TD2 Corrige

- 1 -

TD : Généralités en régime continu et en régime sinusoïdal Exercice 1 : L’adaptation d’impédance en régime continu (**) L’adaptation d’impédance est, malheureusement, un terme utilisé par les électroniciens pour décrire deux fonctions différentes:

- la recherche d’une impédance adaptée pour transmettre un maximum de puissance à une charge

- la recherche d’une impédance adaptée pour transmettre au mieux l’information c’est-à-dire une tension à un étage qui suit.

1) L’adaptation d’impédance et la transmission d’un maximum de puissance:

On va modéliser la sortie d’un amplificateur audio par un modèle de Thévenin et le haut parleur qu’il alimente par une résistance Rhp :

Rth

Vth Rhp

1)a) Donnez l’expression du courant I de cette maille en fonction de Rth, Rhp et Vth. En appliquant la loi des mailles et la loi d’Ohm, on a :

)(

)(

thhp

th

thhpth

RRV

I

IRRV

+=

+=

1)b) Donnez ensuite l’expression de la puissance P absorbée par la résistance Rhp en fonction de Rth, Rhp et Vth. Par définition de la puissance, on a :

2

22

)( thhp

thhphpR RR

VRIRIUP

hp +===

1)c) Donnez alors la condition sur Rhp pour que la fonction P(Rhp) soit maximum c’est-à-dire la valeur de Rhp qui permet un transfert maximum de puissance vers le haut- parleur.(pensez à une étude de fonction et l’utilisation de la dérivée)

La question demande en fait de calculer la valeur de RhP qui annule la dérivée. En admettant que la dérivée seconde soit positive en ce point, cette valeur de Rhp correspondra à une valeur maximale de la puissance consommée par la charge.

I

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- 2 -

+

−=

+

+−+=

+=

+=

2

222

2

22

22

2

2

)(

)()(

)(

)(2)(

)()(

)(

thhp

hpthth

hp

hp

thhp

hpthhpthhpth

thhp

hp

hpth

thhp

thhp

hphp

hp

RR

RRV

dRRdP

RR

RRRRRV

RR

RdR

dVRR

VRdR

ddR

RdP

On voit alors que la dérivée s’annule pour :

hpth

hpth

hpth

RRSoit

RRRR

=

±=

=

:

22

Ainsi pour transmettre un maximum de puissance à une charge purement résistive, il faut que la résistance de la charge soit égale à la résistance de sortie de l’étage d’alimentation.

2) L’adaptation d’impédance et la transmission de l’information: On va modéliser un microphone par un modèle de Thévenin et l’entrée de l’amplificateur audio par une résistance Re:

Rth

ReVth

2)a) Donnez l’expression de la tension Ve à l’entrée de l’amplificateur en fonction en fonction de Re, Rhp et Vth. Il suffit d’appliquer le pont diviseur de tension :

ththe

ee V

RRR

V+

=

2)b) Comment faut-il choisir Re pour que la tension Vth (déjà faible et que l’on veut amplifier) ne soit pas atténuée quand elle va “entrer” dans l’amplificateur. Justifiez

En choisissant Re>>Rth alors ththe

ee VV

RR

V ≈≈ . En choisissant une résistance très grande par

rapport à la résistance de sortie de l’étage précédent, on transmet au mieux le signal pour son traitement.

Ve




- 3 -

Exercice 2 : Point de fonctionnement (*):

A) 1e cas (tiré de l’examen 2006):

On utilise une LED afin d’apprécier la vitesse de rotation d’un moteur dans le circuit suivant :

La caractéristique I(Vd) est donnée ci-dessous :

V(V1)- V(V2)

0V 100mV 200mV 300mV 400mV 500mV 600mV 700mVI(D1)

2.5mA

5.0mA

7.5mA

0.0mA

9.6mA

1) a) A l’aide de la loi des mailles, donnez l’expression de I(Vd) qu’impose le circuit à la diode. D’après la loi des mailles :

8,110.

8,110.5,7 33 −−

−=

−=

+=

VdI

RVdEI

VdRIE

1) b) Déterminez graphiquement le point de fonctionnement de la diode en utilisant la caractéristique de la diode.

Deux points sont nécessaires pour tracer la caractéristique du circuit extérieur à la diode :

)83,3;6,0(83,3)6,0()17,4;0(17,4)0(

mAVmAVImAVmAI

⇒=⇒=

Le point d’intersection des deux caractéristiques (donc le point de fonctionnement) est donné par : (0,64V ;3,80mA)

E = 7.5Vdc D1N4004

R

1,8k

Vd




- 4 -

2) On désire ensuite faire une modélisation de Thévenin de la diode en effectuant une linéarisation par morceaux de la caractéristique de la diode autour de son point de fonctionnement. Dessinez la tangente à la caractéristique de la diode au niveau du point de fonctionnement. Déterminez son équation Vd(I). Dessinez alors le schéma électrique équivalent de la diode et calculez les différents paramètres introduis.

On a donc également le graphe suivant :

Vd 0,640V 0,585V I 3,80mA On en déduit alors une pente de 14,5Ω. Le modèle électrique équivalent est donc : 0,585V I 14,5Ω Vd

B) 2e cas : Réalisation d’un capteur de température

On effectue grâce à Orcad la simulation suivante où l’on trace la caractéristique de la diode 1N4007 pour différentes températures 0°C, 20°C, 40°C, 60°C, 80°C et 100°C.

V_V1

0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V 1.2V-I(V1)

0A

1.0A

2.0A

3.0A

4.0A

5.0A

6.0A

7.0A

8.0A

Zoom




- 5 -

Zoom :

V_V1

0V 0.04V 0.10V 0.16V 0.22V 0.28V 0.34V 0.40V 0.46V 0.52V 0.58V 0.64V 0.70V 0.76V 0.82V 0.88V 0.94VI(D1)

0A

0.5mA

1.0mA

1.5mA

2.0mA

1)a) On insère le diode dans un montage (dessiné ci-dessous) alimenté par un générateur de courant idéal délivrant 1mA. Placez sur le graphe ci-dessus les points de fonctionnement pour les différentes températures

I1

D1

1N4004

1 2

1)b) Repérez les tensions Vd aux bornes de la diode lorsqu’elle est parcourue par un courant de 1 mA, remplir le tableau, tracez V = f (T) et en déduire l’équation de la courbe. Conclusion.

T(°C) 0 20 40 60 80 100

Vd(Volt) 0,63 0,59 0,55 0,51 0,47 0,42 V

100°C 0°C

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 T(°C)

0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,4

Vd=0,63-2,1.10-3T




- 6 -

On propose le circuit suivant pour récupérer la température :

2)a) Donnez l’expression de la tension US1 à la sortie de l’AO1. Quelle fonction est ainsi réalisée ? Il faut prendre l’habitude dans les structures à A.0 d’utiliser Millman :

refSSref

Sref

UVdUR

UR

UR

Vd

RR

RU

RU

RR

RVd

−=⇒+=⇒+

+=

+1

1

1

1111

C’est donc une opération de soustraction qui est réalisée 2)b) Donnez la relation entre Us et US1 ? De même en utilisant Millman

111

1

1

1

1

0011 R

RUU

RU

RU

RR

RU

RU

S

SSS

SS

−=⇒=+⇒=+

+

2)c) Comment devons-nous choisir R1 et Uref pour que US donne une lecture directe de la température sachant que R = 100 kΩ. D’après les deux résultats précédents :

TUTRRUVd

RRU

RRU refrefSS =−−−=−−=−= − )10.1,263,0()( 3

111

1

Si Ω=×=⇒=×= −− 21010.1,2110.1,2;63,0 31

3

1RR

RRVU ref

+

_∞

U

M

S1

R

U

R

ER

E

2

1

URef

R

+

_∞

UT

R

S

R1

(DEL)

AO1

AO2

Vd Us




- 7 -

Exercice 3 : Le pont diviseur de tension et ses limites (*):

1)a) On considère le circuit suivant: I

R1

0

R2E

Après avoir fléché le courant et les tensions des différents dipôles, donnez l’expression de la tension aux bornes de la résistance R2

En appliquant le pont diviseur de tension : ERR

RVR

21

22 +

=

1)b) On désire vérifier expérimentalement la relation précédente à l’aide d’un oscilloscope modélisable par une résistance Roscilloscope. On obtient alors le circuit suivant :

R1

0

R2 RoscilloscopeE

Donnez alors l’expression de la tension aux bornes de R2 ou Roscilloscope. Sachant que la tension lue sur l’oscilloscope est la tension aux bornes de R2, quelle est la condition sur R2 pour que le diviseur de tension soit vérifié?

22

2

2

12 :;

RRRRRR

RRRavecE

RRR

V

osceq

osc

osceq

eq

eqR

>>⇒→

+=

+=

2)(Question issue de l’examen 2004) On considère le circuit suivant:

VeR5R3R1 R4

R2

Vs

I

Sachant que la résistance R4 et bien plus petite que la résistance R5, redessinez un circuit simplifié par rapport au précédent et donnez ensuite l’expression de Vs en fonction de Ve, R2, R3 et R4.

ERRRRR

RRV

E

RRRRRRR

RRV

R

R

42421

422

42

421

42

422

)(

1

++=⇒

+++

=⇒




- 8 -

Exercice 4 : Utilisation du théorème de Millman (**) Les filtres étudiés ici interviennent dans l’étage d’entrée d’un système de réception de télévision.

A) 1e filtre (issu de l’examen de 1984):

R Resistance

IO7 Douille

C5

Condensateur_Polarise

IO1

Douille

GND

R

4,7k IO6 Douille

C4

Condensateur

C

100nF

nC 470nF

C3

Condensateur

IO4

Douille

15V

IO5 Douille

15V

R

4,7k

IO2

Douille

U2

TL081/301/TI

3

2

7

4

6 1

5

+

- V+

V- OUT

N1

N2

-15V

R

4,7k C6

Condensateur_Polarise

-15V

GND

GND

GND

IO3

Douille

1)a) A l’aide de Millman, calculez le potentiel P en utilisant les impédances complexes. En utilisant Millman, on obtient donc :

ωω RjnCsVeV

jnCR

RsV

ReV

ZRRR

ZRRsV

ReV

V

nC

nCP +

+=

+

+=

+++

+++

=331111

00

1)b) Exprimez ensuite le potentiel en P en fonction de la tension de sortie en appliquant Millman sur la borne inverseuse de l’AO. En appliquant Millman sur la borne inverseuse de l’A.O :

C

SP

C

SP

C

SP

C

C

SP

ZV

RVZV

RV

ZV

RV

ZR

ZV

RV

V −=⇒−=⇒=+⇒+

+==− 0

110

1)c) Montrez que la fonction de transfert peut de mettre sous la forme :

2

00

)(21

1)(

ωω

ωω

ωjmj

jT++

−= On donnera les expressions de 0ω et m

En utilisant les deux dernières relations, on a :

Ve Vs

P




- 9 -

( )

( )2222

2222

311

31

)3(3

3

ωω

ωω

ωω

ω

ω

CnjRrjCeVsV

eVCnjRrjCsV

sVeVRjnCVRjCRjnC

sVeVZV

R

RjnCsVeVV

ZV

RV

S

C

S

P

C

SP

++

−=

−=++

+=+−

++

=−

++

=

−=

Par identification, on a alors :

nm

RCn 23;1

0 ==ω

B) 2e filtre (pour les élèves à l’aise):

0

C2

VCC

V15Vdc

00

TXDR U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

P

TXS

R -VCC

V2-5Vdc

VCC

-VCCC3

Donnez l’expression de la fonction de transfert en notation complexe de ce filtre sous la

forme : 2

00

0

21

++

=

ωω

ωω jmj

TTXDTXS On donnera l’expression de 0ω , m et 0T en fonction

des valeurs de composants Là aussi la méthode consiste à appliquer Millman deux fois :




- 10 -

232

223

22

3222

32

223

23

2

3

2

2

3

3

2

2

2

2

211

)122(

)1()2)(1()2)(1()1(

12

)1(

111

2)1(

111

ωω

ωωωω

ωωωωω

ωω

ωω

ω

ωω

CCRjRCjTXDTXS

TXDRjCCCRjRjCRjCTXSRjCTXSTXDRjCRjCTXS

RjCRjCRjCTXSTXDTXS

RjCRjC

RjCTXSTXD

TXS

RjCV

ZR

R

V

TXSV

RjCRjCTXSTXD

RZR

RTXS

ZTXS

RTXD

V

p

C

p

C

CP

++=

=−−+++

++=++++

++=

+

+

++

=

+=

+==

+++

=++

++

=

−

On peut alors en déduire :

1

1

0

2

3

320

=

=

=

TCC

m

CCRω




- 11 -

Exercice 5 : Pont de Wheastone (issu de l’examen de 2009) (**) La résistance de platine est utilisée comme capteur précis en température dans un montage appelé pont de Wheaston. La résistance de platine suit la loi suivante en fonction de la température T appliquée : )1(0 ATRR pt += où 0R et A sont des constantes.

R1

100k

0

A B

RptR2

80

V110Vdc

R3

100k

1) Trouvez la condition d’équilibre du pont en utilisant le théorème de Thévenin. On peut modéliser le dipôle AB par un M.E.T : 1e étape : On isole le brin à modéliser (déjà fait !) 2e étape : On calcule la tension de Thevenin :

13

3

21

1 VRR

RRR

RUUE

ptBAth

+−

+=−=

3e étape : On calcule la résistance de Thévenin en éteignant toutes les sources :

B

Rpt

R3

A

R2

R1

Soit une résistance équivalente :

3

3

21

21

RRRR

RRRRR

pt

ptth +

++

=

4e étape : On a le MET :

Eth

B

Rth

A

Le pont est équilibré lorsque l’on mesure avec un voltmètre une tension nulle entre A et B. Le Voltmètre imposant un courant nul cela revient à

avoir 231

213313

3

21

11

3

3

21

1

:

)()(

RRRRSoit

RRRRRRRR

RRR

RV

RRR

RRR

E

pt

ptptpt

th

=

+=+⇒+

=+

⇒

+−

+=

:




- 12 -

2) On donne Ω= 1000R et 1310.9,3 −− °= CA . Donnez la valeur de la température 0T pour laquelle le pont est équilibré.

Cette condition d’équilibre du pont n’est valable que pour une température notée 0T :

CRR

AT

RATRRRAvec

RRATRRRRTRR pt

°−≈

−=

=+

==+

=

5111

)1(:

)1(

)(

0

20

200

31

23001

2301

3) Si on pose )1(0

00 TTTTTT ∆

+=∆+= avec T∆ traduisant un écart de température par

rapport à 0T . Montrez que TARRR pt ∆+= 02 On a d’après les questions précédentes et les hypothèses du texte:

TARRTARATRTTARATRR pt ∆+=∆++=∆++=+= 02000000 )1())(1()1(

4) Montrez que la tension ABU peut s’écrire :

+

∆= 2

21

011 )( RR

TARRVU AB à l’aide d’un

développement limité sachant que 210 RRTAR +<<∆ . On a montré que :

( ) 1221

01

21

0

21

11

1

21

0

21

11

21

021

11

1021

1

21

11

1

1

21

1

13

3

21

1

11

1)1(:

11

1

11

:

VRR

TARRE

RRTAR

RRVR

E

nxxOr

RRTAR

RRVR

E

RRTARRR

VRE

VTARRR

RRR

RV

RRR

RRR

ESoit

VRR

RRR

RE

th

th

n

th

th

ptth

ptth

+

∆=

+

∆−−

+=

+≈+

+

∆+−

+=

+∆

+−

+=

∆++

−+

=

+−

+=

+−

+=

−

5) En déduire alors que TU AB ∆= −510.9,3 En utilisant les données du texte :

( )TTV

RRTARR

Eth ∆≈∆+

××=+

∆= −

−5

25

35

1221

01 10.9,310)8010(

10.9,310010




- 13 -

6) On désire amplifier cette tension à l’aide d’un amplificateur d’instrumentation dont la structure est donnée ci-dessous. On va considérer les impédances d’entrée des A.O. comme infinies.

6)a) Donnez l’expression de la tension aux bornes de la résistance réglable RG en fonction de ABU puis en fonction de RG et I Les A.O étant linéaires ici, on a :

IRUU GAB =− 6)b) En déduire alors l’expression de V1-V2 en fonction entre autre du courant I Il suffit d’utiliser la loi d’Ohm et des mailles :

IkRVV G )50(21 Ω+=−

6)c) Montrez que BAG

URkVV )501(21Ω+=−

D’après les deux questions précédentes : IRUU GAB =−

)501()50()50(21G

BAG

BAGG R

kUR

UkRIkRVV Ω

+=Ω+=Ω+=−

6)d) Donnez l’expression de la tension de sortie sachant que la tension Ref est nulle. En utilisant le théorème de Millman :

Ω+∆=

Ω+=−=⇒

+

+=

+

−

GGAB R

kTR

kUVVV

RR

RV

RV

RR

RV

50110.9,3501)(1111

5120

012

6)e) Quelle est la valeur à donner à RG pour que la tension de sortie soit de l’ordre de 1V pour T∆ = 51°C ? D’après la question précédente :

Ω≈

−

×=⇒

Ω+∆=

−

−− 1001

5110.9,3110.5050110.9,3

1

535

0 GG

RR

kTV

A

B V1

V2

I




- 14 -

Exercice 6 : Entraînement à l’application des théorèmes (***): On souhaite déterminer la tension U par deux méthodes :

6Vdc

4

5

10

U

4

5Vdc

9Vdc8

1) Déterminez la tension U par en utilisant le théorème de Thévenin On effectue les 4 étapes : 1e étape : On isole le dipôle à modéliser :

8

5Vdc

4

A

10

56Vdc

0

B

V3

9Vdc

2e étape : On détermine la tension de Thévenin :

VE

VU

VUU

th

B

AA

12

33559)9(

1055

9266856

8485

=

−=××

−=−+

=

=××

+=⇒×+

=−

3e étape : On calcule la résistance de Thévenin après avoir éteint toutes les sources :

B

10

5

A

4

8

Ω=

××

+××

=+×

++×

= 635510

2648

510510

4848

thR

4e étape : Le M.E.T :

4

A

Rth

B

Eth

On trouve alors une tension U : VU 8,412

644

=+

=




- 15 -

2) Par le principe de superposition

Il faut faire autant d’étapes qu’il y a de générateurs : Ici 3 étapes : 1e étape :

8

4 4

A

10

56Vdc

0

B

Ce montage peut se simplifier :

8

4 4

A

50/156Vdc

B

Puis en utilisant l’équivalence entre le générateur de tension et de courant:

8

4

A

6/44

50/15

B

4

A

6/432/12

50/15

B

Puis en utilisant l’équivalence entre le générateur de courant et le générateur de tension

(6/4)*(32/12)

4

A32/12

50/15

B

On peut alors trouver le courant traversant la résistance de 4Ω :0,4A En faisant de la même manière pour les deux autres générateurs de tension, on trouve un courant total de 1,2A. Soit une tension U = 4,8V.

3) Par simplification successives du circuit Cette méthode est basée sur l’équivalence générateur de courant/générateur de tension. Donc le circuit simplifié est le suivant :




- 16 -

4

4

A

3

8/3

5

10/3

B

On trouve alors un courant de 1,2A traversant la résistance de 4Ω et donc une tension de 4,8V à ses bornes.

4) Par application de Millman Si on applique Millman en A et B, on trouve :

11185

101

51

41

109

4

5227

41

81

41

485

411

−=⇒

++

−=

+=⇒

++

++=

AB

A

B

BA

B

A

UU

U

U

UU

U

U

On alors un système de 2 équation à 2 inconnues que l’on peut résoudre facilement :

VUVU

VU

A

B

8,48,5

1

===




- 17 -

Exercice 7 : Filtre audio (*) La plupart des amplificateurs audiofréquences (HI-FI, amplificateurs d’instruments électroacoustiques…) à correcteur analogique graves/aiguës utilisent une structure de type Baxandall (dit « filtre papillon »), qui permet d’amplifier ou d’atténuer les fréquences basses et les fréquences hautes du spectre audiofréquence, ainsi que de régler le volume global avec un nombre minimal de composants. Nous n’étudierons ici que la structure de filtrage sous forme d’un correcteur de type Baxandall pour ajuster les fréquences graves. Le schéma du correcteur grave est présenté ci-contre. Les résistances P1_1 et P1-2 représentent un potentiomètre. On utilisera les simplifications suivantes : Valeur totale du Potentiomètre = P ; R1= R2 =R ; C1 = C2 = C A) Pour la position correspondant à x = 0 (curseur du potentiomètre à gauche).

1) Donnez l’expression de la fonction de transfert ( ) ( )wjvv

wjTe

s .. = en fonction de P , R1 ,

C1

Le montage à considérer est donc le suivant :

P

P

Ve

R5

R

C

0

VsR

U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

P1_1

x*100k

-VCC0

V11Vac0Vdc

0

Ve R5

10k

C222n

R1

22k

+VCC

U1A

TL084

3

2

411

1

+

- V+

V-

OUT

R2

22k

Vs

C1

22n

P1_2

(1-x)*100k

VDB




- 18 -

En appliquant Millman en P :

HzPC

fPC

HzRPC

PRfRPC

PROù

j

j

RPR

PjCRPPjCR

vv

PjCPPjCR

PjCPRZAvec

RZ

vv

Zv

Rv

RZR

Zv

Rv

v

e

s

eq

eq

e

s

eq

se

eq

eq

se

P

722

11

4012

:

1

1

)1()1(

1)1(

1:

0

0111

22

11

2

1

5

==⇒=

=+=⇒+=

+

+

+

=+

++−=

+++

=+

+=

−=

=+⇒

=++

+

=

πω

πω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

2) Exprimez littéralement les deux fréquences de coupures et faites l’application numérique.

Cf ci-dessus. On voit clairement que ce système amplifie de R

PR + en basses fréquences

B) Pour la position correspondant à x = 0,5 (curseur du potentiomètre au milieu).

1) Donnez l’expression de la fonction de transfert en utilisant les symétries du problème Par raison de symétrie, la fonction de transfert vaut -1

C) Pour la position correspondant à x = 1 (curseur du potentiomètre à droite). Donnez l’expression de la fonction de transfert ( ) ( )wj

vv

wjTe

s .. = en fonction de P , R1 , C1.

Il s’agit d’un problème analogue à la partie A :

P

P

R5

CVs

0

R

U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

VeR




- 19 -

HzPC

fPC

HzRPC

PRfRPC

PROù

j

j

PRR

vv

PjCPPjCR

PjCPRZAvec

ZR

vv

Zv

Rv

RZR

Zv

Rv

v

e

s

eq

eqe

s

eq

es

eq

eq

es

P

722

11

4012

:

1

1

1)1(

1:

0

0111

22

11

1

2

5

==⇒=

=+

=⇒+

=

+

+

+−=

+++

=+

+=

−=

=+⇒

=++

+

=

πω

πω

ωω

ωω

ωω

ω

1) Donnez la fréquence de coupure.

Cf ci-dessus. On a ici une atténuation des basses fréquences ! 2) A l’aide du diagramme de simulation ci-dessous repérez les positions « a » « b » et « c »

du potentiomètre.

Frequency

1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHzVDB(VS)

-20

-10

0

10

20

x=1

x=0

x=0,5




- 20 -

Exercice 8 : Analyse d’un spectre (**) Le spectre moyen en sortie d’un oscillateur 280 Hz est le suivant lorsqu’il est observé sur analyseur de spectre de résistance 50 Ω en entrée:

1)a) Rappelez l’expression de la puissance consommée par une résistance R en fonction de la tension efficace à ses bornes On a, par définition :

RU

Rtup

RtutRitp

titutp

eff22

22

)(

)()()(

)()()(

==

==

=

1)b) Calculez les valeurs efficaces du fondamentale et des trois harmoniques les plus importantes. Il faut utiliser la relation suivante car les amplitudes )(dBmA données sur le graphe sont en dBm :

310

)(

10)(

32

10)(

3

2

3

2

3

2

3

10

1010

1010

10)()

10(

)10

(10)10

(10)(

−

−

−

−

−−

=

=

=

=

==

dBmA

eff

dBmA

eff

dBmAeff

eff

eff

RU

RU

R

U

dBmAR

ULog

R

ULogpLogdBmA

G(dBm) Ueff -5 126mV

-55 398µV -45 1,26mV -57 316µV




- 21 -

2)a) Donnez l’expression du taux de distorsion On définit le taux de distorsion par :

1002

1

2

2

% ×=∑

∞

=

eff

ieffi

U

UD

2)b) Calculez le taux de distorsion de cet oscillateur On a ici :

%1100)10.126(

))10.316()10.26,1()10.398((23

262326

% ≈×++

=−

−−−

D




- 22 -

Exercice 9 : Spectre d’un signal PWM (**): On considère un signal PWM de rapport cycliqueα , d’amplitude E et de période T

1)a) Retrouvez les instants 2Tα et T sur le graphe ci-dessous

s(t) t

2Tα

− 0 2Tα T

1)b) Calculez la valeur moyenne de ce signal. On calcule rapidement : Eα 1)c) Quelle est la parité de ce signal ? Ce signal est paire car s(t)=s(-t) : bn = 0 1d) Donnez l’expression des différents coefficients de Fourrier de ce signal

On a donc une somme de cosinus qui définissent ce signal périodique :

)(sin2)sin(2)sin(2)2

sin(4

)sin(4)cos(4)cos(4)cos()(4 2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

πααπαπα

απα

πωα

ω

ωω

ωωωααα

ncEnnEn

nETn

nTEa

ntn

TEdttn

TEdttnE

Tdttnts

Ta

n

TTTT

n

===

=

==== ∫∫∫

2) L’allure de son spectre est donnée ci-dessous. Repérez l’harmonique 32 et en déduire

la fréquence du fondamental

L’harmonique 32 est à 36 MHz




- 23 -

3) En utilisant le spectre précédent et l’harmonique de rang 8, calculez la valeur du rapport cyclique

L’harmonique de rang 8 est d’amplitude nulle. Il donc faut trouver la valeur du rapport cyclique qui annule le sinus cardinal soit :

818 =⇒= αππα




- 24 -

Exercice 10 : Encombrement spectral (examen 2008) (*)

Pour le signal trapézoïdal VC 063,07 =

La fréquence de 4200 Hz correspond à l’harmonique n = 7 donc VC 45,07 =

9

5400Hz

5

3000Hz




- 25 -

Exercice 11 : Séries de Fourier et transformées de Fourier (**)

A) Séries de Fourier :

1) Enoncer le théorème sur les séries de Fourier Tout signal périodique est décomposable en une somme de sinusoïdes. Son spectre est alors un spectre de raies dit discret. 2) On désire calculer la série de Fourier du signal suivant :

a) La fonction est-elle paire ou impaire La fonction est paire car s(t) = s(-t) b) On choisit une amplitude maximum de V2± , calculez les différents

coefficients de Fourier ainsi que la valeur moyenne. La valeur est nulle et les coefficients de Fourier se ramènent aux calculs des an :

=

−=

+−=

−

=

−== ∫∫∫

)2

sin(4

)sin()2

sin(22

)4

sin()2

sin()4

sin(4)sin()sin(4

)cos()cos(4)cos()(4

2/

4/

4/

0

4/

2/

4/

0

2/

0

ππ

πππ

ωωωωω

ωωω

ωωω

nn

Ea

nnn

Ea

TnTnTnTn

En

tnn

tnTEa

dttnEdttnET

dttntsT

a

n

n

T

T

T

n

T

T

TT

n

a1/a1 a2/a1 a3/a1 a4/a1 a5/a1 a6/a1 a7/a1 a9/a1 1 0 1/3 0 -1/5 0 -1/7 1/9

c) Dessinez alors le spectre du signal obtenu en se limitant aux

harmoniques supérieurs à 10% du fondamental. (le signal carré sera d’amplitude E unité et de fréquence 1kHz)

t

s(t)

E




- 26 -

Frequency

0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)

0V

0.5V

1.0V

1.5V

d) On rajoute un offset de 1V au signal précédent. Donnez alors le

spectre de ce nouveau signal. Le spectre est le même, cependant on a rajouté une composant continu de 1V :

Frequency

0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)

0V

0.5V

1.0V

1.5V

3) Nous considérons dans tous les cas vus en cours des systèmes dits linaires c’est-à-dire qui ne font pas apparaître de nouvelles harmoniques. Cependant dans la réalité le traitement d’une simple sinusoïde par un transistor déforme quand même cette dernière. On obtient alors une sinusoïde déformée :




- 27 -

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60ms 70ms 80ms 90ms 100msV(Vs)- V(Ve)

-1.0V

-0.5V

0V

0.5V

1.0V

Le fait d’avoir changer l’allure du signal revient à avoir enrichi son spectre. Une analyse FFT donne :

Frequency

0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 200Hz 250Hz 300Hz 350Hz 400Hz 450Hz 500HzV(Vs)- V(Ve)

0V

0.5V

1.0V

Calculez le taux de distorsion harmonique en se limitant aux fréquences inférieures ou égales à l’harmonique de rang 3.

En utilisant la définition du taux de distorsion :

%16

28,0

205,0

212,0

2

22

% ≈

+

=D

B) Les transformées de Fourier

On cherche actuellement à augmenter le débit de données numériques afin de transmettre un maximum d’informations en un minimum de temps. Nous allons étudier ici l’encombrement spectral des signaux numériques en raisonnant sur un simple pulse à l’aide de la transformée de Fourier

1) Tracez la fonction )(ωS associée à la fonction s(t) suivante :

t

1

s(t)

a/2 -a/2




- 28 -

Il s’agit ici d’un signal qui n’est pas périodique : il ne faut pas utiliser les séries de Fourier mais la Transformée de Fourier pour obtenir le spectre de ce signal temporelle.

)2

(sin2

)2

sin(22)

2sin(

22)

2exp()

2exp(

21)(

)exp(21)exp(

21)exp()(

21)(

2/

2/

2/

2/

acaaa

aaj

jajajj

S

jtjdttjdttjtsS

a

a

a

a

ωπ

ωωπ

ωωπ

ωωωπ

ω

ωω

πω

πω

πω

===

+−−=

−−=−=−=

−

+

−

∞+

∞− ∫∫

-π 0 π 2a

ω

On voit alors que la fonction est non nulle sur un domaine réduit entre 0 et π . Cela permet à déterminer un encombrement spectral du signal :

af

a12

=∆⇒=∆π

ω

On en retire un résultat général : plus l’impulsion est courte et plus l’encombrement spectral est important. Application : On va considérer un signal vidéo alimentant une télévision et issu d’une antenne de réception. Le mode classique de fonctionnement consiste a avoir un signal vidéo constitué de pulses analogues à celui étudié précédemment dont l’amplitude décrit (dans le cas d’une télévision noir et blanc) une couleur allant du noir au blanc. L’écran d’une télévision a été partagé en 625 lignes contenant chacune 360 points (à un point correspond un pulse). Enfin, pour avoir un confort visuel, on décrit 25 fois l’écran en un seconde.

2) En déduire l’ordre de grandeur de la durée d’un pulse.

Par lecture des données du texte, la durée d’un pulse est donnée par : µs17825360625

1≈

××

3) Donnez alors l’encombrement spectral d’un signal vidéo L’encombrement spectral est donc de : MHzf 6,5=∆ 4) D’après vous combien de chaînes peut-il y avoir avec ce type de télévision analogique.




- 29 -

L’encombrement spectral d’une chaîne et une bande allouée comprise entre 300 MHz et 3 GHz conduit à plus d’une centaine de chaînes.




- 30 -

Exercice 12 : Cellule à retard (*): Un câble coaxial peut être vu en première approximation comme une suite de cellule LC. On alimente l’ensemble à l’aide d’un générateur idéal délivrant une tension )cos()( tUtu ω= .

CC

L L

C

L

CC

L L

1) Par un raisonnement qualitatif montrez qu’un signal ne peut se propager à fréquence trop grande.

En hautes fréquences le condensateur est équivalent à un fil donc toutes les tensions ui sont nulles ! 2) En appliquant Millman sur un nœud An, déterminez une relation de récurrence

entre un-1, un+1 et un. Millman donne :

( ) 02

212

211

2211

11

=−++

+

+=

+

+=

+−

+−

+−

ω

ω

LCuuu

LCjuu

ZZ

Zu

Zu

u

nnn

nn

CL

L

n

L

n

n

3) On montre que la solution de l’équation précédente est: ))1(exp(0ω

ω −= tjUu n

pour des signaux dont la pulsationω est bien inférieure à LC1

0 =ω . Exprimez la

partie réelle de cette solution

On a donc : ))1(cos()Re(0ω

ω −= tUu n

4) Donnez une interprétation physique à la solution trouvée. Prendre le cas où L = 68 mH et C = 22 pF

En fait la constante 0

1ω

est homogène à un temps et définit un retard temporel commun

à toutes les pulsations. Comme toutes les pulsations sont traitées en un même temps

µs2,11

0≈

ωalors le signal ressort du câble non déformé : il s’agit d’un ligne à retard.

Exercice 13 : Adaptation d’impédance en régime sinusoïdal (***) : On considère un générateur d’impédance iii jXRZ += débitant sur une charge d’impédance jXRZ += un courant sinusoïdal d’amplitude maximum mi . On note

me l’amplitude de la tension en sortie du générateur.

A1 A2 A3 A5 A5 u1 u2 u3 u4 u5




- 31 -

1)a) Rappelez la définition de la puissance moyenne consommé par un dipôle en introduisant le facteur de puissance ϕcos

D’après le cours : φφ cos2

cos2

mmZ

mm IUIUp ==

1)b) Exprimez ϕcos en fonction de R et Z D’après le cours : φcosZR = 1)c) Exprimez la puissance moyenne en fonction de R et mi

Toujours d’après le cours : 2

21

mRIp =

1)d) En déduire l’expression de la puissance moyenne perçue par le composant d’impédance Z en fonction des données du texte. On a ici :

22

2

22

)()(21

)()(

)())(

ii

ii

mi

XXRRERp

XXRR

EIZZteti

+++=

+++=⇒

+

2) En déduire alors une condition reliant les deux impédances pour avoir un transfert maximum d’énergie.

On retrouve un énoncé proche du premier exercice. La différence c’est que la fonction puissance dépendant de deux paramètres : ),( XRp . Il faut donc calculer :

*:

0

0

i

iX

iR

ZZSoit

RRRp

XXXp

=

=⇒=

∂∂

−=⇒=

∂∂

Zi

E Z




- 32 -

Exercice 14 : Principe d’un RLC mètre (*): Un RLC mètre est un système qui permet la mesure de résistance, d’inductance et de capacité ; On se propose d’en étudier le principe en se ramenant au montage ci-dessous. L’objectif de cet exercice est de déterminer la valeur de l’inductance L et de la résistance interne r d’une bobine.

VR2

R4

100

0

GBF

4Vac

C2R3

1k

L,r

1) Rappelez la condition d’équilibre du pont.

On a vu dans l’exercice 5 qu’un pont entraînait la relation suivante :

)')2//2(43 rLCRRR ZZZZ +=

2) Démontrez alors que cette condition conduit à : )(1342

2

ωω jLrRRjCR

+=

+

En utilisant les impédances associées :

))(1

(22

243

)')2//2(43

ωω

jLrjCRR

RR

ZZZZ rLCRRR

++

=

= +

Soit : )(1342

2

ωω jLrRRjCR

+=

+

3) En déduire alors que : )(100)(;)(

100)( 22

µFCmHLkR

r =Ω

=Ω

Il suffit de faire attention aux changements d’unités et de se rappeler que deux nombres complexes sont égaux s’ils ont même partie réelle et imaginaire :

LRRC

rR

RR

=

=

432

2

34

Soit )(100)(;)(

100)( 22

µFCmHLkR

r =Ω

=Ω

4) Proposez alors un protocole pour déterminer r et L. Il suffit à l’aide d’une résistance variable et d’un condensateur variable d’ajuster le pont pour qu’il soit équilibré, c’est-à-dire avoir une tension nulle sur le voltmètre. Dans ces conditions

)(100)(;)(

100)( 22

µFCmHLkR

r =Ω

=Ω sont vérifiées et la lecture des valeurs donnent r et L




- 33 -

Exercice 15 : Problème rencontré par EDF- restriction pour les entreprises (*) L’installation électrique d’un particulier peut souvent être modélisé par une résistance R en série avec une inductance L (ces composants modélisant les différents moteurs utilisés dans une maison : sèche linge, lave linge, lave vaisselle…) Cette installation électrique est alimentée par EDF (qui sera modélisée par une source idéal e(t) en série avec une résistance r) :

installation alimentation

R=40ohm

L=0,25H e(t)

r=5ohm

1) A vide, la tension délivrée par l’alimentation a une fréquence de f=50Hz et une valeur

efficace de 220V. Donnez l’amplitude E et la pulsation ω de la force électromotrice. Par définition :

sradfVE

/31423112220

==≈=

πω

2) Calculez les valeurs efficaces de l’intensité et de la tension de l’installation. Calculez le déphasage ϕ entre la tension et l’intensité puis la puissance moyenne <pI> reçue par l’installation.

Soit Z l’impédance équivalente

série : ALRr

ILRrZjLRrZ eff 43,2)()(

220)()(22

22 =++

=⇒++=⇒++=ω

ωω

On peut alors déterminer la valeur efficace Ueff de la tension aux bornes de l’installation : VILRU effeff 214)( 22 =+= ω

On peut alors calculer la puissance moyenne reçue : WRIp effI 2362 =>=<

A noter que le déphasage entre le courant et la tension aux bornes de l’installation est

donné par : °=⇒+

= 63)(

cos22

ϕω

ϕLR

R

3) Calculez la puissance moyenne <pr> dissipée par la résistance interne de

l’alimentation. Calculez et interprétez le taux τ défini par :><+><

><=Ir

r

pppτ

En utilisant la formule de la puissance moyenne consommée par un dipôle : WrIp effI 6,292 =>=<

On en déduit le taux de perte : %11≈><+><

><=

Ir

r

ppp

τ




- 34 -

4) On souhaite ramener le déphasage de l’installation à zéro. Pour cela, on lui associe en parallèle un condensateur de capacité C :

installationalimentation

R

Le(t)

r

C

a) Déterminez la valeur à donner à C Il faut donc calculer la valeur à donner à C pour que l’impédance de l’installation soit purement réelle. L’impédance équivalente Z est égale à :

222

23222

222

22232

222

2

2

)()1()(

)()1()(

)()1()1)((

)1()(

1)()(

1)(

1)(

ωω

ωωωωω

ωω

ωωωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ω

ωω

ωω

RCLCCRCLLjRLCRLCR

RCLCRLCjCRRLCCjLRjLZ

RCLCRjCLCRjL

RjCLCRjL

jCRjLRjL

jCRjL

jCRjL

Z

+−

−−++−=

+−

+−−−+=

+−

−−+=

++−

+=

+++

=++

+=

La partie imaginaire s’annule si :

222

232 0

ω

ωωω

LRLC

CRCLL

+=

=−−

b) Quelle est alors la valeur de l’impédance ZE équivalente de l’installation ? L’impédance est alors purement résistive et est donnée par :

Ω=+−

== 194)()1( 222 ωω RCLC

RZZ E

c) Exprimez la puissance moyenne <pI> reçue par l’installation en fonction de e, ZE et r. Calculez sa valeur numérique.

D’après la définition de la puissance moyenne consommée par un dipôle :

WrZ

ZIZpE

EeffEI 2572202

2 =

+

=>=<

d) Calculez la puissance moyenne <pr> dissipée dans la résistance interne de l’alimentation. Que vaut alors le taux τ

D’après la définition de la puissance moyenne consommée par un dipôle :

WrZ

rrIpE

effI 2572202

2 =

+

=>=<

5) Les installations électriques industrielles ont l’obligation de présenter un facteur de puissance supérieur à 0,90. Expliquer.




- 35 -

Pour une puissance moyenne p de consommation et une résistivité R donnée du matériel

alors :ϕ

ϕcos2cos

22

2

RpI

RIp m

m =⇒= . Donc pour limiter la consommation de courant, EDF exige

que le facteur de puissance ϕcos soit le plus proche de 1.




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