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PHYS-F-440 Théorie Quantique des Champs PHYS-F-478 Théorie quantique des champs : Compléments Glenn Barnich * Physique Théorique et Mathématique Université Libre de Bruxelles and International Solvay Institutes Campus Plaine C.P. 231, B-1050 Bruxelles, Belgique Bureau 2.O6. 217, E-mail : [email protected], Tel : 02 650 58 01. Le but du cours PHYS-F-440 est de donner une introduction aux techniques modernes de la théorie quantique des champs. Plus précisément, une partie du cours est dédiée aux divergences et corrections radiatives qui surviennent lors du calcul perturbatif de la matrice de diffusion. L’autre partie est consacrée au traitement des champs à invariance de jauge. Le cours est centré sur l’intégrale de chemins et l’action effective : d’un côté, il est montré comment reconstruire les éléments de la matrice de diffusion à partir de l’action effective, d’un autre côté l’action effective est utilisée pour prouver la renormalisabilité à une boucle des théories du champs scalaire en interaction et des théories de Yang-Mills, y compris électro et chromodynamique quantique. Finalement, les fonctions β de ces théories sont calculées et leur comportement asymptotique est discuté. Le cours PHYS-F-478 traite de chapitres plus avancés de la théorie quantique des champs. Plus précisément, la régularisation par la fonction zêta est utilisée pour paramétriser de manière uniforme les divergences à une boucle du champ scalaire en diverses dimensions. Ensuite, elle est utilisée pour dériver la fonction de partition d’un champ scalaire libre sans masse et aussi le rayonnement du corps noir, dont la dérivation par quantification canonique est également revue. Le dernier chapitre constitute une introduction aux anomalies chirales. Ces notes de cours en préparation suivent de très près certains chapitres des références citées en annexe. L’étudiant intéressé est encouragé à consulter ces ouvrages pour plus de détails. Pré-requis utile : Quantification canonique des champs, PHYS-F-302 Mécanique quantique. * Directeur de recherches du Fonds de la Recherche Scientifique-FNRS

Théorie Quantique des Champs Théorie quantique des champs

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  • PHYS-F-440

    Thorie Quantique des Champs

    PHYS-F-478

    Thorie quantique des champs : Complments

    Glenn Barnich

    Physique Thorique et MathmatiqueUniversit Libre de Bruxelles

    andInternational Solvay Institutes

    Campus Plaine C.P. 231, B-1050 Bruxelles, BelgiqueBureau 2.O6. 217, E-mail : [email protected], Tel : 02 650 58 01.

    Le but du cours PHYS-F-440 est de donner une introduction aux techniques modernes de lathorie quantique des champs. Plus prcisment, une partie du cours est ddie aux divergenceset corrections radiatives qui surviennent lors du calcul perturbatif de la matrice de diffusion.Lautre partie est consacre au traitement des champs invariance de jauge.Le cours est centr sur lintgrale de chemins et laction effective : dun ct, il est montrcomment reconstruire les lments de la matrice de diffusion partir de laction effective,dun autre ct laction effective est utilise pour prouver la renormalisabilit une boucle desthories du champs scalaire en interaction et des thories de Yang-Mills, y compris lectro etchromodynamique quantique. Finalement, les fonctions de ces thories sont calcules et leurcomportement asymptotique est discut.

    Le cours PHYS-F-478 traite de chapitres plus avancs de la thorie quantique des champs. Plusprcisment, la rgularisation par la fonction zta est utilise pour paramtriser de manireuniforme les divergences une boucle du champ scalaire en diverses dimensions. Ensuite, elleest utilise pour driver la fonction de partition dun champ scalaire libre sans masse et aussi lerayonnement du corps noir, dont la drivation par quantification canonique est galement revue.Le dernier chapitre constitute une introduction aux anomalies chirales.

    Ces notes de cours en prparation suivent de trs prs certains chapitres des rfrences citesen annexe. Ltudiant intress est encourag consulter ces ouvrages pour plus de dtails.

    Pr-requis utile : Quantification canonique des champs, PHYS-F-302 Mcanique quantique.

    Directeur de recherches du Fonds de la Recherche Scientifique-FNRS

  • 2

  • Table des matires

    1 Intgrales de chemin 71.1 Prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 volution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Image de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Image de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Image de Dirac ou dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Quantification canonique du champ scalaire rel libre . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Formule Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Elments de matrices doprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Equations de Schwinger-Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.4.1 Rtablir ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.2 Intgrale de chemin pour le symbole p-q . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.3 Intgrale de chemin dans la reprsentation de limpulsion . . . . . . . 171.2.4.4 Fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4.5 Equations de Schwinger-Dyson en dtails . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3 Passage la matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Thorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Reprsentation de lamplitude in-out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Reprsentation de lamplitude vide-vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Sources externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.5 Reprsentation des fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.3.6.1 Intgration gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.6.2 Intgrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.6.3 Thorme de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.4 Formule Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1 Transforme de Legrendre en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2 Intgration sur les moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.4.3.1 Fonction de partition bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Rgles de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.5.1 Thorme de Wick et dveloppement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2 Propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.3 Rgles de Feynman pour le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3

  • 4 TABLE DES MATIRES

    1.5.4.1 Propagateur du champ vectoriel massif . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Reprsentation holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.6.1 Etats cohrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.2 Noyau et symbole normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.3 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.4 Fonction de partition pour loscillateur harmonique libre . . . . . . . . . . . . . 381.6.5 Formules de rduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.7 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.1 Variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.7.2.1 Intgration gaussienne fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.2.2 Thorme de Wick fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.2.3 Fonction de partition pour un oscillateur fermionique . . . . . . . . . 46

    1.7.3 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.4 Propagateur fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    1.8 Symtries et identits de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.1 Transformations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.8.2 Transformations infinitsimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.3 Thorme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.8.4 Identits de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    1.8.4.1 Transformations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.4.2 Transformations infinitsimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.8.4.3 Equations de mouvement pour les fonctions de Green . . . . . . . . . 531.8.4.4 Version locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2 Mthodes fonctionnelles 552.1 Fonctionnelle gnratrice des fonctions de Green connexes . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2.1.1 Fonctionnelle normalise et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Fonctions de Green connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.3 Champ classique et inversibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.2 Action effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Transforme de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Diagrammes connexes et relations topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3 Propagateur complet et vertex propre dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.4 Dveloppement semi-classique de laction effective . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.5 Action effective comme fonctionelle gnratrice des vertex propres . . . . . . . 622.2.6 Symtries de laction effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.7 Mthode du champ de fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3 Renormalisation 1 boucle et comportement asymptotique 673.1 Action effective au premier ordre pour le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.1.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.2 Calcul de lintgrale divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.3 Constante de couplage renormalise une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.4 Structure des divergences de laction effective au premier ordre . . . . . . . . . 703.1.5 Masse renormalise une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.1.6.1 Renormalisation des champs et tadpoles . . . . . . . . . . . . . . . . 76

  • TABLE DES MATIRES 5

    3.1.6.2 Absence de tadpoles en 4 dimensions pour un champ scalaire avec in-teraction quartique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.2 Thories renormalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Conditions de normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.4.1 Invariance par dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.2 quation de Callan-Symanzik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.3 Comportement haute nergie et thorie de masse nulle . . . . . . . . . . . . . 793.4.4 Constante de couplage "running" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.4.5.1 Equation de Callan-Symanzik en TF lordre 0 . . . . . . . . . . . . 823.4.5.2 Rgularisation dimensionnelle et groupe de renormalisation . . . . . . 83

    3.5 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4 Champs de jauge classiques 854.1 Rappels de thorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2 Symtries globales des champs de matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Principe de jauge et drive covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4 Transformations de jauge finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5 Champ de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.6 Lagrangien de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7 Courants conservs pour les quations couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    4.8.1 Reprsentation adjointe et co-adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.2 Variables invariantes de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.3 Lagrangien de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.4 Invariance de Lorentz du Lagrangien de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.5 Constantes de couplage et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.8.6 Invariant de jauge de dimension 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.8.7 Hamiltonien du champs de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5 Champs de jauge quantiques 935.1 Propagateurs et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Invariance BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Fixation de jauge et propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4 Annulation de la fonction beta en thorie de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.5 Indpendance de jauge et quation de Zinn-Justin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.6 Jauge du champ de fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.7 Action effective en thorie de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.8 Structure des divergences en thorie de Yang-Mills dans la jauge du champ de fond . . . 1285.9 Constante de couplage une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.10 Fonctions en lectrodynamique et chromodynamique quantique . . . . . . . . . . . . 144

    6 Complments 1476.1 Temps propre de Schwinger et rgularisation par fonction zeta . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.1.1 Reprsentation et rgularisation par le temps propre de Schwinger . . . . . . . . 1476.1.2 Noyau chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.1.3 Divergences une boucle pour le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.1.4 Rgularisation par fonction zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

  • 6 TABLE DES MATIRES

    6.1.5 Fonction de partition pour le champ scalaire libre sans masse . . . . . . . . . . . 1536.1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    6.1.6.1 Laplacien sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2 Rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6.2.1 Le problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2.2 Fonction de partition par intgrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2.3 Drivation par quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    6.2.3.1 Champ lectromagntique dans une bote . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.2.3.2 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2.3.3 Fonction de partition et grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . 1586.2.3.4 Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    6.3 Anomalies chirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.3.1 Transformation chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.3.2 Calcul par fonction zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3.3 Divergence anomale du courant axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.3.4 Phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.3.5 Thorme de lindice dAtiyah-Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3.6 Calcul direct des anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.3.7 Anomalie "singlet" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.8 Anomalie non-ablienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.3.9 Condition de cohrence de Wess-Zumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    6.3.9.1 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.9.2 Fantmes et cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.3.9.3 quations de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.3.9.4 Rsultat tous les ordres et antichamps . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    6.3.10 Thories sans anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    6.3.11.1 Thorme dAtiyah-Singer toute dimension . . . . . . . . . . . . . 187

    Bibliographie 187

  • Chapitre 1

    Intgrales de chemin

    Les intgrales de chemin permettent une reformulation intuitive de la mcanique quantique qui segnralise de manire directe la thorie des champs. Elles constituent des outils puissants en thorie desperturbations (drivation des rgles de Feynman, identits de Ward ...). Elles donnent galement lieu desdveloppements thoriques qui vont au-del de la thorie des perturbations, mais qui ne seront pas traitsdans ce cours.

    Ce chapitre est bas sur [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

    1.1 PrliminairesCette section suit [2] puis[1].

    1.1.1 volution dans le temps

    La dynamique dun systme quantique est dtermine par un Hamiltonien H[q, p]. La dpendancetemporelle dun lment de matrice de loprateur A[q, p] est dtermine par lquation

    ~d

    dt|A| = |[A, H]|. (1.1)

    Cette quation est suffisante car toute linformation physique est dans les lments de matrices. Onpeut cependant choisir dcrire des quations spares pour le dveloppement temporel des tats et desoprateurs : si H = M + N , avec M, N hermitiens, on peut dfinir

    ~d

    dtA = [A, M ], ~

    d

    dt| = N |. (1.2)

    1.1.2 Image de Schrdinger

    Limage de Schrdinger consiste mettre toute la dpendance temporelle dans les tats, M = 0, N =H . On a donc AS(t) = AS(t0), |(t)S = exp ~ H(t t0)|(t0)S . Ceci est valable pour un Hamiltonienqui ne dpend pas explicitement du temps, ce quon supposera tre le cas dans la suite.

    1.1.3 Image de Heisenberg

    Limage de Heisenberg consiste mettre toute la dpendance temporelle dans les oprateurs, M =H, N = 0. On a donc AH(t) = exp ~H(t t0)AH(t0) exp

    ~ H(t t0), |(t)H = |(t0)H . Notons que

    HS = HH et que lon peut choisir didentifier |(t0)S = |(t0)H , AS(t0) = AH(t0).

    7

  • 8 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.1.4 Image de Dirac ou dinteraction

    Si lHamiltonian se dcompose en une partie libre (=quadratique) et une partie dinteraction, H =H0 + V , limage dinteraction consiste transformer les oprateurs avec lHamiltonien libre H0 et lestats avec lHamiltonien dinteraction V , M = H0, N = V . Les oprateurs correspondants sont dnotspar AI(t). Dans cette image, H0 est indpendant du temps, ce qui implique donc queAI(t) = exp

    ~H0(t t0)AI(t0) exp

    ~ H0(t t0). Les tats |(t)I satisfont ~

    ddt|I = VI |I , avec

    VI(t) = exp~H0(t t0)VI(t0) exp

    ~ H0(t t0). De nouveau, on identifie tats et oprateurs des diff-

    rentes images en t0.Pour intgrer lquation dvolution des tats, posons

    |(t)I = UI(t, t0)|(t0)I . (1.3)

    Ceci implique que UI(t, t) = 1 et ddt UI(t, t0) =~ VI(t)UI(t, t0).

    En intgrant et en itrant, on trouve

    UI(t, t0) = 1

    ~

    tt0

    d VI()UI(, t0) =N=0

    ( ~

    )N tt0

    d1 . . .

    N1t0

    dN VI(1) . . . VI(N ).

    Pour montrer que ceci vaut

    N=0

    ( ~ )N

    N !

    tt0

    d1 . . .

    tt0

    dN T{VI(1) . . . VI(N )},

    on constate que pour t = t0, cette expression vaut 1 (par dfinition) et que la derive de cette expression parrapport t vaut ~ VI(t) fois lexpression elle-mme. Lexpression satisfait donc la mme quation diffrentielledu premier ordre et la mme condition initiale que UI(t, t0) et doit donc en tre gale.

    On trouve alors

    UI(t, t0) = T exp

    ~

    tt0

    dVI() . (1.4)

    Si on identifie |(t0) >I= |(t0) >H= | >H , on tire de H < |AH(t)| >H= I < (t)|AI(t)|(t) >Ique AI(t) = UI(t, t0)AH(t)UI(t0, t).

    1.1.5 Quantification canonique du champ scalaire rel libreCe chapitre est un bref rappel rappel de la quantification canonique du champ scalaire libre et sert

    rendre ces notes auto-cohrentes. Puisque cette matire est traite en dtail dans un premier cours dethorie quantique des champs, elle ne sera pas rpte pour le cours standard en master.Prenons ~ = 1. Action :

    SKG =

    d4x[1

    2

    12m22]. (1.5)

    Moments conjugus : (~x, t) = 0(~x, t),crochets de Poisson : {(~x, t), (~y, t)} = (~x ~y).Hamiltonien :

    H0 =

    d3x[

    1

    22(~x, t) +

    1

    2k(~x, t)

    k(~x, t) +1

    2m2(~x, t)2] (1.6)

  • 1.1. PRLIMINAIRES 9

    Transforme de Fourier :

    (~k, t) =

    d3x exp~k ~x (~x, t), (1.7)

    (~k, t) =

    d3x exp~k ~x (~x, t). (1.8)

    Variables doscillateurs :

    a(~k, t) =1

    (2)3/2[

    (~k)

    2(~k, t) +

    2(~k)

    (~k, t)], (1.9)

    (~x, t) =

    d3k

    (2)3/21

    2(~k)[a(~k, t) exp ~k ~x+ h.c.], (1.10)

    (~x, t) =

    d3k

    (2)3/2

    (~k)

    2[a(~k, t) exp ~k ~x h.c.] (1.11)

    avec (~k) =~k2 +m2.

    quantification : [a(~k, t), a+(~k, t)] = (~k ~k).

    : H0 :=

    d3k (~k)a+(~k, t)a(~k, t). (1.12)

    Pourquoi faut-il prendre lordre normal? En suivant les rgles de quantification, on obtient H0 =d3k (~k)[a(~k)a(~k)+ 1

    2(3)(0)]. En mettant le systme dans une bote, on trouve H0 =

    ~k ~k[a

    ~ka~k+

    12].

    Il sagit de lnergie du point zro, du vide, et la divergence provient du fait que mme dans une bote,on a une infinit de degrs de liberts, et on a des degrs de liberts avec une longueur donde/nergiearbitrairement courte/leve. Lnergie du vide a une divergence ultraviolette. De plus le systme dans unespace infini a une divergence infrarouge ((3)(0)) qui survit mme si on dcide de couper lintgration surles moments une certaine nergie. Comme on vient de le voir, cette partie de la divergence est limineen mettant le systme dans une bote. Ces divergences sont sans importances : (i) on ne peut mesurer quedes diffrences dnergie, (ii) la thorie classique ne dfinit pas la thorie quantique, il y a des choix faire. Un choix qui rsout le probme ici est de prendre lordre normal pour lHamiltonien quantique.

    quations du mouvement : ddta(~k, t) = [a(~k, t), : H0 :] = (~k)a(~k, t), ce qui implique que

    a(~k, t) = expi(~k)t a(~k),

    (x) =

    d3k

    (2)3/21

    2(~k)

    [a(~k) exp k x+ h.c.

    ](1.13)

    = (+)(x) + ()(x), (1.14)

    (+)(x) =

    d3k

    (2)3/21

    2(~k)a(~k) exp k x, ()(x) = ((+)(x)). (1.15)

    On dit que (+)(x) contient des frquences positives, tandis que ()(x) contient les frquences ngatives.Fonction deux points :

  • 10 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    iF (x y) < 0|T (x)(y)|0 > =< 0|(+)(x)()(y)|0 > (x0 y0) + (x y),

    =< 0|[(+)(x), ()(y)

    ]|0 > (x0 y0) + (x y). (1.16)

    [(+)(x), ()(y)]

    =1

    (2)3

    d3kd3k exp k x expk y 1

    2

    (~k)(~k)

    (~k ~k)

    =1

    (2)3

    d3k

    1

    2(~k)exp k (x y). (1.17)

    Donc

    < 0|T (x)(y)|0 >= 1(2)3

    d3k

    1

    2(~k)[exp k (x y)(x0 y0) + (x y)]. (1.18)

    On a

    (t) = 12i

    +

    dsexpists+ i

    .

    En effet, si t > 0 on ferme le contour en bas dans le plan complexe s et on attrape la contribution du pleen s = i. Si t < 0, on ferme le contour vers le haut, il ny a pas de ple et le rsultat est zro.

    s, t > 0 s, t < 0

    En injectant cette expression, on trouve

    F (x y) = 1

    (2)4

    d4k

    1

    2(~k)

    1

    k0 + iexp [i(k0 + (~k))(x0 y0) + i~k (~x ~y)] + (x y)

    = 1(2)4

    d4p

    1

    2(~p)

    1

    p0 (~p) + iexp ip (x y) + (x y)

    = 1(2)4

    d4p

    1

    2(~p)(

    1

    p0 (~p) + i+

    1

    p0 (~p) + i) exp ip (x y)

    =1

    (2)4

    d4p

    1 i/(~p)p2 +m2 2i(~p)

    exp ip (x y)

    =1

    (2)4

    d4p

    1

    p2 +m2 iexp ip (x y) . (1.19)

  • 1.1. PRLIMINAIRES 11

    La dernire ligne est due au fait que seulement le ple pour p0 est important. En effet, on a (p0)2 =~p2 +m2 i et donc les ples sont en p0 =

    ~p2 +m2 i et en p0 =

    ~p2 +m2 + i. Si x0 y0 > 0,

    on ferme le contour vers le bas et on attrappe le premier ple, si x0 y0 < 0, on ferme le contour versle haut et on attrappe le 2me ple. On peut alors facilement vrifier que lon retrouve lexpression dedpart.

    p, x-y > 0 p, x-y < 0

    A partir de (1.19), on vrifie directement que F (x y) est une fonction de Green de loprateur deKlein-Gordon, (2 m2)F (x y) = 4(x y). De plus, si x0 y0 > 0, on voit partir de (1.17)que F (x y) ne contient que des frquences positives, et si x0 y0 < 0, il ny a que des frquencesngatives. On dit que F (x y) satisfait des conditions aux limites de radiation.

    1.1.6 Matrice S

    Ce chapitre peut tre nglig lors dune premire lecture.Dans la thorie en interaction H = H0 + V , le problme nest en gnral plus linaire et ne peut tre

    rsolu exactement. On sintresse des processus de diffusion, avec des particules libres loin les unes desautres, puis qui interagissent pour redevenir libres plus tard.

    Pour dcrire cette situation, on fait alors lhypothse que lespace de Fock de la thorie en interactionest le mme que lespace de Fock de la thorie libre associe H0. Si on se met dans limage de Heisen-berg, on admet que, lintrieur dlmnts de matrice, loprateur du champ devienne proportionnel loprateur du champ libre suffisamment loin dans le futur et dans le pass :

    (~x, t)t Z1/2out

    in(~x,),

    o Z1/2 est un facteur de proportionalit et outin

    sont les champs de la thorie libre dfinis explicitementau paragraphe prcdent 1.

    Dnotons par |, outin > les vecteurs de bases orthornormes de lespace de Fock dans le futur, respecti-vement pass, lointain, c--d lespace de Fock cr par (a+)outin (~k). Comme on est en image de Heisenberg,ces tats dcrivent le systme tout instant ; cependant, un observateur qui analyse un tat |, in > ent lanalyse avec ain(~k) et cet tat peut par exemple apparatre comme un systme de particuleslibres et simple, prpar lavance. Par contre si cet observateur analyse le mme tat en t +,

    1. Une manire dimplmenter cette ide est de considrer que les constantes couplages g dans V dpendent explicite-ment de x et sannullent dans le pass et le futur lointain. Il faut alors discuter la limite adiabatique g(x) g , cste.

  • 12 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    il lanalysera avec des oprateurs aout(~k) et il peut apparatre comme une superposition complique departicules libres rsultant dun processus de diffusion t fini.

    La matrice S est dfinie par

    S =< ; out|; in > . (1.20)

    Elle dcrit lamplitude de probabilit pour passer dun tat de particules libres dans le pass lointain unautre tat de particules libres dans le futur lointain. Lunitarit de la matrice S est une consquence directedu fait que les bases |, outin > sont orthornormes : par exemple

    < ; in|; out >< ; out|; in >=

    implique que

    SS = .

    Considrons encore |, une base de lespace de Fock de la thorie libre avec Hamiltonien H0 enimage de Heisenberg. Les tats |, | de la thorie ont le mme contenu en particules que les tats|; in, ; out|. Loprateur S est alors dfini comme loprateur dans lespace de Fock de la thorielibre tel que

    S =< |S| > . (1.21)

    Il est alors naturel dutiliser limage dinteraction car alors le dveloppement temporel des oprateurs est la mmedans la thorie libre et la thorie en interaction. On choisit didentifier les tats de Heisenberg et dinteractionsde la thorie en interaction linstant 0. Comme en labsence dinteractions, en t ||, les tats en imagedinteractions ne bougent plus, on a |()I = |, I(+)| = |. On a alors

    < |S| > =< ; out|; in >= I(0)|(0)I= I(+)|UI(+,)|()I = |UI(+,)|. (1.22)

    Donnons aussi la dmonstration en image de Schrdinger, o on prend |; in()S = |()S ,

    S; out(+)| = S; (+)| avec i

    t|; in(t)S = H|; in(t)S et i

    t|; (t)S = H0|; (t)S . En intro-

    duisant la notation U(t, t) = expH(t t) et U0(t, t) = expH0(t t), on a

    < |S| >=< ; out|; in >= S; out(0)|; in(0)S = S; out(+)|U(, 0)U(0,)|; in()S= S; (+)|U(+,)|()S = S(0)|U0(0,)U(+,)U0(, 0)|(0)S (1.23)

    On trouve donc

    S = UI(+,) = limt,t0

    exp H0t expH(t t0) expH0t0. (1.24)

    Les deux expressions sont compatibles car

    UI(t, t0) = exp H0t expH(t t0) expH0t0 = (t)(t0), (t) = exp iHt expiH0t. (1.25)

    En effet, le membre de droite satisfait la mme condition initiale et la mme quation diffrentielle dupremier ordre que loprateur UI(t, t0),

    d

    dtUI(t, t0) = exp H0t[i(H0 H)] expH(t t0) expH0t0 = VI(t)UI(t, t0).

    On en tire aussi que|; out >= (+)| >, |; in >= ()| > . (1.26)

    En combinant avec (1.4), on a donc dmontr la srie de Dyson pour loprateur S :

    S = T exp +

    dVI() . (1.27)

  • 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE 13

    1.2 Formule Hamiltoniennecf [1], [5].

    1.2.1 Oprateur dvolutionConsidrons un systme quantique en image de Schrdinger.Oprateurs (hermitiens) de position : Qa, moments conjugus : Pb avec

    [Qa, Pb] = iab , [Q

    a, Qb] = 0, [Pa, Pb] = 0 a, b = 1, . . . , n, (1.28)

    o on a pos ~ = 1. tats propres de position : Qa|q >= qa|q >. Ces tats sont orthonorms et complets,

    < q|q >=a

    (qa qa) (q q), (1.29)

    1 =

    a

    dqa |q >< q| dq |q >< q|, (1.30)

    et de mme pour Pb, Pb|p >= pb|p >,

    < p|p >=b

    (pb pb) (p p), (1.31)

    1 =

    p

    dpb |p >< p| dp |p >< p|. (1.32)

    Consquence :

    < q|p >= 12

    n exp qapa =

    a

    12

    exp qapa, (1.33)

    (sans sommation sur les indices surligns).

    En effet, dans la reprsentation de position, (q) =< q| >, < q|Qa| >= qa(q), < q|Pb| >= qb(q).Donc, < q|Pb|p >= qb < q|p >, mais aussi < q|Pb|p >= pb < q|p >, ce qui implique que < q|p >= exp qapa. Normalisation : (p p) =< p|p >=

    dq < p|q >< q|p >=

    dq exp qa(pa pa).

    Explicitement,a (p

    a pa) =

    a

    dqa exp qa(pa pa). Ceci implique = 12

    n et on peut doncchoisir = 1

    2n , car pour une copie (pa pa) = 12

    dqa exp qa(pa pa), voir intgrales gaussiennes plus

    loin.

    Pour un Hamiltonien qui ne dpend pas explicitement du temps, on a, en image de Heisenberg :

    Qa(t) = exp Ht Qa expHt, (1.34)Pb(t) = exp Ht Pb expHt. (1.35)

    Etats propres : Qa(t)|q; t >= qa|q; t >, Pb(t)|p; t >= pb|p; t >, ce qui implique que |q; t >= exp Ht|q >,|p; t >= exp Ht|p >. On a aussi

    < q; t|q; t >= (q q), 1 =dq |q; t >< q; t|, (1.36)

    < p; t|p; t >= (p p), 1 =dp |p; t >< p; t|, (1.37)

    < q; t|p; t >=a

    12

    exp qapa, (1.38)

  • 14 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    tat initial : |q; t >, tat final |q; t >. On veut calculer lamplitude de transition,

    < q; t|q; t >=< q|U(t, t)|q >, U(t, t) = expH(t t), (1.39)

    o U(t, t) est loprateur dvolution. On note que H(Q, P ) = H(Q(t), P (t)).

    En effet, on fait lhypothse que H est un polynme. On utilise H = exp Ht H expHt et on insre 1 =exp Ht expHt autant de fois quil le faut. Pour la suite, ordonnons tous les Q gauche des P en utilisant lesrelations de commutations (1.28) : H =

    m,n k

    b1...bma1...an Q

    a1 . . . Qan Pb1 . . . Pbm .

    Pour un intervalle de temps infinitsimal, t = + d , t = , on a

    < q; + d |q; >=< q; | expHd |q; >=< q; |1 H(Q(), P ())d |q; >

    =

    dp < q; |1 H(Q(), P ())d |p; >< p; |q; >

    =

    dp < q; |p; >

    (1 (

    m,n

    kb1...bma1...an qa1 . . . qanpb1 . . . pbm)d

    )< p; |q; >

    =

    (a

    dpa2

    ) exp [pa(qa qa)H(q, p)d ] (1.40)

    o la fonction H(q, p) est obtenue en remplaant les oprateurs par des fonctions dans loprateur H otous les Q ont t ordonns gauche des P . Cette fonction sappelle le symbole q p de loprateur H .

    t t

    N+1 N N-1 1 0

    Pour un intervalle de temps fini, on coupe en morceaux : = k+1 k = ttN+1

    et

    < q; t|q; t >=dq1 . . . dqN < q

    ; t|qN ; N >< qN ; N |qN1; N1 > . . .

    < q1; 1|q; t > . (1.41)

    Si N , les intervalles deviennent infinitsimaux et on peut utiliser (1.40) pour chaque lmentpour obtenir

    < q; t|q; t >= limN

    [Nk=1

    a

    dqak ][Nk=0

    a

    dpak2

    ]

    exp N+1k=1

    [(qak qak1)pak1 H(qk, pk1)d ] (1.42)

    avec qa0 = qa et qaN+1 = q

    a. En utilisant des fonctions q(), p() interpolant entre les diffrents points,qa(k) = q

    ak , pa(k) = pak, lintgration peut tre vue comme une intgration sur tous les chemins q()

    qui passent de q(t) q(t) et sur tous les chemins p() sans conditions aux bords.

  • 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE 15

    t

    t

    q qq

    Si les fonctions dinterpolation sont suffisamment rgulires, largument de lexponentielle de (1.42) devient

    N+1k=1

    [(qa(k) qa(k1)pa(k1)H(q(k), p(k1))d ] =

    =

    N+1k=1

    [(qa(k)pa(k)H(q(k), p(k))d +O(d2)],

    en utilisant qa(k) = qa(k1) + dqa

    d (k)d + O(d2), et pa(k) = pa(k1) + O(d), et la limite N ,

    on obtient tt

    d [qa()pa()H(q(), p()) SH [q, p].

    A la limite N , la mesure de lintgrale de chemin se note comme suit :

    limN

    [

    Nk=1

    a

    dqak ][

    Nk=0

    a

    dpak2

    ] =

    q(t)=qq(t)=q

    a,

    dqa()a,

    dpa()

    2.

    Cette mesure est donc dfinie par passage la limite dune mesure discrtise qui contient une intgrale de plussur les p que sur les q. Notons quune dfinition rigoureuse du passage la limite pose problmes.

    Par passage la limite, on obtient donc

    < q; t|q; t >= q(t)=qq(t)=q

    a,

    dqa()a,

    dpa()

    2exp SH [q, p] , (1.43)

    o SH [q, p] est laction Hamiltonienne du premier ordre.

  • 16 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.2.2 Elments de matrices doprateurs

    Pour un oprateur O, utilisons les rgles de commutation (1.28) pour ordonner les P gauche des Q,et calculons un lment de matrice avec des insertions de tels oprateurs.

    Pour un intervalle infinitsimal, on a

    < q; + d |O(P (), Q())|q; >=

    dp < q; | expHd |p; >< p; |O(P (), Q())|q; >

    =

    (a

    dpa2

    ) exp [pa(qa qa)H(q, p)d ]O(p(), q()).

    o O(p, q) est le symbole p q de loprateur O. Pour llment de matrice avec insertion dun produitOA(P (tA), Q(tA))OB(P (tB), Q(tB)) . . . o on fait lhypothse que tA > tB > . . . . Dans la dcompositionde lintervalle de temps, si k+1 > tA > k,

    t t

    t tA B

    k+1 k

    loprateur OA sera insr dans < qk+1; k+1|OA|qk; k > et < pk; k|OA|qk; k >= OA(p(tA), q(tA)) +O(d). Les termes dordres d sannulent la limite car il ny a quun nombre fini de telstermes (contrairement au cas prcdent o il fallait les garder car leur nombre croissait comme N ). En suivant leraisonnement prcdent, on trouve donc pour t > tA > tB > > t,

    < q; t|OAOB . . . |q; t >=

    =

    q(t)=qq(t)=q

    a,

    dqa()a,

    dpa()

    2OA(p(tA), q(tA))OB(p(tB), q(tB)) . . . exp SH [q, p].

    Dans le membre de droite lordre des temps est sans importance (on a affaire des fonctions ordinaires). Supposonsdonc que les temps tA, tB , . . . ne soient pas ordonns. Alors, le membre de droite correspond au membre degauche o les temps sont arrangs par ordre dcroissant. En dnotant par un T lordre chronologique dcroissant,on a donc dmontr :

    < q; t|T{OA(P (tA), Q(tA))OB(P (tB), Q(tB)) . . .}|q; t >=

    =

    q(t)=qq(t)=q

    a,

    dqa()a,

    dpa()

    2OA(p(tA), q(tA))OB(p(tB), q(tB)) . . . exp SH [q, p]. (1.44)

    1.2.3 Equations de Schwinger-Dyson

    Soit z = (qa, pa) et prenons comme oprateur insrr le 1er membre des quations du mouvement,

    OA(z(tA)) =

    SHz(tA)

    avec

    SHz(tA)

    =

    (pa H

    qa)(tA),

    (qb Hpb

    )(tA)(1.45)

  • 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE 17

    et t < tA < t.On a

    SHz(tA)

    OB(z(tB)) . . . exp SH [z] =

    z(tA)

    (OB(z(tB)) . . . exp SH [z]

    )+(

    z(tA)[OB(z(tB)) . . . ]

    )exp SH [z].

    Comme on intgre sur tous les z intermdiaires, et donc aussi sur z(tA) de +, on peut sattendre ceque le premier terme, qui se rduit [(OB(z(tB)) . . . exp SH [z]]z

    ()=+z()=, sannule (voir exercices pour plus

    de justifications). On a donc :

    < q; t|T{ SHz(tA)

    OB(z(tB)) . . .}|q; t >=

    = < q; t|T{

    z(tA)[OB(z(tB)) . . . ]}|q; t > . (1.46)

    Ce sont les quations de Schwinger-Dyson qui expriment la forme que les quations du mouvementclassiques prennent dans la thorie quantique.

    1.2.4 Exercices1.2.4.1 Rtablir ~

    Rtablir les facteurs de ~ dans les formules prcdentes.

    1.2.4.2 Intgrale de chemin pour le symbole p-q

    Donner les symboles q p et p q de H = 12(QP + P Q) et driver une expression en intgrale de

    chemin pour < q; t|q; t > dans laquelle le symbole p q de lHamiltonien apparat. Montrer que les psont alors evalus plus tard que les q.

    Indication : Insrer la dcomposition de lidentit gauche plutt qu droite.

    1.2.4.3 Intgrale de chemin dans la reprsentation de limpulsion

    Driver lexpression en intgrale de chemin pour < p; t|p; t > (i) directement et (ii) par transformede Fourier de < q; t|q; t >. Montrer que laction qui apparat alors dans lintgrale est

    SH pq + pq = tt

    d [paqa H].

    1.2.4.4 Fonction de partition

    Vrifier que

    Tr U(t, t) dq < q| exp

    ~H(t t)|q >=

    chemins periodiques en q,p

    dq()

    dp()2

    exp

    ~SH [q, p], (1.47)

    Indication : On peut dfinir paN+1 = pa0 car paN+1 napparat pas dans SH discrtis.Montrer que

    Tr U(t, t) =n

    Nn expEn(t t),

  • 18 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    o la somme est sur les diffrents niveaux dnergies En et Nn est la dgnrescence dun niveau (onsuppose le spectre de H discret).

    En posant t t = ~, on obtientTr U(t, t) = Tr expH Z(),

    o Z() est la fonction de partition de la mcanique statistique (quantique). Driver par calcul direct unereprsentation en intgrale de chemin de Z().

    Rponse :

    Z() =

    dq < q| expH|q >=

    chemins periodiques en q,p

    dq()

    dp()2

    exp1~SeH [q, p] , (1.48)

    avec SeH [q, p] = ~

    0d [q( )p( )+H(q( ), p( ))]. Lintgration est sur tous les chemins priodique

    de priode est .Montrer que cette expression peut tre obtenue partir de lexpression pour Tr U(t, t) en posant

    = et en tournant le chemin dintgration de 90 degrs dans le plan complexe de .Conclusion : Les intgrales de chemins peuvent donc aussi tre utilises en mcanique statistique.

    1.2.4.5 Equations de Schwinger-Dyson en dtails

    Driver les quations de Schwinger-Dyson partir de la reprsentation en intgrale de chemin de

    < q; t|T{OB(z(tB)) . . .}|q; t >en faisant le changement de variables z() z() + ()( tA) avec infinitsimal en faisantlhypothse que la mesure de lintgrale de chemin est invariante par translation.

    Driver les quations de Schwinger-Dyson

    T{ SHz(tA)

    O(z(t))} = TO(z(t))z(tA)

    dans le formalisme des oprateurs, z(t) tant les oprateurs dans limage de Heisenberg.Indications : En utilisant la rgle de correspondance [A, B] = i~{A,B}, vrifier que les quations du mouvement dans limage de

    Heisenberg scrivent

    SHz(tA)

    = 0.

    Attention : ceci ne signifie pas que le membre de gauche de lquation de Schwinger-Dyson sannule cause de laprsence de z(tA) dans les quations du mouvement.

    A partir des dfinitions pour le produit chronologique et pour la drive,

    T{A(t1)B(t2)} = A(t1)B(t2)(t1 t2) + B(t2)A(t1)(t2 t1),

    z(tA) = lim

    z(tA +2 ) z

    (tA 2 )

    ,

    montrer que

    T{ z(tA)A(t)} d

    dtAT{z(tA)A(t)}

    = z(tA)A(t)(tA t) + A(t) z(tA)(t tA) + (tA t)[z(tA), A(t)]

    Utiliser la rgle de correspondance pour conclure.Remarque : pour pouvoir utiliser la rgle de correspondance sans termes correctifs dordre suprieur en ~, il faut faire lhypo-thse que les fonctions, en loccurence H et O, soient au plus des fonctions quadratiques de lespace des phases.

    Ce calcul justifie dans une certaine mesure linvariance par translation de lintgrale de chemin etlhypothse que [(OB(z(tB)) . . . exp SH [z]]z

    ()=+z()= = 0.

  • 1.3. PASSAGE LA MATRICE S 19

    1.3 Transition la matrice S

    cf. [1], [8].

    1.3.1 Thorie des champs

    Pour une thorie de champs,

    Qa Q~x,m Qm(~x), Pb P~y,n Pn(~y), (1.49)ab

    ~x,m~y,n

    mn

    3(~x ~y). (1.50)

    L lment de matrice doprateurs a alors lexpression

    < q; t|T{OA[z(tA)]OB[z(tB)] . . .}|q; t >=qm(~x, t) = qm(~x)qm(~x, t) = qm(~x)

    m,~x,

    dqm(~x, )m,~x,

    dpm(~x, )

    2

    OA[z(tA)]OB[z(tB)] . . . exp

    ~SH [q, p], (1.51)

    SH [q, p] =

    tt

    d

    {d3~x qm(~x, )pm(~x, )H[z()]

    }.

    1.3.2 Reprsentation de lamplitude in-out

    En thorie des champs, on ne veut pas des amplitudes de probabilit entre des tats propres des opra-teurs de position, mais des lments de matrice S, c--d des amplitudes de probabilit entre des tats quidans le pass lointain t et dans le futur lointain t + contiennent un nombre fixe de parti-cules avec des proprits donnes. Ces tats sont appells tats in et out et nots |; in >, |; out >.Les lettres et dnotent ici des ensembles de particules caractrises par exemple par leurs moments,le spin etc.

    Pour y arriver, on multiplie (1.51) par les fonctions donde < ; out|q; t > et < q; t|; in > t fixdans le pass lointain et t fix dans le futur lointain o il ny a par hypothse pas dinteraction. Ensuiteon intgre sur les arguments qm(~x) = qm(~x,) et qm(~x) = qm(~x,+). A cause des relations decompltude on obtient dans le membre de gauche

    < ; out|T{OA[z(tA)]OB[z(tB)] . . .}|; in > (1.52)

    Dans le membre de droite, on avait une intgrale de chemin contrainte en t et t par des conditions auxbords, mais maintenant on intgre galement sur ces conditions aux limites et on obtient donc une intgralede chemin sans conditions aux bords :

    (1.52) =

    m,~x,

    dqm(~x, )m,~x,

    dpm(~x, )

    2OA[z(tA)]OB[z(tB)] . . . exp

    ~SH [q, p]

    < ; out|q(+); + >< q();|; in >, (1.53)

    SH [q, p] =

    +

    d

    {d3~x qm(~x, )pm(~x, )H[z()]

    }.

  • 20 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.3.3 Reprsentation de lamplitude vide-videPrenons maintenant comme tats initial et final les vides respectifs, |; out >= |V AC; out > et

    |; in >= |V AC; in >, dfinis par

    ain(~p,m)|V AC; in >= 0, (1.54)aout(~p,m)|V AC; out >= 0. (1.55)

    o m reprsente par exemple le type de particule (photon, lectron,...) et aussi dautres caractristiquestelles que le spin par exemple.

    Rappel : Z1/2ain et Z1/2aout sont les oprateurs qui apparaissent comme coefficients de exp (~p ~x (~p)t)dans le dveloppement de Qm(~x, t) en t , o on a un oprateur de champ libre.

    Dans le cas dun champ scalaire, on na pas besoin de lindice m et on note habituellement Q(~x, t) =(~x, t) et P (~x, t) = (~x, t). On a

    (~x, t)t Z1/2(2)3/2

    d3p(2(~p))1/2[a in

    out

    (~p) exp p x+ h.c.] (1.56)

    (~x, t)t d

    dt(~x, t)

    t Z1/2(2)3/2d3p(

    (~p)

    2)1/2[a in

    out

    (~p) exp ip x h.c.] (1.57)

    avec p0 = (~p) =~p2 +m2, p x = px et = diag(1, 1, 1, 1). En inversant la transforme de

    Fourier pour en extraire les oprateurs de cration et de destruction, on obtient

    Z1/2a inout

    = limt

    (2)3/2 exp (~p)t

    d3x exp~p ~x

    [((~p)2

    )1/2(~x, t) + (2(~p))1/2(~x, t)]. (1.58)

    On a vu que sur les fonctions donde dans la base , (~x, t) agit comme (~x)

    , et la dfinition desvides devient

    d3x exp~p ~x [ (~x)

    + (~p)(~x)] < (~x);|V AC; inout >= 0. (1.59)

    Rappelons dun ct que lquation diffrentielle ( ddy + y)f(y) = 0 a comme solution f(y) = N exp12y

    2

    et dun autre ct que les drives fonctionnelles sont dfinies pari(~y)

    j(~x)= ij(~y ~x),

    j(~x)

    ymi(~y) =

    ij

    ym (~y ~x) etc.

    On essaie alors lansatz Gaussien :

    < (~x);|V AC; inout >= N exp1

    2

    d3xd3y(~x, ~y)(~x)(~y), (1.60)

    o il faut dterminer le noyau symtrique (~x, ~y) = (~y, ~x) et la constante N . En substituant danslquation diffrentielle, on obtient

    0 =

    d3x exp~p ~x [

    d3y(~x, ~y)(~y) (~p)(~x)]

    =

    d3x exp~p ~x

    d3y[(~x, ~y) (~p)

    d3p

    (2)3exp ~p (~x ~y)

    ](~y) (1.61)

  • 1.3. PASSAGE LA MATRICE S 21

    Comme cette quation doit tre vraie quelque soit (~y), on en dduit qued3x exp~p ~x(~x, ~y) =

    d3x

    d3p

    (2)3(~p) exp ~x (~p ~p) exp~p ~y

    = (~p) exp~p ~y. (1.62)

    En inversant la transforme de Fourier, on trouve

    (~x, ~y) =

    d3p

    (2)3(~p) exp ~p (~x ~y). (1.63)

    La constante N peut tre obtenue (formellement) par la normalisation du vide, mais on na pas besoindune expression explicite ici.

    On a donc que le dernier terme de (1.53) est donn par

    < V AC; out|(+); + >< ();|V AC; in >=

    |N |2 exp12

    d3xd3y(~x, ~y)[(~x; +)(~y; +) + (~x;)(~y;)]

    = |N |2 exp12

    d3xd3y

    +

    d(~x, ~y)(~x; )(~y; ) exp| |, (1.64)

    avec > 0 infinitsimal.En effet,

    lim0+

    +

    d f() exp| |

    = lim0+

    ( +

    0

    d f() exp + 0

    d f() exp )

    = lim0+

    ( +

    0

    d f()d

    dexp +

    0

    d f()d

    dexp

    )= lim0+

    ( +

    0

    dd

    d(f() exp) +

    +0

    d f () exp

    +

    0

    dd

    d(f() exp )

    0

    d f () exp )

    = f(0) + f(+) f(0) + f(0) f(0) + f()= f(+) + f().

    On trouve donc

    < V AC; out|T{OAOB . . .}|V AC; in >= |N |2

    d(x) d(x)

    2OAOB

    exp

    +d{

    d3~x (~x, )(~x, )H[, ] + 12

    d3xd3y(~x, ~y) exp| |(~x, )(~y, )

    }.

    (1.65)

    Comme on va le voir, les termes en vont donner les termes en des propagateurs. Pour complter latransition la matrice S, il faudra rappeler le lien entre < ; out|T{OAOB . . .}|; in > et la matrice S.

    1.3.4 Sources externesPrenons maintenant des sources externes JA(~x, t) et le potentiel V J(t) = V (t)

    d3x JA(~x, t)OA(~x, t).

    La matrice S devient une fonctionnelle de JA(~x, t) : ; out|; inJ .

  • 22 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    Les drives de la matrice S par rapport j sont relies lamplitude de transition avec insertiondoprateurs en image de Heisenberg entre les tats correspondants :[ r

    JA(xA)JB(xB) . . .; out|; inJ

    ]J=0

    =< ; out|T{OA(xA)OB(xB) . . .}|; in > . (1.66)

    Prenons comme HamiltonienHJ(t) = H(t)d3xJA(~x, t)OA(~x, t) dans (1.53) considr sans insertion dop-

    rateurs. En prenant la derive par rapport aux sources externes et en les mettant zro, on trouve dans le membrede droite une reprsentation en intgrale de chemin avec insertion de fonctions. On conclut en utilisant de nouveau(1.53) cette fois-ci avec insertion doprateurs.

    Remarque : La drivation directe de ce rsultat en termes de S[J ] = T exp + d V

    JI (t) est

    nettement plus complique que cette drivation par intgrale de chemin.

    1.3.5 Reprsentation des fonctions de GreenSi on prend |; in >= |V AC; in >, |; out >= |V AC; out > et on considre en particulier un

    couplage aux champs fondamentaux de la thorie,d3x JA(~x, t)OA(~x, t) =

    d3x Jm(~x, t)

    m(~x, t), on a

    r

    Jm1(x1) . . . Jmr(xr)V AC; out|V AC; inJ

    J=0

    = (

    ~)rV AC; out|T{m1(x1) . . . mr(xr)}|V AC; in

    = (

    ~)r|N |2

    d(x)

    d(x)2

    m1(x1) . . .mr(xr) exp

    ~[SH + terme]. (1.67)

    Les lments de matrice < V AC; out|T{m1(x1) . . . mr}(xr)|V AC; in > sont les fonctions de Green.Si Z[J ] dnote leur fonctionnelle gnratrice, on a donc

    Z[J ] r=0

    1

    r!(

    ~)rdx1 . . . dxr Jm1(x1) . . . Jmr(xr) < V AC; out|T{m1(x1) . . . mr}(xr)|V AC; in >

    = |N |2

    d(x) d(x)

    2exp

    ~[SH +

    d4x Jm(x)

    m(x) + terme] . (1.68)

    1.3.6 Exercices1.3.6.1 Intgration gaussienne

    Montrer que

    G() =

    +

    dx expx2 =

    , > 0.

    Indication : Prendre le carr et utiliser des coordonnes polaires. Si on dfinit T(x) =

    expx2 et

    (x) = lim

    T(x),

    montrer que +

    dx (x)f(x) = f(0).

  • 1.3. PASSAGE LA MATRICE S 23

    Indication : Utiliser un dveloppement de f(x) en srie de Taylor autour de 0 et +

    dxx2n expx2 = ()n dn

    (d)nG().

    Pour > 0, montrer en compltant le carr que si

    J =

    +

    dx expQ(x), Q(x) = x2 + x+ ,

    alors

    J =

    expQ(x), x =

    2.

    La valeur de lintgrale J est donc gale

    fois la valeur de lexponentielle son extremum. Montrer que +

    dp exp py = 2(y)

    Indication : Calculer +

    dx exppx T(x)

    comme indiqu au point prcdent et puis calculer +

    dp exp py

    +

    dx exppx T(x).

    Prendre la limite . Montrer que si

    J(A, b, c) +

    i

    dxi expQ(x), Q(x) = 12Aijx

    ixj + bixi + c,

    o Aij, bi, c sont rels et Aij est symtrique et dfini positif, alors

    J(A, b, c) = (det(A

    2))

    12 exp (

    1

    2bi(A

    1)ijbj c) = (det(A

    2))

    12 expQ(x),

    o xk est un extremum de Q(x).Indication : Diagonaliser A par une matrice orthogonale O, ((OTAO)ij = iij , i > 0 et effectuer le changementde variables xi = Oijxj .

    1.3.6.2 Intgrales de Fresnel

    Montrer que +

    dx expx2 =.

    Indication : Utiliser C

    dz exp z2 = 0,

    o le contour dintgration C est

  • 24 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    Im z

    Re zO R

    R exp(i /4)

    C

    1.3.6.3 Thorme de Wick

    Si on dfinit

    < xk1 . . . xkl >= (J(A, 0, 0))1 +

    i

    dxi xk1 . . . xkl exp12xiAijx

    j,

    on a par dfinition < 1 >= 1. Montrer que :

    < xk1 . . . xkl >=

    paires de k1...kl

    paires

    (A1)paires dindices.

    Indication : Appliquer bk1 . . .

    bkl J(A, b, 0) en b = 0 pour montrer que

    < xk1 . . . xkl >= [

    bk1. . .

    bklexp (

    1

    2bi(A

    1)ijbj)]|b=0.

  • 1.4. FORMULE LAGRANGIENNE 25

    1.4 Formule Lagrangienne

    1.4.1 Transforme de Legrendre en mcaniqueComment (re)passer du principe variationnel Hamiltonien au principe variationnel Lagrangien?

    SH [q, p] =

    t2t1

    d [qapa H(q, p)], (1.69)

    H =1

    2gab(q)papb + h

    a(q)pa + V (q), (1.70)

    avec gab symtrique, dfini positif.

    0 = SH =

    t2t1

    d (qb Hpb

    )pb +d

    dt(paq

    a) + (pa H

    qa)qa. (1.71)

    Conditions aux bords : qa(t1) = 0 = qa(t2), pas de conditions pour pb. Equations du mouvement : qb H

    pb= 0,

    pa H

    qa= 0

    (1.72)

    Les quations

    SHpb(t)

    = 0 qb gbapa hb = 0 pb = gba(qa ha) b(q, q)

    peuvent tre rsolues algbriquement pour pb en fonction de q, q. Terminologie : pb sont des champsauxiliaires.

    Rappel : H est dfini comme la transforme de Legendre de L par rapport qa :

    L = L(q, q), pb =L

    qb(q, q).

    Si | 2L

    qaqb| 6= 0, cette dernire relation est inversible, qa = Ua(q, p) ou encore,

    L

    qb|q=U = pb Ua|p=L/q = qa, (1.73)

    et

    H(q, p) = (pbqb L)|q=U , (1.74)

    H

    qa|p = pb

    U b

    qa L

    qa|q=U

    L

    qb|q=U

    U b

    qa= L

    qa|q=U (1.75)

    H

    pa|q = Ua + pb

    U b

    pa L

    qb|q=U

    U b

    pa= Ua. (1.76)

    Lquation qa =H

    p aest donc la relation inverse de pb =

    L

    qb. En substituant cette dernire relation

    dans la deuxime quation Hamiltonienne pa H

    qa= 0 et en utilisant (1.75), on retrouve lquation

    Lagrangienne ddt

    (L

    qb) +

    L

    qb= 0, qui est lquation drivant du principe variationnel Lagrangien

    0 = SL =

    t2t1

    d L(q, q), qa(t1) = 0 = qa(t2). (1.77)

  • 26 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    Laction Lagrangianne sobtient partir de laction Hamiltonienne en substituant les pa par leurs quationsdu mouvement :

    SH |p=L/q = t2t1

    d [pbqb H]|p=L/q (1.78)

    =

    t2t1

    d [pbqb (pbqb L)|q=U ]p=L/q (1.79)

    =

    t2t1

    d L(q, q). (1.80)

    En particulier, le Lagrangien associ lHamiltonien (1.70) est donn par

    L(q, q) = b(qb hb) 1

    2bg

    bcc V (q) (1.81)

    =1

    2(qa ha)gab(qb hb) V (q). (1.82)

    1.4.2 Intgration sur les momentsQue se passe-t-il au niveau de lintgrale de chemins? Les pb sont des variables dintgrations ind-

    pendantes :

    q, t|q, t = N

    a,k=1

    dqak

    Nb,k=0

    dpbk2

    exp iSDH , (1.83)

    SDH =N+1k=1

    [(qak qak1)pak1 H(qak , pak1)d ], (1.84)

    H(qak , pak1) =1

    2gab(qk)pak1pbk1 + h

    a(qk)pak1 + V (qk). (1.85)

    On dcale la somme de 0 N et on utilise ha(qk+1)d = ha(qk)d+O(d 2), et idem pour gab(qk+1), V (qk+1),

    SDH =Nk=0

    [pak(qak+1 qak + ha(qk)d)

    1

    2gab(qk)pakpbkd V (qk)d ]. (1.86)

    Lintgrale sur les pak est Gaussienne pour chaque k, si g = det gab, le prfacteur vaut :

    1

    (2)n[det

    igab(qk)d

    2]

    12 = [

    1

    2n

    (2)n

    in det g1ab (qk)(d)n

    =

    g

    (i2(tt)

    N+1)n.

    extrmum :

    qak+1 qak + ha(qk)d gab(qk)pbkd = 0, (1.87)

    pbk = gba(qk)[qak+1 qak

    d ha] bk, (1.88)

    SDH |extr = limN

    Nk=0

    [bkgbc(qk)ckd

    1

    2gab(qk)akbkd V (qk)d ] =

    =

    tt

    d [1

    2gab(q)(q

    a ha)(qb hb) V (q)] = tt

    d L(q, q). (1.89)

  • 1.4. FORMULE LAGRANGIENNE 27

    Pour la drivation des rgles de Feynman, il est important davoir toute la dpendance en les q danslexponentielle,

    Nk=0

    g(qk) = exp

    Nk=0

    lng(qk) = exp

    i

    d[Nk=0

    (i) lng(qk)]d

    N exp i(0) tt

    di2

    ln g(q()). (1.90)

    En effet,

    fk =Nk=0

    dfkkk

    dN f( ) =

    tt

    df()kk

    d=

    tt

    df()( ),

    et donc ( ) = limN kkd , (0) = limN1d

    .On trouve donc :

    q; t|q; t = M q(t)=qq(t)=q

    dq() exp

    i

    ~

    tt

    dLq(q(), q()), (1.91)

    avec

    Lq = L i~(0)12

    ln g, (1.92)

    M = limN

    (2i~(t t)N + 1

    )12

    (N+1)n. (1.93)

    Remarque : Si gab ne dpend pas des q, on absorbe le terme avec g dans la mesure :

    q; t|q; t =M q(t)=qq(t)=q

    dq() exp

    i

    ~

    tt

    dL , (1.94)

    M = limN

    (g(N + 1)n

    ((2i~(t t))n)

    12

    (N+1). (1.95)

    Cest ce quon fera dans la suite du cours.

    1.4.3 Exercices1.4.3.1 Fonction de partition bis

    Pour un Hamiltonien du type H = 12gabpapb + V (q) avec gab(q) une matrice dfinie positive, que

    devient la reprsentation en intgrale de chemin de la fonction de partition aprs intgration sur les mo-ments?

    Rponse :A partir de (1.48), on dduit que lextrmum est donn par pb() = gabiqb. Lintgration sur les

    moments donne

    Z() =

    dq < q| expH|q >=

    chemins periodiques en q

    dqa() [det(2G)]1/2 exp1

    ~SeL[q] . (1.96)

    Lintgration est sur tous les chemins priodique de priode est avec

    SeL[q, p] =

    ~0

    d [1

    2gabq

    aqb + V (q)] , (1.97)

    Ga,b(, ) = gab(q())(, ). (1.98)

  • 28 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.5 Rgles de Feynmancf. [1]

    1.5.1 Thorme de Wick et dveloppement perturbatifOn se place maintenant dans le cadre dune thorie des champs avec qm(~xa, ta) m(xa) = A et on

    introduit la notation |V AC; outin = |0; +. Une somme sur A sous-entend dornavant une intgrale surxa et une somme sur m. Pour les fonctions de Green, on a, en combinant les rsultats des deux sectionsprcdentes,

    +; 0|T{A1 . . . Ar}|0; = |N |2M

    d A1 . . . Ar expi

    ~I[] (1.99)

    D A1 . . . Ar exp i

    ~I[], (1.100)

    avec

    I[] =

    +

    dL+ i, L =

    d3xL0[m(x), m(x)] + L1[m(x), m(x)]. (1.101)

    Ici I0 =d4xL0 + i est la partie quadratique, tandis que I1 =

    d4xL1 dnote les interactions qui sont

    cubiques ou dordre plus leves en les champs et leurs drives.Pour la fonctionnelle gnratrice, on a

    Z[J ] +; 0|0;J =D exp i

    ~(I[] + JA

    A), (1.102)

    et

    +; 0|T{A1 . . . Ar}|0; = (~i)r

    JA1. . .

    JArZ[J ]|J=0. (1.103)

    On peut alors traiter linteraction de manire perturbative en utilisant le dveloppement

    Z[J ] = expi

    ~I1[

    ~i

    J]

    D exp i

    ~(I0[] + JA

    A), (1.104)

    avec I0 = 12ADABB.

    En faisant les intgrales Gaussiennes discrtises, ceci donne

    Z[J ] = |N |2M[det( iD2~

    )]12 exp

    i

    ~I1[

    ~i

    J] exp

    i

    2~JA(D1)ABJB, (1.105)

    et donc

    Z[J ]

    Z0[0]=

    D exp i~(I[] + JA

    A)D exp i~I0[]

    = expi

    ~I1[

    ~i

    J] exp

    i

    2~JA(D1)ABJB . (1.106)

    Cette dernire expression peut galement servir comme dfinition perturbative de lintgrale de chemin.Si I1 = 0, on retrouve le thorme de Wick,

    +; 0|T{A1 . . . Ar}|0;+; 0|0;

    =

    paires dindices

    (~i(D1)paires dindices. (1.107)

    Si I1 6= 0, on dveloppe perturbativement en linteraction. A un ordre donn, on a toujours le mme typedintgrales Gaussiennes faire, mais maintenant certains des A ne viennent pas de la drivation parrapport un JA externe, mais ils viennent de

    d4xL1[~i

    J] et comportent une intgrale sur x dans le

    cadre des thories de champs.

  • 1.5. RGLES DE FEYNMAN 29

    1.5.2 Propagateurs

    Les propagateurs de Feynman m2m3F (x2, x3) (D1)m2m3(x2, x3) qui interviennent dans (1.106)sont donc dfinis comme linverse de la partie quadratique du Lagrangien (avec les termes i) :

    ddx2Dm1m2(x1, x2)m2m3F (x2, x3) = m3m1d(x1, x3). (1.108)

    Comme on va le voir,Dm1m2(x1, x2) peut gnralement scrire comme un oprateur agissant sur n(x1, x3)et sa transforme de Fourier ne dpend que dune seule variable,

    Dm1m2(x1, x2) =1

    (2)d

    ddp exp ip(x1 x2)Dm1m2(p) = Dm1m2(x1 x2). (1.109)

    Il sen suit que la transforme de m2m3F (x2, x3) est linverse matriciel de Dm1m2(p),

    Dm1m2(p)m2m3F (p) = m3m1. (1.110)

    En effet, ceci permet de vrifier lquation (1.108) :

    1

    (2)2d

    ddx2d

    dpddp exp ix2(p p) exp (ipx1 ipx3)Dm1m2(p)

    m2m3F (p

    ) =

    =1

    (2)d

    ddp exp ip(x1 x3)m3m1 =

    m3m1

    d(x1, x3).

    Pour le champ scalaire massif 4 dimensions par exemple, I0 = 12d4xd4xD(x, x)(x)(x).

    Commed4xL0 + i =

    d4x (1

    2

    12m22) +

    1

    2i

    dtd3xd3x(~x, ~x)e|t|(~x, t)(~x, t),(1.111)

    on trouve

    D(x, x) = ( x

    x+m2)4(x x) i(~x, ~x)e|t|(t t). (1.112)

    ce niveau, on peut remplacer e|t| par 1 car la diffrence correspond des termes dordre suprieur en. Puisque

    (~x, ~x) =1

    (2)3

    d3p (~p) exp i~p(~x ~x),

    on trouve

    D(x1, x2) =1

    (2)4

    d4p exp ip(x1 x2)[p2 +m2 i(~p)], (1.113)

    et donc

    F (x1, x2) =1

    (2)4

    d4p exp ip(x1 x2)

    1

    p2 +m2 i(~p). (1.114)

  • 30 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.5.3 Rgles de Feynman pour le champ scalairePour le champ scalaire, prenons une interaction quartique,

    I1[] = g

    4!

    d4x4. (1.115)

    Les fonctions 2 et 4 points sont dfinies par

    G(2)(x1, x2) =1

    Z[0]+; 0|T{(x1)(x2)}|0;, (1.116)

    G(4)(x1, . . . , x4) =1

    Z[0]+; 0|T{(x1) . . . (x4)}|0; . (1.117)

    A lordre 0 en g, Z[0]0 = +; 0|0;0 = |N |2M[det( iD2~)] 1

    2 K.

    G(2)0 (x1, x2) = (

    ~i)2

    J(x1)

    J(x1)

    Z0[J ]

    Z0[0]|J=0 =

    ~iD1(x1, x2). (1.118)

    Reprsentation graphique : 1 2 ou

    x1 x2

    Pourd4xD1(x1, x)J(x) introduisons la reprsentation graphique 1

  • 1.5. RGLES DE FEYNMAN 31

    G(6)0 (x1, . . . , x6) = (

    ~i)6

    J(x1). . .

    J(x6)Z0[J ]Z0[0]|J=0 =

    (~i)5

    J(x1). . .

    J(x5)

    [6 Z0[J ]

    Z0[0]

    ]|J=0 =

    (~i)4

    J(x1). . .

    J(x4)

    [( 6 5 + 6 5 )Z0[J ]

    Z0[0]

    ]|J=0 =

    (~i)3

    J(x1). . .

    J(x3)

    [(( 6 5 + 6 5 ) 4 + 6 4 5 + 6 5 4)Z0[J ]Z0[0]

    ]|J=0 = (~i )

    2

    J(x1)

    J(x2)

    [((

    ( 6 5 + 6 5 ) 4 + 6 4 5 + 6 5 4)

    3

    +( 6 5 + 6 5 ) 4 3

    +( 6 3 5 + 6 5 3 ) 4

    + 6 4 5 3 + 6 3 5 4

    )Z0[J ]Z0[0]

    ]|J=0 = (~i )

    J(x1)

    [(((( 6 5 + 6 5 ) 4 + 6 4 5 + 6 5 4

    )3

    +( 6 5 + 6 5 ) 4 3

    +( 6 3 5 + 6 5 3 ) 4

    + 6 4 5 3 + 6 3 5 4)

    2

    +(( 6 5 + 6 5 ) 4 + 6 4 5 + 6 5 4

    )3 2

    +(( 6 5 + 6 5 ) 4 2 + ( 6 2 5 + 6 5 2 ) 4

    + 6 4 5 2 + 6 2 5 4)

    3

    +( 6 2 5 + 6 5 2 ) 4 3

    +( 6 3 5 + 6 5 3 ) 4 2

    +( 6 3 5 2 + 6 2 5 3 ) 4

    )Z0[J ]Z0[0]

    ]|J=0 =(

    6 5 4 3 + 6 4 5 3 + 6 3 5 4)

    2 1 +(6 5 4 1 + 6 4 5 1 + 6 1 5 4

    )3 2 +

    ( 6 5 4 2 + 6 4 5 2 + 6 2 5 4 ) 3 1 +( 6 2 5 1 + 6 1 5 2 ) 4 3 +( 6 3 5 1 + 6 1 5 3 ) 4 2 +( 6 3 5 2 + 6 2 5 3 ) 4 1

    Consquences :

    G(4)0 (x1, . . . , x4) = :

    x1 x2

    x3 x4

    + +

    x2

    x4

    x1

    x3

    x1 x2

    x3x4

  • 32 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    A lordre 1 en g,

    Z[0]1 = +; 0|0;1 (1.119)

    = K(1 i~g

    4!

    d4x (

    ~i

    J(x))4) exp

    i

    2~J(D1)J ]|J=0

    = K(1 3ig~4!

    d4x

    ~iD1(x, x)~

    iD1(x, x)) . (1.120)

    Si un point interne (vertex) dun diagramme correspond ig~d4x, on obtient la reprsentation gra-

    phique suivante :

    Z(0)1 1~ + 3/4!

    +; 0|T{(x1)(x2)}|0;1 =

    = K(~i)2

    J(x1)

    J(x1)(1 i

    ~g

    4!

    d4x (

    ~i

    J(x))4) exp

    i

    2~J(D1)J ]|J=0

    = K(

    (1.121)

    x1 x2

    3/4!

    x1 x2

    + +x1 x2

    12/4!

    Ceci sobtient de lexpansion deG(6)0 (x1, . . . , x6) en posant x3 = x4 = x5 = x6 = x. Par consquence,G

    (2)1 (x1, x2) =

    x1 x2

    3/4!

    x1 x2

    + +x1 x2

    12/4!

    1 + 3/4!

    =

    x1 x2+

    x1 x2

    12/4!

  • 1.5. RGLES DE FEYNMAN 33

    Remarques : (i) En utilisant lexpression (1.18) pourD1(x, y), on constate qu la limite xy 0,lintgrale sur d3k diverge. Il faudra donc modifier la thorie pour donner un sens D1(x, x) (sauf enmcanique o il ny a pas cette intgrale sur les moments).

    (ii) Si G(k)(x1, . . . , xk) = 1Z[0]+; 0|T{(x1) . . . (xk)|0;, leffet de diviser par Z[0] revient enlever les parties du vide des fonctions de Green tous les ordres. Ici, une partie du vide est lexpressionanalytique qui correspond une partie dconnecte du reste du diagramme et qui ne contient pas de pointsexternes. En effet,

    G(k)(xk, . . . , x1) =exp i~I1[

    ~iJ

    ]~i

    J(xk)

    . . . ~i

    J(x1)

    exp i2~JD

    1J

    exp i~I1[~iJ

    ] exp i2~JD1J

    |J=0

    =exp i~I1[

    ~iJ

    ][~i

    J(xk)

    . . . ~i

    J(x3)

    (~iD1(x1, x2) +D1x1 JD

    1x2J) exp i

    2~JD1J

    exp i~I1[~iJ

    ] exp i2~JD1J

    |J=0 (1.122)

    et on voit que le dnominateur cancelle prcisment la partie du numrateur o exp i~I1[~iJ

    ] agit entire-ment sur le terme exp i

    2~JD1J .

    1.5.4 Exercices1.5.4.1 Propagateur du champ vectoriel massif

    Caluler le propagateur de champ vectoriel massif dcrit par

    L0 = 1

    4(A A)(A A)

    1

    2m2AA

    . (1.123)

    Rponse :

    F =1

    p2 +m2 i[ +

    pp

    m2].

    Que se passe-t-il pour le propagateur des photons (m = 0) ? Montrer quun champ "pure jauge"A = correspond un vecteur propre de valeur propre 0 de D(x, x).

  • 34 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.6 Reprsentation holomorphecf. [3], [5] [2].

    1.6.1 Etats cohrentsPour un degr de libert, dfinissons

    a =12

    (q + ip). (1.124)

    Loprateur associ satisfait [a, a] = 1. Le vide est dfini par a|0 = 0 et les tats cohrents par

    |a = exp aa|0, a|a = a|a, (1.125)

    o a est un nombre complexe. Les rgles de commutations impliquent que ltat cohrent est un vecteurpropre de loprateur de destruction de valeur propre a. De mme,

    a| = 0| exp aa, a|a = a|a. (1.126)

    Le produit scalaire de ces tats est donn par

    b|a = exp ba. (1.127)

    En effet, si a = 0, on a 1 des 2 cts. En drivant par rapport a, on retrouve b fois lexpression de dpart des 2cts.

    Une base orthonorme de lespace de Hilbert est donne par

    |n = 1n!

    (a)n|0, m|n = mn, (1.128)

    et on a

    a|n = 0| exp aa 1n!

    (a)n|0 = 1n!

    (a)n, (1.129)

    En effet, cest vrai pour n = 0, et si on suppose que cette galit tient pour n 1> 0, alors

    a|n = 0|[exp aa, 1na]

    1(n 1)!

    (a)n1|0 = 1naa|n 1, (1.130)

    et on conclut en utilisant lhypothse de rcurrence.

    De mme,

    n|a = 1n!an. (1.131)

    Pour un tat quelconque | de lespace de Hilbert on a donc

    a| = (a), |a = (a), (1.132)

    avec (a) une srie en a coefficients complexes et (a) la srie en a dont les coefficients sont com-plexes conjugus de (a).

  • 1.6. REPRSENTATION HOLOMORPHE 35

    Montrons que

    | =dada

    2iexp (aa)|aa| =

    dada

    2iexp (aa)(a)(a), (1.133)

    1 =

    dada

    2iexp (aa)|aa|. (1.134)

    o lintgrale est une intgrale relle double dfinie en inversant (1.124) et la relation complexe conjugue.Il suffit de le montrer pour les lments de base de lespace de Hilbert.

    n|m =dada

    2iexp (aa) 1

    n!an

    1m!

    (a)m

    =

    dqdp

    2exp

    1

    2(q2 + p2)

    1n!

    (q + ip

    2)n

    1m!

    (q ip

    2)m, (1.135)

    en tenant compte du fait que le Jacobien du changement de variables a = q+ip2

    , a = qip2

    vaut i. Si on dfinit

    I(, ) =

    dqdp

    2exp [

    1

    2(q2 + p2) +

    q + ip2

    + q ip

    2] (1.136)

    =

    dqdp

    2exp [

    1

    2(q2 + p2) +

    2R2q +

    2I2p] (1.137)

    = exp2R + 2I = exp

    , (1.138)

    en utilisant lexercice 1.3.6.1. On trouve alors

    n|m = 1n!

    1m!

    (

    )m(

    )nI(, )|=0= (1.139)

    =1n!

    1m!

    (

    )m(n exp)|=0= =

    {0 si n 6= m1 si n = m

    (1.140)

    On a donc aussi montr que

    I(, ) =

    dada

    2iexp (aa+ a+ a) = exp, (1.141)

    qui est la valeur lextrmum, a = , a = sans prfacteur.

    1.6.2 Noyau et symbole normal

    Les lments de matrice dun oprateur O dans la base orthonorme (1.128) sont donns par

    Onm = n|O|m, O =n,m

    |nOnmm|. (1.142)

    Le noyau de O dans la reprsentation holomorphe est donn par

    O(a, a) = a|O|a =n,m

    a|nOnmm|a =n,m

    Onm(a)nn!

    amm!

    (1.143)

    En utilisant (1.133), on a les relations suivantes :

    (O|)(a) a|O| =dd

    2iO(a, )() exp (), (1.144)

    (O1O2)(a, a) a|O1O2|a =

    dd

    2iO1(a

    , )O2(, a) exp (). (1.145)

  • 36 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    De plus a et a agissent respectivement comme loprateur de multiplication et de drivation par rapport a,

    (a|)(a) a|a| = a(a), (1.146)

    (a|)(a) a|a| = a

    (a). (1.147)

    Si O(a, a) est un oprateur, son symbole normal ON(a, a) est par dfinition la fonction de a, a que lonobtient en arrangeant dans O les a gauche et les a droite en utilisant les rgles de commutations, etpuis en remplaant les oprateurs a, a par les nombres complexes a, a. Inversment, dans ON(a, a) onpeut arranger sans frais les a gauche et les a droite. Si on remplace alors les nombres complexes a, apar les oprateurs a, a, on obtient un oprateur sous forme normal qui est gal loprateur de dpartO(a, a) en utilisant les rgles de commutations.

    Rappellons finalement que lordre normal : O(a, a) : dun oprateur est loprateur que lon ob-tient en arrangeant dans O les a gauche et les a droite sans utiliser les rgles de commutations. Enparticulier, le projecteur sur le vide peut tre reprsent par

    |00| =: expaa : . (1.148)

    Il suffit de montrer que : expaa : |n = 0n|0. Cette relation est vrifie pour n = 0. Pour n 6= 0, elle lestaussi si on dmontre que

    [: expaa :, (a)n] = (a)n : expaa :, (1.149)

    car alors : expaa : |n = [expaa :, (a)nn!

    ]|0+ (a)nn!

    : expaa : |0 = 0.

    Si n = 1, [n=0()n

    (a)nan

    n! , a] =

    n=1()n

    (a)nan1

    (n1)! = a : expaa :. Si (1.149) est vraie pour

    n 1> 0, alors [: expaa :, (a)n] = a[: expaa :, (a)n1] + [: expaa :, a](a)n1 = (a)n :expaa : a : expaa : (a)n1 = (a)n : expaa : a[: expaa :, (a)n1] (a)n :expaa := (a)n : expaa :.

    On a la relation suivante entre noyau et symbole normal :

    O(a, a) = exp (aa)ON(a, a). (1.150)

    En effet, O =n,mOnm

    (a)nn!|00| a

    mm!

    =n,mOnm

    (a)nn!

    : expaa : amm!

    =n,mOnm :

    (a)nn!

    expaa amm!

    : On a donc ON (a, a) =n,mOnm

    (a)nn!

    expaa amm!

    = O(a, a) expaa en vertude (1.143).Pour une autre dmonstration de (1.150), on constate quil suffit de le dmontrer pour les op-rateurs On,m = (a)nam pour lequels ONn,m = (a

    )nam. Pour calculer le noyau, on uti-lise que (On,m|)(a) = (a)n( a )

    m(a) = (a)n( a )mdd

    2i exp a =

    dd2i (a

    )nm exp a . Comme (On,m|)(a) =dd

    2i On,m(a, ) exp , on dduit

    que On,m(a, ) = (a)nm exp a = ONn,m(a, ) exp a.

    1.6.3 Oprateur dvolutionOn veut calculer le noyau de loprateur dvolution dans la reprsentation holomorphe,

    a; t|a; t = a| expiH(t t)|a U(a, t; a, t). (1.151)

    Pour t t = infinitsimal,

    a|1 iH|a = exp (aa) iH(a, a) == exp (aa)[1 ih(a, a)] = exp (aa ih(a, a)), (1.152)

  • 1.6. REPRSENTATION HOLOMORPHE 37

    o H(a, a) est le noyau de lHamiltonien H et h(a, a) son symbole normal. Un intervalle fini est d-compos en N intervalles,

    tt

    1N-1N

    en insrantdaN1daN1

    2iexpaN1aN1 |aN1; N1aN1; N1| . . .

    . . .

    da1da1

    2iexpa1a1|a1; 1a1; 1|, (1.153)

    aux endroits appropris. On obtient

    U(a, t; a, t) = limN

    N1k=1

    dakdak2i

    exp{ i[h(aN , aN1) + + h(a1, a0)]+

    + aNaN1 + + a1a0 aN1aN1 a1a1}. (1.154)

    Dans la limite N , ceci donne

    U(a, t; a, t) =

    a(t)=aa(t)=a

    DaDa exp iS H [a, a], (1.155)

    S H [a, a] =

    tt

    d[ 1

    2i(aa aa) h(a, a)

    ]+

    1

    2i

    (a(t)a(t) + a(t)a(t)

    ). (1.156)

    En effet lorsquon discrtise dans largument de lexponentielle les termes autres que lHamiltonien,

    1

    2

    [(aN aN1)aN1 + + (a1 a0)a0 aN (aN aN1) a1(a1 a0) + aNaN + a0a0

    ]= aNa

    N1 + + a1a0 aN1aN1 . . . a1a1. (1.157)

    N.B. : Laction dans lintgrale de chemin est celle qui a un vrai extrmum, compte tenu des conditions aux bordsa(t) = 0 = a(t), lorsque les quations du mouvement sont satisfaites :

    SH =

    tt

    d(a(1

    ia h

    a) + a(

    1

    ia h

    a))

    +1

    2i[aa]t

    t 1

    2i[aa]t

    t +1

    2i[a(t)a(t) + a(t)a(t) + a(t)a(t) + a(t)a(t)]

    =

    tt

    d(a(1

    ia h

    a) + a(

    1

    ia h

    a)).

    Dans lexemple de loscillateur harmonique forc o lon choisit comme Hamiltonien quantique celuicorrespondant lordre normal,

    H = aa j(t)a j(t)a, (1.158)h(a, a) = aa j(t)a j(t)a. (1.159)

    Pour calculer lintgrale de chemin, on va admettre le raccourci quelle sera donne par la valeur de

  • 38 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    lexponentielle lextrmum, sans prfacteur. On a

    a = i ha

    = i(a j), a(t) = a, (1.160)

    a = ih

    a= i(a j), a(t) = a. (1.161)

    N.B. : Aux bords, on se donne a et a indpendamment. La solution de ces quations est

    a() = expi( t)a+ i t

    d j( ) expi( ), (1.162)

    a() = expi(t )a + i t

    d j( ) expi( ). (1.163)

    En substituant, on trouve par calcul direct

    U(a, t; a, t) = exp[a expi(t t)a+ ia

    tt

    dj() expi(t )+

    +ia

    tt

    dj() expi( t) tt

    d

    tt

    d j() expi( )( )j( )]. (1.164)

    1.6.4 Fonction de partition pour loscillateur harmonique libre

    On a vu que Z() = Tr expH = TrU(t, t) avec t t = ~. Daprs ce qui prcde,U(a, a;~) = exp (ae~a). Dans la reprsentation holomorphe

    TrO =n

    n|O|n =dada

    2i

    dd

    2i

    n

    n|aO(a, )|n exp (aa )

    =

    dada

    2i

    dd

    2iO(a, ) exp (aa + a). (1.165)

    Ceci donne pour la fonction de partition

    Z() =

    dada

    2i

    dd

    2iexp (aa + a+ ae~) =

    =

    dd

    2iexp ( + e~) = 1

    1 e~, (1.166)

    o la dernire ligne sobtient en redfinissant = /

    1 e~, = /

    1 e~.

    1.6.5 Formules de rductionLoprateur S est donn par

    S = limt +t

    S(t, t), S(t, t) = exp iH0t U(t, t) expiH0t. (1.167)

    Le noyau de S(t, t) dans la reprsentation holomorphe vaut

    S(a, t; a, t) =

    dd

    2i

    dd

    2iexp ( )a| exp iH0t|

    U(, t; , t)| expiH0t|a. (1.168)

  • 1.6. REPRSENTATION HOLOMORPHE 39

    Comme a| exp iH0t| est un cas particulier de (1.164) pour j = 0 avec t t t et de mme pour| expiH0t|a avec t t t, on trouve

    S(a, t; a, t) =

    dd

    2i

    dd

    2iexp

    [ + a exp (it) + exp (i(t t))

    + i tt

    d exp (i(t ))j() + i tt

    dj() exp (i( t))

    tt

    d

    tt

    d j()( ) expi( )j( ) + exp (it)a]

    (1.169)

    Si u = a exp (it) and u = exp (i(t t)) + i ttd exp (i(t ))j(), lintgrale sur

    transforme les 4 premiers termes de lexponentielle en uu. Ainsi, largument de lexponentielle devient

    a exp (it) + ia tt

    d exp (i)j() + i

    tt

    dj() exp (i( t))

    tt

    d

    tt

    d j()( ) expi( )j( ) + exp (it)a. (1.170)

    Si v = exp (it)a et v = a exp (it) + i ttdj() exp (i( t)), lintgrale sur donne

    exp vv et on trouve

    S(a, t; a, t) = exp[aa+ ia

    tt

    d exp (i)j() + ia

    tt

    dj() exp (i)

    tt

    d

    tt

    d j() exp (i( ))( )j( )]. (1.171)

    Par consquent, on trouve pour le symbole normal

    SN(a, t; a, t) = exp[ia tt

    d exp (i)j() + ia

    tt

    dj() exp (i)

    tt

    d

    tt

    d j() exp (i( ))( )j( )]. (1.172)

    En transforme de Fourier, le champ scalaire avec source externe j(x) relle est une superpositiondoscillateurs coupls :

    Hj0 =

    d3x [

    1

    22 +

    1

    2k

    k+1

    2m22 j], (1.173)

    j(~x) =1

    (2)3/2

    d3k

    2(~k) exp i~k ~x j(~k), j(~k) = j(~k), (1.174)

    (~x) =1

    (2)3/2

    d3k2(~k)

    [a(~k) exp i~k ~x+H.C.], (1.175)

    Hj0 =

    d3k [(~k)a(~k)a(~k) j(~k)a(~k) j(~k)a(~k)]. (1.176)

  • 40 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    On obtient alors pour le symbole normal

    SN0 (a,+; a,) = exp

    [i

    +

    d

    d3k a(~k) exp (i(~k))j(,~k)

    + i

    +

    d

    d3k j(,~k) exp (i(~k))a(~k)

    +

    d

    +

    d d3k j(,~k) exp (i(~k)( ))( )j( , ~k)

    ]. (1.177)

    En dfinissant

    as(x) =1

    (2)3/2

    d3k2(~k)

    [a(~k) exp ikx+ a(~k) expikx], (1.178)

    avec a(~k) la condition initiale en t et a(~k) la condition finale en t +, les 2 premiers termesde lexponentielle se combinent en

    i

    d4xas(x)j(x). (1.179)

    Le dernier terme scrit

    d4x

    d4x

    d3k

    1

    (2)32(~k)exp (i(~k)(t t))(t t) exp i~k ~xj(x) expi~k ~xj(x)

    = 12

    d4x

    d4x j(x)j(x)

    d3k

    1

    (2)32(~k)[exp ik(x x)(t t) + exp ik(x x)(t t)]

    (1.180)

    En tenant compte de (1.16) et (1.18), on obtient

    SN0 (a,+; a,) = exp

    [i

    d4xas(x)j(x) +

    i

    2

    d4x

    d4x j(x)F (x x)j(x)

    ]. (1.181)

    Pour obtenir loprateur S0[j], on remplace as par et on prend lordre normal :

    S0[j] =: expi

    ~

    d4x (x)j(x) :

    Z0[j]

    Z0[0]. (1.182)

    Puisque

    (2 +m2) j(x)

    Z0[j]

    Z0[0]= (2 +m2) i

    ~

    d4xF (x x)j(x)

    Z0[j]

    Z0[0]=i

    ~j(x)

    Z0[j]

    Z0[0], (1.183)

    on peut crire

    S0[j] =: exp

    d4x (x)(2 +m2)

    j(x):Z0[j]

    Z0[0], (1.184)

    en sous-entendant que loprateur (2 +m2) j(x)

    nagit que sur le facteur Z0[j]Z0[0]

    .

  • 1.6. REPRSENTATION HOLOMORPHE 41

    De nouveau, sil y a une interaction I1[] on la traite de manire pertubative et on se ramne au rsultatque lon vient de calculer :

    U(a, t; a, t) = expi

    ~I1[

    ~i

    j]

    a(t)=aa(t)=a

    DaDa exp i~S Hj0, (1.185)

    SN = expi

    ~I1[

    ~i

    j]SN0 , (1.186)

    S[j] = expi

    ~I1[

    ~i

    j] : exp

    d4x (x)(2 +m2)

    j(x):Z0[j]

    Z0[0](1.187)

    =: exp

    d4x (x)(2 +m2)

    j(x):Z[j]

    Z0[0]. (1.188)

    Comme on la vu dans (1.122), le fait de diviser par Z[0] au lieu de Z0[0] enlve les parties du vide desdiagrammes, cette fois-ci au niveau de la matrice S. Cest ce quon fera dans la suite au prix de changerla dfinition de la (partie intressante de la) matrice S.

    Pour le noyau, on alors

    S(a,+; a,) = a,+|S|a, =

    = exp

    d3k a(~k)a(~k) exp

    d4xas(x)(2 +m2)

    j(x)

    Z[j]

    Z[0]. (1.189)

    Pour la thorie libre, I1[] = 0 = j, le rsultat se rduit

    S0(a,+; a,) = exp

    d3k a(~k)a(~k), (1.190)

    Puisque

    a,+| = +; 0| expd3k a(~k,+)a(~k) (1.191)

    |a, = expd3k a(~k)a(~k,)|0; (1.192)

    et a(~k, t) = a(~k)ei(~k)t, |0, t = ei(~k)t|0 pour la thorie libre, on peut vrifier explicitement ce rsultat envaluant a,+|a, dun ct et exp

    d3k a(~k)a(~k) de lautre, par exemple,

    0|0 = 1, (1.193)

    ~q|~p =

    a(~q)

    a(~p)S0(a

    ,+; a,)|a=0=a = 3(~q ~p). (1.194)

    Si on dcompose S = 1+ iT , le facteur expd3k a(~k)a(~k) correspond 1. La matrice de transition

    T contribue ds quun ensemble de particules interagissent et on a donc :

    a,+|iT |a, = expd4xas(x)(2 +m2)

    j(x)

    Z[j]

    Z[0]. (1.195)

  • 42 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    On a donc

    +; 0|i

    a(~qi,+)(iT )j

    a(~pj,)|0; =

    i

    a(~qi)

    j

    a(~pj)exp

    d4xas(x)(2 +m2)

    j(x)

    Z[j]

    Z[0]|a=0=a=j =

    i

    d4yi

    expiqiyi2(~qi)(2)3/2

    (2yi +m2)(i

    ~)j

    d4xj

    exp ipjxj2(~pj)(2)3/2

    (2xj +m2)(i

    ~)

    +; 0|T{

    i (yi)

    j (xj)}|0;+; 0|0;

    . (1.196)

    Comme

    a(pj,)|0; = Z12 a(pj, in)|0;, (1.197)

    +; 0|a(qi,+) = Z12 +; 0|a(qi, out), (1.198)

    on obtient

    +; 0|i

    a(~qi, out)(iT )j

    a(~pj, in)|0; =

    i

    d4yi

    expiqiyi2(~qi)(2)3/2Z

    12

    (2yi +m2)(i

    ~)j

    d4xj

    exp ipjxj2(~pj)(2)3/2Z

    12

    (2xj +m2)(i

    ~)

    +; 0|T{

    i (yi)

    j (xj)}|0;+; 0|0;

    . (1.199)

    Notons finalement que leffet de (2xj+m2) est damputer les propagateurs externes des diagrammesde Feynman car (2xj +m2)F (x, z) = 4(z).

  • 1.7. FERMIONS 43

    1.7 Fermionscf. [1], [3], [5], [8].

    1.7.1 Variables de GrassmannLors de la quantification canonique des fermions, des questions de stabilit et le dsir dune inter-

    prtation standard du tenseur dnerge-impulsion impliquent que les fermions sont quantifis laidedanti-commutateurs,

    l(x) =1

    (2)3/2

    d3p ul(~p)b

    (~p)eipx + vl(~p)d(~p)eipx,

    [b(~p), b(~q)]+ = ~3(~p ~q),[d(~p), d(~q)]+ = ~3(~p ~q),

    [l(x), m(y)]+ =(( +m)

    )lm(x y),

    (x) =

    d3p

    2p0(2)3(eipx eipx). (1.200)

    Pour pouvoir utiliser des arguments dintgrales de chemin, on veut reprsenter les oprateurs fermio-niques fondamentaux [b, b]+ = 1 sur un espace de fonctions analytiques, en analogie avec lintgrale dechemin dans la reprsentation holomorphe. Pour cela, il faut des variables classiques inhabituelles, lesvariables de Grassmann.

    Considrons des sries complexes en 2 variables , et dclarons

    + = 0, 2 = 0, ()2 = 0. (1.201)

    Une srie gnrale est de la forme

    f(, ) = f0 + f1 + f2 + f3

    , fi C. (1.202)

    Plus gnralement, on peut considrer n variables anticommutantes :

    + = 0. (1.203)

    La parit |f | dun monme f en est le nombre de variables anticommutantes modulo 2. La drive estdfinie par

    Lfg

    =Lf

    g + ()|f |f

    Lg

    ,

    L

    = ,

    L1

    = 0, (1.204)

    sur les monmes et tendue par linarit.Pour 2 variables complexes conjugues,

    Lf

    = 0 implique f = f0 + f2. Ce sont les fonctions ana-lytiques, comparer aux polynmes f(a) de la reprsentation holomorphe. Lespace de Fock associ un oscillateur fermionique [b, b]+ = 1 est dfini par

    |f = f0|0+ f1b|0, b|0 = 0, |1 = b|0, (1.205)b|1 = 0, 0|0 = 1 = 1|1, f |g = f 0 g0 + f 1 g1. (1.206)

    On peut reprsenter ce produit scalaire par une intgrale condition de dfinird = 1 =

    d,

    d1 = 0 =

    d1, (1.207)

  • 44 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    et en tendant par linarit. De plus, dd = dd, lintgrale agit comme une drivation etdd = 1. (1.208)

    Pour la fonction f() = f0 + f1, dfinissons f () = f 0 + f1 et

    f |g =ddf ()g() exp () (1.209)

    =

    dd(f 0 + f

    1 )(g0 + g1

    )(1 ) (1.210)

    =

    dd(f 0 g0 + f 1 g1) = f 0 g0 + f 1 g1. (1.211)

    Si | = exp b|0 = |0b|0 et | = 0| exp b = 0|0|b, alors b| = |, |b = |,|f = f() = f0 + f1, f | = f () = f 0 + f 1 . On a donc

    f |g =dd exp ()f ||g, (1.212)

    |b|f = 0|(1 + b)b(f0|0+ f1b)|0 = f0 = f(), (1.213)

    |b|f = 0|(1 + b)b(f0|0+ f1b)|0 = f1 =

    f(). (1.214)

    On a donc que b agit comme la multiplication par , tandis que b agit comme la drivation par rapport .

    Le projecteur sur le vide est donn par

    |00| =: exp (bb) := 1 bb. (1.215)

    En effet,

    |00|(f0|0+ f1b)|0 = f0|0, (1.216)(1 bb)(f0|0+ f1b)|0 = f0|0. (1.217)

    On a O =

    n,m=0,1 |nOnmm|, |0 = 1, |1 = , 0| = 1, 1| = . Le noyau de O dansla reprsentation holomorphe est

    O(, ) = |O| =n,m

    |nOnmm| =n,m

    ()nOnmm. (1.218)

    De plus,

    |O|f =dd exp ()O(, )f(), (1.219)

    |O1O2| =dd exp ()O1(, )O2(, ). (1.220)

    Le symbole normal est

    ON(, ) = exp ()O(, ). (1.221)

  • 1.7. FERMIONS 45

    En effet,

    O =n,m

    (b)n|0Onm0|bm =n,m

    (b)n : exp (bb) : bmOnm =n,m

    : (b)n exp (bb)bm : Onm, (1.222)

    ce qui donne le rsultat.

    part un facteur 2i dans le produit scalaire, toutes les formules ressemblent celles du cas boso-nique.

    Mais si on effectue un changement de variables,(

    )= A

    (

    ), (1.223)

    et on considre le polynme P (, ) = Q(, ) obtenu par substitution, le terme en provient deP12

    = P12(A11 + A12)(A21 + A22) et vaut P12(detA) Q12. Ceci impliqueddP (, ) = P12 = (detA)

    1Q12 = (detA)1ddQ(, ). (1.224)

    avec

    detA =()()

    . (1.225)Pour des variables ordinaires, cest le Jacobien du changement de coordonnes qui intervient,

    i

    dxif(x) =

    j

    dyjxy

    f(x(y)), (1.226)mais on voit que la dfinition de lintgration fermionique implique que pour ces variables, cest le Jaco-bien inverse qui intervient.

    1.7.2 Exercices1.7.2.1 Intgration gaussienne fermionique

    Dmontrer dn . . . d1 exp (mMmn

    n) = 2n2

    detM. (1.227)

    Indication : Une matrice antisymtrique se met sous la forme

    M =

    0 m1m1 0

    0 m2m2 0

    . . .

    (1.228)avec M = OTMO et detO = 1.

    Si

    Z(, ) =

    k

    dkdk exp (kAkll + kk + kk) (1.229)

    dmontrer

    Z(, ) = detA exp (k(A1)kll). (1.230)

    Indication : effectuer le changement de variables suivant : k = k + (A1)kll, k = k + l (A1)lk.

  • 46 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    1.7.2.2 Thorme de Wick fermionique

    Si

    detAi1j1 . . . injn

    i

    didii1j1 . . . injn exp (iAijj), (1.231)

    montrer

    i1j1 . . . injn =

    {1,...,n}

    ()(A1)i1j(1) . . . (A1)inj(n) , (1.232)

    o () est la signature de la permutation.Indication :

    detAi1j1 . . . injn =L

    i1L

    j1. . .

    L

    inL

    jnZ(, )

    =0=

    . (1.233)

    1.7.2.3 Fonction de partition pour un oscillateur fermionique

    Montrer que la fonction de partition dun oscillateur fermionique est donne par

    Z[] = 1 + e~ . (1.234)

    1.7.3 Oprateur dvolutionEn rptant largument du cas bosonique pour lintgrale fonctionnelle fermionique, on trouve pour le

    noyau de loprateur dvolution :

    U(, t; , t) =

    (t)=(t)=

    DD exp iS H [, ], (1.235)

    S H [, ] =

    tt

    d[ 1

    2i( ) h(, )

    ]+

    1

    2i

    ((t)(t) + (t)(t)

    ). (1.236)

    1.7.4 Propagateur fermioniquePour des fermions de Dirac,

    Z(, ) =

    DD exp i

    ~

    d4x(( +m) + + ). (1.237)

    On a donc A(x, y) = i~(x +m)

    4(x, y) et donc

    A(x) =i

    ~1

    (2)4

    d4p(ip +m) exp ipx, (1.238)

    A1(x) =~i

    1

    (2)4

    d4pip +mp2 +m2 i

    exp ip x ~iSF (x) . (1.239)

    De plus

    Z(, )

    Z(0, 0)= exp

    i

    ~

    d4x

    d4y(x)SF (x, y)(y), (1.240)

    ~iSF (x, y) = (

    ~i)2

    L

    (x)

    R

    (y)

    Z(, )

    Z(0, 0)=+; 0|T{(x)(y)}|0;

    +; 0|0;. (1.241)

  • 1.8. SYMTRIES ET IDENTITS DE WARD 47

    1.8 Symtries et identits de Wardcf. [6].

    1.8.1 Transformations finies

    Considrons les transformations suivantes :{x = x(x)

    i(x) = F i[(x)].(1.242)

    Par exemple, les transformations de Poincar sur les champs sont donnes par{x = x

    + a

    i(x) = L1ij()

    j(x),(1.243)

    avec Lij() une reprsentation matricielle du groupe de Lorentz. Autrement dit, si g = (, a) est unlment du groupe de Poincar, on a

    g1g2 = (12,1a2 + a1), g1 = (1,1a). (1.244)

    et

    g i(x) = L1ij()j(g1x). (1.245)

    Ces transformations forment une reprsentation (en gnral rductible) du groupe de Poincar :

    g1 (g2 i(x)) = g1 (L1ij(2)

    j(g12 x)) =

    = L1ij(2)L

    1jk(1)

    k(g12 g11 x) = (g1g2) i(x). (1.246)

    En particulier, pour le champ scalaire, vectoriel ou spinoriel, on a

    (x) = (x), (1.247)A(x

    ) = A(x), (1.248)

    (x) = S1()(x). (1.249)

    Les dilatations sont dfinies par

    x = x, i(x) = (i)

    i(x), (1.250)

    avec (i) la dimension canonique du champs, les parenthses voulant dire quil ny a pas de sommation.Supposons une action du type

    S[] =

    dnxL(x, i,

    i

    x). (1.251)

    Une transformation est une symtrie si laction reste invariante,

    S[] = S[]. (1.252)

  • 48 CHAPITRE 1. INTGRALES DE CHEMIN

    On a

    S[] =

    dnxL(x, i(x),

    xi(x)) =

    dnx L(x, i(x),

    xi(x)) =

    =

    dnx |x

    x|L(x(x), F i[(x)],

    x

    x

    xF i[(x)]

    ).

    Explicitement, la condition de symtrie est satisfaite si 2

    |x

    x|L(x(x), F i[(x)],

    x

    x

    xF i[(x)]) = L(x, i,

    xi). (1.253)

    Par exemple, pour les transformations de Poincar avec L+, on a |x

    x| = 1. Les translations sont donc

    une symtrie de laction si le Lagrangian ne dpend pas explicitement de x. Cest ce que lon supposeratoujours dans la suite. Les Lagrangiens standard

    L = 12

    12m22 g

    k!k, (1.254)

    L = ( +m), (1.255)

    L = 14FF

    , (1.256)

    sont invariants de Lorentz car S()S1() = 1 , S() = S1() et T = .Pour les dilatations, on a |x

    x| = n. Un Lagrangian (indpendant de x) est donc invariant par dila-

    tation si tous les termes ont la dimension n. Commex

    x

    x= 1

    x, la dimension canonique dune

    drive est 1. Si m = 0, le terme cintique du champ scalaire est invariant si = n22

    (= 1 pour n = 4). quatre dimenions, linteraction 4 prserve linvariance, pour n = 6, le Lagrangien est invariant sik = 3.

    Le Lagrangien de Dirac est invariant si m = 0 et = n12 (=32

    pour n = 4), tandis que leLagrangian lectromagntique est invariant pour A =

    n22

    (= 1 pour n = 4).

    1.8.2 Transformations infinitsimalesPour des transformations infinitsimales, on a{

    x = x + (x),i(x) = i(x) + f i(x)

    , (1.257)

    ce qui donne

    i(x) i(x) i(x) = (f i(x) i(x)), (1.258)

    i =

    i. (1.259)

    On dit que la thorie est invariante si

    S = 0. (1.260)

    Si les champs dcroissent suffisamment vite linfini, cest quivalent L =