Temps et thermodynamique quantique

Journee Ludwig Boltzmann

1

Ensemble Canonique

Distribution de Maxwell-Boltzmann,

Ensemble canonique

ϕ(A) = Z−1 tr(A e−β H)

Z = tr(e−β H)

2

La condition KMS

ϕ(x∗x) ≥ 0 ∀x ∈ A , ϕ(1) = 1 .

σt ∈ Aut(A)

Im z = β

Im z = 0F(t) = ϕ(aσt(b))

F(t + iβ) = ϕ(σt(b)a)

0

iβ

Fx,y(t) = ϕ(xσt(y))

Fx,y(t + iβ) = ϕ(σt(y)x), ∀t ∈ R.

3

Tomita (1967)+ T (cf. 7)

Theoreme

Soit M une algebre de von Neumann et ϕ un

etat normal fidele sur M , il existe alors un

unique groupe a un parametre

σϕt ∈ Aut(M)

qui verifie la condition KMS pour β = 1.

4

These (1972)

Theoreme (ac)

1 → Int(M) → Aut(M) → Out(M) → 1,

La classe de σϕt dans Out(M) ne depend pas

du choix de l’etat ϕ.

Donc une algebre de von Neumann M, possede

une evolution canonique

R δ−→ Out(M).

Noncommutativite ⇒ Evolution

5

Cette evolution est-elle reliee au “temps” ?

Rovelli 1992 : Origine thermodynamique du temps

6

1. Nous interpretons le temps comme un groupe

a 1- parametre d’automorphismes de l’algebre

des observables en gravitation.

2. Nous attribuons l’existence et les proprietes

du flot a des causes thermodynamiques.

3. Dans un contexte covariant comme celui

de la relativite generale la notion de temps

n’est plus independante de l’etat du systeme

comme en physique prerelativiste mais depend

explicitement de l’etat dans lequel le systeme

se trouve.

Quelle est l’algebre des observables en GQ? ?

7

Fond infrarouge extragalactique

Notre groupe local de galaxies se deplace aenviron 600 km par seconde par rapport a laradiation relique. Le soleil ne se deplace qu’a370 km par seconde, a cause du mouvementrelatif au groupe local.

8

Frobenius en caracteristique zero

(ac + c. Consani +m. Marcolli)

1. Thermodynamique des espaces

noncommutatifs

2. Categorie des Λ-modules =

categorie abelienne

(Λ = categorie cyclique)

3. Endomotifs

9

Thermodynamique des espaces noncommutatifs

Refroidir T ↓ :

Eβ etats KMSβ extremaux, pour β > 1

ρ : Aoσ R→ S(Eβ × R∗+)⊗ L1

Distiller :

Λ-module D(A, ϕ) donne par le conoyau du

morphisme cyclique composition de ρ avec la

trace Tr : L1 → C

Action duale :

Spectre de l’action de R∗+ sur l’homologie cy-

clique

HC0(D(A, ϕ))

10

Endomotifs

A est une limite inductive d’algebres reduites

commutatives de dimension finie sur K et S est

un semigroupe d’endomorphismes

ρ : A → A

AK = Ao S

Endomorphismes d’une variete algebrique,

Xs = {y ∈ Y : s(y) = ∗}.

Xsr 3 y 7→ r(y) ∈ Xs.

X = lim←−s

Xs

ξsu(ρs(x)) = ξu(x)

Exemple : Le groupe multiplicatif Gm(Q)

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Systeme BC

Presentation explicite µn, n ∈ N et e(r), pour

r ∈ Q/Z, verifiant les relations

– µ∗nµn = 1, pour tout n ∈ N,

– µkµn = µkn, pour tous k, n ∈ N,

– e(0) = 1, e(r)∗ = e(−r), et

e(r)e(s) = e(r + s)

pour tous r, s ∈ Q/Z,– Pour tous n ∈ N et r ∈ Q/Z,

µn e(r)µ∗n =1

n

∑ns=r

e(s).

σt(µn) = nitµn, σt(e(r)) = e(r).

12

Transition de phase avec BSS

L’unique etat KMS au dessus de la temperature

critique est

ϕβ (e(a/b)) = b−β∏

p prime, p|b

(1− pβ−1

1− p−1

),

et les etats KMS extremaux au dessous de la

temperature critique sont donnes par

ϕβ,ρ(e(a/b)) =Tr(πρ(e(a/b))e−βH)

Tr(e−βH)

=1

ζ(β)

∞∑

n=1

n−βρ(ζna/b),

ou πρ est la representation de l’algebre A sur

l’espace de Hilbert H = `2(N) donnee par

πρ(µn)εm = εnm, πρ(e(a/b))εm = ρ(ζma/b)εm,

ou ρ ∈ Z∗ determine un plongement dans C du

corps cyclotomique Qcycl.

13

Interpretation Cohomologique de la realisation

spectrale

Gm(Q), le systeme BC → (A, ϕ) avec action du

groupe de Galois absolu Gal(Q/Q).

Caractere χ de Gal(Q/Q) → projection pχ.

Theoreme

La representation de R∗+ dans

M = HC0(pχ D(A, ϕ))

donne la realisation spectrale des zeros de la

fonction Lχ.

14

15

Formule Explicite = Formule de Trace (ac

+ rm + cc +mm)

TraceH1(h) = h(0)+ h(1)−∑v

∫

K∗v

h(u−1)

|1− u| d∗u

ou∑

v∫K∗

v

h(u−1)|1−u| d∗u est l’intersection

Z(h) •∆

TraceH1(h) = h(0) + h(1)− ∆ •∆ h(1)

−∑v

∫

(K∗v ,eKv)

h(u−1)

|1− u| d∗u

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Extensions non-ramifiees K→ K⊗FqFq

Analogue pour Q de K→ K⊗FqFq

Corps Global K Facteur M

ModK ⊂ R∗+ ModM ⊂ R∗+

K→ K⊗FqFqn M → M oσT Z

K→ K⊗FqFq M → M oσ R

Points C(Fq) Γ ⊂ XQ

17

KMS et la transition de phase electrofaible

Le potentiel effectif a temperature T est le

meme que le potentiel effectif a temperature

nulle dans le produit par un cercle S1 de lon-

gueur β = 1T .

∫dk0 → 2πT

∑

n∈Z,

∫dk0 → 2πT

∑

n∈Z+12

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A une boucle on obtient

V (φc) = V0(φc)+

~2

T∑

n∈Z

∫log(k2+(2πnT )2+V

′′0 (φc))

d3k

(2π)3+O(~2)

et

VT (φc) = VT=0(φc)+

~T4

2π2

∫ ∞0

log

(1− exp[−

√x2 + V

′′0 (φc)/T2 ]

)x2dx

Cela rajoute

− 11

360π2 T4 +

1

24V′′0 (φc)T2 + . . .

pour les bosons et

− 7

180π2 T4 +

1

12V′′0 (φc)T2 + . . .

pour les fermions.

19

Brisure de symetrie spontanee

En fait la transition de phase electrofaible est

un cas particulier de la brisure de symetrie pro-

venant de la geometrie

20

Q-reseaux (ac + mm)

Un Q-reseau dans Rn est un couple (Λ, φ) , ouΛ est un reseau dans Rn, et

φ : Qn/Zn −→ QΛ/Λ

un homomorphisme de groupes abeliens.

Deux Q-reseaux (Λ1, φ1) et (Λ2, φ2) sont com-mensurables si les reseaux le sont (i.e. QΛ1 =QΛ2) et

φ1 ≡ φ2 mod Λ1 + Λ2.

Systeme BC = espace des Q-reseaux de dimen-sion 1 modulo changement d’echelle et com-mensurabilite.

Dimension 2 ⇒ transition double21

Q-Reseaux GQ?

Couples de Q-reseaux Correspondance Spectralecommensurables

Changement d’echelle D 7→ λD

Composition des couples Compositionde Q-reseaux des correspondances

Unites du groupoide Triplets spectraux reels

γ → γ−1 Correspondancecontragrediente

C∗-algebre de groupoide Algebre de Hecke desfonctions de correspondances

Series d’Eisenstein D → Tr(D−n)

Q-reseaux inversibles Triplets spectrauxa dualite de Poincare

Variete de Shimura Espace des modulesd’operateurs D

22

Redshift

Les radiations emises dans l’ultraviolet (1014

cycles par seconde) sont observees dans l’in-

frarouge (1012 cycles par seconde) : facteur

100 ( !)

23

24

References

A. Connes, Une classification des facteurs de type III.Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 6 (1973), 133–252.

A. Connes, M. Marcolli, From physics to number theoryvia noncommutative geometry, Part I : Quantum statis-tical mechanics of Q-lattices, math.NT/0404128.

A. Connes, M. Marcolli, Noncommutative geometry, fromquantum fields to motives (tentative title), book in pre-paration. To appear as a co-publication of the AmericanMathematical Society, Colloquium Publications Series,and Hindustan Book Agency, Texts and Readings in Ma-thematics Series.

A. Connes, C. Consani, M. Marcolli, Noncommutativegeometry and motives : the thermodynamics of endo-motives, math.QA/0512138.

A. Connes and C. Rovelli. von Neumann algebra au-tomorphisms and time-thermodynamics relation in ge-nerally covariant quantum theories. Classical QuantumGravity, 11 (1994) N.12, 2899–2917.

C. Rovelli. Statistical mechanics of gravity and the ther-modynamical origin of time. Classical Quantum Gravity,10 (1993) N.8, 1549–1566.

M. Takesaki, Tomita’s theory of modular Hilbert alge-bras and its applications. Lecture Notes in Math., 28,Springer, 1970.

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