Diman he 15 N ovembrer 2009 Outils M athématiques Semestre 3 ✰ Maths 3Université Djiℓℓaℓi Liabès de Sidi-Beℓ-Abbès.Fa uℓté des S ien es de ℓ'Ingénieur.2 ème

Année L .M .D. S ien es & Te hniques.TD. No 1 Suites Numériques.E xer i e 11. Soient (un) et (vn) 2 suites réelles dé�nies par : un = sin n et vn = cos n.En al ulant un+1 + un−1 et vn+1 + vn−1, montrer que les 2 suites sont divergentes.2. Quelle est la nature de la suite réelle suivante wn = tg n?

E xer i e 21. Étudier les suites suivantes ; puis majorer et minorer, quand 'est possible, ha une d'elle.a. rn =n

∑

p=0

1

p!= 1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!et sn = rn +

1

n.n!, ∀n > 0.b. tn = 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n−1

n, n > 0 on montre que (t2n) et (t2n+1) sont adja entes. . un =

n∑

p=1

1

p2= 1 +

1

22+

1

32+

1

42+ · · ·+ 1

n2, et vn = un +

1

n, ∀n > 0.d. wn = 1 +

1

23+

1

33+ · · ·+ 1

n3· n > 0e. xn =

1

n + 1+

1

n + 2+ · · · + 1

2n, n > 0.f. y0 > z0 > 0 et

{

yn+1 =yn + zn

2,

zn+1 =√

yn zn .2. Donner un majorant et un minorant, quand ils existent, pour ha une d'elles.3. Cal uler les trois premiers termes pour haque suite.E xer i e 3Soit (un) une suite réelle ou omplexe. On suppose que les trois sous-suites (u2n), (u2n+1) et(u3n) onvergent respe tivement vers A, B et C. Montrer que la suite (un) est onvergente.E xer i e 4Soit (un) une suite réelle ou omplexe. On suppose que les quatre sous-suites (u2n+1), (u3n+2) ,(u7n+5) et (u11n+5) onvergent toutes les quatre vers ℓ, la suite (un) est-elle onvergente ?E xer i e 5On onsidère la suite réelle (un) dé�nie par : ∀n ∈ N

∗, un = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n·1. Montrer, que pour tout n > 1, on a u2n − un >

1

2·2. Que peut-on en on lure.3. Déterminer une valeur n telle que, l'on ait sûre que un > 4.

E xer i e 6Soit (un) une suite réelle ou omplexe. A-t-on toujours(un) est onvergente ⇐⇒ lim

n→∞

(un+p − un) = 0, ∀p ∈ N∗?http://www.univ-sba.dz/fsi/arti les.php?pg=art18 1 M r Amroun