Denis Prtre, dernire rvision : 27/10/20041 Thorie des filtres analogiques 1Introduction Les filtres reprsentent un outil essentiel en traitement de signal. Un filtre peut tre de type : passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande. On distingue les catgories suivantes : Filtres analogiques oFiltres passifs RLC : utiliss en HF et, de manire gnrale, lorsque la bande passante requise est hors de porte des amplificateurs oprationnels. oFiltres actifs Filtres en cascade : on fractionne la fonction de transfert du filtre en une multiplication de fonctions de transfert d'ordre 1 ou 2, appeles cascades ou cellules. Par exemple, un filtre d'ordre 7 est fractionn en 4 cellules (trois d'ordre 2 et une d'ordre 1). Chaque cellule est ralise l'aide d'un amplificateur oprationnel. Plusieurs montages sont possibles pour la mme cascade (cellule 'multiple feedback', etc.) Autres mthodes employant des amplificateurs actifs. Filtres numriques oFiltres capacits commutes : ces filtres sont un mlange de numrique et d'analogique. Ils ont la proprit d'avoir des caractristiques de bande passante et de bande de rjection modulables au moyen d'un clock externe. Par exemple, pour configurer un filtre passe-bas de bande passante B, on injecte une frquence gale fclock=kB. La plupart du temps, k=50 ou 100. A noter que ces filtres travaillent avec des chantillons analogiques (frquence d'chantillonnage: fe=fclock), ce qui implique qu'un filtre de garde anti-repliement doit tre prvu. oFiltres numriques avec unit de calcul (dsp, FPGA, etc.) Filtres IIR ('Infinite Impulse Response') : ces filtres numriques sont raliss sur le modle des filtres analogiques. Filtres FIR ('Finite Impulse Response') : ces filtres fonctionnent avec le principe du produit de convolution et sont absolument impossibles raliser de manire analogique. Ils possdent de grands avantages (stabilit garantie, pas de distorsion de phase) mais demandent une grande capacit de calcul. Filtres adaptatifs : en principe de type FIR (mais pas forcment), ils sont capables de modifier leurs coefficients en temps rel afin de minimiser l'erreur du signal de sortie par rapport un modle connu. 1.1Rappel thorique Un filtre est essentiellement dcrit par une fonction de transfert H(s) (resp. H(S)) ou H() (resp. H(f) ou encore H()) selon que l'on considre le domaine de Laplace ou de Fourier. La transforme de Laplace inverse est appele h(t). Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie2 La Figure 1 illustre un filtre qui reoit un signal d'entre x(t) et qui dlivre un signal de sortie y(t). H(s), H(f) h(t)Signal d'entreX(s), X(f) x(t)Signal de sortieY(s), Y(f) y(t)FILTRE Figure 1 On a les relations suivantes : Laplace) s ( X ) s ( H ) s ( Y (1) Fourier) f ( X ) f ( H ) f ( Y ou ) ( X ) ( H ) ( Y (2) Domaine temporel d ) t ( h ) ( x d ) t ( x ) ( h ) t ( x ) t ( h ) t ( y (3) La reprsentation dans Fourier permet de visualiser les effets frquentiels d'un filtre. On passe de Laplace Fourier par la simple transformation suivante : f 2 j j s et donc( ) f 2 j s H ) f ( H (4) Dans le domaine de Fourier, on peut affiner (2) de la manire suivante : ) f ( X ) f ( H ) f ( Y (5) ( ) ( ) ( ) ) f ( X arg ) f ( H arg ) f ( Y arg + (6) Les proprits (5) et (6) sont directement tires de la thorie des nombres complexes. Quand on multiplie deux nombres complexes, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. Connaissant la rponse en amplitude) f ( Het la rponse en phase( ) ) f ( H arg ) f ( d'un filtre quelconque, on restitue aisment H(f) : ) f ( je ) f ( H ) f ( H (7) 1.2Dfinitions, notations On emploie frquemment les variables normalises S (domaine de Laplace) et (domaine de Fourier). La variable de Laplace normalise S est dfinie ainsi : 0sS (8) 0 :pulsation de rfrence s :variable de Laplace Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie3 Dans le domaine de Fourier (on considre exclusivement le rgime harmonique), on pose s=j et donc : jffj jsS0 0 0(9) f0 :frquence de rfrence :pulsation (ou frquence) normalise Exemple :Filtre passe-bas du premier ordre. +s 11) s ( H ( : constante de temps) +f 2 j 11) f ( H0ffj 11) f ( H + (on fixe 21f0 : frquence de coupure 3 dB) + j 11) ( H La rfrence 0 (resp. f0) des variables normalises S (domaine de Laplace) ou (domaine de Fourier) doit tre connue pour retrouver les fonctions de transfert relles. 2Types de filtres Dans les chapitres qui suivent on admet des gains de 1 dans la bande passante, donc 0 dB. 2.1Filtre passe-bas La rponse en amplitude ou gain du filtre GdB(f) = 20log(|H(f)|) d'un filtre passe-bas est illustre par la Figure 2. 0 dB-Amax-AminfGdB(f)Bfr Figure 2 0 f BBande passante (angl. pass band) B < f < frTransition fr f < Bande bloquante ou bande de rjection (angl. stop band) Amax Ondulation maximale dans la bande passante (dB) (angl. rippel). Si rien n'est prcis, on admet Amax= 3 dB. AminAffaiblissement minimal dans la bande de rjection (dB). Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie4 On a admis ici un gain de un lorsque f=0. Ce n'est pas toujours le cas et un filtre passe-bas tel que dfini par la Figure 3 est tout fait possible. 0 dB-Amax-AminfBfrGdB(f) Figure 3 2.2Filtre passe-haut Le gain GdB(f) = 20log(|H(f)|) d'un filtre passe-haut est illustr par la Figure 4. 0 dB-Amax-AminfBfrGdB(f) Figure 4 Si rien n'est prcis, on admet Amax=3 dB. On a admis ici un gain de un lorsque f. Ce n'est pas toujours le cas et un filtre passe-haut tel que dfini par la Figure 5 est tout fait possible. 0 dB-Amax-AminfBfrGdB(f) Figure 5 2.3Filtre passe-bande Le gain GdB(f) = 20log(|H(f)|) d'un filtre passe-bande est illustr par la Figure 6. 0 dB-Amax-AminfB2fr1B1fr2Bf0GdB(f) Figure 6 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie5 Si rien n'est prcis, on admet Amax=3 dB. La frquence centrale du passe-bande est dfinie de la manire suivante : 2 r 1 r 2 1 0f f B B f (10) On dfinit la bande passante : 1 2B B B (11) Si on connat f0 et B, on dduit B1 et B2 de (10) et (11) : 2021f4B2BB + + et 2022f4B2BB + + (12) Le facteur de qualit du passe-bande donne une indication sur la slectivit du filtre. Il est dfini de la manire suivante : BfQ0 (13) Attention Dans le calcul d'un facteur de qualit, B est forcment la bande passante 3dB (Amax = 3 dB) On r-crit (12) :

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+ + 1Q 41Q 21f B2 0 1 et

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+ + 1Q 41Q 21f B2 0 2(14) La Figure 6 admet un gain de 1 lorsque f=f0. Ce n'est pas toujours le cas et un filtre passe-bande tel que dfini par la Figure 7 est tout fait possible. 0 dB-Amax-AminfB2fr1B1fr2Bf0GdB(f) Figure 7 2.4Filtre coupe-bande Le gain GdB(f) = 20log(|H(f)|) d'un filtre coupe-bande est illustr par la Figure 8. 0 dB-Amax-AminfB2fr1B1fr2f0GdB(f) Figure 8 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie6 3Ples et zros des filtres analogiques Un filtre analogique est stable si les ples de H(s) (resp. H(S)) sont situs dans le demi-plan gauche de Laplace. Les zros, eux, peuvent se trouver n'importe o. Dans la pratique, en fait, on vite d'en avoir dans le demi-plan droit pour viter des dphasages trop importants. Souvent, on a des zros sur l'axe imaginaire lui-mme. La Figure 9 montre un filtre passe-bas d'ordre 5 (ordre= nombre de ples) qui comporte 5 ples et deux zros avec les variables de Laplace s et S (voir (9)). =Re(S)j=Im(S)P1P5P4P3P2Z1Z2=Re(s)j=Im(s)p1p5p4p3p2z1z2Variable de Laplace normalise Variable de Laplace relle Figure 9 On passe d'ungraphe l'autre au moyen de la relation : 0xxpP et0xxzZ (15) La rfrence 0 reste dterminer. Dans ce chapitre, nous travaillerons essentiellement avec la variable de Laplace normalise S. Si le filtre est purement rel (on peut concevoir des filtres complexes), alors les ples et les zros sont : soit purement rels (les ples purement rels sont forcment ngatifs). Dans l'exemple illustr par la Figure 9, le ple P3 est purement rel et ngatif. soit conjugus complexes deux deux. Dans l'exemple illustr par la Figure 9, les ples P1-P5, P2-P4 et les zros Z1-Z2 sont conjugus complexes. La fonction de transfert d'un tel filtre est la suivante : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 5 12 1P S P S P S P S P SZ S Z Sk ) S ( H (16) Le facteur k reste dterminer. On peut mettre profit la relation entre conjugus complexes :( ) ( )22 *P S ) P Re( 2 S P S P S + (17) Le polynme dfini par (17) a des coefficients purement rels et les signes sont tous des '+' (rappel : Re(P)0.5 :

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+ 1 Q 41 Q 41arctgexp1 Q 4Q 2overshoot222(62) Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie20 Plus Q est lev, plus l'overshoot est important. Lorsque Q>2, on peut encore approximer : Q>2 :

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Q 2exp overshoot (63) 6.2.3Domaine frquentiel En rgime harmonique, on pose s=j=j2f. On a donc la fonction de transfert suivante : + QjG ) ( Hp 2 2p2p0(64) On dduit les rponses en amplitude et en phase : ( )22p22 2p2p 0QG) ( H

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+ (65) ( )( )( )' >

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<

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p 2p2pp2 2ppsiQarctgsiQarctg) ( H arg (66) En drivant H() on trouve un maximum pour la pulsation suivante : 2 p maxQ 211 si71 . 021Q > (67) et( )20 maxQ 411QG H donc( ) Q G H0 max > (68) On distingue deux cas : Q < 0.71il n'y a pas de maximum; la rponse en amplitude est monotonement dcroissante Q 0.71il y a un maximum tel que dfini par (67) et (68). Les deux figures suivantes montrent les rponses en amplitude (rponse linaire) et phase d'un filtre passe-bas de second ordre pour G0=1 et deux facteurs de qualit Q=0.2 et Q=2. Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie21 0 0.5 1 1.5 2012Rponses en amplitude Q=0.2 et Q=22.20H1 ( )H2 ( )2 0 p Figure 24 0 0.5 1 1.5 220Rponses en phase Q=0.2 et Q=20 arg H1 ( ) ( )arg H2 ( ) ( )2 0 p Figure 25 Quel que soit le facteur de qualit Q, la pulsation de coupure -3 dB est donne par la relation suivante : 22 2 p dB 3Q 211 1Q 211 ,_

+ + [rad/s](69) 6.3Passe-haut du deuxime ordre Rappel 2pp 22sQssG ) s ( H + + (70) Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie22 Nous n'tudierons pas ici les rponses impulsionnelle et indicielle de manire approfondie. La Figure 26 illustre trois rponses indicielles pour G=1, p=2 et les facteurs de qualit Q=0.2, Q=0.5 et Q=2 (calcul numrique effectu avec MathCad). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 311Rponses indicielles11 s1 t ( )s2 t ( )s3 t ( )3 0 t Figure 26 6.3.1Domaine frquentiel En rgime harmonique, on pose s=j=j2f. On a donc la fonction de transfert suivante : + QjG ) ( Hp 2 2p2(71) On dduit la rponse en amplitude : ( )22p22 2p2QG) ( H

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+ (72) En drivant H() on trouve un maximum pour la pulsation suivante : 2pmaxQ 211 si71 . 021Q > (73) et( )2maxQ 411QG H donc( ) Q G Hmax > (74) On distingue deux cas : Q < 0.71il n'y a pas de maximum; la rponse en amplitude est monotonement dcroissante Q 0.71il y a un maximum tel que dfini par (73) et (74). Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie23 La Figure 27 illustre les rponses en amplitude (rponses linaires) de filtres passe-haut de second ordre pour G=1 et deux facteurs de qualit Q=0.2 et Q=2. 0 1 2 3 4 5012Rponses en amplitude Q=0.2 et Q=22.20H1 ( )H2 ( )5 0 p Figure 27 Quel que soit le facteur de qualit Q, la pulsation de coupure -3 dB est donne par la relation suivante : 22 2 p dB 31Q 211 1Q 21

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+ + [rad/s](75) 6.4Passe-bande du deuxime ordre Rappel 2pp 2psQssQG ) s ( H + + (76) Nous n'tudierons pas ici les rponses impulsionnelle et indicielle de manire approfondie. La Figure 28 illustre trois rponses indicielles pour G=1, p=2 et les facteurs de qualit Q=0.2, Q=0.5 et Q=2 (calcul numrique effectu avec MathCad). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 311Rponses indicielles11 s1 t ( )s2 t ( )s3 t ( )3 0 t Figure 28 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie24 6.4.1Domaine frquentiel En rgime harmonique, on pose s=j=j2f. On a donc la fonction de transfert suivante : + QjQjG ) ( Hp 2 2pp(77) On dduit la rponse en amplitude : ( )22p22 2ppQQG) ( H

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+ (78) En drivant H() on trouve un maximum pour la pulsation suivante : p max (Q quelconque)(79) et( ) G Hmax (80) On a toujours un maximum, quel que soit Q (ce qui est un peu normal si c'est un passe-bande) et ce maximum est toujours situ en =p. Dans le cas d'un passe-bande, le facteur de qualit Q donne une indication sur la slectivit du filtre (voir 2.3 page 4). La Figure 29 illustre les rponses en amplitude (linaires) de filtres passe-bande de second ordre pour G=1 et deux facteurs de qualit Q=2 et Q=5. 0 0.5 1 1.5 200.51Rponses en amplitude pour Q=2 et Q=510H1 ( )H2 ( )2 0 p Figure 29 Les pulsations -3 dB sont donnes par les quations suivantes :

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+ + 1Q 41Q 212p low dB 3[rad/s](81)

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+ + 1Q 41Q 212 p high dB 3[rad/s](82) Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie25 On dduit : QfQ 2 2Bp p low dB 3 high dB 3 [Hz](83) On reconnat les quations (13) et (14) du 2.3 avec f0=fp. 6.5Coupe-bande du deuxime ordre Rappel 2pp 22p2sQssG ) s ( H + + + (84) Nous n'tudierons pas ici les rponses impulsionnelle et indicielle de manire approfondie. La Figure 30 illustre trois rponses indicielles pour G=1, p=2 et les facteurs de qualit Q=0.2, Q=0.5 et Q=2 (calcul numrique effectu avec MathCad). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.51Rponses indicielles1.20s1 t ( )s2 t ( )s3 t ( )3 0 t Figure 30 6.5.1Domaine frquentiel Il n'y a pas ici de maximum. Dans le cas d'un coupe-bande, le facteur de qualit Q donne une indication sur la slectivit du filtre. La Figure 31 illustre les rponses en amplitude (linaires) de filtres coupe-bande de second ordre pour G=1 et deux facteurs de qualit Q=2 et Q=5. 0 0.5 1 1.5 200.51Rponses en amplitude pour Q=2 et Q=510H1 ( )H2 ( )2 0 p Figure 31 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie26 Les pulsations 3 dB sont donnes par les quations suivantes :

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+ + 1Q 41Q 212p low dB 3[rad/s](85)

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+ + 1Q 41Q 212 p high dB 3[rad/s](86) 6.6Facteur de qualit et ralisation Au vu de ce que l'on a vu jusqu'ici, il apparat trs judicieux d'avoir des facteurs de qualit trs levs pour obtenir une bonne slectivit (en tout cas pour ce qui concerne les passe-bande et les coupe-bande). Dans la pratique, il faut rester trs prudent. On montre que les filtres de second ordre dont le facteur de qualit est lev sont trs sensibles aux variations et aux tolrances des composants. La Figure 32 illustre la rponse en amplitude d'un filtre passe-bande trs slectif. Lorsque les composants ont un peu chauff (rsistances, etc.), ce passe-bande se 'dplace' et la frquence centrale 0' ne correspond absolument plus du tout ce que l'on souhaitait au dpart 00/H() Figure 32 Une cascade active d'ordre 2 avec un seul amplificateur oprationnel ne devrait pas dpasser des valeurs de Q plus grandes que 8..10. Si ncessaire, on trouve dans la littrature spcialise des montages plusieurs amplificateurs pour des facteurs de qualit plus grands que 10. 6.7Filtres passifs RLC de deuxime ordre La Figure 33 illustre diffrents montages du deuxime ordre. Ue(f)RLCUs(f)Passe-basUe(f)RLCUs(f)Passe-haut Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie27 Ue(f)RLCUs(f)Passe-bandeUe(f)RLCUs(f)Coupe-bande Figure 33 Pour les filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande, on a : C L1p etCLR1C R1RLQpp (87) Pour le filtre coupe-bande, on a : C L1p etLCRLRC R Qpp (88) Les filtres RLC ont les dsavantages suivants : L'impdance de sortie n'est pas ngligeable Les valeurs de L et C deviennent vite irralistes lorsque les frquences de coupure sont basses. 6.8Cellule 'multiple feedback' (cellule MFB) Il existe plusieurs cellules actives pour raliser des filtres de deuxime ordre avec des amplificateurs oprationnels. La cellule MFB est apprcie pour son comportement en stabilit. Elle permet d'obtenir des cellules de deuxime ordre de passe-bas, passe-haut et passe-bande; elle ne permet pas de fabriquer des coupe-bande. La structure de base de la MFB est la suivante : Y1Y2Y3Y4Y5-+UeUs Figure 34 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie28 AttentionDans ce chapitre, on va considrer que l'amplificateur oprationnel est idal, c'est--dire que son gain en boucle ouverte tend vers l'infini pour 0 f son impdance d'entre tend vers l'infini il n'y a pas de courant de fuite il n'y a pas de tension d'offset en sortie son impdance de sortie est nulle On voit ici l'avantage d'une cellule amplificateur oprationnel: dans la mesure o l'impdance de sortie de l'ampli est trs faible, on peut cascader des cellules de deuxime ordre les unes derrire les autres sans se soucier de modification de la fonction de transfert. Comme il a dj t dit auparavant, le facteur de qualit Q d'une MFB ne devrait pas dpasser des valeurs de 8..10. Au-del, on trouve des structures deux amplis mieux appropries dans la littrature spcialise. La fonction de transfert de la MFB est la suivante : ( )3 2 4 3 2 1 53 1esY Y Y Y Y Y YY Y) s ( U) s ( U) s ( H + + + + (89) avec les admittances iiZ1Y (90) A noter que la MFB gnre systmatiquement un dphasage de 180 par rapport au cas idal (cellule inverseuse). L'impdance d'entre Zin (qui doit parfois tre considre avec beaucoup d'attention) est donne par la formule suivante : ( )( )3 2 4 3 2 53 2 4 3 2 1 51 eeinY Y Y Y Y YY Y Y Y Y Y YY1) s ( I) s ( U) s ( Z + + + + + + + (91) En fait, l'impdance d'entre est largement dpendante de Z1=1/Y1. Attention donc choisir cette impdance Z1 soigneusement. 6.8.1Cellule MFB passe-bas Une cellule MFB de type passe-bas est compose de la manire suivante : R1R2R3C1-+UeUsC2 Figure 35 Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie29 A cause de l'inversion de 180 mentionne auparavant, on a une fonction de transfert avec un signe '' : Passe-bas 2pp 22psQsG) s ( H + + (92) On trouve analytiquement : 3 R 2 R 3 R 1 R 2 R 1 R3 R 2 R 1 R1 C2 CQ3 R 2 R 2 C 1 C11 R2 RGp + + (93) Pour obtenir la cellule souhaite, on a trois quations et cinq inconnues. La marge de manuvre est donc confortable. Les logiciels de calcul de filtre utilisent des algorithmes rcursifs pour trouver la meilleure solution. Si on dcide de fixer les valeurs des deux capacits C1 et C22, alors on n'a plus que les trois inconnues R1, R2 et R3. On trouve dans ce cas : 2 R 2 C 1 C13 R1 R G 2 R2 C1 C ) 1 G ( Q 41 11 C Q G 211 R2p2p

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+ t (94) Le signe 't' pour la recherche de R1 dans (94) signifie qu'on peut en fait choisir l'un ou l'autre. L'impdance d'entre de la cellule passe-bas dpend en grande partie de la rsistance R1 (voir (91) page 28 pour plus de dtails). Attention de ne pas choisir R1 trop petite C'est pour cela qu'en principe, on prfre choisir "+" dans (94), sauf si cela donne des valeurs irralistes (en pratique, on vite les rsistances suprieures au M). 2 Il est beaucoup plus facile d'ajuster des valeurs de rsistances que de capacits. C'est pourquoi on fixe souvent la valeur des capacits en premier. Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie30 6.8.2Cellule MFB passe-haut Une cellule MFB de type passe-haut est compose de la manire suivante : C3R2R1-+UeUsC2C1 Figure 36 A cause de l'inversion de 180 mentionne auparavant, on a une fonction de transfert avec un signe '' : Passe-haut 2pp 22sQss G) s ( H + + (95) On trouve analytiquement : 3 C 2 C 1 C3 C 2 C2 R1 RQ3 C 2 C 2 R 1 R12 C1 CGp+ + (96) Pour obtenir la cellule souhaite, nous avons nouveau trois quations et cinq inconnues. Si on dcide de fixer les valeurs des deux capacits C2 et C3, alors on n'a plus que les trois inconnues R1, R2 et C1. On trouve dans ce cas : 3 C 2 C 1 R12 R3 C 2 C3 C 2 C 1 C Q1 R2 C G 1 C2pp + + (97) Thorie des filtres analogiques HE-Arc, ingnierie31 L'impdance d'entre Zin de la cellule passe-haut dpend en grande partie de la capacit C1 (voir (91) page 28 pour plus de dtails). Attention de ne pas choisir C1 trop grande A noter que Zin(f)0, ce qui peut poser problme. De toute faon, l'amplificateur oprationnel n'est plus idal ces frquences-l et par consquent les simplifications admises jusqu' prsent ne sont plus valables. La meilleure solution est de simuler. Une rsistance de 100 ou 200 en srie avec C1 peut tre envisage, mais bien entendu cela a son effet sur la fonction de transfert. A noter encore que Re[Zin(f > fmax)]