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A.Berger TES Bleue 2013-2014 1 / 32

MATHEMATIQUES

TES 2013-2014

Sujets des devoirs

DS1 25 /09/2013 page2

DV 08/10/2013 page 5

DS 13/11/2013 page 6

DV 28/11/2013 page 10

DS 18/12/2013 page 11

BBlanc 16/01/2014 page 15

DV 29/01/2014 page 20

DV 18/02/2014 page 21

DS 19/03/2014 page 22

DV 14/04/2014 page 26

DS 14/05/2014 page 27


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 25/09/2013 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Inscrivez le nom de votre enseignant.

EXERCICE I : (6,5 points) La courbe ci-dessous représente une fonction � définie et dérivable sur � � �2; 11. Elle est notée ��. La fonction dérivée de � est notée �′. On précise que :

• La droite T est la tangente en A à �� en son point d’abscisse 3. • L’axe des abscisses est tangent à �� en ��5; 0�. • Le point ��11; 3,6� est sur la courbe ��.

Rappel : le réel �’��désigne le coefficient directeur de la tangente à �� au point de coordonnées ��; ��.

Aucune justification n’est demandée dans les questions 1° et 2°

1° Donner : a) Le tableau de variation de la fonction �. On mettra aussi la ligne �’��. b) Le tableau de signe de �� c) Les valeurs suivantes : �′�3�; ��5� d) L’ensemble de solutions sur � de l’inéquation �� 0. e) L’équation de la tangente à Cf en son point d’abscisse 5. f) L’équation de la droite T. g) L’intervalle image par la fonction � de �2; 5 , puis de �2; 11


2° Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? a) Le réel 10 admet exactement un antécédent par la fonction �. b) Le réel 1 admet deux images par la fonction �.

3° Les réponses seront justifiées.

a) Résoudre l’équation �� 2 b) Résoudre l’inéquation �� > 2.

4° L’une des courbes C1 , C2 est la représentation de la dérivée de la fonction �. Dire laquelle en justifiant votre choix.

EXERCICE II : (6,5 points) Une entreprise produit et vend des crayons. Sa production journalière est comprise entre 1000 et 10000 crayons. On désigne par � le nombre de milliers de crayons fabriqués chaque jour. Le bénéfice journalier, exprimé en euros est donné par �� = −�� + 9�" + 10 pour � ∈ [1; 10] 1° Calculer ��1�. Interpréter pour l’entreprise. 2°a) Calculer �′��, puis étudier son signe. b) En déduire le sens de variation de la fonction �.

3° a) Dresser le tableau de variation de la fonction � b) En déduire le nombre de crayons à produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice maximal. 4° a) Montrer que l’équation �� = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [6; 10] , on la note $. b) Déterminer un encadrement de $ d’amplitude 0,01. c) Dresser le tableau de signe de �� sur l’intervalle [1; 10]. d) En déduire le nombre de crayons que l’entreprise doit produire et vendre pour que le bénéfice soit positif. On donnera la réponse à 10 crayons près.

C1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

C2

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

-1

0 1

1

x

y


EXERCICE III : (7 points) Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets, avec � ∈ �5; 100 1°) Le coût de production unitaire %�� exprimant le coût de production par objet est exprimé en euros par :

%�� 10 900� pour� ∈ �5; 100 On donne sa représentation graphique dans le repère annexe ci-dessous.

a) On note %′ la fonction dérivée, calculer %�� On montrera que : %′�� *+�,��*-�,�*²

b) Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction %. c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est minimum.

2°) Chaque objet est vendu 90 €. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’on doit fabriquer chaque jour pour que l’entreprise réalise un bénéfice. On illustrera le graphique en laissant apparents les traits de construction.

3°) a) Montrer que le coût total de fabrication est : �/�� ² � 10� 900, pour � ∈ �5; 100 b) Montrer que le bénéfice total de l’entreprise pour � objets fabriqués et vendus quotidiennement est �� " 100� � 900 . c) Retrouver par le calcul le nombre d’objets que l’on peut fabriquer chaque jour pour que l’entreprise réalise un bénéfice. d) Etudier les variations de la fonction B. Puis déduire pour quelle production le bénéfice total est maximal et calculer ce bénéfice.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 08/10/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (7 points) On donne la courbe représentative d’une fonction � définie sur [−3; 7 Par lecture graphique (sans justification) 1° Donner les valeurs suivantes : ��0�; ��0�; ��5�; �′�5� 2° Déterminer une équation de la tangente en D. 3° Déterminer une équation de la tangente en B. 4° Quelle est la position de la courbe �� par

rapport à sa tangente au point d’abscisse 2 ? 5° Préciser la convexité de la fonction �.

EXERCICE II : (2 points) Retrouver les deux affirmations vraies. Aucune justification n’est demandée. Sur votre copie, vous reportez les affirmations choisies. Pour toute fonction � définie, dérivable et convexe sur ��5; 5, On peut affirmer : (a) la tangente à �� au point d’abscisse 0 est située en dessous de �� sur ��5; 5 (b) �� n’a pas de point d’inflexion.

(c) �′�� est positive sur ��5; 5. (d) �′ change de signe sur ��5; 5 EXERCICE III : (8 points) On considère la fonction � définie sur �0; 10 par �� 15�" 75�. 1° Calculer �′�� et �′′��. 2° a) Etudier la convexité de la fonction �. b) La courbe �� admet-elle un point d’inflexion ?

3° Dresser le tableau de variations de la fonction �′. 4° Dresser le tableau de variations de la fonction �. EXERCICE IV : (3 points)

On considère la fonction � définie sur �1; 10 par �� 1 1"*+1

En utilisant au mieux les informations données sur la copie d’écran ci-dessous, étudier la convexité de la fonction �.

A.Berger, TES Bleue 2013/2014 6 / 32

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 13/11/2013 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.


EXERCICE I : (5 points) sujet national2013 dévoilé

Un industriel étudie l’évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu’il l’a achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.

Du fait de l’usure de la machine, la production diminue de 2% par an. On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l’année �2000 + 2� par une suite �%3�. On a donc %, = 120000. 1. a. Montrer que la suite �%3� est géométrique. 1. b. En déduire que pour tout entier naturel 2 : %3 = 120000 × 0,983 . 1. c. Déterminer le sens de variation de la suite �%3�. 2. a. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ? 2. b. Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100 000. 2. c. Cet industriel décide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets par an. Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel n tel que %3 < 90000.

1 Variables : 7 est un réel 2 n est un entier naturel 3 4 Initialisation : Affecter à A la valeur 120 000 5 Affecter à n la valeur 0 6 7 Traitement : Tant que 7 …. 8 2 prend la valeur 2 + 1 9 7 prend la valeur … 10 Fin Tant que 11 12 Sortie : Afficher n 3. a. Exprimer 1 + 0,98 + 0,98" + ⋯+ 0,983 en fonction de 2. 3. b. On pose �3 = %, + %1 + %" +⋯+ %3

Montrer que �3 = 6000000 × �1 − 0,983-1� 3. c. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production.


EXERCICE II : (3 points) La population d’une ville côtière augmente de 580 habitants chaque année. En 2012, cette population est de 16 000 habitants. On note :3 la population en 2012 2.

1. On considère l’algorithme :

Variables : ; est un réel n est un entier naturel Initialisation : Affecter à P la valeur 16 000 Affecter à n la valeur 0 Traitement : Pour < allant de 1 à 5 2 prend la valeur 2 1 ; prend la valeur ; 580 FinPour Sortie : Afficher ; En détaillant les calculs, donner l’affichage obtenu. Interpréter. 2. a. Justifier que :3 � 16000 5802

2. b. Retrouver l’affichage obtenu à l’algorithme. 2. c. Déterminer à partir de quelle année la population de cette ville dépassera 22000 habitants. EXERCICE III : (8 points) Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on a tracé la courbe �� représentative de la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle �1; 8 ainsi que les tangentes à la courbe aux points 7�3,5; 104,75� et ��6; 126�. La tangente en � à la courbe ��passe par l’origine du repère. On note �′ la fonction dérivée de la fonction � et �′′ la dérivée seconde de la fonction �.


PARTIE A À partir du graphique et des renseignements fournis : 1. Déterminer �′�3,5) et �′(6). 2. Déterminer �′′(3,5). Sur quel intervalle la fonction � semble-t-elle convexe ? concave ? PARTIE B La fonction � est définie pour tout réel x élément de l’intervalle [1; 8] par �(�) = �� − 10,5�" + 39� + 54.

1. Calculer �′(�) et �′′(�). 2. Étudier les variations de la fonction �. 3. Étudier la convexité de la fonction �. 4. Que représente le point 7 pour la courbe �� ?

PARTIE C Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d’articles. La fonction � modélise sur l’intervalle [1; 8]le coût total de production exprimé en milliers d’euros, où � désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués. On note �>(�) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. On note �>(�) le coût moyen de production en milliers d’euros pour � milliers d’articles fabriqués. �> est la fonction définie sur l’intervalle [1; 8] par :

�>(�) = �² − 10,5� + 39 + 54�

On admet que la fonction �> est dérivable sur l’intervalle [1; 8] et on appelle �>� sa fonction dérivée.

1. a. Calculer �>� (�) Vérifier que pour tout x de l’intervalle [1; 8] : �>� (�) = (� − 6)(2�

" + 1,5� + 9)�"

1. b. Etudier le signe de �>� (�). 2. Dresser le tableau de variations de la fonction �> sur [1; 8]. 3. Quel doit être le prix de vente minimal d’un article pour que l’entreprise réalise un bénéfice ? 3. Quel doit être le prix de vente minimal d’un millier d’articles pour que l’entreprise puisse espérer réaliser un bénéfice ? on précisera le nombre d’articles à vendre.


EXERCICE IV : (4 points) Soit � une fonction deux fois dérivable sur [−2,5;3]. On note �′ sa dérivée et �� sa dérivée seconde.

La courbe représentative de la fonction dérivée ?′ notée ��@ est donnée ci-contre.

Les points de coordonnées (−2,5;−3), (−1; 1,4) et (3; 0,25) sont des points de cette courbe ��@ La droite T est tangente à la courbe ��@ au point

d’abscisse 0. Aucune justification n’est demandée pour les questions 1 et 2

1. Par lecture graphique : 1. a. Dresser le tableau de variation de la dérivée �′. 1. b. Dresser le tableau de signe de �′(�). 2. Par lecture graphique : 2. a. Déterminer les réels � tels que ��(�) = 0. 2. b. Déterminer les réels � tels que ��(�) = 0. 2. c. Déterminer ��(0).

3. Une des quatre courbes C1, C2, C3 et C4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction �et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde�′′ .

3. a. Déterminer la courbe qui représente la fonction � et celle qui représente la fonction dérivée seconde�′′. 3. b. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction �est convexe ou concave. 3. c. La courbe représentative de la fonction � admet-elle un point d’inflexion ?

Courbe de f '

T

2 3-1-2

2

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

C1

2 3-1-2

2

-1

0 1

1

x

y

C3

2 3-1-2

-1

-2

0 1

1

x

y

C2

2 3-1-2

2

3

0 1

1

x

y

C4

2 3-1-2

-1

-2

0 1

1

x

y

A.Berger TES Bleue 2013/2014 10 / 32

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 28/11/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (12 points) Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10+" près. Un site touristique dont le billet d’entrée coûte 4 € propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 € par personne. Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au prix de 2 € l’unité. On suppose qu’à la buvette un touriste achète au plus une boisson. Un touriste visite le site. On a établi que :

• la probabilité pour qu’il visite à pied est 0,3. • la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite en car est 0,8. • la probabilité qu’il achète une boisson sachant qu’il visite à pied est 0,6.

On note : � l’événement « le touriste visite en car » ; � l’événement « le touriste achète une boisson ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré. 2. a. Quelle est la probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson ? 2. b. Montrer que :�� = 0,74. 3. Le touriste achète une boisson. Quelle est la probabilité qu’il ait visité à pied ? 4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste. 4. a. Etablir la loi de probabilité de d. On complètera le tableau suivant en justifiant les probabilités.

Valeurs de A 9 7 6 4 Probabilité

4. b. Calculer l’espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?

EXERCICE II : (8 points) Une association s’adresse à une agence de voyage pour organiser un séjour de vacances pour ses 210 adhérents. On constate que, parmi ces adhérents :

• 30% ont moins de 40 ans ; • un tiers souhaite séjourner en Amérique ; • 40% souhaitent séjourner en Europe, et parmi eux, 75% ont plus de 40 ans ; • 47 adhérents âgés de plus de 40 ans souhaitent séjourner en Afrique.

1. Compléter le tableau suivant : Nombre d’adhérents

souhaitant séjourner en Europe

Nombre d’adhérents souhaitant séjourner en Afrique

Nombre d’adhérents souhaitant séjourner en Amérique

Nombre d’adhérents âgés de moins de 40 ans

Nombre d’adhérents âgés de plus de 40 ans

Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. On choisit au hasard un adhérent de l’association. On suppose que tous les adhérents ont la même probabilité d’être choisis. 2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : « l’adhérent souhaite séjourner en Afrique » B : « l’adhérent est âgé de plus de 40 ans » 3. Calculer la probabilité de chacun des évènements 7 ∩ � et 7 ∪ � 4. Calculer la probabilité que l’adhérent souhaite se rendre en Afrique sachant qu’il est âgé de plus de 40 ans.

NOM :



La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.


EXERCICE I : (5,5 points) d’après Amérique du Nord Juin 2010

Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.

Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :

• 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion. • 70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion. • 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.

On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion.

Un client entre dans le magasin.

On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».

On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».

1. a. Donner les probabilités :�7̅� et :�7̅ ∩ �̅� b. Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non

plus la carte mémoire en promotion.

2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

3. Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.

4. Déterminer la probabilité qu’un client achète l’appareil photo en promotion, mais n’achète pas la carte en promotion.

5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 € sur chaque carte mémoire en promotion. a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune

justification n’est demandée. Bénéfice par client en euros 0

Probabilité d’atteindre le bénéfice 0,6

b. Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion ?

6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d’achat sont indépendants. Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion.


EXERCICE II : (5 points)

Le marché de la musique enregistrée se divise en deux grands domaines : le marché physique (supports matériels comme les CD) et le marché dématérialisé (téléchargements). Le tableau suivant indique les montants des ventes, en millions d’euros, correspondant au marché physique et au marché total de l’année 2006 à l’année 2011. Année 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Marché physique 1287 1127 941 833 466 413 Marché total 1310 1156 983 894 554 524 Source : Snep (Syndicat national de l’édition phonographique) Juin 2012

Les deux parties sont indépendantes. Partie A : Taux d’évolution Dans cette partie, les réponses seront données sous forme de pourcentages arrondis à 0,01 près. 1. Quelle part du marché total le marché physique représente-t-il en 2011 ? 2. Calculer le taux d’évolution global du marché physique entre 2006 et 2011. Partie B : Étude du marché physique On suppose que chaque année à partir de 2011, le marché physique connaît une baisse de 20%. On note E3 le montant, en millions d’euros, des ventes en France correspondant au marché physique de l’année 2011 + 2. Ainsi, E, = 413.1. a. Calculer E1. b. Démontrer que la suite (E3) est une suite géométrique. c. Exprimer E3 en fonction de 2. 2. Dans la feuille de calcul d’un tableur, on souhaite déterminer les premiers termes de la suite (E3) Quelle formule peut-on écrire en C3, qui, par recopie vers le bas, donnera le contenu des cellules de C3 à C15 ?

A B C 1 Année Rang 2 E3 2 2011 0 413 3 2012 1 4 2013 2 5 2014 3 6 2015 4 7 2016 5 8 2017 6 9 2018 7 10 2019 8 11 2020 9 12 2021 10 13 2022 11 14 2023 12

3. Si la tendance reste la même, quel sera le montant du marché physique en 2020 ? Arrondir le résultat au million d’euros près. 4. a. Déterminer le sens de variation de la suite (E3). 4. b. En quelle année prévoit-on, d’après ce modèle, un montant du marché inférieur à 50 millions d’euros ?


EXERCICE III : (5 points) On considère la fonction � définie sur [0; 3] par �(�) = (2 − �). F* + 3 1. a. Montrer que ��(�) = (−� + 1)F* 1. b. Etudier le signe �′(�) 2. Dresser le tableau de variation de la fonction �. 3. Montrer que l’équation �(�) = 0 admet une unique solution dans [1; 3 ] ; on la nomme α. 4. On considère l’algorithme suivant :

Entrée : P est un réel strictement positif

Initialisation : Donner à X la valeur 2 et à Y la valeur 3

Traitement : Tant que Y > 0 : Donner à X la valeur X +P Donner à Y la valeur f (X) (f étant la fonction définie précédemment)

Sortie : Afficher X −P et X

4. a. On entre une valeur de P égale à 0,1. Faire fonctionner l’algorithme , on fera un tableau sur la copie avec autant de colonnes que nécessaire. initialisation Traitement 1ere étape 2ème étape … X = X = X = … Y= Y = Y= …

Quelles sont les valeurs affichées en sortie ? Que peut-on en déduire pour $?

4. b. On a fait fonctionner l’algorithme avec une certaine valeur de P. On a obtenu en sortie les nombres 2,30 et 2,31. Quelle valeur de P avait-on choisie en entrée ? 5. Déterminer le signe de la fonction � sur [0; 3]

EXERCICE IV : (4,5 points) Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 17 litres de ce produit. On note �(�) le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour une production d’un volume x de vaccin exprimé en litres, On appelle B la fonction définie pour tout x de l’intervalle [0; 17]qui à x associe �(�). La courbe représentative de la fonction � est donnée en annexe. Partie A : Lecture graphique Avec la précision permise par le graphique : 1. Déterminer le(s) volume(s) hebdomadaire(s) nécessaire(s) pour que le bénéfice hebdomadaire soit égal à 400 euros. 2. Déterminer pour quels volumes hebdomadaires produits, le laboratoire est bénéficiaire. Partie B : Étude du bénéfice hebdomadaire On admet que B est la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 17] par : �(�) = −�� + 6�" + 180� − 184. On notera B′ la fonction dérivée de la fonction B. 1. a. Déterminer pour tout x appartenant à l’intervalle [0; 17], l’expression de B′(x). b. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0; 17], �′(�) = (−3� + 30)(� + 6). c. Étudier le signe de B′(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0; 17]. d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0; 17]. 2. Déterminer le volume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal.

N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 2013/2014 14 / 32

Annexe exercice IV

bénéfice en euros

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17-1

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

-100

-200

-300

-400

-500

0 1

100

x

y

NOM :


BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES - L 16 /01/2014 3 HEURES une seule calculatrice autorisée - le prêt est interdit La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le sujet est composé de 4 exercices et comporte 5 pages. Aucune page n’est à rendre Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I – III – IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/5 TES spécialité Maths page 3/5 TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths EXERCICE I : (5,5 points)

On considère � la fonction définie sur � par �� = �F+* + 1

On note �� la courbe représentative de la fonction � dans un repère orthonormé du plan et �′ la fonction dérivée de � .

1. a. Montrer que, pour tout réel x, �� = F+*�1 − �� b. En déduire le sens de variation de � sur �.

2. a. Montrer que l’équation �� = 0 admet une unique solution $sur l’intervalle [−1 ; 0].

b. Donner un encadrement de $ à 10+1 près.

3. Montrer que l’équation réduite de la tangente T à �� au point d’abscisse 0 est : G = � + 1

4. L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de �� par rapport à T .

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel �, l’expression et le signe de �� où �′′ désigne la dérivée seconde de �. Instruction Réponse

1 �� = � × exp�−�� + 1 �F+* + 1

2 �� = AéK<LéFMFNO2AF[��] F+*�� − 2� 3 résoudre[F+*�� − 2�] ≥ 0 � ≥ 2

En exploitant les résultats du calcul formel :

a. Déterminer le sens de variation de la dérivée �′ de la fonction � sur R.

b. Déterminer l’intervalle de � sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave.

c. En déduire la position relative de �� par rapport à T sur l’intervalle ] − ∞; 2].


EXERCICE II : (5 points) TES - SPECIALITE

Une usine fabrique trois articles A, B et C. Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents P1, P2, P3 et P4. La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l'énergie (E). Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque produit.

P1 P2 P3 P4 A 3 2 2 1 B 4 3 0 2 C 0 5 3 2

T M E

P1 10 15 3 P2 12 8 2 P3 4 12 4 P4 3 5 1

1. On considère les matrices suivantes

=2350

2034

1223

F et

=

153

4124

2812

31510

R .

1. a. Calculer le produit; = R × S. 1. b. En déduire le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B.

2. Calculer le produit % = ; × T111U et donner une interprétation du résultat.

3. Calculer le produit V = �1 1 1� × ; et donner une interprétation du résultat. 4. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C. 5. À la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de : 14 800 euros pour le travail (T) ; 18 000 euros pour les matières premières (M) ; 4 400 euros pour l'énergie (E). Déterminer le nombre d'articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée.


EXERCICE II : (5 points) TES NON SPECIALITE et TL

Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d’atteindre une nappe d’eau annoncée à 9 mètres de profondeur par un spécialiste. Partie 1 : Les tarifs de l’entreprise, convertis en euros, sont les suivants : 100 € pour le premier mètre creusé, 140€ pour le suivant, et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40€. On appelle W le nombre de mètres creusés et XW le prix du W − Yè[\ mètre creusé Ainsi E1 = 100

1° On considère l’algorithme suivant :

Variable ] entier naturel %et � sont des réels Entrée Saisir ] Initialisation % prend la valeur 100 � prend la valeur 100 Traitement Pour ̂ allant de 2 à ]

% prend la valeur % + 40 � prend la valeur � + % Fin pour

Affichage Afficher % Afficher �

Le faire fonctionner pour ] = 4 en utilisant le tableau suivant que l’on recopiera.

Donner les deux valeurs affichées à la fin et les interpréter pour le forage du puits.

2. a. Quelle est la nature de la suite �E3�? On justifiera la réponse. 2. b. Calculer E1, 2. c. Calculer le coût total pour un puits de 10 mètres de profondeur. On pourra utiliser la formule suivante donnant la somme des 2premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme E1 : � = E1 + E" +⋯+ E3 = 22 �E1 + E3�

Partie 2 : L’État accorde une subvention à l’association pour le forage de ce puits. Cette subvention, convertie en euros, est de 60€ au départ pour le premier mètre creusé, augmentée de 35% par mètre creusé supplémentaire. On appelle _Wle montant, en euros, de la subvention accordée pour un puits profond de W mètres. Ainsi L1 = 60 1. Calculer le montant de la subvention accordée pour un puits profond de 2 mètres. 2. Justifier que �L3� est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 3. Exprimer L3 en fonction de 2. 4. Montrer que le montant de la subvention accordée pour un puits de 10mètres de profondeur est d’environ 894€. 5. En utilisant les résultats des questions précédentes et de la partie 1, calculer ce que devra réellement payer l’association pour le forage du puits de 10 mètres de profondeur.

^ % � initialisation


EXERCICE III : (5,5 points) Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu’un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas. S’il n’y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d’un banc dans 5 % des cas. On note : B l’évènement : « il y a un banc de poissons sur zone » et B l’évènement contraire de B ; S l’évènement : « le sonar indique l’existence d’un banc de poissons » et Sl’évènement contraire de S. 1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant. (Le détail des calculs n’est pas demandé.)

2. Déterminer la probabilité :�� ∩ �� qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte. 3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.

4. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :

Situation 1 : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2 000 euros.

Situation 2 : il n’y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros.

Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu’il y en ait ou pas). Le filet n’est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros.

4. a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le «gain» (positif ou négatif) réalisé. Justifier.

Valeurs du gain 2 000 − 500 − 300 Probabilité

4. b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?

5. Le pêcheur prévoit d’effectuer dix sorties successives sur la zone de pêche.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de sorties pour lesquels le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif). a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Déterminer la probabilité que, pour exactement 4 sorties, le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif). On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat.

S

S

0,7

B


EXERCICE IV : (4 points) On considère une fonction � définie et dérivable sur l’intervalle [−2; 4 On note �� la fonction dérivée de la fonction �. La courbe �� tracée ci-dessous, représente la fonction �dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2cm. La courbe �� passe par les points ��0; 2� et 7��1; F�. Elle admet au point 7 une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La tangente (T) au point � à la courbe ��passe par le point `�2; 0�.

1. En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :

1. a. Le nombre de solutions sur l’intervalle ��2; 4 de l’équation ( ) 1f x = , puis un encadrement

d’amplitude 0,25 des solutions éventuelles. 1. b. La valeur de �′��1� 1. c. Le signe de la dérivée �′ de la fonction � sur l’intervalle ��2; 4. 2. Donner en justifiant : 2. a. La valeur de �′�0�. 2. b. Celle des trois courbes (C1), (C2) et (C3) données ci-dessous qui représente la fonction dérivée �� de la fonction �. (C1) (C2) (C3)

T

Cf

2 3 4-1-2

2

3

0 1

1

x

y

A

B


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 29/01/2014 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2008.

Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 15 % des

anciens inscrits ne renouvellent pas leur adhésion.

On note �3 le nombre d'adhérents pour l’année 2008 + n ; on a donc �, = 50.

1° Exprimer �3-1 en fonction de �3 , pour tout entier naturel n.

2° Soit la suite �E3� définie par E3 = �3 − 120 pour tout 2 ≥ 0. a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer E3 en fonction de 2. en déduire que, pour tout entier naturel 2,�3 = 120 − 70 × 0,853. c) Déterminer le nombre d’adhérents en 2014. On donnera la valeur approchée par défaut.

d) Déterminer la limite de la suite ��3� quand n tend vers l'infini, interpréter ce résultat.

3° a) Montrer que pour tout entier naturel 2, on a : �3-1 − �3 = 10,5 × 0,853

b) En déduire le sens de variation de la suite ��3�. c) Déterminer à partir de quelle année, l’association aura au moins 100 adhérents.

4° On veut estimer le montant des cotisations reçues de 2008 à 2014.

a) A l’aide d’un tableau Excel, on veut déterminer le nombre total de cotisations reçues durant cette période.

Compléter au mieux, initialisation ou formules de calcul, les cellules A2 B2 C2 A3 B3 C3 et C12.

On obtient un total de 520 cotisations reçues durant cette période.

b) On admet que la cotisation moyenne est de 80€ par an. Quel est le montant des cotisations reçues de 2008 à

2014 ?

5° Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour 1h de gymnastique et 40% pour 2h de gymnastique.

a) Montrer que le nombre ] d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2008 + n est

] = 168 − 98 × 0,853

b) Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle

année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine.

Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation 98 × 0,85n < 8.

Déterminer à la calculatrice, sans justification, le plus petit entier 2solution de cette inéquation. Conclure.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A B C

année n an

Total :

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 18/02/2014 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (14 points)

On considère la fonction � définie sur a1" ; 5b par :

�� = 1 − � + 2c2�. La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique de � dans un repère orthogonal.

1. Calculer �� et étudier son signe. 2. Dresser le tableau des variations de �. 3. a. Calculer ��1� 3. b. Justifier que l’équation �� = 0 admet sur [3; 4] une solution unique α ; puis donner une valeur

approchée à 10+" près par défaut de α.

3. c. En déduire le signe de �(�) suivant les valeurs de �dans a1" ; 5b. 4. On appelle d la fonction définie sur a1" ; 5b par :

d(�) = �. e−12 � + 2c2� − 1f 4. a. Calculer d′(�) et vérifier que d�(�) = �(�) pour tout � ∈ a1" ; 5b 4. b. Déterminer le sens de variation de la fonction d sur a1" ; 5b

EXERCICE II : (6 points)

1° On considère la fonction � définie sur ]0 ; +∞[ par : �(�) = �. c2� − � Calculer �(F) � g1hi et �j√Fl 2° En résolvant l’inéquation, déterminer le plus petit entier 2 tel que : 625 × 1,043 − 325 ≥ 575 .

2 3 4 5

-1

0 1

1

x

y



La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I – III – IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/4 TES spécialité Maths cet exercice sera rendu sur une copie séparée. page 3/4 TES non spécialité Maths

EXERCICE I : (5 points) Partie A La courbe (C), donnée ci-contre, est la représentation graphique de la fonction � définie sur [1; 7 par �� " 10� � 9 � 8 ln � 1. On désigne par �′ la fonction dérivée de la fonction �. Démontrer que, pour tout réel x de �1; 7 : �� 2�� 1�� 4�� 2. Étudier le signe de �′�� suivant les valeurs de �dans l’intervalle �1; 7 3. Dresser le tableau de variations de �. 4. a. Montrer que l’équation �� 0 admet une unique solution dans �4; 7, on la note $. 4. b. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les résultats seront arrondis à 10+o près. � 6,18 6,19 6,20 6,21

��

4. c. En déduire un encadrement à 10+" près de α. 4. d. Placer α sur le graphique ci-contre.

Partie B - Application économique Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jour. On admet que si x est la production journalière en dizaines de pièces alors le bénéfice réalisé en milliers d’euros est ��, où f est la fonction étudiée dans la première partie avec � ∈ �1; 7. 1. Déterminer la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l’entreprise commence à travailler à perte. Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près. 2. Déterminer la quantité de pièces que l’entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal et préciser ce bénéfice maximal à 1€ près.

NOM :


EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Un lycée d’une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d’orientation post-bac. Partie A

Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carrière. Elle a relevé qu’en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l’étranger alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France. On a observé ensuite qu’à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l’étranger reviennent sur un poste en France alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l’étranger. On considère que cette situation perdure. On note ;3 = �F3c3�la matrice correspondant à l’état probabiliste en 2008 + n , avec F3 la probabilité que la personne travaille à l’étranger, c3 celle qu’elle travaille en France. Ainsi,;, = �0,250,75�. 1. Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets.

2. Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l’ordre E puis F.

3. Montrer qu’en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l’étranger est de 30,475% .

4. Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu. Partie B Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d’organiser un concert. Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.

1. Existe-t-il un trajet d’un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule? Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. 2. Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée F. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ?

N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 14/05/2014 24 / 32

EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE Sujet national septembre 2013 Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65% d’hommes. Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60% écoutent les explications. On admet que ces proportions restent stables. Partie A On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d’être choisie. On note H l’évènement « la personne choisie est un homme », F l’évènement « la personne choisie est une femme », E l’évènement « la personne choisie écoute les explications du démarcheur » et qr l’évènement contraire de E. 1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité proposé ci-dessous :

0,65

…

s

R

…

….

0,6 ….

q

qr

q

qr

2. a. Traduire par une phrase l’évènement q ∩ R et calculer sa probabilité. b. Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. c. Le démarcheur s’adresse à une personne qui l’écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? On donnera le résultat arrondi au centième. Partie B Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 12% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait. Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (On arrondira le résultat au centième). 3. Déterminer la probabilité que l’employé obtienne au moins une souscription un jour donné. On donnera une valeur arrondie au dix millième. EXERCICE III : (5 points) Partie A : 1° Calculer les intégrales suivantes. On donnera la valeur exacte.

� = t �3�" − 4� + 1)A�"

1u = t e3� −

1�"fA�

h

1

Partie B : Cette partie est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, retrouver l’affirmation exacte. Sur votre copie, vous recopierez la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.


1° L’ensemble de solution de l’inéquation 1 − 2 ln � ≥ 0 est :

(a) b−∞;Fvwb (b) x0; √Fx (c) ]0; +∞[ (d) a 1√h ; +∞a Désormais, on considère la fonction � définie sur ]0; +∞[ par : �� = �. ln�� 2° La fonction dérivée �′ de � est définie sur ]0; +∞[ par

(a) �� = � × 1* (b) �� = −1 + ln�� (c) �� = 1 + ln�� (d) �� = 1 × ln��

3° Une fonction primitive R de � est définie sur ]0; +∞[ par

(a) R�� = 1" �² × ln�� (b) R�� = 1

o �"�2 ln�� − 1� (c) R�� = 1*w × 1

*

EXERCICE IV : (5 points) Nouvelle Calédonie novembre 2013

Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d’épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros. Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu’à atteindre le plafond autorisé de 19 125 euros. On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25% par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année. Première partie 1. Calculer le montant des intérêts pour l’année 2014, et montrer que Monica disposera d’un montant de 7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015. 2. On note y3le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l’année 2014 + 2. On a donc y, = 6000 et y1 = 7035. Montrer que pour tout entier naturel n : y3-1 = 1,0225y3 + 900. Deuxième partie Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros. 1. Première méthode : On considère la suite (z3) définie pour tout entier naturel n, par z3 = y3 + 40000. a. Montrer que la suite (z3) est une suite géométrique de raison 1,022 5. On précisera le premier terme. b. Donner l’expression de z3 en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, y3 = 46000 × 1,02253 − 40000. c. Déduire de l’expression de y3obtenue en b. l’année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint. 2. Deuxième méthode : L’algorithme ci-dessous permet de déterminer l’année à partir de laquelle le plafond sera atteint. Ligne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Variables : Initialisation : Traitement : Sortie :

MONTANT est un réel ANNÉE est un entier Affecter à MONTANT la valeur 6 000 Affecter à ANNÉE la valeur 2014 Tant que MONTANT < 19125 Affecter à MONTANT la valeur 1,022 5 ×MONTANT +900 Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE +1 Afficher « Le plafond du livret sera atteint en ... » Afficher ANNÉE

a. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu’il détermine l’année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros. Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.


b. Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l’algorithme affiche également à l’écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 17/04/2014 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : ( 9 points) Dans cet exercice, on appelle « poids de naissance », la masse, exprimée en grammes, d’un nouveau-né. Les résultats seront arrondis au centième pour les probabilités et à l’entier pour les poids de naissance donnés en grammes. On s’intéresse au poids de naissance (exprimé en grammes) des enfants dans une région donnée. On note X la variable aléatoire qui, à un enfant choisi au hasard dans une maternité, associe son poids de naissance. On admet que X suit la loi normale d’espérance 3 300 et d’écart type 600. On choisit un enfant au hasard dans cette maternité. 1° Quel est le poids moyen d’un enfant à la naissance. 2° Déterminer la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance compris entre 2700d et 3900d. 3° Quelle est la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance inférieure à 2100d ? 4° Quelle est la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance supérieure à 3000d ?

5° On considère la variable aléatoire { � |+��,,},,

a) Montrer l’équivalence : 3300 � ~ � � � 3300 ~ ⟺ +�},, � { �

�},,

b) Déterminer l’entier h tel que ;�3300 � ~ � � � 3300 ~� � 0,95 EXERCICE II : ( 6 points)

On considère les fonctions � et R définies sur � par �� . F+*-" et R�� 1�F+*-" 1° Démontrer que la fonction R est une primitive de la fonction � sur �. 2° Calculer en valeur exacte l’intégrale :

� � t��A�o

"

3° En déduire la valeur moyenne de la fonction � sur �2; 4, on donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à10+" près . EXERCICE III : (5 points)

1° On considère l’aire � de la partie du plan délimitée par les droites d’équation � � 0 et � � 2 , l’axe des abscisses et la courbe �représentée. Parmi les encadrements suivants, lequel est le meilleur que l’on puisse « lire » sur le graphique. � 4 � � � 6�5 � � � 6�4 � � � 5.

Aucune justification n’est demandée. Reportez votre choix sur votre copie.

2° Calculer les intégrales suivantes. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près


� = t�F"* − ��A�1

,u = t e12 �" + 2� + 1�fA�

�

1


La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I – III – IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/4 TES spécialité Maths cet exercice sera rendu sur une copie séparée. page 3/4 TES non spécialité Maths

EXERCICE I : (4 points) Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10+� près.

Les parties A et B sont indépendantes. Dans un cabinet d’assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

Partie A Une enquête affirme que 30% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

1. Dans le cadre d’une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

a. Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0,3.

b. Calculer ;�� ≥ 1�. 2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l’ensemble des clients du cabinet d’assurance.

a. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

b. L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert.

Partie B Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégorie.

On s’intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l’année.

On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.

On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance µ = 1200 et d’écart-type �=200.

1. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000€ et 1 500€.

2. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 €


EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. Cette étude montre que lors de la sortie d’une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu’une cliente l’achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2. De plus, lorsqu’une cliente a acheté une crème hydratante lors d’une vente promotionnelle, la probabilité qu’elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8 . Lorsqu’une cliente n’a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu’elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3. 2étant un entier naturel non nul, on note : • �3 la probabilité qu’une cliente achète une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. • �3 la probabilité qu’une cliente n’achète pas une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. •;3 = ��3�3�la matrice ligne traduisant l’état probabiliste à la n-ième vente promotionnelle. 1. (a) Déterminer ;1. 1. (b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets : V quand il y a achat; Vr quand il n’y a pas achat. 2. (a) Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe. 2.(b) Calculer ;"et ;�. D’après ces résultats, quel est l’effet de ces trois premières ventes promotionnelles? 3. Justifier qu’il existe un état stable ; = ��b� pour cette situation. Le déterminer. 4. L’étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.

L’entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d’achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme et proposer une répartition des produits.


EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE (Les données sont recueillies par l’Institut national d’études démographiques) Au premier janvier 2011, la population de l’Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s’élevait à 81 751 602 habitants. De plus, on sait qu’en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires, on estime le taux d’évolution de la population allemande à −0,22% . On admet que cette évolution reste constante les années suivantes. Les résultats seront arrondis à l’unité Partie A On propose l’algorithme suivant : Entrée : Saisir le nombre entier naturel non nul S. Traitement : Affecter à U la valeur 81 751 602 {initialisation}

Affecter à N la valeur 0 {initialisation} Tant que U > S Affecter à U la valeur 0,9978× U Affecter à N la valeur N +1 Fin tant que

Sortie : Afficher N On saisit en entrée le nombre S = 81 200 000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on en sortie ? % 81 751 602 81 571 748 … ] 0 Test % > � vrai Partie B On note E3 l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2011 + 2. 1. Déterminer E, et E1 2. a. Justifier que la suite �E3� est une suite géométrique, de 1er terme 81 751 602 et de raison 0,9 978. 2. b. Exprimer E3 en fonction de 2. 3. Si cette évolution de −0,22% se confirme : 3. a. Quel serait l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2035 ? 3. b. En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants ? Partie C Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2011, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s’élève à 49 800 personnes. On admet de plus que le taux d’évolution de −0,22% ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011. 1. Modéliser cette situation à l’aide d’une suite (L3) dont on précisera le premier terme L, ainsi qu’une relation entre L3-1 et L3 2. Calculer L1 et L". Que peut-on conjecturer sur l’évolution de la population de l’Allemagne ?


EXERCICE III : (5 points)

On considère une fonction � définie sur l’intervalle [−1 ; 3], deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation �� dans un repère orthonormé est proposée ci-contre. On désigne par �′ la fonction dérivée de , par �′′ la fonction dérivée seconde de � , par R une primitive de � (On admet l’existence de R).

La droite D est tangente à �� au point A d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

L’axe des abscisses est tangent à �� au point d’abscisse 2.

La tangente à �� au point d’abscisse 0 est la droite d’équation y = 4.

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie. Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse ou une réponse multiple enlève 0,25. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Aucune justification n’est demandée.

1. a. � est convexe sur l’intervalle ��1; 0. b. � est concave sur l’intervalle 1; 2�. c. � est convexe sur l’intervalle 1; 3[. d. ��est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse −1.

2. a. ��1) = 5 b. �′(1) = 2 c. �′′(1) = −3 d. La tangente à �� au point d’abscisse 1 a pour équation G = −3� + 5.

3. a. �′(�) > 0 pour tout x de l’intervalle � 1; 2�. b.�′ est croissante sur l’intervalle 1; 2�. c. �� = 0 si et seulement si � = 0 ou � = 2 d. ��(�) � 0 pour tout x de l’intervalle � 2; −1�.

4. a. � �(�)A�,

+16 0

b. 3 6 � �(�)A�"

,6 6

c. � �(�)A�,

+1� � �(�)A�

"

,

d. La valeur moyenne de f sur l’intervalle �0; 2 est égale à 1.

5. a.�′est croissante sur l’intervalle ] − 1; 2� b. R est croissante sur l’intervalle � 1; 2� c. �est croissante sur l’intervalle ] − 1; 2� d. R(1) � R(2)


EXERCICE IV : (6 points)

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction � définie pour tout nombre réel x de l’intervalle � =]0; 3] par �(�) = 10�² − 20�. ln � Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de sorbet, �(�) est le coût total de fabrication en centaines d’euros. La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction Kdéfinie sur le même intervalle I. Partie A La courbe C représentative de la fonction � et la droite D représentative de la fonction linéaire K sont données en annexe. 1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. a. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet. b. Donner l’expression de K(�) en fonction de �. c. Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un bénéfice ?

2. On admet que � 20�. ln � A��1 = 90 ln 3 − 40

a. En déduire la valeur de � �(�)A��1

b. En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l’euro) du coût total de production. Partie B On note B(x) le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente de x centaines de litres de sorbet produits. D’après les données précédentes, pour tout x de l’intervalle [1; 3], on a : �(�) = −10�" + 10� + 20�. ln � où �(�) est exprimé en centaines d’euros. 1. On note B′ la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que, pour tout nombre x de l’intervalle [1; 3],on a : ��(�) = −20� + 20 ln � + 30. 2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivée B′ sur l’intervalle [1; 3]. � 1 3 �′(�)

�′(1) �′(3)

a. Montrer que l’équation �′(�) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [1; 3]. Donner une valeur approchée de α à 10+". b. En déduire le signe de �′(�) sur l’intervalle [1; 3] ; puis dresser le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle. 3. L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?


Annexe exercice IV

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TES 2013-2014 sujets - maths.ab.free.frmaths.ab.free.fr/TES 2013-2014 sujets.pdf · A.Berger TES Bleue 2013-2014 1 / 32 ... La courbe ci-dessous représente une fonction définie