TES 2013-2014 corriges - maths.ab.free. 2013-2014  · A.Berger TES Bleue 2013-2014 2

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  • A.Berger TES Bleue 2013-2014 1 / 36

    MATHEMATIQUES

    TES 2013-2014

    Corrigs des devoirs

    DS1 25/09/2013 page2

    DV 08/10/2013 page 6

    DS 13/11/2013 page 8

    DV 28/11/2013 page 12

    DS 18/12/2013 page 14

    Bac Blanc 16/01/2014 page 19

    DV 29/01/2014 page 23

    DV 18/02/2014 page 25

    DS 19/03/2014 page 27

    DV 17/04/2014 page 31

    DS 14/05/2014 page 32

  • A.Berger TES Bleue 2013-2014 2 / 36

    DS TES Bleue et Pervenche 25/09/2013 (3h) EXERCICE I : ( points ) La courbe ci-dessous reprsente une fonction dfinie et drivable sur = [2; 11]. Elle est note . La fonction drive de est note . On prcise que :

    La droite T est la tangente en A en son point dabscisse 3. Laxe des abscisses est tangent en (5; 0). Le point (11; 3,6) est sur la courbe .

    1 Sans justification 1.a) Tableau de variations de la fonction 2 5 11 () 0 + ()

    9 3,6 0

    1.b) Tableau de signe de () x 2 5 11 f(x) + 0 + 1.c) (5) = 0 car la fonction change de variations en x= 5. (3) = 3 (coefficient directeur de la tangente au point dabscisse -3). 1.d) Lensemble des solutions de linquation () 0 est lintervalle [2 ; 5]. la fonction est dcroissante sur [2; 5] ou daprs la ligne signe de () du tableau de variation 1.e) Lquation de la tangente Cf au point dabscisse 5 est y=0 car en ce point la tangente est horizontale passant par le point de coordonnes S(5 ;0). 1.f) lquation de la tangente T est = + Mthode 1 : par lecture graphique du coefficient directeur et de lordonne lorigine. T :! = 3 + 11. Mthode 2 : lquation de la droite T est ! = (") ( ")+ (") avec a abscisse du point en lequel la tangente est dtermine. ! = (3) ( 3) + (3) ! = 3( 3) + 2 ! = 3 + 11. 1.g) (0,5 point) Lintervalle image de [$; %] est [&; '] Soit x appartenant lintervalle [2 ; 5] Alors 2 5 or est dcroissante sur [2 ; 5] Donc (5) () (2) Donc 0 () 9 Lintervalle image de [$; ] est [&; '] Le minimum de la fonction sur [2; 11]est 0 et le maximum de la fonction sur [2; 11] est 9 2.a) FAUX : la droite dquation ! = 10 ne coupe pas . 2.b) FAUX : un rel na jamais plusieurs images par une fonction. 3 .a) les solutions de lquation () = 2 sont les abscisses des points de ayant une ordonne gale 2. Les solutions sont 3 et 9

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    3.b) les solutions de linquation () > 2 sont les abscisses des points de ayant une ordonne suprieure 2. Lensemble des solutions est : = [2; 3[]9; 11]. 4. Cest la courbe C1 qui reprsente la drive. En effet, on a tabli le signe de la drive la question 1a) ; ce qui permet de rejeter la courbe C2 qui reprsente une fonction positive sur [2; 5] , puis ngative sur [5; 11]. EXERCICE II : ( points) Une entreprise produit et vend des crayons. Sa production journalire est comprise entre 1000 et 10000 crayons. On dsigne par + le nombre de milliers de crayons fabriqus chaque jour. Le bnfice journalier, exprim en euros est donn par (+) = +, + 9+- + 10 pour + [1; 10] 1 Calculer (1). Interprter pour lentreprise. (1) = 1, + 9 1- + 10 = 18 Le bnfice de lentreprise pour 1000 crayons par jour est 18 euros

    2a) Calculer (+), puis tudier son signe. (+) = 3+- + 18+ = 3+(+ + 6) Polynme du second degr dont le coefficient de +- est 3 Racines 3+ = 0 + = 0 nappartient pas lintervalle [1; 10] + + 6 = 0 + = 6 + 1 6 10 (+) + 0

    a) En dduire le sens de variation de la fonction . La fonction B est strictement croissante sur [ ; 1] et strictement dcroissante sur [1; &] 3 a) Dresser le tableau de variation de la fonction + 1 6 2 10 (+) + 0 (+)

    118 0 18 -90

    b) En dduire le nombre de crayons produire et vendre pour obtenir un bnfice maximal. Prciser ce bnfice maximal.

    Le bnfice est maximal pour 6 milliers soit 6000 crayons et vaut 118

    4 a) Montrer que lquation (+) = 0 admet une unique solution dans lintervalle [6; 10] , on la note 2. La fonction B est continue et strictement dcroissante sur 36; 104 Lintervalle image de [6; 10] est [90; 118] 0 [90; 118]

    Donc, daprs le thorme des valeurs intermdiaires, lquation (+) = 0 admet une unique solution dans [6; 10]. b) Dterminer un encadrement de 2 damplitude 0,01. + (+) 9,12 2 9,13

    +0,019 0 0,836

    Do : 9,12 2 9,13 est un encadrement de 2 0,01 prs

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    c) Dresser le tableau de signe de (+) sur lintervalle [1; 10]. Du tableau de variations complt avec 5, on dduit

    d) En dduire le nombre de crayons que lentreprise doit produire et vendre pour que le bnfice soit positif. On donnera la rponse 10 crayons prs. Daprs les questions 4abc, le bnfice est positif entre 1 milliers et 9,12 milliers de crayons produits et vendu par jour soit entre 1000 et 9120 crayons 10 crayons prs. Ex III : (7 points)

    1 a) Drive : 6() = 10 + 7889 pour [5; 100] Pour tout de [5; 100], on a : 6() = 1 + 900 1- = 1

    900- =

    30- =

    ( 30)( + 30)-

    b) Signe de la drive : 5 30 100 30 + 30

    0 + + + + +

    6() 0 +

    Tableau de variation de la fonction ?. 5 30 100 6() 0 + 6()

    175 99 50

    6(5) = 1756(30) = 506(100) = 99 d) Cot unitaire minimum : Daprs son tableau de variation, la fonction 6 admet sur [5; 100] un minimum gal 50, obtenu pour = 30. le cot unitaire est minimal lorsquon produit 30 objets, ce cot unitaire minimum est 50 . Cela signifie que lorsquon fabrique 30 objets, le cot de fabrication pour 1 objet est de 50. 2 La courbe de la fonction 6 reprsente le cot unitaire. La recette unitaire est de 90 . On trace la droite dquation ! = 90. Lentreprise nest pas dficitaire lorsque la recette unitaire est suprieure au cot unitaire, cest--dire pour une production de 10 90 objets. En effet, la droite dquation ! = 90 est au-dessus ou au contact de la courbe de 6 sur [10; 90]. 3 a) Cot total 6() dsigne le cot unitaire, cest--dire le cot pour 1 objet lorsquon en fabrique , ACCAC"D = EAFGHIJAGKICL MACJ1AGKICLe cot total N() sera donn par : N() = 6() = O 10 + 7889 P = 10 + 900. 3 b) Bnfice total Recette totale en euros : 1 objet est vendu 90, donc la recette totale est : Q() = 90 = 90 Bnfice total en euros () = Q() N() = 90 (- 10 + 900) = + 100 900

    + 1 9,12 2 9,13 10 (+) + 0

  • A.Berger TES Bleue 2013-2014 5 / 36

    3 c) Entreprise bnficiaire : On rsout dans [5; 100 linquation R 0 R 0 100 900 R 0 100 4 # 1 # 900 6400 80 admet deux racines distinctes : U VU88VW8V- 90-

    VU88XW8V- 10

    5 10 90 100 0 + 0 R 0 10; 90 Lentreprise ralise un bnfice pour une production de 10 90 objets. 3 d) Variations de la fonction B. Pour tout de 5; 100, on a : 2 100 Racine : 2 100 0 50 5 50 100 0

    1600 -425 -900

    Daprs son tableau de variations, la fonction B admet sur 5; 100 un maximum gal 1600, obtenu pour 50. Il faut donc produire 50 objets pour obtenir un bnfice maximal de 1600.

    Pour dterminer les productions

    bnficiaires ou dficitaires : on

    tudie le signe du bnfice.

    Pour dterminer les productions

    qui rendent le bnfice maximal :

    on tudie les variations de la

    fonction bnfice.

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    TESB 08/10/2013 EXERCICE I : (7points) On donne la courbe reprsentative dune fonction dfinie sur [3; 7 Par lecture graphique (sans justification) 1 Donner les valeurs suivantes : On se place au point D dabscisse 0 0 1; 0 0 On se place au point B dabscisse 0