Le pendule simple (correction)

Galilée (1564-1642) a longuement étudié ce dispositif extrêmement simple mais d’une importance scientifique considérable. Voici un extrait des « Dialogues sur les deux systèmes du monde » (1632), entre Sagredo (le sceptique) et Salviati (le copernicien convaincu qui représente les idées de Galilée).

(...) Quant aux temps d'oscillation de mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, ils ont entre eux même proportion que les racines carrées des temps ; si bien que pour obtenir un pendule dont le temps d'oscillation soit double de celui d'un autre pendule, il convient de donner au premier une longueur quadruple de celle du second ; de la même manière si un pendule a une longueur neuf fois supérieure à celle d'un autre pendule, celui-ci effectuera trois oscillations pendant que celui-là en accomplira une seule ; d'où il résulte que les longueurs des cordes sont inversement proportionnelles aux carrés du nombre des oscillations accomplies dans le même temps.

Sagredo : Si j'ai bien compris, je pourrai donc aisément connaître la longueur d'une corde attachée à une hauteur quelconque, quand bien même son point de suspension serait invisible et que l'on apercevrait seulement son extrémité inférieure. Si en effet j'attache en cette partie de la corde un poids fort lourd, auquel je communique un mouvement de va et vient, et si un ami compte le nombre de ces oscillations pendant que moi-même je compte les oscillations effectuées par un autre pendule suspendu à un fil mesurant exactement une coudée, alors grâce au nombre des oscillations de ces deux pendules durant un même temps, je trouverai la longueur de la corde ; supposons par exemple que mon ami ait compté vingt oscillations de la grande corde, dans le même temps où j'en comptais deux cent quarante pour mon fil long d'une coudée ; prenant les carrés des deux nombres vingt et deux cent quarante, c’est-à-dire 400 et 57 600, je dirai que la grande corde contient 57 600 des unités dont mon petit pendule contient 400, mais celui-ci mesure une seule coudée : je diviserai donc 57 600 par 400, ce qui donne 144, et je dirai que ma corde a une longueur de 144 coudées.

Salviati : Vous ne vous tromperiez même pas d'une palme surtout si vous prenez un grand nombre d'oscillations.

Sagredo : Vous me donnez à bien des reprises l'occasion d'admirer la richesse et aussi l'extrême libéralité de la nature, quand de choses si communes, et je dirais même d'une certaine façon triviales, vous faites surgir des connaissances aussi étonnantes que nouvelles, et souvent imprévues pour l'imagination. Il m'est bien arrivé mille fois de prêter attention à des oscillations, et notamment à celles de ces lampes d'église, suspendues à de longues cordes, et que quelqu'un par inadvertance avait mises en mouvement ; mais le plus que j'aie su tirer de telles observations est l'improbabilité de l'opinion selon laquelle semblables mouvements seraient entretenus par le milieu, c'est-à-dire par l'air, qui vraiment devrait avoir une grande sagacité, et en même temps peu de choses à faire, pour passer ainsi des heures et des heures à maintenir avec une telle régularité le balancement d'un poids. Quant à conclure que ce même mobile, suspendu à une corde de cent coudées, puis écarté de son point le plus bas tantôt de quatre vingt dix degrés, tantôt d'un degré ou d'un demi-degré seulement, ait besoin du même temps pour franchir le plus petit et le plus grand de ces arcs, cela, je crois, ne me serait jamais venu à l'esprit, et maintenant encore me semble tenir de l'impossible.

(...) En fin de compte j'ai pris deux boules, l'une en plomb et l'autre en liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre ou cinq coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchai en même temps et celle-ci, suivant les circonférences des cercles ayant les fils égaux pour rayons, dépassaient la perpendiculaire pour remonter de l'autre côté, par la même voie ; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage

Terminale S – TP de Physique n°12cMécanique

2les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont en effet traversés en des temps égaux.

En italiques sont indiquées les lois du pendule selon Galilée. Notez qu'il s'est trompé sur la deuxième n'ayant pas la précision voulue dans ses mesures pour observer la dépendance de la période en fonction de l'amplitude.

1 – Le pendule pesant simple

Un pendule simple est constitué d’un solide de masse m, de petites dimensions1, et d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable devant m.Ecarté de sa position initiale d’un angle θ et lâché sans vitesse initiale, le pendule simple effectue des oscillations périodiques autour de sa position d’équilibre définie par θ = 0°.La période To du pendule est la durée qui sépare deux passages consécutifs du pendule, dans le même sens, par la position d’équilibre.

1.1 – Etude expérimentaleOn utilise le matériel suivant : un fil de longueur réglable relié à une masse m ; un chronomètre ; une règle graduée métallique ; un rapporteur fixé sur un support.On règle le rapporteur de sorte que le fil passe par θ = 0° à l’équilibre.On fixe tout d’abord la longueur L = 50,0 cm du fil (entre le point d’attache et le centre de masse).

1. Montrer que le pendule étudié peut être assimilé à un pendule simple.2. Comment peut-on gagner en précision sur la mesure de To ?

L (m) 0,200 0,400 0,500 0,600 0,800

Δt = 5 To (s) 4,395 6,145 6,945 7,630 8,800

To (s) 0,879 1,229 1,389 1,526 1,760

To² (s²) 0,773 1,510 1,929 2,329 3,098

3. Que vaudrait To pour L = 0 ?4. To est-il proportionnel à L ?

L (m) 0,200 0,400 0,500 0,600 0,800

To (s) 0,879 1,229 1,389 1,526 1,760

To / L (s/m) 4,40 3,07 2,78 2,54 2,20

5. Tracer sur papier la courbe représentative de To² = f(L). Quelle est l’allure de ce graphe ? Conclure.

6. Modéliser la courbe précédente en expliquant votre démarche.

1 On considère généralement que le pendule est simple si son diamètre moyen D vérifie 10 D < L.

m

L

O

θ

verticale

3

On montre par la théorie que le coefficient de modélisation, a, dépend de 24

g

.

Les points semblent s’aligner sur une droite passant par l’origine : les variations de To2(L) pourraient

donc être représentées par une fonction affine de coefficient directeur2

2 13,68 .oTa s m

L

On écrira ainsi 2 3,68oT L

7. Expliciter cette dépendance : quelle relation y a-t-il entre a et 24

g

?

Calculons 2

2 144,02 .s m

g

. On peut remarquer que a et 24

g

ont la même dimension (l’inverse d’une

accélération) et des valeurs voisines.8. En déduire l’expression de To en fonction de L et g, puis vérifier l’homogénéité de l’expression

obtenue.2

2 4oT L

g

2o

LT

g

On vérifie bien que

1/ 2 1/ 2

2. o

LL Ls T

g g L s

1.2 – Etude théorique

4On étudie le système {pendule de masse m} dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.Faire le bilan des forces exercées sur le système. Nous négligerons les frottements dus à l’air et ceux liés à l’attache en O.Exprimer l’énergie cinétique Ec du pendule en fonction de l’écart angulaire θ et de sa dérivée temporelle.Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur Epp du pendule par rapport à la position d’équilibre en fonction de cos θ.Les frottements étant négligeables, l’énergie totale du système se conserve : en écrivant ce principe de conservation, montrer que l’écart angulaire θ est régi par l’équation différentielle

sin 0g

L

où 2

2

d

dt

désigne la dérivée seconde de θ par rapport au temps.

Cette équation différentielle est plus complexe qu’à l’accoutumée (présence du sinus) : elle correspond à des oscillations non harmoniques (la solution exacte n’est pas purement sinusoïdale). Toutefois, dans la limite des petites oscillations, on pourra écrire que sin et ainsi

sin 0 0g g

L L

On retrouve alors une équation différentielle homogène du 2nd ordre ; les solutions en sont des fonctions sinusoïdales dont la période propre To apparaît dans l’équation sous la forme

2

2 22o o

o

g LT

L T g

La résolution exacte de l’équation du pendule simple passe par la résolution d’intégrales (fonctions elliptiques de Jacobi) ; on obtient effectivement en réalité

04

2 cos cos

o

o

L dT

g

En première approximation, on peut se contenter2

116

ooT T

qu’on appelle formule de Borda en l’honneur de Jean-Charles de Borda (1733–1799) qui travailla, de manière empirique, sur la question de la période du pendule.

Question : A l’aide de la formule de Borda, estimer T en fonction de To pour θ variant de 5 à 85° par pas de 5°. Conclure.

θ (°) 5 10 15 20 25 30 35 40 45T 1,000 1,002 1,004 1,008 1,012 1,017 1,023 1,030 1,039

θ (°) 50 55 60 65 70 75 80 85T 1,048 1,058 1,069 1,080 1,093 1,107 1,122 1,138

Attention : la formule de Borda suppose un angle pris en radians : θ(rad) = θ(°) × π / 180.On remarque que pour les faibles amplitudes, T ~ To . Au-delà d’une vingtaine de degrés d’amplitude, il faut tenir compte de la formule de Borda pour calculer T.

1.3 – Importance du problème du pendule simpleLa mesure du temps a toujours été importante pour l’Homme. Il s’est débrouillé des phénomènes astronomiques dans un premier temps, puis s’est appliqué à fabriquer des systèmes simples (clepsydre, sablier) permettant une mesure du temps qui s’écoule…

5Avec les progrès scientifiques et, surtout, celui des grandes explorations, la précision devait s’accroître : comment repérer sa position en pleine mer sans horloge ? Le problème suscita l’intérêt des plus grands savants que le monde a porté.La première définition de la seconde fut la demi-période d’un pendule de longueur LS donnée. Donner la longueur LS de ce pendule.Entre 1658 et 1659, Huygens travaille à la théorie du pendule oscillant. Il a en effet l'idée de réguler des horloges au moyen d'un pendule, afin de rendre la mesure du temps plus précise. Il découvre la formule de l'isochronisme rigoureux en décembre 1659 : lorsque le pendule parcourt un arc de cycloïde, la période d'oscillation est constante quelle que soit l'amplitude (voir aussi pendule cycloïdal). Contrairement à ce que Galilée avait cru démontrer dans les Discours et démonstrations mathématiques de 1638, l'oscillation circulaire du pendule n'est pas parfaitement isochrone si l'on excède une amplitude de 5 degrés par rapport au point le plus bas.Pour appliquer cette découverte aux horloges, il faut placer près du point de suspension du pendule deux « joues » cycloïdales qui contraignent la tige semi-rigide à parcourir elle-même une cycloïde.Les horloges franc-comtoises (aussi appelées pendules, au féminin cette fois) utilisent un balancier qui est un pendule pesant. On règle la période d’oscillation en ajustant une masse le long du balancier. Toutefois, ces systèmes ont une précision assez faible et nécessitent un entretien permanent.Aujourd’hui, la seconde ne se définit plus mécaniquement, mais en ayant recours à la physique quantique : elle se définit comme un nombre bien défini de périodes d’une transition dans l’atome de césium (horloges atomiques).

Une application insolite : peser la Terre !Eh oui ! Avec un simple pendule dont on évalue la période au moyen d’une montre, on peut remonter à la valeur de l’intensité du champ de pesanteur g puis à celle de la masse de la Terre, connaissant la constante de gravitation universelle, G = 6,674 28 × 10–11 m3.kg–1.s–2, et le rayon terrestre, RT = 6 380 km en France.Question : Le pendule qui bat la seconde (To = 1,00 s) à Paris a une longueur L = 24,8 cm. En déduire la masse de la Terre, en expliquant votre démarche.

2o

LT

g

22

4o

Lg

T

Par ailleurs, 2

T

T

G Mg

R , ce qui conduit à

22 2

4T

T o

G M L

R T et

22

24 T

To

L RM

GT

A.N. :

22 6

2 24211

24,8.10 6,380.104 5,97.10

6,67.10 1,00TM kg

2 – Influence des frottementsLes phénomènes de frottements ne sont pas faciles à modéliser, comme l’a montré l’étude menée sur la chute d’un objet dans un fluide visqueux (méthode d’Euler). En général, on distingue deux types de frottements : les frottements visqueux ou fluides (dus à l’air, par exemple) et les frottements solides (qui nous permettent de marcher, notamment).On dispose de deux enregistrements : « pendule_frott_fluide.avi » et « pendule_frott_solide.avi », réalisés avec un dispositif expérimental de pendule simple où l’on peut obtenir l’un ou l’autre type de frottements.Ces enregistrements ont conduit aux deux fichiers Latis Pro correspondants que vous trouverez dans vos dossiers personnels.

6A l’aide du logiciel Latis Pro, le but est de réaliser une étude dynamique puis une étude énergétique des deux situations mécaniques.

Travail à effectuerLe pointage des vidéos a déjà été réalisé et a donné naissance aux variables « absx » et « ordz ».

1. A partir de ces variables, définir l’écart angulaire θ (s’aider du schéma et d’un peu de trigonométrie) puis, à l’aide de Latis Pro, définir les énergies cinétique « Ec », potentielle de pesanteur « Epp » et mécanique « Em » en vous aidant des formules ci-dessus.

2. Commenter l’évolution de θ(t) dans les deux cas (en donner l’allure). Quelles différences observez-vous ?

3. Commenter les évolutions temporelles des énergies (en donner l’allure). En particulier, vous essaierez de comparer les deux types de frottements.

Voici les instructions de la feuille de calcul :

theta=ArcTan(absx/ordz)m=0.500l=0.30g=9.8Ec=(1/2)*m*(l*Deriv(theta))^2Epp=m*g*l*(1-Cos(theta))Em=Epp+Ec

Les courbes obtenues sont les suivantes.

Frottement fluide : absx, ordz = f(t) Frottement solide : absx, ordz = f(t)

m

l

O

θ

verticale

ordz

l

absx

( ) ( ) ( )v t t t l l

( ) cos 1 cosordz t l l l

Quelques relations remarquables

7

Frottement fluide : theta = f(t) Frottement solide : theta = f(t)

Frottement fluide : Ec, Epp, Em = f(t) Frottement solide : Ec, Epp, Em = f(t)

On constate tout d’abord que l’amortissement dû aux frottements est beaucoup plus rapide dans le cas des frottements solides. On peut supposer que les raisons en sont d’origine microscopiques, puisque les liaisons moléculaires au sein d’un solide sont plus étroites qu’au sein d’un liquide.Dans les deux cas, l’énergie mécanique n’est pas conservée au cours du temps : l’élongation maximale du pendule décroît, et avec elle la vitesse et l’altitude maximales. Dans le cas des frottements fluides, l’enveloppe des maxima (tracée en pointillés) de la courbe représentative de l’élongation θ(t) semble exponentielle, alors qu’elle semble affine dans le cas des frottements solides. Cette caractéristique généralisable permet de distinguer expérimentalement les deux types de frottements.