TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2

l’approche de la soustraction à travers des situations problèmes

Animation pédagogique

Mercredi 28 novembre 2012

LA SOUSTRACTION Les trois sens de la soustraction

Il y a 3 manières de concevoir la soustraction.

Le sens « enlever » : j’utilise la soustraction pour calculer le reste d’une quantité d’objets.

Un paquet de bonbons contient 12 bonbons.

Léa en donne 5 à sa soeur.

Christophe avait 52

billes et il en perd 18 pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ?

Ce sens est rapidement compris desélèves et permet d’introduire facilementle signe - .Pour obtenir le résultat, l’élève peutdessiner des images et en barrer oubien, s’il effectue un réel calcul,décompter (12, 11, 10).Il y est d’autant plus invité qu’on trouvedans l’énoncé la présence de motsinducteurs « donne », « perd ».

12 – 5 = 7Il reste 7 bonbons

Ce sens est particulièrement adapté lorsqu’on enlève peu.

Le sens « pour aller à » : j’utilise la soustraction pour calculer un complément ou ce qui manque

Stéphanie avait 34 images. Sa maman lui en donne d’autres. Stéphanie a maintenant 50 images. Combien d’images lui a données sa maman ?

J’ai 25 € pour acheterun jeu vidéo qui coûte42€.Combien me manquet-il ?

Le sens « pour aller à » est bienadapté à la compréhension desproblèmes arithmétiquesnécessitant de chercher ce qu’ona ajouté ou de chercher unepartie connaissant le tout etl’autre partie.Du point de vue du calcul, cesens facilite la recherche durésultat d’une soustraction dans le cas où on enlève beaucoup.

34 pour aller à 50

42 – 25 = 17Il me manque 17 €

Une recherche sur bandenumérique est adaptée.

Le sens « écart » : j’utilise la soustraction pour calculer un écart ou une différence.

Paul et Ingrid comparentleurs tailles.

Paul mesure 164 cm et

Ingrid 152 cm.

Antoine a 13 imageset Lucas a 28 images. Qui a le plusd’images ? Combien en a- t-il enplus ?

Le sens de la différence ouécart intervient dans desproblèmes de comparaison.Rien, dans ce type d’énoncén’invite à la soustraction.On peut transformer leproblème en une situationd’égalisation:Ex : combien faut-il donnerd’images à Antoine pour qu’ilen ait autant que Lucas?

Je peux calculer : 164 – 152 = 12Entre Paul et Ingrid,il y a 12 cm d’écart.

13 pour aller à 28ou28 – 13 = 15

On se rapproche alors de la situation « pour aller à ». 

Références théoriques

BO N°3 19 juin 2008Equipe ERMEL – INRPDominique VALENTIN (Membre de l’Equipe de

Didactique des Mathématiques de l'INRP )Gérard VERGNAUD (Directeur de recherche au

CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique )

Le nombre au cycle 2, SCERENSite TFM (Télé Formation en Mathématiques)

BO N°3 19 juin 2008La résolution de problèmes joue un rôle essentiel

dans l’activité mathématique.Elle est présente dans tous les domaines et

s’exerce à tous les stades des apprentissages.La résolution de problèmes fait l’objet d’un

apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations

Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable.

L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

Equipe de didactique des Mathématiques ERMEL

I - Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances :

Selon G.Vergnaud (Directeur de recherche au CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique : « le savoir se forme à partir de problèmes à résoudre, c’est-à-dire de situations à maîtriser…Les conceptions des élèves sont façonnées par des situations qu’ils ont rencontrées ».

II – traiter conjointement les problèmes additifs et soustractifsLes problèmes additifs et soustractifs relèvent du même domaine conceptuel; il n’y a donc pas lieu de les séparer au niveau des apprentissages.

Les savoirs se construisent en interaction les uns avec les autres, par « ressemblances » et par « différenciation ». (Pour mieux comprendre le signe +, il lui faut un « concurrent » : ils se mettront alors en valeur réciproquement.)

Il ne s’agit pas d’enseigner prématurément la soustraction, mais de proposer aux élèves de résoudre des problèmes « soustractifs » avec leurs moyens propres et de disposer d’une écriture utilisable dans certains contextes où elle s’oppose à l’écriture additive.

III - Les « problèmes pour apprendre » :

Les problèmes qui permettent de construire de

nouvelles connaissances – les « problèmes pour apprendre » - doivent à la fois permettre à l’élève d’utiliser ses connaissances pour comprendre ce qu’il s’agit de trouver mais aussi l’amener à prendre conscience de l’inadéquation ou de l’insuffisance de ces mêmes connaissances.

(Selon D.Valentin : «Un problème est une situation initiale avec un but àatteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions et

d’opérationspour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport

sujet/situation où lasolution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. »)

Ces « problèmes pour apprendre » sont doncentièrement sous la responsabilité de

l’enseignant quiles construit spécifiquement pour chaque

objectif précis(voire pour chaque élève…)

Ce sont souvent des situations de manipulation dont nous nous efforçons de faire de réelles situations d’anticipation.

Développer des compétences pour résoudre des problèmes additifs et soustractifs

PROGRESSION DANS LES APPRENTISSAGES : La progression conduit à se dégager progressivement desmanipulations et à amener l’élève à dépasser le simple

stadede l’action afin de s’engager dans un processus deconceptualisation (il faut donc redéfinir la place duproblème dans une séquence structurée de

Mathématiques)

1 – mettre en œuvre une situation « problème pour apprendre » : - manipulations encadrées (tutelle indispensable) - construction d’une nouvelle notion/connaissance - en début de situation d’apprentissage ou de séance

2 – conduire les élèves à identifier progressivement des catégories de problèmes :

Variété maîtrisée des problèmes proposés : diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de soustraction (traitant simultanément des 3 sens de la soustraction).

Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs :

1 – Recherche de l’état final connaissant la transformation positive et l’état initial.

« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo? »

2 – Recherche de l’état final connaissant la transformation négativenégative et l’état initial.

« Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? »

3 – Recherche de l’état initial connaissant la transformation positive et l’état final.

« Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo? »

4 – Recherche de l’état initial connaissant la transformation négative et l’état final.

« Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait-il de billes? »

5 – Recherche de la transformation positive connaissant l’état initial et l’état final.« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Maintenant Léo a 9 billes.

Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo? » 6 – Recherche de la transformation négative connaissant l’état initial et l’état

final.« Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes.

Combien de billes Léo a-t-il données à Juliette? » 7 – Recherche de la composée de 2 états.« Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?

8 – Recherche d’un état connaissant un second état et la composée des 2 états.

« Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes? » 9 – Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la

comparaison positive.« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 10 – Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la

comparaison négative.« Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 11 – Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la

comparaison positive.« Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 12 – Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la

comparaison négative.« Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 13 – Recherche de la comparaison positive connaissant les 2 états. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a-t-elle de plus que Léo? » 14 – Recherche de la comparaison négative connaissant les 2 états. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a-t-elle de moins que Léo? »

3 – une fois les manipulations suffisantes :

A travers les situations multiples proposées, recenser les diverses procédures personnelles pour aller vers une procédure experte

construction d’une affiche de référence collectant les différentes procédures (allant du schéma, dessin, addition à trous, soustraction)

Proposer des situations de réinvestissement, d’ automatisation, de transfert :

- problèmes d’application (entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle; après la construction d’une connaissance)

- problèmes de réinvestissement (utilisation d’une connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on l’a découverte; pour enrichir le sens d’une connaissance et son champ d’application)

- problèmes complexes ou d’intégration (utilisation conjointe de plusieurs connaissances; après un travail sur diverses connaissances.)

- problèmes ouverts (pour apprendre à chercher indépendamment des apprentissages notionnels. Ce sont souvent des problèmes à solutions multiples ou n’ayant pas de solution, …)

Pratiquer des situations d’évaluation (vérification des acquisitions des connaissances)

En conclusion…L’apprentissage de la technique opératoire ne peut être dissocié de la résolution de problèmes qui donnent du sens aux techniques de calcul.

Il est indispensable d’entretenir les connaissances et de reprendre ces types de problèmes et leur classification régulièrement, tout au long de l’année, dans des contextes variés et différents. C’est un ancrage à long terme qui est visé.

Enfin, cette logique peut être transposée au champ multiplicatif (l’approche de la division, groupement/partage, nouvelle au CE1, se prête particulièrement à cette démarche.