TD1 Corrige

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Corrig de Microconomie e eProf. Stphane Saussier e Universit Paris 11 e DEUG 1`re Anne e e

1. Les prfrences et lutilit ee e

Exercice 1

a. Ensemble de paniers de biens

Dans lnonc, on sait que e e ABD DL KJ M C B F M F G CM E HIF

On voit donc que

F GH I

CEJ KM

ABDL

Rappel 1 (La courbe dindirence). La courbe dindirence permet de de e e crire graphiquement les prfrences dun consommateur de faon commode. ee c La courbe dindirence dcrit lensemble des paniers pour lesquels le consome e 1

mateur est indirent. Prnons la panier A par exemple, lensemble de pae e niers qui laisse le consommateur indirent est le panier B, D et L. e

On peut avoir plusieurs courbes dindirence, qui rprsentent les direntes e e e e prfnce du consommateur. Une proprit de la courbe dindirence est que ee ee e les direntes courbes dindirence correspondant a des niveaux de satisface e ` tion dirents ne peuvent pas se croiser. e x2

A

Une courbe dindirence : e paniers indirents a A e `

x1

On a 3 courbes dindirence ici : ABDL, CEJKM et F GHI. Puisque e F C B, alors la courbe dindirence F GHI donne au consommateur e 2

plus de satisfaction que les paniers CEJKM, qui eux sont prfrs par notre eee consommateur a la courbe dindirence/paniers ABDL. ` e

b. Rprsenter graphiquement les courbes dindirence e e e

Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B L 9 10 11 12 13 14 15 16 X E J M D K G F I C H Prfrence + ee

Notons ici quon a suppos que le choix du consommateur porte sur les biens e divisibles.

3

Exercice 2

a. Vermouth et gin

un doigt de Vermouth ou trois doigts de Gin ne me procure aucune satisfaction, mais un doigt de Vermouth et trois doigts de Gin me satisfont beaucoup

Pour ce consommateur, le Vermouth et le Gin sont des biens complmentaires. e Ainsi la courbe dindirence de ce consommateur est donne par : e e

Vermouth 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Gin

4

b. Gold ou Kronenbourg

Je ne fais pas attention si mon verre contient de la Gold ou de la Kronenbourg d`s lors quil sagit de bi`re e e

Il sagit ici donc de biens parfaitement substituables, ou des substituts parfaits. De plus, ici le taux de susbtituabilit est de 1. e Kronenbourg

0

1

2

3

4 Gold

c. cheveux

Je ne couperais pas mes cheveux pour faire plaisir a ma patronne ` a moins quelle ne me paye pour cela. Mon prix serait alors de 300 ` euros plus 1 euro pour chaque centim`tre de mes cheveux coups e e

Dans ce cas l`, la courbe dindirence est alors : a e

5

Euros

300

Cheveux (cm)

d. Bi`res et Bretzels e

Jaime la bi`re et les bretzels. Mais apr`s 12 bouteilles, toute e e bouteille de bi`re supplmentaire me rend malade e e

On voit donc ici qu` partir de 12 bouteilles de bi`re, le consomateur naura a e plus de satisfaction a consommer des bouteilles supplmentaire. Apr`s 12 ` e e bouteilles de bi`re, toute bouteille supplmentaire lui est indsirable. Le e e e consommateur atteint un point de saturation en 12 bouteilles de bi`re. e

6

Bretzels

12

Bi`res e

Exercice 4

Dans lnonc, on sait que A B et A C. Si ces prfrences appartiennent e e ee au mme consommateur, on devrait avoir B C, i.e. le consommateur est e indirent entre les 2 paniers. En plus, on sait que XB > XC et YB > YC , et e que les courbes dindirence sont convexes, donc on sait que les prfrences e ee sont strictement monotone (et strictement convexe). Alors, B C. Or, il est impossible, avec une prfrence strictement convexe et strictement monotone, ee davoir B C et B C. Les deux courbes nappartiennent pas au mme e consommateur. x2

x1

Graphiquement, on choisit un point quelconque A et C, et on essaie de placer le panier B sans que les courbes ne se croisent. 7

Exercice 4

Droite de budgt e

Rappel 2 (La droite de budget). La droite de budget lensemble des paniers de biens (x1 , x2 ) qui cotent exactement R. Ce sont des paniers qui absorbent u compl`tement le revenu du consommateur. e

On crit donc la droite de budget pour le consommateur : e p1 q1 + p2 q2 = R 2q1 + 2q2 = 20

On peut facilement reprsenter cette droite sur un plan q2 q1 . Pour ce faire, e on rcrit lquation ci-dessus sous forme suivante : ee e q2 = 10 q1

b. Lensemble des consommations possibles

Lensemble des consommations possibles est dni par e {(q1 , q2 |2q1 + 2q2 20} Il dnie les paniers de biens qui sont acessibles au consommateur compte e tenu de son revenu et les prix des biens. 8

q2 10Ensemble de consommations possibles

(6,7)La droite de budget

10 q1

c. Revenu ncessaire e

Si le consommateur veut consommer 6 unites de bien 1 et 7 unites de bien e e 2, on voit que ce panier lui est inaccessible compte tenu de son revenu et les prix des bien. A prix constant, si le consommateur veut consommer ce panier de biens, il lui faut disposer un revenu R tel que 26+27 R R 26

28 R

Donc le consommateur doit disposer un revenu dau moins 28, cest-`-dire a que par rapport a son revenu actuel, quil devrait avoir au moins 6 de plus. `

9

d. Variation des prix

Une hausse de p2 (p2 = 3) aura pour eet un pivotement vers le bas de la droite de budget, sans changement de lorigine de son abscisse. La nouvelle droite de budget scrit : e 2x1 + 3x2 = 20 20 2 x2 = + x1 3 3

q2 10

20 3

10 q1

SI le prix de bien 1 baisse de 2 a 1, la nouvelle droite de budget scrit : ` e x1 + 2x2 = 20 1 x2 = 10 x1 2 Le consommateur pourra alors consommer plus de bien 1, mais sa consommation de bien 2 maximale reste inchange. e

10

q2 10

10

20 q1

Une diminution du prix simultan de bien 1 et de bien 2 quivaut a une e e ` augmentation de revenu. Dans ce cas l`, la nouvelle droite de budget scrit : a e x1 + x2 = 20 x2 = 20 x1

q2 20

10

10

20 q1

Au prix davant, cest-`-dire p1 = p2 = 20, la variation de revenu qui aurait a le mme eet sur la droite de budget est une augmentation de 10. e 11

Exercice 6

a. Fonction dutilit e

Dans cet exercice, on a le fonction dutilit suivante e U(x1 , x2 ) = x1 x2 2

On peut donc dnir les courbes dutilit qui sont en fait les courbes de e e niveau de cette fonction a 2 variables de la mani`re suivante : ` e {(x1 , x2 |k R, U(x1 , x2 ) = k}

Les courbes dindirences sont donc des courbes de niveau pour des valeurs e dnies de la fonction U(x1 , x2 ). e

Pour dsigner les courbes dinrence pour un niveau dutilit 4, on va crire e e e e La fonction de la mani`re suivante : e 4 = x1 x2 2 x2 = On voit donc que 4 2 = x1 x1

x2 2 1 0.66 0.25 12

x1 1 4 9 16

De la mme mani`re, pour un niveau dutilit gal a 16, on peut crire la e e e e ` e fonction suivante pour la courbe dindirence : e 4 x2 = x1 On a donc les valeurs suivantes pour les deux variables :

x2 4 2 1.66 1

x1 1 4 9 16

A partir de ces valeurs, les courbes dindirence peuvent tre traces sans e e e probl`me particulier. Il sut de rapporter ces points sur un plan x2 x1 . e x2

U(x1 , x2 ) = 16 U(x1 , x2 ) = 4 X1

13

b. Taux marginale de substitution

Pour cette exercice, on a donc : T MS2,1 = Ux1 (x1 , x2 ) Ux2 (x1 , x2 ) x2 2 = 2x1 x2 x2 = 2x1

x2

U(x1 , x2 ) = 16 U(x1 , x2 ) = 4 X1

Commentaires : 1. Le taux marginal de substitution est dcroissant en x1 le long de la e courbe dindirence. Ceci signie que le taux auquel le consommateur e est prt a changer le bien 2 contre le bien 1 diminue au fur et a mesure e `e ` que x1 augmente. En plus, le consommateur a des prfrences convexes. ee 2. Le TMS nest pas constante. Elle dpend des dirents paniers de biens. e e Les biens ne sont pas de suubstitus parfaits. 14

3. Le taux marginal de substitution est partout dni : les deux biens ne e sont pas de complments. e

15

2. Les choix de consommation

Exercice 1*

a. Calcul des lasticit niveau e e

On constate la courbe de demande pour la location de cassettes est linaire e avec une pente en valeur absolue de 20. On sait que llasticit de la dmande e e e est dnie par e ep = variation rlative de quantit e e variation rlative de prix e q p = p q p = 20 q

Donc, pour une lasticit prix gale a 1, on rsout : e e e ` e p 1 = 20 q q = 20p On voit dans la table que cette condition est satisfaite pour q = 60, p = 3. On vrie bien que cest le cas de la graphique avant. e 16

De le mme faon, pour une lasticit prix gale a 0, on a : e c e e e ` 0 = 20 p=0 Donc, au point o` p = 0, q = 6 llasticit est gale a 0. u e e e ` p q

Calcul de llasticit dune variation e e

On utilise la dnition de llasticit pour calculer llasticit prix de la dee e e e e mande. On sait quau point q = 60, p = 3, ep = 1. De la mme faon, si le e c prix est de 4 euros, llasticit prix de la demande devient : e e ep=4 = 20 4 q(p = 4) 4 = 20 40 = 2

Donc, quand le prix passe de 3 euros a 4 euros, llasticit de la demande va ` e e passer de 1 a 2. Llasticit prix de la demande en valeur absolue augmente ` e e quand le prix augmente.

c. Expliquez litrairement e

Llasticit prix directe de la demande mesure la variation relative de la e e demande suit a une variation d1% de prix. Au prix p = 3 euros par exemple, ` la demande est dite iso-lastique, cest-`-dire quune augmentation de 1% du e a prix de location va entra un diminuation de 1% de la demande de location ner en cassettes vido. e

17

Exercice 2

Llasticit directe de la demande est llasticit prix de la demande : elle e e e e mesure la variation de la demande suite a une variation de 1% de prix du ` bien considr. Ici cette lasticit est de -1,2. Ceci signie que quand le prix du ee e e bien augmente de 1%, la demande va diminuer de 1,2%. Llasticit revenu de e e la demande mesure la variation rlative de la demande suite a une variation e ` de 1% du revenu. Ici cette lasticit est de -0,4, ce qui signie que si le revenu e e augmente de 1%, la demande va diminuer de 0,4%. Le transport dautobus est un bien infrieur. e Rappel 3 (Bien normal, infrieur, luxe). e demande augmente demande diminue Revenu augmente bien normal / super- bien infrieur e ieur Prix augmente bien Gien bien normal / typique / ordinaire Prix de lautre bien bien substituables / bien complmentaires e augmente concurrent

Llasticit croise mesure la variation de la demande suite a une variation du e e e ` prix dun autre bien. Ici, on consid`re que le consommateur va choisir entre le e transport par autobus et le transport frroviaire Cette lastict croise est de e e e e +2,1, ce qui signie que si le prix du transport ferroviaires augmente d1%, alors la demande du transport par lautobus augmente de 2,1%. On voit donc que pour les consommateurs, le transport par autobus et le transport frroviaire sont substituables. Les deux biens sont donc des biens concure rents. Votre entreprise conna des pertes. Pour la sauver, vous avez besoin t daugmenter la recette, ce qui pourrait se faire en deux faons : c faire des investissements pour tre plus ecace et augmenter la capacit. e e Cependant, llasticit revenu du transport dautobus est de -0,4, ce qui e e signie que le transport par autobus est un bien infrieur. En clair, quand le e revenu augmente, la demande du transport va diminuer. Sachant que dans une conomie normale, le revenu des agents a une tendance a augmenter, e ` 18

ceci laisse prvoir que la demande pour lautobus va diminuer. Il nest donc e pas intressant dinvestir. e augmenter le prix du transport. En eet, la recette tant dnie par e e R = pq On voit donc quune augmentation de prix va permettre daugmenter la recette. Cependant, une augmentation de prix va galement entra e ner une modication de la demande. Supposons que le prix et la quantit se moe dient et deviennent respectivement p + p et q + q, alors la nouvelle recette est gale a e ` R = (p + p)(q + q) = pq + qp + pq + pq

En soustrayant R de R , on a donc R = qp + pq + pq qp + pq si le valeurs de p et q sont petites. On voit donc que R q =q+p p p Donc, pour que la recette augmente suite a une variation du prix, il faut ` que : R p q q+p p q p p p q q p ep 19 0 0 q 1 1

Llasticit-prix est une grandeur ngative, donc il faut multiplier par 1 e e e les deux cts, on obtient donc la condition suivante : oe ep 1 |ep | 1

Pour que la recette augmente suite a une augmentation du prix, il faut que ` llasticit-prix en valeur absolue soit infrieur a lunit. Cest un rsultat e e e ` e e attendu : en eet, quand le prix augmente de 1%, et que llasticit-prix e e en valeur absolu est superieur a lunit, alors la demande va baisser plus ` e que proportionellement par rapport au prix. En revanche, si la demande est inlastique, i.e. avec une lasticit-prix en valeur absolue infrieur a 1, e e e e ` alors la demande se modie peu suite a une modication des prix. Ainsi ` pour que laugmentation du prix ait un impact positif sur la recette, il faut que la demande ne baisse pas trop, do` la condition que la demande soit u peu lastique. Ici, on voit donc quune augmentation du prix naura pas un e impact positif sur la recette de lentreprise, car la demande du transport par autobus est lastique. Quand on augmente le prix, la demande va e diminuer plus que proportionellement, ce qui entra au contraire une ne diminution de la recette. De plus, il faut tenir compte de la concurrence avec le transport frroviaire. En eet, cette lasticit croise indique que le e e e e transport frroviaire est un bien concurrent avec le transport par autobus. e En augmentant le prix de lautobus, on risque de faire baisser encore plus la demande, et donc dessuyer plus de pertes. La seule solution possible pour lentreprise est donc de modier lore.

Exercice 3

On a la demande de bien 1 qui scrit : e x1 = R2 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 20

An dtudier la nature de ce bien avec les autres biens lis, il faut dterminer e e e les lasticits de la demande par rapport au revenu, et aux prix. e e

On calcule dabord llasticit-revenu de bien 1 : e e ex1 /R = = x1 R R x1

2R R 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 x1 1 2R2 = 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 x1 2R2 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 = 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 R2 = 2

On voit que si le revenu augmente de 1%, la demande de bien X1 va augmenter de 2%. X1 est un bien normal de luxe de faon isolastique. On utilise le terme c e isolastique quand llasticit est constante le long de la courbe de demande. e e e

On calcule ensuite llasticit-prix de bien X1 : e e ex1 /p1 = = x1 p1 p1 x1

2R2 p1 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) 2 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) R2 2p1 = 2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) 2p1 x1 = R2 On voit donc que cette lasticit est ngative (car p1 > 0, x1 > 0 et R2 > 0). e e e La demande du bien X1 diminue quand le prix p1 augmente. Il sagit donc dun bien typique/ordinaire non isolastique. e

21

On calcule ensuite llasticit croise de bien X1 par rapport a p2 : e e e ` ex1 /p2 = = x1 p2 p2 x1

0, 5R2 p2 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) 2 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) R2 0, 5p2 x1 = R2 Cette lasticit est de signe ngatif. La demande du bien X1 diminue donc e e e quand le prix du bien X2 augmente de 1%. On peut donc voir que le bien X2 est un bien complmentaire au bien X1 qui est non isolastique. e e

On calcule llasticit croise du bien X1 par rapport au bien X3 : e e e ex1 /p3 = = x1 p3 p3 x1

0, 2R2 p3 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) 2 (2p1 + 0, 5p2 0, 2p3 ) R2 0, 2p3x1 = R2 Cette lasticit est de signe positif. La demande du bien X1 augmente avec e e le prix du bien X3 varie de 1%. X1 est donc un substitut de X3 , de faon non c iso-lastique. e

Exercice 4

Les prfrences dun consommateur sont reprsentes par la fonction dutilit ee e e e suivante : U(x1 , x2 ) = 6x0,25 x0,75 1 2

22

a. Les fonctions de demande des biens

On suppose en gnral que le consommateur cherche a maximiser sa fonction e e ` dutilit sous contrainte budgtaire. On sait en plus que sa fonction dutilit e e e atteint son maximum, tant donne sa contrainte budgtaire quand le taux e e e marginal de substitution est gale au rapport des prix. e

Le contraite budgtaire du consommateur scrit : e e p1 x1 + p2 x2 R A loptimum, cette contrainte est sature. Cest-`-dire que le consommateur e a va dpenser la totalit de son revenu dans la consommation des biens. Lope e timum se trouve donc sur la droite de budget, qui est : p1 x1 + p2 x2 = R

On sait en outre qu` loptimum, le taux marginal de substitution est gal a e au rapport des prix. Ceci nous donne : p1 p2 U(x1 , x2 /x1 p1 = U(x1 , x2 /x2 p2 0,75 0,75 6 0, 25x1 x2 p1 0,25 0,25 = p2 6 0, 75x1 x2 x2 p1 = 3x1 p2 p2 x2 = 3p1 x1 T MS =

Sachant que le panier optimum se trouve sur la droite de budget, il sut de

23

rapporter cette quation sur dans la droite de budget, ce qui nous donne : e p1 x1 + 3p1 x1 = R R x = 1 4p1

De la mme faon, on aura : e c 1 p2 x2 + p2 x2 = R 3 3R x = 2 4p2

On constate que le prix du bien 1 naura pas dimpact direct sur le prix du bien 2 pour ce consommateur, et vice-versa. Les deux biens ne sont ni des biens concurrents, ni des biens complmentaires. e

b. Elasticit revenu du bien 1 e

On calcule llasticit revenu du bien 1 qui est dni comme suit : e e e ex1 /R = x1 R R x1 1 R = 4p1 x1 = 1>0

On voit donc que le bien 1 est un bien normal/superieur car llasticit revenu e e de ce bien est positive. En eet, ceci indique la demande de bien 1 augmente lorsque le revenu du consommateur augmente. Cest un bien dont la demande est isolastique. e

24

c. Elasticit prix du bien 2 e

Llasticit prix du bien 2 est donn par e e e ex2 /p2 = x2 p2 p2 x2 3R p2 = 2 4p2 x2 = 1 < 0

On voit que llasticit prix du bien 2 est ngative, ce qui implique que la e e e demande de bien 2 diminue suite a une augmentation du prix de bien 2. ` Le bien 2 est donc un bien de type/ordinaire/normal dont la demande est isolastique. e

25

3. Lchange e

Exercice 1

On a deux consommateurs qui ont les fonctions dutilits suivantes respectie vement : UA (q1 , q2 ) = q2 UB (q1 , q2 ) = 2q1 + Q20 0 et les dotation initiales qA = (7; 5) et qB (4; 2).

a. Courbe dindirence e

De la fonction dutilit de lagent A on voit que le consommateur est indife frent par rapport au bien 1. Son utilit augmente uniquement avec le bien e e 2.

De la fonction dutilit de lagent B , on voit que pour ce consommateur, e le bien 1 et le bien 2 sont des substituts parfaits. Ce qui compte pour le consommateur, cest le nombre total des deux biens quil consomme. 26

Les courbes dindirence pour le consommateur A sont donnes par le grae e phique suivant : q2

UA (7; 5) = 5

q1

Les courbes dindirence pour le consommateur B sont donnes par le grae e phique suivant :

Ici, on voit donc que les utilits des agents vont augmenter sils changent e e leurs biens.

27

q2

UB (4; 2) = 5

q1

b. TMS et rapport de prix

Pour tudier ceci, on utilise les rsultats de la thorie du consommateur e e e prcdement tudie. On sait qu` loptimum, le TMS devrait tre gal au e e e e a e e rapport des prix.

Pour lagent A, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 scrit : eA T MS2/1 =

Uq1 (q1 , q2 ) Uq2 (q1 , q2 ) 0 = 1 = 0

Donc, le consommateur est prt a renoncer a 0 bien 2 pour augmenter sa e ` ` consommation du bien 1, tout en restant sur la mme courbe dindirence. e e p1 Le rapport des prix p2 expriment le taux dchange objectif (que le consome mateur obtiendra sur le march) du bien 1 par rapport au bien 2. Donc, si e p1 A > T MS2/1 alors le consommateur A a intrt dchanger, car il obtient ee e p2 plus de bien 2 par rapport a ce quil est prt a renoncer pour lobtenir. Le ` e ` 28

consomateur A est un demandeur de bien 2 et un oreur de bien 1.

Pour le consommateur B, le TMS du bien 2 par rapport au bien 1 est :B T MS2/1 =

Uq1 (q1 , q2 ) Uq2 (q1 , q2 ) 2 = 1 = 2

Donc pour augmenter sa consommation dune unit de bien 1, le consommae teur B est prt a renoncer a 2 units de bien 2. On a de la mme faon, e ` ` e e c p1 ` e si p2 > 2, alors le consommateur B devrait renoncer a plus de 2 units de bien 2 contre 1 unit supplmentaire de bien1 : il na pas intrt a renoncer e e ee a la consommation du bien 2. Il est donc demandeur du bien 2 et oreur ` du bien 1 pour ces prix. si p1 > 2, alors pour obtenir 1 unit supplmentaire du bien 1, il devrait e e p2 renoncer a moins de bien 2 quil est prt a le faire. Donc il a intrt a ` e ` ee ` renoncer a la consommation du bien 2 pour augmenter sa consommation ` de bien 1. Pour ces prix, le consommateur B est demandeur de bien 1 et oreur du bien 2.

c. Intrt ` lchange e e a e

On a vu que le consommateur A est un oreur de bien 1 et un demandeur de bien 2. Si p1 le rapport des prix est tel que p2 > 0, il aura plus de bien 2 et il sera plus satisfait. le consommateur B est prt a renoncer a du bien 2 pour augmenter sa e ` ` p1 consommation de bien 1 si p2 < 2. Il augmentera ainsi son niveau dutilit. e p1 En revanche, si p2 > 2, alors il prf`re augmenter sa consommation de bien ee 2 et diminuer sa consommation du bien 1. Son niveau dutilit sera plus e grand dans ce cas. 29

Ces 2 agents ont intrt a changer si 2 > p1 > 0. Les deux agents gagnent ee `e p2 alors en niveau dutilit par rapport a la consommation de leurs paniers e ` initiaux. On voit que d`s lors les TMS sont dirents. Les agents a intrt a e e ` ee ` changer. e

En revanche, si p1 > 2, les deux agents sont demandeurs de bien 2 et oreurs p2 du bien 1. Il ny a aucun change possible. e

d. Les dirents paniers e

Au prix p = (1; 1), on est dans la fourchette o` les deux agents a intu ` e rt a changer. Le consommateur A est demandeur de bien 2 alors que le e ` e consommateur B est oreur du bien 2 et demandeur du bien 1. Il y aura donc change. e

Au prix p = (6; 2), le rapport de prix est de 3. A ce prix, les deux agents sont des demandeurs de bien 2 et oreurs de bien 1. Il ny aura donc pas dchange, car les deux agents nont pas de gain a tirer de lchange. e ` e

On voit donc quelchange peut avoir lieu si et seulement si elle augmente les e utilits des deux agents. e

30

Exercice 1**

On a ici une conomie form de 2 agents et 2 biens. Lagent 1 et 2 ont la e e fonction dutilit suivante : e U1 (qx , qy ) = 3qy U2 (qx , qy ) = 5qx

Les agents sont dots initialement de e

1 2

de chaque bien.

a. Tracer les courbes dindirence dans la bo dEde te geworth

On remarque dabord que les fonctions dutilit de chaque agent ne dependent e que dun seul bien. Ainsi lagent 1 est neutre au bien x et lagent 2 est neutre au bien y. Les courbes dindirence vont tre des lignes, horizontales ou e e verticales.

La bo dEdgeworth est un outil graphique permettant de reprsenter les te e dotations et les prfrences de 2 agents an dtudier les dirents rsultats ee e e e de lchange. e

Une allocation est une paire de paniers de consommation. Une allocation est dite ralisable si la quantit totale consomme de chaque bien est gale a la e e e e ` quantit totale disponible. Ici la quantit totale disponible e e de bien x est 1 + 1 = 1 2 2 de bien y est 1 + 1 = 1 2 2 31

1 2 1 2 Donc lensemble des allocations ralisables est caratris par qx , qx , qy , qy tel e e e que 1 2 qx + qx = 1 1 2 qy + qy = 1 La taille de la bo dEdgeworth est dtermine donc par les quantits te e e e disponibles de chaque bien dans lconomie. e

C qy

Agent 2

EDotation initiale

Agent 1

qx

b. Allocation initiale Parto optimal ? e

Une allocation est dite Parto optimale sil nexiste pas dautre allocation e ralisable qui amliore le bien-tre dun agent sans dtriorer le bien-tre des e e e ee e autres agents. On rappelle que si les taux marginal de substitution de tous les agents sont gaux, alors lallocation est Parto optimale dans le cas des e e prfrences normales. ee

32

Dans cet exercice, les agents nont pas de prfrences normales (i.e. prfee ee rences convexes). En eet, il est facile de constater que pour lagent 1, le 1 T MSq2 ,q1 est gal a 0, alors que celui de lagent 2 est +. Il nest donc pas e ` possible dappliquer le crit`re de lgalit des TMS pour vrier loptimalit e e e e e dune allocation ici.

On voit que lagent 1 ne se soucie que du bien y alors que lagent 2 ne se soucie que de bien x. Donc tout transfert de bien y de lagent 2 permet damliorer e le niveau dutilit de lagent 1, sans que le niveau dutilit se dtriore pour e e ee lagent 2. De la mme faon, tout transfert de bien x de lagent 1 vers lagent e c 2 permet daugmenter le niveau dutilit de lagent 2, sans que le niveau e dutilit de lagent 1 en soit dtriorer. Donc tout change du bien x contre e ee e le bien y entre les deux agents permet damliorer le niveau dutilit des deux e e agents simultanment. On en dduit que lallocation initiale des biens nest e e pas Parto optimale. e

c. Courbe des contrats

La courbe des contrats est lensemble des allocations qui sont optimales au sens de Parto dans une bo dEdgeworth. Cette appelation dcoule de e te e lide que tous les contrats naux rsultant du processus dchange doivent e e e tre situs dans len ensemble de Pareto, car si ce nest pas le cas, alors il est e e possible dexploiter encore des gains des changes. e

Dans notre cas, on peut facilement reprendre le raisonnement entam pre e cdemment. Il est facile a voir que seul le point C en haut a gauche de la e ` ` bo dEdgeworth peut tre optimal au sens de Pareto. Lagent 1 consomme te e alors 1 unit de bien y et lagent 2 consomme une unit de bien x. Ce point e e constitue donc la courbe des contrats.

33

d. Allocation concurentielle et rapport dchange e

Lallocation concurrentielle est lallocation telle que la quantit totale que les e agents dsirent acheter ou vendre aux prix en vigueur est gale a la quantit e e ` e totale disponible. Le rapport dchange concurrentiel ou le prix de march, e e est alors lensemble de prix tel que chaque consommateur choisisse, parmi les paniers accessibles, celui quil prf`re et que les choix de tous les consommaee teurs soient compatibles dans le sens o` la demande est gale a lore sur u e ` chaque march. e

Ici le seul point dquilibre est le point C indiqu ci-dessus. Le rapport de e e prix dquilibre est donn par la pente du segment CE, qui est gale a 1. e e e `

Exercice 2**

a. TMS pour les dirents dotations des biens e

i i On note pour lagent i, sa dotation de bien (q1 , q2 ), i = A, B. Pour un agent i i, i = A, B, le T MS2,1 est donn par le rapport des utilits marginales : e e i i i T MS2,1 (q1 , q2 ) =

Uq1 ,i (q1 , q2 ) Uq2 ,i (q1 , q2 )i q2 i q1

=

34

b. Montrer lgalit des rapports dallocation optimale e e

On va crire les dotations q1 et q2 qui sont rparties entre les deux individus : e eA B q1 = q1 + q1 A B q2 = q2 + q2

Donc la somme des dotations en dirents biens entre les deux individus est e gale a la ressource disponible dans lconomie. e ` e

On sait en plus qu` loptimum, il faut que le TMS des deux individus soient a gaux (sinon ils auraient avanatge a convenir dun troc entre les biens) : e ` A B T MS2,1 = T MS2,1 , do` on a uA q2 qB = 2 A B q1 q1

On sait en plus que lorsque deux fractions sont gales, elles sont gales a la e e ` fraction obtenue en additionnant les numerateurs et les dnominateurs. Par e exemple si 4 2 = 3 6 alors 2 4 2+4 6 = = = 3 6 3+6 9

Il en rsulte donc eA q2 qB = 2 A B q1 q1 B q A + q2 = 2 A B q1 + q1 q2 = q1

35

c. Reprsentation graphique e

36

q1 60

Agent B

la ligne des optima de Pareto

Agent A

6

q2

37

d. Utilit de lagent B=49 e

Ici, on cherche a dterminer le niveau dutilit de lagent A quand le niveau ` e e B B dutilit de lagent B est gal a 49. La dotation (q1 , q2 ) qui procure un niveau e e ` dutilit 49 est donc eB B 49 = q1 q2

Or on sait en plus qu` loptima on a aB q2 =

q2 B q q1 1

Donc on en dduit que e q2 B 1 (q ) = 49 q1 2 q1 B q1 = 7 q2

Les dotations de lagent A sont alors :A B q1 = q1 q1

A B q2 = q2 q2

do` lutilit de lagent A a loptimum : u e `A UA = q1 aA 2 B B = (q1 q1 )(q2 q2 ) q1 q2 B = (q2 7 )(q2 q1 ) q2 q1

38

e. Dterminer lallocation Parto optimale parmi les ale e locations

Pour calculer le niveau dutilit de A pour les trois allocations, et tel que le e niveau dutilit de lagent B est gal a 49, on a employ successivement les e e ` e formules calcules ci-dessus : eB q1 = 7 B q2 =

q1 q2

q2 B q q1 1 A B q1 = q1 q1A B q2 = q2 q2 A A UA = q1 q2

Le tableau suivant retrace les calculs numriques : e q1 /q2 0,0476 0,5 0,1B q1 1,53 3,5 2,21 B q2 32,13 14,0 22,14 A q1 2,47 4,5 3,79 A q2 51,87 18 37,86

Cas I Cas II Cas III

UA env. 128 81 143

Le cas II est videmment la solution optimale permettant a lindividu B un e ` niveau dutilit de 49. Le niveau dutilit de lindividu A est alors denviron e e 143.

39

4. La rme noclassique, e technologie, contraintes techniques et les co ts u

Exercice 1*

On consid`re une entreprise et deux facteurs de production : le travail not e e L et le capital not K, les deux mesurs en heures dutilisation. On a dans le e e tableau le volume produits pour certaines valeurs dutilisation des facteurs.

a. Productivit marginale du travail,K=10 e

On appelle la productivit marginale du travail le supplment doutput obe e tenu par unit additionnelle de travail. Formellement, on a e Q f (L + L, K) f (L, K)) = L L

Dans lexercice, en considrant K = 10, quand on passe de 35 a 36 heures de e ` 40

travail, le volume produit passe de 149 a 151, do` ` u P mL (35, 10) = 151 149 36 35 2 = =2 1

quand on passe de 36 a 38 heures, le volume produit passe de 151 a 154, do` ` ` u P mL (36, 10) = 154 151 = 1, 5 2

La productivit marginale de travail pour une utilisation de 10 heures de e capital quand les heures de travail passent de 35 a 38 est en moyenne 1,75. `

b. Productivit marginale de travail, K=16 e

Pour une utilisation de 16 heures de capital,

L 31 32 35 36 38 42 43 47

Q 158 166 180 183 187 192 193 196

Variation 6 14 3 4 5 3 2

Rapport 8 4,66 3 2 1 0,75 0,25

P mL 6 6,3 3,83 2,5 1,5

0,5

On constate donc que la productivit marginale dcroit avec le travail. Il sagit e e dune caratristique habituelle de la plupart des processus de production. e Notons quici les autres facteurs de production (ici K) sont maintenus a un ` niveau constant. 41

c. Calcul du TMST direct

Le taux marginal de susbtitution technique mesure le taux auquel la rme doit substituer un input par lautre tout en maintenant constante la quantit e doutput. Formellement, T MST(K,L) = L P mK = K P mL

qui est lexpression du taux de substitution technologique du capital par le travail.

Pour cette exercice, quand on passe de L=38 et K=12 a L=38 et K=13, le ` taux marginal de substitution technologique est de T MST = L =2 K

d. Calcul du TMST par la productivit marginale e

On va calculer le TMST a partir des productivits marginales. ` e

Au point L=32 et K=16, P mL (32, 16) = 6, 3 1 171 166 166 162 ( + ) = 4, 5 P mK (32, 16) = 2 1 1 4, 5 T MSTK = = 0, 7 6, 3 Pour rester sur la mme isoquante, on doit substituer 0,7 heures de travail a e ` 1 heure dutilisation de capital.

42

Au point L=36 et K=13, 1 170 166 166 165 ( + ) = 1, 5 2 2 1 1 172 166 166 162 P mK (36, 12) = ( + )=5 2 1 1 5 = 3, 3 T MSTK = 1, 5 P mL (36, 13) = On remarque pour ce couple dinputs, le niveau doutputs est de 166 aussi.

Au point L=47 et K=11, 1 168 166 166 164 ( + ) = 0, 5 2 4 4 1 172 166 166 160 ( + )=6 P mK (47, 11) = 2 1 1 5 = 12 T MSTK = 1, 5 P mL (47, 11) =

Auxiliairement, on constate galement une productivit marginale du capital e e dcroissante. e

On constate que en K=13, il y a un cart sensible entre TMST et le rapport e des productivits marginales (2=3,3). Ceci est d au fait les variations ici ne e u sont pas assez petites pour lapproximation par le calcul des drives. e e

Au fur et a mesure que le capital augmente, on constate galement une d` e e croissance de la TMST en K.

43

e. Graphique

Exercice 2

La fonction de production scrit Q(K, L) = (3K 0,5 + 2L0,5 )2 . e

a. Productivit moyennes e

La productivit moyenne dun facteur est la quantit doutputs en moyenne e e par unit de facteur de production. Il sagit donc de mesurer combien doute puts en moyenne 1 unit de facteur de production peut produire. Il sut e donc de diviser la quantit totale produite par la quantit totale de facteur e e

44

utilis. La productivit moyenne du travail est donc, e e P MoL = Q(K, L) (3K 0,5 + 2L0,5 )2 = L L

De la mme faon, la productivit moyenne du capital est donc, e c e P MoK = Q(K, L) (3K 0,5 + 2L0,5 )2 = K K

b. Productivits marginales e

La productivit marginale dun facteur est le supplment de quantit produite e e e suite a une unit supplmentaire de ce facteur utilis dans la production. ` e e e Cest donc, si on passe a la limite, la drive de la fonction de production ` e e par rapport a ce facteur. Ainsi la productivit marginale du travail est ` e P mL = Q(K, L) L = 2L0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )

De la mme faon, la productivit marginale du capital est e c e P mL = Q(K, L) L = 3K 0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )

c. Rendement dchelle e

Le rendement dchelle mesure de combien la quantit produite va tre mule e e tiplie si on multiple par la mme proportion tous les facteurs de production. e e Si le niveau doutputs double quand les inputs ont doubl, alors on parle de e 45

rendements dchelle constants. Si le niveau doutputs font plus que doubler e quand tous les inputs ont doubl, alors on parle de rendements dchelle croise e sants. Pour tudier le rendement dchelle de cette fonction de production, e e supposons quon multiple par le capital et le travail, o` > 1 : u Q(K, L) = [3(K)0,5 + 2(L)0,5 ]2 = [30,5 K 0,5 + 20,5 L0,5 ]2 = [0,5 (3K 0,5 + 2L0,5 )]2 = (3K 0,5 + 2L0,5 )2 = Q(K, L) On voit que la technologie est caractrise par des rendements dchelle e e e constants.

d. TMST

On peut facilement calculer le TMST a partir de productivits marginales : ` e T MSTK = P mL P mK 2K 0,5 = 3L0,5

On note quici, quon a ce quon appelle une fonction CES, qui a la forme gnrale suivante : e e f (K, L) = (K + L )1/ avec > 0, > 0 et < 1. Ce type de fonction est caractrise par le e e fait quelles sont homog`nes de degr 1 (rendements dchelle constants) et e e e quelles ont une lasticit de substitution constante. e e

46

Exercice 3

On prtend parfois qur la profession de taxi est une activit a rendements e e` constants. Loutput de lactivit : le nombre de kilom`tres par jour (par e e exemple). Linput de lactivit : conducteur de taxi (travail), voiture On e voit donc quen augmentant les inputs dans la mme proportion, on voit e que loutput produit va augmenter dans la mme proportion. Ainsi, cette e activit est caractrise par des rendements dchelles constants. En eet, e e e e si on augmente Dune unit voiture et chaeur, a priori on est capable de e doubler le nombre de kilom`tres des trajets par jours. e

Exercice 4

Linvestissement ncessaire a la ralisation dune capacit de production dans e ` e e une fourchette [500; 100] est dni par la relation : e I = 10000X 0,7

a. Graphique et le co t marginal de linvestissement u

Graphiquement, on peut reprsenter cette relation comme suivante : e

47

I

500

X

Le cot marginal de linvestissement est donn par lexpression : u e Im(X) = I(X) X aX b = X = abX b1

On peut d`s lors calculer linvestissement de son cot marginal pour les vae u leurs respectives de 500 et 1000. Pour un niveau de capacit de 500, linvese tissement ncessaire est de : e I(500) = a(500)b = 7, 75 105 et le cot marginal est alors : u Im(500) = abX b1 = 1, 085 103 Pour un niveau de capacit de 1000, linvestissement ncessaire est alors : e e I(1000) = a(1000)b = 1, 259 106 48

et le cot marginal est alors : u Im(1000) = abX b1 = 881, 248 On voit donc quau fur et a mesure que la capacit augmente, le niveau din` e vestissement ncessaire augmente galement. Le cot marginal dinvestissee e u ment diminu au fur et a mesure. Le cot marginal de linvestissement est ` u dcroissant : une augmentation de linvestissement va augmenter la capacit e e de production a une taux dcroissant. ` e

b. Eets dapprentissage

On consid`re une activit dans laquelle les eets dapprentissage conduisent e e a une reduction de la quantit de travail ncessaire a la production dun bien ` e e ` donn, dautant plus important que le nombre n de ce bien, dj` produit, est e ea lev. Cet eet dapprentissage se traduit par la relation suivante : e e hn = h1 (n)b o` hn reprsente la quantit dheures de travail pour la production de lunit u e e e n.

On cherche la valeur de b telle que le doublement de la quantit produite e se traduit par une baisse de 20% de la quantit de travail ncessaire par e e unit. Sans eets dapprentissage, pour produire en total 2n units, il faut e e 2nh1 unit de travail. Aves leet dapprentissage, en produisant 2n unit en e e b totale, la quantit de travail ncessaire est alors h1 (2n) . A 20% dconomies, e e e on a donc : 0, 8 h1 = h1 (2)b ln 0, 8 b = ln 2 = 0, 322 49

De faon gnral, pour une conomie de (1 k) en terme dheures de travail c e e e lie a des eets dapprentissage, on a : e ` b(k) = ln k ln 2

c. Loi de progr`s ` 80% e a

Avec une conomie de 20%, il faudra pour lunit n = 10, une quantit de e e e 4 travail h(10, 0, 322) = 4, 76 10 .

Exercice

On a une fonction de cot qui scrit u e C(Q) = Q2 + 3Q + 20 avec Q le volume produit.

a. Allure des co ts u

De la forme de la fonction de cot, on pourra dj` en dduire que la courbe u ea e du cot total sera croissante et convexe. La courbe de cot marginal est u u croissante et linaire, alors que la courbe de cot variable moyen est, elle e u aussi, linaire. En ce qui concerne la courbe du cot moyen de long terme, e u elle sera en forme de U.

50

Cot u 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q

51

b. Les autres co ts u

Le cot marginal est alors u Cm(Q) = CT (Q) = 2Q + 3 Q

Le cot moyen est donn par u e CM(Q) = CT (Q) 20 =Q+3+ Q Q

Le cot variable total est u CV T (Q) = Q2 + 3Q

Le cot variable moyen est alors u CV M(Q) = Q + 3

On voit donc le cot marginal est bien croissant. Il coupe la courbe de cot u u moyen de long terme au point o` ce dernier est minimum. Il en est de mme u e en ce qui concerne le cot variable moyen. Le cot total moyen est en forme de u u U car il y a des cot xes. Le cot variable moyen, quant a lui, est croissant. u u `

52

5. Les co ts de production u

Exercice 0

a. Co t moyens et marginaux de long terme u

Le cot moyen (cot unitaire) est le cot total de production divis par la u u u e quantit totale. e CT (y) CMo(y) = y Qx = 100 8px 9py o` px est le prix du bien X et py est le prix du bien Y . u

Le cot marginal est le supplment de cot de production engendr par la u e u e production dune unit supplmentaire doutput. e e Cma(y) = CT (y + y) CT (y) y y

Pour cette exercice, on a le tableau suivant :

53

Production 0 1 2 3 4 5 6

Cot Total u 0 32 48 82 140 228 352

CMo 32 24 27,33 35 45,6 58,67

Q 32 16 34 58 88 124

Rapport 32 1 34 58 88 124

Cma (32) 24 25 46 73 106 124

b. Courbes des co ts uCot (10) u 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q

54

On constate donc que 1. le cot moyen dcro avant de cro u e t tre. La courbe de cot moyen est en u forme de U. 2. le cot marginal est croissant u

c. Co t moyen minimal u

Le cot moyen de long terme est minimal pour un niveau de production u Q = 2.

d. Cma=CMo

Le cot marginal de long terme est gal au cot moyen de long terme pour le u e u niveau de production tel que ce dernier est minimum. Ici, le cot marginal de u long terme est gal au cot moyen de long terme pour le niveau de production e u Q = 2.

Exercice 1

a. Co t marginal en Q=15 u

De 14 a 15, le cot augmente de C1 = 800 = 22890 22090. De 15 a 19, ` u ` la production augmente de 4 units (=19-15), alors que le cot augmente de e u 3670 = 26560 22890, donc C2 = 3670/4 = 917 environs. 55

Le cot marginal pour Q = 15 peut alors tre estim par la moyenne de ces u e e rsultats, soit 858. e

b. Calcul de co ts moyens u

Le tableau suivant indique les rsultats. On note Q le niveau de production, e C C(Q) le cot total, Q le cot marginal dans les zones intermdiaires et u u e CM(Q) le cot moyen. u

Q 14 15 19 22 25 26 29 32 33 35 40

C(Q) 22090 22890 26560 29800 33700 34700 38800 43800 45040 48650 58000

C Q

CM(Q) 1577 1526 1397 1354 1338 1336 1344 1362 1370 1390 1450

800 917 1080 1216 1310 1406 1540 1640 1705 1870

56

c. Graphique

Le cot moyen est en forme de U, et le cot marginal est croissant. Ces deux u u cas peuvent tre considrs comme tant normaux. e ee e

Le cot moyen est minimum autour de Q = 26. Il coupe visiblement le cot u u marginal dans cette zone, ce qui est absolument gnral. e e

d. Approximation co t marginal et co t xe u u

Le cot marginal est approximativement linaire. Donc on pourra lui donner u e une forme approximative qui scrit : e Cm(Q) = aQ + b o` a est la pente de la courbe de cot marginal, et b est une constante. u u

On sait que le pente peut tre estime par e e a= C Q

Ici, quand le production augmente de 14,5 a 37,5, le cot marginal augmente ` u 57

de 800 a 1870, do` le cot marginal augmente en moyenne de ` u u 1870 800 = 46, 5 37, 5 14, 5 par unit supplmentaire de produit. e e

On a donc Cm(Q) = 46, 5Q + b Il reste a dterminer la constante. ` e

On sait de plus que la courbe de cot marginal coupe la courbe de cot moyen u u au point o` le cot moyen est minimum. On voit que pour Q = 26, le cot u u u moyen est minimum : CM(26) = 1336. Puisque les deux courbes se coupent a ce point, on sait quau point Q = 26, Cm(26) = 1336. On a donc : ` Cm(26) = 46, 5 26 + b = 1336 b = 126 do` le cot marginal est aproximativement donn par u u e Cm(Q) = 46, 5Q + 126

Sachant que le cot marginal est obtenu en drivant la fonction de cot total u e u par rapport au quantit produite. Il en rsulte que : e e CT (Q) =Q

Cm(x)x 46, 5 2 Q + 126Q + c 2

=

o` c est la constante de lintgration, ou bien, le cot xe (car le cot xe u e u u est la partie du cot qui ne dpend pas de la quantit produite). u e e

Pour estimer le cot xe, i.e. la constante de lintgration, il sut de prendre u e nimporte que niveau de production et de rsoudre lquation qui en rsulte. e e e 58

Par exemple, pour Q = 26, le cot total est de 34700, do` u u CT (26) = 23, 25 (26)2 + 126 26 + CF = 34700 CF = 16000

Les cots xes reprsentent donc environ la moiti du cot total autour de u e e u Q = 26. Cette part considrable explique la dcroissance du cot moyen e e u jusqu` cette valeur. a

Exercice 2

On a une fonction de cot qui scrit u e C(Q) = Q2 + 3Q + 20 avec Q le volume produit.

a. Allure des co ts u

De la forme de la fonction de cot, on pourra dj` en dduire que la courbe u ea e du cot total sera croissante et convexe. La courbe de cot marginal est u u croissante et linaire, alors que la courbe de cot variable moyen est, elle e u aussi, linaire. En ce qui concerne la courbe du cot moyenne de long terme, e u elle sera en forme de U.

59

Cot u 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q

b. Les autres co ts u

Le cot marginal est alors u Cm(Q) =

60 CT (Q) = 2Q + 3 Q

Le cot moyen est donn par u e CM(Q) = CT (Q) 20 =Q+3+ Q Q

Le cot variable total est u CV T (Q) = Q2 + 3Q

Le cot variable moyen est alors u CV M(Q) = Q + 3

On voit donc le cot marginal est bien croissant, et quil coupe la courbe de u cot moyen de long terme au point o` ce dernier est minimum. Il en est de u u mme en ce qui concerne le cot variable moyen. Le cot total moyen est en e u u forme de U car il y a des cot xes. Le cot variable moyen, quant a lui, est u u ` croissant.

Exercice 3

61

Exercice 4

On a une fonction de production CES qui scrit : e Q(K, L) = (2K 2 + 2L2 )1/2

Le prix des facteurs est de w = 10 pour le travail et r = 70 pour le capital. Le cot xe est gal a 30. u e `

Lobjectif de cet exercice est de trouver la fonction de cot total a prtir de la u ` fonction de production. On appelle la fonction de cot total la fonction qui u associe le cot minimum pour produire un niveau doutput donn. u e

a. Sentier dexpansion

La fonction de cot se dduit de lquation du sentier dexpansion, de la u e e fonction de production et de lequation du cot. u

On sait que lentreprise cherche a maximiser son prot. Si elle est price` taker, alors elle va dterminer le niveau doutput qui maximiserait son prot. e Lquation du prot scrit : e e = pQ wL rK 30 Si une entreprise maximise ses prots et choisit un niveau doutput, elle doit minimiser son cot de production pour ce niveau doutput. Sil nen tait pas u e ainsi, alors il existerait une autre faon plus conomique de produire cette c e quantit doutput, et lentreprise ne maximise alors pas son prot au dpart. e e Ainsi, pour un niveau doutput donn, on sait que le probl`me de la rme e e 62

est de minimiser son cot de production : u maxK,L

wL + rK + 30 Q(K, L) = Q

s.t.

Pour un niveau donn de production, et compte tenu des prix des facteurs de e production, la rme va choisir la combinaison des facteurs de telle faon que c le cot de production sera minimum. Cette combinaison optimale est donn u e par lgalit de la productivit marginale des facteurs et le prix de facteur : e e e pP mL (K, L) = w = 0, 5(2K 2 + 2L2 )0,5 4L pP mK (K, L) = r = 0, 5(2K 2 + 2L2 )0,5 4K En eet, si la productivit marginale de facteur est plus grande que le prix e que lentreprise va payer, alors lentreprise aura intrt a en acheter plus. ee ` elle est capable de produire marginalement plus que ce que cette unit supe plmentaire de facteur lui cote. Dans le cas contraire, elle aura intrt a e u ee ` diminuer la quantit du facteur utilise. e e

En terme quivalent, la quantit du travail et de capital utilise optimales e e e pour un niveau de production donn est telle que le TMST est gale au e e rapport des prix : P mK (K, L) 0, 5(2K 2 + 2L2 )0,5 4K K 70 = = = 2 + 2L2 )0,5 4L P mL (K, L) 0, 5(2K L 10 En dautres termes, K = 7L. Cest le sentier dexpansion.

b. Fonction de co t u

On a alors, si lentreprise respecte cette combinaison optimal des facteurs, avec une quantit L de travail, lentreprise est capable de produire : e Q = Q(K(L), L) = [2(7L)2 + 2L2 ]0,5 = (98L2 + 2L2 )0,5 = 10L 63

Or, pour un niveau de production donn, lentreprise devrait utiliser e L = 0, 1Q quantit de travail. e

De la mme faon, on trouve e c K = 7 0, 1Q = 0, 7Q

Ainsi, lquation du cot scrit : e u e C(K, L) = wL + rK + 30 Or, sachant que lentreprise a combiner de faon optimal le travail et le capital ` c pour un niveau de production donn, on a alors la fonction de cot suivante : e u CT (Q) = C(K(Q), L(Q)) = 70 0, 7Q + 10 0, 1Q + 30 = 50Q + 30

c. Co t marginal, moyen u

Une fois que la fonction de cot est trouve, il est facile de conna le cot u e tre u marginal et le cot moyen. Le cot marginal est tout simplement ici : u u Cm(Q) = et le cot moyen est u CM(Q) = CT (Q) 30 = 50 + Q Q CT (Q) = 50 Q

64