Termodinamica e Forze Copia

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  • 7/23/2019 Termodinamica e Forze Copia

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    Termodinamica e Forze

    1. Introduzione

    Sappiamo che linterazione elettrodinamica (forza di Lorentz) tra cariche in movimento ecampi elettromagnetici puo essere opportunamente utilizzata per determinare le forze cheagiscono in circuiti percorsi da corrente in un campo magnetico. Tale naturale approccioe stato proficuamente utilizzato per descrivere il comportamento di alcuni semplici sistemi

    elettromeccanici utili per la comprensione dei meccanismi fondamentali che regolano ilfunzionamento delle macchine elettriche in generale. Tuttavia, in molti sistemi, come quellicostituiti da circuiti e materiali magnetici, che sono poi quelli di largo uso tecnico, puo esserepiu comodo far discendere le forze elettrodinamiche agenti, da un principio di conservazionedellenergia. A tale scopo conviene riepilogare i princip fondamentali della termodinamicaclassica. Per discussioni ed analisi piu dettagliate, si rimanda a [?,?]. In [?,?], si possono trovareanalisi piu approfondite che coinvolgono sia sistemi termomeccanici, siasistemi elettromagnetici.

    S

    Q

    L

    Figure 1. Sistema termodinamico che scambia calore e lavoro con lambiente circostante

    2. Definizioni della Termodinamica classica

    Come e noto, la termodinamica classica si occupa di sistemi che dal punto di vista macroscopico

    sono a riposo. In tale sistema si possono individuare un certo numero di variabili, x1, x2,....,xn,oltre alla temperaturaT, con le quali si puo descrivere in modo completo il sistema stesso. Talivariabili prendono il nome di variabili di stato. Ogni funzione di tali variabili, invece, prende ilnome di funzione di stato. Se sul sistema viene compiuto il lavoro elementare

    L =f1dx1+ ....+ fndxn, (1)

    in cui fk, k = 1,..,n rappresentano le forze applicate, il sistema modifica il suo stato di unimporto pari a dxk, k = 1,..,n.

    Se il sistema e un gas e presenta una sola variabile di stato, oltre alla temperatura, ad esempioil volume, il lavoro compiuto sul sistema e di natura meccanica e risultaL = pdV. In questocaso la variabile che determina lo stato del gas (oltre alla temperatura) e il volume. Per contro,

    la variabile p (pressione) e la forza agente sul sistema.

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    Immaginiamo adesso di disporre di un sistema in grado di magnetizzarsi senza subiretrasformazioni di tipo meccanico. Il suo stato, pertanto, e noto se si specifica lo stato dimagnetizzazione, cioe, ad esempio, specificando linduzioneB del sistema. In questo caso quindiil lavoro elementare risulta essere:

    dL =H dB

    e di conseguenza la forza e individuata nel campo magnetico H. In realta lespressioneprecedente rappresenta un lavoro per unita di volume. Per avere il lavoro che corrispondealla trasformazione elementare dB bisogna integrare nel volume occupato dal sistema. Taleoperazione, semplicissima se i campi sono allineati, conduce allespressione:

    dL =N i d,

    essendo in tal casoN ila forza magnetomotricee il flusso dellinduzione magnetica concatenatocon il circuito in cui passa la corrente i.

    In sintesi il lavoro compiuto puo essere di qualsiasi natura. In questo senso i termini fkrappresentano delle forze generalizzate.Quella descritta non e la sola trasformazione termodinamica in grado di modificare lo statodel sistema termodinamico. Fornire al sistema una certa quantita di calore, riscaldandolo,permette di alterarne lo stato. Pensiamo ad esempio ad un pistone contenente gas ad una certapressione e supponiamo che il sistema pistone-gas abbia raggiunto una certa configurazionedi equilibrio (V0, T0). Se il gas viene posto su una fiamma e, cos, riscaldato, il sistema siportera verso un nuovo stato di equilibrio caratterizzato da un diverso volume ed una diversatemperatura (V, T). In questo caso il sistema ha anche compiuto un lavoro sullambientecircostante dovuto allespansione del gas. Un altro esempio puo essere costituito dal sistemapuramente magnetico considerato pocanzi. Se il materiale viene riscaldato, il suo stato dimagnetizzazione cambia poiche cambiano le proprieta fisiche del materiale. Anche in questo

    caso, se la variazione di magnetizzazione si realizza in presenza di campo magnetico, il sistemacompie lavoro. Il lavoro ed il calore forniti al sistema sono in qualche modo strettamentecorrelati. Ma in che modo? A questa domanda risponde il I Principio della Termodinamica, cheenunceremo tra breve. Preliminarmente conveniamo di indicare con Q il calore fornito duranteuna trasformazione elementare, mentre con L si rappresenta la quantita di lavoro scambiatanella stessa trasformazione. Il simbolo e utilizzato per individuare la variazione elementare diuna grandezza fisica F il cui valore in una trasformazione finitadipende dalla trasformazionestessa, oltre che dagli stati iniziale e finale. In altri termini, la grandezzaFnon e undifferenzialeesatto. Nel caso specifico, quindi, siaL, sia Q non possono essere considerate come funzioni distato [?].

    2.0.1. Primo Principio della Termodinamica Il primo principio della Termodinamica ammettelesistenza di una funzione di stato U(x1,...,xn, T), chiamata energia interna del sistema, taleche:

    dU= Q + L. (2)

    I segni prescelti derivano dallaver assunto Q come calore entrante nel sistema termodinamico,e L il lavoro complessivo, di qualunque natura, compiuto sul sistema.

    2.0.2. Secondo Principio della Termodinamica Il secondo principio introduce una secondafunzione di stato S(x1,...,xn, T), chiamata entropia tale che

    dS Q

    T . (3)

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    La disuguaglianza esprime il carattere irreversibile della trasformazione. Al contrario, peruna trasformazione reversibile leq.(??) vale con il segno di uguaglianza. Sostituendo adessolequazione (??) nelleq. (??), si ottiene:

    dU T dS+ L. (4)

    2.0.3. Potenziali Termodinamici Al fine di dare una forma piu conveniente alle precedentiequazioni introduciamo due nuove funzioni di stato. La prima, chiamata Energia Libera sidefinisce come segue:

    F =U T S. (5)

    Come risulta evidente, tale funzione dipende solo dalle variabili di stato e, pertanto, e unafunzione di stato. Sfruttando tale funzione, leq. (??) puo essere riscritta come segue:

    dF SdT+ L, (6)

    che puo ulteriormente riformularsi come segue:

    dF SdT+n

    k=1

    fkdxk. (7)

    Una ulteriore funzione di stato, nota come Energia di Gibbs, si definisce come segue:

    G= U T SL. (8)

    Essa e connessa allEnergia Libera come segue:

    F=G + L =G +n

    k=1

    fkxk (9)

    che permette di riscrivere le leggi della termodinamica nel modo seguente:

    dG +n

    k=1

    d (fkxk) S dT+n

    k=1

    fkdxk (10)

    ed, in definitiva:

    dG S dTn

    k=1

    xkdfk. (11)

    Nellipotesi di una trasformazione termodinamica reversibile, le equazioni valgono conluguaglianza. Cio permette di usare le eq. (??) per derivare lentropia e le forze generalizzate,oppure, mediante leq. (??), per derivare lentropia e le variabili di stato. Infatti, p oiche sia FcheGsono funzioni di stato, risulta:

    dF =F

    TdT+

    nk=1

    F

    xkdxk, (12)

    dG=G

    TdT+

    nk=1

    G

    fkdfk, (13)

    Pertanto, confrontando le eq. (??) e (??) con le eq. (??) e (??), rispettivamente, si ricava:

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    S=

    F

    T

    xk

    , fk =

    F

    xk

    T,x

    j=k

    (14)

    S=

    G

    T

    xk

    , xk =

    G

    fk

    T,fj=k

    (15)

    I pedici alle parentesi rappresentano le variabili di stato lasciate costanti durante latrasformazione.

    3. Sistemi accoppiati

    Lesempio piu semplice di sistema accoppiato e costituito dal trasformatore il cui schema diprincipio e mostrato in Fig.??. Nel caso specifico, la temperatura e mantenuta costante senzascambi termici con lambiente circostante. Pertanto, le variabili di stato risultano essere i flussiconcatenati con i circuiti primario e secondario.

    +

    -

    +

    -

    i1 i2

    v1 v2

    Figure 2. Sistema magneticamente accoppiato (Trasformatore)

    Proviamo adesso a studiare tale dispositivo dal punto di vista termodinamico. Facendoriferimento alla definizione di Energia Libera, come riportato in eqn.(??), che in assenza discambi termici coincide con lenergia interna del sistema, possiamo scrivere:

    dF dU=L =i1 d1+ i2 d2, (16)

    mentre lenergia di Gibbs, piu comoda in questo caso, assume la forma:

    dG= 1 di1 2 di2. (17)

    Il legame costitutivo del dispositivo, come e noto, risulta essere:

    1= L1 i1+ M12 i21= M21 i1+ L2 i2.

    (18)

    Infine, dal momento che anche lenergia di Gibbs e una funzione di stato, dG risulta essere undifferenziale esatto e, pertanto, i coefficienti di mutua induzione risultano essere uguali. Talerisultato puo essere facilmente ottenuto imponendo che lintegrale della eq. (??) sia indipendentedal percorso scelto. In Fig. ?? e rappresentato un esempio di trasformazioni nel piano di stato chehanno tutte gli stessi estremi. Se adesso valutiamo lenergia di Gibbs attraverso la trasformazioneOAP O, sapendo che lintegrale non dipende dal percorso, otteniamo:

    G(i1, i2) = OAP

    (1 di1+ 2 di2) = i1

    0

    1 di1 i2

    0

    2 di2, (19)

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    facendo uso della relazione costitutiva del dispositivo, si ricava:

    G(i1, i2) = i10

    L1i1 di1 i20

    (M21i1 L2i2) di2, (20)

    ed, infine:

    G(i1, i2) =

    1

    2L1i

    21+ M21i1i2+

    1

    2L2i

    22

    (21)

    Ripetendo in maniera del tutto analoga lintegrazione sul percorso OBP, ed imponendo chelintegrale non cambi si conclude immediatamente che M12=M21=M.

    i1

    i2

    O

    A

    B P

    Figure 3. Trasformazione termodinamica del sistema trasformatore nel piano di stato (i1, i2)

    Adesso possiamo considerare, in via generale, un sistema in cui le uniche forme di lavororisultano essere di tipo meccanico e magnetico. Analogamente a quanto gia ipotizzato, il sistemanon scambia calore e non varia la sua temperatura. In questo caso le variabili di stato risultanoessere f1 = e f2 = H, mentre le forze generalizzate x1 = e x2 = B. Le variabili e rappresentano, rispettivamente, lo stress e la deformazione meccanica del sistema, mentre H eBsono il campo e linduzione magnetica misurabili nel sistema stesso. Assumendo come energiadi Gibbs lespressione:

    G(, H) =

    1

    2E2 + m H+

    1

    2H2

    , (22)

    il sistema in esame rappresenta un accoppiamento magneto-meccanico. Tale modello, sebbene

    semplicissimo, permette di descrivere sistemi/materiali in cui le grandezze meccaniche sonoaccoppiate a quelle magnetiche, e viceversa. In particolare, utilizzando le (??), si derivanofacilmente le relazioni costitutive del sistema:

    = /E+ m HB= m+ H.

    (23)

    3.1. Teorema di Poynting

    Lanalisi del bilancio energetico in un sistema elettromagnetico e descritta dal teorema diPoynting che discuteremo nel seguito. Anzitutto, si faccia riferimento ancora alla Fig.??. Il

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    lavoro entrante, secondo la convenzione fatta e di natura puramente elettromagnetica e puoessere descritto mediante il flusso del vettore

    P= E H, (24)

    la cui divergenza puo essere riscritta come segue:

    P= H EE H; (25)

    ricordando adesso le leggi di Faraday e di Ampere-Maxwell,

    E= B

    H= J + D (26)

    la precedente equazione puo riscriversi come segue: P= H BE DE J. (27)

    Tale equazione puo anche essere formulata in forma integrale, dove nella equazione che segue si eassunta la normale alla superficie chiusa entrante, in modo da assumere, in accordo alla Fig.??,il lavoro come positivo se compiuto sul sistema:

    P ndS=

    H B + E D

    d

    E Jd. (28)

    Tutto quanto sviluppato fino ad ora e confinato completamente nei limiti della teoriaelettromagnetica. Al fine di dare una interpretazione la piu generale possibile al risultato

    ottenuto proviamo a considerare lo stesso processo nellottica della termodinamica.Assumiamo a tal fine che che il volume sia sede di un processo termodinamico in cui vienefornita al sistema una potenza di natura elettromagneticap(t) ed un flusso termico descritto dalvettore q. In tal caso le equazioni della termodinamica si possono scrivere come segue:

    U+ q= ps + (q/T) = 0.

    (29)

    La potenza elettromagnetica per unita di volume puo esprimersi comep(t) = P. Integrandola prima delle (??), otteniamo:

    Ud +

    q ndS=

    P ndS. (30)

    Confrontando adesso lequazione (??) con la (??) e osservando che

    Ud =

    H B + E D

    d, (31)

    si ricava immediatamente che

    q ndS=

    E Jd. (32)

    In altri termini, la potenza dissipata per effetto Joule nel volume coincide con il calore che

    esce dal volume. La potenza dissipata, cioe, e completamente trasformata in calore.

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    4. Bilanci energetici nei sistemi elettromeccanici

    Dopo aver riepilogato i principi fondamentali della termodinamica ed aver rivisitato in taleprospettiva alcuni fenomeni o dispositivi noti, conviene preparare gli strumenti basilari peranalizzare i principi della conversione elettromeccanica. Su di essi fonda la comprensione delleprincipali macchine elettriche, cioe i motori e gli alternatori. A tale scopo conviene riconsider-are la descrizione del nostro sistema termodinamico di principio e le convenzioni fin qui fatteper misurare il lavoro ed il calore scambiati con lambiente circostante. In queste specificheapplicazioni e naturale considerare diverse convenzioni per il lavoro meccanico e per quello dinatura elettromagnetica. In particolare, come mostrato in Fig. ??, nel funzionamento da mo-toreconviene assumere il lavoro elettromagnetico positivo se fornito al sistema, mentre il lavoromeccanico viene assunto positivo se compiuto dal sistema sullambiente circostante. Le perdite,cioe il calore prodotto se la trasformazione e dissipativa e sempre assunto positivo se cedutoallambiente esterno. Tale situazione viene descritta nella citata figura mediante le frecce trat-teggiate. Al contrario, nel funzionamento da generatore, si assumono per i lavori scambiati

    le convenzioni opposte, come mostrato dalle frecce a tratto continuo nella medesima figura.Conviene precisare che le cause di dissipazione di energia possono essere diverse: perdite percorrenti parassite, perdite per isteresi, perdite Joulenei conduttori o perdite per attrito, tipichedelle macchine rotanti.

    Se facciamo riferimento al funzionamento della macchina da motore, con le convenzioniappena assunte, possiamo riscrivere la prima legge della Termodinamica, con ovvio significatodei simboli adottati, come segue:

    dU=L L Q, (33)

    ove L e il lavoro meccanico compiuto dal sistema, mentre L rappresenta il lavoro

    elettromagnetico fornito al sistema stesso. Le perdite sono rappresentate dal calore che ilsistema scambia con lesterno. In particolare, sfruttando la precedente discussione sul teoremadi Poynting, comprendiamo che tale flusso di calore e strettamente connesso ai fenomeni didissipazione che hanno origine allinterno del sistema stesso (quali ad esempio le perdite pereffetto Joule). Se ora consideriamo una trasformazione chiusa risulta evidente che il lavoroelettromagnetico fornito al sistema viene convertito in lavoro meccanico, a meno del calorescambiato con lesterno (perdite); in simboli:

    L = L+ Q, (34)

    Effettuare una corretta e completa analisi termodinamica in presenza di fenomeni di dissipazione,e alquanto complesso. Tuttavia, tali perdite rappresentano una piccola frazione dellenergia

    scambiata che, p ertanto, verranno trascurate. Cio permette di semplificare notevolmente latrattazione.Se precisiamo al contempo lespressione del lavoro elementare L, di natura elettromagnetica,lequazione (??), assume la forma seguente:

    dU=L+ Fd, (35)

    ove F=N i e la Forza Magneto-Motrice,f.m.m., applicata al sistema elettromeccanico in esame.Per illustrare il principio, si faccia riferimento al semplice sistema elettromeccanico mostrato

    in Fig. ??. Per valutare il lavoro di origine meccanica, osserviamo che la sbarretta vieneattratta dalle espansioni polari dellelettromagnete. Affinche la trasformazione sia quasi-staticaapplichamo una forza fe in grado di bilanciare quella esercitata dallelettromagnete sulla

    sbarretta, che indichiamo con f. Il lavoro cos compiuto sulsistema risulta essere fe dx(dx

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    perdite

    Lavoromeccanico

    EnergiaElettromagnetica

    Sistema E.M.

    Figure 4. Sistema elettromeccanico che scambia energia meccanica ed elettromagnetica

    e lo spostamento elementare che la sbarretta ha compiuto verso le espansioni del magnete).Pertanto, poiche f = fe, il lavoro che lelettromagnete compie sullelemento mobile (quindiuscente) risulta essere L = f dx. Tale spostamento determina, a parita di f.m.m., unincremento del flusso nel circuito magnetico (d 0), quindi il generatore esterno fornisceuna potenza p(t) =v(t) i(t), ovvero L =p(t) dt= i(t) d. Pertanto, il lavoro totale compiutoe dato dalla somma del lavoro elementare che i generatori compiono sul sistema per sostenerela corrente nel circuito e dal lavoro elementare che lelettromagnete compie sulla sbarretta . Insimboli:

    dU= f dx + id. (36)

    Da tale equazione, si vede chiaramente che in corrispondenza della trasformazione meccanica,

    se si lascia il flusso invariato (d= 0) il lavoro meccanico viene compiuto a spese dellenergiaimmagazzinata dellelettromagnete che diminuisce. Infatti, facendo riferimento alla Fig. ??, sipuo osservare che lenergia immagazzinata nel campo magnetico, data da id, e uguale allareatra la curva corrispondente alla posizione iniziale del traferro, pari a x e lasse delle ordinate. Lariduzione del traferro al valore x dxconduce ad una riduzione della f.m.m. a flusso costante.Di conseguenza, la nuova curva risulta piu vicina allasse delle ordinate conducendo ad unariduzione dellenergia immagazzinata.

    Cio non deve meravigliare; infatti la forza di attrazione tra lelettromagnete ed il ferro mobile(che loperatore esterno e costretto a bilanciare) tende proprio a portare il sistema in uno stato diequilibrio e, quindi, in un minimo dellenergia. Questo significa che la sbarretta e naturalmenteattratta dallelettromagnete, cioe il lavoro meccanico e compiuto dal sistema elettromeccanicosullesterno. Il sistema elettromeccanico percio compie, secondo le convenzioni fatte, un lavoro

    positivo.Anche il generatore che permette alla corrente di circolare nellavvolgimento, sostenendo quindilinduzione nel circuito, compieun lavoro positivo. Vale la pena osservare che la trasformazioneche sposta la sbarretta dalla posizione x a x dx, puo aver luogo in modi diversi. Ad esempio,la trasformazione puo essere effettuata variando la posizione della sbarretta e riducendo alcontempo la corrente dellavvolgimento, in modo da lasciare il flusso costante. In questo casosi passera dalla configurazione a alla configurazione b lungo il segmento orizzontale a d.Tale trasformazione avviene quindi a flusso costante. Al contrario, se si lascia F costante, latrasformazione avverra a f.m.m. costante, lungo il tratto verticale a e. In generale, ognitrasformazione avviene tra i due casi estremi discussi, come per esempio la trasformazioneelementare lungo il tratto a bindicato in figura. Infine, scrivendo il differenziale dellenergia e

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    x

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    ad

    eb

    O

    c

    f

    g

    i

    i

    x - dx

    x - dx

    Figure 5. Variazione dellenergia in un elettromagnete per effetto di uno spostamento virtuale

    della sua parte mobile

    sfruttando lequazione (??), risulta:

    dUU

    xdx +

    U

    d= id fdx, (37)

    ed in definitiva che:

    f=

    U

    x

    , (38)

    i=U

    x

    (39)

    Con riferimento allesempio considerato, si comprende che la forza agisce sempre in modo daportare il sistema a ridurre la sua energia interna.

    In molte applicazioni, viene usata la f.m.m., cioe la corrente, e non il flusso come variabile di

    x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

    O

    AB

    C

    energia

    co-energia

    idi

    id

    Figure 6. Rappresentazione dellenergia e della co-energia di un sistema magnetico

    stato. Pertanto, le equazioni (??), (??) non sono immediatamente utilizzabili. A tale scopo sidefinisce una grandezza, definita co-energia, che permette di assumere la f.f.m. o la correntecome variabile di stato:

    U

    = i U, (40)

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    Pertanto,dU =d( i) id+ f dx= di + fdx, (41)

    Si osservi che (nellipotesi dx = 0) lenergia rappresenta larea della regione OAB (Fig.??),mentre la co-energia e larea della regione tratteggiata sottesa alla curva. Nel caso di materialilineari le due aree coincidono.Pertanto, analogamente a quanto gia ricavato per lenergia, risulta:

    f=

    U

    x

    i

    , (42)

    =

    U

    i

    x

    . (43)

    Le ultime equazioni permettono cos di ricavare la forza a partire dalla conoscenza della co-energia del sistema che, come abbiamo visto, e funzione della corrente e non del flusso. Linsiemedelle relazioni (??) e (??) permettono di determinare in ogni caso la forza agente sul sistema

    elettromeccanico.

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x

    Ni

    Sl

    Figure 7. Esempio di calcolo della forza in un semplice sistema elettromeccanico

    5. Ruota a sospensione magnetica

    Si consideri il sistema riportato in Fig. ??. La struttura ha il solo scopo di illustrare il principiodi funzionamento di una ruota a sospensione magnetica. Le parti laterali sono fisse e costituiteda un materiale ferromagnetico soft, quindi con basso campo coercitivo ed elevata permeabilita.Lelemento centrale, al contrario e mobile ed e costituito da un magnete permanente nella partecentrale ed espansioni polari di ferro dolce. Come si vede dalla figura, la parte mobile subiscedue forze contrapposte che, se lelemento centrale si trova esattamente alla stessa distanza dai

    due elementi laterali fissi, si equilibrano perfettamente.Si intuisce che basta un minimo spostamento, rispetto allequilibrio orizzontale, per

    squilibrare le forze conducendo la parte mobile ad urtare contro una dei due elementi laterali.Tale equilibrio, e pertanto instabile. Meno intuitiva e la dinamica verticale, tuttavia sicomprende che uno spostamento verticale del sistema aumenta i flussi dispersi e quindi tendead aumentare lenergia elettrostatica. Ci produce una forza di richiamo che tende a ripristinarelequilibrio. Cerchiamo adesso di analizzare in maniera quantitativa il sistema mediante unmodello estremamente semplificato ma efficace. Prima di tutto si consideri il circuito magneticocome un circuito elettrico analogo, mostrato in Fig. ?? Lenergia del sistema magnetico si puoscrivere come segue:

    U(x, y) = 0

    0

    umd = 0

    0

    Rd = 2 R1R2

    R1+ R220, (44)

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    Dx

    Dy

    NS

    N S

    N

    S

    S

    N

    Elemento Mobile

    FF

    Figure 8. schema di principio di una ruota a sospensione magnetica

    essendoum= R.Inoltre,

    R = 2 R1R2

    R1+ R2

    Le riluttanze dipendono dalla posizione della parte mobile del sistema che determina ledimensioni dei traferri:

    R1=

    (0 x)

    2 + y2

    0S

    R2=

    (0+ x)

    2 + y2

    0S .

    Pertanto, il profilo di energia puo essere riscritto come segue:

    U(x, y) = 2

    (0 x)

    2 + y2

    (0+ x)2 + y2

    (0 x)2 + y2 +

    (0+ x)

    2 + y2

    20

    0S. (45)

    Rd Rd

    Rd Rd

    F0

    Figure 9. Circuito elettrico analogo del circuito magnetico di Fig.??

    Nella figura ??si osserva che il profilo di energia evidenzia una sella, cioe un comp ortamento

    stabile lungo la direzione y, ed instabilenella direzione x. Cio e coerente con il Teorema di

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    Earnshaw che prevede limpossibilita mantenere in una configurazione stabile cariche, correntistazionarie o magneti permanenti. La realizzazione pratica di dispositivi a levitazione magneticarichiede pertanto di aggirare il teorema. Cio e realizzato normalmente mediante sistemi dicontrollo attivi, oppure mediante limpiego di elementi dia-magnetici. Ma tutto questo esuladagli obiettivi del corso.

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    x[mm]

    y[mm]

    ene

    rgy

    [J]

    Figure 10. Profilo dellenergia magnetostatica del sistema

    5.0.1. Esercizio 1 Per il dispositivo elettromeccanico in figura ??, di lunghezza media l, sezione S,si calcoli la forza agente sullelemento mobile, nellipotesi che la riluttanza del ferro sia trascurabile. Siassuma inoltre che:= 4 mm; i = 1 A; N= 200; l = 50 cm; S= 16 cm2.

    5.0.2. Esercizio 2 Per il dispositivo elettromeccanico di cui allesercizio precedente, assumendo chela sbarretta mobile abbia una massa m = 50 g, e sia soggetta alla forza peso, determinare la correnteminima che permette allelettromagnete di attirare lelemento mobile.

    x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x

    x x x x x x x x x x x x x x

    S

    Ni

    Figure 11. Schema di principio di un amperometro elettromeccanico

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    5.0.3. Esercizio 3 Per il dispositivo elettromeccanico in figura ??, di lunghezza media l, sezioneS, sicalcoli la forza agente sullelemento mobile, in funzione della corrente, nellipotesi che la riluttanza delferro sia trascurabile e che la parte mobile del dispositivo sia vincolata con una molla che esercita una

    forza di contrasto pari af= k(0 ), essendo0 langolo di riposo della molla. Si assuma inoltre che:= 1 mm; N = 100; S= 9 cm2. Inoltre, si assuma che il raggio della parte circolare dellequipaggiomobile siaa = 1cm.

    5.0.4. discussione Tale configurazione magnetica richiede una discussione aggiuntiva. Anzitutto, seipotizziamo ragionevolmente che le linee di campo, quando lequipaggio mobile si trova in posizione diriposo ( = 0), sono radialmente distribuite, possiamo concludere che la riluttanza offerta dal circuitomagnetico risulta R = 2R0, dove:

    R0=

    0S

    e S e la superficie del traferro attraverso cui si chiudono le linee di flusso. A tal proposito, e opportunoosservare che se lequipaggio mobile si discosta dalla posizione dequilibrio, la superficie utile del traferro

    si riduce, facendo aumentare di conseguenza i flussi dispersi. Risulta quindi:

    S= ha( ).

    In definitiva, la co-energia immagazzinata nel circuito magnetico, risulta:

    W =F2

    2R=0

    F2

    4a( )h,

    essendo F=N ilaf.m.m.che agisce nel circuito magnetico. A questo punto, avendo trovato lespressionedella co-energia in funzione dellangolo, e facile valutare il momento torcente di natura elettrodinamica:

    MW

    = 0

    F2

    4a h.

    Lequipaggio mobile sara percio soggetto ad un moto secondo lequazione:

    I+ + k = k0 0F2

    4a h, (46)

    ove I e il momento dinerzia dellequipaggio mobile; e il coefficiente di atrito dinamico, mentrekrappresenta la costante elastica della molla.

    Se invece si elimina la molla di contrasto, cie si pone nelleq. ?? k = 0, si ottiene lequazione:

    I+ = 0F2

    4a h, (47)

    dove = . Tale dispositivo e analogo al noto motore a riluttanza, in cui la forza viene generata per

    effetto di una variazione della riluttanza del circuito con la posizione dellequipaggio mobile nel traferro.

    Ovviamente, nel caso descritto dalla eq. ??, abbiamo sfruttato lo stesso principio con lo scopo di misurareun angolo di equilibrio di una molla di contrasto, legata alla corrente circolante nellavvolgimento. In

    questo senso tale dispositivo realizza un amperometro.

    5.0.5. Esercizio 4 Facendo riferimento al dispositivo elettromeccanico di cui allesercizio precedente, se

    si suppone che la corrente impressa sia sinusoidale e possibile ipotizzare che, nel suo movimento, langolo

    di equilibrio risulti 0(t) =m + sin t, dove m e il valor medio nel periodo dellangolo di equilibrio.

    Se si suppone che linerzia dellequipaggio mobile sia sufficientemente elevata, e possibile ipotizzare il

    secondo addendo trascurabile. In tali ipotesi, dimostrare chem misura il valore efficace della corrente

    che circola nellavvolgimento.

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