TD 1 : Automatique échantillonnée

Exercice 1 : Calculer la réponse d'un premier ordre à un train d'impulsion d'amplitude 1

Solution :

• Le premier ordre a pour fonction de transfert

†

H(p) =1

p + a.

o Sa réponse au premier dirac est égale à sa réponse impulsionnelle soit :

†

s(t) = e-at ,

o Pour ce premier dirac: à t=0 s(0)=1 et à t=T :

†

s(T) = e-aT

• Quand le second dirac arrive, les conditions initiales ne sont plus nulles

o L'équation différentielle du système étant

†

˙ s + as = e

o Avec des CI non nulles :

†

pS(p) - s(0) + aSp) = E(p)soit

ß

†

S(p) =E(p) + s(0)

p + a=

E(p)p + a

+s(0)p + a

, la réponse temporelle pour un

dirac en entrée est :

†

s(t) = e-at 1+ s(0){ }

o En considérant un changement d'axe temporel t=t'+T, la condition initiale

†

s(t'= 0) = s(t = T) = e-aT on obtient

†

s(t') = e-at ' 1+ e-aT{ }

Exercice 2 : Soit un signal x(t) et son spectre X(f). on échantillonne ce signal (ceci est

équivalent à la modulation d’amplitude d’un peigne de Dirac par le signal x(t)).

a. Calculer le spectre du peigne de Dirac Pd(t)

b. Calculer le spectre du signal échantillonné.

Exercice 3 : Calculer en utilisant la table, la transformée en Z d'un système composé d'un

premier ordre

†

1p +1

et d'un bloqueur d'ordre 0,

†

1- e-Tp

p (le bloqueur introduisant un retard).

Solution

†

Z 1- e-Tp

p1

p +1Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

= Z 1p(p +1)

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

- Z e-Tp

p(p +1)Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

A la fonction

†

1p(p +1)

correspond un signal temporel s(t)

A la fonction

†

e-Tp

p(p +1)correspond le même signal mais retardé soit s(t-T)

A s(t) correspond sa transformée en Z : S(z) et donc théorème du retard à s(t-T)

correspondra

†

z-1S(z). Le résultat final étant la somme des 2 transformées en z: soit

†

S(z) 1- z-1[ ].

A la fonction

†

1p(p +1)

=1p

-1

p +1 correspond le signal

†

U(t) 1- e- t{ }

La transformée en z de ce signal est :

†

zz -1

-z

z - e-T

Soit

†

z -1z

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

zz -1

-z

z - e-T

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

= 1-z -1

z - e-T

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

=z - e-T - z +1

z - e-T =1- e-T

z - e-T

Exercice 4 : Donner la réponse du système précédent à un échelon.

L'entrée échelon est

†

E(z) =z

z -1 la sortie :

†

S(z) =1- e-T

z - e-Tz

z -1È

Î Í ˘

˚ ˙ =

†

1- e-T{ }zz - e-T[ ] z -1[ ]

Décomposition en éléments simples de

†

S(z)z

=1- e-T{ }

z - e-T[ ] z -1[ ]=

1z -1

-1

z - e-T

È

Î Í ˘

˚ ˙

Soit

†

S(z) =z

z -1-

zz - e-T

È

Î Í ˘

˚ ˙ fi sn =1- e-nT

Exercice 5 Trouver l'équation récurrente du système suivant:

†

H(Z) =Z - 0,3

Z - 0,1( ) Z - 0,2( )Z

________________________________________________________

TD 2 automatique échantillonnée

Exercice 1:

Trouver la valeur du nième échantillon de la suite échantillonnée dont la somme s'écrit:

†

F(Z) =1

1-1,2Z-1 + 0,2Z-2

en utilisant les deux méthodes suivantes:

1. Décomposition en éléments simples de

†

F(Z)Z

2. Divisions successives.

Exercice 2:

Trouver la séquence de pondération du système dont la fonction de transfert échantillonnée

est :

†

G(Z) =5Z 2 + 2Z +1Z 2 + 3Z + 2

(par divisions successives)

Exercice 3:

Trouver la fonction de transfert échantillonnée des systèmes linéaires échantillonnés

représentés par les équations aux différences suivantes

1.

†

S kT[ ] - 3S (k -1)T[ ] + 2S (k - 2)T[ ] = 2e (k - 4)T[ ] - e (k - 2)[ ]2.

†

Sn - 0,5Sn-1 + 0,5Sn-2 = 8en - 6en-1 + en-2

_______________________________________________________________________

TD 3 Fonction de transfert échantillonnée

Détermination de la fonction de transfert échantillonné de quelques systèmes

Rappels :

†

Z Bo(p)H(p){ } = (1- z-1)Z H(p)p

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

Application

1)

†

H(p) =K

(p2 + 3p + 2)

2)

†

H(p) =K

(p2 + p)

3)

†

H(p) =(p +1)

(p2 + p +1)

Solution

1) Les pôles de

†

H(p)p

sont 0, –1 et –2 soient 3 éléments simples p, (p+1) et (p+2)

†

H(p)p

=K

p(p2 + 3p + 2)= K a

p +1+

bp + 2

+cp

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

On identifie les coefficients c=1/2, b=1/2 et a = -1

†

H(p)p

= K -1

p +1+

1/2p + 2

+1/2

pÏ Ì Ó

¸ ˝ ˛

=

On détermine la transformée de chaque élément dans la table des transformées

†

Z H(p)p

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

= K -z

z - e-T +0,5z

z - e-2T +0,5zz -1

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

puis on effectue le calcul final:

†

z -1z

È

Î Í ˘

˚ ˙ ZH(p)

pÏ Ì Ó

¸ ˝ ˛

= K z -1z

-z

z - e-T +0,5z

z - e-2T +0,5zz -1

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

Soit

†

K -z -1

z - e-T +0,5(z -1)z - e-2T + 0,5

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

que l'on réduit au même dénominateur

†

K -(z -1)(z - e-2T ) + 0,5(z -1)(z - e-T ) + 0,5(z - e-T )(z - e-2T )z - e-T( ) z - e-2T( )

Ï Ì Ô

Ó Ô

¸ ˝ Ô

˛ Ô

Soit

†

K -z2 + ze-2T + z - e-2T + 0,5z2 - 0,5ze-T - 0,5z + 0,5e-T + 0,5z2 - 0,5ze-2T - 0,5ze-T + 0,5e-3T

z - e-T( ) z - e-2T( )Ï Ì Ô

Ó Ô

¸ ˝ Ô

˛ Ô

†

K(b - 2a -1)2

z + z0

z - e-T( ) z - e-2T( )Ï Ì Ô

Ó Ô

¸ ˝ Ô

˛ Ô

avec

†

z0 =ab - 2b + ab - 2a -1

,

†

a = e-T et

†

b = e-2T

______________________________________

TD 4 : Précision d'un système

1. Ecrire e en fonction de e.

2.

†

H(Z) =Z

Z -1( ) Z - a( ) avec K=1

Quelle est l'erreur de position?

Quelle est l'erreur de vitesse?

H(Z)e

K

se

3. Même question avec K≠1

______________________________________

TD 5 : Stabilité

1. Calculer les racines

• Calculer l'équation caractéristique et en déduire les pôles

• Discuter la valeur de k pour que le système soit stable

2.

†

GBF (Z) =0,37z + 0,26

z2 + z 0,37k -1,37( ) + 0,37 + 0,26k( )

• Discuter des valeurs de k pour que le système soit stable

• Utilisation du critère algébrique de Routh

3.

†

z2 + (k - 2)z + (1- k) = 0

• Discuter des valeurs de k pour que le système soit stable

• Utilisation du critère algébrique de Routh

H(Z

)

†

H(Z) =k

Z - Z1

TD 6 Transposition correcteur analogique

†

HBO (P) =1

P 2 + 0.2P +11. Calcul de la marge de phase et de la marge de gain.

2. Quel est l'apport de phase pour une marge de phase désirée de 45°

3. Calculer les paramètres un correcteur à avance de phase permettant cette

correction. (faire une étude du correcteur).

4. Calculer le correcteur discrétisé

i. Vérifier si Te=0.1 peut être la période d'échantillonnage

ii. Calculer C(Z) Tustin :

†

2Te

z -1z +1

iii. Écrire l'équation récurrente.