Td Mq Smp s5 Chap4 2014-15 Najib

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  • TRAVAUX DIRIGES

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    Filire : SMP S5Module 31: Physique Quantiquehttp://najib-spectra.yolasite.comAnne Universitaire 2014-2015Prof. H. NAJIB

    Srie N 4

    I- Molcule diatomique (Examen PIV, Knitra, mai 1991)

    On considre une molcule diatomique. Lnergie potentielle des deux atomes de masse m1 et m2 estdonne par la relation :

    a aV(r) D( )r r

    222 2

    o r est la distance internuclaire ; a et D sont des constantes positives.On sintresse la recherche des tats lis du systme dnergie Ek.1) Tracer lallure de V(r).2) Ecrire lquation de Schrdinger indpendante du temps caractrisant le mouvement relatif dusystme.

    3) On suppose connues les fonctions et valeurs propres de L2et Lz (carr et composante suivant Oz du

    moment cintique orbital). En dduire lquation dterminant la partie radiale Rk(r) de la fonctiondonde.

    4) On pose : ra

    ; DaA 22

    22

    et k ka E

    22

    2

    avec la masse rduite.En dduire lquation laquelle satisfait Rk().5) Montrer que pour : , la solution Rk() est de la forme : k e . Justifier votre rponse.6) Dans la suite et pour quelconque, on pose : k k kR () y ()e Etablir lquation laquelle satisfait ky () .7) On cherche des solutions de lquation prcdente sous la forme :

    s qk q

    qy () C

    0 (1)avec s strictement positif et C0 diffrent de zro.

    a- Dterminer la relation de rcurrence entre les coefficients Cq et Cq-1.b- En analysant le terme de plus bas degr de la srie (1), dterminer la valeur de s.c- Vrifier que si lon prend tous les termes de la srie (1), kky () e

    2 est solution du

    problme. Montrer alors que la solution kR () nest pas physiquement acceptable.d- En exigeant de la srie (1) davoir un nombre fini de termes (Cq = 0 si q k), dterminer les

    valeurs possibles de lnergie Ek. Quelles sont les valeurs possibles de lentier k ?8) On pose : n = k 1. Donner lexpression de En. Quelles sont les valeurs possibles de n ?

    PARTICULE DANS UN POTENTIEL CENTRALATOME DHYDROGENE

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    2

    9) Dterminer lexpression de En pour les faibles valeurs de n et sachant que A est grand devant n et. Interprter le rsultat obtenu.

    On donne lexpression du Laplacien en coordonnes sphriques : Lr rr r

    2 22 2 2

    2

    II- Atome dhydrogne (Examen SMP S4, Knitra, juin 2005)

    On se propose dtudier les tats quantiques de latome dhydrogne en considrant son noyauinfiniment lourd.

    1) Ecrire lquation de Schrdinger relative aux tats stationnaires de cet atome.2) Lhydrogne tant dans ltat de stabilit s1 :

    a- dterminer son terme spectral fondamental ;b- prciser sa nature dia ou paramagntique.

    3) Lunique lectron de cet atome est excit vers un niveau 2p. Dterminer tous les termes spectrauxpossibles de cette nouvelle configuration. 2p4) On considre la raie l = 1215 de la srie de Lyman (Figure).Montrer que, compte tenu du couplage spin-orbite, cette raie est ddouble. 1

    5) On donne lorbitale atomique reprsentant ltat 2s de lhydrogne : 1s0r/2a

    0

    2/302s

    )ea

    r-(2

    241)

    a1(

    a- Reprsenter graphiquement la variation de la densit de probabilit f(r) de trouver llectronentre deux sphres de rayons r et r + dr.

    b- Dduire les rayons des sphres les plus probables.