Embed Size (px)
Citation preview
PSI - 2013/2014 1
TD D3 - Correction
3 Anneaux d'égale inclinaison
1. Lorsqu'on utlise l'interféromètre de Michelson en lame d'air avec une source étendue, les
franges d'interférences sont des anneaux qui sont localisés à l'in�ni.
A�n d'observer ces anneaux, on doit donc placer l'écran à "grande distance" ou dans le plan
focal image d'une lentille convergente.
2. L'ordre d'interférence au centre vaut : p0 =2naire
λ0= 4028, 6
Ici, p0 n'est ni entier, ni demi-entier : les interférences au centre sont donc "quelconques" (ni
destructives, ni constructives).
On note cependant que l'ordre d'interférence au centre est proche d'un demi-entier (qui serait
4028,5) : on peut donc a�rmer que le centre de la �gure d'interférence est "plutôt sombre".
PSI - Lycée BellevuePhysique
Optique ondulatoire -Corrigé du TD n˚4Interféromètre de Michelson
Les anneaux brillants correspondent à un ordre d’interférence entier. Or, pour des rayons incidentsfaisant un angle i avec les miroirs, la différence de marche entre deux rayons qui interfèrent vaut
δ = δ0 cos i
où δ0 = 2naire est la différence de marche au centre. L’ordre d’interférence est donc de la forme
p = p0 cos i
À mesure que l’on s’éloigne du centre du système d’anneaux, l’angle i augmente et l’ordre d’interfé-rence diminue. Les deux premiers anneaux brillants sont donc définis par les ordres d’interférencesentiers :
p1 = 4028 = p0 cos i1 et p2 = 4027 = p0 cos i2
Les angles correspondant aux deux premiers anneaux valent donc
i1 = Arccos
(p1
p0
)et i2 = Arccos
(p2
p0
)
On en déduit le rayon des anneaux sur l’écran :
ρ1 = f ′ tan i1 et ρ2 = f ′ tan i2
où f ′ est la distance focale de la lentille de projection.
Or, pour i ∈ [0, π/2], tan i =sin i
cos i=
√1− cos2 i
cos i, de sorte que
ρ1 = f ′
√1− p21
p20
p1
p0
= f ′
√√√√(p0
p1
)2
− 1 et ρ2 = f ′
√√√√(p0
p2
)2
− 1
On en déduit les valeurs numériques suivantes
ρ1 = 17 mm et ρ2 = 28 mm
Remarque : On aurait pu utiliser l’approximation des petits angles en posant
cos i ≃ 1− i2
2et tan i ≃ i
On trouve alors
ρ1 = f ′ tan i1 ≃ f ′i1 avecp1
p0= 1− i21
2
On en déduit
i1 =
√√√√2
(1− p1
p0
)
d’où
ρ1 = f ′
√√√√2
(1− p1
p0
)= 17 mm
Tristan Brunier Page 3/25 Année 2011-2012
2 TD D3 - Correction
Remarque : On aurait pu utiliser l'approximation des petits angles en écrivant :
cos i ≈ 1− i2
2et tan i ≈ i
On trouve alors :
ρ1 = f ′ tan i1 ≈ f ′i1 avecp1p0
= 1− i212
On en déduit :
i1 =
√2
(1− p1
p0
)
soit :
ρ1 = f ′√2
(1− p1
p0
)= 17 mm
PSI - Lycée BellevuePhysique
Optique ondulatoire -Corrigé du TD n˚4Interféromètre de Michelson
De même
ρ2 = f ′
√√√√2
(1− p2
p0
)= 28 mm
On retrouve les même valeurs numériques. On pourrait s’étonner d’obtenir des expressions littéralesaussi différentes. Toutefois, compte-tenu de la valeur des ordres d’interférence, on a
p1
p0= 1− ε avec 0 < ε ≪ 1
Numériquement ε = 1, 5.10−4.On a donc (
p0
p1
)2
− 1 =1
(1− ε)2− 1 = 1 + 2 ε− 1 + o(ε) = 2ε+ o(ε)
De même
2
(1− p1
p0
)= 2ε
Ces expressions sont identiques au premier ordre en ε.
3. Lorsqu’on diminue l’épaisseur entre les miroirs, l’anneau correspondant à l’ordre d’interférence donnérétrécit. En effet
p = p0 cos i
Comme p est fixé (à une valeur entière par exemple pour un anneau brillant) et que p0 = 2naire/λ0
diminue, il faut nécessairement que cos i augmente, c’est-à-dire que i diminue.Le premier anneau brillant précédent disparaît au moment où son rayon est égal à 0, ce qui correspondà un angle d’incidence nul. Son ordre d’interférence est alors égal à l’ordre d’interférence au centre p′0(qui a une valeur différente de la précédente puisque la distance entre les miroirs a varié). On endéduit
p1 = p′0 =2nair e
′
λ0soit e′ =
λ0 p1
2nair=
p1
p0
e
⇒ e′ = ep1
p0
Numériquement : e′ = 1, 0998 mm .
À ce moment, le premier anneau brillant correspond à l’ordre d’interférence p′1 = p2 et possède unrayon :
ρ′1 = f ′
√√√√(p′0p′1
)2
− 1 = f ′
√√√√(p1
p2
)2
− 1 = 22 mm
Ce rayon est supérieur à ρ1 : lorsque l’on diminue la distance entre les miroirs, les anneaux sont deplus en plus gros. D’autre part, les anneaux les plus centraux disparaissent en atteignant le centre :on dit que les anneaux "rentrent".
4. Le diamètre de la tache lumineuse sur l’écran étant d = 10 cm, l’angle d’incidence maximal pour lesrayons arrivant sur l’écran est
imax = Arctan
(d
2f ′
)≃ d
2f ′
L’ordre d’interférence varie en p0 au centre et pmin = p0 cos imax à la périphérie. L’éclairement étantmaximal au centre et le contact optique étant quasiment atteint, on peut supposer que l’ordre
Tristan Brunier Page 4/25 Année 2011-2012
PSI - 2013/2014 3
PSI - Lycée BellevuePhysique
Optique ondulatoire -Corrigé du TD n˚4Interféromètre de Michelson
De même
ρ2 = f ′
√√√√2
(1− p2
p0
)= 28 mm
On retrouve les même valeurs numériques. On pourrait s’étonner d’obtenir des expressions littéralesaussi différentes. Toutefois, compte-tenu de la valeur des ordres d’interférence, on a
p1
p0= 1− ε avec 0 < ε ≪ 1
Numériquement ε = 1, 5.10−4.On a donc (
p0
p1
)2
− 1 =1
(1− ε)2− 1 = 1 + 2 ε− 1 + o(ε) = 2ε+ o(ε)
De même
2
(1− p1
p0
)= 2ε
Ces expressions sont identiques au premier ordre en ε.
3. Lorsqu’on diminue l’épaisseur entre les miroirs, l’anneau correspondant à l’ordre d’interférence donnérétrécit. En effet
p = p0 cos i
Comme p est fixé (à une valeur entière par exemple pour un anneau brillant) et que p0 = 2naire/λ0
diminue, il faut nécessairement que cos i augmente, c’est-à-dire que i diminue.Le premier anneau brillant précédent disparaît au moment où son rayon est égal à 0, ce qui correspondà un angle d’incidence nul. Son ordre d’interférence est alors égal à l’ordre d’interférence au centre p′0(qui a une valeur différente de la précédente puisque la distance entre les miroirs a varié). On endéduit
p1 = p′0 =2nair e
′
λ0soit e′ =
λ0 p1
2nair=
p1
p0
e
⇒ e′ = ep1
p0
Numériquement : e′ = 1, 0998 mm .
À ce moment, le premier anneau brillant correspond à l’ordre d’interférence p′1 = p2 et possède unrayon :
ρ′1 = f ′
√√√√(p′0p′1
)2
− 1 = f ′
√√√√(p1
p2
)2
− 1 = 22 mm
Ce rayon est supérieur à ρ1 : lorsque l’on diminue la distance entre les miroirs, les anneaux sont deplus en plus gros. D’autre part, les anneaux les plus centraux disparaissent en atteignant le centre :on dit que les anneaux "rentrent".
4. Le diamètre de la tache lumineuse sur l’écran étant d = 10 cm, l’angle d’incidence maximal pour lesrayons arrivant sur l’écran est
imax = Arctan
(d
2f ′
)≃ d
2f ′
L’ordre d’interférence varie en p0 au centre et pmin = p0 cos imax à la périphérie. L’éclairement étantmaximal au centre et le contact optique étant quasiment atteint, on peut supposer que l’ordre
Tristan Brunier Page 4/25 Année 2011-2012
PSI - Lycée BellevuePhysique
Optique ondulatoire -Corrigé du TD n˚4Interféromètre de Michelson
d’interférence p0 est entier au centre. D’autre part, comme l’éclairement n’est jamais minimal surl’écran, p ne peut jamais atteindre une valeur demi-entière. Comme p0 est entier, on a p0−pmin < 1/2.D’après la formule des interférences à deux ondes, l’éclairement est de la forme
E =Emax
2[1 + cos(2πp)]
où Emax est la valeur maximale de l’éclairement.On veut que
E ≥ Emax ×90
100soit
1 + cos(2πp)
2≥ 0, 9 ⇒ cos(2πp) ≥ 0, 8
Or p = p0 − δp avec 1/2 > δp > 0. On en déduit
cos(2πp) = cos [2π(p0 − δp)] = cos(2πδp) ≥ 0, 8 avec 2πδp ∈ [0, π]
où l’on a utilisé le fait que p0 est entier.La fonction Arccos étant une fonction décroissante, on a
2πδp ≤ Arccos(0, 8) soit δp ≤ Arccos(0, 8)
2π
Mais
δpmax = p0 − pmin =2e
λ0(1− cos imax)
Finalement, on obtient la contrainte
p0 =2e
λ0≤ Arccos(0, 8)
2π (1− cos imax)= 81, 9
et
e =λ0 p0
2nair≤ 22, 3 µm
Exercice IV : Défaut de planéité d’un miroir
1. La lentille sert à projeter sur l’écran l’image des miroirs où sont localisées les franges d’égale épaisseur(la source est étendue). La valeur de la distance focale f ′ peut être déduite de la formule de Newtonpour le grandissement :
|γ| = D − f ′
f ′ soit f ′ =D
|γ|+ 1= 182 mm
2. Au contact opique, l’épaisseur de la lame d’air et l’angle du coin d’air sont nuls, la différence demarche est donc nulle pour tout rayon incident sur la surface des miroirs (s’ils sont parfaitementplan). L’éclairement sur l’écran est uniforme (on n’observe aucune frange) : on parle de teinte plate.
3. Si l’angle du coin d’air est non-nul avec une arête verticale, cela signifie que l’épaisseur locale e ducoin d’air, donc la différence de marche δ = 2e, varie linéairement dans la direction horizontale (Ox).On pourra donc écrire e ≃ αx où α ≪ 1 est l’angle du coin d’air.Les franges, qui sont des franges d’égale épaisseur, sont donc verticales (parallèles à l’arête du coind’air). D’une frange à l’autre, l’épaisseur du coin varie de ∆e = α∆x de sorte que ∆δ = 2∆e = λ0.On en déduit
∆x = i =λ0
2αinterfrange sur les miroirs
Tristan Brunier Page 5/25 Année 2011-2012
4 TD D3 - Correction
1 Mesure de l'épaisseur d'une lame
1. (a) Pour réaliser le faisceau de lumière parallèle, on utilise une lampe qui éclaire un dia-
phragme que l'on place dans le plan focal objet d'une lentille convergente.
(b) Avec un faisceau de lumière parallèle, la di�érence de marche en un point quelconque de
l'écran est δ(M) = 2e. Cette valeur est la même en tout point de l'écran (elle ne dépend
pas de la position de M), on a donc un éclairement uniforme sur l'écran.
(c) L'éclairement en M est donné par la formule des interférences à deux ondes :
E(M) = 2E0[1 + cos
(2π
λ0δ(M)
)](d) L'éclairement est maximal lorsque le cosinus est égal à un, et vaut alors : Emax = 4E0
2. (a) Lorsque l'interféromètre est éclairé par une source ponctuelle à distance �nie, les di�érents
rayons arrivent sur les miroirs avec des angles d'incidence di�érents.
On montre que dans ce cas la di�érence de marche en point M de l'écran repéré par un
angle α vaut :
δ(M) = 2e cosα
On observe alors des anneaux (cercles concentriques) sur l'écran.
(b) La di�érence de marche dépend de α, c'est-à-dire de la position du point M sur l'écran :
on ne peut donc pas avoir un éclairement uniforme sur l'écran, sauf en prenant e = 0.
Dans ce cas, l'éclairement est maximal et vaut : Emax = 4E0Dans cette con�guration, les miroirs (M1) et (M2) sont perpendiculaires et à égale dis-
tance de la séparatrice (puisque e = 0) : l'interféromètre de Michelson est au contact
optique.
Attention : dans la question 3, on garde une épaisseur nulle pour la lame d'air, comme à la question 2
(contrairement à ce qui est indiqué dans l'énoncé).
PSI - 2013/2014 5
2 Franges d'égale épaisseur
1. Le Michelson est réglé en coin d'air et éclairé par une source étendue : les franges d'inter-
férence sont donc des franges rectilignes qui sont localisées au voisinage des miroirs.
Pour observer ces � franges d'égale épaisseur �, il faut projeter l'image des miroirs sur l'écran,
ce qu'on fait avec la lentille de distance focale f ′.
2. Pour le coin d'air éclairé par une source étendue en incidence quasi-normale, le calcul
approché de la di�érence de marche au niveau des miroirs donne : δ(X) ≈ 2αX
(où X est l'abscisse du point considéré sur le miroir).
Cela correspond à un interfrange sur les miroirs qui s'exprime : i ≈ λ
2α
La valeur de i donnée par l'énoncé est l'interfrange mesuré sur l'écran, qui correspond à
l'image donnée par la lentille des franges formées sur les miroirs.
Pour en déduire la valeur de l'interfrange sur les miroirs, on utilise la formule du grandisse-
ment de Newton, c'est-à-dire avec origine au foyer (cf. cours de première année) :
|γ| = iecranimiroir
=F ′A′
f ′ =D − f ′
f ′
On obtient donc :
α =λ
2imiroir=
λ
2iecran|γ|
A.N. : Le grandissement vaut : |γ| = D − f ′
f ′ =1, 3− 0, 2
0, 2=
1, 1
0, 2soit |γ| = 5, 5
On obtient alors : α ≈ 4.10−4 rad (soit 1,5 minute d'arc).
3. L'interfrange i étant la distance entre deux franges brillantes, N franges correspondent à une
largeur Ni.
Le nombre de franges visible sur le miroir de diamètre d est donc environ :N =d
i≈ 30 franges.
4. Notons (OX) l'axe perpendiculaire aux franges sur un des miroirs, avec O correspondant à la
frange brillant la plus proche du centre du miroir.
Par dé�nition, l'ordre d'interférence en O est un entier (frange brillante), notons-le p0.
L'ordre d'interférence en X est :
p(X) = p0 +δ(X)
λ0= p0 +
2αX
λ0
L'éclairement en X vaut :
E(X) = 2E0(1 + cos
[2πp(x)
])= 2E0
[1 + cos
(2πp0 +
2π
λ02αX
)]L'énoncé demande un éclairement uniforme à 10% près sur le miroir de diamètre d, ce qui
revient à imposer :
E(d/2) ≥ 0, 9 Emax
Il vient, sachant que p0 est un entier et que Emax = 4 E0 :
2E0[1 + cos
(2π
λ0αd
)]≥ 0, 9× 4 E0
On en déduit :
cos
(2π
λ0αd
)≥ 0, 9× 4
2−1 = 0, 8 soit α ≤ λ0
2πdarcos(0, 8) ≈ 3.10−6 rad (0, 6 seconde d'arc)
Cette valeur est très faible : on obtient donc des miroirs (M ′1) et (M2) quasiment parallèles.
6 TD D3 - Correction
4 Expérience de Michelson et Morlaix
