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CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA L’Apport de la THH dans l’Analyse des Signaux Non-Stationnaires A. Kabla, K. Mokrani Faculté de la Technologie, Département d’ Electronique, Laboratoire (LTII), Université A/Mira Bejaia Route de Targua Ouzemour, Béjaia 06000, Algerie [email protected] , [email protected] Résumé— Notre objectif dans ce travail est de présenter une comparaison entre les méthodes de traitement et d’analyse des signaux non- stationnaires multi-composantes à savoir ; les représentation temps- fréquence de la classe de Cohen et les Ondelettes avec une nouvelle méthode de type temps-fréquence basée sur l’utilisation conjointe de la décomposition modale empirique (EMD) et la transformée de Hilbert (HT) appelée la transformée de Hilbert Huang (THH). I. INTRODUCTION Le traitement du signal est la discipline qui développe et étudie les techniques de traitement, d’analyse et d’interprétation des signaux des signaux. Elle fait donc largement appel aux résultats de la théorie de l’information, des statistiques ainsi qu’à de nombreux autres domaines des mathématiques appliquées. Habituellement, les signaux issus des phénomènes physiques sont de nature non- stationnaire, voire également formés de plusieurs composantes fréquentielles (signaux multi- composantes). Ces signaux sont bref et ne se répètent que rarement, et se manifestent par des oscillations évoluant au cours du temps. Dans de telles situations, la représentation temporelle classique du signal ne donne pas une bonne perception des composantes oscillantes multiples, tandis que la représentation fréquentielle ne permet pas la localisation temporelle des ces composantes. Ainsi, en partant des propriétés des signaux et des limitations de la transformées de Fourier (TF), il est naturel de s’orienter vers un schéma d’analyse temps- fréquence multi- composantes. En effet par définition, les représentations temps- fréquence (RTF) permettent de décrire le contenu des signaux conjointement en temps et en fréquence et fournissent une information sur la façon dont la fréquence du signal varie au cours du temps. Si les RTF de la classe de Cohen constituent un moyen puissant pour l’analyse des signaux non-stationnaires, elles posent en revanche un problème pour l’interprétation et la lisibilité des représentations obtenues en raison de la présence de termes d’interférences (liée à la nature bilinéaire de ces représentations) [1]. Par conséquent, l’estimation des attributs à partir de ces représentations nécessaires, par exemple, à la classification d’un signal sera biaisée. Le lissage temps-fréquence peut réduire les interférences mais introduit des erreurs de localisation en temps et en fréquence. Rappelons que la TF est limitée aux signaux stationnaires et aux systèmes linéaires. Ainsi, toutes les méthodes, telles que le spectrogramme ou la distribution de Wigner-Ville, basées sur la TF auront intrinsèquement, plus ou moins, les mêmes limites. Par ailleurs, aussi bien les RTF de la classe de Cohen que les ondelettes [2] nécessitent la spécification d’un noyau ou d’une fonction de base. Or, il n’existe pas de noyau de base universel. Ainsi l’idéal est de trouver une décomposition adaptée au signal, ne nécessitant pas d’informations a priori sur ce dernier, et qui permette d’obtenir une description temps-fréquence. Partant des limitations énumérées ci-dessus, Huang et al. [3] ont récemment propose une méthode abordant sous un autre angle la problématique d’analyse des signaux non- stationnaires : la décomposition modale empirique (EMD pour empirical mode decomposition). Contrairement aux RTF ou aux ondelettes, la base de décomposition de l’EMD est intrinsèque au signal. L’extraction des composantes oscillantes appelées modes empiriques (IMF pour Intrinsic Mode Functions) est non-linéaire, mais leur recombinaison linéaire est exacte. L’EMD seule n’est pas une analyse temps-fréquence, mais sa combinaison avec la transformée d’Hilbert (TH) ou une autre méthode d’estimation de la fréquence instantanée (FI) permet d’obtenir une RTF. Ainsi, l’EMD couplée avec la TH est une description temps- fréquence appelée Transformation de Huang-Hilbert (THH). Notre objectif dans ce travail est de comparer les méthodes temps- fréquence et les ondelettes avec la THH.

The Me III Op

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CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

L’Apport de la THH dans l’Analyse des Signaux Non-Stationnaires

A. Kabla, K. Mokrani Faculté de la Technologie, Département d’Electronique, Laboratoire (LTII),

Université A/Mira Bejaia Route de Targua Ouzemour, Béjaia 06000, Algerie

[email protected], [email protected]

Résumé— Notre objectif dans ce travail est de présenter une comparaison entre les méthodes de traitement et d’analyse des signaux non- stationnaires multi-composantes à savoir ; les représentation temps- fréquence de la classe de Cohen et les Ondelettes avec une nouvelle méthode de type temps-fréquence basée sur l’utilisation conjointe de la décomposition modale empirique (EMD) et la transformée de Hilbert (HT) appelée la transformée de Hilbert Huang (THH).

I. INTRODUCTION Le traitement du signal est la discipline qui développe et étudie les techniques de traitement, d’analyse et d’interprétation des signaux des signaux. Elle fait donc largement appel aux résultats de la théorie de l’information, des statistiques ainsi qu’à de nombreux autres domaines des mathématiques appliquées. Habituellement, les signaux issus des phénomènes physiques sont de nature non- stationnaire, voire également formés de plusieurs composantes fréquentielles (signaux multi- composantes). Ces signaux sont bref et ne se répètent que rarement, et se manifestent par des oscillations évoluant au cours du temps. Dans de telles situations, la représentation temporelle classique du signal ne donne pas une bonne perception des composantes oscillantes multiples, tandis que la représentation fréquentielle ne permet pas la localisation temporelle des ces composantes. Ainsi, en partant des propriétés des signaux et des limitations de la transformées de Fourier (TF), il est naturel de s’orienter vers un schéma d’analyse temps- fréquence multi- composantes. En effet par définition, les représentations temps- fréquence (RTF) permettent de décrire le contenu des signaux conjointement en temps et en fréquence et fournissent une information sur la façon dont la fréquence du signal varie au cours du temps. Si les RTF de la classe de Cohen constituent un moyen puissant pour l’analyse des signaux non-stationnaires, elles

posent en revanche un problème pour l’interprétation et la lisibilité des représentations obtenues en raison de la présence de termes d’interférences (liée à la nature bilinéaire de ces représentations) [1]. Par conséquent, l’estimation des attributs à partir de ces représentations nécessaires, par exemple, à la classification d’un signal sera biaisée. Le lissage temps-fréquence peut réduire les interférences mais introduit des erreurs de localisation en temps et en fréquence. Rappelons que la TF est limitée aux signaux stationnaires et aux systèmes linéaires. Ainsi, toutes les méthodes, telles que le spectrogramme ou la distribution de Wigner-Ville, basées sur la TF auront intrinsèquement, plus ou moins, les mêmes limites. Par ailleurs, aussi bien les RTF de la classe de Cohen que les ondelettes [2] nécessitent la spécification d’un noyau ou d’une fonction de base. Or, il n’existe pas de noyau de base universel. Ainsi l’idéal est de trouver une décomposition adaptée au signal, ne nécessitant pas d’informations a priori sur ce dernier, et qui permette d’obtenir une description temps-fréquence. Partant des limitations énumérées ci-dessus, Huang et al. [3] ont récemment propose une méthode abordant sous un autre angle la problématique d’analyse des signaux non- stationnaires : la décomposition modale empirique (EMD pour empirical mode decomposition). Contrairement aux RTF ou aux ondelettes, la base de décomposition de l’EMD est intrinsèque au signal. L’extraction des composantes oscillantes appelées modes empiriques (IMF pour Intrinsic Mode Functions) est non-linéaire, mais leur recombinaison linéaire est exacte. L’EMD seule n’est pas une analyse temps-fréquence, mais sa combinaison avec la transformée d’Hilbert (TH) ou une autre méthode d’estimation de la fréquence instantanée (FI) permet d’obtenir une RTF. Ainsi, l’EMD couplée avec la TH est une description temps-fréquence appelée Transformation de Huang-Hilbert (THH). Notre objectif dans ce travail est de comparer les méthodes temps- fréquence et les ondelettes avec la THH.

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II. METHODE TEMPS FRÉQUENCE En 1966, L. Cohen proposa une formulation générale à

partir de laquelle toutes les représentations conjointes en temps et en fréquence (R.C.T.F) bilinéaire peuvent être obtenues par le choix d’une fonction de pondération. L’expression de cette classe des représentations temps-fréquence bilinéaire est donnée par: [4]

( ) ( ) ( ) τττ

φφ τππ ddvdfeevxvxt,f,f,tC fjtvfj*x

2222

−−+∞

∞−

+= ∫ ∫ ∫ (1)

( )vx : Le signal temporel analysé, ( )vx* sont complexe conjugué ;

( )τφ ,f : Fonction arbitraire de pondération ou noyau représentatif d’une fonction particulière.

A. Analyse par Wigner Ville La distribution de Wigner-Ville (DWV), pour laquelle le

noyau ( ) 1=τφ ,f , est le prototype de toutes les R.C.T.F de la classe de Cohen. Originalement, elle fut proposée par E.P. Wigner en 1932. En 1948, J.Ville, développa la notion de signal analytique et par suite, étendit le champ des applications de la distribution de Wigner-Ville pour faire référence à la distribution de Wigner utilisant le signal analytique associé au signal réel. La transformée de Wigner-Ville, associée à un signal temporel ( )tx , est dé définie par :

( ) τττ τπ devxtxf,tw fj*x

222

−+∞

∞−

+= ∫ (2)

t : est la variable temporelle f : est la variable fréquentielle

( )vx* : Le signal temporel conjugué analysé. Son expression dual en fréquence est donné par : [4]

( ) ηηη ηπ defXfXt,fW fjx

222

+= ∫

+∞

∞−

(3)

Sa définition en temps discret est donné par :

( ) ( ) ( ) fkj*

kx eknxknxf,nP π42 −

+∞

−∞=

−+= ∑ (4)

B. Analyse per Pseudo Wigner- Ville Lissée La PWV a pour effet de réduire les ondulations

parasites en effectuant un lissage fréquentiel. Cependant, les ondulations encore présentes dans la PWV peuvent être atténuées en lissant cette dernière, cette fois ci en temps. Cette transformation est appelée Pseudo Wigner-Ville lissée et a pour expression : [4] En temps continu :

( ) ( ) ττ τπ dedutuxtuxtughf,tPWVL fj*

x2

2

222−

+∞

∞−

+∞

∞−

+

−−

= ∫∫ (5)

En temps discret :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kfjN

Nk

M

Mm

*x ekmnxkmnxmgkhf,nPWVL π2

1

1

1

1

22 −−

+−=

+−=∑ ∑

−+++= (6)

g : fenêtre de lissage fréquentielle. h : fenêtre de lissage temporelle.

III. ANALYSE TEMPS- ECHELLE La transformée en ondelettes s’est imposée comme une

technique performante et digne d’intérêt. C’est une représentation temps-échelle qui permet de décrire l’évolution temporelle des caractéristiques d’un signal relativement à une échelle d’observation donnée. L'analyse est réalisée au moyen d'une fonction ψ appelée ondelette de base (ou ondelette mère) qui permet de spécifier les caractéristiques du signal que l’on souhaite détecter. L'analyse en ondelettes consiste alors à positionner, dans le domaine temporel, l’ondelette mère en regard de la partie du signal à traiter, on parlera alors de translation. L’ondelette mère est ensuite dilatée ou contractée, par l'utilisation du facteur d'échelle « a », permettant de concentrer l'analyse sur une gamme donnée d'oscillations. Quand l'ondelette est dilatée, l'analyse explore les composantes du signal qui oscillent plus lentement, quand elle est contractée, l'analyse explore les oscillations rapides comme celles contenues dans une discontinuité du signal. L’expression générale de la transformée en ondelettes continue à pour forme : [5]

( ) ( ) dta

bt*tsaa,bC 21

∫∞

∞−

Ψ= (7)

Où ( )tψ représente l’ondelette mère, b le paramètre de translation et a le paramètre d’échelle ( 0a ≠ ).

IV. ANALYSE PAR THH

A. Principe de la méthode L’EMD est définie par un processus de tamisage

(sifting) permettant de décomposer le signal en contribution de bases appelées modes empiriques ou IMFs (Intrinsic Mode Function) qui sont des signaux de types AM-FM mono-composante, chacune de moyenne nulle [3]. La décomposition est locale, itérative, séquentielle et entièrement pilotée par les données. L’EMD considère les signaux à l’échelle de leurs oscillations locales, sans que celle-ci soit nécessairement harmonique.

En se basant essentiellement sur les variations (ou oscillations naturelles) du signal, l’EMD permet une interprétation des phénomènes physiques présents [3].

Le principe de l’EMD repose sur une décomposition adaptée en décrivant localement le signal comme une succession de contributions d’oscillations rapides (hautes

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fréquences) sur des oscillations plus lentes (basse fréquence).

Nous pouvons résumer la décomposition avec l’algorithme suivant : [5]

1. Copier le signal dans une variable auxiliaire ( )th . 2. Chercher les extrema locaux (minimum et

maximum) de ( )th . 3. Calculer l’équation de l’enveloppe supérieur

(EnvMax(t)) et inférieure (EnvMin(t)) du signal ( )th par la méthode dus splines cubiques.

4. Calculer ensuite l’enveloppe moyenne locale : m(t)= 1/2 (EnvMin+EnvMax).

5. Calculer le résidu ( )tr en soustrayant l’enveloppe moyenne m(t) du signal ( )th . • Si le signal ( )tr vérifie les propriétés d’une

IMF, alors IMFi ( )tr= . • Si non : répéter les étapes de 2 à 5 avec

( )th = ( )tr . 6. l’IMF ainsi déterminée est soustraite au signal

original : • Si le résidu présente un nombre suffisant

d’extrema (supérieur à 2), retourner à l’étape 1 afin d’extraire une autre IMF.

• Sinon, le résidu est considéré comme le résidu final ( )tr .

A la fin de la décomposition, l’expression du signal original est donnée par :

( ) ∑=

+=n

ini rctX

1

(8)

Ainsi, on obtient une décomposition empirique des données en n IMF modes, plus un résidu qui correspond à la dérive ou la tendance du signal initial.

B. La transformée de Huang Hilbert Ayant obtenu les IMF, nous n’aurons aucune difficulté

dans l’application de la transformée de Hilbert à chaque IMF.

Pour calculer les caractéristiques instantanées (fréquence et amplitude) de chaque IMF, il est possible d’utiliser le signal analytique ( )tzi associe a ( )tci : [6]

( ) ( ) ( )[ ]tcHjtctz iii ⋅+= (9) Où:

( ){ } ( )τ⋅

τ−τ

π= ∫

+∞

∞−

dtc

PtcH ii

1 (10)

( )tzi peut être exprimé par: ( ) ( ) ( )( )tjwexptatz iii ⋅= (11) L’amplitude et la phase instantanée sont définies par les expressions suivantes :

( ) ( ) ( )[ ]tcHtcta iii22 += (12)

( ) ( )[ ]( )

=

tctcH

arctanti

iiθ (13)

La fréquence instantanée de ( )tzi , n’est autre que la dérivée de la phase instantanée :

( )

dttd i

ω = (14)

Ainsi, le signal original peut être exprimé comme suit :

( ) ( ) ( )( )∑ ∫=

=n

iii dttwjexptaRetx

1

(15)

Où le résidu ( )trn à été omis. {}⋅R Dénote la partie réelle d’une quantité complexe. L’équation (11) nous permet de représenter l’amplitude et la fréquence instantanée en trois dimensions, dans lequel l’amplitude est la hauteur dans le plan temps-fréquence. Cette distribution temps-fréquence est désignée comme étant le spectre de Huang-Hilbert ( )t,wH :

( ) ( ) ( )( )∑ ∫=

=n

iii dttwjexptaRet,wH

1

(15)

V. COMPARAISON DES METHODES Afin de pouvoir comparer les aptitudes des méthodes que

nous avons présentés, à localiser les changements de fréquence d’un signal, nous avons crée un signal test comportant des changements brusques dans son contenu fréquentiel. Le signal est composé de cinq sauts fréquentiels brusques et d’une sinusoïde.

Si nous comparons les différentes représentations on peut dire que la WVD fournis de bon résultat quand il s’agit d’un signal mono composante, mais dans le cas d’un signal a composante multiple, elle présente des termes d’interférences indésirables qui peuvent nuire à la lisibilité de la représentation obtenue. Dans le cas de la SPWD, nous constatons que la représentation situe les différentes lois d’évolution (fig.2). Le fait de filtrer en temps et en fréquence supprime en grande partie l’ensemble des interférences sans trop pénaliser la résolution temps- fréquence. Toutefois nous remarquons que les transitions sont assez difficiles à déterminer. Dans la figure (3), nous remarquons que l’analyse par Ondelette sépare correctement les fréquences dans l’ensemble de l’espace temps- fréquence, toutefois on constate une perte d’information, à chaque extrémité de la fenêtre analysée. L’analyse par THH (fig.4) nous a donnée de meilleur résultat que les autres méthodes, on voie clairement les différentes fréquences et les transitions sont plus facilement identifiées, en plus c’est une méthode entièrement piloté par les données et n’a donc besoin d’aucun réglage de paramètres.

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Fig.1. Représentation temps- fréquence en utilisant la WVD

Fig.2. Représentation temps- fréquence en utilisant la PWVD

Fig.4. Représentation temps- fréquence en utilisant la THH.

VI. CONCLUSION Dans ce travail, nous avons présentés une comparaison

de la THH à celle de la WVD, la SPWVD et les Ondelettes. Globalement la THH donne des résultats comparables à celle de la SPWVD et les ondelettes mais sans interférences et avec une détection claire des fréquences. De plus, les transitions en fréquence sont bien mises en évidence.

REFERENCES [1] J-C. Cexus. «Analyse des signaux non-stationnaire par

transformation de Huang, opérateur de Teager-Kaiser, et transformation de Huang-Teager (THT)», Thèse de doctorat de l’université de Rennes 1, décembre2005.

[2] Bruce, A. Donoho , H-Y. Gao. Wavelet analysis. IEEE Spectrum, October 1996.

[3] N.E. Huang, Z. Shen, S.R. Long, M.C. Wu, H.H. Shih, Q. Zheng, N.C. Yen, C.C. Tung, H.H. Liu. «The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear end non-stationary time series analysis», Proceeding of the Royal Society of London, 454:903-995, 1998.M. Young, The Techincal Writers Handbook. Mill Valley, CA: University Science, 1989.

[4] P. Flandrin : Temps-Fréquence. Editions Hermes, Paris, 1993. [5] H. Sharabaty. «Diagnostic de somnolence d’un opérateur:

analyse automatique de signaux physiologiques », Thèse de doctorat de l’université de Toulouse, 2007.

[6] Y. Zhang. « Hilbert-Huang transform and marginal spectrum for detection of bearing localized defects», IEEE Proceeding of the 6th

Fig.3. Représentation temps- fréquence en

World Congress on Intelligent Control and Automation, June 21-23, 2006, Dalian, China.

utilisant l’ondelette

Temps

Fréq

uenc

e

Temps

Fréq

uenc

e

Temps

Fréq

uenc

e

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- 1 -

UNEQUALLY ARRAY PATTERN SYNTHESIS WITH THE USE OF A MODIFIED PARTICLE SWARM OPTIMISATION ALGORITHM

Hichem CHAKER

Telecom Laboratory Department of Electronic Engineering University of Tlemcen, ALGERIA

, S.M. MERIAH and F.T. BENDIMERAD

[email protected]; [email protected]; [email protected]

Abstract: A computationally efficient global optimization method, the adaptive particle swarm optimization (APSO), is proposed for the synthesis of uniform and Gaussian amplitude arrays of two cases, i.e., the prior constraint in the synthesis of the element positions for both the cases is dmin = 0.5 λ, where dmin is the minimum distance between to adjacent elements. The upper limit in the distance between the elements, dmax

is varied from 0.5λ to 0.6λ for the first case and from 0.5λ to λ for the second case. The proposed iterative method aims at linear and planar array and the optimization of phases- positions by minimizing the side-lobes level and respecting a beam pattern shape. Selected examples are included, which demonstrate the effectiveness and the design flexibility of the proposed method in the framework of the electromagnetic synthesis of linear and planar antenna arrays.

Keywords: Adaptive particle swarm optimization, global optimization, unequally spaced linear and planar arrays antennas.

I. Introduction In the area of the antenna array pattern synthesis, a non-uniformly spaced array can successfully achieve the design specifications by optimally adjusting the positions of the elements with predefined excitations [1]. An antenna array with certain radiation characteristics is often asked to be designed. Necessarily, the nulls have to be in a certain direction [2], or the main lobe has to be directed in a certain direction; also other requirements for the direction and the level of the side lobes [3] might be stated.

The global synthesis of antenna arrays that generate a desired radiation pattern is a highly nonlinear optimization problem. Many analytical methods have been proposed for its solution. Examples of analytical techniques include the well-known Taylor method and the Chebyshev method [4]. In many applications, the synthesis problem of an antenna array consist of finding an appropriate set of amplitude and phase weights that will yield the desired far-field pattern with an equally spaced linear array [5]. However, it is well known that the antenna performance related to the beam width and side lobes levels can be improved by choosing both the best position and the best set of the amplitude and phase for each element of an unequally spaced array [6]. The paper is aimed to present a modular method, based on a modified particle swarm optimizer (APSO) algorithm, which is able to simultaneously optimize the excitation coefficients (amplitude and phase) and the best position, according to different constraints, such as side lobes peak minimization, and beam pattern (BP) shape modeling. The APSO is characteristic by finding good near-optimal solutions early in the optimization run. The APSO does not use derivatives, and is also independent on the complexity of the objective function under consideration. Six examples are used to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm–based procedure for the antenna array optimization. The APSO simulated results are also compared with those obtained by modified differential algorithm in [7].

II. Formulation

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The far field factor of a linear array with an even number of uniformly spaced isotropic elements (2N) can be written in the form:

∑=

+=

N

kkkk daF

1)sin(2cos2)( δθ

λπθ (1)

Where λ is the wavelength, θ denotes the angular direction, ak is the excitation amplitude, δk is the excitation phase and dk is the x coordinate, normalised to wavelength, of the nth

),........,,,...( 11 NN ddv δδ= array element. The set

is the vector of variable parameters used to synthesize a desired pattern. The position dk

∑=

∆−∆=

N

kki

ddd1

1

2

can be computed from the inter-element spacing, according to the following formula:

(2)

The array factor in dB is given by ))(log(20)( normalisedFP θθ = (3)

The mathematical statement of the optimization process is:

optvvfFind →)(max (4) Where )(vf is the objective function of parameter variables v.

∫ −−= 20

)()(π

θθθ dFFMaxf d (5)

The fitness can be seen as the difference area between desired pattern and obtained pattern. The greater value of the fitness function, the better match between the obtained pattern and the desired one. Equation (5) is used for evaluating the fitness value during the optimization process.

III. ADAPTIVE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION

Modern heuristic algorithms are considered as practical tools for nonlinear optimization problems, which do not require that the objective function to be differentiable or be continuous. The particle swarm optimization (PSO) algorithm as discussed by Xiao [8] is an evolutionary computation technique, which is inspired by social behaviour of swarms. PSO is similar to the other evolutionary algorithms in that the system is initialized with a population of random solutions. Each potential solution, call particles, flies in the D-

dimensional problem space with a velocity which is dynamically adjusted according to the flying experiences of its own and its colleagues. The location of the ith

),...,...,( 1 iDidii xxxX = particle is

represented as . The best previous position (which giving the best fitness value) of the ith

),...,,...,( 1 iDidii pppP =

particle is recorded and represented as , which is also called pbest . The index of the best pbest among all the particles is represented by the symbol g. the location gP is also called gbest . The velocity for the ith

),...,,...,( 1 iDidii vvvV = particle is represented

as . The particle swarm optimization consists of, at each time step, changing the velocity and location of each particletoward its pbest and gbest locations according to the equations (6) and (7) respectively:

)(())(() 21 idgdidididid xprandcxprandcvwv −∗∗+−∗∗+∗= (6)

ididid vxx += (7) Where w is inertia weight, 1c and 2c are acceleration constants as discussed by Eberhart [9], and ()rand is a random function in the range [0 1]. For equation (6), the first part represents the inertia of previous velocity; the second part is the ‘‘cognition ’’ part, which represents the private thinking by itself; the third part is the ‘‘social ’’ part, which represents the cooperation among the particle as discussed by Kennedy [10]. iV is clamped to a maximum velocity

),...,,...,( max,max,1max,max Dd vvvV = . maxV determines the resolution with which regions between the present and the target position are searched as discussed by Eberhart [9]. The process for implementation PSO is as follows: a). Set current iteration generation 1=cG . Initialize a population which including m particles, for the ith

iX particle, it has random

location in specified space and for the dth

iV

dimension of , did vrandv max,2 ()∗= , where

()2rand is a random value in the range of [-1 1]; b). Evaluate the fitness for each particle;

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- 3 -

c). Compare the evaluated fitness value of each particle with its pbest .if the current value is better than pbest , and then set the current location as the pbest location. Furthermore, if current value is better than gbest , then reset gbest to the current index in particle array; d). change the velocity and location of the particle according to the equations (6) and (7), respectively; e). 1+= cc GG , loop to step b) until a stop criterion is met, usually a sufficiently good fitness value or cG is achieve a predefined maximum generation maxG . The parameters of PSO includes: number of particles m, inertia weight w, acceleration constants 1c and 2c , maximum velocity maxV . As evolution goes on, the swarm might undergo an undesired process of diversity loss. Some particles becomes inactively while lost both the global and local search capability in the next generations. For a particle, the loss of global search capability means that it will be only flying within a quite small space, which will be occurs when its location and pbest is close to gbest (if the gbest has not significant change) and its velocity is close to zero for all dimensions; the loss of local search capability means that the possible flying cannot lead perceptible effect on its fitness. From the theory of self-organization as discussed by Nicolis [11], if the system is going to be in equilibrium, the evolution process will be stagnated. If gbest is located in a local optimum, then the swarm becomes premature convergence as all the particles become inactively. To stimulate the swarm with sustainable development, the inactive particle should be replaced by a fresh one adaptively so as to keeping the non-linear relations of feedback in equation (6) efficiently by maintaining the social diversity of swarm. However it is hard to identify the inactive particles, since the local search capability of a particle is highly depended on the specific location in the complex fitness landscape for different problems. Fortunately, the precision requirement for fitness value is more easily to be decided for specified problem. The adaptive PSO is executed by substituting the step d) of

standard PSO process, as the pseudo code of adaptive PSO that is shown in figure 1. iF is the fitness of the ith

gbestF particle, is the fitness

of gbest . ),( gbestii FFfF =∆ , where )(xf is an error function. The ε is a predefined critical constant according to the precision requirement. cT is the count constant. The replace () function is employed to replace the ith

iX particle, where the and iV is reinitialized by following the process in step a) of standard PSO, and its pbest is equal to iX . The array similar [ ]iCount is employed to store the counts which are satisfying the condition ε<∆ iF in successively for the ith

gbest particle which is

not . The inactive particle is natural to satisfy the replace condition; however, if the particle is not inactively, it has less chance to be replaced as cT increases.

[ ] [ ] stagetioninitializaatmnewCountsimilar //;intint = )// dstepreplacetoemployediscodeNext

processPSOdardsin tan// {

[ ][ ]

}PSOdardsindstepexecuteELSE

particleithereplaceTHEN

countpredefinedTiCountsimilarIFresetiCountsimilarELSEaddiCountsimilarTHEN

FgiIFparticleeachforimiiFor

thc

i

tan)();(

//)(//;0

1//;][

)&&(//);;0(

>=

++

<∆≠

++<=

ε

Fig.1. Inserted pseudo code of adaptive PSO

For APSO, iF∆ is set as a relative error function, which is

))(),((/)( gbestigbesti FabsFabsMinFF − , where )(xabs gets the absolute value of x , ),( 21 xxMin

gets the minimum value between 1x and

2x .The critical constant ε is set as 0.0001, and the count constant cT is set as 3. For the problem at hand, the number of dimensions is equal to twice the number of antenna elements because both the amplitude and phase of each parameter must be specified by the PSO. Also, a swarm of 60 particles was used. The algorithm parameters c1 and c2 specify the relative weight that the global best position has

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versus the particle’s personal best. Empirical testing has found 2.0 to be a reasonable value for both c1 and c2

. Linear velocity damping was applied with the upper limit 0.9. Velocity damping improves the convergence behaviour of the particle swarm by gradually increasing the relative emphasis of the global and personal best positions on a particle’s velocity. The upper limit of the inertia weight is 0.9 and the lower limit 0.4.

IV. Numerical Results IV.1 Synthesis of linear array

In order to illustrate the capabilities of the APSO for the shaped beam pattern synthesis of a linear array, four examples are considered. APSO is proposed for the synthesis of uniform and Gaussian amplitude arrays of two cases, i.e., the prior constraint in the synthesis of the element positions for both the cases is dmin = 0.5 λ, where dmin is the minimum distance between to adjacent elements. The upper limit in the distance between the elements, dmax is varied from 0.5λ to 0.6λ for the first case and from 0.5λ to λ for the second case. The maximum side-lobe level of uniform and gaussian amplitude, unequally spaced 20 element array with the upper limit in the element spacing dmax

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Am

plitu

de (d

B)

0.6λ are -20,53 and -23,24 dB respectively. As shown in figure 2 and 4. The total number of function evaluations is 119 iterations for the uniform excitation and 195 for the gaussian one. The synthesized element parameters for these cases are shown in table I.

Fig. 2. The mask of desired pattern (dashed line) and the radiation

pattern obtained by the APSO using 20 elements (solid line)

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Am

plitu

de d

B

Fig. 3. The mask of desired pattern (dashed line) and the radiation

pattern obtained by the APSO using 20 elements (solid line). The array patterns for dmax

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Am

plitu

de (d

B)

= λ for the two kind of excitations law uniform and Gaussian are shown in figure 4 and 5 respectively. From these figures we can see that the maximum sidelobe level for the uniform amplitude is -25 dB and for the Gaussian one is -26.86 dB, the corresponding number of iterations are 164 and 203 respectively.

Fig. 4. The mask of desired pattern (dashed line) and the radiation

pattern obtained by the APSO using 20 elements (solid line).

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Am

plitu

de (d

B)

Fig. 5. The mask of desired pattern (dashed line) and the radiation

pattern obtained by the APSO using 20 elements (solid line).

Page 9: The Me III Op

- 5 -

Therefore from figure 2, 3, 4 and 5 we can conclude that, when the upper limit in the maximum distance between the adjacent elements, dmax is increased, the maximum sidelobe level decreases for both the cases. When we use the Gaussian excitation, there is a significant reduction in the maximum sidelobe level compared to the uniform one for both cases of synthesis. From the obtained results, we show the effect in lowering the sidelobe level of unequally spaced array for different values of dmax , and two kind of excitations law, uniform and Gaussian respectively. An improvement of about 4.47 dB and 3.62 dB in the side lobe level of the uniform and gaussian law is obtained for dmax

= 0.6 λ and λ respectively. We show the comparison of the far-field patterns among the adaptive particle swarm simulation results, and the MDE algorithm simulated results in [7]. These results remain comparable to the modified differential algorithm.

IV.2 Synthesis of planar array

This section presents a design method for planar arrays that permits control of the SLL and the beam width in the two principal planes corresponding to E plane )0( =φ and H plane )90( =φ respectively.

As an illustrative example, we consider the example problem that applied the adaptive particle swarm is the optimization of a 100 element planar array. Excited by uniform and gaussian amplitude respectively, the objects that should be optimized are the relative excitation phase and distance between elements. From figure 6 we can see that, for dmax

0=φ

= λ , position phase synthesis gave a maximum sidelobe level of -21.5 and – 21.90 dB In the two plan E and H respectively, which is the maximum sidelobe level of uniformly excited array. The best fitness value returned versus the number of calls to the fitness evaluator was achieved after 639. The optimized excitations phases and positions according to the two axis are show in table II. The desired beam width is achieved and the specified SLL is respected. For the next example, we take an array with 100 elements,

in position-phase synthesis with prefixed guassian amplitude, the design of this array is based on finding the position and phase distribution of each element, in the plane , the SLL is set to -22.09 dB, and in the plane

90=φ the SLL is set to -21.62dB. Fig. 7 shows normalized absolute power pattern in dB, there is a very good agreement between desired and obtained results. The algorithm is run for 736 iterations with an initial population of 60. The optimized excitation positions and phases (radian) elements according to the two axis are shown in table II. It is clear that in the shaped region, the patterns in the two planes have good performance, and there is no sidelobe that exceeds the specified values. This property of the proposed design enables to choose the size (area) of the region to be covered by the main beam while keeping radiation in the other directions below a desired level.

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Ampl

itude

dB

Plan EPhi=90°

Fig. 6. Radiation pattern (both E and H plane).

20 40 60 80 100 120 140 160 180-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Theta°

Am

plitu

de d

B

Plan EPlan H

Fig. 7. Radiation pattern (both E and H plane).

Page 10: The Me III Op

- 6 -

V. Conclusion This work shows how algorithms based on adaptive particle swarm optimization can be useful in the array synthesis. Different design goals have been defined, as the sidelobe level, nulls in defined directions and desired beam width. In all cases, the algorithm achieves the desired solution and the convergence is good. the advantages of the presented algorithm are the simplicity in the implementation, the robustness, the flexibility and also the intuitive understanding of it. The application to more complex problems in array synthesis or in the electromagnetism area in general, is straightforward. Particularly, the application can be easily extended to other array synthesis problems with different geometries or including other array parameter besides element positions.

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dmin=0.5 λ, dmax d=0.6 λ min=0.5 λ, dmax= λ Uniforme Gaussienne Uniforme Gaussienne

i Amplitude (V)

Phase (radian)

Position (m)

Amplitude (V)

Phase (radian)

Position (m)

Amplitude (V)

Phase (radian)

Position (m)

Amplitude (V)

Phase (radian)

position (m)

1 1 0.7487 0.0175 0.996 5.0682 0.0156 1 3.5685 0.0246 0.996 5.1252 0.0284 2 1 2.5616 0.0504 0.961 3.7013 0.0496 1 2.2755 0.0618 0.961 3.5272 0.0723 3 1 5.6969 0.0836 0.895 6.2751 0.0815 1 5.2610 0.1125 0.895 1.9610 0.1116 4 1 3.7676 0.1161 0.804 1.1059 0.1140 1 0.7969 0.1476 0.804 0.9901 0.1477 5 1 1.2395 0.1478 0.697 1.4574 0.1485 1 4.4486 0.1941 0.697 3.0022 0.1940 6 1 4.8314 0.1829 0.583 2.3690 0.1822 1 4.0623 0.2378 0.583 0.9759 0.2313 7 1 4.5286 0.2181 0.471 3.9140 0.2150 1 2.1007 0.2813 0.471 3.4454 0.2739 8 1 2.0106 0.2492 0.367 5.0115 0.2472 1 2.5295 0.3149 0.367 3.6759 0.3197 9 1 2.1267 0.2820 0.276 1.7060 0.2804 1 4.9153 0.3708 0.276 5.0018 0.3712 10 1 4.8914 0.3164 0.20 1.1641 0.3141 1 1.8258 0.4156 0.20 4.9233 0.4159

dmin=0.5λ, dmax= λ Uniforme Gausienne

i Amp.ox (V)

Amp.oy (V)

Phase.ox (radian)

Phase.oy (radian)

Rep.ox (m)

Rep.oy (m)

Amp.ox (V)

Amp.oy (V)

Phase.ox (radian)

Phase.oy (radian)

Rep.ox (m)

Rep.oy (m)

1 1 1 1.6151 1.7080 0.0182 0.0156 0.583 0.583 1.8917 3.8498 0.0179 0.0270 2 1 1 5.2837 2.0861 0.0647 0.0619 0.471 0.471 4.2286 2.2076 0.0659 0.0759 3 1 1 2.7155 3.2286 0.0986 0.1027 0.367 0.367 3.7226 5.2574 0.1139 0.1326 4 1 1 4.2299 5.3612 0.1524 0.1533 0.276 0.276 5.7139 2.1291 0.1693 0.1627 5 1 1 2.5687 3.9000 0.2016 0.2090 0.200 0.200 1.9587 1.9553 0.2138 0.2005

TABLE I Amplitude and phase distributions

TABLE II Amplitude and phase distributions

Page 11: The Me III Op

- 1 -

PERFORMANCE CONSTANT ENVELOPE OFDM PHASE MODULATION WITH FILTERING

M.DebabElectronic department, University Hassiba Benbouali Chlef, B.P151, Hay Es-salem, Chlef, 02000,

Algéria

and M.Labiod

E-mail: [email protected]

Abstract—This article describes a transformation technique aimed at solving the peak-to-average power ratio (PAPR) problem associated with OFDM (orthogonal frequency-division multiplexing). Constant envelope OFDM (CE-OFDM) transforms the OFDM signal, by way of phase modulation, to a signal designed for efficient power amplification. At the receiver, the inverse transformation—phase demodulation—is applied prior to the conventional OFDM demodulator. The performance of CE-OFDM is analyzed in additive white Gaussian noise (AWGN) and fading channels. CE-OFDM is shown to achieve good performance in dense multipath with the use of cyclic prefix transmission in conjunction with a frequency domain equalizer (FDE). Index Terms: PAPR, CDOFDM, index modulation, filter FIR.

1. Introduction

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) is a very attractive technique for high-bit-rate transmission in wireless applications, as it provides greater immunity to multipath fading and impulse noise. OFDM-based systems are popular and have been adopted in several International Standards for Digital Audio Broadcasting, Digital Terrestrial Television Broadcasting, and Wireless Local and Metropolitan Area Networks. OFDM has two primary drawbacks, however. The first is a high sensitivity to time variations in the channel caused by Doppler, carrier frequency offsets, and phase noise. The second, and the focus of this thesis, is that the OFDM waveform has high amplitude fluctuations, a drawback known as the peak-to-average power ratio (PAPR) problem. The high PAPR makes OFDM sensitive to nonlinear distortion caused by the transmitter’s power amplifier (PA). Without sufficient power backoff, he system suffers from spectral broadening, intermodulation distortion, and, consequently,

performance degradation. High levels of backoff reduce the efficiency of the PA. For mobile battery-powered devices this is a particularly detrimental problem due to limited power resources. A new PAPR mitigation technique is presented. In constant envelope OFDM (CEOFDM), the high PAPR OFDM signal is transformed to a constant envelope 0 dB PAPR waveform by way of angle modulation. The constant envelope signal can be efficiently amplified with nonlinear power amplifiers thus achieving greater power efficiency. In this paper, the fundamental aspects of the CE-OFDM modulation are studied, the signal space, optimum performance, and the performance of a practical phase demodulator receiver. Performance is evaluated over a wide range of multipath fading channel models.

2. OFDM system description The system under consideration is represented by the diagram in Fig. 1. During each T -second block interval, an NDFT point inverse discrete Fourier transform (IDFT) calculates a block of time samples {x[n]}. The sampling rate is therefore F0

[0,X[1],X[2], . . . ,X[NQAM],01×Nzp , 0,X[NQAM], . . . ,X’[2],X’[1]],

=NDFT/T . To obtain a real-valued, oversampled OFDM sequence {x[n]}, the input to the IDFT is a conjugate symmetric, zero-padded data vector [1]

Fig. 1. The modification of an OFDM system to obtain CE-

OFDM where {X[k]}N

QAM

NDFT = 2NQAM + Nzp + 2. The zeros at index

MQAM-QAM data symbols, and 01×Nzp is an Nzp-element row vector comprised of zeros. The IDFT size is thus

k = 0 and k = NQAM+Nzp+1 are used to maintain conjugate symmetry, and the remaining Nzp zeros

Page 12: The Me III Op

- 2 -

achieve the effect of oversampling the time-domain sequence. The oversampling factor is defined as Cos ≡ NDFT/(NDFT − Nzp). Using this convention, the output of the IDFT may be expressed as [1]:

[ ] [ ] DFTDFT

NknjN

kekXnx

π21

0∑

=

= (1)

[ ]{ } [ ]{ }

ℑ−

ℜ= ∑

= DFTDFT

N

k NknkX

NknkX

QAM ππ 2sin2cos21

(2)

n = 0, 1, . . . ,NDFT − 1, where 1=j . Next, {x[n]}, a high PAPR OFDM sequence [2], is passed through a phase modulator to obtain the 0 dB PAPR sequence {s[n] = exp(jCx

[ ]{ } 1−−=

DFT

cp

NNnns

[n])}, where C is a scaling constant. An Ncp-sample cyclic prefix (CP) is appended to {s[n]} to obtain , where s[n] = s[NDFT + n], n =−Ncp, . . . ,−2,−1. The discrete-time samples are then passed through a digital-to-analog (D/A) converter, and the result is amplified and transmitted into the channel. The lowpass equivalent representation of the amplified CE-OFDM signal is s(t) = Aexp {j [2πhm(t) + θ]}, −Tcp ≤ t < T , where A is the signal amplitude. θ is an arbitrary phase offset which may be used as a design parameter to achieve phase continuous modulation [3]. The cyclic prefix duration is Tcp = Ncp/F0 and the block duration is T = NDFT/F0

. The information bearing message signal m(t) is a real-valued OFDM waveform having the same form as (1):

[ ]{ } [ ]{ }

ℑ−

ℜ= ∑

= TktkX

TktkXtm

QAMN

k

ππ 2sin2cos)(1

(3)

−Tcp ≤ t < T , where C is a constant. Therefore, the phase modulating OFDM signal is comprised of N=2NQAM subcarriers, each modulated by

aryQAMMM −= pulse amplitude modulation (PAM) data symbols. It is convenient to define the

message signal as [ ]∑= ),()( tqkICtm knorm where

[ ] [ ]{ }kXkI ℜ= , k=1,2,…….,N

[ ] [ ]{ }QAMNkXkI −−ℑ=

QAM

, k=NQAM

[ ] { }1(,.......,3,1 −±±±∈ MkI

+1,……,N

are M-PAM data symbols

and

)2cos()($ Tkttq kπ

= , k= 1,2,…..,N

QAM

[ ])

2sin()($ T

tNktq QAM

k

−=

π, k= NQAM

are the subcarriers.

+1,….,N

The normalizing constant NC iN2/2 σ= ensures

that the phase variance is independent of the number of OFDM subcarriers N, and is the data variance with σi

2 =1 for binary data [2]. The modulation index h is the key parameter that controls the signal space properties (performance) and the spectral properties of CE-OFDM [4]. The phase memory ϴi

Without loss of generality, full sine and cosine subcarriers (DFT) separated by 1/Ts are used in this paper to fulfill the subcarrier orthogonality requirement

may be used in conjunction with a phase unwrapper at the receiver to ensure a continuous phase at the symbol boundaries and hence better spectral containment [5], [6].

3. PM Reciever A practical receiver such as the PM receiver [4] can be used for CE-OFDM. It consists of a phase demodulator to undo the transformation followed by a standard OFDM demodulator as shown in Fig. 2. Although this results in a sub-optimum receiver [4], it provi des for a simple and practical receiver

Fig. 2. The modification of a standard OFDM receiver to obtain a CE-OFDM receiver

The baseband received CE-OFDM signal is given as:

)()( )( tnAetr tj += φ (4)

Page 13: The Me III Op

- 3 -

Where )()()( tjntntn sc +≡ is the baseband Gaussian noise with power spectral density [1]: A.Phase Demodulator We employ the phase demodulator as shown in Fig. 3.

Fig. 3. Phase demodulator

The baseband received signal r(t) is passed through a lowpass filter (bandpass equivalent prefilter) to reject the out-of-band noise. The phase is extracted by taking the inverse tangent of the quadrature baseband components. This is followed by a phase unwrapper to obtain the demodulated phase. B. Phase Unwrapper The phase estimate from the phase demodulator is confined to the 2π range from –π to +π. The original transmit phase that deviates outside the –π to +π range is wrapped to within this range. Fig. 4 depicts a snapshot of the CE-OFDM phase showing that a larger section of the unit circle is traversed for higher modulation indices. This is why phase wrapping is more frequent for larger modulation indices whereby the large OFDM signal peaks result in large fluctuations in the CEOFDM transmit phase. The OFDM signal becomes Gaussian distributed with variance (2πh)2

[1], for a large number of subcarriers by the central limit theorem [7].

Fig. 4. CE-OFDM phase deviation as a function of modulation

index.

The phase unwrapper restores the received phase by looking at consecutive samples of the phase estimate and determining the shortest angular npath from one phase sample to the next. In effect, the unwrapped phase is obtained by computing the cumulative phase at each sample. Phase unwrapping errors occur when the noise results in the selection of the incorrect angular path. These errors are always equal to 2π due to the combined effect of the correct phase change and the incorrect phase change and are analogous to cycle slips in phase locked loops [8]. 4. Performance over AWGN channels: For the simple AWGN case, the received signal is )()()( 0 twetStr j += φ , where Ф0

The output of the phase demodulator

is

is phase offset caused by the channel [9]. As indicated by the block diagram in Fig.1, and from the development in the previous section, the CEOFDM demodulator operates in the discrete-time domain. It is convenient, however, to consider the continuous-time model for analysis.

)()()( 0 ttt ξφθφφ +++=∧

, where:

[ ][ ]

−−+−−−

=àww

àww

tttAAtttA

tφφφφθφφ

ξ)()(sin)(

)()(sin)(arctan)( (5)

Is a nonlinear noise component; )()( twtAw ≡ and [ ])(arctan)( twtw ≡φ is the envelope and phase,

respectively, of w(t). The DFT following the phase demodulator acts as a correlator bank. The kth

[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ++≡=∧T

àk kNkkSdttqt

TkQ ϕφ )()(1

correlator computes

(6)

k = 1,2,…….,N. The signal component is

[ ] ∫≡ dttqtT

kS k )()(1 φ

[ ]∫∑=T

k

N

kk

norm dttqtqkIT

hC

0

' )('.)(2

''

π (7)

Due to the orthogonality of the subcarriers, only the k′ = k term in (7) contributes, and therefore the signal component simplifies to

Page 14: The Me III Op

- 4 -

[ ] [ ] [ ]kIN

hkIT

hCkS

Iq

norm22

122

σπξ

π== (8)

where ζqThe term accounting for the phase offsets is

= T/2 is the subcarrier energy.

[ ] ( )∫ =+≡T

ok dttq

Tk 0)(1

0φθϕ (9)

Thus, due to the periodicity of the full-cycle sinusoid and cosinusoid subcarriers , the phase offsets do not affect demodulation [10].The noise component is

[ ] ∫ =≡T

ok dttqt

TkN 0)()(1 ζ (10)

The variance of N[k] is approximated by observing that (10), due to the fact that qk

[ ]{ } 221var

AN

TkN à≈

(t) is sinusoidal, can be viewed as a Fourier coefficient of ζ(t) [11].

(11)

The bit error rate is[1]

−≈

02

2

2 1log62.

log12

NMMhQ

MMMBER bξπ (12)

To demonstrate the accuracy of (12), an M = 8 CEOFDM system is simulated. The DFT size is NDFT = 512 and an oversampling factor of J = 4 is used; resulting in N = NDFT/J − 2 = 512/4 − 2 = 126 subcarriers. For this baseline AWGN simulation, the equalizer is required. The phase demodulator performs arctangent calculations on the discrete-time samples [ ] [ ] [ ]nwenStr j += 0φ , then the phase unwrapper is

used to avoid phase jumps in the event that the received phase crosses the π-radian boundary. The

estimated phase sequence, [ ]n∧

φ , is then processed by the DFT to obtain the demodulated PAM data symbols Q[k], k = 1, 2, . . . ,N. The demodulated PAM data symbols are then used to define the demodulated

QAM data symbols [ ]

kX which are processed by

the QAM demapper .

5. Simulation Results: Figure 5 shows simulation results of the discrete-time CEOFDM phase demodulator receiver for modulation index values 2πh. The systeme is simulated without channel phase offsets, the performance gains are accomplished with increasing the modulation index. For example, at SNR = 30dB. The system using a modulation index of h = 0.8 performs at around 10e-4 compared to an error rate of 10e-2

when using h = 0.4. This demonstrates a limitation of the phase demodulator receiver, for a large modulation index and low signal-to-noise ratio, the phase demodulator has difficulty demodulating the noisy samples.

Fig 5 :Performance with various modulation index The finite impulse response FIR filter preceding the phase demodulator (see figure 6) can improve performance.Figure 7 shows BER simulation results of an M = 2, N = 64, J = 8, h = 0.8 system. The filter, has a length Lfir =11 and a normalized cutoff frequency fcut

.=[0.2,0.05] Hamming

Fig 6: FIR filter preceding the phase demodulator

0 5 10 15 20 25 3010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR in dB

BE

R

M=2N=64fc=0.2

h=0.2h=0.4h=0.8

Page 15: The Me III Op

- 5 -

windows are used, the filtered results are shown to be better than the unfiltered result.

Fig 8 :Performance for MMSE and ZF

Fig 7: CE-OFDM performance with and without FIR filter. (M = 2, N = 64, J = 8)

Figure 8 shows the performance of CE-OFDM using the equalizer MMSE and ZF frequency domain, the ZF result is shown to be slightly worse than the MMSE result. Therefore, the ZF frequency-domain equalizer perfectly reverses the effect of the channel. When noise can’t be ignored, the ZF suffers from noise enhancement. The MMSE criterion takes into account the signal-to-noise ratio, making an optimum trade between channel inversion and noise enhancement. 6. CONCLUSION: A signal transformation method for solving the PAPR problem is presented and analyzed. The high PAPR OFDM signal is transformed to a 0 dB PAPR constant envelope waveform. At the receiver, the inverse transform is performed prior to the OFDM demodulator. For the CE-OFDM technique described, phase modulation is used. It is shown that the modulation index controls the system performance. For a small modulation index and high signal-to-noise ratio, the phase demodulator receiver is nearly optimum. For a larger modulation index the phase demodulator receiver becomes sub-optimum due to the limitations of the phase demodulator and phase unwrapper. This problem

can be suppressed with the use of a properly designed finite impulse response lowpass filter which precedes the phase demodulator. The MMSE equalizer is more complicated than the ZF equalizer since the SNR per bit, must be estimated at the receiver. The results of this article show that this added complexity translate good performance REFERENCES [1] S.C. Thompson, “Constant Envelope OFDM Phase Modulation,” Ph.D.dissertation, University of California, San Diego, 2005. [2] S. Shepherd, J. Orriss, and S. Barton, “Asymptotic Limits in Peak EnvelopePower Reduction by Redundant Coding in Orthogonal Frequency- Division Multiplex Modulation,” IEEE Trans. Commun., vol. 46, no. 1,pp. 5–10, Jan. 1998. [3] S. C. Thompson, A. U. Ahmed, J. G. Proakis, and J. R. Zeidler,“Constant Envelope OFDM Phase Modulation: Spectral Containment,Signal Space Properties and Performance,” in Proc. IEEE Milcom, vol. 2,Monterey, Oct. 2004, pp. 1129–1135. [4] W. Y. Zou and Y. Wu, “COFDM: An Overview,” IEEE Trans. Broadcast.,vol. 41, no. 1, pp. 1–8, Mar. 1995. [5] P. H. Moose, D. Roderick, R. North, and M. Geile, “A COFDM-based Radio for HDR LOS Networked Communications,” in Proc. IEEE ICC, vol. 1, June 1999, pp. 187–192. [6] I. Koffman and V. Roman, “Broadband Wireless Access Solutions Based on OFDM Access in IEEE 802.16,” IEEE Commun. Mag., pp. 96–103,Apr. 2002. [7] H. Ochiai and H. Imai, “On the distribution of the peak-to-averagepower ratio in OFDM signals,” IEEE Trans. Commun., vol. 49, no. 2, pp. 282-289, Feb. 2001.

0 5 10 15 20 25 30 35 4010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR in dB

BE

R

h=0.8M=2N=64

WITHOUT FIRFIR fc=0.2FIR fc=0.05

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- 6 -

[8] W. C. Lindsey and C. M. Chie, “A Survey of Digital Phase-Locked Loops,” Proc. of the IEEE, vol. 69, no. 4, pp. 410-431, Apr. 1981. [9] J. G. Proakis, Digital Communications, 4th ed. New York: McGraw-Hill, 2001. [10] S. C. Thompson, J. G. Proakis, and J. R. Zeidler, “Noncoherent Reception of Constant Envelope OFDM in Flat Fading Channels,” inProc. IEEE PIMRC, vol. 1, Berlin, Sept. 2005, pp. 517–521., 2000. [11] H. E. Rowe, Signals and Noise in Communication Systems. Princeton,N. J.: D. Van Nostrand Company, Inc., 1965.

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Mots cl és — PRBS, reg istre L SFR, polynôme p rimitif irréductible, corps de Galois d’ordre deux.

Résumé –– Cette communication se rapporte à la génération et l ’analyse d es s équences de données dites séquences ps eudo-aléatoires binaires qui pr ésentent de s propriétés t rès i ntéressantes. En pa rticulier, no us a llons s’intéresser q ue l a f onction d ’autocorrélation et les propriétés statistiques.

I. INTRODUCTION

es séquences pseudo-aléatoires sont de grande importance pour une variété d'applications. Elles sont facilement

produites par des procédures récursives et sont connues sous plusieurs noms comme : séquences récursives (recursive sequences RS), séquences pseudo aléatoire (pseudo-random sequences PRS), séquences de longueur maximale (Maximal Length Sequences MLS), et séquences de bruit (Pseudo Noise PN). Ces séquences sont utilisées dans plusieurs domaines tels que : l’étalement de spectre à séquence directe DSSS (Direct Sequence Spread Spectrum), le déchiffrage et chiffrage en cryptographie, les techniques de brouillage (scrambling) [1], la détection des erreurs et beaucoup d’autres applications. Pour estimer la performance d’un système de transmission optique, nous sommes obligé de la tester expérimentalement ou par l’intermédiaire des simulations numériques car le principe de ces dernières réside dans la résolution numérique de l’équation non-linéaire de Schrödinger qui décrit la propagation d’une onde lumineuse. Or cette équation n’est pas résoluble analytiquement, sauf pour des cas particuliers (solitons par exemple). Le motif élémentaire d’un signal optique transmis dans une fibre est appelé symbole. Au début de la transmission, les données envoyées par l’émetteur au récepteur ne portent aucune dégradation. Au cours de la

propagation, à cause de l’interaction des différents effets (dispersion chromatique, effets non linéaires, bruit, etc) certains symboles transmis sont plus dégradés que d’autres. Donc, pour ne pas surestimer ou sous-estimer la performance, la séquence des données qui est censée tester la performance du système, doit contenir autant des cas éventuellement dégradés par la transmission que de cas pas beaucoup affectés. Les séquences les plus réalistes (ou plutôt le cas idéal) sont des séquences aléatoires de longueur infinie. Simuler une transmission optique avec une telle séquence requiert alors un très long temps de calcul et une place mémoire importante, ce qui peut vite dépasser la puissance de la machine. Donc, l’idée clé réside sur l’utilisation des séquences dites séquences pseudo-aléatoires ou séquences PRS (Pseudo-Random s équences). Ces séquences sont des séquences déterministes qui contiennent l’ensemble des arrangements possibles de m symboles (sauf un). Une autre propriété intéressante de ce type de séquences est que leur fonction d’autocorrélation ressemble à la fonction d’autocorrélation des processus blancs [2]. C’est pour ces raisons qu’on les appelle pseudo-aléatoire (PRS). Le choix de la longueur de la séquence utilisée peut avoir un impact sur les résultats de la simulation. En effet si la dispersion cumulée dans le système est élevée et la séquence est trop courte, une impulsion d’un temps-bit s’élargie temporellement sur une durée supérieure à la durée de la séquence, ce qui implique une perturbation des résultats de simulation (Il faut noter que ça tient juste pour un format de modulation en amplitude, par exemple NRZ). Donc, la longueur des séquences utilisées pour les simulations est un paramètre très important. Dans la suite de cet article, on ne va pas s’intéresser aux problèmes de la longueur des séquences.

Analyse des Séquences Pseudo aléatoire 212

H. BADAOUI *, Y. FRIGNAC**, B.-E. BENKELFAT** et M. FEHAM* *Laboratoire des Systèmes et Technologie de l’Information et de la Communication

Département de Télécommunication Université Abou-Bekr Belkaid, BP 230, Pôle Chetouane - 13000 Tlemcen - Algérie

**Institut TELECOM & Management SudParis, 9, rue Charles Fourier - 91011 Evry Cedex - France E-mail : [email protected]

-1 pour les Simulations de Transmission optique

aux Formats de Modulation PSK

L

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II. GENERATION D’UNE SEQUENCE PSEUDO-ALEATOIRE BINAIRE « PRBS»

La génération des séquences pseudo-aléatoires repose théoriquement sur les propriétés du corps de Galois [3]. Elles ont une longueur impaire, égale à 2m

ia 1+ia 2+ia 3+ia Séquence de sortie

-1 bits. Les séquences binaires pseudo aléatoires peuvent être construites en utilisant un registre à décalage bouclé par une ou plusieurs portes Ou-exclusif. Ce type de générateur de séquences binaires pseudo aléatoires s'appelle un registre à décalage linéaire de contre réaction LFSR (Linear f eedback shift register). La Fig. 1 illustre un exemple d’un schéma de principe d’un LSFR utilisé pour la génération d’une séquence PRBS. Le registre à décalage est composé de m cellules, en générale, pouvant contenir chacune un bit. A chaque impulsion de l’horloge, les bits sont décalés d’une section sur la droite. Le bit chassé de la section la plus à droite constitue la sortie du registre. Comme les bits sont décalés vers la droite, il est nécessaire de fournir au registre une nouvelle valeur pour la dernière cellule à gauche. Cette valeur est fournie par une fonction de rétroaction qui calcule le nouveau bit en fonction des entrées des portes Ou-exclusif.

Fig. 1. Schéma de principe d’un LSFR [4] Les coefficients {a i}, i 0 :2m-2 et {a i

iii aaa ⊕= ++ 14

}, i ∈ {0,1}, présentent les bits décalés par le registre vers la droite à chaque impulsion de l’horloge. Pour l’exemple de la Fig. 1, la relation de récurrence est donnée par l’équation (1) :

(1) Où la sommation correspond à une sommation modulo-2, d’ailleurs, équivalente à une porte « XOR ». Elle possède deux entrées et une sortie. Pour que la sortie soit au niveau logique "1", il faut que le niveau sur seulement une des deux entrées soit égal à "1" (Tableau.1).

0

0

0 1

1 1

0 1

Tableau. 1. Table de vérité d’une porte ou exclusif

Les liaisons du registre à décalage sont basées sur un polynôme primitif irréductible )(xh d’ordre m (polynôme de Galois) qu’on peut le choisir parmi un certain nombre de

polynômes primitifs du même ordre. Ces derniers sont dans la forme :

im

ii xhxh ∑=

=0)( (2)

Avec :

{ }0 1

0,1 , 0m

j

h hh j m

= = ∈ < <

Les liaisons du registre à décalage correspondent aux coefficients des polynômes primitifs, en effet il existe toujours la première et la dernière liaison puisque h0=hm=1. Le tableau.2 illustre une table de polynômes primitifs pour de différentes valeurs de m.

Tableau. 2. Quelques polynômes primitifs appartenant au corps de GF(2) [5] La Fig. 2 montre un schéma d’un registre LSFR propre à un polynôme primitif )(xh . Si hj=1, la liaison de rétroaction entre deux cellules voisines ai+j et ai+j-1 existe, par contre si hj

ia 1+ia 2+ia 1−+mia 2−+mia

1+ih 2+ih 1−+mih mih +

Séquence de sortie

=0, elle n’existe pas.

Fig. 2. Schéma d’un registre LSFR propre à un polynôme primitif )(xh

Nous pouvons décrire la génération des séquences PRBS par un LSFR en trois étapes :

Etape1: initialisation des paramètres { } 1:0 −= miia comme aléatoire sur chaque flip-flops nommé cellule avec la restriction de ne pas les présenter avec des valeurs toutes nulles car cela impliquerait une sortie constamment nulle, (si les deux entrées d’une porte XOR sont au niveau logique "0", la sortie donne un niveau logique "0"). Etape2 : calcul des autres paramètres { } 22: −= mmiia par

l’utilisation d’une séquence récurrente de la forme :

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( ) iimimmim ahahahahima 0112211 ... ++++=+ +−+−−+− (3)

Avec: 22:0 −= mi

Etape3 : La PRBS est obtenue à partir des valeurs successives du bit le moins significatif. La séquence construite est périodique de longueur maximale ( 12 −= mL ). Puisque la longueur d’une séquence PRBS est impair donc il y a une dissymétrie entre les bits « 1 » et les bits « 0 ».L’équiprobabilité des « 1 » et des « 0 » dans une PRBS n’est pas parfaitement réalisée.

On présente un exemple où on s’intéresse à générer une séquence PRBS de longueur égale à 15 = (24

14131211109876543210 aaaaaaaaaaaaaaa 0a 3a 2a 1a

4a

-1) bits. Pour obtenir une telle séquence il nous faut un LFSR illustré sur la Fig. 3.

Fig. 2. Exemple d’un schéma de principe d’un LSFR D’une manière générale, le diagramme d’état suit une succession de ( 12 −m ) états, à partir d’un registre LSFR. Suivant notre exemple, le diagramme d'état pour le LFSR consiste en 15 états différents de 4 bits. Chaque nouvel état est obtenu par le décalage de l’état précédent d’un seul bit à la droite, et remplacement du bit a gauche par le résultat d'une addition module 2 correspondant à l'ensemble de « taps » utilisé. La Fig. 4 illustre le principe du diagramme d’état pour le LSFR.

États Nombre des états

0 0 0

3 1 0

6 0 1 1 1 1 0 0 0

0

2

4 5

8

10 11

13 14

1

1

1

9

12

7

0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1

15=0 1 0 0 0

Fig. 4. Principe du digramme d’état pour la LSFR Etape1 : On commence par l’état initial:

( )00010123 =

aaaa

Etape2 :

⊕=⊕=⊕=⊕=⊕=

⊕=⊕=⊕=⊕=⊕=⊕=

101114

91013

8912

7811

6710

569

458

347

236

125

014

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Etape3 : La séquence PRBS de sortie est : ( ) ( )01111000100110114131211109876543210 =aaaaaaaaaaaaaaa

Ce LSFR peut produire 124 − séquences binaires pseudo-aléatoires équivalentes par une permutation circulaire. La Fig.5 illustre le principe d’obtention des séquences équivalentes [6].

(a)

000100110101111 000100110101111 00100110101111 0 0100110101111 00 100110101111 000 00110101111 0001 0110101111 00010 110101111 000100 10101111 0001001 0101111 00010011 101111 000100110 01111 0001001101

1111 00010011010 111 000100110101

11 0001001101011 1 00010011010111

1 0

0

1

1

0

1 0

1

1

1

1

0

0 0

(b)

Fig. 3: (a) Illustration de 124 − séquences équivalentes par un décalage vers

la droite. (b) Illustration de 124 − séquences équivalentes par permutation circulaire

La sommation modulo 2 de deux séquences PRBS équivalentes forme une séquence PRBS qui appartient à l’ensemble des séquences équivalentes obtenues par permutations circulaires. Suite à notre exemple, la sommation modulo 2 des deux premières séquences PRBS produit la cinquième séquence PRBS. De même, on pourrait aussi construire une séquence PRBS à partir de l’équation de récurrence (3). Pour obtenir une telle séquence il nous faut un polynôme primitif sur GF(2) d’ordre m=4. A partir du tableau.2 nous obtenons 4( ) 1h x x x= + + .

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Etape1 : Nous prenons comme état initial

0123 aaaa

égale à ( )0001 ,

Etape2 :

+++=+++=

+++=+++=+++=

+++=+++=+++=+++=+++=+++=

1011112213314

910111212313

89110211312

7819210311

671829310

56172839

45162738

34152637

23142536

12132435

01122334

aahahahaaahahaha

aahahahaaahahahaaahahaha

aahahahaaahahahaaahahahaaahahahaaahahahaaahahaha

Etape3 : La séquence PRBS de sortie est : ( ) ( )01111000100110114131211109876543210 =aaaaaaaaaaaaaaa Sur la Fig. 6, on présente une séquence binaire pseudo aléatoire (PRBS) de longueur 124 − .

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps bit

Fig. 6. Une séquence PRBS de longueur 124 − . La séquence: 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

III. PROPRIETES DES SEQUENCES PRBS

On distingue certaines propriétés intéressantes des séquences PRBS. Nous les décrivons dans les sous-parties suivantes.

A. LA FONCTION D’AUTOCORRELATION

La fonction d’autocorrélation d’une séquence binaire pseudo-aléatoire 110 ....... −−Laaa de longueur L est donnée par :

( )

( )

−≤≤−=

=

2211

10

miL

ρ (4)

La Fig. 7 illustre le principe de la fonction d’autocorrélation d’une séquence pseudo-aléatoire binaire.

La

fonc

tion

d’au

to c

orré

altio

n ρ(

i)

T 0

1 1 1

1/L i 12 −m )12(2 −× m

Fig. 7. La fonction d’autocorrélation d’une séquence pseudo aléatoire binaire

La fonction d’autocorrélation est périodique. C'est-à-dire :

( )Lii += ρρ )( (5) La séquence PRBS a la particularité, lorsqu’elle est corrélée, de n’offrir qu’un seul maximum de corrélation à l’origine. En effet, elle est une suite aléatoire de bit de longueur finie de telle manière que deux bits successifs ne seront pratiquement pas corrélés, La fonction d’autocorrélation d’une séquence réelle (ou complexe) 1210 ,..,,, −Laaaa est définit comme :

( ) jiL

jj aa

Li +

=∑=

1

0

1ρ (6)

Avec: ,...2,1,0 ±±=i Une fonction d’autocorrélation physique en associant un niveau -1 ou 1 à une séquence binaire (selon ( ) ( ) ( ) 110 1,...,1,1 −−−− Laaa ) est donnée par :

( ) ( )∑ −=−

=

+ +1

011 L

j

aa ijj

Liρ (7)

Avec: 22:0 −= mi , L étant la longueur de la séquence et ai+L=a

B. LA PERIODICITE

i

L’équation (7) est obtenue tout en remplaçant les bits « 1 » par une valeur de « -1 » et les bits « 0 » par une valeur « +1 ».

Les séquences PRBS générées et montrées sur la Fig. 1, sont des séquences périodiques d’une période de 12 −m bits.

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0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

C. PROPRIETES STATISTIQUES

La longueur L des séquences PRBS est définie comme suit :

12 −= mL (8) En effet, comme leur longueur est impaire, il y a forcement un déséquilibre entre le nombre de « 1 » et le nombre de « 0 ». L’équiprobabilité des « 1 » et des « 0 » dans une PRBS n’est plus parfaitement satisfaite [7]. Le nombre de « 1 » est égal à : 12 −m . Le nombre de « 0 » est égal à : 12 1 −−m .

IV. RESULTATS DE L’ANALYSE DES SEQUENCES BINAIRES PSEUDO-ALEATOIRES « PRBS »

Afin de caractériser une séquence quelconque par rapport à sa capacité de posséder des propriétés du type pseudo-aléatoire, on va s’intéresser à tester la fonction d’autocorrélation des différentes séquences binaires utilisées couramment pour des simulations numériques et celle de la séquence des changements d’état pour un nombre de cellule m constituant le registre LSFR égale à 12. On peut dire qu’une séquence possède de bonnes caractéristiques pseudo-aléatoires si sa fonction d’autocorrélation présente un tracé complètement plat. De plus, nous allons effectuer une analyse statistique d’une séquence PRBS et celle de la séquence des changements d’état.

A. NOMBRE D E C ELLULES EGAL A 12, P OLYNOME PRIMITIF 1)( 34712 ++++= xxxxxh

Dans la Fig. 8, on présente les fonctions d’autocorrélation pour deux types de séquences à m=12, correspondant à une séquence pseudo-aléatoire binaire et sa séquence des changements d’états. Cette dernière est obtenue par le « multiplexage » entre un bit et le bit précédent afin d’obtenir un symbole. Ce qui suit, on dira que la séquence des changements d’états est une séquence quaternaire qui peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Par exemple une séquence binaire « 0101110 » a sa séquence des changements d’état « 1213320 ». La fonction d’autocorrélation d’une séquence PRBS est assimilée par un pic de Dirac à l’origine d’amplitude égale à 1, ceci traduit le fait que, lorsqu’elle est corrélée, de n’offrir qu’un seul maximum de corrélation. D’autre part, si on décale la séquence d’un seul bit la fonction d’autocorrélation sera constamment nulle, c’est-à- dire la séquence PRBS est décorrelé hors de l’origine ce qui confirme que les bits sont totalement indépendants.

Fig. 8. La fonction d’auto corrélation de la séquence pseudo aléatoire binaire de 4095 bits. Fig. 9. La fonction d’auto corrélation de la séquence des changements d’état de 4095 symboles. De même et d’après la Fig. 9, on remarque que la fonction d’autocorrélation de la séquence des changements d’état est similaire à celle de la PRBS, mais elle n’est pas une séquence quaternaire pseudo-aléatoire. La propriété de la séquence des transitions d’une PRBS qui manque pour qu’elle soit une PRQS, est qu’elle ne contient pas tous les enchaînements possibles de m symboles. Dans le cas d’une séquence PRBS, on a quatre cas de corrélation et la probabilité d’avoir deux bits similaires est identique à la probabilité qu’ils soient différents. En effet, pendant le calcul de la fonction de corrélation si les deux bits sont égaux on ajoute un « 1 » à la fonction de corrélation et s’ils sont différents on enlève un « 1 ». Par contre, dans le cas d’une séquence PRQS, on a 16 cas de corrélation et la possibilité d’avoir deux symboles similaires est moins probable que celle d’avoir deux symboles différents. La fonction de corrélation permet de quantifier le taux de ressemblance entre les symboles. Si les deux symboles sont égaux on ajoute un « 1 » et s’ils sont différents on enlève un « 1/3 ». D’après les statistiques d’une PRBS, on remarque que le nombre des « 1 » est supérieur au nombre des « 0 ». En effet, puisque la longueur de la séquence est assez grande, la probabilité d’avoir des « 0 » est presque égale à celle des « 1 ». Ceci est similaire pour la séquence des changements d’état qui contient un nombre des zéros inférieur aux autres symboles à savoir « 1 », « 2 », « 3 ». Ceci est illustré dans le Tableau. 3.

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Etats 0 1 0 1 2 3 Nombre 2047 2048 1023 1024 1024 1024

Probabilité 0.4998 0.5001 0.2498 0.2500 0.2500 0.2500 Tableau. 3. Analyse d’une séquence PRBS de 4095 bits La longueur de la séquence binaire à simuler est un paramètre très important. Des études ont montré que des séquences très longues, jusqu’à 152 bits voire plus, sont nécessaires pour que les résultats de simulation d’une transmission à 40 Gbit/s soient significatifs [8].

V. CONCLUSION Pour émuler un trafic de données réelles d’une transmission utilisant un format de modulation PSK avec deux niveaux de phase, on se dirige vers des séquences pseudo-aléatoires binaires, PRBS. Des analyses pour une longueur égale à 4095 bits ont été faites afin de confirmer ses propriétés telles que le comptage des états et sa fonction d’autocorrélation.

REFERENCES

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, Proceedings Of World Academy Of Science, Engineerings And Technology Volume 10, Dec. 2005.

[2] John Proakis, « Digital communications », 4th

edition.

[3] H. Badaoui, « Annexe », Mémoire de Magister en systèmes et réseaux de télécommunications, Université de Tlemcen, 2008.

[4] F. Jessie, M. Williams & Neil J. A. Sloane, « Pseudo-Random Sequences and Arrays »,

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[5] http://www.theory.cs.uvic.ca/~cos/gen/poly.html

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_feedback_shift_register.

[7] Y. Frignac, « Contribution à l ’Ingénierie d es S ystèmes d e Transmission Terrestres sur Fibre optique utilisant le Multiplexage en Longueur d’onde de Canaux Modulés au Débit de 40 Gbits/s », Thèse de Doctorat

, Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications, Avr. 2003.

[8] T. Fauconnier, « Etude d'un nouveau f ormat d e m odulation: l a DQPSK ‘Differential Quaternary P hase Shift Keying’ », Stage de Fin d’Etude, Unité de Transmissions WDM d'Alcatel a Marcoussis, 2005.

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UTILISATION DES HOS POUR LES CALCUL DU FILTRE OPTIMAL EN DMT

[email protected]

Mabrouk DJEDDI Département FHC

Université Boumerdès 35000

Hocine BELLAHSENE Département TCSN

Université A/Mira, Béjaia Algérie Algérie

Jean Michel ROUVAEN IEMN UMR 8520

Université de valenciennes France

Résumé—La technique de réduction du canal effectif par algorithmes ad aptatifs au todidactes a c onnu u n e ssor considérable. Elle es t t rès u tile p our maintenir l’orthogonalité des sous porteuses lors de la modulation à p orteuses multiples et p ermet d e ré duire d e manière conséquente l a co mplexité d e l ’algorithme de d étection multi-utilisateurs. N ous r evoyons da ns c e pa pier l’égalisation p ar r éduction d e c anal. N ous u tilisons l e calcul du maximum de kurtosis pour retrouver le f iltre TEQ optimal a insi que le délai de synchronisation dans l’algorithme d u M SSNR ( Maximum Shortening Signal to N oise R atio). N ous c omparons l e f iltre op timal retrouvé par d’autres méthodes et celui retrouvé avec la méthode du maximum du kurtosis. Mot s clé—

I. INTRODUCTION

DMT, HOS, égalisation, multiporteuses.

Certaines méthodes permettent de retrouver le canal et de calculer l’égaliseur optimal [9]. Les autres sont dites sous-optimales et/ou adaptatives [14]. La plupart des approches par modèle TEQ (Time domaine Equalizer) ne sont pas adaptatives, elles nécessitent l’apprentissage ou une estimation de canal avec des calculs assez lourds à mettre en œuvre. L’algorithme que nous améliorons dans cet article est celui de MERRY (Multicarrier Equalisation by Restoration of RedundancY) [6][13]. Nous proposons une méthode basée sur les statistiques d’ordres supérieurs, dite par maximum du kurtosis, et nous calculons également le délai optimum ainsi que le filtre optimal lui correspondant.

II. APPLICATION DE LA REDUCTION DE CANAL A L’EGALISATION A PORTEUSES MULTIPLES

A. Algorithme d’égation multiporteuse par rétablissement de redondance L’algorithme MERRY (Multicarrier Equalization by

Restoration of RedundancY) exploite la redondance introduite dans les données à travers le préfixe cyclique (figure 1) [6]. C’est une approche basée sur la minimisation de l’espérance mathématique du carré de la différence cyclique qui est la différence entre des valeurs de y

séparées par un bloc de données.

.

Figure 1. rajout du CP à la trame de données.

Lorsque le CP est ajouté au début de la trame, les P derniers symboles du bloc de données de taille N sont réinjectés au début de celui-ci. Ainsi, les N P+ données transmises deviennent périodiques. Cette périodicité est nécessaire pour maintenir l’orthogonalité des multiporteuses [12]. Les P derniers symboles sont identiques aux P premiers et nous pouvons écrire :

{ }( ) ( ), 1, ..., ,s Mk i s Mk i N i P+ = + + ∈ (1)

où M P N= + est la durée de tous les symboles et k est l’indice de chaque symbole. La figure 1 montre un exemple où l’on prend 8, 2N P= = et 10M N P= + = correspondant à 0k = . Les données reçues r sont obtenues à partir de s selon la relation suivante :

0

( ) . ( ) ( ),Lc

l

l

r Mk i c s Mk i l n Mk i=

+ = + − + +∑ (2)

Les données égalisées y sont obtenues à partir de r suivant cette équation :

0

( ) . ( ),L f

j

j

y Mk i f r Mk i j=

+ = + −∑ (3)

La relation donnée par (1) est détériorée à cause du canal

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Data Data Data

CP CP

0 1 2 3 4(2) (2) (1) (0) ( 1) ( 2)y h s h s h s h s h s= + + + − + −

[ ]0 1 2 3 4(10) (9) (0) ( 1) ( 2)h s h s h s h s h s= + + + − + −

[ ]0 1 2 3 4(10) (10) (9) (8) (7) (6)y h s h s h s h s h s= + + + +

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lors de la réception des données, car les ISI qui affectent le CP sont différents de ceux qui affectent les P derniers éléments du symbole. Considérons l’exemple de la figure 1, Les éléments transmis 2 et 10 sont identiques. Cependant, au niveau du récepteur, l’interférence des éléments avant l’élément 2 ne sont pas toutes égales à celles qui sont avant l’élément 10. Si on considère

2 3,h h et4h nuls, alors

(2) (10)y y= car (2) (10)s s= et (1) (9)s s= . Il est clair que pour avoir (2) (10)y y= il faut forcer

2 3,h h et4h à zéro

(éléments se trouvant entre crochets dans la figure 1), cette égalité étant prise dans le sens des moindres carrés. Nous rendons de cette façon le canal effectif de taille équivalente à celle du CP.

B. La fonction coût de l’algorithme

La fonction coût de l’algorithme MERRY se traduit par l’équation suivante :

2( ) ( ) ,J E y Mk P y Mk P Nδ δ= + + − + + + (4)

avec { }0,..., 1Mδ ∈ − , δ étant le délais désiré (c’est le coefficient de synchronisation). Le gradient stochastique de (4) donne l’algorithme de réduction de canal adaptatif aveugle MERRY (Multicarrier Equalization by Restoration of RedundancY) [8].

C. Algorithme MERRY

*

, 0,1, 2,....,

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )ˆ( 1) ( ) ( ) ( )

ˆ( 1)( 1) ˆ( 1)

T

Pour un donné le symbole k

k Mk P

Mk P N

e k k k

k k e k k

kk

k

δ

δ

δ

µ

=

= + +

− + + +

=

+ = −

++ =

+

r r

r

f r

f f r

ff

f

(5)

avec ( ) ( ), ( 1),..., ( )T

fi r i r i r i L= − − r , et ( )* est le conjugué complexe. Pour éviter la solution triviale ( =f 0 ) nous devons prendre 1=f .

L’algorithme représenté par (5) donne le vecteur propre minimal de la matrice HE= A rr . Soit C la matrice canal de convolution autrement dit =h Cf et soit wallC obtenue par suppression de δ lignes des 1Pδ + − de C . Si l’entrée ( )s k est blanche, alors T

wall wall=A C C . L’énergie à l’extérieur de la fenêtre du canal effectif plus le gain du bruit est donnée comme suit :

12 22

0

2 2Lh

s j j

j j P

TJ h h n

δ

δ

δ

σ−

= = +

= + + ∗ ∑ ∑ f R f (6)

Dans le cas où la réduction du canal utilisée est autodidacte et non adaptative, alors la matrice

HE= A rr peut être estimée à partir des données. Le vecteur propre correspondant à la valeur propre minimale peut être calculé, ce qui fournira une technique d’initialisation pour éviter les modes de convergence lents.

D. La réduction de canal optimale La réduction de canal optimale utilise un algorithme

basé sur le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres pour générer les coefficients du filtre réduit optimal. La technique consiste à déterminer le filtre TEQ qui maximise le rapport de réduction du signal sur le bruit dans une fenêtre. Pour ce faire, il faut minimiser l’énergie de la réponse impulsionnelle du canal effectif, à l’extérieur de la fenêtre contenant les ( 1P + ) échantillons. Nous reprenons

winC et wallC tels que définies dans [1], alors win win=h C f représente le canal effectif situé dans la fenêtre de taille ( 1P + ). Cependant wall wall=h C f donne le canal effectif en dehors de cette fenêtre. Le problème de conception du TEQ à base du MSSNR peut être décrit comme suit [1][4] [9][11] :

( )min T

ff Af sous la contrainte 1,T =f Bf (7)

où A et B sont des matrices réelles [7], symétriques f fL L× avec :

Twall wall=A C C , T

win win=B C C (8)

Elles représentent, respectivement, les énergies correspondant à wallC et winC où :

T T T T

wall wall wall wall= =h h f C C f f Af (9)

T T T T

win win win win= =h h f C C f f Bf (10)

La résolution de l’équation (7) mène au TEQ qui donne la solution du problème de vecteurs propres généralisé [12], nous avons par conséquent :

λ=Bf Af (11)

où λ est la valeur propre généralisée correspondant au vecteur propre généralisé f , qui est la solution de l’équation (11).

( ) ( )1 1

T− −

=C B A B (12)

L’inverse de la matrice A est retrouvé par factorisation de

Page 25: The Me III Op

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Cholesky. Les TEQ sont alors donnés par :

( ) 1

T−

=f B q (13)

où q est le vecteur propre correspondant à la valeur propre λ . Il est montré aussi [9] que l’algorithme converge globalement si

min=q q est le vecteur propre minimal correspondant à la valeur propre minimale

minλ . C’est ainsi que le filtre TEQ optimal optf est retrouvé [3].

L’expression du SNR réduit optimal (Shortening SNR ou SSNR) est donnée par :

min

min

110 log 10 log

10 log( )

T

opt opt

opt T

opt opt

opt

SSNR

SSNR

λ

λ

= =

= −

f Bf

f Af (14)

En somme, l’algorithme optimal utilise la matrice C , dont les éléments sont calculés à partir de wallH et winH . Le SSNR optimal est retrouvé par calcul direct des valeurs propres minimales de la matrice C . Les coefficients du TEQ optimal sont finalement calculés par transformation linéaire du vecteur propre unitaire associé à la valeur propre minimale.

III. L’ALGORITHME MODIFIE

A. Calcul du pas de convergence par kurtosis Le kurtosis normalisé d’une variable aléatoire s ayant

comme valeur moyenne s est défini par le rapport du

moment d’ordre quatre 4η au carré du moment d’ordre

deux22η tous deux centrés. Les HOS (Higher Order

Statistics) définissent le kurtosis comme suit [5] :

44 2

2

( ) ,s ηκ

η= (15)

où, si E est l’opérateur espérance mathématique :

( ){ }2

2 ,E s sη = − (16)

( ){ }4

4 ,E s sη = − (17)

L'excès (kurtosis standard) est défini par l'équation (15) moins trois. Il s’annule lorsqu’il s’agit d’une distribution normale [2][3][5]. D’ou tout l’intérêt à introduire ce coefficient. En effet, sachant que le bruit additif est dans la plupart des cas de type Gaussien, il est bien connu que les statistiques d’ordre supérieur ne sont pas affectées par le bruit. Par ailleurs, le pas de convergence est calculé dans

l’algorithme classique [7] en donnant, en premier, une valeur assez grande à µ (à savoir 0.75) ensuite, cette valeur est décrémentée par divisions successives. Nous proposons dans ce papier une méthode itérative pour le calcul de µ . En effet, le pas de convergence divisé par le kurtosis normalisé donné par l’équation (15) de la séquence reçue à l’entrée de l’égaliseur permet de tenir compte à chaque itération de la séquence à l’entrée de l’égaliseur ( )ir . Ainsi, le pas de convergence du nouvel algorithme est calculé à partir d’un

0µ divisé à chaque itération par le kurtosis de sorte à avoir :

( )0

1

4

,( )i i

µµ

κ+=

r (18)

Par ce procédé, la mise à jour du pas de convergence dépend des données reçues (c’est à dire des conditions de transmission du canal).

B. Calcul du filtre optimal parmaximisation du kurtosis Cette procédure débute à partir de tous les filtres réduits

nf ayant été trouvés à partir de l’équation (26), utilisant l’algorithme du MSSNR [9]. Nous proposons de choisir le filtre SCE (Shortened Channel Equalizer) optimal, non pas en comparant les énergies de tous les filtres trouvés tels que abordés par Martin et al. dans [8], mais plutôt en calculant le kurtosis de chaque filtre. Nous avons ainsi :

,n n= ∗y h f (19)

( )4 ,n nκ=g y (20)

Réduire le canal revient à trouver un filtre tel que sa séquence de sortie ait la même variance et le même kurtosis maximum en valeur absolue qu’à l’entrée du filtre. Le filtre optimal sera celui qui maximisera la quantité donnée par (15). Le délai de synchronisation sera la valeur de l’indice k qui correspondra à ce filtre, tel que :

( ){ }arg max .nn

k = g (21)

Les résultats obtenus vont maintenant être discutés dans la partie consacrée aux simulations.

IV. SIMULATIONS

32P =

Les données que nous utilisons lors de la simulation sont les huit CSA loop (Carrier Serving Area), utilisées dans le standard ADSL. Nous allons utiliser les CSA1 et CSA4 lors de nos simulations. Le CP est de taille , la taille de l’égaliseur est égale à 16 [10].

Afin de pouvoir comparer les résultats donnés par les deux méthodes, nous nous proposons d’injecter à l’entrée des deux algorithmes les filtres optimaux calculés par les deux méthodes, à savoir celui calculé par MERRY optimal

Page 26: The Me III Op

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et le filtre retrouvé par notre méthode (par maximum du kurtosis), le pas de convergence étant déterminé par notre technique d’itération dépendant de la séquence de données ou de façon classique. Dans tous les cas nous choisissons un SNR égal à 40dB.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

MER

RY

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'térations rajout du CP à la trame de

Figure 2. Test du filtre optimal calculé par MERRY optimal pour le CSA1.

Le filtre optimal calculé par l’algorithme MERRY optimal (figures 2 et 3), montre que lorsque celui-ci est injecté à l’entrée de l’algorithme de MERRY, l’amplitude est égale à 1 et que beaucoup de fluctuations dans le tracé de la convergence de la fonction coût peuvent être remarquées pour les standards CSA1 et CSA4. Le débit est très instable relativement à la figure 6. Le délai optimal trouvé est égal à 28.

L’amplitude au début est égale au tiers de la pleine échelle (approximativement 10-2

La figure 4 montre la convergence quasi instantanée de la fonction coût de l’algorithme MERRY dès la première itération lorsque le filtre optimal est calculé par notre méthode, c. à d. la maximisation du kurtosis pour retrouver le filtre optimal.

) avec le CSA1 correspondant à un délai optimal égal à 27. Le même délai ainsi que la même amplitude sont trouvés pour le CSA 4 en figure 5. La différence entre les deux boucles se situe au niveau du débit qui pour le premier est relativement fluctuant autour de 3Mb/s, par contre il est stable à la valeur 1.5Mb/s, pour le second.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

MER

RY

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001.5

2

2.5

3

3.5x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'itération

Figure 3. Test du filtre optimal calculé par MERRY optimal pour le CSA4.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

MER

RY

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10002.5

3

3.5

4x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'itérations

Figure 4. Test du filtre optimal calculé par maximum du kurtosis pour le standard CSA1.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

MER

RY

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'itérations

Figure 5. Test du filtre optimal calculé par maximum du kurtosis pour le standard CSA4.

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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

mod

ifiée

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10002.5

3

3.5

4x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'itérations

Figure 6. Test du filtre optimal par algorithme modifié pour le CSA1.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

100

Fonc

tion

Coût

mod

ifiée

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

6

Déb

it bi

naire

(bps

)

Nombre d'itérations

Figure 7. Test du filtre optimal par algorithme modifié pour le CSA4.

Les figures 6 et 7 donnent le résultat du test du filtre optimal calculé par maximum du kurtosis en plus du calcul du pas de convergence calculé en utilisant les statistiques d’ordre supérieur. Les performances dans ce cas sont meilleures que celles trouvées précédemment, toutefois les cas de figures de 4 à 7 restent très proches, mis à part que le filtre optimal retrouvé par maximum du kurtosis est réinjecté à l’entrée de l’algorithme de MERRY dont le pas d’adaptation a été pondéré par le kurtosis du signal d’entrée. Le débit reste stable surtout pour le CSA4, spécialement après la 500ème

Il est à remarquer que les délais optimaux retrouvés avec les nouveaux algorithmes sont identiques. Ils sont par contre différents de ceux retrouvés dans la littérature [6].

itération. Le délai de synchronisation est dans les deux standards égal à 27.

V. CONCLUSION Les approches adaptatives de réduction de canal aveugle

ont été reprises dans ce papier. Une nouvelle méthode de calcul du filtre optimal par maximisation du kurtosis à été proposée. Le délai de synchronisation a pu être calculé. Les

résultats trouvés ont été comparés avec ceux donnés dans la littérature. Une nette amélioration de la stabilité du débit ainsi que de la convergence de la fonction coût a été établie. Par ailleurs, l’algorithme de réduction de canal adaptatif aveugle par maximisation du kurtosis, dont le pas de convergence a été calculé par kurtosis, donne de meilleurs résultats.

Finalement, il semble bien que les performances que nous avons trouvées et celles que nous avons améliorées, sont le fruit de l'introduction de l’outil mathématique très puissant que constituent les statistiques d'ordres supérieurs. A travers les HOS High Order Statistics), nous avons pu stabiliser et augmenter la vitesse de convergence des algorithmes de calcul déjà disponibles et nous avons introduit une nouvelle méthode qui nous a permis d'obtenir de meilleurs résultats.

La variation de la nouvelle fonction coût en fonction des différents SNR est actuellement en cours d’étude et fera l’objet de travaux futurs.

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Shortening for d iscrete M ultitone T ranscievers,” IEEE Trans. on comm., vol. 44, pp. 1662-1672, Dec. 1996. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68–73.

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[4] Ali.H Sayed “Fundamentals o f adaptive fi ltering,” publié par john Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey 2003.

[5] T. Pollet, M. Peeters, M. Moonen, et L. Vandendorpe “Equalization for DM T-Based B roadband M odems,” IEEE comm. mag., vol. 38, pp. 106-113, May 2000.

[6] R. K. Martin and C. R. Jonhnson, Jr, , “Adaptive E qualization: Transitioning fr om s ingle-carrier to m ulticarrier systems,” in Proc. IEEE Signal mag., vol. 22, pp. 108-122, nov. 2005.

[7] N. Al Dahir, “FIR C hannel-Shortening E qualizers f or M IMO ISI Channels,” IEEE Trans. on comm., vol. 49, no2, pp. 213-218, Feb. 2001.

[8] D. D. Falconner, S. L. Ariyavisitaul, A. Benyamin-Seeyar, et B. Eidson, “Frequency d omain equalization f or single-carrier broadband wireless systems, ” IEEE Comm. Mag., vol. 40, pp. 58-66, Apr. 2002.

[9] P. J. Melsa, P. J. W. Melsa, R. C. Younce et C.E. Rohrs, “Impulse Response Shortening f or d iscrete Multitone T ranscievers,” IEEE Trans. on comm., vol. 44, pp. 1662-1672, Dec. 1996.

[10] H. Minn, N. Al-Dhahir, et Y. Li, “Optimal Training Signals for MIMO OFDM Channel Estimation in the Presence of Frequency Offset and Phase Noise,” IEEE Trans. on comm., vol. 54, no10, pp. 1754-1759, Oct. 2006.

[11] C. Y. Chi, C. Y. Chi, C. Y. Chen, C. H. Chen et C. C. Feng “Batch processing Algorithms for blind equalization using higher o rder statistics,” IEEE signal processing magazine, pp. 1053-5880, march 2003.

[12] J. L. Lacoume, J.L. Lacoume, P.O. Amblard et P. Comon, "Statistiques d ’Ordre S upérieur p our le Traitement d u Signal, " Edition, Masson, Paris, 1997.

Page 28: The Me III Op

CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

[13] I. Chahed, H. Bellahsene, J. M. Rouvaen et M. Djeddi, “Selection of the order of ARMA model using Kurtosis minimisation. Application to blind deconvolution of seismic data,” in proceding AMSE, vol. 47, no 2, pp. 77-89, 2004.

[14] R. K. Martin, K. Vanbleu, M. Ding,G. Ysebaert, M. Milosevic, B. L. Evans, M. Moonen, et C. R. Johnson, Jr., “Unification and Evaluation of Equalization Structures and Design A lgorithms f or D iscrete

Multitone M odulation S ystems,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 53, pp. 3880-3894, April 2005.

Page 29: The Me III Op

1

Application du filtrage Adaptatif non linéaire, basésur le LMS à pas d’adaptation variable, à

l’annulation d’écho acoustique enTélécommunication.

A.Manseur (1), A.Mekhmoukh(2), R.Dib(2) ,Baali Hamza(1)

(1)Département d’Electronique , Ecole Nationale Plytechnique , Algérie(2)Département d’Electronique, Université de Bejaia, Algérie

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Résumé—Le travail effectué , dans cet article , consiste àétudier le filtrage adaptatif , en général et le LMS à pasd’adaptation variable , dans le cas linéaire, qu’on a étendu aucas non linéaire via les séries de Voltera pour améliorer lesperformances de ces filtres. Cette étude s’est , principalementaxée sur : le choix du pas d’adaptation et les conditions deconvergence , le taux de convergence et l’expression du pas deconvergence , d’une manière adaptative , en fonction du signald’entrée.

L’application de ces filtres adaptatifs à des signaux de paroleréels , a démontré leur capacité en poursuite , tout en gardantune complexité de calcul relativement appréciable.

Mots clefs : Facteur de convergence , Filtrage adaptatif , filtresnon linéaires , séries de Voltera , Traitement de la parole.

Astract—The performed job , in this article , consiste instudying adaptative filters , in general , and the variable stepLMS , in the linear case. To ameliorate the performances of ourfilter , an extension of linear case to non linear filters via Volteraseries is given. This study is , principally , axed on : Choice ofthe adaptation step and convergence conditions , convergence rateand adaptative variation of the convergence factor , according tothe entrance siganl.

The obtained results , with real signals , have shown computa-tionally effcient and numerically satble algorithms for adaptativenonlinear filtring while keeping relatively simple computationalcomlexity.

Key words :Convergence factor , Adaptative filtring , nonlinear filters , Voltera serie.

I. INTRODUCTION

L e filtrage est dit adaptatif, s’il y a modification de sesparamètres à chaque fois qu’il y a un changement dans

le signal d’entrée. L’algorithme de filtrage adaptatif met à jour,récursivement, les coefficients du filtre, afin de lui permettrede suivre l’évolution du processus. Si celui-ci est stationnaire,l’algorithme doit converger vers la solution optimale de Wie-ner, sinon il présentera une capacité à suivre les variationsdes grandeurs statistiques du processus.En dépit de la grandeimportance des filtres et systèmes de modélisation linéairesdans de larges éventails de situations, il existe de nombreuses

applications dans lesquelles ils affichent leurs limites de per-formance. En présence de bruit multiplicatif, par exemple,les performances des filtres linéaires sont insuffisantes. Pourcette raison, récemment, beaucoup d’attention a été donnéeà la modélisation non linéaire des systèmes via les sériesde Volterra [1]. Dans la famille des filtres non linéaires ontrouve la classe des filtres polynomiaux (de Volterra). Ce typede filtre trouve son application dans de nombreux domainescomme le traitement du signal, les systèmes de communica-tion, l’annulation d’écho et l’identification des systèmes [2].

Dans ce travail, nous allons étendre l’étude du filtrageadaptatif linéaire aux systèmes non linéaires , à l’aide desséries de Volterra dans l’égalisation adaptative des canauxde communication non linéaire, pour l’annulation de l’échoacoustique. Le point clé des filtres de Volterra , est que lasortie du filtre est linéairement dépendante par rapport auxcoefficients du filtre [1], [3] et [4].

II. FILTRE OPTIMAL DE WIENER

Considérons la figure 1, où est représenté un filtre adaptatiftransversal Hk [5]. Le but du filtre optimal est d’obteniren sortie une réponse yk la plus proche possible du signaldésiré dk lorsque l’entrée est une séquence xk . Plusieursfonctions coût permettent d’obtenir une configuration optimaledu filtre. Parmi elles, l’erreur quadratique moyenne est la plususuelle, car elle conduit à des développements mathématiquescomplets et simples, de plus, elle fournit une solution unique.

FIG. 1. Filtre linéaire adaptatif transversal

abdmek
Rectangle
Page 30: The Me III Op

2

Le filtre optimal de Wiener minimise l’erreur quadratiquemoyenne notée J , qui est donnée par :

J = E(|ek|2

)(1)

Le signal d’erreur sera donné comme suit :

ek = dk −HTk Xk = dk −XT

k Hk (2)

D’où :

J = E[(dk −HTk Xk)2] = E[(dk −XT

k Hk)2] (3)

Après développement on aura :

J = σ2d − 2HkRXd

T +HTRXXH (4)

Où :σ2d = E[|dk|2] : est la variance du signal désiré.

RXd = E[Xkdk] : est le vecteur d’intercorrelation entre lesignal d’entrée Xk et le signal désiré dk .

RXX = E[XkXTk ] : est la matrice d’autocorrelation du

signal d’entrée Xk . Cette matrice est définie positive, deToeplitz.

Le vecteur des coefficients optimum H∗ du filtre est obtenupar l’annulation du gradient du critère :

∇J =∂J

∂Hk= 2E(ek

∂ek∂Hk

) (5)

En posons ∇J = 0, on aura :

E(XkXTk )H∗ = E(Xkdk) (6)

Qu’on peut simplifier sous la forme :

RXXH∗ = RXd (7)

Donc :

H∗ = R−1XXRXd (8)

Plus connue sous le nom de l’équation de Wiener-Hopf [6],[7] et [8]. En combinant les équations (4) et (8), on peut aboutirà l’algorithme du gradient donné comme suit :

Hk+1 = Hk −12µ(

∂J

∂Hk) (9)

Où µ représente le facteur de convergence ou pas d’adap-tation, qui est une constante positive, qui contrôle le taux deconvergence de l’algorithme.

III. CHOIX DE L’ALGORITHME

Les filtres adaptatifs peuvent être classés en fonction deschoix qui sont faits sur les critères suivants [9], [10] :

– La rapidité de convergence.– La capacité de poursuivre les non linéarités du système.– La stabilité et la précision de l’estimation des paramètres

du filtre.– L’erreur quadratique moyenne minimale (MMSE).– L’ordre du filtre.

IV. APPLICATIONS DU FILTRAGE ADAPTATIF

Le filtrage adaptatif trouve ses applications dans diversdomaines [6], [9] et [10]

– L’identification de systèmes.– La prédiction.– La modélisation inverse.– L’annulation d’interférences.

V. LE LMS À PAS D’ADAPTATION VARIABLE

Dans l’algorithme LMS, le pas d’adaptation est fixe (inva-riant dans le temps). Quelque soit les coefficients du vecteurinitial, l’algorithme converge et devient stable si le facteur deconvergence, ou le pas d’adaptation, µ satisfait la relation [8].

1λmax

> µ > 0 (10)

Où λmax est la valeur propre maximale de la matriced’autocorrélation RXX .

A. Mise à jour du pas d’adaptation

Afin d’augmenter les performances de l’algorithme, notam-ment dans un milieu non stationnaire, une adaptation récursivedu facteur de convergence devient nécessaire, mais tout engardant une complexité de calcul raisonnable. Dans le butde réduire la complexité mathématique, Kamal Meghriche [5]propose une nouvelle loi itérative de mise à jour du pas deconvergence à deux paliers.

µk =1

1µ0

+∑Ni=1X

2(k − i)(11)

Où N représente l’ordre du filtre, et µ0 le facteur deconvergence initial.

Après les N premières itérations d’initialisation, la formerécursive du pas de convergence devient :

µk = µk−1 −4µ2

k

1 +4µk(12)

4 = X2(k)−X2(k −N) (13)

Pour simplifier l’expression (12), on pose

µ′

k =1µk

(14)

Ce qui nous conduira à la relation suivante :

µ′

k = µ′

k−1 +X2(k) (15)

Pour les itérations venant après les N premières (k > N),µ′

k s’écrit :

µ′

k = µ′

k−1 + [X(k)−X(k −N)][X(k) +X(k +N)] (16)

Donc, la convergence de l’algorithme est satisfaite si

µ′

k > λmax (17)

De plus, M , qui est l’erreur d’ajustement, devient :

abdmek
Rectangle
Page 31: The Me III Op

3

M ' 1µ′k

trR (18)

L’expression générale de l’algorithme devient :yk = XT

k Hk

ek = dk − ykHk+1 = Hk + 2

(µ′k)ekXk

(19)

B. Modélisation des systèmes non linéaires via les séries deVolterra

Dans ce travail, nous allons essayer d’étendre l’étude dessystèmes linéaires aux systèmes non linéaires via les séries deVolterra. Rappelons qu’un système linéaire est défini par laconvolution d’un signal d’entrée par un filtre.

FIG. 2. Représentation d’un système de convolution

y(k) = x(i) ∗ h(i) (20)

y(k) =+∞∑−∞

h(i).x(k − i) (21)

Le modèle illustré par (21) ne peut donner une représenta-tion satisfaisante de tous les systèmes, pour cela, une extensionaux systèmes non linéaires via les séries de Volterra s’avèrenécessaire.

La relation entrée/sortie d’un filtre de Volterra, qui peut êtredécrit sous forme d’une convolution multidimensionnelle [1]et [11], est donnée par [12], [13] et [14], pour ne citer queceux là.

y(k) =+∞∑

i=−∞h1(i).x(k − i) +

+∞∑i=−∞

+∞∑j=−∞

h2(i, j).x(k − i)x(k − j) (22)

Où h1(i), h2(i, j), h3(i, j, l), · · · sont les noyaux de Volterra[1], [2] et [14]. Dans l’équation (22), hn(i, j, l, ..) est le nme

ordre du noyau discret de Volterra [14].Une autre représentation peut être trouvée dans la littérature

[1], [3], [11] et [15]. Mais dans notre étude, on se base toujourssur le premier modèle.

y(k) = h0++∞∑

i=−∞h1(i).x(k − i) +

+∞∑i−∞

+∞∑j=−∞

h2(i, j).x(k − i)x(k − j)(23)

Où h0 représente un terme de décalage (offset term) [1].L’un des problèmes des filtres polynomiaux est qu’ils né-

cessitent un grand nombre de coefficients pour caractériserun processus non linéaire. Ce problème peut être résolu parl’utilisation d’une structure polynomiale récursive qui, comme

dans le cas linéaire, nécessite un nombre réduit [3]. Donc, dansla majorité des cas, on se limite aux deux premiers termesh1(i) et h2(i, j).

Dans le cas d’un filtre non linéaire de Volterra, on voudraittrouver les coefficients du filtre qui minimisent l’erreur qua-dratique moyenne donnée par l’équation (24), quand la sortiedu filtre de Wiener est donnée par l’équation (25).

J = E[e2(k)] = E[(d(k)− y(k))2] (24)

y(k) =+∞∑

i=−∞h1(i).x(k − i) +

+∞∑i=−∞

+∞∑j=−∞

h2(i, j).x(k − i)x(k − j) (25)

Où J est l’erreur quadratique moyenne minimale menant àla solution optimale de Wiener.

Pour cela, on forme les vecteurs de données (X) et decoefficients (H), en suite on pourra obtenir une représentationvectorielle compacte de (25).

Donc on aura [12] :

x1(n) = [x(n) x(n− 1) · · ·x(n−N + 1)]T (26)

h1(n) = [h1(0) h1(1) · · ·h1(n− 1)]T (27)

x2(n) = [x2(n) x(n) x(n−1) · · ·x(n) x(n−M−1) · · ·x2(n−M+1)]T

(28)

h2(n) = [h2(0, 0) h2(0, 1) · · ·h2(1, 0) · · ·h2(M − 1, M − 1)]T

(29)Où N : est l’ordre du noyau linéaire du filtre h1.M : est l’ordre du noyau quadratique du filtre h2.En utilisant (26,27,28 et 29), on pourra donner les deux

vecteurs (X) et (H)

X = [x1(n)Tx2(n)T ]T (30)

H = [h1(n)Th2(n)T ]T (31)

Les dimensions des vecteurs x1(n), h1(n) est L1 = N

, et celles de x2(n), h2(n) est L2 = M(M+1)2 . Alors, les

dimensions de X et H deviennent L = L1 + L2 [12]. Celaest dû au fait que le noyau quadratique h2(i, j) est symétrique[4].

Donc, la forme vectorielle de la sortie du filtre sera donnéepar :

y(k) = HTX = XTH (32)

Des équations, (24) et (32), on peut déduire, [5], que :

JQ = E[d2(k)] − 2E[d(k) XT ]H + HT E[X XT ]H (33)

On procède de la même manière que dans le cas linéaire dufiltre de Wiener, les coefficients du filtre optimal sont obtenusen annulant le gradient de JQ par rapport aux coefficients dufiltre, ce qui nous conduit, [5], à :

<H = P (34)

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Rectangle
Page 32: The Me III Op

4

Avec :

< = E[X XT )] (35)

et

P = E[d(k)X] (36)

Si on partitionne le vecteur de données X en deux parties,[12], on aura, [5] :

X =(X1

X2

)(37)

Où X1 et X2 représentent, respectivement, la partie linéaireet quadratique du filtre. Dans ce cas, < contient les statistiquesd’ordre deux, trois et quatre [5]. Donc :

R = E[XXT ] (38)

Alors :

< = E[X XT )] = E

E

[X1 XT

1

]E[X1 XT

2

]E[X2 XT

1

]E[X2 XT

2

] (39)

De (39), on peut déduire que [5] :– E

[X1X

T1

]est une matrice de N par N contenant les

statistiques d’ordre deux.– E

[X1X

T2

]est une matrice de Npar M(M+1)

2 contenantles statistiques d’ordre trois.

– E[X2X

T2

]est une matrice de M(M+1)

2 par M(M+1)2

cotenant les statistiques d’ordre quatre. Pour rappel, l’une

des propriétés les plus importantes des filtres de Volterraest que la sortie du filtre est linéairement dépendantepar rapport aux paramètres des noyaux [1], [3] et [4].De plus, elles peuvent être interprétées comme étant desconvolutions multidimensionnelles [1] et [11].

VI. FILTRAGE ADAPTATIF DE VOLTERRA À PASD’ADAPTATION VARIABLE

Dans le but d’améliorer les performances du filtre adaptatifde Volterra, on se base sur le schéma de la figure 3.

FIG. 3. Egalisation d’un canal numérique.

D’après la figure 3, la mise à jour des coefficients du filtreadaptatif est donnée par :

Hk = Hk−1 + µekXk (40)

Le point de départ pour la détermination des pas d’adapta-tions des deux parties linéaire et quadratique, qui assurent laconvergence de l’algorithme, est donné par [5] :

µik = µi k−1 +1∑N,M2

i=1 X2(k − j)i = 1, 2 (41)

Où Nest l’ordre du noyau linéaire. M2 est l’ordre du noyauquadratique.

Après les N et M2 premières itérations d’initialisation, lespas d’adaptation µ1 et µ2 peuvent être donnés, en effectuantle changement de variable, par :

µ′

ik = µ′

i k−1 +4i i = 1, 2 (42)

Ce qui nous conduit à la reformulation suivante :

Hk+1 = Hk + ek

[ X1k

µ′1k

X2k

µ′2k

](43)

Etant donné que µ′

1k = 1µ1k

est le pas d’adaptation de lapartie linéaire du filtre, donc, la détermination des conditionsde convergence est la même que celle du LMS à pas d’adap-tation fixe [5] :

0 < µ1k <1λ1k

(44)

Après le developpement on aura µ′

2 > µ′

1 donc , pouravoir la convergence de l’algorithme, il suffit d’avoir la valeurinitiale du pas d’adaptation de la partie non linéaire inférieureà celle de la partie linéaire.

VII. ANNULATION D’ÉCHO ACOUSTIQUE

L’´écho acoustique est un problème rencontré en télécom-munication, notamment dans les applications de téléconférenceet téléphonie mains libres . L’écho provient du passage dusignal envoyé à travers un canal, par exemple une salle, pourle cas de la téléconférence. Donc, l’écho est le phénomènedans lequel une version retardée et distordue d’un son estréfléchie et renvoyée vers la source [16]. Il est donc désirablede pouvoir éliminer cet écho à la réception du signal. Ceci estrendu possible grâce au filtrage adaptatif.

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Rectangle
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5

A. Principe de l’annulation d’écho acoustique

FIG. 4. Schéma de principe de l’annulation d’écho acoustique

Le schéma ci-dessus [17], représente un système classiqued’annulation d’écho dans un système de communication (té-léphone mains libres, téléconférence,. . . ).

VIII. RÉSULTATS DE LA PROGRAMMATION

Le but de cette partie est de mettre en exergue les perfor-mances de notre filtre dans l’annulation d’écho acoustique.Pour cela, le schéma de la figure 5 est retenu [16]. Dans lafigure 5, on trouve le signal de parole utile s(n), ainsi que lesignal d’écho v(n), qui est la version filtrée du signal paroledu locuteur lointain x(n) par le chemin inconnu, qui sontadditionnés pour former le signal y(n). Le signal x(n) forme,aussi, l’excitation de la voie principale. Donc, pour éliminerle bruit v(n), le filtre non linéaire de Volterra, doit identifierau mieux le chemin inconnu pour retrouver en sortie de notresystème un signal de parole le plus proche possible du signalutile s(n).

FIG. 5. Modélisation de l’annulation d’écho adaptative

La figure 6 représente l’évolution temporelle, ou audio-gramme, du signal vocal pour la lettre française ‘a’. On yconstate une alternance de zones assez périodiques et de zonesbruitées, appelées zones voisées et non voisées.

FIG. 6. Représentation du signal utile

La figure 7, représente la courbe de poursuite de la sortie dufiltre par rapport au signal désiré. On remarque que l’évolutiondu signal de sortie du filtre suit parfaitement celle du signaldésiré, même s’il y’a un léger dépassement.

FIG. 7. Représentation du signal désiré et du signal de sortie du filtre.

IX. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Dans ce travail, nous avons vu un aperçu sur le filtrageadaptatif et les différents critères de choix de l’algorithme ainsique ses cas d’applications. Puis, une étude de l’algorithme desMoindres Carrés Moyens (LMS) a été faite, tout en donnantune version à pas d’adaptation variable.

Une application du filtre non linéaire à pas d’adaptationvariable de type Volterra, à des signaux de parole réels, àl’annulation d’écho acoustique, ont démontré la capacité dece dernier à identifier les différentes sources de perturbation.

RÉFÉRENCES

[1] G. L. Sicuranza, “Quadratic filters for signal processing,” Proc. IEEE,vol. 80, no. 8, pp. 1263–1285, 1992.

[2] G. L. Sicuranza, A. Bucconi, P. Mitri, “Adaptive Echo Concellationwith Nonlinear Digital Filters”, Proceedings of ICASSP 84, pp. 3.10.1-4, March 1984.

[3] Enzo Mumolo, Alberto Carini, Recursive Volterra Filters with StabilityMonitoring, Dipartimento di Electrotecnica, Electronica ed Informatica,Universita di Trieste, Via Valerio 10, 34127 Trieste, Italy.

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Rectangle
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6

[4] Robert D. Nowak, Member , IEEE, Penalized Least Squares Estimationof Volterra Filters and Higher Order Statistics, Department of ElectricalEngineering, Michigan State University, 206 Engineering Building, EastLansing, MI 48824-1226.

[5] Kamal Meghriche, Filtrage adaptatif utilisant les statistiques d’ordresupérieur, thèse de doctorat d’état en électronique, Ecole NationalePolytechnique d’Alger, Mai 2007.

[6] Freddy Mudry, Signaux et Systèmes, 6éme partie, Filtrage adaptatifCodage de la parole, Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud, 2005.

[7] C.L. Nikias and M.R. Raghuveer, “Bispectrum estimation : A digitalsignal processing framework,” Proceedings of the IEEE, vol. 75, no. 7,pp. 869–891, July 1987.

[8] B. Widrow, J.R. Glover, J. McCool, J. Kaunitz, C. Williams, R. Hearn, J.Zeidler, E. Dong, and R. Goodlin, “Adaptive noise cancelling : Principlesand applications,” Proc. of the IEEE, vol. 63, no. 12, pp. 1692–1716,December 1975.

[9] J.F. Bercher, et P. Jardin, Introduction au filtrage adaptatif, ESIEE Paris.[10] Jacob Benesty, Traitement des signaux numériques-II, Filtrage adaptatif

et analyse spectral, Note de cours, INRS-EMT.[11] D. W. Griffith, J. R. Arce, “Partially decoupled Volterra filters : formu-

lation and LMS adaptation,” IEEE Transactions on Signal Processing,vol. 45, no. 6, pp. 1485–1494, 1997.

[12] F. Kuerch, and W. Kellermann, Proportionate NLMS Algorithm forSecond-order Volterra Filters and it’s Application to Nonlinear EchoCancellation, Telecommunications Laboratory, University of Eriangen-Nuremberg, Cauerstr. 7 D-91058 Eriangen, Germany.

[13] Eduardo L. O. Batista, Orlando J. Tobias, and Rui Seara, Fully andPartially Interpolated Adaptive Volterra Filters, LINSE-Circuits andSignal Proccessing Laboratory, Departement of Electrical Engineering,Federal University of Santa Catarina, 88040-900 – Sc – Brazil.

[14] A. Asfour, K. Raoof, and J. M. Fournier, Nonlinear Identificationof NMR Spin Sysrems by Adaptive Filtering, Journal of MagneticResonance 145, 37-51 (2000).

[15] Abhijit A. Shah, Advisor : Dr. Tufts, Development and Analysis ofTechniques for Order Determination and Signal Enhancement, PhDdissertation, University of Rhod Islands, 1994.

[16] Farid Ykhlef, Réduction de bruit et contrôle d’écho pour les applicationsradio mobile et audioconférence, thèse de doctorat d’état en électronique,laboratoire signal et communications, Ecole Nationale Polytechniqued’Alger, 2008.

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CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

Performances de l’algorithme Ramanujan Fourier pour l’estimation du spectre Doppler.

Mohand LAGHA1 – Messaoud BENSEBTI2 – Michel PLANAT3

1Aeronautic Department, 2

ALGERIA

Electronic Department University SAAD DAHLEB of BLIDA B.P. 270 Road of SOUMAA – BLIDA

3Laboratoire de Physique et Métrologie du CNRS,

Associé à l’Université de Franche-Comté, 32 avenue de l’Observatoire, 25044 Besançon Cedex, France

1e-mail : [email protected] ,2e-mail : [email protected] , 3e-mail: [email protected] Résumé—Dans c e t ravail o n s ’intéresse à l ’estimation spectrale d es paramètres dynamique d’ un s ignal r adar météorologiques, en l’occurrence la vitesse, la variance et la largeur s pectrale. On i ntroduit u n nouveau o util de traitement du signal se basant sur les sommes de Ramanujan cq

I. INTRODUCTION

(n), qui pr oviennent d e l ’utilisation de f onctions arithmétique d e l a t héorie d es nombres. D e nouveaux résultats e n c omparaison a vec les a lgorithmes p ulse pair et Fourier s eront f ournis par l’ utilisation d e la t ransformée Ramanujan F ourier (R FT) p our l ’estimation du s pectre Doppler d’un signal radar météorologique.

Mots cl és : Traitement du Signal Radar, Séries arithmétiques ou Temporelles, Estimation Spectrale, Transformée Ramanujan.

Dans le domaine du traitement du signal on utilise essentiellement des transformées ou des méthodes afin de passer d’un espace à un autre (temps vers fréquence) ou autre, pour ainsi mieux estimer et analyser le contenu informationnel du signal. La transformée de Fourier Discrète DFT et sa transformée rapide FFT étaient jusque la les meilleurs outils utilisés pour des signaux périodiques ou quasi périodiques, mais elle n’est pas vraiment adéquate pour l’analyse des signaux aléatoires apériodiques. Ceci n’est pas un fait nouveau, d’ou de multiples méthodes ont été développées pour l’analyse de séries temporelles comme Poincaré, la méthode des ondellettes, ou encore le modèle autorégressif a moyenne mobile ARMA en ne citant que celles-ci.

Dans le contexte de l’estimation des paramètres spectraux d’un signal radar météorologique, il y a eu le développement dans un premier temps d’un algorithme appelé Pulse Pair PP se basant sur le calcul de l’autocorrélation des séries temporelles complexes Z(I,Q) et ce avec un ou deux rangs de développement des moments spectraux en série de Mc-Lauren et ce dans un souci de réduction du temps de calcul. Puis avec l’avancée dans le domaine des calculateurs et de l’informatique on a introduit la transformée de Fourier, puis le modèle AR, et ARMA, pour ainsi travailler dans le domaine spectrale

afin d’analyser mieux les phénomènes météorologiques détectés.

L’objectif principal de cet article est l’introduction et l’étude de l’utilisation des sommes Ramanujan cq afin d’estimer l’étendue spectrale de signaux radar pulse Doppler utilisé en météorologie.

La motivation qui nous a amener à utiliser la méthode de Ramanujan dans le domaine de l’estimation spectrale des signaux radar Doppler météorologique, est le récent intérêt grandissant des chercheurs à l’introduire comme nouveaux outil de traitement du signal[9][10]. C’est une méthode utilisée par Ramanujan pour la première fois, comme moyen pour représenter des séries arithmétiques par des sommes de rang infinie. De plus les coefficient de cette transformée cq

II. ESTIMATION DES MOMENTS SPECTRAUX

proviennent de l’utilisation de fonctions arithmétiques de la théorie des nombres. Ajouter à cela que ces coefficients possèdent la propriété d’orthogonalité et ceci les rend intéressantes à utilisée comme moyen de traitement du signal.

On abordera l’estimation des moments d’ordre zéro, un et deux (puissance, vitesse et la largeur spectrale) pour un signal radar pulse Doppler météorologique (section II), en traitant les deux domaines d’estimation, le premier temporel PP basé sur l’estimation des autocorrélations et le second domaine, qui est spectral basé sur l’estimation des densités spectrales de puissances PSD en utilisant la transformée de Fourier Discrète. On introduira la notion des sommes de Ramanujan et la transformée de Ramanujan-Fourier présentée comme nouveau outil de traitement du signal de séquences arithmétiques basé dans la théorie des nombres premiers (section III). La simulation se fera sur des données réelles prise par un radar pulse Doppler WSR-88D et des discussions des estimations faites sur le spectre Doppler par plusieurs estimateurs (section IV).

Le radar pulse doppler délivre les tensions en sortie, I en phase et Q en quadrature de phase qui forment l’écho complexe Z(I, Q ). La densité spectrale de puissance est

Page 36: The Me III Op

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donnée par la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation RZZ

{ })()( τZZZ RfS ℑ=

(τ) [1], [2]

(1)

Le spectre Doppler reçu aura la forme représentée sous la figure 1.

Figure.1 Spectre Doppler reçu pour une cellule de distance

Le spectre Doppler reçu représente la densité spectrale de puissance du signal reçu pour un volume de détection. Par ailleurs la puissance totale de l’écho sans prendre en compte la puissance du bruit est donnée par la fonction du moment d’ordre zéro [1], [2]:

∫= dvvSP )( (2)

La vitesse moyenne ou le moment normalisé d’ordre un est donné [2]:

∫= dvvSvP

v )(1 (3)

La largeur spectrale de la vitesse moyenne du spectre Doppler est donnée par la racine carrée du moment central de second ordre normalisé [2]:

∫ −= dvvSvvPv )()(1 22σ (4)

Le spectre Doppler S(f) peut s’écrire en fonction de la vitesse comme S(v) en utilisant la relation entre la vitesse et la fréquence Doppler avec λ est la longueur d’onde du signal émis : [3]

fv

=

(5)

De la même manière, on peut écrire la relation entre la largeur spectrale de la vitesse moyenne et la déviation standard du spectre Doppler par [1], [2]:

fw σλ

=

2 (6)

A. Estimation temporelle

L'algorithme Pulse Pair est un estimateur de la puissance du spectre Doppler, de la vitesse moyenne du vent et de sa variance. Il est basé sur l'estimation de l'autocovariance des signaux radar complexes Z(kTs

∑−

=+=

1M

0k)ST)1k((Z).SkT(*Z

M1

)sT(ZZR

). Si les signaux considérés sont statistiquement

indépendants, alors la fonction d'autocovariance peut s'écrire, [1] :

(7)

Avec : )kT(jQ)kT(I)kT(Z SSS += (8)

Où M est le nombre d'impulsions et ST le temps entre impulsions.

Le moment d'ordre zéro est estimé par [1],[6], [7]:

∑=

−=M

1n

2S N)kT(Z

M1P (9)

où N la puissance du bruit blanc présent dans les échos radar I & Q.

L'estimation de la vitesse moyenne du vent et de sa variance sont donnée par [1],[3],[6], [7]:

[ ])T(Rarg.T4

v SZZS

PP πλ

= (10)

−πλ

=σN)0(R)T(R1

T8 ZZ

SZZ2

S2

22v (11)

La largeur spectrale vw de la vitesse moyenne du vent est obtenue directement par la racine carrée de la variance.

B. Estimation spectrale

Une autre alternative d'estimation de la vitesse moyenne ppv , de la variance 2

vσ , et de la largeur du

spectre ppw Doppler reçu peut être formulée par l'estimation de la densité spectrale de puissance via la transformée de Fourier discrète [5], [7], [11] comme :

∑−

−=

−λ

=1

2M

2M

k

ZS

FT 1Mk).k(S

TP2V (12)

20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06Doppler Spectrum

Velocity (m/s)

Am

pli

tud

e

0.042

0

Sk

27.02418.016− speedk

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et :

2

STFTV2

1M

k).k(ZS2

STP4

22FTW

12

M

2

Mk

∑λ

+−

λ=

−=

(13)

Avec )k(SZ la densité spectrale de puissance.

Ces valeurs estimées sont indexées (FT) pour en référer à la méthode de Fourier.

Cette estimation spectrale est normalisée par la puissance totale moyenne P qui est traitée comme probabilité sur toute la largeur de bande de travail [4].

Le domaine d'implémentation temporel pour l'estimation PP a un avantage de devenir beaucoup plus significatif, que les méthodes qui requièrent l'utilisation de la transformée de Fourier discrète du point de vue nombre d'opérations, [6], [7].

Le spectre météorologique réfléchi sur le Radar ne va pas probablement violer ces hypothèses, mais la présence du mode clutter renversée (changement de direction) peut biaiser l'estimation spectrale moyenne [6].

La DFT peut être calculée en utilisant un algorithme DFT rapide (FFT). Toutefois, la DFT possède deux inconvénients inhérents à son approche. Le premier est que la résolution en fréquence est limitée par l'inverse de la largeur des échantillons enregistrés. Le second inconvénient implique l'utilisation d'échantillons limités en longueur pour la représentation de signaux d'étendues infinies. En considérant que les séquences seront nulles en dehors de l'intervalle fini, cela sous-entend un fenêtrage des données (signaux) qui sera imposé. Il est équivalent à la multiplication des données par une fenêtre rectangulaire d'amplitude unité. Dans le domaine fréquentiel le résultat est similaire à une convolution d'un spectre avec une fonction sinc [6][7].

Ce phénomène est connu sous le nom de pertes spectrales parce que l'énergie du signal ne sera pas représentée dans tout le domaine des fréquences [12][13].

Ces limitations de la DFT seront spécialement problématiques pour des séquences de courte durée, qui sont utilisées dans les Radars à effet Doppler aéroportés [7]. Ceci n'est pas le cas dans notre étude, car pour nos besoins de simulation on va adopter un Radar pulse Doppler fixe terrestre.

III. LA TRANSFORMEE DE RAMANUJAN FOURIER Nous introduisons dans ce qui suit la notion des

sommes de Ramanujan Cq(n). Elle sont définies comme étant la puissance nème des racines primitives qème

1),(

)2exp()(1

=

= ∑=

qp

nqpinC

q

pq π

de l’unité [9].

(14)

Où (p,q)=1 signifie que p et q sont co-premier

On peut observer que les coefficients cq(n) sont des sommes sur l’ensemble des caractères ep

∑∞

=

=1

)()(q

qq ncxnx

(n).

Les sommes introduites par Ramanujan joueront un rôle de base pour la projection de séquences arithmétiques x(n).

(15)

Sur cette équation on peut facilement observer que pour cette série infinie avec ∞→q on peut aboutir à la série de Fourier [9], [10], de plus la transformée de Fourier discrète prend une valeur finie q. La fonction arithmétique )(nσ somme des diviseurs de n, peut s’écrire avec les coefficients RFT comme

2

2 16 qn

qπσ = , donc

++

+−

+=

.....4

)2/cos(23

)3/2cos(22

)1(1

6)(

2

222

π

ππσ

n

nnn

n

(16)

Pour les fonction x(n) ayant une valeur moyenne on

∞→

= ∑=

t

nxt

xAt

nv

1)(1lim)(

(17)

On peut obtenir la formule d’inversion [9]

))()(()(

1 ncnxAq

x qvq φ= (18)

De [9] on peut donner une formule plus générale. Dans tout ce qui suit les coefficients indexés xq

)()()( ncncnc qqqq ′′ =

dénoteront la transformée Ramanujan-Fourier ou bien RFT. Il s’en suit qu’il y a une propriété multiplicative des sommes (coefficients) Ramanujan :

si 1),( =′qq (19) Et la propriété d’orthogonalité est

∑=

=q

nq qqnc

1

2 )()( φ (20)

Ce qui nous rappel (5).

On va évaluer les coefficients Ramanujan en utilisant des fonctions de la théorie des nombres. Soit (q,n) qui dénote le plus grand commun des diviseurs de q et n. on utilisant la décomposition en nombre premiers d’un nombre on peut écrire q et n comme :

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∏=i

iiqq α ( iq , premier) (21)

∏=k

kknn β ( kn , premier) (22)

Et on peut trouver le nombre )(qφ des fractions irréductibles du dénominateur q, appelé également la fonction Euler totient.

∏ −=i iq

qq )11()(φ (23)

Et la fonction de mobius )(nµ avec qui on peut obtenir ses nombres premiers est définie par

=

>=

distinctpremiersdeproduitleestsi(-1),1si1

1carrésdescontientsi0)(

k knn

nn

kβµ

(24) De [9] les sommes de Ramanujan sont évaluées

=

),(

)(),(

)(

nqqq

nqqncq

φ

φµ (25)

Il faut noter que les séquences cq

)(

)(ˆ

∑∑

=

iiRFT

iRFTi

i

i fS

fSff

(n) sont périodiques.

En considérant le problème de calcul de la vitesse moyenne du vent et de sa largeur spectrale par la méthode Ramanujan-Fourier, on peut utiliser le calcul de la densité spectrale de puissance dérivée par la transformée de Fourier discrète DFT [12], [13].

(26)

Et

∑ −=

iiRFT

iRFTi

i

fS

fSffw

)(

)()ˆ(ˆ 2 (27)

fv ˆ2

ˆ λ= (28)

Avec v et w sont respectivement la vitesse moyenne

estimée et sa largeur spectrale, et )( iRFT fS est spectre Ramanujan de la série complexe Z(I,Q).

IV. SIMULATIONS ET DISCUSSIONS Les données utilisées sont prises par un radar pulse

Doppler WSR-88D à l’état de Tennessee en juillet 1997,

elles contiennent les données I, Q, Azimut, Elévation, Prt, Temps (temps UNIX).

Nous donnons dans la figure 3(a) et (b), la représentation des séries complexes I et Q ainsi que leur spectre doppler, pour la cellule de distance n°1.

(a)

30 20 10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Doppler Spectrum for Range Cell N° 1

Velocity (m/s)

Am

plitu

de

Sk

vk

(b)

Figure.2 : (a) séries temporelles I et Q; (b) spectre Doppler

Les estimations de vitesses moyennes et des déviations

spectrales faites par les trois méthodes sont mentionnées dans les figures 4 et 5.

L’algorithme d’estimation temporelle pulse pair est un algorithme simple à programmer qui ne considère que les autocorrellations des signaux complexes Z(iTs) des échos radar reçus. C’est un algorithme rapide car son temps d’estimation est bas comparativement à celui des méthodes spectrales FFT, ARMA et il converge dés la première itération [6], [7], voir la figure 4.

L’estimation faite par cette méthode pour l’estimation de la vitesse moyenne du spectre Doppler du vent, est très proche de la vitesse réelle [6].

De plus les estimations Ramanujan produite par la transformée Ramanujan Fourier pour le calcul de la PSD sont Presque similaires à celles fournis par l’algorithme pp. Les résultats ne divergent pas et les valeurs estimées oscillent autours de la vitesse radiale réelle. L’avantage de cette méthode par rapport aux autres (PP, et FFT) est que son temps de calcul est réduit car on ne travail que sur des échantillons réduits voir le spectre Ramanujan Figure 3.

0 50 100 150 200 2500.2

0.1

0

0.1

0.2I and Q signal for Range Cell N°1

Range cell

I and

Q s

igna

l

0.194

0.134−

Ik

Qk

2390 k

Page 39: The Me III Op

CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

0 50 100 150 200 2500

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005Ramanujan Spectrum for Range cell N°1

Resonances

Ram

anuj

an F

ouri

er S

pect

rum

4.678 10 3−×

1.473 10 5−×

SRFT1k

2390 k

Figure. 3 : Spectre Ramanujan pour la cellule de distance N°1

Donc on peut facilement réduire le temps d’estimation

des paramètres météorologiques (vitesses, déviation,..) et de prévision des différents phénomènes par l’utilisation de l’algorithme Ramanujan Fourier.

0 5 10 15 20 25 30 35 4020

10

0

10

20Mean Wind speed estimation

Range Cells

Mea

n W

ind

Estim

ated

(m\s

)

v_pp 1⟨ ⟩

v_FR 1⟨ ⟩

v_RFT 1⟨ ⟩

i

Figure.4 : Vitesse moyenne du vent estimée par les trois estimateurs

0 5 10 15 20 25 30 35 400.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3Width Mean Wind speed estimation

Range Cells

Wid

th M

ean

Win

d Es

timat

ed (m

\s)

w_pp 1⟨ ⟩

w_FR 1⟨ ⟩

w_RFT 1⟨ ⟩

i

Figure.5 : Largeur spectrale de la vitesse moyenne du vent estimée par les trois estimateurs

Table 4.1: Performances de calculs des trios algorithmes utilisés

V [m/s] W [m/s]

Temps de calcul [ms]

Pulse-pair 13.64 – - 16.96 1.20 – 0.85 13 FFT 14.60 – -15.00 1.29 – 1.02 26 Ramanujan Fourier

13.65 – -14.40 1.22 – 1.14 16

Comme on peut le remarqué les performances de

calcul des trois algorithmes utilisés pour l’estimation du spectre doppler d’une perturbation de vent détectée par un radar pulse doppler terrestre sont mentionnés dans la table

4.1. l’estimation faite par l’algorithme Ramanujan Fourier n’est pas en deçà des valeurs désirées pour l’estimation de la vitesse moyenne et la variance, en comparaison avec celles faite avec les algorithmes FFT et pulse pair. Au même moment on remarque également que le temps de calcul pour une seule cellule de distance est réduit par rapport à celui de l’algorithme de Fourier classique FFT 16 ms, voir table 4.1. L’algorithme d’estimation temporelle a un temps de calcul le plus bas mais son inconvénient majeur c’est la difficulté d’interprétation des résultats qui est du à l’utilisation de fonctions d’autocorrélations.

REMERCIEMENTS Nous remercions M. PLANAT du Laboratoire de Physique et Métrologie CNRS- université de Franche-Comté France, pour avoir considérablement contribuer à l’élaboration de ce travail.

V. CONCLUSION L’utilisation de la transformée Ramanujan est très utile

pour l’identification des spectres de basse magnitude, c’est une transformée basée sur la théorie des nombres premiers mises en jeu par les fonctions de Moebius ou de Mangoldt.

Sur le plan des calculs cette nouvelle technique employée (RFT) elle est rapide, comparativement à la méthode de la transformée de Fourier Discrète car les calculs se font que sur les échantillons en respectant la fonction Moebius qui elle prend que des résonances coprime (p,q)=1. On peut aussi considéré qu’un nombre réduit d’échantillons car l’estimation se fera au voisinage de la fréquence zéro.

L’estimation des spectres et surtout après filtrage sur les échantillons I et Q (série complexe Z) des données météorologiques, s’avère très utile car avec la transformée de Ramanujan on peut distinguer facilement les modes météorologiques de bas niveau, comme les vents de basse intensité, les pluies de faible intensité. L’application d’autre notions de la théorie des nombres, ou même des mathématiques au domaine du traitement du signal radar météorologique peut contribuer à avoir d’autres résultats et explorer encore ce domaine vaste et passionnant.

REFERENCES [1] R. J. Serafin, “Meteorological Radar,” Chap 23, Radar Handbook,

McGraw-Hill Book Company, 2nd ed,1990, pp.1-33. [2] R. J. Keeler and R. E. Passarelli, “Signal Processing for

Atmospheric Radars,” Chap 20a, Radar i n Meteorology, A MS book, Atlas, 1990, pp.199-229.

[3] D. S. Zrnic' and J.T. Lee, “Pulsed Doppler Radar Detects Weather Hazards to Aviation,” Journal o f Aircraft, Vol. 19, No 2, Feb. 1982, pp. 183-190.

[4] R. D. Palmer, “Signal Processing Project”, Department of Electrical Engineering University of Nebraska-Lincoln, Spring 2002, ELEC 484/884.

Page 40: The Me III Op

CNTA ’09 Université A.MIRA BEJAIA

[5] Chornoboy, E. S.,“Optimal mean velocity estimation for Doppler weather radars,” IEEE Trans. Geosci. Remote Sens, vol. 31, 1993, pp. 575-586.

[6] M. Lagha and M. Bensebti, Performances comparison of p ulse-pair an d 2-step prediction a lgorithms f or the D oppler s pectrum estimation, Multidimensional System Signal Processing Journal Vol. 19, Springer June 2008, pp. 257-265.

[7] M. LAGHA, M. Bensebti, “Performance Comparison of Pulse Pair and 2-Step Prediction Approach to the Doppler Estimation,” IEEE International Symposium on Industrial Electronics, July 9-13, 2006, ETS - Downtown Montréal, Canada.

[8] M. LAGHA, H. M. BENTEFTIFA and S. BOUKRAA “Contribution to the spectral estimate of the mean speed and variance of a windshear at low altitude,” 1st International Symposium on Electromagnetism, Satellites and Cryptography IEEE-ISESC'05, 19-21 June 2005, Jijel-Algeria.

[9] Saman S. Abeysekera,“Performance of Pulse-Pair Method of Doppler Estimation,” IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems, vol. 34, no. 2 Apr 1998, pp. 520-531.

[10] M.Planat, H. Rosu, and S. Perrine, ‘’Ramanujan sums for signal processing of low-frequency noise,’’, Phys. Rev. E, vol. 66, p.51128, 2002.

[11] Saed Samadi, M. Omair Ahmad, and M. N. S. Swamy, ‘’Ramanujan Sums and Discrete Fourier Transforms,’’, IEEE Signal Processing Letters, vol.12, no. 4, pp.293-296, April 2005.

[12] Monakov, A.A.; Blagoveshchensky, D.V., “A Method of Spectral Moment Estimation,” IEEE Ttrans. Geosci and Remote Sens, vol. 37, no. 2, March 1999, pp. 805-810.

[13] Melnikov, Valery M., Zrniç, Dusan S., “Estimates of Large Spectrum Width from Autocovariances,” Journal o f A tmospheric and Oceanic Technology, vol. 21, Issue 06, 2004, pp. 969-974.

[13] Jonggil Lee, “Doppler Moment Estimation in a weather radar,” International Journal of Electronics, Vol. 89, No 7, Jul 2002, pp. 583 - 592.

Page 41: The Me III Op

Application de L’égalisation Aveugle sur les canaux radio-Mobiles basée sur l’Algorithme de Maximum de Vraisemblance CNTA’09

0

A. TAMI 1 M. KECHE2 A. OUAMRI 3

1

E-mail: Université des sciences et technologies USTO, Oran, Algérie

[email protected] 2

E-mail: Université des sciences et technologies USTO, Oran, Algérie.

[email protected] 3

E-mail: Université des sciences et technologies USTO, Oran, Algérie.

[email protected]

Résumé: Cet article concerne l’application de

l’égalisation aveugle dans le domaine de radio communication mobile.

Il présente une méthode qui permet de récupérer au niveau du récepteur la séquence émise, à partir du signal à la sortie d’un canal inconnu. Elle utilise deux algorithmes en cascade, l’un pour identifier le canal, et l’autre pour reconstituer la séquence émise, en se basant sur la méthode du maximum de vraisemblance. L’application de l’égalisation aveugle dans le domaine radio communication mobile permet de récupérer de l’ordre de 20 % de débit utile, utilisé par la séquence d’apprentissage. Mot Cl efs : E galiseur A veugle-Canal r adio-Algorithme Maximum de vraisemblance-Algorithme de Viterbi Abstract :

This article relates to the application of blind equalization in the field of radio mobile communication.

It presents a method which makes it possible to recover on the level of the receiver the emitted sequence, starting from the signal at the exit of an unknown channel. It uses two algorithms in cascade, one to identify the channel, and the other to reconstitute the emitted sequence, with the application of the maximum likelihood method. The application of blind equalization in the field radio communication mobile makes it possible to recover about 20 % of data flow, used by the sequence of training. Word Keys: Blind Equalizer –Radio Channel- Maximum likelihood Algorithm- Viterbi Algorithm

I-INTRODUCTION

Aujourd'hui avec le développement des services

radio mobiles, de la diffusion numérique du son et de l'image et des services multimédia, on assiste à une véritable explosion de la demande en matière de techniques de transmissions numériques.

Ces nouveaux services nécessitent généralement de transmettre des quantités croissantes d'information dans des bandes de fréquence les plus étroites possibles et à travers des milieux assez

sévères, qui nécessitent la mise en œuvre de traitements permettant de combattre l'interférence entre symboles créée par la sélectivité en fréquence de ces canaux [1].

Plusieurs techniques sont possibles parmi lesquelles l’égalisation aveugle (dit aussi égalisation autodidacte) qui ne nécessite pas de séquence d’apprentissage [2]. La seule connaissance à priori nécessaire au niveau du récepteur est la statistique du signal émis.

Ce type d’égalisation a fait ses premiers pas avec la proposition de l’algorithme de Sato [1975], connu sous le nom de ‘‘Algorithme de Bussgang ’’ [3], et plus récemment l’algorithme de l’égalisation aveugle, basée sur un critère maximum de vraisemblance. II. L’EGALISATION AVEUGLE BASEE SUR LE CRITERE DE MV

Cet égaliseur fonctionne en deux étapes: Une identification du canal assurée par un algorithme d’estimation suivie d’une recherche de la séquence émise en utilisant l’algorithme de Maximum de Vraisemblance (Algorithme de Viterbi) Figure (1).

Fig1:Principe de l’égaliseur aveugle à base de MV II-1 ALGORITHME D’IDENTIFICATION DU

CANAL Soit la sortie du canal {yn

∑=

− +=L

knknkn bscy

0

} en présence d’un bruit blanc gaussien :

(II - 1)

yk Algorithme deViterbi

Algorithme d’identification

Du canal

Zk Sk Canal

Page 42: The Me III Op

Application de L’égalisation Aveugle sur les canaux radio-Mobiles basée sur l’Algorithme de Maximum de Vraisemblance CNTA’09

2

où {ck}: Coefficients du canal. {sn

nb}: Séquence d’information

{ }:Séquence de bruit, supposé être blanc et gaussien.

La fonction de la densité de probabilité conjointe d’une séquence reçue Y=[y1 y2 …yn]t

conditionnelle à la réponse impulsionnelle du canal C=[c0 c1 …cL]t et au vecteur des données entrantes S=[s1 s2 …sn]t

σ−

πσ= ∑ ∑

= =−

N

n

L

kknknN scySCYp

1

2

022 2

1exp)2(

1),/(

est :

(II - 2) Le critère de maximum de vraisemblance

stipule que les estimées du vecteur du canal C et de la séquence de données entrantes S sont celles qui maximisent la densité de probabilité conjointe ),/( SCYpr , ou de façon équivalent et, celles qui minimisent l’exposant qui s’appelle la métrique cumulée ),( CSDM

∑ ∑= =

−−=N

n

L

kknkn scyCSDM

1

2

0),( (II - 3)

Où sous forme matricielle 2),( ACYCSDM −= , (II - 4)

Où la matrice A, appelée matrice des données, est définie comme suit:

=

−−− LNNNN ssss

sssss

s

A

...

0...0...00...00

21

123

12

1

(II - 5)

Dans le cas de l’égalisation aveugle où ni

la séquence d’apprentissage S est disponible ni le vecteur du canal C est connu, on a deux possibilités: soit on minimise conjointement la métrique cumulée DM(S,C) par rapport à la séquence des données S et au vecteur du canal C ,ou bien, on estime le vecteur C à partir de la densité de probabilité )/( CYp ; cette densité est calculée par une moyenne de la probabilité conjointe )/,( SCYp sur toutes séquences des données possibles :

)(),/(

)/,()/(

)()(

)(

m

m

mm

m

SrpCSYp

CSYpCYp

∑∑

=

=

(II - 6) Où pr(S(m)) est la probabilité de la séquence S=S(m), m=1,2,…,MN

−−=

=

m

mm

N

m

m

m

SrpCAY

SrpCSYpCYp

)(2

exp)2(

1

)(),/()/(

)(2

2)(

2

)()(

σπσ

; M étant la taille de la constellation du signal.

(II - 7) Alors, L’estimée de C est celle qui minimise

),( CYp , solution de l’équation :

02

exp)(

)()/(

2

2)()()()(

)(

=

−−−

=∂

∂ ∑

σCAY

YACAA

Sprc

CYp

mtmmtm

m

m

(II - 8)

Donc l’estimée de C est donnée par :

×

=

m

mmm

mmm

m

m

YACAYgSpr

CAYgAASprC

)'()()(

1)()()'()(

),,()(

),,()(

(II - 9) où :

σ

−−= 2

2)()(

2exp),,(

CAYCAYg

mm (II - 10)

Généralement il est difficile de résoudre l’équation (II-9) directement. Il est préférable d’utiliser une méthode numérique itérative pour obtenir CML

×

=

−+

m

mkmm

kmmm

m

mk

YACAYgIpr

CAYgAASprC

)'()()()(

1)()()()'()()1(

),,()(

),,()(

:

(II-11) Une fois CML obtenu par la solution de

l’équation (II-9) ou (II-11), on peut simplement l’utiliser dans la métrique cumulée DM(S,CML), donnée par l’équation (II-4), pour obtenir l’estimée de la séquence de données SML, i .e celle qui minimise DM(S,CML

2min),(min MLSMLS ACYCSDMI

−=).

(II -12)

Cet algorithme possède deux inconvénients majeurs, le premier est la récursivité de CML ,donnée par l’équation (II-11) et le second est l’estimation elle même de CML qui n’est pas précise, comparée au cas où la séquence d’apprentissage est connue, ce qui se traduit par une augmentation du taux d’erreur [4].

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Application de L’égalisation Aveugle sur les canaux radio-Mobiles basée sur l’Algorithme de Maximum de Vraisemblance CNTA’09

3

II-2 ALGORITHME DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE (ALGORITHME DE VITERBI) La présence d’interférence entre symboles (IES) liée à un canal imparfait est caractérisée par une mémoire dans le signal, on peut alors rechercher à reconstruire la séquence des symboles au sens de maximum de vraisemblance, en exploitant l’interdépendances des données reçues, et en maximisant la vraisemblances à l’aide de l’algorithme de Viterbi qui permet de sélectionner, dans un treillis, le chemin ayant la métrique la plus faible, où la métrique est une mesure cumulée, mise à jour de nœud à nœud. Cela signifie que la densité de probabilité conjointe des observations pour une séquence particulière (La vraisemblance), peut s’écrire comme le produit des vraisemblances élémentaires à chaque instant. Il est important de noter alors que cela n’est vrai que si le bruit d’observation, après échantillonnage est blanc [5]. La réponse impulsionnelle est ici de longueur L. La mémoire du signal vaut alors L. Ainsi, y(n) dépend des symboles an−L+1, a n−L+2, . . . a n et y(n+1) dépendra des symboles an−L+2, an−L+3, . . . an+1. Ces deux séquences de symboles contiennent L −1 symboles communs, et il n’y a que M possibilités pour passer de la première séquence à la seconde, si an+1 prend ses valeurs dans un alphabet de cardinal M. On peut donc bâtir un treillis associé aux ML états de L symboles, où chaque nœud du treillis comporte M chemins entrants et M chemins sortants. Si on considère maintenant qu’une séquence de symboles de longueur K, et que l’on note s(n) la nième parmi les MK séquences possibles, alors, sous l’hypothèse d’un bruit additif blanc gaussien, la densité de probabilité conjointe de la séquence d’observation y1, y2, . . ., yK

−σ

πσ=

σ

−−

πσ=

=

=

K

k

nkk

b

K

b

b

nkkK

k b

nK

Sy

SySyy

1

2)(22

2

2)(

1 2)(

1

)(2

1exp2

1

2

)(exp

2

1)/,.,,Pr(

si la séquence s(n) a été émise est :

(II-13)

Où ∑−

=−=

1

1

)()( )()(L

i

nnk iksivs

est la sortie à l’instant k qui correspond à l’entrée s(n). On peut alors rechercher la séquence s(n)

21

)( )()( ∑ = −= Kk

nkk syKD

qui maximise la vraisemblance, ou qui minimise la métrique cumulée.

(II-14) A tout instant i, on observe que D(i) = D(i−1)+(y RiR−sRiRP

(n)P )P

2P, ce qui signifie que l’on

peut mettre en œuvre l’algorithme itérativement. Ceci étant posé, l’algorithme de Viterbi ne conserve parmi tous les chemins entrants sur un nœud, que celui de plus faible métrique cumulée, et seul ce chemin est prolongé. On répète ces opérations au cours du temps, et on peut prendre les décisions avec un retard.

Cet égaliseur est l’égaliseur « extrême ». En effet, il donne les meilleures performances, mais n’est guère utilisable que pour des séquences binaires (M = 2 ) et des canaux courts (L < 10) , à cause de la complexité. A titre indicatif pou un canal, dont la réponse impulsionnelle a 11 coefficients, on aboutit à un treillis à 2048 états. En outre, on ne peut utiliser Cet algorithme, qu’à condition d’avoir accès à la réponse impulsionnelle du canal, ce qui nécessite donc d’identifier le canal préalablement à la transmission [7].

III- SIMULATIONS ET RESULTATS :

Pour assurer la reconstitution du flux de données utiles sans séquence d’apprentissage l’égaliseur basé sur le maximum de vraisemblance exécute une procédure en deux étapes une identification du canal par l’algorithme que nous avons décrit auparavant, puis une recherche des données à l’aide de l’algorithme de Viterbi, en utilisant les résultats de cette d’identification.

Pour évaluer les performances de cet égaliseur, nous commençons par présenter la précision de l’algorithme d’identification pour les deux canaux de Proakis B et C et pour différents rapports signal sur bruit. III-1 IDENTIFICATION DE LA REPONSE IMPULSIONNELLE DU CANAL

L’identification de la réponse impulsionnelle du canal sert à l’algorithme de Viterbi à détecter des symboles d’information.

Nous avons travaillé avec une observation qui comporte dix symboles d’information (N=10). Les valeurs estimées des coefficients du canal sont représentées en fonction de l’indice d’itération, et cela pour des rapports RSB égaux à 0 ,5 et 10 dB. Vue la symétrie seules les valeurs estimées de la moitié des coefficients + 1 sont présentées.

Les courbes représentent une moyenne des valeurs estimées des échantillons de Réponse impulsionnelle effectués sur des simulations indépendantes. Les coefficients initiaux de la réponse impulsionnelle sont : h((n-1)/2)=1, h(i)=0, i ≠ (n-1)/2, où n est le nombre de coefficients.

Page 44: The Me III Op

Application de L’égalisation Aveugle sur les canaux radio-Mobiles basée sur l’Algorithme de Maximum de Vraisemblance CNTA’09

4

III-1-1ESTIMATION DE CANAL PROAKIS B

Fig (III.1) Coefficients estimés du Canal Proakis B

RSB=0dB

Figure (III.2) Coefficients estimés du Canal Proakis B

RSB=5dB

Fig (I11.3) Coefficients estimes de Canal Proakis B

RSB=10dB

III-I-2 ESTIMATION DE CANAL PROAKIS C

Fig (III.4) : Coefficients estimés du Canal Proakis C,

RSB=0dB

Fig (III.5) Coefficients estimés du Canal Proakis C,

RSB=5dB

Fig (III.6) : Coefficients estimés du Canal Proakis C,

RSB=10dB

Page 45: The Me III Op

Application de L’égalisation Aveugle sur les canaux radio-Mobiles basée sur l’Algorithme de Maximum de Vraisemblance CNTA’09

5

Après la dixième itération, on remarque que l’algorithme d’identification converge vers les estimées du canal B suivantes : RSB Coefficients Exacts Coefficients Estimés

0 dB [0.407, 0.815,0.407] [0.5 0.65 0.5]

5 dB [0.407, 0.815, .407] [0.25 0.58 0.25]

10 dB

[0.407, 0.815, 0.407] [0.3 0.7 0.3]

Pour un RSB=10dB l’estimation des

coefficients s’approche des coefficients réels du canal B.

Après la dixième itération, on remarque que l’algorithme d’identification converge vers les estimées du canal C suivantes :

RSB Coefficients Exactes Coefficients Estimés

0 dB [0.227 0.46 0.688 0.460 0.227]

[0.35 0.45 0.52 0.45 0.35]

5 dB [0.227 0.46 0.688 0.460 0.227]

[0.1 0.34 0.5 0.34 0.1]

10 dB

[0.227 0.46 0.688 0.460 0.227]

[0.2 0.4 0.52 0.4 0.2]

Une bonne estimation est obtenue avec un RSB =10 dB. Le bruit et la nature sélective du canal influent considérablement sur l’estimation des coefficients. III-2 EGALISEUR AVEUGLE A BASE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

Fig (III.7): L’égalisation du canal B par l’algorithme de Viterbi et Algorithme aveugle MV

Fig (III.8): L’égalisation du canal C par l’algorithme de Viterbi et Algorithme aveugle MV

Nous remarquons que la performance de cet égaliseur pour les canaux Proakis B et C est moins bonne que celle de Viterbi où le canal est connu du récepteur. Ceci s’explique par le fait que l’étape d’identification du canal n’est pas parfaite, et donc indirectement les performances de l’égaliseur dépendent aussi de la sélectivité du canal.

Mais pour un rapport signal à bruit relativement élevé on obtient avec cet égaliseur un taux d’erreur binaire (TEB) acceptable sur un canal inconnu au récepteur sans l’utilisation d’une séquence d’apprentissage.

IV- CONCLUSION L’algorithme d’identification du canal associé à l’égaliseur de maximum de vraisemblance de réaliser l’égalisation d’un canal sans séquence d’apprentissage mais au prix d’une augmentation importante de la complexité, c’est-à-dire du nombre d’opérations arithmétiques nécessaires pour démoduler et identifier un symbole d’information. D’où la nécessité de trouver d’autres algorithmes pour réduire cette complexité. REFERENCES [1]A.Glavieux, M. Joindot, "Communications numériques,

Introduction", MASSON, 1996. [2] ROUMY A, "Egalisation et décodage conjoints : Méthodes

Turbo", Thèse de doctorat 2000, Université de Cergy-Pontoise, FRANCE.

[3] Boulouird M. "Etude des méthodes d’égalisation de canaux

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DUNOD, 2002. [8] Roux. J. "Notes de cours sur l’égalisation aveugle"

pp 4-25 janvier 2004