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RESISTANCE DES MATERIAUX II THEORIE DES POUTRES

A. ALLICHE Matre de Confrences Paris 6

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SOMMAIREI - STATIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES 1 INTRODUCTION 2 - DEFINITIONS DES POUTRES ET DES EFFORTS DE LA RDM 3 - EQUATIONS D'EQUILIBRE DANS LES POUTRES. 4 EFFORTS INTERIEURS II - CARACTERISTIQUES DES SURFACES ET DES SECTIONS DROITES DES POUTRES 1 - AIRES ET BARYCENTRE DUNE SECTION DROITE 2 MOMENT STATIQUE DUNE SURFACE 3 MOMENT QUADRATIQUE DUNE SURFACE PLANE. 4 MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE 5 MOMENT PRODUIT III - ETAT DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE DE POUTRE 1 CAS GENERAL 2 PRINCIPE DE SAINT VENANT 4 CONTRAINTES DUES A LEFFORT TRANCHANT IV - CALCUL A LA TORSION DES POUTRES DROITES PLEINES 1 INTRODUCTION 2 ETUDE DES DEFORMATIONS ET DES CONTRAINTES 3 FONCTION DE CONTRAINTE V - LOIS DE COMPORTEMENT DANS LES MILIEUX CURVILIGNES 1 INTRODUCTION 2 LOI DE COMPORTEMENT POUR LES POUTRES DROITES. 3 RECAPITULATIF 4 CAS DES STRUCTURES PLANES CHARGEES DANS LEUR PLAN VI - METHODES ET THEOREMES ENERGETIQUES 1 GENERALITES. NOTIONS DE SYSTEME DE FORCES GENERALISEES. 2 THEOREME DE CLAPEYRON 3 THEOREME DE RECIPROCITE DE MAXWELL-BETTI. 4 THEOREME DE CASTIGLIANO 3 3 4 5 7 14 14 15 16 17 18 19 19 19 22 26 26 26 28 32 32 33 37 37 41 41 41 42 46

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3 I - STATIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES

1 Introduction Une poutre est engendre par une section droite plane dont le centre appartient une courbe (C) appele ligne moyenne du solide. La thorie des milieux curvilignes lastiques adopte l'hypothse selon laquelle la poutre peut-tre modlise par la courbe (C). L'ensemble des efforts appliqus sur la surface est report sur la ligne moyenne. Le calcul en est ainsi simplifi. La statique des poutres permet d'accder, moyennant quelques hypothses, aux efforts locaux de cohsion dans le solide. Les quations de l'lasticit tridimensionnelle sont utilises pour dterminer la distribution de ces efforts le long de la ligne moyenne prcdemment dfinie. Cette analyse tient compte d'un certain nombre d'hypothses de RDM adoptes pour les poutres : hypothse des petites dformations. On suppose que les efforts sont appliqus sur la configuration dforme. hypothse du comportement lastique linaire principe de superposition des effets des forces. Les effets (contraintes, dformations et dplacements) en un point d'une poutre soumise plusieurs forces extrieures sont la somme des contraintes, dformations, dplacements provoqus par ces sollicitations prises isolment. principe de Saint Venant : Dans une section loigne des points d'application des forces concentres (forces donnes et ractions d'appui), les contraintes et les dformations ne dpendent que de la rsultante et du moment du systme de forces dans cette section. Ce principe signifie que si l'on est suffisamment loign du point d'application des efforts, les contraintes et les dformations et dplacements ne dpendent pas de la manire dont on les applique. hypothse de Navier-Bernouilli : Aprs dformation de la poutre, les sections droites normales la fibre moyenne restent planes et orthogonales la fibre moyenne dforme.

Domaine de validit des hypothses de la RDM. Pour que les hypothses de la RDM puissent s'appliquer on doit vrifier certaines conditions :

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4 l'lancement (rapport de la longueur de la poutre sur la hauteur de la section) doit rester dans un intervalle de 5 40 (entre la corde et un solide tridimensionnel). le rayon de courbure ne doit pas tre trop petit. Les caractristiques des sections droites ne doivent pas varier trop rapidement le long de la section droite.

ligne moyenne Section droite

Figure I -1 Milieu curviligne

2 - Dfinitions des poutres et des efforts de la RDM

Convention d'orientation Plusieurs conventions d'orientation existent pour le reprage gomtrique et la dfinition des efforts agissant dans la poutre. Pour dfinir le repre local sur chaque section, on dfinit le point G comme tant le centre de gravit de la section droite le long de la fibre moyenne. On note s l'abscisse curviligne le long de la poutre. Le repre local en tout point de la fibre moyenne est dfini par (G; x 1 , x 2 , x 3 ) : x1 x1

tangent la fibre moyenne au point G

est dfini de la manire suivante :

x1 = x2

dOG ds

(I-1)

et x 3 sont les axes principaux de la section droite

on note x1 ( s), x 2 ( s), x 3 ( s ) les coordonns du centre de gravit G(s)

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x2

partie droite x1

partie gauche

s

x3

Figure I -2 Ligne moyenne pour un milieu curviligne

Torseur des efforts de liaison dans les poutresOn dfinit le torseur des efforts intrieurs pour une section (S) comme le torseur des efforts exercs par la partie droite sur la partie gauche. Ce torseur est donn par sa rsultante R G , applique en G et son moment rsultant M G dfini au point G.

R G = N x1 + T2 x 2 + T3 x3 N est l'effort normal la section S, on l'appelle aussi tension. N >0 tat de traction N 0, la poutre subit un effort de traction au point G. Si N