Td Physique l1

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PH1ME1 - C

Universit Paris Diderot - Paris 7 e

2011-2012

e Licence 1i`re annee - 1er semestre

Section C Mecanique Physique ECUE PH1ME1-C

Travaux Diriges - Feuilles de Maths - Annales 2010-2011

Universit Paris Diderot - Paris 7 Modalits de contrle des connaissances & Informations gnrales L1 - 1er semestre - Physique sections ABCD

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Les aptitudes et lacquisition des connaissances sont apprcies conformment larrt n 2011-199 du 06 Avril 2011 du prsident de lUniversit Paris Diderot - Paris 7.

Calcul de la note nale pour cet enseignementLvaluation de votre enseignement seectuera la fois par contrle continu et par examen nal que ce soit pour les travaux pratiques ou lenseignement thorique. La pondration de ces direntes composantes sera faite comme telle : - Pour la premire session : NoteFinale = 0,3 NoteTP + 0,25 NoteCC + 0,45 Examen o la note de travaux pratiques est donne par (voir plus bas) : NoteTP = 0,3 ComptesRendusTP + 0,7 ExamenTP et la note de contrle continu des connaissances thoriques est donne par : NoteCC = 0,8 Partiel + 0,2 Oraux La prsence aux valuations de contrle continu (TP, oraux et partiel) est obligatoire sauf pour les tudiants ayant fait une demande de dispense de contrle continu. N.B. : Les tudiants redoublant cet enseignement ne peuvent conserver aucune de leurs notes de lanne prcdente mme si celles-ci sont suprieures la moyenne. Ils doivent donc nouveau se prsenter en TP et aux interrogations orales. - Pour la deuxime session : Les tudiants ajourns lors de la premire session devront prsenter nouveau les examens de TP et de validation des connaissances thoriques lors de la deuxime session dexamens, mme si lune ou lautre des notes prise individuellement est suprieure la moyenne lors de la premire session. La pondration adopte en deuxime session sera alors la suivante : NoteFinale2 = 0,3 ExamenTP2 + 0,7 Examen2

Rgime dvaluation des tudiants en interrogations oralesLes tudiants sont valus par contrle continu lors de quatre interrogations orales rparties sur le semestre. La prsence aux oraux est obligatoire, sauf pour les tudiants ayant fait une demande de dispense de contrle continu. Chaque interrogation orale est note sur 20. La note oraux correspond la moyenne arithmtique des 4 interrogations prsentes. Labsence une sance doral non rattrape rend impossible lattribution de la note doraux qui fait partie du contrle continu et force donc un chec automatique de la 1re session dexamen. Si un tudiant devait manquer lune des sances dinterrogation orale pour une raison grave (maladie par exemple) il devra donc signaler son absence dans les plus brefs dlais an de permettre le rattrapage de cette interrogation. En cas dimpossibilit, lenseignant responsable de la section pourra considrer les pices justicatives que fournira ltudiant et valuer la possibilit de droger ces rgles.

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Rgime dvaluation des tudiants en TPLes tudiants sont valus par contrle continu lors des sances de TP et auront galement prsenter une valuation de comptences nale. La prsence aux sances de travaux pratiques, ainsi qu la sance dvaluation des comptences en n de semestre, sont obligatoires, sauf pour les tudiants ayant fait une demande de dispense de contrle continu. Dans ce cas particulier, une valuation sous forme dune unique preuve pratique, laquelle la prsence demeure obligatoire, sera alors eectue. Chaque sance de travaux pratiques conduit la rdaction dun rapport, remis lenseignant prsent la n de chaque sance, et qui est not sur 20. la n du semestre, chaque tudiant reoit une note de compte-rendus, moyenne arithmtique des cinq notes des rapports remis. la n du semestre, une valuation individuelle des comptences acquises a lieu. Elle conduit une note dexamen de travaux pratiques, elle aussi sur 20. En cas dabsence aux TPs ou lvaluation individuelle des comptences, aucune note nest attribue cet examen ou au TP manquant. La note globale de travaux pratiques ne peut donc pas tre attribue, la note de lUE ne peut ltre non plus, ce qui force un chec automatique en 1re session dexamen pour cette UE. Seule une cause grave, dment justie dans les dlais les plus brefs, permet de droger ces rgles.

Dispense de contrle continuLes tudiants souhaitant tre dispenss de contrle continu doivent en faire la demande avant le 14 octobre 2011, sauf vnement particulier survenant en cours de scolarit. Sont seuls concerns les tudiants : - inscrits en rgime cumulatif ; - engags dans la vie active ou assurant des responsabilits particulires dans la vie universitaire ou tudiante ; - chargs de famille ; - sportifs ou artistes de haut niveau ; - prsentant un handicap ou justiant de raison de sant ou de maternit ; - ralisant un sjour motiv ltranger ; - faisant objet dune mesure privative de libert. Pour bncier de cet amnagement, les tudiants doivent fournir la preuve de leur appartenance lune des catgories dnies ci-dessus lenseignant responsable de leur section : - Section A : Guillaume Grgoire ([email protected]) - Section B : Sylvain Chaty ([email protected]) - Section C : Sylvie Hnon ([email protected])/ Pour les TP : Julien Browaeys ([email protected]) - Section D : Ccile Roucelle ([email protected]) De mme les tudiants ayant une absence justier en interrogation orale ou en TP devront contacter au plus vite la personne concerne de faon permettre si possible un rattrapage de la sance manque. Toute drogation demeure lapprciation exclusive des enseignants responsables. En cas de litige, le jury de licence demeure linstance dappel.

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TD 1 : Rappels mathmatiques eLorsque Galile a tabli la loi de la chute des corps, le calcul direntiel (les drives, les intgrales, ...) e e e e e e navait pas encore t tabli. Nous allons cependant nous servir de cet exemple pour lintroduire. eee Apr`s avoir constat que tous les objets semblaient mettre la mme dure ` parcourir une mme distance e e e e a e lors dune chute libre (par exemple, lorsquon les lche du haut de la tour de Pise), Galile chercha ` dterminer a e a e ce qui semblait bien tre une loi de la chute des corps. Cest le dbut de la mcanique. e e e

I. La drive dune fonction. e ePour comprendre la chute des corps, Galile dcida dtudier le mouvement dune bille lche sans vitesse e e e a e initiale sur un plan inclin, en supposant que ce mouvement devait aussi suivre la mme loi (en fait, ce nest e e pas tout ` fait vrai, mais ca ne lempcha pas daboutir ` des conclusions justes). a e a Bien s r, ` lpoque, il ny avait pas de chronom`tre. Pour mesurer les temps, Galile se servait de son u a e e e propre pouls ou bien utilisait dautres astuces comme la vidange dun rservoir deau. Pour plus de prcision, e e il plaa sur la rampe, le long du trajet de la bille, des petits grelots que la bille faisait sonner ` son passage (la c a bille tant susamment lourde pour ne pas tre ralentie par les grelots). e e A) Tout dabord, il supposa que le mouvement se faisait ` vitesse constante. Pour vrier cela, il disposa a e les grelots ` gale distance les uns des autres, comme sur la gure suivante : ae

D

Dans cette exprience, les grelots ont-ils sonn ` intervalles de temps rguliers? e ea e Si le mouvement de la bille stait fait ` vitesse constante (bien s r, vous savez tous que ce nest pas le cas), il e a u aurait t simple de dnir une vitesse caractrisant le mouvement ` partir de la dure totale T du mouvement ee e e a e de la bille et de la longueur de la rampe D. Laquelle ? Dans une telle situation, la vitesse est un rapport simple : une distance sur une dure. e B) Galile se rendit compte que sil voulait que ses grelots sonnent ` intervalles de temps rguliers, il fallait e a e quil les espace de plus en plus, comme sur la gure suivante :

D

Galile saperut que si le premier grelot se trouvait ` la distance L du bord de la rampe, il fallait quil e c a espace les autres irrguli`rement de la mani`re suivante : 3L, 5L, 7L, 9L, etc... e e e 1. Entre deux grelots, on peut dnir une vitesse, laquelle? En notant T0 lintervalle de temps entre deux e sonneries de grelots, calculez ces vitesses pour les quatre premiers segments. 2. On voit bien que ces vitesses ainsi dnies ne caractrisent quapproximativement le mouvement, pourquoi? e e

3. En fait, on a besoin de lide dune vitesse instantane qui serait dnie en tout point de la trajectoire. e e e Comment pourrait-on la dnir? Exprimez cette vitesse v(t) en notant t le temps pass depuis le lcher e e a de la bille, et l la distance parcourue depuis linstant t = 0. 4. Pour plusieurs valeurs de t, que vous choisirez ` votre convenance, dterminez la distance totale parcourue a e l(t). Montrez que les espacements entre grelots sugg`rent que le rapport entre deux distances parcourues e (l(t) et l(t )) est gal au rapport des dures correspondantes lev au carr. e e e e e 5. Dduisez-en la loi l(t). En plus de la variable t, cette loi fait intervenir les param`tres T0 et L. Montrez e e t que la vitesse instantane de la bille a un temps t quelconque vaut : v(t) = 2.L. T0 2 . e ` Pour rpondre prcisment aux questions prcdentes, vous avez du introduire lide dune limite. e e e e e e La vitesse instantane est en fait une vitesse moyenne (un simple rapport entre une distance et une e dure), mais pour une dure et une distance extrmement petites, tendant vers 0. e e e Si on veut gnraliser ce rsultat, il faut remplacer la distance et la dure par nimporte quelle e e e e grandeur y dpendant dune autre grandeur x. En physique, la drive y (x) de la fonction y(x) se e e e dy note dx , car elle correspond au rapport entre une toute petite variation de y (la direntielle dy) et e une toute petite variation de x (la direntielle dx). e Rappelons la dnition mathmatique exacte de la drive y en un point de rfrence x0 : cest la e e e e ee limite du taux de variation de la fonction y, calcul entre deux valeurs x0 et x0 + dx, lorsque ces deux e valeurs sont inniment proches lun de lautre: y (x0 ) = lim y(x0 + dx) y(x0 ) dx (1)

dx0

Le numrateur y(x0 + dx) y(x0 ) correspond ` la petite variation subie par la quantit y lorsque x e a e passe de x0 ` x0 + dx: cest pourquoi on peut noter ce numrateur dy. La notation des physiciens, a e dy a e y (x0 ) = dx (x0 ), exprime le fait que le passage ` la limite nest pas ncessaire en pratique. Il sut que la variation dx soit extrmement petite pour que la variation dy soit extrmement petite elle aussi, e e e e a e e avec dy proportionnelle ` dx, le rapport dy tant gal ` la drive rigoureuse y (x0 ). a dx

II. Lintgrale dune fonction. eOn cherche maintenant ` rsoudre le probl`me en sens inverse: on suppose connue lexpression de la vitesse a e e t e que la bille acquiert au bout dune dure t, v(t) = 2.L. T0 2 , et on essaye den dduire la distance parcourue l(t). e 1. Supposez que vous connaissiez la distance que la bille a parcouru au bout de la dure t, que vaut la e distance parcourue au bout de la dure t + dt o` dt reprsente une dure tr`s courte ? Quentend-on e u e e e par tr`s court (question tr`s importante !) ? e e 2. En dcoupant la dure t en n intervalles gaux dt tr`s courts, allant de t0 = 0 ` tn = t = n.dt, donnez e e e e a une expression de l(t) sous la forme dune somme. 3. Reprsentez graphiquement la vitesse en fonction du temps entre t0 = 0 et tn = t. Que reprsente votre e e t expression prcdente de l(t) sur votre graphique? Dduisez-en que l(t) = 0 v(t ).dt , et vriez par le e e e e calcul quon retrouve la loi l(t) mentionne dans la partie I. e Lexpression x12 y(x).dx reprsente en fait une somme ( est le S tir de somme !): plus prcisment, e e e e e la somme de tous les petits lments y(x).dx, lorsque x varie entre x1 et x2 par petits pas dx. Sur un ee graphique reprsentant y en fonction de x, y(x).dx est la surface du rectangle compris entre x et x + dx e (en abscisse), et entre 0 et y(x) (en ordonne), surface extrmement petite car dx est extrmement e e e petit. En faisant tendre dx vers 0, on diminue la taille des rectangles mais on augmente leur nombre et, surtout, on colle de plus en plus ` la courbe y(x). Lintgrale est une somme innie de valeurs a e inniment petites. L` encore, ces termes sont des abstractions, et en Physique, nous reviendrons a souvent ` cette dnition de lintgrale qui est une somme de tr`s nombreuses valeurs extrmement a e e e e petites. 2x

III. Le dveloppement limit dune fonction. e eAvec ltude de la chute des corps, Galile mit en vidence la pesanteur, caractrise par g. Tout objet ` la e e e e e a surface de la Terre est attir vers le centre de la Terre (pas tout ` fait le centre, mais cette approximation ne e a sera pas gnante) proportionnellement ` sa masse m. e a Galile meurt en 1642, lanne o` Newton na Newton va introduire lide de la gravitation universelle, e e u t. e dont la pesanteur ` la surface de la Terre nest quun exemple : deux objets sattirent proportionnellement a au produit de leurs masses et de mani`re inversement proportionnelle au carr de la distance qui les spare : e e e F = G. m1 .m2 . d2 A) Si la pesanteur de Galile nest quune manifestation de la gravitation universelle de Newton, alors, pour e un objet de masse m, nous devons avoir : F = m.g = G. MT m.MT = g = G. RT 2 RT 2

Vriez-le en prenant G = 6.7 1011 m3 .kg 1 .s2 , MT = 6 1024 kg et RT = 6400 km. e Supposons maintenant quon cherche ` dterminer la valeur de la pesanteur au sommet dune montagne a e daltitude z. Comme on sloigne du centre de la Terre, la force de gravitation due ` la Terre doit diminuer, e a donc on doit avoir : g(z) < g(0). 1. Donnez lexpression exacte de la pesanteur g(z) ` laide de la force de gravitation de Newton, et donnez a lallure de la courbe de g(z).dg 2. En revenant ` la dnition de la drive en 0 (g (0) = dz (0) = limz0 a e e e approximer la variation de g(z) si z est petit. Que signie petit? g(z)g(0) ), z0

montrez quon peut

3. Donnez alors une expression approche de g(z), et tracez la courbe correspondante. e Ce que vous avez fait sappelle un dveloppement limit au premier ordre. Vous avez approxim la fonction e e e MT g(z), qui est une fraction rationnelle (g(z) = G. (RT +z)2 ), par une simple fonction ane. Graphiquement, cette approximation revient ` confondre, lorsque z est petit, la courbe de g(z) et la tangente ` cette courbe. Il est a a beaucoup plus facile de manipuler des quations de droite (fonctions anes) plutt que des fonctions complexes, e o ce qui explique que les dveloppements limits au premier ordre soient tr`s utiliss pour faire des approximations e e e e en physique. On peut aller plus loin: pourquoi ne pas essayer de coller encore plus ` la courbe ? Avec une fonction a simple mais un peu plus complique quune simple droite : une parabole. Comme on a utilis la e e drive pour le dveloppement limit au premier ordre, on devra ici utiliser en plus la drive seconde. e e e e e e Cela sappelle un dveloppement limit dordre 2. On peut aller encore au del`, faire un dveloppement e e a e limit dordre n qui est le polynme de dgr n qui colle le plus ` la courbe au point qui nous intresse. e o e e a e La formule gnrale, quon appelle dveloppement de Taylor de la fonction f (x) autour du point x0 , e e e est la suivante : f (x) = f (x0 ) + f (x0 ).(x x0 ) + f (x0 ). (x x0 )3 (x x0 )2 + f (x0 ). + ... 2! 3!

En particulier, pour un dveloppement limit en 0 (x0 = 0): e e f (x) = f (0) + f (0).x + f (0). x2 x3 + f (0). + ... 2 6

3

B) Exemples Trouvez les dveloppements limits suivants : e e 1. de la fonction cos() au voisinage de = 0 au deuxi`me ordre, e 2. de la fonction cos() au voisinage de = /2, au premier ordre, 3. de la fonction (1 + x)3 au second ordre, au voisinage de x = 0. 4. de la fonction1 1+ax

au premier ordre, au voisinage de x = 0

5. de la fonction ln(x) au second ordre, au voisinage de x = 1

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TD 2 : Ordres de grandeur - Analyse dimensionnelleI. Ordres de grandeur1. Donnez les ordres de grandeur du nombre dAvogadro, de la taille dune molcule, de la taille et de la e masse dun nuclon, de la taille dune cellule, du rayon et de la masse de la Terre, du rayon et de la masse e du Soleil, de la distance Terre-Soleil, de la vitesse de la lumi`re dans le vide, de la distance parcourue par e la lumi`re en une anne. e e 2. Calculez la densit de la mati`re contenue dans un nuclon. Estimez le rayon dune toile ` neutrons ayant e e e e a une masse comparable ` celle du Soleil. a 3. Estimez le nombre de cellules qui vous composent. Estimez le nombre de grains de sable ` Paris Plages. a 4. En homopathie, on compte la concentration de la molcule thrapeutique (la teinture-m`re) en CH e e e e (Centsimale Hahnemannienne1 ) : 1CH correspond ` une dilution au centi`me de la teinture-m`re, et e a e e nCH correspond ` une dilution au 100ieme de (n-1)CH. Estimez le nombre de molcules de teinture-m`re a e e contenues dans un granule 5CH, 9CH, 15CH.

II. Dimensions et homognit e e e1. A laide de formules simples, retrouvez les dimensions et les units dans le syst`me international dune e e nergie, dune force, dune pression. e 2. Donnez les dimensions des coecients en majuscule dans les quations suivantes : e a. x = 1 At2 + V0 t, o` x est une position et t le temps. u 2 b.1 2 2 Rv

+ RGx + p = cte, o` p est une pression, v une vitesse, x une position. u

c. m = Kx + mG + Lx + F , o` m est une masse et x une position. x u

III. Analyse dimensionnelle, lois dchelle e1. Priode doscillation e Un objet ponctuel de masse m est pos sur un plan horizontal et accroch ` un ressort ` boudin linaire e ea a e sans masse, de constante de raideur k (exprime en kg/s2 ). Si on tire lobjet de x0 par rapport ` sa position e a initiale, lobjet oscille avec une priode T . Donnez par analyse dimensionnelle la relation qui lie T ` m, k et x0 . e a 2. Dure de vie des mammif`res e e La puissance P ncessaire ` un mammif`re de masse M pour simplement survivre dans son environnement e a e habituel (mtabolisme de base) est donne par la loi approximative, dite loi de Kleiber, P = KM 3/4 , avec e e K = 4 W.kg 3/4 (Max Kleiber, Body size and metabolic rate, Physiological Review 27(1947) pp. 511541). a. En dduire lnergie que vous consommez en une journe. Exprimez le rsultat en Calories e e e e (1 Cal = 4,18 kJ) et dites sil vous para raliste, compte tenu de ce que vous savez de la valeur nutritive t e des aliments. b. En remarquant que lnergie est apporte aux cellules par le dbit sanguin, exprimez par quelle type de e e e loi la puissance P dpend du rythme cardiaque r des mammif`res, de leur masse M et de la vitesse du sang e e v. On suppose que v est la mme pour tous les mammif`res. Montrez alors en utilisant la loi de Kleiber que r e e 1 devrait tre proportionnel ` M 4 . e a c. En dduire le rythme cardiaque dun lphant de 3, 5 tonnes, sachant que celui dune souris de 25 grammes e ee est de 600 battements/minute. Est-ce raliste ? e1 Christian

Friedrich Samuel Hahnemann (1755-1843), mdecin allemand qui inventa lhomopathie en 1796 e e

d. Le tableau ci-dessous donne la masse M et la longvit moyenne de quelques mammif`res. Tracer en e e e chelle loglog la courbe = f (M ) et commentez la cas de lhomme du XX`me si`cle. Dites pourquoi cette e e e courbe sugg`re que le cur de ces mammif`res cesse de battre apr`s avoir accompli un mme nombre de cycles e e e e et estimez ce nombre. Esp`ce e M (kg) (annes) e Souris 0,025 3,5 Cobaye 0,3 7,5 Renard 3 14 Ch`vre e 30 18 Homme 65 70 Gorille 200 35 e Elphant 3500 70

3. Puissance de la premi`re bombe atomique e

Figure 1: Le test Trinity, 15 ms apr`s la dtonation. Londe de choc est ` ce moment large dun peu plus de 200 m. e e a A titre de comparaison, les petits objets noirs au premier plan sont des arbres...

Life Magazine a publi en 1947 les photos de la premi`re explosion nuclaire, (Trinity test, New Mexico Juillet e e e 1945). Ces photos montrent lexpansion de londe de choc cre par lexplosion ` dirents temps (donns en ee a e e millisecondes). La gure 1 montre la photo prise 15 ms apr`s la dtonation. A laide de ces seules images e e diuses dans un journal populaire, G.I.Taylor parvint ` estimer lnergie produite par lexplosion, une infore a e mation classe top-secret ` lpoque par les militaires. Nous vous proposons de refaire cet exercice aujourdhui. e a e En premier lieu, Taylor mesura sur chacune des photos la valeur du rayon de londe de choc et releva le temps indiqu dans la lgende. Ces rsultats sont rsums dans la table ci dessous : e e e e e t (ms) r (m) t (ms) r (m) 0,1 11,1 1,79 46,9 0,24 19,9 1,93 48,7 0,38 25,4 3,26 59,0 0,52 28,8 3,53 61,1 0,66 31,9 3,80 62,9 0,8 34,2 4,07 64,3 0,94 36,3 4,34 65,6 1,08 38,9 4,61 67,3 1,22 41,0 15,0 106,5 1,36 42,8 25,0 130,0 1,50 44,4 34 145,0 1,65 46,0

a. Taylor t les hypoth`ses que le mouvement de londe de choc nest pas perturb par le sol, et que le rayon e e r ne dpend que de lnergie totale E libre par lexplosion, de la densit de lair au repos et du temps t. En e e e e e utilisant ces hypoth`ses et lanalyse dimensionnelle, estimez la forme de la loi r(t). e b. La courbe de la gure 2 reprsente ln(r) en fonction de ln(t) (avec r exprim en m`tres et t exprim en e e e e secondes) ` partir des donnes exprimentales. Comparez ces rsultats ` la loi tablie par analyse dimensionelle. a e e e a e Quel est lintrt de passer aux logarithmes ? e e c. La masse volumique de lair au repos est connue ( = 1kg.m3 ). En utilisant la courbe de la gure 2 et en supposant que les prfacteurs numriques de lanalyse dimensionelle sont gaux ` 1, donnez une estimation e e e a de la valeur de lnergie totale de la bombe E. e d. Estimez la masse de mati`re ssible ncessaire. La ssion dun atome dUranium lib`re environ 215 M eV . e e e Estimez le temps quil faudrait ` une centrale nuclaire fournissant une puissance lectrique denviron 1 GW a e e pour dlivrer une nergie comparable ` E. e e a 2

Figure 2: Trac de ln(r) en fonction de ln(t). On donne lquation de la droite obtenue par ajustement des points de e emesure.

4. Vitesse du son a. On suppose que la clrit c (ou vitesse de propagation) du son dans un gaz parfait ne dpend que de sa ee e e pression P et de sa densit . Trouver lexpression de c par analyse dimensionnelle ` une constante pr`s sans e a e dimension. b. En supposant que lair se comporte comme un gaz parfait, exprimer en fonction de P , de la temprature e T et de la masse molaire M , puis exprimer c en fonction de T et M . En supposant que la constante de proportionalit dans lexpression de c vaut 1, faire lapplication numrique pour lair ` 20 C. On rappelle les valeurs e e a de la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.mol1 .K 1 et de la masse molaire de lair : M = 29 g/mol. c. Un soir dorage, vous voyez un clair et vous entendez le tonnerre 3 s plus tard. A quelle distance la e foudre est-elle tombe ? e d. Pour un uide quelconque, on admet que la clrit du son ne dpend que de la masse volumique et ee e e 1 d de la compressiblit = dP , o` P est la pression. Par analyse dimensionnelle, donner lexpression de c e u en fonction de et de . Cette expression fait intervenir une constante sans dimension. Quelle doit tre la e valeur de cette constante pour que la relation trouve pour un uide quelconque soit compatible avec la relation e trouve pour un gaz parfait (question b.) ? e e. On donne deux valeurs de compressibilit ` 20 C : 1 = 7 106 P a1 et 2 = 5 1010 P a1 . Lune de ea ces valeurs est celle de la compressiblit de leau, lautre celle de la compressiblit de lair. Attribuer ` chacun e e a des deux uides sa compressiblit, en justiant votre rponse. e e f. Calculer les valeurs de la clrit du son dans lair et dans leau ` 20 C. ee e a

3

6 cm2

60 kg

80 kg

20o

0.3 m2

5m

2m

3000 Pa

bois = 0, 7 g/cm3

d = 10 cm D = 100 cm

1000 kg

h = 1 cm H b)

L = 0, 80 m l = 0, 5 m H = 0, 5 m s = 0, 02 m2 3128 kg mercure = 13, 6 g/cm3

U

U s = 1 cm2 v = 10 cm3 huile = 0, 7 g/cm3

h = 14 cm U v = 50 cm3

1 2 Pint

V2

V1 1 s

glace = 0.917 g/cm3

100 cm2

R = 30 cm R

0, 1 atm

h R M H

helium = 0.18 g/l air = m = 500 kg 1.2 g/l Vlim

p = RT R T M M 6.1023 p dz z Mg p(z) = p0 .e RT z z Vlim a) 10% 8600m 5000m 8600 m V0

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TD 4 : HydrodynamiqueI. Pour schauer ea) Une conduite deau horizontale de rayon R = 0.1 m transporte de leau ` la vitesse V = 2 m/s. On a souhaite que leau sorte de cette conduite avec une vitesse v = 10 m/s. Comment sy prendre ? b) Quelle est la pression qui sexerce alors sur la paroi de la conduite ? c) Dans une conduite deau verticale, de rayon constant, un rgime permanent deau coulant est tabli. A e e partir de lquation de Bernoulli1 et de la conservation du dbit, montrez quon retrouve la loi de lhydrostatique e e (dirence de pression entre deux points spars par une hauteur h). Application ` la pression sanguine ? e e e a

II. Le barrageLeau dun lac articiel est retenue par un barrage, seule une petite conduite place ` 20 m sous la surface e a lui permettant de scouler (gure ci-dessous). Le point A est considr tr`s loign de la conduite, ` la surface e e e e e e a de leau, le point B tant ` la verticale de A mais ` la mme altitude que la conduite. Les points C, D, et E e a a e sont tous trois situs ` lintrieur de la conduite, respectivement pr`s de lentre, au milieu et pr`s de la sortie. e a e e e e Les questions qui suivent sont simples mais ncessitent un raisonnement et une rdaction rigoureuse, comme en e e situation dexamen. a) Posez le probl`me en commenant par introduire des notations pour les dirents param`tres ainsi que e c e e pour les inconnues ` dterminer (pressions, vitesses...). Tracez galement lallure des lignes de courant dans le a e e lac et dans la conduite. Prcisez quelles approximations vous pouvez faire en considrant que les points A et e e B sont tr`s loigns de lentre de la conduite. Indiquez enn, en les justiant, les hypoth`ses que vous vous e e e e e permettrez concernant lcoulement. e b) Que peut-on dire des pressions aux points A et E, et pourquoi? c) Que peut-on dire concernant les vitesses aux points C, D et E, et pourquoi? d) Que peut-on dire concernant les pressions aux points C et D, et pourquoi? e) Que peut-on dire de la pression au point B, et pourquoi? f) Dduisez-en la vitesse avec laquelle leau sort de la conduite. Application numrique? e e g) Aurait-on pu dterminer cette vitesse en suivant un autre raisonnement, plus rapide? e h) Que ressentirait un plongeur (sensation dentra nement par le courant, sensation de pression dans les oreilles, etc...) qui nagerait de A vers B puis de B vers la conduite? En particulier, quand est-ce que lacclration ee subie est la plus forte? Ceci est-il cohrent avec le principe fondamental de la dynamique? e

III. Vaporisateur ` parfum aa) Dans un tube ` section circulaire o` coule de lair en rgime stationnaire, rappelez pourquoi on observe a u e une dpression ` lendroit dune diminution de section. e a b) Sur la gure de gauche ci-dessous, une drivation verticale est connecte au tube horizontal ` lendroit o` e e a u il est le plus troit. Cette drivation trempe dans un acon de parfum de masse volumique parf um = 0.8 g/cm3 e e (la masse volumique de lair vaut quant ` elle air = 1.2 kg/m3 ). Dterminez la hauteur h de liquide dans le a e1 Daniel

Bernoulli, 1700-1782, mdecin, physicien et mathmaticien suisse e e

E

D

C

m

0

2

B

A

tube vertical lorsque les deux diam`tres valent A = 4 mm et B = 1 mm, dans le cas dun dbit D = 0.24 L/mn. e e Prcisez les hypoth`ses faites pour ce calcul. e e c) On sintresse ` un vaporisateur ` parfum (gure de droite) pour lequel la hauteur entre la surface du e a a parfum et le vaporisateur est H = 10 cm. Quel doit-tre le dbit minimum dair pour quil y ait vaporisation? e e Quest ce qui est vaporis, du liquide ou du gaz? e e) La poire est assimilable ` une sph`re de rayon R = 2 cm. Quel est lordre de grandeur du temps maximum a e que doit durer lvacuation de lair contenu dans la poire pour quil y ait vaporisation ? e

IV. La clepsydreNous allons tudier la vitesse de vidange de dirents rcipients remplis deau. A chaque fois, nous come e e mencerons, dans lquation de Bernouilli, par ngliger la vitesse de leau ` la surface. A quelle condition cette e e a hypoth`se est-elle justie ? e e

a) Prenons un cylindre de base S rempli deau, possdant un petit orice de section s en son fond, au milieu e (gure de gauche). Calculez la vitesse ` laquelle le niveau descend, en fonction de la profondeur de leau, apr`s a e avoir prcis les hypoth`ses faites pour ce calcul. e e e b) Dterminez lquation direntielle qui gouverne lvolution du niveau deau h(t) en fonction du temps. e e e e Rsolvez-la par la technique de sparation des variables, en notant la hauteur initiale h(0) = H. Au bout de e e combien de temps le rcipient est-il vide? Vriez lordre de grandeur de votre rsultat ` laide dune application e e e a numrique, en utilisant par exemple les dimensions caractristiques des cuve utilises en TP. e e e c) On sintresse maintenant ` une cuvette ` symtrie de rvolution, de hauteur a, ayant une base de rayon e a a e e a et une ouverture au sommet de rayon 2a (gure de droite). Dans un tel cas, la surface du niveau de leau diminue lorsque la cuvette se vide: dterminez la loi S(h), puis la vitesse ` laquelle le niveau deau descend. e a Montrez ensuite que la vitesse de descente du niveau deau est maximale lorsque la cuvette est remplie au tiers de sa hauteur. d) Trouvez quelle doit tre la forme dun rcipient ` symtrie de rvolution pour que la vitesse de descente e e a e e du niveau de leau soit constante, et dessinez-la. On pourra utiliser la vidange dun tel rcipient gradu pour e e mesurer le temps: ce type de rcipient sappelle une clepsydre. Les gyptiens en avaient dj` dcouvert la forme e e ea e et lutilisait pour mesurer le temps.

V. Force du vent sur une toitureUn vent violent soue parall`lement au sol. En rase campagne, sa vitesse vaut v0 = 100 km/h. Un btiment e a de hauteur h = 10 m et de largeur L = 50m lui fait obstacle. La gure ci-dessous reprsente une vue en coupe e verticale, la largeur L tant dans le plan perpendiculaire ` la feuille. Lcoulement de lair va contourner la e a e maison par le haut. Pour pouvoir calculer la force exerce par le vent sur la toiture, nous allons faire deux e hypoth`ses (tr`s) simplicatrices: e e La vitesse du vent dcroit linairement en fonction de laltitude, dune vitesse v(h) = vmax ` la vitesse e e a 2

H

R s B h s A

v(2h) = v0 . Au dessus de laltitude 2h la vitesse est considre constante et gale ` v0 . e e e a Les lignes de courant restent toutes dans un plan vertical, cest-`-dire que le vent contourne le btiment a a uniquement par le dessus, sans passer par les cots. e a) En amont du btiment, exprimez le dbit dair traversant la surface de largeur L et de hauteur 2h, en a e fonction de v0 . b) Explicitez la loi v(z) au dessus du btiment, pour z variant entre h et 2h. Dduisez-en le dbit dair a e e traversant la surface de largeur L et comprise entre z = h et z = 2h, en fonction de v0 et vmax c) Dterminez vmax . e c) Le btiment ntant pas hermtique, de toutes petites ouvertures permettent ` certaines lignes de courant a e e a dentrer et de ressortir du btiment (le courant dair correspondant restant de vitesse ngligeable). Dterminez a e e les pressions de part et dautre de la toiture. Evaluez la force que le vent exerce sur une tuile, et comparez-la au poids de la tuile. Conclusion ?

V0111111111 000000000 111111111 000000000

V0 h V max h

V0VI. Fluides rels e

a) Calculez le nombre de Reynolds pour le sang quittant le cur et rentrant dans laorte puis pour le sang passant dans un vaisseau capillaire (Raorte = 9 mm, Rcap. = 2 m, Vaorte = 0.3 m/s, Vcap. = 600 m/s, et sang = = 0.04 cm2 /s). Prcisez dans les deux cas quel est le type de lcoulement. e e b) On sintresse ` un uide visqueux dpaisseur d compris entre deux plaques parall`les en mouvement e a e e relatif lune par rapport ` lautre (une plaque immmobile et lautre ` la vitesse v). Dessinez le champ de vitesse, a a cest ` dire les directions et les normes des vecteurs vitesses en dirents endroits de lcoulement. Que peut-on a e e dire du gradient de vitesse dans la direction transverse ` lcoulement? Rappelez la relation donnant la force a e de frottement exerce par des plaques de surface A sur un tel uide, en fonction de sa viscosit . e e c) Dans le cas dun coulement visqueux dans un tuyau de rayon R, on prend comme hypoth`se de dpart e e e e a que le gradient de vitesse vaut vmax , ou vmax dsigne la vitesse maximale (cest ` dire la vitesse au centre du R tuyau). Dessinez lallure que doit avoir le champ de vitesse pour que le gradient de vitesse ait eectivement cette valeur dans tout le uide. Dduisez-en la force de frottement totale subie par leau dans le cas dun tuyau e de longueur L d) En ralit, la force de frottement subie par leau est de la forme f = 4Lvmax : vriez que cela e e e correspond ` un gradient de vitesse 2 vmax au niveau des parois, au lieu de vmax . Dessinez une nouvelle allure a R R du champ de vitesse permettant de prendre en compte ce rsultat (on peut mme dmontrer, au niveau L2, que e e e le champ de vitesse doit tre de forme parabolique). e e) Pour un coulement stationnaire dans un tel tuyau, quelle doit tre la dirence de pression entre les deux e e e extrmits? Estimez la perte de charge, cest ` dire la variation de pression par unit de longueur, dans le cas e e a e dun vaisseau capillaire ( = 4.103 Pa.s). Pourquoi lart`re aorte est-elle la plus grosse? e

VII. Phnom`ne de cavitation e eUne conduite am`ne de leau ` 10 C dun barrage vers une turbine dune centrale lectrique. Le diam`tre e a e e de cette conduite est constant (D = 30 cm). La turbine se situe ` H = 120 m au dessous du niveau de leau du a barrage et le dpart de la conduite se situe lui ` H0 = 20 m du niveau de leau. e a

Ho HD

D

d

turbine

3

a) Calculez la vitesse du uide ` la sortie de la conduite. Lextrmit est suppose tre ` lair libre. a e e e e a b) Calculez la pression dans la conduite p(z) pour une profondeur z quelconque, entre z = H0 et z = H. Reprsentez lallure de la fonction p(z). A quelle profondeur cette pression devient-elle infrieur ` la pression e e a de vapeur saturante de leau (pvap.sat. (10 C) = 12.4 mbar) ? Que se passe-t-il alors ? Calculez aussi la valeur du nombre de Reynolds. On rappelle la valeur de la viscosit cinmatique de leau : eau = 0.01 cm2 /s. Que e e concluez-vous ? c) Pour viter ce phnom`ne, quon appelle cavitation, on ajoute au bout de la conduite une tubulure de e e e section dcroissante avec un diamtre de sortie d. Quel doit tre la valeur maximale de d si on veut viter tout e e e e probl`me de cavitation ? Calculez alors la valeur du nombre de Reynolds en sortie de tubulure. e

4

PH1ME1-C

Universit Paris Diderot - Paris 7 e

2011-2012

TD 5 : Cinmatique eI. Pour schauer e1. Le dessin ci-dessous reprsente une trajectoire plane suivie par un objet. A linstant t0 lobjet est au e point M0 , ` linstant t1 = t0 + t il se trouve au point M1 et plus gnralement ` linstant ti = t0 + it il se a e e a trouve au point Mi . a. Donnez lexpression de la vitesse moyenne entre M1 et M2 et entre M8 et M9 . Reprsentez qualitativement e la vitesse instantane en chacun de ces points. e b. En utilisant un raisonnement analogue, reprsentez qualitativement le vecteur acclration aux points M1 et e ee M8 . c. Comment les rsultats prcdents sont-ils modis si on prend comme rep`re celui centr en O ? e e e e e e

2. Dans les six cas suivants, choisissez lorigine du rep`re, le syst`me daxes et le type de coordonnes qui e e e vous semblent les plus appropris pour ltude du mouvement. Dites tout ce que vous pouvez supposer des e e variations qualitatives de chacune des coordonnes dans chacun des cas. ea) b)

111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000d) v astroide Terre v e)

111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000

1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 111 000 111 000 111 000

1111111111111 0000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 1111111111111 0000000000000 11111111111111 00000000000000

c) Lune

Terre

f) v

111 000 111 000 111 000

II. Lois horaires1. Dans une fte foraine, une cage est attache ` un grand lastique vertical. A linstant t0 = 0 la cage est e e a e lche ` vitesse nulle depuis le sol. Elle a un mouvement vertical ascendant. A linstant t1 = 2s, sa vitesse est a e a de 15m/s. a. Calculer lacclration moyenne de la cage entre t0 et t1 . ee b. En supposant que la cage est soumise ` une acclration constante entre 0 et 2s, dire ` quelle hauteur elle se a ee a trouve ` linstant t1 . a c. La cage continue ensuite ` monter sur sa lance (cest-`-dire sous la seule action de lacclration de la a e a ee pesanteur). A quelle hauteur monte-t-elle ? d. La cage retombe ensuite. Quelle est sa vitesse 1s apr`s avoir atteint le point le plus haut (instant t3 ) ? e e. A partir de linstant t3 , la cage est freine par un dispositif mcanique pour arriver ` vitesse nulle au niveau e e a du sol. A quelle acclration, suppose constante, la cage est-elle soumise pendant le freinage ? ee e 2. Un voilier baisse ses voiles ` linstant t = 0, sa vitesse ` cet instant vaut v0 . a a Une mesure de sa vitesse ultrieure indique en ralit une dpendance hyperbolique avec le temps. Montrer que e e e e lacclration du voilier est proportionnelle au carr de sa vitesse. Dterminer la distance parcourue en fonction ee e e du temps et la vitesse en fonction de la distance parcourue. 3. Un objet ponctuel de masse m est en mouvement dans le plan (xOy). A linstant t ses coordonnes valent e : x(t) = m t2 + t et y(t) = t + . a. Quelles sont les dimensions des constantes , , et ? b. Quelle est la nature de la trajectoire ? c. Quelle est la position de M ` linstant t = 0 ? Donner les composantes et la norme de la vitesse ` linstant a a initial et plus gnralement ` linstant t. Que vaut la vitesse minimale ? e e a d. Donner les composantes et la norme de lacclration ` tout instant t. ee a 4. On consid`re un point M qui a un mouvement circulaire uniforme dans le plan (xOy). Sa trajectoire est e de centre O et de rayon R. a. Ecrire ` linstant t les coordonnes cartsiennes du point M. a e e b. Calculer les composantes vx et vy de la vitesse puis sa norme. c. Mmes questions pour lacclration. e ee 5. La com`te de Halley e La com`te de Halley 1 dcrit une trajectoire elliptique tr`s allonge due ` lattraction du soleil et dont la priode e e e e a e vaut environ 76 ans. On peut montrer que la distance de la com`te au soleil est relie ` un angle polaire de la e e a mani`re suivante (p et e tant des constantes positives) : e e r() = p 1 + e cos( 0 )

a. Montrer que e doit ncessairement tre infrieur ` 1. Choisir le centre et les axes du rep`re polaire et e e e a e dterminer alors 0 . e b. Donner lexpression du vecteur position et le reprsenter au point M , ainsi que les vecteurs unitaires du e rep`re polaire local. Pourquoi parle-t-on de rep`re local ? e e c. Donner lexpression du vecteur vitesse et le reprsenter au point M . e1 Edmund Halley (1656-1742), astronome et ingnieur britannique, surtout connu pour avoir dtermin la priode de la com`te e e e e e dite de 1682, qui fut rebaptise de Halley lors de son retour en 1758 e

2

d. Donner lexpression du vecteur acclration et le reprsenter au point M . Dterminer la portion de la ee e e trajectoire o` la com`te accl`re puis la portion o` elle dcl`re. Quen est-il du vecteur acclration entre ces u e ee u e ee ee portions de trajectoire ? Montrer que lorsque la com`te se trouve au plus pr`s du soleil (prihlie), sa vitesse e e e e est orthogonale au rayon. Montrer quil en est de mme lorsquelle se trouve au point le plus loign (aphlie). e e e e A quel endroit la clrit de la com`te est-elle maximale ? A quel endroit est-elle minimale ? ee e e 6. On consid`re un point M qui dcrit la trajectoire dnie dans le rep`re cartsien (O, , , k) par e e e e e OM = Rcos(t) + Rsin(t) + ht k a. Quelle est la nature de la trajectoire ? b. Calculer les vecteurs vitesse et acclration puis leurs normes. ee

III. Composition des vitesses1. Un pcheur remonte sur un bateau une rivi`re qui coule ` vitesse constante. En passant sous un pont, e e a il perd son chapeau qui tombe ` leau mais il ne sen aperoit pas et continue son chemin. Au bout dune a c demi-heure, il fait demi-tour pour rcuprer son chapeau, quil retrouve ` 5km en aval du pont. Dterminer la e e a e vitesse du courant sachant que la vitesse du bateau par rapport ` leau est constante. a 2. Un bac traverse une rivi`re de largeur l avec la vitesse v par rapport ` leau, orthogonale au courant. La e a vitesse u du courant par rapport ` la rive est uniforme. Pour les application numriques, on prendre v = 0, 8m/s a e et u = 0, 5m/s. a. Dans un rep`re li au courant, dessiner la trajectoire du bac. Quelle est dans ce rep`re la vitesse des arbres e e e plants sur la rive ? Calculer le temps que met le bac ` traverser la rivi`re. e a e b. En se plaant cette fois dans un rep`re li ` la rive, reprsenter la trajectoire du bac et calculer le temps de c e ea e traverse. e c. Quelle direction le bac doit-il emprunter pour traverser la rivi`re entre deux embarcad`res situs en vis-`-vis e e e a sur les deux rives ? 3. Un man`ge pour enfants tourne ` vitesse angulaire = 1tour/mn constante. Pour ramasser les tickets, e a le responsable du man`ge doit parcourir la plate-forme en rotation. e a. Partant du centre ` linstant t = 0, il suit un rayon de la plate-forme avec un mouvement de clrit a ee e v = 2m/mn constante par rapport au man`ge. Le rayon R de la plateforme vaut 3m. e i. Etablir les quations du mouvement du responsable dans un rfrentiel R li au man`ge : elles dcrivent e ee e e e le mouvement du responsable vu par les enfants. Les tablir ensuite dans un rfrentiel R li au sol : elles e ee e correspondent au mouvement observ par les parents. Dessiner la trajectoire suivie dans R et dans R par le e responsable du man`ge. e ii. Dterminer la vitesse puis lacclration du responsable dans le rfrentiel R ` partir des quations de son e ee ee a e mouvement. iii. Calculer la composante tangentielle de lacclration. Dessiner les acclrations radiale, orthoradiale, tanee ee gentielle et normale ` linstant t = 1mn. a b. Le responsable du man`ge parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle concentrique ` e a la plate-forme, de rayon r0 = 1m , avec toujours la mme clrit v par rapport au man`ge. Reprendre les e ee e e questions prcdentes. Que se passe-t-il si v/r0 = ? e e

3

1

a

b

a

a + da

b

b + db

a a + da b b + db

da

db

dz

z

d(mgz)

mgz

b a db db da da db da db da

db =

db da da

= cos d(sin ) = cos d

d(sin ) d

d

d(sin )

a

db (a) da

db d da

da 2 d(sin t) = cos t d (sin t) = d( cos t) = 2 sin t dt dt2 dt

a db d( da )

da

d2 b da2

t2 f (t)dt t1

f (t)dt

t

t1

t2 dt f (t) F (t) t2 t1

F

f (t)dt = [F ]t2 = F (t2 ) F (t1 ) t1

dF F (t) f (t) f (t) = dt t dt F dF

f (t)dt = dF

dF

F (t1 )

t F (t2 )

t1

f (t)dt t2 F (t)

F

dF F = F (t2 )F (t1 )

u2 f (u)du f (u) u1 f (u)du

v

dv

f (u)du = g(v)dv

v

u

v

v1 = v(u1) u

v2 = v(u2)uf

vf

f (u)du =ui

g(v)dvvi

f (u)du

u

u1 v

g(v)dv

u2 v1 v2

f f dg dg dx = dfdf dx

g dg df dx

x

d(eg(u) ) du d(cos( )) 3 2 d

dg du

d(Aeikx +Beikx ) dx d2 (Aeikx +Beikx ) dx2

2 d ln 1+ t 2

dt 2 d2 ln 1+ t 2

dt2

v(t) = v0 e

t

dv

dt

z

z = L(1 cos ) d

dz

z

Ep = GmMT RT +z

z

dEp z + dz

1 n1 sin i1 = n2 sin i2

2

i1

i2

di1

di2

H (lP0 + glz) 0 H T 0 T 0

dz v0

g

l

gt dt

g

T

t v0 exp dt

T

RT +h GmMT dr G r2 RT RT

m

MT

3 4 2

tan() d cos3 () d cos 3

v = cos u = sin y= 3

0

0

t 2

dt

t 2 xx0 2 h

x0 +H (x x0

x0 )e(

xx0 h

) dx

2

z=

b PH1ME1-C

Universit Paris Diderot - Paris 7 e

2011-2012

Feuille de math 2 : Dveloppements limits e e 1 Introduction au dveloppement limit e e

Dnitions eLorsque deux quantits a et b sont relies entre elles, la relation b(a) est parfois trop come e plexe pour permettre des calculs rapides. Le dveloppement limit peut alors tre utilis pour e e e e obtenir une approximation de la fonction b(a), dans le cas o` a prend des valeurs proches dune u valeur de rfrence note a0 . ee e Si la quantit a est proche de a0 , la valeur de b(a) sera galement proche de b(a0 ) : on dnit e e e les carts a = a a0 et b = b(a) b(a0 ). Lobjectif est de dterminer la variation de b(a) e e par rapport ` b(a0 ) en fonction de lcart a, sous la forme dun dveloppement limit, cest ` a e e e a dire dune somme de termes du type : b(a) = b(a0 ) + a + a2 + a3 + . . . soit : b(a) = b(a0 ) + (a a0 ) + (a a0 )2 + (a a0 )3 + . . . (1)

o` , , . . ., sont des constantes ` dterminer. Le terme b(a0 ) est appel terme dordre 0, les u a e e 2 3 termes en a, a et a sont les termes du premier, second et troisi`me ordre, etc. . . e Il faut en gnral une innit de termes de ce type pour obtenir une prcision parfaite e e e e dans la description de b(a). Toutefois, si a est faible, les termes dordre lev constituent e e des corrections minuscules par rapport aux premiers termes. En pratique, on peut souvent se contenter de calculer une valeur approche de b(a) de la faon suivante : e c Dveloppement limit ` lordre 1 : b(a) b(a0 ) + a e ea Dveloppement limit ` lordre 2 : b(a) b(a0 ) + a + a2 e ea et ainsi de suite, lapproximation tant meilleure pour les dveloppements dordre plus lev. e e e e Ces dnitions poses, il reste ` trouver la recette permettant de dterminer , , . . .. An e e a e de trouver ces valeurs, nous invitons le lecteur ` driver plusieurs fois la relation (1) au point a e de rfrence a0 . On obtient : ee db d2 b d3 b (a0 ) = , (a0 ) = 2 , (a0 ) = 2 3 , ... da da2 da3 et ainsi de suite. Donc, b(a) ne peut tre gal au dveloppement limit (1) que si , , . . . e e e e prennent des valeurs bien prcises. e Ainsi, lorsque pour une fonction b(a) on connat la valeur de b et de ses n premi`res drives e e e en un point de rfrence a0 , on peut approximer b au point a = a0 + a par un dveloppement ee e limit ` lordre n, selon la formule suivante (thor`me de Taylor) : ea e e

b(a) b(a0 ) +

db 1 d2 b 1 d3 b 1 dn b (a0 ) a + (a0 ) a2 + (a0 ) a3 + . . . + (a0 ) an da 2! da2 3! da3 n! dan

La notation n! se lit factorielle n et dsigne le produit n (n 1) (n 2) 3 2 1. e Il est bien entendu ncessaire que b(a) soit au moins n fois drivable pour que le dveloppement e e e n+1 de Taylor soit valable. Lerreur commise tant au maximum de lordre de a , elle sera plus e faible que tous les autres termes dordre 0 ` n, ` condition que lcart a soit susamment a a e petit. La plupart du temps les physiciens remplacent le signe dans lquation prcdente par e e e un signe =, tout en gardant en mmoire que ceci ne se justie que pour des valeurs de a e faibles. Notons que le dveloppement ci-dessus est plus souvent crit sous la forme quivalente : e e e

b(a) b(a0 ) +

db d2 b (a a0 )2 d3 b (a a0 )3 (a0 ) (a a0 ) + (a0 ) + (a0 ) da da2 2 da3 6 (2) + ... + (a a0 ) d b (a0 ) dan n!n n

b Cas particulier : si le point de rfrence vaut a0 = 0, la quantit a est simplement gale ` a, ee e e a ce qui donne : b(a) b(0) + a2 a3 an d2 b d3 b dn b db (0) (0) (0) (0) a + + + ... + da da2 2 da3 6 dan n! (3)

Le dveloppement limit au premier ordre e eLe dveloppement limit au premier ordre est le plus simple ` comprendre et ` manipue e a a ler, puisquil consid`re que la variation b est proportionnelle ` la variation a. En eet, le e a dveloppement au premier ordre peut scrire de faon indirente : e e c e b(a) b(a0 ) + db (a0 ) (a a0 ) da ou b db = (a0 ) a da (4)

Cette derni`re formule est triviale lorsque a et b sont des direntielles, cest ` dire des e e a variations arbitrairement petites. Lapproximation au premier ordre revient ` considrer que la a e relation de proportionnalit (4) reste valable mme si a et b sont non-ngligeables. e e e Dun point de vue graphique, le dveloppement limit au premier ordre e e revient ` approximer b(a) par lquation a e dune droite : celle de la tangente ` la a courbe au niveau du point de rfrence a0 . ee Comme on le voit sur lexemple ci-contre, lapproximation au premier ordre ne fournit pas la valeur exacte de b. Toutefois, lerreur commise reste ngligeable tant que a reste e proche du point de rfrence, la courbe et la ee droite pouvant tre confondues. eReprsentation graphique de la relation b(a)

b(a0) + (a-a0) b(a0)

a0 a Dveloppement limit au premier ordre autour de a0

a

Les dveloppements limits aux ordres suprieurs e e eSi lon sloigne un peu trop du point de rfrence, lapproximation du dveloppement au e ee e premier ordre nest plus satisfaisante. On peut trouver une meilleure approximation de b(a) en tordant la droite tangente, cest-`-dire en rajoutant un terme polynomial en (a a0 )2 pour a que la nouvelle approximation colle mieux ` la courbe exacte : a b(a) b(a0 ) + db d2 b (a a0 )2 (a0 ) (a a0 ) + (a0 ) da da2 2 (5)

Un tel dveloppement limit, dordre 2, fait intervenir un polynme du second degr : dun e e o e point de vue graphique, il consiste donc ` approximer la courbe de b(a) par une parabole, dont a d2 b la courbure est dtermine par la drive seconde da2 (a0 ). Lapproximation est meilleure et e e e e reste valide pour des carts a plus importants. eReprsentation graphique de la relation b(a)

b(a0) + (a-a0) + (a-a0)2 b(a0)

a0 a Dveloppement limit au second ordre autour de a0

a

On remarque par contre quun dveloppement e limit du second ordre ne permet pas de reproe duire le point dinexion dune courbe (point o` u la drive seconde sannule et change de signe), e e puisque la courbure dune parabole est toujours oriente dans le mme sens ; pour aller plus loin e e il est ncessaire de passer au dveloppement e e limit dordre 3 ou plus. De faon gnrale, e c e e un dveloppement limit permet dapproximer e e une fonction par un polynme : plus il y a de o termes polynomiaux dans le dveloppement, e meilleure sera lapproximation.

Reprsentation graphique de la relation b(a)

a0

Dveloppement limit un ordre lev

2

Exercices

Exercice 1. Pour sentra ner (6 points)Dterminez les dveloppements limits ci-dessous. Vous les crirez tout dabord sous une e e e e forme dcompose (pour mettre en vidence les calculs intermdiaires), puis vous donnerez la e e e e solution nale sous la forme la plus simple possible. Les angles sont mesurs en radians. e a) Dveloppement limit au premier ordre de e e1 1u

lorsque u est proche de 0 (i.e. u t0 . On appellera x0 la position de la voiture l'instant t0 . c) Prenez la peine de vrier explicitement votre rsultat nal en raisonnant l'envers : La forme trouve pour x(t) correspond-elle bien une acclration constante gale a ? Vrie-t-elle bien les conditions aux limites donnes ? NB : mme s'il n'est pas utile de le faire apparatre sur vos copies d'examen, vous devriez toujours faire ce type de vrications aprs avoir rsolu une quation direntielle.

Exercice 5 (3 points)Selon un modle trs simpli, la temprature T l'intrieur d'une toile dcrot en fonction de la distance au centre r selon l'quation direntielle r2 dT = C , o C dsigne une constante. dr a) D'aprs vous, quel est le signe de C ? b) Dterminez la solution gnrale de cette quation direntielle. c) Dterminez la solution particulire lorsque la temprature vaut TS la surface de l'toile (rayon RS ). d) Que pouvez-vous dire de ce modle lorsque r tend vers 0 ?

Exercice 6 (2 points)dv On cherche rsoudre l'quation direntielle u du = v , o dsigne une constante relle strictement positive. a) Dterminez la solution gnrale de cette quation, en exprimant v en fonction de u. b) Dterminez la solution particulire lorsque v(u = u0 ) = v0 . Pourrait-on prendre la condition initiale en u0 = 0 ?

Exercice 7 (2 points)dy Dans le plan (x, y), on trace une courbe qui suit l'quation direntielle dx + x = 0. y a) Rsolvez cette quation sachant que la courbe passe par le point (x = 0, y = 1). b) Tracez la courbe correspondante. Que se passe-t-il lorsque y atteint 0 ?

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2011-2012

Feuille de math 4 : Drives de vecteurs, cinmatique

1

IntroductionCette introduction ne contient aucun calcul faire de votre part. Mais lisez-la attentivement,

elle introduit la notion de drive de vecteurs qui vous sera ncessaire pour faire l'application et plus gnralement, pour la cinmatique.

On dnit la drive

dr dt

d'un vecteur r(t) par la relation :

r(t + t) r(t) dr lim t0 dt t En posant r r(t + t) r(t), on a galement : dr r lim t0 t dt On va expliquer ce que signie cette drive. On s'intresse pour l'instant aux vecteurs r(t) et r(t + t) avec un t quelconque. Entre les instants t et t + t, la norme ainsi que la direction du vecteur ont pu changer, voir la gure 1 ci-dessous.

seule sa direction change

Fig. 1 Gauche : entre les instants t et t + t, la norme ainsi que la direction du vecteur r(t) ont pu changer. Droite : u(t) change au cours du temps, mais garde toujours une norme constante gale 1 : contrairement r(t),

On dnit le vecteur unitaire u(t) du vecteur r(t) tel que :

r(t) r(t) u(t).Cela signie que sa norme u est gale 1 et que u(t) est colinaire r(t). u(t) change donc au cours du temps, mais garde toujours une norme constante gale 1 : contrairement r(t), seule sa direction change, voir la gure 1 ci-dessus. Lorsque t tend vers zro, on peut exprimer le vecteur dr en utilisant la rgle de drivation dt d'un produit1 , comme pour des scalaires :

dr d r(t) du(t) = u(t) + r(t) . dt dt dt1 Pour

deux fonctions f et g , on rappelle que la drivation de leur produit vaut : (f g) = f g + f g .

1

Toutefois, le problme est de savoir ce que vaut la drive du vecteur unitaire u(t) :

u(t) du(t) = lim t0 t dtL'extrmit de u(t) reste sur un cercle (de rayon 1 puisque u = 1), lorsque t tend vers 0, u(t) devient tangent ce cercle et est donc orthogonal u(t), voir gure 2 ci-dessous :

Fig.

2 Comme l'extrmit de u(t) reste sur un cercle de rayon 1, lorsque t tend vers 0, u(t) devient tangent ce cercle et est donc perpendiculaire u(t).

On dnit n(t) vecteur unitaire orthogonal u(t). D'aprs ce que l'on vient de voir, du(t) est donc colinaire n(t). Nous venons de montrer gomtriquement que du(t) est colinaire n(t) et dt donc orthogonal u(t). Ceci est vrai pour tout vecteur de norme constante : il est orthogonal sa drive.2 Application

On considre un repre orthonorm R auquel on associe le repre cartsien (O, ux , uy , uz ).1. Le point M mobile a pour coordonnes (x, y, z). Ecrire l'expression du vecteur OM en coordonnes cartsiennes. dOM 2. Donner l'expression en coordonnes cartsiennes de la vitesse v dt et de l'acclration 2 OM a dv = d dt2 dans R. dt

On se place dans un plan z = constante, par exemple le plan z = 0. On associe au point M la base de coordonnes polaires (u, n) dans ce plan. u est appel vecteur radial (ce qui signie "selon le rayon") orient selon OM et n vecteur orthoradial (ce qui signie "orthogonal au rayon") orient dans le sens trigonomtrique, cf. gure 3.3.

Ecrire l'expression de OM en coordonnes polaires (c'est--dire dans la base (u, n)). : la base de coordonnes polaires est lie au point M donc lesvecteurs de la base

Attention

dpendent de la position de M et donc du temps si celui-ci bouge.

il faut donc d'abord calculer les drives des vecteurs de la base.

Pour calculer v et a,

4. Ecrire l'expression en coordonnes cartsiennes de u et de n en faisant intervenir seulement l'angle ainsi que les fonctions trigonomtriques usuelles. 5.

Calculer

du dt

et

dn dt

dans R en drivant les expressions prcdentes.

2

3 On se place dans le plan z = constante, par exemple le plan z = 0. On associe au point M la base de coordonnes polaires (u, n) dans ce plan. u est appel vecteur radial (ce qui signie "selon le rayon") orient selon OM et n vecteur orthoradial (ce qui signie "orthogonal au rayon") orient dans le sens trigonomtrique.Fig.

6.

Montrer que :

du d = n dt dt dn d = u dt dtdu dt

et que

Calculer u du et n dn dans R. Que pouvez-vous en dduire sur les vecteurs u et dt dt part et sur les vecteurs n et dn d'autre part ? dt7.

d'une

8. A partir des vecteurs u(t) et u(t + dt), construire sur un schma le vecteur du u(t + dt) u(t). Retrouver graphiquement les relations du = d n et dn = d u en utilisant le fait que pour de petits angles d, on a (voir gure 4) :

dl

ds = r d

Fig.

4 Dans le cas d'un angle d petit, on a dl

ds = r d.

Dduire du calcul de du et dn de la question 6, l'expression de la vitesse v et de l'acclration dt dt a en coordonnes polaires dans R.9.

3

a?

10.

On se place dans le cas d'un mouvement circulaire. Que deviennent les expressions de v et

11. On se place maintenant dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme (la norme de la vitesse, v , est constante). Que deviennent les expressions de v et a ? Que pouvez-vous dire de d du dn dt ? Que pouvez-vous dire des directions de l'acclrations et de la vitesse ? Pourquoi dt et dt ne dr dpendent-il pas de dt ?

: d est appel vitesse angulaire instantane. En gnral, elle dpend du temps, dt sauf dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme.Remarque

4

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2010-2011

Partiel de Physique du 6 novembre 2010 - dure 2h30 eDOCUMENTS, CALCULETTES ET TELEPHONES PORTABLES INTERDITS

Il sera tenu compte de la prsentation, de lexpression e et de la justication des rsultats e

Des ballons et des bullesLes deux exercices peuvent tre traits indpendamment (` lexception du II.3, dont on e e e a peut admettre le rsultat). e

I. Ballon de baudrucheUn ballon de baudruche est gon dair. Pour simplier, on suppose quil est sphrique de e e rayon R. La pression ` lintrieur du ballon, note Pint , nest pas gale ` la pression ` lextrieur a e e e a a e du ballon, Pext .

La dirence de pression (P = Pint Pext ) dpend du rayon R du ballon et de la tension e e de la membrane constituant le ballon, note . Cette tension est dnie de la faon suivante : e e c pour augmenter laire de la membrane, il faut lui appliquer une force, donc fournir du travail mcanique. Le travail minimal ` fournir W est proportionnel ` laugmentation daire S, le e a a facteur de proportionnalit est la tension de la membrane : e W = S Dans cette relation, on a suppos que tait une constante. Ce nest en gnral pas le cas pour e e e e un ballon de baudruche. Dans toute la suite de lexercice, nous supposerons cependant que est une constante. 1. Rappeler les dimensions dune force et dun travail de force. Montrer quun travail de force a la mme dimension quune nergie. En dduire la dimension de la tension de membrane. e e e Donner lunit du Syst`me International correspondante. e e 2. De quel signe est P ? Vous justierez soigneusement votre rponse. e 3. Trouver par analyse dimensionnelle comment P dpend de R et de . La relation e obtenue contient un prfacteur sans dimension. On admettra quil est gal ` 2. e e a 4. Ordres de grandeur. Un ballon de baudruche non gon a un rayon initial Ri , on le e e gone jusqu` un rayon nal Rf , et on le ferme. On donne les valeurs numriques suivantes : a = 4 102 S.I. Ri = 2 cm.

Calculer la valeur numrique de P (une fois quon a ferm le ballon) pour Rf = 2.5cm, puis e e pour Rf = 10cm. Commenter.

II. Bulles dans leauUn plongeur explore un fond marin situ ` la profondeur H = 70m. Il est quip de e a e e bouteilles de plonge quon suppose pour simplier remplies dair. Lorsquil expire, des bulles e dair de rayon r0 se forment dans leau (r0 = 1mm). On cherche comment le rayon de ces bulles va voluer lorsquelles remontent ` la surface. e a On oriente un axe des z vers le haut et on prend lorigine des altitudes, z = 0, sur le fond marin. La surface de leau est donc situe en z = H. On note g lacclration de la pesanteur, e ee T la temprature suppose uniforme (T = 20 C), la masse volumique de leau et a celle de e e lair. On note enn P (z) la pression dans leau ` laltitude z. a

1. Donner la valeur numrique de la pression ` la surface de la mer, en z = H. On notera e a P cette valeur. 2. Ecrire la loi P (z) donnant les variations de la pression dans leau avec laltitude z. Donner la valeur numrique de la pression au niveau du fond marin, en z = 0, P (0). e 3. On cherche ici la valeur de la pression dans la bulle dair. Comme dans le cas du ballon de baudruche de lexercice I, la pression dans la bulle di`re de la pression dans leau e a ` lextrieur de la bulle. La valeur de la dirence de pression entre lintrieur de la bulle et e e e leau environnante est donne par lexpression obtenue au I.3, mais la tension de membrane e est remplace par la tension supercielle de leau. Elle vaut 0.05 J/m2 . Calculer P et la e comparer ` P o puis ` P (z). Conclusion ? a a On admet donc pour la suite que la pression dans la bulle ` laltitude z a la a mme valeur P (z) que dans leau environnante. e 4. On suppose que lair se comporte comme un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/mol. Donner lexpression de sa masse volumique a en fonction de P , T et M . En dduire la valeur e numrique de a ` 20 C sous pression atmosphrique. On rappelle la valeur de la constante e a e des gaz parfaits : R 8.14 S.I. Donner enn la valeur numrique de a pour la bulle quand e elle est pr`s du fond de la mer. e 5. Donner les expressions littrales des direntes forces qui sappliquent sur la bulle dair. e e Dans quel sens la bulle va-t-elle se dplacer ? e 6. En crivant que lair se comporte comme un gaz parfait, donner lexpression du nombre n e de moles dair contenues dans la bulle en fonction de P (0), T et r0 . Donner la valeur numrique e de n. 7. Expliquer pourquoi le volume de la bulle dpend de laltitude z. On note r(z) le rayon e de la bulle ` laltitude z. Donner lexpression du nombre n de moles dair contenues dans la a bulle en fonction de P (z), T et r(z). Ecrire la conservation de n entre laltitude 0 et laltitude z. En dduire lexpression de r(z) en fonction de r0 , P (0) et P (z) puis en fonction de r0 , P o , e z, H et g. Est-ce que la bulle rapetisse ou grossit en remontant ? 8. Rappeler les valeurs numriques de P (0) et de P (H). En dduire la valeur numrique e e e du rayon de la bulle quand elle arrive a la surface de la mer. `o

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2010-2011

Examen de Physique du 6 janvier 2011 - dure 3h eDOCUMENTS, CALCULETTES ET TELEPHONES PORTABLES INTERDITS

Il sera tenu compte de la prsentation, de lexpression e et de la justication des rsultats e

A. La fontaine (sur 6,5 points)Un rcipient cylindrique de section S et daxe vertical est rempli e deau, jusqu` une hauteur H. Ce rcipient est perc dun trou a e e latral de section s, ` une hauteur z0 < H compte ` partir du e a e a fond. Laxe (Oz) est orient vers le haut. On note g lacclration e ee de la pesanteur, on suppose s S. I. Vitesse de vidange (question de cours, sur 2,5 points) En explicitant avec soin les hypoth`ses utilises et les direntes e e e tapes du calcul, donner la vitesse v0 ` laquelle leau sort du e a rcipient par le trou, en fonction de g, H et z0 . e II. Jet deau (sur 4 points) On cherche la forme du jet deau qui se forme apr`s la sortie du rcipient ainsi que lendroit o` le jet e e u deau touche le plan z = 0 sur lequel le rcipient est pos. Pour cela on tudie le mouvement dune particule e e e uide, qui sort du rcipient par le trou latral ` linstant t = 0. On suppose que la vitesse v0 de la particule e e a uide juste ` la sortie est horizontale, selon laxe (Ox) et a pour norme la valeur calcule au I., et on admet a e que son acclaration une fois sortie du rcipient vaut g. e e 1. Calculer les expressions des coordonnes x(t) et z(t) de la particule uide pour t > 0, en fonction de e z0 , v0 , g et t. (1) 2. Donner lquation de sa trajectoire, z(x). Quelle est la nature de cette trajectoire ? (0,5) e 3. Calculer labscisse xf du point o` le jet deau touche le plan z = 0, en fonction de z0 , v0 , g puis en u fonction de z0 et H. (1) 4. Tracer xf en fonction de z0 . Pour quelle valeur de z0 la porte du jet est-elle la plus grande ? (1,5) e

B. Lescargot (sur 5,5 points)Un escargot se dplace sur la grande aiguille dune des horloges de Big Ben. Il se dplace selon laxe de e e laiguille ` vitesse constante V = 5cm/mn par rapport ` laiguille. La longueur de laiguille vaut 3.5m. Il a a part du centre de lhorloge au moment o` la grande aiguille passe par midi. On choisit ce moment comme u instant initial t = 0. 1. Dessiner lallure de la trajectoire de lescargot dans un rfrentiel ee li ` laiguille, puis dans un rfrentiel li au sol (ou au cadran de e a ee e lhorloge). (1) 2. On prend comme origine du rep`re le centre de lhorloge. Donner les e expressions littrales des composantes de la vitesse et de lacclration e ee de lescargot par rapport au sol, dans la base locale (u, n) associe aux e coordonnes polaires. (1,5) e 3. Dessiner les acclrations radiale, orthoradiale, tangentielle et noree male ` linstant t = 40mn. On donnera les valeurs numriques des a e acclrations radiale et orthoradiale. (3) ee

Big Ben, ` Londres a

C. Le carburateur (sur 10 points)Un moteur ` combustion interne (du type de ceux dont sont quipes les automobiles) transforme lnergie a e e e chimique dun mlange explosif air-essence en nergie mcanique qui met lautomobile en marche. Si le e e e mlange air-essence est mal dos, le moteur ne fournit pas la puissance optimale. Il est donc tr`s important e e e de produire le mlange ` la bonne proportion. Ceci se fait dans un appareil annexe au moteur, appel le e a e carburateur et schmatis sur la Figure C-1. e e

Figure C-1 : carburateur, schma de principe e

Le but de ce probl`me est de mettre en lumi`re le fonctionnement dun carburateur, qui est bas sur e e e les principes physiques de la mcanique des uides. Le carburateur comporte un certain nombre de pi`ces e e essentielles, dont le Venturi, la cuve, le otteur et le gicleur. Les direntes parties du probl`me dtaillent e e e le fonctionnement de ces lments. Elles sont largement indpendantes les unes des autres. ee e I. Ecoulement de lair dans le Venturi (4) Lair, considr comme un uide parfait, est aspir par le moteur avec le dbit Dair = 0.1m3 /s et circule ee e e dans une canalisation de section droite SA . Il traverse un rtrcissement de section SB , le Venturi (Figure e e C-2). On consid`re que lcoulement dair est laminaire, stationnaire et incompressible. Laxe du Venturi e e est horizontal. Figure C-2 : Venturi du carburateur

1. Rappeler ce quest un uide parfait. Quelles sont les consquences de cette approximation pour e lcoulement de lair ? Rappeler les conditions pour quun coulement soit incompressible. (1) e e 2.a. Exprimer la vitesse VA de lcoulement dans la canalisation principale en fonction de SA et de Dair . e Exprimer la vitesse VB de lcoulement dans le rtrcissement en fonction de VA , SA et SB . (1) e e e 2.b. Donner lexpression de la pression PB dans le rtrcissement en fonction de la pression PA dans la e e canalisation principale et des autres grandeurs SA , SB , Dair et air , masse volumique de lair. (1) 2.c. En faisant attention aux units, en dduire la valeur numrique de la dpression P = PB PA . On e e e e 2 et 3 . (1) donne SA /SB = 2, SA = 1cm air 1kg/m II. Laspiration dessence (1,5) Le Venturi aspire lessence depuis la cuve (qui sera tudie dans la partie III.) dans le carburateur (Figure e e C-3). Le tuyau darrive dessence dans le Venturi, quon appelle le diuseur, est ` une hauteur h au-dessus e a du niveau dessence dans la cuve. Le volume dair tant tr`s grand devant le volume dessence, on assimile e e le mlange circulant dans lensemble du Venturi ` de lair pur (cest-`-dire sans essence). Lair qui entre e a a dans le carburateur est ` la pression PA = 5.95P0 et lair de la cuve est ` la pression PC = P0 , o` P0 est la a a u pression atmosphrique. e

Figure C-3 : Quand lair sengoure, il y a aspiration de lessence

Montrer que h ne peut excder une certaine valeur hmax si on veut que lessence soit aspire et que le e e mlange air-essence ait la possibilit de se faire. Donner lexpression littrale de hmax en fonction de PB , e e e 2

PC , g et E , masse volumique de lessence. Calculer la valeur numrique de hmax en utilisant le rsultat de e e 3. la question prcdente et E 700kg/m e e III. La cuve du carburateur et son otteur (2,5) Lessence arrive dune cuve (Figures C-3 et C-4). Cette cuve a toujours un niveau constant grce ` a a un otteur qui rgule son alimentation en essence. Lorsque le niveau est correct, le sommet du otteur e bloque larrive dessence. On va tudier ce dispositif de plus pr`s. Le otteur est cylindrique, sa masse e e e 2 . On rappelle les masses volumiques de lair 3 vaut m = 100g et sa section droite s = 100cm air 1kg/m 3 . On suppose que dans la cuve, lair est ` la pression atmosphrique P . et de lessence E 700kg/m a e 0

Figure C-4 : Cuve du carburateur. Dans cette conguration le otteur bloque larrive dessence dans la cuve. e

1.a. Faire un bilan des forces appliques au otteur en supposant que larrive dessence est coupe (le e e e niveau ne varie pas) et que le sommet du otteur nest pas en contact avec le haut de la cuve. (0,5) Justier le fait quon peut ngliger la pousse dArchim`de due ` lair. e e e a 1.b En dduire la hauteur d de la partie du otteur immerge dans lessence. (0,5) e e 2.a Si lessence monte de d = 0, 5cm au-dessus de son niveau de rfrence, quelle est la norme A du ee supplment de force qui sexerce sur le otteur ? (0,5) e 2.b Cela permet-il dinterdire larrive dessence, sachant quelle arrive de la pompe ` essence sous pression e a PP = 1, 1 105 P a et que louverture darrive dessence est de diam`tre e = 2mm ? (1) e e IV. Le gicleur (2) Le niveau dessence dans la cuve est ` la hauteur h = 10cm sous le niveau du diuseur. Il ne sut a toutefois pas que lessence arrive, encore faut-il quelle arrive dans les bonnes proportions. Pour cela, on intercale dans la canalisation, entre la cuve et le diuseur de section SD , un court rtrcissement servant de e e limiteur de dbit et dnomm gicleur. e e e

Figure C-5 : Gicleur

Ce rtrcissement est cylindrique, de longueur L = 2cm et laire de sa section droite est note SG . On e e e rappelle que la vitesse Vmax dun uide visqueux au centre dune canalisation cylindrique est donne par e Vmax = F 4L

o` F est la force (gnralement due ` une dirence de pression) qui produit lcoulement sur la longueur u e e a e e L de canalisation et est la viscosit du uide. Pour lessence, = 0, 7P l = 0, 7P a.s. e 1. Vrier lhomognit de lexpression reliant Vmax ` F . (0,5) e e e e a 2. Sous quelles hypoth`ses peut-on crire : F = P SG avec P = PC PB ? (0,5) e e 3. On suppose pour simplier que la vitesse de lessence est uniforme dans la section du gicleur et vaut Vmax . Donner lexpression du dbit volumique DE correspondant. En dduire alors la valeur de la e e 3 /s. (1) section SG du gicleur qui assure un dbit dessence DE = 10cm e 3