TD2 Combinatoire

7/25/2019 TD2 Combinatoire

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Logique combinatoirePour chacun des exercices ci-dessous, faire les questions suivantes :1. Identifier les entres et sorties de l'objet.2. crire la table de vrit des sorties.3. Dterminer partir de la table de vrit les quations des sorties4. tablir le tableau de Karnaugh des sorties.5. En dduire les quations correspondantes.6. Dessiner le logigramme correspondant aux trois fonctions avec des oprateurs logiques 1 ou 2 entres.

7. Dessiner le logigramme correspondant aux trois fonctions avec des oprateurs logiques ET-NON 2 entres.

Exercice 1 Serrure de coffreQuatre responsables de socit (A, B, C, D) peuvent avoir accs un coffre. Ils possdent chacun une cldiffrente (a, b, c, d). L'ouverture 0 du coffre est dfinie :

A ne peut ouvrir le coffre que si au moins un des responsables B ou C est prsent, B, C, D ne peuvent l'ouvrir que si au moins deux des autres responsables sont prsents.

Exercice 2 - Comptage de piceDeux catgories de pices (des grandes et des petites) avancent surun tapis roulant. Elles sont dtectes par deux cellules photo-

lectriques Pl, et P2.Le faisceau lumineux infrieur dirig sur la cellule P2, estcoup par toutes les pices (la variable P2 prend alors lavaleur 1).Par contre le faisceau lumineux suprieur dirig sur lacellule Pl, n'est coup que par les grandes pices ( lavariable Plprend alors la valeur 1).Par l'intermdiaire des amplificateurs A1, et A2et de relais, ces cellules modifient trois variables :

C1pour les petites pices, C2pour les grandes pices, C3qui joue le tle de totalisateur et qui est donc actionn par toutes les pices.

Exercice 3 Radiateur lectriqueUn radiateur lectrique deux allures de chauffe comporte deux rsistances R1et R2 et un ventilateur V. Il est command par deux interrupteurs a et b. Paraction sur a seul, la rsistance R1est mise sous-tension. Par action sur b seul ousur a et b la fois, les deux -rsistances et le ventilateur sont mis sous-tension.

Exercice 4 Contrle de tolrancesPour contrler l'usinage de la pice figure 1 on utilise l'appareil figure 2.

Lorsque les cotes sont l'intrieur des intervalles aucun des contacts a, b, c, d n'est actionn et levoyant vert V s'allume.

Lorsque l'une des deux cotes est trop forte, l'autre tant bonne ou lorsque les deux cotes sont tropfortes, le voyant bleu B s'allume. La pice doit tre rusine.

Lorsque l'une au moins des deux cotes est trop faible, le voyant rouge R s'allume. La pice est rebute.

td_combinatoire2 mai 2005 1/1 SCI22 ABIDI Hatem

P1

P2

a b

R1 R2V

20+0,03-0,02

14

0,0

3

d

c

b a

V

B

R

Figure 1 Figure 2


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CONTRLEUR D'ACCS DE PARKING1. Mise en situation du systme

Les voitures peuvent entrer et sortir de ce parking tant que le nombre de voitures en stationnement nestpas suprieur au nombre de places utilisables. Dans ce cas le feu lentre sera vert et la barrire ouverte.Disposant dun parking de N places, le gardien programme ce chiffre : ( 0 N 99 ).Si le nombre de voitures entres est gal ou suprieur au nombre de places utilisables, le feu passera aurouge et la barrire se refermera pour interdire lentre dautres voitures.

Le gardien peut tout moment mettre le feu au rouge et fermer la barrire en actionnant linterrupteur feurouge, mme si le nombre maximum des voitures nest pas atteint. Ceci permet dinterdire laccs pourcause de travaux, daccident ou pour rserver des places.

Par ailleurs pour rserver des places libres, le gardien peut tout moment modifier le nombre de placesutilisables "N" dans le parking.Ce systme de contrle d'accs de parking est reli par rseaux un central informatique grant l'ensembledes parking d'une ville et pouvant donner de faon dcentralise le nombre de places disponibles danschaque parking.

2. Description de la partie commandeLa partie commande est constitue d'un botier qui permet la gestion du contrleur d'accs de parking grceaux informations et aux commandes prsentes sur la face avant.

Les roues codeuses permettent deslectionner le nombre de placesutilisables ou le nombre de placesutilises en fonction de l'action du

bouton poussoir

Rle du bouton poussoir : lorsqu'il est relch, la valeur slectionne avec les roues codeuses correspond au nombre de places

utilisables, appuy fugitivement, la valeur slectionne avec les roues codeuses correspond au

nombre de places utilises et va s'afficher sur les afficheurs,Cette commande ne sert que pour la mise en fonctionnement du parking, ou lors d'uneventuelle erreur de comptage ou pour rserver des places.

Systme de numration mai 2005 1/3 Exercice ABIDI Hatem

SORTIE

ENTRE

S1 S2

S3 S4

E1 E2

E3 E4

CAT(OT)

Loge

6 4

MARCHE

ARRT

Places utilisables ou places utilises

FEUX

FORAGE

Mise sous ou horstension de l'ensemble

Tmoin de misesous tension

Affichage du nombrede places utilises

Recopie de l'tatdu feu de passage

Fonctionnementnormal ou forageau rouge etfermeture barrire

Bouton poussoirRoues codeuses

OCCUP LIBRE

Affichage du nombrede places libres


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CONTRLEUR D'ACCS DE PARKING3. Schma fonctionnel

C : Ordre de changement du nombre de voitures prsentes (C = 1)NVP : Nombre de voitures prsentes en DCBEv : Entre d'une voiture (Ev = 1)Sv : Sortie d'une voiture (Sv = 1)BP : Bouton poussoir

Nv1: Nombre de voitures prsentes cod en DCBNP : Nombre de places utilisablesINT : Interdiction Issue de l'interrupteur de foragePR1: Place restante dans le parking

Aff : Affichage l'entre du parking du nombre de places restant en dcimalA : Rsultat de la comparaison entre NP et Nv1

si NP > Nv1alors A = 0 si NP = Nv1alors A = 1Visu : Affichage, sur la face avant de la partie commande, du nombre de voitures prsentes dans le parking

en dcimal

4. Travail demand

Question 1Donnerla base des nombres suivants : Roues codeuses, NP, NVP, Nv1, PR1, PR2, Aff et Visu.

Attention : pour la base 2 il faut spcifier si c'est le code binaire naturel, Gray ou DCB.

Question 2

Recopier et complterle tableau ci-dessous dans les cas suivants :cas 1 : Roues codeuses : 70 Nv1: 0011 1001 cas 2 : Roues codeuses : 83 Nv1: 0111 0101cas 3 : Roues codeuses : 53 Nv1: 0101 0011

Roues codeuses

NP

NV1 }Valeur de A

PR1

PR2

AffVisu

Question 3Systme de numration mai 2005 2/3 Exercice ABIDI Hatem

Dtection

FP1Sortie

EvSv Comptage

DcomptageFP2

Nv1 Comparaison

FP3

A Signalisation

FP4

RV

Visualisation

FP6

SlectionInitialisation

FP5

BP

Roues

C

NVP

NP

Priorit

FP7

INT INT

Connexionrseau

FP10

Entre(E1, E2, E3, E4)

(S1, S2, S3, S4)

codeuses

RseauxSoustraction

FP8

Convertir enbinairenaturel FP9

PR1PR2

Visu

Affichage

FP11

Aff


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CONTRLEUR D'ACCS DE PARKINGLe central informatique d'une ville reoit le nombre de places disponibles dans chaque parking :P1 = 21,P2= 341, P3= 43, P4= 33, P5= 120.Ces valeurs sont reues en binaire naturel, convertirP1, P2, P3, P4et P5en binaire naturel.Donnerpar la mthode que vous voulez le nombre total de places de parking libres en binaire naturel.Pour afficher cette valeur il est ncessaire de convertir ce nombre en DCB, fairecette conversion.

Question 4

La capacit totale des parkings de cette ville est de 2000 places.Combien faut-il de bit pour coder ce nombre en binaire naturel ? en DCB ?

Systme de numration mai 2005 3/3 Exercice ABIDI Hatem


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Logique combinatoireExercice 1

Trouver les quation de S1et S2. Puis simplifier les et trouver les nouveaux logigrammes.

Exercice 21) Dterminer l'quation de la sortie S par rapport aux

entres elet e2.2) Identifier l'oprateur logique correspondant.3) Raliser cette mme fonction logique avec des

oprateurs NAND 2 entres.

Exercice 3

On souhaite raliser un additionneur binaire de 2 bits a et b. S est le rsultat de la somme de a et b, et R est la retenue del'addition de a et b.

1) Donner la table de vrit de cette opration sachant que a et b sont les entres, R et S sont les sorties de la table devrit.

2) Proposer un logigramme base de portes NAND ralisant l'addition de 2 bits.

Td combinatoire mai 2005 1/1 Exercices ABIDI Hatem

&

&

&

&&

&

&&

&

&&

&

&&

&

& &

ab c d

S1

S2

S

t

e2

t

e1

t


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Table de KarnaughExercice 1

A partir des tableaux de Karnaugh suivants donner les quations simplifies.

Exercice 2

On donne les expressions suivantes :F1=abcabcabcabcF3=abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdF2=abcabcabcabc F4=abcdabcdabcdabcdabcdabcd

Pour chacune de ces expressions rpondre aux questions suivantes :a) Donner la table de vrit.

b) Simplifier algbriquement l'expression.c) Construire le tableau de Karnaugh et vrifier la simplification prcdente.d) Construire le logigramme correspondant.

Exercice 3

On dfinit la fonction s par le logigramme ci-contre :a) crire l'expression logique de S.

b) Donner la table de vrit de S.c) Simplifier algbriquement S.d) Vrifier la simplification de S grce au tableau de Karnaugh.e) Construire le logigramme simplifi.

Td karnaugh mai 2005 1/2 Exercices ABIDI Hatem

&

&

11

a

b

cS

ab

c

0

1

00

1 11 10

0A1

0 0

0 0 0

0

1

1a

b

c

0

1

00

1 11 10

0A

0 0

1 0 1

0

0

0a

b

c

0

1

00

1 11 10

0A

0 0

0 0 1

1

1

1

ab

c

0

1

00

1 11 10

0A

0 0

1 1 0

0

0

0a

b

c

0

1

00

1 11 10

0A

1 0

1 0 1

1

0

0a

b

c

0

1

00

1 11 10

0A

1 0

0 0 1

1

0

1

bC

d

01

00

1 11 10

0A

1 00 1 1

110

bc

d

01

00

1 11 10

0A

0 00 1 0

110

bc

d

01

00

1 11 10

0A

0 01 1 1

011

0 0

1 0 1

0

0

1 0 1

0 0 0

0

1

1 1 1

0 0 0

0

0

01

0

a

00

1

1

1

0

a

00

1

1

1

0

a

00

1

1


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Table de KarnaughExercice 4

On dfinit l'expression logique V par sa table de vrit :a) crire l'expression logique de V sous forme de polynme.

b) Simplifier algbriquement V.c) Vrifier la simplification de V grce au tableau de Karnaughd) Construire le logigramme de V en utilisant uniquement des oprateurs logiques

NAND deux entres.

e) Construire le logigramme de V en utilisant uniquement des oprateurs logiquesNOR deux entres.

Td karnaugh mai 2005 2/2 Exercices ABIDI Hatem

a b c V

00001

111

00110

011

01010

101

01100

110


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Exercices logique combinatoire Mthode de Karnaugh- V0.1 1/8Lyce Jules Ferry Versailles - LD 2007 - 2008

Exercices de logique combinatoire. Mthode de Karnaugh

EXERCICE 1.:

1.1.Simplifier par Karnaugh

EXERCICE 2.: Problme de commande de feux automobiles :

On dispose, sur une automobile, de 4 commandes indpendantes: Cv pour les veilleuses, Cc pour

les 2 feux de croisement, Cr pour les feux de route et Ca pour les phares anti-brouillard (valeur 1

au travail, 0 au repos).

On note les tats des lumires V pour les veilleuses, C pour les feux de croisement, R pour les

feux de route et A pour les feux antibrouillard (valeur 1 l'allumage, 0 l'extinction).

Les veilleuses n'tant pas comptes comme des phares, il est prcis que :

- 4 phares ne peuvent tre allums simultanment ;

- les feux de croisement ont priorit sur les feux de route et sur les antibrouillard ;

- les antibrouillard ont priorit sur les feux de route et

- les veilleuses peuvent tre allumes seules mais l'allumage des feux de croisement ou des

feux de route ou des antibrouillard entrane obligatoirement l'allumage des veilleuses.

2.1. Donner la table de vrit liant V, C, R, A Cv, Cc, Cr et Ca.

2.2. Simplifier ces fonctions l'aide de tableaux de Karnaugh.

2.3. Dessiner le schma structurel en utilisant 2 couches de portes ET-NON, OU-NON et ET.

On prcisera sur le schma l'quation logique du signal prsent la sortie de chaque porte.

dcbadcbadcbaF ........10 +++=

dcbadcbadcbadcbadcbaF ...............8 ++++=

Cv Cc Cr Ca V C R A

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 01 1 1 1

V 00 01 11 10

00

01

11

10

C 00 01 11 10

00

0111

10

R 00 01 11 10

00

01

11

10

A 00 01 11 10

00

01

11

10


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EXERCICE 3.: Problme de commande dun distributeur de boissons

3 boutons commandent 3 lectrovannes branches 3 cuves contenant des liquides (eau,

cassis, menthe).

Le distributeur permet d'obtenir 3 boissons :

- E : eau

- C : cassis

- M : menthe

Si l'on veut un mlange , on appuie sur 2 boutons simultanment (e et c) ou (e et m) et

on introduit une pice (p).

Tous les autres mlanges sont interdits.

L'eau est gratuite.

Pour toute fausse manuvre ( mlange interdit ou eau seule ) la pice est restitue.

- P: pice restitue

3.1. Exprimer E , C , M e t P e n fonction de e, c, m et p.

e c m p E C M P

0 0 0 00 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

E 00 01 11 10

00

01

11

10

C 00 01 11 10

00

01

11

10

M 00 01 11 10

00

0111

10

P 00 01 11 10

00

01

11

10


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EXERCICE 4.: Contrle de qualit de fabrication de briques

On dispose de 4 critres pour dterminer si une brique est bonne ou non :

- le poids P

-

la longueur L- la largeur l

- la hauteur H

En fonction de ces critres, les briques sont ranges suivant 3 catgories :

A-poids et au moins deux dimensions correctes.

B- seul le poids est incorrect, ou le poids est correct et une dimension est correcte au

maximum.

C- Le poids est incorrect et 2 dimensions sont correctes au maximum.

4.1. Dterminer en fonction des 4 critres qui dfinissent une brique, dans quelle catgorie

vont-elles se ranger.

Remarque :

Un 0 signifie que le critre nest pas bon, un 1 signifie que la cote est bonne.L=0 largeur hors norme, l=1 largeur bonne.

P L l H A B C

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 11 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

00 01 11 10

00

01

11

10

00 01 11 10

00

01

11

10

A

B C

Briques

A

B

C


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EXERCICE 5.: Commande de feux tricolores

Prsentation:

Nous nous proposons de raliser,

l'aide de portes NAND 2, 3 ou 4

entres, le dcodeur d'un montage

lectronique permettant le

fonctionnement des feux tricolores

d'un carrefour routier comportant 2

voies (voie 1 et 2. voir le dessin du

carrefour ci-contre).

Le principe du montage lectronique complet est prsent dans le schma synoptique

ci-dessous :

Schma synoptique

Explication du principe:

- L'horloge dlivre une impulsion toutes les 2 secondes.

-

Cette impulsion est applique lentre d'horloge d'un compteur diviseur par 16.-

Les 4 sorties (a, b, c, d) du compteur dlivrent des signaux logiques conformes aux

chronogrammes qui suivent, et sont appliqus aux entres du dcodeur (voir

chronogrammes).

Travail demand:

5.1. A partir des chronogrammes, remplir les tableaux de KARNAUGH de chaque sortie

du dcodeur en fonction des sorties du compteur.

5.2. En dduire les quations de chaque sortie.

5.3. Transformez les quations pour n'utiliser que les portes demandes dans la

prsentation. (Remarque : on pourra utiliser le fait qu'entre V1, 01 et R1 il n'y atoujours qu'une seule lampe d'allume. Idem pour V2, 02 et R2).

HorlogeCompteur

diviseur

Dcodeur

Commande depuissance desfeux tricolores

V1, O1, R1 et

V2, O2, R2

Alimentation

4 6


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Chronogrammes:

Remarque : On prsentera les tableaux de KARNAUGH de la faon suivante: (variables a et

b en haut, c et d sur le cot, dans le sens spcifi dans le tableau ci dessous. Ce sens est

prfrable pour reprsenter le codage binaire des nombres en sortie d'un compteur. "d" tant

le poids fort, "a" tant le poids faible).

badc 00 01 11 10

00

01

11

10

0

c

1

t

0

a

1

t

0

d

1

t

0

b

1

t

t

Feux 2

t (s)

V1 R1

R2

O1

V2 O2 R2

V1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


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EXERCICE 6.: Vote au directoire

Le comit directeur dune entreprise est constitu de quatre membres :

-

le directeur

- ses trois adjoints A, B, C.

Lors des runions, les dcisions sont prises la majorit.

Chaque personne dispose dun interrupteur pour voter sur lequel elle appuie en cas daccord

avec le projet soumis au vote.

En cas d galit du nombre de voix, celle du directeur compte double.

On vous demande de raliser un dispositif logique permettant laffichage du rsultat du vote

sur lampe R.

6.1. Donner lquation logique de R

6.2. Raliser le schma logique de la sortie R

D C B A R

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 00 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

00 01 11 10

00

01

1110

R


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EXERCICE 7.: Gestion dun chauffage

Le niveau d'une cuve est contrl par 2 capteurs de

niveau (nb, nh) et 2 capteurs de temprature (th, tb) .

Une vanne permet le remplissage tant que le niveau

haut n'est pas atteint. Une rsistance chauffante

assure le chauffage jusqu la temprature maximale.

Une scurit de fonctionnement interdit le chauffage

si le niveau bas est atteint, de mme le remplissage

est arrt si la temprature minimale est atteinte.

Les capteurs nb, nh sont ltat 1 si le liquide est

prsent devant le capteur.

Les capteurs de temprature th, tb sont ltat 1 si latemprature du liquide est suprieure a th, tb.

7.1. Dcrire le fonctionnement par une table de vrit.

7.2.Dterminer les quations de fonctionnement par la mthode de votre choix.

Les capteurs de niveau sont l'tat logique 1 lorsque l'eau est prsente devant le capteur. Les

capteurs de temprature sont l'tat logique 1 si la temprature est suprieure la

temprature dtecter.

EXERCICE 8.: Exercices sur les conditions indiffrentes

8.1. Donner les quations logiques simplifies

01 1100 10c

00000

X1 0 11

ba

S =

01 1100 10

011000

101

11

10

1 1 X

0X10

0X 1 1

badc

01 1100 10

011000

001

11

10

0 1 1

X1X1

01 X 1

ba

dc

S =

S =


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Exercices logique combinatoire Mthode de Karnaugh- V0.1 8/8L ce J les Ferr Versailles LD 2007 2008

EXERCICE 9.: Problme dindicateur de niveaux de rservoirs

Soient deux rservoirs R1 et R2 dont le niveau pour chacun est contrl par un dtecteur de

niveau haut ( a pour R1, b pour R2 ) et un dtecteur de niveau bas ( c pour R1, d pour R2 ). Oncrira a, b, c, d, lorsqu'il y aura du liquide et /a, /b, /c, /d en l'absence de liquide. On dispose de

trois voyants V1, V2, V3, qui fonctionnent dans les conditions suivantes:

V1 = 1 si les deux rservoirs sont pleins.

V2 = 1 si les deux rservoirs sont vides.

V3 = 1 dans tous les autres cas (rservoir moiti plein ou un plein un vide...).

Un certain nombre de combinaisons sont technologiquement impossibles, les sorties V1, V2,

V3, prendront dans ces cas l une valeur indiffrente (X).

9.1. Etablir la table de vrit de ce systme.

9.2. Dterminer les quations logiques simplifie.

9.3. Raliser le logigramme de V1, V2, V3 avec des portes NAND.

a b c d V1 V2 V3

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 10 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

V1 00 01 11 10

00

01

11

10

V2 00 01 11 1000

01

11

10

V3 00 01 11 10

00

01

11

10

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