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Chapitre 24 Sciences Physiques - BTS

Thermodynamique des gaz parfaits

1 Le modèle du gaz parfait

1.1 Définition

On appelle gaz parfait un ensemble de molécules sans interaction entre elles en dehors des chocs

élastiques. Les molécules ne s’attirent ou ne se repoussent pas, elles ne font que se cogner les unes

aux autres.

Les gaz parfaits ne constituent en fait qu’un modèle qui constitue bien souvent une approximation

acceptable. D’autres modèles sont possibles dont le plus connu est celui de Van der Waals.

1.2 Equation d’état des gaz parfaits

La constante des gaz parfaits a pour valeur :

1.3 Masse volumique et densité des gaz parfaits

: pression du gaz [Pa]

: volume du gaz [m3]

: quantité de matière du gaz [mol]

: constante des gaz parfaits [J.mol.K-1]

: température absolue [K]

: masse volumique [kg.m3]

: masse molaire [kg.mol-1]

: pression du gaz [Pa]

: constante des gaz parfaits [J.mol.K-1]

: température absolue [K]

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La masse molaire moyenne de l’air vaut 29 g.mol-1

On en déduit la formule :

2 Mélanges de gaz parfaits

2.1 Définition d’un mélange idéal

Un mélange de gaz parfait est dit idéal quand toutes les particules (qu’elles soient identiques ou non)

ne subissent que des chocs élastiques et aucune autre interaction. La pression totale d’un mélange

ne dépend alors pas de la nature des gaz présents, mais uniquement de la quantité totale de matière.

2.2 Fraction molaire du constituant d’un mélange

Quantité de matière totale dans le mélange :

Fraction molaire de chaque constituant :

2.3 Pression partielle d’un constituant

2.4 Masse molaire moyenne d’un mélange

La masse molaire moyenne d’un mélange est définie par :

2.5 Masse volumique et densité d’un mélange

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3 Propriétés thermoélastiques des gaz parfaits

3.1 Transformation isochore : loi de Charles

L’échauffement (ou refroidissement) à volume constant d’une quantité de matière fixe d’un gaz

parfait permet d’écrire :

Une autre formulation de cette loi peut être utile :

3.2 Transformation isobare : loi de Gay-Lussac

L’échauffement (ou refroidissement) à pression constante d’une quantité fixe d’un gaz parfait

permet d’écrire :

Une autre formulation de cette loi peut être utile :

3.3 Transformation isotherme : loi de Mariotte

Une autre formulation de cette loi peut être utile :

3.4 Transformation adiabatique : loi de Laplace

Lorsqu’une transformation est adiabatique et réversible, il existe une relation entre deux

paramètres :

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3.5 Coefficient de dilatation des gaz

3.6 Coordonnées de Clapeyron

Les coordonnées de Clapeyron permettent de représenter les transformations réversibles. Cette

transformation utilise le volume en abscisse et la pression en ordonnée

3.6.1 Transformations isothermes réversibles

3.6.2 Transformations isochores réversibles

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3.6.3 Transformations isobares réversibles

3.6.4 Transformations adiabatiques réversible

Le tracé de quelques isotherme superposées à la courbe précédente montre que les adiabatiques

décroissent plus rapidement que les isothermes.

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4 1er Principe de la thermodynamique pour les gaz parfaits

4.1 Energie interne

Remarque : La variation d’énergie interne pour un gaz parfait ne dépend que de la

quantité de matière et de l’écart de température entre l’état initial et final.

Rappel : L’énergie interne est un terme « forfaitaire » comptabilisant l’ensemble des

énergies microscopiques

4.2 Relation de Mayer

On peut démontrer les relations suivantes :

4.3 Enthalpie

Rappel : La fonction enthalpie permet de simplifier le calcul des échanges d’énergie

pour les transformations isobares. Cette fonction ne comptabilise pas les échanges d’énergie

dus au travail des forces de pression (conséquence de la variation de volume)

: variation d’énergie interne *J+

: capacité thermique molaire à volume

constant [J.mol-1.K-1]

: capacité thermique massique à volume

constant [J.mol-1.K-1]

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5 Expression du travail des forces de pression

5.1 Représentation en coordonnées de Clapeyron

5.2 Transformation isochore

Expression générale du travail des forces de pression

Dans le cas d’une transformation isochore : dV =0 donc W = 0

W désigne l’énergie reçue par l’extérieur sous forme de travail des forces de pression *J+

5.3 Transformation isobare

: énergie reçue par l’extérieur sous forme de

travail des forces de pression [J]

: variation de volume [m3]

: pression constante à laquelle se réalise la

transformation [Pa]

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5.4 Transformation isotherme réversible

Ainsi :

5.5 Transformation adiabatique réversible

On peut démontrer que :

6 Energie échangée par transfert thermique

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7 Exemple de machine à cycle : la pompe à chaleur

Une pompe à chaleur est une machine thermique dans laquelle le fluide qui subit une transformation

cyclique est du fréon R12 (CF2Cl2)

Description du cycle :

Le fluide caloporteur sort à l’état gazeux du serpentin de l’évaporateur E situé à l’extérieur.

(Pression PF et température TF de la source froide) – étape notée 6. Il a reçu de l’énergie

thermique QF.

Il passe dans le compresseur qui le comprime à la pression PC . Cette compression rapide est

isentropique (adiabatique) : le fréon s’échauffe – étape notée 2. Le compresseur a amené un

travail W.

Le fréon arrive dans le serpentin du condenseur C situé à l’intérieur de l’habitation. Le gaz se

refroidit jusqu’à la température TC de la source chaude et se liquéfie sous la pression PC. –

étape notée 3.

Il passe dans une vanne de détente qui le ramène à la pression PD. La détente est

adiabatique.

A l’arrivée dans le serpentin de l’évaporateur E, le fluide se vaporise sous la pression PD et à

la température TF de la source froide.

Bilan énergétique :

Le fluide reçoit le travail W du compresseur

Le fluide cède à la source chaude la chaleur QC dans le condenseur où il se liquéfie

Le fluide reçoit de la source froide la chaleur QF dans l’évaporateur pour se vaporiser

Rendement :

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Chapitre 23 Sciences Physiques - BTS

Exercices

Exercice 1

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Exercice 2 Etude d’une machine frigorifique

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Exercice 3 : Détente isotherme d’un gaz parfait

1 m3 d’air (supposé gaz parfait), à la pression p1 = 10 atmosphères, subit une détente, à température

constante ; la pression finale est p2 = 1 atmosphère.

Déterminer le travail échangé par le gaz avec le milieu extérieur, au cours de cette détente, ainsi que

la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur. On rappelle que 1atm = 105 N/m²

Exercice 4 : Compression adiabatique d’un gaz parfait

Un récipient, fermé par un piston mobile, renferme 2g d’hélium (gaz parfait, monoatomique) dans

les conditions (p1, v1). On amène le gaz dans les conditions (p2, v2). On donne p1 = 1 atm, v1 = 10L et

p2 = 3 atm.

1. Déterminer :

2. Le volume final v2 ;

3. Le travail reçu par le gaz ;

4. La variation d’énergie interne du gaz ;

5. En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T1.

Exercice 5 : Equation de la statique des fluides

Deux vases A1 et A2 de sections S1 = 50 cm² et S2 = 10 cm², dont les bases sont dans un même plan

horizontal, communiquent par un tube fin de volume négligeable, muni d’un robinet R initialement

fermé. On verse un litre de mercure dans A1 et 0.5 litre de mercure dans A2.

Déterminer les déplacements x1 et x2 des deux niveaux de mercure lorsqu’on ouvre le robinet.