Théorie des nombres et courbes elliptiques

Recherche de solutions entières ou rationnelles

Diophante (Alexandrie): Les Arithmétiques

Problèmes "à une inconnue", solutions numériques rationnelles positives

Histoire et transmission de ce livre

Pierre Fermat Magistrat à Toulouse

Lien avec cercles parisiens de mathématiques (Mersenne, Pascal, Roberval, …)

Utilisations de l'algèbre en géométrie, probabilités, optique, théorie des nombres

Fermat et Diophante

Solutions rationnelles "en nombre infini" d'équations : méthode algébrique

(Pas de ) Solutions entières par descente infinie (ex : "il n'y a qu'un seul carré qui augmenté de 2 fasse un cube")

Isaac Newton

Classification des cubiques par projection

Suggère qu'on peut construire de nouvelles solutions rationnelles à une équation cubique à partir de deux d'entre elles : interprétation géométrique de la sécante

Disquisitiones arithmeticae

paru en 1801 en latin, trad. fr. en 1807, allem. 1889, russe 1959, angl. 1966, espag. et jap. 1995, catalan 1996

Contenu des Recherches

Les Recherches arithmétiques sont divisées en 366 articles, groupés en 7 sections:I. Des nombres congrus en général (art. 1-12)II. Congruences du premier degré (art. 13-44)III. Résidus de puissances (art. 45-93)IV. Congruences du deuxième degré (art. 94-152)V. Formes et équations du deuxième degré (art. 153-308)VI. Applications des recherches précédentes (art. 309-335)VII. Equations qui déterminent les divisions du cercle (art.336-366)[VIII. (non publié) Congruences d'ordre supérieur]

Section VEtude des Formes quadratiques (binaires, à coefficients entiers). Exemples : x2+y2, 3x2+10xy+y2. Plus généralement : ax2+2bxy+cy2 , avec a, b, c entiers

Question 1: quels nombres sont représentés par une forme donnée ? ex : Est-ce que 21 est somme de deux carrés ? Est-ce que 60n+11 divise 3x2-5y2 ?

Question 2 : classer les formes à changement de variables (inversible)

près, c'est-à-dire x=ux'+vy', y=u'x'+v'y', avec u, u', v, v' entiers et uv'-u'v=±1. Equivalence propre si uv'-u'v=+1. Deux formes équivalentes représentent les mêmes entiers.

Définition du déterminant : bb-ac, dont les propriétés de la forme

Section V (suite et fin) Une forme binaire quadratique définie positive (D<0) est proprement équivalente à une forme ``réduite au sens de Gauss", i.e. telle que −a<b≤a<c ou 0≤b≤ a=c. Processus de réduction explicite.

On a d'ailleurs pour une forme réduite : a≤2√(-D/3), b≤a/2, c≥a.

Il y a un nombre fini de formes réduites de déterminant donné et deux formes réduites ne sont pas proprement équivalentes. Notion de classe d'une forme.

composition des formes (et des classes)

théorie des classes de formes quadratiques indéfinies

classification plus poussée en ordres et genres

début de la théorie de la réduction pour les formes quadratiques ternaires définies positives.

Plusieurs directions

Etude des formes ternaires, des invariants (lien avec géom.proj.)

Etude des équations diophantiennes (descente, algèbre, congruences)

Introduction de fonctions elliptiques

Henri Poincaré (1854-1912)

1873 : Entre à Polytechnique (1875: Mines)

1879 : doctorat es-sciences, chargé de cours à l'université de Caen

1881: carrière à la Faculté des sciences de Paris, à Polytechnique

1887: Académie des sciences

Henri Poincaré Problème des trois corps

"Analysis Situs" (topologie algébrique)=>"conjecture de Poincaré"

Fonctions "fuchsiennes (automorphes)

Equations différentielles (étude qualitative), application des groupes en physique (relativité), etc...

Epistémologie

Arithmétique des courbes algébriques 1901 Je me suis demandé, si beaucoup de problèmes d’Analyseindéterminée ne peuvent pas être rattachés les uns aux autres par un lien systématique, grâce à une classification nouvelle des polynômes homogènes d’ordre supérieur de trois variables, analogue à certains égards à la classification des formes quadratiques. Cette classificationaurait pour base le groupe des transformations birationnelles, à coefficients rationnels, quepeut subir une courbe algébrique.

Arithmétique des courbes algébriques 1901 Je me suis demandé, si beaucoup de problèmes d’Analyseindéterminée ne peuvent pas être rattachés les uns aux autres par un lien systématique, grâce à une classification nouvelle des polynômes homogènes d’ordre supérieur de trois variables, analogue à certains égards à la classification des formes quadratiques. Cette classificationaurait pour base le groupe des transformations birationnelles, à coefficients rationnels, quepeut subir une courbe algébrique.

Cas des courbes de genre 0 (déjà traité par Hilbert et Hurwitz): se ramène au cas des droites ou des coniques

Cas des courbes de genre 1 et "d'abord aux plus simples d'entre les, …les cubiques"

Distribution des points rationnels sur une cubique (méthode des tangentes et sécantes)

Expression de ces opérations en termes de paramètres elliptiques (de Weierstrass). Si les points d'arguments elliptiques α, α1, α2, … αq sont rationnels, il en est de même de tous les points dont les arguments elliptiques sont compris dans la formule α+3nα+ p1( α1-α)+ p2 (α2 -α)+... pq(αq-α) où les n et les p sont entiers.…On peut se proposer de choisir les arguments…de telle façon que [cette formule] comprenne tous les points rationnels de la cubique…Les q+1 points rationnels [correspondants] forment… un système de points rationnels fondamentaux.… [La] valeur minimum de ce nombre q+1 est ce que j'appellerai le rang de la cubique

• Rque : Poincaré ne vérifie pas si le rang est un invariant birationnel (et pour cause...).

• Ne se demande pas "si toutes les Z-combinaisons linéaires des arguments des points de départ appartiennent à des points rationnels et par quelle opération géométrique on peut les atteindre" (N. Schappacher).

Louis Mordell : 1922

Sujet: points rationnels sur des courbes d'équation ou encore de 0= f(x,y,z), où f est une forme cubique ternaire.

Rappelle la construction par tangente et sécante et l'interprétation elliptique

I shall now prove that if an equation [of genus 1] has an infinite number of solutions, then the method of inifnite descent applies, that is to say, all the solutions can be expressed rationally in terms of a finite number by means of the classic method [of tangents and secants]

Théorème de "Mordell-Weil"

Théorème de Mordell -Weil

1928 : Généralisation par Weil du théorème à toutes les courbes algébriques sur un corps de nombres algébriques

1929: Weil : "Sur un théorème de Mordell"

Deux points rationnels sont dans la même "classe" si le facteur correspondant est le même. Il y a un nombre fini de classes et les "classes forment pour l'addition [des paramètres elliptiques correspondant aux points rationnels d'une classe] un groupe abélien fini." De plus, tout point de la classe unité est le double d'un point rationnel. "Le groupe des classes n'est autre que le quotient du groupe de tous les points rationnels par le sous-groupe des points de la forme 2u".

W. choisit un représentant de chaque classe ai. Tout paramètre u0 d'un point rationnel s'écrit, u0=a0+2u1, pour un a0 représentant la classe de u0 et u1 un point rationnel. De même u1=a1+2u2, etc. La "taille" des points rationnels ui décroît, d'où le résultat.

Courbes elliptiques sur des corps finis

Théorème de Hasse : E courbe elliptique sur le corps fini Fq, alorscard E(Fq)-q-1≤2√q

Travaux de Weil sur les courbes algébriques sur des corps finis

Primalité et codes (Lucas, Lehmer, Shanks…)

H. Lenstra, … : codes à partir des groupes de points de courbes elliptiques

Rque :plus de fonctions elliptiques alentour...

Références

• André Weil, Number Theory. An Approach through history, Birkhäuser, 1984

• André Weil, Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser, 1991

• John Cassels, Mordell's finite basis theore revisited, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 100 (1986), 31-41

• N. Schappacher, Développement de la loi de groupe sur une cubique, Séminaire de Théorie des nombres de Paris 1988-1989, Birkhäuser, 1991, 159-184

• C. Goldstein, Descente infinie et Analyse diophantienne, Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 1993, 25-50 (en ligne)

• C. Houzel, La Géométrie algébrique.Recherches historiques, Blanchard, 2002