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TD : Optimisation sous contraintes Exercice 1 : Trouver les maxima et minima sous contraintes pour les fonctions f et les contraintes suivantes : 1. f (x, y) = 2 ln x + 3 ln y S.C. 5x + 10y = 20. 2. f (x, y)= x 2 y 3 S.C. 5x + 10y = 20. 3. f (x, y)=4x 3 + y 2 S.C. 2x 2 + y 2 = 1. 4. f (x, y)= x - 3y - 1 S.C. x 2 +3y 2 = 16. 5. f (x, y) = ln(e -x +3e -y ) S.C. x +3y = 10. Exercice 2 : esoudre le probl` eme suivant en utilisant la m´ ethode par substitution puis la ethode du Lagrangien : min x,y,z xy +2xy +2yz sous la contrainte : xyz = 32. Exercice 3 : Etudier les minima et maxima ´ eventuels de la fonction suivante : f (x, y)= xy sous la contrainte x 2 + y 2 1. Exercice 4 : Une entreprise produit un seul bien ` a partir de deux facteurs de production, le capital et le travail. Les quantit´ es de ces deux facteurs sont not´ ees K et L et la fonction de production F (K, L) est suppos´ ee croissante par rapport ` a chacun des deux facteurs. F (K, L) repr´ esente la quantit´ e produite lorsqu’une quantit´ e K du facteur capital et une quantit´ e L du facteur travail sont utilis´ ees. Notons C(K, L) le coˆ ut de production, w le coˆ ut d’une unit´ e du facteur travail, et r le coˆ ut d’une unit´ e du facteur capital. Le probl` eme de maximisation de la production s’´ ecrit : max (K,L)R + ×R + F (K, L) sous la contrainte : C(K, L)= wL + rK C 0 En posant F (K, L)= KL = K 1 2 L 1 2 , r´ esoudre le probl` eme de maximisation sous contrainte. 1

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TD : Optimisation sous contraintes

Exercice 1 :

Trouver les maxima et minima sous contraintes pour les fonctions f et lescontraintes suivantes :

1. f(x, y) = 2 lnx + 3 ln y S.C. 5x + 10y = 20.

2. f(x, y) = x2y3 S.C. 5x + 10y = 20.

3. f(x, y) = 4x3 + y2 S.C. 2x2 + y2 = 1.

4. f(x, y) = x− 3y − 1 S.C. x2 + 3y2 = 16.

5. f(x, y) = ln(e−x + 3e−y) S.C. x + 3y = 10.

Exercice 2 :

Resoudre le probleme suivant en utilisant la methode par substitution puis lamethode du Lagrangien :

minx,y,z

xy + 2xy + 2yz

sous la contrainte : xyz = 32.

Exercice 3 :

Etudier les minima et maxima eventuels de la fonction suivante :

f(x, y) = xy

sous la contrainte x2 + y2 ≤ 1.

Exercice 4 :

Une entreprise produit un seul bien a partir de deux facteurs de production, lecapital et le travail. Les quantites de ces deux facteurs sont notees K et L et lafonction de production F (K,L) est supposee croissante par rapport a chacundes deux facteurs. F (K,L) represente la quantite produite lorsqu’une quantiteK du facteur capital et une quantite L du facteur travail sont utilisees.Notons C(K,L) le cout de production, w le cout d’une unite du facteur travail,et r le cout d’une unite du facteur capital. Le probleme de maximisation de laproduction s’ecrit :

max(K,L)∈R+×R+

F (K,L)

sous la contrainte :C(K,L) = wL + rK ≤ C0

En posant F (K,L) =√KL = K

12L

12 , resoudre le probleme de maximisation

sous contrainte.

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