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TES 2 / 3 DS n°4 (2H) Mardi 28 janvier 2014 Nom :……………………….

La calculatrice est autorisée – La présentation de votre copie et la clarté de vos raisonnements sera prise en

compte de la notation. Le sujet est à rendre avec la copie

Exercice n°1 : Etude d’une fonction exponentielle Pts On considère la fonction définie sur , par et C la représentation graphique de , dans le plan muni d’un repère orthogonal .

1. Etude des variations de la fonction : a) Montrer que, pour tout , . b) Déterminer le signe de sur l’intervalle . c) Dresser le tableau de variation de .

2. Tangentes à la courbe :

a) Donner l’équation de la tangente T2 à C au point d’abscisse 2.

b) Déterminer l’équation de la tangente T1 à C au point d’abscisse 1.

c) Sur l’annexe donnée en page 3, on a construit la courbe C . Tracer sur ce même graphique,

les droites T1 et T2.

3. a) Démontrer que l’équation admet une solution unique sur l’intervalle . b) En utilisant votre calculatrice, donner une valeur approchée de à 0,01 près par défaut.

4. Convexité de la fonction : a) En utilisant le graphique de l’annexe, conjecturer la convexité de la fonction . b) Justifier algébriquement votre conjecture.

5. Une entreprise décide de mettre en place une production de tablettes numériques :

correspond au bénéfice, en dizaine de milliers d’euros,

correspond au nombre, en milliers, de tablettes produites et vendues par jour. En utilisant les résultats obtenus précédemment :

a. Déterminer le nombre de tablettes que cette entreprise peut produire pour faire du bénéfice.

b. Déterminer le nombre de tablettes qu’elle doit produire pour faire un bénéfice maximal. Donner la valeur de ce bénéfice maximal à l’euro près.

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Exercice n°2 : Vélocipède Pts

La société « Vélocipède », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs. Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

de vendre 20% des vélos en janvier de chaque année ;

puis de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année.

1. Pour tout nombre entier naturel , on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l’année par les termes de la suite définie par :

Calculer et vérifier que les résultats obtenus sont en concordance avec l’énoncé.

2. Pour connaître l’évolution du nombre approximatif de vélos du

parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul : a. Quelle formule a-t-on rentrée dans la cellule B3 ? b. Conjecturer le sens de variation de la suite . c. Quelle semble être la limite de cette suite ?

3. Pour tout nombre entier naturel , on pose .

a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,8. Déterminer son terme initial.

b. En déduire, pour tout nombre entier naturel , l’expression de en fonction .

c. En déduire alors, l’expression de en fonction de . d. Déterminer la limite de la suite . e. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a :

f. En déduire le sens de variation de .

4. La société « Vélocipède » souhaite à terme mettre en circulation 250 vélos. Pourra-t-elle réaliser ce projet ? Expliquer votre réponse.

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Exercice n°3: Jouez !! Pts On joue à « pile ou face » avec une pièce de monnaie truquée, pour laquelle, à chaque jet, la probabilité d’obtenir le côté « face » est égale à . 1. On lance la pièce cinq fois de suite et on appelle la variable aléatoire qui compte le nombre de côtés

« face » obtenus sur les cinq lancers. a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire ? Donner les paramètres. b. Calculer l’espérance mathématique.

Expliquer concrètement à quoi correspond votre résultat. c. Calculer les probabilités des événements suivants :

: « on obtient trois côtés faces sur les cinq lancers » ; : « on obtient un seul côté pile sur les cinq lancers ».

d. Calculer la probabilité de l’événement : « on obtient au moins une fois le côté face sur les cinq lancers ».

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. 2. Dans cette seconde partie, on lance la pièce fois de suite.

a. Calculer la probabilité de l’événement : « on obtient au moins une fois le côté face sur les lancers ».

b. Déterminer alors le plus petit entier pour que

ANNEXE NOM :