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Terminale S Devoir surveillé n̊ 2 - 14/10/2016 2016 - 2017

EXERCICE 1 (4 points)Déterminer les limites suivantes :

a) limx→−∞

−3x5 + 2x4 − x2 + 6 b) limx→−∞

(

2 − 1

x

)3

c) limx→4x<4

1 − 5x

x − 4d) lim

x→−2x>−2

x + 2

x2 + 3x + 2

• © • © •

EXERCICE 2 ( points)

Pour chacune des appréciations suivantes, précisez si elle est vraie ou fausse. Justifiez votre réponse ; on

pourra utiliser des contre-exemples graphiques.

1. Si une fonction f est telle que, pour tout x strictement positif, f(x) 61

x, alors lim

x→+∞

f(x) = 0.

2. Si f est une fonction telle que, pour tout x réel, f(x) > x2, alors limx→−∞

f(x) = +∞.

3. Si a est un nombre réel quelconque , et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a; +∞[,alors lim

x 7→+∞

f(x) = −∞.

4. f et g sont deux fonctions définies sur [0; +∞[, g ne s’annulant pas.

Si limx 7→+∞

f(x) = −∞ et limx 7→+∞

g(x) = +∞, alors limx 7→+∞

f(x)

g(x)= −1

5. Si f est une fonction définie sur [0; +∞[ telle que 0 ≤ f(x) ≤√

x sur [0; +∞[, alors limx 7→+∞

f(x)

x= 0

• © • © •

EXERCICE 3 ( points)

On considère la suite (un)n∈N définie par

u0 = 1 et un+1 = 3un − 4n + 2

1. Calculer u1, u2 et u3.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 2n.En déduire la limite de la suite (un)n∈N.

3. (vn)n∈N est la suite définie par vn = un − 2n.

(a) Démontrer que la suite (vn)n∈N est géométrique.

(b) En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de n.

4. Exprimer Sn = u0 + u1 + . . . + un en fonction de n.En déduire la limite de (Sn)n∈N.

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EXERCICE 4 ( points)

Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la pro-pagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotiqueinjecté en une seule prise à un patient.

Temps en heures 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Concentration en mg/L 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4

Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g

définie sur l’intervalle [0; +∞[ par

g(t) =4t

t2 + 1

Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g(t) représente la concen-tration en mg/L de l’antibiotique.Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g.

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 t

g(t)

O

+

++

+

+

++

++

++ +

1. Par lecture graphique, donner sans justification :

(a) Les variations de la fonction g sur [0; 10] ;

(b) La concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ;

(c) L’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieureà 1,2 mg/L.

2. (a) Déterminer la dérivée g′(t) de la fonction g.

(b) En utilisant l’expression de g′(t), montrer que la concentration maximale serait, avec cette mo-délisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection.

3. Déterminer la limite de la fonction g en +∞.Comment peut-on interpréter ce résultat ?

4. On définit la CMI (concentration minimale inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la concentrationau-dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de l’antibiotique injecté est1,2 mg/L.Déterminer par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est à dire la durée pendant laquelle la concen-tration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.

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5. Compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre d’heures nécessaires à ce que la concen-tration de l’antibiotique étudié soit inférieure à 0,01 mg/L.

Variables : t nombre entiert prend la valeur 0Tant que ................

t prend la valeur ............Fin Tant queAfficher t

• © • © •

EXERCICE 5 ( points)

Soient f et g les fonctions définies sur ]0; +∞[ par :

f(x) =1

xsin

(

1

x

)

et g(x) =πx

4(x + 1)

1. Prouver que limx→+∞

f(x) = 0.

2. Déterminer limx→+∞

g(x).

3. En déduire limx→+∞

f(x) + g(x).

• © • © •

EXERCICE 6 (BONUS )

f est la fonction définie sur R de la façon suivante :

• Si x ∈ [0; 2], f(x) = x2(2 − x) ;

• Pour tout réel x, f(x + 2) = f(x).

La fonction f a-t-elle une limite en +∞ ?

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