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This article was downloaded by: [Universitaets und Landesbibliothek]On: 05 December 2013, At: 09:21Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Communications in Partial Differential EquationsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lpde20
Théorème d'unicité adapté au contrôle dessolutions des problèmes hyperboliquesLuc Robbiano ba Université de Paris-Val de Marne, U.F.R. de Sciences Av. du Gal de Gaulle , Creteil,Cedex, 94010b Départment de Math , Université de Paris-Sud , Orsay, Cedex, 91405Published online: 22 Jun 2010.
To cite this article: Luc Robbiano (1991) Théorème d'unicité adapté au contrôle des solutions des problèmeshyperboliques, Communications in Partial Differential Equations, 16:4-5, 789-800
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/03605309108820778
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COMMUN. IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 16(4&5), 789-800 (1991)
Th&or&me d'unicit6 adapt6 au contr6le des solutions des probl&mes hyperboliques
Luc Robbiano
Uniwrsite' de Paris- Val de Marne, U.F.R. de Sciences
Av. du Gal de Gaulle, 94010 Creteil Cedex
Universite' de Paris-Sud, Dipartement de Math
91405 Oraay Cedex
CNRS Orsay URA 760
0. Introduction La mkthode H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method) ddveloppde par
J . L . LIONS [7] permet d'ktudier le contrble des solutions d'dquations aux dkrivkes partielles. Notre discussion se bornera au cas des kquations hyper- boliques. Le contrde au sens le plus fort, c'est-&-dire l'existence de contr6le pour des donndes dans des espaces fonctionnels classiques (ici L2 x H-I ) a Ctd rksolu par BARDOS, LEBEAU et RAUCH [2]. Mais H.U.M. permet aussi de construire de f a ~ o n implicibe, des espaces de donnkes pour lesquelles il existe un contrele. Ce rksultat repose sur un thdorkme d7unicitk, (voir le thkorkme 3.1 de Lions). Ce thkorkme n'est ddmontrk que dans deux cas, pour des opdrateurs A coefficients analytiques, c'est alors une consdquence du thkorkme d'Holmgren et d a m le cadre Ctudik par Bardos, Lebeau et Rauch.
Nous dkmontrons, ici, ce thkorkme pour des opdrateurs & coeffi- cients peu rkguliers. Notre mkthode repose sur une idke de RAUCH et TAYLOR (81 reprise dgalement par LERNER [6]. Essentiellement, ces auteurs ddmontrent le rksultat suivant, si u(t, x ) est solution d'une dquation hyper-
bolique ID: -A(x, D,)] u(t, x) = 0 oh A est elliptique, A > 0 et u(t , I) = 0
pour tout s E B(0, r ) , *r > 0 et tout t E R alors u = 0 pour tout x et t . La mkthode est la suivante. 11s posent :
Copyright 63 199 1 by Marcel Dekker, Inc.
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pour (t, x) E W x B(0, r )
On applique le thdortme d'unicitd pour les opkrateurs elliptiques, on obtient que vx = 0 , ce qui implique que u = 0 car
vx(0, x) -----+ ~ ( t , x) . A-+a
Notre thdorkme 1 est une version locale de ce rksultat. On pose :
On a alors : D: vx + Avx = ~ ( e - ~ ' )
et v, = 0 pour ( t , x) E 1-T, T [ x B(O, r )
Ce qui ne permet pas d'appliquer le thkorkme d'unicitir. Mais on reporte ceci dans une inirgalitir de Carleman, dkmontrde par HORMANDER [3], ce qui permet de prouver que vx = 0 ( e V C X ) . En faisant tendre X vers l'infini, cela implique que u(to, x ) = 0 .
J e remercie M. Saut et M. Scheurer pour m'avoir indiqud ce problkme.
1. RQsultats Soit R un ouvert connexe de W n
Soit A(x, D,) un opirrateur elliptique
A(x, Dz) = C ~ i , ~ ( x ) D z ~ D z j + C a i ( x ) ~ . ~ + ~ o ( x ) . n > i , j > l i=l
(a,?(x)) est une matrice rkelle dkfinie positive, et il existe deux constantes strlctement positives C1 et C2 telles que pour tout x E fl et tout t E Wn,
Les applications ai j(x) sont ~ ' ( f i ) , il existe donc une constante positive
5 C3 pour x E n , 1 < i , j I n .
Les applications a j , j = 0,. . . , n appartiennent ii LCo . Soit u(t , x ) v4rifiant :
~ : u ( t , x ) - A(x, D,)u( t ,x) = 0
pour ( t , x) E 1-T, T[ x 0.
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On suppose que u E HL, (I-T,T[xR) ou que u E CO(]-T,T[ , H:,, (R))n C1(]-T, T [ , L:,, (R)) . On suppose que :
u(t, x) = 0 pour ( t , x) E 1-T, T[ x B(xo , ro) , oil xo E 0 , ro > 0 et B(x0,ro) C 0.
On note Ix - yl la distance euclidienne de Wn et d(x, y) la distance gkodksique dans R , pour la mktrique euclidienne.
On note D = Sup {d(xo, x ) , pour x E 0 ) . On suppose que D # + m . (I1 est facile de construire des ouverts connexes de Rn, n 2 2 vkrifiant D = $00).
T H ~ O R ~ M E 1. I1 existe un &el K strictement positif ( K ne dipend que de C1 et C2) tel que si T > K D alors
u ( t , x ) = O pour ( t , z ) ~ ] - T l , T 1 [ x 0 ou T l = T - K D
i ) Ce thkorkme peut 6tre appliquk d'une manikre purement locale. Pour T fix4 on peut trouver un domaine de 1-T, T[ x R sur lequel u s'annule. En particulier le thkorkme 1 est faux si A d6pend de t . En effet, en prenant pour A le Laplacien positif le thdorbme ~ ' A L I N H A C [l] permet de trouver u( t , x) et a ( t , x) des fonctions COS vkrifiant :
dans V un voisinage de (t, x) = (0,O) et Supp u = {xl 2 -6 1x'l2) f l V , oh x = (x, x') , 6 > 0 . Ce qui est contradictoire avec le thkorkme 1.
On rksume la situation dans ce schkma.
Domaine d'annulation de u quand le thtorkme 1 est vrai
ii) Quand A est & coefficients analytiques, (A peut alors dbpendre de t ) , ce thb rbme est une conskquence du thkorkme d'Holmgren. Dans ce cas la constante K trouvke dans le thkorkme 1 est bien moins bonne que celle donnke par le thkorkme d'Holmgren.
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iii) Ces deux remarques, et la mkthode de ddmonstration suggkrent que l'analyticitk par rapport & t est la bonne hypothkse pour obtenir le thdortme 1.
iv) Ce thkorkme permet de rboudre un probltme posk dans le livre de L A V R E N T ~ V , ROMANOV et SHISTATSKII [ 5 ] , dtudik par RAUCH et TAYLOR [8] et par LERNER [6]. La question est la suivante : si u vkrifie
a-t-on u = 0 ? Lerner a donnk une rCponse positive & cette question si les hypothkses
sont globales sur Wf,,y) x Rt. Le thkorkme 1 donne une rdponse positive si les hypothkses sont locales en (x, y, t) .
Ce type de rdsultat permet d'aborder le problkme de ddtermination d'une source connaissant le signal resu. Ainsi le cas a 0 a &d ktudik par S Y M E ~ [9].
Application au problhme du contr6le On suppose que u(t , x) vkrifie :
[D: - A ( Z , D ) u ( t , r ) = 0 sur 1-m,+m[ x I (PI
~ ( 0 , X ) = uO(x) avec uO E H l ( R )
Dtu(O,x) = ul(x) avec u' E LZ(R)
u(t, x) = 0 sur 1-m, +m[ x 8R . On a alors u E Co(W, H A ( 0 ) ) n C1(R x L2(R)).
du ( On suppose de plus que - = 0 sur 1-T, Ti x Z oil Z dn
d est un ouvert de a R , et - est la dkrivke normale & C .
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On suppose kgalernent que C est une hypersurface CZ.
I1 existe donc ro E C et r > 0 tel que B(x0, r ) n a R c Z. On pose fi = R U B ( x o , r ) et on prolonge u sur fi par 0 hors de R. Notons 1~ ce prolongement. On a :
(D: - A ) g = O sur 1 - T , T [ x f i
et 21 = 0 sur 1-T, T [ x B(XO, r ) .
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Appelons D = Sup {d(xo, x), x E 0) . Ici d est la distance gkoddsique sur a. On suppose D < +m. En appliquant le thCorkme 1 on obtient le rdsultat suivant.
T H ~ ~ O R E M E 2 . Soit u u n e solution de ( P ) , -si (u, 0, C) ve'rafient (H) alors, s i T > K D ,
Ce thkorkme d'unicitk est la premikre Ctape pour appliquer la m&thode H.U.M. de J . L . LIONS 171.
2. Une version locale du thkorkme d'unicitk On fait les hypothkses du 5.1 sur A, on suppose que
u E Hz([-T, T] x B(O,3r)) ou que
LEMME 1 . I1 eziste une constante s tr ic tement positive h' (ne dipendant que de C1 et C2) et 1-0 (a lpendant de C1, C2 et C3) telle que s i (D: - A)u = 0 et si
u(t , x) = 0 pour ( t , x) E [-T, T] x B(0, r ) , pour r < ro
alors
u( t ,x ) = 0 pour 1x1 < 2r
et J t l < T - K r .
Ce lemme est une version locale affaiblie du thirortme 1. La ddmonstra- tion va comporter plusieurs &tapes.
On pose d'abord :
v , , ~ posskde plusieurs propriCt&s, tout d'abord, celle qui permet de conclure & la fin du calcul, c'est-&-dire,
(2 ) v , , ~ ( s , x) = 0 pour x E B(O, r )
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LEMME 2. Il ex i s te u n e c o n s t a n t e C (qui de'pend d e u) , tel le que :
< ~ ~ 3 / 2 e-4[(T-lal)2-s~l IIQva~~IIL2((-so,sol xB(0,3r)) -
o k Q = D: + A(x, D,).
Dans le cas oh u E C0 ([-T,T], H 1 ( ~ ( 0 , 3 ~ ) ) ) n C 1 ( [ - T , TI , Lz(B(O, 3 r ) ) ) , on dkduit de ce lemme et du fait que u , , ~ E H,',, que v a , x E H&, .
I1 sufi t d'appliquer, par exemple le thkortme 17.2.7 de HORMANDER [3] de rkgularit6 H&, des fonctions u E H;,, vkrifiant B u E L:,, , oh B est un opkrateur elliptique B. coefficients Lipschitziens.
PREUVE D U L E M M E 2 : Un calcul Gmentaire montre que :
La majoration de ( D i + A)va,X s'en dkduit immkdiatement. Le deuxikme ingrkdient de la preuve est une inkgalit6 de Carleman
prdcise, ce qui va faire I'ohjet du lemme suivant pour lequel on pose :
LEMME 3 : (1nCga.litk de Carleman). II ex is te u n e c o n s t a n t e > 0 ( n e d i p e n d a n t que d e CI e t C 2 ) e t ro ( d i p e n d a n t d e C1, C2 e t Cj) tel le q ~ e si
R /3 2 - 0 6 r < ro, i l ex i s te C > 0 e t yo > 0, tel les que pour t o u t y > yo e t
7-2 r 2
t o u t w E H Z & suppor t c o m p a c t d u n s {(s , r ) , - 2 < a Z + r 2 < '1r2
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Ic i 1) 11 est la norme dans L2
Ceci est une conskquence du thkorkme 8.3.1 de H ~ ~ R M A N D E R [3] qu'on va rappeler pour la commoditd du lecteur.
T H ~ ~ O R B M E 8.3.1 [3]. Soit 0 u n ouvert borne' de Rn, soit II, une fonction C w ( O ) ve'rifiant grad $ ( x ) # 0 pour x E a, et P ( x , D ) u n ope'rateur diffe'rentiel d'ordre m ti coef ic ients dans LOS(Q). O n suppose de plus que 1es.coeficients de la partie principale P,,,(x, D ) sont dans C 1 ( i i ) , e t que P , est elliptique dans a . Alors s i
p o u r < = [ + i y g r a d $ , o . i L x ~ a , [ ~ W ~ , ~ E W , e t P m ( s , ( ) = O , i l e z i s t e des constantes C > 0 et yo > 0 telles que pour y > yo o n a :
Evidemment on peut remplacer u E CF(i2) par u E Hm n ~ ' ( 0 ) et pour nous m = 2. I1 est probable que pour m = 2 , l'hypothkse P m ( x , D ) b coefficients Lipschitziens suffise.
I1 suffit donc pour prouver le lemme de vdrifier ( 3 ) dans notre cas. On a : +' = - p P l e - P V
* I 1 = ( - p q + piO1 t(p')e-Pq . On pose r = / 3 y e - B V . On a donc C = [ - i y ,6 'p :e -P~ = J - i T x et B = r - i y p P ' , e - P q = r - i r s .
1 On note q ( x , T , [) = - ( r 2 + ' [ A [ ) oh A est une matrice qui dgpend de
2 x . q ( x , 8, C ) = 0 est dquivalent b :
(4) r2 + '[A[ = r2 [s2 + t x A x ] , et
s r + ' [ A x = 0
La relation (3) devient, en notant 7 = (r , E ) ,
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oil [VIk est la k-&me coordonnde de V . Or
grice 8. (4). Le terme Im [ ] de (5) est Cgal & :
De (4) on ddduit que :
~ t l s c r f i et ITISWF oh C ne dCpend que de C1 et C2. On a donc :
oh C ne dkpend que de C1, Cz , C3, ne dkpend que de C1, C2 et c ne dkpend que de C1.
Donc (5) est impliquke par :
cpr2v2 2. r Z Y ( c + Cp1/2) . C
Si ro est assez petit, ( r o ne ddpend que de Cl , Cz et C3), on a Cp1/' < -. 2
I? I1 suffit donc de prendre 2 - oh R ne dkpendant que de C1 et Cz (sur
r 2 r
l'ouvert considkrd y 2 T ) . PREUVE D U L E ~ I M E 1 : Pour simplifier les notations on note v , , ~ = U X .
On applique l'inkgalitd de Carleman k wx = ~ ( 2 p ( s , x ) ) v x oh
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On posera a1 = (2r)'. (On a a, < a2 < a3) .
2ii- On choisit p = 7 et on pose y = vX oh v sera choisi ultirieurement.
r On h i t :
Qwx = X P P ) Qvx + [Q, x(2v)l vx .
Le lernme 2 e t les propridt6s d e la troncature x impliquent :
( G I I ley \ (2y)~vAl l < cC. eux'-K-r(~-la~)2+": .
D'autre part , [Q,x(2p)] est un opCrateur d'ordre 1 dont le support des coefficients est inclus dans :
Si a 2 5 2y 5 a s , on obtient :
-"2 e-Ylj, < e u X e -
On ddduit des faits pricddents, de ( I ) , et de (2) que :
De m h e , si a1 2 2p, alors :
ce qui implique :
-" 3 (8) Y3/2 Iley$wXII 2 eue IIv~II~2(21p<a~) .
Les forrnules (6), (7) et (8) irnpliquent que :
J
Pour prouver le lemrne, il suffit que 11vx11L2(2,5a,) tende vers 0 quand X tend vers I'infini. Pour cela, il suffit d'aprks (9) que
-, 0
v e - h 3 + s i - ve-'3 < 0 (10)
et ve-' - (T - la])' + s i - ve-'y < o . Donc, si
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on pourra trouver v pour que (10) soit vkrifide. C'est-i-dire, puisque
c'est-&-dire Jal < T - K r pour un certain K Ce qui achtve la preuve du lemme 1.
3. DCmonstration du thCor6me 1 Pour dbmontrer le thkorkme 1, on va construire une suite de boules
perrnettant d'appliquer successivement le lemme 1.
D ~ F I N I T I O N . On dit qu'une suite de boules B(y3, 6) j = 0 , . . . , !v est une 6-suite de boules reliant xo & x si
REXIARQL'E. S'il existe une 6-suite de boules reliant .ro b x , avec 6 < ro alors u ( t , y ) = 0 pour y pr&s de x et J t J < T - h 7 6 N . I1 suffit d'appliquer le lemme I A' fois.
On va prouver l'assertion suivante : pour tout x E 0, pour tout E > 0, il existe 6 < ro et une &-suite de boules reliant xo 8. x avec 6hT 5 D + z .
Soit un arc joignant xo 8. x (sufisamment 16gulier) tel que longueur (T) 5 D + E . On note g une paramdtrisation de r
g : [O,1] -+ R avec g(0) = xo et
g(1) = x .
Soit p = inf d ( g ( t ) , C ~ ) , on a ,u > 0. Pour chaque 6 E 10, inf (:,do) [, on t€jO,ll
va construire une 6-suite de boules reliant s o B. x de la manikre suivante. On construit par rhcurrence NO = 0, 0 1 , . . . , N N = 1 en posant si a , # 1
La suite a? est croissante. On va voir que cette prochdure s'arrctc, et que !h s u ~ t e a , eit strictemeat croissante. C e h est m e cons~quencr du I c n m l ~ suivant.
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LEMME 4. Si a j # 1 alors (g(aj- l ) - g(aj)( = 6
PREUVE : On a bien siir I g ( c ~ ~ - ~ ) - g(cuj)l 5 6. D'autre part, par construc- tion de cuj , V a > a j / g ( (~ , -~ ) -g(a)I 2 6, donc par continuiti: de g,
Ig(aj-1) - g(aj) l 2 6. Supposons que pour tout j a, < 1 cela implique que a j converge donc
que g(aj) - g(ajVl) tend vers 0. Ce qui contredit le lemme. On va prouver que B(g(aj), 6) j = 0, . . . , N - 1, est une 6-suite de
boules reliant xo & x.
3) B(g(cuj), 36) c R car 36 < p.
I1 reste donc & majorer 6 (N - 1). On remarque que le segment I j = [g(cuj) ; g(aj+l)], j = 0,. . . , N - 2 est contenu dans Q. En effet pour z E I, et y E CR, on a
12 - YI 2 lg(aj) - Y I - 12 - g(aj)I
2 p - 6 2 2 6 > 0 .
On a donc que, Jg(aj) - g ( ~ j + ~ ) l est infkrieur & la longueur de r prise entre ~ ( a j ) et g (a j+~ ) . Doric
N - 2
C lg(aj) - g(aj+ l ) l 5 longueur (r) j=O
L D + e .
Le lemme 4 implique que 6(N - 1) 5 D + E . Ce qui implique le thkorkme 1.
[I] S. ALINHAC : N o n unicite' du problkrne de Cauchy, Annals of Mathematics, 117 (1983), 77-108.
[2] C. BARDOS, G. LEBEAU, J. R A U C H : Annexe livre de J.L. LIONS [7].
[3] L. HORMANDER : Linear partial drflerential operators, Springer Verlag, Berlin, 1963.
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[5] M.M. L A V R E N T ~ V , V.G. R D M A N O V , S.P. S H I S H A T S K I I : Ill-posed problems in mathematical physics and analysis, in "Translations of Mathematical Monograph", Vol. 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
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