TD Resumé Asser2013

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES D'INGENIEURS

CENTRE PRINCE MY ABDALLAH

DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS

2012/ 2013 R.LEMSSOUGUER

SAFI

Consigne Entre e(t)

Amplificateur ou correcteur

Sortie s(t)

Capteur

Chane directe

Chane de retour

Actionneur

Partie commande

Partie oprative

-

+ Ecart (t)

Systme dynamique

Mise en forme du signal

Perturbation

TRAVAUX DIRIGES D'ASSERVISSEMENTS

Rsum des cours + Corrigs des TD

ABCADEFADDBDBFDBEFBFBDBAFEFADB

Ltude porte sur un vrin lectrique asservi en position qui quipe un simulateur de vol.

Un vrin est un mcanisme de transmission de puissance qui permet la transformation du mouvement de rotation de larbre moteur en un mouvement de translation sur la tige de sortie.

Les principaux composants du vrin tudi sont prsents ci-dessous :

Moteur (1)

Rducteur (2)

Vis (3)

Bti (0)

Corps de vrin (0)

Systme roue (4) et vis sans fin (3)

Capteur (5)

Dynamo tachimtrique (6)

Ecrou (7)

Tige de vrin (7)

Tige de guidage (0)

La rotation de la vis (3) est obtenue partir du motorducteur (moteur (1) et rducteur (2)). Le moteur est un moteur courant continu et le rducteur permet dadapter la vitesse de rotation telle sorte que la vitesse de rotation de la vis v soit 20 fois plus petite que la vitesse de rotation du moteur m (m = 20.v). La rotation de la vis (3) est transforme en un mouvement de translation grce lcrou (7), ce qui permet dobtenir, compte tenu de larchitecture du systme, un mouvement de translation. On donne la loi entre le paramtre de translation de sortie xs de lcrou et le paramtre de rotation de la vis : xs = v.pas/(2pi). Le capteur (5) prlve la vitesse de rotation de la vis par lintermdiaire dun systme roue/vis sans fin de rapport de rduction v/capt= 25.

Q.1. Complter le schma-bloc fonctionnel de ce systme et prciser les units sous pour chaque grandeur dentre et de sortie.

FTD 01 - Systmes automatiques

1

xc(t)

-

+

(t) uc(t) Adaptateur

Ka Correcteur

Kc

Capteur

Kcapt

ucapt(t)

xs(t) um(t) v(t) v(t)

ABCADEFADDBDBFBEADBB(Daprs Centrale PSI 2005)

Le support de ltude est le vhicule auto balanc Segway. Il sagit dun moyen de transport motoris qui permet de se dplacer en ville. En termes de prestations, il est moins rapide quune voiture ou quun scooter, plus maniable, plus cologique (selon les rdacteurs du sujet), moins encombrant et nettement plus moderne... (mais tout aussi inutile en ville ^^).

La conduite du Segway se fait par inclinaison du corps vers lavant ou vers larrire, afin dacclrer ou freiner le mouvement (comme pour la marche pied dans laquelle le piton sincline vers lavant pour dbuter le mouvement). Les virages droite et gauche sont quant eux commands par la rotation de la poigne directionnelle situe sur la droite du guidon. La spcificit de ce vhicule est davoir deux roues qui ont le mme axe de rotation, avec son centre de gravit situ au dessus de laxe commun des roues, si bien quon se demande comment rester lquilibre une fois mont sur la plate-forme. Tout comme le cerveau permet lhomme de tenir debout sans tomber grce loreille interne, le systme comporte un dispositif dasservissement dinclinaison, maintenant la plate forme du vhicule lhorizontale ou encore la barre dappui, suppose orthogonale cette plate forme, la verticale. Le Segway comporte cet effet des capteurs et des microprocesseurs transmettant des consignes aux deux moteurs lectriques quipant les deux roues.


2

La chane d'action permettant de rguler l'inclinaison du SEGWAY est ralise par : un ensemble amplificateur et motorducteur qui permet de dlivrer un couple Cm (caractrise

une action mcanique ayant tendance entraner un solide en rotation, unit Newton.mtre) : Cm (t) = Km.u(t) avec u(t) tension de commande

l'ensemble chariot et conducteur. Les quations de comportement dynamique peuvent se

mettre sous la forme : a. 22

dttd )(

= b.Cm (t) + c. )(t avec )(t = (t) + (t) o (t) est l'incli-naison du conducteur par rapport la barre d'appui.

La partie commande est constitue : d'un comparateur qui labore le signal cart (t) = c(t) (t) o (t) est l'inclinaison du

plateau du chariot par rapport la verticale et c(t) est la position angulaire de consigne d'un correcteur qui adapte l'cart pour commander le systme avec la tension w(t)

Afin de stabiliser le systme, la grandeur de commande du motorducteur u(t) est labore partir de : la mesure de la vitesse angulaire par un gyromtre qui fournit la tension uV(t) telle que :

uV(t) = KV. dttd )(

la mesure de la position angulaire par un pendule qui fournit la tension uP(t) telle que : uP(t) = KP. )(t

Q.1. Complter le schma-bloc fonctionnel de ce systme.

-

+ -

+ -

+ -

+ (t)

uV(t)

u(t) )(t (t)

ABCADEFADDBDBBFBBFDBAEFB

Ltude porte sur un axe linaire asservi que lon peut retrouver sur des machines outils commande numrique.


3

Etude en boucle ouverte

Moteur lectrique

Rducteur poulie/courroie

Chariot

Systme vis/crou

Modulateur de tension

u(t)

x(t)

um(t)

v(t)

m(t)

v(t)

m(t)

La commande du modulateur de tension active le moteur lectrique qui entraine un rducteur de vitesse poulie courroie. La rotation de la vis engendre la translation de lcrou li au chariot.

Q.1. Tracer le schma-bloc fonctionnel de ce systme et dfinir les donnes de sortie de chaque bloc.

Etude en boucle ferme

Moteur lectrique

Rducteur poulie/courroie

Chariot

Systme vis/crou

Modulateur de tension xc(t)

Capteur

Calculateur

u(t)

x(t)

um(t)

m(t)

v(t)

xm(t)

v(t)

m(t)


4

On rajoute au systme prcdent un capteur et un calculateur. Le capteur mesure langle de rotation de la vis et en informe le calculateur avec la grandeur xm(t). Le calculateur compare cette mesure avec la grandeur de consigne de position xc(t) et labore un signal de commande en tension, fonction de la diffrence xc(t) xm(t), sur le modulateur.

Q.2. Tracer le nouveau schma-bloc fonctionnel de ce systme et dfinir les donnes de sortie de chaque bloc.

(Pour un systme vis/crou la loi entre le paramtre de translation de lcrou et le paramtre de rotation de la vis est : xm(t)= vis(t).pas/(2pi) ).

Q.3. Expliquer en quelques mots pourquoi le bouclage du systme apporte celui une amlioration de ses performances.

ABCADEFADDBDBFDEBBDFB

Dbit de sortie qs

Rcipient C Niveau h

Dbit dentre qe

Vanne xv

Systme vis/crou de pas p

Engrenage conique de rapport de rduction k

Moteur CC

v

M

uM

Amplificateur diffrentiel de

gain A

E

s

Potentiomtre dentre PE

Potentiomtre de sortie PS

uE

uS

Le systme reprsent ci-dessus est destin asservir le niveau h dun liquide contenu dans un rcipient C pour un angle de rfrence E rgl par un oprateur.

Le niveau h est transform en un angle S au moyen dun flotteur agissant sur le curseur dun potentiomtre PS (S / h = K = 1 rad/m). Les deux potentiomtres PE et PS, identiques, transforment les angles dentre et de sortie en tensions lectriques dont la diffrence est amplifie par un amplificateur de gain A. la tension de sortie de lamplificateur uM est applique linduit dun moteur courant continu dont linducteur est aliment par une tension constante. Ce moteur agit par lintermdiaire dun rducteur et dun systme vis/crou, sur une vanne linaire qui commande le dbit qE du liquide entant dans le rcipient C. Le dbit de sortie qS est suppos proportionnel au niveau h du liquide.

Q.1. Reprsenter le schma-bloc fonctionnel du systme asservi.


5

ABCDBAEDBCDBFEDBBDBBB

Cuve fuite Hauteur de liquide Niveau de

rfrence

Fuite

Volume deau dans la cuve : v(t) = Surface.h(t)

Variation du volume deau dans la cuve :

dtd

v(t) = qe(t) qs(t) soit : S dtd h(t) = qe(t) qs(t)

Avec :

qe(t) = k2.(0(t) (t)) et qs(t) = k1. )(th (le fluide scoule par gravit, relation de Bernoulli) o k1 k2 sont des constantes.

-

+ -

+ 0(t) (fixe)

Vanne

Flotteur

Relation de Bernoulli

h(t)

(t) mesur

qe(t)

qs(t)

Cuve

Boucle 1

Boucle 2

Remarque : la boucle 1 nest pas une boucle dasservissement, elle reprsente la modlisation retenue comme modle de connaissance de la cuve fuite. La boucle 2 est par contre une boucle dasservissement.

ABDFDBDEBDABABBB

Q.1.

xc(t)

-

+

(t) uc(t) Adaptateur

Ka Correcteur

Kc

Capteur

Kcapt

ucapt(t)

xs(t) um(t) m(t) v(t) v(t)

Moteur (1) Rducteur (2) Vis/crou

Roue/vis sans fin

capt(t)

Unit : m Unit : V Unit : V Unit : V Unit : rad/s Unit : rad/s Unit : rad Unit : m

Unit : V Unit : rad


6

c(t) -

+ -

+ -

+ -

+ (t)

uP(t)

uV(t)

w(t) u(t) )(t (t)

(t) Correcteur Ampli +

motorducteur Chariot +

conducteur

Gyromtre

Pendule

Cm(t)

#DBDEBCDB$FADBBBB

Q.1. Etude en boucle ouverte

u(t) x(t) um(t)

Moteur CC Rducteur

Vis/crou Modulateur

m(t)

m(t) v(t)

Q.2. Etude en boucle ferme

-

+

u(t) xc(t)

pi.2pas

xm(t) um(t)

Moteur CC Vis/crou

Capteur

Modulateur

m(t) u(t)

Calculateur

xm(t) v(t)

v(t) Rducteur

m(t)

Q.3. Avantages : + prcis car rsiste aux perturbations + simple commander (asservissement de position)

DED$DABCDBAEDBBB

-

+ -

+ Cuve Vanne

Relation de Bernoulli

h(t) qe(t) qs(t)

x(t) Systme vis/crou

v(t)

Rducteur

m(t) Moteur

CC

um(t)

Ampli

us(t)

Potentiomtre PE

ue(t) e(t)

Flotteur S(t) Potentiomtre

PK

Remarque : la boucle qui comprend le bloc relation de Bernoulli nest pas une boucle dasservissement, elle reprsente la modlisation retenue comme modle de connaissance de la cuve fuite. La seconde boucle est par contre une boucle dasservissement.


7

FDBAFB !"BBB Q.1.

ABCDABEDFBBDFABAADBB

Un moteur courant continu est systme permettant de transformer une nergie lectrique dentre en une nergie mcanique de sortie. Le moteur courant continu est dsormais une technologie supplante dans beaucoup de domaines mais il s'impose encore dans les trs faibles puissances ou les faibles tensions et il se prte encore trs bien la variation de vitesse avec des technologies lectroniques simples et peu onreuses. Le moteur courant continu permet une rgulation prcise du couple et sa vitesse de rotation nominale, indpendante de la frquence du rseau lectrique, est aisment adaptable par lintermdiaire dun rducteur au reste de la chaine dnergie.

Convertir lnergie lectrique en nergie

mcanique

Pertes (echauffement, frottement,)

Energie lectrique

Moteur lectrique

Energie mcanique

Moteurs courant continu

Le moteur courant continu est en revanche moins robuste que les moteurs asynchrones et beaucoup plus cher, tant en cot matriel qu'en maintenance, car il ncessite un entretien rgulier du collecteur et des balais.

Principe de fonctionnement du MCC Un moteur courant continu est compos des lments suivants : Un inducteur ou stator qui est llment du circuit

magntique immobile sur lequel un enroulement est bobin afin de produire un champ magntique.

Un induit ou rotor qui correspond un cylindre en tles magntiques isoles entre elles et perpendiculaires l'axe du cylindre. L'induit est mobile en rotation autour de son axe et est spar de l'inducteur par un entrefer. A sa priphrie, des conducteurs sont rgulirement rpartis.

Un collecteur balais qui est solidaire de l'induit. Les balais sont fixes, ils frottent sur le collecteur et ainsi alimentent les conducteurs de l'induit.

Stator

Rotor

Collecteur balais

Lorsque l'inducteur est aliment, il cre un champ magntique (flux dexcitation) dans l'entrefer, dirig suivant les rayons de l'induit. Ce champ magntique rentre dans l'induit du ct du ple Nord de l'inducteur et sort de l'induit du ct du ple Sud de l'inducteur. Quand l'induit est aliment, ses conducteurs situs sous un mme ple inducteur (d'un mme ct des balais) sont parcourus par des courants de mme sens et sont donc, d'aprs la loi de Laplace, soumis une force. Les conducteurs situs sous l'autre ple sont soumis une force de mme intensit et de sens oppos. Les deux forces crent un couple qui fait tourner l'induit du moteur.


8

Modle de connaissance Dun point de vue lectrique, le moteur courant continu peut tre modlis comme un systme dont lentre est la tension de commande de linduit u(t) et la sortie la vitesse de rotation de larbre moteur m(t). Linduit est modlis par une rsistance en srie avec une inductance et une force contre lectromotrice. Les quations qui modlisent le moteur sont les suivantes :

u(t)

i(t)

e(t) L R

J, f, Cr(t)

m(t), Cm(t)

u(t) = e(t) + R.i(t)+ dt

tidL )(. (Loi dOhm)

e(t) = Ke.m(t) (Equation de llectromagntisme)

dttdJ m )(. = Cm(t) Cr(t) f.m(t)

(Equation de la dynamique de larbre moteur)

Cm(t) = Kt.i(t) (Equation de llectromagntisme)

Avec :

u(t) = Tension du moteur [V] e(t) = Force contre lectromotrice du moteur [V] i(t) = Intensit dans le moteur [A] Cm(t) = Couple exerc par le moteur [N.m] Cr(t) = Couple rsistant sur laxe moteur [N.m] m(t) = Vitesse angulaire du moteur [rad/s] R = Valeur de la rsistance [] L = Valeur de linductance [H] Ke = Coefficient de la force contre lectromotrice [V/(rad/s)] J = Inertie quivalente ramene sur larbre moteur [kg.m] f = 0,01 = Paramtre de frottement fluide total [N.m.s] Kt = Constante de couple [N.m/A]

Q.1. Les conditions initiales tant nulles, exprimer les quations qui modlisent le moteur dans le domaine de Laplace.

Q.2. Complter le schma-bloc du moteur en saidant des quations de la question 1.

U(p) -

+ -

+ m(p)

Cr(p)

La boucle de retour de ce schma-bloc nest pas une boucle dasservissement, elle correspond seulement la modlisation du MCC


9

ABCDAEBEAEAEBDAEB

Le systme reprsent ci contre est charg de maintenir la temprature dune enceinte. Le chauffage est assur par un changeur thermique. Une vanne permet de rguler le dbit dans lchangeur. On note (t) langle douverture de la vanne, q(t) le dbit dans lchangeur, 1(t) la temprature en sortie de lchangeur, (t) la temprature de lenceinte.

Vanne

Dbit q(t) (t)

Pompe

Enceinte Echangeur

TC 1(t)

On donne les modles de connaissance qui rgissent le systme :

q(t)=k0.(t) (loi de fonctionnement de la vanne donnant le dbit en fonction de langle douverture de la vanne).

)(.)(.)( 1111 tqkdttd

t =+

(loi de transfert de chaleur dans lchangeur).

)(.)(.)( 122 tkdttd

t =+ (loi de transfert de chaleur dans lenceinte).

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. Lentre du systme est langle douverture de la vanne (t) et la sortie, la temprature de lenceinte (t).

Q.1. Traduire dans le domaine de Laplace les quations du modle de connaissance. En dduire les diffrents modles de comportement et les fonctions de transfert associes.

Q.2. Reprsenter le systme par un schma-bloc faisant intervenir les 3 blocs prcdemment dfinis.

Afin de rguler la temprature, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans lenceinte qui permet de mesurer la temprature et la de traduire en une tension umes(t) (on peut modliser le capteur par un gain pur Kmes=0,02). La tension umes(t) est compare la tension de consigne uc(t) issue dun transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet cart amplifi par un correcteur de gain Kc, la vanne souvre ou se ferme. Le schma ci-dessous prcise larchitecture du systme.

Vanne Dbit q(t)

(t)

Pompe

Enceinte Echangeur

TC 1(t)

Capteur

Moteur (t)

Transducteur Comparateur Correcteur

c(t)

On donne la fonction de transfert du moteur qui est : ( )pK

pUppM

m .1)()()(

+== .

Q.3. Reprsenter par un schma-bloc le systme rgul dont lentre est la temprature c(p).

Q.4. Quelle doit tre la fonction de transfert du transducteur de faon annuler lcart (p) quand la temprature de consigne et la temprature de lenceinte sont gales ?


10

DBEBFAFEBEBEB

Calculer la transforme de Laplace des fonctions suivantes : e-at.u(t), cos(t).u(t) et sin(t).u(t) En dduire e-at.sin(t).u(t) et e-at.cos(t).u(t).

DBEBFAFEBAEFEB

Calculer la transforme inverse des fonctions suivantes :

( )( )bpapKpF

++=

.

)( 11 ( )ppKpF

.1.)( 22 += ( )( )bpap

pKpF++

=

.

.)( 33

( ) ( )1.1.)( 2

24

4+

=

pppKpF ( )( )1.1

13)( 25 ++

=

ppppF

ABDBFEBDBFEFBDFBBABEBADB

Dterminer les transformes de Laplace des signaux suivants :

t

f(t)

4

2 0 t

g(t)

4

2 0


11

ABCDABEDFBBDFABAADBBBFFBB

Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) + dt

tidL )(. U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p) e(t) = Ke.m(t) E(p) = ke.m(p)

dttdJ m )(. = Cm(t) Cr(t) f.m(t) J.p m(p) = Cm(p) Cr(p) f. m(p)

Cm(t) = Kt.i(t) Cm(p) = km.I(p)

Q.2.

U(p) -

+ -

+ m(p)

Cr(p)

fpJ +.1

Ke

Kt Cm(p) I(p)

E(p)

pLR .1

+

(p)

ABCDAEBEAEAEBDAEBBFFB

Q.1. q(t)=k0.(t) Q(p)=k0.(p)

)(.)(.)( 1111 tqkdttd

t =+

( ) )(..1).( 111 pQkpp =+ )(.)(.)( 122 tkdt

tdt =+ ( ) )(..1).( 122 pkpp =+

Q.2. Reprsenter le systme par un schma-bloc faisant intervenir les 3 blocs prcdemment dfinis.

(p) Q(p) k0 p

k.1 1

1

+

1(p) p

k.1 2

2

+

(p)

Q.3. c(p)

-

+

(p) Uc(p) Transducteur T(p)

Correcteur Kc

Capteur

Kmes Umes(p)

Um(p) Moteur

(p) Q(p)

k0 pk

.1 11

+

1(p)

pk

.1 22

+

(p) p

K.1 +

Q.4. On a Umes(p)=Kmes.(p) et Uc(p) = T(p).c(p) do : (p)=Uc(p) Umes(p) = T(p).c(p) Kmes.(p) = 0 si c(p) = (p) alors T(p) = Kmes = 0,02.


12

DBEBFAFEBEBEBBFFB

Par dfinition : (f(t)) = F(p)

=0

f(t).e-pt.dt

e-at.u(t) : (e-at.u(t))

=0

e-at.u(t).e-pt.dt

=0

e-(p+a)t.u(t).dt

+

+=

0

a)t(p-.e

ap1

ap1+

=

cos(t).u(t) :

Rappel : On a tje = cos(t) + j.sin(t) et t-je = cos(t) j.sin(t) soit : cos(t) =

2ee t-jtj +

et sin(t) = j2ee t-jtj

et en exploitant le rsultat de (e-at.u(t))

On a : (cos(t).u(t))= (2

ee t-jtj +.u(t)) =

21 ( tje .u(t)) +

21 ( t-je .u(t))

(cos(t).u(t))

++

=

jp1

jp1

.

21

= 22 +pp

sin(t).u(t) : (sin(t).u(t)) = ( j2ee t-jtj

.u(t)) = j21 ( tje .u(t)) j2

1 ( t-je .u(t))

+

=

jp1

jp1

.

21j = 22

+p

Par la dfinition la tache est plus ardue :

On pose x(t) = sin(t).u(t) X(p)

=0

sin(t).u(t).e-pt.dt

On calcule cette intgrale par parties ( uv = uv uv avec u = e-pt et v = sin(t) )

X(p) = +

0

.cos.1 ptet

0

p cos(t).u(t).e-pt.dt

Lintgrale restante peut aussi se calculer par parties ( uv = uv uv avec u = e-pt et v = cos(t) )

X(p) =

1

p

0

.sin.1 ptet

0.

ppsin(t).u(t).e-pt.dt

X(p) =

1.2

2

p X(p) )1( 2

2

p+ .X(p) =

1 2

22

+p.X(p) =

1 X(p) = 22

+p


13

(e-at.sin(t).u(t)) = ( ) 22

++ apOn utilise le Thm de lamortissement: ( ) )()(.e-at apFtf +=

e-at.cos(t).u(t) : (e-at.cos(t).u(t)) = ( ) 22 ++

+

apap

On utilise le Thm de lamortissement: ( ) )()(.e-at apFtf +=

DBEBFAFEBAEFEBBFFB

Calculer la transforme inverse des fonctions suivantes :

( )( )bpapKpF

++=

.

)( 11

On dcompose en lments simples : ( )( ) ( ) ( )bpapbpapKpF

++

+=

++=

.

)( 11

Calcul de : On multiplie par (p + a) et p a : ( ) =+ baK1

Calcul de : On multiplie par (p + b) et p b : ( ) =+ abK1

( ) ( ) ( ) ( )bpbaK

apabKpF

++

+=

1.

1.)( 111 ( ) ( )

btat eba

Ke

abK

tf

+

= ..)( 111

( )ppKpF

.1.)( 22 +=

On dcompose en lments simples : ( ) ( )ppppKpF

.1.1.)( 22

+

+=+

=

Calcul de : On multiplie par (p) et p 0 : =2K Calcul de : On multiplie par (1 + .p) et p

1 : == .)( 22 KpF

( )

+

=

+=

p

Kp

Kp

Kp

KpF

1.1

.)( 22222 t

eKKtf = .)( 222

( )( )bpappKpF

++=

.

.)( 33

On dcompose en lments simples : ( )( ) ( ) ( )bpapbpappKpF

++

+=

++=

.

.)( 33

Calcul de : On multiplie par (p + a) et p a : ( ) =+

baaK .3

Calcul de : On multiplie par (p + b) et p b : ( ) =+

abbK .3

( ) ( ) ( ) ( )bpabbK

apbaaKpF

++

+=

1.

.1.

.)( 333 ( ) ( )btat e

abbK

ebaaK

tf

+

= ..

.

.)( 333

( ) ( )1.1.)( 2

24

4+

=

pppKpF


14

e-at.sin(t).u(t) :

On dcompose en lments simples : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111.1.)( 22

24

4 ++

+

=

+=

ppppppKpF

Calcul de : On multiplie par (p 1)2 et p 1 : ( ) =+1.

24

ppK

=2

4K

Calcul de : On multiplie par (p + 1) et p 1 : ( ) = 22

4

1.

ppK

=4

4K

Calcul de : On prend une valeur particulire pour p car on connait et , on choisit ici par

exemple p=0. +=0 += 4.43 K=

( ) ( ) ( )11

.

411

.

4.3

11

.

2)( 44244 +++= p

Kp

Kp

KpF ttt eKeKetKtf ++= .4

.

4.3

..

2)( 4444

( )( )1.113)( 25 +

+=

ppppF

On dcompose en lments simples : ( )( ) ( ) ( )1.

11.113)( 225 +

++

=

+

+=

pp

pppppF

Calcul de : On multiplie par (p 1) et p 1 : ( ) =++

113

2pp

=2

Calcul de et : On identifie : +++=+ ppppp ....13 22 0=+ soit 2= et 3= soit 1=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

1.2

12

11.2

12)( 2225 +++

+

=

+

++

=

ppp

ppp

ppF )sin()cos(.2.2)(5 ttetf t +=

ABDBBDBFEFBDFBBABEBAD BBFFB

t

f(t)

4

2 0 t

Echelon 4.u(t)

4

0

= +

t

Rampe -2.t.u(t) 2 0

+

t

4

2 0

Rampe 2.t.u(t) retarde de 2s f1(t) f2(t) f3(t)

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) F(p) = F1(p) + F2(p) + F3(p) = peppp2

22 .224

+


15

t

g(t)

4

2 0

G(p) = F(p) + F(p) pe 3. + F(p) pe 6. +. Soit G(p) = F(p). pe 311

avec F(p)= peppp

222 .

224+

On fait une approximation linaire en utilisant un dveloppement limit d'ordre 1, ce qui permet dcrire :

1 + pe 3 + pe 6 +. = pe 311

G(p) = F(p) + F(p) pe 3. + F(p) pe 6. +. Soit G(p) = F(p). pe 311

avec F(p)= peppp

222 .

224+

On peut rsoudre le problme en remarquant que lon a une suite gomtrique de raison r= pe 3 :

Sn = r

rpFn

+

11).(

1

soit quand n : Sn = pepF 31

1).(


16

ABCDAEBEFAEBCAB(Inspir de CCP MP 2009)

Pour piloter un avion, il est ncessaire de pouvoir contrler en permanence ses volutions dans lespace suivant trois directions ou axes :

l'axe de lacet (vertical) ; l'axe de roulis (horizontal et dans la

direction de la marche) ; l'axe de tangage (horizontal et

perpendiculaire la marche).

Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de lavion. En pratique, on distingue deux types de commandes :

les commandes de vol primaires utilises pendant tout le vol et qui permettent de contrler lvolution de lavion autour de ses axes de rfrence :

la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet, les ailerons et les spoilers pour le roulis, les gouvernes de profondeur et le plan horizontal rglable (PHR) pour le tangage.

Les commandes de vol secondaires utilises pendant les phases datterrissage et de dcollage qui permettent de modifier la configuration arodynamique de lavion :

Les hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance, les spoilers (ou arofreins) pour la trane.

LAirbus A 380 est quip de quatre gouvernes de profondeur disposes symtriquement sur le plan horizontal rglable (PHR) de lavion. Chaque gouverne de profondeur est relie au PHR par des charnires et est mis en rotation par une unit de commande constitue de deux actionneurs :

une servocommande (SC), actionneur principal reli au circuit hydraulique de lavion; un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur lectro-hydrostatique), utilis comme organe

de scurit en cas de dfaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal.


17

Ces units de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur.

Gouverne Extrieure Droite

Gouverne Intrieure Droite

Gouverne Intrieure Gauche

Gouverne Extrieure Gauche PHR

Gouverne

Actionsarodynamiques

CharniresUnit decommande

PHR

Vrin

Servo-distributeur

Accumulateur

Alimentation hydraulique

Tige du vrin

Fixation au PHR

Fixation la gouverne

Capteur inductif de position

Servocommande de lunit de commande Les consignes mises par le pilote laide du joystick ou par le pilote automatique sont transmises aux ordinateurs de commande de vol. Ces derniers dterminent, en fonction de lois de pilotage prenant en compte un certain nombre de paramtres (altitude, vitesse, etc.), les mouvements des gouvernes limitant ventuellement les volutions de l'avion son enveloppe de vol, c'est--dire aux rgimes et attitudes srs.

Ordinateurde commande

de vol(PRIM/SEC)

PHR

Autresinformations

Position actionneur

Position gouverne

Consigne

de position

Joystick

Energieelectrique ouhydraulique

Piloteautomatique Gouverne

Actionsarodynamiques

Energie lectrique ou hydraulique


18

Etude de la servocommande :

uc(t)

Servo-distributeur

x(t)

i(t) Amplificateur diffrentiel

Gouverne Capteur de

position

Schma de structure simplifi de la

servocommande :

us(t)

q(t)

Les diffrentes quations temporelles qui modlisent le fonctionnement du systme sont :

Amplificateur diffrentiel : uc(t) = aKti )(

+ us(t)

Dbit dans le vrin dans le cas dune hypothse de fluide incompressible : q(t) = dt

txdS )(. Capteur de position : us(t) = Kc.x(t) Le servo-distributeur est un composant de la chaine de commande conu pour fournir un dbit

hydraulique q(t) proportionnel au courant de commande i(t). (Attention, valable uniquement en rgime permanent) Le constructeur fournit sa fonction de transfert :

pTK

pIpQpF d

.1)()()(

+== o Kd est le gain du servo-distributeur et T sa constante de temps.

1. Modlisation dans lhypothse de fluide incompressible

Q1.1. Ecrire les quations du modle sous forme symbolique (transforme de Laplace) en considrant que toutes les conditions initiales sont nulles.

Q1.2. Reprsenter chacune de ces relations sous forme de schma-bloc partiel.

Q1.3. Regrouper les schmas-blocs partiels afin de reprsenter le comportement de la servocom-mande.

Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner chaque fois la classe et lordre. Fonction de transfert du vrin non asservi : A1(p) = )(

)(pQpX

Fonction de transfert de la chaine directe : C(p) = )()(

ppX

Fonction de transfert boucle ouverte du systme : G(p) = )()(

ppU s

Fonction de transfert boucle ferme du systme : H(p) = )()(

pUpX

c


19

2. Modlisation dans lhypothse de fluide compressible

Dans cette hypothse, le modle de connaissance du systme est modifi :

Lquation de dbit dans le vrin devient : q(t) = dt

tpdB

Vdt

txdS )(..2

)(.

+ o p(t) reprsente la

diffrence de pression entre les 2 chambres du vrin, V est le volume total de fluide dans le vrin (V est constant) et B est le coefficient de compressibilit du fluide hydraulique (pour un fluide incompressible B).

Effort moteur sur le piston : Fm(t) = )(. tpS Principe fondamental de la dynamique appliqu sur la tige de vrin :

Fm(t) Fr(t) 22 )(

.

)(.

dttxd

mdt

txdf = o Fr(t) reprsente leffort rsistant sur la tige du vrin, effort qui sera considr comme une perturbation et f reprsente le frottement visqueux.



Q2.3. Regrouper les schmas-blocs partiels. Afin de reprsenter le comportement de du vrin non-asservi (grandeur dentre Q(p), grandeur de sortie X(p)). Le schma-bloc contiendra un retour et une perturbation.

Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vrin non asservi : A2(p) = )()(

pQpX

, en supposant

que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner chaque fois la classe et lordre de A2(p).

Q2.5. Quelle est la modification apporte par le modle de fluide incompressible ?

EFEBCFEBEBB

Calculer les fonctions de transfert des schmas blocs suivants :

-

+ -

+ E(p)

A(p) B(p)

C(p)

S(p) D(p)

E(p)

-

-

+ A(p) B(p) S(p)

E2(p)

+ E1(p)

-

+ C(p)


20

ABCDAEBEFAEBCABBFFB

1. Modlisation dans lhypothse de fluide incompressible


uc(t) = aKti )(

+ us(t) Uc(p) = aKpI )(

+ Us(p)

q(t) = dt

txdS )(. Q(p) = S.p.X(p) us(t) = Kc.x(t) Us(p) = Kc.X(p)


Uc(p) -

+

Us(p)

Ka I(p) (p)

Uc(p) = aKpI )(

+ Us(p)

Q(p) = S.p.X(p) pS.

1

X(p) Q(p)

Us(p) = Kc.X(p) X(p) Us(p) Kc

pTK

pIpQpF d

.1)()()(

+== pT

Kd.1+

Q(p) I(p)

Q1.3. Regrouper les schmas-blocs partiels afin de reprsenter le comportement de la servocom-mande.

Uc(p) -

+

Us(p)

Ka I(p) (p)

pTKd

.1+

Q(p) pS.

1

X(p)

Kc

Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner chaque fois la classe et lordre.

A1(p) = pSpQpX

.

1)()(

= Classe 1, ordre 1.

C(p) = pSpT

KKppX da

.)..1(.

)()(

+=

Classe 1, ordre 2.


21

G(p) = pSpT

KKKppU cdas

.)..1(..

)()(

+=

Classe 1, ordre 2.

cda

cda

ccda

cda

cc KKKpSpTKKK

KpSpT

KKKpSpT

KKK

KpUpXpH

...)..1(..

.

1

.)..1(..1

.)..1(..

.

1)()()(

++=

++

+==

2.

..

.

.

..

1

1.

1)()()(

pKKK

TSpKKK

SKpUpXpH

cdacda

cc ++== Classe 0, ordre 2.

2. Modlisation dans lhypothse de fluide compressible


q(t) = dt

tpdB

Vdt

txdS )(..2

)(.

+ Q(p) = )(..

.2)(.. pPp

BVpXpS +

Fm(t) = )(. tpS Fm(p) = )(. pPS

Fm(t) Fr(t) 22 )(

.

)(.

dttxd

mdt

txdf = Fm(p) Fr(p) )(..)(.. 2 pXpmpXpf =


Q(p) -

+ (p) (p) )(..

.2)(..)( pPp

BVpXpSpQ =

pVB.

.2

X(p) S.p

Fm(p) = )(. pPS S Fm(p) (p)

Fm(p) - +

X(p) Fm(p) Fr(p) ( ) )(.... 2 pXpmpf += 2

...

1pmpf +

Fr(p)

Q2.3. Regrouper les schmas-blocs partiels.

Q(p) -

+ (p) (p)

pVB.

.2

S.p

S Fm(p) -

+ X(p)

2...

1pmpf +

Fr(p)


22

Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vrin non asservi : A2(p) = )()(

pQpX

, en supposant

que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner chaque fois la classe et lordre de A2(p).

A2(p) = )()(

pQpX

VSBpmpfVSB

pSpmpfVSB

pmpfVSB

pSpmpfpV

pSSBpmpfpV

pSSB

pS /..2../..2

.

.

1

)..(/..21

)..(/..2

.

.

1

)..(.....21

)...(.....2

.

.

122

2

2

2

2

2

2

2

++=

++

+=

++

+=

A2(p) =2

22 ...2.

.

..2.1

1.

.

1

pSBmVp

SBfVpS ++

Classe 1, ordre 3.

Q2.5. Quelle est la modification apporte par le modle de fluide incompressible ?

A1(p) = pSpQpX

.

1)()(

= Classe 1, ordre 1.

A2(p) =2

22 ...2.

.

..2.1

1.

.

1

pSBmVp

SBfVpS ++

Classe 1, ordre 3.

Lhypothse fluide incompressible amliore le modle mais augmente lordre du systme et ainsi complexifie les calculs.

Remarque : si B (fluide incompressible) 2

22 ...2.

.

..2.1

1.

.

1

pSBmVp

SBfVpS ++

pS.

1

EFEBCFEBEBBBFFB

-

+ -

+ E(p)

A(p) B(p)

C(p)

S(p) D(p)

E(p)

Dplacement du point de prlvement

-

+ -

+ E(p)

A(p) B(p)

C(p)

S(p) D(p)

E(p).D(p) Boucle 1


23

Calcul de la FBTF de la boucle 1 : )().().(1)(

)().().(1)().().(

.)().(1)(1 pEpDpB

pBpEpDpB

pEpDpBpDpE

pH+

=

+=

-

+ E(p)

A(p)

C(p)

S(p) D(p)

Boucle 2

H1(p)

Calcul de la FBTF de la boucle 2 :

)().().(1)().().(1

)().().(1)().(

)().().(1)().().(

.)(1)(

1

12

pEpDpBpBpCpA

pEpDpBpBpA

pHpCpApHpCpA

pCpH

++

+=

+=

)().().()().().(1)().()(2 pCpBpApEpDpB

pBpApH++

=

E(p) S(p) D(p) H2(p)

Calcul de la FBTO : )().().()().().(1)().().()().()(

)()( 2 pCpBpApEpDpBpDpBpApDpH

pEpSpH

++===

-

-

+ A(p) B(p) S(p)

E2(p)

+ E1(p)

-

+ C(p)

On utilise le thorme de superposition : on calcule les fonctions de transfert du systme )()(

1 pEpS pour

E2(p)=0 et )()(

2 pEpS pour E1(p)=0.

Cas E2(p)=0 :

-

A(p) B(p) S(p) + E1(p)

-

+ C(p)

Boucle 1


24

Calcul de la FBTF de la boucle 1 : )(1)()(1 pB

pBpH+

=

-

A(p) H1(p) S(p) + E1(p) C(p)

Boucle 2

Calcul de la FBTF de la boucle 2 : )(.)(1

)().(1

)(.)(1)().(

)().().(1)().().()(

1

12

pCpB

pBpA

pCpB

pBpA

pCpHpApCpHpApH

++

+=

+=

)().().()(1)().().()(2 pCpBpApB

pCpBpApH++

=

Cas E1(p)=0 :

-

-

+ A(p) B(p) S(p)

E2(p)

+ -

+ C(p)

Dplacement du sommateur

-

- A(p) B(p) S(p)

E2(p)

+ -

+ C(p)

)().(1

pBpA

En utilisant les rsultats du cas E2(p)=0, on retrouve :

- H2(p) S(p)

E2(p) )().(

1pBpA

Avec )().().()(1)().().()(2 pCpBpApB

pCpBpApH++

=

Do : )(.)().().()(1)()(.)().().()(1

)().().()( 21 pEpCpBpApBpCpE

pCpBpApBpCpBpApS

+++

++=


25

ABCDEFCBBDBCD

(Inspir de Centrale-Supelec MP 2008)

La figure de droite montre linterface assurant, partir des informations dlivres par lunit centrale de commande, la fermeture hermtique et le verrouillage dune porte de TGV.

Afin de satisfaire les contraintes d'encombrement, l'ouverture de la porte s'effectue selon l'enchanement temporel de trois phases distinctes dcrites partir de la position porte ferme pour laquelle la face extrieure de la porte est aligne avec la face extrieure de la caisse : une phase de dcalage puis une phase de louvoiement et enfin une phase d'escamotage. La phase primaire (dcalage) puis la phase terminale (escamotage) sont dfinies par les figures ci-contre. Les performances annonces de la part du constructeur, dans la phase d'escamotage, sont les suivantes :

Performance Valeur Accs suffisant du wagon 850 mm Temps d'ouverture de la porte en phase descamotage t4s Vitesse daccostage de la porte en fin de phase descamotage V0,09m/s

Pour ouvrir la porte, on utilise un moteur, dont la rotation est transforme en translation par l'intermdiaire d'un systme pignon crmaillre. La translation de la porte est note y(t). L'angle de rotation du moteur est not m(t). Le lien entre y(t) et m(t) est y(t) = R.m(t) o R est le rayon du pignon (R=37 mm).

On fait l'hypothse qu' l'instant initial, correspondant au dbut de la translation de la porte, la porte est immobile, avec y(t=0)=0 et m(t=0)=0 (toutes les autres conditions initiales seront galement nulles, par consquent).

Grce une redfinition du paramtrage et dans un souci de simplification, on considre qu'au cours

de cette phase la vitesse angulaire du moteur vrifie m(t) dtdm(t) et la position de la porte vrifie

y(t)0.


26

Le moteur courant continu qui commande l'ouverture de la porte est gr par les quations suivantes :

u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.m(t) dttdJ m )(. = Cm(t) Cm(t) = km.i(t)

Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre lectromotrice du moteur ; i(t) = intensit dans le moteur Cm(t) = couple exerc par le moteur ; m(t) = vitesse angulaire du moteur.

Q.1. Exprimer ces quations dans le domaine de Laplace.

Q.2. Schmatiser le schma-bloc du moteur en saidant des quations de la question 1.

Q.3. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et U(p) peut s'crire sous la forme :

pTK

pUpm

.1)()(

+=

o K et T sont deux constantes dterminer.

Q.4. Dterminer m(t) lorsque le moteur est soumis un chelon de tension d'amplitude u0 tel que : um(t)= u0.u(t). Exprimer et justifier le rsultat en fonction de K et T.

Q.5. L'application numrique fournit K=1,2s1.V1 et T=0,16s. Dterminer le temps de rponse 5% du moteur.

Le schma bloc du systme peut se mettre sous la forme suivante :

R pTK

.1+

Y(p) m(p) Um(p) p1

m(p)

Q.6. Justifier la fonction de transfert entre m(p) et m(p).

Q.7. Dterminer l'expression analytique de )()(pU

pY

m

.

Q.8. Dterminer l'expression analytique de y(t) lorsque le moteur est soumis un chelon de tension d'amplitude u0.

Q.9. Dterminer la valeur numrique du dplacement de la porte au bout de 4 s (u0=5V), et conclure quant la capacit du systme satisfaire le critre d'accs au wagon du cahier des charges.

Q.10. Dterminer la vitesse de la porte la fin de la translation (v(t=4s)= dtd y(t=4s)). Conclure quant

la capacit du systme satisfaire le critre de vitesse finale de translation de la porte du cahier des charges.


27

ABCDEFCBBFDEBBBDE(Inspir de X-ENS PSI 2005)

La mission Mars Exploration Rover (MER) est une mission spatiale confie la NASA. Elle a pour but dexplorer les sols de la plante Mars pour y rechercher la prsence ancienne et prolonge deau. Cette exploration est ralise grce deux rovers automatiques lances depuis Cap Canaveral. Le premier rover se nomme robot Spirit. Il a t lanc le 10 juin 2003 et sest pos le 3 janvier 2004 dans le cratre Gusev. Le second rover se nomme robot Opportunity, il a t lanc le 8 juillet 2003 et sest pos le 24 janvier 2004 sur Meridiani Planum.

Corps

Panneau solaire

Antenne hautes frquences

Antenne basses frquences

Tte priscopique

Bras articul

Outils

Systme Pancam

Roues

Pour faire avancer le robot, les six roues de Spirit sont quipes de motorducteurs (le motorducteur est un composant constitu d'un moteur, qui gnre un mouvement de rotation, et d'un rducteur, qui rduit la vitesse de rotation du moteur par des engrenages) afin de faire tourner les roues. Le codeur incrmental permet de mesurer la rotation du moteur.

Les performances annonces de la part du constructeur sont les suivantes :

Performances Valeur Vitesse de dplacement 1 km en moins de 2 heures Pente du sol +/- 30 Temps de rponse 5%

u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.m(t) dttdJ m )(. = Cm(t) f.m(t) Cm(t) = km.i(t)

Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre lectromotrice du moteur ; i(t) = intensit dans le moteur Cm(t) = couple exerc par le moteur ; m(t) = vitesse angulaire du moteur. Les grandeurs physiques R, L, ke, f et km sont des constantes.

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera galement suppos dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces quations dans le domaine de Laplace.

Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et Um(p) peut s'crire sous la forme : = )(

)(pUp

m

m

pTK

m

m

.1+ o Km et Tm sont deux constantes dterminer.

L'application numrique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction suivante :

=

)()(

pp

c

r

pTK

.1+, avec K=1 et T=0,05s.

Q.5. Dterminer r(t) lorsque lordinateur du robot demande un chelon de rotation c(t) = c0.u(t). Exprimer le rsultat en fonction de K et T.

Q.6. Dterminer le temps de rponse 5% du systme et effectuer lapplication numrique. Conclure quant la capacit du robot satisfaire la performance de temps de rponse.

Q.7. Le robot, initialement immobile, bouge selon le dplacement xr(t) tel que dtd

xr(t)=R. r(t) o R est rayon de la roue (R=constante). Dterminer Xr(p) en fonction de r(p).

Q.8. Toujours dans le cas o l'ordinateur du robot demande un chelon de rotation c(t) = c0.u(t), dterminer la transforme de Laplace de Xr(p) et en dduire xr(t).

La vitesse angulaire que l'ordinateur du robot impose est c0=2rad.s1. Le rayon de la roue est R=10cm.

Q.9. Dterminer le temps que met le robot parcourir 1 km, en ngligeant la fonction exponentielle prsente dans xr(t). Justifier a posteriori que la fonction exponentielle tait bien ngligeable. Conclure quant la capacit du robot satisfaire la performance de vitesse de dplacement.


29

ABCDEFCBBDBCDB

Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) U(p) = E(p) + R.I(p)

e(t) = ke.m(t) E(p) = ke.m(p)

dttdJ m )(. = Cm(t) J.p m(p) = Cm(p)

Cm(t) = km.i(t) Cm(p) = km.I(p)

Q.2.

-

+

U(p) pJ .

1

ke

km 1/R

Cm(p) m(p)

I(p)

E(p)

Q.3. p

kkJRkkkpJR

kkk

pJRkkpJR

kk

kpUp

em

eem

em

eem

em

e

m

.

.

.1

1.

1...

.

.

1

..

.1

..

.

.

1)()(

+=

+=

+=

pT

K.1+

= avec K=ek

1et T=

em kkJR.

.

Q.4. )(.1..)( 0 tueuKt Tt

m

=

voir cours rponse indicielle 1er ordre

Q.5. tr5% = 3. =0,48s avec = T = 0,16s. voir cours rponse indicielle 1er ordre

Q.6. m(t)= dtdm(t) utilisation de la fonction de transfert intgration.

Q.7. FTBO : )()(pU

pY

m

=

pTK

pR

.1.

+=

Q.8. )( pY =pp .16,01

2,1.

10.37 3

+=

. )( pUm pU

p .16,01.10.4,44

.

1 03

2 +=

)(..16,016,0..10.4,44)( 16,003 tuetUtyt

+=

voir cours rponse une rampe 1er ordre

La rponse un chelon dun systme en boucle ouverte comprenant un intgrateur est une rampe infinie.


30

Q.9. )(..16,016,04.510.4,44)4( 16,04

3 tuety

+==

=0,850m C.d.C.F. ok

Q.10. )(.1..10.4,44)( 16,003 tueUdttyd t

=

)(.1.510.4,44)4( 16,04

3 tuety

==

=0,22m/s

Valeur suprieure au C.d.C.F.(0,09m/s) il faut modifier la loi dentre pour rpondre au C.d.C.F.

ABCDEFCBBFDEBBBDE B

Q.1. H(p) : moteur et G(p) : rducteur engrenages.

Q.2. )().(1)().(

)()(

pGpHpGpH

pp

c

v

+=



dttdJ m )(. = Cm(t) f.m(t) J.p m(p) = Cm(p) f. m(p)


Q.4. ( )( )

( )em

em

eem

em

eem

em

em

m

kkRfpJRkk

kkkfpJRkk

kfpJR

kkfpJR

kk

kpUp

....

.

.

1...

.

.

1

..

.1

..

.

.

1)()(

++=

++=

++

+=

pkkRf

JRkkRf

kk

kpUp

em

em

em

em

m

.

..

.1

..

.

.

1)()(

++

+=

=

pTK

m

m

.1+ avec Km=

em

m

kkRfk

.. +, Tm =

em kkRfJR

..

.

+= .

-

+

Um(p) fpJ +.

1

ke

km

Cm(p) m(p)

I(p)

E(p) R1

=

)()(

pp

c

r

pTK

.1+, avec K=1 et T=0,05s.


31

Q.5. c(t) = c0.u(t) c(p) = pc0

systme du 1er ordre r(t) )(.1.. 0 tueK Tt

c

=

Q.6. t5% = 3. avec = T. voir cours rponse indicielle 1er ordre t5%= 0,15s

AABCDAAEFFFDFDB(Inspir dE3A PSI 2007)

Le support de ltude est une unit dentaire dont on donne un extrait de cahier des charges fonctionnel. Cet quipement a t conu et ralis dans le but dune adaptabilit maximale aux diffrentes mthodes de travail des chirurgiens dentistes. Son ergonomie, sa maniabilit, son design, sa fiabilit en font une unit universelle . Sa conception est modulaire, avec une technologie avance. Le chirurgien dentiste possde une pdale et un pupitre de commande, qui lui permet de montrer ou descendre verticalement le corps du patient, de l'incliner plus ou moins, et de positionner sa tte. Le patient pouvant prendre une position spatiale pertinente, tous les actes mdicaux sont facilits.

FS1 : Permettre au chirurgien dentiste de positionner de patient FS2 : Sadapter au sol FS3 : Etre aliment en nergie pneumatique FS4 : Etre aliment en nergie lectrique

Fonction Critre Niveau

FS1

Temps de rponse 5% du systme de mise en position verticale

< 0,5 s

Patient

Unit dentaire

Energie lectrique

Energie pneumatique

FS1

FS3

FS4

Chirurgien dentiste

FS2

Sol

On s'intresse dans ce sujet au critre de la FS1 concernant le temps de rponse du systme permettant de mettre en position verticale le patient.

Pour rgler le patient en position verticale, le chirurgien dentiste appuie sur une pdale, plus ou moins fort. Un moteur lectrique se met en route, sa vitesse de rotation dpendant de l'appuie plus ou moins profond du chirurgien dentiste sur la pdale. La vitesse de rotation du moteur est diminue par un rducteur engrenages. En sortie du rducteur engrenages se trouve une vis, dont la rotation v(p) entrane, par un systme vis crou, la translation du sige en hauteur. L'ensemble peut se reprsenter par le schma bloc suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) :

-

+ G(p) H(p) C(p) v(p) m(p) U(p)

c(p)

Q.1. Dterminer le nom des composants qui ralisent les fonction H(p) et G(p).

Q.2. Dterminer la fonction de transfert en boucle ferme du systme : )()(

pp

c

v


33

Les quations du moteur utilis sont les suivantes :

u(t) = e(t) + R.i(t)+ dt

tidL )(. e(t) = ke.m(t) dttdJ m )(. = Cm(t) f.m(t) Cm(t) = km.i(t)

Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre lectromotrice du moteur ; i(t) = intensit dans le moteur Cm(t) = couple exerc par le moteur ; m(t) = vitesse angulaire du moteur. Les grandeurs physiques R, L, ke, J, f et km sont des constantes.

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera galement suppos dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces quations dans le domaine de Laplace.

Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et U(p) peut s'crire sous la forme : = )(

)(pUpm

)1.21( 2200

ppzK

++

o K, z et 0 sont trois constantes dterminer.

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numrique des grandeurs physiques permet de

trouver la fonction suivante : =

)()(

pp

c

v

pTK

T

T

.1+, avec KT=0,9 et TT=0,1s

Q.5. Dterminer v(t) lorsque le chirurgien dentiste demande un chelon de rotation c(t) = c0.u(t). Exprimer le rsultat en fonction de c0, KT et TT.

Q.6. Dterminer le temps de rponse 5% du systme et effectuer lapplication numrique. Conclure vis--vis du cahier des charges.

Le patient, initialement immobile, bouge verticalement selon le dplacement xv(t) tel que : )(.)( ta

dttxd

vv = avec a=constante qui reprsente le pas rduit de la vis.

Q.7. Dterminer la transforme de Laplace Xv(p) de xv(t).

Q.8. Dterminer xv(t) en fonction de a, KT et TT et c0.

Si on utilise un correcteur proportionnel, driv et intgral, l'application numrique des grandeurs

physiques permet de trouver la fonction suivante : =

)()(

pp

c

v

2.211

pp ++

Q.9. Dterminer v(t) lorsque le chirurgien dentiste demande un chelon de rotation c(t) = c0.u(t).

Q.10. Dterminer si le temps de rponse 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas prcdent. Conclure vis--vis du cahier de charges.


34

BFABDA

Le support d'tude est un prhenseur de pices. Il permet l'utilisateur de prendre des pices pour les dplacer. L'application illustre sur l'image ci-dessous et la prise de bouteilles plastiques sur un tapis roulant, afin de les trier pour faire du recyclage.

L'objectif de cette tude est de vrifier les performances de la fonction FS1, dcrites dans le cahier des charges de ce systme. On ralise l'asservissement de la position angulaire d'un bras du prhenseur de pices, selon le schma bloc qui suit (l'angle du bras est b(t), l'angle consigne est c(t)).

-

+ H3(p) K2 c(p) b(p)

K1 K5 K6

K7

H4(p) Uc(p)

UM(p) V(p) V(p) X(p)

VM(p)

Avec : K1, K2, K5, K6, K7 : constantes, C(p) : angle de consigne, UC(p) : tension consigne, UM(p) : tension moteur, V(p) : vitesse angulaire de la vis, V(p) : angle de la vis, X(p) : dplacement de l'crou, b(p) : position angulaire du bras, VM(p) : tension mesure image de b(p).

Q.1. Dterminer le lien entre K1 et K7 pour que b(p) soit asservi sur c(p).

La fonction de transfert H3(p) est ralise par un moteur, dont les quations de comportement sont : uM(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.V(t) dt

tdJ V )(. = CM(t) CM(t) = kM.i(t)

Avec : uM(t) : tension aux bornes du moteur (en V), e(t) : force contre-lectromotrice (en V), i(t) : intensit (en A), V(t) : vitesse de rotation de la vis en sortie de moteur (en rad/s), CM(t) : couple moteur (en N.m) (un couple est une action mcanique qui tend faire tourner), J : inertie quivalente


35

en rotation de larbre moteur (en kg.m2), R : rsistance lectrique du moteur (), ke : constante de force contre-lectromotrice (V.rad-1.s), kM : constante de couple (N.m.A-1).

Q.2. Dterminer la fonction de transfert )()()(3 pU

ppHM

V= . Montrer que H(p) peut se mettre sous la

forme canonique H3(p) = ).1( 33

pTK

+ et dterminer les valeurs littrales K3 et T3.

Q.3. Dterminer V(t) lorsque lorsque uM(t) est un chelon de tension d'amplitude U0. Prciser la valeur de V(t) l'origine, la pente de la tangente l'origine de V(t) et la valeur finale atteinte par V(t) quand t tend vers linfini.

Q.4. Dterminer la fonction de transfert H4(p).

Q.5. Dterminer la fonction de transfert )()()(

pppH

c

b

= . Montrer que cette fonction peut se mettre sous

la forme H(p) =)1.21( 22

00

ppzK

++

et dterminer les valeurs littrales K, z et 0 en fonction des

constantes fournies.

La rponse indicielle de H(p) un chelon unitaire est donne sur la figure suivante :

t

b(t)

Q.6. Dterminer, en expliquant la dmarche utilise, les valeurs numriques de K, z et 0.

Q.7. Dterminer, en expliquant la dmarche utilise, le temps de rponse 5%. Conclure quant la capacit du prhenseur de pices vrifier (ou non) le critre de rapidit de la FS1.


36

AABCDAAEFFFDFDBBBD

Q.1. H(p) : moteur et G(p) : rducteur engrenages.

Q.2. )().().(1)().().(

)()(

pGpHpCpGpHpC

pp

c

v

+=

Q.3. u(t) = e(t) + R.i(t) + dt

tidL )(. U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)


dttdJ m )(. = Cm(t) f.m(t) J.p m(p) = Cm(p) f. m(p)


Q.4.

( )( )( )( )

( )( ) ( ) emem

eem

em

eem

em

e

m

kkRfpfLJRpJLkk

kkkfpJLpRkk

kfpJLpR

kkfpJLpR

kk

kpUp

.......

.

.

1...

.

.

1

..

.1

..

.

.

1)()(

2 ++++=

+++=

+++

++=

( ) 2.

..

.

.

..

..1

..

.

.

1)()(

pkkRf

JLpkkRffLJR

kkRfkk

kpUp

emem

em

em

e

m

++

+

++

+=

=

)1.21( 2200

ppzK

++

avec K=em

m

kkRfk

.. +, 0 = JL

kkRf em.

.. +et z ( )em kkRfJL

fLJR....

..

.

21

+

+= .

-

+

U(p) fpJ +.

1

ke

km

Cm(p) m(p)

I(p)

E(p) pLR .

1+

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numrique des grandeurs physiques permet de

trouver la fonction suivante : =

)()(

pp

c

v

pTK

T

T

.1+, avec KT=0,9 et TT=0,1s

Q.5. c(t) = c0.u(t) c(p) = pc0

systme du 1er ordre v(t) )(.1.. 0 tueK TTt

cT

=

Q.6. t5% = 3. = 0,3s ( = TT= 0,1s) voir cours rponse indicielle 1er ordre

C.d.C.F. ok


37

Q.7.et 8. )(.)( tadt

txdv

v = p.Xv(p) = a. v(p)

-

+ G(p) H(p) C(p)

v(p) m(p) U(p) c(p)

pa

Xv(p)

Xv(p) = pa

.

pTK

T

T

.1+ .c(p) Xv(p) = p

a.

pTK

T

T

.1+ .

pc0

Rponse dun systme du premier ordre une rampe : )(....)( 0 tueTTtKatx TTt

TTcTv

+=

voir cours rponse une rampe 1er ordre

Q.9. =

)()(

pp

c

v

2.211

pp ++ systme du 2me ordre avec K=1, 0 =1 et z=1.

Rponse dun systme du 2nd ordre un chelon c(t) = c0.u(t) :

( ) )(..1.)( 0 tuetet ttcc = Rgime permanent Rgime transitoire

voir cours rponse indicielle 2me ordre pour z=1 (Rappel : ( ) )(...1)( .0. 00 tueteKts tt = )

Q.10. 5. 0%5 =t (annexe 2 cours 07) soit t5% = 5s systme plus lent.

Critre FS1 du C.d.C.F. non respect avec ce correcteur.

Rponse indicielle 2

.211

pp ++

Rponse indicielle p1,01

9,0+


38

BFABDABBD

Q.1. On a VM(p)=K7.b(p) et Uc(p) = K1.c(p)

do : (p)=Uc(p) VM(p) = K1.c(p) K7.b(p) = 0 si c(p) = b(p) alors K1 = K7.

Q.2. uM(t) = e(t) + R.i(t) UM(p) = E(p) + R.I(p)

e(t) = ke.V(t) E(p) = ke.V(p)

dttdJ V )(. = CM(t) J.p V(p) = CM(p)

CM(t) = kM.i(t) CM(p) = kM.I(p)

-

+

UM(p)

pJ .1

ke

KM 1/R

CM(p) V(p)

I(p)

E(p)

pkkJRkkkpJR

kkk

pJRkk

pJRkk

kpUppH

eM

eeM

eM

eeM

eM

eM

V

.

.

.1

1.

1...

.

.

1

..

.1

..

.

.

1)()()(3

+=

+=

+=

= = ).1( 3

3

pTK

+

avec K3=ek

1et T3=

eM kkJR.

.

Q.3. )(.1..)( 303 tueUKt Tt

V

=

voir cours rponse indicielle 1er ordre

Valeur de V(t) l'origine : V(t) = 0 pour t = 0.

Pente lorigine :

[ ]3

03

3

032

0

.

).1.(.

.lim)(..lim)('lim)0('TUK

pTpUKppppt

pVpVtV =+

===

+

+ Pente lorigine =

3

03.

TUK

Thorme de la valeur initiale Transforme de la drive (CI nulles)

Ordonne en + :

030.)(.lim)(lim)( UKppt VpVtV ===+ + 03.)( UKs =+

Thorme de la valeur finale

Q.4. dt

td V )(= V(t) p.V(p) = V(t) pp

ppHV

V 1)()()(4 ==

.


39

Q.5.

-

+ H3(p) K2 c(p) b(p)

K1 K5 K6

K7

H4(p) Uc(p)

UM(p) V(p) V(p) X(p)

VM(p)

ppTKKKKK

ppTKKKKK

KK

KKKpHpHKKKKpHpHK

KK

pUpK

pppH

c

b

c

b1

.).1(....1

1.).1(

....

.

1.

..).().(.1..).().(.

.

1.)(

)(.)(

)()(

3

76532

3

76532

71

765432

765432

711

++

+=

+===

On pose KBO gain boucle ouverte tel que : KBO = 76532 .... KKKKK

11...)(

23

7

1

237

1

++=

++=

pK

pKT

KK

KppTK

KKpH

BOBO

BO

BO=

)1.21( 2200

ppzK

++

avec K= 7

1

KK

= 1 si 71 KK = (Q.1.) , 0 =3T

KBO et z 3.

1.

21

TKBO= et KBO = 76532 .... KKKKK (KBO en

s-1)

Q.6.

t

b(t) D1

Valeur asymptotique b(+) = 1 = K

Tp

A laide de labaque annexe 1 du cours 07, on obtient graphiquement z = 0,2.

Valeur asymptotique : Graphiquement on lit b(+) = 1 K = 1. La priode des oscillations amorties est

20 1

22z

Tp

p

==

pi

pi. Graphiquement on lit Tp = 0,13 s

220 2,01.13,0

21.2

=

=

pipi

zTp= 49 rad/s.


40

Valeur du dpassement transitoire

0,5210052

= D1=52%

Q.7. Pour z = 0,2 on lit sur lannexe 2 cours 07 13. 0%5 t st 26,04913

%5 == C.d.C.F. non vrifi.

t

b(t)

Valeur asymptotique b(+) = 1 = K

1,05.K

0,95.K

t5%

Graphiquement t5% 0,27 s


41

ABCCDE

Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode puis lallure des diagrammes des systmes suivants :

p

pF+

=

11)(1 ppF += 1

10)(2 ppF .1011)(3 +=

3)(1 =pG ppG .3)(2 = ppG3)(3 =

21 11)(

pppH

++= 22

.1,0110)(

pppH

++= 23

.1,011)(

pppH

++=

ppK .33)(1 += ppK3,03)(2 += pppK

3,033)(3 ++=

FECECEAC

Soit un systme dont le diagramme de Bode est donn ci-contre :

Q.1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique.

Q.2. Identifier le type de la fonction de transfert et ses valeurs remarquables.

Q.3. Le diagramme temporel ci-dessous prsente 3 signaux dentre sinusodaux. Dterminer les priodes et les pulsations de chacun des signaux.

Q.4. En dduire le gain et le dphasage en rgime permanent pour chacune des courbes temporelles de sortie correspondant aux 3 entres de la question 3.


42

AAAEEAEABCCDE

Pour les quatre diagrammes de Bode suivants, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques puis identifier les fonctions de transfert correspondantes (pour le second ordre faiblement amorti, on ne cherchera pas la valeur prcise de z mais seulement une estimation).


43


44


45

ABCCDEFEAB

ppF

.1011)(3 +=

10 0,1 1

(rad/s)

G (dB)

() 0

90

10dB

0,01

45

(rad/s)

ppF

+=

11)(1

ppF

+=

110)(2

ppG 3)(3 =

10 0,1 1

(rad/s)

G (dB)

()

0

90

10dB

(rad/s)

+ 90

ppG .3)(2 =

3)(1 =pG

23.1,01

1)(pp

pH++

= ( )( )pppH .113,01..88,011)(3 ++=


46

10 0,1 1

(rad/s)

G (dB)

() 0

180

10dB

(rad/s)

0,1 1

(rad/s)

G (dB)

()

0

90

(rad/s)

+ 90

ppK .33)(1 +=

ppK 3,03)(2 +=

23.1,01

1)(pp

pH++

=

pppK 3,033)(3 ++=

22.1,01

10)(pp

pH++

=

21 11)(

pppH

++=

90

10dB

0,01

On transforme les fonctions de transfert pour retrouver des fonctions lmentaires :

)1.(3)(1 ppK += ; )101.(3,0)(2 pppK += ; ( ) ( )( )pppppppK .13,11..9,81.

3,010101.3,0)( 23 ++=++=


47

ECECEACFEAB

Q.1. Q.2.

Systme du second ordre avec

z 0,2s le critre de rapidit de la fonction FS1 nest pas respect.

Q.8. Mthode : voir chapitre 4 cours 08. Il y a 3 fonctions de transfert du 1er ordre.

( )( )( )ppppH .002,01..0005,01..05,011)(

+++= ( ) ( ) ( ) jjjjH .0005,01

1.

.002,011

.

.05,011)(

+++=

On classe les constantes de temps dans un ordre dcroissant, cest dire les pulsations de cassure (1/Ti pour le 1er ordre) correspondantes dans un ordre croissant. Les brisures du trac asymptotique correspondront alors ces pulsations.

Les constantes de temps sont T1 = 0,05 s (soit 1 = 20 rad/s), T2 = 0,002 s (soit 2 = 500 rad/s) et T3 = 0,0005 s (soit 2 = 2000 rad/s).

Q.9. Pour = 10 rad/s on a :

GdB = ( )( )

+ 21005,01log20)10( dBjH 1 dB

et = ( )

11005,0

arctan)10(arg jH 26,5


68

G (dB) (rad/s)

() (rad/s)

-20 dB/dcade

-40 dB/dcade

-60 dB/dcade

Q.10. Dterminer, en rgime permanent, r(t) pour une entre c(t) = 0,2.sin(10t).

r(t) = 0,2.G.sin(10t+).

Q.11. c=20 rad/s soit un bande passante de 20rad/s > 18rad/s, le critre de bande passante de la fonction FS1 est respect.

Q.12. Systme du 1er ordre t5% = 30,05 = 0,15 s < 0,2 s C.d.C.F. ok.


69

Etude dune antenne parabolique - Corrig

Q.1. um(t) = em(t) + Rm.im(t) + dttidL mm)(

. Um(p) = Em(p) + R.Im(p) + L.p.Im(p) em(t) = Ke.m(t) Em(p) = Ke.m(p)

dttdJ mm)(

.

= Cm(t) Jm.p m(p) = Cm(p)

Cm(t) = Kc.im(t) Cm(p) = Kc.Im(p)

Q.2.

Q.3.

-

+ pJm .1

Ke

Kc

Cm(p) m(p)

Im(p)

Em(p)

Um(p) pLR mm .

1+

( )( )

( ) 1..

.

.

.

.

1

....

.

.

1

...

.1

...

.

.

1)()()(

2 ++=

++=

++

+=

=

pKKRJp

KKLJ

KKKpLRpJ

KKK

pLRpJKK

pLRpJKK

KpUppH

ec

mm

ec

mm

e

ecmmm

ec

e

mmm

ec

mmm

ec

em

m

avec K=eK

1, 0 =

mm

ec

LJKK.

.

et z mec

mm LKK

JR..

..

21

= .

Q.4. m

me R

L= ,

ce

mmm KK

JR.

.

= et me

Asymptote horizontale de gain pour les faibles pulsations :

20.log K = 20.logeK

1= 20.log

022,01

= 33,15 dB

Pulsations de cassure :

1 = mm

ce

m JRKK.

.1=

75 rad/s

2 = m

m

e LR

=

1 80000 rad/s

Q.6. 1 = mm

ce

m JRKK.

.1=

75 rad/s 26

2

.10.7,0751,9

022,0mKgJm

=

=

2 = m

m

e LR

=

1 80000 rad/s mHHLm 11,010.11,080000

1,9 3===

1.9310.11,0

==

m

me R

L = 1,25.10-5 s

=

==

2

6

022,010.7,01,9

.

.

ce

mmm KK

JR 1,3.10-2 s me

Q.11. )().().(.1)().().(.

)()(

pMpGpHKpMpGpHK

pp

a

a

ac

a

+=

Avec : ).1()( pKpH

m+= , G(p) =

Npp

m

a 1)()(

=

et M(p) pp

p

a

a 1)()(

=

=

2

.

.

.

1

1.).1.(

.

).1.(

.

1

).1.(

.

).1.(.1

.1

).1.(.1

.

)()(

pKK

NpKK

NN

KKppN

KK

ppN

KKpp

NKK

ppK

NK

ppK

NK

pp

a

m

a

am

a

m

a

m

a

m

a

m

a

ac

a

++=

++=

++

+=

++

+=

Avec : KT = 1, 0T = m

a

NKK

.

.

et zT m

a

a NKK

KKN

.

.

.

.

.

21

= zT ma KK

N..

.

21

=

Q.12. FTBO de classe 1 lerreur de position est nulle C.d.C.F ok.

Q.13. Temps de rponse le plus faible possible pour un systme de 2me ordre z = 7,022

=

0,7 012,045

23328.

21

=

aK 1,42

012,04523328

=

aK Ka 012,0454,1

233282

= Ka = 22040 V/rad


72

ABCDEFCADED

(Inspir de CCP MP 2005)

On sintresse lasservissement en position angulaire du moteur lectrique au systme de commande du plan horizontal rglable (PHR) dun Airbus A340 dont on donne une description fonctionnelle ainsi quun extrait de cahier des charges.

Asservissement angulaire du systme de commande

du PHR de lA340

Normes

Avion Pilote

Energie

Environnement

FS1

FS3 FS5

FS4

FS1 : Permettre au pilote de piloter en toute scurit lavion.

FS Critre Niveau Flexibilit

FS1

Erreur statique Temps de rponse 5% Erreur de trainage

Nulle t

deux moteurs hydrauliques. Ces deux moteurs hydrauliques transforment lnergie hydraulique en nergie mcanique de rotation. Les deux mouvements de rotation ainsi gnrer sont additionns laide du diffrentiel pour crer un seul mouvement de rotation sa sortie. La sortie du diffrentiel est relie au rducteur 6 qui va adapter lnergie mcanique de puissance pour actionner la vis 4. La vis 4 est relie la gouverne de profondeur et permet de commander son angle. Langle de rotation de la vis 4 est capt laide du rducteur 7 qui va ladapter afin dtre compar la rotation de commande des distributeurs laide du train picyclodal, qui joue ici le rle dun comparateur.

Q.1. Complter le diagramme FAST relatif la fonction principale rgler langle du PHR sur le document rponse 1.

La boucle dasservissement en position angulaire du moteur lectrique a pour entre une tension de consigne ue(t) gnre par le calculateur. Cette tension est compare la tension ur(t), image de l'angle r(t), dlivre par un capteur potentiomtrique. L'cart 1(t) est ensuite corrig et amplifi par un bloc correcteur + amplificateur et fournit la tension u(t) aux bornes du moteur lectrique. L'angle de rotation m(t) en sortie du moteur est rduit par un rducteur 2 pour donner la rotation r(t) mesure par le capteur. Dautre part, l'angle m(t), est rduit par un rducteur 1 pour fournir un angle de rotation en sortie P1(t), sortie de cet asservissement.

Q.2. Construire le schma bloc fonctionnel de cet asservissement.

Le moteur lectrique est un moteur courant continu. On procde une identification du moteur en le soumettant un chelon de tension U=5V, afin de dterminer par un modle de comportement sa fonction de transfert. On obtient la rponse indicielle (vitesse de rotation m(t)) donne dans le document rponse 2.

Q.3. Identifier la rponse en justifiant le modle retenu et la (ou les) technique(s) utilise(s) pour dterminer les paramtres. Les tracs seront laisss apparents sur la figure du document rponse 2.

Pour valider le modle exprimental, on peut utiliser les quations du moteur courant continu : Equation lectrique liant la tension u(t) aux bornes du moteur et le courant i(t) le traversant :

u(t) = e(t) + R.i(t), Equation de couplage lectrique liant la tension contre-lectromotrice e(t) la vitesse de

rotation m(t) de larbre du moteur : e(t) = ke.m(t), Equation de la mcanique liant la vitesse de rotation m(t) et le couple moteur Cm(t):

dttdJ me)(

.

= Cm(t),

Equation de couplage mcanique liant le couple moteur au courant : Cm(t) = ka.i(t). Avec :

R : la rsistance de linduit 1 R = Je : inertie quivalente ramene sur larbre moteur 6 24.10 g.m keJ

=

ke : constante de force contre lectromotrice 0,02 V/(rad/s)ek = ka : constante de couple 0,02 Nm/Aak =

Q.4. Dterminer la fonction de transfert )()()(

pUppM m= du moteur lectrique et montrer quelle peut

se mettre sous la forme dun intgrateur p1

multipli par une fonction de transfert dun 1er ordre de

gain statique Km et de constante de temps m.


74

Q.5. Donner les expressions littrales de Km et m.

Q.6. Application numrique : calculer Km et m en prcisant les units.

La fonction de transfert du correcteur + amplificateur peut tre assimil dans un gain K1. La fonction de transfert du rducteur 2 est un gain not R2. La fonction de transfert du rducteur 1 est un gain not R1. La fonction de transfert du capteur potentiomtrique est assimil un gain not K2.

Q.7. Montrer que le schma bloc peut se mettre sous la forme suivante :

K1 K2 R2 M(p)

R1 + - 2 2

1K R

Ue(p) 2(p) m(p) P1(p)

La rapport de transmission du rducteur 1 est 11

150R = .

Q.8. Dterminer la fonction de transfert en boucle ouverte )()()(

2 pppT m

= , la mettre sous la forme

( )ppKpT

m

BO

.1.)(

+= et en dduire lexpression du gain de boucle KBO.

Q.9. Dterminer la fonction de transfert )()()( 1

pUppF

e

P= . Montrer quelle peut se mettre sous la forme

dun systme du second ordre. On notera KBF le gain statique, z le coefficient damortissement et 0 la pulsation propre.

Q.10. Donner lexpression littrale de KBF en fonction de R1, R2 et K2, de z et 0 en fonction de KBO et m.

Q.11. Dterminer la valeur du gain de boucle KBO de telle sorte que la rponse une entre de type chelon soit la plus rapide possible sans toutefois produire de dpassement.

Q.12. Dterminer lerreur statique du systme. Le systme est il prcis ? Conclure vis--vis du C.d.C.F..

Q.13. Dterminer le temps de rponse 5% du systme document rponse 3 et conclure vis--vis du C.d.C.F..

On admet que la longueur utile de la vis est l = 0,6m. Le pas de la vis est pv = 10mm.

Q.14. Dterminer le nombre de tour maximal Nv que va faire la vis.

La vis est entrane en rotation par un rducteur dont le rapport de rduction vaut 511

=

v

P

.

Q.15. Dterminer le nombre de tour NP1 que va faire larbre dentre du rducteur 52.

Q.16. En dduire le nombre de tour Nm que va faire larbre du moteur.


75

Le capteur de position de gain K2 de la boucle dasservissement du moteur lectrique est un capteur potentiomtrique 10 tours dont la tension de sortie varie de -12 +12 Volts.

Q.17. En supposant que lon utilise le capteur sur toute sa plage (10 tours), dterminer le rapport de rduction R2 du rducteur reliant la sortie du moteur lentre du potentiomtre.

Q.18. Dterminer le gain du capteur potentiomtrique.

Q.19. En dduire le gain K1 du rgulateur connaissant la valeur de KBO fixe question 11.

Dans le cas dune entre de type rampe ue(t) = t.u(t), le cahier des charges stipule que lerreur de tranage doit tre nulle.

Q.20. Dterminer lerreur de tranage et conclure vis--vis du C.d.C.F..

Figure 1


76

Document rponse 1.

Rgler langle du PHR

Gnrer la consigne automatiquement

Gnrer la consigne manuellement

Adapter la consigne

Distribuer lnergie de puissance

Transformer lnergie hydraulique en nergie mcanique

Scuriser la distribution de lnergie de puissance

Scuriser la transformation de lnergie hydraulique

Additionner les deux nergies mcaniques de rotation

Adapter lnergie mcanique de puissance

Transformer un mouvement de rotation en translation

Modifier le PHR

Mesurer la rotation de la vis et adapter langle

Comparer la rotation relle consigne

calculateur

volant

Rducteur 1

distributeur 1

distributeur 2

moteur hydrau. 1

moteur hydrau. 2

diffrentiel

Rducteur 6

vis 4

Gouverne de profondeur

rducteur 7

train picyclodal


77

Document rponse 2.

Document rponse 3


78

ABCDEFCADEDCDDE

Q.1.

Rgler langle du PHR

Gnrer la consigne automatiquement

Gnrer la consigne manuellement

Adapter la consigne

Distribuer lnergie de puissance

Transformer lnergie hydraulique en nergie mcanique

Scuriser la distribution de lnergie de puissance

Scuriser la transformation de lnergie hydraulique

Additionner les deux nergies mcanique de rotation

Adapter lnergie mcanique de puissance

Transformer un mouvement de rotation en translation

Modifier le PHR

Mesurer la rotation de la vis et adapter langle

Comparer la rotation relle consigne

Calculateur

Volant

Rducteur 1

Distributeur 1

Distributeur 2

Moteur hydrau. 1

Moteur hydrau. 2

Diffrentiel

Rducteur 6

Vis 4

Gouverne de profondeur

Rducteur 7

Train picyclodal


79

Moteur lectrique

correcteur + amplificateur

potentiomtre

+ -

Rducteur 1

Rducteur2

ue(t)

ur(t) r(t)

m(t) P1(t) 1(t) u(t)

Q.3. La rponse possde une tangente lorigine non nulle et tend vers une valeur finie, il sagit donc de la rponse indicielle dun systme du 1er ordre.

On suppose ainsi que la fonction de transfert liant la tension aux bornes du moteur la vitesse de rotation de son arbre de sortie peut tre modlise par un 1er ordre de gain statique K et de constante de temps T.

Pour dterminer K, on mesure la valeur finale 250 rad/s et on sait que cest gale K.U, donc K=50 rad/s/V.

Pour dterminer T, on a 3 mthodes notre disposition. Etant donn le bruit de fin de mesure, on choisit de prendre la mthode 63% : 63% de la VF, on est t=T do T=0.01s. On peut galement faire la mthode de la tangente lorigine qui vaut K.U/T, et on obtient 0,009s.



dttdJ me)(

.

= Cm(t) Je.p m(p) = Cm(p)

Cm(t) = ka.i(t) Cm(p) = ka.I(p)

-

+

U(p) pJe .

1

ke

ka 1/R

Cm(p) m(p)

I(p)

E(p)

pkkJRkkkpJR

kkk

pJRkkpJR

kk

kpUp

ea

eeeae

ea

e

e

ea

e

ea

e

m

.

.

.1

1.

1...

.

.

1

..

.1

..

.

.

1)()(

+=

+=

+=

p

K

m

m

.1 +=

m(p) = p.m(p) do )()()(

pUppM m= ( )pp

K

m

m

.1. +=

Q.5. Km=ek

1et m=

ea

e

kkJR.

.

Q.6. Application numrique : Km = 50 rad/(V.s) et m = 0,01s.

Q.2.FTD 09 - Systmes automatiques

80

Q.7.

+ -

Ue(p)

Ur(p) r(p)

m(p) P1(p) 1(p) U(p)

R2

R1

K2

K1 M(p)

Dplacement des blocs K2 et R2

K1 K2 R2 M(p)

R1 + - 2 2

1K R

Ue(p) 2(p) m(p) P1(p)

Q.8. )(...)()()( 221

2

pMRKKpppT m ==

( )pp

KRKK

m

m

.1.... 221

+= ( )pp

K

m

BO

.1. +=

Avec KBO = K1.K2.R2.Km

Q.9. ( )( )

( ) 2221

22

11

22

1

..

11

.

.1..

.

.

.1.1

.1..

.

1)()()(

pK

pK

RKR

KppK

RKRR

ppK

ppK

RKpUppF

BO

m

BO

BOm

BO

m

BO

m

BO

e

P

++

=

++=

++

+==

Q.10. KBF 22

1

.RKR

=

BO

m

K

=2

0

1

m

BOK

=0

BOKz 1.20

=

BOKz 0.

21

= mBOK

z.

1.

21

=

Q.11. Rponse une entre de type chelon la plus rapide possible sans toutefois produire de dpassement z = 1 1..4 =mBOK

m

BOK .41

= = 25 s-1

Q.12. Par dfinition FTBO

pEpepr +

= 1

1).(.lim0

avec FTBO : )( pT ( )ppK

m

BO

.1. +=

FTBO de classe 1 erreur statique 0=re . Le systme est prcis.

Q.13. Graphiquement on lit pour z = 1, 5. 0%5 t 5.%5 m

BOKt

st 1,0%5


81

5

Q.14. On a l = 0,6m et pv = 10mm Nv = vp l

=

0,01 0,6

= 60 tours.

Q.15. 511

=

v

P

NN

125

6051

===v

PNN tours.

Q.16. 150

11 =R 180012150.150 1 === Pm NN tours.

Q.17. 1800=mN tours et 10=rN 1801

180010

2 ==R . Ur(p) r(p) m(p) R2 K2

Q.18. 10 tours 20. rad et lentendue de mesure est de 24V ==pi.20

242K 0,382 V/rad.

Q.19. BOK = mKRKK ... 221 = 25 s-1 m

BO

KRKKK

.. 221 = =

=

50180

1382,0

251K 235,6 (sans unit).

Q.20. Par dfinition FTBO

pEpepr +

= 1

1).(.lim0

avec )( pT ( )ppK

m

BO

.1. += et 2

22

1.

.

1)(pRK

pE =

erreur de trainage :

( )ppKpRK

pe

m

BOpr

.1.1

1.

1.

.

1.lim 2

220

++

=

FTBO de classe 1 22..

1RKK

eBO

r =

erreur non nulle C.d.C.F. non respect.


82

Apositionnement dun appareil d'imagerie mdicale

(Daprs Centrale MP 2002)

L'tude porte sur un systme permettant de raliser des imageries mdicales de vaisseaux sanguins sur un patient. Ce systme, conu par General Electric Medical System, envoie des rayons X dans le corps du patient et mesure leur rayonnement. En fonction des informations reues, une image de synthse en 3 dimensions est ralise, permettant de voir les ventuels problmes mdicaux venir.

Exemple d'image de synthse de vaisseaux sanguins en 3 dimensions (avec ici un anvrisme)

Bras darceau 2

Bti 0

Arceau 3

Epaule 1

Iso centre

Table mobile

Amplificateur

Tube rayon X

Systme metteur de rayonnement

Ce systme est constitu des lments suivants : le bti 0, une paule 1 qui peut tre mis en mouvement par rapport au bti 0, un bras darceau 2 qui peut sorienter par rapport lpaule 1 et un arceau 3 qui se dplace par rapport bras darceau 2. Le patient est situ sur une table mobile. Le rglage en hauteur du patient sur la table mobile est possible pour son confort mais n'est pas utilis au cours d'une analyse. Seuls les degrs de libert , et sont utiliss pendant lanalyse. L'metteur de rayons, situ sur l'arceau, focalise la vision interne du patient en un point appel iso centre.

Arceau 3

Bras darceau 2

Iso centre O

0zr

3zr

2yr

0xr

2yr

Iso centre O

0zr

3zr

Sur limage de gauche, larceau 3 soriente par rapport au bras darceau 2 et sur limage de droite le bras darceau 2 se dplace par rapport lpaule 1.


83

On donne ci-dessous un extrait de cahier des charges fonctionnel du systme de positionnement dans la phase de vie correspondant une mesure d'imagerie :

Systme de positionnement de lappareil dimagerie

mdicale

Mdecin Patient

Systme metteur de rayonnement

Energie

Environnement

FS1 FS3

FS5

FS4

FS1 : Positionner le systme metteur de rayonnement par rapport au patient

FS Critre Niveau Flexibilit

FS1

Vitesse angulaire par axe lmentaire Stabilit (Marge de phase M)

10/s

M > 45

10%

Aucune

FS2

Q.1. Dterminer le nombre de mouvements lmentaires utiliss (translation ou rotation) pour orienter le faisceau de rayon.

Conformment au cahier des charges, chaque axe lmentaire, pilot sparment, doit avoir une vitesse angulaire de 10/s en phase de mesure. Technologiquement, la chaine daction de chaque axe lmentaire est constitue dun rducteur entre le moteur et leffecteur. Ce rducteur diminue la vitesse angulaire d'un facteur 558.

Q.2. Dterminer la vitesse angulaire de chaque moteur (en tr/min) qui permet de satisfaire le critre de vitesse angulaire du cahier des charges.

On sintresse laxe permettant de dplacer le bras darceau 2 par rapport lpaule 1. La structure de la chaine fonctionnelle asservie de cet axe est la suivante :

-

+ Amplificateur S(t)

um(t) Consigne angulaire

uC(t)

(t) Moteur CC Rducteur Intgration

Capteur

m(t) S(t)

Les diffrents lments de cette chane fonctionnelle sont les suivants : L'amplificateur est un gain pur : Ka. Le rducteur est un gain pur Kr (sans dimension). Le capteur est un gain pur : Kc. Le moteur est un systme d'ordre 1, de constante de temps Tm et de gain Km. On note la

fonction de transfert du moteur Hm(p).

Q.3. Dterminer la valeur numrique du bloc du rducteur Kr.

Q.4. Dterminer la fonction de transfert en chane directe FTCD(p), la fonction de transfert en boucle ouvert FTBO(p) et la fonction de transfert en boucle ferme FTBF(p) de cet asservissement. Exprimer les rsultats en fonction de Ka, Km, Kr, Kc et Tm.


84

Q.5. Montrer que la fonction de transfert en boucle ferme de ce systme peut s'crire sous la forme d'un deuxime ordre

)1.21( 2200

ppzK

++

. Donner lexpression littrale de K, z et 0 en fonction de

Ka, Km, Kr, Kc et Tm.

Q.6. Dterminer la rponse du moteur m(t) une entre en chelon de tension um(t) de la forme um(t) = U0.u(t) (U0 valant 10 V). Exprimer le rsultat en fonction de U0, Km et Tm.

Q.7. La rponse du systme cette entre en chelon de tension um(t) =10.u(t) a t mesur en sortie du rducteur. On donne document rponse 1 la courbe obtenue. Dterminer les valeurs numriques exprimentales de Km et Tm. Raliser les tracs utiles sur le document rponse 1.

Avec les valeurs numriques des coefficients des diffrents gains, on peut dterminer la valeur

numrique de la fonction de transfert en boucle ouverte :

+

=

pppFTBO

.

3011.

10)( .

Q.8. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte sur le document rponse 2 en bleu.

Q.9. Calculer le gain et la phase exacte pour = 30 rad/s.

Q.10. On donne document rponse 3 les tracs rels des courbes de gain et de phase de la FTBO. Dterminer la pulsation qui annule le gain puis dterminer la marge de phase du systme M. Conclure quant la capacit du systme satisfaire le critre de marge de phase du cahier des charges.


85

Document rponse 1 :

t (s)

S(t) (rad/s)

Document rponse 2 :


86

Document rponse 3.

Rponses de systmes limpulsion de DIRAC

On donne ci-dessous des rponses limpulsion de Dirac de plusieurs systmes.

t

s(t)

t

s(t)

t

s(t)

t

Documents

TD Resumé Asser2013