Tese David Henriques

5/20/2018 Tese David Henriques

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David Jos dos Santos Henriques

Licenciado em Cincias da Engenharia Civil

Um elemento finito fisicamente no-linear

para vigas mistas ao-beto

Dissertao para obteno do Grau de Mestre emEngenharia Civil

Orientador: Rodrigo de Moura Gonalves, Professor Auxiliar,Universidade Nova de Lisboa

Maro, 2014

Jri:Presidente: Prof. Doutor Carlos Manuel Chastre RodriguesArguente: Prof. Doutor Joo Gomes Rocha de Almeida

Vogal: Prof. Doutor Rodrigo de Moura Gonalves


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LOMBADA

Ume

lementofinitofisicamenteno

-linearparavigasmistasao-b

eto

DavidHenriques

2014


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Copyright David Jos dos Santos Henriques, FCT/UNL e UNL

A Faculdade de Cincias e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa tm o direito, per-ptuo e sem limites geogrficos, de arquivar e publicar esta dissertao atravs de exemplaresimpressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecidoou que venha a ser inventado, e de a divulgar atravs de repositrios cientficos e de admitir asua cpia e distribuio com objetivos educacionais ou de investigao, no comerciais, desde

que seja dado crdito ao autor e editor.

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Agradecimentos

Em primeiro lugar quero agradecer profundamente ao meu orientador, Professor Rodrigo deMoura Gonalves, por todo o apoio, conhecimento transmitido e enorme pacincia demons-trada ao longo da realizao desta Dissertao. Gostava de agradecer aos meus queridos paise ao meu mano por todas as palavras de incentivo e por todos os conselhos. minha na-

morada Vanessa obrigado por estares sempre aqui ao meu lado, por todos os bons momentosque vivi e que hei-de viver ao teu lado. Professora Ildi Cismaiu os meus agradecimentospelo fornecimento da chave do programa ATENA sem a qual grande parte deste trabalhono seria possvel realizar. Por toda a ajuda e disponibilidade, obrigado ao Professor HugoBiscaia, ao Hugo Fernandes e ao Herlander Fernandes. Quero agradecer ao Professor JooLeal e ao Professor Mrio Franca pelos conselhos dados na minha primeira defesa nota, conse-lhos esses que tanto me incentivaram no meu percurso acadmico. Quero ainda agradecer aoProfessor Nuno Guerra, ao Professor Antnio Batista, ao Professor Joo Rocha de Almeidae ao Professor Jos Delgado, tanto pelas grandes oportunidades como pelos bons conselhos.Obrigados aos meus grandes amigos David Costa, Dione Guimares, Diogo Pinto, Diogo Oli-veira, Francisco Franco, Frederico Oliveira, Joana Chaves, Lus Viotty, Rita Vieira e Toms

Rantanen por todos os bons momentos. Quero tambm agradecer a todos os amigos que fizna faculdade, Gonalo Antunes, Licnio Cruz, Miguel Bairro, Miguel Saraiva, Miguel Serrae Miguel Teixeira. Em ltimo lugar obrigado aos meus queridos amigos dos Maristas, apesardo pouco tempo que consegui passar com vocs nestes ltimos anos a amizade manteve-sesempre forte!

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Resumo

Neste trabalho desenvolve-se, implementa-se e valida-se um elemento finito de barra baseadona Teoria Generalizada de Vigas, capaz de caracterizar eficazmente o comportamento fisica-mente no-linear global de vigas mistas ao-beto. O elemento finito considera os seguintesefeitos: (i) shear lag, (ii) deformao por esforo transverso da alma do perfil de ao, (iii)

fendilhao e comportamento no-linear compresso do beto e (iv) plastificao do perfile da armadura. A eficcia computacional do elemento proposto resulta da introduo dehipteses simplificativas especficas, relativas aos campos de tenso e deformao, as quaispermitem reduzir o nmero de graus de liberdade sem perda de preciso e, simultaneamente,utilizar leis constitutivas simples e de fcil implementao. Os exemplos de aplicao mostramque o elemento proposto conduz a resultados muito semelhantes aos obtidos com modelos deelementos finitos de casca e/ou de volume, muito embora o nmero de graus de liberdadee o tempo de clculo sejam significativamente inferiores. Para alm disso, mostra-se que aanlise das funes de amplitude modais da GBT permite extrair concluses nicas ao nveldo comportamento estrutural das vigas mistas.

Palavras chave:

Vigas mistas ao-beto.

Teoria generalizada de vigas.

Anlises fisicamente no-lineares.

Shear lag.

Fendilhao.

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Abstract

A physically non-linear finite element for steel-concrete composite beams

This work concerns the development, implementation and validation of a beam finite elementwhich is based on the Generalized Beam Theory and is capable of characterizing efficiently the

physically non-linear global behaviour of steel-concrete composite beams. In particular, theelement allows the consideration of the following effects: (i) shear lag, (ii) shear deformationof the steel beam web, (iii) concrete cracking and non-linear behaviour under compressionand (iv) plastification of the steel beam and reinforcement. The computational efficiency ofthe element stems from the introduction of specific assumptions concerning the stress andstrain fields, which make it possible to reduce the number of DOFs without loss of accuracyand, simultaneously, to use constitutive laws which are simple and easy to implement. Theexamples presented in this work show that the proposed element leads to results which are verysimilar to those obtained with shell/volume finite element models, even though the number ofDOFs and the computation times are significantly smaller. In addition, it is shown that theanalysis of the GBT mode amplitude functions makes it possible to extract unique conclusions

concerning the structural behaviour of composite beams.

Keywords:

Steel-concrete composite beams.

Generalized beam theory.

Physically non-linear analyses.

Cross-section deformation.

Shear lag.

Cracking

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ndice de Matrias

ndice de Matrias ix

ndice de Figuras xi

ndice de Tabelas xv

Lista de abreviaturas, siglas e smbolos xvii

1 Introduo 11.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Organizao da Dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Publicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Fundamentos da Teoria Generalizada de Vigas 32.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Equaes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Formulao de um elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Aplicao anlise fisicamente no-linear de vigas mistas 153.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Hipteses simplificativas adicionais e modos de deformao . . . . . . . . . . . 163.3 Modelos Constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Modelo constitutivo para o ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Modelos constitutivos para o beto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2.1 Modelo implementado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2.2 Modelos doADINAe ATENAutilizados . . . . . . . . . . . 24

3.4 Implementao emMATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Programa de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.2 Determinao de matrizes/vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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ndice de Matrias

3.4.3 Determinao de tenses em regime fisicamente no-linear . . . . . . . 283.4.4 Visualizador de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Exemplo 1 shear lag elstico em vigas simplesmente apoiadas . . . . 323.5.2 Exemplo 2 fendilhao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Exemplo 3 fendilhao generalizada e comparao com elementos fi-

nitos convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.4 Exemplo 4 shear lag com fendilhao numa viga encastrada-apoiada 413.5.5 Exemplo 5 material elastoplstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.5.1 Viga CTB1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.5.2 Viga CTB4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.6 Exemplo 6 material elastoplstico incluindo deformao por corte . . 523.5.7 Exemplo 7 material elastoplstico eshear lag . . . . . . . . . . . . . 54

4 Concluses e desenvolvimentos futuros 614.1 Concluses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Desenvolvimentos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bibliografia 65

A Rotinas desenvolvidas emMATLAB 67A.1 Introduo de dados, caso viga CTB1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67A.2 Clculos Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.3 Matriz de rigidez tangente para a primeira iterao . . . . . . . . . . . . . . . 73A.4 Matriz de rigidez tangente e vetor das foras internas, beto elstico com fen-

dilhao, ao linear, caso exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.5 Matriz de rigidez tangente e vetor das foras internas, beto no linear, aono linear com comportamento uniaxial, caso viga CTB1 . . . . . . . . . . . . 76

A.6 Matriz de rigidez tangente e vetor das foras internas, beto no linear, aono linear com comportamento multiaxial, exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . 79

A.7 Vetor incremental das foras exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.7.1 Fora distribuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.7.2 Fora pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.8 Ciclo incremental/iterativo, caso viga CTB1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.9 Visualizador grfico, caso viga CTB1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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ndice de Figuras

2.1 Modos de deformao de seces de pontes mistas ao-beto: (a) seco com doiscaixes, (b) seco bi-viga com simplificao de simetria apenas metade daseco transversal representada. Extrado de Gonalves e Camotim (2010). . . 5

2.2 Configurao deformada de uma barra com seco em hat e respetiva decompo-sio modal (extrado de Gonalves, 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Seco arbitrria de parede fina com eixos locais de cada parede (adaptado deGonalves e Camotim, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Ilustrao da hiptese de Kirchhoff (neste casow ,x< 0) . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Parcela de membranaue de flexo zw,x deUx(adaptado de Schardt,1989) . . 82.6 Funes de interpolao de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Funes de interpolao de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Seco-tipo de uma viga mista ao-beto (adaptado de Amaral, 2011) . . . . . . 173.2 Discretizao da seco-tipo (adaptado de Amaral, 2011) . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Modo de deformao de extenso axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Modo de flexo pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Modos deshear lag linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Modos deshear lag quadrtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 Modos deshear lag para problemas com simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.8 Modo de Empenamento de flexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 Lei uniaxial elstica-perfeitamente plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.10 (a) Evoluo das tenses no beto quando ocorre a sequncia de deformao (b) . 233.11 Estados de tenso antes e aps a formao de uma fenda . . . . . . . . . . . . . . 253.12 Lei constitutiva uniaxial para o beto no programaADINA, (Bathe 2014). . . . . 253.13 Lei constitutiva uniaxial para o beto no programaATENA, (Cervenka, 2013). . 263.14 Mtodo de Newton-Raphson para sistemas com um grau de liberdade . . . . . . 273.15 Montagem da matriz global Kt e dos vetores globais F,Q,g . . . . . . . . . . . 293.16 Numerao dos pontos de integrao para (i) dois elementos finitos (ii) duas pare-

des (iii) dois pontos de integrao segundo x(iv) trs pontos de integrao segundoye (v) dois pontos de integrao segundo z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.17 Aplicao correta ( esquerda) e incorreta ( direita) da matriz Faces . . . . . . 31

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ndice de Figuras

3.18 Exemplo de utilizao do comandocolorbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.19 Exemplo 1: (a) geometria da seco transversal, carga e parmetros materiais, (b)

seco discretizada, (c) modos de deformao e (d) modelo de elementos finitos de

casca (ADINA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.20 Exemplo 1: configuraes deformadas e distribuio das tenses normais longitu-

dinais na laje de beto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.21 Exemplo 1: (a) tenses normais longitudinais na laje de beto, a meio-vo, e (b)

funes de amplitude modais da GBT para 0 x L/2. . . . . . . . . . . . . . . 363.22 Exemplo 2: (a) geometria da seco transversal, carga aplicada e propriedades dos

materiais, (b) modos de deformao utilizados e (c) condies de apoio, notao,vo, carga aplicada e diagrama de momento fletor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.23 Exemplo 2: sistema Base com as foras exteriores e respetivo diagrama de momentofletor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.24 Exemplo 2: sistema Base com carga unitria e respetivo diagrama de momentofletor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.25 Exemplo 2: comprimento da zona no fendilhada em funo do nmero de elemen-

tos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.26 Exemplo 3: (a) geometria da seco transversal, carga, propriedades do material e

seco reduzida linha mdia, (b) modos de deformao e (c) modelo de elementosfinitos casca/solid/truss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.27 Exemplo 3: modos sinusoidais com (a) uma semi-onda (b) duas semi-ondas e (c)trs semi-ondas em cada banzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.28 Exemplo 3: (a) distribuio de tenses normais longitudinais na armadura, naseco de meio-vo (sem simplificaes de simetria), e (b) grfico carga-deslocamento 42

3.29 Exemplo 4: (a) geometria da seco transversal, carga, propriedades do material eseco reduzida linha mdia, (b) modos de deformao e (c) modelo de elementosfinitos casca/solid/truss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.30 Exemplo 4: (ab) configurao deformada e distribuio das tenses normais lon-gitudinais na laje de beto, na superfcie mdia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.31 Exemplo 4: (a) distribuio de tenses na laje, na seco de meio-vo e (b-e)funes de amplitude modais ao longo do comprimento da viga, para discretizaescom 8/64 elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.32 Viga CTB1: (a) carregamento, geometria e propriedades dos materiais; (b) modelode elementos finitos convencionais (ADINA) e (c) modos de deformao da GBTutilizados na anlise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.33 Viga CTB1: (a) configurao deformada da viga em perspetiva (esquerda) e emalado (direita) para a carga ltima; (b) grfico das funes de amplitude dosmodos e (c) grfico carga-deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.34 Viga CTB4: (a) carregamento, geometria e propriedades dos materiais; (b) modelode elementos finitos convencionais ADINA e (c) modos de deformao da GBTutilizados na anlise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.35 Viga CTB4: (a) configurao deformada da viga em perspetiva (esquerda) e emalado (direita) para a carga ltima; (b) grfico das funes de amplitude dosmodos e (c) grfico carga-deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.36 Exemplo 6: (a) carregamento, geometria e propriedades dos materiais; (b) modelode elementos finitos convencionais (ATENA) e (c) modos de deformao da GBTutilizados na anlise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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ndice de Figuras

3.37 Exemplo 6: (a) configurao deformada no colapso e carga aplicada, (b) grficocarga-deslocamento, (c) configuraes deformadas no colapso obtidas com os mo-delos de elementos da GBT ( esquerda) e convencionais (ATENA, direita) e (d)

funes de amplitude modais da GBT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.38 Exemplo 7: (a) carregamento, geometria e propriedades dos materiais; (b) modelo

de elementos finitos convencionais (ATENA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.39 Exemplo 7: (a) grfico carga-deslocamento, (b) deformao longitudinal da laje

de beto no plano mdio, para uma carga de 100 kN/m, sem modos de shear lag( esquerda) e com modos de shear lag( direita). . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.40 Exemplo 7: deformao longitudinal da laje de beto no plano mdio, para 100kN/me 300 kN/m, com escala de cores constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.41 Exemplo 7: deformao longitudinal da laje de beto no plano mdio, para 400kN/m, 410kN/me 420kN/m, com escala de cores constante. . . . . . . . . . . . 58

3.42 Exemplo 7: distribuies dexxna face superior da laje e configuraes deformadas

fornecidas pelo modelo de elementos finitos convencionais e o modelo de elementosfinitos da GBT, para um deslocamento de 0,0087 m e um deslocamento de 0.0139m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.43 Exemplo 7: distribuies dexxna face superior da laje e configuraes deformadasfornecidas pelo modelo de elementos finitos convencionais e o modelo de elementosfinitos da GBT, para um deslocamento de 0,0171 m e um deslocamento de 0.0274m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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ndice de Tabelas

3.1 Deslocamento vertical para o vo de 6 metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Deslocamento vertical para o vo de 8 metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Rigidez de flexo da seco fendilhada e no-fendilhada . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Exemplo 4: deslocamento vertical do meio-vo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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Lista de abreviaturas, siglas e smbolos

Abreviaturas

EC4 Eurocdigo 4

GBT Generalised Beam Theory(Teoria Generalizada de Vigas)

ndices e Operadores Especiais

( )M parcela de membrana

( )B parcela de flexo

( ),i derivada parcial em ordem a i

d( ) variao

( ) variao virtual

( ) variao incremental-iterativa

P( ) primitiva

( )t matriz (vetor) transposta (transposto)

Letras Latinas Maisculas

A rea da seco transversal

Ak rea da seco transversal do material k

Coperador constitutivo para o caso elsticoCt operador constitutivo tangente

E mdulo de elasticidade

Ec mdulo de elasticidade do beto

Et mdulo tangente

Ei mdulo de elasticidade do materiali

Fj funo de interpolao de Lagrange j

Fvetor das foras externas

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G mdulo de distoro

Gc mdulo de distoro do beto

Hk funo de interpolao de Hermite k

Imomento de inrcia

Kt matriz de rigidez tangente

L comprimento

M momento fletor

N nmero de modos de deformao

Nw nmero de modos de empenamentoQvetor das foras internas

U campo de deslocamentos da parede

V volume

Wext trabalho das foras exteriores

Wint trabalho das foras interiores

YLNPosio da linha neutra elstica

Letras Latinas Minsculas

bflargura do banzo do perfil de ao

bi largura da parede ida seco

fy tenso de cedncia do ao

gvetor das foras desequilibradas

hc altura da laje de beto

hw altura da alma do perfill comprimento do elemento finito

ne nmero de elementos finitos

tfespessura do banzo do perfil de ao

tw espessura da alma do perfil de ao

u componente do deslocamento do plano mdio da parede segundo x

uk deslocamento urelativo ao modo de deformao k

v componente do deslocamento do plano mdio da parede segundo y

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vk deslocamento v relativo ao modo de deformaok

w componente do deslocamento do plano mdio da parede segundo z

wk deslocamento wrelativo ao modo de deformao k

x eixo paralelo ao eixo da viga

y eixo contido na seco transversal e coincidente com a linha mdia da parede

z eixo contido na seco transversal e perpendicular linha mdia da parede

Letras Gregas

fator de reduo da rigidez de corte

tensor das deformaes infinitesimais extenso linear

c extenso associada a c

distoro

k funo de amplitude do modo de deformaok

U matriz auxiliar para definio de U

matriz auxiliar para definio de

tensor das tenses

c tenso de compresso mxima do beto em provetes cilndricos

t tenso de trao mxima do beto

superfcie

matriz que contm as funes de interpolao

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Captulo 1

Introduo

1.1 MotivaoA soluo mais correntemente adotada para vigas mistas ao-beto consiste numa laje debeto armado ligada a uma srie de vigas de ao em I, dispostas paralelamente (Calado eSantos, 2010). Na anlise e dimensionamento deste tipo de soluo, fundamental ter emconta alguns efeitos particulares, nomeadamente os efeitos de shear lag (distribuio no-uniforme de tenses em banzos largos por efeito da deformao por corte ver, por exemplo,Reissner, 1946) e da fendilhao do beto.

Para ter em conta estes efeitos, o Eurocdigo 4 (CEN, 2004) prescreve a utilizao demodelos de anlise global em que a rigidez de flexo das barras calculada tendo em contalarguras efetivas para o banzo de beto e o estado fendilhado/no-fendilhado. Estes modelos

so algo complexos, dado que envolvem barras com rigidez varivel e requerem a determinao(exata ou aproximada) das zonas fendilhadas. Em alternativa, poder-se-ia recorrer a elementosfinitos que permitissem considerar os efeitos supracitados de forma automtica mas, conformese ver, isso requer a utilizao de elementos de casca e/ou de volume s ao alcance deprogramas muito especializados e sofisticados. Para alm disso, os modelos resultantes sonecessariamente muito exigentes em termos do esforo computacional e, portanto, so emgeral inviveis para utilizao corrente em gabinetes de Projeto.

A Teoria Generalizada de Vigas (doravante designada por GBT, da designao em lnguainglesa, Generalised Beam Theory), uma teoria de barras prismticas de parede fina quepermite considerar a deformao arbitrria da seco atravs do recurso aos chamados modosde deformao. Embora esta teoria seja apresentada no Captulo 2, de referir que, em

virtude da sua natureza modal, tem vindo a afirmar-se como uma alternativa extremamentevantajosa face aos mtodos tradicionais de anlise de barras de parede fina (faixas finitas eelementos finitos de casca). Infelizmente, a aplicao da GBT anlise de estruturas mistasao-beto bastante recente (Gonalves e Camotim, 2010; Amaral, 2011) e est por enquantorestrita ao caso elstico linear. No entanto, de referir que nestes trabalhos foram obtidosresultados extremamente promissores, revelando que a GBT tem um grande potencial deaplicao nesta rea.

1.2 Objetivos

O primeiro e principal objetivo deste trabalho consiste em desenvolver, implementar e validarum elemento finito baseado na GBT, capaz de caracterizar eficazmente o comportamento

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Captulo 1. Introduo

fisicamente no-linear global de vigas mistas ao-beto. Em particular, pretende-se que oelemento finito seja capaz de contabilizar os seguintes efeitos: (1) shear lag, (2) deformaopor esforo transverso da alma do perfil de ao, (3) fendilhao e comportamento no-linear

compresso do beto e (4) plastificao do perfil e da armadura. de notar que no existeatualmente nenhum elemento finito de barra com estas caractersticas.

O segundo objetivo consiste em desenvolver, de raiz, um programa em MATLAB (TheMathWorks, 2010) que permita efetuar anlises no-lineares com o elemento finito proposto emostrar visualmente os resultados obtidos. Este programa dever ser adaptvel para futuraincorporao de novas funcionalidades, tais como a contabilizao da distoro da seco e daflexibilidade da conexo de corte, entre outras.

Finalmente, pretende-se contribuir para divulgar a GBT e demonstrar que os elementosfinitos baseados nesta teoria oferecem vrias vantagens relativamente aos elementos finitos

convencionais utilizados para analisar estruturas de parede fina (elementos de casca e devolume).

1.3 Organizao da Dissertao

A Dissertao desenvolve-se ao longo de quatro Captulos, o primeiro dos quais a presenteintroduo.

No segundo Captulo apresentam-se os fundamentos da GBT. So apresentadas e descritasas hipteses simplificativas e as equaes fundamentais. Para alm disso, apresenta-se oelemento finito que serviu de base ao elemento formulado na presente Dissertao.

O terceiro captulo corresponde a desenvolvimentos originais. Comea-se por particula-rizar e especializar o elemento finito do captulo anterior para vigas mistas ao-beto com

comportamento fisicamente no-linear. So descritos os modelos constitutivos a utilizar, no-meadamente os modelos para o ao e o beto. De seguida, so discutidas algumas particu-laridades da implementao numrica em MATLAB. Neste Captulo so ainda apresentadosseis exemplos de validao. O primeiro exemplo foca o efeito de shear lag em vigas simples-mente apoiadas com material elstico. No segundo exemplo estuda-se a preciso do elementofinito proposto na determinao do comprimento da zona fendilhada de uma viga encastrada-apoiada. O terceiro exemplo pretende mostrar que o elemento permite obter bons resultadosquando ocorre fendilhao generalizada. O quarto exemplo diz respeito ao efeito de shearlagem vigas contnuas, tendo em conta a fendilhao do beto. O quinto exemplo ilustra apreciso do elemento quando se considera o comportamento no-linear do ao e beto, semefeito de shear lag. O sexto e stimo exemplos consideram todos os efeitos em simultneo

(no-linearidade fsica e shear lag).Finalmente, o quarto e ltimo captulo apresenta as principais concluses do trabalho eos desenvolvimentos futuros.

1.4 Publicaes

O trabalho realizado deu origem ao artigo intitulado Non-linear analysis of steel-concretecomposite beams, que ser apresentado e publicado nas Atas da 11th. World Congress onComputational Mechanics, a ter lugar em Barcelona, de 20 a 25 de Julho de 2014.

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Captulo 2

Fundamentos da Teoria Generalizadade Vigas

2.1 Introduo

Tal como foi referido no Captulo anterior, neste trabalho prope-se um elemento finito paravigas mistas ao-beto baseado na GBT. Assim, apresenta-se neste Captulo uma breve revisodos aspetos fundamentais desta teoria e do elemento finito proposto por Gonalves e Camotim(2011, 2012), o qual constitui a base do elemento desenvolvido no presente trabalho.

A GBT uma teoria para barras prismticas com seco de parede fina que permite con-siderar a deformao da seco. Foi inicialmente proposta e desenvolvida por R. Schardt ecolaboradores, durante a segunda metade do sculo XX uma lista das publicaes deste

grupo de investigao est disponvel em http://vtb.info/, sendo de referir que o livro deSchardt (1989) constitui a principal referncia bibliogrfica na rea. Mais recentemente, aGBT tem vindo a ser desenvolvida por outros autores, nomeadamente pelo grupo de investi-gao liderado por D. Camotim (ver, por exemplo, Camotim et al., 2004, 2006, 2010).

Na GBT, o campo de deslocamentos de uma barra definido atravs de uma combinaolinear de modos de deformao da seco transversal, os quais correspondem aos modosclssicos da teoria das peas lineares (extenso axial, duas flexes em torno dos eixos principaisde flexo e toro em torno do centro de corte) e ainda a modos que contabilizam a deformaono plano da seco e/ou o seu empenamento. A ttulo de exemplo, apresentam-se na figura 2.1os modos de deformao de duas pontes mistas ao-beto. No primeiro caso (a), os primeirosquatro modos correspondem aos modos clssicos da teoria das peas lineares e os restantes

envolvem empenamento, flexo transversal e deformao por corte das vrias paredes. Osegundo caso (b) corresponde simplificao de simetria de uma seco do tipo bi-viga,pelo que apenas os dois primeiros modos coincidem com os modos clssicos (extenso e flexosegundo o eixo horizontal), o modo 3 distorcional e o modo 4 reflete a deformao da almado perfil por esforo transverso (tal como o modo 8 da seco com dois caixes).

A natureza modal da GBT oferece algumas vantagens significativas face aos mtodos maistradicionais de anlise de barras de parede fina (o mtodo das faixas finitas e o mtodo doselementos finitos de casca), nomeadamente: (i) a anlise da participao modal na soluodo problema em causa permite aferir a importncia relativa dos vrios modos e, consequen-temente, extrair com grande facilidade concluses relativas ao comportamento estrutural e(ii) em muitos casos possvel efetuar anlises com um nmero extremamente reduzido degraus de liberdade (modos de deformao) sem que isso afete a preciso da soluo, o que

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Captulo 2. Fundamentos da Teoria Generalizada de Vigas

conseguido atravs da introduo de hipteses simplificativas relativas aos campos de tensese/ou deformaes (tal como ser visto no Captulo 3).

A ttulo de exemplo, a figura 2.2 mostra a configurao deformada de uma barra comseco em hat, simplesmente apoiada de vo L, e a respetiva decomposio modal da GBT.No grfico na parte inferior da figura representam-se os valores das funes de amplitude, ,de cada modo ao longo do eixo da barra: a letra Fest associada ao modo de flexo, a letraDao modo de distoro, a letra Tao modo de toro e as letras LPao modo local de placa.Conforme se pode observar, a soluo fornecida pela GBT permite facilmente identificar aimportncia relativa dos vrios modos de deformao.

2.2 Notao

Para permitir uma melhor leitura do texto que se segue, estabelece-se desde j a notaoutilizada para representar as diversas grandezas e as operaes entre elas. Esta notao seguea utilizada noutros trabalhos (Gonalves et al., 2010; Gonalves e Camotim 2011, 2012).

Vetores e matrizes so representados por letras em negrito itlico. Tal representaoengloba grandezas tensoriais (de 1a e 2a ordem), cujas componentes so agrupadas sob aforma de vetores ou matrizes, para permitir uma fcil implementao numrica das expressesrelevantes (as quais envolvem assim operaes matriciais). Designa-se por ||a|| a norma dovetor ae por At a transposta da matriz A.

As grandezas escalares indicam-se por letras em itlicoe esta notao aplica-se tambm scomponentes de matrizes e vetores. Contudo, frequentemente, estas componentes so tambm

matrizes e/ou vetores, sendo nesse caso representadas como tal.As derivadas parciais so representadas atravs de uma vrgula em ndice inferior, seguida

da varivel em relao qual se est a derivar (e.g., se a = a(x,y ,z), entoa,x= a/x).

Como ser visto na seco 2.3 algumas grandezas podem ser divididas numa parcela demembrana e numa parcela de flexo. Os termos de membrana so assinalados em ndicesuperior pela letraMe os termos de flexo pela letraF. Uma variao virtual representadapor e uma variao incremental/iterativa (no contexto do mtodo de Newton-Raphson) por. Caso no seja necessrio especificar a natureza da variao, utiliza-se um d.

2.3 Equaes fundamentais

De acordo com a notao habitual da GBT, o campo de deslocamentos de cada parede dadopelo vetor

U(x,y ,z) =

UxUyUz

, (2.1)ondeUx, Uy, Uz designam as componentes do deslocamento segundo cada um dos eixos locaisda parede (x,y ,z), os quais so indicados na figura 2.3.

Na hiptese dos pequenos deslocamentos, as componentes do tensor de deformao so

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2.3. Equaes fundamentais

Figura 2.1: Modos de deformao de seces de pontes mistas ao-beto: (a) seco comdois caixes, (b) seco bi-viga com simplificao de simetria apenas metade da secotransversal representada. Extrado de Gonalves e Camotim (2010).

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Figura 2.2: Configurao deformada de uma barra com seco em hat e respetiva decom-

posio modal (extrado de Gonalves, 2014)

Figura 2.3: Seco arbitrria de parede fina com eixos locais de cada parede (adaptado deGonalves e Camotim, 2011)

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Figura 2.4: Ilustrao da hiptese de Kirchhoff (neste caso w,x< 0)

dadas por

xx= Ux,x, (2.2)

yy =Uy,y , (2.3)

zz =Uz,z , (2.4)

xy =yx = Ux,y+ Uy,x, (2.5)xz =zx = Ux,z+ Uz,x, (2.6)

yz =zy =Uz,y + Uy,z , (2.7)

as quais se podem agrupar sob uma forma matricial, ou seja,

(x,y ,z) =

xx xy2 xz2yx2

yyyz2

zx2

zy2

zz

. (2.8)Tendo em conta que as paredes so finas, possvel utilizar a hiptese de Kirchhoff, que

corresponde a admitir que as fibras normais ao plano mdio da laje permanecem indeformveise perpendiculares ao plano mdio da laje aps deformao, tem-se

zz =xz = yz = 0, (2.9)

e a eliminao destas componentes permite escrever o tensor de deformao na seguinte formavetorial

(x,y ,z) =

xxxxxy

. (2.10)Em virtude de se ter adotado a hiptese de Kirchhoff, possvel escrever o deslocamento

de um ponto genrico P da parede em funo apenas do deslocamento do plano mdio da

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Figura 2.5: Parcela de membranaue de flexo zw,x de Ux(adaptado de Schardt,1989)

respetiva parede. Esta afirmao demonstrada na figura 2.4, relativa ao plano xz: desig-nando por u, w as componentes do deslocamento do plano mdio da parede segundo x, z,respetivamente, o deslocamento do ponto P, situado cotaz , pode ser escrito como

UPx =u z w,x, (2.11)

UPz =w. (2.12)

Efetuando o mesmo raciocnio para o plano perpendicular obtm-se

UPy =v z w,y, (2.13)

onde v a componente do deslocamento do plano mdio da parede segundo y. Assim, ocampo de deslocamentos (2.1) definido como

U(x,y ,z) =

u z w,xv z w,yw

. (2.14)Note-se que as componentes Ux e Uy podem ser divididas numa parcela de membrana (de-pendente de u e v) e numa parcela de flexo (dependente de zwx e zwy) a figura 2.5ilustra esta subdiviso para o caso particular de Ux.

Tal como j foi brevemente referido na seco 2.1, na descrio cinemtica da GBT o campode deslocamentos definido atravs de uma combinao linear de modos de deformao da

seco transversal, cujas amplitudes ao longo do eixo da barra so dados pelas respetivasfunes de amplitude. Tendo em conta que apenas os deslocamentosu, v,w necessitam serdefinidos, tem-se

u(x, y) =N

k=1

uk(y)k(x) =ut, (2.15)

v(x, y) =N

k=1

vk(y)k(x) =vt, (2.16)

w(x, y) =N

k=1 wk(y)k(x) = wt, (2.17)8


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onde uk, vk, wk so funes em y e representam as componentes do modo de deformao k(u,v, wso as suas formas vetoriais) e k, k, k so as respetivas funes de amplitude (emx, sendo as formas vetoriais dadas por ,,). Naturalmente, todos os vetores tm dimenso

igual ao nmero de modos de deformao (N).O problema da determinao dos modos de deformao (i.e., das funes uk, vk, wk) para

seces de geometria poligonal arbitrria tem sido objeto de anlise em variados trabalhos(ver, por exemplo, Schardt, 1989; Dinis et al., 2006; Gonalves et al., 2010). Como o presentetrabalho aborda um problema muito especfico, que apenas requer a determinao de algunsmodos de deformao, este assunto apenas brevemente abordado no Captulo 3, com aplica-o direta aos casos a estudar. Contudo, deve referir-se que os modos de deformao podemser obtidos, rapidamente e eficazmente, utilizando o programa freewareGBTUL, o qual estdisponvel em http://www.civil.ist.utl.pt/gbt/.

Na maioria das anlises da GBT admitida como vlida a hiptese de Vlasov, segundo aqual as distores de membrana no plano mdio so nulas, ou seja, Mxy = 0. Desenvolvendo

o termo Mxy tendo em conta as expresses anteriores, tem-se

Mxy =uk,y+ vk,x

=

n

k=1

uk(y)k(x)

,y

+

n

k=1

vk(y)k(x)

,x

=n

k=1

uk,y(y)k(x) +n

k=1

vk(y)k,x(x). (2.18)

Para que esta expresso se anule, necessrio que se verifiquem simultaneamente as seguintescondies uk,y(y) = vk(y),

k(x) =k,x(x).(2.19)

Assim, para que Mxy = 0, necessrio que as componentes u e v de cada modo estejamrelacionadas e que as respetivas funes de amplitude tambm estejam relacionadas.

A existncia de deslocamentos v numa seco transversal promove deslocamentos w, deforma a respeitar as condies de compatibilidade por exemplo, se duas paredes formamum ngulo de 90o entre si, na aresta comum os deslocamentos v de uma parede tm de seriguais aos deslocamentos w da outra e vice-versa. Conclui-se ento que, para no violar acompatibilidade, as funes de amplitude de v e w tm necessariamente de respeitar

k(x) =k(x). (2.20)

Assim, em vez das equaes (2.15)(2.17), pode escrever-se antes

u(x, y) =ut,x, (2.21)

v(x, y) =vt, (2.22)

w(x, y) = wt. (2.23)

Para facilitar a escrita das equaes subsequentes e a sua implementao numrica, tendoem conta (2.21)(2.23), escreve-se agora (2.14) como

U(x,y ,z) = U(y)

(x),x(x)

, (2.24)

U(y) = MU(y) + zFU(y), (2.25)

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onde as matrizes auxiliares MU e FUdizem respeito s componentes de membrana (M) e

flexo (F), sendo definidas como

MU(y) =

0 ut(y)vt(y) 0wt(y) 0

, FU(y) = 0 wt(y)wt,y(y) 00 0

. (2.26)Para as deformaes tem-se ainda

(x,y ,z) = M + F = (y)

(x),x(x),xx(x)

, (2.27)(y) =

M (y) + z

F(y), (2.28)

onde as matrizes auxiliares para os termos de membrana e flexo so dadas por

M (y) =

0 0 ut(y)vt,y(y) 0 00 (u,y(y) +v(y))

t0

, (2.29)

F(y) =

0 0 wt(y)2wt,yy (y) 0 00 wt,y(y) 0

. (2.30)Admitindo que as paredes esto submetidas a um estado plano de tenso, comzz =xz =

yz = 0, as componentes no-nulas do tensor das tenses podem ser agrupadas no vetor

(x,y ,z) =xxyy

xy

. (2.31)A forma incremental geral das relaes constitutivas escrita como

d= Ctd, (2.32)

ondeCt o operador constitutivo tangente para estados planos de tenso, cujas componentesdependem da lei material utilizada (ver Captulo 3), e as variaes de e possuem ascomponentes definidas por (2.31) e (2.10).

Admitindo que existem apenas cargas f

t

= [fx

fy

fz] aplicadas na superfcie mdia dasparedes, utilizando o Princpio dos Trabalhos Virtuais, as equaes de equilbrio so dadas

por

Wint+ Wext =

V

t dV +

Ut f d = 0, (2.33)

onde V e designam o volume e a superfcie mdia da barra, respetivamente. Tendo emconta as equaes (2.27) e (2.24), obtm-se

Wint+ Wext= 0

V (y)(x)

,x(x)

,xx(x)t

dV + MU(y)

(x)

,x(x)t

f d = 0. (2.34)

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2.4. Formulao de um elemento finito

Figura 2.6: Funes de interpolao de Hermite

A resoluo das equaes (2.34) pelo mtodo de Newton-Raphson requer a sua linearizao

na direo de uma variao incremental/iterativa. Tendo em conta (2.32) e notando que= 0, obtm-se imediatamente

Wint+ Wext=

V

(x),x(x),xx(x)

t t(y)Ct(y) (x),x(x)

,xx(x)

dV+

(x),x(x)

t

MU(y)

tf d. (2.35)

Esta expresso ser utilizada na seco 2.4 para a formulao do elemento finito proposto.

2.4 Formulao de um elemento finito

Nesta seco descreve-se o elemento finito obtido por Gonalves e Camotim (2011, 2012).Este elemento obtido atravs da interpolao das funes de amplitude, segundo a forma

(x) = (x)d (2.36)

onde o vetor-coluna j foi introduzido, a matriz contm as funes de interpolao e ovetor d engloba as incgnitas do problema (valores nodais das funes de amplitude e dassuas derivadas).

Tendo em conta que surge uma primeira derivada em ordem a x na componente Ux (verEq. (2.14)), a compatibilidade exige que as funes de interpolao sejam de classe C1 para

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Figura 2.7: Funes de interpolao de Lagrange

os modos com w = 0. Tal requisito permite satisfazer tambm (2.21). Para estes modos soutilizadas funes de interpolao cbicas de Hermite, as quais so definidas como

H1= 2x

l

3 3

xl

2+ 1, (2.37)

H2= l

xl

3 2

xl

2+

x

l

, (2.38)

H3= 2x

l

3+ 3

xl

2, (2.39)

H4= l x

l 3

x

l 2

, (2.40)onde l designa o comprimento do elemento finito. Estas funes esto representadas nosgrficos da figura 2.6. Recorrendo a estas funes, podemos aproximar as funes de amplitudedo modo k atravs de

k(x) =H1k(0) + H2k,x(0) + H3k(l) + H4k,x(l). (2.41)

Para os modos com deslocamentos axiais apenas (ou modos de empenamento, uk =0, vk = 0 e wk = 0), a funo de amplitude surge derivada em ordem a x (ver (2.21)). Paraestes modos no se exige continuidade das funes mas sim continuidade da primeira derivada.Caso se utilizasse funes de Hermite, a funo de amplitude seria dada por

k,x(x) =H1,xk(0) + H2,xk,x(0) + H3,xk(l) + H4,xk,x(l). (2.42)

Neste caso note-se que H1,x= 6 x2

l36x

l2 = H3,x= 6

x2

l36x

l2, pelo que as funes utilizadas so

linearmente dependentes. Para contornar esta situao (para os modos com deslocamentosaxiais apenas), so usadas funes lineares e quadrticas que equivalem aos polinmios deLagrange (ver figura 2.7). Estas funes so dadas por

F1= 1 x

l, (2.43)

F2=x

l, (2.44)

F3= 4xl xl 2 . (2.45)12


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2.4. Formulao de um elemento finito

Assim, a aproximao de k,x(x)por estas funes dada por

k,x(x) =F1k,x(0) + F3k,x(l/2) + F2k,x(l). (2.46)

Juntando as funes de interpolao utilizadas, tem-se um elemento finito de trs ns,onde o primeiro n (x = 0) est relacionado com F1, H1 e H2, o segundo n (x = l2) dizrespeito apenas funo F3 e o terceiro n (x= l) est associado a F2, H3 e H4.

Considerando um total de Nmodos onde os primeiros Nw so modos de empenamento(ou warpingna designao em lngua inglesa), a matriz possui dimenso N (4N Nw)e organiza-se da seguinte forma

=

P( F1) 0 0 P(F3) P(F2) 0 0

0 H1 H2 0 0 H3 H4

, (2.47)

onde

Adesigna uma matriz diagonal que contm na sua diagonal a funo A e com dimenso

igual ao nmero de modos de deformao associados.A expresso P(A) representa a primitiva da funo A em relao a x e a necessidade

da sua introduo deve-se ao facto de (2.21) envolver primeiras derivadas (em funo de x).Assim, o vetor dpossui 4N Nw entradas e dado por

d=

1,x(0)...

N,x(0)

N+1,x(0)...

4NNw,x(0)

N+1,x(0)...

4NNw,x(0)

1,x(l/2)...

N,x(l/2)

1,x(l)...N,x(l)

N+1,x(l)...

4NNw,x(l)

N+1,x(l)...

4NNw,x(l)

. (2.48)

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Para obter as expresses finais para a implementao do elemento finito, tendo em conta(2.36), basta substituir, em (2.34) e (2.35),

=

d

, (2.49) = d, (2.50)

,x= ,xd, (2.51)

,x= ,xd, (2.52)

,xx= ,xxd, (2.53)

,xx= ,xxd. (2.54)

Assim, o trabalho virtual (2.34) dado por

d

V

,x

,xx

t

t dV + d

t

,xt

MU

tfd = 0. (2.55)

Nesta expresso, possvel identificar o vetor das foras internas Q,

Q=

V

,x,xx

t t dV, (2.56)e o vetor das foras externas F,

F =

,x

t

MU

t f d. (2.57)O vetor das foras desequilibradas g obtm-se atravs da subtrao Q F, sendo dado

por

g=

V

,x,xx

t t dV

,x

t

MU

t f d (2.58)A linearizao do trabalho virtual (2.35) conduz agora a

dt

V

,x,xx

t tCt ,x

,xx

dVd+ dt

,x

t

MU

tf d, (2.59)

sendo possvel identificar a matriz de rigidez tangente Kt e o vetor das foras exterioresincrementais, ou seja,

Kt=

V

,x,xx

t tCt ,x,xx

dV, (2.60)F =

,x

t

MU

tf d. (2.61)

Em Gonalves e Camotim (2011,2012) utilizou-se o elemento finito descrito para analisarbarras de parede fina com material elastoplstico. Nesses trabalhos mostrou-se que se obtmresultados muito precisos com poucos modos de deformao e que, em geral, suficienteefetuar integraes numricas com 3 pontos de integrao em x e y, em cada parede. Naintegrao em z necessrio considerar mais do que 2 pontos sempre que a deformao de

flexo (i.e., deformao varivel na espessura) afete significativamente a resposta estrutural.

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Captulo 3

Aplicao anlise fisicamenteno-linear de vigas mistas

3.1 Introduo

Como foi referido no Captulo 1, a GBT foi j aplicada para estudar o comportamento devigas mistas ao-beto, considerando que os materiais exibem um comportamento elsticolinear (Gonalves e Camotim, 2010; Amaral, 2011). Em particular, nestes trabalhos, a GBTfoi utilizada para efetuar anlises (i) lineares (estticas), (ii) de vibrao (frequncias naturaise modos de vibrao) e (iii) de estabilidade (determinao de momentos crticos relativos encurvadura lateral do banzo inferior, em zonas de momento negativo), considerando os efeitosdoshear lag, da distoro da seco e da flexibilidade da conexo de corte entre os banzos de

beto e o perfil de ao. No presente Captulo, a formulao da GBT apresentada no Captulo2 particularizada para vigas mistas ao-beto com comportamento fisicamente no-linear,tendo em conta os efeitos de shear lag. Na seco 3.2 discutem-se as hipteses simplificativasassumidas e os modos de deformao utilizados. As leis constitutivas para o ao e betoaplicadas nos exemplos estudados so apresentadas na seco 3.3. Os detalhes relacionadoscom a implementao da formulao em MATLABso abordados na seco 3.4. Finalmente,na seco 3.5, so apresentados vrios exemplos de aplicao. Para efeitos de validao, soutilizados resultados de ensaios experimentais (Ansourian, 1982) e resultados obtidos commodelos de elementos finitos convencionais, utilizando os programas ADINA(Bathe, 2014) eATENA(Cervenka, 2013). Em particular, so analisados os seguintes exemplos de aplicao:

1. Na seco 3.5.1 estuda-se o efeito de shear lagem vigas simplesmente apoiadas sujeitasa momento positivo (beto compresso), assumindo que todos os materiais exibemum comportamento elstico.

2. Na seco 3.5.2 investiga-se a influncia do nmero de elementos finitos na determinaodo comprimento da zona fendilhada de uma viga encastrada-apoiada, assumindo quetodos os materiais tm comportamento elstico e que no ocorrem efeitos de shear lag(banzos curtos).

3. Na seco 3.5.3 considera-se mais uma vez o efeito de shear lagem vigas simplesmenteapoiadas, mas agora sujeitas a cargas ascendentes, o que causa a fendilhao generali-zada do beto.

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Captulo 3. Aplicao anlise fisicamente no-linear de vigas mistas

4. Na seco 3.5.4 analisa-se uma viga encastrada-apoiada sujeita a uma carga uniforme-mente distribuda. Para alm dos efeitos de shear lag, considera-se a fendilhao dobeto (embora admitindo materiais elsticos) e a variao da rigidez de corte no beto

por efeito da fendilhao.

5. Na seco 3.5.5 efetuam-se comparaes com resultados experimentais de Ansourian(1982) e numricos (Pi et al. 2006). introduzido o comportamento no-linear dobeto compresso (para alm da fendilhao) e do ao (plasticidade). Neste caso noocorrem fenmenos de shear lag.

6. Finalmente, nas seces 3.5.6 e 3.5.7, consideram-se os efeitos fisicamente no-linearese de shear lag.

3.2 Hipteses simplificativas adicionais e modos de

deformao

De forma a evitar a utilizao de modelos constitutivos muito complexos, consideram-se hi-pteses simplificativas adicionais s introduzidas no Captulo 2, nomeadamente ao nvel dastenses e deformaes. Em particular: (1) as paredes so consideradas indeformveis segundoy (Myy =

Byy = 0), (2) a rotao das paredes no plano da seco desprezada (

Bxy = 0) e

(3) a deformao por corte de membrana (Mxy = 0) apenas permitida na alma do perfilmetlico e na laje de beto (porshear lag). Estas simplificaes, que equivalem introduode constrangimentos cinemticos, resultam na limitao do nmero de modos de deformaoadmissveis e, consequentemente, na diminuio do nmero de graus de liberdade necessrios

para descrever a configurao da viga, sem que tal afete significativamente a preciso dosresultados.Como foi visto no Captulo 2, a GBT assume que as paredes constituintes da seco

esto sujeitas a um estado plano de tenso. No presente caso, em virtude das hiptesessimplificativas adicionais adotadas relativamente ao campo de deformao, impe-se yy = 0.Estas hipteses permitem escrever

(x,y,z) =

xx0xy

. (3.1)A considerao de yy =yy = 0 naturalmente inconsistente para = 0, mas tal no afeta

significativamente os resultados obtidos (ver seco 3.5). No caso da armadura na laje debeto, tem-se ainda xy = 0, em virtude do seu funcionamento uniaxial.

Admite-se que a seco transversal da viga mista composta por um perfil de ao comseco em I e uma laje de beto armado, tal como representado na figura 3.1. Admite-seainda que a seco constante ao longo de cada elemento finito. Para efeitos de modelao, aseco reduzida linha mdia das paredes e discretizada de acordo com a figura 3.2 (note-seos eixos locais de cada parede): as paredes 1 e 2 correspondem laje de beto (com separaoentre elas no eixo da alma do perfil), as paredes 3, 4 e 5 correspondem ao perfil de ao e asparedes 6 e 7 armadura de ao (com separao entre elas no eixo da alma do perfil). importante salientar que se admite que no existe escorregamento entre a armadura e o beto.

Os modos de deformao utilizados nas anlises refletem os efeitos que se pretendemmodelar, nomeadamente: a flexo (reta), a deformao por esforo transverso na alma do

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3.2. Hipteses simplificativas adicionais e modos de deformao

Figura 3.1: Seco-tipo de uma viga mista ao-beto (adaptado de Amaral, 2011)

Figura 3.2: Discretizao da seco-tipo (adaptado de Amaral, 2011)

perfil e a deformao por shear lagno banzo de beto. Assim, em geral, consideraram-seos seguintes modos: extenso axial, flexo (Euler-Bernoulli), modos de shear lage modo de

empenamento associado flexo. A utilizao de modos de outras naturezas (e.g., envolvendoa flexo transversal, a extenso das paredes no plano da seco transversal, etc.) melhorarianaturalmente a preciso da soluo, mas por outro lado tornaria necessrio considerar maiscomponentes de tenso e deformao (logo leis constitutivas mais complexas) e mais grausde liberdade. De seguida descrevem-se e calculam-se os modos de deformao utilizados. Asua representao obtida atravs de um programa desenvolvido emMATLAB, considerandouma funo de amplitude linear, ou seja, = x.

Em primeiro lugar, considere-se o modo de extenso axial, o qual representado na figura3.3. Este modo refere-se a um deslocamento unitrio da seco segundox, tratando-se por-tanto de um deslocamento de corpo rgido. Note-se que este modo fundamental no contextoda modelao de vigas mistas, dado que permite a correo da posio da linha neutra devidoaos efeitos de shear lage fendilhao do beto.

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Figura 3.3: Modo de deformao de extenso axial

Figura 3.4: Modo de flexo pura

O modo de flexo dado pela Teoria de Euler-Bernoulli, considerando que o beto no estfendilhado (ver figura 3.4). Este modo permite caracterizar o efeito global da flexo na viga(o principal efeito registado nos exemplos de aplicao). Para a determinao das respetivasfunes de u, ve wem todas as paredes, necessrio obter a posio da linha neutra elstica,a qual dada por

YLN=

i

EiAi yij

EjAj, (3.2)

ondeEi,Aie yiso, respetivamente, o mdulo de elasticidade a rea e a posio do centridedo material i relativamente a um eixo de referncia. Adotando para referncia a linha mdiada laje de beto, tem-se para as paredes 1 e 2

u(y) =YLN, v(y) = 0, w(y) = 1. (3.3)

Para a parede 3 (banzo superior do perfil) tem-se

u(y) =YLNhc

2 , v(y) = 0, w(y) = 1 (3.4)

A alma do perfil (parede 4) exibe empenamento linear, ou seja,

u(y) =YLNhc

2 y, v(y) = 1, w(y) = 0 (3.5)

e note-se que, de acordo com a primeira equao de (2.19), tem-se Mxy = 0nesta parede, o queest de acordo com a Teoria de Euler-Bernoulli. Finalmente, para o banzo inferior (parede5), obtm-se

u(y) = hc2 hw+ YLN, v(y) = 0, w(y) = 1. (3.6)

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3.2. Hipteses simplificativas adicionais e modos de deformao

Figura 3.5: Modos de shear lag linear

Figura 3.6: Modos de shear lagquadrtico

Os modos de shear lagcorrespondem a um empenamento no-uniforme na laje de betoapenas, pelo que v= w= 0em todas as paredes e u= 0nas paredes 3 a 5. Em geral, foramconsiderados modos com andamento linear e quadrtico. Para um andamento linear, foramconsiderados deslocamentos unitrios na extremidade, conforme representado na figura 3.5.A expresso que define o modo na parede 1

u(y) = 1 y

b1

, (3.7)

em que b1 a largura da parede 1. Analogamente, para a parede 2, de largura b2 tem-se

u(y) = 1 y

b2. (3.8)

Os modos quadrticos so dados por

u(y) =y(b1 y), (3.9)

u(y) =y(b2 y), (3.10)

para as paredes 1 e 2, respetivamente. Estes modos esto representados na figura 3.6, sendopossvel observar que o empenamento nulo nas extremidades das paredes.

Deve salientar-se que no existe qualquer dificuldade em considerar mais modos de shearlag, nomeadamente modos de grau superior. Contudo, conforme se ver mais frente, osresultados obtidos com os modos lineares e quadrticos revelaram-se suficientemente satisfa-trios.

Para problemas que exibem simetria em relao ao plano da alma do perfil, no existequalquer vantagem em considerar modos individuais para cada parede, sendo nesse caso con-siderados os modos combinados representados na figura 3.7.

Finalmente, o modo de empenamento associado flexo (ver figura 3.8) foi utilizado parapermitir contabilizar a deformao por corte da alma do perfil. Este modo exibe apenasdeslocamentos longitudinais, os quais coincidem com os do modo de flexo. Note-se que noexiste formalmente diferena em considerar para este modo os deslocamentos longitudinais ou

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Figura 3.7: Modos de shear lagpara problemas com simetria

Figura 3.8: Modo de Empenamento de flexo

os deslocamentos no plano da seco do modo de flexo, dado que ambas as vias conduzem mesma deformao por corte (constante na alma). Alis, note-se que o deslocamento verticalda seco (de corpo rgido) pode ser reproduzido combinando os modos de flexo e doempenamento de flexo de modo a eliminar os deslocamentos axiais.

Para as paredes 1 e 2 obtm-se as seguintes expresses

u(y) =YLN, v(y) = 0, w(y) = 0. (3.11)Para a parede 3 tem-se

u(y) =YLNhc

2, v(y) = 0, w(y) = 0. (3.12)

Para a parede 4,

u(y) =YLNhc

2 y, v(y) = 0, w(y) = 0 (3.13)

e, finalmente, para a parede 5,

u(y) = hc2 hw+ YLN, v(y) = 0, w(y) = 0. (3.14)

Agrupando os modos em vetores, para implementao computacional, tem-se para a com-ponente u(admite-se que as paredes 6 e 7 coincidem com as paredes 1 e 2),

parede 1: ut =

1 1 yb1 0 y(b1 y) 0 YLN YLN

,

parede 2: ut =

1 0 1 yb2 0 y(b2 y) YLN YLN

,

parede 3: ut =

1 0 0 0 0 YLN hc2

YLN hc2

,

parede 4: ut =

1 0 0 0 0 YLN hc2 y YLN

hc2 y

, (3.15)

parede 5: ut =

1 0 0 0 0 YLN hc2 hw YLN

hc2 hw

,

parede 6: ut =

1 1 yb1 0 y(b1 y) 0 YLN YLN

,

parede 7: ut = 1 0 1 yb2 0 y(b2 y) YLN YLN ,20


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3.3. Modelos Constitutivos

onde as componentes dizem respeito aos seguintes modos: (1) axial, (2-3) shear lag linear,(4-5) shear lag quadrtico, (6) empenamento de flexo e (7) flexo. Note-se que, por umaquesto de convenincia de implementao computacional, em primeiro lugar so colocados

os modos que apenas envolvem deslocamentos axiais, para os quais se utilizam funes deinterpolao de Lagrange (recordar a organizao da matriz , da seco 2.4).

Para a componente v tem-se

parede 1: vt =

0 0 0 0 0 0 0

,

parede 2: vt =

0 0 0 0 0 0 0

,

parede 3: vt =

0 0 0 0 0 0 0

,

parede 4: vt =

0 0 0 0 0 0 1

, (3.16)

parede 5: vt =

0 0 0 0 0 0 0

,

parede 6: vt

= 0 0 0 0 0 0 0 ,parede 7: vt =

0 0 0 0 0 0 0

e, para a componente w,

parede 1: wt =

0 0 0 0 0 0 1

,

parede 2: wt =

0 0 0 0 0 0 1

,

parede 3: wt =

0 0 0 0 0 0 1

,

parede 4: wt =

0 0 0 0 0 0 0

, (3.17)

parede 5: wt = 0 0 0 0 0 0 1 ,parede 6: wt = 0 0 0 0 0 0 1 ,parede 7: wt =

0 0 0 0 0 0 1

.

3.3 Modelos Constitutivos

3.3.1 Modelo constitutivo para o ao

Para o ao adotou-se uma lei constitutiva simples, do tipo elstico-perfeitamente plstico (verfigura 3.9), semelhana de trabalhos anteriores (Gonalves e Camotim, 2011, 2012 e Freitas,2011). Em particular, o comportamento em regime elstico corresponde ao do material de St.

Venant-Kirchhoff e o comportamento plstico utiliza o critrio de cedncia de Mises-Henckycom lei de escoamento associada.Tendo em conta as hipteses simplificativas introduzidas, considera-se (i) um estado de

tenso uniaxial nas armaduras e nos banzos do perfil e (ii) um estado de tenso com xx, xy =0 na alma do perfil. O primeiro caso (uniaxial) bastante simples e a sua implementaono oferece dificuldades. O mesmo no se pode afirmar relativamente ao segundo caso, masapenas houve que adaptar linguagem do MATLAB as rotinas existentes. Muito emboraa explicao detalhada do modelo constitutivo adotado na alma esteja fora do mbito dopresente trabalho, de referir que o operador constitutivo para o caso elstico dado por

C = E 0 00 0 00 0 G , (3.18)21


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Figura 3.9: Lei uniaxial elstica-perfeitamente plstica

ondeEe Gso os mdulos de elasticidade e distoro, respetivamente, e o critrio de cednciaescreve-se como

2xx+ 32xy fy = 0 (3.19)

ondefy a tenso de cedncia uniaxial. Em 3.4 so fornecidos mais alguns detalhes relativos implementao deste modelo constitutivo. Em particular, so referidos os aspetos relacio-nados com a determinao das tenses aps cada iterao e com a determinao do operador

constitutivo tangente (Ct).Finalmente, salienta-se que esta lei constitutiva para o ao est obviamente implementadanos programasADINAeATENA, pelo que ser utilizada nos respetivos modelos de elementosfinitos.

3.3.2 Modelos constitutivos para o beto

3.3.2.1 Modelo implementado

No caso do beto, tal como na alma do perfil, considera-se um estado de tenso comxx, xy =0. Para evitar a utilizao de uma lei constitutiva multiaxial, recorreu-se introduo dehipteses simplificativas adicionais. Em particular, em virtude da natureza dos problemas

estudados, de esperar que a tenso normal longitudinal xx seja preponderante. Assim,adota-se uma lei constitutiva que essencialmente uniaxial, sendo a influncia das tenses decorte xy considerada apenas de forma simplificada. Em particular, deve salientar-se que seadmite sempre que as fendas se desenvolvem apenas segundo planos paralelos a yz.

A relao entrexxe xx no-linear, admitindo-se que o beto no resiste trao e quea resposta compresso descrita por (Saenz, 1964)

xx= Ec xx

1 + ( Ecc/c 2) xx

c+

xxc

2 , (3.20)ondeEc o mdulo de elasticidade do beto (tangente na origem), c a tenso de compressomxima em provetes cilndricos, c a deformao associada mxima tenso de compresso

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Figura 3.10: (a) Evoluo das tenses no beto quando ocorre a sequncia de deformao (b)

e todos os valores na expresso devem ser introduzidos em mdulo. Deve salientar-se que

esta expresso utilizada neste trabalho apenas porque corresponde utilizada por outrosautores num dos exemplos apresentados na seco 3.5. Como lgico, com o elemento finitoproposto, no existe qualquer dificuldade em implementar qualquer outra lei uniaxial.

A lei uniaxial (3.20) no estabelece completamente o comportamento do material, nome-adamente quando ocorrem cargas/descargas e fendilhao. O grfico de cima da figura 3.10ilustra a evoluo das tenses quando ocorre o historial de deformao indicado na parte debaixo da figura:

Instantes 1 a 2: xx> 0, causando fendilhao (xx= 0);

Instantes 2 a 3: xx< 0, fechando as fendas e introduzindo compresso (xx< 0);

Instantes 3 a 4: xx > 0, provocando uma descarga elstica (declive Ec) at atingirxx= 0;

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Instantes 4 a 4: xx> 0, causando nova fendilhao;

Instantes 4 a 5: xx< 0, fechando as fendas e introduzindo novamente compresso at

atingir a tenso mxima c (note-se que a evoluo das tenses linear no troo 4-3); Instantes 5 a 6: xx< 0, a tenso no beto decresce.

O mdulo tangente obtido derivando a expresso (3.20), o que fornece

Et=dxxdxx

= (2xx)

2c ) Ec

2c

2c

(2xx c+ xx c(Ec c 2c) + 2 c)2

. (3.21)

Esta expresso utilizada na matriz constitutiva tangente, Ct.Relativamente s tenses tangenciais, caso o beto no se encontre fendilhado, admite-se

uma relao elstica dada porxy =Gc xy, (3.22)

onde Gc = Ec/2(1 +c) o mdulo de distoro elstico do beto e c o coeficiente dePoisson. Caso o beto se encontre fendilhado, as tenses so corrigidas para

xy =Gc xy, (3.23)

onde um fator de reduo da rigidez (0 1) semelhante ao shear retention factornormalmente utilizado nos modelos clssicos de fenda fixa distribuda (ver por exemplo, Rotse Blaauwendraad, 1989). Os estados de tenso antes e aps a formao de uma fenda estoilustrados na figura 3.11.

Assim, a matriz constitutiva tangente dada por

Ct= Et 0 00 0 0

0 0 Gc , (3.24)sendo que se considera = 1caso no ocorra fendilhao.

3.3.2.2 Modelos do ADINA e ATENA utilizados

No caso dos programas ADINA e ATENA, foram utilizados modelos constitutivos de fendafixa distribuda. No ADINA, a lei constitutiva uniaxial para o beto (material CONCRETE,ver figura 3.12) semelhante utilizada no elemento finito da GBT (ver figura 3.10). Noentanto, contabiliza adequadamente estados de tenso multiaxiais e permite a definio docomportamento trao. Para o ramo comprimido, a lei uniaxial dada por

c

= Ecc/c c1 + A

c

+ B

c

2+ C

c

3 , (3.25)com

p= u/c, (3.26)

A=EcEu

+ (p3 2p2) EcEs (2p3 3p2 + 1)

(p2 2p + 1)p , (3.27)

B =

2

EcEs

3

2A, (3.28)

C= 2 EcEs+ A, (3.29)24


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Figura 3.11: Estados de tenso antes e aps a formao de uma fenda

Figura 3.12: Lei constitutiva uniaxial para o beto no programaADINA, (Bathe 2014).

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Figura 3.13: Lei constitutiva uniaxial para o beto no programaATENA, (Cervenka, 2013).

onde Es = c/c e Eu = u/u. Para < u, admite-se que a relao linear at atingirtenso nula, com declive dado por (uc)/(uc). As descargas so sempre elsticas, comdeclive Ec. ainda de referir que neste modelo constitutivo possvel especificar um fator dereduo da rigidez de corte para a zona fendilhada. No entanto, caso a resistncia traoseja considerada, a lei assume que a reduo da rigidez linear at xx= 0, valor a partir doqual se atinge a reduo especificada.

Nos modelos realizados com o programa ATENA utilizam-se elementos finitos de cascaem estado plano de tenso, com a lei constitutiva CC3DNonLinCementitious2, sendo esta

a lei recomendada nos manuais do programa (Cervenka, 2013). Trata-se de um modelo defenda distribuda, que pode ser fixa ou rodada (foi escolhido um modelo de fenda fixa porrecomendao dos autores do programa). Para alm disso, possvel considerar a armaduradistribuda, o que extremamente conveniente do ponto de vista computacional. A lei domaterial CC3DNonLinCementitious2 ilustrada na figura 3.13.

3.4 Implementao em MATLAB

O elemento finito proposto foi implementado emMATLAB(Mathworks, 2010). Em particu-lar, foram desenvolvidas as seguintes rotinas:

(i) Programa de controle, o qual procede aplicao de incrementos de carga, com reso-luo iterativa das equaes de equilbrio em cada incremento pelo mtodo de Newton-Raphson;

(ii) Determinao da matriz de rigidez tangente e dos vetores das foras internas, externase desequilibradas;

(iii) Determinao de tenses em regime fisicamente no-linear;

(iv) Visualizador de resultados.

De seguida aborda-se cada uma destas rotinas, as quais so apresentadas no Anexo A. Rela-tivamente s rotinas j existentes (Gonalves e Camotim, 2011, 2012 e Freitas, 2011), estasno sero apresentadas.

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3.4. Implementao em MATLAB

Figura 3.14: Mtodo de Newton-Raphson para sistemas com um grau de liberdade

3.4.1 Programa de controleO programa de controle permite a determinao das trajetrias de equilbrio, executandotodas as demais rotinas. Estabelecem-se os incrementos de carga e, para cada um deles,executa-se o processo iterativo (Newton-Raphson). Em caso de convergncia, as variveisrelevantes (deslocamentos, deformaes, deformaes plsticas, etc.) so atualizadas.

A estratgia incremental-iterativa normalmente ilustrada recorrendo a um grfico dotipo do representado na figura 3.14, relativo a um sistema com um grau de liberdade (ageneralizao para mais graus de liberdade envolve a utilizao de matrizes e vetores). Nestafigura, F o incremento de carga (neste caso F = F dado que F = 0 no incio doincremento), o ndice indica o nmero da iterao, Kt a rigidez tangente,d o deslocamento,Q a fora interna e g = QF a fora desequilibrada a qual utilizada na iterao seguintepara obter uma nova estimativa da configurao de equilbrio.

Para sistemas com vrios graus de liberdade, o incremento de deslocamento na iteraoi + 1 obtido atravs de

di+1 = (Kt)1i+1(gi) (3.30)

A convergncia atingida quando a norma do vetor das foras desequilibradas atinge um valorreduzido em relao s foras aplicadas, i.e.,

||g||


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3.4.2 Determinao de matrizes/vetores

A matriz de rigidez tangente do elemento finito possui: 4N Nw colunas e 4N Nw linhas

(recordar a notao introduzida no Captulo 2) e os vetores das foras internas/ externas/desequilibradas tm igualmente 4N Nw linhas. A montagem da matriz e dos vetores glo-bais est ilustrada na figura 3.15, para trs elementos finitos, onde se indica as funes deaproximao utilizadas em cada grau de liberdade (de acordo com a sequncia estabelecidano Captulo 2). Note-se que o nmero de linhas (e colunas, no caso da matriz de rigidez) igual a2N ne+ 2N Nw.

A determinao da matriz de rigidez e do vetor das foras internas efetuada com recursoa integrao numrica, utilizando a regra de quadratura de Gauss. A numerao escolhidapara os pontos de integrao ilustrada na figura 3.16, para dois elementos finitos e umaseco transversal com duas paredes (neste exemplo, utilizaram-se trs pontos de integraosegundoy e apenas dois pontos segundo x e z).

Para atingir uma melhor eficincia computacional, a integrao deve ter em conta a na-tureza especfica da aproximao do campo de deslocamentos da GBT (i.e., os modos dedeformao so apenas funo de y e as funes de aproximao so apenas funo de x).Assim, antes do incio da processo incremental, as matrizes (2.26) so pr-calculadas paracada posio dos pontos de integrao (segundo y) e a matriz (2.47) e suas derivadas sopr-calculadas para cada ponto de integrao segundo x. Em cada iterao, a integrao efetuada em primeiro lugar segundo z, o que no requer a determinao de novas matrizes(2.26) e (2.47)), e somente depois segundo y e x (o que apenas requer a recuperao dasmatrizes j pr-calculadas.

A introduo das condies de fronteira cinemticas efetuada eliminando os graus deliberdade correspondentes da matriz de rigidez e dos vetores das foras. Nos exemplos apre-

sentados na seco 3.5 foram considerados os seguintes apoios: Apoio simples neste caso necessrio eliminar os graus de liberdade associados s

funes H1 (no caso de um apoio em x = 0) e/ou H3 (no caso de um apoio em x= l)do modo de flexo.

Encastramento torna-se necessrio eliminar todos dos graus de liberdade associadosao n, ou seja, F1, H1, H2 (x= 0) ouF2, H3, H4 (x= l).

Encastramento deslizante (num plano vertical) - o encastramento deslizante requer aeliminao dos graus de liberdade de rotao induzidos pela flexo (H2 parax = 0, H4para x= l) e os deslocamentos axiais dos modos de empenamento (F1 para x = 0, F2

para x = l).

3.4.3 Determinao de tenses em regime fisicamente no-linear

Em geral, em problemas fisicamente no-lineares (como o caso dos problemas abordadosneste trabalho), necessrio guardar e atualizar em cada incremento/iterao um certo n-mero de parmetros que descrevem a histria de tenses e deformaes (em cada ponto deintegrao).

Para o beto, so guardadas os seguintes parmetros:

tenso longitudinal (xx) no incio do incremento;

deformao longitudinal correspondente abertura de fendas.

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Figura 3.15: Montagem da matriz global Kt e dos vetores globais F,Q, g

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Figura 3.16: Numerao dos pontos de integrao para (i) dois elementos finitos (ii) duas

paredes (iii) dois pontos de integrao segundo x(iv) trs pontos de integrao segundo y e(v) dois pontos de integrao segundo z

No final de cada iterao, a tenso longitudinal determinada com base nestes parmetros ena deformao total, recorrendo relao constitutiva apresentada na seco 3.3. No entanto,os parmetros s so atualizados caso haja convergncia da soluo.

No caso da armadura e dos banzos do perfil de ao o processo semelhante, muito emboraa deformao correspondente abertura de fendas no exista, naturalmente. No caso daalma do perfil, a qual est sujeita a um estado de tenso com xx, xy = 0, o procedimento significativamente mais complexo, no tendo sido objeto de estudo neste trabalho. Para o

efeito foram traduzidas para a linguagem do MATLAB rotinas desenvolvidas em trabalhosanteriores (Gonalves e Camotim, 2011; 2012) as tenses so determinadas em cada ite-rao recorrendo ao chamado algoritmo de retorno de Euler retaguarda e Ct, utilizadopara calcular a matriz de rigidez tangente, corresponde ao operador constitutivo tangenteconsistente.

3.4.4 Visualizador de resultados

A representao de resultados compreende duas fases:

Representao da configurao indeformada da estrutura,

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Figura 3.17: Aplicao correta ( esquerda) e incorreta ( direita) da matriz Faces

Representao da configurao deformada da estrutura e de outros resultados (tensesem regime elstico, deslocamentos, etc.).

O visualizador de resultados foi desenvolvido com recurso funo patchdoMATLAB, aqual permite desenhar polgonos tridimensionais com cor, utilizando as propriedades Vertices

e Faces na figura 3.17 ilustra-se a sintaxe correta/incorreta de Faces, tendo como entradauma matriz Vertices.As propriedades secundrias da funo patchpermitem atribuir cores:

(i) EdgeColordefine a cor da linha que delimita o polgono;

(ii) FaceColordefine a cor a usar na face do polgono;

(iii) FaceVertexCDataassocia a cada vrtice do polgono um escalar (varivel a representar);os valores da aresta do polgono so interpolados atravs dos valores de cada vrticeutilizando o comandointerp.

Finalmente, utiliza-se o comandocolorbarpara representar uma barra de cores, indicandoos valores associados. A figura 3.18 mostra um exemplo da utilizao docolorbar. Resta referirque a representao simultnea das configuraes indeformada e deformada conseguidaatravs do comando hold.

Para permitir a representao rpida das funes de amplitude de cada modo, foi desen-volvida uma rotina em MATLABque exporta os resultados para o Excel. No entanto, parapermitir uma melhor compreenso dos efeitos relativos dos vrios modos de shear lag, a ro-tina procede alterao da escala dos modos quadrticos, dado que as funes utilizadas noexibem amplitude unitria (ao contrrio dos modos de shear laglineares recordar seco3.2). Assim, os modos quadrticos so multiplicados pelo inverso da sua amplitude mxima,b2/4.

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Figura 3.18: Exemplo de utilizao do comandocolorbar

3.5 Aplicaes

3.5.1 Exemplo 1 shear lagelstico em vigas simplesmente apoiadas

Com este primeiro exemplo pretende-se demonstrar a eficincia do elemento proposto nadeterminao de tenses normais longitudinais (xx), em regime elstico e devidas ao efeitodeshear lag. So analisadas duas vigas simplesmente apoiadas, com seis e oito metros de vo,solicitadas por duas cargas verticais uniformemente distribudas de 1kN/m, aplicadas no planoda alma dos perfis a figura 3.19(a) mostra a posio das cargas, a geometria da seco eas propriedades (elsticas) dos materiais. Devido dupla simetria do problema (transversal elongitudinal), foi modelado apenas um quarto da viga (metade da seco transversal e metadedo comprimento da viga), utilizando as condies de apoio apropriadas.

Para efeitos de validao, os resultados obtidos com o elemento finito proposto so compa-rados com os obtidos com um modelo de elementos finitos de casca de quatro ns (ADINA),o qual representado na figura 3.19(d) e envolve cerca de 3400 graus de liberdade. Neste mo-delo, a ligao entre a laje de beto e o perfil conseguida atravs da utilizao de elementosrgidos (rigid links) entre os ns da laje de beto e do banzo superior do perfil metlico.

No caso do elemento finito proposto, so utilizados todos os modos de deformao apre-sentados na seco 3.2 os quais se representam na 3.19(c) para a seco em causa (a geometriareferida linha mdia das paredes indicada na figura 3.19(b)): modo axial, modo de flexo,modo de empenamento de flexo e modos de shear lag. Note-se que os banzos de beto daseco simplificada no so simtricos, razo pela qual houve que considerar modos de shearlag independentes para cada um deles. So considerados apenas 8 elementos finitos, o quecorresponde a apenas 112 graus de liberdade.

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3.5. Aplicaes

Figura 3.19: Exemplo 1: (a) geometria da seco transversal, carga e parmetros materiais,(b) seco discretizada, (c) modos de deformao e (d) modelo de elementos finitos de casca(ADINA).

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Tabela 3.1: Deslocamento vertical para o vo de 6 metros

GBT ADINA Diferena relativa

Deslocamento 1, 32 105

1, 31 105

0,47 %

Tabela 3.2: Deslocamento vertical para o vo de 8 metros

GBT ADINA Diferena relativa

Deslocamento 3, 52 105 3, 54 105 0,62 %

As tabelas 3.1 e 3.2 permitem comparar os deslocamentos a meio-vo obtidos com oelemento finito proposto e os modelos de elementos de casca. Conforme se pode constatar,em ambos os casos a diferena extremamente pequena.

A figura 3.20(a) mostra as configuraes deformadas obtidas com o elemento finito pro-

posto e as distribuies dexx(tenso normal longitudinal) na laje de beto. Observa-se queo efeito de shear lag mais pronunciado para o menor vo, o que se deve ao facto de a defor-mabilidade por corte se tornar mais relevante medida que o vo diminui. Note-se que o efeitodos banzos desiguais claramente visvel na figura (distribuio de tenses no simtrica),sendo o efeito de shear lagmais pronunciado no banzo mais largo (mais deformvel).

Os grficos da figura 3.21(a) mostram as distribuies de xx, na laje de beto, na secode meio-vo, obtidas com a GBT e o modelo de elementos de casca. de salientar-se quese obtm uma excelente concordncia entre os dois modelos, apesar de o modelo propostoenvolver um nmero de graus de liberdade muito inferior. Ainda assim, regista-se uma ligeiradiferena para y = 0, particularmente para L = 6 m. Foi investigado se estas diferenasdiminuem com a introduo de mais modos de shear lag(sinusoidais, com 2 ou mais semi-

ondas em cada banzo), tendo-se concludo que os resultados no se alteram significativamente.Estes grficos permitem mais uma vez observar que o efeito de shear lag mais pronunciadopara o menor vo e que a distribuio de tenses no simtrica.

Finalmente, os grficos da figura 3.21(b) mostram as funes de amplitude modais daGBT para 0 x L/2 (apoio meio-vo), e permitem avaliar a importncia relativa dosdiferentes modos. Em particular, estes resultados permitem extrair as seguintes concluses:

(i) O modo de flexo naturalmente preponderante, exibindo um mximo a meio-vo e ummnimo no apoio (amplitude nula).

(ii) O modo de empenamento de flexo traduz o efeito da deformao por esforo transversona alma e corresponde segunda maior participao. Note-se que, naturalmente, tendo

em conta o diagrama de esforo transverso, a influncia deste modo maior para omenor vo, mxima nos apoios e nula a meio-vo.

(iii) Os modos deshear lagexibem um andamento semelhante ao do modo de empenamentode flexo, o que se deve ao facto de traduzirem tambm um efeito de deformao porcorte. De entre os modos de shear lag, os correspondentes a funes lineares (SL1 eSL2) so os que mais influncia tm. Note-se que a participao dos modos SL2 eSL4 relativos ao banzo de beto da direita, superior dos modos SL1 e SL3, o queest em acordo com a observao feita anteriormente relativamente ao efeito dos banzosdesiguais.

(iv) O modo axial tem participao no-nula e semelhante dos modos de shear lag, emvirtude de a posio da linha neutra em flexo se alterar devido ao efeito de shear lag.

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3.5. Aplicaes

Figura 3.20: Exemplo 1: configuraes deformadas e distribuio das tenses normais longi-tudinais na laje de beto.

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Figura 3.21: Exemplo 1: (a) tenses normais longitudinais na laje de beto, a meio-vo, e (b)funes de amplitude modais da GBT para 0 x L/2.

3.5.2 Exemplo 2 fendilhao

Neste exemplo estuda-se a preciso do elemento finito proposto na determinao do compri-mento da zona fendilhada de uma viga encastrada-apoiada, sujeita a uma carga uniformementedistribuda de 1 kN/me no suscetvel aos efeitos de shear lag. Admite-se que os materiaisexibem um comportamento elstico linear, muito embora o beto no possua resistncia trao. A figura 3.22 mostra a geometria do problema e as propriedades dos materiais, bemcomo os modos de deformao utilizados (recorde-se que no se est a considerar o efeito deshear lag).

Para efeitos de comparao, procede-se determinao do comprimento de fendilhaopela resoluo analtica do problema (hiperesttico) pelo Mtodo das Foras. Designe-sepor L1 o comprimento da zona no fendilhada, por (EI)1 a rigidez de flexo da seco nofendilhada e por L2 e (EI)2 os respetivos valores para a zona fendilhada. Naturalmente, atransio entre zonas corresponde alterao do sinal do momento fletor. Sem fendilhao, a

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3.5. Aplicaes

Figura 3.22: Exemplo 2: (a) geometria da seco transversal, carga aplicada e propriedadesdos materiais, (b) modos de deformao utilizados e (c) condies de apoio, notao, vo,carga aplicada e diagrama de momento fletor.

Tabela 3.3: Rigidez de flexo da seco fendilhada e no-fendilhada

EInao fendilhado 1, 9078 106

EIfendilhado 8, 878 105

transio encontra-se a uma distncia igual a 5/8do vo, contada a partir do encastramento.A ocorrncia de fendilhao conduz a uma perda de rigidez na zona de momentos negativose, consequentemente, a que a transio ocorra mais perto do encastramento.

A rigidez de flexo da seco fendilhada no considera a contribuio do beto e a rigidezno-fendilhada obtida considerando a totalidade da seco. Sendo a determinao destesvalores algo trivial, no ser apresentada, mas os resultados so fornecidos na tabela 3.3.

Aplicando o Mtodo das Foras resoluo do problema, com o sistema base dado na figura3.23, onde a reao vertical no apoio da esquerda corresponde incgnita hiperesttica, tendo

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Figura 3.23: Exemplo 2: sistema Base com as foras exteriores e respetivo diagrama demomento fletor.

Figura 3.24: Exemplo 2: sistema Base com carga unitria e respetivo diagrama de momentofletor.

em conta as figuras 3.23 e 3.24, tem-se0 =d1X+ d2, (3.32)

d1= 1

(EI)1

L10

x2 dx + 1

(EI)2

L1+L2L1

x2 dx, (3.33)

d2= 1

(EI)1

L10

x2

2 x dx +

1

(EI)2

L1+L2L1

x2

2 x dx. (3.34)

A soluo

X= 3(EI1(L

41 (L1+ L2)

4) EI2L41)

8(EI1(L31 (L1+ L2)

3

) EI2L31)

, (3.35)

M=M1X+ M2= x2

2 + Xx (3.36)

e o comprimento de fendilhao L1 obtido a partir da condio

M(x= L1) = 0, (3.37)

o que conduz aL1 = 6, 452 m e L2= 1, 548 m.Por uma questo de consistncia com o mtodo analtico utilizado, as anlises com o

elemento finito proposto consideram apenas os modos de deformao de flexo e axial (verfigura 3.22) recorde-se que o modo axial necessrio para corrigir a posio da linha neutra,dado que o modo de flexo calculado admitindo que a seco no se encontra fendilhada.

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3.5. Aplicaes

Figura 3.25: Exemplo 2: comprimento da zona no fendilhada em funo do nmero deelementos finitos.

Os resultados ob

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Tese David Henriques