Therond - These

N dordre : 76-2007 Anne 2007

THESE

prsente

devant lUniversit Claude Bernard Lyon 1

pour lobtention

du DIPLOME DE DOCTORAT

(arrt du 7 aot 2006)

prsente

par

Pierre-Emmanuel THROND

Mesure et gestion des risques d'assurance : analyse critique des futurs rfrentiels prudentiel et d'information financire

Directeur de thse : Professeur Jean-Claude AUGROS Soutenue publiquement le 25 juin 2007, devant le jury compos de : Jean-Claude AUGROS (Professeur, Universit Claude Bernard Lyon 1) Franois EWALD (Professeur, Conservatoire National des Arts et Mtiers) Hans GERBER (Professeur, Universit de Lausanne-HEC), Rapporteur Jean-Paul LAURENT (Professeur, Universit Claude Bernard Lyon 1) Etienne MARCEAU (Professeur, Universit Laval), Rapporteur Frdric PLANCHET (Professeur associ, Universit Claude Bernard Lyon 1)

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Sommaire

Sommaire........................................................................................................... 1

INTRODUCTION GNRALE................................................................................ 3

PARTIE I NOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET FINANCIRE DES RISQUES EN ASSURANCE......................................................... 9

Chapitre 1 Traitement spcifique du risque : aspects thoriques .............. 13 1. Les outils mathmatiques de lanalyse des risques ................................ 13 2. Un traitement diffrenci du risque ....................................................... 29 3. Contrats en units de compte : les garanties plancher............................ 36 4. Conclusion ............................................................................................. 42 Bibliographie ............................................................................................... 44

Chapitre 2 Traitement spcifique du risque : aspects pratiques ................ 47 1. De nouveaux rfrentiels distincts ......................................................... 47 2. Des incidences oprationnelles .............................................................. 52 3. Cas pratique : portefeuille dassurance vie ............................................ 64 Bibliographie ............................................................................................... 70

Chapitre 3 Incidence sur la gestion technique dun assureur..................... 71 1. Modlisation de la socit dassurance.................................................. 72 2. Critre de maximisation des fonds propres conomiques ...................... 73 3. Recherche de lallocation optimale........................................................ 77 4. Conclusion ............................................................................................. 88 Annexe A : Dmonstration des rsultats mathmatiques............................. 91 Annexe B : Simulation des ralisations de la charge de sinistres................. 93 Bibliographie ............................................................................................... 94

PARTIE II MODLISATIONS AVANCES EN ASSURANCE ................................ 95

Chapitre 4 Limites oprationnelles : la prise en compte des extrmes ...... 97 1. Calcul de VaR en assurance................................................................... 99 2. Notations.............................................................................................. 101 3. Estimation de quantiles extrmes......................................................... 102 4. Application du bootstrap...................................................................... 105 5. Robustesse du SCR.............................................................................. 111 6. Conclusion ........................................................................................... 117

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Annexe A : Loi de Pareto gnralise (GPD) ............................................ 118 Annexe B : Rsultats probabilistes ............................................................ 121 Annexe C : Estimation du paramtre de queue .......................................... 125 Bibliographie ............................................................................................. 129

Chapitre 5 Prise en compte de la dpendance............................................ 133 1. Analyse mathmatique de la dpendance ............................................ 134 2. Rappels sur la dpendance linaire ...................................................... 143 3. La thorie des copules.......................................................................... 145 4. Rachat de contrats dpargne : un modle ad hoc................................ 161 5. Capital de solvabilit : les mthodes dagrgation............................... 165 Bibliographie ............................................................................................. 168

Chapitre 6 Techniques de simulation.......................................................... 171 1. Introduction.......................................................................................... 171 2. Discrtisation de processus continus.................................................... 172 3. Estimation des paramtres ................................................................... 180 4. Gnration des trajectoires................................................................... 185 5. Simulation de la mortalit dun portefeuille dassurs......................... 193 6. Conclusion ........................................................................................... 197 Annexe : Tests dadquation une loi ....................................................... 198 Bibliographie ............................................................................................. 200

CONCLUSION GNRALE ............................................................................... 201

Annexe Solvabilit 2 - les modles proposs par QIS 3 ............................ 205 1. Modles dvaluation : lapproche standard .......................................... 206 2. Provisions techniques en assurance vie.................................................. 209 3. Provisions techniques en assurance non-vie .......................................... 210 4. Capital ligible....................................................................................... 210 5. Capital de solvabilit (SCR) : formule standard .................................... 211

BIBLIOGRAPHIE GNRALE........................................................................... 217

Notations utilises ......................................................................................... 225

Table des illustrations .................................................................................. 227

Table des matires ........................................................................................ 229

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INTRODUCTION GNRALE

Les prmices de lassurance moderne Les premiers dispositifs dassurance modernes remontent au XIVe sicle et

concernent lassurance maritime. Le commerce maritime stait jusqualors dvelopp grce aux prts la grosse aventure qui consistaient, pour larmateur, emprunter une somme dargent gage sur la valeur des marchandises qui devaient tre expdies par del les mers. En cas darrive bon port, lemprunteur remboursait cette somme majore dun intrt trs lev venant en contrepartie du risque des voyages maritimes puisque, si la cargaison tait perdue, ni lintrt, ni le capital ntaient rembourss.

Cette opration ntait pas proprement parler une opration dassurance mais plutt une opration de crdit dans laquelle le prteur porte le risque de la perte du capital. Le fait que lintrt stipul soit fix arbitrairement sans relle considration au risque effectivement encouru a conduit au dveloppement dune activit spculative sur ce type de contrats. Aussi, le recours au prt la grosse aventure a pratiquement disparu suite linterdiction de la pratique de lusure par lglise catholique en 1234. Il a alors fallu trouver un autre moyen de financer ces expditions qui participaient au dveloppement du commerce et de lconomie. Cest ainsi que nat la convention dassurance sous sa forme moderne : des banquiers acceptent de garantir la valeur du bateau et de sa cargaison (le capital sous risque) en cas de naufrage du navire (le risque) contre le paiement dune somme fixe (la prime). Le dveloppement de ce type de contrat connat un rel succs compte tenu, notamment, des consquences de la survenance des risques de la mer sur la solvabilit des armateurs.

Le deuxime type dassurance connatre un essor considrable est lassurance incendie. Le dbut de son dveloppement est gnralement associ au gigantesque incendie qui frappa Londres au XVIIe sicle. En effet, le 2 septembre 1666, un feu se dclare dans Londres et ravage les quatre cinquimes de la ville en une semaine. Le bilan1 est de 13 200 maisons et 87 glises dtruites dont la cathdrale Saint-Paul. Le cot de la reconstruction est considrable, aussi ltat britannique encourage la cration de socits dassurance pour couvrir ce risque dans le futur.

Les facteurs du dveloppement de lassurance Ces deux exemples historiques illustrent parfaitement les deux axes qui ont

conduit ces derniers sicles au dveloppement de lassurance. Le premier est celui du dveloppement conomique : des projets de grande

envergure comportent un grand nombre de risques diffrents dont la survenance dun seul de ces risques peut mettre en pril lintgralit de lentreprise. Les oprations dassurance, en transfrant le risque de lassur vers lassureur, permettent denvisager de telles initiatives qui seraient impossibles sinon. Cest ainsi que des projets qui ntaient concevables auparavant que par les tats du

1. Cf. Ewald et Lorenzi (1998) pour les donnes chiffres sur lincendie de 1666.

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fait de leur capacit lever limpt et de la solvabilit que cela leur procure, ont pu, au fur et mesure du dveloppement de lactivit dassurance, tre envisags par des socits prives qui, par dfinition, disposent de ressources limites.

Par exemple, la construction du viaduc de Millau (400 M) a t intgralement finance par la Compagnie Eiffage du viaduc de Millau et ralise par des socits du groupe Eiffage en change dune concession de lexploitation pour une dure de 75 ans. Cest donc cette socit de droit priv qui supporte les risques inhrents la construction. Une socit prive ne peut envisager de supporter le cot dun tel difice sans la mise en place de dispositifs dassurance ad hoc.

On peut trouver dautres exemples dans des domaines tels que lenvoi de satellites spatiaux, initialement rserv des usages militaires et scientifiques, qui est maintenant largement ouvert aux socits de communication.

Le second axe de dveloppement est celui de la scurisation financire de la socit en gnral et de lindividu en particulier. Lorsque les autorits britanniques favorisent le dveloppement des socits dassurance aprs lincendie de Londres de 1666, cela permet aux londoniens davoir la possibilit de se prmunir de ce risque qui pouvait emporter la totalit de leur richesse. De ce point de vue, le contrat dassurance ouvre une option lindividu ou la compagnie : celle de ne pas subir le risque comme une fatalit. Loffre dassurance met donc lagent conomique, quel quil soit, devant sa responsabilit en lui offrant une issue lui permettant dchapper, non pas la survenance du risque, mais ses consquences financires.

Dans certains cas, le processus de scurisation de la socit va plus loin, puisque ltat a t amen imposer lobligation dassurance dans un certain nombre de cas : responsabilit civile professionnelle, responsabilit civile du conducteur, assurance maladie ou retraite pour les salaris, etc. Le caractre obligatoire de ces assurances vise protger les assurs (pour les assurances de personnes obligatoires) et les individus qui ils seraient susceptibles de causer des dommages (assurances de responsabilit).

Un rle croissant dans lconomie Sous limpulsion des deux facteurs prcdemment voqus, le march de

lassurance connat un dveloppement continu depuis ses prmices. En France, le dveloppement de lassurance savre initialement plus lent

quen Angleterre. Pour preuve, en 1681, lordonnance de Colbert sur les activits lies la mer est muette en matire dassurance. De plus, la mme anne, les oprations dassurance vie sont prohibes car juges immorales. Dans le mme temps, la premire table de mortalit construite sur de relles bases scientifiques voit le jour en 1690, en Angleterre. Cette date marque le dbut de lassurance vie. Cependant, en France, ce nest quen 1787, quun arrt du Conseil dtat autorise la cration dune Compagnie royale des assurances sur la vie. Autorisation de courte dure, puisque six ans plus tard, les entreprises dassurances sont supprimes par la rvolution car considres comme spculatives. Il faudra attendre la restauration pour voir la renaissance des socits dassurance.

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Introduction gnrale 5

La deuxime partie du XIXe et le XXe sicles voient lexpansion de la diversit de loffre en assurance : de plus en plus de risques sont concerns. Ainsi, le montant des capitaux assurs par les socits franaises dassurance vie progresse, en moyenne, de 35 % par an entre 1907 et 1913 (cf. le rapport du Snat de Lambert (1998)).

Si le montant des capitaux assurs progresse, cest galement le cas des provisions techniques que doivent constituer les assureurs du fait de linversion de leur cycle de production. En effet, les assureurs percevant les primes avant de rgler les prestations, ils doivent constituer des rserves de manire tre capable de payer les sinistres en leur temps. Ces provisions sont investies sur les marchs financiers de manire dgager des produits financiers.

Le niveau de ces encours est un indicateur du dveloppement de lactivit dassurance. Ainsi entre 1976 et 1995, ils ont augment de 17,8 % en moyenne par an (cf. Ewald et Lorenzi (1998)). la fin de lanne 2005, la valeur2 des actifs grs par les assureurs slve 1 285 milliards deuros. Cette somme est investie, pour moiti, dans des obligations ou des actions dentreprises industrielles et commerciales. Ainsi lassurance est de facto un acteur majeur du dveloppement conomique en cela quil participe fortement au financement des projets industriels et commerciaux. Le secteur de lassurance est galement un crancier des tats puisque 36 % de leur actif est constitu dobligations dtat. Le reste tant investi en immobilier et en montaire.

Un contrle spcifique En vertu de leur rle essentiel dans la scurisation financire des individus

comme des socits, les compagnies dassurance font lobjet dune attention particulire des pouvoirs publics avec pour objectif de prserver lintrt des assurs, des souscripteurs et des bnficiaires de contrats. Le contrle des assurances se dveloppe partir des annes 30 dans un souci de protection des assurs en vue de parer des situations telles que celle de la caisse Lafarge mise en place la fin du XVIIIe sicle et qui sest termine en 1888. Cette affaire symbolise tout ce quil ne faut pas faire en assurance : mauvaise information des assurs qui, au surplus, ne comprennent pas les mcanismes en jeu, utilisation dhypothses actuarielles (mortalit) extravagantes, opportunits darbitrages des assurs, malversations suspectes des crateurs de la tontine et affres de la rvolution

La veille prudentielle de ltat sur les oprations dassurance sorganise en deux niveaux.

Le premier niveau dintervention du lgislateur est celui des contrats. En effet, le Code des assurances oblige les assureurs inscrire dans les contrats des clauses de protection des assurs (telles que les clauses de rachat de contrat, de renonciation, etc.) et impose un formalisme cens procurer lassur une bonne visibilit des droits contractuels dont il bnficie.

Le deuxime niveau relve du contrle de la solidit financire des assureurs et donc de leur capacit honorer leurs engagements. Le droit

2. Valeur estime par la Fdration Franaise des Socits dAssurances (FFSA) dans son rapport annuel.

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national et la transposition des directives europennes a conduit la situation actuelle dans laquelle la solvabilit des entreprises dassurance est apprcie annuellement par lautorit de contrle3 au moyen de ses comptes sociaux, dtats rglementaires spcifiques et de divers rapports (rapport de rassurance, rapport de solvabilit, etc.).

Il est dailleurs intressant de noter que les actuelles rgles de solvabilit se sont enrichies dans le temps avec lvolution de la gestion des risques et notamment la prise en compte rcente de certains risques4 pesant sur les assureurs. Aussi le systme de solvabilit sest construit en empilant des nouvelles contraintes au fur et mesure de lidentification de nouveaux risques (cf. Thrond (2005)). Cest ainsi que sont apparus rcemment de nouveaux tats rglementaires tels que :

les tats trimestriels T3 de suivi actif-passif ; le test dexigibilit (tat C6bis) qui permet dapprcier la solidit de

lentreprise des scnarios adverses dactifs (chute des marchs boursiers et immobilier, hausse des taux dintrt) et de passifs (triplement des rachats, sur-sinistralit, etc.) ;

les stress-tests sur les dispositifs de rassurance (tats C8 et C9). De nouveaux enjeux

Aujourdhui, le secteur de lassurance est confront une triple mutation : prudentielle avec lavnement du futur cadre prudentiel europen qui

rsultera du projet Solvabilit 2 ; du reporting financier avec le recours de plus en plus massif aux

mthodes dEuropean Embedded Value de valorisation de compagnie dassurance ;

comptable avec la prparation de la phase II de la norme internationale IFRS consacre aux contrats dassurance.

Dans ce contexte, les assureurs sont invits, pour chacun de ces trois aspects, mieux identifier, mesurer et grer les risques auxquels ils sont soumis.

Ces trois rfrentiels sinscrivent dans une mme logique duniformisation internationale ( tout le moins communautaire) et de transparence. Pour cela, la rfrence au march est omniprsente : ds que cest possible, cest en rfrence au march que les engagements dassurance doivent tre valoriss. En particulier, les risques financiers doivent tre traits de la mme manire que des instruments financiers qui seraient cots sur un march financier liquide. Ce principe nest pas sans poser des problmes conceptuels et oprationnels.

Pour sen convaincre, il suffit de considrer un simple contrat dassurance vie de type pargne. Ces contrats prsentent le plus souvent des taux garantis (taux minimum garanti, taux technique ou taux annuel garanti) et 3. LAutorit de Contrle des Assurances et des Mutuelles (ACAM). 4. La plupart de ces risques ne sont pas proprement parler nouveaux : cest gnralement laugmentation de la vraisemblance de leur survenance et lvolution des outils techniques qui a entran leur prise en compte.

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une clause de participation aux bnfices techniques et financiers (clause rglementaire du Code des assurances ou contractuellement plus favorable pour lassur). Ainsi, chaque fin danne, le montant de lpargne accumule est revaloris des intrts techniques et de la participation aux bnfices. Dans les faits, la participation aux bnfices accorde aux assurs savre souvent suprieure la clause rglementaire ou contractuelle. Par ailleurs, la plupart des nouveaux contrats ne disposent plus de taux technique ou de taux minimum garanti sur la dure du contrat mais plutt des taux garantis annuellement en fonction des performances de lanne coule. Or pour ces contrats, lengagement de taux est relativement faible et la PB discrtionnaire constitue une grande partie de la revalorisation. La revalorisation provient donc, en grand partie de la dcision de lassureur. Cette dcision intervient de deux manires :

dans le pilotage du rendement financier de la compagnie, dans le choix du niveau de revalorisation des contrats.

La latitude mentionne au premier point rside dans le fait que les clauses de participation aux bnfices font rfrence au rendement comptable des actifs en reprsentation des engagements5. Ainsi un contrat pourra prvoir que les assurs bnficieront dau moins 95 % des bnfices financiers. Si cette rgle semble constituer un minimum objectif, lassureur dispose dune marge de manuvre dans la constitution du rendement qui sert dassiette ce calcul. En effet, du fait du mode de comptabilisation des actifs financiers (la rgle gnrale tant le cot historique dans la rglementation franaise), un assureur qui dispose de titres en plus ou moins-values latentes peut dcider, par exemple, de vendre des titres en plus-values latentes, pour doper son rendement ou, au contraire, de les conserver comme matelas de scurit pour des temps plus difficiles.

Concernant le deuxime point, de manire discrtionnaire6, lassureur peut revaloriser davantage lpargne pour certains produits que pour dautres, en favorisant, par exemple, les plus rentables de manire conserver ces contrats. De plus, les assurs bnficient du droit de racheter leur contrat nimporte quel moment moyennant une pnalit de rachat qui ne peut pas tre suprieure 5 % de la valeur de lpargne.

On voit donc que, pour un contrat aussi simple que celui prsent et dont on aurait pu dire, a priori, quil sagissait uniquement dun produit driv sur lactif de lassureur, le dnouement du contrat et lvolution de lpargne va non seulement dpendre de celle des rendements financiers mais galement du comportement de lassureur (revalorisation notamment) et de lassur (rachat). Par ailleurs, on se rend rapidement compte que comportements des assurs et de lassureur ne sont pas indpendants : si lassureur ne revalorise pas suffisamment lpargne, il risque de voir les assurs racheter leurs contrats et ne pas en souscrire dautres. De plus, en pratique, on observe des comportements que lon pourrait juger irrationnels : rachats de contrats avec des taux garantis plus levs que les taux actuels de march (en vue de financer un emprunt par 5. Le plus souvent lactif gnral de la compagnie et dans certains cas des actifs cantonns. 6. Lassureur est tenu de revaloriser lpargne selon un minimum contractuel mais cela ne constitue quun minimum, il peut leur accorder une revalorisation plus favorable.

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exemple), par exemple. Aussi lassimilation, des fins de valorisation, dune option de rachat sur un contrat dpargne en euros une option financire caractre europen nest pas vidente puisque, de facto, les assurs ne se comportent pas comme des investisseurs sur un march financier liquide.

Les comportements observs peuvent tre rapprochs, pour leur aspect irrationnel, de la prospect theory ou thorie des perspectives (1979) de Kahneman7 et Tversky qui repose sur lobservation de comportements asymtriques des individus selon quils viennent de subir un gain ou une perte. En effet, aprs des gains, les personnes ont tendance consolider leurs gains en vendant leurs actifs financiers par exemple de manire matrialiser le gain et se prmunir contre une baisse. Alors quaprs une perte, surtout si elle est consquente, la tendance est surinvestir dans des placements risqus, puisquil ny a plus rien perdre de manire conserver une probabilit de se refaire .

Ainsi les mthodes dinspiration financire, prnes par les nouveaux rfrentiels, se heurtent parfois la ralit des observations. En effet, ces mthodes ont t labores dans des contextes o les instruments que lon cherche valoriser sont des drivs de titres cots dont lvolution du cours est indpendante du comportement des parties prenantes. En assurance, la situation est diffrente. Ces mthodes de valorisation ncessitent donc la modlisation du comportement des assurs et de lassureur. Or ceux-ci ont des comportements parfois diffrents de ceux dinvestisseurs sur un march financier.

Organisation de la thse Lobjectif de cette thse est de prsenter les principes communs sur lesquels

reposent les trois nouveaux rfrentiels, dillustrer la limite de leur application en assurance et de proposer des modles pour leur mise en uvre effective.

Pour cela, la premire partie est consacre la prsentation des nouveaux rfrentiels prudentiel, comptable et de communication financire et insiste plus particulirement sur la manire dont les risques sont valoriss et lincidence de ces principes dvaluation en termes de gestion dune compagnie dassurance.

La seconde partie aborde ces nouvelles normes sous un angle plus oprationnel en identifiant un certain nombre de problmes pratiques auxquels leur mise en uvre confronte lactuaire et en proposant des modles permettant de surmonter ces difficults.

7. Kahneman reut le prix Nobel dconomie en 2002 pour ses travaux en finance comportementale.

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PARTIE I NOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET FINANCIRE DES RISQUES EN ASSURANCE

La premire partie de cette thse est ddie aux risques ports par les socits dassurance, leurs caractristiques et leur traitement. En effet, lactivit dassurance est ne du besoin de se prmunir contre le risque (les agents conomiques sont gnralement averses aux risques qui peuvent rduire leur patrimoine), ce que permet lopration dassurance en transfrant les risques de lassur vers lassureur qui, en vertu de la loi des grands nombres, bnficie de les effets de la mutualisation et est donc relativement moins expos au risque que lassur.

Les volutions rcentes ou venir amnent les assureurs reconsidrer, au moins pour partie, leur vision des risques quils assurent. Ainsi, quil sagisse des nouvelles dispositions rglementaires (Solvabilit 2), de communication financire (EEV/MCEV) ou comptables (IFRS), lobjectif est similaire : identifier les risques et les analyser le plus finement possible.

Le passage dun systme o les hypothses sont exognes et prudentes, car contraintes par la rglementation, un systme o les hypothses les plus ralistes doivent tre privilgies conduit prendre en considration de nouveaux risques . Ces risques ne sont gnralement pas proprement parler nouveaux : la plupart du temps, ils existaient dj mais navaient pas t soit tudis plus avant du fait de leur caractre secondaire par rapport aux risques principaux, soit identifis. Par exemple, dans le cas du risque de mortalit, un assureur qui veut tudier ce risque va, dans un premier temps, considrer son portefeuille et lhistorique des donnes correspondant de manire tablir des statistiques descriptives de suivi du risque. Sur des portefeuilles dassureurs, compte-tenu de la taille des chantillons, de telles tudes mettront en vidence le phnomne de fluctuation dchantillonnage autour de la tendance centrale qui est le risque principal, mais certainement pas les risques systmatiques de mortalit (mortalit stochastique et risque de longvit) qui savrent relativement plus petits (cf. Planchet et Thrond (2007a) pour une tude du risque de mortalit sur un portefeuille de rentiers). Ces deux risques ne pourront tre identifis que par des tudes plus pousses, en tudiant par exemple, en parallle les statistiques nationales de lvolution au cours du temps de la mortalit.

Cette partie sorganise en trois chapitres.

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Le premier chapitre sintresse aux aspects thoriques du traitement du risque. Aprs une premire partie consacre lanalyse mathmatique des risques (leur mesure et leur comparaison), nous verrons, dans un deuxime temps, que diffrents modles de valorisation co-existent en assurance et que le recours aux modles conomiques issus de la thorie financire est de plus en plus frquent. Il convient nanmoins de remarquer quassocier une valeur un risque et le grer de manire effective relvent de deux dmarches distinctes. Ce point est illustr dans le cas dune garantie plancher en cas de dcs de lassur sur un contrat dpargne en units de compte.

Le deuxime chapitre sattache identifier les divergences entre les diffrentiels prcdemment voqus de manire en tirer les conclusions adquates en termes oprationnels. En effet, mme sils reposent sur un socle de principes communs, la diversit des finalits des rfrentiels conduit des options diffrentes dans la modlisation des produits dassurance.

En particulier, un des principes fondamentaux commun aux trois approches est lutilisation dhypothses best estimate, i.e. le recours aux hypothses les plus ralistes compte-tenu de linformation dont dispose lassureur. Ce point est fondamental car il diffre du contexte traditionnel de lassurance qui repose sur des hypothses prudentes. Par exemple, le taux dactualisation dun rgime de rentiers ne doit pas, selon la rglementation franaise, tre suprieur 60 % du taux moyen des emprunts de ltat franais (TME) quand bien mme une socit dassurance investirait intgralement en OAT disposerait dun rendement (certain) suprieur ce taux dactualisation. titre illustratif, une attention particulire est porte sur lvolution rcente des tables de mortalit pour les risques viagers. Cet exemple montre que sur une priode de temps relativement rduite, lestimation de lvolution de tel ou tel phnomne (lesprance rsiduelle de vie 60 ans pour un assur n en 1950 par exemple) peut tre rvise en profondeur et avoir un impact important sur les niveaux de provisions techniques. De plus dans certains cas, un mme phnomne sera modlis sur des bases diffrentes selon que lon cherche valoriser un portefeuille de contrats ou assurer sa solvabilit.

Par ailleurs, la valorisation des portefeuilles dassurance ncessite frquemment la modlisation du comportement de lassureur et des assurs, particulirement en assurance vie. Aussi les modles implments ont de rels impacts sur les valorisations obtenues. Un exemple dans le cas de la gestion dun portefeuille financier vient illustrer cela.

Enfin ce chapitre se conclut sur la modlisation et la valorisation dun portefeuille dassurance vie.

Les exigences quantitatives prvues dans le Pilier I de Solvabilit 2 prvoient notamment des exigences de fonds propres en rfrence au risque global support par lassureur. Cette dmarche impose des contraintes fortes en termes de gestion technique. Le troisime chapitre met ainsi en vidence les consquences du changement de rfrentiel prudentiel sur la gestion des actifs de la socit. Le projet Solvabilit 2 fixant les exigences quantitatives de fonds propres en fonction du risque global support par la compagnie, nimporte quel acte de gestion modifiant la structure ou la forme de ce risque a pour consquence automatique et immdiate de modifier lexigence minimale de

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Nouvelles approches comptable, prudentielle et financire des risques 11

capitaux propres. Nous tudierons cela dans le cas du choix dune allocation stratgique dactifs et observons notamment la manire dont le processus de fixation de lallocation volue entre la rglementation prudentielle actuelle et Solvabilit 2.

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Chapitre 1 Traitement spcifique du risque : aspects thoriques

Lactivit dassurance repose sur le concept de transfert de risque : moyennant une prime, lassur se protge dun ala financier. Mesurer le risque assur savre donc invitable puisque cette information est ncessaire dans le cadre de la tarification pour dterminer les chargements de scurit ajouter la prime pure et dans une approche de solvabilit pour dterminer le niveau des rserves et des fonds propres dont doit disposer lassureur pour tre solvable.

En effet, bien que bnficiant de leffet de mutualisation, lassureur ne peut se contenter de demander la prime pure des risques quil assure. Ce pour une raison vidente : la mutualisation ne saurait tre parfaite et ds lors ne demander que la prime pure reviendrait ce que, en moyenne, la socit dassurance soit en perte prs dun exercice sur deux1.

Le niveau de fonds propres vient ensuite comme un matelas de scurit destin amortir une sinistralit excessive mais aussi des placements risqus.

Le but de ce chapitre est, dans un premier temps, de prsenter les outils permettant de comparer les risques et dapprcier leur dangerosit, puis danalyser le traitement du risque qui est effectu selon que lon suit une dmarche financire de valorisation ou une dmarche assurantielle de contrle et de gestion du risque.

Ces concepts sont illustrs dans le cas dune garantie plancher en cas de dcs adosse un contrat dassurance vie en units de compte.

1. Les outils mathmatiques de lanalyse des risques Ce premier paragraphe a pour objectif de rsumer en quelques pages les

outils mathmatiques usuels de mesure et de comparaisons des risques. Une attention particulire est porte aux caractristiques particulires que lon peut attendre des mesures de risque pour pouvoir tre utilises des fins de solvabilit et de mesure de capitaux conomiques.

1.1. Les mesures de risque Aprs avoir dfini ce quest une mesure de risque, nous rappelons les

principales proprits quelles doivent respectes pour tre juges satisfaisantes puis faisons un rapide tout dhorizon des mesures de risque les plus utilises.

1. Daprs le thorme de la limite centrale le dbours moyen de lassureur converge avec le nombre de polices vers une variable gaussienne et donc symtrique.

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1.1.1. Dfinition et proprits

Nous reprenons ici la dfinition dune mesure de risque telle quelle est formalise dans Denuit et Charpentier (2004).

Dfinition 1. Mesure de risque On appelle mesure de risque toute application associant un risque X un rel ( ) { } RX + + . En particulier, cette dfinition nous permet dtablir que lorsquils existent,

lesprance, la variance ou lcart-type sont des mesures de risque. Si un grand nombre dapplications rpondent la dfinition de mesure de

risque, pour tre juge satisfaisante il est souvent exig dune mesure de risque davoir certaines proprits dont les plus frquentes sont rappeles infra.

1.1.1.1 Chargement de scurit

La notion de chargement de scurit est troitement lie celle de tarification : un principe de prime contient un chargement de scurit sil conduit exiger une prime suprieure celle qui est exige si la mutualisation des risques est parfaite (cf. Partrat et Besson (2005)).

Dfinition 2. Chargement de scurit Une mesure de risque contient un chargement de scurit si pour tout risque X, on a ( ) [ ] EX X . Nous verrons dans la suite quune Tail-Value-at-Risk (TVaR), lorsquelle

existe, contient un chargement de scurit ce qui nest pas le cas dune Value-at-Risk (VaR).

1.1.1.2 Mesure de risque cohrente

La dfinition dune mesure de risque est trs gnrale puisque toute fonctionnelle relle positive dune variable alatoire peut tre considre comme tant une mesure de risque. Aussi, en pratique, on exige de telles mesures quelles disposent de proprits mathmatiques dont la transcription conceptuelle permette de les jauger. En pratique, on exige frquemment quune mesure de risque possde une partie des caractristiques suivantes :

Invariance par translation : ( ) ( ) cXcX +=+ pour toute constante c.

Sous-additivit : ( ) ( ) ( )YXYX ++ quels que soient les risques X et Y.

Homognit : ( ) ( )XcXc = pour toute constante positive c. Monotonie : [ ] ( ) ( )Pr 1 X Y X Y< = quels que soient les

risques X et Y. Ces caractristiques trouvent une interprtation naturelle dans la situation

o la mesure de risque doit permettre de dfinir un capital de solvabilit dune socit dassurance.

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Ainsi la sous-additivit reprsente leffet de la diversification : une socit qui couvre deux risques ne ncessite pas davantage de capitaux que la somme de ceux obtenus pour deux entits distinctes se partageant ces deux risques.

La monotonie traduit quant elle le fait que si le montant rsultat dun risque est systmatiquement (au sens presque sr) infrieur celui rsultant dun autre risque, le capital ncessaire couvrir le premier risque ne saurait tre suprieur celui ncessaire pour couvrir le second.

Lassociation de ces quatre axiomes a donn naissance au concept de cohrence dune mesure de risque dans Artzner et al. (1999).

Dfinition 3. Mesure de risque cohrente Une mesure de risque invariante par translation, sous-additive, homogne et monotone est dite cohrente. Cette notion de cohrence nest toutefois pas ce que lon attend a minima

dune mesure de risque. Ainsi certaines mesures de risque parmi les plus exploites actuellement ne le sont pas. Cest notamment le cas de la Value-at-Risk (VaR) ou encore de la variance.

1.1.1.3 Mesure de risque comonotone additive

Rappelons quun vecteur alatoire ( )21 XX ; , de fonctions de rpartition marginales 21 FF , , est un vecteur comonotone sil existe une variable alatoire U de loi uniforme sur [ ]10; telle que ( )21 XX ; a la mme loi que

( ) ( )( )UFUF 1211 ; . Dfinition 4. Mesure de risque comonotone

On appelle mesure de risque comonotone additive toute mesure de risque telle que : ( ) ( ) ( )2121 XXXX +=+ pour tout vecteur comonotone ( )21 XX ; . Une mesure de risque comonotone additive intgre donc le fait que deux

risques comonotones ne se mutualisent pas. Pour une mesure utilise pour dterminer un capital de solvabilit, cette proprit est souhaitable puisque, ds que le risque U se produit, les risques X1 et X2 se produisent galement avec une ampleur croissante avec celle de U.

1.1.2. Mesures de risque usuelles

Lobjet de ce paragraphe est de prsenter les mesures de risque les plus usuelles. On sattardera particulirement sur la Value-at-Risk et la Tail-Value-at-Risk dont lutilisation en assurance va tre prennise par le futur systme de solvabilit europen (Solvabilit 2) puisquelles seront la base de la dtermination du niveau prudentiel des provisions techniques et du besoin en fonds propres : le capital cible ou Solvency Capital Requirement (SCR).

1.1.2.1 Lcart-type et la variance

Ce sont les premires mesures de risque avoir t utilises ; on les retrouve notamment dans le critre de Markowitz (moyenne-variance) qui sert

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de socle aux premires thories dvaluation des actifs (MEDAF). Toutefois ce critre nest pas bien adapt lactivit dassurance, notamment parce quil est symtrique et pnalise autant les bonnes variations que les mauvaises .

1.1.2.2 La Value-at-Risk (VaR)

La notion de Value-at-Risk ou valeur ajuste au risque sest originellement dveloppe dans les milieux financiers avant dtre largement reprise dans les problmatiques assurantielles. Elle est notamment la mesure de risque sur laquelle repose le nouveau rfrentiel prudentiel Solvabilit 2. De plus, elle est voque dans les travaux de lIAS Board comme une des mesure envisageables pour le calibrage des marges pour risque des provisions techniques.

Dfinition 5. Value-at-Risk (VaR) La Value-at-Risk (VaR) de niveau associe au risque X est donne par :

( ) [ ]{ }, Inf Pr VaR X x X x= . On notera que ( ) ( ) 1= XFXVaR , o 1XF dsigne la fonction quantile de

la loi de X. Rappelons que, dans le cas gnral, la fonction quantile est la pseudo-inverse de la fonction de rpartition, soit

( ) ( ){ }1 inf |XF p x F x p = . Cette mesure de risque a le mrite de reposer sur un concept simple et

facilement explicable : ( ),VaR X est le montant qui permettra de couvrir le montant de sinistres engendr par le risque X avec une probabilit . Ce concept est directement li celui de probabilit de ruine puisque si une socit, disposant dun montant de ressources gal ( ),VaR X , assure un unique risque X, sa probabilit de ruine est gale 1 .

Comme voqu prcdemment, la VaR nest pas cohrente car elle nest pas sous-additive.

Ce rsultat peut se dmontrer laide dun contre-exemple. Soit X et Y deux variables alatoires indpendantes de lois de Pareto de paramtres (2 ; 1) et (2 ; 2), alors

] [ 0;1 , ( ) ( ) ( )XVaRXVaRYXVaR +>+ , comme lillustre la Figure 1.

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Figure 1 - Value-at-Risk de la somme de deux v.a. de Pareto

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4

6

8

10

12

0% 20% 40% 60% 80% 100%Ordre de la VaR

VaR(X+Y) VaR(X)+VaR(Y)

Rappelons quune variable alatoire X de loi de Pareto ( );Par a pour

fonction de rpartition

1

+= xxFX )( si 0>x , et 0=)(xFX sinon. Sa

fonction quantile se calcule facilement et vaut :

( ) ( ) 1 1 1 1XF p p = . Les Value-at-Risk ont un certain nombre de bonnes proprits

mathmatiques parmi lesquelles le fait que pour toute fonction g croissante et continue gauche, on a : ( )( ) ( )( )XVaRgXgVaR = .

Il dcoule de cette proprit en prenant 1 11 2g F F = + et X U= , que les

VaR sont comonotones additives puisque pour tout ] [10 ; , on a ( )( )( ) ( ) ( )( )UVaRFFUFFVaR 12111211 +=+ . 1.1.2.3 La Tail-Value-at-Risk (TVaR)

Initialement prsente dans les travaux de la Commission Europenne comme une des deux alternatives possibles (avec la Value-at-Risk) comme critre de fixation de lexigence de capitaux propres dans Solvabilit 2, la Tail Value-at-Risk a rencontr beaucoup de partisans parmi les techniciens arguant du fait que linformation sur la probabilit de ruine fournie par la VaR nest pas suffisante mais quil faut aussi en connatre son ampleur. Nanmoins elle na finalement pas eu les faveurs du CEIOPS (cf. lannexe ddie QIS 3) notamment du fait de sa difficult de mise en uvre : esprance sur les valeurs extrmes dune distribution que lon nobserve pas directement la plupart du temps (cf. le Chapitre 4).

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Dfinition 6. Tail Value-at-Risk (TVaR) La Tail Value-at-Risk de niveau associe au risque X est donne par :

( ) ( ) =1

11

1 dppFXTVaR X, .

On remarque que la TVaR peut sexprimer en fonction de la VaR :

( ) ( ) ( )( )1, , E ,1

TVaR X VaR X X VaR X+ = + .

Il vient de cette rcriture que pour tout ] [10 ; , ( ) [ ] ETVaR X X< + < + . Par ailleurs, le deuxime terme du membre de

droite reprsente la perte moyenne au-del de la VaR, la TVaR est donc trs sensible la forme de la queue de distribution. Proprits : Une Tail Value-at-Risk :

est cohrente ; inclut un chargement de scurit ; est comonotone additive.

Les deux derniers points rsultent : pour le chargement de scurit, du fait que pour tout 0 ,

( ) ( ) [ ]; ;0 ETVaR X TVaR X X = ; pour la proprit dadditivit pour des risques comonotones, du fait

que la TVaR est une somme de VaR qui sont elles-mmes comonotones additives.

Dfinition 7. Expected Shortfall (ES) Lexpected shortfall de niveau de probabilit est la perte moyenne au-del de la VaR au niveau , i. e.

( ) ( )( ) E ,ES X X VaR X + = . On peut remarquer que si X reprsente la charge brute de sinistres, ( )XES

est le montant de la prime Stop-Loss dont la rtention pour lassureur est la VaR au niveau . Dfinition 8. Conditionnal Tail Expectation (CTE)

La Conditionnal Tail Expectation de niveau est le montant de la perte moyenne sachant que celle-ci dpasse la VaR au niveau , i. e.

( ) ( ), E VaR ,CTE X X X X = > . Cette dfinition est trs proche de celle de la Tail-Value-at-Risk et en

particulier, ces deux mesures concident lorsque la fonction de rpartition XF du risque X est continue.

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Remarquons que si la TVaR est comonotone additive, ce nest, en gnral, pas le cas de la CTE (cf. Dhaene, Vanduffel et al. (2004) pour un contre-exemple).

1.1.2.4 Mesures de risque de Wang

Les mesures de risque de Wang (2002) utilisent loprateur esprance sur des transformations de la distribution de la variable alatoire dintrt. Lide est en effet dalourdir la queue de la distribution de la variable dintrt afin dengendrer un chargement par rapport la prime pure. Cette transformation de la fonction de rpartition sera effectue laide dune fonction de distorsion.

Rappelons quune fonction de distorsion est une fonction non dcroissante [ ] [ ]1010 ;;: g telle que 00 =)(g et 11 =)(g . Dfinition 9. Mesure de risque de Wang

On appelle mesure de risque de Wang issue de la fonction de distorsion g,

la mesure g dfinie par : ( ) [ ]( )0

Prg X g X x dx

= > . On remarque que toute mesure de Wang peut scrire comme somme de

VaR, i. e.

( ) ( ) ( )1 10

dgXVaRXg = , . En effet, si lon note [ ]( ) 1 PrXF x X x= , on a ( ) ( )0( ) ()XF xXg F x dg= puisque ( ) 00 =g donc ( ) { } ( ) =

0

1

0 dxdgX xFg X )(1 . On dduit du

thorme de Fubini que :

( ) { } ( ) ( ) == 10

11

0 0 1 dgFdgdxX XxFg X )(1 )( .

Dfinition 10. Wang-Transform (WT) On appelle Wang-Transform (WT) la mesure de risque de Wang issue de la fonction de distorsion ( ) ( ) ( )1 1 g x x = . Certaines mesures de risque usuelles telles que la VaR ou la TVaR sont des

mesures de risque de Wang, le tableau ci-dessous reprend les fonctions de distorsion correspondantes.

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Tableau 1 - Fonctions de distorsion associes quelques mesures de risque

Mesure de risque Paramtre Fonction de distorsion

Value-at-Risk VaR ( ) [ ] ( );g x x+= 1 Tail-Value-at-Risk TVaR ( ) ( )min /(1 );1g x x= Mesure de risque

PH PH ( ) 1 /xxg = Wang-transform WT ( ) ( ) ( )1 1 g x x =

Figure 2 - Quelques fonctions de distorsion

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0,25

0,50

0,75

1,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

VaR (75%) TVaR (75%) PH (2) WT (0,25)

Les mesures de risque de Wang sont homognes, invariantes par translation et monotones. Une mesure de Wang nest en revanche sous-additive que si, et seulement si, la fonction de distorsion dont elle est issue est concave.

Ainsi une mesure de Wang est cohrente si, et seulement si, la fonction de distorsion correspondante est concave. En effet, si g est une fonction de distorsion concave, Xg FD est continue droite et est donc la fonction de queue dune variable alatoire. Ainsi ( )g X est lesprance mathmatique de la variable alatoire de fonction de queue Xg FD .

Enfin comme une mesure de Wang peut scrire sous la forme dune somme de VaR qui sont comonotones additives, elle est elle-mme additive pour des risques comonotones.

La dmarche des mesures de distorsion est rapprocher de celle de la valorisation de drivs financiers (cf. le paragraphe 2.2) : on dtermine une esprance sur une dformation de la distribution de la variable dintrt. Dans lapproche financire, la transformation se dduit des prix observs sur le

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march : le choix de lun oprateur de distorsion ne revient pas lactuaire, il lui est impos par le march.

1.1.2.5 Mesure de risque dEsscher

La mesure de risque dEsscher consiste mesurer le risque comme tant la prime pure, i. e. lesprance de la transforme dEsscher du risque initial.

Dfinition 11. Mesure de risque dEsscher On appelle mesure dEsscher de paramtre 0>h du risque X, la mesure de risque donne par :

( ) [ ] [ ]E

; ln EE

hXhX

hX

X e dEs X h e

dhe

= = .

La mesure de risque dEsscher nest pas cohrente car elle nest ni homogne, ni monotone. En revanche, elle contient un chargement de scurit puisque ( )hXEs ; est une fonction croissante en h et ( ) [ ];0 EEs X X= . 1.1.3. Choix dune mesure de risque pour dterminer un capital conomique

Les travaux en cours sur Solvabilit 2 voquent lutilisation de mesures de risque dans la dtermination du capital cible ncessaire une socit dassurance pour prenniser son activit. Ce capital cible sera dtermin en rfrence une mesure de risque applique au risque global support par la socit. Ce risque global sera modlis partir dune formule commune toutes les compagnies dassurance europenne ou partir dun modle interne. Les mesures de risque les plus souvent cites sont la Value-at-Risk et la Tail-Value-at-Risk. Un des principaux arguments en faveur de la TVaR est notamment le fait quelle soit sous-additive, ce qui est assez intuitif sagissant dune mesure de risque destine calculer un capital de solvabilit.

Nanmoins les travaux rcents de Dhaene, Laeven et al. (2004) montrent que la proprit de sous-additivit est parfois trop forte. En effet considrons deux risques X1 et X2, et la mesure de risque associe la dtermination du capital rglementaire. Si est trop sous-additive, on peut se retrouver dans une situation o

( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 1 2 2E E E X X X X X X X X+ + + + + > + . Cette ingalit signifie que lampleur de la ruine moyenne dune socit

pratiquant les risques X1 et X2 et disposant dun capital de niveau ( )21 XX + est plus importante que la somme de lampleur de la ruine moyenne de deux socits de capitaux respectifs ( )1 X et ( )2 X couvrant respectivement les risques X1 et X2. Dhaene, Laeven et al. (2004) illustrent cette ingalit lorsque la mesure de risque considre est la TVaR, en prenant deux risques indpendants de loi de Bernoulli de mme paramtre.

Dans le cadre du choix de la mesure de risque permettant de dterminer le capital cible (au sens de Solvabilit 2), ils proposent donc de ne retenir que les

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mesures de risque qui respectent la condition du rgulateur, savoir les mesures de risques telles que pour fix dans ] [10; et pour tous risques X1 et X2, lingalit suivante soit vrifie :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ){ }21 2 1 2 1 21

E E i i ii

X X X X X X X X X++

=+ + + + + .

Notons que peut sinterprter comme le cot de limmobilisation du capital, puisque, le deuxime terme du premier membre de lingalit prcdente peut sinterprter comme le flux destination de lactionnaire de manire le rmunrer du capital ( )1 2 X X+ quil prte la socit. A partir de cette condition, ils dmontrent les trois proprits suivantes.

Soit ] [10 ; . La condition du rgulateur en rfrence au niveau est satisfaite :

pour les pTVaR telles que 1 >p , pour la 1VaR , pour toute mesure de risque sous-additive telle que ( ) ( )1 ,XVaRX .

En conclusion, ils dmontrent enfin que la VaR de niveau 1 est la mesure de risque respectant la condition du rgulateur qui conduit au plus petit niveau de capital.

1.1.4. Value-at-Risk

La Value at Risk (VaR) tend devenir un indicateur de risque largement utilis tant par les tablissements financiers que par les compagnies dassurance car elle permet dapprhender le risque global dans une unit de mesure commune tous les risques encourus, quelle que soit leur nature.

Lobjectif de cette section est de fournir une prsentation plus intuitive de la notion de VaR que la formalisation mathmatique directe prsente supra. Pour simplifier la prsentation, on se place dans le contexte dun portefeuille financier.

Pour un horizon de gestion donn, la VaR correspond au montant de perte probable du portefeuille. Elle exprime la perte lie des variations dfavorables. Si lon note le seuil de confiance choisi, la VaR vrifie donc lquation suivante :

[ ]Pr perte 1 VaR> = . Afin de calculer la VaR, il est essentiel de spcifier la priode sur laquelle la

variation de valeur du portefeuille est mesure et le seuil de confiance 1 . Il existe en pratique trois mthodes de calcul de la VaR. Notons ds

prsent que les deux premires mthodes utilisent les donnes du pass pour estimer les variations potentielles de la valeur du portefeuille. Cela suppose implicitement que le futur se comporte comme le pass : il faut donc faire lhypothse que la srie temporelle des valeurs du portefeuille est stationnaire.

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1.1.4.1 Les diffrentes approches

La VaR analytique Dans ce modle, la valeur algbrique dun portefeuille est reprsente par

une combinaison linaire de K facteurs gaussiens. Notons ( )tP la valeur du portefeuille en t, ( )tF le vecteur gaussien des facteurs et a le vecteur des sensibilits aux facteurs, de dimension K.

Supposons que ( ) ( ),F t m V N . A la date t, la valeur du portefeuille est )(')( tFatP = .

En t, )( 1+tP est une variable alatoire gaussienne de loi ( ), a m a Va N . La valeur de la VaR pour un seuil de confiance x correspond alors :

( ) ( )( )Pr 1 P t P t VaR+ = . La diffrence ( ) ( )1P t P t+ reprsente la variation de valeur du

portefeuille entre linstant 1+t et linstant t. On est donc en prsence dune perte si la valeur ralise du portefeuille dans une priode est infrieure sa valeur daujourdhui.

Comme )( 1+tP est une variable alatoire gaussienne de moyenne ma' et de variance Vaa' , nous avons alors lquation suivante :

( ) ( )11 'Pr 1 '

P t a ma Va

+ = ,

o 1 est linverse de la fonction de rpartition dune gaussienne centre et rduite.

Comme ( ) ( )1 11 = , nous obtenons alors que ( )1+= VaamatPVaR '')( .

Lorsque les facteurs F modlisent directement la variation du portefeuille, et comme nous supposons en gnral que 0=m , nous obtenons alors

( )1= VaaVaR ' . La VaR apparat alors proportionnelle lcart type de la variation de valeur

du portefeuille. Cette mthode analytique repose sur trois hypothses qui permettent de

simplifier les calculs : lindpendance temporelle des variations de la valeur du portefeuille, la normalit des facteurs de risque )(tF et la relation linaire entre les facteurs de risque et la valeur du portefeuille.

La principale difficult de cette mthode est didentifier les facteurs et destimer la matrice de covariance. Cette mthode analytique ne prend en compte que des relations linaires entre les facteurs de risque et la valeur du portefeuille.

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La VaR historique Contrairement la VaR analytique, la VaR historique est entirement base

sur les variations historiques des facteurs de risque. Supposons que nous disposions dun historique de taille N. En 0t nous pouvons valoriser le portefeuille avec les facteurs de risque de lhistorique en calculant pour chaque date ( )0 01, ,t t t N= une valeur potentielle du portefeuille. On dtermine ainsi N variations potentielles. Ainsi, partir de lhistorique, nous construisons ainsi une distribution empirique de laquelle il est possible dextraire le quantile %. Pour cela, il faut ranger les N pertes potentielles par ordre croissant et prendre la valeur absolue de la ( )1 N -me plus petite valeur. Lorsque ( )1 N nest pas un nombre entier, on calcule la VaR par interpolation linaire.

En gnral, la VaR historique nimpose pas dhypothses sur la loi des facteurs de risque la diffrence de la mthode analytique. Mais il est tout de mme ncessaire davoir un modle sous-jacent pour estimer les facteurs de risque pour lhistorique de longueur N. Cette mthode est trs utilise dans la pratique car elle est simple conceptuellement et est facile implmenter. Cependant, elle prsente quelques difficults : en effet, lestimation dun quantile demande beaucoup dobservations, condition rarement ralise en pratique en assurance. Cest particulirement le cas lorsquil sagit destimer des valeurs dans la queue dune distribution. Le Chapitre 4 sintresse ces problmatiques, dans lesquelles, le recours la thorie des extrmes permet de disposer destimateurs performants compars aux estimateurs empiriques.

La VaR alatoire (ou VaR Monte-Carlo) La VaR Monte Carlo est base sur la simulation des facteurs de risque dont

on se donne la distribution. Cette mthode consiste valoriser le portefeuille en appliquant ces facteurs simuls. Il suffit alors de calculer le quantile correspondant tout comme pour la mthode de la VaR historique. La seule diffrence entre ces deux mthodes est que la VaR historique utilise les facteurs passs, alors que la VaR Monte Carlo utilise les facteurs simuls.

Il faut cependant noter que cette demande beaucoup de temps de calcul. De plus, elle demande un effort important de modlisation puisquelle dtermine entirement les trajectoires des facteurs de march utiliss pour le calcul de la VaR.

1.1.4.2 Les difficults dadaptation de la VaR lassurance

La VaR est lorigine un modle bancaire, et son adaptation lassurance pose certaines difficults. En effet, il existe, dans les contrats dassurance, des options caches qui font apparatre des problmes de fluctuations des encours et donc de la valeur sur laquelle on calcule la VaR. De plus, les dures de vie des contrats dassurance sont beaucoup plus longues que celles des contrats bancaires, ce qui amne reconsidrer la question de lhorizon de calcul de la VaR.

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La valeur sur laquelle on calcule la VaR Alors quun portefeuille bancaire possde une valeur de march facile

calculer, il est simple de calculer la valeur de lactif dun produit dassurance (on peut prendre la valeur boursire des actifs dtenus) mais il est souvent plus difficile de calculer la valeur de son passif. En effet, il nexiste pas de march o cette valeur soit change (malgr lapparition de certains produits drivs et les tentatives de titrisation de certains risques). Lune des difficults dans la valorisation du passif rside en particulier dans la valorisation des options caches.

En effet, une caractristique importante du risque en assurance-vie est la prsence doptions incluses dans les contrats : option de rachat, de versements (pour les anciens contrats dont le taux est garanti vie), et risque darbitrage pour les contrats multi-supports :

Loption de rachat : le client qui a souscrit un contrat dassurance vie a le droit de le rsilier avant terme. Dans ce cas, si son retrait se fait aprs le seuil fiscal, il nencourt en gnral aucune pnalit et il rcupre le montant investi additionn des intrts capitaliss. Comme cest seulement aprs un certain nombre dannes courues que le contrat devient rentable pour lassureur, les rachats anticips sont trs coteux pour ce dernier, et ce dautant plus si le rachat intervient dans un contexte de hausse des taux, obligeant lassureur vendre des actifs en situation de moins-value.

Le risque darbitrage pour les contrats multi-supports : le client peut transfrer une partie de sa provision mathmatique vers des supports en unit de compte. Cela est prjudiciable lassureur car ce dernier ne sait pas quand ces transferts vont avoir lieu et donc quand ses engagements vont changer.

Loption de versement : le dtenteur dun contrat dassurance vie est autoris verser de largent quand il le dsire sur son contrat. Si le contrat est ancien, il se peut quil garantisse un taux anormalement lev par rapport au taux du march. Dans ce cas, il est coteux pour lassureur de tenir ses engagements.

On pourrait rsumer le problme en disant que la banque calcule un risque sur un montant fixe dargent plac (systme ferm) tandis que dans lassurance, le montant plac nest pas fig : il faut tenir compte des entres et des sorties (systme ouvert). Autrement dit, dans la banque il ny a pas de problmes de fluctuations des encours alors quen assurance, la bonne gestion de cet aspect est primordiale.

Lhorizon de calcul de la VaR Le risque en assurance nest pas court terme mais plutt un horizon de

quelques annes. En effet, en assurance-vie, le cycle de production est long. La dure avant rachat dun contrat est en gnral au minimum gale 8 ans puisque cest seulement au-del de ce dlai que lassur peut reprendre ses intrts sans tre soumis la fiscalit. De plus, en assurance-vie, les obligations mises en reprsentation des contrats du passif ont en gnral une chance

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lointaine. Si les taux baissent, les assureurs peuvent continuer servir des taux qui ne sont plus accessibles sur le march obligataire, parce quils possdent dans leur portefeuille des obligations anciennes de taux suprieurs aux taux du march. Cependant, ils doivent renouveler leur portefeuille car les obligations arrivent maturit, et pour cela ils ont accs des taux moins levs. Par consquent, lorsquils nauront plus dobligations anciennes dans leurs portefeuille, ils proposeront des produits dpargne moins attractifs. Il y a donc une inertie des taux servis par les assureurs qui fait que si le march varie trop vite, ils ne pourront pas sy adapter et les clients rachteront leurs contrats. Mais le risque nest pas court terme, au contraire de la banque, o un portefeuille dactifs est immdiatement (quotidiennement) sensible aux variations des cours.

1.2. Comparaison des risques Lobjet de ce paragraphe est de prsenter des outils permettant de classer les

risques selon leur dangerosit .

1.2.1. Relation associe une mesure de risque

Dans le paragraphe 1, nous avons tudi un certain nombre de mesures de risque. Une ide naturelle pour comparer deux risques X et Y est de choisir une mesure de risque et de comparer ( )X et ( )Y , ce que lon peut toujours faire puisque R est ordonn par la relation dordre totale . Cette dmarche nous permet dintroduire la relation dfinie comme suit.

YX si ( ) ( )YX La relation issue de la mesure de risque est rflexive et transitive. De

plus il est toujours possible de comparer par deux lois de probabilit ou deux variables alatoires. N.B. Cette relation nest pas une relation dordre car elle nest pas antisymtrique. En effet, avoir simultanment ( ) ( )YX et ( ) ( )YX nimplique pas que dX Y= (et a fortiori que YX = ).

Le principal mrite de ce type de relation est quil est toujours possible de comparer deux risques. Il faut nanmoins rester prudent car lon peut avoir simultanment YX et YX '; pour deux mesures de risque et diffrentes. Cest pour cette raison que lon prfrera se tourner vers des ordres partiels qui permettent de disposer de davantage de proprits.

1.2.2. Ordre stochastique

Dfinition 12. Dominance stochastique On dit que X domine selon lordre stochastique Y ( )XY st si pour toute fonction de distorsion g, on a : ( ) ( )XY gg .

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Cette notion est quivalente celle de comparaison uniforme des VaR puisque toute mesure de risque de Wang peut scrire comme somme de VaR (cf. le paragraphe 1.1.2.4) :

( ) ( )( ) ( ) [ ]

pour toute fonction de distorsion Var , Var , 0;1 .

st g gX Y X Y gX Y

La relation st est un ordre partiel sur lensemble des lois de probabilits. Lordre stochastique ne permet pas de comparer toutes les variables

alatoires. En effet, il est possible davoir simultanment :

( ) ( )Var , Var ,X Y , et

( ) ( )Var , Var ,X Y> . Pour sen convaincre, une simple exprience Bernoulli peut tre envisage.

Considrons les deux variables alatoires : [ ][ ]

0 0, 23 0,8

P XP X

= = = = et [ ][ ]

1 0,52 0,5

P YP Y

= = = =

On a ( ) ( )Var ;0,1 Var ;0,1X Y et ( ) ( )Var ;0, 4 Var ;0, 4X Y> . En revanche, on a lquivalence suivante (pour autant que les esprances

existent) :

( ) ( )E EstX Y X Y pour toute fonction croissante. En particulier, on a limplication :

[ ] [ ]E EstX Y X Y , qui signifie intuitivement que le risque X est plus petit que le risque Y. Cette consquence explique le fait que lon parle de dominance stochastique au premier ordre pour dsigner la relation st .

1.2.3. Ordre convexe

Dfinition 13. Ordre convexe croissant On dit que X est moins dangereux que Y sur la base de lordre convexe croissant ( )icx et lon note YX icx si, pour toute fonction de distorsion g concave, on a : ( ) ( )YX gg . Cette notion est quivalente celle de comparaison uniforme des TVaR,

puisque :

( ) ( )( ) ( ) [ ]

pour toute fonction de distorsion concaveTVar , TVar , pour tout 0;1 .

icx g gX Y X Y gX Y

On supposera dans la suite que les risques ont des primes pures finies ce qui garantit lexistence des TVaR. Cette relation est galement connue sous les

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noms de dominance stochastique du deuxime ordre, dordre Stop-Loss et dordre sur les TVaR.

Dfinition 14. Ordre convexe On dira que le risque X est moins dangereux que le risque Y de mme prime pure au sens de lordre convexe ( )cx , sil est moins dangereux au sens de lordre convexe croissant, i. e. si cx icxX Y X Y et [ ] [ ]E EX Y= . Pour toute fonction convexe croissante et pour autant que les variances

existent, on a : ( ) ( )E E cxX Y X Y . En particulier pour 2 xx 6: pour 0x , on a :

[ ] [ ]Var VarcxX Y X Y pour autant que les variances existent. Intuitivement cette proprit signifie que si YX cx , le risque X est moins variable que le risque Y.

Lordre convexe permet de comparer des variables alatoires de mme esprance, ce que ne permettait pas lordre stochastique puisque

[ ] [ ] et E Est loiX Y X Y X Y= = . Proposition 1. Thorme de sparation

On a lquivalence : ZYX icx tel que YZX cxst .

Le thorme de sparation permet dtablir que si X est moins dangereux que Y selon lordre convexe croissant, X est la fois plus petit ( )st et moins variable ( )cx que Y. 1.2.4. Bornes comonotones dune somme de variables alatoires

Lordre convexe nous permet de disposer de bornes pour une somme de variables alatoires.

Proposition 2. Bornes comonotones dune somme de variables alatoires Pour tout vecteur ( )nXXX ,,1= et pour toute variable alatoire , on a les ingalits : ( )1

1 1 1E

i

n n n

i cx i cx Xi i i

X X F U= = =

, o U est une variable alatoire de loi uniforme sur [ ]10; . Ce rsultat est dmontr dans Kaas et al. (2000). Le majorant de cette double ingalit est appel la contrepartie comonotone

du vecteur X. En effet ces deux vecteurs ont les mmes marginales mais le vecteur ( )11

1=

nXXc FFX ,, est comonotone.

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Grce aux proprits de lordre convexe, cette majoration nous permet de disposer dun maximum pour les primes Stop-Loss de la somme de risques

=ni iX1 . Concernant la minorant, lorsque cest possible, on choisira de manire ce que ( )1E , , El nX X X = soit un vecteur comonotone ce qui permettra parfois dexpliciter analytiquement

1En ii X= . On

trouvera dans Dhaene, Vanduffel et al. (2004) une procdure pour dterminer de manire ce que lX soit comonotone lorsque les marginales de X sont log-normales.

De plus, lorsque lon valuera le risque associ =ni iX1 par une mesure de risque de distorsion, on disposera dun encadrement dont les bornes seront simples dterminer puisque les mesures de risque de distorsion sont comonotones additives (cf. le sous-paragraphe 1.1.2.4).

2. Un traitement diffrenci du risque Bien que participant dun mme mouvement de rationalisation et

dhomognisation, les trois rfrentiels en volution (valorisation conomique : embedded value, comptabilits : normes IFRS et contrle prudentiel : Solvabilit 2) narrivent pas converger compltement sur le traitement qui doit tre fait du risque. En effet, si ces trois approches saccordent sur le fait que les entreprises dassurance doivent utiliser la meilleure information disponible et, en particulier, les donnes de march ds que cest possible, les objectifs poursuivis sont diffrents et conduisent des approches distinctes de traitement du risque.

En effet, si lapproche prudentielle vise dterminer des niveaux de provisions techniques et de fonds propres minimaux qui doivent permettre la compagnie de supporter le risque, les approches de valorisation conomique et comptable ont un objectif similaire, celui de donner une valeur un portefeuille de contrats ou une entreprise. Ces deux dmarches sont trs diffrentes.

2.1. Lapproche assurantielle La dmarche prudentielle adopte dans Solvabilit 2 est rapprocher de la

philosophie de transfert de risque sur laquelle sest dveloppe lactivit dassurance.

Rappelons que lopration dassurance consiste en un transfert de risque de lassur vers lassureur moyennant une prime. Pour que cette opration soit profitable pour les deux parties, il faut que laversion au risque des deux parties soit diffrente. Cest la situation de base en assurance puisque la compagnie dassurance, couvrant un ensemble de risques, bnficie deffets de mutualisation qui ont pour consquence de rduire le risque relatif de

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lentreprise2. Si lopration ainsi ralise peut semble dsquilibre en esprance, puisque si le tarif est bien tabli, la prime paye par lassur est suprieure la prime pure du risque transfr, elle squilibre du fait de la diffrence daversion relative au risque.

Considrons un exemple trs simple : deux assurs sont soumis un risque de mme nature (mais touche les assurs de manire indpendante) qui, avec une probabilit de 50 % leur causera une perte de 1. La situation individuelle dun assur peut tre rsume par

10, 0,5,1, 1 0,5.

pX p== =

La prime pure (lesprance mathmatique) pour sassurer contre un tel risque slve 0,5.

Supposons que nos deux assurs sassocient pour supporter les ventuelles pertes causes par ce risque. Leur association peut tre rsume par :

( )( )

2

1 22

0, 0, 25,1, 2 1 0,5,

2, 1 0, 25.

pX X p p

p

=+ = = =

Cette association na pas dimpact sur le niveau de la prime pure (toujours 0,5). En revanche, on peut remarquer que si les deux assurs ont contribu cette association en apportant la prime pure, cela leur suffira pour se prmunir de ce risque dans 75 % des cas, comparer avec un cas sur deux lorsquils gardent ce risque individuellement.

Ainsi lopration dassurance repose sur la mutualisation dcrite mathmatiquement par la loi des grands nombres. Rappelons que celle-ci nonce le fait que si on considre ensemble un trs grand nombre de risques de mme nature mais indpendants, alors le montant que lon aura payer sera proportionnel au nombre de ces risques et certain (au sens contraire dalatoire).

En pratique les assureurs se trouvent confronts deux cueils : les portefeuilles de risques similaires ne sont pas de taille infinie, les risques qui constituent ces portefeuilles ne sont pas

systmatiquement indpendants les uns des autres. Dans ce contexte et dans un souci de protection des assurs, les pouvoirs

publics ont impos aux assureurs de disposer, en plus des provisions techniques destines couvrir les prestations futures espres, de ressources propres destines pallier labsence de mutualisation totale. ce sujet, il est intressant que le dispositif actuel (issu notamment de la Directive Solvabilit 1) prvoit des exigences en matire de capitaux proportionnelles la masse des provisions en assurance vie et proportionnelles la somme des primes ou des sinistres en

2. Tout au moins dans la situation de rfrence dindpendance entre les diffrents risques. La prise en compte de la possible dpendance entre ceux-ci est tudie dans le Chapitre 5.

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assurance non-vie. De tels dispositions nintgrent pas3 leffet de mutualisation qui va de pair avec la taille du groupe comme le montre la Figure 3 qui montre le rapprochement relatif des bornes de lintervalle de confiance 90 % autour de lesprance.

Figure 3 - volution des bornes de lintervalle de confiance 90 % en fonction du nombre de polices assures

Le dispositif Solvabilit 2 a pour vocation de rendre les entreprises

dassurance plus solvables en fixant notamment des exigences quantitatives de fonds propres en rfrence au risque rel support par ces socits. Incidemment, cette rfrence explicite au risque passe ncessairement par le choix dune mesure de risque (cf. le paragraphe 1.1).

2.2. Lapproche conomique Lapproche conomique ne rpond pas aux mmes impratifs que

lapproche prudentielle. En effet, quil sagisse de problmatiques dEmbedded Value ou de normes IFRS, lobjectif est similaire : donner une valeur un portefeuille de contrats ou une compagnie. Lide est ici de donner la vision la plus juste possible de ce que vaut lentreprise ou le portefeuille.

Par exemple, les travaux de lIASB sur la phase II de la norme IFRS ddie au contrat dassurance dfinissent le montant inscrire en provisions au titre dun ensemble de contrats sa Current Exit Value (CEV) ou valeur actuelle de sortie, savoir, le prix que lassureur qui dtient cet ensemble de contrats pourrait donner un autre assureur pour lui transfrer tous les droits et toutes les obligations rsultants de ces contrats.

Cette dfinition renvoie donc la notion de prix de march alors mme quun tel march secondaire des contrats dassurance nexiste pas stricto sensu. Puisque lassureur ne peut lire ces prix sur un march organis, les travaux du Board voquent les approches financires de valorisation qui ont connu un essor formidable dans les annes soixante-dix avec notamment les travaux de Black, Scholes et Merton. Ces travaux sappuient notamment sur lhypothse dabsence dopportunit darbitrage.

3. Ce point est nuancer en assurance non-vie par lapplication de deux coefficients diffrents en fonction de la taille du portefeuille (cf. lexemple du Chapitre 3).

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2.2.1. Introduction binomiale

Considrons une action cote 0S en 0 et une option dachat sur cette action dont la valeur actuelle est 0C . Loption arrive chance en 1, date laquelle

nous supposons que laction vaut ( ) 01uS u S= + avec une probabilit p et ( ) 01dS d S= + avec une probabilit 1 p . Son prix dexercice est K , le

flux de loption peut donc tre rsum par :

( )

( )

0

0

0

1

1

u u

d d

C S K u S K

C

C S K d S K

++

++

= = +

= = +

/2

On remarque quen prenant une position longue (achat) sur une action et courte (vendeuse) sur un certain nombre n doptions, il est possible de constituer un portefeuille dont la valeur en 1 est certaine. En effet, il suffit pour cela de dterminer n tel que :

u u d dS nC S nC = , soit

( )u dS K S K

nu d S

+ + = .

Un portefeuille constitu dans ces proportions procure un montant certain en 1, il est donc sans risque. En labsence dopportunit darbitrage4, un tel portefeuille procure le taux sans risque r. Sa valeur actuelle est donc donne par sa valeur future (certaine) actualise au taux sans risque, soit :

( ) ( ){ }0 0 0 01 1 rS n C d S n d S K e+ = + + . On en dduit, la valeur actuelle de loption dachat :

( )( ) ( ){ }0 0 01 1 1 1r rC d e S ne d S Kn + = + + . La valeur de cette option ne dpend pas directement de la probabilit p de

hausse du cours de laction sur la priode. Ce rsultat peut intuitif sexplique par le fait que cette information est dj contenue dans le niveau actuel du cours de laction 0S . En effet, potentiels et probabilits de hausse et de baisse

4. Un march prsente des opportunits darbitrage lorsquil permet de mettre en uvre des stratgies systmatiquement meilleures que dautres. Lhypothse dabsence dopportunit darbitrage repose sur lhypothse de ractivit du march : si une opportunit darbitrage existe, le march va lutiliser ce qui va modifier les prix pour les mettre au niveau dquilibre pour lesquels il ny aura plus cette opportunit.

Incidemment, cette hypothse contraint ce que 1 1rd e u+ + .

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du cours du titre ont dj t incorpors par le march dans la valeur initiale de laction.

Si lon cherche exprimer la valeur du call en fonction de ses flux possibles en fin de priode, aprs quelques dveloppements et rductions, on obtient :

( ){ }0 1 ru dC qC q C e= + , o

( )1re dq

u d = .

Cette rcriture nous permet dobserver que le prix du call peut sexprimer comme lesprance de ses flux futurs actualiss au taux sans risque dans un univers dans lequel la probabilit de hausse du cours de laction vaut q. Dans cet univers, le prix dun actif est gal lesprance de ses flux futurs actualiss5. Cette proprit se traduit par le fait que, dans cet univers, les agents conomiques donnent le mme prix des investissements, de niveau de risque diffrent, mais de mme esprance de gain do la dnomination d univers risque-neutre .

Cet exemple binomial stend naturellement au cas multi-priodique :

0

uu

u

ud

d

dd

S

S

S S

S

S

// 22 /

2

Il sagit alors de mettre en uvre la mme technique que prcdemment mais rebours (valorisation de uC et dC puis de C) avec lhypothse supplmentaire quil ny a pas de frais de transaction (recomposition du portefeuille darbitrage la fin de chaque priode).

Le lecteur intress pourra se rfrer Hull (1999) pour une prsentation plus complte de lapproche binomiale et plus gnralement sur les mthodes de valorisation des options et des drivs financiers.

2.2.2. Retour sur les hypothses

Le modle binomial prsent supra et plus gnralement le modle de Black et Scholes (1993) et ses drivs (cf. Hull (1999)) reposent sur deux hypothses principales relatives au march : celui-ci est parfait et complet.

On qualifie de parfait un march idalis dans lequel : les titres sont divisibles, les ventes dcouvert sont autorises sans limite,

5. On parle de proprit martingale des flux futurs actualiss.

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les agents conomiques disposent de la mme information et aucun dentre eux na la capacit de faire bouger les prix par son seul comportement,

il ny a pas de friction (frais, fiscalit) sur les achats et les cessions de titres,

les taux de prts et demprunts sont identiques. Dans un tel march, les mthodes de valorisation des actifs financiers, et

notamment des drivs, reposent sur lhypothse dabsence dopportunit darbitrage. On dit quil y a absence dopportunit darbitrage lorsque aucune stratgie financire nest systmatiquement prfrable une autre.

Sur les marchs financiers, ces opportunits peuvent exister, nanmoins le fonctionnement du march conduit ce quelles soient repres et que les arbitragistes prennent position ce qui conduit mcaniquement quilibrer les prix.

Par ailleurs, un march est complet lorsque tous les tats du monde darriv sont atteignables par une certaine composition du portefeuille des actifs du march. Cest cette dernire hypothse qui assure lunicit de la mesure de probabilit sous laquelle les prix actualiss sont des martingales. Lorsque ce nest pas le cas, il existe une infinit de probabilits quivalentes pour lesquelles la proprit martingale est vrifie. Lobtention dun prix est alors conditionne par le choix dune de ces mesures de probabilit. Ballotta (2005) tudie les prix obtenus sous diffrentes probabilits dans le cas dun contrat participatif.

2.3. Confrontation des deux approches en assurance L'analyse des contrats d'pargne toujours plus sophistiqus montre que

certaines garanties (taux garantis, participation aux bnfices financiers ou encore les garanties plancher sur les contrats en units de comptes), pouvaient tre exprimes formellement comme des flux d'options et elles sont alors valorises comme l'esprance actualise en probabilit risque neutre des flux qu'elles engendrent. On est conduit mettre en avant deux points en particulier :

pour un engagement d'assurance, l'valuation financire est mene conditionnellement une ralisation de l'ala dmographique (pour une garantie plancher, par le thorme des probabilits totales, on conditionne par la connaissance de la date du dcs, par exemple), le rsultat final consistant prendre la valeur moyenne des rsultats obtenus. Compte tenu de la mutualisation imparfaite d'un portefeuille rel, le cot de la garantie optionnelle n'est in fine qu'une approximation de sa valeur thorique ;

quelle est la lgitimit de l'valuation d'un engagement via la dtermination d'un prix sur un march ? La question pour l'assureur n'est pas tant de donner un prix un portefeuille (sauf pour lembedded value) que de provisionner un niveau suffisant pour garantir une matrise satisfaisante des risques grs.

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Concrtement, l'assureur doit faire face deux types de risques : des risques mutualisables, dont la prise en charge fonde l'activit d'assurance et des risques non mutualisables, comme ceux que l'on vient d'voquer.

Les risques non mutualisables sont souvent financiers mais il peuvent tre directement associs aux engagements d'assurance : mortalit stochastique et, plus gnralement, tous les phnomnes qui remettent en cause l'indpendance entre les assurs (attentats, risques environnementaux, etc.). Il importe donc de fixer une mthode techniquement fonde de calcul des provisions pour les risques non mutualisables. En effet, sur ces risques systmatiques (autres que risques de march), il nest pas possible de tenir le raisonnement introduit en 2.2 qui permet de constituer une stratgie qui limine le risque. En particulier, on ne dispose pas dactifs financiers ou de drivs dassurance qui permettent de mettre en place de telles stratgies6. Pour ces risques dassurance systmatiques, la distribution du passif n'a donc sens quen probabilit historique.

C'est cette logique quadopte le projet Solvabilit 2 en fixant comme critre de rfrence le contrle de la probabilit de ruine un an.

Par ailleurs, un engagement (ou une marge de risque) dtermin par les techniques financires n'a pas de sens autre que conventionnel (i.e. impos par la norme) puisque la gestion du portefeuille d'arbitrage n'est pas mise en oeuvre et, quand bien mme elle le serait, les imperfections et la dure des engagements rendent la couverture approximative.

Il convient donc de distinguer la fixation d'un prix qui, en l'absence d'un march organis, relve d'une dmarche conventionnelle et le contrle des risques pour la gestion technique.

Si, dans le premier cas, les techniques de couverture, pour lesquelles la probabilit risque neutre fournit un moyen de calcul simple, sont acceptables, il en va diffremment pour quantifier les risques ports par l'assureur, dont l'valuation se fait dans le monde rel. La probabilit risque neutre peut tre utilise lors d'tapes intermdiaires de valorisation, mais la mesure du risque ncessite le recours la probabilit historique. Les deux approches ne sont pas exclusives l'une de l'autre, elles traitent des problmatiques diffrentes.

Il faut garder lesprit que l'assurance ne consiste pas neutraliser des risques via des techniques de couverture mais les grer en contrlant le niveau d'incertitude qui leur est attach. Si le recours des mthodes financires bases sur une condition d'absence d'opportunit d'arbitrage apparat lgitime pour fixer un prix dans un cadre normatif (IFRS et MCEV), l'analyse de la solvabilit doit tre effectue avec les lois de probabilit relles. L'application des mthodes financires en assurance doit tre conduite avec discernement.

6. Le dveloppement de la titrisation de risques dassurance permettra, peut-tre, dans le futur de multiplier le nombre de risques pour lesquels on disposera de drivs dassurance.

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3. Contrats en units de compte

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