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Terminale S Devoir surveillé n̊ 2 - 14/10/2016 2016 - 2017
EXERCICE 1 (4 points)Déterminer les limites suivantes :
a) limx→−∞
−3x5 + 2x4 − x2 + 6 b) limx→−∞
(
2 − 1
x
)3
c) limx→4x<4
1 − 5x
x − 4d) lim
x→−2x>−2
x + 2
x2 + 3x + 2
• © • © •
EXERCICE 2 ( points)
Pour chacune des appréciations suivantes, précisez si elle est vraie ou fausse. Justifiez votre réponse ; on
pourra utiliser des contre-exemples graphiques.
1. Si une fonction f est telle que, pour tout x strictement positif, f(x) 61
x, alors lim
x→+∞
f(x) = 0.
2. Si f est une fonction telle que, pour tout x réel, f(x) > x2, alors limx→−∞
f(x) = +∞.
3. Si a est un nombre réel quelconque , et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a; +∞[,alors lim
x 7→+∞
f(x) = −∞.
4. f et g sont deux fonctions définies sur [0; +∞[, g ne s’annulant pas.
Si limx 7→+∞
f(x) = −∞ et limx 7→+∞
g(x) = +∞, alors limx 7→+∞
f(x)
g(x)= −1
5. Si f est une fonction définie sur [0; +∞[ telle que 0 ≤ f(x) ≤√
x sur [0; +∞[, alors limx 7→+∞
f(x)
x= 0
• © • © •
EXERCICE 3 ( points)
On considère la suite (un)n∈N définie par
u0 = 1 et un+1 = 3un − 4n + 2
1. Calculer u1, u2 et u3.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 2n.En déduire la limite de la suite (un)n∈N.
3. (vn)n∈N est la suite définie par vn = un − 2n.
(a) Démontrer que la suite (vn)n∈N est géométrique.
(b) En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de n.
4. Exprimer Sn = u0 + u1 + . . . + un en fonction de n.En déduire la limite de (Sn)n∈N.
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EXERCICE 4 ( points)
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la pro-pagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotiqueinjecté en une seule prise à un patient.
Temps en heures 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Concentration en mg/L 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g
définie sur l’intervalle [0; +∞[ par
g(t) =4t
t2 + 1
Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, g(t) représente la concen-tration en mg/L de l’antibiotique.Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction g.
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 t
g(t)
O
+
++
+
+
++
++
++ +
1. Par lecture graphique, donner sans justification :
(a) Les variations de la fonction g sur [0; 10] ;
(b) La concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ;
(c) L’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieureà 1,2 mg/L.
2. (a) Déterminer la dérivée g′(t) de la fonction g.
(b) En utilisant l’expression de g′(t), montrer que la concentration maximale serait, avec cette mo-délisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection.
3. Déterminer la limite de la fonction g en +∞.Comment peut-on interpréter ce résultat ?
4. On définit la CMI (concentration minimale inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la concentrationau-dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de l’antibiotique injecté est1,2 mg/L.Déterminer par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est à dire la durée pendant laquelle la concen-tration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.
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5. Compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre d’heures nécessaires à ce que la concen-tration de l’antibiotique étudié soit inférieure à 0,01 mg/L.
Variables : t nombre entiert prend la valeur 0Tant que ................
t prend la valeur ............Fin Tant queAfficher t
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EXERCICE 5 ( points)
Soient f et g les fonctions définies sur ]0; +∞[ par :
f(x) =1
xsin
(
1
x
)
et g(x) =πx
4(x + 1)
1. Prouver que limx→+∞
f(x) = 0.
2. Déterminer limx→+∞
g(x).
3. En déduire limx→+∞
√
f(x) + g(x).
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EXERCICE 6 (BONUS )
f est la fonction définie sur R de la façon suivante :
• Si x ∈ [0; 2], f(x) = x2(2 − x) ;
• Pour tout réel x, f(x + 2) = f(x).
La fonction f a-t-elle une limite en +∞ ?
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