>TD10 : géométrie … suitevirginie.zampa.free.fr/cours/Math-L2/TD10-correction-19... · 2019. 12. 11. · >TD10 : géométrie … suite Les TD correspondent à une compilation

Métier de l’enseignement et de la formation : Math

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>TD10 : géométrie … suite Les TD correspondent à une compilation d’exercices, cours, etc. des sites web indiqués en sitographie.

1 Exercices A. Histoires de Pythagore (retour sur les triangles)

1. Dans chaque cas, calculer la longueur du côté manquant sachant que le triangle MNP est triangle en (point de la colonne de gauche).

§ NP2 = MN2 + MP2 = 5,762 + 5,22 => NP= 7,76 § MP2 = NP2 + MN2 => MN2 = MP2 – NP2 = > MN2 = 59,042 – 12,962 = 3653,68 => MN = 60,45 § MN2 = NP2 + PM2 => MP2 = MN2 – NP2 => MP2 = 5492 – 992 =291 600 => MP = 540

2. Compléter les égalités suivantes en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles rectangles de la figure. Donner toutes les solutions possibles

AC2 = BC2 - BA2 BC2 = AB2 + AC2 = BD2 + DC2= EC2 - EB2 BD2 = BC2 – DC2 = EB2 - ED2 DC2 = BC2 – BD2

B. Histoires de Thalès 1. Thalès 1

Sur la figure ci-dessous : A ∈[GL], E ∈[GK] et (AE)//( LK) Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs GL et AE.

Les droites (LA) et (KE) sont sécantes en G, et les droites ( AE) et (LK) sont parallèles, donc, d’après le théorème de Thalès, on a : GA/GL = GE/GK = AE/LK , soit 5, 4/GL = 3/5 = AE/11.

Pour GL : 5, 4/GL = 3/5

ð 3GL = 5*5,4 => GL = (5*5,4)/3 = 27/3 = 9 ð Le segment [GL] mesure 9 cm

Pour AE : 3/5 = AE/11

ð 5 AE = 11*3 => AE = 33/5 = 6,6 ð Le segment [AE] mesure 6,6 cm

MN NP MP M 5,76 5,2 N 12,96 59,04 P 549 99



2. Thalès 2 Sur la figure ci-dessous : D ∈[PK], D ∈[EM] et (PM)//(EK). Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs KD et DM.

Les droites (EM ) et (KP) sont sécantes en D, et les droites (EK ) et (PM ) sont parallèles, donc, d’après le théorème de Thalès, on a #$

#% = #&

#' = $&

%' soit (

#% = #&

(,* = +

,

Pour KD : #&(,*

= +,

=> 7 DK = 4 * 6,3 => DK = +∗(,*,

=> KD = 3,6 cm

Pour DM : ð (

#% = +

, => 4DM = 7*6 => DM = ,∗(

,+

ð DM = 10,5 cm

3. Thalès 3 Sur la figure ci-dessous : • SE = 5cm, SL =12 cm et GL = 9 cm ; • les points S, E et L sont alignés ; • les points S, A et G sont alignés. Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur AE.

./.0

= .$.1

= /$10

=> /$2

= 345

=> 12 AE = 45 => AE = +345

= 3,75 C. Histoire de parallélogramme

Sur la figure ci-dessous, trouve tous les quadrilatères dont tu peux affirmer qu'ils sont des parallélogrammes. Pour chacun, énonce une propriété qui permet de justifier ta réponse. Sachant que (AC) // (BF) et (AB) // (EC)

a) AB // EC et AC // BF => ABEC parallélogramme b) AB // EC avec H sur (AB) et J sur (EC) => JE // BH de plus JE = BH et HE = BJ =>

HBJE parallélogramme c) EI = ID et GI = IF => EGDF parallélogramme (AC) // (BF), E sur (BF) et EGDF parallélogramme => AC // EF. EGDF parallélogramme or A sur (GE) et C sur (DF) => EFCA parallélogramme



D. Histoires de construction de parallélogrammes Dans chaque cas, construis un parallélogramme en respectant les contraintes données.

a. LISE tel que LI = 5 cm et IS = 2,5 cm en utilisant l'équerre et la règle graduée. Je trace LI, en utilisant mon équerre en I je trace IS (angle droit en I), puis en L je trace LE avec mon équerre, je termine mon rectangle en traçant ES avec ma règle.

b. MARC tel que MR = 7 cm et AC = 6 cm en utilisant la règle graduée.

1_ Juste avec une règle je ne peux faire qu’un parallélogramme plat

2_ Je trace la première diagonale MR de 7 cm, le marque son milieu qui sera aussi le milieu de la seconde diagonale (je choisis mon angle). Il ne me reste qu’à tracer les 4 côtés.

c. NOAH tel que NO = 3 cm et NA = 8 cm en utilisant le compas et la règle graduée. a. Je trace NO (3 cm) avec ma règle, b. J’utilise mon compas planté en N puis en O pour tracer une perpendiculaire à

NO c. Je prends mon compas et je trace une perpendiculaire à cette nouvelle droite d. Je prends mon compas et à partir de N je trace

je prends mon compas et je à partir de N je trace un cercle à 8 cm d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les mêmes pour tout le monde ?

E. Histoire de propriétés de rectangle Recopie et complète en justifiant. OV = 4,2 ; ET = 8,4 ; RVT = 90-35 = 55 ; OEV = 35

b. Cite tous les triangles isocèles de la figure. VOE, EOR, ROT et VOT c. Cite tous les triangles rectangles de la figure. TVE, VER, ERT et RTV

F. Histoire de propriétés du carré a. Construis, sur une feuille blanche, un carré NOIR tel que NO = 5,2 cm. b. Place son centre et trace ses axes de symétrie. => oups on n’a pas vu les axes de symétrie



c. Explique pourquoi NOR = 45°. => Les diagonales dans un carré coupe en angles droits et les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu. De ce fait chaque part est un triangle isocèle et NOR = 45° ainsi que ceux qui suivent d. Complète en justifiant.

RNI = 45 ; OIN = 45 ; ONI = 45

G. Histoire de faux semblant

a. Construis un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? losange b. Construis un quadrilatère qui a quatre angles droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? rectangle

H. Histoire de propriétés du losange Dans chacun des cas suivants, on donne certaines mesures d'un losange ROSE de centre T. Trouve celles qui sont demandées. Justifie tes réponses en appliquant les propriétés du losange

a. On sait que RO = 9,1 cm et

ORE = 50°. Que valent les angles OSE et ROS . OSE = ORE = 50 180 = ROS + 50 => ROS = 130

b. On sait que RT = 2,8 cm et OE = 4,2 cm. Que valent OT, RS et RTO .

OT = 2,1 (OE/2), RS = RT *2 = 5,6 et RTO = 90°

c. On sait que RE = 5,1 cm et RES = 110°. Que valent REO, ROE et ORE . REO = RES/2 = 55° ROE = REO (car triangle isocèle) ORE = 180 – 110 = 70

d. On sait que OR = 5 cm et OSE = 60°. Que valent ORE, SOR, SOE et SEO. Quelle est la nature du triangle OSE ? ORE = OSE = 60 SOR = 2 TOS

or TOS = 180 – OTS – OST = 180 – OTS – ½ (OSE) = 180 – 90 – 30 = 60 => SOR = 120 SOE=60 OSE est un triangle isocèle

I. Histoire de passage d’un quadrilatère à l’autre Sur la figure ci-dessus, on a dessiné un quadrilatère ABCD puis on a tracé les parallèles aux diagonales passant par les sommets A, B, C et D du quadrilatère. Les droites ainsi obtenues se coupent en E, F, G et H.



a. Démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

EF // AC et HG // AC => EF // HG FG // DB et DB // EH => FG // EH => EFGH parallélogramme b. On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Construis une nouvelle figure et démontre que EFGH est un losange. Propriétés du losange :

- Les côtés opposés d’un losange sont parallèles. => démontré en a.) - Les angles opposés d’un losange ont la même mesure.=> vrai pour tout

parallélogramme - Les 4 cotés ont même longueur. Soit I le centre de ABCD. AI = AB = IC = ID (les

diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leurs milieux) or AHBI parallélogramme (par construction) => AH = IB = HB = AI idem avec les 4 petits losanges.=> 4 côtés de même longueur

- Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu E, I et G sont alignés et sont parallèles à AB et DC. Idem pour H, I et F => HF perpendiculaire à EG. Les 4 petits losanges étant égaux I est le milieu de EG et de HF.

b. On suppose enfin que ABCD est un losange. Construis une nouvelle figure et démontre

que EFGH est un rectangle. AC perpendiculaire à BD (propriétés du losange) => FE perpendiculaire à EH etc. D’où 4 angles droits => EFGH rectangle.



J. Histoire de feux a. Construis le parallélogramme FEUX tel que FE = 5 cm, EU = 6 cm et FEU = 50°. b. Trace la perpendiculaire à (FE) passant par F, elle coupe (UX) en R. Trace la perpendiculaire à (UX) passant par U, elle coupe (FE) en G. c. Quelle est la nature du quadrilatère FRUG ? Justifie ta réponse.

FE // UX => la perpendiculaire de FE et la perpendiculaire de UX sont // donc RF // UG. On a donc 4 cotés avec les côtés // deux à deux => c’est un parallélogramme. De plus par construction les angles sont droits => FRUG est un rectangle.

K. Histoire de bissectrices a. Construis un parallélogramme ABCD puis les bissectrices (d1) et (d2) respectivement

des angles ABC et BAD. Ces droites se coupent en un point U.

b. Détermine BAU et ABU sans mesurer d'angle. Quelle est la nature du triangle ABU ? Les bissectrices d’un parallélogramme, issues de deux sommets consécutifs sont perpendiculaires. => AUB triangle rectangle. c. Que peut-on en déduire pour les droites (d1) et (d2) ? Elles sont perpendiculaires



L. Histoire de figure dessinée à main levée La figure ci-contre a été réalisée à main levée. RSUT est un parallélogramme. Donne, en justifiant :

a. la longueur TU ; TU = RS = 4 cm b. la longueur RI où I est le point d'intersection de [RU] et [ST] ; les diagonales se coupent en leurs milieux => RI = 3 cm c. la mesure de l'angle RSU ; RSU = RTU = 40° d. la mesure de l'angle TUS ; TUS = 180 – RTU = 140

M. Histoire de dessins a. Reproduis la figure ci-contre sur ta copie. b. Place le point K tel que le quadrilatère JGKH soit un parallélogramme. c. Place les points M et N tels que GHMN soit un parallélogramme de centre J.

N. Histoire de triangle et de parallélogramme

Sur la figure ci-contre, place : • le point D tel que ABCD soit un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point E tel que AEBC soit un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point F tel que ABFC soit un parallélogramme, que tu dois tracer.

euh j’avais laissé la correction là

O. Histoire de récréation Hugo et Laura ont construit, à partir du patron ci-contre, trois dés identiques. Ils ont inventé un nouveau jeu, le « quadrigolo » dont la règle est la suivante : a. Lancer les trois dés en même temps. b. Additionner les faces supérieures de chaque dé sachant que : • un quadrilatère rapporte 1 point ; • un triangle rapporte 3 points ; • un parallélogramme rapporte 6 points ;



• un rectangle rapporte 10 points ; • un losange rapporte 15 points ; • un carré rapporte 21 points. Hugo lance les trois dés, fait les comptes et dit : « J'ai 82 points ! ». Hugo ne s'est pas trompé et n'a pas triché. Mais qu'y avait-il sur les faces supérieures des trois dés ?

Une forme peut appartenir à plusieurs catégories de ce fait

- Un quadrilatère quelconque vaut 1 - Un triangle vaut 3 - Un parallélogramme vaut 6 + 1 du quadrilatère = 7 - Un rectangle : quadrilatère (1) + parallélogramme (6) + rectangle (10) = 17 - Un losange : losange (15) + parallélogramme (6) + quadrilatère (1) = 22 - Un carré : carré (21) + quadrilatère (1) + les point du parallélogramme (6) + les points

du rectangle (10) + losange (15) = 21 + 1 + 6 + 10 + 15 = 53 Pour obtenir 82

- S’il fait un quadrilatère quelconque il reste 80 pts à faire en 2 dés or 53 + 22 = 75 et 53 *2 = 106 => 82 n’est pas réalisable avec un quadrilatère quelconque dans le tirage

- S’il fait un triangle il reste don 79 sur les deux autres dés 53 (carré) + 26 (impossible) => 82 n’est pas réalisable avec un triangle dans le tirage

- S’il fait un parallélogramme il reste donc 75 points = 53 (carré) + 22 (losange) => avec les trois dès on peut avoir 82 pts avec un parallélogramme, un carré et un losange

- S’il fait un rectangle il reste donc 65 pts = 53 (carré) + 12 (rien ne vaut 12) 82 n’est pas réalisable avec un rectangle dans le tirage

2 Sitographie http://www.ac-grenoble.fr/college/europe.bdp/IMG/pdf/fiche_bilan_6_a_3_cor.pdf https://www.educastream.com/quadrilateres-6eme http://www.maths-rometus.org/mathematiques/maths-college/default.asp?url=http%3A%2F%2Fwww%2Emaths%2Drometus%2Eorg%2Fhtm%2Ftout14%2Ehtm%23Losange https://www.brevetdescolleges.fr/infos/theoreme-de-thales.php http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/4eme/4pyth/f1pyth.PDF http://col58-renecassin.ac-dijon.fr/IMG/pdf/exercices_thales-2.pdf http://www.col-verne-illzach.ac-strasbourg.fr/disciplines/maths/manuels/5eme/manuel_chapitre_5G3.pdf http://tableauxmaths.fr/spip/IMG/pdf/kidimath_ds_5g3.pdf http://soutienscolairelille.e-monsite.com/medias/files/parallelogramme-2.pdf