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1 Analyse des contraintes Auteur : Daghboudj Samir

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1

Analyse des contraintes

Auteur : Daghboudj Samir

Page 2: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

2

Introduction

L’analyse des contraintes est une branche très importante de la mécanique des milieux continus,

elle représente une plate forme pour l’étude des structures et leurs comportements vis-à-vis aux

sollicitations imposées ; de ce fait la connaissance et la maitrise des calculs de contraintes est

indispensable et présente une grande importance.

C’est dans ce cadre que vient cette étude que nous avons commencé par un premier chapitre

consacré à des généralités sur tenseurs de contraintes. Dans un second chapitre nous avons

présentés et décrits la représentation géométrique des (cercles de Mohr). Le troisième

chapitre est consacré à des applications et comparaison avec les résultats obtenus par le

logiciel RDM6 . Et en fin nous avons terminé notre travail par une conclusion générale.

Page 3: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

3

Chapitre 1

Tenseurs de contraintes

1. Introduction :

L’étude d’un phénomène quelconque impliquant un mouvement (déformation d’une plaque,

écoulement d’un fluide …) est basé sur la résolution d’équations mathématique, décrivant les lois

physiques qui régissent ce mouvement, ces équations qui expriment généralement une conservation

(de forces, de moments, d’énergie…) sont appelées les équations de conservation.

2. Forces dans le milieu continu :

Considérons un milieu continu, il existe 3 types de forces

Forces intérieures Forces massiques (volumique) extérieures Forces surfaciques

2.1 Forces intérieures :

Ce sont les forces qui s’exercent entre les particules qui forment le milieu, elles sont de même module

et de sens opposé, elles peuvent donc être négligées.

2.2 Forces massiques :

Appelés forces de pesanteur, elles sont proportionnelle à la masse de milieu et s’exercent à travers son

volume.

Ωρ= d.g.Fd v

rr

ρ : masse volumique

gr

: accélération de la pesanteur

dΩ : élément de volume

2.3 Forces surfaciques :

Appelée aussi forces de contact, elles s’exercent grâce au principe de Cauchy qui s’énonce (l’effet du matériau à l’extérieur de (S) sur la matériau à l’intérieur de (S) est équipollent à l’existence d’une

force Fdr

surfacique qui agit sur chaque élément de (S).

Page 4: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

4

dsFd surf.τr

r=

τr : vecteur contrainte

dS : élément de surface

Donc :

∫∫ τ=S

surf ds.Fr

Avec :

dS

Fdlim

0ds

rr

3. Notion de contrainte ;

Définition : un solide est en état de contrainte s’il est soumis à l’action de forces extérieures.

Considérons un domaine (D), délimitant un solide (Ω), qui est en équilibre sous à l’action de plusieurs

forces extérieuresFi . Sous l’action des ses forces le solide est d’un coté en équilibre et de l’autre nous

avons naissance de contraintes à l’intérieur de (Ω).

Soit (π) un plan virtuel qui partage (Ω) en deux parties (figure 1),

Figure 1

Page 5: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

5

Isolant la partie (2).

Figure 2

Appelons Fdr

la résultante des efforts exercés par la partie (1) sur la partie (2) à travers l’élément de

surface (dS) , soit le rapport dS

Fdr

, en passant à la limite quand dS → 0 , on obtient la contrainte sur la

section au point M.

dS

Fdlim)n,M(T

0ds

rrr

=

)n,M(Trr

est la contrainte au point M sur la facette dS , dont l’orientation est définit par la normale

unitaire nr

extérieure à la facette dS.

dS).n,M(TFdrrr

=

Le vecteur contrainte Tr

peut être décomposé en deux composantes :

Figure 3

Projetons Tr

sur la normale nr

et sur le plan perpendiculaire à cette normale, soit alors

Page 6: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

6

TTT tn

rrr+=

Tn

r : Contrainte normale

Tt

r : Contrainte tangentielle (cisaillement)

Notation universelle:

σr n : Contrainte normale

τr t : Contrainte tangentielle (cisaillement)

4. Tenseur de la contrainte :

Concéderons une particule de forme parallélépipédique ( figure 4) de centre M

Figure 4

Page 7: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

7

Soient : T1

r , T2

r , T3

r contraintes associées au facettes de normales e1

r , e2r

, e3r

,chaque vecteur

contrainte peut être décomposé selon les 3 axes ( x,x,x 321rrr ) , d’où les 9 composante des 3 vecteurs

peuvent s’écrire sous la forme :

σσσ

13

12

11

1Tr

σσσ

23

22

21

2Tr

σσσ

33

32

31

3Tr

Effectuant les produits scalaires :

)e,T(cos.e.Te.T 121212rrrrrr =

T)e,T(cos

2

2112

σ=rr

)e,T(cos.T 12221rr=σ

Or : TT 22=

r et 1e1 =r

Alors :

e.T)e,T(cos.T 1212221rrrr ==σ

De même

e.T 2222rr

=σ e.T 3223rr

e.T 1111rr

=σ e.T 2112rr

=σ e.T 3113rr

e.T 1331rr

=σ e.T 2332rr

=σ e.T 31333rr

En en déduit la notation indicielle : e.T jiijrr

i : indice indiquant la normale à la facette

j : indice indiquant la projection de la contrainte

Page 8: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

8

5. Vecteur contrainte sur une facette quelconque :

Considérons une particule tétraédrique, appliquons sur elle la loi fondamentale de la dynamique

γ=∑rr.mFexter

Considérons le bilan des forces agissant sur la particule Forces surfaciques

Forces volumiques Facettes ABC MCA MAB MCB Aires ds ds.n2 ds.n3 ds.n1

Projection xM 1r T1 σ− 21 σ− 31 σ− 11 dv.. 1γρ

Projection xM 2r T2 σ− 22 σ− 32 σ− 12 dv.. 2γρ

Projection xM 3r T3 σ− 23 σ− 33 σ− 13 dv.. 3γρ

Soit Fd 1

r la résultante suivant x1

r de toutes les actions sur la particule alors on peut écrire :

γ= rr

11 .dmFd

)ds.n.ds.n.ds.n.(ds.TFd 33122111111 σ+σ+σ−=r

ds).n.n.n.(ds.TFd 33122111111 σ+σ+σ−=r

D’autre part :

Page 9: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

9

γρ= 11 .dv.dF

Alors :

ds

dv.)n.n.n.(ds.T 13312211111 γρ=σ+σ+σ−

Si la particule est très petite 0ds

dv → alors :

σ+σ+σ=σ+σ+σ=σ+σ+σ=

n.n.n.T

n.n.n.T

n.n.n.T

3332231131

3332221122

3312211111

D’où :

T

T

T

T

3

2

1r

dépend de

n

n

n

n

3

2

1r donc : n.T

rrσ=

σ : application linéaire qui lie Tr

à nr

En notation indicielle :

n.T ijij σ=

σij : les composantes du tenseur de second ordre dit tenseur cartésien de contrainte attaché à M ou

tenseur de Cauchy.

[ ] n.Trr

σ=

Soit en écriture matricielle :

σσσσσσσσσ

=

n

n

n.

T

T

T

3

2

1

332313

322212

312111

1

2

1

La connaissance du tenseur de contrainte σij suffit pour déterminer l’état de contrainte autour d’un

point

Page 10: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

10

6. Symétrie du tenseur des contraintes :

Etudions la rotation d’une particule parallélépipédique de dimensions )dx,dx,dx( 321 , autour de son

centre de masse P

Ecrivons la loi fondamentale de la dynamique en projetons sur l’axe xP 1r ,seules les forces ayant un

moment non nul par rapport a xP 1r sont représentés.

Considérons les efforts :

dx.dx. 3123σ± [force élémentaire sur les deux facettes de normale xP 2r ].

dx.dx. 2132σ± [force élémentaire sur les deux facettes de normale xP 3r ].

Soit M1 le moment résultant de ses forces par rapport à xP 1r on écrit donc :

)2

dx.(dx.dx.)2

dx.(dx.dx.)2

dx.(dx.dx.)2

dx.(dx.dx.M3

21323

21322

31232

31231 σ−σ−σ+σ=

dx.dx.dx).(dx.dx.dx.dx.dx.dx.M 321322332132321231 σ−σ=σ−σ=

Avec :

2dx2

et 2

dx2 représentent les bras des leviers.

Appliquant la loi fondamentale de la dynamique de rotation.

M.IM 1''11 =θ∑ =

Page 11: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

11

Avec :

)dxdx.(dx.dx.dx.12

1)dxdx.(m

12

1I 2

322321

23

221 +ρ=+=

Ce qui donne :

θ+ρ=σ−σ ''1

23

22321 ).dxdx.(dx.dx.dx.

12

1dx. 3dx2.dx1).3223(

θ+ρ=σ−σ ''1

23

22 ).dxdx.(

12

13223

Quand les dimensions de la particule sont très petites et tendent vers zéro on aura :

σ=σ⇒=σ−σ 32233223 0

Il on est de même pour :

σ=σ⇒=σ−σ 21122112 0

σ=σ⇒=σ−σ 31133113 0

Finalement on peut dire que : σ=σ jiij

D’où la symétrie du tenseur de contrainte et la relation n.T ijij σ= devient n.T jijj σ=

Ecriture matricielle :

σσσσσσσσσ

=

n

n

n.

T

T

T

3

2

1

332313

232212

131211

1

2

1

7. Conséquences de la symétrie du tenseur de contrainte:

La réciprocité des contraintes tangentielle : sur deux facettes quelconques orthogonales les contraintes tangentielles sont égales en module.

Page 12: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

12

Les composants σσσ 33,2211 , sont les composantes normales du tenseur de contrainte tandis

que les composantes non diagonales σσσ 13,2312, représentent les contraintes de cisaillement.

8. Contraintes principales et invariants :

La symétrie du tenseur de contrainte entraîne qu’il possède 3 vecteurs propres σσσ 3,21, réelles,

appelés contraintes principales ; en prenants ces 3 vecteurs (directions principales) comme repère le tenseur des contraintes devient diagonal.

Repère quelconque )x,x,x,O( 321rrr repère principal )X,X,X,O( 321

rrr

[ ]

σσσσσσσσσ

=σ332313

232212

131211

ij [ ]

σσ

σ=σ

3

2

1

00

00

00

8. Intérêt des contraintes principales :

La connaissance des contraintes principales est d’une grande importante et concerne essentiellement le calcul des structures en RDM, un exemple important est celui du critère d’apparition de la rupture

),,(Maxr 321 σσσ=σ

Où :

σσσ 321 ,, : contraintes principales

σr : contrainte de rupture

Page 13: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

13

9. Interprétation physique :

On peut trouver une particule contenant le point (P) et orienté de telle façon que ces facettes ne seront soumise qu’a des contraintes normales (contraintes principales) à l’exclusion de toute les contraintes tangentielles.

10. Recherche des éléments principaux :

Les contraintes principales s’obtiennent par résolution de l’équation caractéristique à partir du repère initial quelconque )x,x,x,O( 321

rrr .

Equation caractéristique

0].[det ijij =δλ−σ

Soit :

0det)(P

332313

232212

131211

=

σσσσσσσσσ

λ−

λ−

λ−

0]).(.[.].).([.])()).(([)()(P 22132312132313331212223332211 =λσσ−σσσ+σσ−λσσσ−σ−λσλσλσ=λ −−−−−

Soit après arrangement :

0)......2..().()...().()(P

21223

21322

22311231312332211

213

223

212331133222211

2332211

3

=σσ−σσ−σσ−σσσ+σσσ+λσ+σ+σ−σσ+σσ+σσ−λσ+σ+σ+λ−=λ

On introduisant les grandeurs I1 , I2 ,I3

0II.I.I)(P 1322

13 =+λ−λ+λ−=λ

Page 14: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

14

I1 , I2 ,I3 : sont les invariants du tenseur des contraintes définis par :

)(traceI1 ij332211 σ=σ+σ+σ=

)()...I 213

223

2123311332222112 σ+σ+σ−σσ+σσ+σσ=

)(det......2..I ij21223

21322

223112313123322113 σ=σσ−σσ−σσ−σσσ+σσσ=

Dans le repère principal )X,X,X,O( 321

rrr ses invariants sont donnés par les relations :

)(traceI1 321σ=σ+σ+σ=

σσ+σσ+σσ= 3132212 ...I

)(det..I 3213 σ=σσσ=

11. Déviateur des contraintes :

On peut décomposer le tenseur de contrainte en la somme de deux tenseurs :

Un tenseur sphérique Un tenseur déviatorique

S. ijijij +δσ=σ

σ : Partie sphérique

333I 3213322111 σ+σ+σ=σ+σ+σ==σ

Sij : Partie déviatorique

δσ−σ= ijkkijij ..3

1S

3

2)(

3

1S

3322113322111111

σ−σ−σ=σ+σ+σ−σ=

3

2)(

3

1S

3311223322112222

σ−σ−σ=σ+σ+σ−σ=

3

2)(

3

1S

2211333322113333

σ−σ−σ=σ+σ+σ−σ=

σ= 1212S σ= 1313S σ= 2323S

Page 15: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

15

Finalement l’expression du tenseur déviatorique est :

[ ]

σ−σ−σσσ

σσ−σ−σ

σ

σσσ−σ−σ

=

3

23

23

2

S

2211332313

23331122

12

1312332211

ij

Pour le tenseur déviatorique les invariants J1 ,J2 ,J 3 sont définit de la même manière que les invariantes du tenseur des contraintes :

0SSSSSS)Sij(traceJ1 321332211=++=++==

)SSS()S.SS.SS.SJ 213

223

2123311332222112 ++−++=

S3.S2.S1)Sij(detJ3 ==

Remarque : Les invariants sont utilisés en plasticité des solides (Critère de van Mises).

12 .Tenseur de contrainte particulier :

Etat de contrainte uniaxial : ( traction ou compression simple )

L’état de contraintes en un point M est dit uniaxial si le tenseur des contraintes se réduit à :

[ ]

σ=σ

000

000

00

ij e.)n,M(T 1rrr

σ=

Cet état de contraintes est appelé état de traction simple si σ est positif et état de compression simple si σ est négatif.

Si ⇒⟩σ 0 traction

Si ⇒⟨σ 0 compression

Etat plan de contrainte :

En un point M, l'état de contrainte est plan, si le tenseur des contraintes est de la forme :

[ ]

σσσσ

=σ000

0

0

2212

1211

ij

Page 16: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

16

Dans ce cas les contraintes évoluent dans le plan )x,x,O( 21rr .

Si de plus nous avons 033≠σ , on parle de pseudo état plan de contrainte.

[ ]

σσσσσ

=σ33

2212

1211

ij

00

0

0

Etat de contrainte isotrope

L'état de contraintes en un point M est isotrope si, quelque soit la facette, nous avons

n.)n,M(Trrr

σ= , ainsi les trois contraintes principales sont égales et le tenseur de contrainte à la forme suivante quelque soit le repère:

[ ]

σσ

σ=σ

00

00

00

Si ⇒⟩σ 0 tension et si ⇒⟨σ 0 compression

Etat de cisaillement simple

L'état de contraintes en M est un état de cisaillement simple par rapport aux deux directionsx1r et x2

r le tenseur des contraintes se réduit à :

[ ]

ττ

=σ000

00

00

ij pour ce cas σ=τ 12

13. Mesure de contrainte :

Les contraintes sont des forces par unité de surface (pression), l’unité de mesure des contraintes dans le système international ( SI ) est le Pascal 1 Pa = 1 N/m2 dont le multiple est le méga pascal

1 MPa = 106 Pa = 106 N/mm2 .

Page 17: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

17

Chapitre 2

Représentation géométrique des (cercle de Mohr)

1. Introduction :

La représentation de Mohr consiste à présenter l’état de contraintes tridimensionnelle d’un point P sur un graphe bidimensionnelle appelé plan de Mohr ou encore, plan des contraintes normales σN et tangentiellesτt . En développant ce si, Les axes de cordonnées choisis sont les axes principaux dont les contraintes principales sont des valeurs distinctes prises par convention dans l’ordre :

σ⟩σ⟩σ 321

Soit un point P d’un milieu continu en état de contrainte (figure) la composante σN du vecteur

contrainte )n,P(Trr

est donnée par le relation :

n).n,P(TN

rrr=σ

Pour chaque facette de normale unitaire nr

on obtient 1 un point M extrémité du vecteur contrainte

)n,P(Trr

, on se propose de chercher le lieu géométrique de ce point M , si on fait varier cette facette

dans le plan de Mohr . ),,O( tN τσ rr

Sachant que :

τ+σ=⇒τ+σ= 2t

2N

2tN TT rrr

En écriture indicielle l’expression de σN devient :

n.nT.nn.Tn).n,P(T j.ijiiiiiN σ====σrrr

Page 18: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

18

Alors :

n.n j.ijiN σ=σ

Soit alors :

σσσσσσσσσ

=σn

n

n.nnn

3

2

1

332313

232212

131211

321N

En développant cette relation on obtient dans le repère quelconque )x,x,x,O( 321rrr :

n.n..2n.n..2n.n..2n.n.n. 3223311321122333

2222

2111N σ+σ+σ+σ+σ+σ=σ

Raisonnant dans le repère principal )X,X,X,O( 321

rrroù :

n.n.n. 233

222

211N σ+σ+σ=σ

Car 0ij =σ pour ji ≠

)²n)².(()n().n(T.TT.TT jijj.ijj.ijii2t

2N

2 σ=σσ===τ+σ=

Alors :

n.n.n. 233

222

211

2t

2N σ+σ+σ=τ+σ

Sachant que la normale unitaire est définit par :

1nnn 23

22

21 =++

Alors :

=++τ+σ=σ+σ+σ

σ=σ+σ+σ

1nnn

n.n.n.n.n.n.

23

22

21

2t

2N

23

23

22

22

21

21

N233

222

211

Ou bien sous la forme matricielle :

στ+σ

=

σσσσσσ

1n

n

n.

111N

2t

2N

23

22

21

321

23

22

21

Page 19: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

19

La résolution de ce système d’équation par rapport à n,n,n 23

22

21 , on trouve un résultat qui peut nous

aider à trouver le lien géométrique du point M extrémité du vecteur contrainte )n,P(Trr

.

On trouve en utilisant la méthode de Cramer :

)).((

.)(

111

111n

3121

3232N2t

2N

321

23

22

21

32N

23

22

2t

2N

21

σ−σσ−σσσ+σ+σσ−τ+σ=

σσσσσσ

σσσσστ+σ

=

Par analogie on obtient :

)).((

.)(n

3212

3131N2t

2N2

2σ−σσ−σ

σσ+σ+σσ−τ+σ=

)).((

.)(n

2313

2121N2t

2N2

3σ−σσ−σ

σσ+σ+σσ−τ+σ=

Posons :

n.K.)( 2113232N

2t

2N =σσ+σ+σσ−τ+σ avec : )).((K 31211 σ−σσ−σ=

Cette équation est l’équation d’un cercle de centre 2

C32

1σ+σ= et de rayon

2R

321

σ−σ=

De même on aura :

n.K.)( 2223131N

2t

2N =σσ+σ+σσ−τ+σ avec : )).((K 32122 σ−σσ−σ=

C’est l’équation d’un cercle de centre 2

C31

2σ+σ= et de rayon

2R

312

σ−σ=

Et :

n.K.)( 2332121N

2t

2N =σσ+σ+σσ−τ+σ avec : )).((K 23132 σ−σσ−σ=

C’est l’équation d’un cercle de centre 2

C21

3σ+σ= et de rayon

2R

212

σ−σ=

Page 20: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

20

Discutions des cas :

Sachant que :

0n,n,n 23

22

21 ⟩ et σ⟩σ⟩σ 321

Nous avons :

0)).((K 31211 ⟩σ−σσ−σ= ce qui implique que : 0.)( 3232N2t

2N ⟩σσ+σ+σσ−τ+σ et cela

signifie qu’on est à l’extérieure du cercle C1.

0)).((K 32122 ⟨σ−σσ−σ= ce qui implique que : 0.)( 3131N2t

2N ⟨σσ+σ+σσ−τ+σ ce qui

revient à dire qu’on se trouve à l’intérieure du cercle C2.

0)).((K 23132 ⟩σ−σσ−σ= ce qui implique que : 0.)( 2121N2t

2N ⟩σσ+σ+σσ−τ+σ et cela

signifie qu’on est à l’extérieure du cercle C3.

Conclusion

Lorsqu’on fait varier la facette de normale unitaire nr

le lieu géométrique du point M , extrémité du

vecteur contrainte )n,P(Trr

, varie dans la zone en gris.

Page 21: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

21

Remarque :

Si σ=σ 32 le tri cercle de Mohr se réduit à un seul cercle, et le lieu géométrique du point M est le périmètre de ce cercle.

Si σ=σ=σ 321 le tri cercle de Mohr ainsi que le lieu géométrique du point

M se réduit à un point.

Page 22: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

22

Chapitre 3

Applications et comparaison avec les résultats

obtenus par le logiciel RDM6

Exemple N ° 1 En un point (M) d’un milieu continu l’état de contrainte est donné par le tenseur suivant :

[ ]

=σ40100

10400

00120

)M(ij

On se propose de calculer manuellement puis à l’aide du module rosette (RDM6) : 1) les contraintes principales σσσ 321 ,, . 2) les contraintes totale T, normale σN et tangentielle τt , suivant une facette de normale unitaire

e.3

2e.

3

1n 21

rrr +=

Calcul manuel : 1) contraintes principales :

0].[det ijij =δλ−σ

Soit :

=λ=λ

=λ⇒=−λ−λ−⇒=

λ−λ−

λ−

50

30

120

0]²10)²40().[120(0

40100

10400

00120

det

3

2

1

Alors :

=σ=σ

30

50

120

3

2

1

2) Contrainte totale suivant la normale n

r:

==

==

==

=

⇒σ=

16.863

10T

65.3263

40T

28,69340T

03

23

1

.

40100

10400

00120

T

T

T

nT

3

2

1

3

2

1

j.iji

02,77TTTT 23

22

21 =++=

Page 23: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

23

Contrainte normale σN

66.66)63

10,6

3

40,340(.)0,

3

2,

3

1(n.n j.ijiN ==σ=σ

Contrainte tangentielle τt ,

58,38T 2N

2 =σ−=τ

Calcul avec RDM6 :

1 Etape : Saisie des composantes du tenseur des contraintes. Résultats sur le fichier texte généré

Page 24: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

24

2 Etape : Lancement du calcul est obtention des valeurs des contraintes principales

Page 25: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

25

3 Etape : Saisie des composantes du vecteur normale unitaire

Page 26: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

26

4 Etape : Lancement du calcul est obtention des valeurs des contraintes normale et tangentielle

5 Etape : Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats

Page 27: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

27

Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats

Conclusion : On remarque une grande concordance entre les résultats obtenus et ceux données

par le module Rosette du logiciel RDM6.

Page 28: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

28

Exemple N ° 2 En un point (M) d’un milieu continu l’état de contrainte est donné par le tenseur suivant :

[ ]

=1555

5150

5015

)(Mijσ

On se propose de calculer manuellement puis à l’aide du module rosette (RDM6) : 1) les contraintes principales σσσ 321 ,, . 2) les contraintes totale T, normale σN et tangentielle τt , suivant une facette de normale unitaire

eenrrr

31.

2

2.

2

2 +=

Calcul manuel : Contraintes principales :

0].[det ijij =δλ−σ

0])15(.5[5]25)²15.[()15(0

1555

5150

5015

=−−+−−−⇒=

−−

−λλλ

λλ

λdét

+=−=⇒=+−=⇒=−

⇒=+−−

=+−−⇒=−−+−−−

5015,5015017530

150150)17530.()15(

0)17530.()15(0])15(.5[5]25)²15.[()15(

32

212

2

λλλλλ

λ

λλ

λλ

λλλλλ

Alors :

=−==

=+=

92,75015

15

07,225015

3

21

1

σσ

σ

Contrainte totale suivant la normale n

r:

====

==⇒

=

⇒=14,14210

53,325.2

14,14210

2

202

2

.

1555

5150

5015

3

2

1

3

2

1

.

TTT

TTT

nT jiji σ

30,2034,412 ==T

Page 29: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

29

Contrainte normale σN

20)210,25,2,210(.)2

2,0,

2

2(.

.=== nn jijiN σσ

Contrainte tangentielle τt ,

47,322 =−= στNT

Calcul avec RDM6 : Saisie des composantes du tenseur des contraintes, lancement du calcul, est obtention des valeurs des contraintes principales.

Page 30: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

30

Saisie des composantes de la normale unitaire, lancement du calcul, est obtention des valeurs des contraintes principales. Totale, normale et tangentielle.

Page 31: TENSEUR DE CONTRAINTES.pdf

31

Génération d’un fichier texte qui récapitule tous les résultats

On peut remarquer que les résultats obtenu par le logiciel sont pratiquement les mêmes que celles tirés à partir du calcul manuel.