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Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel
� I Les Tenseurs
� II Les Opérateurs Différentiels
J.C. Charmet © 2002
II Les TenseursLes Tenseurs
� I-1 Définition des Tenseurs
� I-2 Opérations sur les Tenseurs
� I-3 Symétrie et Antisymétrie
� I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie
� I-5 Produits Scalaire et Vectoriel
II--11 Définition des TenseursDéfinition des TenseursTenseur: Opérateur liant dans un même repèredeux grandeurs
physiques en un même point d’un espace de dimensiond
M
T(M)=
u
v
vu =
Ses composantes dans un repère donné
ne dépendent que du M
Le Rangd’un tenseur caractérise son nombre d’indices
T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)
T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M)
T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij (M)
T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n (M)
II--22 Opérations sur les TenseursOpérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang
C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n
Produit tensoriel (⊗⊗⊗⊗)
C(n+m) = A(n) ⊗⊗⊗⊗ B(m) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m
Produit Contracté (·) sur l’indice k
C(n+m-2) = A(n) · B(m) Cij…n+m-2 = Aij… k...n Bij… k…mΣk=1
d
La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant
Convention des indices muets
Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice
Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3jC(2) = A(2) · B(2) Σk=1
3
II--33 Symétrie et Symétrie et AntisymétrieAntisymétrieSymétriepar rapport au couple d’indices l,r
Les propriétés de Symétrieet d’Antisymétriesont intrinsèquesElles se conservent par changement de repère
C(t) symétrique{ l,r} Cij… l…r…t = Cij… r…l...t
C(t) antisymétrique{ l,r} Cij… l…r…t = -Cij… r…l...t
Symétrie complète ∀∀∀∀ le couple d’indices αααα,ββββ ∈∈∈∈ {1..t}
C(t) symétrie complète Cij… αααα…ββββ…t = Cij… ββββ…αααα...t
C(t) antisymétrique complète Cij… αααα…ββββ…t = (-1)PCij… ββββ…αααα...t
P étant la parité de la permutation {ij…α…β…t} ⇒ { ij…β…α…t}
Exemple : {1.2…4.5.6.7…9} ⇒ { 1.2…7.5.4.6…9} Paire P = 0 modulo 2
{ 1.2…4.5.6.7…9} ⇒ { 1.2…6.7.5.4…9} Impaire P = 1 modulo 2
II--44 Tenseurs Identité et Tenseurs Identité et d’Antisymétried’AntisymétrieTenseur Identité δδδδ(2)(2)(2)(2)
1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1
δδδδ(2)(2)(2)(2) = = = =
δδδδij = 1 si i = jδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j ∀ le repère
Tenseur d’Antisymétrie εεεε(3)(3)(3)(3)
εεεεijk = 1 si {i,j ,k} permutation paire du groupe {1,2,3}εεεεijk = -1 si {i,j ,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}εεεεijk = 0 si au moins 2 indices égaux
δδδδ(6)(6)(6)(6) = = = = εεεε(3)(3)(3)(3) ⊗⊗⊗⊗ εεεε(3)(3)(3)(3) a pour composantes :δδδδip δδδδiq δδδδir δδδδjp δδδδjq δδδδjrδδδδkp δδδδkq δδδδkr
δδδδijkpqr = Det
δδδδijkpqr = δδδδip(δδδδjqδδδδkr -δδδδjr δδδδkq)-δδδδjp(δδδδiqδδδδkr -δδδδir δδδδkq)+δδδδkp(δδδδiq δδδδjr -δδδδir δδδδjq)
δδδδ(4)(4)(4)(4) Contraction{i,p} δδδδijk iqr = δδδδjkqr = εεεεijk εεεεiqr = δδδδjqδδδδkr -δδδδjr δδδδkq = Det δδδδjq δδδδjrδδδδkq δδδδkr
δδδδ(2)(2)(2)(2) Contraction{i,p} { j ,q} δδδδij kij r = δδδδj kj r = εεεεij kεεεεij r = 2δδδδkr
δδδδ(0)(0)(0)(0) Contraction{i,p} { j ,q} {k,r } δδδδij kijk = δδδδj kjk = εεεεij kεεεεij k = 2δδδδkk = 6
Det(T(2)) = εεεεij kεεεεpqrTipTjqTkr16
II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel
⊗⊗⊗⊗
Produit Tensoriel de deux Vecteurs
u1
u2
u3
u =
v1
v2
v3
v = C(2)(2)(2)(2) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3
u v ==== Cij = uivj
Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v⊗⊗⊗⊗
Produit Vectoriel de deux Vecteurs
u2v3 –u3v2u3v1 –u1v3u2v1 –u1v2
w vu ∧∧∧∧ ========w1
w2
w3
=w =P23
P31
P21
0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1u2v1-u1v2 0 u2v3-u3v2u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0
Produit Extérieur de deux Vecteurs
P(2)(2)(2)(2) = = = = - =u v⊗⊗⊗⊗ uv ⊗⊗⊗⊗ = = = = C(2)(2)(2)(2) −−−− tC(2)(2)(2)(2)
εεεε(3) (3) (3) (3) · ·{ }{ }{ }{ }u v⊗⊗⊗⊗=w vu ∧∧∧∧====
wi = εεεεijk Cjk⇒
IIII Les Opérateurs DifférentielsLes Opérateurs Différentiels
� II-1 Le Gradient� II-2 La Divergence� II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2� II-5 Le Laplacien
IIII--11 Le GradientLe GradientGradient d’un Scalaire φφφφ(x)
dφφφφ =Gradφφφφ·dx
Gradφφφφ =
∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x1
∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x2
∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
Grad u =
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
Gradient d’un Vecteur u(x)
du =Gradu·dx
Gradient d’un Tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x) dT (2) (2) (2) (2) =Grad(3)(3)(3)(3)T (2) (2) (2) (2) ·dx
Gijk = Grad(3)(3)(3)(3)T (2) (2) (2) (2) =∂∂∂∂Tij
∂∂∂∂xk
IIII--22 La DivergenceLa Divergence
Divergence d’un Vecteur u(x)
Divergences d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x)
Divu = = + +∂∂∂∂uk
∂∂∂∂xk
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = =∂∂∂∂Tij
∂∂∂∂xj
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x2+ +
Divergences des Vecteurs Ligne
DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = =∂∂∂∂Tij
∂∂∂∂xi
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x2+ +
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x2+ +
Divergences des Vecteurs Colonne
DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivGtΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)
DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivDtΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)
ΤΤΤΤ(2) (2) (2) (2) = tΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) symétrie⇒⇒⇒⇒ DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)
IIII--33 Le Le Rotationnel Rotationnel d’un Vecteurd’un Vecteur
Opérateur Nabla∇∇∇∇ =
∂∂∂∂∂∂∂∂x1∂∂∂∂∂∂∂∂x2∂∂∂∂∂∂∂∂x3
Divergence Div = Tr( )u·∇∇∇∇ u= u⊗⊗⊗⊗∇∇∇∇ = Tr( )u Grad
tGrad
Tenseur Rotationnel
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2- -
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
-∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1-
-∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
0
0
0u Gradu-Rot =u =
Pseudo Vecteur Rotationnel
====Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
εεεε(3) (3) (3) (3) · ·{ }{ }{ }{ }=
εεεεij k⇒
Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u uGrad
=Rot u[ ]i∂∂∂∂uk
∂∂∂∂xj
u1u2u3
u = ∇∇∇∇ ⊗⊗⊗⊗ uu =tGrad
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u3
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u2
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂u1
∂∂∂∂x1
=et Gradient
IIII--44 RotationnelsRotationnels d’un Tenseur d’un Tenseur TT(2)(2)
Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x)
tRotDΤΤΤΤ = RotGtΤΤΤΤtRotGΤΤΤΤ = RotDtΤΤΤΤ
ΤΤΤΤ = tΤΤΤΤ symétrie⇒⇒⇒⇒ RotDΤΤΤΤ = tRotGΤΤΤΤ
Gradient d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x) F = Grad(3)T(2) Fij k =∂∂∂∂Tij
∂∂∂∂xk
Rotationnels des Vecteurs Ligne
[ ]lkRotD ==T εεεεkij
∂∂∂∂Tlj
∂∂∂∂xi
RotD ==T
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x1- -
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x2
-∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x3-
-∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x3-
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x2-
Rotationnels des Vecteurs Colonne
[ ]klRotG ==T εεεεkij
∂∂∂∂Tj l
∂∂∂∂xi
RotG ==T
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T22
∂∂∂∂x3- -
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x3
-∂∂∂∂T33
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x2-
∂∂∂∂T11
∂∂∂∂x2-
-∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T31
∂∂∂∂x2
∂∂∂∂T21
∂∂∂∂x3-
∂∂∂∂T12
∂∂∂∂x3
∂∂∂∂T32
∂∂∂∂x1-
∂∂∂∂T23
∂∂∂∂x1
∂∂∂∂T13
∂∂∂∂x2-
IIII--44 Le Le LaplacienLaplacien
u[ ]kRot = εεεεklm∂∂∂∂um
∂∂∂∂xl
Laplacien d’un Vecteur u(x)
u= DivD( ) =Grad =∂∂∂∂2ui
∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u1
∂∂∂∂x32++
∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u2
∂∂∂∂x32++
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x12
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x22
∂∂∂∂2u3
∂∂∂∂x32++
∆∆∆∆ u
∆∆∆∆ u[ ] i[ ]i=εεεεij k =(δδδδilδδδδjm-δδδδimδδδδj l)∂∂∂∂2um
∂∂∂∂xj∂∂∂∂x1εεεεklm
∂∂∂∂um
∂∂∂∂xl[ ]iRot (Rot )u ∂∂∂∂
∂∂∂∂xj= -
∂∂∂∂2uj
∂∂∂∂xi∂∂∂∂xj
∂∂∂∂2ui
∂∂∂∂xj∂∂∂∂xj= -Grad(Div )u
Laplacien et Rotationnel
(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - ∆∆∆∆u
Laplacien d’un Scalaire φφφφ(x) ∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ)
∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ) =
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x1
2
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x2
2
∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x3
2++=∂∂∂∂2φφφφ