TENSEURS

Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la faon dont se transforment dans un changement de base les

composantes des lments d'un espace vectoriel et d'un produit d'espace vectoriel.

En fait, on recherche systmatiquement les valeurs intrinsques. On exprimera des relations qui seront

indpendantes du systme de coordonnes utilis pour les expliciter. En effet, seules ces relations pourront

exprimer une ralit physique. La puissance galilenne d'une force ne peut en aucun cas tre dpendante du

repre de calcul choisit.

Convention d'criture

Dj dans un seul espace vectoriel dimension peu leve, le formulaire de changement de base est

lourd. On conoit donc des difficults d'criture pour des cas un peu complexes. Il est important de condenser les

critures afin les rendre plus maniables.

Convention d'Einstein

Souvent nous devrons exprimer des sommes de monmes. L'habitude veut qu'alors on utilise des

indices de valeurs variables. La variation de ces indices est essentiellement fonction de la dimension de l'espace

vectoriel concern.

La convention d'Einstein permet une simplification supplmentaire.

Tout monme o certains indices littraux figurent chacun deux fois, en position suprieure

dans un facteur et en position infrieure dans un autre, reprsente la somme de tous les monmes

analogues, avec chacun de ces indices rpts prenant n valeurs.

Un indice rpt est appel indice muet.

nn

n

i

i

i

i

i vuvuvuvuvu

22

1

1

1

a x y a x yiji j

ij

i j

j

n

i

n

11

Un indice non muet est dit libre.

Toute galit o figurent certains indices libres, la mme hauteur aux deux membres,

s'entendra comme valables pour toutes les valeurs de 1 n de ces indices.

Une telle quation reprsentera en ralit un systme de pn galits si elle comporte p indices libres.

3pour333

3

23

2

13

1

232

3

22

2

12

1

131

3

21

2

11

1

n

yxaxaxa

yxaxaxa

yxaxaxa

yxa hihi

Remarques

* L'emploi d'indices suprieurs peut crer un risque de confusion avec l'criture des puissances.

Aussi en criture indicielle, on convient d'une notation particulire pour les puissances. On dsignera par pa la

imep puissance de a.

* Un monme reste inchang lorsqu'on change la lettre qui dsigne un indice muet:

lmn

lm

jik

ij

ml

lmn

ji

ijkm

lm

l

i

j

j

i

h

h

i

i vxvxyxyxxyayxavuvu

* Pour dsigner un monme par une lettre unique, on devra la munir des mmes indices libres

que le monme :

pq

m

l

i

i

o

opq

lmk

ji

ijk

i

j

j

i

i

i xwyxfyxapvu

* Il est impratif de ne pas tripler les indices muets. En effet, l'criture j

j

j

i yxa n'a aucun

sens, les critures l

j

j

i yxa et j

j

l

i yxa ayant chacune un sens diffrent.

* Si on veut dire jiba est gal 1 si i est gal j, il faut crire :

a b i ji j 1 si

En effet, la formule condense a bi i 1 reprsente tout autre chose.

Rgles de calcul

Dans la convention d'Einstein, on peut traiter les oprations suivant les rgles de calcul des oprateurs

utiliss. On obtient ainsi :

Les additions sont associatives et commutatives.

Les multiplications sont associatives et distributives, droite comme gauche, par rapport aux

additions.

.

n

i

kik

in

i

n

m

n

h

h

kih

mi

m

h

kih

mi

mik

i

n

h

h

kjh

n

m

mi

m

h

kjh

mi

mjk

i

jl

j

i

l

j

j

i

j

jl

j

i

l

ji

j

ji

j

iiii

h

kjhjk

jl

j

i

l

iji

j

iji

j

i

utpycxaycxatp

ycxaycxatp

xbaxxbxarqps

yctxrxbqxap

11 1 1

11

.

)(

Remarques

* Le calcul formel ne permet pas toutes les oprations classiques. En particulier, les oprations

de simplifications par division doivent tre menes avec prcautions.

i

i

i

i

i

a

bx

a

bxa

0

* Les rgles de calcul ncessitent d'tre trs rigoureux sur l'emploi des indices. En effet, il ne

faut pas confondre le produit ii xu par iw qui est reprsent par il

l wxu avec le produit de iu par iiwx qui

est reprsent par l

l

i wxu .

Applications aux matrices

Pour une matrice carre A n lignes et n colonnes, nous dsignerons souvent par i

ja au lieu de ija le

terme reprsentant l'lment de la ligne i et de la colonne j. On utilisera ainsi la convention de notation o-li-ba-co

(haut=ligne, bas=colonne). Nous crirons donc :

ijaA Pour l'expression du dterminant, on aura :

i

jaA )(Det

Avec ces notations, le produit de deux matrices s'exprime trs facilement :

i

k

j

k

i

j cbaCBA

En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner la matrice

identit :

i

k

j

k

i

jbaIBA

On voit ainsi apparatre le symbole de KRONECKER :

ki

kiik

ik

i

ksi0

si1

On peut pressentir la rsolution d'un systme :

ij

i

jiji

j ybxyxa

Le calcul du dterminant permet de faire apparatre le pseudo-tenseur de LEVI-CIVITA appel parfois

le deuxime symbole de KRONECKER :

n

iii

iiii

n

ii

iii n

nn

naaaaaaA

21

21 21

2121

21)(Det

avec :

niii

niii

n

n

iii

iiin

n

,,2,1 de impairen permutatio uneest ,,, si1

,,2,1 de pairen permutatio uneest ,,, si1

gauxsont indices desdeux si0

21

2121

21

En fait on peut obtenir aussi des critures intressantes en faisant intervenir les cofacteurs des lments

de la matrice A. En notant i

j ( ijjii

j )1( ) le cofacteur de ija , on a :

)(Det Aa ikj

k

i

j

Si le dterminant de la matrice A est non nul, on peut retrouver les lments de la matrice B inverse de A

:

ijjii

j

i

ji

jA

b

)1()(Det

La valeur du dterminant devient :

n

i

n

j

i

j

j

i

i

j

j

i aaA1 1

)(Det

Application aux formes quadratiques

Considrons la forme quadratique, coefficients symtriques ( jiij aa ), dfinie par :

jiij xxaxg

Les termes ija sont des constantes scalaires, et les ix sont des variables scalaires produits

commutatifs. Cette commutativit permet d'crire tout terme du type 21

122 xxa comme la somme 21

21

21

12 xxaxxa .

Le calcul de la diffrentielle de la forme quadratique nous donne :

ijjiij dxxdxxagd En jouant sur la permutation des indices muets et la symtrie de la forme quadratique, on peut crire :

ij

ij

ij

ji

ji

ij dxxadxxadxxa

Ce qui nous donne :

ij

ij dxxagd 2

On peut ainsi obtenir la drive partielle de la forme quadratique par rapport la variable ix :

j

ijixa

x

g2

La notation de cette drive partielle peut tre aussi abrge :

j

ijiixag

x

g2,

Le calcul prcdent permet de retrouver l'identit d'Euler pour les fonctions homognes de degr 2 :

ggx ii 2,

Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels mtriques

Les proprits des tenseurs seront trs diffrentes suivant la nature des espaces dans lesquels ils seront

dfinis. L'usage impose de distinguer deux cas : l'espace vectoriel affine et l'espace mtrique qui contient les

espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si certaines formules tensorielles prennent des

formes simples dans un espace euclidien, il est parfois ncessaire d'employer des espaces vectoriels affines.

Espaces vectoriels affines

Dans ce type d'espace, on admet les postulats qui permettent de dfinir des vecteurs. L'espace n

dimensions comportera n axes de coordonnes ayant priori chacun une unit particulire. Un vecteur arbitraire

v

sera reprsent par ses composantes nvvv ,,, 21 suivant les diffrents axes sur lesquels nous aurons au

pralable dfini des units neee

,,, 21 .

ii evv

La longueur absolue du vecteur v

ne peut pas tre dfinie puisqu'il n'y a aucune commune mesure

entre les diffrentes composantes nvvv ,,, 21 . La distance de deux points ne peut pas tre mesure.

De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l'utilit de ce type d'espace. Toutefois en

physique on fait souvent usage de figures ou de diagrammes tracs en gomtrie affine.

En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d'tats faisant intervenir les variables

pression, volume et temprature. Pour le mcanicien, la loi de comportement d'un matriau peut parfois tre

reprsent dans un espace affine des variables contraintes et dformations.

Dans un espace affine, c'est une pure convention que de tracer des axes orthogonaux. En effet, si on ne

peut pas dfinir une longueur, il est impossible de parler d'angle.

Dans ce type d'espace, une fonction 12 xfx se reprsentera par une courbe. Mais, suivant les conventions d'units et d'axes, cette courbe se dformera. Par contre certaines relations conserveront un sens

invariant. Ainsi en thermodynamique, une loi d'volution d'un gaz peut tre reprsente dans le diagramme de

Clapeyron (pression, volume). Ce diagramme reprsente videmment un espace affine, mais pour une volution

quelconque, le produit des variables pression-volume reprsente une nergie qui doit tre indpendante du mode

de reprsentation utilis.

C'est en jouant sur cette notion importante d'invariant que le mcanicien trouve certaines formules de loi

de comportement d'un matriau.

Espaces vectoriels mtriques

En gomtrie mtrique, on ajoute une condition supplmentaire, qui permet de dfinir la distance entre

deux points ou la longueur d'un vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l'espace euclidien, on se dfini un

repre orthogonal, dont les vecteurs ont tous un mme module gal une unit choisie arbitrairement. On peut

ensuite construire une infinit d'autres repres rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de

coordonnes. Dans ce changement, toute longueur doit rester invariante. Bien entendu, la notion de longueur

permettra ensuite de dfinir la notion d'angle.

Le problme associ l'algbre tensorielle, c'est que nous ne commenons pas par ce type de gomtrie,

contrairement ce qui est fait en gomtrie lmentaire. Cette algbre tensorielle, bien plus gnrale que la petite

gomtrie d'arpentage a la prtention de devenir la gomtrie gnrale de la physique, en gnralisant les

phnomnes physiques.

Espaces vectoriels mixtes

Entre les deux cas purs (affine et mtrique), il convient de noter qu'il existe des espaces mixtes, qui

seraient affines vis--vis de certaines coordonnes et mtriques pour d'autres. Ainsi la reprsentation d'une

rpartition de pression sur une surface peut tre reprsente dans un espace 21 ,, xxp . Cet espace est mtrique dans le plan 21, xx mais pas dans les autres plans.

Algbre tensorielle en espace affine

Contravariance

Soit nE un espace vectoriel de dimension n sur un corps K de scalaires. Dans la suite du cours, nous

considrerons que la dimension de En est finie et que le corps K est commutatif.

Dans ce chapitre, nous supposerons que nE est dot simplement d'une structure affine. C'est--dire que ,

outre l'galit, les seules relations envisages entre les lments de nE seront l'addition et la multiplication par

un scalaire.

Soit ),,,( 21 ni eeee

une base de nE . Un vecteur v quelconque de nE est alors une

combinaison linaire des vecteurs de la base :

ii evv

Soit IE

une nouvelle base de nE . On aura alors de nouvelles composantes pour v

:

II EVv

D'autre part, la nouvelle base est relie l'ancienne par les formules de changement de base et la

matrice A associe :

jj

II eaE

Ce qui nous donne :

v a Vi Ii I

Mais de plus la matrice de changement de base est inversible et on peut lui associer son inverse B :

IibAB 1 On aura donc :

e b Ei i

II et V b v

IiI i

Les formules prcdentes amnent la remarque suivante :

Alors que la nouvelle base a t dfinie en fonction de l'ancienne l'aide des lments de la

matrice A, les nouvelles composantes du vecteur s'expriment en fonction des anciennes l'aide de la matrice

inverse B.

On exprime ce fait en disant que les composantes d'un vecteur de nE sont contravariantes dans un

changement de base sur cet espace. On dit qu'un vecteur de nE est un tenseur contravariant du premier ordre sur

nE .

Remarque : Pour plus de clart dans les formules, nous avons employ des lettres majuscules pour

tout ce qui se rapporte au second systme de coordonne, mme pour les indices. Il est vident que ce genre de

notation ne pourra tre maintenu dans la suite o nous pourrons tre amen considrer plusieurs changements

de base conscutif.

Forme linaire et covariance

Dans le chapitre portant les espaces vectoriels nous avons dfini les applications linaires.

Nous appellerons forme linaire toute application linaire de nE sur le corps des scalaires K.

Une telle forme linaire est donc un oprateur du type :

KvfEv n

La notion de linarit imposant :

ufvfuvf

On obtient donc dans une base ie

:

iiiiii fvefvevfvf

On constate que vf

apparat comme une combinaison linaire des v i . Toutefois, d'aprs sa

dfinition, l'expression v fi i reprsente un scalaire intrinsque, c'est dire indpendant de la base ie

utilise

dans nE .

De fait, un changement de base Ii Ee

nous conduit aux relations :

II

i

i FVfvvf

avec iiIiiIiiIII faefaeafEfF

On obtient aussi :

f b Fi iI

I

Ces formules nous montrent que les coefficients f i de notre forme linaire varient dans le mme sens

que les vecteurs de base dans un changement de base. Nous dirons qu'ils sont covariants dans un changement de

base.

On peut remarquer la notation employe. Arbitrairement, les vecteurs de base sont nots avec des

indices infrieurs. Les vecteurs contravariants ont donc des indices suprieurs, alors que les coefficients

covariants sont nots aces des indices infrieurs. Ce type de notation est celui que nous allons employer dans la

suite.

Espace dual

Considrons l'ensemble des formes linaires sur nE . Nous admettons que muni des lois de composition

suivantes, cet ensemble est un espace vectoriel :

Addition de deux formes linaires s f g v E s v f v g vn

( ) ( ) ( )

Produit d'une forme linaire par un scalaire p f v E p v f vn

( ) ( )

On admet la notion d'galit entre deux formes linaires :

g f v E g v f vn

( ) ( )

On aura en particulier la forme nulle :

f O v E f v On

( )

L'ensemble des formes linaires sur K est un espace vectoriel appel espace dual de nE not

nE .

Recherche d'une base de

nE

nE tant un espace vectoriel, on peut toujours dfinir une base de cet espace vectoriel. Toutefois nous

allons rechercher une base particulire de

nE prsentant des proprits simples et rendant les calculs plus

commodes.

Considrons comme lments particuliers de

nE les n formes linaires dfinies par :

ijji ee *

On dmontre sans difficult que pour toute forme linaire f on a :

i

ieff*

De plus la suite ie* est libre. De fait elle constitue une base de nE . Ce qui nous amne aux conclusions suivantes :

L'espace

nE dual de nE a la mme dimension que nE .

Il admet la base ie* appele base duale de la base ie

de nE .

Les coefficients d'une forme linaire f, relativement la base ie

de nE ne sont que les

composantes de f suivant la base ie* de nE .

Dual de l'espace dual

En recherchant l'espace vectoriel dual de l'espace vectoriel

nE , on obtient un espace vectoriel de

dimension n qui par correspondance peut tre assimil l'espace vectoriel nE lui-mme. La dualit est une

relation rciproque. Dans la dualit, la covariance devient la contravariance si nous adoptons

nE au lieu de nE

comme espace initial. Il est alors vident que les notions de variance seront troitement dpendantes de l'espace

vectoriel initial.

Multiplication tensorielle

Soient nE et mE ' deux espaces vectoriels, distincts ou non, de dimensions finies n et m sur le mme

corps commutatif K de scalaires.

On rappelle que l'ensemble des couples ',VV

tels que nEV

et mEV ''

est not En E'm.

On appelle produit tensoriel de nE par mE ' et on le note mn EE ' , un troisime espace

vectoriel de dimension nm sur le corps K muni d'une application de mn EE ' dans

mn EE ' satisfaisant aux proprits ci-aprs :

* La multiplication tensorielle est distributive, droite comme gauche, par rapport

l'addition .

* La multiplication tensorielle est associative avec la multiplication par un scalaire.

* Si p vecteurs V

sont linairement indpendants et si q vecteurs 'V

le sont aussi, alors les

produits 'VV

sont linairement indpendants.

A partir d'une telle loi de composition, il est possible d'tablir une table d'opration. Considrons ie

[resp. je '

] une base de nE [resp. de mE ' ]. D'aprs la troisime proprit, on obtient une base de mn EE '

en formant les nm produits : jiij ee '

avec i = 1,2, ... , n et j = 1,2, ... , m

Cette base ij est appele base associe dans mn EE ' aux bases ie

de nE et je '

de mE ' .

L'lment gnrique de mn EE ' est dfini par :

mnijji

ji

ji

ij

ij

mj

j

ni

i EEvveevvVVtTEevVEevV ''''''''',

Proprits

1- Avec les proprits de dfinition, on peut dire que la multiplication tensorielle des lments de

nE par les lments de mE ' est une application bilinaire de mn EE ' dans mn EE ' .

Attention, il faut bien distinguer une application dans mn EE ' et non pas une application sur

mn EE ' . En effet, dans le cas gnral on ne peut pas associer un couple ',VV

de mn EE ' tout lment

ijt de mn EE ' . Ceci nous conduirait rechercher n+m inconnues ji vv ', par partir de nm quations ijji tvv ' . Ainsi l'ensemble des produits 'VV

n'est en gnral qu'une partie de mn EE ' . On dit que les

'VV

sont les lments dcomposs de mn EE ' .

2- Le produit tensoriel de deux vecteurs n'est pas commutatif en gnral. Considrons en effet la

multiplication tensorielle d'un lment de nE par un lment de mE ' . Il faut tout d'abord noter que le problme

de la commutativit ne peut se poser que si les deux espaces sont identiques. Dans ce cas, le produit ji ee

est

distinct du produit ij ee

puisque les deux lments ij et ji appartiennent une base de nn EE .

Dfinition gnrale des tenseurs

On remarque que la dfinition de la multiplication tensorielle permet un calcul en cascade. En effet la

multiplication tensorielle de deux espaces vectoriels nE et mE ' nous donne un troisime espace vectoriel

mn EE ' . Ce dernier peut nouveau servir la dfinition d'un espace vectoriel omn EEE ''' partir d'un espace vectoriel oE '' . On imagine aisment la gnralisation qui peut tre faite.

Toutefois, afin d'viter des difficults complmentaires, nous imposerons une quatrime proprit la

multiplication tensorielle.

La multiplication tensorielle des lments de plusieurs espaces vectoriels est associative.

Pour assurer cette associativit, il suffit de se l'imposer sur les vecteurs de base.

kjikjikji eeeeeeeee "'"'"'

On peut donc maintenant donner une dfinition gnrale des tenseurs.

Nous appellerons tenseurs sur mmn EEE ''' , tout lment de l'espace

vectoriel omnomn EEEEEE '''''' .

L'expression gnrale de ces tenseurs est donc :

kjiijk eeet "'

T

Les termes t ijk reprsentent les composantes de T suivant la base kji eee "'

. Il est vident que

ces composantes sont fonctions des bases.

Considrons les changements de base suivants :

K

K

kk

J

J

jj

I

I

ii

k

k

KK

j

j

JJ

i

i

II

Ebe

Ebe

Ebe

eaE

eaE

eaE

"""

'''

"""

'''

Dans la nouvelle base, les composantes IJKT du tenseur T sont dfinies par la notion d'invariance de

ce tenseur dans tous changement de base :

KJIIJK

kji

ijk EEETeeet "'"'

T

On peut alors en dduire les relations fondamentales suivantes :

IJKk

K

j

J

i

I

ijkijkK

k

J

j

I

i

IJK TaaattbbbT "'"'

En fait, en gnral, les tenseurs employs sont plus restrictifs car ils ne sont dfinis qu' partir d'un

espace vectoriel nE et de son dual

nE .

On appelle tenseur d'ordre p sur nE tout tenseur sur un produit de p espaces vectoriels dont

chacun est identique nE ou son dual

nE .

Ce tenseur est dit affine si l'espace vectoriel nE est dote d'une structure affine.

Les conventions de notation pour un tenseur T de l'espace vectoriel *nnn EEE sont les suivantes :

- Tous les facteurs nE du produit *

nnn EEE seront rapports une mme base ie

.

- Tous les facteurs

nE du produit *

nnn EEE seront rapports une mme base duale

ie* . Ainsi toute base ie

de nE correspond une base

kji eee

* de *nnn EEE .

Nous dirons que les composantes de T suivant cette base sont les composantes de T suivant la base ie

.

Ces composantes seront notes

ij

kt . Un indice suprieur (resp. infrieur) correspondra donc chaque

facteur de base pris dans nE (resp.

nE ) et les rangs latraux des indices reproduiront l'ordre des facteurs de

base correspondants.

Exemples

1- Considrons que nE soit en fait 3

R . L'ensemble des formes linaires sur 3

R est

l'espace vectoriel dual 3

R . Avec une seule multiplication tensorielle, nous pouvons faire apparatre quatre espaces vectoriels dont la dimension est 9 :

jij

ij

ij

i

ij

ij

ji

ij

j

ijij

iji

ij

ij

ji

ij

teet

teet

teet

teet

*33

**33

*33

33

RR

RR

RR

RR

TT

TT

TT

TT

2- Un lment de nnnn EEEE **

sera not :

LKJ

I

LI

JKl

kj

i

li

jk EEEETeeeet

****T

Changement de base

Un changement de base est dfini par les relations suivantes :

I

I

iii

i

II

I

I

iii

i

II

EbeeaE

EbeeaE

Dans l'exemple ci-dessus, les nouvelles composantes du tenseur T sont :

LKJ

I

LI

JKl

kj

i

li

jk EEEETeeeet

****T

Ce qui nous donne :

LI

JK

l

L

K

k

J

j

i

I

li

jk

li

jk

L

l

k

K

j

J

I

i

LI

JK TabbattbaabT

Les formules prcdentes montrent bien l'intrt d'une notation qui de prime abord semble un peu

lourde.

Rciprocit

Inversement donnons-nous priori une suite li

jkt de 4n composantes de nE .

Nous dirons que cette suite est tensorielle sur nE si ce sont les composantes d'un tenseur,

autrement dit si lkj

i

li

jk eeeet

** est un lment intrinsque de nnnn EEEE **

.

En fait, on peut traduire la tensorialit par l'affirmation suivante :

Pour qu'une suite li

jkt de 4n composantes de nE soit tensorielle sur cet espace, il faut et il

suffit que le changement de base

II

iii

i

II EbeeaE

la transforme en une suiteLI

JKT telle que :

li

jk

L

l

k

K

j

J

I

i

LI

JK tbaabT

On peut donc remarquer qu'il existe une correspondance biunivoque entre les tenseurs sur nE et les

suites tensorielles sur cet espace. Pratiquement nous ne distinguerons pas le tenseur T de la suite tensorielle li

jkt

et on notera lijktT en sous-entendant la rfrence la base ie

.

Exemples fondamentaux

1- Tenseur de KRONECKER

Not i

j ou encore i

j (et donc tout simplement i

j ), le symbole de KRONECKER

est tensoriel sur tout espace vectoriel nE . Le tenseur associ dont les composantes suivant une base particulire

ie

sont i

j

i

jt , est trs caractristique car les composantes sont indpendantes de la base utilise. En effet,

dans une autre base IE

, les composantes de ce tenseur sont :

I

J

i

J

I

i

i

j

j

J

I

i

i

j

j

J

I

i

I

J ababtabT

2- Attention, not ij ou encore ij , le symbole de KRONECKER n'est pas tensoriel.

3- Dans le mme ordre d'ide, il faut noter que les coefficients j

ia d'un changement de base ne

sont pas tensoriels. La premire caractristique d'une suite tensorielle est de n'tre fonction que d'une seule base.

La suite jia est fonction du couple de base Ii Ee

, .

4- Considrons la suite ijg des neuf produits scalaires des vecteurs de la base ie

de 3

R :

jiij eeg

.

Cette suite est symtrique car on a :

jiijijji ggeeee

..

Cette suite tensorielle constitue la suite des composantes d'un tenseur appartenant 33 RR appel

le tenseur fondamental sur 3

R .

En gomtrie, son importance est capitale, car la connaissance des neuf produits scalaires ijg

dtermine les longueurs des vecteurs de base et les angles qu'ils font deux deux.

Si on admet que le produit scalaire est une forme linaire sur R , on peut alors introduire les

composantes covariantes des vecteurs de 3

R . Elles sont dfinies par :

jijijjijjii vgeeveeveVv

...

On peut alors exprimer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques :

iiiijijiijijiijj vuvuvgueeuveuevUV

...

Ainsi, pour obtenir le produit scalaire de deux vecteurs, il suffit de multiplier les composantes

covariantes d'un vecteur par les composantes contravariantes de l'autre vecteur et de faire la somme de ces

produits.

5- Un tenseur d'ordre p sur nE est apparu comme dfini par une suite de pn composantes. En

tendant cette notion p=0, on obtient un tre une seule composante, sans variance, qu'on appelle un scalaire

intrinsque.

Pour la gnralit de certains noncs, il sera effectivement utile d'assimiler les scalaires intrinsques

aux tenseurs d'ordre 0.

Tenseurs symtriques ou antisymtriques

On remarque, sur un tenseur d'ordre deux, que l'galit jiij tt avec 1 est invariante pour tout

changement de base. C'est une proprit intrinsque la suite tensorielle.

Si 1 , on dit que le tenseur est symtrique et si 1 on dit que le tenseur est antisymtrique.

Ces notions de symtrie et d'antisymtrie peuvent tre gnralises des tenseurs d'ordre suprieur

deux. L'observation vaut alors pour des symtries ou des antisymtries partielles, c'est dire portant sur la

transposition de deux indices particuliers, pourvu que ces deux indices soient la mme hauteur.

Ainsi le tenseur suivant est symtrique

i

lkj

i

jkl tt

En particulier, si un tenseur est compltement contravariant (ou compltement covariant), il se peut que

toute transposition de deux indices change la composante correspondante en elle-mme (resp. en son oppose).

On dira alors que le tenseur est compltement symtrique (resp. compltement antisymtrique).

Oprations sur les tenseurs

Egalit de deux tenseurs

En toute rigueur, un tenseur est gal un autre s'il est le mme lment d'un espace. Ainsi l'galit ne

peut tre envisage qu'entre tenseurs du mme type, c'est dire des tenseurs associs au mme espace vectoriel

nE et prsentant le mme nombre et la mme disposition des indices.

Nous dirons que deux tenseurs sont gaux si toutes leurs composantes homologues dans une

base tensorielle sont gales.

Nous pourrons donc dsigner plusieurs tenseurs sous la mme notation.

Ce qui nous donne pour les tenseurs suivants :

r

qp

pq

r

k

ji

ij

k eeeveeeu**

VU

ijkijkijkijk vuvu VU

En particulier, le tenseur U sera nul si et seulement si toutes ses composantes dans une base sont

nulles.

On peut remarquer le caractre intrinsque de cette notion d'galit.

Oprations linaires

Soient encore U et V deux tenseurs du mme type, lments de *

nnn EEE , donns par :

r

qp

pq

r

k

ji

ij

k eeeveeeu**

VU

A priori, l'lment dfini par VU , avec et deux scalaires intrinsques, est un lment de *

nnn EEE :

rqppqrpqrrqppqrkjiijk eeevueeeveeeuVU ***

Donc, si ijku et ijkv sont les suites de composantes de deux tenseurs U et V du mme type, et si et sont deux scalaires intrinsques, alors la suite ijkt telle que

ij

k

ij

k

ij

k vut

Est une suite tensorielle. C'est la suite des composantes du tenseur VUT

Produit tensoriel de deux tenseurs

Considrons prsent deux tenseurs U et V non ncessairement du mme type. Par exemple :

k

ji

ij

k eeeu*

U et q

pq

p eev

*V

Dans la multiplication de *

nnn EEE par nn EE *

, il leur correspond ( du fait de l'associativit

de la multiplication tensorielle) un lment de nnnnn EEEEE **

qui est :

qpkjiqpijkqpqpkjiijk eeeeevueeveeeuVU

****

Donc, si ijku et qpv sont les suites de composantes de deux tenseurs U et V , la suite qijkpt telle que qpijkqijkp vut est tensorielle; c'est la suite des composantes du tenseur VUT .

L'ordre du nouveau tenseur ainsi dfini est gal la somme des ordres des deux tenseurs gnrateurs.

Contraction d'un tenseur mixte

Considrons un tenseur mixte, par exemple tkl

ij m.

On dit que l'on contracte le tenseur mijklt en k et m quand, pour tout choix des autres indices, on fait la somme des composantes o k=m.

On obtient ainsi une nouvelle suite de composantes :

n

k

kij

kl

k

m

mij

kl

kij

kl

ij

l tttw1

On peut, sans difficults, dmontrer la tensorialit de cette suite de composante.

On dit que le tenseur ijlw est le tenseur contract, en k et m, du tenseur mijklt .

On constate que toute contraction d'un tenseur mixte ampute ce tenseur la fois d'une covariance et

d'une variance. Ainsi, partir d'un tenseur mixte d'ordre p, la contraction nous donne un tenseur d'ordre p-2 qui

d'ailleurs, n'est pas ncessairement mixte.

En particulier, si un tenseur d'ordre 2p est p fois covariant et p fois contravariant, p contractions

successives nous permettrons d'atteindre un tenseur d'ordre zro, c'est dire un scalaire intrinsque.

Remarque Si la suite tensorielle ijc peut tre considre comme celle des lments de la matrice associe un oprateur, la contraction c i

i donne la somme des lments diagonaux, qu'on appelle trace

de la matrice. On retrouve ainsi que la trace est invariante par changement de base.

Multiplication contracte

En combinant la contraction la multiplication tensorielle, on peut dfinir la multiplication contracte.

Par exemple, ij

ku et i

jv tant des tenseurs, on peut former les tenseurs suivants :

kij

mk

ij

m

l

m

ij

k

lij

mk twvut ;

Mais on peut crire directement :

k

m

ij

k

ij

m vuw

On pourra bien entendu effectuer plusieurs contractions simultanment, les indices associs tant ou

non dans le mme tenseur.

Critre de tensorialit

Pour savoir si une suite est tensorielle, on peut tudier sa transformation par changement de base. Il est

cependant souvent plus rapide d'appliquer un critre de tensorialit que nous admettrons.

Pour qu'une suite de composantes ij

kt soit tensorielle il faut et il suffit que, pour tout choix du

vecteur V

, la suite kij

k

ij vtu soit tensorielle.

Mais on peut aussi faire apparatre des contractions plus leves.

Pour qu'une suite de composantes, p indices suprieurs et q indices infrieurs, soit tensorielle,

il faut et il suffit que son produit compltement contract par p formes linaires et q vecteurs soit un

scalaire intrinsque, quelque soit le choix des p formes linaires et des q vecteurs.

En ralit, il n'est pas indispensable d'effectuer la contraction sur tous les indices, mais la premire

forme du critre de tensorialit est rarement employe car en gnral il est souhaitable que la nouvelle suite

obtenue par contraction soit la plus simple possible. C'est pourquoi on a recours la contraction maximum.

Exemple

On veut tester la suite ijc associe un oprateur C qui transforme tout vecteur V

de 3

R

en un autre vecteur U

de 3

R (ji

j

i vcu )

Nous avons donc la contraction complte d'une suite tensorielle jv un seul indice avec la suite ijc . Mais, pour toute suite jv nous obtenons une suite iu tensorielle car c'est la suite des composantes d'un vecteur de

3R . On en dduit que ijc est une suite tensorielle.

Cette dmonstration est plus rapide que l'tude des changements de base effectue plus haut.

Remarque

Il arrive parfois qu'on utilise pour la dmonstration des suites annexes obtenues par les

composantes d'un dplacement infinitsimal dans l'espace. Bien entendu ces vecteurs infinitsimaux ne

constituent pas tous les vecteurs de 3

R mais comme on peut tablir une bijection entre les vecteurs infinitsimaux et les vecteurs finis l'aide d'une constante infinitsimale, la dmonstration reste valable.

Algbre tensorielle en espace mtrique

Les proprits trs gnrales de l'espace affine resteront videmment valables lorsque nous choisirons

une mtrique, c'est dire lorsque nous fixerons tous les vecteurs de base une commune mesure. En partant d'un

repre orthogonal, dont les vecteurs de base ont tous un mme module, on peut construire une infinit d'autres

repres rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de coordonnes, changement au cours duquel toute

longueur doit rester invariable. La notion de longueur permettra ensuite de dfinir la notion d'angle.

Produit scalaire

Soit nE un espace vectoriel sur un corps K de scalaires. Nous allons enrichir sa structure et le rendre

mtrique en dfinissant une nouvelle loi de composition qui sera appele la multiplication scalaire.

Toutes les multiplications scalaires ont un point commun : tous couples de vecteurs ',VV

de nE

elles associent un produit scalaire qui donne un scalaire intrinsque not '.VV

.

Le produit scalaire possde les 4 proprits suivantes :

* commutativit de la multiplication scalaire VVVV

'.'.

*associativit de la multiplication scalaire par un scalaire '.'. VVVV

*distributivit par rapport l'addition "'.".".' VVVVVVV

*si 0'.VV

pour tout 'V

, alors 0

V

A partir de quatre axiomes, il est facile d'expliciter la multiplication scalaire. On associe une base ie

l'espace vectoriel nE . On peut alors crire:

ii

i

i evVevV '

'

Ce qui nous donne pour l'expression de la multiplication scalaire :

jijijjii eevvevevVV

..'.''

Soit :

ji

ij vvgVV'

'.

avec ijji gee

.

On remarque donc que tous les produits scalaires seront dfinis partir des produits scalaires des

vecteurs de base.

Le tenseur fondamental

D'aprs la commutativit, on a ncessairement : jiij gg

D'autre part, la quatrime proprit du produit scalaire nous permet d'crire :

ivvgvvgv iiijji

ij

j 000'' ,

Autrement dit, le systme des n quations 0iijvg aux n inconnues iv n'admet que la solution

0iv . Pour cela, il faut et il suffit que la matrice des ijg soit rgulire et que son dterminant soit non nul.

Rciproquement, si nous nous donnons arbitrairement 2n scalaires ijg tels que :

jiij gg et 0Det ijg il est immdiat de vrifier que la loi de multiplication dfinie par

ji

ij vvgVV'

'.

pour iievV

et iievV '

' satisfait aux quatre axiomes.

En conclusion, il existe effectivement une loi de multiplication scalaire satisfaisant aux quatre

proprits. On peut se la dfinir en se donnant arbitrairement, pour une base ie

, les 2n produits scalaires :

ijji gee

. tels que jiij gg et 0Det ijg

Les ijji gee

. sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur sur nE que nous

noterons G et que nous appelerons le tenseur fondamental sur nE .

On appelle forme bilinaire fondamentale de nE l'expression explicite ji

ij vvg ' du produit scalaire du

couple de vecteur gnrique.

On appelle forme quadratique fondamentale l'expression correspondante du carr scalaire de son

vecteur gnrique : jiij vvgVVV

.2

Il est noter qu'il suffit de se donner cette dernire forme pour dfinir compltement les ijg et par

consquent la loi de composition scalaire sur nE .

Enfin, la matrice des ijg tant rgulire, elle est inversible et nous noterons ij les lments

symtriques de sa matrice inverse. Nous pourrons donc crire :

i

kjk

ij g

Changement de bases

Considrons une nouvelle base IE

. On peut bien entendu dfinir les produits scalaires des

vecteurs de cette base :

IJJI GEE

.

Mais on peut aussi calculer ces produits scalaires en fonction des produits scalaires des vecteurs de la

base ie

et de la matrice de changement de base. Le rsultat est :

ijj

J

i

IIJ gaaG

De mme pour le tenseur fondamental inverse, on a :

ijJ

j

I

i

IJ bb

On peut aussi calculer le dterminant de la matrice des ijg que l'on appellera le dterminant de tenseur

fondamental :

ijgg Det Dans le changement de base caractris par une matrice iIa de dterminant iIaDet nous obtiendrons la formule suivante :

ijIJ gG DetDet 2 Ce dterminant n'est pas conserv dans le changement de base, mais son signe reste indpendant de la

base.

Composantes covaraintes et contravariantes d'un tenseur

Composantes covariantes d'un vecteur

Soit iievV

un vecteur gnrique de nE . Quand on forme ses produits scalaires avec les vecteurs de

base, on obtient :

jijijji vgeeveV

..

Cette dernire entit, que l'on notera j

iji vgv , est appele la mei composante covarainte du vecteur

V

dans la base ie

.

Tout vecteur V

de l'espace nE muni du produit scalaire peut tre dfini par ses composantes

contravariantes iv (avec i

ievV

) ou par ses composantes covariantes iv (avec ii eVv

. ). Les

liens existants sont :

iji

j gvv et jiji vv

L'introduction des composantes covariantes permet de varier les expressions du produit scalaire de deux

vecteurs :

i

ii

i

ij

ijji

ij uvuvuvuvgUV

.

Cette relation nous permet d'affirmer que la suite ij est tensorielle.

Composantes contravariantes d'une forme linaire

De mme que pour le vecteur, on peut considrer un lment gnrique de *

nE , c'est--dire une forme

linaire dfinie par :

i

ieff*

Du fait de la tensorialit de la suite ij , le terme jiji ff est un tenseur contravariant qui caractrise la forme linaire.

Toute forme linaire f de l'espace nE muni du produit scalaire peut tre dfinie par ses

composantes covariantes if (avec i

ieff* ) ou par ses composantes contravariantes if . Les liens

existants sont :

jiji ff et jiji fgf

On remarque donc la forte analogie existante entre les vecteurs, lments de l'espace vectoriel nE , et

les formes linaires, lments de l'espace vectoriel dual *

nE . Cette analogie permet aussi de raliser les

changements d'espace vectoriel. Ainsi les relations prcdents permettent d'identifier la forme linaire f un

vecteur F

de composantes covariantes if . On pourra ainsi crire pour tout vecteur V

de nE :

VfvfgvfVF jiijji

.

Cette relation montre bien que l'on peut confondre le vecteur F

et l'application linaire f .Ainsi un

lment d'une base ie

doit pouvoir s'identifier un lment d'une base ie* et vice-versa. On a : VegvgvVe jijjijii

*.

Ce qui nous donne les relations fondamentales suivantes :

e g ei ij

j * et e ej ij i*

Composantes d'un tenseur

On peut dons constater la confusion entre l'espace vectoriel nE et son dual *

nE . On en dduit

que tous le tenseurs du mme ordre p sur nE ne forment plus qu'un espace vectoriel unique, dont tout lment

peut tre dfini par des composantes de variances arbitraires. Ces tenseurs seront appels tenseurs pr-

euclidiens.

Ainsi nous avons pour un tenseur pr-euclidien d'ordre 3 :

kjiijk

kji

hkij

hh

kh

ji

ij

k

k

ji

ij

k eeeteeeteeeteeetT

*

Ce qui nous permet d'crire :

ijkhkij

h tt

De la mme nous allons pouvoir crire :

i

jkhj

ih

k tgt

Mais ces relations sont encore valables pour le tenseur fondamental. On peut donc ainsi dfinir ses

composantes mixtes :

j

i

j

i

kj

ik gg

Et ses composantes compltement contravariantes :

hjjhihj

i

hjihj

i gg

Ainsi, les ij ne sont autre que les composantes ijg compltement contravariantes du tenseur fondamental lui-

mme.

On obtient donc une rgle dite d'abaissement ou d'lvation d'indice.

Pour lever (resp. abaisser) un indice k, on le remplace par un indice muet h et on effectue le

produit contract par khg (resp. par hkg ).

On peut ainsi remarquer qu'un tenseur pr-euclidien admet diffrents modes de reprsentation. Il est

possible de regrouper tous les indices en position suprieure ce qui nous donnera alors l'expression

contravariante du tenseur. L'expression covariante sera obtenue avec un tenseur ayant ses indices en position

infrieur.

Oprations sur les tenseurs pr-euclidiens

La possibilit de dplacer les indices accrot le nombre des oprations possibles.

Ainsi l'galit de deux tenseurs pourra se dfinir simplement partir de l'instant o ils sont du mme

ordre. De mme l'addition sera obtenue aussi sur des tenseurs de mme ordre. Pour ce genre d'opration, il faut

dfinir les deux tenseurs dans la mme base. Les proprits obtenues tant intrinsques, elles seront vraies dans

toutes autres bases, en particulier celle obtenue par dplacement vertical d'indice.

De la mme, la multiplication tensorielle est compatible avec les dplacements verticaux d'indices.

Orthogonalisation des espaces vectoriels

Dans l'espace vectoriel pr-euclidien nE , deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit

scalaire est nul.

Cette relation, symtrique vis--vis des deux vecteurs, est encore vrifie si l'un ou l'autre des deux

vecteurs est nul. Autrement, elle subsiste si on remplace un vecteur par un vecteur parallle. On dit donc que

l'orthogonalit de deux vecteurs non nuls dpend seulement de leur "direction".

Une base est dite orthogonale si chacun de ses vecteurs est orthogonal tous les autres.

Il est toujours possible de dterminer une telle base. Le processus de recherche d'une base orthogonale

est appeler orthogonalisation de l'espace vectoriel.

Dans une base orthogonale, le carr scalaire d'un vecteur quelconque ne prsente que des termes carrs.

En effet si IE

est une base orthogonale, le tenseur fondamental associ dfini par JIIJ EEG

. doit tre tel

que IJG est nul si I est diffrent de J.

Ainsi dans la base orthogonale, la matrice IJG du tenseur fondamental est rduite une forme diagonale. Toutefois, priori, les termes IJG ne sont pas ncessairement tous positifs. En consquence, il n'est

pas toujours possible de donner une base orthonorme dans un espace vectoriel pr-euclidien.

Espaces vectoriels euclidiens.

Pour pouvoir toujours dfinir une base orthonorme, il suffit de modifier la quatrime proprit du

produit scalaire:

si 0'.VV

pour tout 'V

, alors 0V

La nouvelle proprit prendre en compte est la suivante :

si 0V

alors 02 V

Avec cette nouvelle proprit, on dit que la forme quadratique fondamentale jiij vvgV 2

est

dfinie positive, c'est--dire strictement positive pour tout vecteur V

non nul.

Norme d'un vecteur

A tout vecteur V

de nE on peut associer un scalaire positif appel norme du vecteur et dfini

par la racine carre de son carr scalaire :

2VV

Les proprits essentielles de la norme sont les suivantes :

* Ingalit de Schwarz

''. VVVV

L'galit n'est obtenue que si les vecteurs sont parallles.

* Ingalit triangulaire

'' VVVV

L'galit n'est obtenue que si les vecteurs sont parallles et de mme sens.

Bases orthonormes d'un espace vectoriel euclidien

Dans un espace vectoriel euclidien nE , on appelle vecteur unitaire out vecteur de norme gale l'unit.

Les bases formes de vecteurs unitaires et deux deux orthogonaux prennent le nom de bases orthonormes.

Les bases orthonormes sont celles qui rduisent la matrice du tenseur fondamental la matrice unit.

Dans un changement de bases orthonormes, la matrice de changement de base est telle que son inverse

est gal sa transpose. On dit alors que c'est une matrice unitaire. Le dterminant d'une telle matrice est gal

plus ou moins un.

Drivation en notation tensorielle

Volontairement, nous allons nous restreindre au formalisme de drivation dans des bases fixes dans un

premier temps.

Ainsi l'espace gomtrique sera repr l'aide d'un systme d'axes rectilignes valables en tout point de

l'espace. La base ie

dfinie en un point appel origine du systme d'axes est indpendante des coordonnes

d'un point M de l'espace. Les matrices de changement de base ne contiendront que des termes constants par

rapport aux variables d'espaces.

Drives par rapport aux variables d'espaces

Position d'un point

L'espace est suppos tre rapport un repre constitu des trois vecteurs formant une base ie

. Ces

vecteurs sont dfinis en un point O appel origine du systme d'axes rectilignes. Un point M est alors repr par

les composantes du vecteur position iiexOM

.

En tout point de l'espace on pourra dfinir des grandeurs physiques que nous appellerons champ et qui

doit reprsenter des grandeurs intrinsques.

On parlera ainsi de champ scalaire (pression, temprature, ...), de champ vectoriel (champ lectrique,

acclration de la pesanteur,...) ou de champ tensoriel (contraintes, dformations, ...).

Drive d'un scalaire

Un champ scalaire U est drivable en un point M s'il admet en ce point trois drives partielles

iiU

x

U,

par rapport aux variables d'espace

ix . On pourra alors dfinir la diffrentielle de U en M qui

reprsente l'accroissement au premier ordre de U pour un dplacement infinitsimal intrinsque :

i

i

i

idxUdx

x

UdU ,

Cette diffrentielle est un scalaire intrinsque (tenseur d'ordre 0). D'autre part, idx reprsente la

composante contravariante d'un tenseur d'ordre 1

OMd .

On peut donc dire que ii Ux

U,

reprsente la composante covariante d'un tenseur 1.

Le tenseur de composante covariante ii Ux

U,

est le tenseur gradient du champ scalaire.

Drive d'un vecteur

On considre un vecteur dtermin par ses composantes contravariantes :

iievV

On peut alors dfinir la drive de ce vecteur :

i

jj

ji

j

i x

eve

x

v

x

V

Mais ije ,

est nul du fait que l'on utilise des coordonnes rectilignes indpendantes du point. On obtient

ainsi :

jij

ji

j

ieve

x

v

x

V

,

De plus dans un changement de base de ie

vers IE

caractris par la matrice iIa et la matrice inverse Iib on aura :

IiI

ii

Ii

II

I

i

i ExbeXaEXexOM

IiI

ii

Ii

II

I

i

i EvbeVaEVevV

Ce qui nous donne :

I

JI

i

i

Ji

kI

k

I

Jj

J

i

I

I

j

i

j

X

Vba

x

xb

X

Va

x

X

X

v

x

v

La formule prcdente nous montre bien que ijv , reprsente les composantes mixtes d'un tenseur du

second ordre.

Drive d'un tenseur

Le calcul prcdent peut trs bien se gnraliser un tenseur d'ordre quelconque. Ainsi, un tenseur

d'ordre n, par drivation nous pourrons lui associer un tenseur d'ordre n+1. Nous aurons par exemple pour un

tenseur du quatrime ordre :

lk

jiklij eeeet **

T

lk

jimklij

meeeet

x

**,

T

Attention Les formules prcdentes ne sont valables que dans une base "fixe" c'est dire

indpendante des coordonnes de drivation. Nous verrons par la suite des formules plus compltes

permettant de prendre en compte la variation des vecteurs de bases avec les coordonnes.

Gradient, divergence, rotationnel

L'introduction des oprateurs classiques peut trs bien se faire partir d'un vecteur appel Nabla. Ce

vecteur est dfini par :

i

ie

x

*

On peut alors gnraliser les notions de gradient, divergence et rotationnel pour des tenseurs d'ordre

quelconque :

Gradient

grad produit tensoriel

Divergence .

div produit scalaire ou produit contract

Rotationnel

Rot produit vectoriel ou produit extrieur

Laplacien

. divergence du gradient

Avec ces notations, on retrouve facilement les expressions indicielles des oprateurs dans un systme de

coordonnes rectilignes :

Divergence d'un vecteur

i

ii

ki

k

k

ki

i x

v

x

veve

xVV

..

*div

Rotationnel d'un vecteur

jikjikk

k

i

ie

x

veve

xVV

*Rot

On peut aussi tendre les notions des tenseurs d'ordre quelconque :

Gradient d'un vecteur

kikikiikkiikk

k

i

ieeveevee

x

veve

xV

*,

*

,

**

Grad

On a donc un tenseur du second ordre que l'on peut reprsenter par ses composantes

covariantes, mixtes ou contravariantes.

Divergences d'un tenseur

kjkjkijjkikjjki

ietet

xeete

x

,

*..

TTdiv

Ainsi, partir d'un tenseur du second ordre, on obtient un tenseur du premier ordre, c'est dire un

vecteur.

Remarque

On a utilis l'oprateur gauche, ce qui nous a permis de dfinir une divergence gauche :

kjkjkjjkii eteetex

,

*.

Tgdiv

Mais on pourrait de mme dfinir une divergence droite :

kkj jjjkkiikjjk etete

xeet

,,

*.

Tddiv

On constate que si le tenseur T n'est pas symtrique par rapport ses indices extrmes, les deux

divergences ne sont pas gales.

Coordonnes curvilignes

L'tude de certains phnomnes physiques peut tre parfois dlicate lorsque l'on veut constamment

dfinir le vecteur position par rapport un seul repre gnralement rectiligne. On conoit facilement que les

problmes de mise en forme en grandes dformations vont apporter des difficults de positionnement.

De plus dans les espaces non euclidiens, il n'est pas possible de dfinir des coordonnes rectilignes. On

doit alors imprativement utiliser des coordonnes curvilignes. Ainsi, pour dfinir la loi de variation de la

pression la surface de la terre, on ne peut pas dfinir deux axes rectilignes qui dtermineraient un espace plan et

non pas une sphre. On utilise alors comme coordonnes possibles la latitude et la longitude. Ce sont des

coordonnes curvilignes.

Bases locales

Supposons l'espace dj rapport un systme de coordonnes rectilignes. A chaque point est associ

une valeur et une seule du triplet ix et rciproquement chaque valeur de la suite ix est associ un point et un seul.

Nous pouvons utiliser d'autres reprages des points M en remplaant les ix par d'autres suites iu de trois paramtres. Pour qu'une telle suite permette de raliser un reprage sans ambigut, il est ncessaire

d'assurer une bijection entre les points M et les valeurs de cette suite. En fait cela revient dire que chaque iu

devra tre une fonction uniforme des ix et vice versa. De plus pour des questions pratiques de calcul, nous

imposerons aux iu d'tre des fonctions continues de M sauf en quelques points. Ainsi les ui seront drivables

par rapport aux ix . Nous pourrons crire :

32133

32122

32111

uuuxx

uuuxx

uuuxx

,,

,,

,,

Les coordonnes 321 xxx ,, de M sont les coordonnes rectilignes (cartsiennes).

Les coordonnes 321 uuu ,, de M sont les coordonnes curvilignes.

Prenons un point M, de coordonnes rectilignes 321 xxx ,, obtenues en donnant aux coordonnes

curvilignes des valeurs particulires. Par ce point passera une courbe caractrise par cteu 2 et cteu 3 ,

c'est dire une courbe pour laquelle 1u est la seule variable. Nous prendrons cette courbe comme ligne

curviligne 1uM , . Nous pourrons bien entendu dfinir de la mme faon deux autres lignes curvilignes. Les vecteurs de base des axes des coordonnes curvilignes sont dfinis par :

cteu

cteuu

OMg

3

2

11

On dfinit ainsi une base locale en M 321 ggg

,, . Les vecteurs dterminent en fait une base tangente

aux lignes de coordonnes curvilignes.

Il est noter que cette base n'est pas ncessairement orthonorme.

Remarques

1- On a :

ij

i

ji

i eu

xgexOM

Il est vident que la base ainsi dfinie est dpendante du point M.

2- La relation vectorielle prcdente est en fait une relation de changement de base du type :

ii

jj eg

Toutefois dans cette relation, les coefficients i

j ne sont plus constants, contrairement aux

changements de bases rectilignes.

3- On peut inverser les relations prcdentes. On obtient alors :

ji

j

i gx

ue

Symboles de CHRISTOFFEL

En coordonnes rectilignes, la tensorialit d'une suite a t introduite partir de la notion de

changement de base. On avait ainsi donne la formule :

T b a a b tJK

I LiI

Jj

Kk

lL

jk

i l

Supposons maintenant que la grandeur tensorielle T soit intrinsquement dfinie en tout point M de

l'espace, ou d'un domaine de l'espace. On parlera alors d'un champ de tenseur. Par exemple la temprature et le

champ magntique, qu'on peut mesurer ou reprer aux diffrents points de l'espace, constituent respectivement

un champ scalaire (tenseur d'ordre 0) et un champ vectoriel (tenseur d'ordre 1).

Pour pouvoir comparer les "valeurs" 1MT et 2MT du champ entre deux points diffrents, il est impratif de pouvoir comparer les deux bases dfinies en ces deux points. Nous allons ainsi introduire la

variation des vecteurs la base curviligne en fonction du point.

On veut calculer :

k

i

u

g

avec ij

i

ji

i eu

xgexOM

On obtient :

jik

j

ji

j

kk

i euu

xe

u

x

uu

g

2

Mais de plus, les vecteurs de la base rectiligne sont relis aux vecteurs de la base curviligne :

ji

j

i gx

ue

Ce qui nous donne :

mj

m

ik

j

k

i gx

u

uu

x

u

g

2

On fait ainsi apparatre le symbole de Christoffel :

j

m

ik

jm

kix

u

uu

x

2

Proprits :

1- Ce symbole est symtrique par rapport aux indices i et k.

j

m

ki

jm

ikj

m

ik

jm

kix

u

uu

x

x

u

uu

x

22

2- On peut utiliser la mthode de monte et descente des indices :

mkm

kii gug

dd

3- On a : mm

kiki gg

,

Mais on dmontre que dans la base duale on obtient :

mi

mk

i

k gg

,

4- Pour le calcul des symboles de Christoffel, on peut soit reprendre la dfinition, soit

utiliser la formule ci-aprs : nikkniinkmnm

ki gggg ,,, 2

1

5- Les symboles de Christoffel ne constituent pas une suite tensorielle.

La formule de changement de base est la suivante :

k

j

IJ

i

j

jk

J

j

k

K

i

I

J

IKu

abbaa

Drive covariante

Drive covariante d'un vecteur

Soit un vecteur A donn par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :

ii gAA

On veut calculer la variation du vecteur par rapport une des variables du systme de coordonne :

AA

u

A

ug A

g

uA g A g A g A gj j

i

j ii i

j ji

ii

jim

m ji

im

jmi

i, , ,

On obtient ainsi :

iijiijmmi jj gAgAAA

,,

On fait donc apparatre un nouvel oprateur diffrentiel que l'on appelle la drive covariante

du vecteur. Cette drive prend en compte la variation propre des composantes du vecteur

j

i

u

A

et

les variations des vecteurs de base ijmmA .

A partir des formules prcdentes, on peut crire :

iji

j

j

j guAuAA

ddd ,

Drive covariante d'un tenseur du second ordre

On se donne un tenseur du second ordre par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :

jiij ggt

T

Calculons la variation de ce tenseur par rapport l'une des variables :

mmjkiijjmmikijjikij

k

j

i

ij

jk

iij

jik

ij

kk

ggtggtggu

t

u

ggtg

u

gtgg

u

t

u

TT,

Ce qui nous donne :

jijmkimimkmjkij

kggtt

u

t

u

T

On peut ainsi exprimer la diffrentielle du tenseur :

jikjmkimimkmjkij

k

kggutt

u

tu

u

ddd

TT

Les relations prcdentes font apparatre la suite indicielle suivante :

kj

mk

imi

mk

mj

k

ijkij

k

ij uttu

tutt dd

Dans le cas d'un tenseur donn par ses composantes mixtes, on a :

km

jk

i

m

i

mk

m

jk

i

jki

jk

i

j uttu

tutt dd

La diffrentielle Td d'un tenseur est la diffrence, l'ordre 1, de deux tenseurs du mme type. C'est donc un tenseur de ce type et la suite indicielle obtenue est par consquent tensorielle.

Mais de plus on a :

kij

k

ij utt d

Les termes kud sont les composantes d'un tenseur d'ordre 1 (le vecteur M

d ). En consquence la suite

ij

k t est tensorielle. Elle dfinit un nouveau tenseur.

La suite ij

k t dfinit un nouveau tenseur contenant une variance de plus que le tenseur T .

Ce nouveau tenseur est appel la drive covariante du tenseur T . On le note souvent T .

La drive covariante d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n+1.

Il ne faut pas confondre la drive covariante d'un tenseur avec la diffrentielle du tenseur. Par exemple,

pour un tenseur d'ordre 3, on a :

kjilijkl

k

ji

ij

k

k

ji

ij

k

ggggt

gggt

gggt

**

*

*

T

T

T

d

Thorme de RICCI: Les drives covariantes du tenseur fondamental sont toutes nulles,

quel que soit le systme de rfrence.

L'intrt essentiel de ce thorme rside dans le fait qu'il rend permutable la drivation covariante et le

relvement ou l'abaissement des indices. Ainsi on peut crire :

jkikjkikij tgtgt

Application la dynamique.

Vitesse d'un mobile

Quand un mobile ponctuel M dcrit une trajectoire dans l'espace, on peut reprer la position de

ce mobile en paramtrant ses coordonnes en fonction du temps :

tuu ii

La vitesse du mobile par rapport un repre est dfinie par le vecteur tMV dd

o M

d est le

dplacement de M dans la repre considr pendant le temps td . Dterminons la vitesse de M par rapport un repre fixe au cours du temps, c'est dire un repre associ un systme de coordonnes (rectilignes ou

curvilignes) mais qui reste immobile par rapport l'observateur. Il ne faut pas confondre ce repre avec la base

fixe (constante dans l'espace) d'un repre cartsien.

Ecrivons la vitesse en utilisant tout d'abord les coordonnes rectilignes :

i

i

edt

xV

d avec i

iexM

dd

Les composantes de la vitesse sont les drives partielles par rapport au temps des coordonnes de M.

Calculons maintenant cette mme vitesse par rapport au repre fixe, mais en utilisant les coordonnes

curvilignes :

ii u

Mg

avec igM

idud

On obtient donc :

i

i

gdt

uV

d

Les composantes de cette vitesse sont encore les drives par rapport au temps des coordonnes de M.

Cette proprit est due uniquement la dfinition des vecteurs des coordonnes curvilignes.

Acclration du mobile

L'acclration dans le mme repre est dfinie par tV dd

.

Dans les coordonnes rectilignes, on obtient :

i

i

i

i

et

xe

dt

x

tt

V

2

2

d

dd

d

d

d

d

Avec les coordonnes curvilignes :

t

g

dt

ug

t

ug

dt

u

tt

V ii

i

i

i

i

d

dd

d

dd

d

d

d

d2

2

Au cours du temps dt la base naturelle du point o se trouve le mobile varie :

jkj

kii gug

dd

Ce qui nous donne :

i

ki

kj

ji

j

kj

ki

i

i

i

gt

u

dt

u

t

ug

t

u

dt

ug

t

u

d

dd

d

d

d

dd

d

d2

2

2

2

Les composantes de l'acclration sont donc :

i

kj

kjii

t

u

dt

u

t

u

d

dd

d

d2

2

Oprateurs gradient et divergence

Pour dfinir ces oprateurs dans un systme de coordonnes curvilignes, on reprend, en le transformant,

l'oprateur Nabla :

i

i

i

ig

ue

x

**

On obtient alors pour le gradient d'un vecteur :

i

kk

ki

ki

k

ki

i u

gvg

u

vggvg

uV

**Grad

Soit :

kikimmik

k

k

im

m

ki

ki

m

m

ik

k

ki

ki ggv

u

vgvg

u

vggvg

u

vgV

***

Grad

On retrouve ainsi la drive covariante :

kikikikimmik

ggvggvu

vV

**

Grad

En fait on montre qu'il est possible de transposer les formules dmontres en coordonnes rectilignes en

remplaant la drivation i, par une drivation covariante i .

On a ainsi pour l'oprateur divergence :

jjk

k et

Tddiv et jkj

k et

Tgdiv

EXERCICES sur les Tenseurs

Convention d'criture

47- En adoptant la convention d'Einstein, a-t-on le droit d'crire les formules suivantes ?

47-1 jiijijsrrsjiij xxhgxxhxxg

47-2 iijijsrsiij xbaxbxa

47-3 a b c a b cijjk

kl irrs

sl

47-4 2222 iiiiiiii dbcadcba

47-5 kkiiiii cabacba 3333333

48- Les produits x xi j tant commutatifs, dmontrer l'galit :

jihijjihijhjihijijh xxaaaxxaa 2

49- Rsoudre l'quation :

ji j

ik

ki j

ikx x x x x x

50- Calculer les drives suivantes :

50-1 kji cbatd

d 50-2 jijjij dcba

t

d

d

50-3 jiij aat

d

d 50-4 kijkij ba

t

d

d

51- Calculer les drives partielles suivantes :

51-1 k

ji

ij xxA , 51-2 khji

ijh xxxA ,

51-3 kl

ji

ij xxA , 51-4 klhji

ijh xxxA ,

52- Soit d da A a yi kij

jk . Exprimer ai k,

53- Soit Aa

y

a

ya aij

k k

i

k

j k i k j

, , .. Calculer l

k

ijA ,

54- Ecrire la trace d'une matrice A en utilisant la convention d'Einstein.

Espaces affines. Espaces mtriques

55- On considre l'espace vectoriel euclidien. On associe cet espace une base cartsienne

orthonorme directe 321 ,, eee

.

Soient a a ei i et

b b ei i deux vecteurs de cet espace.

55-1 Exprimer en formulation indicielle le produit scalaire et le produit vectoriel de ces

deux vecteurs.

La position d'un point M quelconque est repr par rapport une origine O par le vecteur position :

OM x ei i

Soit ixp une fonction scalaire des coordonnes de M et ixf

une fonction vectorielle.

55-2 Exprimer en formulation indicielle les oprateurs gradient, divergence, laplacien et

rotationnel.

55-3 Donner une nouvelle expression de fp

.div .

Algbre tensorielle en espace affine

56- Soit une base ie

de R3 et f une forme linaire dfinie par :

2,1,1 321 efefef

56-1 Calculer vf

avec v e e e 1 2 34

56-2 Quelles sont les composantes de f dans la base duale associe? Utiliser ces

composantes pour retrouver vf

.

56-3 En utilisant les matrices de changement de base adquates, crire les nouvelles

composantes de v , de f et calculer vf

avec ces nouvelles composantes dans le changement de base :

E e E e E e1 1 2 2 3 3 , ,

57- Dmontrer que la forme quadratique A x xiji j est nulle si le tenseur Aij est antisymtrique.

58- Si les grandeurs ci-aprs reprsentent des tenseurs, montrer que les proprits suivantes sont

conserves au cours de tout changement de repre :

56-1 A Aij ji 56-2 A Aij ji

56-3 A kAij ji 56-4 A A Bij ji ij

59- A quelle condition doivent satisfaire deux vecteurs

V et

V ' d'un mme espace vectoriel En pour que l'on ait :

V V V V ' '

60- Dmontrer que la suite ij n'est pas une suite tensorielle.

61- 1- Soit ijt une suite tensorielle sur En. Comment se transforme le dterminant de cette suite dans un changement de base?

2- Mme question pour une suite tensorielle ijt ou ijt ?

62- On se donne trois suites indices , fonction de la base choisie dans R2 et on explicite leurs

composantes dans deux bases ie

et iiII eaE

avec :

20

01i

Ia

Ces composantes sont dans la base ie

0;1;0;2

1;0;2;0

1;0;2;0

22211211

2

2

2

1

1

2

1

1

22211211

ccccc

ccccc

ccccc

ij

i

j

ij

Et dans la base IE

1;2;0;2

1;0;4;0

4;0;4;0

22211211

2

2

2

1

1

2

1

1

22211211

CCCCC

CCCCC

CCCCC

IJ

I

J

IJ

Quelles sont les suites qui peuvent tre tensorielles? Peut-on affirmer qu'elles le sont?

63- Dmontrer qu'un tenseur quelconque ayant au moins une paire d'indice de mme hauteur peut

tre dcompos d'une manire unique en une somme de deux tenseurs, l'un symtrique, l'autre antisymtrique par

rapport aux deux indices choisis.

64- On se donne un tenseur mixte d'ordre 2, t ji , en dfinissant ses composantes dans une base

ie

de R2. On a :

t t t t11

21

12

221 2 3 ; ;

D'autre part on se donne une seconde base IE

se dduisant de la premire l'aide de la matrice iIa :

a a a a11

21

12

221 1 2 2 ; ; ;

64-1 Dterminer les nouvelles composantes T JI du tenseur.

64-2 Le tableau t ji reprsente maintenant les composantes du tenseur symtrique deux fois

covariant tij . Calculer les composantes de ce tenseur dans la nouvelle base.

65- On se donne un tenseur deux fois contravariant sur R2 par ses composantes dans une base :

t t t t11 12 21 222 3 1 4 ; ; ;

65-1 Ecrire ce tenseur sous la forme t s aij ij ij o sij et a ij sont deux tenseurs deux fois

contravariant l'un symtrique et l'autre antisymtrique.

65-2 Trouver les nouvelles composantes T IJ , S IJ et A IJ dans la nouvelle base dfinie par

le changement de base de l'exercice prcdent.

66- Soit le tenseur A u a u a u aijk k ij i jk j ik . Montrer que ce tenseur est symtrique si le tenseur

aij est symtrique.

Oprations sur les tenseurs

67- On se donne une base ie

de R2 dans laquelle le tenseur fondamental a pour composantes :

g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

On dtermine un tenseur t jki par la donne de ses composantes dans ie

:

4;2;0;3

2;1;1;02

22

2

21

2

12

2

11

1

22

1

21

1

12

1

11

tttt

tttt

Dterminer u t v t vk iki

k kii k , , et u vi

i .

68- Dans l'espace R2 de la gomtrie lmentaire, une premire base est forme par les vecteurs

unitaires d'un repre rectangulaire yxO

,; . On considre une deuxime base forme par les vecteurs unitaires

de xO

; et de la premire bissectrice.

Calculer explicitement les nouvelles composantes en fonction des anciennes :

68-1 pour un vecteur iu . 68-2 pour un tenseur mixte d'ordre 2 ijt . On utilisera ventuellement le contract ijij utv .

69- On considre une suite ijt dans une base ie

et deux vecteurs

U et

V arbitraires.

Dmontrer les critres de tensorialit suivants :

69-1 Pour que la suite ijt soit tensorielle, il faut et il suffit que la forme bilinaire t u vji i j soit invariante dans tout changement de base.

69-2 Pour que la suite ijt soit tensorielle, il faut et il suffit que les nombres t vji j soient les composantes d'un vecteur.

Algbre tensorielle en espace mtrique

70- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :

g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

Soit deux vecteurs :

U e e V e 1 2 1

70-1 Dterminer leurs composantes covariantes, puis les quantits 22 ,,. VUVU

.

70-2 On effectue un changement de base dfini par

a a a a11

21

12

220 1 1 1 ; ; ;

Calculer les nouvelles composantes du tenseur fondamental, puis les nouvelles composantes covariantes

et contravariantes des deux vecteurs et les quantits 22 ,,. VUVU

.

71- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :

g g g g11 12 21 222 1 1 1 ; ; ;

71-1 Dterminer les composantes contravariantes de ce tenseur.

71-2 Elever le premier indice de gij et abaisser le deuxime indice de gij .

71-3 Soit le changement de base E a eI I

ii dtermin par la matrice :

a a a a11

21

12

220 1 1 1 ; ; ;

Dterminer les nouvelles composantes covariantes et contravariantes du tenseur fondamental et

effectuer les mmes oprations que prcdemment.

72- Dans l'espace E3 de la gomtrie lmentaire on dtermine un vecteur quelconque par ses

composantes (x, y,z) suivant une certaine base.

Considrons la loi de multiplication scalaire dfinie par :

V V xx yy zz xy yx yz zy zx xz. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 8 8 2 2 6 6 3 3

72-1 Dterminer la figure forme par les vecteurs de base.

72-2 Calculer les composantes covariantes d'un vecteur en fonction de ses composantes

contravariantes.

72-3 Orthogonaliser l'espace E3.

73- Toujours dans l'espace E3 de la gomtrie lmentaire, on considre la loi de multiplication

scalaire dfinie par :

xyzxyzzyxV 46423 2222

Orthogonaliser l'espace E3. Que peut-on dire?

Drivation en notation tensorielle

74- On se donne le tenseur fondamental sur R3 :

g g g g g g11 12 13 22 23 332 1 0 1 0 1 ; ; ; ; ;

Soit le changement de base E a eI I

ii dtermin par la matrice :

a a a a a a a a a11

21

31

12

22

32

13

23

330 1 0 1 1 0 0 0 1 ; ; ; ; ; ; ; ;

74-1 On se donne dans le repre ieO

, le champ scalaire suivant :

f M x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 2 2 2 3 2

Dterminer le vecteur gradient

U M( ) de f par ses composantes dans ie

, puis dans IE

74-2 Calculer dans les bases la divergence du champ vectoriel obtenu.

74-3 Calculer dans les deux bases le laplacien de 1 f M( ).

75- On introduit les coordonnes sphriques :

213

2312

2311

cos

sinsin

sincos

uux

uuux

uuux

avec

2,0

,0

3

2

1

u

u

ru

75-1 Dterminer en chaque point M la base naturelle curviligne ig

.

75-2 Ecrire la matrice de passage entre la base rectiligne ie

et la base curviligne ig

.

Dterminer la matrice inverse.

75-3 Dterminer les coefficients de Christoffel associs aux coordonnes sphriques.

75-4 On se donne un champ de vecteur dfini en chaque point comme le vecteur unitaire du

rayon vecteur :

r

OMMV

Dterminer en M les composantes de MV

sur les deux bases.

En considrant un point M' infiniment proche du point M

i

iexMM

d' ,

dterminer au premier ordre les composantes de MVMVV

'd sur la base rectiligne.

En utilisant la matrice de changement de base, dterminer les composantes de d

V dans la base curviligne au point M. Que constate-t-on?

75-5 Exprimer dans la base curviligne les composantes du vecteur gradient d'un scalaire p.

75-6 Exprimer, en fonction de ses composantes contravariantes curviligne, la divergence

d'un vecteur.

Bibliographie

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milieux continus INSA Lyon 1983

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F. BUREAU Calcul vectoriel et calcul tensoriel Ed. Universit de Lige

A.J. McCONNEL Applications of tensor analysis Ed. Dover Publications (Lavoisier) 1931

M. DENIS-PAPIN

A. KAUFMANN Cours de calcul tensoriel appliqu Ed. Albin Michel 1966

V. DRIVAS

L. ROSENTHAL

Y. SEMEZIS La pratique des tenseurs Ed. Eyrolles 1987

C. JEANPERRIN Initiation progressive au calcul tensoriel Ed. Marketing 1987

J.N. GENCE Introduction au calcul tensoriel E.C.L. 1983

R. GOUYON Calcul tensoriel Ed. Vuibert 1963

J. LELONG-FERRAND

J.M. ARNAUDIES Cours de mathmatiques Ed. Dunod 1978

A. LICHNEROWICZ Elments de calcul tensoriel Ed. Jacques Gabay 1987

A. LICHNEROWICZ Algbre et analyses linaires Ed. Masson 1970

E. RAMIS Exercices d'algbre Ed. Masson 1974

J. RIVAUD Exercices d'algbre

Exercices d'algbre linaire Ed. Vuibert 1982

J. QUINET Cours lmentaire de mathmatiques

suprieures Ed. Dunod 1976

J. WINOGRADZKI Les mthodes tensorielles de la physique Ed. Masson 1979

Recueil de normes franaises AFNOR 1983

NF X 02-003 Principes de l'criture des nombres, des grandeurs, des units et des symboles

NF X 02-101 Signes et symboles - Algbre et analyse lmentaire - Gomtrie analytique et analyse

vectorielle

NF X 02-103 Units et symboles - Symboles de la mcanique rationnelle

NF X 02-110 Symboles et vocabulaire du calcul matriciel

NF X 02-111 Symboles et vocabulaire du calcul tensoriel

NF X 20-114 Symboles et vocabulaire du calcul ensembliste

NF X 20-116 Symboles et vocabulaire relatifs aux structures algbriques

NF X 20-117 Symboles et vocabulaire relatifs l'algbre linaire