TD_MP-2

5/17/2018 TD_MP-2 - slidepdf.com

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Université de Nice Sophia-Antipolis Licence de Physique : MP1

Thermodynamique I : Exercices

Par David Wilkowski

Dernière modification : 04/01/07



TD1 : Un peu de mathématiques pour beaucoup de physique

Exercice 1.1 : Dérivées et intégrales1. Calculer les dérivées premières et secondes des fonctions suivante : exp x, ln x, xn avec n entier.2. On a f (x) = ln x et x(u) = 1/u. Calculer f (u).3. Calculer les intégrales suivantes

x1

1/tdt, 10

1/tdt, xO

exp tdt, x1

tdu avec t(u) = u2.

Exercice 1.2 : Graphe d’une fonction concaveOn considère la fonction suivante

S tot = C 1 ln (U 1) + C 2 ln (U tot − U 1)

où U tot, C 1, C 2 sont des constantes positives.1. Construire le tableau de variation de S tot(U 1) et de dS tot/dU 1. En déduire que la fonction S tot(U 1) est concave et

admet un maximum pour la valeur U ∗1 telle que :

U ∗1C 1

=U tot − U ∗1

C 2

2. Dessiner l’allure de la fonction S tot(U 1).

Exercice 1.3 : Différentielle

On considère la fonction suivante :

S (U, V ) = R ln (V − b) + f (U +a

V )

où f (x) est une fonction quelconque dérivable, et a et b sont deux constantes. Montrer que pour U 0 et V 0 donnés, on peutécrire pour des petites variations dU et dV :

S (U 0 + dU, V 0 + dV )− S (U 0, V 0) ≈

R

V 0 − b− a

V 20f (U +

a

V 0)

dV + f (U 0 +

a

V 0)dU

Exercice 1.4 : Différentielle logarithmique

1. On considère la condition suivante : P V γ

= A (A est une constante) qui définit une courbe dans le plan (P,V). Soitdeux points de cette courbe M (P 0, V 0) et N (P 0 + dP, V 0 + dV ) où dP et dV sont de petites variations. Montrer que

dP

P 0+ γ

dV

V 0= 0

2. On considère maintenant la relation P V = RT (R est une constante) qui définit une surface dans l’espace (P ,V ,T ).On considère les deux points de cette surface dont les coordonnées sont respectivement ( P 0,V 0,T 0) et (P 0 + dP ,V 0 +dV ,T 0 + dT ). On donne dP

P 0= 5.10−2 et dV

V 0= 0, 1 . Que vaut dT

T 0?

3. Si on considère que T est une constante et vaut T 0 , la relation précédente définit une courbe dans le plan (P ,V ).Comme dans la question 1., donner la relation qui existe entre dP et dV .

4. On a dessiné sur la figure une portion des courbes définies en 1. et 3.

2

8

2

8

pour γ > 1. Déduire des résultats de ces deux questions à quelle relation correspond chacune des courbes.

Exercice 1.5 : Différentielle totaleSoit une différentielle

dx = C dT + RT dV

V



où C et R sont des constantes1. Montrer que dx n’est pas une différentielle totale.2. On pose ds = g(T )dx, avec g(T ) = T n et n un entier (positif ou négatif). Que vaut n pour que ds soit une

différentielle totale.3. Donner les valeurs des dérivées partielles (∂x/∂T )V et (∂x/∂V )T .4. Calculer s(T, V ).

Exercice 1.6 : Loi de Boltzmann

On considère un système (un gaz par exemple) à la température T constitué d’un nombre gigantesque de particule.La loi de probabilité pour qu’une particule est une énergie E est donnée par :

P (E ) = A exp

− E

kBT

la loi de Boltzmann.1. Sachant que la loi de probabilité est normalisée, calculer la constante A.2. Calculer < E >, la valeur moyenne de E .

Exercice 1.7 : Variables aléatoiresSoit x1 et x2 de variables aléatoires indépendantes, et s = x1 + x2 leur somme.1. Montrer que < s >=< x1 > + < x2 >

2. Montrer que < s2 >=< x21 > + < x22 > si < x1 >=< x2 >= 0

Exercice 1.8 : Rayonnement thermiqueL’énergie moyenne d’un système à la température T a été calculée dans l’exercice 1.6. Par ailleurs la mécanique

quantique permet de relier la fréquence d’un rayonnement électromagnétique (formé d’un grand nombre de photon) àl’énergie d’un photon par la relation d’Einstein :

E = hν

1. En Unité SI , la constante de Planck vaut h = 6, 6.1034, donner la dimension de h.2. Réécrire la relation d’Einstein en faisant intervenir la longueur d’onde λ du rayonnement électromagnétique. Donner

la valeur de c la vitesse de la lumière.3. Donner la longueur d’onde moyenne d’un rayonnement électromagnétique en équilibre avec la surface de la terre.

On prendra T = 273 K . Dans quelle partie du spectre se trouve ce rayonnement.4. Même question à la surface du soleil T = 5000 K .5. Sachant que les gaz à effet de Serre absorbent le rayonnement Infrarouge et sont transparents au rayonnement

visible. Donner un scenario expliquant le réchauffement climatique.

Exercice 1.9 : Grandeurs extensives et intensives1. Selon vous, les grandeurs suivantes sont-elles intensives ou extensives. Justifier votre réponse :

La Température T La Pression P Le Volume V Le nombre de mole nL’énergie interne U L’énergie massive u

L’énergie molaire uLe volume molaire vLa masse volumique ρLa masse molaire M

2. On donne les relations suivantes, relatives à un système homogène en équilibre de 1 mole. Rétablir le nombre n demoles dans ces relations.

P = ρRT

M ;

P +

a

V 2

(V − b) = RT

P = f (V, T ) ; U = f (V, T ) ; V = f (P, T )



TD 2 : Pression, température et cinétique des gaz

Exercice 2.1 : Atmosphère isothermeDans cet exercice nous allons établir la dépendance de la pression P et du nombre de molécules par unité de volume

n∗ dans une atmosphère isotherme, c’est-à-dire à température T constante.1. A partir de l’équilibre des forces de pression et du poids dans une tranche d’atmosphere (voir figure), établir la

relation P (z + dz)− P (z) = −ρgdz où ρ est la masse volumique du fluide. En déduire :

dP

dz= −ρg (1)

2. Pour un gaz parfait, montrer que

P = ρRT

M

puis, en utilisant (1), en déduire que :P (z)

P (0)=

n∗(z)

n∗(0)= exp

−m∗gz

kBT

m∗ étant la masse d’une molécule.3. Pour l’air : M = 29g/mol, T = 300K . A quelle altitude caractéristique le facteur de Boltzmann vaut-il 1/2 ?

z

z+dz

z

4. Jean Perrin a observé en 1908 la même loi pour la densité de petites sphères de gomme de rayon r ≈ 10−7 m et demasse volumique ρ en suspension dans l’eau. Comment peut-on ainsi estimer le nombre d’Avogadro (on tiendra comptede la poussée d’Archimède)?

Exercice 2.2 : colonne d’eauOn veut calculer la pression en fonction de l’altitude z dans une colonne d’eau.

1. Partant de l’expression (1) trouvée dans l’exercice précédent, et tenant compte du fait que l’eau est incompressible(ρ fixé), montrer que P (z) = P A − ρgz (P A =pression atmosphérique).

2. Partant de la situation présentée sur figure, on perce le tube à l’endroit indiqué par la flèche. L’eau sort-elle dutube par le trou ou bien est-ce l’air qui y rentre ?

z

0PA

Exercice 2.3 : pression cinétique et pression moléculaireOn considère un récipient rempli d’eau à la température θ = 25oC , en équilibre avec l’atmosphère à la même tempé-

rature.1. Pourquoi la pression à la surface du liquide est-elle égale à la pression atmosphérique?2. Calculer la pression cinétique de l’eau P H 2O = n∗H 20

kBT . On montrera auparavant que n∗H 2O= ρN A/M H 2O. La

réponse est elle bien compatible avec la question 1 ? Commenter.Données : la masse volumique de l’eau est ρ = 1 kg/l. On donne les masses molaires M O = 16 g/mol, M H = 1 g/mol.

La pression atmosphérique P A vaut P A = 105 P a.

Exercice 2.4 : vitesse de libération et vitesse quadratique moyenneCalculer numériquement à la surface de la Terre et de la Lune, pour une température T = 300 K la vitesse de libération

vL et la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrogène (H 2)et du diazote (N 2). Commenter.On rappelle que l’énergie potentielle d’une particule de masse m dans le champ gravitationnel terrestre vaut E p =

−GMm/r où r est la distance entre le centre de la Terre et la particule et M est la masse de la Terre. On donne :constante de gravitation G = 6, 7.10−11 SI . Rayon de la Terre RT = 6, 4.106 m. Rayon de la Lune RL = 1, 8.106 m. Massede la Terre M T = 6.1024 kg. Masse de la Lune M L = 7, 4.1022 kg. Masses molaires : M H = 1 g/mol ; M N = 14 g/mol.



Exercice∗ 2.5 : vitesses typiquesQuel est le rapport des vitesses typiques des molécules de dioxygène et de diazote à la même température T ?On donne les masses molaires M O = 16 g/mol ; M N = 14 g/mol.

Exercice∗ 2.6 : séparation isotopiqueOn sépare les isotopes 235U et 238U par "effusion" du gaz U F 6 à travers des parois poreuses séparant des régions de

"forte" et "basse" pression. Donner une explication qualitative de ce phénomène.Indication : penser à la vitesse typique des molécules.

Exercice 2.7 : gaz réels, approche microscopiqueEn partant de la formulation standard de l’équation d’état d’un gaz parfait : P V = nRT , montrer qu’elle peut se

reformuler de la manière suivante : P = n∗kBT , où v∗ = 1/n∗ et le volume occupé par une particule.1. Calculer v∗ ainsi que l’énergie thermique E th = kBT dans les conditions normales de pression et de température

(P = 1, 013.105 P a et T = 273̊ K ).2. En déduire la distance typique d entre particule.Dans l’équation du gaz parfait, on ignore les interactions entre les atomes. En réalité le potentiel vue par une paire

d’atome prend la forme suivante :

V

r

V=-C/r 6

6

où r est la distance interatomique. Le potentiel vaut zero lorsque la distance interatomique tend vers l’infinie. Le minimumdu potentiel se trouve à une distance typique correspondant à la taille de l’atome, c’est à dire r(V min) ≈ 1 Å.

Comme les particules sont éloignées les unes des autres, on ne considérera que la partie longue portée du potentiel quien première approximation est de la forme V (r) = −C 6/r6. Le coefficient de Van der Waals vaut C 6 ≈ 500eV Å6

3. Qu’implique le signe négatif du potentiel à longue portée ?4. Calculer la valeur du potentiel V (r) à la distance d. Comparer avec l’énergie thermique E th. Que peut on conclure

sur la validité de l’approximation du gaz parfait pour ces conditions de température et de pression ?

5. Calculer la distance interatomique rth tel que V (ri) = E th. En déduire la pression du gaz lorsque d = rth, latempérature restant à T 0. Peut-on encore utiliser l’équation des gaz parfaits dans ces conditions.note : L’approximation des gaz parfaits n’est plus vérifiée en réalité à des pressions bien moins importantes (voir

exercice suivant).6. Répondre à nouveau à la question 5, mais en conservant maintenant la pression constante ( P = P 0) et en faisant

varier la température.

Exercice 2.8 : verification expérimentale de l’équation d’état des gaz parfaitsDes mesures du volume massique v (en m3/kg) du dioxygéne O2 pour différentes valeurs de la température et de la

pression fournissent les résultats suivants :

T (K )/P (bar) 200K 225K 250K 275K 300K 1, 00000 bar 0,51813 0,58346 0,64871 0,71389 0,77904

20, 00000 bar 0,024395 0,028051 0,031597 0,035073 0,038502La masse molaire du dioxygène est : M = 31, 999g/mol Comparer les résultats expérimentaux avec ceux que l’on ob-tiendrait pour la pression avec l’équation des gaz parfaits (R = 8, 314J/mol/K ). Donner l’écart relatif entre la valeurthéorique et la valeur expérimentale. Discuter des résultats obtenus.



TD 3 : premier principe, énergie, enthalpie

Exercice 3.1 : échauffement d’une goutte d’eauAvec quelle vitesse v une goutte d’eau de masse m devrait-elle arriver au sol pour qu’une fois tombée, sa température

augmente de 1 K ? (On admet qu’une variation d’énergie interne est liée à la variation de température par la relation :U 2 − U 1 = mC massique(T 2 − T 1) où C massique = 4185 J/K/kg.

Exercice 3.2 : approche microscopique du travail de pressionOn considère le modèle d’un gaz d’atomes suivant : les atomes, de masse m∗, de vitesses algébriques ±v (v > 0), dedensité n∗, effectuant des allers-retours entre deux parois limitant un volume cylindrique de section S et de volume V .

1. On a vu dans le cours que la pression vaut P = n∗m∗v2. Montrer que l’énergie interne a pour expression U = P V /2.2. La paroi droite se déplace à la vitesse << v ( > 0). On admet que le rebond des atomes sur les parois est élastique,

c’est à dire que le module de la vitesse dans le référenciel de la paroi ne change pas. Montrer que, dans le référenciel dulaboratoire, la vitesse d’un atome qui avait pour vitesse v avant le choc a une vitesse de −v + 2 après le choc. L’énergiecinétique a t-elle augmenté ou diminué ?

3. Montrer que la variation d’énergie cinétique lors du rebond vaut −2m∗v. En introduisant le nombre d’atomes quiarrivent sur la paroi par unité de temps, retrouver la relation connue ; dU = −P dV .

Exercice∗ 3.3 : démarrage d’une voiture (ou d’un piéton, ou d’un char d’assaut)Une voiture 4X 4 (système considéré) démarre sur une route horizontale.

1. Où les forces exercées sur la voiture s’appliquent-elles ? Pourquoi leur travail est-il nul s’il n’y a pas de dérapage ?2. Quelle est l’origine de l’augmentation de l’énergie cinétique de la voiture (ou du piéton ou du char d’assaut)?

Exercice 3.4 : freinage d’une voitureUne voiture de masse m roule à la vitesse v et s’arrête brutalement à l’aide de ses 4 freins à disque. En assimilant

ceux-ci à des cylindres de rayon R, d’épaisseur e, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique C , calculerla variation de température ∆T si tout l’échange thermique est absorbé par les disques. On donne R = 10 cm, e = 1 cm,C = 400 J/K/kg, m = 700 kg, v = 70 km/h, ρ = 8 g/cm3.

Exercice 3.5 : Diagramme P V et fonctions thermodynamiquesPour une mole de gaz parfait avec des capacités thermiques C V , C P constantes (et positives), on rappelle les relations

P V = RT , U = C V T , H = C P T (U et H sont définies à une constante arbitraire près). On précise que la transformationAB est isotherme et que la transformation BC est adiabatique (cf lexique). D’autre part, on admet (temporairement)

que T C > T B.1. Dessiner dans le diagramme P V l’allure des deux isothermes correspondant aux températures T C et T D.

V

P

AB

C D

2. Pour le cycle ABCDA représenté ci-dessus, remplir le tableau ci-dessous en prévoyant les signes des quantités (+,

-, 0).

∆U ∆H W QA → BB → C C → DD → ACycle

3. Remplir de nouveau le tableau avec des expressions faisant intervenir C V , C P et les coordonnées P , V (ou T ) despoints.

Exercice 3.6 : Chauffage d’un gaz en présence d’une pression extérieure constante

Un piston calorifugé est mobile dans un cylindre calorifugé de section constante S = 500 cm2. Le cylindre contient unemole de gaz parfait diatomique pour lequel l’enthalpie s’exprime : H = 7/2P V . La pression extérieure P ext est constanteest vaut P ext = 105 P a. Au départ, le système est en équilibre à la température T 0 = 300 K .



PextU

I

1. Calculer V 0 le volume du gaz dans l’état initial.2. On fait passer dans la résistance un courant d’intensité I = 2 A sous une tension U = 10 V pendant une durée

∆t = 30 s. On attend ensuite que le système évolue vers son nouvel état d’équilibre. Déterminer le volume final du gaz.A votre avis, la variation d’enthalpie correspond elle à un travail ou un échange thermique.

Exercice 3.7 : détente de Joule-Gay-LussacOn considère un système parfaitement calorifugé, contenant deux enceintes identiques séparés par une vanne. Initia-

lement, le volume de gauche contient une mole de gaz parfait de pression P i et de température T i et celui de droite estvide. On ouvre la vanne et on laisse le système évoluer vers son nouvel état d’équilibre.

1. Calculer la variation d’énergie interne ∆U lors de la transformation. En déduire les pression P f et température T f finales.

2. Reprendre cet exercice en considérant que le gaz n’est plus un gaz parfait, et que son énergie interne peut s’écrirede la manière suivante : U = C V T − a/V + U 0. C V est la capacité à volume constant et a et U 0 sont des constantes.Pourquoi ne peut-on déterminer la pression finale dans ce cas ?

Exercice 3.8 : détente de Joule-Thomson

P1

P1

P2

P2

P P1 2>

On considère la détente d’un gaz à travers une paroi poreuse. Les parois du tube sont calorifugées. Montrer que lavariation d’enthalpie H 2 −H 1 du système hachuré (de volume initial V 1 et de volume final V 2) est nulle. On négligeral’énergie cinétique macroscopique du gaz et on évaluera U 2-U 1. En déduire que la température est constante si le gaz peutêtre considéré comme parfait.

Exercice∗ 3.9 : réflexionLe grand savant Maxwell a écrit : " When one gets to the molécules, the distinction between heat and work disap-

pears, because both are (ultimately molecular) energy. " Cette affirmation vous semble-t-elle exacte, partiellement exacte,trompeuse, fausse?



TD 4 : Energie interne, enthalpie et gaz de photons

Exercice∗ 4.1 : Gaz de photonsSoit un gaz de photons piégé dans une enceinte de volume V vide de particules dont les parois sont parfaitement

réfléchissantes et à température nulle. Les photons ont une vitesse constante égale à c. L’énergie du photon est relié à saquantité de mouvement par la relation de De Broglie E = cp.

1. Pression de radiation

On cherche dans un premier temps à calculer la pression associée au gaz de photons en appliquant la même méthodeque celle développée en cours pour le gaz parfait. Ainsi pour simplifier les calculs on supposera que les photons se propagentuniquement selon une dimension notée z (voir figure).

Soit, n la densité des photons, montrer le nombre dN de photons heurtant l’élément de surface dS pendant un intervalde temps dt vaut

dN =n

2cdS dt

En déduire l’expression de la force−→dF P →A qu’exerce la paroi sur les atomes pendant l’interval de temps dt.

En appliquant le principe d’action-réaction montrer que la pression de radiation vaut :

P = En =U

V

où U est l’énergie interne du gaz de photon.Dans le cas général, c’est à dire d’un gaz tridimensionnel, un calcul exact donne P = U/3V , justifier ce résultat etcomparer-le à celui obtenu pour un gaz parfait.

2. Equation d’étatL’énergie interne volumique d’un gaz de photons est u = aT 4, où a = 7, 6.10−6 Jm−3K −4. En déduire que l’équation

d’état du gaz de photons est :

P =1

3aT 4

T=0

Vide

Miroir

z0

dS

Exercice 4.2 : Gaz parfait et gaz de photonsSoit une enceinte de volume V à la pression atmosphérique P = 105 P a contenant un gaz parfait monoatomique à la

température T .1. Donner l’expression de l’énergie interne U GP en fonction de P et V .On considère que ce gaz est un corps noir en équilibre avec un gaz de photons (à la même température). l’énergie

interne du gaz de photons est donner par l’expression, U CN = aV T 4, où a = 7, 6.10−16 Jm−3K −4.2. Définir la température T a pour laquelle U GP = U CN . Discuter du résultat.

Exercice 4.3 : Relation d’Einstein

Soit une sphère solide de rayon r = 1 cm, à la température initiale T supposée être dans le vide de matière etde photons (T = 0). On suppose aussi que ce solide est un corps noir dont l’énergie interne volumique est u = aT 4

(a = 7, 6.10−16 Jm−3K −4) et la puissance émise par unité de surface est pe = σT 4 (σ = 5, 67.10−8 W.m−2.K −4).1. Montrer que dans ces conditions l’énergie interne U et la température ne peuvent que décroître. Etablir l’équation

différentielle donnant l’évolution de U en fonction du temps t. Sans résoudre l’équation précédente, montrer que le tempscaractéristique de cette décroissance vaut : tc = ar

3σ. Faire l’application numérique.

2. On suppose maintenant que le solide est dans une enceinte dont les parois sont à la température nulle et sontparfaitement réfléchissante. Soit pa la puissance du rayonnement absorbé par le solide. Montrer que : dU

dt= S ( pa − pe)

3. A. Einstein nous enseigne que l’équilibre thermodynamique du solide émetteur avec son rayonnement n’est possibleque si pa = pe. Justifier ce point. Que se passerait-il si pa > pe ou bien pa < pe.

Exercice 4.4 : Capacité thermique d’un gaz parfait

1. En utilisant la définition de la capacité thermique montrer que dU = C V dT lors d’une transformation isochore etque dH = C P dT lors d’une transformation isobare.2. Montrer que pour un gaz parfait on a toujours dU = C V dT et dH = C P dT .3. Etablir la relation entre C V et C P pour le gaz parfait.



4. Donner l’expression de C V pour un gaz monoatomique et diatomique.

Exercice 4.5 : Tableaux de capacités thermiques à pression constante à 298 K Commenter le tableau ci-dessous dans ses grandes lignes. Les valeurs sont données en J/K/mol. On rappelle que

C p −C v = R pour un gaz parfait et que C p et C v sont proches pour des solides.

Métaux Gaz monoatomique Gaz diatomique Autre n-alcanesAg : 25, 53 He : 20, 76 H 2 : 29, 84 H 2O(g) : 33, 48 CH 4 : 35, 57

Al : 24, 27 N e : 20, 76 HCl : 29, 3 H 2O(l) : 75, 33 C 2H 6 : 52, 73Ba : 26, 45 Ar : 20, 72 N 2 : 29 H 2O(s) : 38, 3 C 3H 8 : 72, 82F e : 25, 24 Kr : 20, 67 N O : 29, 88 N O2 : 37, 96 C 4H 10 : 97, 51N a : 28, 21 Xe : 20, 76 O2 : 29, 30 N 2O4 : 77, 42 C 5H 12 : 120, 1P b : 26, 87 Hg (g) : 20, 79 Cl2 : 37, 04 HCN : 77, 84 C 6H 14 : 142, 7

Diamant: 6, 1 C (g) : 20, 93 I 2 : 36, 83 N 2O : 38, 63 C 7H 16 : 165, 3Graphite: 8, 6 CO2 : 38, 50

On donne R = 8, 314 J/K/mol. Pour plus de détails, demander aux chimistes.

Exercice 4.6 : Comparaison de ∆U et ∆H On rappelle que R = 8, 314 J/K/mol.1. Pour la fusion de la glace à 0̊ C sous 1 atmosphère ∆H = 6, 00 kJ/mol. Les volumes molaires de la glace et de l’eau

sont 19, 63 cm3 et 18, 00 cm3. Comparer ∆H et ∆U .2. Pour la vaporisation d’une mole d’eau à 100̊ C sous 1 atmosphère ∆H = 40, 59 kJ/mol. L’eau vapeur étant considérée

comme un gaz parfait, calculer ∆U .3. Pour la réaction : 2H 2(gaz) + O2(gaz) → 2H 2O(gaz), ∆rH = −483, 20 kJ à 298K .3.1. Calculer ∆rU en considérant les gaz comme parfaits.3.2. Connaissant C P (O2) = 29, 3 J/mol/K , C P (H 2) = 28, 8 J/mol/K , C P (H 2O) = 33, 5 J/mol/K et supposant que

ces quantités sont indépendantes de T , décrire la dépendance en température de ∆rH près de 298K .

Exercice∗ 4.7 : Pile à combustibleUne pile à combustible au carbone fonctionne à 298 K selon la réaction bilan C + O2 → CO2 (∆rH = −393, 5 kJ ).

Cette réaction met en jeu 4 électrons.1. Montrer que le travail électrique reçu pour la réaction d’une mole de carbone lorsque la pile débite à pour expression,

W =−

4EN Ae, où e = 1, 6.10−19 C et E > 0 est la force électromotrice de la pile. En négligeant les échanges thermiques,calculer la force électromotrice E de la pile.

2. On observe E = 1, 1 V , commenter le signe des échanges thermiques.

Exercice∗ 4.8 : Loi de HessA 298 K , on donne les enthalpies de formations suivantes : ∆f H (C 2H 4) = 52, 3 kJ , ∆f H (H 2Oliq) = −285, 9 kJ et

∆f H (C 2H 5OH liq) = −277, 7 kJ . Les valeurs données correspondent à C graphite solide, H 2 gaz, O2 gaz.Déterminer ∆rH pour la réaction C 2H 4(gaz) + H 2O(liq) → C 2H 5OH (liq).

Exercice 4.9 : Transition de phaseDes cubes de glace de masse totale mg = 300 g à T 0 = 0̊ C = 273 K sont ajoutés à une masse d’eau mliq = 500,g à

T 20 = 293 K à pression ambiante. L’ensemble est isolé thermiquement. On notera H liq(T ) l’enthalpie massique de l’eauliquide, et H g(T ) l’enthalpie massique de la glace.

1. Donner l’expression de H liq

(T 20) en fonction de H liq

(T 0), C liq p

, T 0 et T 20.2. Ecrire un bilan d’enthalpie au cours de la transformation. En déduire la masse de glace ∆mg qui fond.Données : capacités thermiques de l’eau liquide et de la glace C liq p = 4, 18.103 J/K/kg ; C g p = 2, 1.103 J/K/kg. Chaleur

latente de fusion de la glace : L = 3, 34.105 J/kg.

Exercice 4.10 : Thermodynamique et barycentreOn considère que l’énergie massique d’un matériau (solide ou liquide) dépend de la température suivant la courbe

ci-dessous. L’énergie est une grandeur additive, si bien que l’énergie massique d’un système constitué d’une masse m1 dece matériau à la température T 1 et d’une masse m2 de ce même matériau à la température T 2, ces deux corps n’étant pasen contact, vaut :

utot =m1 u(T 1) + m2 u(T 2)

m1 + m2

1. On considère le point M de l’axe des ordonnées dont l’ordonnée vaut utot pour une valeur donnée du couple (m1,m2).

Montrer que :M M 2

M 1M =

m1

m2



Placer le point M sur le schéma pour des valeurs du rapport :

m1

m2

= 1; 0, 5; 2

T

M

T

M

u ( T )

T

2. On met en contact ces corps, et on attend que leurs températures s’équilibres à T f . Que vaut alors l’énergie massiquedu système. On précise maintenant que la transformation s’est faite à énergie constante. Pour une des valeurs précédentesdu rapport, placer la valeur de T f sur le graphique.

Exercice 4.11∗ : Règle des moments et palier de solidification

Le matériau considéré maintenant est de l’eau. La courbe de u (voir exercice précédent) en fonction de la températureest discontinue. La partie NP correspond à l’état solide, alors que la partie QR correspond à l’état liquide. Comme dansl’exercice précédent, on dispose au départ d’une masse m1 de glace, à la température T 1 < T 0, et d’une masse m2 d’eauliquide à la température T 2 > T 0.

T

M

T

T

M

u ( T )

T

N

P

Q

R

1. Dans cette question, m1 = m2. En suivant le même raisonnement que dans l’exercice précédent, placer le pointreprésentatif M du système au départ. On suppose de nouveau qu’après une transformation à énergie constante, le systèmeatteint une température uniforme. Quelle est-elle (utiliser une résolution graphique) ? Montrer que, dans le cas présentésur le graphe, le système est nécessairement un mélange d’eau liquide et de glace. Quelle est sa composition (résolutiongraphique)?

2. Déterminer graphiquement la condition sur le rapport m1/m2 pour qu’il n’y ait dans l’équilibre final2.a. Que de l’eau liquide.2.b. Que de la glace.



TD 5 : Réversibilité, Irréversibilité et transport

Exercice 5.1 : Marche au hasardSoit R = R1 + R2 + ... + RN , la translation effectuée par une molécule après N chocs. En admettant que les Ri peuvent

avoir toutes les directions possibles et sont de longueur typique l (libre parcours moyen), montrer que < R2 >= L2 estd’ordre L = l

√N .

2. Si vm est la vitesse typique des molécules, montrer qu’au bout d’un intervalle de temps ∆t, L =√

D∆t avec

D = vml. Pour le sucre dans le café (L = 3 cm, D = 0, 5.10−9

m2

/s), estimer ∆t.Exercice 5.2 : Libre parcours moyen

1. Montrer que le libre parcours moyen l d’une particule cible est donné par l = 1/(n∗σ), où n∗ est la densité dumilieu et σ la section efficace de collision entre la particule cible et une particule du milieu (les deux particules pouvantêtre identique ou différente).

2a. Sachant que pour l’air à T 0 = 300 K , P 0 = 1 atm, l est de l’ordre de 10−6 m, donner la valeur de σ2b. A quelle pression, pour T 0 = 300 K , a-t-on l = 1 m ?3. Pour un gaz (presque) parfait, comment le coefficient de diffusion D =

√< v2 >l, dépend-il de T et P ?

4. Quel est l’ordre de grandeur de l pour un liquide comme l’eau? On comparera n* pour l’eau et pour l’air.

Exercice 5.3 : Transformation thermodynamique réversible et irréversible

Soit une mole de gaz parfait de volume V et de pression P contenu dans un cylindre dont une extrémité est ferméepar un piston pouvant coulisser sans fortement. Le cylindre est en contact thermique avec un réservoir de températureconstante T (voir figure).

Initialement le gaz est en équilibre avec l’extérieur. à la température T L’énergie interne du gaz est U = 3/2RT + U 0.

Réservoir

TRéservoir

TRéservoir

TT,P

V T’,P’

V’T,P’’

V’

P

P’

1. Dans une première phase, un opérateur applique une force constante (correspondant à une pression P ) sur lepiston qui comprime le gaz jusqu’à ce que celui-ci occupe un volume V = V /2. On suppose que cette opération se faitsuffisamment rapidement pour négliger les échanges thermiques avec le réservoir (Q = 0). On note P la pression du gazà la fin de cette transformation. Calculer la température T et la pression P à l’issu de cette transformation. En déduirealors que la variation d’énergie interne est :

∆U 1 = W 1 = 3P V

où W 1 est le travail fournit au gaz lors de la transformation.2. On bloque maintenant le piston pour maintenir le volume constant, et on laisse le gaz se thermaliser avec le

réservoir. Quelle est la température finale. Calculer la variation d’énergie interne du gaz ∆U 1 et définir la nature deséchanges énergétiques.

3. On souhaite maintenant revenir au volume initiale V en procédant de la même manière que dans les questions 1 et2. Cela signifie que le gaz est détendu rapidement à la pression extérieur P jusqu’au volume V et il se thermalise ensuite,à volume constant, avec le réservoir. Comme précédemment, calculer ∆U 2 et ∆U 2 correspondant aux deux phases de latransformation en précisant la nature des échanges d’énergie.

4. Pour le cycle complet montrer que ∆U = 0. Pouvions-nous attendre à ce résultat. Montrer aussi que W = −Q =5/2P V .

5. On effectue à nouveau le même cycle mais cette fois en déplacement très lentement le piston afin que l’équilibrethermodynamique du gaz avec le réservoir soit assurée lors de la transformation. Dessiner le cycle sur un diagramme P V .En déduire que ∆U = W = Q = 0.

6. Pourquoi la première méthode est irréversible et la deuxième est réversible ?



Exercice 5.4 : Charge irréversible d’un condensateur

-Q +Q

R

IE

On considère le circuit de la figure. A l’instant t = 0, on branche un générateur de tension E constante. On note Q la

charge du condensateur. Les conditions initiales sont t < 0, e(t) = 0 et Q(0) = 0.1. Montrer que pour t > 0, E = Q/C + RdQ/dt. En déduire à l’aide des conditions initiales que la solution s’écrit :

Q(t) = CE

1− exp

−t

RC

Représenter sur deux graphes la tension e(t) aux bornes du circuit RC ainsi que la charge Q(t).2. Représenter les fonctions e(−t) et Q(−t).3. Les fonctions représentées en 2 correspondent-elles à ce que vous savez de la décharge d’un condensateur chargé en

t = −∞ quand on supprime le générateur à t = 0 ? Conclure quant à la réversibilité du processus.

Exercice 5.5 : Charge réversible d’un condensateurOn considère la charge du condensateur de l’exercice précédent. Elle est décrite par les équations :

E = RI +Q

C et I =

dQ

dt

la tension E étant supposée constante.1. En écrivant E dQ/dt = RI 2 + Q/C (dQ/dt), montrer que quand Q(t) passe de Qi = Q(ti) à Qf = Q(tf ), l’augmen-

tation d’énergie interne de la résistance par effet Joule tfti

RI 2dt vaut :

W if = E (Qf −Qi)−1

2C (Q2

f −Q2i )

2. A t = 0, on suppose Q(0) = 0 et on applique la tension E . On attend la fin de la charge. Montrer que Qf = CE etque W = CE 2/2.

3. On procède en N étapes pour amener la tension de la valeur 0 à la valeur E . A la pieme étape, on applique la tensionE p = pE/N et on suppose que si on attend suffisamment la charge passe de la valeur d’équilibre initiale Qi = CE p−1 àla valeur finale Qf = CE p. Montrer que lors de cette étape

W p =1

2C

E

N

2

Calculer W correspondant à la charge totale. Que devient l’effet Joule total dans la limite N →∞.

Exercice 5.6 : Isolation thermiqueSoit une maison carré de 150 m2 de surface au sol dont la hauteur est de 3 m. On suppose que les pertes thermiques

se situent essentiellement au niveau des murs de la maisons. Ces derniers sont en béton de 10 cm d’épaisseur. Calculerla puissance du chauffage necessaire pour maintenir la température à

20˚

C sachant que la température extérieure est

toujours supérieure à −10̊ C et que la conductivité thermique du béton est de κ = 1W/K/m.



TD 6 : Second Principe et entropie

Exercice 6.1 : Collision de deux corpsOn considère la collision inélastique de deux corps solides identiques de masse m (ensemble isolé) d’énergie interne

U et de vitesse v avant le choc. Calculer l’énergie interne U de chaque corps après le choc. Montrer que le principed’augmentation de l’entropie entraîne que la fonction S (U ) est croissante.

Exercice 6.2 : Entropie et évolution d’un système thermodynamiqueSoit deux systèmes fermés (1) et (2) séparés par une paroi. L’ensemble est indéformable et isolé thermiquement. On

suppose qu’au cours de leur évolution ces deux systèmes restent au voisinage de l’équilibre thermodynamique.1. Donner l’expression de la différentielle d’entropie de l’ensemble des deux systèmes dS T en fonction de dU 1, dV 1, des

deux températures T 1 et T 2 et des deux pressions P 1 et P 2.2. La paroi est fixe mais permet les échanges thermiques. En déduire, du deuxième principe, le sens des échanges

thermiques et la relation entre les températures à l’équilibre.3. La paroi est maintenant mobile et permet les échanges thermiques. En déduire, du deuxième principe, la relation

entre les températures et les pressions à l’équilibre.

Exercice 6.3 : Détente de Joule-ThomsonOn considère la détente de Joule-Thomson d’un gaz à travers un milieu poreux. Le système est isolé thermiquement.

P1

P1

P2

P2

P P1 2>

On rappelle que pour une masse donnée de gaz effectuant la détente U 2 + P 2V 2 = U 1 + P 1V 1. On considère une détenteinfinitésimale : P 2 = P 1 + dP (avec dP < 0).

1. Déduire de l’expression de dU en fonction de dS et dV l’expression de dH en fonction de dS et dP .2. Vérifier que dS > 0.

Exercice 6.4 : Cycle d’un gaz parfait

V

P

AB

C D

Soit le cycle de la figure ci-dessus où la transformation AB est isotherme et que la transformation BC est adiabatique.On suppose que pour une mole de gaz parfait S = R ln V + C v ln T + S 0.1. Rétablir le nombre de mole n dans le cas général.2. Déduire de l’expression de S le signe de S C −S B, S D−S C , S A−S D, S B−S A (On n’oubliera pas l’équation d’état).



Exercice 6.5∗ : Entropie et concavité

U1

S (U)1U

U

U’>U

On désire montrer que si les entropies S 1(U 1) et S 2(U 2) de deux corps solides sont des fonctions croissantes concaves(propriété mathématique qui traduit le deuxième principe de la thermodynamique), il en est de même de l’entropie S 1+2(U )du système des deux corps, U étant l’énergie totale du système. On défini la fonction S U (U 1)=S 1(U 1) + S 2(U − U 1), quiest l’entropie du système pour une valeur de U 1 déterminée, U étant fixée.

1. Dessiner l’allure des graphes de S 1(U 1) et de S 2(U −U 1) pour U fixée. Expliquer l’allure des graphes des fonctionsS U (U 1) représentées ci-contre. Montrer que

S U (U 1) =dS U dU 1

(U 1) =1

T 1(U 1)− 1

T 2(U − U 1)

2. Quelle est la condition d’équilibre thermique entre les deux corps. Placer sur le graphe S U (U 1) le point d’équilibre.3. On appelle U ∗1 (U ) la valeur de U 1 pour laquelle il y a équilibre thermique du système des deux corps. On pose

S 1+2(U ) = max(S U (U 1)) = S 1(U ∗1 (U )) + S 2(U − U ∗1 (U )).a. Justifier cette définition de l’entropie du système composé des deux solides.b. En dérivant l’égalité ci-dessus et en faisant attention que U 1∗ est une fonction de U , montrer que

S 1+2(U ) = S 1 (U ∗1 )

dU ∗1dU

2

+ S 2 (U − U ∗1 )

1− dU ∗1

dU

2

(on se rappellera aussi le résultat de la question n̊ 2). En déduire que la fonction S 1+2(U ) est concave. S 1+2(U ) est-ellecroissante?

Exercice 6.6 : Transformation isoentropiqueOn considère un système composé de n moles d’un gaz parfait.1. Montrer que la variation infinitésimal de l’entropie dS peut s’écrire :

dS = C vdT

T + nR

dV

V = C p

dT

T − nR

dP

P

2. Soit une transformation isoentropique c’est à dire en maintenant l’entropie constante. Comment réaliser en pratiquecette transformation ? Montrer alors que

P V γ = C ste

où γ = C p/C v est la constante adiabatique.



TD 7 : Second principe et bilan entropique

Exercice 7.1 : Probabilité et littératureOn imagine que quelqu’un cherche à reproduire un livre de 2000 pages en tapant au hasard des caractères. On considère

qu’il y a 30 caractères dans l’alphabet (c’est un chiffre rond), 100 caractères par ligne et 50 lignes par page. Montrer que laprobabilité pour que ce livre soit reproduit est inférieure à 10−10

7

(on suppose que les caractères sont équiprobables et non-corrélés dans les mots, ce qui est inexact). Montrer qu’elle est infiniment plus grande que la probabilité qu’un millionième

de mole de gaz laisse vide un milliardième du volume qui lui est offert (on rappelle que cette dernière probabilité vautexp(−N ∆V /V ) où N est le nombre de molécules et ∆V /V la fraction de volume laissée vide.

Exercice 7.2 : Echange thermique de deux corpsDeux corps solides de températures initiales T 1 et T 2 et de capacités thermiques C 1 et C 2 constantes effectuent un

échange thermique complet, l’ensemble étant isolé.a. Quelle est la température finale ?b. Dans le cas C 1 = C 2, montrer que l’entropie finale est supérieure à l’entropie initiale.c. Dans le cas général, comment montreriez vous que :

(C 1 + C 2) ln

C 1T 1 + C 2T 2

C 1 + C 2

> C 1 ln (T 1) + C 2 ln (T 2)

Suggestion : dessiner la courbe ln (T ) et représenter les points d’abscisses T 1, T 2, T f .

Exercice∗ 7.3 : Déséquilibre de pressionUn gaz dans une enceinte calorifugée est comprimé de la pression P à la pression P + dP par un piston sans masse

sur lequel s’exerce la pression constante P ext > P . Le volume de gaz passe de V à V + dV .

P+dP

V+dVP,VPext>P

1. Calculer la variation d’énergie du gaz.

2. Montrer que dS = (P −P ext)dV/T . Que signifie la condition dS > 0 ? Quel résultat physique bien connu implique-t-elle?

Exercice 7.4 : Compression adiabatique irréversible et réversibleOn considère un volume contenant n moles de gaz parfait à la pression P 0 et à la température T 0. A une de ses

extrémités, l’enceinte est fermée par un piston de masse négligeable et pouvant coulisser sans frottement, l’ensemble étantthermiquement isolé.

1. On ajoute sur le piston un poids mg et on laisse l’équilibre se faire. On suppose la capacité thermique C v du gazconstante. On pose P = P 0 + mg/S (S section du piston).

P,V,T0 0 0 P,V,T

P0

P0

mg

mg

a. Exprimer la variation d’énergie ∆U en fonction de P , V 0, V et en déduire la température finale T.b. Montrer que ∆S = −nR ln (V 0/V ) + C v ln (T /T 0) > 0. On utilisera la propriété 1−1/x < ln (x) < x−1 pour x > 1.2. Que devient ∆S si, pour passer de P 0 à P , on procède en N étapes en ajoutant sur le piston à chaque fois une

masse m/N et attendant l’équilibre associé ? On se contentera d’un raisonnement qualitatif.3. On suppose maintenant, que la variation de la pression est continue et suffisamment lente pour que l’équilibre

thermodynamique soit toujours atteint.

a. Que vaut alors ∆S ?b. Calculer ∆U , V et T . Comparer les résultats obtenus avec ceux de la transformation irréversible.

Exercice 7.5 : Détente de Joule infinitésimale.



T,V T,VVide

Situation1 Situation2

Soit une enceinte de volume V isolée thermiquement et séparée en sa moitié par une cloison indéformable que l’onsuppose infiniment fine. Dans la partie gauche de l’enceinte se trouve une mole de gaz parfait à la température T , tandis

que la partie droite est vide (voir situation 1 sur la figure).1. Par un mécanisme non décrit, on brise la cloison et on laisse le système évoluer vers son nouvel état d’équilibre.a. Calculer ∆U , ∆S ainsi que la température finale.b. Montrer que ∆S > 0, qu’en conclure sur le caractère irréversible ou réversible de cette détente.On voudrait maintenant essayer de rendre la détente réversible en procédant par étape. Dans ce but on place un

nombre N de cloisons dans la partie droite (celle qui est vide) de l’enceinte (voir situation 2 sur la figure) régulièrementespacées.

2. On brise alors la première cloison, on attend que l’équilibre thermodynamique soit atteint, puis on brise la secondeet ainsi de suite...

a. Montrer alors par le calcul que cette manière de faire conduit en fait au même résultat que la situation 1.b. Comment expliquer ce résultat et notamment qu’elle est la différence majeure avec l’exercice précédent ?



TD 8 : Entropie et evolution en présence d’une source

Exercice∗ 8.1 : Compressibilité à température constantesoit χT = (−1/V )(dV /dP )T la compressibilité à température constante d’un corps.1. Calculer χT si le corps est un gaz parfait. Discuter du signe de χT .2. On tient compte maintenant des interactions en considérant le gaz comme un gaz de Van der Waals dont l’équation

d’état vaut : (P + a/V 2)(V − b) = nRT

a. Montrer que la compressibilité n’est pas forcement négative. Les solutions où χT > 0 ne sont pas acceptablephysiquement. A χT = 0 on observe dans le système réel une transition de phase gaz-liquide. Montrer que les solutionspour lesquelles χT = 0 correspondent à P = a(V − 2b)/V 3.

b. Etudier les solutions correspondant à χT = 0 et tracer les isothermes du gaz de Van der Waals dans un diagrammeP V (voir note de cours).

Exercice 8.2 : Potentiel thermodynamiqueOn considère un système à la température T de volume constant en contact thermique avec une source à la température

T S. L’ensemble est isolé de l’extérieur. Montrer que le second principe conduit à ∆F ∗ ≤ 0 où F ∗ = U − T SS

Exercice 8.3 : Système en présence d’une source 1Un corps de capacité thermique C et de température T est plongé dans un réservoir à la température T 0 (supposée

ne pas changer au cours de l’opération, c’est une source). Pour le réservoir, on admet que : ∆U 0 = T 0∆S 0.1. Calculer la variation ∆(S + S 0) de l’entropie totale et vérifier qu’elle est positive (utiliser ln(x) < (x− 1)).2. Montrer que si T − T 0 = ∆T est petit, ∆S total est d’ordre (∆T )2. On donne ln(1 + x) = x− x2/2 + ... Comment

peut-on amener réversiblement le corps de la température T à la température T 0 ?

Exercice∗ 8.4 : Système en présence d’une source 2Quand un système caractérisé par S (U, V ) évolue en présence d’une source à la pression P S et température T S, le tout

étant isolé, on rappelle que la fonction G∗ = U + P SV

−T SS diminue.

1. Montrer que pour une transformation infinitésimale : dG∗ = (P S − P )dV + (T − T S)dS .2. On suppose que, initialement, P S = P et T = T S − dT et que, à la fin, le système est en équilibre avec la source

P = P S, T = T S. Montrer que dT.dS > 0. Qu’est ce que cela implique pour le signe de C P (on rappellera la relationentre dS et dT à P constante)?

3. Comment pourriez vous montrer que C V et les compressibilités χT , χS sont positives (χT,S = (−1/V )(dV /dP )T,S ).

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TD_MP-2