faut étudier direc-tement le signe de pourvoisin de ou écrire la formule de Taylor à un ordre supérieursi cela est possible.

Il est possible également d’écrire des conditions suffisantes d’existence d’unextremum de f qui font intervenir sa matrice hessienne constituée de toutes lesdérivées secondes :

Nous noterons , le déterminant formé à partir des p pre-mières lignes et des p premières colonnes de H. Ces conditions suffisantess’écrivent alors sous la forme suivante :

• si en un point , alors il y a un maximumen ce point ;

• si en un point , alors il y a un minimumen ce point.

3 Extremum sous contraintes

On suppose maintenant que les variables sont liées par unecontrainte qui se traduit par une équation de la forme :

− = ,20 0 0 0r t s

( ) ( )+ , + − ,0 0 0 0 f x h y k f x y ( ),h k ( ), ,0 0

0M

( ) ( )+ , + , + − , ,0 0 0 0 0 0 f x h y k z l f x y z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′ ′′

′′ ′′

∆ , , = + + +

+ +

2 2 20

2 2 20 0 0 0

0 0

2

2 2

M xy x y z

yz xz

h k l h f M k f M l f M hk f M

kl f M h l f M( ) ( )

( ), ,h k l ( ), , .0 0 0, ,h k l

∆0M

0M

∆0M 0M

∆ 0M

( ) ( )+ , + , + − , ,0 0 0 0 0 0 f x h y k z l f x y z ( ), ,h k l ( ), , ,0 0 0

′′ ≤ , ≤

=1 3i j x x

i j H f ( )

, ≤ ≤1 3 pH p

< ,1 0H > ,2 0H <3 0H 0M

> , > , >1 2 30 0 0H H H 0M

, , ,1 2 n x x … x

( ), , , =1 2 0n g x x … x




C O U R S

Deux cas particuliers peuvent se présenter.

• L’équation précédente permet d’exprimer l’une des variables enfonction des autres. On est alors ramené à un problème derecherche d’extremum sans contrainte, pour une fonction devariables.

• L’équation précédente peut être paramétrée, c’est-à-dire que toutes lesvariables peuvent s’exprimer en fonction d’un mêmeparamètre réel t . On est alors ramené au problème de la recherche d’unextremum pour la fonction F de la seule variable t , définie par :

Dans le cas général, on introduit un nombre réel quelconque λ , appelémultiplicateur de Lagrange, qui permet de définir une fonction L, appelée lagran-

gien, et définie par :

On est alors ramené au problème de la recherche d’un extremum pourcette fonction L.

Si f et g admettent des dérivées partielles premières continues, on écrit lesconditions nécessaires du premier ordre qui permettent de déterminer lespoints stationnaires de coordonnées . Pour déterminer lanature de ces points, extremum ou col, il faut étudier le signe de :

lorsque varie au voisinage de l’origine, sous la contrainte :

Cette étude de signe peut se faire en utilisant un développement deTaylor, mais il faut bien noter qu’ici les termes du premier ordre en

ne sont pas nuls et qu’en plus ces variables ne sont pas indépen-dantes.

Extremum d’une fonction de deux variables. On obtient des conditionsnécessaires qui s’expriment à l’aide du déterminant :

−1n−1n

, , ,1 2 n x x … x

( ) ( ) ( ) ( )= , , , 1 2 nF t f x t x t … x t [ ]

( ) ( ) ( ), , , ;λ = , , , + λ , , ,1 2 1 2 1 2n n n L x x … x f x x … x g x x … xλ λ

( )1 2 ˆ ˆ ˆ n x x … x, , ,

( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

n n n f x h x h … x h f x x … x+ , + , , + − , , ,

( ), , ,1 2 nh h … h

( ) 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ 0n n g x h x h … x h+ , + , , + =

, , ,1 2 nh h … h

′′ ′′ ′

′′ ′′ ′

′ ′

∆ =

2

23

0

xy x x

xy y y

x y

L L g

L L g

g g



140 TD Analyse

On calcule la valeur de ce déterminant en un point stationnaire .

• si il y a un minimum en ;

• si il y a un maximum en .Extremum d’une fonction de trois variables. On obtient des conditionsnécessaires qui s’expriment à l’aide des déterminants :

On calcule la valeur de ces déterminants en un point stationnaire .

• si et il y a un minimum en ;

• si et il y a un maximum en .

Cas de plusieurs contraintes. Dans le cas où il y a p contraintes qui se tra-duisent par les p équations :

on introduit p multiplicateurs de Lagrange et on cherche les extre-mums du lagrangien L défini par :

0M

( )∆ < ,3 0 0M 0M

( )∆ > ,3 0 0M 0M

′′ ′′ ′′ ′′′ ′′ ′

′′ ′′ ′′ ′

′′ ′′ ′

′′ ′′ ′′ ′

′ ′′ ′ ′

∆ = ∆ =

2

2

2

2

2

3 4

00

xy xz x x

xy x x xy yz y y

xy y y xz yz zz

x y x y z

L L L g L L g

L L L g L L g

L L L g g g

g g g

0M

( )∆ <3 0 0M ( )∆ < ,4 0 0M 0M

( )∆ >3 0 0M ( )∆ <4 0 0M 0M

( ), , , = ≤ ≤1 2 0 pour 1 j n g x x … x j p

λ , ,λ 1 p… λ λ

( ) ( )

=

, , , ;λ , ,λ = , , , + λ , , ,1 2 1 1 2 1 21

p

n p n j j n j

L x x … x … f x x … x g x x … x∑( )λ λ λ




E X E R C I C E S

1. Si existe et si la limite de existe quand x tend vers a, alors f est continue en a.

2. Une fonction de deux variables, continue en un point par rapport àchacune des deux variables séparément, est continue en ce point.

3. L’inversion de l’ordre de dérivation par rapport aux variables ne change pas

la valeur des dérivées partielles du second ordre en un point où elles existent.4. Une fonction de signe constant possède au moins un extremum.

5. Si une fonction de deux variables admet des dérivées secondes toutes posi-tives en un point stationnaire, il y a un minimum en ce point.

6. Une fonction ne peut présenter un extremum qu’en un point stationnaire.

7. Une fonction qui admet des dérivées partielles premières et ne possèdeaucun point stationnaire peut présenter des extremums.

8. Étudier la limite à l’origine de la fonction f définie par :

9. On considère la fonction f définie par :

Étudier sa limite à l’origine en faisant tendre x et y vers 0, d’abord séparé-ment puis simultanément.

( ) f a ( ) f x

( ), =+

2

4 2

x y f x y

x y

( ), =+

2

2 2

x f x y

x y



142 TD Analyse

Limites

10. Calculer les limites des expressions suivantes :

a) b)

c)

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut utiliser les équivalents pour les fonc-tions usuelles. Quand les deux variables deviennent infinies, on peut utiliserles coordonnées polaires.

Continuité

11. Étudier la continuité à l’origine des fonctions f définies par etpar les expressions suivantes pour

a) b) c)

Analyse de l’énoncé et conseils. La valeur de f à l’origine étant nulle, il faut

que sa limite soit aussi égale à 0 pour qu’elle soit continue en ce point.

Dérivabilité


Déterminer les fonctions g et h définies par :

Calculer ensuite et . Que peut-on en conclure ?

( )sin xy

xavec ( ) ( ), → ,0 1 x y

+ 1

x y

x( ) avec → +∞, → 2 x y

+→ +∞, → +∞

+2 2avec

x y x y

x y

( ), =0 0 0 f ( ), f x y ( ) ( ), ≠ , .0 0 x y

+

x

x y

−

+

2 2

2 2

x y

x y

+

+2 2

x y

x y

( ) ( ) ( )

( )

−, = , ≠ ,

+

, =

2 2

2 2si 0 0

0 0 0

x y f x y xy x y

x y

f

( ) ( ) ( ) ( )′ ′= , = ,0 0 y x g x f x h y f y

( )′ 0 g ( )′ 0h




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. On utilise la définition des dérivées par-tielles pour les calculer. On exprime ensuite les fonctions g et h à l’aide de f pour conclure.

Calcul de dérivées partielles

13. Calculer les dérivées partielles premières des fonctions f définies par lesexpressions ci-après.

a) b)

c) d)

e)

Analyse de l’énoncé et conseils. Quand on dérive par rapport à une variable,les autres sont considérées comme des constantes.

14. Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions f définies par lesexpressions ci-après.

a) b)

c) d)

e) f)

Analyse de l’énoncé et conseils. Lorsqu’on dérive par rapport à une variable,les autres sont considérées comme des constantes. Si les dérivées partielles pre-mières sont continues, il n’y a que trois dérivées secondes à calculer, pour unefonction de deux variables, et six pour une fonction de trois variables.

Dérivées de fonctions composées

15. Soit f la fonction définie par :

On définit la fonction composée de t :

où a et b sont deux réels positifs. Calculer les deux premières dérivées de F parrapport à t .

( ), = + x

f x y xy y

( ), =+2 2

x f x y

x y

( )

, = + +2 2ln f x y x x y( ) ( ) ( ), , = +ln f x y z xy z

( ) ( ), , =z

f x y z xy

( ), =2

e y f x y x ( ), = y f x y x

( )/ , = +

1 32 2 f x y x y ( ), , = + +2 3 f x y z x z xy z

( ), , = + +3 2 4 f x y z xz y z xy z ( ), , = ln f x y z xy z

( ), = −2 2 f x y x y

( ) ( )= ,sin cosF t f a t b t



144 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’appliquer les formules des rappelsde cours.

16. La fonction f est fonction des variables x et y par l’intermédiaire des fonc-tions u et v :

Calculer les dérivées partielles premières de f .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’appliquer les formules des rappelsde cours.

Fonctions homogènes

17. Vérifier que les fonctions f définies ci-après sont des fonctions homogènesdont on précisera le degré. Montrer ensuite qu’elles vérifient le théorèmed’Euler.

a) b)

c)

avec α réel quelconque et g fonction dérivable sur .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il suffit d’appliquer la définition puis decalculer les dérivées partielles premières.

Formule de Taylor

18. Écrire la formule de Taylor pour les fonctions f définies ci-après.

a) à l’ordre deux, au voisinage du point (1, 1).

b) à l’ordre deux, au voisinage du point (1, 1).

c) à l’ordre trois, au voisinage de l’origine.

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule les dérivées partielles au pointdemandé, à l’ordre 2 ou à l’ordre 3, puis on applique la formule donnée encours.

( )

( ) ( )

, =

= , = + = , = −

ln

avec 2 et 2

f u v u v

u u x y x y v v x y y x

( ) +, =+2 23

x y f x y x y

( ), = ln x f x y y

( ) α , =

y f x y x g

x( )

( ), = 2 f x y x y

( ), = x f x y y

( ), = e sin x f x y y




E X E R C I C E S

Polynômes de deux variables

19. Rechercher les extremums des fonctions f définies ci-après.

a) b)

c) d)

e) f)

Analyse de l’énoncé et conseils. Chaque fonction f est un polynôme, doncon cherche les points stationnaires . Les conditions du second ordre permet-

tent ensuite de déterminer la nature de ces points.

Polynômes avec paramètres

20. Rechercher, en fonction du paramètre réel a, les extremums des fonctions f définies ci-après.

a) b)

c)

Analyse de l’énoncé et conseils. On procède comme dans l’exercice précé-dent, en discutant suivant les valeurs du paramètre.

Fonctions quelconques


a) b)

c) d)

Analyse de l’énoncé et conseils. Les expressions de ces fonctions étant assezcompliquées, on essaye de déterminer les extremums par une étude directe oupar l’utilisation des coordonnées polaires.

Extremums sans dérivée


a) b)

( ), = + + −2 24 2 4 f x y x y x y ( ), = + −2 4 22 f x y x y y

( ), = + − −3 23 15 12 f x y x xy x y ( ), = + − −4 2 2 f x y x x y x y

( ), = − + + +2 24 8 2 3 f x y x xy y x ( ), = − + +4 2 22 f x y x x xy y

0M

( ), = − +3 33 f x y x axy y ( ), = − +4 2 2 f x y x ax y y

( ) , = + + + − −2 2 12 a f x y x y xy y x( )

( )+

, =+ + +2 2 3

x y f x y

x xy y( )

/ , = − +2 32 21 f x y x y( )

( )+ −

, =+ +2 2

1

1

x y f x y

x y( ) ( ), = + − −2 2exp 2 8 4 f x y x y x y

( ), = + +2 f x y x x y ( ) ( ), = − 32 22 f x y y x



146 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. Aux points où une fonction n’admet pas dedérivées partielles premières, il faut faire une étude directe pour la recherched’extremums.

Fonctions de trois variables


a)

b)

c)

Analyse de l’énoncé et conseils. Aux points stationnaires, on détermine lanature de la forme quadratique ou on fait une étude directe.

Optimisation avec contrainte

24. Rechercher les extremums des fonctions f définies ci-après, les variables

étant liées par une contrainte.

a)

b)

c)

d)

Analyse de l’énoncé et conseils. Il s’agit à chaque fois d’un cas simple oùl’une des variables peut s’exprimer en fonction de l’autre. On est donc ramenéau problème de la recherche d’un extremum d’une fonction d’une seulevariable.

25. Rechercher les extremums des fonctions f définies ci-après, les variables

étant liées par une contrainte.a)

b)

c)

d)

( ), , = − + + + − +2 2 22 2 2 4 5 f x y z x xy y y z z

( ), , = − + − + − +4 2 2 22 2 2 2 4 5 f x y z x x y y yz z z

( ), , = + −ln ln f x y z x y z x y

( )∆ , ,h k l

( ), = + + =2 2

2avec 19 4

x y f x y x y

( ), = + + =ln ln avec 2 f x y x x y y x y

( ), = + =2 avec 1 f x y x y x y

( ) ( ), = − + − + − + =2 2exp 3 3 avec 1 f x y x xy y y x y

( ), = + =2 2avec 2 f x y xy x y

( ) ( ), = − + =2 2ln avec 2 f x y x y x y

( ) ( ), = − − − + + =2 2 2 2exp 2 avec 2 f x y x y x y x y

( ) − −, = + + + + + + =e 1 e 1 avec 1 1 4 y x f x y x y x y




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. Dans les trois premiers cas, la contraintecorrespond à l’équation d’un cercle. En paramétrant l’équation de ce cercle, onest ramené au problème de la recherche d’un extremum d’une fonction d’uneseule variable. Dans le dernier cas, on peut soit à nouveau paramétrer la con-trainte, soit utiliser le multiplicateur de Lagrange.

26. Rechercher les extremums des fonctions f définies ci-après, les variablesétant liées par une contrainte.

a)

b)

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule la valeur des déterminants etdéfinis en cours, aux points stationnaires. Si les conditions suffisantes

d’existence d’un extremum ne sont pas remplies, on effectue une étude directe.

Optimisation avec deux contraintes

27. Rechercher les extremums de la fonction f définie ci-après, les variablesétant liées par deux contraintes :

Analyse de l’énoncé et conseils. La simplicité des contraintes permet deramener le problème à celui de la recherche d’extremum pour une fonctiond’une seule variable. Cependant, à titre d’entraînement, il sera intéressant deretrouver le résultat par la méthode générale du lagrangien.

( ), , = + + + + =2 2 2avec 1 f x y z x y z x y z

( ), , = + + + + =ln ln ln avec 9 f x y z x x y y z z x y z

∆3

∆ ,4

( ), , = + − + + − = − =2 2 22 4 6 12 avec 3 et 0 f x y z x y xy z z z x x y



148 TD Analyse

QCM

1. Faux. Il faut de plus que la limite de f ( x) soit égale à f ( a).

2. Faux. Voir la question de réflexion 9.

3. Faux. Ce n’est vrai que si ces dérivées partielles sont continues.

4. Faux. Une fonction de signe constant ne possède pas obligatoirement unextremum, sauf si elle s’annule à l’origine. Par exemple, si elle est positive,pour tout point M on a f (0) = 0 et il y a donc un minimum global àl’origine.

5. Faux. Si en ce point on a ce n’est pas un extremum mais uncol.

6. Faux. Une fonction peut présenter un extremum en un point où ellen’admet pas de dérivées. Par exemple ; il y a un

minimum global à l’origine qui n’est pas un point stationnaire.7. Vrai. Si une fonction est définie sur un domaine borné, elle peut présenterdes extremums sur la frontière de ce domaine.

8. Quand x et y tendent vers 0, l’expression de est une forme indéter-minée . Nous allons étudier cette limite selon la manière dont le pointse déplace vers l’origine. S’il est sur la droite passant par l’origine onobtient pour t fixé et x non nul :

Dans ce cas, f tend vers 0 pour toute valeur de t .

Faisons tendre maintenant le point vers l’origine sur la parabole:

Pour tout x non nul, f est constante sur cette parabole, donc sa limite estcette fois . La limite obtenue dépend de la façon dont tend versdonc on en conclut que f n’admet pas de limite en ce point.

9. Pour tout x :

( ) ≥ f M

− < ,20 0 0 0r t s

( ) ( ), = + ≥ = ,0 0 0 f x y x y f

( ), f x y00--- ( ), x y

= , y tx

( ), = =+ +

3

4 2 2 2 2tx tx f x tx

x t x x t

( ), x y= 2 y x

, = =

+

42

4 4

1

2

x f x x

x x

( )

12--- ( ), x y ( ), ,0 0

( ), =0 0 f x




S O L U T I O N S

Donc f est continue par rapport à x, pour puisque :

De même, pour tout y :

Donc f est aussi continue par rapport à y, pour Faisons maintenanttendre le point vers l’origine, le long d’une droite passant par l’origine,définie par Pour tout réel t fixé :

Cette valeur dépend de t quelconque et n’a pas pour limitequand x tend vers 0. La fonction f n’est donc pas continue au point

10. a) On écrit l’expression sous la forme :

Quand tend vers le produit tend vers 0 et par consé-quent l’équivalence permet d’obtenir :

Puisque y tend vers 1, on en déduit donc que :

b) On prend le logarithme :

Quand x devient infini, est un infiniment petit et l’équivalencepermet d’obtenir :

Puisque y tend vers 2, le logarithme précédent tend aussi vers 2, et :

= ,0 x

( ) ( )→

, = = ,0

lim 0 0 0 0 x

f x f

( ), =0 0 f y

= .0 y( ), x y

= . y tx

( ), = ≠− + 2 01

t

f x tx xt t

( ), =0 0 0 f ( ), .0 0

( )×

sin xy y

xy

( ), x y ( ), ,0 1 =t xy∼sin t t

( )→

sin1

xy

xy

( )→

sin1

xy

x

+ = + ln 1 ln 1

x y y

x x x

( ) ( )=

yt

x

( )+ ∼ln 1 t t

+ ∼ln 1

x y y

x x x( )

+ →

21 e x

y

x( )



150 TD Analyse

c) On écrit l’expression avec les coordonnées polaires:

Quand x et y deviennent infinis, il en est de même de ρ et la fraction pré-cédente tend vers 0 puisque le numérateur est borné.

Calculer la limite suivante :

Réponse : pas de limite.

11. a) On fait tendre vers l’origine sur la droite Pour t fixé et xnon nul, on obtient :

Cette expression dépend de t , qui peut être quelconque, doncn’admet pas de limite à l’origine. La fonction f ne peut donc pas être continueen ce point.

b) On procède comme dans la question précédente :

Cette valeur dépendant de n’admet pas de limite, donc f n’est

pas continue à l’origine.c) On obtient encore pour x non nul :

Cette expression devient infinie quand x tend vers 0, doncn’admet pas de limite et f n’est donc pas continue à l’origine.

Étudier la continuité à l’origine de la fonction f définie par et pour par :

Réponse : fonction continue à l’origine.

= ρ θ, = ρ θcos sin x yθ θρρ

( )( )ρ θ + θ+ θ+ θ= =

+ ρρ θ + θ2 2 2 2 2cos sin cos sin

cos sin x y

x yθ θ

θθρ

ρθ θρ

−

→+∞, → +∞e avec x y

x y

( ), x y = . y tx

( ), = =+ +

1

1

x f x tx

x tx t

( ), f x tx

( )− −

, = =+ +

2 2 2 2

2 2 2 2

1

1

x t x t f x tx

x t x t

( ), ,t f x tx

( )

+ +, = =

+ +2 2 2 2

1

1

x tx t f x tx

x t x t x)(

( ), f x tx

( ), =0 0 0 f ( ) ( ), ≠ ,0 0 x y

( ) , = + 2 2 1

sin f x y x y xy

( ) ( )( ), ≤ + → ,2 2 0 f x y x y

Vous avez compris ?

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

12. Par définition de la dérivée partielle :

Soit, puisque pour x non nul :

De même :

Ces deux fonctions ont donc pour dérivées respectives etdonc et Par ailleurs :

On a par conséquent :

On constate donc que Ces deux dérivées existent àl’origine, mais leurs valeurs sont distinctes car les dérivées et ne sont

pas continues en ce point.

13. a) Pour dériver par rapport à x, on écrit :

On obtient comme dérivée :

On dérive de même par rapport à y :

( )( ) ( )′

→

, − ,, =

0

00 lim y

y

f x y f x f x

y

( ), =0 0 f x

( ) ( )( )′

→ →

, −= , = = =

+

2 2

2 20 00 lim lim y

y y

f x y x y g x f x x x

y x y

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′

→ →

→

, − , ,= , = =

−= = −

+

0 0

2 2

2 20

00 lim lim

lim

x x x

x

f x y f y f x yh y f y x x

x y y y

x y

( ) =′ 1 g x( ) = − ,′ 1h y ( ) =′ 0 1 g ( ) = − .′ 0 1h

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′

′′ ′′∂ , ∂ ,= = , = = ,′ ′∂ ∂

0 00 0 y x yx xy

f x f y g x f x h y f y x y

( ) ( ) ( ) ( )′′ ′′, = = , = = −′ ′0 0 0 1 0 0 0 1 yx xy f g f h

( ) ( )′′ ′′, ≠ , .0 0 0 0 yx xy f f ′′

yx f ′′ xy f

( )

, = + 1

f x y x y y( )

( )( )

′ + /, =+ /1

2 1 x

y y f x y x y y

( )( )

′− /

, =+ /

21 1

2 1 y

x y f x y

x y y

( )



152 TD Analyse

b) Si on dérive par rapport à x, le numérateur a pour dérivée 1 et le déno-minateur On obtient donc :

Si on dérive par rapport à y, on écrit la fonction sous la forme :

La dérivée est donc :

Ces dérivées existent sur l’ensemble de définition de f , c’est-à-dire danstout le plan, sauf à l’origine.

c) La fonction à dériver est de la forme donc de dérivée . Si ondérive par rapport à x :

En dérivant par rapport à y :

Ces dérivées existent sur l’ensemble de définition de f , c’est-à-dire danstout le plan, sauf à l’origine.

d) Les dérivées se calculent comme dans la question précédente, pour:

e) Les dérivées par rapport à x et y sont simplement celles de fonctionspuissances :

Pour dériver par rapport à z, on écrit dont ladérivée est Par conséquent :

− / + .1 22 2 x x y( )

( )

/ − /

′

/

+ − +, = =

+ +

1 2 1 22 2 2 2 2 2

3 22 2 2 2 x

x y x x y y f x y x y x y

( ) ( )( )

( )− / , = +

1 22 2 f x y x x y( )

( ) ( )− /′

/ , = − + = −+

3 22 23 22 222

y

x xy f x y x y y x y( ) ( )

,ln uu ′u----

( )

− /

′ + +, = =+ + +

1 22 2

2 2 2 21 1 x x x y f x y

x x y x y( )

( )

− /

′+

, = =+ + + + +

1 22 2

2 2 2 2 2 2 y

y x y y f x y

x x y x x y x y

( )

+ > 0 xy z

( ) ( ) ( )′ ′ ′, , = , , = , , =+ + +

1 x y z

y x f x y z f x y z f x y z

xy z xy z xy z

( ) ( ) ( ) ( )− −′ ′, , = , , =

1 1z z

x y f x y z yz xy f x y z xz xy

( ) ( ), , =ln ln f x y z z xy( ).ln xy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ , , = , , × =ln lnz

z f x y z f x y z xy xy xy




S O L U T I O N S

Ces dérivées existent dans le domaine de définition de f où on doit avoir

Calculer les dérivées partielles premières des fonctions définies par les expressionsci-après :

Réponses :

14. a) La fonction exponentielle est continue et dérivable partout, donc toutesles dérivées de f existent et sont continues dans

2. On calcule les deux déri-

vées partielles premières :

On en déduit :

b) Cette fonction est continue et de dérivées continues dans son domainede définition où on doit avoir On écrit et on obtientcomme dérivées premières :

Les dérivées secondes sont :

c) Cette fonction admet des dérivées continues sauf à l’origine, avec desdérivées premières :

> .0 xy

( ) ( )

, = , = + +

2

ln 1 xy y

f x y g x y x y x( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

′ ′

′ ′

+, = , =+ +

, = − , =+ +

3

2 22

1

x y

x y

y x y f x y f x y xy x y x y

y g x y g x y

x x y x y

( ) ( )′ ′, = , =2 2

e 2 e y y x y f x y f x y xy

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, = , = , =2

2 0 2 e y xy yx x

f x y f x y f x y y

( )′′ , = +2

2

22 1 2 e y

y f x y x y )(

> .0 x ( ), =ln ln f x y y x

( ) ( )′ − ′, = , =1 ln y y x y f x y yx f x y x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′′ − ′′ ′′ −, = − , = , = +2 2 11 ln 1 y y xy yx x f x y y y x f x y f x y x y x

( ) ( )′′ , =2

2ln y

y f x y x x

( ) ( )− / − /′ ′ , = + , = +

2 3 2 32 2 2 22 2

3 3

x y f x y x x y f x y y x y( ) ( )

Vous avez compris ?



154 TD Analyse

On obtient comme dérivées secondes :

d) C’est une fonction polynômiale continue et de dérivées continues, avecpour dérivées premières :


e) C’est encore une fonction polynômiale, de dérivées continues, avec :


f) La fonction logarithme est dérivable dans son ensemble de définition,donc cette fonction admet des dérivées continues pour . Les dérivées pre-mières sont :

( ) ( ) ( )

′′ ′′ ′′

/ /

−

, = , = , = −+ +2

2 2

5 3 5 32 2 2 2

2 3 8

9 9 xy yx x

y x xy

f x y f x y f x y x y x y

( )

( ) ( )

( )

′′

/

−, =

+2

2 2

5 32 2

2 3

9 y

x y f x y

x y

( )

( )

( ) ( ) ( )′ ′ ′, , = + , , = , , = +3 2 22 3 1 x y z f x y z xz y f x y z xy f x y z x

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

′′ ′′ ′′

′′ ′′

′′ ′′ ′′

′′

, , = , , = , , =

, , = , , =

, , = , , = , , =

, , =

2

2

2

22 3

2

6 0

0

xy yx x

xz zx

yz zy y

z

f x y z z f x y z f x y z y

f x y z f x y z x

f x y z xy f x y z f x y z

f x y z

( ) ( )′ ′, , = + , , = +3 4 32 4 x y f x y z z y z f x y z yz xy z

( )′ , , = + +2 2 43z f x y z xz y xy

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, , = , , = , , =2

30 4 xy yx x f x y z f x y z f x y z y z

( ) ( )′′ ′′, , = , , = +2 43 xz zx f x y z f x y z z y

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, , = + , , = , , = +2

2 32 12 2 4 yz zy y f x y z z xy z f x y z f x y z y xy

( )′′ , , =2 6z f x y z xz

> 0z

( ) ( ) ( )′ ′ ′, , = , , = , , =ln ln x y z

xy f x y z y z f x y z x z f x y z

z




S O L U T I O N S

Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions définies par les expressionsci-après :

Réponses :

15. On obtient comme dérivées :

D’après les formules des rappels de cours :

Il suffit ensuite de dériver pour obtenir :

16. D’après les formules de rappels de cours :

On obtient ici :

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, , = , , = , , =2 0 ln xy yx x f x y z f x y z f x y z z

( ) ( )′′ ′′

, , = , , = xz zx

y f x y z f x y z z

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′, , = , , = , , =2 0 yz zy y

x f x y z f x y z f x y z

z

( )′′ , , = −2 2z

xy f x y z

z

( ) ( )−

, = , , = + − + ++

3 2 2 3 5 x y

f x y g x y z x y z x y z x y

( ) ( ) ( )′′ ′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′

−= − = =+ + +

= = = = =

= = = =

2 2

2

2 2

3 3 3

2 2 2 2

3 3

4 42

6 6 3

2 2 0

xy x y

yx xy xz zx x

yz zy y z

y x y x f f f x y x y x y

g xy z g g x yz g g x y

g x z g g x y g

( ) ( )′ ′

= = − = = −′ ′2 2 cos sin x y f x f y x t a t y t b t

( ) = + = +′ 2 2 2 22 sin cos 2 sin cos sin 2F t a t t b t t a b t ( )

( ) = +′′ 2 22 cos2F t a b t ( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = + x u x v x y u y v y f f u f v f f u f v

′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = − = =ln 1 2 2 1u v x x y y

u f v f u v u v

v

Vous avez compris ?



156 TD Analyse

Soit :

La fonction f est fonction des variables x et y exprimées en coordonnées polaires , Exprimer les dérivées partielles de f par rapport à x

et y en fonction de celles par rapport à ρ et θ .

Réponse :

17. a) Pour tout :

donc f est homogène de degré . En tout point autre que l’origine, on obtientcomme dérivées partielles :

On vérifie le théorème d’Euler :

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

′

′

, +, = , − = − −

, −, +

, = , + = − +, −

2

2ln 2 ln 2 2

22

2ln ln 22

x

y

u x y y x f x y v x y y x

v x y y xu x y y x

f x y v x y y xv x y y x

= ρ θcos x ρ θ = ρ θ.sin y ρ θ

∂ ∂ ∂ θ= θ−

∂ ∂ρ ∂θ ρ

∂ ∂ ∂ θ= θ+

∂ ∂ρ ∂θ ρ

sincos

cossin

f f f

x

f f f

y

θ

θθ

θ

θ ρ

θ

ρρ

ρ

λ > 0λ

( ) ( )/λ + λ λ ,λ = = λ ,

λ + λ

1 3

2 2 2 23

x y f x y f x y

x yλ λ

λ

λ λ

λ λ

13---

( )

( )

( )

/ − /

′

/ /

′

/

+ − + + + −

, = =+ +

+ −, =

+

1 3 2 32 2 2 22 2 23

2 3 4 32 2 2 2

2 2

4 32 2

3 2

3

3 2

3

x

y

x y x x y x y x y xy

f x y x y x y

y x xy f x y

x y

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

′ ′

/

/ /

+ − + + −+ =

+

+ ++ + += = =

+ +

3 2 2 3 2 2

4 32 2

2 23 3

4 3 4 32 2 2 2

3 2 3 2

3

1

33 3

x y

x xy x y y x y xy xf yf

x y

x y x y x y xy x y f

x y x y

( )

( )

( )

( )

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

b) On obtient pour tout :

donc f est homogène de degré 0. En tout point où :


c) Pour tout :

donc f est homogène de degré α. Les dérivées partielles sont obtenues pour:


Vérifier que est homogène et montrer qu’elle vérifie le théo-rème d’Euler.

Réponse :

18. a) On calcule les dérivées partielles jusqu’à l’ordre 2 :

Leurs valeurs au point (1, 1) sont :

λ > 0λ

( ) ( )λ

λ ,λ = = ,

λ

ln x

f x y f x y

y

λ λ λ

λ

> 0 xy

′ ′= = −1 1

x y f f x y

′ ′+ = 0 x y

xf yf

λ > 0λ

( ) ( ) ( )α αλ

λ ,λ = λ = λ , λ

y f x y x g f x y

x( )λ λ λ λ

λ λ

> 0 x

′ α− α−

′ α−

= α − ′

= ′

1 2

1

x

y

y y f x g yx g

x x

y f x g

x

( ) ( )

( )

α

( )′ ′ α + = α = α , x y

y

xf yf x g f x y x( )α α

( ), = 32 f x y x y

( ) ( ) ′ ′λ ,λ = λ , + =2 2 x y

f x y f x y xf yf f λ λ λ

′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′= = = = = =2 2

22 2 2 0 x y xy yx x y f xy f x f y f f x f

′ ′ ′′ ′′ ′′= = = = =2 22 1 2 2 0 x y xy x y f f f f f

Vous avez compris ?



158 TD Analyse

Le développement de Taylor à l’ordre 2 est donc :

avec au voisinage de et ε qui tend vers 0 à l’origine. En fait, onobtient ici :

b) On écrit et on obtient comme dérivées, pour :

Leurs valeurs au point où sont :

On obtient comme développement de Taylor à l’ordre 2 :

avec au voisinage de et ε qui tend vers 0 à l’origine.c) On calcule les dérivées partielles jusqu’à l’ordre 3 :

À l’origine on a et d’où le développement à l’ordre 3 :

avec au voisinage de et ε qui tend vers 0 à l’origine.

( ) ( )

( )

( )

′ ′ ′′ ′′ ′′ + , + = , + + + + +

+ + ε ,

= + + + + + + ε ,

2 2

2 2

2 2

2 2 2

11 1 1 1 2

2

1 2 2

x y xy x y f h k f h f k f h f hk f k f

h k h k

h k h hk h k h k

( )

( )

( )

ε

ε

( ),h k ( ),0 0

( ) ( ) ( )+ , + = + + = + + + + +

2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 f h k h k h k h hk h k

=ln ln f x y > 0 y

( )′ ′ ′′ ′′ ′′= = = = = +2

2ln ln ln x y xy yx x

x x f f f y f f f f y f f f y

y y y

′′ = − +2

2

2 2 y

x x f f f

y y

( ),1 1 = 1 f

′ ′ ′′ ′′ ′′= = = = =2 20 1 0 1 0 x y xy x y f f f f f

( ) ( ) + , + = + + + + ε ,2 21 1 1 f h k k hk h k h k( ) ε

( ),h k ( ),0 0

′ ′ ′′ ′′ ′ ′′

′′′ ′′′ ′ ′′′ ′′′ ′

= = = = = −

= = = − = −

2 2

3 2 2 3

e cos x x y xy y x y

y y x x y xy y

f f f y f f f f f f

f f f f f f f f

= 0 f ′ = ,1 y f

( ) ( )/ , = + + − + + ε ,

3 3 22 2 21

2 6

k f h k k hk h k h k h k( ) ε

( ),h k ( ),0 0




S O L U T I O N S

Écrire la formule de Taylor pour à l’ordre 3, au voisinage du point

Réponse :

19. Chaque polynôme f est indéfiniment dérivable, de dérivées partielles

continues. On écrit donc d’abord les conditions du premier ordre pour déter-miner les points stationnaires. On examine ensuite les conditions du secondordre en ces points.

a) Conditions du premier ordre :

Il y a un seul point stationnaire On étudie les conditions du

second ordre en un point stationnaire par le signe de :

On obtient ici comme dérivées partielles secondes :

Soit donc un extremum en ce point. Les dérivées par-

tielles secondes étant positives, il s’agit d’un minimum. On aurait d’ailleurspu écrire :

et conclure ainsi directement à l’existence d’un minimum global en

avec

b) Conditions du premier ordre :

( ) +, = e x y g x y( ),− .1 1

( ) ( )

( ) ( )/

+ ,− + = + + + +

+ + + + ε ,

2

3 23 2 2

11 1 1

21

6

g h k h k h k

h k h k h k( ) ε

( )

( )

′

′

, = + =

, = − =

2 2 0

8 4 0

x

y

f x y x

f x y y

− , .

112( )

( ),0 0 x y

( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′′ ′′ ∆ , = , × , − ,2 2

2

0 0 0 0 0 0 0 0 xy x y x y f x y f x y f x y[ ]

′′ ′′ ′′= = =2 22 8 0 xy x y f f f

∆ − , = > ,

11 16 0

2( )

( ) ( ) ( ), = + + − − ≥ −2 2

1 2 1 2 2 f x y x y

− , , 112( )

− , = − . 1

1 22

f ( )

( )

( )

′

′

, = =

, = − =3

2 0

4 4 0

x

y

f x y x

f x y y y

Vous avez compris ?



160 TD Analyse

Donc trois points stationnaires On obtient ici commedérivées partielles secondes :

On étudie les conditions du second ordre en chacun des pointsstationnaires :

Il y a donc un col à l’origine et des minima en et Il s’agit deminima globaux puisque :

c) Conditions du premier ordre :

Donc quatre points stationnaires : On

obtient ici comme dérivées partielles secondes :


Il y a donc des cols aux points et et des extremums aux

points et minimum local en avec etmaximum local en avec

d) Conditions du premier ordre :

Donc deux points stationnaires : et On obtient ici

comme dérivées partielles secondes :


Il y a donc un col en chacun de ces points.

( ) ( ) ( ), , , , ,− .0 0 0 1 0 1

′′ ′′ ′′

= = − =2 2

2

2 12 4 0 xy x y f f y f

( ) ( ) ( )∆ , = − ∆ , = ∆ ,− =0 0 8 0 1 0 1 16

( ),0 1 ( ),− .0 1

( ) ( ), = + − − ≥ −22 2 1 1 1 f x y x y

( )

( )

′

′

, = + − =

, = − =

2 23 3 15 0

6 12 0

x

y

f x y x y

f x y xy

( ) ( ) ( ) ( ), , − ,− , , , − ,− .1 2 1 2 2 1 2 1

′′ ′′ ′′= = =2 26 6 6 xy x y f x f x f y

( ) ( ) ( ) ( )∆ , = ∆ − ,− = − ∆ , = ∆ − ,− =1 2 1 2 108 2 1 2 1 108

( ),1 2 ( )− ,−1 2

( ),2 1 ( )− ,− ,2 1 ( ),2 1 ( ), = −2 1 28 f ( )− ,−2 1 ( )− ,− = .2 1 28 f

( )

( )

′

′

, = + − =

, = − =

3

2

4 2 2 0

1 0

x

y

f x y x xy x

f x y x

( ),−1 1 ( )− ,− .1 1

′′ ′′ ′′= + − = =2 2

212 2 2 0 2 xy x y f x y f f x

( ) ( )∆ ,− = ∆ − ,− = −1 1 1 1 4




S O L U T I O N S

e) Conditions du premier ordre :

Donc un seul point stationnaire : On obtient ici comme déri-vées partielles secondes :

On étudie les conditions du second ordre en ce point stationnaire :

donc minimum. On peut remarquer que :

donc il s’agit d’un minimum global.

f) Conditions du premier ordre :

Donc trois points stationnaires : On obtient icicomme dérivées partielles secondes :

On étudie les conditions du second ordre en chacun des points

stationnaires :

Il y a donc un col à l’origine et des minima aux points etqui sont des minima globaux, car :

Rechercher les extremums des fonctions définies ci-après :

Réponses : pour f, col en et maximum local en ; pour g, col en

et minimum local en ; pour h, minimum absolu en

( )

( )

′

′

, = − + =

, = − =

2 4 2 0

16 4 0

x

y

f x y x y

f x y y x − ,− .

12

2( )′′ ′′ ′′= = = −2 22 16 4 xy x y

f f f

∆ − ,− = , 12 162( )( ) ( ) ( ), = − + + + + ≥

2 22 1 2 1 1 1 f x y x y y

( )

( )

′

′

, = − + =

, = + =

34 2 2 0

2 2 0

x

y

f x y x x y

f x y x y

( ) ( ) ( ), , ,− , − , .0 0 1 1 1 1

′′ ′′ ′′= − = =2 2

212 2 2 2 xy x y f x f f

( ) ( ) ( )∆ , = − ∆ ,− = ∆ − , =0 0 8 1 1 1 1 16

( ),−1 1 ( )− , ,1 1

( ) ( ) ( ), = − + + − ≥ −2 22 1 1 1 f x y x x y

( ) ( )

( )

, = + + − , = + −

, = + − + − +

3 3 3 3

2 2

9 36 3

5 2 2 4 2 1

f x y x y xy g x y x y xy

h x y x y xy x y

( ),0 0 ( )− ,−3 3

( ),0 0 ( ),1 1 − , .

1 1

3 3( )

Vous avez compris ?



( )

162 TD Analyse

20. Comme dans l’exercice précédent, on écrit d’abord les conditions dupremier ordre pour déterminer les points stationnaires. On examine ensuite lesconditions du second ordre en ces points.

a) Conditions du premier ordre :

Donc un point stationnaire On obtient ici comme dérivées par-tielles secondes :

On étudie les conditions du second ordre au point stationnaire :

Il y a donc un minimum pour et un maximum pour Pouron ne peut pas conclure. Il faut faire une étude directe, au voisinage

de l’origine, du signe de :

Pour h et k positifs, cette différence est positive; elle est négative quand het k sont négatifs. Le signe n’étant pas constant, il n’y a pas d’extremum, maisun col à l’origine, pour

b) Conditions du premier ordre :

Donc les points stationnaires sont : si siavec x quelconque. On obtient ici comme dérivées partielles secondes :

On étudie les conditions du second ordre en chacun des points

stationnaires :

Pour conclure dans tous les cas, il suffit d’écrire :

( )

( )

′

′

, = − =

, = − =

2

2

3 3 0

3 3 0

x

y

f x y x ay

f x y y ax

( ), . a a

′′ ′′ ′′

= = = −2 26 6 3 xy x y f x f y f a

( )∆ , = − =2 2 236 9 27 a a a a a

> 0 a < .0 a= ,0 a

( ),h k

( ) ( )+ , + − , = +3 30 0 0 0 f h k f h k

= .0 a

( )

( )

′

′

, = − =

, = − =

3

2

4 2 0

2 0 x

y

f x y x axy

f x y y ax

( ) , , , 20 0 x x( ) = , ,− 22 a x x( )= −2 a

′′ ′′ ′′= − = = −2 2

212 2 2 2 xy x y f x ay f f ax

( ) ∆ , = ∆ , = ∆ ,− =2 20 0 0 x x x x( ) ( )

( )

, = − + −

2 22 21

2 4

a a f x y x y y) )( (




S O L U T I O N S

On voit ainsi que l’origine est un minimum global pour et un colpour puisque f ne garde pas un signe constant au voisinage de l’origine.Pour tous les points situés sur les paraboles ou corres-

pondent à des minimums globaux.c) Conditions du premier ordre :

Donc points stationnaires : si avec quel-

conque si On obtient ici comme dérivées partielles secondes :


Au point il y a un minimum si un maximum si

et un col si

Pour :

donc il y a un minimum global pour tous les points de la droite

Rechercher, en fonction du paramètre réel a, les extremums des fonctions définiesci-après :

Réponses : pour f, col en minimum en si et maximum

si ; pour g, minimum global en si et col pour minimum global en tous les points si et en si avec

x quelconque ; pour h, minimum global en si en tous les

points si et si avec x quelconque.

< 2 a> 2 a= ,2 a , 2 x x( ) ,− 2 x x )(

( )

( )

′

′

, = + − =

, = + + =

1 0

1 0

x

y

f x y ax y

f x y ay x

,

− −

1 1

1 1 a a( ) ( )≠ , , +1 1 a x x x

= − .1 a

′′ ′′ ′′= = =2 2 1 xy x y f a f a f

( )

∆ , = − ∆ , + =

− −

21 11 1 0

1 1

a x x

a a( ) ,

− −

1 1

1 1 a a( ) > ,1 a

< −1 a < .1 a

= −1 a

( ) ( ), = − − + − ≤ −21 1 1

1

2 2 2

f x y x y

( ), + .1 x x

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

, = + − , = + +

, = + + + − + + +

3 3 2 2

2 2 2

2

1 4 2 1 2

f x y x axy y g x y x axy y

h x y a x y axy a x y

( )( ), ,0 0

,−

3 3

a a( ) > 0 a

< 0 a ( ),0 0 < 1 a > ,1 a( ),− x x =1 a ( ), x x = −1 a

,

+ +

1 1

1 1 a a )( ≠ ,1 a

( ), −1 x x =1 a ( ), x x = −1 a

Vous avez compris ?



164 TD Analyse

21. a) Les dérivées partielles premières de cette fraction rationnelle s’annulentquand leur numérateur s’annule, soit :

On obtient deux points stationnaires : et Pour déterminerleur nature, on fait une étude directe en examinant le signe de :

avec et voisin de Le dénominateur est voisin de 18, doncpositif. Pour le numérateur :

donc la différence précédente est du signe de Le point correspond àun maximum et à un minimum.

b) L’expression de s’exprime plus simplement en coordonnéespolaires :

On est ainsi ramené à la recherche d’extremum pour une fonction déri-vable d’une seule variable. On obtient :

La fonction F est décroissante, donc on obtient un maximum à l’origine,

c) Si on pose , les dérivées partielles premières s’écrivent :

( )( )( )( )

+ + + − + + = − − + =+ + + − + + = − − + =

2 2 2

2 2 23 2 2 3 03 2 2 3 0

x y xy x y x y x xy x y xy x y y x y xy

( ),1 1 ( )− ,− .1 1

( ) ( )

( )( )

+ + ε εε + ,ε + − ε,ε = −

+ + + ε + ε +

ε + += −

+ + + ε + ε +

2 2

2 2

2 2

2 2

3 3 6 6

3 3 3 6

h k f h k f

h k hk h k

h k hk

h k hk h k

εε ε εε

ε ε

ε

ε ε

ε

ε = ±1ε ( ),h k ( ), .0 0

+ + = + + ≥

2

2 2 230

2 4

kh hk k h k( )

−ε.ε ( ),1 1( )− ,−1 1

( ), f x y

( ) ( )/ρ θ,ρ θ = −ρ = ρ4 3cos sin 1 f Fθθ ρ ρρ ρ

( ) /ρ = − ρ <′ 1 340

3F ρρ

( ) ( )= , = .0 0 0 1F f

= + +2 2

1u x y/ ′

/ ′

= − + + =

= − + + + =

3 2 2

3 2 2

1 0

1 0

x

y

u f x xy y

u f y xy x( )




S O L U T I O N S

Il y a un seul point stationnaire On écrit de la même façon lesdérivées secondes :

Les conditions du second ordre conduisent à :

donc le point est un maximum puisque ,avec .

d) La fonction exponentielle étant strictement croissante, les extremumsde f correspondent aux extremums de son argument, soit :

On obtient comme conditions du premier ordre :

Donc un seul point stationnaire Les dérivées secondes sont :

Ce point correspond donc à un minimum pour f .


Réponses : pour f, minimum au point ; pour g, minimum en et col aux points et

22. a) Pour calculer les dérivées de f , il faut distinguer deux cas pour pouvoirretirer les valeurs absolues. Si :

( ),− .1 1

( )

( )

( )

/ ′′

/ ′′

/ ′′

= − − − + +

=− + + + + +

= + − − + +

2

2

5 2 2

25 2

25 2

1 3 1

1 3 1

2 3 1

x

y

xy

u f y u x x xy y

u f x u y y xy x

u f x y u y x xy y

( )

( )

)(

( ) − −∆ ,− = × − =3 3 11 1 4 3 3 9

( ),−1 1 ( )′′ − /,− = − × <2

3 21 1 2 3 0 x

f ( ),− =1 1 3 f

( ), = + − −2 22 8 4 g x y x y x y

′

′

= − =

= − =

4 8 0

2 4 0

x

y

g x

g y

( ), .2 2

′′ ′′ ′′= = =2 24 0 2 xy x y g g g

( ) ( ) ( ) , = + + , = + −2 2 2 2 2 22 e exp x f x y x y y g x y x y x y( ) ( )

,−

11

2( ) ( ),0 0( ),0 1 ( ),− .0 1

> − y x

′ ′= + =2 1 1 x y f x f

Vous avez compris ?



166 TD Analyse

Si :

Dans ces deux cas il n’y a pas de point stationnaire. Cependant, f n’est pasdérivable en tous les points tels que notamment à l’origine. Or, ona donc à l’origine il y a un minimum global. Les autres points où

ne correspondent pas à des extremums.

b) On obtient comme dérivées premières :

On n’obtient donc pas de point stationnaire, car si s’annule pourla dérivée n’existe pas pour cette valeur. Cependant, au voisinage de

l’origine, on a et par conséquent il y a un maximum local en cepoint où n’est pas définie.

23. a) La fonction f est un polynôme indéfiniment dérivable. On écrit lesconditions nécessaires du premier ordre :

On obtient un seul point stationnaire On peut faire ici uneétude directe :

Il y a donc un minimum en ce point. Il s’agit d’ailleurs d’un minimumglobal puisque :

b) On écrit les conditions nécessaires du premier ordre :

On obtient donc trois points stationnaires :

< − y x

′ ′= − = −2 1 1 x y f x f

+ = ,0 x y( ), ≥ ,0 f x y

( ), = 2 f x y x

( )′ ′−

= =

2

3 2

3

2 22

3 x y

y f f y x

x′

y f = ,0 x ′

x f ( ), ≤ 0 f x y

′ x f

′

′

′

= − =

= − + + =

= − =

2 2 0

2 4 2 0

4 4 0

x

y

z

f x y

f x y

f z

( )− ,− , .1 1 2

( ) ( ) ( )− + ,− + , + − − ,− , = − + + ≥2

2 21 1 2 1 1 2 0 f h k l f h k k l

( ) ( ) ( ) ( ), , = − + + + − ≥2 2 2

1 2 0 f x y z x y y z

′

′

′

= − =

= − + − =

= − + − =

3

2

4 4 0

2 4 2 0

2 4 4 0

x

y

z

f x xy

f x y z

f y z

( ) ( ) , , , , − , , 2 4

0 2 2 2 2 2 23 3 )(




S O L U T I O N S

Nous allons faire une étude directe en chacun de ces points. Tout d’abord :

On peut noter que pour est négatif

pour h voisin de 0. Par ailleurs, pour :

La différence précédente ne garde pas un signe constant au voisinage du

point où il y a donc un col. Pour les deux autres points, écrits sous

la forme avec on calcule les dérivées secondes :

La différence est donc du signe de

la forme quadratique :

Cette forme quadratique est définie positive, donc il y a des minimumsaux points et

c) On écrit les conditions nécessaires du premier ordre :

, + , + − , , = − − + − + 4 2 2 2 22 4 2 4 4

0 2 2 2 2

3 3 3 3 3

f h k l f h h h k k kl l

( () )= = ,0k l

− = −

4 2 2 24 4

3 3h h h h( )

= 0h

− + = − + ≥

2

2 2 232 2 2 2 0

2 2

l k kl l k l )(

, , 2 4

03 3( )

( )ε , ,2 2 2ε ε = ± ,1ε

′′ ′′ ′′

′′ ′′ ′′

= − = = − = − ε =

= = − =

2

2 2

212 4 16 4 4 2 0

4 2 4

xy xz x

yz y z

f x y f x f

f f f

ε

( ) ( )ε + , + , + − ε , ,2 2 2 2 2 2 f h k l f εε

( ) ( ) ( )∆ , , = − ε + − + = + − +− ε2 22 2 2 216 8 2 4 4 4 2 24 2h k l h hk k kl l k l l h kε ε

( ), ,2 2 2 ( )− , , .2 2 2

′

′

′

= + =

= − =

= =

ln 0

1 0

ln 0

x

y

z

z f y

x x

f y

f x



168 TD Analyse

On obtient un point stationnaire Les dérivées secondes en cepoint ont pour valeurs :

La différence est donc du signe de la formequadratique :

C’est une forme quadratique non définie, donc il y a un col en


Réponses : pour f, minimum en maximum en ; pour g,

minimum en

24. a) On utilise la contrainte pour rempacer et obtenir la fonctiond’une seule variable :

avec On obtient comme dérivée :

D’où le tableau de variation :

La fonction f admet un minimum aux points et etun maximum au point

10

( ), , .1 1 0

′′ ′′ ′′ ′′

′′ ′′

= − = = = = = = − = −

= =

2 2

2

2 21 10 1 1 1

0

xy xz x y

yz z

z x f f f f x y x y

f f

( ) ( )+ , + , − , ,1 1 1 1 0 f h k l f

( ) ( ) ( )∆ , , = + − = + − − −2 22 22 2h k l hl hk k h l h k l

( ), , .1 1 0

( ) ( ), , = + + + , , = + + − − −2 2

2 2 222

4

y z f x y z x g x y z x y z xy x z

x y z

, , ,

11 1

2 )( − ,− ,−

11 1

2 )(

, , . 2 1

13 3( )

= −2 1 x y

( ) −= +2

19 4 y yF y

≤ .1 y

( ) = −′1

2 9

yF y

y −∞ 29

( )′F y − +

( )F y +∞ 881

14

− ,

7 2

3 9( ) ,

7 2

3 9( )( ), .0 1

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

b) On remplace pour obtenir la fonction d’une seulevariable :

Cette fonction admet pour dérivée :

Elle s’annule pour et on obtient le tableau de variation suivant :

La fonction f admet un minimum en Si on prolonge f par continuitéen posant :

pour tout et tout avec cette nouvelle fonction admetaussi un maximum aux points et

c) On remplace pour obtenir la fonction d’une seule variable :

Sa dérivée s’annule pour et On obtient le

tableau de variation suivant :

La fonction f admet un minimum en et un maximum en

d) La recherche d’un extremum pour la fonction f est équivalente à cellede la fonction :

qui est l’argument de la fonction exponentielle, fonction strictement crois-sante. On remplace :

0 1 2

II 0 II

II 0 II

x 0

0 0

0

= − , < <2 0 2 y x x

( ) ( ) ( ) ( )= , − = + − −2 ln 2 ln 2F x f x x x x x x

( ) ( )= + − − − =′−

ln 1 ln 2 1 ln2

xF x x x

x

= 1 x

x

( )′F x − +

( )F x 2ln2 2ln2

( ), .1 1

( ) ( ), = , =0 ln 0 ln f x x x f y y y

> 0 x> 0

y( ), = ,0 0 0 f

( ),0 2 ( ), .2 0

= −1 y x

( ) = −2 3F x x x

( ) = −′ 22 3F x x x = 0 x = .2

3 x

−∞ 23

+∞

( )′F x − + −

( )F y +∞ 4

27 −∞

( ),0 1

, . 2 1

3 3( )

( ), = − + − + −2 2 3 3u x y x xy y y

= −1 y x

( ) ( )= , − = − − + = − − ≤ −2 21 4 1 3 1 1F x u x x x x x



170 TD Analyse

Cette fonction admet un maximum global pour Cela correspond àun maximum global pour f au point

Rechercher les extremums des fonctions définies ci-après, les variables étant liées par une contrainte : avec avec

Réponses : f admet un minimum absolu admet un maximum en

et un minimum en et

25. a) La contrainte représente l’équation d’un cercle centré à l’origine et derayon On va donc le paramétrer sous la formeLa fonction f devient alors une fonction d’une seule variable :

Lorsque t varie de 0 à 2π, la fonction sinus est minimum pour les angles

et et maximum pour les angles et La fonction f admet donc des minimums en et et des maximums en

et

b) On procède comme dans la question précédente et on obtient lafonction :

La fonction F est définie pour t variant dans l’intervalle Elley admet pour dérivée :

Cette dérivée s’annule pour étant positive à gauche et négative à

droite. Il y a donc un maximum pour F en ce point, soit pour f au point

c) On effectue le même paramétrage que dans les questions précédentes,pour chercher les extremums de l’argument de l’exponentielle, soit

On obtient :

= .0 x( ), .0 1

( ), = +2 2 f x y x y + = ;3 4 5 x y ( ), = g x y xy+ = , ≥ , ≥ .2 0 0 x y x y

, = ;

3 41

5 5 f g)(

( ),1 1 ( ),0 2 ( ), .2 0

.2 = , = .2 cos 2 sin x t y t

( ) ( )= , = =2 cos 2 sin 2sin cos sin2F t f t t t t t

π=

3

4t π π

=7

4t π

π= 4t π π= .54t π

( )− ,1 1 ( ),−1 1 ( ),1 1

( )− ,− .1 1

( ) ( ) ( )= , = + −2 cos 2 sin ln 2 ln cos sinF t f t t t t

π π − , .

3

4 4 [] π π

( )( )π+− −

= = −′− −

4sinsin cos2

cos sin cos sin

t t t F t

t t t t π

= − ,4

t π

( ),− .1 1

( ), = g x y− − − + .2 2 2 x y x y

( ) ( )= , = − −2 cos 2 sin 2 sin 2 2 cos 2F t g t t t t

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

Pour t variant de 0 à 2π, la dérivée :

s’annule pour soit Cela correspond aux deux anglesα et β tels que :

On obtient le tableau de variation suivant :

Il y a donc un maximum en α et un minimum en β, ce qui correspond pour

g, et donc aussi pour f , à un maximum en et à un minimum en

d) Il n’y a pas ici de paramétrage évident de la contrainte, donc on formele lagrangien :

On cherche les points stationnaires comme solutions de :

En réduisant au même dénominateur, on obtient comme systèmeéquivalent :

En faisant la différence de ces deux équations, on en déduit que Enreportant dans la contrainte, on obtient donc un seul point stationnaireOn calcule alors les dérivées secondes du lagrangien et les dérivées premières

0 α β 2π

+ 0 – 0 +

( ) = +′ 2 cos 2 2 sinF t t t

= − ,cos 2sint t = .2 1sin5

t

α = , α = − β = − , β =1 2 1 2

sin cos sin cos5 5 5 5

ββαα

t

( )′F t

( )F t

− ,2 2

25 5 )(

,− .2 2

2

5 5( )( ) ( )− −, ,λ = + + + + λ + + + −e 1 e 1 1 1 4 y x L x y x y x yλ λ

−−

−−

∂ λ

= − + + =∂ + +

∂ λ = − + + + =

∂ + +

e

e 1 02 1 2 1

ee 1 0

2 1 2 1

y x

x y

L

y x x x

L x

y y y

λ

λ

( )( )( )( )

− −

− −

− + + + λ =

− + + + λ =e 2e 1 1 0e 2e 1 1 0

y x

x y

x y x y

λ

λ

= . x y( ), .3 3



172 TD Analyse

de la fonction g qui définit la contrainte parOn obtient :

Leurs valeurs au point sont :

Cela permet de calculer le déterminant :

obtenu en retranchant la première colonne de la deuxième. On constate quedonc il y a un minimum en

Rechercher les extremums des fonctions définies ci-après, les variables étant liées

par une contrainte : avec

avec

Réponses : f admet un minimum en et un maximum en admet un minimum en

( ), = + + + − = .1 1 4 0 g x y x y

( ) ( )

( ) ( )

−

′′ −/ /

−′′ −

/ /

− −′′ ′′

′ ′

λ = − + + −+ +

λ = − + + −

+ +

= = − −+ +

= =+ +

2

2

3 2 3 2

3 2 3 2

e e 14 1 4 1

ee 1

4 1 4 1

e e

2 1 2 1

1 12 1 2 1

y

x x

x y

y

y x

xy yx

x y

L y x x

L x y y

L L x y

g g x y

λ

λ

( ),3 3

′′ ′′ − ′′ ′′ − ′ ′= = = = − = =2 2

3 37 1 1e e

4 2 4 xy yx x y x y L L L L g g

( )

− −− −

− −− −

−

− −

∆ , = − = −

= −

3 33 3

3 33 33

3

7 71 1 9 1e e e e4 42 4 4 41 17 1 9 13 3 e e e e2 24 4 4 41 1 1

0 0 04 4 4

9e

32

( )∆ , < ,3 3 3 0 ( ), .3 3

( ), = + 2 f x y x y ( )+ = ; , =2 2 5 x y g x y( )+ +

+ +

2

2 2

1

1

x y

x y+ = .2 x y

( )− ,−1 2 ( ), ;1 2 g( ), .1 1

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

26. a) On forme le lagrangien :


On a donc soit en reportant dans la contrainte deux

points stationnaires et Les condi-

tions suffisantes d’existence d’un extremum en ces points ne peuvent pas être

utilisées ici car On fait donc une étude directe en examinant lesigne de :

lorsque est voisin de et où ε prend les deux valeurs 1 puis

En raison de la contrainte, les trois variables et l sont liées par la relation :

La différence précédente peut donc aussi s’écrire :

Elle est de signe constant et par conséquent il y a un extremum aux pointsstationnaires, qui est un maximum en A et un minimum en B.

b) La méthode la plus simple ici consiste à exprimer z en fonction de x et y dans la contrainte. On est alors ramené au problème simple de la recherche

( ) ( ), , ,λ = + + + λ + + −2 2 2 1 L x y z x y z x y zλ λ

∂= + λ =

∂

∂= + λ =

∂

∂

= + λ =∂

1 2 0

1 2 0

1 2 0

L x

x L

y y

L

zz

λ

λ

λ

= = = − ,λ

1

2 x y z

λ

, ,

1 1 1

3 3 3 A ( )

− ,− ,− . 1 1 1

3 3 3B )(

∆ = ∆ = .3 4 0

ε ε ε ε ε ε+ , + , + − , , = + + 3 3 3 3 3 3

f h k l f h k l (( ) )εεε ε ε ε

( ), ,h k l ( ), ,0 0 0 − .1

,h k

( )ε

+ + + + + =2 2 2 20

3h k l h k l

ε

ε ε ε ε ε ε+ , + , + − , , = 3 3 3 3 3 3

f h k l f ( () )εεε ε ε ε

−ε + +2 2 23

2h k l ( )ε



174 TD Analyse

de l’extremum d’une fonction de deux variables, sans contrainte. Cependant, àtitre d’entraînement, nous allons introduire le lagrangien :

On cherche les points stationnaires :

On obtient donc un seul point stationnaire Examinons les con-ditions du second ordre à partir des dérivées secondes :

La contrainte s’écrit avec les dérivées :

Au point stationnaire, les déterminants ont pour valeurs :

Ces deux valeurs étant négatives, il y a un minimum en A.

( ) ( ), , ,λ = + + + λ + + −ln ln ln 9 L x y z x x y y z z x y zλ λ

∂= + +λ =

∂

∂= + +λ =

∂

∂ = + + λ =∂

ln 1 0

ln 1 0

ln 1 0

L x

x L

y y

L zz

λ

λ

λ

( ), , .3 3 3 A

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= = = = = =2 2 2

1 1 10 xy xz yz x y z

L L L L L L x y z

( ), , = + + − = ,9 0 g x y z x y z′ ′ ′= = = 1 x y z g g g

∆ = = −3

10 1

3

1 2

0 13 31 1 0

∆ = = ∆ − = −4 3

10 0 1

3

10 0 1 1 1 1

3

3 9 310 0 13

1 1 1 0




S O L U T I O N S

Rechercher les extremums de la fonction définie ci-après, les variables étant liées par une contrainte :

Réponse : minimums absolus en et avec ;maximum en

27. On forme le lagrangien :

Les conditions du premier ordre s’écrivent :

Avec les contraintes, on obtient et un seul

point stationnaire Nous allons étudier le signe de

lorsque le point est au voisi-

nage de A, avec voisins de 0 et liés par les contraintes :

Par conséquent, et on obtient :

Cette différence est toujours positive donc il y a un minimum au point A.

( ), , = + + = , ≥ , ≥ , ≥ .2 avec 8 4 32 0 0 0 f x y z xy z x y z x y z

( ), ,0 3 2 0 ( ), , −0 8 2 x x ≥ 0 x( ), , .1 16 2

( ) ( ) ( ), , ,λ,µ = + − + + + λ − − + µ −2 2 22 4 6 12 3 L x y z x y xy z z z x x yλ µ λ µ

∂= − − λ + µ =

∂

∂= − − µ =

∂

∂= + + λ =

∂

2 4 0

4 4 0

12 12 0

L x y

x L

y x y

Lz

z

λ µ

µ

λ

= = − ,3 x y z µ = ,λ = −0 2 xλ µ

− ,− ,− .

24 24 9

5 5 5 A ( )

( ) ( )− f M f A − + ,− + ,− +

24 24 9

5 5 5M h k l ( )

, ,h k l

− + + − = − + + − =9 24 24 24

3 05 5 5 5

l h h l

= =h k l

( ) ( )

− = − + + − +

− − + − +

+ − + + − +

2 2

2

24 242

5 5

24 244

5 5

9 96 12

5 5

f M f A h k

h k

l l

)(( )) ( )(

)( ( )= 25h

Vous avez compris ?



6Calculintégral

La notion de fonction intégrable au sens de Riemann est liéeà l’existence d’une limite de certaines sommes et s’interprètecomme l’aire située sous le graphe de la fonction. Cependant, onpeut retenir le résultat simple, mais important, que toute fonctioncontinue sur un intervalle fini y est intégrable, même si l’ensemble

des fonctions intégrables est plus vaste que celui des fonctionscontinues. La propriété essentielle de l’intégrale simple est la linéa-rité, c’est-à-dire que l’intégrale d’une combinaison linéaire de fonc-tions est la combinaison linéaire des intégrales, bien entendu sielles existent. Les méthodes d’intégration par changement de variableet par parties permettent de se ramener aux primitives usuellesqu’il est essentiel de connaître. Pour calculer l’intégrale d’une fractionrationnelle, il faut employer une méthode spécifique qui consiste à

décomposer au préalable cette fraction en éléments simples, c’est-à-dire une somme de fractions dont les dénominateurs sont de laforme ou et d’une partie entière éventuelle.

Le point le plus délicat de ce chapitre est celui de l’étude dela convergence des intégrales généralisées, c’est-à-dire du cas oùl’une des bornes est infinie ou du cas où l’intégrande devient infinieau voisinage de l’une des bornes. Le principe de l’étude de cetteconvergence consiste en une comparaison avec une intégrale dont

on connaît la nature, convergence ou divergence. Le cas le plussimple est celui où on peut remplacer la fonctionà intégrer par unefonction équivalente.

1 Définition de l’intégrale simple de Riemann

Soit f une fonction numérique d’une variable réelle, définie et bornée surun intervalle . On effectue une subdivision de cet intervalle en n intervalles

( )k

x a− ( )2 k

x px q+ +

[ ] a b,



TD 6 Calcul intégral 177

C O U R S

disjoints , de même longueur , avec et . La

fonction étant bornée, il existe deux nombres et tels que pour

dans l’intervalle :

On leur associe les sommes de Darboux :

Définition. La fonction f est dite intégrable sur , au sens de Riemann, siles sommes de Darboux et tendent vers une limite commune I quand. Cette limite est alors appelée intégrale de la fonction f sur l’intervalle

et notée :

La valeur de I représente l’aire située sous le graphe de f et délimitée parl’axe des abscisses et les verticales et . On peut également définircette intégrale comme limite des sommes de Riemann :

2 Propriétés de l’intégrale

Les fonctions f et g étant intégrables sur , les principales propriétésde l’intégrale sont les suivantes.

– Pour tout point c de : .

– Pour tout point c de : .

– Pour tous points c et d de : .

– Pour tous réels λ et µ, la fonction est intégrable sur avec :

– Si f est une fonction paire, pour tout intervalle inclus dans ,on a :

[1k k x x− ,[ [ b a

n

−0 x a= n x b=

f km k M kz

] [1k k x x− ,( )k k km f z M≤ ≤

1 11 1

( ) et ( )n n

n k k k n k k k

k k

s x x m S x x M− −= =

= − = − ∑ ∑

[ ] a b,n s n S

n →∞[ ] a b,

( ) db

aI f x x= ∫

x a= x b=

( ) ( ) ( )1

1 1 11 0 1

( ) ( ) ( )n n n

k k k k k k k k k

k k k

x x f x x x f x x x f z−

− + −= = =

− , − , − ∑ ∑∑

[ ] a b,

[ ] a b, ( ) d 0c

c f x x = ∫

[ ] a b, ( ) d ( )d ( ) db c b

a a c f x x f x x f x x= + ∫ ∫ ∫

[ ] a b, ( ) d ( ) dd c

c d f x x f x x= − ∫ ∫

f gλ + µµλ [ ] a b,( ) ( ) d ( ) d ( ) d

b b b

a a a f g x x f x x g x xλ + µ = λ + µ ∫ ∫ λ µ λ µ∫

[ ]c c − , [ ] a b,

0( ) d 2 ( ) d

c c

c f x x f x x

−= ∫ ∫



178 TD Analyse

– Si f est une fonction impaire, pour tout intervalle inclus dans, on a :

– L’intégrale conserve les inégalités, c’est-à-dire que si sur ,

alors ou si sur , alors :

Théorème de la moyenne. Si f est une fonction continue sur l’intervalle

, alors il existe un point c de cet intervalle tel que :

le second membre étant nommé valeur moyenne de f sur l’intervalle .

3 Primitives

Définition. On appelle primitive d’une fonction numérique f définie sur un

intervalle I de R toute fonction F dérivable sur I, telle que pour. Une primitive est notée . Toute autre primitive de f

est de la forme , où est une constante réelle quelconque.

Calcul d’une intégrale définie. L’intégrale définie de f sur s’exprime àl’aide d’une primitive F par :

Les primitives usuelles sont les suivantes :

[ ]c c − ,[ ] a b,

( ) d 0

c

c f x x− = ∫ 0 f ≥ [ ] a b,

( ) d 0b

a f x x ≥ ∫ f g≥ [ ] a b,

( ) d ( ) db b

a a f x x g x x≥ ∫ ∫

[ ] a b, 1( ) ( ) d

b

a f c f x x

b a=

− ∫ [ ] a b,

( ) ( )F x f x=′ x I∈ ( ) ( ) dF x f x x= ∫ F C+ C

[ ] a b,

[ ]( ) d ( ) ( )( )b b

a a f x x F b F aF x= = − ∫

1

d 11

x x x

α+α = , α ≠ −

α +∫ αα

dln

x x a

x a= | + |

+∫ 2

darctan

1

x x

x=

+∫ 2

darcsin

1

x x

x=

− ∫

e d e x x x =

∫

d 0 et 1ln

x x a

a x a a a

= , > ≠∫

sin d cos x x x= −∫ cos d sin x x x=∫

2

d 1 1ln

1 2 1

x x

x x

+=

− −∫ 2

2

dln

x x x a

x a= + +

+ ∫

2

dtan

cos

x x

x=∫ 2

dcot

sin

x x

x= −∫




C O U R S

4 Méthodes d’intégration

Intégration par changement de variable. Pour calculer l’intégrale d’une

fonction f continue sur l’intervalle , on peut faire le changement devariable au moyen d’une fonction u de dérivée continue sur l’inter-valle [α, β], avec et . La variable t est la nouvelle variabled’intégration et les bornes sont changées :

Intégration par parties. Si u et v sont deux fonctions intégrables sur l’inter-valle , on obtient la formule d’intégration par parties :

Intégration de fractions rationnelles. Pour calculer la primitive d’une frac-tion rationnelle, c’est-à-dire d’un rapport P/Q de deux polynômes, il faut aupréalable décomposer cette fraction en éléments simples. Cela consiste d’abordà déterminer la partie entière, dans le cas où le degré de P est supérieur audegré de Q. On détermine ensuite les racines réelles du polynôme Q qui sefactorise sous la forme :

les trinômes du second degré n’admettant pas de racines réelles. La fraction sedécompose alors en une somme, de la partie entière éventuelle, d’éléments de

première espèce de la forme : , où prend les valeurs entières de 1

à , l’indice j variant de 1 à r et d’éléments de seconde espèce de la forme :

, où prend les valeurs entières de 1 à , l’indice j variant

de 1 à s.

5 Intégrales généralisées

5.1 Intervalle d’intégration non borné

Si f est une fonction continue sur l’intervalle , on dit que l’inté-

grale généralisée (ou impropre) est convergente siadmet une limite finie quand x tend vers + .

Pour établir cette convergence, on peut utiliser la propriété suivante. Si f et g sont deux fonctions équivalentes et de signe constant quand x tend vers+ , les intégrales généralisées :

[ ] a b,( ) x u t =( ) a u= αα ( )b u= ββ

[ ]( ) d ( ) ( ) db

a f x x f u t u t t

β

α= ′ ∫ ∫

[ ] a b,

[ ]( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) db bb

a a au x v x x u x v x v x u x x= −′ ′ ∫ ∫

j x

1 12 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )r sn mn m

r s sQ x A x x … x x x p x q … x p x q= − − + + + +

( ) j

j

k

j x x

α

−

α j

k

j n

2( ) j

j j k

j j

a x b

x p x q

+

+ +j k j m

[ a,+∞[

( ) d a

f t t +∞ ∫ ( ) ( ) d x

aF x f t t = ∫

∞

∞

( ) d et ( ) d a a

f t t g t t +∞ +∞

∫ ∫



180 TD Analyse

sont de même nature. Si la fonction équivalente de f est une fonction puis-sance, on peut conclure à la nature de l’intégrale suivant la valeur de l’expo-sant. Si est équivalent à , alors :

5.2 Fonction non bornée

Soit f une fonction continue sur l’intervalle et telle quequand . On dit que l’intégrale généralisée (ou impropre)

est convergente si admet une limite finie quand x

tend vers b par valeurs inférieures.

Là encore, pour établir cette convergence, on peut utiliser la propriété sui-vante. Si f et g sont deux fonctions équivalentes quand x tend vers b par valeursinférieures, de signe constant, les intégrales généralisées :

sont de même nature. Si l’équivalent de f (t ) est de la forme , on peutconclure à la nature de l’intégrale suivant la valeur de l’exposant :

( ) f t A t α/

converge si 1( ) d

diverge si 1 a f t t

+∞ α >

α ≤∫ α

α

[ a b,[ [( ) f x| |→ +∞ x b−→

( ) db

a f t t ∫ ( ) ( ) d

x

aF x f t t = ∫

( ) d et ( ) db b

a a

f t t g t t

∫ ∫ ( ) A b t α/ −

converge si 1( ) d

diverge si 1

b

a f t t

α <

α ≥∫ α

α




E X E R C I C E S

Vrai Faux

1. Si f et g sont deux fonctions définies sur l’intervalle, où a et b sont deux nombres réels finis, on a

toujours la relation :

2. Pour qu’une fonction soit intégrable au sens deRiemann, il faut qu’elle soit continue.

3. Si f est une fonction impaire sur R, alors

.

4. Si les fonctions f et g sont intégrables sur l’intervalle, leur produit fg l’est aussi.

5. Si f et g sont deux fonctions équivalentes quand x

tend vers , alors les intégrales et

sont de même nature, c’est-à-dire toutes les

deux convergentes ou divergentes.

6. Si f et g sont deux fonctions telles quepour , alors la convergence de

l’intégrale entraîne celle de .

[ ] a b,

( ) ( ) d ( ) d ( ) db b b

a a a f g x x f x x g x x+ = + ∫ ∫ ∫ ∫

( ) d 0 f x x

+∞

−∞ = ∫ [ ] a b,

+∞ ( ) d a

f x x+∞

∫ ( ) d

a g x x

+∞

∫

0 ( ) ( ) f x g x≤ ≤ x a≥

( ) d a

g x x+∞

∫ ( ) d a

f x x+∞

∫



182 TD Analyse

7. Calculer la primitive :

en utilisant l’identité , puis en intégrant par parties. Quepeut-on remarquer ?

8. On peut calculer la valeur numérique d’une intégrale sans utiliser deprimitive, mais en partant de la définition de l’intégrale comme limite d’unesomme de Riemann, par exemple :

On se propose de calculer les intégrales I suivantes par cette méthode.

a) Soit l’intégrale :

Calculer la somme associée à la subdivision de l’intervalle en n

intervalles avec pour k entier variant de 0 à n. En déduirela valeur de I en faisant tendre n vers l’infini.

b) On considère l’intégrale :

où a est un réel strictement positif et différent de 1. Calculer la somme

associée à la subdivision de l’intervalle en n intervalles avec

pour k entier variant de 0 à n. En déduire la valeur de I en

faisant tendre n vers l’infini.c) On considère l’intégrale :

où α et β sont deux réels strictement positifs. Calculer la somme associée àla subdivision de l’intervalle en n intervalles avec , q

2

2

2d

( 1)

x x x

x

−−∫

2 22 ( 1) 1 x x x− = − −

11

( ) ( )n

n k k k

k

S x x f x−=

= −∑

12

0dI x x x = − ∫ )(

n S [ ]0 1,1k k

x x − ,[ ] k

x k n= /

d xI a x

β

α= ∫

n S

[ ]α,βα β 1k k x x

− ,[ ]

( )k

k x

n= α+ β−αα β α

d xI

x

β

α= ∫

n S

[ ]α,βα β 1k k x x

− ,[ ] k

k x q= αα




E X E R C I C E S

étant une valeur à déterminer et k un entier variant de 0 à n. En déduire lavaleur de I en faisant tendre n vers l’infini.

9. De la même manière que dans l’exercice précédent, on peut cette foisutiliser la valeur d’une intégrale pour en déduire la limite d’une expressionqui sera considérée comme une somme de Riemann. Dans les cas suivants, ondemande de déterminer la limite de quand n tend vers l’infini, en lui asso-ciant une intégrale définie sur l’intervalle .

a)

b)

10. Déterminer une primitive de .

11. Calculer l’intégrale :

en effectuant le développement de par la formule du binôme. Calculer

ensuite I en effectuant le changement de variable et en déduirel’égalité :

Formule de la moyenne

12. Déterminer la valeur moyenne de la fonction f définie parsur l’intervalle et calculer l’unique valeur de c qui apparaît dans cetteexpression. Donner une interprétation géométrique du résultat.

Analyse de l’énoncé et conseils. On calcule l’intégrale de f et on applique lethéorème de la moyenne. On obtient une équation du premier degré en c quiadmet donc une solution unique. La valeur obtenue permet de situer le pointsur le graphe de f .

n S

n S

[ ]0 1,

1

n

n

k

k S

n n=

= ∑ 11

1n

n

k

k S

n

α

α+=

= , α ≠ −∑ α

x| |

1

0

1 (1 )d

n xI x

x

− −=

0

1

∫ (1 )n x−

1 y x= −

1

1 1

( 1) 1kn nk

n

k k

Ck k

+

= =

−= ∑ ∑

( ) f x x= α +βα β[ ] a b,



184 TD Analyse

Calcul d’une intégrale au moyen d’une primitive

13. Calculer les intégrales définies suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j) ;

k)

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour calculer ces intégrales, on utilise lesprimitives usuelles, en écrivant par exemple les radicaux sous forme d’exposantfractionnaire.

Intégration par changement de variable


a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut être attentif aux nouvelles bornes del’intégrale qu’il faut calculer après le changement de variable. En présenced’un radical, c’est souvent la nouvelle variable qu’il faut choisir. Dans le casd’un rapport, on examine si le numérateur est, à un coefficient près, la dérivéedu dénominateur qui serait alors la nouvelle variable. Si la fonction à intégrerne comporte que des termes avec et , la nouvelle variable est .

2

1( 1) ( 2)d x x x− − ∫

8 3

02 d x x x

+ ( )∫ 1 32 2

1d x x x x

−− | | ( )∫

23 23

2d x x x x

−− ∫ )(

21d

b

a x x

x

− ( ) a

b

∫ 0

21 d x x| − | ∫

1

0

d

1

x

x+0

1

∫

3

2

2 d x x

∫ 1

2 1

1e d x

x− +

−∫ 1 22 2

0e e d x x x/ − / + ∫ ( )

3

0

d

3 2 x

x⋅

+0

3

∫

5

12 1d x x− ∫

2

1

d

(1 ln )

x

x x+1

2

∫ 3

22 1 2 d3 x x

x x+ /+ −2

3

∫ 1

20 e d(10 3e )

x

x x−0

1

∫ 4

0

d

1

x

x+0

4

∫ 1

0

e ed

e e

x x

x xx

−

−

−+0

1

∫ 1

2 3

01 d x x x+ ∫

ln8

ln31 e d x x+ ∫

2e

e

1 ln

dln

x

x x x

+

e

e2

∫

ln x 1 x/ ln x




E X E R C I C E S

Intégration par parties


a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

Analyse de l’énoncé et conseils. Il faut choisir les fonctions u et v de tellesorte que l’intégrale de vu’ soit plus facile à calculer que celle de uv’. S’il y aune fonction logarithme, c’est généralement cette expression qui est choisiepour u. Dans le cas d’un produit de fonctions puissance et exponentielle, onchoisit pour u la fonction puissance.

16. En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre :

puis en déduire la valeur de .

Analyse de l’énoncé et conseils. Après avoir effectué l’intégration par par-ties, on remplace par ( de façon à pouvoir exprimer la nouvelleintégrale en fonction de et .

Intégration de fractions rationnelles

17. Calculer les primitives suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ; i) .

( )3

2

2ln 1 d x x− ∫

1

02 d x x x ∫

2

1ln d

1

x x x

x +1

2

∫ 1

1e 2 e d x x x x x−

−+ − ∫ ( () )

31

2( 1)3 d x x x++ ∫

12

2(ln ) d x x x ∫

2

21 e d x x x ∫

2e

21

(ln )d

x x

x1

e

∫

( )1

211

1 d etn

n nI x x I −−= − ∫

4I

2 x 2 1) 1 x − +n

I 1nI −

5 61d

1

x x x

x

+ −−∫ ( )

2

22 2

3 1d

1

x x

x x

+

+ ∫

3

21 d

2 x x

x x+

− −∫ 2d5 4 x

x x− +∫ 3

d3 2

x x

x x− +∫ 3

d

7 6

x

x x− +∫

2

2d

( 1)

x x

x

+−∫ ( )

22

2 1d

1

x x

x

+

− ∫

2

3 2

4 6 1d

2

x x x

x x

− +

−∫



186 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. Si le degré du numérateur est supérieur à celuidu dénominateur, on détermine le polynôme qui représente la partie entière dela fraction. Si le dénominateur possède une racine réelle simple a, on obtient lenumérateur de l’élément de première espèce en multipliant les deux membres par

puis en remplaçant x par a. Pour obtenir les autres termes de la décom-position on peut donner à x des valeurs particulières simples .Il est de toute façon déconseillé de procéder par identification des deux membres.

Intégrales avec des radicaux

18. Calculer les primitives suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) .

Analyse de l’énoncé et conseils. En règle générale on prend le radicalcomme nouvelle variable d’intégration. Il faut parfois cependant modifierl’écriture des radicaux qui interviennent dans la fonction à intégrer, avant dechoisir la nouvelle variable.

Convergence d’une intégrale

19. Étudier la convergence des intégrales suivantes :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) , p, q ∈ R; f) d x, a ∈ R ;

g) ; h) ;

i) , a ∈ R.

x a−( 0 1 1 ) x = , ,− ...

2

2 1 d1

x x x x

x

− + −( )∫ 2

d1

x x x

x+∫

3

d

1 1

x x

x x+ − +∫ 2 1

d2 1

x x x x

x x

+ + + +

+ + +∫

2

d

( 1) 3 2

x

x x x− − + − ∫ 2 4

d

1 1

x x

x x + −

( )

∫

e 1 2e d x x x−∫

1

21

d x

x−–1

1

∫ 1

40

d

1

x

x−1

3 20

d

5

x

x x−0

1

∫

1

0

ln(1 )d

x x

x

+

0

1

∫ 11 1

0(1 ) d p q x x x− −−

0

1

∫ 1

0ln a x x ∫

1

0

lnd

1

x x

x+0

1

∫ 0d

e 1 x

x x

+∞

−0

+∞

∫ 1

0e d a x

x x+∞ − − ∫

0

1

∫




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. On cherchera par des majorations ou deséquivalents à comparer avec une intégrale dont on sait si elle est convergenteou divergente.

Intégrales généralisées

20. Calculer les intégrales généralisées suivantes quand elles sont conver-gentes.

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) , a ∈ R.

Analyse de l’énoncé et conseils. On applique la méthode de comparaisonavec une intégrale dont on sait si elle est convergente ou divergente ou, si celaest possible, on calcule directement sa valeur, ce qui prouve bien sûr qu’elle estconvergente.

( )22 2

d

1

x

x

+∞

−2

+∞

∫ 3 21

d

2 1 5

x

x x

+∞

+ + +1

+∞

∫

21

d

4

x

x x x

+∞

+1

+∞

∫ e

d

ln

x

x x

+∞

e

+∞

∫

1

lnd

a

x x

x

+∞

1

+∞

∫



188 TD Analyse

QCM

1. Faux. Il se peut que soit intégrable sur mais pas f ou g. C’est

le cas par exemple de et où

alors que les fonctions f et g ne sont pas intégrables sur .

2. Faux. La continuité est une condition suffisante, mais pas nécessaire, pourqu’une fonction soit intégrable. Par exemple, une fonction qui est constantepar morceaux sur l’intervalle , donc qui présente des discontinuités, estintégrable sur cet intervalle.

3. Faux. Il s’agit d’une intégrale généralisée qui n’est pas forcément conver-gente. C’est le cas par exemple de qui est divergente.

4. Vrai. C’est un résultat de cours.

5. Faux. Si les fonctions équivalentes ne sont pas de signe constant, on peuttrouver des exemples où une intégrale est convergente et l’autre divergente.

6. Vrai. Cette propriété découle de l’inégalité vraie pour tout x supérieur à a :

7. Si on utilise l’identité , on obtient comme primitive :

Si on intègre par parties avec et , on obtientcette fois comme primitive :

On pourrait penser qu’il s’agit de deux résultats distincts pour la mêmeintégrale. En fait, cette dernière expression peut s’écrire :

et il s’agit donc bien de deux primitives de la même fonction, qui sontégales à une constante additive près.

f g+ [ ] a b,

( ) 1 f x x x= + / ( ) 1 g x x x= − / ( )1

0( ) d 1 f g x x+ = ∫

[ ]0 1,

[ ] a b,

2

d

1

x x

x

+∞

−∞ +∫

( ) d ( ) d x x

a a f x t g x t ≤ ∫ ∫ t t

2 22 ( 1) 1 x x x− = − −

2

2 22 d 1d d( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x x− = − = +− − − ∫ ∫ ∫

2 2u x x= − 2d d ( 1)v x x= / −

2 2 2

2

2 2 2 2 2d d 2

( 1) 1 1 1

x x x x x x x x x x

x x x x

− − − −= − + = −

− − − − ∫ ∫

2 2 1 12 2 ( 1) 1

1 1 1

x x x x x x

x x x

−− = − − + = + +

− − −




S O L U T I O N S

8. a) Tous les intervalles de la subdivision ont la même longueuret :

Ainsi, a pour limite qui est la valeur de l’intégrale I.

b) Tous les intervalles de la subdivision ont la même longueur

et :

Lorsque n tend vers l’infini, h tend vers 0 et est équivalent à ,donc la limite de est :

c) La valeur de q doit être telle que , donc . Onobtient :

Lorsque n tend vers l’infini, q tend vers 1 et est

équivalent à , donc la limite de est :

9. a) L’expression de peut s’écrire sous la forme :

1 1k k

x x n−− = /

2 21 2 3

1 1 1

2

1 1 1

1 ( 1) (2 1)

2 6

n n n

n k k

k k k

S x x k kn n n

n n n

n n

−

= = == − = −

+ + += −

∑ ∑ ∑( )

n S 1 2 1

2 6 6− =

1k kh x xn

−

β−α= − =

β α

1

1 1

1

1

1

nhn nk

kh h h a h

n h

k k

h

h

a S h a ha a ha

a

a aha

a

−α+ α+ +

= =

β α

−= = =

−

−=

−

∑∑ ( ) ααα

1h a − lnh a

n S

dln

x a a a x

a

β α β

α

−= ∫

n

n x q= β = αβ α ( )1 n

q/

= β/αβ α

1

1 1

1 11

n n

k k

n

k kk

x x q S n

x q q

−

= =

− −= = − = ∑∑ ( )

11 exp ln 1q

n

β − = − α( )α

β

1ln

n

βααβ

n S

dln ln ln

x

x

β

α

β= β − α =

α ∫ α

ββ α

n S

1

1 n

n

k

k S

n n=

= ∑



190 TD Analyse

C’est donc une somme de Riemann associée à la subdivision de l’intervalleen n intervalles , avec et k entier variant de 0 à n, soit :

la fonction f étant définie ici par . Par conséquent, la limite deest l’intégrale de cette fonction sur l’intervalle :

b) L’expression de peut s’écrire sous la forme :

C’est donc une somme de Riemann associée à la subdivision de l’intervalleen n intervalles , avec et k entier variant de 0 à n, soit :

la fonction f étant définie ici par . Par conséquent, la limite deest l’intégrale de cette fonction sur l’intervalle :

10. Pour pouvoir calculer cette primitive, il faut utiliser le signe de x, que nousallons noter ε, ce qui permet d’écrire dont une primitive est :

11. On utilise la formule du binôme :

L’intégrale devient :

[ ]0 1, [ ]1k x xk− , k k

x k n= /

( )11

( )

n

n k k k

k

S x x f x−=

= −∑( ) f x x=

n S

[ ]0 1,13 2

1

00

2lim d

3 2 3nn

x S x x

/

→∞

= = = / ∫ ][

n S

1

1 n

n

k

k S

n n

α

=

= ∑ ( )

[ ]0 1, [ 1k x − ,[ x

k –1, xk ] xk k n= / x

k

11 ( ) ( )

n

n k k kk

S x x f x−== −∑

( ) f x xα= n S

[ ]0 1,

111

00

1lim d

1 1nn

x S x x

α+α

→∞

= = = α + α + ∫ [ ]α α

x x= εε

2 1( ) d d

2 2 2

x xF x x x x x x x x= | | = ε = ε = ε = | | εε∫ ∫ ε

0

(1 ) ( 1)n

n k k k

n

k

x C x

=

− = −∑

1 11 1

0 01

11

1 1

01 1

1 (1 )d ( 1) d

( 1)( 1) d

n nk k k

n

k

kn nk k k k

n n

k k

x x C x x

x

C x x Ck

+ −

=

++ −

= =

− −= −

−= − =

∑

∑ ∑∫

0

1

∫ 0

1

∫




S O L U T I O N S

D’autre part, si on effectue le changement de variable , onobtient et les bornes sont inversées, donc au total :

d’où l’égalité demandée.

12. La fonction f est continue sur l’intervalle et sa valeur moyenne est

l’intégrale :

D’après le théorème de la moyenne, il existe une valeur c de cet intervalletelle que soit égal à cette valeur moyenne. Cette valeur est ici

unique, avec , donc le point est le milieu du segment

d’extrémités et .

Calculer la valeur moyenne de la fonction définie par f sur l’intervalle

et déterminer les valeurs de c qui figurent dans cette formule.

Réponse :

13. a) On effectue le produit dans l’intégrande :

b) On écrit les radicaux sous forme d’exposants fractionnaires :

1 y x= −d d y x= −

1 1 11

0 0 0

1

1 10

1 (1 ) 1d d 1 d1

1

n n

n

kn n

k k

x y x y y … y y x y

y

k k

−

= =

− − −= = + + +−

= = [ ]

( )

∑ ∑

0

1

∫ 0

1

∫ 0

1

∫

[ ] a b,

( )21 1

d2 2

bb

a a

x b a ax x x

b a b a

++ β = α +β = α +β − −

∫ [ ]β α β α βα

( ) f c c = α +βα β

2

a bc

+= ( ( ))C c f c ,( ( )) A a f a, ( ( ))B b f b,

2( ) x x=[ ] a a− ,

221

( ) d2 3 3 3

a

a

a a a f c x x c ou c

a −= = , = = − ∫

23 22 2 2

1 11

1( 1) ( 2) d ( 3 2) d 3 23 2 6

x x x x x x x x x − − = − + = − + = − ∫ ∫ ][83 2 4 3

8 81 2 1 33

0 00

1002 d 2 d 2

3 2 4 3 3

x x x x x x x x

/ / / / + = + = + = / /

∫ ∫ ][(( ))

Vous avez compris ?



192 TD Analyse

c) La fonction à intégrer est paire et l’intervalle d’intégration centré à l’ori-gine, donc :

d) La fonction à intégrer est impaire et l’intervalle d’intégration centré àl’origine, donc l’intégrale est nulle.

e) Cette intégrale est définie pour a et b strictement positifs :

On peut constater que cette intégrale est convergente quand a tend vers 0 ;elle admet pour limite .

f) Pour pouvoir retirer la valeur absolue, on sépare en deux l’intervalled’intégration :

g) On utilise une primitive usuelle :

h) On utilise une primitive usuelle :

i) On utilise une primitive usuelle :

j) Il suffit de développer le carré :

1

11 3 13 61 132 2 2 1 2 2 3

1 00

54d 2 d 211 3 13 6 143 x x x x x x x x x x

/ / / /

− − | | = − = − = − / /

∫ ∫ ][)((( )

3

2 3 31 1d 2 23 3

bb

a a

x x x x b a b a x

− = − = − − − ∫ [ ] ( )( ) )(

32 3b b− /

0 1 02 2 1

1 0

2 1

1 03 2 3 2

2 1

1 d 1 d 1 d

1 d ( 1) 1 d (1 )

2 2 4( 1) ( 1)

3 3 3

x x x x x x

x x x x

x x/ /

| − | = − + −

= − − − − −

= − − − = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

[ ] [ ]1– x

[ ]1 1

00

d ln 2ln 11

x x

x= =| + |

+0

1

∫

3 3ln2

2 2

12 d e d

ln 2 x x

x x= = ∫ ∫ 3ln2

2

4e

ln 2 x =[ ]

121

2 1 3

11

e 1 1e d e e

2 2 e

x

x x−

− +

−−

= − = − ∫ [ ] ( )

1 12 12 2

00 0e e d (e 2 e )d e 2 e 2 e 1 e x x x x x x

x x x/ − / − − + = + + = + − = + − / ∫ ∫ [ ]( )




S O L U T I O N S

k) On modifie l’écriture de la fraction pour faire apparaître au numérateur,à un coefficient près, la dérivée du dénominateur :

Calculer les intégrales ci-après :

Réponses :

14. a) La présence du radical nous incite à le prendre comme nouvelle variable,soit , et le nouvel élément différentiel ou

.

Les nouvelles bornes sont et , d’où l’intégrale :

b) On prend comme nouvelle variable , d’où et lesnouvelles bornes et :

c) Le numérateur est la dérivée du dénominateur au coefficient 1/2 près.On effectue donc le changement de variable , soit

et les nouvelles bornes et :

33 3 3

0 0 00

d 1 2 1 d (2 3)1 d3 2 3 2 3 3 3ln 2 2 3

x x

x x x x x x + = − = − + + + ( ) [ ]0

3

∫ 0

3

∫ 0

3

∫ 3

0

1 5 ln111 ln(2 3)

3ln 2 3 ln 8 x = − + = − [ ]

( )1 1 2

30 2 1

d3 4 d 1 d

x x x x x x x

x

−

− −− , , + + | | ∫ ∫ ( )

–2

–1

∫

( )1 1

30 2

2

1

d 33 4 d 0

84 2

1 d 2 3 23 3

x x x x

x

x x x

−

−

− = , = − ,

+ + | | = + +

∫

∫ ( )

2 1u x= − d d 2 1u x x= / −d d x u u=

1u = 3u =

335 3

2

1 11

262 1 d d

3 3

u x x u u

− = = = ∫ ∫ [ ]

1 lnu x= + d du x x= /1u = 1 ln 2u = +

[ ]

2 1 ln2 1 ln2

11 1

d d

ln (1 ln 2)ln(1 ln )

x u

u x x u

+ +

= = = ++ 1

2

∫ 1

1+ln2

∫ 2 3u x x= + −

d (2 1)du x x= + 3u = 9u =

[ ]3 9 9

2 32 3

1 2 1 d 1d ln 3ln

3 2 2

x u x u

x x u

+ /= = =

+ − 2

3

∫ 3

9

∫

Vous avez compris ?

–2

1

∫



194 TD Analyse

d) Le numérateur est la dérivée, à un coefficient près, du termequi est au carré au dénominateur. On retient donc comme nouvelle variable

, avec et les nouvelles bornes et :

–

e) On prend le dénominateur comme nouvelle variable, soit et. Les nouvelles bornes sont u = 1 et :

f) Le numérateur étant la dérivée du dénominateur, on prend ce derniercomme nouvelle variable , avec du = (e x – e –x) d x et les nouvellesbornes et :

g) On prend le radical comme nouvelle variable , doncet . Les nouvelles bornes étant et :

h) Le radical est choisi comme nouvelle variable , soitet avec comme nouvelles bornes et , soit :

i) Le numérateur étant la dérivée du dénominateur, ce dernier est la nou-velle variable et , les nouvelles bornes étant

et :

e x 10 3e x−

10 3e xu = − d 3e x

u = − d x 7u = 10 3eu = −

1

20

e d

(10 3e )

x

x

x=

−0

1

∫ 10 3e

10 3e

277

d 1 1 1 1 1

3 3 3 10 3e 7

u

u u

−− = = − − [ ] ( )

7

10–3e

∫ 1u x= +

d d 2 d 2( 1)u x x x u= / = / − 3u =

[ ]4 3 3

10 1

d 12 d 2 4 ln9ln

1

x uu u u

u x

−= = = −−

+ 0

4

∫ 1

3

∫ e e x x

u−= +

2u = e 1 eu = + /

[ ]2

1 e 1 e e 1 e

20 2

e e d e 1d lnln

e e 2e

x x

x x

u x u

u

− + / + /

−

− += = =

+ 0

1

∫ 2

e+1/e

∫ 31u x= +

2 31u x= + 22 d 3 du u x x= 1u = 2u =

1 2 22 3 2 3

10 1

2 2 4 2 21 d d

3 9 9 x x x u u u −

+ = = = ∫ ∫ [ ]

1 e xu = +

2 1 e xu = + 2 d e d xu u x= 2u = 3u =

[ ]

2ln8 3 3

2ln3 2 2

3

2

2 1 11 e d d 2 d

1 1 1

32 ln ( 1) ln ( 1) 2 ln

2

x u x u u

u u u

u u u

+ = = + − − − +

= + − − + = +

∫ ( )2

3

∫ 2

3

∫

lnu x x= d (1 ln ) du x x= + eu =2

2eu =

[ ]2 2 2e 2e 2e

ee e

1 ln dd 1 ln2ln

ln

x u x u

x x u

+= = = +

e

e2

∫ e

2e2

∫




S O L U T I O N S

Calculer les intégrales suivantes :

.

Réponses :

;

;

;

;

;

;

15. a) En l’absence de produit, il n’y a pas de choix à faire :

La formule d’intégration par parties conduit à :

b) On choisit la fonction puissance comme fonction u :

23 2 4

3

30 0 0

d dtan d

225 3

x x x x x

x x

π/

, , ,+− 0

3

∫

0

2

∫0

π/4

∫2 2 22

20 4 0

cos d cosd sin cos d

1 sin sin

x x x x x x x

x x

π/ π/ π/

π/, ,

+

0

π/2

∫π/4

π/2

∫ 0

π/2

∫

3 5

0 4

d 2 2d

3 325 3

xu

x= =

−

0

3

∫

22 10

30 2

d 1 d 1 ln52 3 3 x x u

x u= =

+

0

2

2

10

∫23

4 1 1 13

2 20 0 0 0

d 1d 1 1tan d d (1 ln2)

1 2 1 2

uu u x x u u

u u

π/

+= = − = −

+ +

( )

0

1

∫ 0

1

∫∫ ∫2 2

0 0

cos d d (1 sin )ln2

1 sin 1 sin

x x x

x x

π/ π/ += =

+ +

0

π/2

∫ 0

π/2

∫2 2

2 24 4

cos d (sin )d 2 1

sin sin

x x x

x x

π/ π/

π/ π/= = −

π/4

π/2

∫ π/4

π/2

2 22 2

0 0

1sin cos d sin d (sin )

3 x x x x x

π/ π/

= = ∫ ∫

2

2

2 ddln ( 1)

1d d

x xuu x

xv xv x

== −

− = = v = x

23 332 2

222 2

3

2

3

2

2 dln ( 1) d ln( 1)

1

1 13ln 8 2ln3 2 d

1 1

19ln 2 2ln3 2 ln 10ln 2 3ln3 2

1

x x x x x x

x

x x x

x x

x

− = − − −

= − − + −

− +

− = − − + = − − +

( )

[ ]

[ ]

2

3

∫

2

3

∫∫

d d

d 2 d 2 ln2 x x

u x u x

v x v

= =

= = /

Vous avez compris ?



196 TD Analyse

et on obtient :

c) L’intégrale à calculer peut s’écrire sous la forme d’une différence de deuxintégrales :

La première intégrale se déduit d’une primitive F de et la secondese calcule à partir du changement de variable :

Si G est une primitive de ln x, on obtient au total :

On calcule G par une intégration par parties :

et ainsi :

On calcule F de la même manière :

et donc :

11 1

ln2

0 00

1

2 20

2 12 d e d

ln2 ln2

2 1 2ln2 12

ln2 (ln2) (ln2)

x x x

x

x x x x

= −

−= − =

[ ][ ]

∫

∫

2 2 2

1 1 1

ln d ln d ln ( 1)d1

xI x x x x x x x x

x= = − +

+ ∫

∫

∫ln x x

1t x= +

2 3 3 3

1 2 2 2ln( 1) d ( 1) ln d ln d ln d J x x x t t t x x x x x= + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

[ ](2) (1) (2) (1) (3) (2) (3) (2)I F F J F F F F G G= − − = − − − − +

dln d

d d

xu x u

xv x

v x

= =

= = v = x

( ) ln d lnG x x x x x x x= − = − ∫

2

dd

ln

d d

2

xu

u x x

v x x xv

= =

= =

2 2 21( ) ln d ln

2 2 2 4

x x xF x x x x x= − = − ∫




S O L U T I O N S

On obtient par conséquent :

d) On effectue d’abord le produit pour obtenir :

ayant fait le changement de variable . On intègre maintenant par par-ties en prenant pour u la fonction puissance :

e) La fonction puissance est choisie pour u :

et on obtient :

2 (2) (1) (3) (3) (2)

1 9 9 3 14 ln2 2 ln3 3ln3 2ln2 1 2ln2 ln34 2 4 2 2

I F F F G G= − − + −

= − + − − + − − = − −+

( )1 1

2

1 1

131 1

1 1

0

1 1 1

1 1 1

e 2 e d 2 e 2 e 1 d

22 e d 2 e d

3

2 2e d 2 e d 3 e d

3 3

x x x x

x x

t x x

I x x x x x x x

x x x x x x

t t x x x x

− −

− −

−

− −

− − −

= + − = − + −

= − − +

= − + + = − +

[ ]( ) ( )∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

t x= −

d d

d e d e x x

u x u x

v x v

= =

= =

11 11

1 11

2 23 e 3 e d 3 e e 3 e

3 3

x x xI x x −

− −−= − + − = − + + − ][ ][)(∫

=2

3+

6

e

11

d d13

d 3 dln3

x x

u xu x

v x v+

+

== +

= =

31

3 31 1

2 22

31

2 2

2

3 1( 1)3 d ( 1) 3 d

In3 ln3

324 81 3 243 54

ln3 (In3) In3 (ln3)

x x x

x

x x x x+

+ +

+

+ = + −

−= − = −

[ ]

[ ]l

l l

∫ ∫



198 TD Analyse

f) On choisit la fonction logarithme comme fonction u à dériver :

Ainsi :

ayant utilisé la primitive F de la question c).

g) La fonction puissance est choisie comme fonction à dériver :

Par conséquent :

obtenu à l’aide du résultat de la question d).

h) Il faut dériver la fonction logarithme :

et on obtient :

On intègre une nouvelle fois par parties :

2

2

lnd 2 d

(ln ) d d

2

xu x

u x xv x x x

v

=

= = =

121 1

2 2

2 22

2 2

(ln ) d (ln ) ln d2

32(ln2) (1) (2) ln 4 2(ln2)

4

x x x x x x x x

F F

= −

= − − + = − −

[ ]∫ ∫

2 d 2 d

ed e dx x

u x xu x

vv x

==

==

2 22 22 2 2

1 11 1

2

e d e 2 e d e 2 e 2e

2e e

x x x x x x x x x x x x x = − = − +

= −

[ ][ ]∫ ∫

2

2

lnd 2 d(ln )

d1d

xu xu x

x x

vv x

x

==

= = −

e2 2e e

2 21 11

ln (ln ) ln

d 2 d

x x x

x x x x x

= − +

[ ]1

e

∫ 1

e

∫

2

dln d

d1d

xu x u

x x

vv x

x

= =

= = −




S O L U T I O N S

pour obtenir :

Ainsi, la valeur de l’intégrale est :

Calculer les intégrales suivantes :

Réponses :

16. L’intégrande n’étant pas un produit de deux fonctions, il n’y a pas ici dechoix possible pour la fonction u à dériver :

Ce qui permet d’obtenir :

D’où la relation de récurrence :

On en déduit ainsi :

e e2e e

21 1

1 1

ln ln 1 1 2dd 1

e e

x x x x

x x x x

= − + = − − = −

1

e

∫1

e

∫[ ] [ ]

2

2e

21

(ln ) 5d 2

e

x x

x= −

1

e

∫

1 4 2 2

0 1 1

1 lnd d (ln ) de x

x x x x x x x

+ , , 1

4

∫0

1

∫ ∫

1 11

00 0

44 4

1 11

2 22 2 2

11

1 3d ( 1) e e d 2

e e

ln dd 2 ln 2 4 (ln 4 1)

(ln ) d (In ) 2 ln 2 2(ln2) 4 ln2 2

x x

x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x

− − += − + + = − ;

= − = − ;

= − + = − + .

1

4

1

4

∫

0

1

∫ [ ]

][

][ l

∫

∫

( ) ( )12 21 d 2 1 d

d d

n nu x u nx x x

v x v x

− = − = −

= =

( ) ( )

( )( )

1 1 12 2 2

11

1 12 2

11

1 2 1 d

2 1 1 1 d 2 2

n n

n

n

n n

I x x n x x x

n x x x nI nI

−

−−

−

−−

= − − −

= − − + − = − −

][ ∫

∫

1

2

2 1n n

nI I

n−

= −+

4 3 2 1 0

8 8 6 8 6 4 8 6 4 2 256

9 9 7 9 7 5 9 7 5 3 315I I I I I= − = × = − × × = × × × =

Vous avez compris ?



200 TD Analyse

17. Nous noterons C la constante d’intégration.

a) La fraction à intégrer peut s’écrire :

On obtient donc comme primitive :

b) Le dénominateur s’écrivant sous la forme ,l’expression du numérateur amène à faire le changement de variable

, avec . On obtient comme primitive :

c) Le numérateur et le dénominateur se simplifient par x + 1 :

Une primitive est donc :

d) Le dénominateur se factorise en , donc lafraction se décompose en éléments de première espèce sous la forme :

En multipliant les deux membres par puis en faisant , onobtient ; ensuite, en multipliant par puis en faisant , onobtient . Une primitive est donc :

e) On remarque que 1 est racine double du dénominateur qui se factorisesous la forme . La décomposition de la fraction comporte doncuniquement des éléments de première espèce :

5 6 5 51 1 (1 ) 1

1 1 1 x x x x x

x x x+ − + −= = +

− − −

65 d

( ) d ln 11 6

x xF x x x x C

x= + = − | − | +

− ∫ ∫

( ) ( )

2 22 2 3

1 x x x x+ = +

3u x x= + ( )2d 3 1 du x x= +

( )2 2

d 1 1( )

1

uF x C

u u x x= = − = − +

+ ∫

3 2

2 1 1 312 2 2 x x x x x x x x

+ − += = + +

− − − −

2

( ) 3ln 22

xF x x x C= + + | − | +

2 5 4 ( 4) ( 1) x x x x− + = − −

2

1 1

5 4 ( 4) ( 1) 4 1

a b

x x x x x x= = +

− + − − − −

4 x − 4 x =

1 3 a = / 1 x − 1 x =

1 3b = − /

1 d 1 d 1 4

( ) ln3 4 3 1 3 1

x x x

F x C x x x

−

= − = +− − − ∫ ∫2( 1) ( 2) x x− +

3 2 23 2 ( 1) ( 2) ( 1) 1 2

x x a b c

x x x x x x x= = + +

− + − + − − −




S O L U T I O N S

En multipliant successivement par et puis faisant et, on obtient et . En faisant ensuite par exemple ,

on doit avoir , donc . Une primitive s’écrit donc :

f) Le dénominateur admet trois racines réelles 1, 2 et −3, ce qui conduit àla décomposition en éléments de première espèce :

et à une primitive :

g) La décomposition ne comporte que des éléments de première espèce :

En multipliant par puis en faisant , on obtient . Pour, on a alors , donc . Une primitive est :

h) La décomposition en éléments de première espèce est de la forme :

où en multipliant par , puis , on obtient et .Si on multiplie par x puis qu’on le fait tendre vers l’infini, cela donne la rela-

tion . D’autre part, pour x = 0 on a la relation .Par conséquent et une primitive s’écrit :

2( 1) x − 2 x + 1 x =

2 x = − 1 3 a = / 2 9c = − / 0 x =

0 1 3 1 9b= / − − / 2 9b = /

2

1 d 2 d 2 d( )

3 ( 1) 9 1 9 2

1 2 1ln

3(1 ) 9 2

x x xF x

x x x

xC

x x

= + −− − +

−= + +

− +

∫ ∫ ∫

3

1 1 1 5 1 4 1 20

7 6 ( 1) ( 2) ( 3) 2 1 3 x x x x x x x x

/ / /= = − +

− + − − + − − +

4

5

1 ( 2) 3( ) ln

20 1

x xF x C

x

− | + |= +

| − |

2 2

2

( 1) 1 ( 1)

x a b

x x x

+= +

− − −

2( 1) x − 1 x = 3b =0 x = 2 3 a= − + 1 a =

2

d d 3( ) 3 ln 1

1 ( 1) 1

x xF x x C

x x x= + = | − | + +

− − − ∫ ∫

( )2 2 22

2 1

1 ( 1) 1 ( 1)1

x a b c d

x x x x x

+= + + +

− − + +−

2( 1) x − 2( 1) x + 3 4b = / 1 4d = − /

0 a c = + 1 3 4 1 4 a c = − + / + − /1 4 a c = − = − /

22

1 d 1 d 3 d 1 d( )

4 1 4 1 4 ( 1) 4 ( 1)

1 3 14 ln

1 4(1 ) 4(1 )

x x x xF x

x x x x

xC

x x x

= − + + −− + − +

+= + + +

− − −

+

∫ ∫ ∫ ∫



202 TD Analyse

i) La décomposition en éléments de première espèce est de la forme :

et en multipliant par puis par on obtient et . En fai-sant ensuite par exemple, on déduit soit . Une pri-mitive est donc :

Calculer les primitives suivantes :

Réponses :

18. Nous noterons C la constante d’intégration.

a) On prend comme nouvelle variable le seul radical présent ,donc et . On obtient comme primitive :

2 2

3 2 2 2

4 6 1 4 6 1

2 (2 1) 2 1

x x x x a b c

x x x x x x x

− + − +

= = + +− − −

2 1 x − 2 x 4 a = − 1c = −

1 x = 1 4 1b− = − + − 4b =

2

4

2

d d 2d( ) 4 2

2 11 1

4 ln 2ln 2 1 ln(1 2 )

x x xF x

x x x x x x C

x x x

= − −

−

= | | + − | − |= + +−

∫

∫ ∫

2

3 2 27 5 6 5( ) d ( ) d6 6 5 x x xF x x G x x x x x x x

− + += =

+ − − + ∫

5

5 9 26( ) ln ln 2 ln 3

6 10 15

5( ) 3ln

1

F x x x x C

xG x x C

x

= | | + | − | − | + | +

| − |= + +

| − |

1u x= −2 1u x= − 2 d du u x=

( )

( ) ( )

( )

( )

22

2

2 2 2 4 2

5 3 4 2

2

1( ) 2 2 ( 1) d

2 ( 1) 2 1 d 2 3 4 1 d

6 82 18 40 30

5 3 15

2 19 2 4

15

uF x u u u u

u

u u u u u u u

uu u u u u C

x x x C

+ = + +

= + + + = + +

= + + = + + +

−= + + +

[ ]

C+ ( )4 218 40 3015

uu u C= + + +

∫ ∫ ∫

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

b) On pose , donc et . La primitive devient :

c) En présence de deux radicaux, nous allons poser , soit. La primitive s’écrit :

Il faut ensuite remplacer u par .

d) L’intégrale à calculer se sépare en deux intégrales :

En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur de la secondeintégrale :

On sépare à nouveau en deux intégrales où on fait les changements devariable respectifs et , soit et :

e) Le terme sous le radical s’écrit , quantitéqui est positive dans l’intervalle . On effectue alors le changement devariable :

u u= x 2u x= 2 du du x=

65 4 3 2

3 22

1( ) 2 d 2 1 d

1 1

2 22 2ln 1

3 5 2 3

uF x u u u u u u u

u u x x

x x x x x x x C

= = − + − + − + + +

= − + − + − + + +

( )( )

∫

61 x u+ =5d 6 d x u u=

6 65 3

2 3

8 7 6 5 4 3

4 5 4 3 2

1 1( ) 6 d 6 d

16 d

2 3 6 6 3

3 4 7 5 2

u uF x u u u u

u u uu u u u u u u

u u u u u u C

− −= = −

− −

= − + + + + +

= − + + + + + +

( )

( )

∫

∫ ∫

1 6(1 ) x /+

d( ) d

2 1

x xF x x

x x= +

+ + + ∫

∫

( ) 2 1 dF x x x x x x

= + + − + ( )∫

2u x= + v x 1+= 2 d du u x= 2 d dv v x=

( ) ( )2 2 2 2

5 3 3

( ) 2 2 d 2 1 d

2 4 2

5 3 5

2 2(3 4)( 2) 2 (3 2)( 1) 1

15 15

F x x u u u v v v

x u u v C

x x x x x x x C

= + − − −

= + − − +

= + − + + − − + + +

v5 2

3---v

3+ C+

∫ ∫

2 3 2 ( 2)( 1) x x x x− + − = − − −

] [1 2,

22

2 2 2 2

1 2 1 2 d3 2 d

2 1 1 ( 1)

x t t t t t x x x x

x t t t

− += − , = , − + − = , =

− + + +



204 TD Analyse

On obtient alors comme primitive :

f) Comme dans la question précédente, le terme sous le radical se factoriseen et sur l’intervalle on effectue le changement devariable :

On obtient comme primitive :

g) On prend comme nouvelle variable le radical , soitet , la primitive devenant :

Calculer les primitives suivantes :

Réponses :

19. a) La primitive de est , qui n’est pas défini pour , donc cetteintégrale est divergente puisque le point 0 appartient à l’intervalle d’intégration.

2

d 2( ) 2

t F x

t t = = −

∫C+

22

1

xC

x

−= − +

−

( )( )2 21 1 x x− + ] [1 1− ,

2 22 4

2 2 2 2 2

1 1 2 d 2d 1

1 1 ( 1) 1

x t t t t t x x x x

x t t t

+ −= , = , = , − =

− + + +

2

2 2

d 1 1 1( )

2 2 2 1

t xF x C

t t x

−= = − = − +

+ ∫1 2e xu = −

2 1 2e xu = − d e d xu u x= −

3 3 22 1( ) d 1 2e3 3

xuF x u u C C/

= − = − + = − − + ( )∫

21 d e dd e d

2 1 2 1 e 1

x x

x

x x x x x x

x x

−, , ,

+ + + + ∫

∫ ∫ ∫

( )

( )2

1 12 d ( 4) 2 1

32 1

e d 2 1 e

d 2( 10) 1 2(1 ) 12ln 2 1

32 1

e d 2e 2 e 1

3e 1

x x

x x x

x

x x x x

x

x x

x x x x x x

x

x

−= − + ;

+

= − ;

= + + − + − + + ;+ +

= − + .+

∫

( )

∫

∫

∫21 x/ 1 x− / 0 x =

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

b) Sur l’intervalle d’intégration, on aet par conséquent :

Cette intégrale est donc convergente, comme l’intégrale qui la majorepuisque l’exposant est α .

c) La fonction à intégrer est négative au voisinage de l’origine et équiva-lente à . L’intégrale est donc de même nature que celle de sur

, qui est divergente, l’exposant étant α .

d) La fonction à intégrer tend vers 1 quand x tend vers 0, donc elle estbornée et son intégrale converge.

e) Au voisinage de 0, la fonction à intégrer est équivalente à dontl’intégrale est convergente pour . Au voisinage de 1, l’équivalent est

dont l’intégrale converge pour . Ainsi, pour que cette inté-grale soit convergente, il faut que p et q soient strictement positifs.

f) On calcule par une intégration par parties :

Nous obtenons pour a différent de :

dont il faut étudier la limite quand ε tend vers 0. Il y a deux cas à étudier sui-vant la valeur de l’exposant .

Si , alors ε et ε ε tendent vers 0 d’après le théorème descroissances comparées, donc l’intégrale est convergente et a pour valeur

.

Si , alors ε tend vers l’infini et l’intégrale est divergente.

Enfin, dans le cas particulier , on obtient comme intégralequi est divergente.

En résumé, cette intégrale est convergente pour .

( )4 2 31 (1 ) 1 1 x x x x x x− = − + + + ≥ −

1 1

40 0

d d

11

x x

x x≤

−− 0

1

∫

0

1

∫1 2 1= / <

21 5 x− /21 x/

[ ]0 1, 2 1= >

1 p x −

1 1 p− <1(1 )q x −

− 1 1q− <

1

ln d a x x xε ∫

1

dd

ln

d d

1

a a

xu

u x x

v x x xv

a

+

= =

= =

+

1−

111 1

1 1

2 2

ln d ln d1 1

ln 1

1 ( 1) ( 1)

a a a

a a

x x x x x x x a a

a a a

+

ε εε

+ +

= − + +

ε ε ε= − − +

+ + +

[ ] ε

1

∫εεε

∫

1 a +

1 0 a + >1 a+ 1

ln a+

21 ( 1) a− / +

1 0 a + <1 a+

1 a = −1

0ln d(ln ) x x ∫

1 a > −



206 TD Analyse

g) Nous allons calculer d x par une intégration par parties :

Nous obtenons :

et on sait d’après la question d) que l’intégrale est convergente.

D’autre part, est équivalent à ε lnε qui tend vers 0 quand ε tend

vers 0, donc cette intégrale est convergente.

h) La fonction à intégrer tend vers 1 quand x tend vers 0, donc elle estbornée au voisinage de cette borne d’intégration. D’après le théorème descroissances comparées, on sait que pour x assez grand on a . Donc,la fonction à intégrer est majorée par dont l’intégrale est convergente,l’exposant étant α . Cette intégrale est donc aussi convergente.

i) Au voisinage de 0, cette intégrale se comporte comme celle de quiest donc convergente pour , soit . Pour assez grand, estplus petit que n’importe quelle puissance de d’après le théorème des crois-sances comparées, donc par exemple . L’intégrale du majorantétant convergente puisque l’exposant est α , cette intégrale est aussi

convergente. En résumé, il y a donc convergence pour a strictement positif.

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

Réponses : la première intégrale converge pour ; la deuxième est divergente

et la troisième convergente.20. a) Pour x supérieur à 2, on a , donc l’intégrale estmajorée par celle de qui est convergente, l’exposant étant α .Pour le calcul, on décompose la fraction en éléments simples :

1 ln

1

x

xε +ε

1

∫ln d

dd

dln(1 )1

u x xu

x xv

v x x

= =

= = ++

[ ]1 11ln ln(1 )

d dln ln(1 )1

x x x x x x

x xεε ε

+= −× +

+

ε

1

∫ε

1

∫1

0

ln(1 )d

x x

x

+

0

1

∫ln ln(1 )ε × + εε ε

3e 1 x x− ≥21 x/

2 1= >

1 a x −

1 1 a− < 0 a > x e x−

1 x/1 2e 1 a x x x− −

≤ /

2 1= >

22

1

50 0 0

d de d

(1 ) 1

x

a

x x x a R x

x x

+∞ +∞−

, ∈ ; ;− +

0

1

∫ 0

∞+

∫0

∞+

∫1 a <

( )22 21 ( 1) x x− ≥ −

21 ( 1) x/ − 2 1= >

( )2 2 22

1

1 ( 1) 1 ( 1)1

a b c d

x x x x x= + + +

+ + − −−

Vous avez compris ?




S O L U T I O N S

La fraction étant paire, on peut remarquer que et . En mul-tipliant ensuite par ( et faisant , on obtient . Pour ,on a , soit . Ainsi :

b) Au voisinage de l’infini, la fonction à intégrer est positive et équiva-

lente à dont l’intégrale est divergente, donc elle est aussi divergente.c) Au voisinage de l’infini, la fonction à intégrer est positive et équivalente

à dont l’intégrale est convergente, donc elle est aussi convergente. Pourla calculer, on fait le changement de variable , soit et lanouvelle expression de l’intégrale :

d) L’intégrale s’écrit :

intégrale qui est divergente.

e) Pour x assez grand, et la fonction à intégrer est supérieure à, donc est divergente pour . Pour , on intègre par parties :

pour obtenir :

c a= − d b=21) x + 1 x = − 1 4b = / 0 x =

1 1 4 1 4 a a= + / + + / 1 4 a = /

( )2 2 22 22

2

d 1 1 1 1 1d

4 1 ( 1) 1 ( 1)1

1 1 1 1 1 1ln ln3

4 1 4( 1) 4( 1) 3 4

x x

x x x x x

x

x x x

+∞ +∞

+∞

= + − + + + − − −

+ = − − = − − + −

2

∞+

[ ]

[ ]

2

∞+

∫

1 2 x/

21 2 x/

1u x= /2d du x x= − /

11

21 0 0

d d2 4 2 5 4

44

x uu

u x x x

+∞

= = + = −++

1

∞+

∫ 0

1

∫ [ ]

e e 1

d d(ln ) d

ln ln

x x u

x x x u

+∞ +∞ +∞

= = e

∞+

∫ e

∞+

∫ 1

∞+

∫

ln 1 x >

1 a x/ 1 a ≤ 1 a >

1

ddln

d1d

( 1) a

a

xuu x x

xv

v x a x −

==

= = − −

11 11

2 1 2

1

ln ln 1 d

d ( 1) ( 1)

1 1 1

( 1) ( 1)

a a a

a

x x x

x x a x a x

a x a

+∞+∞ +∞

−

+∞

−

= − + − −

= − = − −

1

∞+

∫1

∞+

[ ][ ]



208 TD Analyse

Calculer les intégrales suivantes, si elles sont convergentes :

Réponses :

et la seconde intégrale est divergente.

2e

d(ln )

x x x

+∞

e

∞+

∫ 20

1 d1

x x x

+∞ ++0

∞+

∫

2 2e e

d (ln )1

(ln ) (ln )

x d x

x x x

+∞ +∞

= = e

∞+

∫e

∞+

∫

Vous avez compris ?



7Suites et équationsde récurrence

Une suite est une application numérique u définie surl’ensemble des entiers naturels, dont les valeurs, pour chaqueentier n, sont notées traditionnellement u n au lieu de u (n). Nous uti-liserons la notation (u n) pour représenter la suite de terme généralu n. Si l’expression de u n admet une limite finie quand n devient

infini, on dit que la suite est convergente. On s’intéresse parfois àcertains éléments d’une suite, comme par exemple ceux qui sontd’indices pairs ou d’indices impairs, et qui constituent ce qu’onappelle des suites extraites. Si par exemple ces suites extraitesadmettent des limites différentes, ces limites sont appelées despoints d’accumulation de la suite qui dans ce cas n’admet pas delimite et est qualifiée de divergente. Il arrive souvent qu’une suitene soit pas définie par la donnée de la fonction u, mais par une rela-

tion de récurrence exprimant un terme en fonction du précédent. Ils’agit d’une suite récurrente qui est donc définie par une fonction f qui relie deux termes successifs sous la forme u n+1 = f (u n) et par lepremier terme u 0 (parfois u 1). L’outil le plus utile pour démontrer laconvergence d’une telle suite est le théorème des suites mono-tones.

Une équation de récurrence linéaire d’ordre p est une relationoù le terme général d’une suite s’exprime comme une combinaison

linéaire des p termes précédents de cette suite, plus une fonctiondonnée de son indice. Cette fonction constitue ce qu’on appelle lesecond membre de l’équation. Pour déterminer la solution généraled’une telle équation, on procède en trois étapes. On cherched’abord une solution générale de l’équation sans second membre,appelée équation homogène. Cette solution s’exprime comme unecombinaison linéaire de p suites obtenues par les racines de l’équa-tion caractéristique associée. Dans une deuxième étape on cherche



210 TD Analyse

une solution particulière de l’équation avec second membre. L’addi-tion de ces deux solutions donne une solution générale de l’équa-tion complète qui s’exprime à l’aide de p constantes réelles. La

troisième étape consiste à déterminer ces constantes en utilisantles p valeurs initiales de la suite solution.

1 Définitions générales

Définition. On appelle suite numérique une application de dans .

La notation usuelle de l’image de l’entier est , et non pas , et se

nomme terme général de la suite représentée symboliquement sous laforme ( ).

Suite monotone. Une suite ( ) est dite croissante (resp. strictement crois-sante) si, pour tout entier :

Elle est dite décroissante (resp. strictement décroissante) si, pour toutentier :

Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone.

Suite bornée. Une suite ( ) est dite majorée (resp. minorée) s’il existe unnombre réel a qui est un majorant (resp. minorant) de l’ensemble des nombresréels , c’est-à-dire que pour tout entier :

Une suite qui est majorée et minorée est dite bornée.

Suite majorante, minorante. La suite ( ) est une majorante de la suite ( )si, à partir d’un certain rang :

La suite ( ) est alors une minorante de ( ).

Suite convergente. Une suite ( ) est dite convergente s’il existe un nombrefini tel que, pour tout réel , on puisse trouver un entier N tel que :

On dit alors que la suite ( ) converge vers ou admet la limite . Unesuite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Point d’accumulation. Si la suite ( ) converge vers , cela signifie qu’àpartir d’un certain rang tous les éléments de la suite vont se trouver dans

u

n nu ( )u n

nu

nun

1 1(resp )n n n nu u u u+ +≤ . <

n

1 1(resp )n n n nu u u u+ +≥ . >

nu

nu n

(resp )n nu a u a≤ . ≥

nv nu

n nu v≤

nu nv

n

u 0ε >ε

nn N u∀ ≥ < – ⇒ ε

nu

nu



TD 7 Suites et équations de récurrence 211

C O U R S

l’intervalle , aussi petit que l’on ait choisi ε. De façon imagée, onpeut dire que tous les éléments de la suite vont venir s’accumuler autour dupoint . La notion plus générale de point d’accumulation correspond à celle

d’un point autour duquel on trouvera toujours une infinité d’éléments de lasuite qui seront proches, mais pas tous les éléments de la suite au-delà d’un cer-tain rang. La définition précise est la suivante. Un nombre réel a est un pointd’accumulation de la suite ( ) si pour tout réel ε et tout entier N , on peuttrouver un entier tel que :

ε

La propriété importante à noter est que la limite d’une suite convergente

est le seul point d’accumulation de cette suite. Par conséquent, si une suiteadmet plus d’un point d’accumulation elle est divergente.

2 Théorèmes sur les limites

Théorème. La limite d’une suite, lorsqu’elle existe, est unique.

Suite extraite. Une suite extraite d’une suite ( ) est une suite où ( )est une suite infinie d’entiers, strictement croissante, indexée par k. On retientdonc un certain nombre de termes de la suite ( ) en conservant le même ordre,par exemple tous les termes d’indice pair.

Théorème. Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers lamême limite.

Théorème. Si une suite ( ) converge vers une limite et qu’à partir d’un cer-tain rang il existe deux réels a et b tels que , alors .

Théorème. Si les suites ( ) et ( ) convergent vers une même limite et qu’àpartir d’un certain rang on a , alors la suite ( ) converge aussi vers

. Ce théorème est appelé théorème de l’encadrement, ou des « gendarmes ».

Théorème des suites monotones. Une suite croissante est convergente si etseulement si elle est majorée. Une suite décroissante est convergente si et seu-lement si elle est minorée.

3 Suites adjacentes

Définition. Deux suites ( ) et ( ) sont dites adjacentes si elles vérifient lestrois conditions suivantes :

(i) la suite ( ) est croissante ;

(ii) la suite ( ) est décroissante ;

(iii) .

Théorème. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

] [− ε, + ε ε ε

nu 0>n

nn N u a≥ < – ⇒

nu ( )knu kn

nu

nu

n a u b< < a b≤ ≤

n

vn

w

n n nv u w< < nu

nu nv

nu

nv

( )lim 0n nn

u v→∞

− =



212 TD Analyse

4 Suites récurrentes

Définition. Une suite récurrente ( ) est définie au moyen du premier terme

et d’une application réelle f par une relation de récurrence telle que pourtout entier n on ait .

Théorème. Soit ( ) une suite récurrente définie au moyen du premier termeet d’une application réelle f dérivable sur . On suppose qu’il existe un

nombre k dans avec pour tout x dans . Si l’équationadmet une solution unique dans et si le premier terme de

la suite vérifie , alors elle converge vers .

5 Équations de récurrence linéaires

Définitions. On appelle équation de récurrence linéaire, ou parfois aux différencesfinies, d’ordre p, à coefficients constants, une relation entre p termes successifsd’une suite, de la forme :

où sont des constantes réelles données et g une fonction réelledonnée.

On appelle équation homogène associée à l’équation précédente, l’équationsans second membre :

On appelle équation caractéristique associée à l’équation précédente,

l’équation :

Théorème. L’ensemble des solutions d’une équation de récurrence linéaired’ordre p, sans second membre, forme un espace vectoriel de dimension p. Lasolution générale s’obtient comme somme de la solution générale de l’équa-tion sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avecsecond membre :

Propriété. Si le second membre se décompose sous la forme :

et si sont des solutions particulières des équations ayant le mêmepremier membre que l’équation initiale et comme seconds membres respectifs

nu

0u( )1n nu f u+ =

nu

0u ] [ a b,[ [0 1, ( ) f x k≤′ ] [ a b,

( ) f = 0 ] [ a b, 0 0 0 0minu b a− < − , − 0

( )1 1 2 2n p n p n p p nu a u a u … a u g n+ + − + −− − − − =

1 n a … a, ,

1 1 2 2 0n p n p n p p nv a v a v … a v+ + − + −− − − − =

1 21 2 1 0 p p p

p pr a r a r … a r a− −−− − − − − =

nv

nu∗

n n nu v u∗= +

( ) ( ) ( )1 k g n g n … g n= + +

( ) ( )1 kn nu … u∗ ∗, ,




C O U R S

, alors la suite :

est une solution particulière de l’équation initiale.

6 Équations de récurrence linéairesdu premier ordre

Ces équations sont de la forme :

où a est une constante réelle non nulle donnée. Si est une solution particu-lière de l’équation complète, la solution générale est :

6.1 Solutions particulières

Le principe consiste à rechercher une solution particulière de même natureque le second membre. Nous allons passer en revue les principaux cas.

• Second membre constant :

Si , solution :

Si , solution :

• Second membre polynomial de degré

Si on cherche comme solution particulière un polynôme de degréet la solution est :

Si , on cherche comme solution particulière un polynôme de degré, et la solution est :

• Second membre exponentiel :

( ) ( )1 k g n … g n, ,

( ) ( )1 kn nu … u∗ ∗+ +

( )1n nu au g n+ − =

nu∗

nn nu a u∗= λ + λ ∈

( ) g n b=

1 a ≠

0 1 1n

n

b bu u a

a a

= − +

− −( )1 a =

0nu u bn= +

( ) ( )kk g n P n: =

1 a ≠ ,( )n kk u Q n∗, = ,

( ) ( )0n

n k ku u Q n a Q n= − + [ ]

1 a =( )1 n kk u nQ n∗+ , =

( )0n ku u nQ n= +

( ) n g n br =



214 TD Analyse

Si , solution :

Si , on dit qu’il y a résonance et on cherche une solution particulièrede la forme µ ; la solution est alors :

7 Équations de récurrence linéaires du secondordre

Ces équations sont de la forme :

où a est une constante quelconque et b une constante non nulle.

7.1 Équation homogèneLa solution de l’équation homogène associée dépend des racines de l’équa-

tion caractéristique :

• Racines réelles distinctes et :

• Racine réelle double :

• Racines complexes conjuguées , :

où λ et µ sont deux constantes réelles quelconques.

7.2 Solutions particulières

• Second membre polynomial de degré

Si 1 n’est pas racine de l’équation caractéristique, on cherche comme solu-tion particulière un polynôme de degré .

a r ≠

0n n

n

b bu u a r

r a r a

= − +

− −( ) a r =

nu∗ = nna

0n

n

bu u n a

a

= + ( )

( )2 1n n nu au bu g n+ +− − =

2 0r ar b− − =

1r 2r

1 2

n n

nv r r = λ + µµ

λ

2

ar =

( )2

n

n

av n

= λ + µ ( )λ µ

1 eir θ= ρρ 2 1 e ir r − θ= = ρr 1 ρ

( ) cos sinn

n

v n n= ρ λ θ + µ θρ µλ θ θ

( ) ( )kk g n P n: =

( )n kk u Q n∗, =




C O U R S

Si 1 est racine simple de l’équation caractéristique, on cherche commesolution particulière un polynôme de degré .

Si 1 est racine double de l’équation caractéristique, on cherche commesolution particulière un polynôme de degré .

• Second membre exponentiel :

Si r n’est pas racine de l’équation caractéristique, solution particulièreα .

Si r est racine simple de l’équation caractéristique, on dit qu’il y a réso-nance et la solution particulière est de la forme α .

Si a est racine double de l’équation caractéristique, on dit qu’il y a réso-nance (double) et la solution particulière est de la forme α .

8 Système d’équations récurrentes

Dans le cas où il y a p équations de récurrence qui sont linéaires par rapportà p suites , on a un système d’équations récurrentes qui s’écritsous forme matricielle :

où est la suite vectorielle, représentée par un vecteur colonne à p compo-santes et M la matrice carrée d’ordre p du système. La solution

générale de cette équation de récurrence matricielle est :

Cette solution pourra s’obtenir aisément dans le cas où M est diagonali-sable, en écrivant (voir TD Algèbre, chapitre 6) pour obtenir

.

( )1 n kk u nQ n∗+ , =

( )22 n kk u n Q n∗+ , =

( ) n g n br =

nu∗ = nr

nu∗ = nnr

nu∗ = 2 nn r

( ) ( ) ( )n n nu v w …, , ,

1

11

1

n

nn n

n

uv

X MXw

+

+

+

+

= =

( )nX

n n nu v w …, , ,

0n

nX M X=

1M PDP−=1n nM PD P−=



216 TD Analyse

Vrai Faux

1. Si la suite est majorée, la suite ( ) est bornée.

2. Si ( ) et ( ) sont deux suites divergentes, la suitesomme ( ) est aussi divergente.

3. Si la suite est divergente, il en est de mêmede la suite ( ).

4. La convergence d’une suite extraite implique laconvergence de la suite elle-même.

5. Si ( ) et ( ) sont deux suites telles qu’à partir d’uncertain rang on ait , alors la convergence de ( )implique celle de ( ).

6. Si ( ) et ( ) sont deux suites telles qu’à partir d’uncertain rang le terme général est équivalent à , alorsces deux suites sont de même nature, c’est-à-dire toutesles deux convergentes ou divergentes.

7. Une suite solution d’une équation de récurrencelinéaire peut être convergente ou divergente suivant lavaleur du premier terme de la suite.

8. Deux solutions particulières d’une équation derécurrence linéaire, homogène, du second ordre permet-tent d’exprimer la solution générale de cette équation.

9. Il existe une suite unique solution d’une équation derécurrence linéaire, homogène, du second ordre et depremier terme fixé.

( )nu| | nu

nu nvn nu v+

( )nu| |

nu

nu nvn nu v≤ nv

nu

nu nv

nu nv




E X E R C I C E S

10. Montrer que la suite de terme général :

est bornée. Est-elle convergente ?

11. On considère la suite ( ) définie pour tout entier p par :

Examiner si cette suite est bornée et convergente.

12. La suite ( ) est définie par l’équation de récurrence linéaire, à coefficientsnon constants :

Après avoir obtenu une solution constante ( a) de cette équation, on demanded’écrire la relation de récurrence vérifiée par . On en déduira lessolutions ( ) puis ( ) de ces équations. On précisera la nature de la solutiontrouvée en fonction du premier terme de la suite.

13. Résoudre le sytème suivant d’équations de récurrence non linéaires:

avec et . On étudiera les suites et .

Convergence d’une suite

14. Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur terme

1( 1)

2n

n

nu

n

+= −

+

nu

2 2 1 1 p p

pu p u

p+= =+

nu

( )2 2

1 1 2n nu n u n n+ = + − −

n nv u a= −

nv nu

0u

2

1

1 1

21

1 1

nn

n n

nn

n n

uu u v

vv

u v

−

− −

−

− −

= +

= +

0 0u > 0 0v > ( )n nu v− n

n

u

v

( )



218 TD Analyse

général :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) .

Analyse de l’énoncé et conseils. L’étude de la limite de l’expression deen fonction de n permet de conclure à la convergence ou à la divergence de la

suite. Pour une suite de signe quelconque, il peut être utile d’étudier la suitepositive de terme général . La comparaison avec une suite géométriquepermet souvent également de déterminer sa nature.

Suite géométrique

15. Étudier la convergence des suites définies ci-après par leur termegénéral :

a) , a réel quelconque ; b) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On sait qu’une suite géométrique est con-vergente quand sa raison, en valeur absolue, est inférieure à 1. La seconde suiteest définie comme somme des premiers termes d’une suite géométrique.

16.La suite ( ) est définie, pour tout entier n, par la relation de récurrence :

et par ces deux premiers termes et , où a et b sont deux réelsquelconques. Montrer que la suite de terme général est une suitegéométrique convergente et en déduire que ( ) est aussi une suite conver-gente dont on déterminera la limite.

nu

ln

1

n

n +

2 3n n n+ −

1sin n

n1 1 1

n

n

+ + /( )

sin

3

nn ( ) 2 2 21 2 1

n n n…

n n n n+ + +

+ + +

2sin3nππ 2 sin

2n

nππ

1 1

2

n

n

+ ( )

nu

nu| |

nu

2

2

1

1

n a

a

− + ( )

2 11 1 1 1 1 1

12 2 2

n

…n n n

−

+ + + + + + + )( ( )

nu

2 1

1( )

2n n nu u u+ += +

0u a=1u b=

1n n nv u u −= −

nu




E X E R C I C E S

Analyse de l’énoncé et conseils. L’expression de en fonction de mon-trera qu’il s’agit bien d’une suite géométrique convergente. Le terme général

s’exprimant à l’aide de la somme partielle de cette suite, on pourra facile-ment déterminer sa limite.

Théorème de l’encadrement

17. La suite ( ) est définie par son terme général, pour tout entier n stricte-ment positif :

Montrer qu’il existe deux suites ( ) et ( ) convergentes, de mêmelimite et telles que :

En déduire que la suite ( ) est convergente et préciser sa limite.

Analyse de l’énoncé et conseils. En déterminant un majorant commun et unminorant commun de chacun des termes de la somme, on obtient l’encadre-ment demandé. Le théorème de l’encadrement permet alors de conclure que lasuite ( ) converge vers la même limite que ces deux suites minorante et majo-rante.

18. La suite ( ) est définie par son terme général, pour tout entier n stricte-ment positif :

où p est un entier strictement positif fixé. On veut montrer qu’il existe deuxsuites ( ) et ( ) convergentes, de même limite et telles que :

Pour cela, on établira d’abord que pour tout x dans :

et on en déduira que pour x strictement supérieur à 1 :

En conclure alors que la suite ( ) est convergente et donner sa limite.

nv 1nv −

n

u

nu

2 2 2

1 1 1

1 2nu …

n n n n= + + +

+ + +

nv nw

n n nv u w≤ ≤

nu

nu

nu

1 11nu

n n= +

++ 1 1

2…

n np+ +

+

nv nw

n n nv u w≤ ≤

] [0 1,

1 e x x+ ≤ ≤1

x

x −

1

1 – x

1 1ln ln

1

x x

x x x

+≤ ≤

−

nu



220 TD Analyse

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour obtenir l’encadrement de l’exponen-tielle, on la transformera en prenant les logarithmes, puis en dérivant. Enappliquant ensuite l’encadrement de à chacun des termes de la somme quiconstitue on obtiendra un encadrement du terme général de la suite ( ).Le théorème de l’encadrement permettra alors de conclure.

Théorème des suites monotones

19. Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur termegénéral :

a) ; b) , ;

c) ; d) , avec .

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour démontrer que la suite est monotone,il faut établir que la différence de deux termes consécutifs est de signe cons-tant, au moins à partir d’un certain rang, ou que le rapport de deux termesconsécutifs est toujours supérieur ou inférieur à 1, au-delà d’un certain rang.Il faut ensuite trouver un majorant si la suite est croissante, ou un minorant sielle est décroissante, pour conclure à la convergence d’après le théorème dessuites monotones.

Suites adjacentes

20. Montrer que les suites ( ) et ( ) définies ci-dessous par leur termegénéral sont des suites adjacentes.

a) ;

b) .

Analyse de l’énoncé et conseils. On établit d’abord que les suites sont mono-tones, l’une croissante et l’autre décroissante, en formant la différence de deuxtermes consécutifs. On montre ensuite que la différence tend vers 0, cequi établit que les suites sont adjacentes, donc convergentes vers la mêmelimite.

1 x/

nu nu

nu

1 1 11 1 13 5 2 1

…n

− − − +) ( ) ( )(

n an !

0 a >

1 2 … n

n

!+ !+ + !

!

2(1 )(1 ) (1 )n a a … a+ + + 0 1 a< <

nu nv

1 1 11

1 2nu …n

= + + + +! ! !

1 1 1 21

1 2 ( 1)nv …n n

= + + + + +! ! − ! !

1 1cos1 cos cos

2nu n …n

= − + + + ( ) 1

sinn nv un

= +

n nv u−




E X E R C I C E S

Suites adjacentes récurrentes

21. Montrer que les suites ( ) et ( ) définies par les relations de récurrence

suivantes sont adjacentes :

avec et . Calculer leur limite commune.

Analyse de l’énoncé et conseils. On pourra établir d’abord que la différenceest une suite géométrique, de même que les suites et

. Pour déterminer la limite commune de ces deux suites adjacentes,on pourra par exemple déterminer par sommation des différences etensuite faire tendre n vers l’infini.

Moyennes arithmétique et géométrique22. Montrer que les suites ( ) et ( ) définies par les relations de récurrencesuivantes sont convergentes :

avec et . Montrer qu’elles ont une limite commune

appartenant à l’intervalle .

Analyse de l’énoncé et conseils. On pourra établir d’abord que la différenceest une suite positive, de même que les suites et .

Pour établir que ces suites sont convergentes, on utilisera le théorème dessuites monotones. Les relations de récurrence étant toujours vérifiées, on endéduira que ces deux suites ont la même limite.

nu nv

1

1

1(2 )

3

1( 2 )

3

n n n

n n n

u u v

v u v

+

+

= +

= +

1 4u = 1 1v =

1 1n nv u+ +− 1n nu u+ −

1n nv v+ −

1nv +

nu nv

1

1

1( )2

n n n

n n n

u u v

v u v

+

+

=

= +

0 0u a= > 0v b a= >

1( )

2 ab a b

, + [ ]

1 1n nv u+ +− 1n nu u+ − 1n nv v +−



222 TD Analyse

Récurrence homographique

23. Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur terme général

obtenu par une relation de récurrence.

a) , ; b) , ;

c) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. Pour pouvoir utiliser le théorème des suites

monotones, on démontre par récurrence que la différence de deux termes con-sécutifs est de signe constant. Il faut ensuite établir que la suite est majorée ouminorée, suivant les cas. La limite est obtenue enfin en utilisant la formule derécurrence, qui reste vraie quand n devient infini.

Récurrence homographique et terme initial

24. Étudier, suivant la valeur du premier terme , la convergence des suites

définies ci-après par leur terme général obtenu par une relation de récur-rence.

a) , ; b) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. La suite est définie par une relation derécurrence de la forme et si elle admet une limite , celle-ci doitvérifier . On cherchera donc la solution de l’équation ,équivalente à , et on étudiera la convergence suivant la posi-tion du premier terme de la suite par rapport à .

Récurrence homographique et suites extraites

25. On considère la suite ( ) définie pour tout entier n par la récurrence :

Montrer que les deux suites extraites, respectivement d’indices pairs etd’indices impairs, sont convergentes et en déduire que la suite ( ) est aussiconvergente.

Analyse de l’énoncé et conseils. On exprimera en fonction de et onen déduira par différence que les suites extraites sont monotones. Par majora-tion de l’une et minoration de l’autre, on en déduira qu’elles convergent vers

nu1

1

1

2 3n

n

n

uu

u−

−

+=

+0 0u = 1

1

1

2n

n

n

uu

u−

−

+=

+0 0u =

1

11 3n

n

n

uu

u−

−

=+

0 1u =

0u

1nu +

1

3

2 5n

n

n

uu

u+ =+

0 0u > 1

13

3n

n

uu+ = − ++

0 0u >

1 ( )n nu f u+ =

( ) f = 0

x ( ) f x x=( ) ( ) 1 g x f x x= / =

0 x

nu

11 0

1

4 11

4 2

nn

n

uu u

u

−+

−

−= =

−

−

−

nu

2nu + nu




E X E R C I C E S

la même limite, qui sera aussi celle de la suite formée de ces deux suitesextraites.

Suites récurrentes26. Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur terme général

obtenu par une relation de récurrence.

a) , ; b) , ;

c) , ; d) , ;

e) , .

Analyse de l’énoncé et conseils. Dans la première question, on utilisera lethéorème de convergence des suites récurrentes en montrant que la dérivée dela fonction qui définit la relation de récurrence est majorée en valeur absoluepar un nombre inférieur à 1. Dans les autres questions, on utilisera le théorème

des suites monotones en étudiant le signe de la différence de deux termes con-sécutifs.

Méthode de cobweb (toile d’araignée)

27. On considère la suite ( ) définie pour tout entier n par la récurrence :

Montrer que les suites extraites d’indices pairs et d’indices impairs sontconvergentes et en déduire que la suite ( ) est aussi convergente.

Analyse de l’énoncé et conseils. On peut déterminer le comportement de lasuite ( ) en traçant le graphe de la fonction f qui définit la récurrence, soit

pour x dans l’intervalle . L’équation

admet une seule racine positive et les suites extraites ( ) et ( ) serépartissent respectivement dans les intervalles et . Le théo-rème des suites monotones permet de conclure à la convergence de ces deuxsuites vers la même limite qui est donc aussi celle de la suite ( ).

nu

2

1

3

2 2n

n

n

uu

u+

+=

+0 2u = 3

1 6n nu u+ = + 0 3u =

1 ln(1 )n nu u+ = + 0 1u =

2

1 2n n nu u u+ = / + 0 1u =

1 1 2 1n nu u+ = + − 0 4u =

nu

21 0

13 avec 1

4n nu u u+ = − , =

nu

nu2

( ) 34

x f x = − 0 2 3

, [] ( ) 0 f x x− =

0 x 2 pu 2 1 pu +

00 x ,] [ 0 2 3 x

,] [

0 x nu



224 TD Analyse

Équations de récurrence linéaires du premier ordre

28. Déterminer les suites solutions des équations de récurrence suivantes puis

étudier leur convergence.

a) b)

c) d)

e)

Analyse de l’énoncé et conseils. On cherche d’abord une solution de l’équa-tion homogène associée. Ensuite, on cherche une solution particulière demême nature que le second membre. Si ce dernier comporte plusieurs fonc-tions différentes, on considère les équations ayant chacune de ces fonctionscomme second membre. Dans le cas d’un second membre exponentiel, il fautexaminer s’il y a résonance. On additionne ensuite la solution de l’équationhomogène, qui dépend d’une constante, et la solution particulière. On déter-mine enfin la valeur de la constante par la condition initiale.

29. Déterminer les suites solutions de l’équation de récurrence suivante, puisétudier leur convergence en fonction de la valeur du premier terme :

Analyse de l’énoncé et conseils. On transforme cette relation de récurrencenon linéaire en faisant le changement . De la solution de l’équa-

tion linéaire obtenue, on déduira la solution exprimée en fonction de .30. Déterminer, en fonction du paramètre réel , les suites solutions deséquations de récurrence suivantes, puis étudier leur convergence.

a) b)

Analyse de l’énoncé et conseils. La solution particulière dépendra des

valeurs du paramètre a, suivant lesquelles il y aura ou non résonance.

Équations de récurrence linéaires du second ordre

31. Déterminer les suites solutions des équations de récurrence suivantes.

a)

b)

212 3 1n nu u n−+ = + , avec 0 1u = ( )1

11

2n nu u+ = + , avec 0 3u =

13 3 1n nu u n− − + = , avec 0 1u = 1

1 11

2 2n n nu u −− = − , avec 0 0u =

2

1 01

12 avec 1

2n n n

u u n u− −

− = + , =

0u2

13n nu u −=

lnn nw u= nw

nu , 0u1 a ≠

1

1

1 2

n

n n

au u

a+

− = −

− ( ) ( )1 1 2nn nu a a u+ − − =

1 2 0 12 3 2 avec 3 3n n nu u u u u− −− + = , = , =

1 2 0 12 2 1 avec 2 3n n nu u u u u− −− + = , = , =




E X E R C I C E S

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Analyse de l’énoncé et conseils. On détermine les solutions générales del’équation homogène associée, à l’aide des racines de l’équation caractéristique.On cherche ensuite une solution particulière de même nature que le secondmembre. On additionne ces solutions et on cherche la solution qui vérifie lesconditions initiales données.

32. Déterminer, en fonction du paramètre réel a, les suites solutions des équa-

tions de récurrence suivantes, puis étudier leur convergence.

a)

b)

c)

d)

Analyse de l’énoncé et conseils. On détermine les solutions générales del’équation homogène associée, selon les racines de l’équation caractéristique.Ces solutions peuvent dépendre du paramètre a. On cherche ensuite une solu-tion particulière de même nature que le second membre, lorsqu’il y en a un.On additionne ces solutions et on cherche la solution qui vérifie les conditionsinitiales, lorsqu’elles celles-ci sont données.

Équations de récurrence linéaires d’ordre quelconque

33. Déterminer les suites solutions des équations de récurrence suivantes.

a)

1 2 0 15 6 2 1 avec 1 4n n nu u u n u u− −− + = + , = , =

2 1 0 13 2 2 1 avec 0 1n n nu u u n u u+ += − + + , = , =

21 2 0 14 4 1 avec 25 31n n nu u u n n u u− −− + = + + , = , =

1 2 0 15 6 2 avec 0 1nn n nu u u u u− −− + = , = , =

1 2 0 14 4 2 avec 0 3nn n nu u u u u− −− + = , = , =

1 2 0 12 3 4 2 cos avec 0 2 3

6

nn n n

nu u u u u− −

π= − + , = , = +

π

22 1 0 33 0 avec 1 0n n nu a u a u u u+ +− + = , = , =

( )2

22 0 12 2

11 avec

1 1

n

n n

au a u u u

a a+ + = − , = , =+ +

( ) ( )2 1 2

11 1 2

3

n n n nu a u a a u+ + +

− − + − =

22 1

13 2 1 0 1

2

n

n n nu au a u a+ +

− + = + − , < < ( )

3 2 1 0 1 25 8 4 1 avec 2 5 12n n n nu u u u u u u+ + += − + + , = , = , =



226 TD Analyse

b)

Analyse de l’énoncé et conseils. Le principe est le même pour ces équations

de récurence d’ordre trois. La solution générale dépend de trois constantes quisont déterminées par les conditions initiales.

Système d’équations récurrentes

34. Résoudre les sytèmes d’équations de récurrence suivants :

a) avec .

b) avec .

c) avec .

Analyse de l’énoncé et conseils. On écrit le système sous forme matricielle.Sa solution s’exprime à l’aide de la puissance n-ème d’une matrice, que l’onobtient à partir de sa forme diagonale. Si cette matrice n’est pas diagonalisable,on utilise l’équation typique (voir TD Algèbre, chapitre 6) pour calculer sapuissance n-ème.

1 2 3 0 1 23 3 0 avec 1 1 9n n n nu u u u u u u− − −− + − = , = , = , =

1

1

2 3

3 2n n n

n n n

u u v

v u v

+

+

= +

= +un+1 = 2un + 3vn

vn+1 = 3un + 2vn0 02 0u v= , =

1

1

5 2

2n n n

n n n

u u v

v u v

+

+

= +

= − + vn+1 = –2un + vn

un+1 = 5un + 2vn1 15 2u v= , = −

1

1

1

n n n

n n n

n n n

u v w

v u w

w u v

+

+

+

= +

= + = +

un+1 = un + vn + wn

vn+1 = un + vn + wn

wn+1= un + vn

0 0 01 0 1u v w= , = , = −




S O L U T I O N S

QCM

1. Vrai. S’il existe un réel positif a tel que a, alors , donc lasuite ( ) est bornée.

2. Faux. On ne peut rien conclure a priori sur la somme. Soit par exemple :

Ces deux suites sont divergentes et pourtant :

converge vers 0.

3. Vrai. Raisonnons par l’absurde et supposons que ( ) converge vers 0.Alors, pour n assez grand on a ε, ce qui implique que converge

vers 0, d’où une contradiction. En cas de convergence vers une limite nonnulle , il suffit de remplacer par .

4. Faux. C’est la réciproque qui est vraie. Par contre, il se peut que deux suitesextraites convergent vers des limites distinctes. Dans ce cas, la suite elle-mêmeaura deux points d’accumulation et sera donc divergente.

5. Faux. Soit par exemple et . On a bien pour tout npositif , la suite ( ) qui converge vers 1 et cependant la suite ( ) estdivergente.

6. Vrai. Par hypothèse 1 quand n tend vers l’infini. Donc, l’une des

suites admet une limite si et seulement si l’autre admet la même limite .

7. Vrai. La nature d’une solution peut dépendre du premier terme; voir parexemple l’exercice 12.

8. Faux. Il faut que ces deux solutions particulières soient linéairement indé-pendantes pour engendrer l’ensemble des solutions de cette équation homo-gène.

9. Faux. Il faut que les deux premiers termes soient fixés pour que la solutionsoit totalement déterminée.

nu ≤ n a u a− ≤ ≤

nu

11( 1) ( 1)2 2

n nn n

n nu vn n

++= − = −+ +

( 1)

2

n

n nu vn

−+ =

+

nunu < ( )nu| |

nu nu −

( 1)

n

nu = −

1n

n

v n

+

=n nv u≥ nv nu

n

n

u

v→



228 TD Analyse

10. On a :

donc la suite est bornée. Elle admet deux points d’accumulation puisque lessuites extraites ( ) et ( ) convergent respectivement vers 1 et –1. Elle estdonc divergente. On sait que toute suite convergente est bornée, mais bien sûrla réciproque est fausse.

11. Comme les termes d’indices pairs tendent vers l’infini, la suite n’est pasbornée et ne peut donc pas être convergente. Cependant, la suite extraite des

termes d’indices impairs converge vers 1.12. Une solution constante ( a) doit vérifier :

On obtient aisément On effectue alors le changement :

soit :

Si le premier terme est supérieur à 1, alors et par récur-

rence la suite ( ) est à termes positifs. Le terme vérifie alors :

La solution est donc , soit .

Si , alors et la suite ( ) est à termes négatifs. Leterme vérifie la même relation de récurrence et on obtient donc lamême solution. Au total, on obtient donc :

La suite ( ) est donc divergente pour et stationnaire pour .13. On établit par récurrence que les suites ( ) et ( ) sont à termes positifs.Si on forme la différence :

Il s’agit donc d’une suite stationnaire.

11

2n

nu

n

+= <

+

2 pu 2 1 pu +

( )2 21 2 a n a n n= + − −

1 a = . 1n nv u= −

( ) ( )2 2

1 1 1 1 2n nv n v n n+ + = + + − −

( )2

1 1n nv n v+ = +

0u 0 0 1 0v u= − >

nv n nw v=

( ) ( )1 0

1 1 2 1n n

w n w n … w+

= + = + × × ×

0nw n w= ! ( )2

0nv n v= !

0 1u < 0 0 1 0v u= − < nv

n nw v= −

( ) ( )2

01 1 1n nu v n u= + = ! − +

nu 0 1u ≠ 0 1u =

nu nv

2 21 1

1 1 0 0

1 1

n nn n n n

n n

u vu v u v … u v

u v− −

− −

− −

−− = = − = = −

+




S O L U T I O N S

Formons maintenant le rapport :

Si , les deux suites sont stationnaires et égales. Sinon, en combi-nant ces deux résultats, on obtient :

Pour :

Pour :

14. a) D’après le théorème des croissances comparées, tend vers 0

quand n tend vers l’infini, donc la suite ( ) converge vers 0.

b) En multipliant numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée,puis en divisant par n, on obtient :

donc la suite ( ) converge vers .

c) La suite est à termes de signe quelconque, mais avec , doncla suite converge vers 0 et par conséquent il en est de même de lasuite ( ).

d) On a donc et la suite minorante est unesuite géométrique divergente dont le terme général tend vers l’infini, donc ilen est de même de la suite ( ).

e) La suite est à termes de signe quelconque, mais avec et la

suite majorante converge vers 0, donc il en est de même des suites et ( ).

f) Le terme général est une somme de fractions dont le dénominateurest de la forme , où p est un entier qui varie de 0 à . On a donc

2 4 2

1 2 0

1 2 0

n

n n n

n n n

u u u u

…v v v v− −

− −

= = = = ( ) ( )()0 0u v=

( ) ( )0 0 0 0

2 2

0 0 0 01 1n nn n

u v u vu v

v u u v

− −= =

− −/ /

0 0u v>

0 0 0n nu u v v +→ − →

0 0u v<

0 00n nu v v u+→ → −

ln 1nn +nu

2 2

2

3 3 3

21 1 33n

n n nu

nn n n

+ −= = →

+ + /+ +

nu3

20 1nu n≤| |≤ /

( )nu| |

nu

1 1 1 1 1n+ + / > + 2nnu >

nu

1

3

n

nu

| |≤ ( )( )nu| | nu

nu2n p+ 2 1n +



230 TD Analyse

l’encadrement suivant :

Donc, pour le terme général qui est la somme de fractions, on al’encadrement :

Les suites majorante et minorante convergent vers la même limite 2, donc

il en est de même de la suite ( ).g) Le sinus prend une infinité de fois les trois seules valeurs :

La suite possède donc trois points d’accumulation et n’est pas conver-gente.

h) Quand n tend vers l’infini, le sinus est équivalent à son argumentqui tend vers 0. Donc, tend vers π qui est la limite de cette suite conver-gente.

i) Pour , on a l’encadrement . La suite

majorante étant une suite géométrique qui converge vers 0, il en est de mêmede la suite ( ).

15. a) Il s’agit d’une suite géométrique de raison , donc telle que

pour a différent de 0 et par conséquent convergente. Pour , on a

et la suite est constante, égale à 1, donc convergente.

b) On peut écrire le terme général de cette suite sous la forme :

en ayant posé . Par conséquent, on obtient :

avec qui tend vers 0 puisque . Comme d’autre part q tend vers ,cette suite converge vers 2.

2 2 2

2 1

n n n

n n n p n

≤ ≤

+ + +2 2n +

2 1

2 2 20

(2 2) (2 2)

2 1

n

n p

n n n n nu

n n n p n

+

=

+ +≤ = ≤

+ + +∑

nu

2 3 4 3sin0 0 sin et sin

3 2 3 2

π π= , = = −

ππ

2n

ππ

nu

3n ≥1 1 5

02 3 6

n n

nu

≤ ≤ + = ( () )nu

2

2

11

aq a

−=

+1q| |< 0 a =

1q =

1

0

nk

n k

u q−

=

=

∑

1 1

2q

n= +

1

1

n

n

qu

q

−=

−

nq 0 1q< <1

2




S O L U T I O N S

16. On remplace par son expression en fonction des deux termesprécédents :

Cela établit que ( ) est une suite géométrique de raison , doncconvergente.

Par ailleurs, on obtient comme somme partielle :

Avec également :

qui converge vers , puisque tend vers 0. La suite ( ) est donc conver-gente, de limite :

17. Les termes sous radicaux sont de la forme où k est un entier qui variede 1 à n. Par conséquent, on a l’encadrement :

Ce qui conduit à :

Les suites majorante et minorante convergent vers la même limite 1, doncil en est de même pour la suite ( ).

18. La fonction logarithme étant strictement croissante, l’encadrement del’exponentielle est équivalent, en prenant les logarithmes, à :

Ces trois termes ont pour dérivées respectives et . Or, sur

l’intervalle on a , soit et , soit .

nu

1 2 1 2 1 11 1 1( ) ( )2 2 2n n n n n n nv u u u u u v− − − − − −= + − = − = −

nv1

2q = −

1 0

1 1

( )n n

k k k n

k k

v u u u u−

= =

= − = − ∑∑

11 1 1

1 1

1 2(1 )

1 3

nn nk n

kk k

qv v q v v q

q−

= =

−= = = −

− ∑∑

12

3

v nq nu

1 0 0 1 0

2 2 1( ) ( 2 )

3 3 3v u u u u a b+ = + − = +

2n k+

2 2 2

1 1 1

1n n n k n≤ ≤

+ + +

2 21 1n

n nu

n n≤ ≤

+ +

nu

ln(1 ) ln(1 ) x x x+ ≤ ≤ − −

11

1 x,

+

1

1 x−

] [0 1, 1 1 x+ >1

1 x+1< 0 1 1 x< − <

11

1 x>

−



232 TD Analyse

L’encadrement :

conduit par intégration à :

Ce qui est bien équivalent à :

Pour on obtient donc :

Et, en prenant les logarithmes :

On applique ces inégalités pour t prenant les valeurs entières de n à np, cequi conduit à :

On a donc obtenu l’encadrement demandé, avec

et .

Les suites ( ) et ( ) convergent vers la même limite , donc il en est de

même de la suite ( ).

19. a) Tous les termes du produit sont de la forme , avec p entier supé-

rieur à 3, donc la suite est à termes positifs. Le rapport de deux termes consé-cutifs a comme expression :

La suite est donc décroissante ; étant minorée par 0, elle est convergente,de limite .

1 11

1 1 x x

< <

+ −

0 0 0

d dln(1 ) d ln(1 )

1 1

x x xt t x t x t

t t = + < = < = − −

+ −

0

x

∫0

x

∫0

x

∫

1

1 e 1

x

x x+ < < −

1 x t = /

11 11 e

1 1 1

t t

t t t

/+ < < =

− / −

1 1ln ln1

t t t t t + < <

−

[ ] [ ]ln( 1) ln ln ln( 1)np np

n

t n t n

t t u t t

= =

+ − < < − − ∑∑

ln( 1) ln ln( 1 )n

v np n p n= + − = + / ln ln( 1) ln1

n

pw np n p

n

= − − = +

−( )

nv

nw ln p

nu

11

p

−

1 11 1

2 3

n

n

u

u n

+= − <

+

0≥




S O L U T I O N S

b) Dans le cas où , le terme général de la suite tend vers 0 qui estdonc la limite de cette suite. Pour , on obtient :

et comme ce rapport tend vers 0, il est inférieur à 1 au-delà d’un certainrang et la suite est donc décroissante. Comme cette suite est minorée par 0, elleest convergente de limite .

c) On forme ici la différence de deux termes consécutifs :

La suite est décroissante. D’autre part, le numérateur de étant supé-

rieur au dénominateur, la suite est minorée par 1, donc convergente delimite 1.

d) Le rapport de deux termes consécutifs a comme expression :

donc cette suite est croissante. Nous allons obtenir un majorant de à partirde l’inégalité . Considérons en effet ; sa dérivée est

qui s’annule pour où f passe par un minimum de valeur. Cette fonction est donc toujours positive. On en déduit la

majoration :

L’argument de l’exponentielle est :

donc :

0 1 a< ≤1 a >

1

1n

nu au n

+ = +

0≥

1

1 2 1 2

1( 1)

1 2 ( 1) (1 2 )1

( 1) ( 1)

1 2 ( 2)0

( 1)

n n

… n … n

u u n n

… n n n n … nn

n n

… nn

n

+

!+ !+ + ! !+ !+ + !

− = + −+ ! !

!+ !+ + ! + !− !+ !+ + != − =

+ ! + !

!+ !+ + − != − <

+ !

nu

≥

11 1 1nn

n

u a

u++ = + >

nu1 e x x+ ≤ ( ) e 1 x f x x= − −

( ) e 1 x f x = −′ 0 x =(0) 0 f =

22(1 )(1 ) (1 ) e e enn a a a

nu a a … a …= + + + ≤

2 1

1 1

nn a a

a a … a a a a

−+ + + = ≤− −

exp1n

au

a

≤

−



234 TD Analyse

La suite étant croissante et majorée est convergente, de limite

.

20. a) L’expression de montre que :

donc la suite ( ) est croissante. On obtient également :

donc la suite ( ) est décroissante. Comme tend vers 0, ces deux

suites convergent vers la même limite qui est le nombre e.

b) On obtient :

donc la suite ( ) est croissante. Par ailleurs :

Tous les arguments sont des infiniment petits pour et nous allonsutiliser des équivalents des fonctions trigonométriques :

Comme tend vers 0 quand n devient infini, le numérateur estpositif à partir d’un certain rang et la suite ( ) est donc décroissante. Par défi-nition, tend vers 0, donc les suites sont adjacentes et conver-

gent vers la même limite.21. Par différence :

exp

1

a

a

≤

−

( )1nu +

1

10

( 1)n nu un

+ − = >+ !

nu

1

2 1 10

( 1) ( 1)n n

nv v

n n n+

−− = − = − <

+ ! ! + !

nv1

n nv un

− =!

1

11 cos 0

1

n nu u

n

+ − = − ≥

+nu

1

1 1 11 cos sin sin

1 1n nv vn n n

+ − = − + −+ +

n →∞

1 2 2

2 2 2

1 1 1 (1 )2( 1) 1

2 (1 ) 1 (1 )

2 ( 1) 2

n n nv vn n n n

n n n

n n n n

+ ε /− = + − ++ +

+ ε / + ε /′= − + = −

+

ε

εε

(1 )nε /′ε

nvsin(1 )n nv u n− = /

1 1

1( )

3n n n nu v u v+ +− = −




S O L U T I O N S

ce qui montre qu’il s’agit d’une suite géométrique de raison définie par :

On en déduit alors :

donc la suite ( ) est décroissante. De la même manière :

donc la suite ( ) est croissante. Pour obtenir la limite commune de ces deuxsuites adjacentes, on peut par exemple calculer la somme :

Quand n tend vers l’infini, la suite ( ) a donc pour limite , quiest aussi la limite de la suite ( ).

22. Par différence :

On en déduit donc :

donc la suite ( ) est croissante. De la même manière :

et la suite ( ) est donc décroissante. Comme elle est minorée par exemple par

, puisque et que la suite ( ) est croissante, elle est conver-gente. Elle admet une limite . De la même manière, la suite ( ) est

croissante et majorée par exemple par puisque et que la

suite ( ) est décroissante. La suite ( ) est donc convergente vers une limite

. Ces limites vérifient toujours les relations de récurrence, soit

1

31

1 1 1 1

1 1( ) 0

3 3

n n

n nu v u v−

+ +

− = − = →

( ) ( )1

1

1 1( ) 0

3 3

n

n n n nu u v u−

+

− = − = − < ( )

nu

1

1 1 1( ) 03 3

n

n n n nv v u v

−

+ − = − = > ( )nv

1

1 1 11 1

1 1 (1 3)( )

3 1 1 3

k nn n

k k nk k

v v v v−

+ += =

− / − = − = =

− / ∑∑ ( )nv 1

3 5

2 2v + =nu

2

1 1

1 12 0

2 2n n n n n n n nv u u v u v u v

+ + − = + − = − ≥( ) )(

1n n n n n nu u v u u u+ = ≥ =

nu

1

1 1( ) ( )

2 2n n n n n nv u v v v v+ = + ≤ + =

nv

1u ab= n nv u≥ nu ab≥ nu

1

1( )

2v a b= + n nu v≤

nv nu

1( )

2a b≤ +′



236 TD Analyse

et et donc on a qui appartient à l’intervalle

.

23. a) Formons la différence de deux termes consécutifs :

Ainsi, toutes les différences seront du même signe si on établit que ledénominateur est positif. Pour cela, nous allons montrer que la suite est à

termes positifs. Nous obtenons et si on suppose que est

positif, il en sera de même du numérateur et du dénominateur qui définissent

le terme suivant . Nous avons donc prouvé par récurrence que tous les

termes étaient positifs, donc est du signe de , c’est-à-dire

positif, et la suite est donc croissante. Pour obtenir un majorant, nous formons

la différence :

qui est toujours négative. La suite étant croissante et majorée par 1 est conver-gente, de limite dans l’intervalle qui vérifie toujours la relation derécurrence, soit :

dont la seule racine positive est .

b) La différence de deux termes consécutifs a pour expression :

Toutes les différences sont de même signe car le dénominateur est positif.

En effet, et si on suppose que est positif, l’expression de

montre qu’il est aussi positif. Ayant établi par récurrence que la suite était à

termes positifs, le signe de est celui de c’est-à-dire

=′ ′ 1

( )2

= +′ = ′

1( )2 ab a b

, + [ ]

1 2 1 21

1 2 1 2

1 1

2 3 2 3 (2 3)(2 3)n n n n

n n

n n n n

u u u uu u

u u u u− − − −

−

− − − −

+ + −− = − =

+ + + +

1

10

3u = > 1nu −

nu

1n nu u −− 1 0

1

3u u− =

1

1

21

2 3n

n

n

uu

u−

−

+− = −

+

[ ]0 1,

21 2 2 1 02 3+= ⇐+

⇔ + – =

( )1

3 12

= −

1 2 1 21

1 2 1 2

1 1

2 2 ( 2)( 2)

n n n nn n

n n n n

u u u uu u

u u u u

− − − −−

− − − −

+ + −− = − =

+ + + +

1

10

2u = > 1nu − nu

1n nu u −− 1 0

1

2u u− =




S O L U T I O N S

positif. La suite est donc croissante. Par ailleurs :

est toujours négatif, donc cette suite est majorée par 1. Elle admet une limitedans l’intervalle et qui vérifie :

la racine positive étant .

c) La différence de deux termes successifs s’écrit :

toujours négative si on établit que le dénominateur est positif. Or,

et si on suppose que est positif, il en est de même de . Ainsi, la suite

est à termes positifs et décroissante, donc de limite positive et qui vérifie :

de solution .

Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur terme général obtenu

par une relation de récurrence :

Réponses : la suite ( ) est positive et décroissante de limite ; la suite ( )est décroissante et minorée par 1, de limite .

24. a) La fonction f qui détermine la relation de récurrence est définie pour x

positif par et donc . La fonction g est

décroissante avec pour . Ainsi, pour , on a

et par conséquent, si , on aura et

la suite sera croissante. La fonction f est croissante de 0 à , donc l’image de

1

11

2n

n

u

u −

− = −

+

[ ]0 1,

211 0

2

+= ⇐

+

⇔ + – =

( )1

5 12

= −

21 1

1 1

1 1

3

1 3 1 3n n

n n n

n n

u uu u u

u u− −

− −

− −

− = − = −+ +

1

10

4u = >

1nu − nu

1 3=

+

0=

10 0

1 1

31 2

1 4n

n n

n n

uu u v v

u v−

− −

= , = ; = , =+ −

nu 0= nv1=

3( ) 2 5

x f x x= +

( ) 3( ) 2 5

f x g x x x= = +

( ) 1 g x = 0

1

5 x x= = 00 x x< <

( ) 1 g x >1

05nu< < 1( )

( ) 1n nn

n n

f u u g u

u u+= = >

1

5

Vous avez compris ?



238 TD Analyse

l’intervalle est le même intervalle. Si on choisit le premier terme

dans cet intervalle, tous les termes suivants seront donc aussi dans cet intervalle.La suite est croissante et majorée par , donc convergente, de limite qui

est la seule solution de . Si est dans l’intervalle , les termes

de la suite seront dans l’intervalle image de celui-ci par f , soit . Dans ce

cas, , donc et la suite est décroissante, minorée par , donc

convergente de limite . Dans le cas particulier où la suite est

stationnaire, avec pour tout entier n.

b) La solution unique positive de est . La fonction f est

croissante, et l’intervalle a pour image . Donc, si on choisit

, tous les termes de la suite seront inférieurs à puisque dans ce

cas .

D’autre part :

est positif donc la suite est croissante. Étant majorée par , elle est conver-

gente, de limite . Pour , les termes de la suite seront dans

l’intervalle image de par f , soit et par conséquent la suite

est décroissante. Elle est minorée par donc convergente, de limite

. Le cas particulier correspond à une suite stationnaire, avec

pour tout entier n.

25. Cette suite est définie par une relation de récurrence de la forme

où . La fonction f est décroissante sur

10

5 , 0u

1

5

1

5=

( ) 1 g x = 0u1

5

,+∞ []

1 3

5 5 ,

15nu > ( ) 1n g u < 1

51

5= 0

1

5u =

1

5nu =

( ) f x x= 0 2 2 x =

0 2 2 , []

82 2

3

,

0 2 2u < 2 2

( ) 2 2 f x <

2

1813

3 3n

n n n

n n

uu u uu u

+−− = − − =

+ +

2 2

2 2= 0 2 2u >

2 2 ,+∞ ] [ 2 2 3 , ] [

2 2

2 2= 0 2 2u =

2 2nu =

1 ( )n nu f u+ =4 1 1

( ) 14 2 4 2

x f x

x x

−= = +

− −




S O L U T I O N S

l’intervalle dont l’image par f est l’intervalle . Comme

, tous les termes de la suite étant définis par f seront donc minoréspar 1. Par ailleurs, on obtient :

Donc, si la suite est convergente, la limite doit vérifier , soit

dont la seule solution supérieure à 1 est . De cette

expression, on déduit ensuite :

et comme le dénominateur est positif, chaque différence est du signe de la pré-cédente. Pour la suite extraite d’indices pairs, est donc du signe de

c’est-à-dire positif ; cette suite est donc croissante.

L’expression de en fonction de montre que la suite est majorée par .

La suite extraite d’indices pairs est croissante et majorée, donc convergente de

limite .

Pour la suite extraite d’indices impairs, est donc du signe de

. Cette suite est décroissante et minorée par 1, donc con-

vergente de même limite . Les deux suites extraites d’indices pairs

et impairs étant convergentes et de même limite, il en est de même de la suitequ’elles reconstituent.

26. a) Cette suite est définie par une relation de récurrence avec

1

2

,+∞ ] [1,+∞

0 11 2u = >

12

1

4 1 16 4 4 2 3 1

4 2 16 4 8 4 2 4n n n

n

n n n n

u u uu

u u u u+

+

+

− − − += = = −

− − − +

3 1

2 4= −

24 6 1 0− + =

3 5

4

+

22

2 2

1 1

4 4 4n n

n n

n n n n

u uu u

u u u u−

+

− −

−− = − =

2 2 2 p pu u+ −

2 0

3 1 11

2 4 4u u− = − − =

2nu + nu3

2

3 54+=

2 1 2 1 p pu u+ −−

3 1

4 3 1

3 2 6u u− = − = −

3 5

4

+=

1 ( )n nu f u+ =



240 TD Analyse

. Cette fonction admet pour dérivée :

avec comme dérivée seconde :

Ainsi, quand x varie de 0 à la dérivée croît de à en passant

par les valeurs et . Par conséquent, pour x supérieur

à , on a :

L’équation est équivalente à et n’admet que la

solution dans l’intervalle . Le premier terme appartient

aussi à cet intervalle, donc cette suite est convergente d’après le théorème surles suites récurrentes, de limite .

b) La fonction f qui définit la récurrence applique l’intervallesur lui-même. Comme , tous les termes de la suite sont

supérieurs à 2. Formons maintenant la différence de deux termes consécutifs :

est du signe de c’est-à-dire négatif. Cettesuite est donc décroissante et minorée par 2, par conséquent convergente delimite vérifiant , soit .

c) Pour tout x positif, est positif, donc la suite est à termes posi-tifs. Par ailleurs, la différence de deux termes consécutifs a pour expression :

2 3( )

2 2

x f x

x

+=

+

2 2

2

2 2

( 1)( 3) ( 1 2)( 1 2)( )2( 1) 2( 1)

( 1) 4 1 2

2( 1) 2 ( 1)

x x x x f x x x

x

x x

− + + − + += =′+ +

+ −= = −

+ +

3

4

( ) ( 1) f x x=′′ +

+∞ f ′3

2−

1

21 7

2 18 f

= −′ )( (1) 0 f =′

1

21

( )2

f x ≤′

( ) f = 2 2 3 0+ − =

1=1

2 ,+∞ ] [ 0u

1=

1 ( )n nu f u+ =] [2,+∞ 0 3 2u = >

31 6n n n nu u u u+ − = + −

3 26 (2 )(3 2 )n n n n nu u u u u+ − = − + +

3 3= + 2=

ln(1 ) x+

1 ln(1 ) ( )n n n n nu u u u g u+ − = + − =




S O L U T I O N S

en ayant posé . La fonction g est décroissante et négativepour x positif, donc cette suite est décroissante. Elle est minorée par 0 et parconséquent convergente, de limite vérifiant , soit .

d) La suite est bien sûr à termes positifs, avec :

qui est donc du signe de , c’est-à-dire positif. Cette suite est

croissante. La fonction f qui définit la relation de récurrence applique l’inter-

valle sur lui-même, donc tous les éléments de la suite sont majorés par 2.

Cette suite est convergente, de limite telle que , la seule solution

supérieure à étant = 2.

e) La fonction f qui définit la récurrence est positive sur , donc lasuite est à termes positifs. Par ailleurs :

est toujours négatif, donc la suite est décroissante. Elle est minorée par 0, doncconvergente de limite vérifiant , de solution .

Étudier la convergence des suites définies ci-dessous par leur terme général obtenu par une relation de récurrence.

a) , ; c) , ;

b) , ; d) , .

Réponses :

a) Suite bornée, avec , et croissante, convergente vers = 2 ;

( ) ln(1 ) g x x x= + −

ln(1 )= + 0=

2 21

12 21

1 1 2 21

1

1 1

2 21

1

2 2

2 2

2 2

( )( 2)

22 2

n nn n

n nn n n n

n nn n

n n n n

n nn n

u uu u

u uu u u u

u uu u

u u u u

u uu u

−

−

−+ −

−−

− −

− −

+ − +

− = + − + =

+ + +

− + +

=+ + +

( ) ( )

( )

1 0

31

2u u− = −

[ ]0 2,

2

2=

+

0 1u =

] [0,+∞

2

1 1 2 1 21 2 11 2 1

n n nn n n n

n n

u u uu u u uu u

+ + − − −− = + − − =+ + +

1 2 1= + − 0=

nu

1 12n nu u+ −= + 0 2u = 21 8 2n nu u+ = + / 0 0u =

11

2( 1)

3n

n nu u++ = − 0 1u = 1

1 1

2n n

n

u uu

+ = + 0 1u =

0 2nu< <

Vous avez compris ?



242 TD Analyse

b) la suite est une suite géométrique de raison , donc converge vers 0,comme ;

c) suite bornée, avec , et croissante, convergente vers ;

d) suite minorée par , et décroissante, convergente vers .

27. L’équation admet une seule racine positive . Lespremiers termes de la suite sont déterminés sur le graphe de f représenté

figure 7.1. On voit que est supérieur à puis inférieur et

que les termes successifs vont se rapprocher de , alternativement à sa droite

et à sa gauche.

Montrons par récurrence que tous les termes de la suite extraite ( ) sont

dans l’intervalle et ceux de la suite extraite ( ) dans l’intervalle

. Si on suppose que , on a alors , puis

et donc , d’où on déduit

. On aura alors également

( )nu| |2

3( )nu

0 4n

u< < 4=

2 2=

( ) 0 f x x− = 0 2 x =

1

11

4u = 0 x 2

71

64u =

0 x

Figure 7.1

2 pu

] [0 2, 2 1 pu +

2 2 3 , [] 2 20 2 pu −< < 2

2 20 4 pu −< <

22 1 2 2

12 3 3 2 3

4 p pu u− −< = − < < 22 24 12 pu −< <

22 2 2

10 3 2

4 p pu u −< = − < 2 12 pu +< =




S O L U T I O N S

. Pour étudier maintenant la monotonie de ces deux suites

extraites, formons la différence :

On en déduit que est du signe contraire à , donc

du signe de et par conséquent du signe de . La suite

( ) est donc croissante et majorée par 2 et par conséquent converge vers =

2 qui est la seule solution positive de l’équation . La suite ( ) estdécroissante et minorée par 2, donc converge vers la même limite, qui est aussicelle de la suite ( ) puisque ces deux suites extraites convergent vers la mêmelimite.

28. a) L’équation homogène s’écrit :

Elle a pour solution la suite géométrique . Le second membreest un polynôme de degré 2, donc on cherche comme solution particulière unpolynôme de degré 2 :

Pour trouver les constantes on remplace dans l’équation :

En identifiant ces deux polynômes, on obtient :

La solution particulière est donc :

La solution générale de l’équation complète s’obtient par addition :

La condition initiale donne , soit :

22

13 3 2 3

4 pu− < <

2 22 3 1

1

4n n n nu u u u − − −− = − )(

2 2 2 p pu u −− 2 1 2 3 p pu u− −−

2 2 2 4 p pu u− −−2 0

7

64u u− =

2 pu

( ) f x x= 2 1 pu −

nu

12 0n nv v −+ =

( )2n

n

v = λ −λ

2nu an bn c ∗ = + +

a b c , ,

( ) ( )22 22 1 2 1 3 1 an bn c a n b n c n+ + + − + − + = +

3 3 3 4 0 2 2 3 1 a b a a b c = , − = , − + =

2 4 5

3 9nu n n∗ = + +

( ) 2 4 52

3 9

n

n n nu v u n n∗= + = λ − + + +λ

0 1u =5 4

19 9

λ = − =λ

( )2 21 4 5

29 3 9

n

nu n n+

= − + + +



244 TD Analyse

Cette suite n’admet pas de limite pour .

b) L’équation homogène est :

Elle admet pour solution . Le second membre est une cons-

tante, donc on cherche une solution particulière de la forme . Cetteconstante doit vérifier :

donc . La solution générale de l’équation complète est :

La condition initiale donne , soit :

Cette suite converge vers 1.

c) L’équation homogène est :

de solution λ . Le second membre est un polynôme de degré 1, mais

comme les constantes sont solutions de l’équation homogène, il faut chercherune solution particulière qui soit un polynôme de degré 2 :

On remplace dans l’équation :

Par identification, on obtient , soit :

La solution générale de l’équation complète est :

n →∞

1 1 02n nv v+ − =

1

2

n

nv

= λ ( )λ

nu a∗ =

1

2 2

a

a − =

1nu∗ =

11

2

n

n n nu v u∗

= + = λ + ( )λ

0 3 1u = = λ +λ 2λ =λ 1

1 12

n

nu

−

= + ( )

1 0n nv v −− =

nv =

2nu an bn∗ = +

( ) ( ) ( )22 1

1 1 13

an bn a n b n n+ − − − − = −

1 123 3

a b a= , − = −

( )21

6nu n n∗ = −

( )21

6n n nu v u n n∗= + = λ + −λ




S O L U T I O N S

On utilise la condition initiale λ pour obtenir :

Cette suite est divergente et tend vers l’infini avec n.

d) L’équation homogène a pour solution :

Le second membre est la somme d’une fonction exponentielle et d’une

constante. On cherche donc une solution particulière pour chacune des deuxéquations :

Pour la première, il y a résonance et on cherche une solution de la forme

:

Donc :

Pour la seconde équation, on cherche une solution constante ,

d’où et . On obtient ainsi comme solution particulière :

La solution générale est :

La condition initiale donne :

Cette suite converge vers –2.

0 1u = =

( )216

6nu n n= − +

1

2

n

nv

= λ ( )λ

1 1

1 1 1et 1

2 2 2n n n nnu u u u− −− = − = −

( )1

2

n n

nu∗ = µµ

1

2 2n n

µ=

µ

( )1

2n n

nu∗ =

( )2nu a∗ =

12

a a − = − ( )2 2nu∗ = −

( ) ( )1 2 22n n n n

nu u u∗ ∗∗ = + = −

22 2n n n

nu λ = + −λ

0 0 2u = = λ −λ

22

2n n

nu

+= −



246 TD Analyse

e) L’équation homogène a pour solution :

Le second membre est la somme d’une fonction exponentielle et d’unpolynôme. On cherche donc une solution particulière pour chacune des deuxéquations :

Pour la première, on cherche une solution polynômiale de la même forme

:

Par identification :

La première solution particulière est donc :

Pour la seconde équation, il y a résonance et on cherche une solution de la

forme :

On obtient donc :

La solution particulière de l’équation complète est donc :

La solution générale s’écrit :

La condition initiale implique :

1

2

n

nv

= λ

( )λ

2

1 1

1 1 1et

2 2 2 2n n n n n

nu u u u− −− = − =

( )1 2nu an bn c ∗ = + +

( ) ( )2

22 1 12 2 2 2

a b c n an bn c n n+ + − − − − − =

10 0

2 2 2 2 2 2

a b c a b a= , + = , − + =

( )1 2 2 3nu n n∗ = − +

( )2

2n n

nu∗ = µµ

1 1

2 2 2n n n

n n −µ −µ =µµ

( )2

2n n

nu∗ =

( ) ( )1 2 2 2 32n n n n

nu u u n n∗ ∗∗ = + = − + +

212 3

2 2

n

n n

nu n n

= λ + − + + ( )λ

0 1 3u = = λ +λ 2λ = −λ

222 3

2n n

nu n n

−= + − +




S O L U T I O N S

Cette suite est divergente puisque quand .

Déterminer les suites solutions des équations de récurrence suivantes puis étudier leur convergence :

Réponses :

29. Le changement conduit à l’équation :

La solution de l’équation homogène est . On cherche ensuite unesolution particulière constante :

D’où :

avec , soit :

La suite est à termes positifs, donc . On obtient :

Cette suite est convergente si , avec . Elle est station-

naire pour et divergente pour .

Déterminer la suite solution de l’équation de récurrence :

Réponse : .

nu → +∞ n→∞

1 0 1 0

2ea) 3 3 0 b) 2 e 0

2e 1n n

n n n nu u u u u u−− −− = , = ; + + = , =

+

1 0c) 2 1 2 0nn nu u u−− + = , = .

( )( )

1 11 e

a) 3 3 b) 2 ná pas de limite8 1 2ec) 1 2 1

nnn n

n n

nn

u uu n

−+ − +

= − → +∞; = − − +

= − + → +∞.

n’a pas de limite ;)(

lnn nw u=

12 ln3n nw w −= +

2nnv = λ λ

n

u a∗ =

2 ln3 a a− =

2 ln3nnw = λ −λ

0 ln3w = λ −λ

( )( )

2

00 0

3

ln3 2 ln3 2 ln3 ln3 ln 3

n

n nn

u

w w u= + − = − =

0 0u >

( )2

0

13

3

n

nu u=

00 3 1u< < 0nu →

0 13

u = 0 13

u >

31 0 1n

n nu e u u+ = , =e

( )3 1 1

ln exp 3 2 1

4 2 4 4

nn

n n n

nw u u n= = − − , = − −

Vous avez compris ?

Vous avez compris ?



248 TD Analyse

30. a) L’équation sans second membre a pour solution :

Pour déterminer une solution particulière, il faut distinguer deux cas, sui-vant qu’il y a résonance ou non.

Pour c’est-à-dire , on cherche une solution particulière

semblable au second membre, soit :

On doit avoir :

soit :


La solution générale s’écrit :

Cette suite est convergente pour et et a pour limite 0.

Pour , il y a résonance et on cherche une solution particulière de laforme :

On doit avoir :

Soit :

1

n

n

av

a

= λ

−( )λ

1

1 2

a

a≠ − ,

−

1

3 a ≠

1

2

n

nu∗

= µ −

( )µ

11 1 1

2 1 2 2

n n n a

a

+

µ − − µ − = − − ( ) )(( ) µµ

1

12 1

a

a

µ + = − −( )µ

2 2 1

1 3 2

n

n

au

a∗ − = −

− ( )

2 2 1

1 1 3 2

n n

n n n

a au v u a a

∗ − = + = λ + − − −( ) ( )λ

1

3 a <

1 1

3 2 a< <

1

3 a =

1

2

n

nu n∗ = µ − ( )µ

( )1

1 1 11

2 2 2 2

n n nn

n+

µ µ + − + − = − ( ))( ( )µµ

12

µ− =µ




S O L U T I O N S

et :

La solution générale est alors :

Cette suite converge vers 0.

b) L’équation sans second membre a pour solution :

Pour déterminer une solution particulière, il faut distinguer deux cas, sui-vant qu’il y a résonance ou non.

Pour , c’est-à-dire et , on cherche une solutionparticulière semblable au second membre, soit :

On doit avoir :

D’où :

La solution générale est alors :

Cette suite est divergente.

Pour , c’est-à-dire ou , on cherche une solutionparticulière de la forme :

Soit :

et :

12

2

n

nu n∗ = − −

( )

( )0

1 1 12 2

2 2 2

n n n

nu n u n

= λ − − − = − − ( ))( )(λ

( )1n

nv a a= λ − [ ]λ

( )1 2 a a − ≠ 1 a ≠ − 2 a ≠

2n

nu∗

= µµ

( )12 1 2 2n n n a a+µ − − µ =µµ

( )

12

2 1n

nu a a

∗ =− −

( )( )

21

2 1

nn

nu a a a a

= λ − + − −

][λ

( )1 2 a a − = 1 a = − 2 a =

2nnu n∗ = µµ

( ) 1 11 2 2 2n n nn n+ +µ + −µ =µµ

12nnu n∗ −=



250 TD Analyse

La solution générale est :

Elle est divergente.

31. a) L’équation homogène associée est :

L’équation caractéristique est :

La solution générale de l’équation homogène est donc :

Le second membre est une constante et toute suite constante est solutionde l’équation homogène. On cherche donc une solution particulière qui soit soitun polynôme de degré 1, de la forme . On remplace dans l’équation :

D’ où et la solution générale de l’équation complète :

Les conditions initiales imposent :

+ 2soit et :

b) L’équation homogène associée est :

Avec pour équation caractéristique :

Les racines sont les complexes conjugués :

( )1 102 2 2 2n n n

nu n u n− −= λ + = +λ

1 22 3 0n n nv v v− −− + =

( ) ( )22 3 1 1 2 1 0r r r r − + = − − =

2n nv

µ= λ +λ

µ

nu n∗ = αα

( ) ( )2 3 1 2 2n n nα − α − +α − =ααα

2nu n∗ =

22n n n n

u v u n∗ µ= + = λ + +λ

µ

0 13 et 3u u= = λ + µ = = λ +λ λ µ

µ

2---

1λ = −λ 4µ =µ

2

12 1

2n nu n

−= + −

1 22 2 0n n nv v v− −− + =

2 2 2 0r r − + =

4 41 2 11 2e et 1 2ei ir i r ir

π/ − π/= + = = = − =r 1




S O L U T I O N S

La solution réelle de l’équation homogène est alors :

On cherche une solution particulière constante, comme le secondmembre, :

La solution de l’équation complète est donc :

Les constantes λ et µ sont déterminées par les conditions initiales :

D’où la solution :

c) L’équation homogène associée est :

Son équation caractéristique est :

La solution de l’équation homogène est alors :

Le second membre est un polynôme de degré 1, donc on cherche une solu-tion particulière de la même forme, :

D’où, par identification :

La solution de l’équation complète est donc :

On utilise les conditions initiales :

2 cos sin

4 4

n

n

n nv

π π = λ + µ

( )( ) λ µ

π π

nu a∗ =

2 2 1 a a a− + =

22 cos sin 14 4

n

n

n nu / π π = λ + µ +

( )λ µ

π π

0 12 1 et 3 1u u= = λ + = = λ + µ +λ λ µ

22 cos sin 1

4 4

nn

n nu / π π = + + ( )π π

1 25 6 0n n nv v v− −− + =

( )( )2 5 6 2 3 0r r r r − + = − − =

2 3n nnv = λ + µµλ

nu an b∗ = +

( ) ( )5 1 5 6 2 6 2 1 an b a n b a n b n+ − − − + − + = +

2 2 et 2 7 1 a b a= − =

2 3 4n nnu n= λ + µ + +λ µ

0 11 4 et 4 2 3 1 4u u= = λ + µ + = = λ + µ + +λ µ λ µ



252 TD Analyse


d) L’équation homogène associée est :


La solution de l’équation homogène est alors :

Le second membre est un polynôme de degré 1, mais 1 est racine del’équation caractéristique. On cherche donc une solution particulière qui soitun polynôme de degré 2, de la forme :

Par identification on obtient :


La solution de l’équation complète est :



e) L’équation homogène associée est :


La racine est double, donc la solution de l’équation homogène est :

35 3 2 4n nnu n+= × − + +

2 13 2 0n n nv v v+ +− + =

( )( )2 3 2 1 2 0r r r r − + = − − =

2nnv = λ + µλ µ

2nu an bn∗ = +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 3 1 3 1 2 2 2 1 a n b n a n b n an bn n+ + + − + − + + + = +

4 6 3 2 2 et 4 2 3 3 1 a b a b b a b a b+ − − + = + − − =

2 2nu n n∗ = − −

22 2nnu n n= λ + µ − −λ µ

0 10 et 1 2 3u u= = λ + µ = = λ + µ −λ λ µ µ

2 22 2 4nnu n n+= − − −

1 24 4 0n n nv v v− −− + =

( )22 4 4 2 0r r r − + = − =

2r =

( )2nnv n= λ + µλ µ




S O L U T I O N S

Le second membre est un polynôme de degré 2, donc on cherche une solu-tion particulière de la même forme, :

Par identification on obtient :


La solution de l’équation complète est :



f) On retrouve l’équation homogène de la question c), de solution :

Il y a résonance, donc on cherche une solution particulière de la forme, avec :

On obtient La solution de l’équation complète est :


La solution qui vérifie ces conditions est :

g) On retrouve l’équation homogène de la question e), de solution :

2nu an bn c ∗ = + +

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

4 1 4 1 4 4 2 4 2 4 1 an bn c a n b n c a n b n c n n+ + − − − − − + − + − + = + +

1 8 4 16 4 1 4 4 4 16 8 4 1 a b a b a b c a b c a b c = , + − − + = , − + − + − + =

2 9 25nu n n∗ = + +

( ) 22 9 25nnu n n n= λ + µ + + +λ µ

0 125 25 et 31 2 2 35u u= = λ + = = λ + µ +λ λ µ

1 22 9 25nnu n n n+= − + + +

2 3n nnv = λ + µλ µ

2nnu n∗ = µµ

( ) ( )1 22 5 1 2 6 2 2 2n n n nn n n− −µ − µ − + µ − =µ µ µ

12nnu n∗ += − .

12 3 2n n nnu n += λ + µ −λ µ

0 10 et 1 2 3 4u u= = λ + µ = = λ + µ −µµλ λ

15 3 2 2n n nnu n + = − −( )

( )2nnv n= λ + µλ µ



254 TD Analyse

Il y a résonance, et comme 2 est racine double de l’équation caractéris-tique, on cherche une solution particulière de la forme , avec :

On obtient La solution de l’équation complète est :



h) L’équation homogène associée est :



La solution réelle de l’équation homogène est alors :

Il y a résonance, donc pour déterminer une solution particulière de l’équa-tion complète, il faut considérer l’équation sur le corps des complexes :

Le second membre de l’équation dans étant la partie réelle du second

membre de cette équation dansC, la solution particulière sera obtenue commepartie réelle de la solution particulière de la forme . La cons-tante α doit vérifier :

On a donc la condition :

22nnu n∗ = αα

( ) ( )2 22 1 2

2 4 1 2 4 2 2 2n n n n

n n n− −

α − α − + α − =ααα2 12n

nu n∗ −= .

( ) 2 12 2n nnu n n −= λ + µ +λ µ

0 10 et 3 2 2 1u u= = λ = = λ + µ +λ λ µ

( ) 12 2nnu n n −= +

1 22 3 4 0n n nv v v− −− + =

2 2 3 4 0r r − + =

61 2 1

32 2e et

2 2ii

r r r π/

= + = = = r 1( ) 3

22 2

i + – ( ) 62e i− π/=

2 cos sin6 6

nn n nv π π = λ + µ ( )µλ π π

61 22 3 4 2 en in

n n nu u u π/− −− + =

62 en innu n∗ π/= αα

( ) ( ) ( ) ( )1 6 2 66 1 2 62 e 2 3 1 2 e 4 2 2 e 2 ei n i nn in n n n inn n n− π/ − π/π/ − − π/α − α − + α − =ααα

6 33e 2 ei iπ/ π/α − α =αα




S O L U T I O N S

Cette condition est équivalente à :

La solution particulière complexe est donc et sa partieréelle est . La solution de l’équation complète dans est :



Déterminer les suites solutions des équations de récurrence suivantes.

Réponses : a) ; b) ; c) ;

d) .

32. a) L’équation caractéristique est :


La solution générale réelle de cette équation est donc :

2 3 3e ei iπ/ π/α =α

( )2 62 ei nnnu n − π/∗ =( )2 cos 2

6nn n

π−

π

( )2 cos sin 2 cos 26 6 6

n nn

n nu n n

π π π = λ + µ + − )( µλ

ππ π

0 10 et 2 3 3 3u u= = λ = + = λ + µ +λ λ µ

( )12 sin 2 cos 26 6

n nn

nu n n+ π π= + −

π π

1 2 0 1a) 9 20 5 1 29nn n nu u u u u− −− + = , = , = ;

2 1 0 1b) 4 3 4 2 4 8n n nu u u n u u+ +− + = − − , = , = ;

2 1 0 1

1c) 2 3 1 2 3

2n n n nu u u u u+ +− + = − + , = , = ;

2 1 0 1

5 25 7 16 14d) 19

2 4 2 3 3n n n nu u u u u+ +− + = + , = , = ;

14 5n nnu n += + 23 3n

nu n n= + + +1

1

2n n

nu

−

+=

4 14

3 2n nu = + ×

2 23 0r a r a− + =

6 61 2 1e ei ir a r ar

π/ − π/= = =r 1

cos sin6 6

n

n

n nu a

π π = λ + µ ( )λ

π πµ

Vous avez compris ?



256 TD Analyse

En utilisant les conditions initiales, on obtient :

La solution est donc :

La suite ( ) converge vers 0 si et diverge sinon.

b) L’équation homogène associée admet pour équationcaractéristique , de solutions et . Les solutions

réelles de l’équation homogène sont donc :

On cherche une solution particulière de la même forme que le secondmembre, soit :

On obtient :

Les solutions générales de l’équation complète sont donc de la forme :

En utilisant les conditions initiales :

La solution est donc :

La suite ( ) est toujours divergente.

c) L’équation homogène associée est :

3

0 31 et 0u u a= = λ = = µλ µ

cos6

n

n

nu a

π=

π

nu 1 a| |<2

2 0n nv a v+ + =2 2 0r a+ = 1r ai= 2 1r air = = −r 1

cos sin2 2

n

n

n nv a

π π = λ + µ ( )λ µ

π π

( )1n

nu∗ = α −α

( ) ( ) ( )

2 2

1 1 1

n n n

a

+

α − + α − = −α α

( )2

1

1

n

nu a

∗ −=

+

( )21cos sin2 2 1

n

nn n nu a

a−π π = λ + µ + +( )λ µπ π

2

0 12 2 2 2

1 1 1et

1 1 1 1

au u a

a a a a= = λ + = = µ −

+ + + +λ µ

( )1

2

1sin

2 1

nn

n

nu a

a

− −π= +

+

π

nu

( ) ( )2 11 1 2 0n n nv a v a a v+ +− − + − =




S O L U T I O N S

Son équation caractéristique s’écrit :

Il y a deux racines réelles distinctes et si , d’où lasolution générale de l’équation homogène :

Le second membre est de la forme exponentielle et pour qu’il n’y ait pas

résonance il faut que ne soit pas racine de l’équation caractéristique.

Si , on cherche une solution particulière de la forme , avec :

On obtient donc comme solution particulière :

Les solutions de l’équation complète sont de la forme :

La suite ( ) converge vers 0 pour et , converge versµ pour et diverge dans les autres cas.

Si , il y a résonance et est racine double, donc la solution générale

de l’équation homogène est :

On cherche une solution particulière de la forme , avec :

D’où Les solutions de l’équation complète sont de la forme :

La suite ( ) converge vers 0.

( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 0r a r a a r a r a− − + − = − − + =

1r a= 2 1 2r a= − 13

a ≠

( )1 2nn

nv a a= λ + µ −λ µ

1

313

a ≠3n n

u∗ α= α

( ) ( )2 1 2

11 1 2

3 3 3 3n n n n a a a

+ + +

α α α− − + − =

αα α

( )2

1

2 3 1 3n n

u

a

∗ = −

−

( )( )

2

11 2

2 3 1 3

nnn n

u a a a

= λ + µ − −−

λ µ

nu1

03

a< <1

13

a< <0 a =

13

a = 13

3n n

nv

λ + µ=λ µ

2

3n n

nu∗

α=α

( ) ( )2 2 2

2 2 2 22 2 1 1

3 3 3 3n n n nn n n

+ + + +α + α + α− + =αα α

1

2α = .α

2 2

3n n

n nu

λ + µ + /=λ µ

nu



258 TD Analyse

d) L’équation homogène associée est :

L’équation caractéristique s’écrit :

Il y a deux racines réelles distinctes et , d’où la solutiongénérale de l’équation homogène :

Le second membre est la somme de deux termes. On cherche d’abord unesolution particulière constante pour l’équation :

On doit avoir :

Soit :

pour .

Si , 1 est racine de l’équation caractéristique, donc on cherche une

solution particulière pour l’équation :

La solution particulière est alors .

On cherche maintenant une solution particulière de la forme

pour l’équation :

On doit avoir :

22 13 2 0n n nv av a v+ +− + =

( )( )2 23 2 2 0r ar a r a r a− + = − − =

1r a= 2 2r a=

( )2nn

nv a a= λ + µλ µ

nu∗ = αα

22 13 2 1n n nu au a u+ +− + =

23 2 0 a aα − α + α =α αα

( )

( )( )1 1

1 2 1nu a a

∗ =− −

1

2 a ≠

1

2 a =

nu n

∗

= αα

2 1

3 11

2 2n n nu u u+ +− + =

( )1 2nu n∗ =

1

2

n

nu∗

= α −

( )α

22 1

13 2

2

n

n n nu au a u+ +

− + = − ( )

2 1

21 1 1 13 2

2 2 2 2

n n n n

a a+ +

α − − α − + α − = − ( ) ( ) )(() αα α




S O L U T I O N S

La solution particulière est :

Si , la solution générale de l’équation complète est de la forme:

Si :

La suite ( ) converge vers pour et diverge dansles autres cas.

Déterminer, en fonction du paramètre réel a, les suites solutions des équations de

récurrence suivantes, puis étudier leur convergence.

a) b)

Réponses :

a) Si :

Si :

La suite ( ) converge vers 0 pour , vers pour et et diverge dans tous les autres cas.

b) Si :

Si :

La suite ( ) est divergente.

( ) ( )

( )( )

2

2

1

4 1 2 1 2

n

n nu

a a

∗

−

−=

+ +1

2 a ≠

( )( )( )

( )

( )( ) 2

112

1 2 1 4 1 2 1 2

nnn

n nu a a

a a a a −

−= λ + µ + +

− − + +λ µ

1

2 a =

( )1

122 3 2

n

n n nu n

−−λ = + µ + +×

λ µ

nu( )( )

1

1 2 1 a a− −

10

2 a< <

( )2 1

11

2n n n nu u a a u+ +− − − = ( )2 1 1 2n n nu au a u+ +− + − =

1

2 a ≠

( ) ( )2 2

11 2 1 2

nnn nu a a a −= λ + µ − − −λ µ

1

2 a =

22

2n n

n nu

λ + µ +=λ µ

nu 0 1 a< < 0 4u + 0 a = 1 a =

2 a ≠

( )2

12

n

n

nu a

a= λ − + µ +

−λ µ

2 a =2

nu n n= + λ + µλ µ

nu

Vous avez compris ?



260 TD Analyse

33. a) L’équation homogène associée s’écrit :

La recherche de solutions de la forme conduit à résoudre l’équa-tion caractéristique :

Les racines sont et qui est racine double. Les solutions del’équation homogène sont donc de la forme :

Le second membre est une constante, mais comme les constantes sontsolutions de l’équation homogène, on doit chercher une solution particulièrede la forme , avec :

On obtient et la solution générale de l’équation complète est :

Les conditions initiales vont permettre de déterminer les trois constantes :

Ces conditions sont équivalentes à :

La solution est , d’où :

b) L’équation caractéristique associée à cette équation homogène s’écrit :

La solution générale est donc de la forme :

Avec les conditions initiales :

On obtient comme solution :

3 2 15 8 4 0n n n nv v v v+ + +− + − =

nnv r =

3 25 8 4 0r r r − + − =

1 1r = 2 2r =

2 2n nnv n= λ + µ + νλ µ ν

nu n∗ = αα

( ) ( ) ( )3 5 2 8 1 4 1n n n nα + − α + + α + − α =ααα α

1α =α

2 2n nn n nu v u n n∗= + = λ + µ + ν +λ µ ν

0 1 22 5 2 2 1 12 4 8 2u u u= = λ + µ = = λ + µ + ν+ = = λ + µ + ν+λ λ λ µ µ ν µ ν

2 2 2 3 3λ + µ = µ + ν = µ + ν =λ µ µ ν µ ν

1 0 2 ν = ,µ = ,λ =λ µ ν

( )2 2 1nnu n= + +

( )33 23 3 1 1 0r r r r − + − = − =

2nu n n= λ + µ + νλ µ ν

0 1 21 1 9 4 2u u u= = ν = = λ + µ + ν = = λ + µ + νλ λ µ ν ν νµ

( )224 4 1 2 1nu n n n= − + = −




S O L U T I O N S

Déterminer la suite solution de l’équation de récurrence suivante :

Réponse :

34. a) On écrit le système sous forme matricielle :

La solution de ce système est :

Pour obtenir , nous allons essayer de diagonaliser la matrice M. Lepolynôme caractéristique de cette matrice est :

Les deux racines sont simples, donc M est diagonalisable. Les coordonnéesd’un vecteur propre associé à doivent vérifier:

On peut donc retenir le vecteur propre de coordonnées 1 et –1.

Les coordonnées d’un vecteur propre associé à doivent vérifier :

On peut donc retenir le vecteur propre de coordonnées 1 et 1. Ces deuxvecteurs forment les colonnes de la matrice de passage à la base de vecteurs pro-pres :

L’inverse de cette matrice est :

On peut alors écrire la solution du système :

3 2 1 0 1 26 11 6 0 2 4 10n n n nu u u u u u u+ + +− + − = , = , = , =

3 1nnu = +

1

11

2 3

3 2n n

n nn n

u uX MX

v v

+

+

+

= = = ( () ))(

0n

nX M X=

nM

( ) ( )( )2 3

det 1 53 2

M I− λ

− λ = = λ + λ −− λ

λ λ

λ λ λ

1λ = −λ

3 3 0 x y+ =

5λ =λ

3 3 0 x y− + =

1 1

1 1 P

= − ( )

1 1 11

1 12 P−

− = ( )

( ) ( )

( ) ( )

11

0 0 1

21 5 51 1

02 5 51 1

n nn nn n

n n nn nX M X PD P X

+ −

+

− + + −= = = + +− −( ) ( )

Vous avez compris ?



262 TD Analyse

Soit :

b) On écrit le système sous forme matricielle :



La valeur propre est double et le sous-espace propre associé estdéfini par . Il est de dimension 1, donc M n’est pas diagonalisable.D’après le théorème de Cayley-Hamilton (voir TD Algèbre, chapitre 6), la

matriceM

vérifie :

Par ailleurs, puisque n’est pas la matrice nulle, l’équation typiqueest :

La matrice est donc solution de l’équation de récurrence :

L’équation caractéristique associée à cette équation de récurrence est. La solution générale est donc de la forme :

Les matrices A et B sont déterminées par les conditions initiales :

Par conséquent :

Cela permet d’exprimer la solution du système :

( ) ( )1

1 5 1 5n nn n

n nu v+

= − + = − +

1

11

5 2

2 1n n

n nn n

u uX MX

v v

+

+

+

= = = − ( ( ))( )

11

nnX M X−=

nM

( ) ( )25 2

det 32 1

M I− λ

− λ = = λ −− − λ

λ λ

λ λ

3λ =λ

0 x y+ =

( )2

3 0M I− =

3M I−

( )2 23 6 9 0M I M M I− = − + =

nM2 1

6 9 0

n n n

M M M

+ +

− + =

( )2

3 0r − =

3n nM A nB= +

( )0 et 3M I A M A B= = = +

( ) 12 3 2

3 3 32 3 23

n n nn nn

M I M In n

−+

= + − = − − ( )[ ]

22 1 2 2 5

32 2 5 2 2

n n

n

u n n

v n n

−

+ − = − + − − ( () )( )




S O L U T I O N S

Soit :

c) On écrit le système sous forme matricielle :



Les vecteurs propres associés à doivent vérifier :

Ce sytème est équivalent à , donc on peut prendre comme vec-teur propre .

Les vecteurs propres associés à la valeur propre double doiventvérifier . C’est un sous-espace propre de dimension 2, donc lamatrice M est diagonalisable. On peut retenir comme vecteurs propres

et . Ces trois vecteurs propres forment les colonnes de lamatrice de passage à la base de vecteurs propres :

( ) 1 12 3 3 et 2 3n nn nu n v n− −= + = − ×

1

1 1

1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

n n

n nn n

n n

u u

X v v MX

w w

+

+ +

+

= = = () ) (( )

0n

nX M X=

nM

( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )2

1 1 2 1 1

det 1 1 2 1

1 1 2 1

1 1 1 0 1 1

2 1 1 2 0 1

1 1 1 1

1 12 1 2 1

1

M I

−λ −λ +

− λ = −λ = −λ + −λ

−λ −λ + −λ

= −λ −λ = −λ −λ

−λ + λ −λ

= − λ + λ = − λ + λ −λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ

λ

λ

2λ =λ

2 02 0

2 0

x y z x y z

x y z

− + + = − + =

+ − = x y z= =

( )1 1 1, ,

1λ = −λ

0 x y z+ + =

( )1 0 1, ,− ( )0 1 1, ,−

1 1 0

1 0 1

1 1 1

P

=

− − ( )



264 TD Analyse

L’inverse de cette matrice est :

On peut alors écrire la solution du système :

Soit :

Résoudre le sytème d’équations de récurrence suivant :

.

Réponse :

1

1 1 11

2 1 131 2 1

P−

= − − − − ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

10 0

1 1

1 1

1 1

2 2 1 2 1 2 1 11

2 1 2 2 1 2 1 0312 1 2 1 2 2 1

n nn

n n nn n n

n n nn n n

n n nn n n

X M X PD P X−

+ +

+ +

+ +

= =

+ − + − + −

= + − + − + − − + − + − + − ( )( )

( ) ( )1

1 0 1n n

n n nu v w+

= − , = , = −

1 1

1 1 1

1 1 1

2 3

2 2 9 11

2 2 3 5

n n n

n n n n

n n n n

u v w

v u v w

w u v w

− −

− − −

− − −

= − +

= − + +

= − −2un = –2un–1 + –vn–1 + 3wn–1

2vn = –2un–1 + 9vn–1 + 11wn–1

2wn= –2un–1 – 3vn–1 – 5wn–1

0 0 04 3 1u v w= , = − , =

( )

11 1 0 0

0 1 31

2 9 112

2 3 5

1 0 02 1 1 2 2 411 1 3 0 2 0 2 1 5

61 1 1 0 0 3 0 3 3

n nn n n

n

n

X X MX M X PD P X−− −

−

= − = = =

− −

−

= − − − − −

− −

( )

( ) ( ) )(( ) ( ) ( )12 2 3 1 2 3 1 2 3

n n nn n nn n nu v w+= + − + = − + − − = − − +

Vous avez compris ?



8Annales corrigéesLicence économie

et gestion, Paris II,1ère année

Janvier 2008


a) Donner un développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0 eten déduire et .

b) Montrer que f est convexe sur et déterminer ses extremums surcet intervalle.


a) Déterminer le domaine de définition de f .

b) Rechercher les extremums de f pour .

c) Rechercher les extremums de f dans le cas où x et y sont liées par la con-trainte .

Septembre 2007

1. Calculer les intégrales suivantes :

a)

on fera le changement de variable .

( ) 2 1e 3

1

x f x x

x

= + −−

( )0 f ′ ( )0 f ′′

] [1 1− ,

( ) ( )2

ln 1 f x y x xy, = + +

1 1

3 3 y

∈ − , []

2 0 x y− =

1

20 1 3e 2e x x

dxI =

+ +0

1

∫ln x t =



266 TD Finance d’entreprise

b)

on pourra calculer et .


Donner un développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0 et en

déduire un prolongement par continuité de pour . Montrer que f admet un maximum local en .

3. Rechercher les extremums de la fonction f définie par :

La fonction f est-elle convexe ?

4. On considère la fonction f définie par . Mon-

trer qu’il existe une application ϕ de dans telle que ,

avec . Déterminer puis calculer et montrer que ϕ

admet un maximum local à l’origine.

5. Rechercher les extremums de la fonction f définie pardans le cas où x et y sont liées par la contrainte

.

Mai 2007

1. Déterminer les limite suivantes :

a)

b)

2. Étudier la convergence de la suite de nombres réels définis par la relationde récurrence :

où a est un nombre réel strictement positif. Déterminer sa limite.

4 4

0 0

sin coset

sin cos sin cos

x x J dx K dx

x x x x

π/ π/

= =+ +

0

π 4 ⁄

∫ 0

π 4 ⁄

∫ J K + J K −

( )( ) ( )

2

2 ln 1

1

x x f x

x x

+ +=

+ )(

( ) f x 0 x =0 x =

( ) 4 22 12 f x y x y xy, = + −

( ) 3 3 2 2 f x y x y x y, = − + + +

] [ a b, ( ) 0 f x x,ϕ = [ ]ϕ

( )0 0ϕ =ϕ ( ) xϕ′ϕ ( )0ϕ′′ϕ

( ) 2 f x y x y, = +5 0 x y+ − =

( )( )

( )

ln cos0

1 1 exp sin

x x f x x

x x x= →

+ + −

( )( )1 12 1

e ex x

g x x x / +/

= − → +∞( )

1 0

1avec

2n n

n

au u u a

u+

= + > ( )



TD Sujets d’annales 267

A N N A L E S

3. On considère la fonction f définie par . Détermineret en déduire :

Janvier 2007


Donner un développement limité à l’ordre 1 de f au voisinage de 0 et endéduire un prolongement par continuité de pour . Montrer que f

est alors dérivable en et déterminer .


a) Déterminer l’élasticité de f par rapport à x et en déduire une approximationde l’accroissement relatif de f au voisinage de (1,1) quand x croît de 10%.

b) Montrer que f est homogène.

3. Rechercher les extremums de la fonction f définie paret montrer que f est concave. Même question dans le cas

où x et y sont liées par la contrainte .

Septembre 2006


2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f définie par :

Déterminer le maximum de f sur et sur .


( ) e sin x f x x−=( )( 4) f x′

( )0I f x dxπ

= ∫

( )( )

2

ln 1

1 1

x x f x

x

+ −=

+ −

( ) f x 0 x =0 x = ( )0 f ′

( )2 3

y f x y

x

/

, =

( ) ln ln f x y x y, = +2 1 0 x y+ / − =

( )1 3 42

20 2 1

ln 1eln et

1 e

x

x

xdxI J x dx K dx

x

+= = =

+ ∫

0

1

∫ 1

4

∫)(

( ) ( )3 2ln 3 4 f x x x x= − −

] [1 0− , [ ]5 6,

( ) ( )1 2 1 4100 10 20 10 f x y x y x y/ /, = − − −




4. Rechercher les extremums de la fonction f définie pardans le cas où x et y sont liées par la con-

trainte .

5. Déterminer la suite solution de l’équation de récurrence suivante :

avec et .

Mai 2006

1. Étudier la convergence de l’intégrale suivante :


a) b)

c)

Janvier 2006

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction f définie par :

Déterminer le maximum de f sur et sur .


3. Rechercher les extremums de la fonction f définie pardans le cas où x et y sont liées par la contrainte

.

Septembre 2005

1. Étudier la convergence de l’intégrale suivante puis calculer sa valeur :

( ) 2 24 3 6 1 f x y x xy y x, = − + − − +0 x y+ =

2 15 6 0n n nu u u+ +− + =

0 1u = 1 2u =

40 3

xdxI

x x

+∞

=+ +0

∞+

2

21

5

1

xdxI

x=

+1

2

∫ ( )1

2

01 e x J x x dx= + + 0

1

∫

( )

22

21

1

1

x x K dx

x x

+ −=

+1

2

∫

( )( )

3 2exp 3 9 10 f x x x x= − − +

[ ]2 2− , [ ]0 4,

( ) ( )1 4 1 2100 10 10 20 f x y x y x y/ /, = − − −

( ) 2 23 6 1 f x y x y x, = − − + +

5 0 x y− + =

2 1

dxI

x x

+∞

=−2

∞+

∫




A N N A L E S

2. a) Déterminer la limite suivante :

b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de g au voisinage de 0 :

c) On considère la fonction h telle que :

Déterminer l’équation de l’asymptote au graphe de h et préciser sa position parrapport à ce graphe.

3. a) Étudier la convergence de la suite de nombres réels définis par la rela-tion de récurrence :

Déterminer sa limite.

b) Montrer que la suite est une suite arithmétique dont ondonnera l’expression en fonction de n. En déduire en fonction de n.

4. On considère la fonction f définie par .

a) Déterminer la différentielle df .

b) Donner un développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage du

point (–2,1).c) Déterminer l’élasticité de f par rapport à x puis par rapport à y.

5. Rechercher les extremums de la fonction f définie par. Même question dans le cas où x et y sont liées par

la contrainte .


avec et .

Mai 2005

1. Étudier la convergence de l’intégrale suivante puis calculer sa valeur :

( )( ) ( )ln 1 ln 1 2

0sin

x x x f x x

x x

+ − − −= →

−

( ) 21 2 g x x x= + −

( ) ( )2 2ln 1h x x x

x

= − + ( )

1 0

96 avec 7n

n

u uu

+ = − =

( )1 3n n a u= / −

nu

( ) 3 2e y f x y x, =

( ) 3 3 9 36 f x y x y xy, = + + −0 x y− =

2 15 6 6 5n

n n nu u u+ +− + = − ×

0 4u = 1 7u =

( )21

5 3

1

xI dx

x x

+∞ − −=

+1

∞+

∫




2. Calculer l’intégrale :


avec et .

Janvier 2005

1. a) Déterminer la limite suivante :

b) On considère la fonction g telle que :

Déterminer l’équation de la tangente au graphe de g en x = 0 et préciser saposition par rapport à ce graphe.

2. a) Déterminer la différentielle df de la fonction f définie par.

b) Donner un développement limité à l’ordre deux de f au voisinage dupoint (1,0).

3. Rechercher les extremums de la fonction f définie par

. Même question dans le cas où x et y sont liées parla contrainte .


Montrer que f est homogène et vérifie le théorème d’Euler.

e3

1lnI x xdx=

1

e

∫

2 16 9 20 48n n n

u u u n+ +− + = − +

0 15u = 1 20u =

( )( )sin ln 1

01 1

x f x x

x

+ = →

+ −

][

( ) ( )sin ln 1 cos g x x x= + − [ ]

( ) ( )2 2ln f x y x y x y, = + −

( )4 2 2

2 f x y x x xy y, = − + +2 0 x y+ =

( ) 2e y x f x y x /, =




A N N A L E S

Janvier 2008

1. a) On écrit les développements limités :

On en déduit :

avec , qui tendent vers 0 avec x. Ainsi et

.

b) On obtient :

Comme sur , on en conclut que f est convexe sur cet inter-valle. Comme la dérivée est nulle pour on en déduit que, sur cet inter-valle, f admet un minimum global en ce point.

2. a) La fonction f est définie pour , soit pour

et ou et . Il faut donc étudier le graphe de

. On a , d’où le tableau de variation :

Ainsi, f est définie pour les points qui sont situés à l’extérieur du graphe, c’est-à-dire en-dessous pour et au-dessus pour .

x –1 0 1

– 0 + + 0 –

2 –2

( )

( )

2 2 21

2 2 2

e 1 2 2

111

x x x x x

x x x x x

= + + + ε

= + + + ε−

( ) ( )2 232 3 f x x x x= + + ε

( ) 1 3i x iε , ≤ ≤ ( )0 0 f =′

( )0 6 f =′′

( )( )

( )( )

22

23

12e 3

1

24e

1

x

x

f x x

f x x

= + −′−

= +′′−

( ) 0 f x >′′ ] [1 1− ,0 x =

21 0 x xy+ + > ( )1 y x x> − + /

0 x > ( )1 y x x< − + / 0 x <

( ) ( )1h x x x= − + / ( )2

2

1 xh x

x

−=′

−∞ +∞

( ) x′ ||

( )h x +∞ +∞ || −∞ −∞

0 x < 0 x >




b) On écrit les conditions nécessaires du premier ordre :

On obtient un seul point stationnaire (0,0). Les dérivées partielles secondessont :

On étudie les conditions du second ordre :

Il y a donc un col au point (0,0).

c) On forme le lagrangien :


On obtient deux points stationnaires (0,0) et . Si on se restreint à

, seule l’origine convient. On calcule alors les dérivées secondes du

lagrangien et les dérivées premières de la fonction g qui définit la contrainte :

2

2

20

1

01

x

y

x y f

x xy x

f x xy

+= =′

+ + = =′

+ +

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 1

1 1 1 xy

x y

x xy y x x f f f

x xy x xy x xy

+ + − −= − = − =′′ ′′ ′′

+ + + + + +

( )0 0 1 0∆ , = − <

( ) ( ) ( )2 2ln 1 L x y x xy x y, ,λ = + + + λ −λ λ

2

2

22 0

1

0

1

L x y x

x x xy

L x

y x xy

∂ += + λ =

∂ + +

∂= − λ =

∂ + +

λ

λ

2 4

3 9

− , ( )

1 1

3 3 y

∈ − , ] [

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

2 22 2

2

22

2 2 2 21 1

12 1

1

x y

xy yx x y

x xy y x L L x xy x xy

x L L g x g

x xy

+ + −= − + λ = −′′ ′′+ + + +

−= = = = −′′ ′′ ′ ′

+ +




A N N A L E S

Les valeurs au point (0,0) sont , et ce qui permetde calculer le déterminant :

donc il y a un minimum à l’origine.

Il aurait été ici plus simple de remplacer puis d’étudier la fonctiond’une seule variable :

L’étude de variation de montre que F est définie pour

, avec tel que . On obtient comme dérivée

d’où le tableau de variation ci-après :

Ainsi, F admet un maximum local en (point qui était exclu des condi-

tions précédentes) et un minimum local à l’origine. On peut noter que le pro-blème de maximisation de F est équivalent à celui de la maximisation de G

puisque la fonction logarithme est strictement croissante sur son domaine dedéfinition.

Septembre 2007

1. a) Après le changement de variable , on obtient :

x α –2/3 0

+ 0 – 0 +

2 2 x

L =′′ 2 0 y

L =′′ 1 xy yx

L L= =′′ ′′

( )3

2 1 00 0 1 0 1 2 0

0 1 0

∆ , = − = − <

−

2 y x=

( ) 2 2 3ln 1F x f x x x x = , = + +)( ( )

( ) 2 31G x x x= + +

x > αα3

12

α ∈ − ,− []α ( ) 0G α =α

( )( )

2 3

2 3

1

x xF x

x x

+=′

+ +

+∞

( )F x′

( )F x −∞ ( )ln 31 27/ 0 +∞

2 3− /

ln x t =

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

e e e e

1 1 1 1

e

2 2

1

41 2 1 1 2 1

1 9e e 1ln ln

2 1 2 2e 1

dt dt dt dt I

t t t t t t

t t

t

= = + −+ + + +

+ += =

+ + ][1

e

∫ 1

e

∫ 1

e

∫ 1

e

∫




b) On obtient et :

On en déduit et .

2. La fonction f n’est pas définie pour Nous allons déterminer au préa-lable un développement limité du logarithme :

Le développement de au voisinage de 0 s’écrit :

avec , qui tendent vers 0 avec x. On en conclut quetend vers 2 quand x tend vers 0. On peut donc prolonger f par continuité enposant par définition . D’après le développement précédent, on a

et donc f admet un maximum local en .

3. On écrit les conditions nécessaires du premier ordre :

On obtient 3 points stationnaires (0,0),(3,18) et (–3,–18). Les dérivées par-tielles secondes sont :


Il y a donc un col au point (0,0) et un extremum aux points (3,18) et (–3,–18),qui est un minimum puisque les dérivées et sont positives en ce point.La fonction f n’est-ni convexe ni concave car n’est pas de signeconstant.

4 J K + = π/

( )

( )

4 4

0 0

40

sin cossin cos

sin cos sin cos1

[ln sin cos ] ln 22

d x x x x J K dx

x x x x

x x

π/ π/

π/

+−− = = −

+ +

= − + = − 0

π 4 ⁄

∫[ ]

0

π 4 ⁄

∫1

ln28 4

J π

= −π 1

ln28 4

K π

= +π

0 x = .

( ) ( )2

211 ln 1 1

2 3 x x x x x

x+ = − + + εε

( ) f x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2 2

2 1

2 2

2 1 12 3

112

6

x x f x x x x x x x

x x x

= + − + ε − + + ε

= − + ε

][ ε ε

ε

( ) ( ) 1 2i x x iε ,ε , ≤ ≤εε ( ) f x

( )0 2 f =( )0 0 f =′ ( )0 11 3 f = − /′′ 0 x =

38 12 0

12 2 0 x

y

f x y

f x y

= − =′ = − + =′

2 2

224 2 12 xy x y f x f f = = = −′′ ′′ ′′

( )

( ) ( )

20 0 12 0

3 18 3 18 6 48 0

∆ , = − <

∆ , = ∆ − ,− = × >

2 x

f ′′ 2 y

f ′′

( )248 3 x∆ = −




A N N A L E S

4. La fonction f est définie et continue sur tout et l’équationadmet la solution unique . Par ailleurs, f admet une dérivée partielle :

qui est aussi continue sur tout . Comme , on en conclutqu’il existe une application unique ϕ de dans telle queet . La fonction f admet une autre dérivée partielle :

qui est continue sur . La fonction ϕ est donc dérivable, de dérivée :

On a donc et :

Ainsi et ϕ admet un maximum local à l’origine.



On obtient un seul point stationnaire (1,4). On calcule alors les dérivées

secondes du lagrangien et les dérivées premières de la fonction g qui définit lacontrainte :

Les valeurs au point (1,4) sont et , ce qui permet de

2 ( )0 0 f y, =0 y =

( )2

3 2 y f x y y, = +′

2

( )0 0 2 0 y f , = ≠′

( ) 0 f x x,ϕ = [ ]ϕ

( )0 0ϕ =ϕ

( ) 23 2 x f x y x x, = − +′

2

( )( )

( ) ( )

2

2

3 2

3 2 x

y

f x x x x x

x f x x

,ϕ ′ − ϕ = − =′ϕ +,ϕ ′

[ ]][

ϕ

ϕ ϕϕ

( )0 0ϕ =′ϕ

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

22

6 2 3 2 3 2 6

3 2

x x x x x x x

x

− ϕ + − − ϕ ϕ′ ϕ =′′

ϕ +

[ ]

[ ]

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

( )0 1ϕ = −′′ϕ

( ) ( )2 5 L x y x y x y, ,λ = + + λ + −λ λ

10

2

10

L

x x

L

y y

∂= + λ =

∂

∂= + λ =

∂

λ

λ

2 23 2 3 2

1 10

4 2

1

xy yx x y

x y

L L L L x y

g g

/ /= − = − = =′′ ′′ ′′ ′′

= =′ ′

2

1

4 x

L = −′′ 2

1

16 y

L = −′′




calculer le déterminant :

donc il y a un maximum en (1,4).


Mai 2007

1. a) On écrit les développements limités des différents termes figurant aunumérateur et au dénominateur :

avec , qui tendent vers 0 avec x. On en déduit :

~ ~

Ainsi :

b) On écrit le développement limité à l’ordre 2 de et au voisi-nage de l’infini, par rapport aux infiniment petits et :

( )3

10 1

41 5

1 4 0 1 016 16

1 1 0

−

∆ , = − = >

5 y x= −

( ) ( )5 2 5F x f x x x x= , − = + −

( )

( )

( )

( ) ( )

2

3 1

22

2

34

3

23

4

cos 1 2

1 12 8

sin6

exp sin 12

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

= − + ε

+ = + − + ε

= − + ε

= + + + ε

ε

ε

ε

ε

( ) 1 4i x iε , ≤ ≤ε

( )ln cos x x ( )3

1 1 exp sin2

x x x x− + + −

3

8

x−

( ) 4 f x →

1e x/ ( )1 1e x/ +

1 x/ ( )1 1 x/ +

( )

( )

( )

( )

1 12 2

1 1 22 2

11 1e 1

2

11 1e 1

1 2 1

x

x

x

x x x

x

x x x

/

/ +

ε /= + + +

ε /= + + +

+ +

ε

ε




A N N A L E S

On en déduit :

avec , qui tendent vers 0 avec .

2. Il est facile de voir par récurrence que la suite est à termes positifs, puisquele premier terme est positif. La fonction f qui définit cette récurrence

est :

Sa dérivée est :

On obtient le tableau de variation ci-après :

Ce tableau montre que tous les termes de la suite sont supérieurs à . Parailleurs :

avec et donc g décroît de à

. Comme on en déduit que pour . Ainsi,

puisque , on a , donc la suite est décroissante et

minorée par , donc convergente. Sa limité doit vérifier , donc

.

3. On obtient comme dérivées successives :

x 00

( ) ( )

( )2 3

2

111

1

x g x x x

x x x

ε /= + → → +∞

+ ][ε

( )1 1 3i x iε / , ≤ ≤ε 1 x/

( )1n nu f u+ =

( )

2

2

x a

f x x

+

=

( )2

22

x a f x

x

−=′

a +∞( ) f x′ || − +

( ) f x +∞ a +∞

a

( ) ( )1n n n n nu u f u u g u+ − = − =

( )1

2

a g x x

x

= − )( ( ) 2

11 0

2

a g x

x

= − + <′ ( ) +∞

−∞ 0 g a =( ) ( ) 0 g x < x a>

nu a> ( ) 1 0n n n g u u u+= − <

a

2

2 a

l +=

a=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4

e cos 2e cos

2 2e cos 4

x x

x

f x f x x f x x

f x f x x f x f x

− −

−

= − + = −′ ′′

= + = −




On en déduit :

Janvier 2007

1. On écrit les développements limités des différents termes figurant aunumérateur et au dénominateur :

Le développement de au voisinage de 0 s’écrit :

avec , qui tendent vers 0 avec x. On en conclut quetend vers –1 quand x tend vers 0. On peut donc prolonger f par continuité enposant . D’après le développement précédent, on voit alors que f est

dérivable avec .

2.

a) Pour et , on obtient comme dérivée partielle :

D’où l’élasticité de f par rapport à x :

On en déduit qu’au voisinage de (1,1) quand x croît de 10%, f diminueapproximativement de 5%.

b) Pour tout :

donc f est homogène de degré .

( )

( )

( )

( )

4 3

0 0

1 1 11 e

4 4 2I f x dx f x

ππ

−π = − = − = + [ ] )(∫

( ) ( )

( )

2 33

1

22 3

2

ln 1 2 3

1 12

x x

x x x x

x x x x

+ = − + + ε

+ = + + ε

( ) f x

( )( )

( )

( )2 3

2

32 3 1

3

2 2

21

3

x x

x

x x f x x x x

x x

− + + ε= = − + + ε

+ ε

ε

ε

ε

( ) ( ) 1 2i x x iε ,ε , ≤ ≤ε ε ( ) f x

( )0 1 f = −

( )2

03

f =′

0 x ≠ 0 y ≠

( )2 3

2 x

y f x y

x x

/

, = −′

1

2 x

f x

f e x

f /

′= = −

0λ >λ

( ) ( )1 6 f x y f x y/λ ,λ = λ ,λ λ λ

1

6




A N N A L E S


On n’obtient aucun point critique. Les dérivées partielles secondes sont :

La fonction f est concave car est toujours positif.

On forme le lagrangien :


On obtient un seul point stationnaire (1/2,1). On calcule alors les dérivéessecondes du lagrangien et les dérivées premières de la fonction g qui définit lacontrainte :

Les valeurs au point (1/2,1) sont et , ce qui permet de cal-culer le déterminant :

donc il y a un maximum en (1/2,1).


1 0

1 0 x

y

f x

f y

= / =′

= / =′

2 2

2 21 1 0 xy x y

f x f y f = − / = − / =′′ ′′ ′′

2 21 x y∆ = /

( ) ( )ln ln 2 1 L x y x y x y, ,λ = + + λ + / −λ λ

10

1 02

L

x x

L y y

∂= + λ =

∂

∂ λ = + =∂

λ

λ

2 22 2

1 10

1 1 2

xy yx x y

x y

L L L L

x y g g

= − = − = =′′ ′′ ′′ ′′

= = /′ ′

2 4 x

L = −′′ 2 1 y

L = −′′

( )3

4 0 1

1 4 0 1 1 2 2 0

1 1 2 0

−

∆ , = − / = >

/

2 2 y x= −

( ) ( ) ( )2 2 ln ln 1 ln2F x f x x x x= , − = + − +




Septembre 2006

1. On obtient :

On intègre par parties :

On fait le changement :

2. On écrit , donc f est définie sur

. Elle admet comme dérivées :

Le numérateur de la dérivée s’annule pour les valeurs et

. On obtient le tableau de variation ci-après :

Ainsi, f admet un maximum sur et sur

puisque f est croissante sur cet intervalle.3. On écrit les conditions nécessaires du premier ordre :

On obtient un point stationnaire pour et . Les

x –1 α 0 4

II + 0 – II II

II M II II

11

200

1 e 1 1 1

1 e 2 1 e1 e

x

x x

d I

+ = = − = − + + +0

1

∫ [ ])(

( )

[ ]3 3

22

272 ln 2 2 ln 1ln

4 J xdx x x x

= = = −− ( )

1u x= +

3

22 ln K udu J = = ∫

( ) ( )( )ln 1 4 f x x x x= + − ][

] [ ] [1 0 4 D = − , ∪ ,+∞

( )( )( )

( )( ) ( )

2

2 22

1 1 1 3 6 4

1 4 1 4

1 1 10

1 4

x x f x

x x x x x x

f x x x x

− −= + + =′

+ − + −

= − − − <′′+ −

] [1 7 3 1 0α = − / ∈ − ,α

1 7 3 Dβ = + / ∉β

+∞

( ) f x′ +

( ) f x −∞ −∞ −∞ +∞

( ) M f = αα ] [1 0− , ( )6 ln84 f = [ ]5 6,

( )

( )

1 2 1 4

1 2 3 4

50 10 20 0

25 10 10 0

x

y

f x y

f x y

− / /

/ − /

= − − =′

= − − =′( )

4

0 10 5 2 x = + / ( )4

0 5 2 y = /




A N N A L E S

dérivées partielles secondes sont:


Il y a donc un extremum en ce point qui est un maximum puisque les dérivéeset sont négatives.



On obtient un seul point stationnaire . On calcule alors les dérivées

secondes du lagrangien et les dérivées premières de la fonction g qui définit lacontrainte :

D’où le déterminant :

donc il y a un maximum en .


( )2

3 2 1 425 10 x

f x y− / /= − −′′ ( )2

1 2 7 475 10

4

y f y x

/ − /=−′′ −

( )

1 2 3 42510

2 xy

f y x− / − /=′′ −

( )5

3 30 0 6

23 5 2 0

5 x y ∆ , = × − >( )

2 x

f ′′ 2 y

f ′′

( ) ( )2 24 3 6 1 L x y x xy y x x y, ,λ = − + − − + + λ +λ λ

2 4 6 0

4 6 0

L x y

x L

x y y

∂= − + − + λ =

∂∂

= − + λ =∂

λ

λ

3 3

8 8 − , ( )

2 22 6 4

1

xy yx x y

x y

L L L L

g g

= − = − = =′′ ′′ ′′ ′′

= =′ ′

3

2 4 1

4 6 1 16 0

1 1 0

−

∆ = − = >

3 3

8 8 − , ( )

y x= −

( ) ( ) 28 6 1F x f x x x x= ,− = − − +




5. La solution générale de cette équation homogène est :

Celle qui vérifie les conditions initiales est .

Mai 2006

1. La fonction à intégrer est équivalente à l’infini à de primitivedonc I est convergente.

2. a) On fait le changement :

b) On intègre par parties :

c) On écrit :

Janvier 2006

1. On obtient comme dérivées :

On obtient le tableau de variation ci-après :

Le tableau montre que f est croissante sur l’intervalle et décroissantesur l’intervalle , donc elle admet un maximum sur en .Comme f est décroissante sur l’intervalle et croissante sur l’intervalle

, il faut comparer les valeurs et . Le maximum surest donc obtenu pour .

x –1 3

+ 0 – 0 +0

2 3n n

nu = λ + µ λ,µ ∈µλ µλ

2n

nu =

31 x/ 21 2 x− /

21u x= +

55

2 2

5

5 5 5 22

du

I uu

= = = − 2

5

∫ [ ] ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12

00

11

0 0

1 e 2 1 e

3e 1 2 1 e 2 e 2 e 1

x x

x x

J x x x dx

x dx

= + + − +

= − − + + = −

∫

∫

[ ]

[ ]

( )

( )

2 2 2

21 1 1

22

1

211

1 1 1 9ln ln

1 6 8

dx dx dx K

x x x

x

x x

= + −++

+= − = +

+ [ ]1

2

∫ 1

2

∫1

2

∫

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )22

3 1 3

3 2 2 3 2 3

f x x x f x

f x x x x f x

= + −′

= − + − −′′ [ ]

−∞ +∞

( ) f x′( ) f x

15e 17e− +∞

[ ]2 1− ,−[ ]1 2− , [ ]2 2− ,− 1 x = −

[ ]0 3,[ ]3 4, ( ) 100 e f = ( ) 104 e f

−=

[ ]0 4, 0 x =




A N N A L E S


On obtient un point stationnaire pour et . Lesdérivées partielles secondes sont:


Il y a donc un extremum en ce point qui est un maximum puisque les dérivéeset sont négatives.



On obtient un seul point stationnaire (–3,2). On calcule alors les dérivéessecondes du lagrangien et les dérivées premières de la fonction g qui définit lacontrainte :

D’où le déterminant :

donc il y a un maximum en (–3,2).

( )

( )

3 4 1 2

1 4 1 2

25 10 10 0

50 10 20 0

x

y

f x y

f x y

− / /

/ − /

= − − =′

= − − =′( )

4

0 10 5 2 x = + / ( )4

0 5 2 y = /

( )2

7 4 1 27510

4 x f x y

− / /= − −′′ ( ) 2

1 4 3 225 10 y

f x y/ − /= − −′′

( )

3 41 2

25102 xy f x y

− /− /= −′′

( )9

0 0 6

20

5 x y∆ , = >

2

x

f ′′ 2

y

f ′′

( ) ( )2 23 6 1 5 L x y x y x x y, ,λ = − − + + + λ − +λ λ

2 6 0

6 0

L x

x

L y y

∂= − + + λ =

∂

∂ = − −λ =∂

λ

λ

2 22 6 0

1

xy yx x y

x y

L L L L

g g

= − = − = =′′ ′′ ′′ ′′

= =′ ′

3

2 0 1

0 6 1 8 0

1 1 0

−

∆ = − = >





Septembre 2005

1. La fonction à intégrer est équivalente à l’infini à de primitivedonc I est convergente. On fait le changement :


avec , qui tendent vers 0 avec x. On en conclut que tendvers –4 quand x tend vers 0.

b) On écrit d’abord le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0de :

On en déduit avec :

avec , qui tendent vers 0 avec x.

c) Pour déterminer l’équation de l’asymptote au graphe de h, nous allons

écrire le développement limité à l’ordre 3 de , au voisinage del’infini, par rapport à l’infiniment petit :

5 y x= +

( ) ( )2

5 4 24 74F x f x x x x= , + = − − −

1 x x/

2 x− / 1u x= −

[ ]2 11

2 2 2arctan

1 2 4 2

duI u

u

+∞ +∞ π π π = = = − =

+ ( )1

∞+

∫

π π π

( ) ( ) ( )

( )

33

1

34

2

2ln 1 ln 1 2

3

sin

6

x x x x x x

x x x x x

+ − − − = + ε

− = − + ε

ε

ε

( ) 1 2ix iε , ≤ ≤ε ( ) f x

( )2 3

311 1

2 8 16

u u uu u u+ = + − + + εε

22u x x= −

( ) ( )2 3 321 g x x x x x x= + − + + εε

( ) 1 2ix iε , ≤ ≤ε

2

ln 1 x

+ ( )1 x/

( )1

2 3 3

12 2 2 8ln 1

3

x

x x x x x

ε / + = − + + ( ) ε




A N N A L E S

On en déduit le développement de :

où et tendent vers 0 quand x tend vers l’infini. La droite

est donc asymptote au graphe de h et comme ~

, la courbe est au-dessus de l’asymptote pour .

3. a) On a , donc on établit par récurrence que .Par ailleurs :

donc cette suite est décroissante. Comme elle est minorée par 3, elle converge,

avec pour limite telle que , soit .b) On vérifie que donc c’est une suite arithmétique avec

. On en déduit .

4. a) On obtient comme différentielle :

b) Pour déterminer le développement limité à l’ordre deux, on a besoinaussi des dérivées partielles secondes :

Le développement limité à l’ordre deux, au voisinage de (–2,1) s’écrit donc :

avec qui tend vers 0 quand h et k tendent vers 0.

c) Les élasticités de f par rapport à x puis par rapport à y sont :

( )h x

( ) ( )

( ) ( )2 1

2 3 3

1 12 2 8 142 4

3 3

x xh x x x x

x x x x x x

ε / ε / = − − + + = − + +

( )ε ε

( )1 1 xε /ε ( )1 xε /ε

2 4 y x= − ( ) ( )2 4h x x− −

14

3 x x →+∞

( )133 3n n

n

u uu

+ − = − 3nu >

( )2

1

30n

n n

n

uu u

u+

−− = − <

6 9= − /

3=

1 1 3n n a a+ − = /

1 4 3n a n= / + /12 21

4 3n

nu

n

+=

+

( ) ( ) ( )2 2e 3 2 y

x ydf f x y dx f x y dy x dx xdy= , + , = +′ ′

2 2

2 2 26 e 4 6 e y y

xy x y f x f f f x= = =′′ ′′ ′′

( )

( )

2 2 2

2 2

2 1 e 8 12 16 6 24 16

f h k h k h hk k

h k h k

− + , + = − + − − + −

+ + ε ,ε( )

( )

( )h kε ,ε

3 2 y x f x f y

f f e x e y y

f f / /

′′= = = =





On obtient 2 points stationnaires (0,0) et (3,–3). Les dérivées partiellessecondes sont :


Il y a donc un col au point (0,0) et un extremum au point (–3,–3), qui est unmaximum puisque les dérivées et sont négatives en ce point.

Il est plus simple de remplacer y par x et d’étudier la fonction d’une seulevariable :

On obtient comme dérivée d’où le tableau de variation ci-après :

Ainsi, F admet un maximum local en –3 et un minimum local en 0.

6. L’équation homogène associée admet pour solutions :

On cherche une solution particulière de la forme et on obtient. La solution qui vérifie les conditions initiales est :

Mai 2005

1. La fonction à intégrer est équivalente à l’infini à de primitive

x –3 0

+ 0 – 0 +

–9 –36

2

2

3 9 0

9 3 0

x

y

f x y

f x y

= + =′

= + =′

2 26 6 9 xy x y f x f y f = = =′′ ′′ ′′

( )

( )

2

2

0 0 9 0

3 3 3 9 0

∆ , = − <

∆ − ,− = × >

2 x

f ′′ 2 y

f ′′

( ) ( ) 3 22 9 36F x f x x x x= , = + −

( ) ( )6 3F x x x= +′

−∞ +∞

( )F x′

( )F x −∞ +∞

2 3n n

nv = λ + µ λ,µ ∈λ λ µ µ

5n

nu a∗

=5n

nu∗ = −

3 2 2 3 5n n n

nu = × + × −

25 x− / 5 x/




A N N A L E S

donc I est convergente, de valeur :

2. On intègre par parties :

3. L’équation homogène associée admet pour solutions :

On cherche une solution particulière de la forme et on obtient. La solution qui vérifie les conditions initiales est :

Janvier 2005


avec , qui tendent vers 0 avec x. On en conclut que tendvers 2 quand x tend vers 0.

b) On écrit le développement limité :

( )2

2 2 21 1

2

1

13 3 5 3 3

51 2 1 1

1 3 33ln 5arctan ln2 5 ln2 5

2 2 4 2 4

d x x dx

I dx dx x x x x x

x x

x

+∞ +∞

+∞

+− − −

= + = + − + + +

+ π π π = − = − − − = − −

1

∞+

∫ ( ))( π π π

1

∞+

∫

e4 4e

31

11 3e 1ln4 4 16

xI x x dx

+= − =

[ ] ∫

( )3n

nv n= λ + µ λ,µ ∈λ λ µµ

nu an b∗ = +

5 7nu n∗ = − +

( )2 4 3 5 7n

nu n n= − − − +

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 3

31

34

2

2 33

3

4

ln 1 2 3

sin6

sin ln 12 6

1 1 2

x x x x x x

uu u u u

x x x x x x

x

x x x

+ = − + + ε

= − + ε

+ = − + + ε

+ − = + ε

[ ]

ε

ε

ε

ε

( ) 1 4ix iε , ≤ ≤ε ( ) f x

( )2

35cos 1

2

x x x x= − + εε




D’où :

avec , qui tendent vers 0 avec x. Le développement précédentpermet d’obtenir :

La fonction g est donc dérivable en , avec . On en déduit aussi

l’équation de la tangente en ce point qui est avec :

donc la tangente traverse le graphe qui est au-dessous pour et au-dessuspour . Il y a donc un point d’inflexion.

2. a) On obtient comme différentielle :

b) Pour déterminer le développement limité à l’ordre deux, on a besoinaussi des dérivées partielles secondes :

Le développement limité à l’ordre deux, au voisinage de (1,0) s’écrit donc :

avec qui tend vers 0 quand h et k tendent vers 0.


( ) ( )3

361

6

x g x x x x= − + + + εε

( ) 5 6i x iε , ≤ ≤ε

( ) ( )( )

22

6

01

6

g x g x x x

x

−= + + εε

0 x = ( )0 1 g =′

1Y x= − +

( ) ( )3

366

x g x Y x x− = + εε

0 x <0 x >

( ) ( ) 2

2 2

1 12 x ydf f x y dx f x y dy x y dx x dy

x y x y

= , + , = + + −′ ′ ) (( )−−

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2 22 2 2

1 22 2 2 xy x y

x y x f y f f x

x y x y x y

+= − = − = +′′ ′′ ′′

− − −

( ) ( )2 2 2 211 2 4

2 f h k h h hk k h k h k + , = − + − + + ε ,ε( )

( )h kε ,ε

34 2 2 0 x

f x x y= − + =′

2 2 0 y f x y= + =′




A N N A L E S

On obtient 3 points stationnaires (0,0), (1,–1) et (–1,1). Les dérivées partiellessecondes sont :


Il y a donc un col au point (0,0) et un extremum aux points (1,–1) et (–1,1),qui est un minimum puisque les dérivées et sont positives en cespoints.

Il est plus simple de remplacer y par –2 x et d’étudier la fonction d’une seulevariable :

On obtient comme dérivée d’où le tableau de variationci-après :

Ainsi, F admet un maximum local à l’origine et des minima globaux enet .

4. Pour tout :

donc f est homogène de degré 2.

On obtient comme dérivées partielles :


x 0

– 0 + 0 – 0 +

–1/4 0 –1/4

2 2

2

12 2 2 2 xy x y f x f f = − = =′′ ′′ ′′

( )

( ) ( )

0 0 8 0

1 1 1 1 16 0

∆ , = − <

∆ ,− = ∆ − , = >

2

x

f ′′ 2

y

f ′′

( ) ( ) 4 22F x f x x x x= ,− = −

( ) ( )22 2 1F x x x= −′

−∞ 1 2− / 1 2/ +∞

( )F x′

( )F x +∞ +∞

1 2− / 1 2/

0λ >λ

( ) ( )2 f x y f x yλ ,λ = λ ,λ λ λ

2 e e e y x y x y x

x y f x y f x/ / /= − =′ ′

( )22 e 2 y x

x y xf yf x f x y/+ = = ,′ ′



Index

A

accroissements finis (théorème des) 55, 60-

62, 68, 70-72, 98, 101, 106, 114accroissements finis généralisés 102, 115

actualisée (valeur) 105, 131-132

application réciproque 3, 5-6, 9

asymptote 64-66, 83-85, 89, 91-93, 104,124-126, 128-130, 269, 284-285

B

branche parabolique 84, 89, 130

C

cobweb (méthode de) 223

col 137-139, 148, 160-163, 165, 167-168,272, 274, 286, 289

concave (fonction) 57-58, 88-89, 92, 136,267, 274, 279

convexe (fonction) 57-59, 65, 87-89, 92,107, 125, 129-130, 136, 265-266, 271,274

coordonnées polaires 156, 164

D

demi-tangente 126, 128-129

dérivée

à droite 27, 29, 31-32, 35, 41-42, 70

à gauche 27, 29, 31-32, 35, 41-42, 70,89

logarithmique 26, 28, 31, 34, 36, 40, 44,49-51, 87-88, 105, 127-128, 131

partielle 133-139, 141, 143-144, 146,

148, 151, 153, 155-164, 274-275,278-279, 281, 283, 285-286, 288-289

développement limité 54, 56-57, 59, 63-65,67, 69, 77-78, 85, 91, 102-103, 116-117, 119-120, 126, 129, 265-267, 269-271, 274, 276, 278, 284-285, 287-288

différentielle 26, 32, 45, 269-270, 285, 288

discontinuité 1, 10, 24, 188

E

élasticité 26, 28-29, 34-35, 51-53, 267, 269,

278, 285encadrement 101, 115, 211, 219-220, 230-232

équation

caractéristique 209, 212, 214-215, 225,250-252, 254-258, 260, 262

homogène 209, 212, 214, 224-225, 227,243-247, 250-254, 256-258, 260,282, 286-287

typique 226, 262

équivalente (fonction) 4-6, 9-10, 14, 16, 19,54, 68, 80, 84, 89, 98, 106, 112, 169,176, 179-181, 188, 205, 207, 282, 284,286

extremum 54, 57, 59-60, 65, 67, 69, 85, 87,133-134, 137-141, 145-148, 159-166,168-175, 265-270, 274, 281, 283, 286,289

F

fonctioncomposée 2-3, 27, 31-34, 48, 51-52, 58,135, 143

concave 57-58, 89, 92, 267, 274, 279

continue 1, 3, 5-6, 25-26, 29, 36, 70-71,133-134, 136, 153, 176, 178-180

convexe 57, 59, 65, 87-89, 92, 107, 129-130, 136, 265-266, 271, 274

croissante 1, 19-20, 69, 165, 169, 231,237-238, 282

décroissante 1, 5, 12, 19, 69-70, 72, 164,237-238, 241, 282

équivalente 4-5, 9-10, 54, 68, 169, 176,179-181, 188, 205, 207, 282, 284,286

homogène 136-137, 144, 156-157, 267,270, 278, 289

impaire 2, 5, 8, 12, 17, 29, 67, 178, 181,192

implicite 136



TD Index 291

monotone 1-2, 5, 12, 19, 107

paire 1-2, 5, 17-18, 29, 77, 83, 177, 192

périodique 2, 5, 8, 12

forme quadratique 167-168formule

de la moyenne 183-184, 191

de Leibniz 28, 33-34, 48-49

de Maclaurin 56, 59, 62, 67, 75, 102

de Taylor 54-56, 62, 67, 101, 133, 135-136, 138, 144, 159

fraction rationnelle 4, 10, 20, 33, 45, 164,176, 179, 185, 200-202, 206

I

imaginaire 250, 254-256

infiniment petit 13, 56, 64-65, 78-79, 81-85, 103, 106, 117-119, 127, 149, 234,276, 284

intégrale généralisée 179-180, 187

M

matrice hessienne 138

maximum 5, 13, 55, 57, 69, 85, 87, 92, 98,105-106, 124, 130-132, 134, 137-138,

140, 160-166, 168-173, 175, 266-268,273-276, 279, 280-283, 286, 289

méthode de cobweb 223

minimum 5, 13, 55, 57, 59, 67, 69, 85, 87,89, 91, 107, 109, 130, 134, 137-138,140-141, 148, 159-175, 233, 271, 273-274, 286, 289

multiplicateur de Lagrange 139-140, 147,171, 173, 272, 275, 279, 281, 283

Ppoint

d’accumulation 209-211, 227-228, 230

de discontinuité 1, 10d’inflexion 58, 65, 59-60, 66-67, 69, 88-

89, 92, 104, 125, 129-130, 288de rebroussement 70, 86, 92

stationnaire 133, 137-141, 145, 147-148, 159-166, 168, 171, 173-175,179, 272, 274-275, 279-281, 283,286, 289

progressionarithmétique 95, 98-100, 106, 109-110

géométrique 95-96, 98-100, 106, 110-111

prolongement par continuité 13, 16, 125,130, 169, 266-267, 274, 278

R

récurrence homographique 222, 237règle de L’Hospital 102, 115résonance 214-215, 224, 245-246, 248-249,

253-254, 257

S

somme de Riemann 177, 182-183, 190suite

bornée 210, 217, 220, 227-228, 241-242

croissante 210-211, 220, 233-239, 241,243décroissante 211, 232-235, 237-241,

243, 277, 285extraite 211, 216, 222-223, 228, 239,

242géométrique 218-219, 221, 229-231,

235, 242-243majorante 210, 229-231minorante 210, 219, 229-231

récurrente 209, 212, 223, 240stationnaire 228-229, 238

suites adjacentes 211, 220-221, 234-235système d’équations 101, 215, 217, 226, 264

T

tangente 55, 57-58, 71, 88, 91-92, 270, 288taux

d’accroissement 26, 30, 35, 37, 42d’intérêt 104-105

théorèmede l’encadrement 115, 211, 219-220d’Euler 137, 144, 156-157, 270, 289de Rolle 54, 60-61, 67, 70, 102, 115de Schwarz 135des accroissements finis 55, 60-62, 68,

70-72, 98, 101, 106, 114des croissances comparées 13, 42, 95, 97,

114, 120-121, 123, 125, 130, 205-206, 229

des suites monotones 209, 220-223V

valeur approchée 124valeur propre 261, 263vecteur propre 261, 263



PUBLIC

• Licence Économie-Gestion, AES, MASS

• MIAGE

Les ouvrages de la collection TD proposent des résumésde cours, de nombreux QCM, des questions de réflexion,ainsi que des exercices d’entraînement et des sujetsd’annales corrigés.Cette 4e édition, complétée par un chapitre entièrementconsacré aux derniers sujets d’annales, couvre en 210

questions et exercices, les bases de l’analyse :• fonction numérique d’une variable réelle ;• dérivées et différentielles ;• formule de Taylor et applications ;• fonctions puissance, logarithme et exponentielle ;• calcul intégral ;• suites numériques.

TD Éco Sup


ANALYSE

4e édition

- QCM- questions de réflexion- exercices d’entraînement- annales+ corrigés

Cours30%

Applications70%

JEAN-PIERRE LECOUTRE

Maître de conférencesà l’universitéPanthéon-Assas (Paris II).

PHILIPPE PILIBOSSIAN

Maître de conférencesà l’université

Pierre-et-Marie-Curie(Paris VI).

Documents

TD Analyse