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teste de matematica in franceza

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Page 1: teste de matematica in franceza

Interrogations écrites

Filière Eurinsa - Deuxième année

Table des matières

Septembre 2006 2

Décembre 2006 3

Mars 2007 5

Mai 2007 7

Octobre 2007 9

Novembre 2007 10

Décembre 2007 12

Mars 2008 14

Mai 2008 16

Septembre 2008 18

Novembre 2008 19

Décembre 2008 21

Mars 2009 23

Mai 2009 25

Page 2: teste de matematica in franceza

2A IE DE MATHEMATIQUES n°1 (durée 30 minutes) Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA », qui peut être annoté. Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits.

Exercice 1 Algèbre (barème indicatif : 3 points)

On considère le déterminant D(a) suivant, où a est réel : 1 a 1

D(a) a 1 1

1 1 1

=−.

Déterminer les valeurs de a pour lesquelles D(a) est nul.

Exercice 2 Trigonométrie (barème indicatif : 6 points)

A quelle condition sur le réel m, l’équation

cosx sinx m+ =3 a-t-elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pour m=5.

Résoudre cette équation pour m= 2 .

Exercice 3 Système (barème indicatif : 3 points)

Trouver les réels x et y tels que :

x(y )

(x )(y )

− = + − =

2 0

1 3 0

Exercice 4 Dérivé/primitives (barème indicatif : 4 points)

1) Calculer la dérivée de f, définie sur ℝ par : sin(x )f (x) e=2.

2) Chercher les primitives des fonctions suivantes, en indiquant sur quelles parties de ℝ elles sont définies :

xg(x)

x=

−2 1 et h(x)

x x=

− +21

3 2.

Exercice 5 Suite (barème indicatif : 4 points)

Soit la suite définie par : nn n n

u ...n n n n

= + + ++ + +2 2 21 2

pour n ≥ 1.

Etudier cette suite (c’est à dire étudier si elle converge ; en cas de convergence, donner sa limite).

°°°°°

2

Page 3: teste de matematica in franceza

EURINSA 2A IE n°3 11 décembre 2006 page 1

2A IE DE MATHEMATIQUES n°3 Lundi 11 décembre 2006 (durée 1 heure et 55 minutes) Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA », qui peut être annoté. Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les résultats non démontrés peuvent être admis pour les questions suivantes.

Exercice 1 Equation différentielle (barème indicatif : 3,5 points)

Ecrire toutes les solutions de l’équation différentielle : 2x

2

ey"(x) 4y'(x) 4y(x)

1 x

−+ + =

+,

où y est une application deux fois dérivable de ℝ dans ℝ .

Exercice 2 Série numérique (barème indicatif : 3,5 points)

On donne une suite ( )n nu ∈ℕ par ] [0u a 0,1= ∈ et la relation de

récurrence : ( )2n 1 n nu u u+ = − .

1) Montrer que la suite de terme général nu est décroissante, et qu’elle

converge vers 0. 2) A l’aide de sommes partielles, prouver que la série de terme général

n 1

n

uln

u+ diverge.

3) En déduire la nature de la série de terme général nu .

Exercice 3 Intégrale généralisée et série (barème indicatif : 4 points)

Dans cet exercice n est un entier 1≥ .

1) Montrer que l’intégrale 2nx

0e dx

+∞ −∫ converge.

2) On pose 2nx

n0

u e dx+∞ −= ∫ .

a) A l’aide du changement de variable t x n= , exprimer nu en fonction

de 1u et de n.

b) Montrer que nnlim u 0→∞

= , mais que la série de terme général nu

diverge.

3) Montrer que la série de terme général nn( 1) u− converge.

4) On pose 2nx

n1

v e dx+∞ −= ∫ (Z ! la borne inférieure a changé !)

Montrer que la série de terme général nv converge.

3

Page 4: teste de matematica in franceza

EURINSA 2A IE n°3 11 décembre 2006 page 2

Exercice 4 Problème sur les séries (barème indicatif : 9 points)

1) Pour n entier 1≥ , on pose n

n

k 1

1u lnn

k=

= − ∑ .

a) A l’aide d’un développement limité, étudier la nature de la série

n 1 n(u u )Σ + − .

b) En déduire que la suite ( )n nu ∈ℕ converge. On note γ sa limite (On ne

cherchera pas à calculer γ ).

2) On note h l’application définie sur ] [1,+∞ par lnt

h(t)t

= .

a) Etudier les variations de h. b) Justifier les inégalités :

n 1

n

lnt lnnn 3, dt

t n

+∀ ≥ ≤∫ et

n

n 1

lnn lntn 4, dt

n t−∀ ≥ ≤ ∫ .

c) Montrer que la série ( )n lnn1n

−∑ est convergente, mais qu’elle n’est

pas absolument convergente.

3) Dans cette question on calcule n

n 1

lnnS ( 1)

n

+∞

== −∑ .

On pose pour n entier 1≥ : n n nk

n n n n1

k 1 k 1

lnk lnk lntS ( 1) , t , a t dt

k k t= =

= − = = −∑ ∑ ∫ .

a) Utiliser les inégalités établies à la question 2 b) pour démontrer que :

pour n 3≥ , n n 1a a 0−− ≤ , puis que la suite ( )n na ∈ℕ converge.

b) Montrer que : n

2n n 2n

k 1

1n 3, S t t ln2

k=

∀ ≥ = − + ∑ .

c) En déduire une expressions de 2nS en fonction de n 2na , a et nu .

d) Calculer 2nnlim S→∞

(on exprimera cette limite en fonction de γ et de

ln2). Déterminer S.

°°°°°

4

Page 5: teste de matematica in franceza

Insa de Lyon 2006-2007Eurinsa deuxieme annee Interrogation ecrite N◦4 Mathematiques

– Vous pouvez utiliser le resultat d’une question non traitee a condition de le signaler claire-ment.

– La precision, la concision et la clarte des demonstrations proposees seront pris en comptepour l’appreciation des copies.

– Duree : 2 heures.

Exercice I ∼ 6 Pts

Soit n ∈ N∗. On note E = Mn(R) l’ensemble des matrices de taille (n, n) a coefficients reels et

on considere l’application ϕ :

{E × E → R(A, B) 7→ tr(tAB)

.

1. Montrer que, pour tout couple (A, B) d’elements de E tr(AB) = tr(BA).

2. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.

3. On note :– Sn =

{M ∈ E tel que tM = M

}; Sn est donc le sous espace vectoriel de E forme des

matrices symetriques ;– An =

{M ∈ E tel que tM = −M

}; An est donc le sous espace vectoriel de E forme

des matrices anti-symetriques.

4. Montrer que Sn et An sont orthogonaux pour le produit scalaire ϕ.

5. Soit T un element de E. Verifier que S =tT + T

2∈ Sn, que A =

tT − T

2∈ An puis que

A = S + T .

6. En deduire que E = Sn⊕An.

Exercice II ∼ 5 Pts

Soit f la fonction reelle, 2π-periodique sur R, telle que : ∀x ∈ [−π, π[, f(x) = |x|.1. Former le developpement en serie de Fourier de f .

2. En deduire la valeur de la somme S =∞∑

n=0

1

(2n + 1)2.

3. Trouver la valeur de la somme T =∞∑

n=0

1

(2n + 1)4puis celle de la somme U =

∞∑

n=1

1

n4.

1

5

Page 6: teste de matematica in franceza

Exercice III ∼ 9 Pts

Le but de cet exercice est d’etudier la fonction f definie par :

f(x) =∞∑

n=1

(−1)n ln

(1 +

x2

n

)

Pour x ∈ R et n ∈ N∗ on pose un(x) = (−1)n ln

(1 +

x2

n

).

1. Montrer que la serie de fonctions∑

un est simplement convergente sur R.

2. Etude de la continuite de f .

(a) Existe-t-il un reel a > 0 tel que la serie de fonctions∑

un soit normalement conver-

gente sur [−a, a] ?

(b) Montrer que pour tout reel a > 0 la serie de fonctions∑

un est uniformement

convergente sur [−a, a].

(c) En deduire que la fonction f est continue sur R.

3. Etude de la derivabilite de f .

(a) Montrer que f est de classe C1 sur R et que pour tout x reel :

f ′(x) = 2x∞∑

n=1

(−1)n

n + x2

(b) Quel est le signe de f ′ sur [0, +∞[ ? En deduire le sens de variations de f sur R.

4. Equivalent de f en 0.

Pour x ∈ R∗, on pose h(x) =f ′(x)

2xet on rappelle le resultat suivant :

∞∑

n=1

(−1)n

n= − ln 2.

(a) Montrer que la serie de fonctions∞∑

n=1

(−1)n

n + x2est uniformement convergente sur R.

(b) Determiner la limite de h en 0 et en deduire un equivalent de f ′ en 0.

(c) Montrer qu’au voisinage de 0 on a f(x) ∼ −x2 ln 2.

2

6

Page 7: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 28 mai 2007 IE de mathématiques n°5 page 1/2

groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°5 (durée 1 heure 55) 28 mai 2007 Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA », qui peut être annoté. Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les questions non démontrées pourront être admises. La rédaction, la clarté des explications et la concision seront comptées pour 1 point.

Question de cours (barème indicatif : 3 points)

Montrer que la série entière nn

n

a z

∈∑ℕ

et sa série dérivée n 1n

n

na z∗

∈∑ℕ

ont le même rayon de convergence.

Exercice 1 Séries entières et séries de fonctions (barème indicatif : 9

points) On considère l’équation différentielle (E), où y est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle x :

(E) xy"(x) y'(x) xy(x) 0+ + =

1) a) Chercher toutes les solutions de (E) qui sont développables en série entière. b) Soit f la somme de la série entière solution telle que f (0) 1= .

Préciser la série donnant f, donner son rayon de convergence et calculer f '(0) .

2) On considère l’application g, définie sur 2ℝ par g(x,t ) cos(xcost)= .

a) Montrer que, sur 2ℝ , g peut s’écrire :

2p 2p

p

p 0

x cos tg(x,t ) ( 1)

(2p)!

== −∑ .

b) Soit x réel fixé. On considère, dans cette question, la série ci-dessus comme une série de fonctions de la variable réelle t. Montrer que la série converge uniformément sur ℝ .

c) En déduire une expression de l’intégrale 0cos(xcost)dt∫

π sous forme

d’une série entière de la variable réelle x (on posera 2pp

0I (cost) dt= ∫

π).

d) Calculer nI par récurrence.

7

Page 8: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 28 mai 2007 IE de mathématiques n°5 page 2/2

e) En déduire que 0

1f (x) cos(xcost)dt= ∫

π

π.

Exercice 2 Equation aux dérivées partielles (barème indicatif : 7 points)

On pose { }2D (x,y) ,x 0,y 0= ∈ > >ℝ .

1) Résoudre l’équation différentielle (E1) 2vh'(v) h(v) 0− = où h est une

application 1C de ] [0,+∞ dans ℝ .

2) Résoudre l’équation différentielle h

(E2) 2v (u,v) h(u,v) 0v

∂ − =∂

où h

est une application 1C de D dans ℝ .

3) Rappeler la définition d’un 2C -difféomorphisme de D dans ∆ , où ∆

est une partie de 2ℝ .

4) Soit l’application ϕ définie sur D par :

yu

(x,y) (u,v) xv xy

== =

ϕ .

Déterminer ∆ tel que ϕ soit un 2C -difféomorphisme de D dans ∆ .

5) On considère l’équation aux dérivées partielles, avec f classe 2C sur

D :

2 2

2 22 2

f f(E3) x (x,y) y (x,y ) 0

x y

∂ ∂− =∂ ∂

.

On pose f (x,y) g(u,v)= , avec u et v définis à la question précédente.

Montrer que g est de classe 2C , et que (E3) est équivalente à l’équation

aux dérivées partielles 2

2 g y g(E4) 2y (u,v) (u,v) 0

u v x u

∂ ∂− =∂ ∂ ∂

.

6) Résoudre, à l’aide des questions précédentes, l’équation (E4), puis écrire les solutions de (E3).

°°°°°

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Page 9: teste de matematica in franceza

2A IE DE MATHEMATIQUES n°1 (durée 40 minutes) Mardi 2 octobre 2007

Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits.

Exercice 1 Algèbre (barème indicatif : 3 points)

On considère la matrice A suivante, où a, b et c sont réels :

a a

A b b

c c

=

2

2

2

1

1

1

.

1) Calculer le déterminant de A, en donnant le résultat sous forme factorisée. 2) Quelles conditions doivent remplir a, b et c pour que A soit inversible ?

Exercice 2 Algèbre (barème indicatif : 3 points)

On considère la matrice M suivante :M

=

1 1 1

0 1 1

0 0 1

.

1) Calculer M3 . 2) La matrice M est-elle diagonalisable ?

Exercice 3 Trigonométrie (barème indicatif : 3 points)

1) Résoudre dans ℝ l’équation sinx cos x+ = 2 . 2) Résoudre dans ℝ l’équation sinx cos x+ = 1 .

Exercice 4 Système (barème indicatif : 3 points)

Trouver les réels x et y tels que :

(x )

(S)(x )(y )

− >

− + =

21 0

1 2 0

Représenter dans un plan muni d’un repère orthonormé les couples (x,y) solution

de (S).

Exercice 5 Dérivés/primitives (barème indicatif : 5 points)

1) Calculer la dérivée des fonctions suivantes, en indiquant sur quelles parties de ℝ ces fonctions sont définies :

f (x) (x ) , f (x) ln (x )sinx−= + = +41 22 1 .

2) Chercher les primitives des fonctions suivantes, en indiquant sur quelles parties de ℝ ces fonctions sont définies :

xg (x)

x=

+1 2 1

, g (x)x

=−

2 21

2.

Exercice 6 Suite (barème indicatif : 3 points)

Soit la suite définie pour n ≥ 1 par : nu , ....= 1 11 1 , où le chiffre 1 figure n fois après la

virgule. Montrer que cette suite est convergente.

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Page 10: teste de matematica in franceza

Tournez, SVP. 1

2A IE DE MATHEMATIQUES n°2 (durée 55 minutes) Mercredi 7 novembre 2007

Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits.

Question de cours (barème indicatif : 3 points)

On considère l’équation différentielle (E), où a est une application continue d’un intervalle I de ℝ , à valeurs dans ℝ :

(E) y' ay+ = 0

Montrer, sans utiliser le théorème de Cauchy, que les solutions de (E) forment une droite vectorielle.

Exercice 1 Equation différentielle (barème indicatif : 7 points)

Chercher les applications y, deux fois dérivables de ℝ dans ℝ de l’équation différentielle (E) :

t t(E) y"(t ) y'(t) y(t ) e e−− + = +2 24 4

Exercice 2 Système différentiel et taux dans le sang d’un médicament (barème

indicatif : 10 points) On étudie les échanges d’un médicament entre trois parties de l’organisme. Le modèle utilisé est représenté ci-dessous :

On note x (t )1 , x (t )2 et x (t)3 les quantités du médicament présentes, au temps t,

dans les trois compartiments ci-dessus. Pour simplifier, on va considérer que le flux d’entrée et le flux de sortie sont égaux à zéro. On suppose que la quantité instantanée de médicament passant d’un compartiment à un autre compartiment est proportionnelle à la quantité de médicament présente dans le compartiment de départ.

b

d

a c I Molécules fixées dans les cellules masse : x1

II Molécules libres dans le sang masse : x2

III Molécules fixées dans le plasma masse : x3

10

Page 11: teste de matematica in franceza

Tournez, SVP. 2

On montre que x (t )1 , x (t )2 et x (t)3 sont solutions d’un système différentiel linéaire

qui, pour a , b ,c= = =6 1 3 et d = 4 , s’écrit :

'

'

'

x x x

(S) x x x x

x x x

= − + = − +

= −

1 21

1 2 32

2 33

6

6 5 3

4 3

.

1) Montrer que la matrice A

− = − −

6 1 0

6 5 3

0 4 3

est diagonalisable dans ℝ et donner

des matrices A’ diagonale et P inversible telles que : A' P AP−= 1 . 2) Chercher les solutions réelles du système différentiel (S) .

Donner une solution particulière vérifiant les conditions initiales

x ( )

x ( )

x ( )

= = =

1

2

3

0 0

0 15

0 0

.

3) En déduire la quantité maximale de médicament présente dans le compartiment I, pour la prise de 15 unités du médicament à l’instant t = 0 , et donner le moment où cette quantité est maximale ( t est ici exprimé en jours).

°°°

11

Page 12: teste de matematica in franceza

EURINSA IE3 18/12/2007 Tournez SVP/ page 1

2A IE DE MATHEMATIQUES n°3 (durée 1 heure 50) Mardi 18 décembre 2007

Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Dans un exercice, les questions non démontrées peuvent être admises pour la suite de l’exercice.

Question de cours (barème indicatif : 3 points)

On donne deux séries réelles positives, par leur termes généraux nu et nv (n

entier≥ 0 ). On suppose que la série de terme général nv converge, et que :

n nn , u v∀ ∈ ≤ℕ .

Montrer que la série de terme général nu converge.

Exercice 1 Suites de fonctions (barème indicatif : 5 points)

On considère la suite de fonctions définies sur [ ],−1 1 par : nxnf (x) nxe−=

2 pour n

entier non nul.

1) Montrer que cette suite de fonctions converge simplement sur [ ],−1 1 .

On appelle f la fonction limite.

2) Montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle [ ]a,1 pour tout a

strictement compris entre 0 et 1.

3) Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur [ ],0 1 .

4) On donne la suite numérique de terme général nvn

= 1 pour n entier non nul.

Montrer que : n nnlim f (v ) f ( )→∞

≠ 0 .

Exercice 2 Séries numériques (barème indicatif : 6 points)

Etude de séries dont le terme général est le reste d’une série convergente.

1) Exemple 1 On pose, pour n ≥ 0 , n nu = 1

2.

Justifier la convergence de nn

u

≥∑

0

.

Calculer n kk n

r u+∞

= += ∑

1

, puis montrer que nn

r

≥∑

0

converge et calculer sa somme.

2) Exemple 2 On pose, pour n ≥ 1 , n

n( )

un

−= 1.

a) Justifier la convergence de nn

u

≥∑

1

.

12

Page 13: teste de matematica in franceza

EURINSA IE3 18/12/2007 Tournez SVP/ page 2

Pour tout entier n ≥ 1 , on pose : n

nn

xI ( ) dx

x= −

+∫1

01

1.

b) Montrer que n

nlim I→∞

= 0 .

c) En calculant n

k

k

( x)−

=−∑

1

0

, montrer que : n k

nk

( )ln I

k=

−= − +∑1

12 .

d) En déduire la valeur de n

n

( )

n

=

−∑

1

1.

On pose n kk n

r u+∞

= += ∑

1

. Vérifier que : n nr I= − .

e) En intégrant par parties, montrer qu’il existe un réel a (que l’on déterminera) et

une suite réelle de terme général nv telle nvn

≤2

1 et

n

n n( )

I va(n )

−= ++

1

1.

f) En déduire la nature de la série nn

r

≥∑

1

.

Exercice 3 Intégrales généralisées (barème indicatif : 6 points)

1) Montrer que l’intégrale dt

It

+∞=

+∫ 40 1 est convergente.

2) On considère la fonction f, définie sur ℝ par f (t )t

=+ 41

1.

On admet (inutile de vérifier) que t t

f (t )t t t t

+ − += + + + − +

2 21 2 2 2 2

4 2 1 2 1.

a) Trouver les primitives de f sur ℝ .

b) En déduire que

I = 2

4.

3) On considère l’intégrale dt

Jt( t )

+∞=

+∫ 20 1.

a) Montrer que J est convergente.

b) En utilisant, après l’avoir justifié, le changement de variable u t= et le résultat de

la question 2, donner la valeur de J.

4) On considère l’intégrale dt

Ktant

= ∫ 20

.

En utilisant, après l’avoir justifié, le changement de variable x tant= , montrer que

K est convergente et donner la valeur de K.

13

Page 14: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 31 mars 2008 IE de mathématiques n°

groupes 2EU

(durée 1 heure 30) Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsTout autre document et tout moyen de communication sont interditsrésultat d’une question non montrée, à condition de le signaler clairement.

Exercice 1 Algèbre bilinéaire

On donne sur 4ℝ la forme quadratique

On notera

x

yX

z

t

=

les vecteurs de

1) Montrer que la signature de

2) On note φ la forme

définit-elle un produit scalaire sur

Pour deux vecteurs X et Y de

( )φ X,Y 0= .

3) On donne deux vecteurs propres

propres distinctes 1λ et 2λ

Montrer que 1X et 2X sont «

produit scalaire canonique de

4) Ecrire une base de 4ℝ

4ℝ , et « orthogonale pour

Exercice 2 Séries de fonctions

On donne une application

récurrence les applications

1) Montrer que, pour n 1≥

IE de mathématiques n°4

IE DE MATHEMATIQUES n°4 31 mars 2008

: la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSAdocument et tout moyen de communication sont interdits. Vous pouvez utiliser le

résultat d’une question non montrée, à condition de le signaler clairement.

Algèbre bilinéaire (barème indicatif : 6 points)

la forme quadratique Q, de matrice

0 0 1 1

0 0 1 1A

1 1 0 0

1 1 0 0

=

les vecteurs de 4ℝ .

la signature de Q est (1,1).

la forme bilinéaire symétrique de matrice

elle un produit scalaire sur 4ℝ ?

Pour deux vecteurs X et Y de 4ℝ , on dit que X et Y sont « orthogonaux pour

3) On donne deux vecteurs propres 1X et 2X de A, associés à deux valeurs

2λ .

sont « orthogonaux pour φ » et orthogonaux pour

produit scalaire canonique de 4ℝ .

4ℝ orthogonale pour le produit scalaire canonique de

orthogonale pour φ ».

éries de fonctions (barème indicatif : 6 points)

On donne une application 0f continue de ℝ dans ℝ , et on définit par

récurrence les applications n 1f + par : x

n 1 n0f (x) f (t )dt+ = ∫ pour

n 1≥ , les applications nf sont de classe

page 1/2

31 mars 2008

Formulaire EURINSA ». Vous pouvez utiliser le

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

.

bilinéaire symétrique de matrice A. La forme φ

orthogonaux pour φ » si

, associés à deux valeurs

orthogonaux pour le

pour le produit scalaire canonique de

, et on définit par

pour n 0≥ .

de classe 1C sur ℝ .

14

Page 15: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 31 mars 2008 IE de mathématiques n°4 page 2/2

2) Montrer que pour tout réel a 0> , il existe un réel M 0> tel que pour tout

entier n et pour tout [ ]x a, a∈ − + on ait : n

nM x

f (x)n!

≤ .

3) Montrer que, pour tout a 0> , la série de fonctions de terme général nf

converge normalement sur [ ]a, a− + .

4) Montrer que nn 1

f∞

=∑ converge sur ℝ .

On note nn 1

F f∞

== ∑ la somme de cette série.

5) Montrer que F est de classe 1C sur [ ]a, a− + , puis sur ℝ .

6) Montrer que F vérifie sur ℝ une équation différentielle du premier ordre. Donner l’expression de F à l’aide de fonctions usuelles lorsque l’application

0f est : 20f (x) x= .

Exercice 3 Séries de fonctions et séries de Fourier (barème indicatif : 8

points) 1) Ecrire le développement en série de Fourier réelle de l’application :

x sin(x)→ .

En déduire que : 2

2 2n 1

1 1

16 2(4n 1)≥= −

−∑ .

2) On donne, pour x réel, l’application f par :

2 2

n 1

2 4 cos(2nx)f (x)

(4n 1)≥= +

−∑

a) Montrer que f est de classe 2C sur ℝ . b) Montrer que f vérifie l’équation différentielle :

(E) y"(x) y(x) sin(x)+ = .

c) Résoudre (E) sur [ ]0, , et en déduire une expression de f (x)à l’aide de

fonctions usuelles, pour [ ]x ,∈ − .

°°°°°

15

Page 16: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 26 mai 2008 IE de mathématiques n°5 page 1/2

groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°5 (durée 1 heure 30) 26 mai 2008 Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Vous pouvez utiliser le résultat d’une question non montrée, à condition de le signaler clairement.

Exercice 1 Séries entières (barème indicatif : 5 points)

1) Développer l’application 2tt e−

֏ en série entière et préciser son rayon de convergence.

2) Développer l’application 2x t

0x e dt−∫֏ en série entière et préciser son

rayon de convergence.

3) Ecrire 21 t

0e dt−∫ comme somme d’une série numérique.

4) Donner une valeur approchée à 210− près de 21 t

0e dt−∫ . On écrira le résultat

sous forme d’une fraction.

Exercice 2 EDP(barème indicatif : 6 points)

Soit l’ouvert { }2U (x,y) ,x 0,y 0= ∈ > >ℝ .

On veut résoudre l’équation :

( ) f fE x (x,y) 2y (x,y) f (x,y) 0

x y

∂ ∂− + =∂ ∂

où f est une application de classe 1C

sur U.

1) Soit l’application φ : (u,v) (x ,y )֏ avec 2

ux

v

y uv

= =

.

Déterminer un ouvert V de 2ℝ tel que φ soit un 1C -difféomorphisme de V

sur U. 2) On pose, pour (u,v) dans V, g(u,v) f (x ,y )= .

Montrer que cette relation définit de manière unique une application g sur V,

et que g est de classe 1C sur V.

16

Page 17: teste de matematica in franceza

groupes 2EU 26 mai 2008 IE de mathématiques n°5 page 2/2

3) Calculer, pour (u,v) dans V, g

v (u,v)v

∂∂

en fonction de

f f(x,y), (x,y), x

x y

∂ ∂∂ ∂

et y.

En déduire une équation différentielle (E') vérifiée par g sur V, équivalente à

( )E sur U.

4) Résoudre ( )E sur U.

Exercice 3 Séries entières et équation différentielle (barème indicatif : 9

points)

On veut résoudre, sur l’intervalle ] [I 0,1= de ℝ , l’équation différentielle :

( ) 2E x y"(x) 2y(x) h(x)− = où 2

1 x 2xh(x) 2ln

1 x 1 x

−= ++ −

.

1) Chercher, sur I, la solution générale de l’équation différentielle :

( ) 21E x y"(x) 2y(x) 0− = .

On remarquera qu’il existe une solution de ( )1E qui est une fonction polynôme de

degré 2. 2) Montrer que le développement de h en série entière s’écrit :

2p 1

p 0

2p 1h(x) 2 x

2p 1

∞+

=

−=+∑

Expliquer pourquoi ce résultat est valable sur I.

3) Montrer qu’il existe, sur l’intervalle I, une solution particulière py de ( )E

développable en série entière. Préciser le rayon de convergence de cette série.

4) En déduire la solution générale de ( )E sur I.

°°°°°

17

Page 18: teste de matematica in franceza

Insa de Lyon 2008-2009Eurinsa deuxieme annee Interrogation N◦1 du 29 septembre 2008 Mathematiques

– Calculatrice et formulaire autorises.– Les exercices peuvent etre traites dans un ordre quelconque.– Duree de l’epreuve : 30 minutes.

Exercice 1 (6 Points)

1. En utilisantπ

12=

π

4− π

6, donner les valeurs exactes de cos

π

12et sin

π

12.

2. En deduire les solutions, dans l’intervalle [0, 2π], de l’equation

(√

6 +√

2) cos x + (√

6−√

2) sin x = 2.

Exercice 2 (7 Points). On considere les suites, definies pour n ∈ N∗, par :

1. un = n√

n ;

2. vn =sin n

n;

3. wn =n!

nn;

4. xn =√

n(√

n + 1−√n) ;

Etudier la convergence des suites proposees en precisant, lorsqu’elles convergent,la limite.

Exercice 3 (7 Points). Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f unendomorphisme non nul de E tel que

f ◦ f = 0.

1. Montrer que Im f ⊂ ker f .

2. Montrer que rg(f) /∈ {0, 3}.3. En deduire le rang de f et la dimension de ker f .

4. Plus difficile. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matricede f est

M =

0 0 01 0 00 0 0

.

1

18

Page 19: teste de matematica in franceza

1

groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°2 (durée 1 heure) 5/11/2008 Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les copies doivent être rédigées avec soin, à l’encre.

Exercice 1 Suites (barème indicatif : 5 points)

Etudier la convergence des suites proposées, définies pour n ∗∈ℕ , par :

1) ( )100

n 2

ln(n)u

n=

2) nv cos(n )=

3) 1

nn 20

1w dx

(1 x )=

+∫

4) n

n

2n 1t

2n

+ =

.

Lorsqu’elles convergent, préciser leur limite.

Exercice 2 Equation différentielle (barème indicatif : 7 points)

Soit y une application deux fois dérivable sur ℝ . On pose :

x sh(u)

z(u) y(x).ch(u)

= =

1) Vérifier que l’application z est deux fois dérivable sur ℝ , et calculer

dz

du et

2

2

d z

du en fonction de

dyu, y ,

dx et

2

2

d y

dx.

2) On donne l’équation différentielle (E1) :

2

2 22

d y dy(E1) (x 1) 3x (1 a )y 0

dxdx+ + + − =

où a est une constante réelle>0. A l’aide de la question 1, transformer (E1) en une équation différentielle

(E2) à coefficients constants.

3) Résoudre (E2) , puis (E1) .

(Suite page ci-contre)

19

Page 20: teste de matematica in franceza

2

Exercice 3 Système différentiel (barème indicatif : 8 points)

Soit la matrice 28 7

A96 32

− = −

.

1) On admet que 1λ 4= − est une valeur propre de A.

Montrer que l’autre valeur propre de A est 2λ 56= − .

En déduire que A est diagonalisable. Déterminer une matrice de passage P telle que :

1A' P AP−= soit diagonale. 2) On veut résoudre le système différentiel du second ordre :

X"(t) AX(t)= où 1

2

x (t)X(t)

x (t )

=

où 1x et 2x sont des applications deux

fois dérivables sur ℝ , à valeurs réelles, et vérifiant les conditions

initiales 0

X(0)0

=

et 7

X'(0)12

=

.

Ce système différentiel modélise la réponse vibratoire d’un immeuble de deux étages à une bourrasque de vent, les applications 1x et 2x

représentant les déplacements horizontaux des 1er et 2ème étages :

Résoudre ce problème en utilisant la question 1.

°°°°°

2x

1x

x

h

20

Page 21: teste de matematica in franceza

1

groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°3 (durée 2 heures) 8/12/2008 Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les copies doivent être rédigées avec soin, à l’encre.

Exercice 1 Séries (barème indicatif : 3,5 points)

1) La série n 2

ln(n)

n

+∞

=∑ est-elle convergente ?

2) Montrer que la série +∞

=−∑ n

n 2

ln(n)( 1)

n est convergente.

3) Donner, à l’aide d’une somme partielle, une valeur approchée à −110 près de +∞

=

−∑ n

n 2

ln(n)( 1)

n.

Exercice 2 Séries numériques (barème indicatif : 9 points)

Dans cet exercice toutes les séries sont à terme général strictement positif.

1) Soit deux séries numériques telles que pour n entier, ≥ 0n n on ait + +≤n 1 n 1

n n

u v

u v. On

pose = 0

0

n

n

uk

v.

a) Montrer que pour ≥ 0n n on a ≤n nu kv .

b) En déduire, en utilisant un théorème qui sera soigneusement cité que :

- si ∑ nv converge, alors ∑ nu converge.

- si ∑ nu diverge, alors ∑ nv diverge.

2) a) On prend dorénavant = ≥n a

1v (n 1)

n .

Rappeler, en fonction du réel α , la nature de la série de terme général nv .

b) Montrer que + = − +n 1

n

v a 11 o( )

v n n.

3) On donne une série dont le terme général nu >0, vérifie :

+ = − +n 1

n

u b 11 o( )

u n n, où b est une constante réelle.

On a donc + + −− = +n 1 n 1

n n

u v a b 1o( )

u v n n.

a) Montrer que si >b 1, alors ∑ nu converge.

b) Montrer que si <b 1 , alors ∑ nu diverge.

Indication : on choisira dans chacun des cas une valeur de a permettant de conclure.

21

Page 22: teste de matematica in franceza

2

4) Applications (n entier ≥ 1 )

a) Etudier la nature de la série de terme général × × × × −=

× × × × × +n

1 3 5 ..... (2n 1)u

2 4 6 ..... (2n) (2n 2).

b) On donne la série de terme général n

n!u

(1 c) (2 c ) ..... (n c)=

+ × + × × +, où c est une

constante réelle >0. Quelle est la nature de cette série lorsque c 1= ? Etudier les autres cas à l’aide des résultats de la question 3. Exercice 3 Intégrales généralisées et séries (barème indicatif : 7,5 points)

1) Soit k entier 0≥ . Montrer que les intégrales généralisées = ∫1

kk 0

u t (lnt)dt

existent (ou convergent) et les calculer.

2) Pour n entier ≥ 0 , on pose =−∫

n1

n 0

t lntI dt

t 1 .

a) Montrer que ces intégrales généralisées existent.

b) On définit la fonction g sur [ ]0,1 par :

] [ t lntt 0,1 g(t )

t 1g(0) 0

g(1) 1

∈ = − = =

.

Montrer que g est continue sur [ ]0,1 .

En déduire qu’il existe une constante réelle >M 0 telle que pour tout n entier ≥ 1 on ait :

< ≤n

M0 I

n .

3) Pour [ [∈t 0 ,1 et n entier ≥ 1 , établir que −= + + + + +− −

n2 n 11 t

1 t t .... t1 t 1 t

.

4) En déduire que +∞

==

− ∑∫1

20k 1

(lnt ) 1dt

t 1 k.

°°°°°

22

Page 23: teste de matematica in franceza

1

Lundi 16 mars 2009 groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°4 (durée 1 heure 30) Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les copies doivent être rédigées avec soin, à l’encre.

Exercice 1 Signature (barème indicatif : 4,5 points)

On donne la matrice d’ordre n : ( )n ij 1 i , j n

1 0 0 0

0 0 1

0 0A a

0

0 1 0 0

≤ ≤

= =

⋰ ⋰

⋮ ⋰ ⋰

⋰ ⋰ ⋰ ⋮

avec 11 i(n i 2)a 1, a 1− += = pour i 2..n= , et 0 ailleurs.

1) En observant la matrice nA , montrer sans écrire de polynôme caractéristique, que

les valeurs propres λ de nA sont réelles et vérifient 2λ 1= .

2) Pour n 3= , puis n 4= , donner la signature de la forme quadratique de matrice nA .

Exercice 2 Algèbre bilinéaire (barème indicatif : 5,5 points)

On considère l’espace vectoriel des polynômes réels [ ]E X= ℝ .

1) Soit P de E s’écrivant ( ) n n 1n n 1 1 0P X a X a X ..... a X a−

−= + + + + avec na 0≠ .

Donner l’expression de ( ) ( )kP 0 où ( )kP désigne la dérivée d’ordre k de P (k est un

entier 0≥ , et par convention, ( )0P P= ).

2) On donne, pour P et Q de E, ( ) ( ) ( ) ( )k k

k 0

φ(P,Q) P 0 Q 0+∞

== ×∑ .

Montrer que φ définit un produit scalaire sur E (ne pas oublier de justifier l’existence

de φ ).

3) On donne le vecteur p

p

Xe

p!= .

Montrer que la famille { }pe , p ∈ℕ est une famille orthonormée (pour φ ) de vecteurs

de E. 4) En déduire que l’espace vectoriel E n’est pas de dimension finie.

5) Calculer la norme du polynôme ( ) 4R X 1 X 4X= + + , pour la norme associée à φ .

23

Page 24: teste de matematica in franceza

2

Exercice 3 Algèbre bilinéaire en dimension finie (barème indicatif : 10 points)

Dans l’espace vectoriel 3E = ℝ , muni de sa base canonique 1 2 3B ( e ,e ,e )= , on note les

vecteurs ( )v x,y ,z= , et

x

X y

z

=

leur forme matricielle.

1) On donne sur E la forme quadratique 2 2 2Φ : v Φ(v) x y z xy yz= + + − −֏ .

a) Ecrire la matrice A de Φ dans la base B. b) On appelle φ la forme bilinéaire symétrique dont Φ est la forme quadratique.

Donner l’expression de φ(v,v') pour v et v’ dans E.

c) Montrer que φ est un produit scalaire sur E.

d) Chercher une base orthonormée pour φ , en utilisant le procédé

d’orthogonalisation de Schmidt, à partir de ( )1 3 2e ,e ,e .

e) En déduire la projection orthogonale du vecteur 2e sur le plan { }1 3vect e ,e , ainsi

que la distance de 2e à ce plan.

2) Soit la matrice

3 1 1

C 0 2 0

1 1 3

− = −

.

On note f l’endomorphisme de E dont C est la matrice dans la base B.

a) Vérifier que t( C )A AC= . Que peut-on constater pour la matrice AC ?

b) On rappelle que l’écriture de matricielle de φ , pour v de E, de matrice colonne X,

et v’ de E, de matrice colonne X’, est tφ(v,v') XAX'= .

Montrer que φ( f (v),v') φ(v, f (v'))= .

c) En déduire que la matrice de f, dans toute base orthonormée pour φ , est

symétrique. d) Déterminer une base, orthonormée pour φ , de vecteurs propres de f.

°°°°°

24

Page 25: teste de matematica in franceza

Tournez, SVP. 1

Lundi 25 mai 2009 groupes 2EU IE DE MATHEMATIQUES n°5 (durée 1 heure 30) Note : la calculatrice EURINSA, type TI30 est autorisée, ainsi que le « Formulaire EURINSA ». Tout autre document et tout moyen de communication sont interdits. Les copies doivent être rédigées avec soin, à l’encre.

Exercice 1 Séries entières (barème indicatif : 6,5 points)

Soit l’équation différentielle : ( )E y"(x) 2xy'(x) 2y(x) 0− − = .

1) Chercher les solutions de ( )E développables en série entière.

2) Montrer que l’on obtient toutes les solutions, et qu’elles sont définies sur ℝ .

Exercice 2 Série de Fourier (barème indicatif : 6,5 points)

Soit f une fonction périodique, de période 2 , de classe 1C sur ℝ . Pour n dans ℤ , on note nc ( f ) le coefficient de Fourier complexe de f, et nc ( f ') celui

de f '.

1) Donner les définitions de nc ( f ) et de nc ( f ') .

2) Montrer que, pour tout n dans ℤ , on a : n nc ( f ') inc ( f )= .

3) On suppose maintenant que 2

0f (t )dt 0=∫ .

Montrer l’inégalité (appelée inégalité de Wirtinger) : 2 22 2

0 0f (t ) dt f '(t ) dt≤∫ ∫ .

4) Quelles sont les fonctions f, de période 2 et de classe 1C sur ℝ , vérifiant 2

0f (t )dt 0=∫ , et pour lesquelles on a :

2 22 2

0 0f (t ) dt f '(t ) dt=∫ ∫ ?

25

Page 26: teste de matematica in franceza

.2

Exercice 3 Séries de fonctions et série de Fourier (barème indicatif : 7 points)

On pose, pour n entier 1≥ et x réel, 3

nsin (nx)

f (x)n!

= .

1) Montrer que la série de fonctions de terme général nf converge pour tout x réel.

On pose : 3

nn 1 n 1

sin (nx)f (x) f (x)

n!

+∞ +∞

= == =∑ ∑ .

2) Montrer que f est de classe 1C sur ℝ . 3) Montrer que f admet sur ℝ un développement en série de Fourier SFf , et que sur

tout ℝ , on a : SFf (x) f (x)= .

4) a) Linéariser 3sin nx . b) En déduire le développement de f en série de Fourier.

c) Calculer, en utilisant des complexes, les sommes des séries n 1

sin(nx)

n!

+∞

=∑ et

n 1

sin(3nx)

n!

+∞

=∑ .

d) En déduire l’expression de f à l’aide de fonctions usuelles.

°°°°°

26