TENSEURS - mmaya.frmmaya.fr/PDF/TENSEURS.pdf · TENSEURS Dans le calcul tensoriel, ... En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner

  • View
    219

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of TENSEURS - mmaya.frmmaya.fr/PDF/TENSEURS.pdf · TENSEURS Dans le calcul tensoriel, ... En...

  • TENSEURS

    Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la faon dont se transforment dans un changement de base les

    composantes des lments d'un espace vectoriel et d'un produit d'espace vectoriel.

    En fait, on recherche systmatiquement les valeurs intrinsques. On exprimera des relations qui seront

    indpendantes du systme de coordonnes utilis pour les expliciter. En effet, seules ces relations pourront

    exprimer une ralit physique. La puissance galilenne d'une force ne peut en aucun cas tre dpendante du

    repre de calcul choisit.

    Convention d'criture

    Dj dans un seul espace vectoriel dimension peu leve, le formulaire de changement de base est

    lourd. On conoit donc des difficults d'criture pour des cas un peu complexes. Il est important de condenser les

    critures afin les rendre plus maniables.

    Convention d'Einstein

    Souvent nous devrons exprimer des sommes de monmes. L'habitude veut qu'alors on utilise des

    indices de valeurs variables. La variation de ces indices est essentiellement fonction de la dimension de l'espace

    vectoriel concern.

    La convention d'Einstein permet une simplification supplmentaire.

    Tout monme o certains indices littraux figurent chacun deux fois, en position suprieure

    dans un facteur et en position infrieure dans un autre, reprsente la somme de tous les monmes

    analogues, avec chacun de ces indices rpts prenant n valeurs.

    Un indice rpt est appel indice muet.

    nn

    n

    i

    i

    i

    i

    i vuvuvuvuvu

    22

    1

    1

    1

    a x y a x yiji j

    ij

    i j

    j

    n

    i

    n

    11

    Un indice non muet est dit libre.

    Toute galit o figurent certains indices libres, la mme hauteur aux deux membres,

    s'entendra comme valables pour toutes les valeurs de 1 n de ces indices.

    Une telle quation reprsentera en ralit un systme de pn galits si elle comporte p indices libres.

  • 3pour333

    3

    23

    2

    13

    1

    232

    3

    22

    2

    12

    1

    131

    3

    21

    2

    11

    1

    n

    yxaxaxa

    yxaxaxa

    yxaxaxa

    yxa hihi

    Remarques

    * L'emploi d'indices suprieurs peut crer un risque de confusion avec l'criture des puissances.

    Aussi en criture indicielle, on convient d'une notation particulire pour les puissances. On dsignera par pa la

    imep puissance de a.

    * Un monme reste inchang lorsqu'on change la lettre qui dsigne un indice muet:

    lmn

    lm

    jik

    ij

    ml

    lmn

    ji

    ijkm

    lm

    l

    i

    j

    j

    i

    h

    h

    i

    i vxvxyxyxxyayxavuvu

    * Pour dsigner un monme par une lettre unique, on devra la munir des mmes indices libres

    que le monme :

    pq

    m

    l

    i

    i

    o

    opq

    lmk

    ji

    ijk

    i

    j

    j

    i

    i

    i xwyxfyxapvu

    * Il est impratif de ne pas tripler les indices muets. En effet, l'criture j

    j

    j

    i yxa n'a aucun

    sens, les critures l

    j

    j

    i yxa et j

    j

    l

    i yxa ayant chacune un sens diffrent.

    * Si on veut dire jiba est gal 1 si i est gal j, il faut crire :

    a b i ji j 1 si

    En effet, la formule condense a bi i 1 reprsente tout autre chose.

    Rgles de calcul

    Dans la convention d'Einstein, on peut traiter les oprations suivant les rgles de calcul des oprateurs

    utiliss. On obtient ainsi :

    Les additions sont associatives et commutatives.

    Les multiplications sont associatives et distributives, droite comme gauche, par rapport aux

    additions.

    .

    n

    i

    kik

    in

    i

    n

    m

    n

    h

    h

    kih

    mi

    m

    h

    kih

    mi

    mik

    i

    n

    h

    h

    kjh

    n

    m

    mi

    m

    h

    kjh

    mi

    mjk

    i

    jl

    j

    i

    l

    j

    j

    i

    j

    jl

    j

    i

    l

    ji

    j

    ji

    j

    iiii

    h

    kjhjk

    jl

    j

    i

    l

    iji

    j

    iji

    j

    i

    utpycxaycxatp

    ycxaycxatp

    xbaxxbxarqps

    yctxrxbqxap

    11 1 1

    11

    .

    )(

    Remarques

    * Le calcul formel ne permet pas toutes les oprations classiques. En particulier, les oprations

    de simplifications par division doivent tre menes avec prcautions.

    i

    i

    i

    i

    i

    a

    bx

    a

    bxa

    0

  • * Les rgles de calcul ncessitent d'tre trs rigoureux sur l'emploi des indices. En effet, il ne

    faut pas confondre le produit ii xu par iw qui est reprsent par il

    l wxu avec le produit de iu par iiwx qui

    est reprsent par l

    l

    i wxu .

    Applications aux matrices

    Pour une matrice carre A n lignes et n colonnes, nous dsignerons souvent par i

    ja au lieu de ija le

    terme reprsentant l'lment de la ligne i et de la colonne j. On utilisera ainsi la convention de notation o-li-ba-co

    (haut=ligne, bas=colonne). Nous crirons donc :

    ijaA Pour l'expression du dterminant, on aura :

    i

    jaA )(Det

    Avec ces notations, le produit de deux matrices s'exprime trs facilement :

    i

    k

    j

    k

    i

    j cbaCBA

    En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner la matrice

    identit :

    i

    k

    j

    k

    i

    jbaIBA

    On voit ainsi apparatre le symbole de KRONECKER :

    ki

    kiik

    ik

    i

    ksi0

    si1

    On peut pressentir la rsolution d'un systme :

    ij

    i

    jiji

    j ybxyxa

    Le calcul du dterminant permet de faire apparatre le pseudo-tenseur de LEVI-CIVITA appel parfois

    le deuxime symbole de KRONECKER :

    n

    iii

    iiii

    n

    ii

    iii n

    nn

    naaaaaaA

    21

    21 21

    2121

    21)(Det

    avec :

    niii

    niii

    n

    n

    iii

    iiin

    n

    ,,2,1 de impairen permutatio uneest ,,, si1

    ,,2,1 de pairen permutatio uneest ,,, si1

    gauxsont indices desdeux si0

    21

    2121

    21

    En fait on peut obtenir aussi des critures intressantes en faisant intervenir les cofacteurs des lments

    de la matrice A. En notant i

    j ( ijjii

    j )1( ) le cofacteur de ija , on a :

    )(Det Aa ikj

    k

    i

    j

    Si le dterminant de la matrice A est non nul, on peut retrouver les lments de la matrice B inverse de A

    :

    ijjii

    j

    i

    ji

    jA

    b

    )1()(Det

    La valeur du dterminant devient :

    n

    i

    n

    j

    i

    j

    j

    i

    i

    j

    j

    i aaA1 1

    )(Det

  • Application aux formes quadratiques

    Considrons la forme quadratique, coefficients symtriques ( jiij aa ), dfinie par :

    jiij xxaxg

    Les termes ija sont des constantes scalaires, et les ix sont des variables scalaires produits

    commutatifs. Cette commutativit permet d'crire tout terme du type 21

    122 xxa comme la somme 21

    21

    21

    12 xxaxxa .

    Le calcul de la diffrentielle de la forme quadratique nous donne :

    ijjiij dxxdxxagd En jouant sur la permutation des indices muets et la symtrie de la forme quadratique, on peut crire :

    ij

    ij

    ij

    ji

    ji

    ij dxxadxxadxxa

    Ce qui nous donne :

    ij

    ij dxxagd 2

    On peut ainsi obtenir la drive partielle de la forme quadratique par rapport la variable ix :

    j

    ijixa

    x

    g2

    La notation de cette drive partielle peut tre aussi abrge :

    j

    ijiixag

    x

    g2,

    Le calcul prcdent permet de retrouver l'identit d'Euler pour les fonctions homognes de degr 2 :

    ggx ii 2,

    Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels mtriques

    Les proprits des tenseurs seront trs diffrentes suivant la nature des espaces dans lesquels ils seront

    dfinis. L'usage impose de distinguer deux cas : l'espace vectoriel affine et l'espace mtrique qui contient les

    espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si certaines formules tensorielles prennent des

    formes simples dans un espace euclidien, il est parfois ncessaire d'employer des espaces vectoriels affines.

    Espaces vectoriels affines

    Dans ce type d'espace, on admet les postulats qui permettent de dfinir des vecteurs. L'espace n

    dimensions comportera n axes de coordonnes ayant priori chacun une unit particulire. Un vecteur arbitraire

    v

    sera reprsent par ses composantes nvvv ,,, 21 suivant les diffrents axes sur lesquels nous aurons au

    pralable dfini des units neee

    ,,, 21 .

    ii evv

    La longueur absolue du vecteur v

    ne peut pas tre dfinie puisqu'il n'y a aucune commune mesure

    entre les diffrentes composantes nvvv ,,, 21 . La distance de deux points ne peut pas tre mesure.

  • De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l'utilit de ce type d'espace. Toutefois en

    physique on fait souvent usage de figures ou de diagrammes tracs en gomtrie affine.

    En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d'tats faisant intervenir les variables

    pression, volume et temprature. Pour le mcanicien, la loi de comportement d'un matriau peut parfois tre

    reprsent dans un espace affine des variables contraintes et dformations.

    Dans un espace affine, c'est une pure convention que de tracer des axes orthogonaux. En effet, si on ne

    peut pas dfinir une longueur, il est impossible de parler d'angle.

    Dans ce type d'espace, une fonction 12 xfx se reprsentera par une courbe. Mais, suivant les conventions d'units et d'axes, cette courbe se dformera. Par contre certaines relations conserveront un sens

    invariant. Ainsi en thermodynamique, une loi d'volution d'un gaz peut tre reprsente dans le diagramme de

    Clapeyron (pression, volume). Ce diagramme reprsente videmment un espace affine, mais pour une volution

    quelconque, le produit des variables pression-volume reprsente une nergie qui doit tre indpendante du mode

    de reprsentation utilis.

    C'est en jouant sur cette notion importante d'invariant que le mcanicien trouve certaines formules de loi

    de comportement d'un matriau.

    Espaces vectoriels mtriques

    En gomtrie mtrique, on ajoute une condition supplmentaire, qui permet de dfinir la distance entre

    deux points ou la longueur d'un vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l'espace euclidien, on se dfini un

    repre orthogonal, dont les vecteurs ont tous un mme module gal une unit choisie arbitrairement. On peut

    ensuite construire une infinit d'autres repres rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de

    coordonnes. Dans ce changement, toute longueur doit rester invariante. Bien entendu, la notion de longueur

    permettra ensuite de dfinir la notion d'angle.

    Le problme associ l'algbre tensorielle, c'est que nous ne commenons pas par ce type de gomtrie,

    contrairement ce qui est fait en gomtrie lmentaire. Cette algbre tensorielle, bien plus gnrale que la petite

    gomtrie d'arpentage a la prtention de devenir la gomtrie gnrale de la physique, en gnralisant les

    phnomnes physiques.

    Espaces vectoriels mixtes

    Entre les deux cas purs (affine et mtrique), il convient de noter qu'il existe des espaces mixtes, qui

    seraient affines vis--vis de certaines coordonnes et mtriques pour d'autres. Ainsi la reprsentation d'une

    rpartition de pression sur une surface peut tre reprsente dans un espace 21 ,, xxp . Cet espace est mtrique dans le plan 21, xx mais pas dans les autres plans.

    Algbre tensorielle en espace affine

    Contravariance

    Soit nE un espace vectoriel de dimension n sur un corps K de scalaires. Dans la suite du cours, nous

    considrerons que la dimension de En est finie et que le corps K est commutatif.

    Dans ce chapitre, nous supposerons que nE est dot simplement d'une structure affine. C'est--dire que ,

    outre l'galit, les seules relations envisages entre les lments de nE seront l'addition et la multiplication par

    un scalaire.

  • Soit ),,,( 21 ni eeee

    une base de nE . Un vecteur v quelconque de nE est alors une

    combinaison linaire des vecteurs de la base :

    ii evv

    Soit IE

    une nouvelle base de nE . On aura alors de nouvelles composantes pour v

    :

    II EVv

    D'autre part, la nouvelle base est relie l'ancienne par les formules de changement de base et la

    matrice A associe :

    jj

    II eaE

    Ce qui nous donne :

    v a Vi Ii I

    Mais de plus la matrice de changement de base est inversible et on peut lui associer son inverse B :

    IibAB 1 On aura donc :

    e b Ei i

    II et V b v

    IiI i

    Les formules prcdentes amnent la remarque suivante :

    Alors que la nouvelle base a t dfinie en fonction de l'ancienne l'aide des lments de la

    matrice A, les nouvelles composantes du vecteur s'expriment en fonction des anciennes l'aide de la matrice

    inverse B.

    On exprime ce fait en disant que les composantes d'un vecteur de nE sont contravariantes dans un

    changement de base sur cet espace. On dit qu'un vecteur de nE est un tenseur contravariant du premier ordre sur

    nE .

    Remarque : Pour plus de clart dans les formules, nous avons employ des lettres majuscules pour

    tout ce qui se rapporte au second systme de coordonne, mme pour les indices. Il est vident que ce genre de

    notation ne pourra tre maintenu dans la suite o nous pourrons tre amen considrer plusieurs changements

    de base conscutif.

    Forme linaire et covariance

    Dans le chapitre portant les espaces vectoriels nous avons dfini les applications linaires.

    Nous appellerons forme linaire toute application linaire de nE sur le corps des scalaires K.

    Une telle forme linaire est donc un oprateur du type :

    KvfEv n

    La notion de linarit imposant :

    ufvfuvf

    On obtient donc dans une base ie

    :

    iiiiii fvefvevfvf

    On constate que vf

    apparat comme une combinaison linaire des v i . Toutefois, d'aprs sa

    dfinition, l'expression v fi i reprsente un scalaire intrinsque, c'est dire indpendant de la base ie

    utilise

    dans nE .

  • De fait, un changement de base Ii Ee

    nous conduit aux relations :

    II

    i

    i FVfvvf

    avec iiIiiIiiIII faefaeafEfF

    On obtient aussi :

    f b Fi iI

    I

    Ces formules nous montrent que les coefficients f i de notre forme linaire varient dans le mme sens

    que les vecteurs de base dans un changement de base. Nous dirons qu'ils sont covariants dans un changement de

    base.

    On peut remarquer la notation employe. Arbitrairement, les vecteurs de base sont nots avec des

    indices infrieurs. Les vecteurs contravariants ont donc des indices suprieurs, alors que les coefficients

    covariants sont nots aces des indices infrieurs. Ce type de notation est celui que nous allons employer dans la

    suite.

    Espace dual

    Considrons l'ensemble des formes linaires sur nE . Nous admettons que muni des lois de composition

    suivantes, cet ensemble est un espace vectoriel :

    Addition de deux formes linaires s f g v E s v f v g vn

    ( ) ( ) ( )

    Produit d'une forme linaire par un scalaire p f v E p v f vn

    ( ) ( )

    On admet la notion d'galit entre deux formes linaires :

    g f v E g v f vn

    ( ) ( )

    On aura en particulier la forme nulle :

    f O v E f v On

    ( )

    L'ensemble des formes linaires sur K est un espace vectoriel appel espace dual de nE not

    nE .

    Recherche d'une base de

    nE

    nE tant un espace vectoriel, on peut toujours dfinir une base de cet espace vectoriel. Toutefois nous

    allons rechercher une base particulire de

    nE prsentant des proprits simples et rendant les calculs plus

    commodes.

    Considrons comme lments particuliers de

    nE les n formes linaires dfinies par :

    ijji ee *

    On dmontre sans difficult que pour toute forme linaire f on a :

    i

    ieff*

    De plus la suite ie* est libre. De fait elle constitue une base de nE . Ce qui nous amne aux conclusions suivantes :

    L'espace

    nE dual de nE a la mme dimension que nE .

    Il admet la base ie* appele base duale de la base ie

    de nE .

    Les coefficients d'une forme linaire f, relativement la base ie

    de nE ne sont que les

    composantes de f suivant la base ie* de nE .

  • Dual de l'espace dual

    En recherchant l'espace vectoriel dual de l'espace vectoriel

    nE , on obtient un espace vectoriel de

    dimension n qui par correspondance peut tre assimil l'espace vectoriel nE lui-mme. La dualit est une

    relation rciproque. Dans la dualit, la covariance devient la contravariance si nous adoptons

    nE au lieu de nE

    comme espace initial. Il est alors vident que les notions de variance seront troitement dpendantes de l'espace

    vectoriel initial.

    Multiplication tensorielle

    Soient nE et mE ' deux espaces vectoriels, distincts ou non, de dimensions finies n et m sur le mme

    corps commutatif K de scalaires.

    On rappelle que l'ensemble des couples ',VV

    tels que nEV

    et mEV ''

    est not En E'm.

    On appelle produit tensoriel de nE par mE ' et on le note mn EE ' , un troisime espace

    vectoriel de dimension nm sur le corps K muni d'une application de mn EE ' dans

    mn EE ' satisfaisant aux proprits ci-aprs :

    * La multiplication tensorielle est distributive, droite comme gauche, par rapport

    l'addition .

    * La multiplication tensorielle est associative avec la multiplication par un scalaire.

    * Si p vecteurs V

    sont linairement indpendants et si q vecteurs 'V

    le sont aussi, alors les

    produits 'VV

    sont linairement indpendants.

    A partir d'une telle loi de composition, il est possible d'tablir une table d'opration. Considrons ie

    [resp. je '

    ] une base de nE [resp. de mE ' ]. D'aprs la troisime proprit, on obtient une base de mn EE '

    en formant les nm produits : jiij ee '

    avec i = 1,2, ... , n et j = 1,2, ... , m

    Cette base ij est appele base associe dans mn EE ' aux bases ie

    de nE et je '

    de mE ' .

    L'lment gnrique de mn EE ' est dfini par :

    mnijji

    ji

    ji

    ij

    ij

    mj

    j

    ni

    i EEvveevvVVtTEevVEevV ''''''''',

    Proprits

    1- Avec les proprits de dfinition, on peut dire que la multiplication tensorielle des lments de

    nE par les lments de mE ' est une application bilinaire de mn EE ' dans mn EE ' .

    Attention, il faut bien distinguer une application dans mn EE ' et non pas une application sur

    mn EE ' . En effet, dans le cas gnral on ne peut pas associer un couple ',VV

    de mn EE ' tout lment

    ijt de mn EE ' . Ceci nous conduirait rechercher n+m inconnues ji vv ', par partir de nm quations ijji tvv ' . Ainsi l'ensemble des produits 'VV

    n'est en gnral qu'une partie de mn EE ' . On dit que les

    'VV

    sont les lments dcomposs de mn EE ' .

    2- Le produit tensoriel de deux vecteurs n'est pas commutatif en gnral. Considrons en effet la

    multiplication tensorielle d'un lment de nE par un lment de mE ' . Il faut tout d'abord noter que le problme

  • de la commutativit ne peut se poser que si les deux espaces sont identiques. Dans ce cas, le produit ji ee

    est

    distinct du produit ij ee

    puisque les deux lments ij et ji appartiennent une base de nn EE .

    Dfinition gnrale des tenseurs

    On remarque que la dfinition de la multiplication tensorielle permet un calcul en cascade. En effet la

    multiplication tensorielle de deux espaces vectoriels nE et mE ' nous donne un troisime espace vectoriel

    mn EE ' . Ce dernier peut nouveau servir la dfinition d'un espace vectoriel omn EEE ''' partir d'un espace vectoriel oE '' . On imagine aisment la gnralisation qui peut tre faite.

    Toutefois, afin d'viter des difficults complmentaires, nous imposerons une quatrime proprit la

    multiplication tensorielle.

    La multiplication tensorielle des lments de plusieurs espaces vectoriels est associative.

    Pour assurer cette associativit, il suffit de se l'imposer sur les vecteurs de base.

    kjikjikji eeeeeeeee "'"'"'

    On peut donc maintenant donner une dfinition gnrale des tenseurs.

    Nous appellerons tenseurs sur mmn EEE ''' , tout lment de l'espace

    vectoriel omnomn EEEEEE '''''' .

    L'expression gnrale de ces tenseurs est donc :

    kjiijk eeet "'

    T

    Les termes t ijk reprsentent les composantes de T suivant la base kji eee "'

    . Il est vident que

    ces composantes sont fonctions des bases.

    Considrons les changements de base suivants :

    K

    K

    kk

    J

    J

    jj

    I

    I

    ii

    k

    k

    KK

    j

    j

    JJ

    i

    i

    II

    Ebe

    Ebe

    Ebe

    eaE

    eaE

    eaE

    """

    '''

    """

    '''

    Dans la nouvelle base, les composantes IJKT du tenseur T sont dfinies par la notion d'invariance de

    ce tenseur dans tous changement de base :

    KJIIJK

    kji

    ijk EEETeeet "'"'

    T

    On peut alors en dduire les relations fondamentales suivantes :

    IJKk

    K

    j

    J

    i

    I

    ijkijkK

    k

    J

    j

    I

    i

    IJK TaaattbbbT "'"'

    En fait, en gnral, les tenseurs employs sont plus restrictifs car ils ne sont dfinis qu' partir d'un

    espace vectoriel nE et de son dual

    nE .

    On appelle tenseur d'ordre p sur nE tout tenseur sur un produit de p espaces vectoriels dont

    chacun est identique nE ou son dual

    nE .

    Ce tenseur est dit affine si l'espace vectoriel nE est dote d'une structure affine.

    Les conventions de notation pour un tenseur T de l'espace vectoriel *nnn EEE sont les suivantes :

    - Tous les facteurs nE du produit *

    nnn EEE seront rapports une mme base ie

    .

  • - Tous les facteurs

    nE du produit *

    nnn EEE seront rapports une mme base duale

    ie* . Ainsi toute base ie

    de nE correspond une base

    kji eee

    * de *nnn EEE .

    Nous dirons que les composantes de T suivant cette base sont les composantes de T suivant la base ie

    .

    Ces composantes seront notes

    ij

    kt . Un indice suprieur (resp. infrieur) correspondra donc chaque

    facteur de base pris dans nE (resp.

    nE ) et les rangs latraux des indices reproduiront l'ordre des facteurs de

    base correspondants.

    Exemples

    1- Considrons que nE soit en fait 3

    R . L'ensemble des formes linaires sur 3

    R est

    l'espace vectoriel dual 3

    R . Avec une seule multiplication tensorielle, nous pouvons faire apparatre quatre espaces vectoriels dont la dimension est 9 :

    jij

    ij

    ij

    i

    ij

    ij

    ji

    ij

    j

    ijij

    iji

    ij

    ij

    ji

    ij

    teet

    teet

    teet

    teet

    *33

    **33

    *33

    33

    RR

    RR

    RR

    RR

    TT

    TT

    TT

    TT

    2- Un lment de nnnn EEEE **

    sera not :

    LKJ

    I

    LI

    JKl

    kj

    i

    li

    jk EEEETeeeet

    ****T

    Changement de base

    Un changement de base est dfini par les relations suivantes :

    I

    I

    iii

    i

    II

    I

    I

    iii

    i

    II

    EbeeaE

    EbeeaE

    Dans l'exemple ci-dessus, les nouvelles composantes du tenseur T sont :

    LKJ

    I

    LI

    JKl

    kj

    i

    li

    jk EEEETeeeet

    ****T

    Ce qui nous donne :

    LI

    JK

    l

    L

    K

    k

    J

    j

    i

    I

    li

    jk

    li

    jk

    L

    l

    k

    K

    j

    J

    I

    i

    LI

    JK TabbattbaabT

    Les formules prcdentes montrent bien l'intrt d'une notation qui de prime abord semble un peu

    lourde.

    Rciprocit

    Inversement donnons-nous priori une suite li

    jkt de 4n composantes de nE .

    Nous dirons que cette suite est tensorielle sur nE si ce sont les composantes d'un tenseur,

    autrement dit si lkj

    i

    li

    jk eeeet

    ** est un lment intrinsque de nnnn EEEE **

    .

    En fait, on peut traduire la tensorialit par l'affirmation suivante :

  • Pour qu'une suite li

    jkt de 4n composantes de nE soit tensorielle sur cet espace, il faut et il

    suffit que le changement de base

    II

    iii

    i

    II EbeeaE

    la transforme en une suiteLI

    JKT telle que :

    li

    jk

    L

    l

    k

    K

    j

    J

    I

    i

    LI

    JK tbaabT

    On peut donc remarquer qu'il existe une correspondance biunivoque entre les tenseurs sur nE et les

    suites tensorielles sur cet espace. Pratiquement nous ne distinguerons pas le tenseur T de la suite tensorielle li

    jkt

    et on notera lijktT en sous-entendant la rfrence la base ie

    .

    Exemples fondamentaux

    1- Tenseur de KRONECKER

    Not i

    j ou encore i

    j (et donc tout simplement i

    j ), le symbole de KRONECKER

    est tensoriel sur tout espace vectoriel nE . Le tenseur associ dont les composantes suivant une base particulire

    ie

    sont i

    j

    i

    jt , est trs caractristique car les composantes sont indpendantes de la base utilise. En effet,

    dans une autre base IE

    , les composantes de ce tenseur sont :

    I

    J

    i

    J

    I

    i

    i

    j

    j

    J

    I

    i

    i

    j

    j

    J

    I

    i

    I

    J ababtabT

    2- Attention, not ij ou encore ij , le symbole de KRONECKER n'est pas tensoriel.

    3- Dans le mme ordre d'ide, il faut noter que les coefficients j

    ia d'un changement de base ne

    sont pas tensoriels. La premire caractristique d'une suite tensorielle est de n'tre fonction que d'une seule base.

    La suite jia est fonction du couple de base Ii Ee

    , .

    4- Considrons la suite ijg des neuf produits scalaires des vecteurs de la base ie

    de 3

    R :

    jiij eeg

    .

    Cette suite est symtrique car on a :

    jiijijji ggeeee

    ..

    Cette suite tensorielle constitue la suite des composantes d'un tenseur appartenant 33 RR appel

    le tenseur fondamental sur 3

    R .

    En gomtrie, son importance est capitale, car la connaissance des neuf produits scalaires ijg

    dtermine les longueurs des vecteurs de base et les angles qu'ils font deux deux.

    Si on admet que le produit scalaire est une forme linaire sur R , on peut alors introduire les

    composantes covariantes des vecteurs de 3

    R . Elles sont dfinies par :

    jijijjijjii vgeeveeveVv

    ...

    On peut alors exprimer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques :

    iiiijijiijijiijj vuvuvgueeuveuevUV

    ...

    Ainsi, pour obtenir le produit scalaire de deux vecteurs, il suffit de multiplier les composantes

    covariantes d'un vecteur par les composantes contravariantes de l'autre vecteur et de faire la somme de ces

    produits.

  • 5- Un tenseur d'ordre p sur nE est apparu comme dfini par une suite de pn composantes. En

    tendant cette notion p=0, on obtient un tre une seule composante, sans variance, qu'on appelle un scalaire

    intrinsque.

    Pour la gnralit de certains noncs, il sera effectivement utile d'assimiler les scalaires intrinsques

    aux tenseurs d'ordre 0.

    Tenseurs symtriques ou antisymtriques

    On remarque, sur un tenseur d'ordre deux, que l'galit jiij tt avec 1 est invariante pour tout

    changement de base. C'est une proprit intrinsque la suite tensorielle.

    Si 1 , on dit que le tenseur est symtrique et si 1 on dit que le tenseur est antisymtrique.

    Ces notions de symtrie et d'antisymtrie peuvent tre gnralises des tenseurs d'ordre suprieur

    deux. L'observation vaut alors pour des symtries ou des antisymtries partielles, c'est dire portant sur la

    transposition de deux indices particuliers, pourvu que ces deux indices soient la mme hauteur.

    Ainsi le tenseur suivant est symtrique

    i

    lkj

    i

    jkl tt

    En particulier, si un tenseur est compltement contravariant (ou compltement covariant), il se peut que

    toute transposition de deux indices change la composante correspondante en elle-mme (resp. en son oppose).

    On dira alors que le tenseur est compltement symtrique (resp. compltement antisymtrique).

    Oprations sur les tenseurs

    Egalit de deux tenseurs

    En toute rigueur, un tenseur est gal un autre s'il est le mme lment d'un espace. Ainsi l'galit ne

    peut tre envisage qu'entre tenseurs du mme type, c'est dire des tenseurs associs au mme espace vectoriel

    nE et prsentant le mme nombre et la mme disposition des indices.

    Nous dirons que deux tenseurs sont gaux si toutes leurs composantes homologues dans une

    base tensorielle sont gales.

    Nous pourrons donc dsigner plusieurs tenseurs sous la mme notation.

    Ce qui nous donne pour les tenseurs suivants :

    r

    qp

    pq

    r

    k

    ji

    ij

    k eeeveeeu**

    VU

    ijkijkijkijk vuvu VU

    En particulier, le tenseur U sera nul si et seulement si toutes ses composantes dans une base sont

    nulles.

    On peut remarquer le caractre intrinsque de cette notion d'galit.

  • Oprations linaires

    Soient encore U et V deux tenseurs du mme type, lments de *

    nnn EEE , donns par :

    r

    qp

    pq

    r

    k

    ji

    ij

    k eeeveeeu**

    VU

    A priori, l'lment dfini par VU , avec et deux scalaires intrinsques, est un lment de *

    nnn EEE :

    rqppqrpqrrqppqrkjiijk eeevueeeveeeuVU ***

    Donc, si ijku et ijkv sont les suites de composantes de deux tenseurs U et V du mme type, et si et sont deux scalaires intrinsques, alors la suite ijkt telle que

    ij

    k

    ij

    k

    ij

    k vut

    Est une suite tensorielle. C'est la suite des composantes du tenseur VUT

    Produit tensoriel de deux tenseurs

    Considrons prsent deux tenseurs U et V non ncessairement du mme type. Par exemple :

    k

    ji

    ij

    k eeeu*

    U et q

    pq

    p eev

    *V

    Dans la multiplication de *

    nnn EEE par nn EE *

    , il leur correspond ( du fait de l'associativit

    de la multiplication tensorielle) un lment de nnnnn EEEEE **

    qui est :

    qpkjiqpijkqpqpkjiijk eeeeevueeveeeuVU

    ****

    Donc, si ijku et qpv sont les suites de composantes de deux tenseurs U et V , la suite qijkpt telle que qpijkqijkp vut est tensorielle; c'est la suite des composantes du tenseur VUT .

    L'ordre du nouveau tenseur ainsi dfini est gal la somme des ordres des deux tenseurs gnrateurs.

    Contraction d'un tenseur mixte

    Considrons un tenseur mixte, par exemple tkl

    ij m.

    On dit que l'on contracte le tenseur mijklt en k et m quand, pour tout choix des autres indices, on fait la somme des composantes o k=m.

    On obtient ainsi une nouvelle suite de composantes :

    n

    k

    kij

    kl

    k

    m

    mij

    kl

    kij

    kl

    ij

    l tttw1

    On peut, sans difficults, dmontrer la tensorialit de cette suite de composante.

    On dit que le tenseur ijlw est le tenseur contract, en k et m, du tenseur mijklt .

  • On constate que toute contraction d'un tenseur mixte ampute ce tenseur la fois d'une covariance et

    d'une variance. Ainsi, partir d'un tenseur mixte d'ordre p, la contraction nous donne un tenseur d'ordre p-2 qui

    d'ailleurs, n'est pas ncessairement mixte.

    En particulier, si un tenseur d'ordre 2p est p fois covariant et p fois contravariant, p contractions

    successives nous permettrons d'atteindre un tenseur d'ordre zro, c'est dire un scalaire intrinsque.

    Remarque Si la suite tensorielle ijc peut tre considre comme celle des lments de la matrice associe un oprateur, la contraction c i

    i donne la somme des lments diagonaux, qu'on appelle trace

    de la matrice. On retrouve ainsi que la trace est invariante par changement de base.

    Multiplication contracte

    En combinant la contraction la multiplication tensorielle, on peut dfinir la multiplication contracte.

    Par exemple, ij

    ku et i

    jv tant des tenseurs, on peut former les tenseurs suivants :

    kij

    mk

    ij

    m

    l

    m

    ij

    k

    lij

    mk twvut ;

    Mais on peut crire directement :

    k

    m

    ij

    k

    ij

    m vuw

    On pourra bien entendu effectuer plusieurs contractions simultanment, les indices associs tant ou

    non dans le mme tenseur.

    Critre de tensorialit

    Pour savoir si une suite est tensorielle, on peut tudier sa transformation par changement de base. Il est

    cependant souvent plus rapide d'appliquer un critre de tensorialit que nous admettrons.

    Pour qu'une suite de composantes ij

    kt soit tensorielle il faut et il suffit que, pour tout choix du

    vecteur V

    , la suite kij

    k

    ij vtu soit tensorielle.

    Mais on peut aussi faire apparatre des contractions plus leves.

    Pour qu'une suite de composantes, p indices suprieurs et q indices infrieurs, soit tensorielle,

    il faut et il suffit que son produit compltement contract par p formes linaires et q vecteurs soit un

    scalaire intrinsque, quelque soit le choix des p formes linaires et des q vecteurs.

    En ralit, il n'est pas indispensable d'effectuer la contraction sur tous les indices, mais la premire

    forme du critre de tensorialit est rarement employe car en gnral il est souhaitable que la nouvelle suite

    obtenue par contraction soit la plus simple possible. C'est pourquoi on a recours la contraction maximum.

    Exemple

    On veut tester la suite ijc associe un oprateur C qui transforme tout vecteur V

    de 3

    R

    en un autre vecteur U

    de 3

    R (ji

    j

    i vcu )

    Nous avons donc la contraction complte d'une suite tensorielle jv un seul indice avec la suite ijc . Mais, pour toute suite jv nous obtenons une suite iu tensorielle car c'est la suite des composantes d'un vecteur de

    3R . On en dduit que ijc est une suite tensorielle.

    Cette dmonstration est plus rapide que l'tude des changements de base effectue plus haut.

    Remarque

    Il arrive parfois qu'on utilise pour la dmonstration des suites annexes obtenues par les

    composantes d'un dplacement infinitsimal dans l'espace. Bien entendu ces vecteurs infinitsimaux ne

  • constituent pas tous les vecteurs de 3

    R mais comme on peut tablir une bijection entre les vecteurs infinitsimaux et les vecteurs finis l'aide d'une constante infinitsimale, la dmonstration reste valable.

    Algbre tensorielle en espace mtrique

    Les proprits trs gnrales de l'espace affine resteront videmment valables lorsque nous choisirons

    une mtrique, c'est dire lorsque nous fixerons tous les vecteurs de base une commune mesure. En partant d'un

    repre orthogonal, dont les vecteurs de base ont tous un mme module, on peut construire une infinit d'autres

    repres rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de coordonnes, changement au cours duquel toute

    longueur doit rester invariable. La notion de longueur permettra ensuite de dfinir la notion d'angle.

    Produit scalaire

    Soit nE un espace vectoriel sur un corps K de scalaires. Nous allons enrichir sa structure et le rendre

    mtrique en dfinissant une nouvelle loi de composition qui sera appele la multiplication scalaire.

    Toutes les multiplications scalaires ont un point commun : tous couples de vecteurs ',VV

    de nE

    elles associent un produit scalaire qui donne un scalaire intrinsque not '.VV

    .

    Le produit scalaire possde les 4 proprits suivantes :

    * commutativit de la multiplication scalaire VVVV

    '.'.

    *associativit de la multiplication scalaire par un scalaire '.'. VVVV

    *distributivit par rapport l'addition "'.".".' VVVVVVV

    *si 0'.VV

    pour tout 'V

    , alors 0

    V

    A partir de quatre axiomes, il est facile d'expliciter la multiplication scalaire. On associe une base ie

    l'espace vectoriel nE . On peut alors crire:

    ii

    i

    i evVevV '

    '

    Ce qui nous donne pour l'expression de la multiplication scalaire :

    jijijjii eevvevevVV

    ..'.''

    Soit :

    ji

    ij vvgVV'

    '.

    avec ijji gee

    .

    On remarque donc que tous les produits scalaires seront dfinis partir des produits scalaires des

    vecteurs de base.

    Le tenseur fondamental

    D'aprs la commutativit, on a ncessairement : jiij gg

    D'autre part, la quatrime proprit du produit scalaire nous permet d'crire :

    ivvgvvgv iiijji

    ij

    j 000'' ,

  • Autrement dit, le systme des n quations 0iijvg aux n inconnues iv n'admet que la solution

    0iv . Pour cela, il faut et il suffit que la matrice des ijg soit rgulire et que son dterminant soit non nul.

    Rciproquement, si nous nous donnons arbitrairement 2n scalaires ijg tels que :

    jiij gg et 0Det ijg il est immdiat de vrifier que la loi de multiplication dfinie par

    ji

    ij vvgVV'

    '.

    pour iievV

    et iievV '

    ' satisfait aux quatre axiomes.

    En conclusion, il existe effectivement une loi de multiplication scalaire satisfaisant aux quatre

    proprits. On peut se la dfinir en se donnant arbitrairement, pour une base ie

    , les 2n produits scalaires :

    ijji gee

    . tels que jiij gg et 0Det ijg

    Les ijji gee

    . sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur sur nE que nous

    noterons G et que nous appelerons le tenseur fondamental sur nE .

    On appelle forme bilinaire fondamentale de nE l'expression explicite ji

    ij vvg ' du produit scalaire du

    couple de vecteur gnrique.

    On appelle forme quadratique fondamentale l'expression correspondante du carr scalaire de son

    vecteur gnrique : jiij vvgVVV

    .2

    Il est noter qu'il suffit de se donner cette dernire forme pour dfinir compltement les ijg et par

    consquent la loi de composition scalaire sur nE .

    Enfin, la matrice des ijg tant rgulire, elle est inversible et nous noterons ij les lments

    symtriques de sa matrice inverse. Nous pourrons donc crire :

    i

    kjk

    ij g

    Changement de bases

    Considrons une nouvelle base IE

    . On peut bien entendu dfinir les produits scalaires des

    vecteurs de cette base :

    IJJI GEE

    .

    Mais on peut aussi calculer ces produits scalaires en fonction des produits scalaires des vecteurs de la

    base ie

    et de la matrice de changement de base. Le rsultat est :

    ijj

    J

    i

    IIJ gaaG

    De mme pour le tenseur fondamental inverse, on a :

    ijJ

    j

    I

    i

    IJ bb

    On peut aussi calculer le dterminant de la matrice des ijg que l'on appellera le dterminant de tenseur

    fondamental :

    ijgg Det Dans le changement de base caractris par une matrice iIa de dterminant iIaDet nous obtiendrons la formule suivante :

  • ijIJ gG DetDet 2 Ce dterminant n'est pas conserv dans le changement de base, mais son signe reste indpendant de la

    base.

    Composantes covaraintes et contravariantes d'un tenseur

    Composantes covariantes d'un vecteur

    Soit iievV

    un vecteur gnrique de nE . Quand on forme ses produits scalaires avec les vecteurs de

    base, on obtient :

    jijijji vgeeveV

    ..

    Cette dernire entit, que l'on notera j

    iji vgv , est appele la mei composante covarainte du vecteur

    V

    dans la base ie

    .

    Tout vecteur V

    de l'espace nE muni du produit scalaire peut tre dfini par ses composantes

    contravariantes iv (avec i

    ievV

    ) ou par ses composantes covariantes iv (avec ii eVv

    . ). Les

    liens existants sont :

    iji

    j gvv et jiji vv

    L'introduction des composantes covariantes permet de varier les expressions du produit scalaire de deux

    vecteurs :

    i

    ii

    i

    ij

    ijji

    ij uvuvuvuvgUV

    .

    Cette relation nous permet d'affirmer que la suite ij est tensorielle.

    Composantes contravariantes d'une forme linaire

    De mme que pour le vecteur, on peut considrer un lment gnrique de *

    nE , c'est--dire une forme

    linaire dfinie par :

    i

    ieff*

    Du fait de la tensorialit de la suite ij , le terme jiji ff est un tenseur contravariant qui caractrise la forme linaire.

    Toute forme linaire f de l'espace nE muni du produit scalaire peut tre dfinie par ses

    composantes covariantes if (avec i

    ieff* ) ou par ses composantes contravariantes if . Les liens

    existants sont :

    jiji ff et jiji fgf

    On remarque donc la forte analogie existante entre les vecteurs, lments de l'espace vectoriel nE , et

    les formes linaires, lments de l'espace vectoriel dual *

    nE . Cette analogie permet aussi de raliser les

    changements d'espace vectoriel. Ainsi les relations prcdents permettent d'identifier la forme linaire f un

    vecteur F

    de composantes covariantes if . On pourra ainsi crire pour tout vecteur V

    de nE :

    VfvfgvfVF jiijji

    .

  • Cette relation montre bien que l'on peut confondre le vecteur F

    et l'application linaire f .Ainsi un

    lment d'une base ie

    doit pouvoir s'identifier un lment d'une base ie* et vice-versa. On a : VegvgvVe jijjijii

    *.

    Ce qui nous donne les relations fondamentales suivantes :

    e g ei ij

    j * et e ej ij i*

    Composantes d'un tenseur

    On peut dons constater la confusion entre l'espace vectoriel nE et son dual *

    nE . On en dduit

    que tous le tenseurs du mme ordre p sur nE ne forment plus qu'un espace vectoriel unique, dont tout lment

    peut tre dfini par des composantes de variances arbitraires. Ces tenseurs seront appels tenseurs pr-

    euclidiens.

    Ainsi nous avons pour un tenseur pr-euclidien d'ordre 3 :

    kjiijk

    kji

    hkij

    hh

    kh

    ji

    ij

    k

    k

    ji

    ij

    k eeeteeeteeeteeetT

    *

    Ce qui nous permet d'crire :

    ijkhkij

    h tt

    De la mme nous allons pouvoir crire :

    i

    jkhj

    ih

    k tgt

    Mais ces relations sont encore valables pour le tenseur fondamental. On peut donc ainsi dfinir ses

    composantes mixtes :

    j

    i

    j

    i

    kj

    ik gg

    Et ses composantes compltement contravariantes :

    hjjhihj

    i

    hjihj

    i gg

    Ainsi, les ij ne sont autre que les composantes ijg compltement contravariantes du tenseur fondamental lui-

    mme.

    On obtient donc une rgle dite d'abaissement ou d'lvation d'indice.

    Pour lever (resp. abaisser) un indice k, on le remplace par un indice muet h et on effectue le

    produit contract par khg (resp. par hkg ).

    On peut ainsi remarquer qu'un tenseur pr-euclidien admet diffrents modes de reprsentation. Il est

    possible de regrouper tous les indices en position suprieure ce qui nous donnera alors l'expression

    contravariante du tenseur. L'expression covariante sera obtenue avec un tenseur ayant ses indices en position

    infrieur.

    Oprations sur les tenseurs pr-euclidiens

    La possibilit de dplacer les indices accrot le nombre des oprations possibles.

    Ainsi l'galit de deux tenseurs pourra se dfinir simplement partir de l'instant o ils sont du mme

    ordre. De mme l'addition sera obtenue aussi sur des tenseurs de mme ordre. Pour ce genre d'opration, il faut

    dfinir les deux tenseurs dans la mme base. Les proprits obtenues tant intrinsques, elles seront vraies dans

    toutes autres bases, en particulier celle obtenue par dplacement vertical d'indice.

    De la mme, la multiplication tensorielle est compatible avec les dplacements verticaux d'indices.

    Orthogonalisation des espaces vectoriels

  • Dans l'espace vectoriel pr-euclidien nE , deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit

    scalaire est nul.

    Cette relation, symtrique vis--vis des deux vecteurs, est encore vrifie si l'un ou l'autre des deux

    vecteurs est nul. Autrement, elle subsiste si on remplace un vecteur par un vecteur parallle. On dit donc que

    l'orthogonalit de deux vecteurs non nuls dpend seulement de leur "direction".

    Une base est dite orthogonale si chacun de ses vecteurs est orthogonal tous les autres.

    Il est toujours possible de dterminer une telle base. Le processus de recherche d'une base orthogonale

    est appeler orthogonalisation de l'espace vectoriel.

    Dans une base orthogonale, le carr scalaire d'un vecteur quelconque ne prsente que des termes carrs.

    En effet si IE

    est une base orthogonale, le tenseur fondamental associ dfini par JIIJ EEG

    . doit tre tel

    que IJG est nul si I est diffrent de J.

    Ainsi dans la base orthogonale, la matrice IJG du tenseur fondamental est rduite une forme diagonale. Toutefois, priori, les termes IJG ne sont pas ncessairement tous positifs. En consquence, il n'est

    pas toujours possible de donner une base orthonorme dans un espace vectoriel pr-euclidien.

    Espaces vectoriels euclidiens.

    Pour pouvoir toujours dfinir une base orthonorme, il suffit de modifier la quatrime proprit du

    produit scalaire:

    si 0'.VV

    pour tout 'V

    , alors 0V

    La nouvelle proprit prendre en compte est la suivante :

    si 0V

    alors 02 V

    Avec cette nouvelle proprit, on dit que la forme quadratique fondamentale jiij vvgV 2

    est

    dfinie positive, c'est--dire strictement positive pour tout vecteur V

    non nul.

    Norme d'un vecteur

    A tout vecteur V

    de nE on peut associer un scalaire positif appel norme du vecteur et dfini

    par la racine carre de son carr scalaire :

    2VV

    Les proprits essentielles de la norme sont les suivantes :

    * Ingalit de Schwarz

    ''. VVVV

    L'galit n'est obtenue que si les vecteurs sont parallles.

    * Ingalit triangulaire

    '' VVVV

    L'galit n'est obtenue que si les vecteurs sont parallles et de mme sens.

  • Bases orthonormes d'un espace vectoriel euclidien

    Dans un espace vectoriel euclidien nE , on appelle vecteur unitaire out vecteur de norme gale l'unit.

    Les bases formes de vecteurs unitaires et deux deux orthogonaux prennent le nom de bases orthonormes.

    Les bases orthonormes sont celles qui rduisent la matrice du tenseur fondamental la matrice unit.

    Dans un changement de bases orthonormes, la matrice de changement de base est telle que son inverse

    est gal sa transpose. On dit alors que c'est une matrice unitaire. Le dterminant d'une telle matrice est gal

    plus ou moins un.

    Drivation en notation tensorielle

    Volontairement, nous allons nous restreindre au formalisme de drivation dans des bases fixes dans un

    premier temps.

    Ainsi l'espace gomtrique sera repr l'aide d'un systme d'axes rectilignes valables en tout point de

    l'espace. La base ie

    dfinie en un point appel origine du systme d'axes est indpendante des coordonnes

    d'un point M de l'espace. Les matrices de changement de base ne contiendront que des termes constants par

    rapport aux variables d'espaces.

    Drives par rapport aux variables d'espaces

    Position d'un point

    L'espace est suppos tre rapport un repre constitu des trois vecteurs formant une base ie

    . Ces

    vecteurs sont dfinis en un point O appel origine du systme d'axes rectilignes. Un point M est alors repr par

    les composantes du vecteur position iiexOM

    .

    En tout point de l'espace on pourra dfinir des grandeurs physiques que nous appellerons champ et qui

    doit reprsenter des grandeurs intrinsques.

    On parlera ainsi de champ scalaire (pression, temprature, ...), de champ vectoriel (champ lectrique,

    acclration de la pesanteur,...) ou de champ tensoriel (contraintes, dformations, ...).

    Drive d'un scalaire

    Un champ scalaire U est drivable en un point M s'il admet en ce point trois drives partielles

    iiU

    x

    U,

    par rapport aux variables d'espace

    ix . On pourra alors dfinir la diffrentielle de U en M qui

    reprsente l'accroissement au premier ordre de U pour un dplacement infinitsimal intrinsque :

    i

    i

    i

    idxUdx

    x

    UdU ,

    Cette diffrentielle est un scalaire intrinsque (tenseur d'ordre 0). D'autre part, idx reprsente la

    composante contravariante d'un tenseur d'ordre 1

    OMd .

    On peut donc dire que ii Ux

    U,

    reprsente la composante covariante d'un tenseur 1.

  • Le tenseur de composante covariante ii Ux

    U,

    est le tenseur gradient du champ scalaire.

    Drive d'un vecteur

    On considre un vecteur dtermin par ses composantes contravariantes :

    iievV

    On peut alors dfinir la drive de ce vecteur :

    i

    jj

    ji

    j

    i x

    eve

    x

    v

    x

    V

    Mais ije ,

    est nul du fait que l'on utilise des coordonnes rectilignes indpendantes du point. On obtient

    ainsi :

    jij

    ji

    j

    ieve

    x

    v

    x

    V

    ,

    De plus dans un changement de base de ie

    vers IE

    caractris par la matrice iIa et la matrice inverse Iib on aura :

    IiI

    ii

    Ii

    II

    I

    i

    i ExbeXaEXexOM

    IiI

    ii

    Ii

    II

    I

    i

    i EvbeVaEVevV

    Ce qui nous donne :

    I

    JI

    i

    i

    Ji

    kI

    k

    I

    Jj

    J

    i

    I

    I

    j

    i

    j

    X

    Vba

    x

    xb

    X

    Va

    x

    X

    X

    v

    x

    v

    La formule prcdente nous montre bien que ijv , reprsente les composantes mixtes d'un tenseur du

    second ordre.

    Drive d'un tenseur

    Le calcul prcdent peut trs bien se gnraliser un tenseur d'ordre quelconque. Ainsi, un tenseur

    d'ordre n, par drivation nous pourrons lui associer un tenseur d'ordre n+1. Nous aurons par exemple pour un

    tenseur du quatrime ordre :

    lk

    jiklij eeeet **

    T

    lk

    jimklij

    meeeet

    x

    **,

    T

    Attention Les formules prcdentes ne sont valables que dans une base "fixe" c'est dire

    indpendante des coordonnes de drivation. Nous verrons par la suite des formules plus compltes

    permettant de prendre en compte la variation des vecteurs de bases avec les coordonnes.

    Gradient, divergence, rotationnel

    L'introduction des oprateurs classiques peut trs bien se faire partir d'un vecteur appel Nabla. Ce

    vecteur est dfini par :

    i

    ie

    x

    *

  • On peut alors gnraliser les notions de gradient, divergence et rotationnel pour des tenseurs d'ordre

    quelconque :

    Gradient

    grad produit tensoriel

    Divergence .

    div produit scalaire ou produit contract

    Rotationnel

    Rot produit vectoriel ou produit extrieur

    Laplacien

    . divergence du gradient

    Avec ces notations, on retrouve facilement les expressions indicielles des oprateurs dans un systme de

    coordonnes rectilignes :

    Divergence d'un vecteur

    i

    ii

    ki

    k

    k

    ki

    i x

    v

    x

    veve

    xVV

    ..

    *div

    Rotationnel d'un vecteur

    jikjikk

    k

    i

    ie

    x

    veve

    xVV

    *Rot

    On peut aussi tendre les notions des tenseurs d'ordre quelconque :

    Gradient d'un vecteur

    kikikiikkiikk

    k

    i

    ieeveevee

    x

    veve

    xV

    *,

    *

    ,

    **

    Grad

    On a donc un tenseur du second ordre que l'on peut reprsenter par ses composantes

    covariantes, mixtes ou contravariantes.

    Divergences d'un tenseur

    kjkjkijjkikjjki

    ietet

    xeete

    x

    ,

    *..

    TTdiv

    Ainsi, partir d'un tenseur du second ordre, on obtient un tenseur du premier ordre, c'est dire un

    vecteur.

    Remarque

    On a utilis l'oprateur gauche, ce qui nous a permis de dfinir une divergence gauche :

    kjkjkjjkii eteetex

    ,

    *.

    Tgdiv

    Mais on pourrait de mme dfinir une divergence droite :

    kkj jjjkkiikjjk etete

    xeet

    ,,

    *.

    Tddiv

    On constate que si le tenseur T n'est pas symtrique par rapport ses indices extrmes, les deux

    divergences ne sont pas gales.

    Coordonnes curvilignes

    L'tude de certains phnomnes physiques peut tre parfois dlicate lorsque l'on veut constamment

    dfinir le vecteur position par rapport un seul repre gnralement rectiligne. On conoit facilement que les

    problmes de mise en forme en grandes dformations vont apporter des difficults de positionnement.

    De plus dans les espaces non euclidiens, il n'est pas possible de dfinir des coordonnes rectilignes. On

    doit alors imprativement utiliser des coordonnes curvilignes. Ainsi, pour dfinir la loi de variation de la

  • pression la surface de la terre, on ne peut pas dfinir deux axes rectilignes qui dtermineraient un espace plan et

    non pas une sphre. On utilise alors comme coordonnes possibles la latitude et la longitude. Ce sont des

    coordonnes curvilignes.

    Bases locales

    Supposons l'espace dj rapport un systme de coordonnes rectilignes. A chaque point est associ

    une valeur et une seule du triplet ix et rciproquement chaque valeur de la suite ix est associ un point et un seul.

    Nous pouvons utiliser d'autres reprages des points M en remplaant les ix par d'autres suites iu de trois paramtres. Pour qu'une telle suite permette de raliser un reprage sans ambigut, il est ncessaire

    d'assurer une bijection entre les points M et les valeurs de cette suite. En fait cela revient dire que chaque iu

    devra tre une fonction uniforme des ix et vice versa. De plus pour des questions pratiques de calcul, nous

    imposerons aux iu d'tre des fonctions continues de M sauf en quelques points. Ainsi les ui seront drivables

    par rapport aux ix . Nous pourrons crire :

    32133

    32122

    32111

    uuuxx

    uuuxx

    uuuxx

    ,,

    ,,

    ,,

    Les coordonnes 321 xxx ,, de M sont les coordonnes rectilignes (cartsiennes).

    Les coordonnes 321 uuu ,, de M sont les coordonnes curvilignes.

    Prenons un point M, de coordonnes rectilignes 321 xxx ,, obtenues en donnant aux coordonnes

    curvilignes des valeurs particulires. Par ce point passera une courbe caractrise par cteu 2 et cteu 3 ,

    c'est dire une courbe pour laquelle 1u est la seule variable. Nous prendrons cette courbe comme ligne

    curviligne 1uM , . Nous pourrons bien entendu dfinir de la mme faon deux autres lignes curvilignes. Les vecteurs de base des axes des coordonnes curvilignes sont dfinis par :

    cteu

    cteuu

    OMg

    3

    2

    11

    On dfinit ainsi une base locale en M 321 ggg

    ,, . Les vecteurs dterminent en fait une base tangente

    aux lignes de coordonnes curvilignes.

    Il est noter que cette base n'est pas ncessairement orthonorme.

    Remarques

    1- On a :

    ij

    i

    ji

    i eu

    xgexOM

    Il est vident que la base ainsi dfinie est dpendante du point M.

    2- La relation vectorielle prcdente est en fait une relation de changement de base du type :

    ii

    jj eg

    Toutefois dans cette relation, les coefficients i

    j ne sont plus constants, contrairement aux

    changements de bases rectilignes.

    3- On peut inverser les relations prcdentes. On obtient alors :

  • ji

    j

    i gx

    ue

    Symboles de CHRISTOFFEL

    En coordonnes rectilignes, la tensorialit d'une suite a t introduite partir de la notion de

    changement de base. On avait ainsi donne la formule :

    T b a a b tJK

    I LiI

    Jj

    Kk

    lL

    jk

    i l

    Supposons maintenant que la grandeur tensorielle T soit intrinsquement dfinie en tout point M de

    l'espace, ou d'un domaine de l'espace. On parlera alors d'un champ de tenseur. Par exemple la temprature et le

    champ magntique, qu'on peut mesurer ou reprer aux diffrents points de l'espace, constituent respectivement

    un champ scalaire (tenseur d'ordre 0) et un champ vectoriel (tenseur d'ordre 1).

    Pour pouvoir comparer les "valeurs" 1MT et 2MT du champ entre deux points diffrents, il est impratif de pouvoir comparer les deux bases dfinies en ces deux points. Nous allons ainsi introduire la

    variation des vecteurs la base curviligne en fonction du point.

    On veut calculer :

    k

    i

    u

    g

    avec ij

    i

    ji

    i eu

    xgexOM

    On obtient :

    jik

    j

    ji

    j

    kk

    i euu

    xe

    u

    x

    uu

    g

    2

    Mais de plus, les vecteurs de la base rectiligne sont relis aux vecteurs de la base curviligne :

    ji

    j

    i gx

    ue

    Ce qui nous donne :

    mj

    m

    ik

    j

    k

    i gx

    u

    uu

    x

    u

    g

    2

    On fait ainsi apparatre le symbole de Christoffel :

    j

    m

    ik

    jm

    kix

    u

    uu

    x

    2

    Proprits :

    1- Ce symbole est symtrique par rapport aux indices i et k.

    j

    m

    ki

    jm

    ikj

    m

    ik

    jm

    kix

    u

    uu

    x

    x

    u

    uu

    x

    22

    2- On peut utiliser la mthode de monte et descente des indices :

    mkm

    kii gug

    dd

    3- On a : mm

    kiki gg

    ,

    Mais on dmontre que dans la base duale on obtient :

    mi

    mk

    i

    k gg

    ,

  • 4- Pour le calcul des symboles de Christoffel, on peut soit reprendre la dfinition, soit

    utiliser la formule ci-aprs : nikkniinkmnm

    ki gggg ,,, 2

    1

    5- Les symboles de Christoffel ne constituent pas une suite tensorielle.

    La formule de changement de base est la suivante :

    k

    j

    IJ

    i

    j

    jk

    J

    j

    k

    K

    i

    I

    J

    IKu

    abbaa

    Drive covariante

    Drive covariante d'un vecteur

    Soit un vecteur A donn par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :

    ii gAA

    On veut calculer la variation du vecteur par rapport une des variables du systme de coordonne :

    AA

    u

    A

    ug A

    g

    uA g A g A g A gj j

    i

    j ii i

    j ji

    ii

    jim

    m ji

    im

    jmi

    i, , ,

    On obtient ainsi :

    iijiijmmi jj gAgAAA

    ,,

    On fait donc apparatre un nouvel oprateur diffrentiel que l'on appelle la drive covariante

    du vecteur. Cette drive prend en compte la variation propre des composantes du vecteur

    j

    i

    u

    A

    et

    les variations des vecteurs de base ijmmA .

    A partir des formules prcdentes, on peut crire :

    iji

    j

    j

    j guAuAA

    ddd ,

    Drive covariante d'un tenseur du second ordre

    On se donne un tenseur du second ordre par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :

    jiij ggt

    T

    Calculons la variation de ce tenseur par rapport l'une des variables :

    mmjkiijjmmikijjikij

    k

    j

    i

    ij

    jk

    iij

    jik

    ij

    kk

    ggtggtggu

    t

    u

    ggtg

    u

    gtgg

    u

    t

    u

    TT,

    Ce qui nous donne :

    jijmkimimkmjkij

    kggtt

    u

    t

    u

    T

    On peut ainsi exprimer la diffrentielle du tenseur :

    jikjmkimimkmjkij

    k

    kggutt

    u

    tu

    u

    ddd

    TT

    Les relations prcdentes font apparatre la suite indicielle suivante :

  • kj

    mk

    imi

    mk

    mj

    k

    ijkij

    k

    ij uttu

    tutt dd

    Dans le cas d'un tenseur donn par ses composantes mixtes, on a :

    km

    jk

    i

    m

    i

    mk

    m

    jk

    i

    jki

    jk

    i

    j uttu

    tutt dd

    La diffrentielle Td d'un tenseur est la diffrence, l'ordre 1, de deux tenseurs du mme type. C'est donc un tenseur de ce type et la suite indicielle obtenue est par consquent tensorielle.

    Mais de plus on a :

    kij

    k

    ij utt d

    Les termes kud sont les composantes d'un tenseur d'ordre 1 (le vecteur M

    d ). En consquence la suite

    ij

    k t est tensorielle. Elle dfinit un nouveau tenseur.

    La suite ij

    k t dfinit un nouveau tenseur contenant une variance de plus que le tenseur T .

    Ce nouveau tenseur est appel la drive covariante du tenseur T . On le note souvent T .

    La drive covariante d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n+1.

    Il ne faut pas confondre la drive covariante d'un tenseur avec la diffrentielle du tenseur. Par exemple,

    pour un tenseur d'ordre 3, on a :

    kjilijkl

    k

    ji

    ij

    k

    k

    ji

    ij

    k

    ggggt

    gggt

    gggt

    **

    *

    *

    T

    T

    T

    d

    Thorme de RICCI: Les drives covariantes du tenseur fondamental sont toutes nulles,

    quel que soit le systme de rfrence.

    L'intrt essentiel de ce thorme rside dans le fait qu'il rend permutable la drivation covariante et le

    relvement ou l'abaissement des indices. Ainsi on peut crire :

    jkikjkikij tgtgt

    Application la dynamique.

    Vitesse d'un mobile

    Quand un mobile ponctuel M dcrit une trajectoire dans l'espace, on peut reprer la position de

    ce mobile en paramtrant ses coordonnes en fonction du temps :

    tuu ii

    La vitesse du mobile par rapport un repre est dfinie par le vecteur tMV dd

    o M

    d est le

    dplacement de M dans la repre considr pendant le temps td . Dterminons la vitesse de M par rapport un repre fixe au cours du temps, c'est dire un repre associ un systme de coordonnes (rectilignes ou

    curvilignes) mais qui reste immobile par rapport l'observateur. Il ne faut pas confondre ce repre avec la base

    fixe (constante dans l'espace) d'un repre cartsien.

    Ecrivons la vitesse en utilisant tout d'abord les coordonnes rectilignes :

  • i

    i

    edt

    xV

    d avec i

    iexM

    dd

    Les composantes de la vitesse sont les drives partielles par rapport au temps des coordonnes de M.

    Calculons maintenant cette mme vitesse par rapport au repre fixe, mais en utilisant les coordonnes

    curvilignes :

    ii u

    Mg

    avec igM

    idud

    On obtient donc :

    i

    i

    gdt

    uV

    d

    Les composantes de cette vitesse sont encore les drives par rapport au temps des coordonnes de M.

    Cette proprit est due uniquement la dfinition des vecteurs des coordonnes curvilignes.

    Acclration du mobile

    L'acclration dans le mme repre est dfinie par tV dd

    .

    Dans les coordonnes rectilignes, on obtient :

    i

    i

    i

    i

    et

    xe

    dt

    x

    tt

    V

    2

    2

    d

    dd

    d

    d

    d

    d

    Avec les coordonnes curvilignes :

    t

    g

    dt

    ug

    t

    ug

    dt

    u

    tt

    V ii

    i

    i

    i

    i

    d

    dd

    d

    dd

    d

    d

    d

    d2

    2

    Au cours du temps dt la base naturelle du point o se trouve le mobile varie :

    jkj

    kii gug

    dd

    Ce qui nous donne :

    i

    ki

    kj

    ji

    j

    kj

    ki

    i

    i

    i

    gt

    u

    dt

    u

    t

    ug

    t

    u

    dt

    ug

    t

    u

    d

    dd

    d

    d

    d

    dd

    d

    d2

    2

    2

    2

    Les composantes de l'acclration sont donc :

    i

    kj

    kjii

    t

    u

    dt

    u

    t

    u

    d

    dd

    d

    d2

    2

    Oprateurs gradient et divergence

    Pour dfinir ces oprateurs dans un systme de coordonnes curvilignes, on reprend, en le transformant,

    l'oprateur Nabla :

    i

    i

    i

    ig

    ue

    x

    **

    On obtient alors pour le gradient d'un vecteur :

    i

    kk

    ki

    ki

    k

    ki

    i u

    gvg

    u

    vggvg

    uV

    **Grad

    Soit :

    kikimmik

    k

    k

    im

    m

    ki

    ki

    m

    m

    ik

    k

    ki

    ki ggv

    u

    vgvg

    u

    vggvg

    u

    vgV

    ***

    Grad

    On retrouve ainsi la drive covariante :

  • kikikikimmik

    ggvggvu

    vV

    **

    Grad

    En fait on montre qu'il est possible de transposer les formules dmontres en coordonnes rectilignes en

    remplaant la drivation i, par une drivation covariante i .

    On a ainsi pour l'oprateur divergence :

    jjk

    k et

    Tddiv et jkj

    k et

    Tgdiv

    EXERCICES sur les Tenseurs

    Convention d'criture

    47- En adoptant la convention d'Einstein, a-t-on le droit d'crire les formules suivantes ?

    47-1 jiijijsrrsjiij xxhgxxhxxg

    47-2 iijijsrsiij xbaxbxa

    47-3 a b c a b cijjk

    kl irrs

    sl

    47-4 2222 iiiiiiii dbcadcba

    47-5 kkiiiii cabacba 3333333

    48- Les produits x xi j tant commutatifs, dmontrer l'galit :

    jihijjihijhjihijijh xxaaaxxaa 2

    49- Rsoudre l'quation :

    ji j

    ik

    ki j

    ikx x x x x x

    50- Calculer les drives suivantes :

    50-1 kji cbatd

    d 50-2 jijjij dcba

    t

    d

    d

    50-3 jiij aat

    d

    d 50-4 kijkij ba

    t

    d

    d

    51- Calculer les drives partielles suivantes :

    51-1 k

    ji

    ij xxA , 51-2 khji

    ijh xxxA ,

  • 51-3 kl

    ji

    ij xxA , 51-4 klhji

    ijh xxxA ,

    52- Soit d da A a yi kij

    jk . Exprimer ai k,

    53- Soit Aa

    y

    a

    ya aij

    k k

    i

    k

    j k i k j

    , , .. Calculer l

    k

    ijA ,

    54- Ecrire la trace d'une matrice A en utilisant la convention d'Einstein.

    Espaces affines. Espaces mtriques

    55- On considre l'espace vectoriel euclidien. On associe cet espace une base cartsienne

    orthonorme directe 321 ,, eee

    .

    Soient a a ei i et

    b b ei i deux vecteurs de cet espace.

    55-1 Exprimer en formulation indicielle le produit scalaire et le produit vectoriel de ces

    deux vecteurs.

    La position d'un point M quelconque est repr par rapport une origine O par le vecteur position :

    OM x ei i

    Soit ixp une fonction scalaire des coordonnes de M et ixf

    une fonction vectorielle.

    55-2 Exprimer en formulation indicielle les oprateurs gradient, divergence, laplacien et

    rotationnel.

    55-3 Donner une nouvelle expression de fp

    .div .

    Algbre tensorielle en espace affine

    56- Soit une base ie

    de R3 et f une forme linaire dfinie par :

    2,1,1 321 efefef

    56-1 Calculer vf

    avec v e e e 1 2 34

    56-2 Quelles sont les composantes de f dans la base duale associe? Utiliser ces

    composantes pour retrouver vf

    .

    56-3 En utilisant les matrices de changement de base adquates, crire les nouvelles

    composantes de v , de f et calculer vf

    avec ces nouvelles composantes dans le changement de base :

    E e E e E e1 1 2 2 3 3 , ,

    57- Dmontrer que la forme quadratique A x xiji j est nulle si le tenseur Aij est antisymtrique.

  • 58- Si les grandeurs ci-aprs reprsentent des tenseurs, montrer que les proprits suivantes sont

    conserves au cours de tout changement de repre :

    56-1 A Aij ji 56-2 A Aij ji

    56-3 A kAij ji 56-4 A A Bij ji ij

    59- A quelle condition doivent satisfaire deux vecteurs

    V et

    V ' d'un mme espace vectoriel En pour que l'on ait :

    V V V V ' '

    60- Dmontrer que la suite ij n'est pas une suite tensorielle.

    61- 1- Soit ijt une suite tensorielle sur En. Comment se transforme le dterminant de cette suite dans un changement de base?

    2- Mme question pour une suite tensorielle ijt ou ijt ?

    62- On se donne trois suites indices , fonction de la base choisie dans R2 et on explicite leurs

    composantes dans deux bases ie

    et iiII eaE

    avec :

    20

    01i

    Ia

    Ces composantes sont dans la base ie

    0;1;0;2

    1;0;2;0

    1;0;2;0

    22211211

    2

    2

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    22211211

    ccccc

    ccccc

    ccccc

    ij

    i

    j

    ij

    Et dans la base IE

    1;2;0;2

    1;0;4;0

    4;0;4;0

    22211211

    2

    2

    2

    1

    1

    2

    1

    1

    22211211

    CCCCC

    CCCCC

    CCCCC

    IJ

    I

    J

    IJ

    Quelles sont les suites qui peuvent tre tensorielles? Peut-on affirmer qu'elles le sont?

    63- Dmontrer qu'un tenseur quelconque ayant au moins une paire d'indice de mme hauteur peut

    tre dcompos d'une manire unique en une somme de deux tenseurs, l'un symtrique, l'autre antisymtrique par

    rapport aux deux indices choisis.

    64- On se donne un tenseur mixte d'ordre 2, t ji , en dfinissant ses composantes dans une base

    ie

    de R2. On a :

    t t t t11

    21

    12

    221 2 3 ; ;

    D'autre part on se donne une seconde base IE

    se dduisant de la premire l'aide de la matrice iIa :

    a a a a11

    21

    12

    221 1 2 2 ; ; ;

    64-1 Dterminer les nouvelles composantes T JI du tenseur.

    64-2 Le tableau t ji reprsente maintenant les composantes du tenseur symtrique deux fois

    covariant tij . Calculer les composantes de ce tenseur dans la nouvelle base.

    65- On se donne un tenseur deux fois contravariant sur R2 par ses composantes dans une base :

  • t t t t11 12 21 222 3 1 4 ; ; ;

    65-1 Ecrire ce tenseur sous la forme t s aij ij ij o sij et a ij sont deux tenseurs deux fois

    contravariant l'un symtrique et l'autre antisymtrique.

    65-2 Trouver les nouvelles composantes T IJ , S IJ et A IJ dans la nouvelle base dfinie par

    le changement de base de l'exercice prcdent.

    66- Soit le tenseur A u a u a u aijk k ij i jk j ik . Montrer que ce tenseur est symtrique si le tenseur

    aij est symtrique.

    Oprations sur les tenseurs

    67- On se donne une base ie

    de R2 dans laquelle le tenseur fondamental a pour composantes :

    g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

    On dtermine un tenseur t jki par la donne de ses composantes dans ie

    :

    4;2;0;3

    2;1;1;02

    22

    2

    21

    2

    12

    2

    11

    1

    22

    1

    21

    1

    12

    1

    11

    tttt

    tttt

    Dterminer u t v t vk iki

    k kii k , , et u vi

    i .

    68- Dans l'espace R2 de la gomtrie lmentaire, une premire base est forme par les vecteurs

    unitaires d'un repre rectangulaire yxO

    ,; . On considre une deuxime base forme par les vecteurs unitaires

    de xO

    ; et de la premire bissectrice.

    Calculer explicitement les nouvelles composantes en fonction des anciennes :

    68-1 pour un vecteur iu . 68-2 pour un tenseur mixte d'ordre 2 ijt . On utilisera ventuellement le contract ijij utv .

    69- On considre une suite ijt dans une base ie

    et deux vecteurs

    U et

    V arbitraires.

    Dmontrer les critres de tensorialit suivants :

    69-1 Pour que la suite ijt soit tensorielle, il faut et il suffit que la forme bilinaire t u vji i j soit invariante dans tout changement de base.

    69-2 Pour que la suite ijt soit tensorielle, il faut et il suffit que les nombres t vji j soient les composantes d'un vecteur.

    Algbre tensorielle en espace mtrique

  • 70- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :

    g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

    Soit deux vecteurs :

    U e e V e 1 2 1

    70-1 Dterminer leurs composantes covariantes, puis les quantits 22 ,,. VUVU

    .

    70-2 On effectue un changement de base dfini par

    a a a a11

    21

    12

    220 1 1 1 ; ; ;

    Calculer les nouvelles composantes du tenseur fondamental, puis les nouvelles composantes covariantes

    et contravariantes des deux vecteurs et les quantits 22 ,,. VUVU

    .

    71- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :

    g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

    71-1 Dterminer les composantes contravariantes de ce tenseur.

    71-2 Elever le premier indice de gij et abaisser le deuxime indice de gij .

    71-3 Soit le changement de base E a eI I

    ii dtermin par la matrice :

    a a a a11

    21

    12

    220 1 1 1 ; ; ;

    Dterminer les nouvelles composantes covariantes et contravariantes du tenseur fondamental et

    effectuer les mmes oprations que prcdemment.

    72- Dans l'espace E3 de la gomtrie lmentaire on dtermine un vecteur quelconque par ses

    composantes (x, y,z) suivant une certaine base.

    Considrons la loi de multiplication scalaire dfinie par :

    V V xx yy zz xy yx yz zy zx xz. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 8 8 2 2 6 6 3 3

    72-1 Dterminer la figure forme par les vecteurs de base.

    72-2 Calculer les composantes covariantes d'un vecteur en fonction de ses composantes

    contravariantes.

    72-3 Orthogonaliser l'espace E3.

    73- Toujours dans l'espace E3 de la gomtrie lmentaire, on considre la loi de multiplication

    scalaire dfinie par :

    xyzxyzzyxV 46423 2222

    Orthogonaliser l'espace E3. Que peut-on dire?

    Drivation en notation tensorielle

    74- On se donne le tenseur fondamental sur R3 :

    g g g g g g11 12 13 22 23 332 1 0 1 0 1 ; ; ; ; ;

    Soit le changement de base E a eI I

    ii dtermin par la matrice :

    a a a a a a a a a11

    21

    31

    12

    22

    32

    13

    23

    330 1 0 1 1 0 0 0 1 ; ; ; ; ; ; ; ;

  • 74-1 On se donne dans le repre ieO

    , le champ scalaire suivant :

    f M x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 2 2 2 3 2

    Dterminer le vecteur gradient

    U M( ) de f par ses composantes dans ie

    , puis dans IE

    74-2 Calculer dans les bases la divergence du champ vectoriel obtenu.

    74-3 Calculer dans les deux bases le laplacien de 1 f M( ).

    75- On introduit les coordonnes sphriques :

    213

    2312

    2311

    cos

    sinsin

    sincos

    uux

    uuux

    uuux

    avec

    2,0

    ,0

    3

    2

    1

    u

    u

    ru

    75-1 Dterminer en chaque point M la base naturelle curviligne ig

    .

    75-2 Ecrire la matrice de passage entre la base rectiligne ie

    et la base curviligne ig

    .

    Dterminer la matrice inverse.

    75-3 Dterminer les coefficients de Christoffel associs aux coordonnes sphriques.

    75-4 On se donne un champ de vecteur dfini en chaque point comme le vecteur unitaire du

    rayon vecteur :

    r

    OMMV

    Dterminer en M les composantes de MV

    sur les deux bases.

    En considrant un point M' infiniment proche du point M

    i

    iexMM

    d' ,

    dterminer au premier ordre les composantes de MVMVV

    'd sur la base rectiligne.

    En utilisant la matrice de changement de base, dterminer les composantes de d

    V dans la base curviligne au point M. Que constate-t-on?

    75-5 Exprimer dans la base curviligne les composantes du vecteur gradient d'un scalaire p.

    75-6 Exprimer, en fonction de ses composantes contravariantes curviligne, la divergence

    d'un vecteur.

  • Bibliographie

    J. BAHUAUD Notes de cours de mcanique des

    milieux continus INSA Lyon 1983

    L. BRILLOUIN Les tenseurs en mcanique et en lasticit Ed. Masson 1949

    F. BUREAU Calcul vectoriel et calcul tensoriel Ed. Universit de Lige

    A.J. McCONNEL Applications of tensor analysis Ed. Dover Publications (Lavoisier) 1931

    M. DENIS-PAPIN

    A. KAUFMANN Cours de calcul tensoriel appliqu Ed. Albin Michel 1966

    V. DRIVAS

    L. ROSENTHAL

    Y. SEMEZIS La pratique des tenseurs Ed. Eyrolles 1987

    C. JEANPERRIN Initiation progressive au calcul tensoriel Ed. Marketing 1987

    J.N. GENCE Introduction au calcul tensoriel E.C.L. 1983

    R. GOUYON Calcul tensoriel Ed. Vuibert 1963

    J. LELONG-FERRAND

    J.M. ARNAUDIES Cours de mathmatiques Ed. Dunod 1978

    A. LICHNEROWICZ Elments de calcul tensoriel Ed. Jacques Gabay 1987

    A. LICHNEROWICZ Algbre et analyses linaires Ed. Masson 1970

    E. RAMIS Exercices d'algbre Ed. Masson 1974

    J. RIVAUD Exercices d'algbre

    Exercices d'algbre linaire Ed. Vuibert 1982

    J. QUINET Cours lmentaire de mathmatiques

    suprieures Ed. Dunod 1976

    J. WINOGRADZKI Les mthodes tensorielles de la physique Ed. Masson 1979

    Recueil de normes franaises AFNOR 1983

    NF X 02-003 Principes de l'criture des nombres, des grandeurs, des units et des symboles

    NF X 02-101 Signes et symboles - Algbre et analyse lmentaire - Gomtrie analytique et analyse

    vectorielle

    NF X 02-103 Units et symboles - Symboles de la mcanique rationnelle

    NF X 02-110 Symboles et vocabulaire du calcul matriciel

    NF X 02-111 Symboles et vocabulaire du calcul tensoriel

    NF X 20-114 Symboles et vocabulaire du calcul ensembliste

    NF X 20-116 Symboles et vocabulaire relatifs aux structures algbriques

    NF X 20-117 Symboles et vocabulaire relatifs l'algbre linaire