Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel

� I Les Tenseurs

� II Les Opérateurs Différentiels

J.C. Charmet © 2002

II Les TenseursLes Tenseurs

� I-1 Définition des Tenseurs

� I-2 Opérations sur les Tenseurs

� I-3 Symétrie et Antisymétrie

� I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie

� I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

II--11 Définition des TenseursDéfinition des TenseursTenseur: Opérateur liant dans un même repèredeux grandeurs

physiques en un même point d’un espace de dimensiond

M

T(M)=

u

v

vu =

Ses composantes dans un repère donné

ne dépendent que du M

Le Rangd’un tenseur caractérise son nombre d’indices

T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)

T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M)

T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij (M)

T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n (M)

II--22 Opérations sur les TenseursOpérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang

C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n

Produit tensoriel (⊗⊗⊗⊗)

C(n+m) = A(n) ⊗⊗⊗⊗ B(m) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m

Produit Contracté (·) sur l’indice k

C(n+m-2) = A(n) · B(m) Cij…n+m-2 = Aij… k...n Bij… k…mΣk=1

d

La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant

Convention des indices muets

Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice

Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3jC(2) = A(2) · B(2) Σk=1

3

II--33 Symétrie et Symétrie et AntisymétrieAntisymétrieSymétriepar rapport au couple d’indices l,r

Les propriétés de Symétrieet d’Antisymétriesont intrinsèquesElles se conservent par changement de repère

C(t) symétrique{ l,r} Cij… l…r…t = Cij… r…l...t

C(t) antisymétrique{ l,r} Cij… l…r…t = -Cij… r…l...t

Symétrie complète ∀∀∀∀ le couple d’indices αααα,ββββ ∈∈∈∈ {1..t}

C(t) symétrie complète Cij… αααα…ββββ…t = Cij… ββββ…αααα...t

C(t) antisymétrique complète Cij… αααα…ββββ…t = (-1)PCij… ββββ…αααα...t

P étant la parité de la permutation {ij…α…β…t} ⇒ { ij…β…α…t}

Exemple : {1.2…4.5.6.7…9} ⇒ { 1.2…7.5.4.6…9} Paire P = 0 modulo 2

{ 1.2…4.5.6.7…9} ⇒ { 1.2…6.7.5.4…9} Impaire P = 1 modulo 2

II--44 Tenseurs Identité et Tenseurs Identité et d’Antisymétried’AntisymétrieTenseur Identité δδδδ(2)(2)(2)(2)

1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1

δδδδ(2)(2)(2)(2) = = = =

δδδδij = 1 si i = jδδδδij = 0 si i ≠≠≠≠ j ∀ le repère

Tenseur d’Antisymétrie εεεε(3)(3)(3)(3)

εεεεijk = 1 si {i,j ,k} permutation paire du groupe {1,2,3}εεεεijk = -1 si {i,j ,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}εεεεijk = 0 si au moins 2 indices égaux

δδδδ(6)(6)(6)(6) = = = = εεεε(3)(3)(3)(3) ⊗⊗⊗⊗ εεεε(3)(3)(3)(3) a pour composantes :δδδδip δδδδiq δδδδir δδδδjp δδδδjq δδδδjrδδδδkp δδδδkq δδδδkr

δδδδijkpqr = Det

δδδδijkpqr = δδδδip(δδδδjqδδδδkr -δδδδjr δδδδkq)-δδδδjp(δδδδiqδδδδkr -δδδδir δδδδkq)+δδδδkp(δδδδiq δδδδjr -δδδδir δδδδjq)

δδδδ(4)(4)(4)(4) Contraction{i,p} δδδδijk iqr = δδδδjkqr = εεεεijk εεεεiqr = δδδδjqδδδδkr -δδδδjr δδδδkq = Det δδδδjq δδδδjrδδδδkq δδδδkr

δδδδ(2)(2)(2)(2) Contraction{i,p} { j ,q} δδδδij kij r = δδδδj kj r = εεεεij kεεεεij r = 2δδδδkr

δδδδ(0)(0)(0)(0) Contraction{i,p} { j ,q} {k,r } δδδδij kijk = δδδδj kjk = εεεεij kεεεεij k = 2δδδδkk = 6

Det(T(2)) = εεεεij kεεεεpqrTipTjqTkr16

II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel

⊗⊗⊗⊗

Produit Tensoriel de deux Vecteurs

u1

u2

u3

u =

v1

v2

v3

v = C(2)(2)(2)(2) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

u v ==== Cij = uivj

Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v⊗⊗⊗⊗

Produit Vectoriel de deux Vecteurs

u2v3 –u3v2u3v1 –u1v3u2v1 –u1v2

w vu ∧∧∧∧ ========w1

w2

w3

=w =P23

P31

P21

0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1u2v1-u1v2 0 u2v3-u3v2u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0

Produit Extérieur de deux Vecteurs

P(2)(2)(2)(2) = = = = - =u v⊗⊗⊗⊗ uv ⊗⊗⊗⊗ = = = = C(2)(2)(2)(2) −−−− tC(2)(2)(2)(2)

εεεε(3) (3) (3) (3) · ·{ }{ }{ }{ }u v⊗⊗⊗⊗=w vu ∧∧∧∧====

wi = εεεεijk Cjk⇒

IIII Les Opérateurs DifférentielsLes Opérateurs Différentiels

� II-1 Le Gradient� II-2 La Divergence� II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur� II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2� II-5 Le Laplacien

IIII--11 Le GradientLe GradientGradient d’un Scalaire φφφφ(x)

dφφφφ =Gradφφφφ·dx

Gradφφφφ =

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x1

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x2

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

Grad u =

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

Gradient d’un Vecteur u(x)

du =Gradu·dx

Gradient d’un Tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x) dT (2) (2) (2) (2) =Grad(3)(3)(3)(3)T (2) (2) (2) (2) ·dx

Gijk = Grad(3)(3)(3)(3)T (2) (2) (2) (2) =∂∂∂∂Tij

∂∂∂∂xk

IIII--22 La DivergenceLa Divergence

Divergence d’un Vecteur u(x)

Divergences d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x)

Divu = = + +∂∂∂∂uk

∂∂∂∂xk

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = =∂∂∂∂Tij

∂∂∂∂xj

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x2+ +

Divergences des Vecteurs Ligne

DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = =∂∂∂∂Tij

∂∂∂∂xi

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x2+ +

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x2+ +

Divergences des Vecteurs Colonne

DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivGtΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)

DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivDtΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)

ΤΤΤΤ(2) (2) (2) (2) = tΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) symétrie⇒⇒⇒⇒ DivDΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2) = DivGΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)

IIII--33 Le Le Rotationnel Rotationnel d’un Vecteurd’un Vecteur

Opérateur Nabla∇∇∇∇ =

∂∂∂∂∂∂∂∂x1∂∂∂∂∂∂∂∂x2∂∂∂∂∂∂∂∂x3

Divergence Div = Tr( )u·∇∇∇∇ u= u⊗⊗⊗⊗∇∇∇∇ = Tr( )u Grad

tGrad

Tenseur Rotationnel

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2- -

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

-∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1-

-∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

0

0

0u Gradu-Rot =u =

Pseudo Vecteur Rotationnel

====Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

εεεε(3) (3) (3) (3) · ·{ }{ }{ }{ }=

εεεεij k⇒

Rot =u ∇∇∇∇ ∧∧∧∧ u uGrad

=Rot u[ ]i∂∂∂∂uk

∂∂∂∂xj

u1u2u3

u = ∇∇∇∇ ⊗⊗⊗⊗ uu =tGrad

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u3

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u2

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂u1

∂∂∂∂x1

=et Gradient

IIII--44 RotationnelsRotationnels d’un Tenseur d’un Tenseur TT(2)(2)

Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x)

tRotDΤΤΤΤ = RotGtΤΤΤΤtRotGΤΤΤΤ = RotDtΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ = tΤΤΤΤ symétrie⇒⇒⇒⇒ RotDΤΤΤΤ = tRotGΤΤΤΤ

Gradient d’un tenseur de Rang2 ΤΤΤΤ(2)(2)(2)(2)(x) F = Grad(3)T(2) Fij k =∂∂∂∂Tij

∂∂∂∂xk

Rotationnels des Vecteurs Ligne

[ ]lkRotD ==T εεεεkij

∂∂∂∂Tlj

∂∂∂∂xi

RotD ==T

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x1- -

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x2

-∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x3-

-∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x3-

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x2-

Rotationnels des Vecteurs Colonne

[ ]klRotG ==T εεεεkij

∂∂∂∂Tj l

∂∂∂∂xi

RotG ==T

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T22

∂∂∂∂x3- -

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x3

-∂∂∂∂T33

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x2-

∂∂∂∂T11

∂∂∂∂x2-

-∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T31

∂∂∂∂x2

∂∂∂∂T21

∂∂∂∂x3-

∂∂∂∂T12

∂∂∂∂x3

∂∂∂∂T32

∂∂∂∂x1-

∂∂∂∂T23

∂∂∂∂x1

∂∂∂∂T13

∂∂∂∂x2-

IIII--44 Le Le LaplacienLaplacien

u[ ]kRot = εεεεklm∂∂∂∂um

∂∂∂∂xl

Laplacien d’un Vecteur u(x)

u= DivD( ) =Grad =∂∂∂∂2ui

∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u1

∂∂∂∂x32++

∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u2

∂∂∂∂x32++

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x12

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x22

∂∂∂∂2u3

∂∂∂∂x32++

∆∆∆∆ u

∆∆∆∆ u[ ] i[ ]i=εεεεij k =(δδδδilδδδδjm-δδδδimδδδδj l)∂∂∂∂2um

∂∂∂∂xj∂∂∂∂x1εεεεklm

∂∂∂∂um

∂∂∂∂xl[ ]iRot (Rot )u ∂∂∂∂

∂∂∂∂xj= -

∂∂∂∂2uj

∂∂∂∂xi∂∂∂∂xj

∂∂∂∂2ui

∂∂∂∂xj∂∂∂∂xj= -Grad(Div )u

Laplacien et Rotationnel

(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - ∆∆∆∆u

Laplacien d’un Scalaire φφφφ(x) ∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ)

∂∂∂∂xk ∂∂∂∂xk∆φ∆φ∆φ∆φ =Div(Gradφφφφ) =

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x1

2

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x2

2

∂∂∂∂2φφφφ∂∂∂∂x3

2++=∂∂∂∂2φφφφ