Marc François

Tenseurs en Mécanique

1

X3PM040 Anisotropie et composites

M2 Mécanique et Fiabilité des Structures

1 Motivations

2

3

Outre les scalaires et les vecteurs, les tenseurs utilisés en mécaniques sont principalement :

des tenseurs du second ordre symétriques — contraintes — déformations, déformations plastiques,…

des tenseurs du 4e ordre symétriques — tenseur d’élasticité (de Hooke) — module tangent…

Pur un tenseur du second ordre, la symétrie ramène le nombre de constantes indépendantes à 6 au lieu de 9. Pour un tenseur du 4e ordre, à 21 au lieu de 81. La base canonique est donc redondante.

1.1 Observations

En base canonique le tenseur d’élasticité est difficilement représentable (4 indices).

L’anisotropie élastique contenue dans le tenseur d’élasticité qui connue exactement depuis les années 1995 (seulement).

4

2 Le tenseur d’élasticité

5

2.1 Introduction

6

Le tenseur d’élasticité (ou tenseur de Hooke) établi une application multilinéaire entre le tenseur des contraintes et celui des déformations :

Il est donc naturellement du 4e ordre. Son inverse (au sens de la double contraction…) est le tenseur des souplesses S :

En notation intrinsèque :

Ces tenseurs ont 34 = 81 composantes Cijkl. Mais celles-ci ne sont pas toutes indépendantes…

� = C : "

�ij = Cijkl"kl

" = S : �

"ij = Sijkl�kl

On exploite la symétrie de ε :

                                                        (indices k et l muets)                                                         (ε est symétrique)

La symétrie de σ entraine, par une démonstration similaire :

Ces relations s’appellent les petites symétries de C.

Attention il s’agit de symétries indicielles, pas de symétries physique !

7

2.2 Petites symétries de C

�ij = Cijkl"kl

= Cijlk"lk

= Cijlk"kl

=) Cijkl = Cijlk

Cijkl = Cjikl

2.3 Grande symétrie de CLa loi de Hooke est réversible donc équivaut à l’existence d’un potentiel (énergie libre) dont dérive la contrainte :

On peut détailler le calcul indiciel :

or                                   par définition (application linéaire)

Donc

Cette relation se nomme la grande symétrie de C 8

2⇢ = " : C : " �ij = ⇢@

@"ij

Cijkl = Cklij

2⇢ = Cpqrs"pq"rs

) 2�ij = Cpqrs(�ip�jq"rs + "pq�ir�js)

= Cijrs"rs + Cpqij"pq = Cijpq"pq + Cpqij"pq

�ij = Cijpq"pq

Le module d’Young

Déf. : rapport entre la contrainte de traction suivant n et déformation mesurée suivant n :

Si le matériau est isotrope, E ne dépend pas de n. 9

2.4 Constantes «ingénieur»

�

"

� = �~n⌦ ~n

" = S : �

"(~n) = ~n.".~n = " : (~n⌦ ~n)

E(~n) =�

"(~n)

=�

�(~n⌦ ~n) : S : (~n⌦ ~n)

E(~n) =1

(~n⌦ ~n) : S : (~n⌦ ~n)

=1

ninjnknlSijkl

Le coefficient de Poisson

ν(n,m) est le rapport entre la déformation suivant m et celle suivant n lors d’une traction suivant n, avec m.n=0.

Si le matériau est isotrope, ν ne dépend pas du couple (n,m). 1086

"(~n)

"(~m)�

� = �~n⌦ ~n

" = S : � = �S : (~n⌦ ~n)

"(~n) = ~n.".~n = " : (~n⌦ ~n)

= �(~n⌦ ~n) : S : (~n⌦ ~n)

"(~m) = ~m.".~m = " : (~m⌦ ~m)

= �(~n⌦ ~n) : S : (~m⌦ ~m)

⌫(~n, ~m) = �"(~m)

"(~n)

⌫(~n, ~m) = � (~n⌦ ~n) : S : (~m⌦ ~m)

(~n⌦ ~n) : S : (~n⌦ ~n)

= �ninjmkmlSijkl

ninjnknlSijkl

Module de compressibilité hydrostatique

K est le rapport entre la pression p et la variation relative de volume ΔV/V. ΔV/V est la trace du tenseur des déformations. La contrainte est une pression hydrostatique.

Remarque : basé sur p et ΔV, qui sont des invariants (trace), Siikk est un invariant du tenseur des souplesses S (ce n’est pas le cas de E et ν)… 11

� = pI" = S : � = pS : I

trace(") = " : I = pI : S : I

K =p

trace(")

K =1

I : S : I

K =1

Siikk�

Module de cisaillement

µ(n,m) représente la réponse en cisaillement suivant n m à une contrainte de cisaillement suivant n m, avec m.n=0.

n, m, p base orth.

2µ=γ de la RDM…

12

� = ⌧(~n⌦ ~m+ ~m⌦ ~n)

" = S : � = ⌧ S : (~n⌦ ~m+ ~m⌦ ~n)

= 2⌧ S : ~n⌦ ~m

"(~n, ~m) = ~n.".~m = " : (~n⌦ ~m)

= 2⌧(~n⌦ ~m) : S : (~n⌦ ~m)

µ(~n, ~m) =⌧

2 "(~n, ~m)

2µ(~n, ~m) =1

2(~n⌦ ~m) : S : (~n⌦ ~m)

µ(~n, ~m) =1

4nimjnkmlSijkl

13

3 Notation de Voigt

W. Voigt

3.1 Principe

14

Dans les années 1900, W. Voigt (cristallographe et un des pères du calcul tensoriel) a proposé une notation en colonne 6x1 pour les tenseurs symétriques du second ordre. Par ex. pour la contrainte :

La bijection entre les couples d’indices 11…12 et les indices uniques 1…6 est issu de la permutation circulaire. Les 6 composantes au lieu de 9 en B.C. sont un gain de place.

�

������������

�1 = �11

�2 = �22

�3 = �33

�4 = �23

�5 = �31

�6 = �12

3.2 Loi d’élasticitéPar la même méthode on ramène les 4 indices de C à un couple d’indices variant de 1 à 6. On en déduit la loi d’élasticité sous une forme de produit matrice-vecteur pratique :Les coefficients 2 qui apparaissent sont nécessaires afin de retrouver les termes multiples du calcul an B.C. Par ex. :

À l’époque c’était consistant avec la notation γ de la RDM. 15

2

6666664

�11

�22

�33

�23

�31

�12

3

7777775=

2

6666664

C1111 C1122 C1133 C1123 C1131 C1112

C2211 C2222 C2233 C2223 C2231 C2212

C3311 C3322 C3333 C3323 C3331 C3312

C2311 C2322 C2333 C2323 C2331 C2312

C3111 C3122 C3133 C3123 C3131 C3112

C1211 C1222 C1233 C1223 C1231 C1212

3

7777775.

2

6666664

"11

"22

"33

2"23

2"31

2"12

3

7777775

�11 = C1111"11 + · · · + C1123"23 + C1132"32 + · · ·

3.3 Limites de cette écritureCette écriture est encore beaucoup utilisée dans les livres. Cependant : — L’inversion de la matrice        ne donne pas — La norme de     n’est pas égale à celle de — La norme de     n’est pas égale à celle de — etc… pour les angles, les produits contractés. On peut s’en sortir mais avec de multiples précautions. Ex. :

16

Cij Sij

�i �ij

"ij"i

2

6666664

"11

"22

"33

2"23

2"31

2"12

3

7777775=

2

6666664

S1111 S1122 S1133 2S1123 2S1131 2S1112

S2211 S2222 S2233 2S2223 2S2231 2S2212

S3311 S3322 S3333 2S3323 2S3331 2S3312

2S2311 2S2322 2S2333 4S2323 4S2331 4S2312

2S3111 2S3122 2S3133 4S3123 4S3131 4S3112

2S1211 2S1222 2S1233 4S1223 4S1231 4S1212

3

7777775.

2

6666664

�11

�22

�33

�23

�31

�12

3

7777775

4 Base des tenseurs symétriques (de Bechterew)

17

4.1 Motivations

18

Les défauts de l’écriture de Voigt ont conduit à trouver des bases tensorielles qui vont conserver toutes les propriétés nécessaires.

La première publication identifiée est celle de Bechterew (URSS, 1926).

Mais il a fallu attendre les années 1990 et les travaux d’Ostrosablin (URSS, 1994), Cowin (USA, 1990), François (1995) pour les diffuser. Aujourd’hui elle commence à supplanter l’écriture de Voigt notamment dans les codes numériques.

4.2 PrincipeLes tenseurs du second ordre sont projetés dans la base :

On vérifie que cette base est orhonormée par rapport à la double contraction, produit scalaire pour ces tenseurs :

19

B1 = ~e1 ⌦ ~e1

B2 = ~e2 ⌦ ~e2

B3 = ~e3 ⌦ ~e3

B4 = (~e2 ⌦ ~e3 + ~e3 ⌦ ~e2)/p

2

B5 = (~e3 ⌦ ~e1 + ~e1 ⌦ ~e3)/p

2

B6 = (~e1 ⌦ ~e2 + ~e2 ⌦ ~e1)/p

2

BI : BJ = �IJ

Ces tenseurs s’écrivent, en base canonique :

Par définition, la Ième composante de σ dans cette base est donnée par le produit scalaire «:» pour les tenseurs du 2nd ordre:

Par ex.

20

B1

2

41 0 00 0 00 0 0

3

5

B2

2

40 0 00 1 00 0 0

3

5

B3

2

40 0 00 0 00 0 1

3

5

B4

2

40 0 00 0 1/

p2

0 1/p

2 0

3

5

B5

2

40 0 1/

p2

0 0 01/p

2 0 0

3

5

B6

2

40 1/

p2 0

1/p

2 0 00 0 0

3

5

�I = � : BI

�4 =

2

4�11 �12 �13

�12 �22 �23

�13 �23 �33

3

5 :

2

40 0 00 0 1/

p2

0 1/p2 0

3

5 =p2�23

On vérifie aisément que, dans cette base, on a la relation suivante entre les 6 composantes et la base canonique :

On vérifie que la nature tensorielle de la base de Bechterew permet de conserver les propriétés :

où l’indice I désigne l’utilisation de cette base. Attention la simple contraction requiert la base canonique…

21

�

������������

�11

�22

�33p2�23p2�31p2�12 Bi

"

������������

"11

"22

"33p2"23p2"31p2"12 Bi

� : " = �I ."I k�k =p

�I�I cos(�, ") =�I ."Ip

�I�Ip

"I"I

On forme la base de tenseurs à l’aide du produit tensoriel :

Cela donne :

22

4.3 Base de Bechterew et tenseurs du 4e ordre

BI ⌦BJ

CIJ = C :: BI ⌦BJ

= BI : C : BJ

C11 = ~e1 ⌦ ~e1 : C : ~e1 ⌦ ~e1 = C1111

· · ·C16 = ~e1 ⌦ ~e1 : C : (~e1 ⌦ ~e2 + ~e2 ⌦ ~e1)/

p2 =

p2C1112

· · ·C66 = (~e1 ⌦ ~e2 + ~e2 ⌦ ~e1)/

p2 : C : (~e1 ⌦ ~e2 + ~e2 ⌦ ~e1)/

p2

= 2C1212

4.4 Loi de HookeLa loi de Hooke                         s’écrit alors, par rapport aux composantes en B.C. :

Il est facile de mémoriser que les lignes et les colonnes 3 à 6 doivent être multipliées par       par rapport à la base canonique. On vérifie aussi que l’on retrouve bien le calcul en B.C.

Le tenseur des souplesses s’obtient naturellement par inversion de la matrice du tenseur d’élasticité : SIJ = CIJ-1

23

2

6666664

�11

�22

�33p2�23p2�31p2�12

3

7777775=

2

6666664

C1111 C1122 C1133

p2C1123

p2C1131

p2C1112

C2211 C2222 C2233

p2C2223

p2C2231

p2C2212

C3311 C3322 C3333

p2C3323

p2C3331

p2C3312p

2C2311

p2C2322

p2C2333 2C2323 2C2331 2C2312p

2C3111

p2C3122

p2C3133 2C3123 2C3131 2C3112p

2C1211

p2C1222

p2C1233 2C1223 2C1231 2C1212

3

7777775.

2

6666664

"11

"22

"33p2"23p2"31p2"12

3

7777775

� = C : "

p2

La base de tenseurs en 2D s’écrit :

La loi de Hooke en 2D est :

On retrouve le jeu de multiplications par racine de 2 sur le termes 12…

24

2

4�11

�22p2�12

3

5 =

2

4C1111 C1122

p2C1112

C2211 C2222

p2C2212p

2C1211

p2C1222 2C1212

3

5 .

2

4"11

"22p2"12

3

5

<latexit sha1_base64="YhA4pj9TQW5SCvVlaZZ2IMCsyuk=">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</latexit>

4.5 Symétrie indicielleLa petite symétrie est déjà incluse dans la base de Bechterew. La grande symétrie implique la symétrie de        .

Au final, on identifie facilement que le nombres de composantes indépendantes de         (ou de           ) est de 21.

Les mathématiciens nomment        l’espace des tenseurs d’élasticité (du 4e ordre, munis des petites et grandes symétries).

25

CIJ

CIJ Cijkl

Ela

2

6666664

�11

�22

�33p2�23p2�31p2�12

3

7777775=

2

6666664

C1111 C1122 C1133

p2C1123

p2C1131

p2C1112

C2211 C2222 C2233

p2C2223

p2C2231

p2C2212

C3311 C3322 C3333

p2C3323

p2C3331

p2C3312p

2C2311

p2C2322

p2C2333 2C2323 2C2331 2C2312p

2C3111

p2C3122

p2C3133 2C3123 2C3131 2C3112p

2C1211

p2C1222

p2C1233 2C1223 2C1231 2C1212

3

7777775.

2

6666664

"11

"22

"33p2"23p2"31p2"12

3

7777775

4.6 Tenseur identité du 4e ordreL’identité    (par rapport à la double contraction) est telle que :

On peut construire aisément :

Mais, si l’on veut en plus que              , la forme convenable est :

On vérifie que cette forme correspond à une matrice 6x6 identité en base de Bechterew.

26

I

8A A = I : A

I 2 Ela

Iijkl = �ik�jl

Iijkl = 12 (�ik�jl + �il�jk)

IIJ = �IJ

Preuve 1 Termes diagonaux (11, 22, 33), premier quadrant

Termes hors diagonale (12, 23, 31), premier quadrant :

etc… 27

I11 = I :: B1 ⌦B1

=12(�ik�jl + �il�jk)~ei ⌦ ~ej ⌦ ~ek ⌦ ~el :: ~e1 ⌦ ~e1 ⌦ ~e1 ⌦ ~e1

=12(�ik�jl + �il�jk)(�i1�j1�k1�l1)

= 1

I12 = I :: B1 ⌦B2

=12(�ik�jl + �il�jk)~ei ⌦ ~ej ⌦ ~ek ⌦ ~el :: ~e1 ⌦ ~e1 ⌦ ~e2 ⌦ ~e2

=12(�ik�jl + �il�jk)(�i1�j1�k2�l2)

= 0

Preuve 2 Raisonnement plus rapide :

car BI est orthonormée.

28

IIJ = I :: BI ⌦BJ

= BI : I : BJ

= BI : BJ

= �IJ

Preuve 3 On peut aussi considérer la partition de l’identité :

où chaque BI représente une direction tensorielle (normée). Et chaque représente le projecteur sur BI. Alors :

etc… 29

I = B1 ⌦B1 + · · · + B6 ⌦B6

BI ⌦BI

B1 ⌦B1

2

6666664

1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3

7777775

B2 ⌦B2

2

6666664

0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3

7777775

4.8 Formules de BondLe formules de rotation classiques

nécessite 4x38 = 26244 multiplications. Bond (1943), puis Cowin et de Saxcé l’ont réécrite en base de Bechterew. La matrice :

permet les changements de base pour les tenseurs du 2nd et du 4ème ordre, en base de Bechterew :

30<latexit sha1_base64="iQSZi2PKNV3Th0CKNKsjWv62fqo=">AAAMvHicpVZfU9NAEL+iKNaqoI++ZOzIAA9MyzijLzhAy0DhgZSWAkNpJ02vJUOa1CStMJm8+wH8cn4D/Qo+ubu5dmKb9iImk2Rvb3/77+422+qbhuvlcj9SC48eLz55uvQs/Tzz4uWr5ZXXNdceODo/023Tdi5amstNw+JnnuGZ/KLvcK3XMvl567aA8+dD7riGbVW9+z6/7mldy+gYuuYBq7n8vd7iXcPy+RdLcxztfiNIK0q9p3k3umb6p8Fa3TW6PW296ZcCZXV7VTkFSg1CblOt1yfECyh5FBWF91E5KDR9tRwo24IZDoEul4JGNV3nVjviQnM5m9vM0aVME3lBZJm4VHtl8Rurszazmc4GrMc4s5gHtMk05sJ9xfIsx/rAu2Y+8BygDJrnLGBpwA5AioOEBtxbeHdhdCW4FoxRp0toHayY8DiAVNh7wNgg5wCN1hSaH5Bm5M7S7ZNO9O0evi2hqwdcj90AV4YbSSbFYSwe67BPFIMBMfWJg9HpQsuAsoKeK5GoPNDQBx7SbZh3gNYJOcqzQhiXYsfcajT/kySRi2NdyA7YL/IyDfYUViWuK3LlkoUBvD/Agxlukw6MyYLvV8ptj6K1YM4HfgF8x+8oAy24feIGEtyJBOmQb/FoNRarJsJWYrEVqcelWFxJiivG4opS3HEs7liKu4zFXUpxKjucmdVGhOsA5ZOsTF985PH6RvmYtytd2vk2WUi6PyuwQgfCjxZVjvb4zOMI+S6cqi6hZDGF2g7/Qd9DMhdaKf6XFfn+2oeVqEhsDKmeYC1zqTJh7pPpleUoXvNDshXak2UrqT153nandnUHxrtS3F4sbi9BfHG4/QTnbxfyMl3tOokr5XQF6iSqQKWYk9+J1Eo84yfin6bRn2x0zm3qDG7g26UVGrA7yUmZ/IvgH9Cken4SsbYv6gnuiPBfOU9rdYbOqjTygxnIgwSrbNJJRhozcke9gEcrbY4rE8ZSBH4Hbi7WDuU4yJiiEs5b0faEf+Geb0e0l0jWoH4BV4RTf4H+YEfiki5P1GQHOAaNZHaboB97QOx9mjEeZGEuSLQnGxFNDYkmjKc27pbCPTZvDYbUjY4oHSguXbfa+HyOMOJkQg+dn+yYp4na1mYe6PJWdmdPdNNL7C17x9Ygjo9sB+qfys5A7++UklpPbWQ+Z9qZ20wvFF1ICcwb9teVGf4BYUicRw==</latexit>

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

5 Décomposition de Kelvin

31

W. Thomson (Lord Kelvin)

1824-1907

32

Non content de définir la température 0, d’être un des fondateurs de la thermodynamique, de refuser la notion d’éther, de promouvoir le câble transatlantique, l’effet thermoélectrique, d’utiliser des quaternions, de mesurer l’âge de la terre (faux, à 400M années…), d’avoir conçu un calculateur mécanique… Lord Kelvin a eu le temps de publier deux comptes-rendus (1856) à la Royal Society de Londres dans lesquels il montrait que tout corps possédait au moins 6 «modes propres» pour lesquels la contrainte était proportionnelle à la déformation. La démonstration était bancale et a été acceptée au regard du son renom, puis oubliée pendant 130 ans… Dans les années 1986 J. J. Rychlewski (Pol.) montrait que M. Kelvin avait raison et avait diagonalisé le tenseur d’élasticité. À une époque ou les tenseurs n’existaient pas et ou on n’avait pas tous les théorèmes sur la diagonalisation !

5.2 Histoire

Le tenseur des contraintes s’écrit sous la forme d’une matrice 6x6 symétrique. Il est donc diagonalisable et ses 6 «vecteurs» propres forment une base orthonormée                :

Les 6 valeurs propres se nomment les modules de Kelvin. Ils sont homogènes à des Pascals.

33

5.2 Preuve moderne

EI ⌦EJ

C

2

6666664

�1 0 0 0 0 00 �2 0 0 0 00 0 �3 0 0 00 0 0 �4 0 00 0 0 0 �5 00 0 0 0 0 �6

3

7777775

EI⌦EJ

On a donc six modes propres, six états de déformations tels que la contrainte y est proportionnelle :

                               (attention I non sommé ici…).

34

5.3 Les modes propres

EI EF� = 0

" = 0" = �� �

<latexit sha1_base64="G1E5i4AXhVYqFbqvIk9OBwrfmBs=">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</latexit>

5.4 Décomposition spectraleOn peut reprendre la décomposition spectrale que l’on a vue pour les vecteurs et poser :

et se rappeler que                 correspond à un projecteur sur la direction (tensorielle)      . Le tenseur d’élasticité apparaît alors sous forme de somme de projecteurs pondérés :

                                           ( I non sommé, ce ne sont pas des indices !)

35

EI ⌦EI

EI

C =X

I

�IEI ⌦EI

C =X

I

�IPI

PI = EI ⌦EI

5.5 La loi de Hooke re-visitéela loi de Hooke (anisotrope) s’écrit comme des relations de proportionnalité entre projections correspondantes de la contrainte et de la déformation :

Les 6 projections de la déformation sont proportionnelles aux 6 projections de la contrainte.

36

�I = �I"I

�I = PI : �

"I = PI : "

� =X

I

�I

" =X

I

"I

On peut avoir des valeurs propres multiples (l’ordre de multiplicité définissant la dimension de l’espace propre). L’écriture peut alors être adaptée :

Les formules sur les projecteurs sur des SEV orthogonaux se vérifient en base de Bechterew

37

C

2

6666664

�1 0 0 0 0 00 �1 0 0 0 00 0 �2 0 0 00 0 0 �2 0 00 0 0 0 �2 00 0 0 0 0 �3

3

7777775

EI⌦EJ

P1 P2 P3

C =X

I

�IPI

PI =nIX

n=1

EIn ⌦EIn

X

I

nI = 6

EIm : EJn = �IJ�mn

�I 6= �J si I 6= J

PIoPJ = �IJPJ

, PI : PJ = �IJPJ

, P IQRP J

RS = �IJP JQS

Les EIn forment une base orthonormée donc les sous-espaces propres sont orthogonaux.

Le tenseur des souplesses est alors trivial :

38

5.6 Le tenseur des souplesses

S

2

6666664

1/�1 0 0 0 0 00 1/�2 0 0 0 00 0 1/�3 0 0 00 0 0 1/�4 0 00 0 0 0 1/�5 00 0 0 0 0 1/�6

3

7777775

EI⌦EJ

S =X

I

1�I

PI

S : C =X

I

�IPI :X

J

1�J

PJ

=X

I

�I

�J�IJPJ =

X

I

PI = I

Aspects énergétiques

L’énergie libre   se décompose par mode propre

Elle ne peut être que positive, c’est à dire que tenseur d’élasticité doit être défini positif :

39

2⇢ = " : C : "

8" ⇢ > 0=) �I > 0

2⇢ = " : C : "

=X

I

�I" : PI : "

2⇢ =X

I

�I"I : "I

⇢ =X

I

⇢ I

6 Le tenseur d’élasticité isotrope

40

6.1 Le projecteur hydrostatique PH

Le tenseur d’élasticité isotrope sera composé de projecteurs isotropes.

Les tenseurs du second ordre isotropes non nuls sont proportionnels à I.

Le projecteur sur I se nomme le projecteur hydrostatique :

Le 1/3 permet de normer le tenseur :

41

PH =13I⌦ I

PH

ijkl =13�ij�kl

La partie propre correspondante de la contrainte est :

la contrainte hydrostatique :

le sens physique se voit en base propre car :

représente la moyenne des contraintes normales, la pression hydrostatique (de fluide) moyenne :

42

pmoy

� �H

La partie propre de la déformation correspondantes est :

la déformation hydrostatique (ou sphérique) :

De nouveau, le sens physique se voit en base propre :

représente la déformation principale moyenne. C’est aussi, en petites perturbations, la variation relative de volume :

43

Preuve :

En base propre, la variation relative de volume est, à cause de l’hypothèse de petites déformations :

44

EI EF

Le projecteur hydrostatique correspond à :

c’est à dire au projecteur sur la direction normée

Son écriture en base de Bechterew est :

On vérifie aisément qu’il «extrait» la partie hydrostatique. 45

PH

2

6666664

1/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3

7777775

BI⌦BJ

avec une grande efficacité numérique…

46

2

6666664

(�11 + �22 + �33)/3(�11 + �22 + �33)/3(�11 + �22 + �33)/3

000

3

7777775=

2

6666664

1/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3

7777775.

2

6666664

�11

�22

�33p2�23p2�31p2�12

3

7777775

Si le tenseur d’élasticité est isotrope, PH est un de ses projecteurs. Le module de Kelvin qui relie les parties (associée à la pression) et     (associée au changement de volume) se nomme le module de compressibilité hydrostatique :

car :

Ce module de compressibilité s’exprime en Pa (ou GPa) ; il est aussi utilisé en Mécanique des Fluides.

47

6.2 Module de compressibilité (hydrostatique)

p� =

2

4p 0 00 p 00 0 p

3

5

PH est un projecteur sur           , un espace à 1 dimension. Pour former un tenseur d’élasticité isotrope il manque un projecteur sur un espace à 5 dimensions.

Le projecteur    est évidemment isotrope… Mais il n’est pas orthogonal à                        . Par contre le complément :                        l’est. Preuve :

(on peut aussi le vérifier en indiciel…).

      est le complément de      , il projette un tenseur sur un espace non hydrostatique : l’espace déviatorique. C’est le projecteur déviatorique. Complémentaire de l’identité, il projette sur l ’espace déviatorique (complémentaire) qui possède donc 5 dimensions.

48

6.3 Le projecteur déviatorique PD

En base de Bechterew son expression est facilement obtenue depuis                       :

On vérifie aisément qu’il extrait (efficacement) la partie déviatorique d’un tenseur :

49

PD

2

6666664

2/3 �1/3 �1/3 0 0 0�1/3 2/3 �1/3 0 0 0�1/3 �1/3 2/3 0 0 0

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

3

7777775

BI⌦BJ

Depuis les expressions indicielles vues précédemment on trouve que :

Appliqué au tenseur des contraintes il donne bien le déviateur des contraintes :

on vérifie que                            , cet état de contrainte correspond à une pression moyenne nulle.

Idem pour les déformations

et                           indique que la transformation est isochore (pas de changement de volume).

50

<latexit sha1_base64="5HePsVPtc2DLoq/nKTl6wII0dxo=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="X2YG9ZHG9zzSSm/17xgAsh4dDtQ=">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</latexit>

Module de cisaillementLa valeur propre associée au projecteur déviatorique est associée au module de cisaillement :

On peut vérifier qu’un cisaillement «classique» est bien compatible avec cette expression :

Remarque : le «2» est un souvenir de l’ancienne notation RDM               avec                  … Elle était de plus compatible avec la notation de Voigt…

51

⌧

� =

2

40 ⌧ 0⌧ 0 00 0 0

3

5 ⌧ = 2µ"12

"12

"12

6.4 Bilan : tenseur d’élasticité isotropeEn associant ce qui a été vu précédemment, tout tenseur d’élasticité isotrope s’écrit comme :

La loi d’élasticité s’écrit comme deux proportionnalités, une sur la partie hydrostatique et l’autre sur la partie déviatorique :

Depuis la condition de positivité de l’énergie on a :

52

Le tenseur des souplesse est :

Expressions en base canonique :

que l’on rapproche aisément de la forme de Lamé :

53

Cijkl = 3K�ijp3

�klp3

+ 2µ

✓�ik�jl + �il�jk

2� �ijp

3�klp

3

◆

S =1

3KPH +

12µ

PD

Cijkl =3K � 2µ

3| {z }�

�ij�kl + µ (�ik�jl + �il�jk)

�ij = ��ij"kk + 2µ"ij

� = 2µ"+ �trace(")I

<latexit sha1_base64="SXe+86QniVhuRixSXap78QqTcpA=">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</latexit>

Vision géométrique de la loi de Hooke :

54

sous-espace déviatorique 5D

sous-espace hydrostatique 1D"

"H

"D

�H = 3K"H

��D = 2µ"D

Espace des tenseurs du

second ordre 6D

Le critère de Von Mises (adapté aux métaux) revient à borner la norme du déviateur :

C’est (évidemment) un invariant (car la norme en est un). Le coefficient sert à caler la contrainte seuil mesurée en traction.

En Génie Civil, in utilise souvent le critère de Drucker-Prager, qui donne un rôle à la pression hydrostatique :

c’est aussi un invariant.

La valeur de la limite dépend du matériau. 55

6.5 Critères isotropes

r3

2k�Dk < �y

r3

2k�Dk+ � trace(�H) < �y

�y

56

sous-espace déviatorique 5D

sous-espace hydrostatique 1D

Espace des tenseurs du

second ordre 6DCritère de Von Mises

Critère de Drucker-Prager

On obtient facilement la forme de Lamé en posant :

Forme de Young et Poisson

Le calcul est classique et donne :

Le sens physique de est associé à la déformation d’une barre en traction, ce qui constitue l’essai matériau de base. Par contre elle est finalement peu commode en 3D…

57

�ij = Cijkl"kl = ��ij�kl"kl + 2µ�ik�jl"kl

= �"kk�ij + 2µ"ij

� = �trace(")I + 2µ"

(E, ⌫)

6.6 Forme classiques du tenseur d’élasticité

Table de correspondance entre les constantes d’élasticité isotropes

58

Young et Poisson Lamé Kelvin

Tenseur d’élasticité isotrope en base  de Bechterew                

Depuis et leur expression on a :

Remarque, cela implique                      soit et la formule

avec                             est bien consistente… 59

BI ⌦BJ

C = 3KPH + 2µPD

C

2

6666664

3K+4µ3

3K�2µ3

3K�2µ3 0 0 0

3K�2µ3

3K+4µ3

3K�2µ3 0 0 0

3K�2µ3

3K�2µ3

3K+4µ3 0 0 0

0 0 0 2µ 0 00 0 0 0 2µ 00 0 0 0 0 2µ

3

7777775

~n = ~e1

~m = ~e2

2S1212 = 1/2µ

µ~n,~m =1

4nimjnkmlSijkl

S66 = 1/2µ

Et, en utilisant la table de conversion des constantes on obtient aisément :

�111�⌫

(1+⌫)(1�2⌫)⌫

(1+⌫)(1�2⌫)⌫

(1+⌫)(1�2⌫) 0 0 0 "11

�22⌫

(1+⌫)(1�2⌫)1�⌫

(1+⌫)(1�2⌫)⌫

(1+⌫)(1�2⌫) 0 0 0 "22

�33 = E ⌫(1+⌫)(1�2⌫)

⌫(1+⌫)(1�2⌫)

1�⌫(1+⌫)(1�2⌫) 0 0 0 "33p

2�23 0 0 0 11+⌫ 0 0

p2"23p

2�31 0 0 0 0 11+⌫ 0

p2"31p

2�12 0 0 0 0 0 11+⌫

p2"12

"11 1 �⌫ �⌫ 0 0 0 �11

"22 �⌫ 1 �⌫ 0 0 0 �22

"33 = 1E �⌫ �⌫ 1 0 0 0 �33p

2"23 0 0 0 1 + ⌫ 0 0p

2�23p2"31 0 0 0 0 1 + ⌫ 0

p2�31p

2"12 0 0 0 0 0 1 + ⌫p

2�12

60

C

S

Bornes des constantes d’élasticité

On a vu, dans le cadre général, que les modules de Kelvin devaient être positifs :

autre forme de l’inégalité :

61

�I = 3K > 0�II = 2µ > 0

⌫ =3K � 2µ

2(3K + µ)

µ = 0 ) ⌫ =12

K = 0 ) ⌫ = �1) �1 6 ⌫ 6 0, 5

� > �2µ

3

Fluides visqueux compressibles :

Matériaux «incompressibles» (caoutchouc)

Un cas particulier de l’élasticité isotrope : l’élasticité «parfaite» Cas des mousses.

62

�H = 3K"H

�D = 2⌫"D

3K = 2µ, ⌫ = 0, � = 0C = 2µ(PH + PD)C = 2µI

, � = 2µ"

6.7 Généralisation des comportements isotropes

7 Le tenseur d’élasticité anisotrope

63

7.1 Introduction

64

Un groupe de symétrie est l’ensemble des transformations de SO(3) (rotations), qui laissent le tenseur invariant :

Une définition équivalente, plus ancienne, a l’avantage de ne porter que sur des tenseurs du second ordre [Zaoui]

Le tenseur d’élasticité peut posséder 8 groupes de symétrie différents en 3D [Forte Vianello, 1996] et 4 en 2D [Verchery, 1982].

R(C) = C

8", R(C : ") = C : R(")

7.2 Les 8 groupes de symétrie possibles pour le tenseur d’élasticité en 3D

Les plans de symétrie permettent de les différentier et de visualiser la relation d’ordre partiel :

65

Chaque flèche représente une

relation d’inclusion ; les figures

représentent les traces des plans

de symétrie de C et leur

nombre.

isotrope

(2∞)

cubique(9)

isotrope transverse

(∞+1)

tétragonal(5) orthotrope(3)

trigonal(3)

monoclinique

(1)

triclinique

(0)

7.3 Représentation en base «naturelle»Parmi les 21 constantes indépendantes du tenseur d’élasticité, 3 d’entre elles peuvent être retenues comme les 3 angles d’Euler : on peut toujours exhiber au moins 3 zéros dans la matrice 6x6 qui les représente.

On nomme «base naturelle» la base canonique qui exhibe le plus de zéros.

[Dieulesaint et Royer, 74] montrent les 8* formes** associées aux 8 groupes de symétrie ainsi que les relations entre les termes.

* Et d’autres, redondantes (c.f. Forte-Vianello) **Nous les reproduisons ici en base de tenseurs et non en écriture de Voigt.

66

67

Ils sont exprimés dans leur repère associé et en notation de Voigt (pas de coefficients).D’après Dieulesaint et Royer, Ondes élastiques dans les solides, Masson, 1974.

00

000

000

Monoclinique

plan de sym. x3^

00

000

000

Orthotrope

plan de sym. xi^

000

0 00

000

Trigonal000

0

x

composantes égalescomposantes opposées

13 9 6

00

000

000

Tétragonal

axe x3, x1∈ p de sym

000

0

6

00

000

000

Isotrope transverse

axe x3

000

0

5x

00

000

000

Cubique000

0

3plan de sym. xi^

x composante égale à (C11 - C12)/2grande symétrie

n nombre de coeff. indép.s

s s s

s s s

axe x3, x1∈ p de sym

Triclinique

21s

Il existe une base permettant d’exhiber trois zéros.

00

000

000

Isotrope000

0

2s

xx

xbase quelconque

Supposons C invariant par la symétrie par rapport au plan              . Sa matrice est :

Appliquons la définition de l’invariance par rapport à S :

Observons que

68

7.4 Démonstration (cas monoclinique)S~e?3

(~e1,~e2)

S =

2

41 0 00 1 00 0 �1

3

5

S = I � 2~e3 ⌦ ~e3

Sij = 1 pour i = j = 1|2Sij = �1 pour i = j = 3Sij = 0 pour i 6= j

S(C) = CSipSjqSkrSlsCpqrs = Cijkl

Regardons le premier terme : le seul S1j possible est S11=1 :

Pour le second, c’est pareil, avec un S22 :

Pour le troisième intervient un S22 qui va inverser le signe et imposer un 0 :

etc…

Au final, tous les termes comportant un nombre impair d’indices 3 sont égaux à leur opposé, donc nuls :

69

<latexit sha1_base64="AznGautAeq3RuN1+0VrKgC0zbFk=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="fa98McZ/1qwvzN6Vh6Nv0BEYd1k=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="vNWeIJHDp5zRubiJ8nhk/VYPlfE=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="hC7eV+gNSG7zrVe+hdVYm/9KiUo=">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</latexit>

Ils sont exprimés dans leur repère associé et en notation de Voigt (pas de coefficients).D’après Dieulesaint et Royer, Ondes élastiques dans les solides, Masson, 1974.

00

000

000

Monoclinique

plan de sym. x3^

00

000

000

Orthotrope

plan de sym. xi^

000

0 00

000

Trigonal000

0

x

composantes égalescomposantes opposées

13 9 6

00

000

000

Tétragonal

axe x3, x1∈ p de sym

000

0

6

00

000

000

Isotrope transverse

axe x3

000

0

5x

00

000

000

Cubique000

0

3plan de sym. xi^

x composante égale à (C11 - C12)/2grande symétrie

n nombre de coeff. indép.s

s s s

s s s

axe x3, x1∈ p de sym

Triclinique

21s

Il existe une base permettant d’exhiber trois zéros.

00

000

000

Isotrope000

0

2s

xx

xbase quelconque

Un tenseur d’élasticité monoclinique par rapport au plan e3 a donc la forme suivante, en base de tenseurs de Bechterew :

70

11 22 33 23 31 1211

22

33

23

31

12

<latexit sha1_base64="8WaigtXPVpQXkdsGjwb6XMNykTs=">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</latexit>

Ils sont exprimés dans leur repère associé et en notation de Voigt (pas de coefficients).D’après Dieulesaint et Royer, Ondes élastiques dans les solides, Masson, 1974.

00

000

000

Monoclinique

plan de sym. x3^

00

000

000

Orthotrope

plan de sym. xi^

000

0 00

000

Trigonal000

0

x

composantes égalescomposantes opposées

13 9 6

00

000

000

Tétragonal

axe x3, x1∈ p de sym

000

0

6

00

000

000

Isotrope transverse

axe x3

000

0

5x

00

000

000

Cubique000

0

3plan de sym. xi^

x composante égale à (C11 - C12)/2grande symétrie

n nombre de coeff. indép.s

s s s

s s s

axe x3, x1∈ p de sym

Triclinique

21s

Il existe une base permettant d’exhiber trois zéros.

00

000

000

Isotrope000

0

2s

xx

xbase quelconque

11 22 33 23 31 1211

22

33

23

31

12

Si l’on suppose en plus un autre plan de symétrie , on annule les termes comportant un nombre impair d’indices 2.

On remarque que, ce faisant, on induit la nullité des termes comportant un nombre impair de 1, c’est à dire la symétrie par rapport au plan        , et on «saute» à la symétrie orthotrope.

71

7.5 Démonstration, cas orthotropeS~e?2

S~e?1

000

0

Le tenseur d’élasticité n’a pas une structure suffisamment complexe pour ne posséder que deux plans de symétrie orthogonaux.

Conformément au théorème de Herman [1932], il «saute» au groupe de symétrie «juste au dessus» qui possède trois plans de symétrie orthogonaux.

72

7.6 Le cas 2DVerchery [82] a montré que l’on pouvait avoir 4 groupes de symétrie distincts :

— digonal ou Z2 : symétrie centrale seule. Ex. : «Z». C’est le cas le plus général, il n’y a pas de relation particulière entre les composantes de C.

— orthotrope ou D2 : deux plans de symétrie ⊥, Ex. : «8» Il existe une base dans laquelle :

L’angle entre cette base et une base quelconque :

73

<latexit sha1_base64="xEeqN2dXobr7xnhbEV6LpJovC8o=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="SVZkv9krPBWFglc6KuCQY9QURNc=">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</latexit>

— tétragonal ou D4 : quatre plans à 45°. Ex. ⃞

L’angle entre cette base et une base quelconque est :

— isotrope ou O(2) : tous les plans sont plans de symétrie. Ex. : ◯

L’expression est la même quelle que soit la base.

74

<latexit sha1_base64="dunyBe6EWAL75Ya74g4pxJwJuyU=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="Ofm+S+OZQ/PkOe0INo+jjh5I6U0=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="oc7EiPHHeiQwm0W/tlodD17K94c=">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</latexit>

Attention les projecteurs PH et PD ont la forme suivante en 2D :

75

PH

2

41/2 1/2 01/2 1/2 00 0 0

3

5

BI⌦BJ

I

2

41 0 00 1 00 0 1

3

5

BI⌦BJ

PD

2

41/2 �1/2 0�1/2 1/2 00 0 1

3

5

BI⌦BJ

et la matrice de Bond est :

où Rij est la matrice de rotation.

76

R

2

4R2

11 R212

p2R11R12

R221 R2

22

p2R22R21p

2R11R21

p2R12R22 R11R22 +R12R21

3

5

La cristallographie consiste au recensement de toutes les organisations atomiques régulières possibles.

Le motif parallélépipédique pave l’espace régulièrement.

Cette organisation est perceptible à l’œil nu : c’est la découverte de la cristallographie parl’abbé Just Hauÿ vers 1800.

77

7.7 Relation avec la cristallographie

78

ab

1

Un parallélépipède possède 5 paramètres indépendants (la taille physique n’intervient pas) :

Selon les valeurs de a,b,α,β,γ, le groupe de symétrie du réseau est différent. En 3D on dénombre au final 14 types de réseaux et 5 en 2D.

Par exemple, si a=b=1, (rhomboèdre) le groupe ponctuel est trigonal :

Une maille trigonale

Aux sommets de la maille élémentaire sont placés des motifs (atomes ou molécules). Ces motifs possèdent aussi un groupe ponctuel de symétrie.

Le groupe de symétrie du matériau est l ’intersection des groupes de symétrie du motif et des réseaux.

Au final il existe 32 groupes de symétrie possibles en 3D. 79

Cristal de glace : les motifs sont des H2O d’orientation variées.

Exemple : cristallographie en 2D (L. Chen)

5 mailles pour 5 triangles possibles…

80

abθ

Parametrage de reseau triangle

Espace hachure : lieu des possibles pour le sommet Conditions generales :

0 c b a

ou a, b, c sont les plus petitesdistances du reseau.

Normalisation a = 1

↵ ⇡2

Oblique -Rectangle Rectangle Carre Hexagonalcentre

Reseautriangle Oblique Rectangle Isocele Isocele Equilaterale

rectangle

Element desymetrie du reseau

6 / 23

Pour les motifs, on se limite à des groupes de symétrie communs avec les précédents :

81

Liste des di↵erentes cas de motifs

10 motifs essentiels

Nom et groupe Representation Notation symbole Nom et groupe Representation Notation symbolede symetrie Schoen✏ies du GdS de symetrie Schoen✏ies du GdS

Virgule(1) C1 Oiseau(1m) C1h

Tilde(2) C2 Tabouret(2mm) C2v

Triskele(3) C3 Triquetra(3m) C3h

Svastika(4) C4 Croix de Malte(4mm) C4v

Etoile de Mer(6) C6 Flocon(6mm) C6v

9 / 23

Ces tables permettent de définir les intersections des deux groupes de symétrie :

82

Tableau de GdS des reseaux

Rotation Plan de symetrieNom du reseaux C2 C3 C4 C6 S0 S⇡

2S0

⇡3 S⇡

4S⇡

6

Oblique 1 0 0 0 0 0 0 0 0Rectangle 1 0 0 0 1 1 0 0 0

Rectangle centre 1 0 0 0 1 1 0 0 0Carre 1 0 1 0 1 1 0 1 0

Hexagonal 1 1 0 1 1 1 1 0 1

7 / 23

Tableau de GdS des motifs

Rotation Plan de symetrieNom de motif C2 C3 C4 C6 S0 S⇡

2S⇡

3S⇡

4S⇡

6

Virgule 0 0 0 0 0 0 0 0 0Tilde 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Triskele 0 1 0 0 0 0 0 0 0Shuriken 1 0 1 0 0 0 0 0 0

Etoile de mer 1 1 0 1 0 0 0 0 0Oiseau 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Tabouret 1 0 0 0 1 1 0 0 0Triquetra 0 1 0 0 1 0 1 0 0

Croix de malte 1 0 1 0 1 1 0 1 0Flocon 1 1 0 1 1 1 1 0 1

10 / 23

Pour connaitre le groupe de symétrie du cristal on procède à l’intersection des groupes de symétrie du réseau et du motif. Par exemple, dans le cas suivant, le groupe final est réduit à C2 (invariance par rotation de π).

83

Groupe de symetrie du cristal

Structure cristalline = motif + reseau

GdS structure cristalline = GdS reseau \ GdS motif (le symetrie du motif peut reduire lesymetrie du reseau)exp :

reseau motif combinaison combinaisonS' (' = n

⇡4 ) S' (' 6= n

⇡4 )

RepresentationRepresentation

element de symetrie

Figure de pole

Combinaisons possible pour le GdS cristal (reseau \ motif ) 71 cas)12 / 23

Et, au final, en étudiant les 71 combinaisons non dégénérées, on trouve 10 groupes de symétrie possible pour un cristal en 2D.

84

Resultats

Resultats :

71 combinaisons di↵erentes :+ Axe de rotation (Cn) : 5 ⇥ 10 = 50+ 1 plan + 2 plans de symetrie : 4 ⇥ 5+ 6 plan diagonaux : 1 ( equilateral + flocon)

Probleme :71 cas di↵erents mais au final seulement 10 classes de symetrie 1 a 6mm (notationHermann-Mauguin)

Dans le tenseur d’elasticite du 4eme ordre, il y a les symetrie indicielles :Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij

Le materiau est obligatiorement centro-symetrique.

En 2D centro-symetrique besoin au moin un element de symetrie C2, 4 des 10 types degroupes symetrie de la structure cristalline ne sont pas centro-symetrique (1, m, 3 et 3m)

1 m 2 2mm 3

3m 4 4mm 6 6mm

Question : Quelles sont leur tenseur d’elasticite ?17 / 23

Le tenseur d’élasticité hérite de ces symétries. Mais sa nature tensorielle (c.f. théorème de Hermann) entraîne des symétries supplémentaires. En premier lieu, la structure tensorielle implique une centro-symétrie (invariance par x→-x et y→-y), qui n’existe pas sur les classes 1,m,3,3m.

Ces symétries induites par la nature tensorielle réduisent le nombre de groupes de symétrie plane à :

— triclinique : groupe Z2

— orthotrope : groupe D2

— tétragonal : groupe D4

— isotrope : groupe O(2) 85

Cauchy, vers 1820, a modélisé la structure atomique par des treillis articulés. Ce faisant, on trouve une symétrie supplémentaire au tenseur d’élasticité :

Ce faisant, C est symétrique par rapport à tous ses indices et ne possède que 15 composantes indépendantes. Le sujet est toujours d’actualité pour les matériaux architecturés.

86

Cijkl = Cjikl

= Cijlk

= Cklij

= Cikjl

7.8 Élasticité de Cauchy

Si l’on impose cette symétrie indicielle, la forme du tenseur est :

Quel est le groupe de symétrie possible pour de tels matériaux ?

Et bien en fait tous ! Il peut être triclinique…

87

11 22 33 23 31 1211

22

33

23

31

12

C

2

6666664

a f ep

2gp

2mp

2lb d

p2n

p2h

p2k

cp

2op

2pp

2i2d 2i 2h

2e 2g2f

3

7777775

Ces relations sont vraies tant qu’on considère un réseau élastique (linéaire ou non) avec un potentiel fonction de la distance interatomique.

Pour s’affranchir de la symétrie «de Cauchy», il faut considérer des interactions de type moment… Ceci peut être perçu comme un argument pour les milieux micro-polaires de Cosserat ou du second gradient… Ces moments peuvent provenir des arrangements moléculaires favorables, de l’alignement des spins (?)

88

Élasticité de Cauchy Élasticité de Hooke

Bibliographie

89

Livres génériques…

90

Les tenseurs en mécanique et en élasticité, Léon Brillouin, Masson, 1960.

Le calcul tensoriel, André Delachet, Que sais-je N°1336.

Initiation progressive au calcul tensoriel, Claude Jeanperrin, Ellipses, 1999.

Champs de vecteurs et de tenseurs, E. Bauer, Masson, Paris, 1955.

Le calcul tensoriel en physique, J. Hladik, Masson, 1993. Le calcul vectoriel en physique, J. Hladik, Ellipses, 1993.

Les tenseurs, Wikipedia.

Pour les bases de tenseurs et la décomposition de Kelvin…

Elements of Mathematical Theory of Elasticity. Lord Kelvin, Phil. Trans. R. Soc., 146, 1856.

Analytical study of the generalized Hooke’s law. Application of the method of coordinate transformation, P. Bechterew, Zh. Russ. Fiz.-Khim. Obshch. Leningrad. Univ., Fizika, 58, 3, 1926.

Anisotropy of elastic properties of materials, B. D. Annin et N. I. Ostrosablin, J. App. Mech. & Tech. Phys., 49, 6, 2008.

On Hooke’s law, J. Rychlewski, Prikladnaya matematika i mekhanika, 48, 3, 1984.

91

Eigentensors of linear anisotropic elastic materials, M. Mehrabadi et S. Cowin, Q. J. Mech. Appl. Mat., 43, 1, 1990.

The structure of the linear anisotropic elastic symmetries, S. Cowin et M. Mehrabadi, J. Mech. Phys. Solids, 40, 7, 1992. Corrigenda, 41, 12, 1992.

92

Pour les groupes de symétrie des tenseurs d’élasticité…

Ondes élastiques dans les solides, Dieulesaint et Royer, Masson, 1974.

Determination of the symmetries of an experimentally determined stiffness tensor : applications to acoustic measurements, M. François, G. Geymonat et Y. Berthaud, Int. J. Solids & Struct., 35, 31-32, 1998.

Symmetry classes and harmonic decomposition for photoelasticity tensors, S. Forte et M. Vianello, Int. J. Engn. Sci. 35, 14, 1997.

On the algebraical structure of anisotropic generalized elasticity, N. Auffray, J. Elast., (soumis).

93

Origine de ce travailÉcole d’été MatSyMat. Nantes, 8-10 septembre 2014. Cours de MM Kolev, De Saxcé, Coret, Auffray et François. https://matsymat.sciencesconf.org

94