0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ( rad/s )

log

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ( rad/s )

log

( degré )

G ( dB )

T.D. Automatique n°5 - Corrigé

Exercice n°1 : Correction par avance de phase.

1 - G(p) = 40

p ( p + 1 ) G(j) = 1 40

1 + 2

= 1 4 +

2 - 402 = 0

1 = -1 + 1 + 4.402

2 6,29 rad/s Arg G(j1) = -90 - Arctan 1 -171° M 9°

Remarque : On peut supposer, en observant G(p), que la pulsation cherchée est prépondérante devant 1 et

résoudresimplement 40

2 = 1 soit 1 40 6,32 rad/s M 9°

Arg G(j) n’atteint jamais -180°, donc MG = +

2 - G(p) présente un intégrateur, donc pos = 0 et tr = V0

40

3 - Diagramme de Bode réel de G(p) en rouge et caché partiellement par celui du produit C(p) G(p) en vert.

4 - C(p) = 1 + 0,24 p1 + 0,04 p C(j2) G(j) = 1 2 9,7 rad/s (résolution numérique) M 51°

Par résolution asymptotique, en considérant que 0,24 2 >> 1 >> 0,04 240 . 0,24 2

22 = 1 2 9,6 rad/s

5 - La correction ne modifie pas le lieu de transfert aux basses fréquences L’erreur de traînage est inchangée.

0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ( rad/s )

log

0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ( rad/s )

log

( degré )

G ( dB )

Exercice n°2 : Correction par retard de phase.

1 - G(p) = 1,2

p ( p + 1 ) G(j) = 1 1,2

1 + 2

= 1 4 +

2 - 1,22 = 0

1 = -1 + 1 + 4.1,22

2 0,89 rad/s Arg G(j1) = -90 - Arctan 1 -132° M 48°

Remarque : Une résolution asymptotique n’est pas possible, car la pulsation cherchée est trop proche de la

pulsation de coupure, pour laquelle le gain réel est le plus éloigné du gain asymptotique.

Arg G(j) n’atteint jamais -180°, donc MG = +

2 - G(p) présente un intégrateur, donc pos = 0 et tr = V0

1,2

3 - Diagramme de Bode réel de G(p) en rouge et caché partiellement par celui du produit C(p) G(p) en vert.

4 - C(p) = 1

0,03 1 + 30 p

1 + 1000 p tr = V0

1,2 1

0,03 soit tr =

V0

40

Le correcteur à retard de phase améliore la précision.

5 - La correction ne modifie pas le lieu de transfert aux pulsations pour lesquelles on calcule les marges.

Ici 2 telle que C(j2) G(j) = 1 donne 2 1 La marge de phase est quasi inchangée.

Le retard de phase a lieu aux basses fréquences. En fait Arg [ C(j2) G(j2) ] -134° M 46°

Lieux de Nyquist : Non corrigé en rouge - Corrigé en vert.

Exercice n°1

Le lieu corrigé évite le point critique -1, pour assurer une bonne stabilité, mais est globalement la même courbe que

le lieu non corrigé aux basses fréquences.

Exercice n°2

Le lieu corrigé est la même courbe que le lieu non corrigé au voisinage du point critique, mais en diffère fortement

aux basses fréquences pour assurer une meilleure précision.

Exercice n°3 : Abaque de Black et évaluation de la stabilité par le facteur de résonance.

1 - G(j) = 40

1 + 2 et Arg G(j) = -90° - Arctan soit le tableau ci-dessous :

(rad/s) 0,6 0,8 1 1,4 2 3 5 6 7 8

20 log G(j) 35,1 31,8 29,0 24,4 19,0 12,5 3,9 0,8 -1,9 -4,1

Arg G(j) -121 -129 -135 -144 -153 -162 -169 -171 -172 -173

2 - Au point de tangence entre le lieu de transfert de G(j) et une courbe isomodule de H(j) , on obtient la valeur de

G(j) qui correspond à un extremum de la valeur de H(j) . Compte tenu que, en décrivant le lieu de transfert de G(j), on

part aux basses fréquences d’une valeur de 0 dB pour 20 log H(j) et que la fréquence augmentant, on se rapproche du

point critique, 20 log H(j) augmente avant de décroître lorsqu’on s’éloigne de ce point critique, alors cet extremum est

un maximum. C’est la résonance.

Dans le cas de la fonction G(j) proposée, cette résonance est plus forte que 12dB et la courbe isomodule

de 20 log H(j) correspondante à cette résonance n’est pas représentée.

3 - On souhaite limiter la résonance à une valeur plus ‘raisonnable’ de 2,3dB. On peut, pour cela, changer le gain de la

fonction de transfert en boucle ouverte, ici le diminuer pour rendre le système bouclé moins résonant. Ceci correspond à

translater le lieu de transfert en boucle ouverte vers le bas.

On obtient un point de tangence avec le contour 2,3dB en 20 log G(jr) 1 dB et Arg G(jr) -134°

4 - La translation verticale de la courbe de 28,5 dB représente l’écart entre 20 log K et 20 log Kcor où K = 40 s-1 est

le gain d’origine et Kcor est le gain corrigé. Soit 28,5 = 20 log 40 - 20 log Kcor Kcor = 1,5 s-1

La fonction de transfert ayant un facteur de résonance limité à 2,3 dB est Gcor(p) = 1,5

p ( 1 + p )

Remarque : Avec Arg G(jr) -134° on obtient r 0,95 rad/s

Avec 20 log G(jr) 1 dB on écrit 20 log Kcor - 20 log [ r 1 + r2 ] 1 dB

soit Kcor 1,5 s-1

HBFcor = 1,5

1,5 + p + p2 0 = 1,5 = 1,2 2 1,2 =

11,5 = 0,4

vérification : r = 0 1- 2 2 = 1,2 1 - 2 . 0,42 0,99 rad/s

On lit par ailleurs que M 45°

.

.

(rad/s) 0,6 0,8 1 1,4 2 3 5 6 7 8

20 log G(j) 35,1 31,8 29,0 24,4 19,0 12,5 3,9 0,8 -1,9 -4,1

Arg G(j) -121 -129 -135 -144 -153 -162 -169 -171 -172 -173

-270° -240° -210° -180° -150° -120° -90° -60° -30° 0°

30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

-10 dB

-20 dB

Décalage de - 28,5 dB

20 log Kcor = 20 log K - 28,5

= 20 log 40 - 28,5

= 3,5 dB

Kcor 1,5 s-1

-270° -240° -210° -180° -150° -120° -90° -60° -30° 0°

30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

-10 dB

-20 dB

Exercice n°4 : Linéarisation autour d’un point de fonctionnement (et révisions de cinématique).

1 - En exprimant les caractéristiques du moteur en unités du système international on obtient :

La constante de temps du moteur : mot 2,07 . 69,6 10-7 . 182

30

52,5 10-3 soit mot 5,3 ms

Le gain du moteur : Kmot = 1

Ke = 182

30 soit Kmot 19 rad/(s.V)

En prenant en compte l’inertie des pièces entraînées par le moteur,

on obtient finalement une fonction de transfert H2(p) 19

1 + 0,021 p

2 - Il est clair que H4(p) = 1p

3 - Il est clair que x. = -

p2

= -

p2 mot

Démonstration : On écrit

- d'une part la fermeture de chaîne cinématique { V5/4 } + { V4/3 } + { V3/2 } + { V2/1 } = { V5/1 }

soit compte tenu de la nature des liaisons, successivement, dans l'ordre des torseurs cinématiques :

Liaison 5/4 : pivot d'axe (C, z

)

Liaison 4/3 : hélicoïdale de pas p et d'axe BC = (B,x2

)

Liaison 3/2 : pivot d'axe BC = (B,x2

)

Liaison 2/1 : pivot d'axe (B, z

)

Liaison 5/1 : pivot d'axe (A, z

)

d'où { 54 z

; 0

}C + { 43 x2

; p

2 43 x2

}B ou C + { x2

; 0

}B ou C + { . z

; 0

}B = {

bras z

; 0

}A

L'équation de vitesse de rotation en projection sur x2

conduit à :

- d'autre part la définition de la vitesse v

(C4/3) = { d BC

dt }3 = { d x x2

dt }3 = x.x2

= p

2 43 x2

On en déduit la relation annoncée x. = -

p2

Par ailleurs on peut écrire la fermeture de chaîne géométrique : AB

+ BC

= AC

soit - a x1

+ b y1

+ x x2

= b x5

En projection sur x1

: - a + x cos = b cos bras

En projection sur y1

: b + x sin = b sin bras

En éliminant , on obtient : x2 = ( b cos bras + a )2 + ( b sin bras - b )2

soit x2 = a2 + 2 b2 + 2 b ( a cos bras - b sin bras )

Par dérivation : 2 x x. = - 2 b ( a sin bras + b cos bras )

bras

On en déduit - p

2 mot = x. =

- b ( a sin bras + b cos bras )

a2 + 2 b2 + 2 b ( a cos bras - b sin bras )

bras

soit bras =

bras = a2 + 2 b2 + 2 b ( a cos bras - b sin bras )

b ( a sin bras + b cos bras )

p2 mot

4 - La relation ci-dessous est très clairement non linéaire, on ne peut en prendre la transformée de Laplace. Donc on ne peut pas

trouver la fonction de transfert H3(p) dans le cas général.

43 + = 0

5 - Au voisinage de bras = 90° sin bras 1 et cos bras 0 soit bras =

bras a2 + 2 b2 - 2 b2

a b p

2 mot = 1b

p2 mot

Au voisinage de bras = 0° sin bras 0 et cos bras 1 soit bras =

bras a2 + 2 b2 + 2 a b

b2 p

2 mot

6 - Numériquement, on a :

Au voisinage de bras = 90°

180

42 mot 0,0080 mot

soit HBO(p) 70 . 19

1 + 0,021 p . 0,0080 . 1p

10,6p ( 1 + 0,021 p) et HBF(p)

10,610,6 + p + 0,021 p2

soit HBF(p) 1

1 + p

10,6 + p2

504

Le système est un deuxième ordre de gain 1, de pulsation propre 22 rad/s et de coefficient d’amortissement 1 1

Au voisinage de bras = 0°

702 + 2.802 + 2.70.80 802

42 mot 0,016 mot

soit HBO(p) 70 . 19

1 + 0,021 p . 0,016 . 1p

21,9p ( 1 + 0,021 p) et HBF(p)

21,921,9 + p + 0,021 p2

soit HBF(p) 1

1 + p

21,9 + p2

1045

Le système est un deuxième ordre de gain 1, de pulsation propre 32 rad/s et de coefficient d’amortissement 2 0,7

7 - La réponse à un échelon de 5° depuis la position bras = 0° sera donc oscillatoire car 1 0,7

La réponse à un échelon de 5° depuis la position bras = 85° sera donc monotone car 2 1