BANQUE DPREUVES DUT-BTS

SESSION 2009

PREUVE DE MCANIQUE

CODE PREUVE : BE-MCA

CALCULATRICE INTERDITE

DURE : 2H30

Exercice 1On se propose dans cet exercice dtudier le montage de roulements prsent sur la Figure 1.

Larbre guid en rotation supporte la roue dente dun engrenage denture hlicodale prsentant unangle dhlice de 20 degrs.

Figure 1 Montage de roulements

(A) Langle dhlice de lengrenage denture hlicodale est toujours strictement gal 20 de-grs pour des raisons cinmatiques.

(B) Compte tenu de langle dhlice de 20 degrs, les efforts axiaux induits par lengrnementsont ngligeables face aux efforts radiaux et tangentiels pour effectuer le calcul de dure devie des roulements.

(C) De manire gnrale, pour un montage avec un effort en porte--faux comme celui prsentsur la Figure 1, un montage en O est plus rigide quun montage en X .

(D) Si les efforts axiaux exercs par la roue dente sur larbre sont toujours dirigs vers la gauche,alors le circlips ralisant larrt axial sur la bague extrieure du roulement de droite est inutile.

(E) La schmatisation prsente la Figure 2 est une modlisation correcte du montage de rou-lements de la Figure 1.

x

l l

R

1 2

A BX

C

D

F

x

Y

z

Figure 2 Schmatisation du montage de roulements

Exercice 2Indpendamment de lexercice prcdent, on sintresse la flexion de larbre prsent sur la

Figure 2. On suppose que larbre possde une section creuse reprsente sur la Figure 3, paramtrepar les rayons intrieur Ri et extrieur Re. On note~F leffort exerc par le milieu extrieur sur la rouedente, avec :

~F = Fa~X+Fr~Y

(sur la Figure 2, Fa et Fr sont ngatifs).

Y

z

x

Re Ri

Figure 3 Section de larbre creux

(A) Linertie de la section de larbre par rapport laxe (C, ~X) est donne par :

I =pi

2(R4e R

4i )

(B) Les actions transmissibles par la liaison en A peuvent tre reprsentes par le torseur suivant :

{TA

}=

Fa~X + (Frl2l1Fa

Rl1

)~Y

~0

A

(C) En A, on a choisi dutiliser un roulement rigide billes permettant un certain rotulage. Ilnexiste pas de roulement prsentant un rotulage suprieur celui dun roulement rigide billes.

(D) Si leffort ~F augmente, lunique objectif dune augmentation du diamtre de larbre est depouvoir utiliser des roulements de taille plus importante, pouvant ainsi supporter des chargesstatiques et dynamiques suprieures.

(E) Les efforts intrieurs larbre (ou efforts de cohsion) au point X, situ la distance x de A(avec 0 < x < l1), sont reprsentables par le torseur suivant :

{Tint

}=

Fa~X + (FaRl1Fr

l2l1

)~Y

x (Frl2l1Fa

Rl1

)~Z

X

Exercice 3Le systme considr est un dispositif de freinage schmatis sur la Figure 4. Un systme hydrau-

lique exerce un effort F sur la garniture, ce qui se traduit par une pression p, suppose uniforme, entrela garniture et le tambour. Le ressort symbolise un lment lastique dont la fonction est dexercer unrappel de la garniture. On note r le rayon du tambour, e sa largeur dans la direction perpendiculaire la figure et le demi-angle qui permet de paramtrer la dimension de la garniture. Enfin, on note f lecoefficient de frottement entre la garniture et le tambour.

x

Y

z

pression p

tambour

F

-

r

garniture

Figure 4 Systme de freinage

(A) Le ressort symbolis est ralis par un empilement de rondelles de type belleville (voirFigure 5). Lempilement utilis est un empilement en srie, dit aussi en colonne . Ce typedempilement est plus rigide que lempilement en parallle, dit aussi en paquet .

(B) Si lon nglige leffort du ressort sur la garniture, la pression p exerce par la garniture sur letambour est reli leffort hydraulique F par la relation :

p =F

2er sin

(C) Si lon nglige leffort du ressort sur la garniture et quon considre petit, la relation entrele couple de freinage C f et leffort hydraulique F peut se mettre sous la forme approchesuivante :

C f r f F(D) Le couple de matriaux utiliss pour les garnitures de freins classiques en automobile permet

un coefficient de frottement de lordre de 0,8.(E) Il est impossible, pour des raisons physiques, de trouver des couples de matriaux possdant

un coefficient de frottement suprieur 1.

Figure 5 Empilement de rondelles belleville : en srie ( gauche) et en parallle ( droite)

Exercice 4Le systme schmatis sur la Figure 6 est inspir dun sous-ensemble de bras de robot manipula-

teur. Le mouvement est command par un vrin symbolis par la liaison glissire daxe AC.

A

F

x

Y

z

A'

D

B

C

C'

E

Figure 6 Sous-systme de robot manipulateur

(A) Le systme tudi dans le plan est un systme isostatique.(B) Le systme tudi dans lespace est un systme hyperstatique dordre 5.(C) En supprimant la barre CD, on obtient un systme isostatique la fois dans le plan et dans

lespace.

A

F

x

Y

z

D

B

C

E

L

L

X

Y

l/2

l/2

l

e

d

Figure 7 Version simplifie du systme

Dans la suite, on utilisera le schma de la Figure 7, qui est une version simplifie du systme,dans laquelle les points A et A dune part, et C et C dautre part, sont confondus.

(D) La loi entre/sortie du systme reliant la longueur e de la barre AC la hauteur Y du point B(voir la Figure 7), scrit :

Y =e2L2 l2

2 l

(E) La vitesse du centre de liaison B par rapport au bti, not R0, est gale :

~V (B/R0) =e e

l~Y

Exercice 5On cherche caractriser les mouvements du systme prsent avec son paramtrage sur la

Figure 8. La liaison entre la pice 1 et le bti 0 est une liaison hlicodale daxe (O1,~Z0) = (O1,~Z1),dont le pas est not p et les paramtres de translation et de rotation sont nots y = O1O2 ~Z0 et = (~X0,~X1). La liaison entre 1 et 2 est une pivot daxe (O2, ~X1) = (O2, ~X2) paramtre par langle = (~Z1,~Z2). La liaison entre 2 et 3 est une pivot daxe (O3, ~Y2) = (O3, ~Y3) paramtre par langle = (~X2,~X3). On pose

O2O3 = l2~Y2 etO3O4 = l3~X3.

x

z

Y

0

0

0

x1

Y1

z1

x1

Y1

Y2

z2 x3

Y2

z2 z

3

x2

O

y

pas p

3

2

1

0

1

O2

O3

O4

Figure 8 Paramtrage dun systme robotis

(A) Le mouvement du solide 3 par rapport au bti 0 peut tre reprsent par le torseur cinmatiquesuivant :

{V(3/0)

}=

~Z1 + ~X2 + ~Y3p

2pi~Z1

O2

Dans la suite, on nglige la masse et linertie des ensembles 1 et 3. La forme de lensemble 2est schmatise sur la Figure 9. La matrice dinertie au point O2 de cet ensemble est note :

I(O2,2) =

A F EF B DE D C

(~X2,~Y2,~Z2)

Le point O2 est situ la distance a de la face gauche, la distance d2/2 de la face avant et la distance d3/2 de la face infrieure.

(B) La matrice dinertie, exprime en O2, en tenant compte du perage, est diagonale dans labase (~X2, ~Y2,~Z2).

Dans la suite, on nglige le perage et la distance a. On suppose de plus que la distance d1est trs grande devant d2 et d3. m dsigne la masse de la pice.

(C) On peut alors en conclure que le terme A de la matrice dinertie est trs grand devant lestermes B et C.

(D) Le torseur cintique de la pice 2 dans son mouvement par rapport 0 peut scrire au pointO2 : {

C(2/0)}

=

m~Z1

A ~X2 +C ~Z2

O2

(E) Lnergie cintique du solide 2 dans son mouvement par rapport 0 scrit, quel que soit lepoint o on la calcule :

T (2/0) = 12

m y2 +12

A 2 + 12

B 2 sin2 + 12

C 2 cos2

x

z

Y

d1

d2

d3 O 2

2

2

a

2

Figure 9 Forme schmatique de lensemble 2

Exercice 6(A) Un emmanchement conique est souvent utilis pour assembler deux pices ensemble. Dans

ce cas, la valeur de langle du cne qui assure ladhrence est indpendante des matriauxutiliss.

(B) La ralisation dun assemblage par vis permet parfois dassurer une pression suffisante entreles deux pices pour pouvoir raliser une tanchit directe. Dans ce cas, il est souhaitableque les vis assurent la fois la fonction Mettre en position et la fonction Maintenir enposition dune pice par rapport lautre.

(C) La ralisation dune tanchit entre deux pices en rotation ncessite obligatoirement luti-lisation dun joint lvre.

(D) Le dimensionnement de vis pour raliser un assemblage boulonn peut se faire en premireapproximation en assimilant les vis des poutres droites sollicites en traction.

(E) Les systmes came sont utiliss car ce sont les seuls systmes permettre une transmissionparfaitement homocintique.

Exercice 7(A) La trempe dun acier consiste en un chauffage au-del de la temprature daustnitisation, un

maintien cette temprature pendant un temps dtermin et un refroidissement une vitessedtermine.

(B) On peut amliorer la rsilience dun acier en ralisant une trempe suivie dun revenu.(C) Une fonte est un alliage de fer et de carbone qui contient au moins 5 % de carbone.(D) Un acier faiblement alli est un acier dans lequel la teneur en chacun des lments daddition

ne dpasse pas 10 %.(E) Le coefficient de Poisson dun matriau est sans unit.

Exercice 8La Figure 10 reprsente un solide de hauteur h et de section non constante S(z) encastr sur le

sol en z = 0. Ce solide est soumis un chargement surfacique p~z sur sa face suprieure z = h et laction de la pesanteur dont lacclration est g~z. Enfin, il est constitu dun matriau homogneisotrope de masse volumique , de module dYoung E et de coefficient de Poisson . Ce solide estmodlis par une poutre droite de hauteur h, de section S(z), encastre en A et sollicite par un glisseurF~z en B.

z

zh

p z

S(z)

z

zh

F zg z

S(z)A A

B B

Figure 10 Solide section non uniforme et modle poutre associ

(A) Dans le modle propos, il faut prendre : F = (p+g)S(h).(B) La raction du sol sur la poutre est un glisseur de valeur F~z.(C) La contrainte normale dans la poutre la cote z est :

(z) =pS(h)S(z)

Z hz

gS(x)S(z)dx

(D) Si lon souhaite que cette contrainte soit uniforme dans toute la poutre, il faut choisir unesection telle que :

S(z) = S0 exp(

gp

z

)o S0 est une constante

(E) La valeur de cette contrainte est alors : (z) =pS0.

Exercice 9La Figure 11 reprsente un solide 1, de masse m, en mouvement par rapport un rfrentiel

galilen li un solide 0. Le centre de gravit G de 1 est repr par OG = x~x. Le solide 1 est reli ausolide 0 par un ressort de raideur k et de longueur vide 0 et on suppose que le contact au niveau dela surface infrieure du solide 1 est sans frottement. En outre, il est soumis laction dun glisseur enG de rsultante ~F = F~x avec F(t) = F0 sin(0t). linstant initial t = 0, on suppose que x = 0 et quex = 0. On pose x = 0 +q.

x

yx

kGO

F x

0 1

Figure 11 Solide en vibration

(A) Lquation du mouvement du solide 1 est :

mx+ kx = F

(B) Lquation du mouvement du solide 1 est :

mq+ kq = F

(C) Si on note =

k/m, la position du solide 1 est rgie par :

q(t) =F0

m(220)(sin(0t)

0

sin(t))

(D) La frquence f de la solution q est f = 2pi

.

(E) La frquence f de la solution q est f = 02pi

.

Exercice 10On reprend le systme de la question prcdente mais on suppose maintenant que le contact entre

le solide 1 et le solide 0 seffectue avec frottement. Le coefficient correspondant est not f et lacc-lration de la pesanteur est g~y.

(A) Le solide 1 ne commence bouger qu partir de linstant t0 tel que :

sin(0t0) =f mgF0

(B) linstant t0, leffort exerc par le ressort sur le solide 1 est F0 sin(0t0).

(C) Le travail lmentaire W des forces de frottement lors dun dplacement dx est :

W = f mgdx

(D) Le travail des forces de frottement lors dun aller-retour du solide 1 est nul.(E) Le travail des forces de frottement entre la position initiale x = 0 et la position extrme

correspondant la valeur maximale de x est gale lnergie emmagasine dans le ressortlorsquon arrive dans cette mme position extrme.

Exercice 11La Figure 12 reprsente un barrage encastr au sol et soumis aux actions mcaniques de leau. La

masse volumique de leau est note , lacclration de la pesanteur g~z et la pression atmosphriquep0.

xyO

O

G

L

z

yx

z

hh/2

h/2Eau

Sol

g z

p0

Figure 12 Force de pression sur un barrage

(A) La rsultante, note ~F , des actions mcaniques exerces par leau sur le barrage est :

~F = Lh(p0 +12

gh)~x

(B) La rsultante, note ~R, des actions mcaniques exerces par le sol sur le barrage est telle que :

~R ~x =12

gLh2

(C) Le moment en O, note ~MO, des actions mcaniques exerces par leau sur le barrage est :

~MO =13

gLh3~y

(D) Le torseur des actions mcaniques exerces par leau sur le barrage est un glisseur.(E) Le centre G de la surface de contact de leau et du barrage appartient laxe central du torseur

des actions mcaniques exerces par leau sur le barrage.

Exercice 12La Figure 13 schmatise le fonctionnement cinmatique dune pompe pistons axiaux dont un

seul piston est reprsent. Elle est compose dun bti 0, dun barillet 1, dun piston 2 et dun patin 3.Ce dernier est en contact avec un plateau-came li au bti. La rotation du barillet 1 par rapport au bti0 (angle ) se traduit par un mouvement alternatif de translation du piston 2 par rapport au barillet 1(position OM = z~z+ r~er avec r constant), ce qui gnre un dbit de fluide en sortie de la pompe.

xz

y y

er

e

0

2

1

3

O

O

MM

r

z

Figure 13 Pompe piston axiaux

(A) La pression dans le circuit hydraulique aliment par cette pompe est impose par le coupleextrieur exerc sur larbre du barillet 1 pour le mettre en mouvement.

(B) La liaison ralise entre le piston 2 et le plateau 0 par lintermdiaire du patin 3 est quivalente une liaison sphre-plan daxe (M,~z).

(C) La vitesse du piston 2 par rapport au barillet 1, exprime en M, est :~V (M,2/1) = z~z+ r ~e

(D) La vitesse du piston 2 par rapport au bti 0, exprime en M, est :~V (M,2/0) = z~z+ r ~e

(E) Le dplacement z et langle de rotation sont lis par la relation :

z = r tan