These Hamdi Habib 2012 Final

Universit de Tunis

cole Suprieure des Sciences et Techniques de Tunis

THSE

Prsente en vue de l'obtention du

DIPLME DE DOCTORAT

en Gnie lectrique

Par

Habib HAMDI

Matrise en Gnie lectrique

Mastre en Automatique - Productique

Approche Multi-Modle

pour l'Observation d'tat et le Diagnostic

des Systmes Singuliers non Linaires

Soutenue le 24 Novembre 2012 devant le jury d'examen compos de :

M. Farhat FNAIECH Professeur l'ESSTT Prsident

M. Nabil DERBEL Professeur l'ENIS Rapporteur

M. Fayel BEN HMIDA Matre de Confrences l'ESSTT Rapporteur

M. Mickael RODRIGUES Matre de Confrences UCBL-Lyon1 Examinateur

M. Naceur BENHADJ BRAIEK Professeur l'ESSTT Directeur de thse

The`se preparee au Laboratoire des Syste`mes Avances - LSA a` lEcole Polytechnique de Tunisie

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i mes parents, mes frres et ma sur.

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Avant Propos

Ce travail a t ralis au sein de Laboratoire des systmes avancs (LSA) de l'cole

Polytechnique de Tunisie.

Je tiens d'abord remercier Monsieur Naceur Benhadj Braiek, Professeur l'cole

Suprieure des Sciences et Techniques de Tunis et Directeur du LSA l'cole Polytech-

nique de Tunisie pour m'avoir accueilli au sein de son quipe et pour avoir accept de

diriger ma thse. Son soutien, ses conseils clairs et son aide m'ont t d'un grand ap-

port pour la concrtisation de ce travail. Qu'il trouve ici le tmoignage de ma profonde

gratitude.

Je voudrais remercier galement Monsieur Michael Rodrigues, Matre de Confrences

au Laboratoire d'Automatique et Gnie des Procds (LAGEP) de l'Universit de Claude

Bernard Lyon pour l'intrt qu'il a port notre travail de thse et sa contribution ma-

nifeste son succs. Ses conseils scientiques et son aide prcieuse m'ont t d'un grand

apport. Je lui exprime ma reconnaissance et je le remercie d'avoir accept de faire partie

du jury de ma soutenance.

Je tiens aussi remercier vivement Monsieur Chokri Mechmeche, Maitre Assistant

l'cole Suprieure des Sciences et Techniques de Tunis (ESSTT) et membre du Labora-

toire LSA pour l'aide qu'il m'a apporte et les conseils qu'il ma prodigus.

Je tiens exprimer mes remerciements les plus sincres Monsieur Farhat Fnaiech,

Professeur l'cole Suprieure des Sciences et Techniques de Tunis (ESSTT) pour l'hon-

neur qu'il m'a fait en acceptant de prsider le jury de ma soutenance.

Monsieur Nabil Derbel, Professeur l'Ecole Nationale d'Ingnieurs de Sfax (ENIS),

m'a honor en acceptant d'valuer mon travail de thse et d'en tre le rapporteur. Qu'il

trouve ici l'expression de mes remerciements les plus vifs.

J'adresse mes remerciement les plus sincres Monsieur Fayel Ben Hmida, Matre

de Confrences l'cole Suprieure des Sciences et Techniques de Tunis (ESSTT) pour

l'intrt qu'il a bien voulu porter mon travail, en acceptant d'en tre le rapporteur.

Je tiens rendre hommage l'esprit d'quipe qui rgne au laboratoire LSA et ex-

primer tous ses membres ainsi qu' tous ceux qui ont contribu de prs ou de loin

l'laboration de ce travail mes remerciements les plus vifs.

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iv Avant Propos

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Table des matires

Avant Propos iii

Notations xi

Introduction gnrale 1

Chapitre 1

Sur la reprsentation et l'analyse des systmes singuliers

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Dnition d'un systme singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exemples de systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Problmes des Contraintes Variationnelles . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Systmes dynamiques singuliers de Leontief . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Robot manipulateur trois bras : Skywash . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3.1 Description du systme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3.2 Modlisation du systme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Les systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Rgularit et Impulsivit des systmes singuliers linaires . . . . . . 17

1.4.2 Equivalence entre systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2.1 Forme quivalente par dcomposition de Kronecker-Weierstrass 18

1.4.2.2 Forme quivalente par dcomposition en valeurs singulires 19

1.4.3 Rponse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3.1 Rponse temporelle du sous-systme lent . . . . . . . . . . 20

1.4.3.2 Rponse temporelle du sous-systme rapide . . . . . . . . 20

1.4.4 Stabilit des systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.5 Admissibilit des systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . . . 23

1.4.6 tat atteignable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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vi Table des matires

1.4.7 Observabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.8 Dtectabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Systme singulier linaire paramtres variants (LPV) . . . . . . . . . . . 29

1.5.1 Reprsentation des systmes singuliers (LPV) . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1.1 Systme singulier (LPV) ane . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1.2 Systme singulier (LPV) polytopique . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1.3 Reprsentation linaire fractionnaire (LFR) . . . . . . . . 31

1.6 Systme singulier non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Solvabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Indice des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.1 Indice de direntiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.2 Exemple 1 (Indice 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.3 Exemple 2 (Indice 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.2.4 Indice de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.3 Rduction d'indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.4 Application : Rduction d'indice du modle singulier qui dcrit un

Pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Stabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.1 Stabilit aux sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8 Observabilit des systmes singuliers non linaires . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chapitre 2

Modlisation et observation d'tat multi-modles des systmes singuliers

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Modlisation par approche multi-modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 Zone de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 Variable de dcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.3 Fonction d'activation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.4 Structures multi-modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.4.1 Structure couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.4.2 Structure dcouple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Modle singulier ou de type Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Mthodes d'obtention des multi-modles pour les systmes singuliers . . . . 50

2.4.1 Obtention des multi-modles par linarisation . . . . . . . . . . . . 50

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2.4.2 Obtention des multi-modles par la mthode de transformation des

non linarits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3 Exemple illustratif : Disque roulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Reprsentation polytopique des systmes singuliers linaires paramtres

variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6 Stabilit des systmes multi-modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.1 Stabilit quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.2 Stabilit relaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7 Estimation d'tat des multi-modles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7.1 Observateur multi-modle Proportionnel entres inconnues . . . . 61

2.7.1.1 Structure du multi-observateur . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.7.1.2 Conditions d'existence du multi-observateur . . . . . . . . 64

2.7.1.3 Procdure de synthse du multi-observateur . . . . . . . . 64

2.7.2 Estimation des entres inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7.3 Multi-Observateur Proportionnel Intgral entres inconnues . . . 67

2.7.3.1 Synthse du multi-observateur PI . . . . . . . . . . . . . . 68

2.7.3.2 Dtermination du multi-observateur PI . . . . . . . . . . . 70

2.7.4 Exemple illustratif : Estimation des tats du disque roulant . . . . . 71

2.7.4.1 Dtermination des paramtres du multi-observateur Pro-

portionnel entres inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7.4.2 Dtermination des paramtres du multi-observateur PI . . 71

2.7.4.3 Comparison des performances des deux multi-observateurs 72

2.7.4.4 Estimation des entres inconnues . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chapitre 3

Approche multi-modle pour le diagnostic des systmes singuliers

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Terminologies et critres de performance relatifs un systme de diagnostic 80

3.2.1 Les terminologies de diagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.2 Critres de performance d'un systme de diagnostic . . . . . . . . . 81

3.3 Principe du diagnostic base de modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.1 Systme multi-modle singulier avec dfauts . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1.1 Systme multi-modle singulier avec dfauts actionneurs . 82

3.3.1.2 Systme multi-modle singulier avec dfauts capteurs . . . 83

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3.3.1.3 Systme multi-modle singulier avec dfauts systme . . . 83

3.3.2 Localisation des dfauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.2.1 Localisation des dfauts actionneurs . . . . . . . . . . . . 85

3.3.2.2 Localisation des dfauts capteurs . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 Dtection et localisation des dfauts des systmes singuliers multi-modles 86

3.4.1 Gnration de rsidus par optimisation multi-objectifs . . . . . . . . 87

3.4.1.1 Synthse du gnrateur de rsidus . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1.2 Formulation des ingalits matricielles linaires . . . . . . 91

3.4.2 Gnration de rsidus base de multi-observateurs . . . . . . . . . 92

3.4.2.1 Conditions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.2.2 Synthse du gnrateur de rsidus . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4.2.3 Analyse de la stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4.3 Application : Dtection et isolation des dfauts d'un robot manipu-

lateur trois bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.3.1 Modle du robot dans un systme de coordonnes cart-

siennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4.3.2 Reprsentation multi-modle . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.3.3 Estimation des tats en prsence des dfauts . . . . . . . . 105

3.4.3.4 Gnration des rsidus par banc de multi-observateurs . . 108

3.5 Mthodes d'estimation de dfauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.5.1 Estimation des dfauts par un multi-observateur tendu . . . . . . . 110

3.5.2 Estimation des dfauts par un multi-observateur entres inconnues 112

3.5.3 Application : Estimation des dfauts du robot manipulateur . . . . 113

3.6 Dtection et estimation des dfauts des systmes singuliers LPV . . . . . . 114

3.6.1 Structure polytopique des systmes singuliers paramtres variants 114

3.6.2 Structure polytopique de l'observateur proportionnel intgral . . . . 115

3.6.2.1 Synthse de l'OPIEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.6.2.2 Convergence exponentielle de l'observateur proportionnel

intgral polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.6.3 Dtection et isolation des dfauts pour les systmes singuliers LPV 120

3.6.3.1 Gnration de rsidus par l'OPIEI polytopique . . . . . . 120

3.6.3.2 Localisation des dfauts actionneurs . . . . . . . . . . . . 122

3.6.4 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6.4.1 Synthse de l'OPIEI polytopique . . . . . . . . . . . . . . 124

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3.6.4.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.6.4.3 Diagnostic des dfauts par l'OPIEI polytopique . . . . . . 126

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Conclusion Gnrale et perspectives 131

Bibliographie 135

Publications personnelles sur les travaux de cette thse 147

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x Table des matires

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Notations

Les notations suivantes sont dnies au fur et a mesure de leur utilisation dans le

prsent mmoire et sont conserves tout au long de celui-ci.

Matrices et vecteurs

M > 0 (M 0) Matrice M symtrique, dnie positive (resp. symtrique, semi dnie positive)M < 0 (M 0) Matrice M symtrique, dnie ngative (resp. symtrique, semi dnie ngative)In (I) Matrice identit de dimension n (resp. de dimension approprie)MT Le Transpose de la matrice MM1 L'Inverse de la matrice MM+ Le Pseudo inverse de la matrice MkMk Norme euclidienne de la matrice Mkxk Norme euclidienne du vecteur x

Ensembles

R Ensemble des nombres relsR+ Ensemble des nombres rels positifsRn Espace rel euclidien de dimension nRnn L'ensemble de toute les matrices de dimension n nC Ensemble des nombres complexesdet(M) Dterminant de la matrice Mdim(M) Dimension de la matrice Mrang(M) Rang de la matrice Mtr(M) trace de la matrice Mmin(M) Valeur propre minimale de la matrice Mmax(M) Valeur propre maximale de la matrice Mmin(M) Valeur singulire minimale de la matrice Mmax(M) Valeur singulire maximale de la matrice M(M)? Le complment orthogonal de la matrice MIm(M) Espace image de la matrice MKer(M) Espace noyau de la matrice Mspan(M) Le sous-espace engendr par les colonnes de la matrice M

Notations des relations et manipulations

=) Implique

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xii Notations

2 Appartient Un sous espace de8 Choisie arbitrairement

Notations supplmentaires

diag(d1; d2; :::; dn) Matrice diagonale avec les lments (d1; d2; :::; dn) sur la diagonale Fin d'un thorme Fin d'une dmonstration ou d'une dnition

Acronyms

EAD Equation Algbro-DirentielleEDO Equation Direntielle OrdinaireFDI Dtection et Isolation des DfautsLMI Ingalit Matricielle LinaireLTI Linaire Temps InvariantLPV Linaire paramtre variantPIO Observateur Proportionnel IntegralUIO Observateur Entres Inconnues

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Introduction gnrale

La recherche sur les systmes dynamiques exige souvent une modlisation mathma-

tique du comportement du systme. La complexit croissante de ces processus conduisent

alors, au dveloppement des programmes machine produisant des systmes d'quations,

tels que les systmes multi-corps, ou une dcomposition du processus global, telle que les

systmes interconnects. Le comportement dynamique de chaque sous-modle est rgi par

des quations direntielles. L'accouplement de ces sous-modles se fait par des quations

algbriques. En eet, le modle mathmatique est reprsent par des relations dynamiques,

ainsi que des relations statiques. Cette augmentation permet de conserver aux variables

d'tats leur signication physique ainsi que de modliser des processus prsentant des

comportements impulsifs (des drives en entres et en sorties) et plus gnralement les

systmes non causaux.

Une grande classe de systmes physiques peut tre modlise par des Equations Algbro-

Direntielles (EADs). Le papier de Newcomb et al. [Newc 89] donne plusieurs exemples

pratiques comprenant des rseaux lectriques, des robots manipulateurs avec des contraintes,

des processus chimiques, etc. A titre d'exemple, dans le cas des processus chimiques, les

quations direntielles rsultent des quilibres dynamiques de la masse et de l'nergie,

alors que les quations algbriques rsultent des relations d'quilibre thermique. Pour les

systmes mcaniques, les quations dynamiques sont dcrits par les relations des mou-

vements, alors que les quations algbriques modlisent les contraintes mcaniques. Tous

ces systmes et autres sont dcrits par des quations algbro-direntielles (EADs) non-

linaires.

Selon le domaine d'tude, les systmes algbro-direntiels admettent direntes nomen-

clatures dans dirents champs. Par exemple, les thoriciens de commande et les ma-

thmaticiens les avaient longtemps appels les systmes singuliers [Newc 89], puisque la

matrice sur la driv des variables d'tat est gnralement singulire, ou parfois ils em-

ploient par terminologie les systmes d'espace l'tat gnraliss [Dai 89]. D' autre part,

les systmes nomms descriptors sont employs frquemment dans les systmes cono-

miques, puisqu'ils donnent une description normale du systme, alors que les analystes

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2 Introduction gnrale

numriques appellent leurs descriptions des quations algbro-direntielles [Mull 00], ou

des quations avec contraints algbriques. Dans le secteur des circuits le nom originel tait

le pseudo-tat [Dai 89].

Il existe plusieurs raisons de considrer les systmes sous forme algbro-direntielle

ou singulier, plutt qu'on essaie de les rcrire comme des systmes ordinaires gouverns

seulement par des quations direntielles. En eet, pour simuler des systmes physiques,

les quations algbro-direntielles (EADs) reprsentent un ensemble de relations entre

des contraintes algbriques et certains drivs des variables d'tat. Ces variables, ont une

signication physique. La transformation de ce type de modle en un modle ordinaire peut

produire des variables d'tat moins signicatives. D'autre part, l'utilisation des modles

ordinaires est trs utile, mais les variables d'tat prsentes ne fournissent pas souvent

un sens physique [Marx 03], [Mull 00]. En outre, quelques phnomnes physiques, comme

l'impulsion et l'hysteresis qui sont importants dans la thorie des circuits, ne peuvent

tre traits correctement dans les modles ordinaires [Sjb 06]. La reprsentation algbro-

direntielle fournit une manire approprie de traiter de tels problmes. Cette reprsen-

tation est trs utilise dans la modlisation des processus physiques [Boul 08], [Luen 77].

En fait, les modles algbro-direntiels semblent plus commodes que les modles ordi-

naires dans la description des systmes grande chelle, des systmes conomiques, des

rseaux lectriques, des systmes neuraux et autres.

L'analyse et la synthse des systmes singuliers ont fait l'objet de plusieurs travaux

de recherche. De ce fait, une thorie d'existence et d'unicit pour les quations algbro-

direntielles non linaires a t dveloppe par S:Reich [Reic 91] en exploitant leurs

structure gomtrique direntielle. Rcemment, V enkatasubramanian et al: [Venk 95]

ont tudi intensivement les rgions de faisabilit pour les systmes algbro-direntiels.

La notion des rgions de faisabilit fournit un passage usuel la thorie de la stabilit des

quations algbro-direntielles (EADs).

Cependant, la linarit des tudes constitue une hypothse forte qui limite la perti-

nence des rsultats que l'on peut obtenir. L'extension directe des mthodes de commande

et d'estimation dveloppes dans le contexte des modles linaires au cas des modles

non linaires est dlicate. En revanche pour les systmes non linaires sans contraintes

algbriques, des rsultats intressants ont t obtenus pour une dmarche de modlisation

qui s'appuie sur l'utilisation d'une approche globale base sur un ensemble de modles

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3de structures simples, chaque modle dcrit le comportement du systme dans une zone

de fonctionnement particulire (dnie, par exemple, par les valeurs des entres ou de

l'tat du systme). Cette approche, dite multi-modles, est une reprsentation polytopique

convexe qui peut tre obtenue soit directement par une transformation du modle math-

matique non linaire en un ensemble de modles anes en l'tat [Rodr 05'], [Kard 04],

[Chad 02] ou par linarisation autour de dirents points de fonctionnement soit partir

de donnes sur les entres et les sorties. Cette approche a produit des rsultats intressants

en commande, en observation et diagnostic pour les systmes non linaires ordinaires.

Plusieurs catgories de multi-modles existent dans la littrature, notamment les systmes

linaires paramtres variant dans le temps (LPV) [Zera 09] ou les systmes quasi LPV,

appels encore systmes de Takagi-Sugeno (T-S) [Taka 85]. L'approche multi-modles pos-

sde une proprit d'approximation universelle des systmes anes en la commande et

prsente l'avantage de pouvoir reprsenter de manire exacte un modle de connaissance

non linaire sur un compact de l'espace d'tat. De ce fait, la phase de modlisation est

donc essentielle pour un processus physique, mais n'est pas une n en soi. La phase prin-

cipale pour un processus est de garantir une production en quantit et en qualit. Pour

assurer cette production, il faut que toute anomalie de fonctionnement soit rapidement

dtecte puis prise en compte dans la stratgie de conduite du systme considr. Cette

anomalie peut avoir comme origine de dfauts de systmes, de capteurs, d'organes de

commande (actionneurs), des bruits, ...

Le diagnostic, suscite depuis les annes 1970 un intrt croissant tant au niveau du

monde industriel que de la recherche scientique. Parce que les systmes industriels de-

viennent de plus en plus complexes et sophistiqus, il est lgitime de leur associer un

module ecace de surveillance an d'accrotre leur abilit et leur disponibilit, et d'am-

liorer la scurit du personnel. Les mthodes de diagnostic reposent essentiellement sur la

connaissance d'un modle cens reprsenter le comportement du systme physique sur-

veiller. Elles s'appuient sur la connaissance, entire ou partielle, de l'tat d'un systme.

Ces tats sont fournis par un systme dynamique auxiliaire appel observateur d'tat

(multi-observateur pour les systmes reprsents par des multi-modles).

Dans ce mmoire, le thme propos concerne l'observation et le diagnostic des systmes

gouverns par des quations algbro-direntielles non linaires aectes par des dfauts

et des perturbations. La mthode propose consiste utiliser l'approche multi-modles

comme outil d'approximation linaire de ce type de systmes. Cette approche est base

sur l'utilisation d'un ensemble de modles structures simples ; chaque modle dcrit le

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4 Introduction gnrale

comportement du systme dans une zone de fonctionnement particulire. Dans ce mmoire

on a pu aussi tudier les systmes singuliers LPV polytopique. Cette classe de systme

permet de reprsenter de manire exacte les modles non linaires sur un compact de

l'espace d'tat. Le comportement dynamique du systme singulier LPV est donn sous

une forme polytopique, qui permet de dcrire le systme originel en tant que combinaison

convexe de sous-modles dnis par les sommets d'un polydre convexe. Ces sous-modles

sont ensuite combins en utilisant des fonctions de pondration convexes pour dcrire le

modle global.

Peu de travaux ont t publis concernant l'estimation des tats des systmes singuliers

multi-modles. De plus, les travaux existants sont principalement ddis l'estimation

d'tat des multi-modles variables de dcision mesurables, c'est--dire des variables de

dcision lies aux entres ou aux sorties des systmes. Nanmoins, dans beaucoup de si-

tuations, ces variables de prmisse sont dnies par les variables d'tat qui peuvent ne

pas tre accessible la mesure. Ceci nous a conduit envisager l'tude de la conception

d'observateurs pour les systmes singuliers dcrits par des multi-modles variables de

prmisse mesurables et variables de prmisse non mesurables et aects par des entres

inconnues. De mme, et dans le cadre d'amliorer la reconstruction des tats et des en-

tres inconnues, nous envisageons d'utiliser l'observateur de type proportionnel intgral

qui permet d'oprer une estimation simultane de l'tat et des entres inconnues du sys-

tme.

Par ailleurs, nous nous proposons de considrer la problmatique du diagnostic des sys-

tmes singuliers en utilisant le principe de gnrateurs de rsidus base d'observateurs

entres inconnues pour le cas des systmes singuliers multi-modles variables de pr-

misse mesurables et variables de prmisse non mesurables. Dans ce cadre une approche

multi-modle de dtection et d'isolation des dfauts des systmes singuliers non linaires

est dveloppe. Nous proposons aussi d'tendre cette approche de diagnostic aux systmes

singuliers paramtres variants (LPV). L'observateur conu dans ce sens comprend en

plus de l'action proportionnelle, une action intgrale pour permettre d'estimer conjointe-

ment les grandeurs d'tat et les dfauts ventuels.

L'ensemble de nos contributions est synthtis dans ce mmoire organis en trois cha-

pitres :

Le premier chapitre prsente un tat de l'art sur le sujet trait. Il s'intresse in-

troduire la classe des systmes singuliers. Ces systmes constituent un puissant outil de

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5modlisation dans la mesure o ils peuvent dcrire des processus rgis la fois par des

quations dynamiques et des quations statiques. Ce formalisme est ainsi particulirement

adapt l'tude des systmes interconnects, soumis des contraintes physiques statiques

et prsentant des comportements impulsifs. Plusieurs rsultats fondamentaux relatifs la

localisation et l'analyse des systmes singuliers linaires, paramtres variants ou non

linaires sont ainsi rappels.

Le deuxime chapitre est consacr au problme d'approximation des systmes singu-

liers paramtres variants et non linaires par une reprsentation multi-modle. Cette

approche permet de prsenter un processus dynamique non linaire comme une combi-

naison d'un ensemble de modles linaires ou anes valables dans des zones de fonction-

nement. Les direntes structures les plus utilises (modles locaux coupls et dcoupls)

sont dcrites. L'analyse de la stabilit des multi-modles a t considre. Une mthode

de synthse de deux types d'observateurs pour les systmes singuliers multi-modles et

LPV polytopique est aussi introduite.

Le problme de diagnostic des systmes singuliers non linaires par approche multi-

modles et des systmes singuliers paramtres variants polytopiques est abord dans le

troisime chapitre. Trois mthodes base d'observateurs sont alors proposes. La premire

approche repose sur l'utilisation d'un multi-observateur entres inconnues assurant un

dcouplage partiel de l'estimation des dfauts. La deuxime mthode est inspire du pro-

blme standard de commande H1. Elle est base sur la minimisation de l'inuence des

entres inconnues et la maximisation de l'inuence des dfauts sur les rsidus, ce qui

revient l'tude d'un problme multiobjectifs. La troisime mthode est base sur l'uti-

lisation d'un multi-observateur Proportionnel Intgral (PI). Cette approche est utilise

avec les systmes singuliers paramtres variants. Elle permet moyennant un banc de

gnrateurs de rsidus, de fournir directement une estimation des dfauts et par suite leur

dtection et localisation.

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Chapitre 1

Sur la reprsentation et l'analyse des

systmes singuliers

Sommaire

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Dnition d'un systme singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exemples de systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Problmes des Contraintes Variationnelles . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Systmes dynamiques singuliers de Leontief . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Robot manipulateur trois bras : Skywash . . . . . . . . . . . 12

1.3.3.1 Description du systme : . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3.2 Modlisation du systme : . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Les systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Rgularit et Impulsivit des systmes singuliers linaires . . . 17

1.4.2 Equivalence entre systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2.1 Forme quivalente par dcomposition de Kronecker-

Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2.2 Forme quivalente par dcomposition en valeurs singu-

lires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 Rponse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3.1 Rponse temporelle du sous-systme lent . . . . . . . 20

1.4.3.2 Rponse temporelle du sous-systme rapide . . . . . . 20

1.4.4 Stabilit des systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.5 Admissibilit des systmes singuliers linaires . . . . . . . . . . 23

1.4.6 tat atteignable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.7 Observabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.8 Dtectabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Systme singulier linaire paramtres variants (LPV) . . . 29

1.5.1 Reprsentation des systmes singuliers (LPV) . . . . . . . . . . 29

1.5.1.1 Systme singulier (LPV) ane . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1.2 Systme singulier (LPV) polytopique . . . . . . . . . 30

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8 Chapitre 1. Sur la reprsentation et l'analyse des systmes singuliers

1.5.1.3 Reprsentation linaire fractionnaire (LFR) . . . . . . 31

1.6 Systme singulier non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1 Solvabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Indice des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.1 Indice de direntiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.2 Exemple 1 (Indice 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.2.3 Exemple 2 (Indice 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.2.4 Indice de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.3 Rduction d'indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.4 Application : Rduction d'indice du modle singulier qui dcrit

un Pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Stabilit des systmes singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7.1 Stabilit aux sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8 Observabilit des systmes singuliers non linaires . . . . . . 37

1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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1.1. Introduction 9

Les systmes singuliers ou algbro-direntiels surgissent dans une varit d'applica-

tions. Par consquent leur analyse et traitement numrique jouent un rle trs important

dans les mathmatiques modernes. Dans ce chapitre, nous rcapitulons quelques dnitions

de base et des rsultats prliminaires qui seront employs ultrieurement. Des exemples

de modles singuliers ou descriptors, sont considrs pour montrer leur importance dans

la modlisation des problmes pratiques. Plusieurs concepts de stabilit et d'observabilit

sont introduits.

1.1 Introduction

Les systmes singuliers dsigns galement sous le nom de systmes algbro-direntiels,

implicites, descriptor systems ou singular systems (appellation anglo-saxone) [Marx 03],

constituent une classe importante de systmes d'intrt thorique et pratique. Ils sont utili-

ss dans la modlisation des systmes mcaniques, robotiques avec des contraintes cinma-

tiques [Sjb 06], des rseaux lectriques [Kapr 92] et des applications chimiques [Boul 08].

Ils peuvent tre considrs comme une gnralisation des systmes dynamiques ordinaires.

L'tude des systmes algbro-direntiels a permis de nombreuses recherches depuis le d-

but des annes 1970 car ce formalisme permet l'analyse et la commande des systmes pour

lesquels la reprsentation d'tat usuelle n'est pas satisfaisante. D'aprs Luenberger 1977

[Luen 77], les principales classes de systmes relevant de cette approche sont les systmes

interconnects de grandes dimensions tels que les rseaux lectriques ou hydrauliques, les

systmes rectangulaires, et les systmes non causaux. Depuis une vingtaine d'annes, de

nombreux points de la thorie de la commande des systmes dynamiques ont t tendus

aux systmes singuliers tels que le placement robuste de ples [Xiao 97], la commande

optimale [Sjb 06],... ainsi que la synthse des observateurs [Mull 99], [Daro 96], [Mull 93]

et la dtection des dfauts [Kim 01]. Le progrs dans l'tude des systmes singuliers li-

naires et les avances dans l'analyse et la synthse des systmes non-linaires ordinaires

[Benh 99], [Boua 06], ont stimul une activit de recherche croissante sur la commande et

l'observation des systmes singuliers non linaires. cet gard, plusieurs proprits telle

que l'existence et l'unicit des solutions, l'analyse de la stabilit en utilisant des techniques

de Lyapunov [Tanig 00], la commandabilit [Joha 06] et l'observabilit [Terr 01], ont t

tudies pour cette classe de systmes non linaires.

Dans ce chapitre, nous dnissons d'abord, l'origine des systmes singuliers. Ensuite, nous

rappellerons quelques rsultats fondamentaux pour la classe linaire de ces systmes ainsi

que les systmes singuliers paramtres variants. Nous prsenterons par la suite la classe

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gnrale des systmes singuliers non linaires sur lesquels nous nous focaliserons, tout

en passant en revue les concepts de la solubilit, les notions d'indice et de la rduction

d'indice. Les proprits de stabilit et d'observabilit des systmes singuliers seront aussi

tudies.

1.2 Dnition d'un systme singulier

La description mathmatique d'un systme se dcompose souvent d'un ensemble d'qua-

tions direntielles ou dynamiques, qui font intervenir des variables agissant sur l'volution

du systme au cours du temps [Dai 89]. La forme gnrale du modle mathmatique s'crit

alors, sous la forme suivante : F ( _x(t); x(t); u(t)) = 0G(x(t); u(t); y(t)) = 0(1.1)

avec x(t) 2 Rn le vecteur des variables d'tat du systme, u(t) 2 Rp l'entre de com-mande et y(t) 2 Rm le vecteur des sorties mesurables. F et G sont deux fonctionsdirentiable de dimensions appropries. Les quations (1.1) donnent une reprsentation

d'tat d'un systme dynamique non linaire. Une forme spciale des galits (1.1) peut se

mettre sous la forme suivante :E _x(t) = f(x(t); u(t)); Ex(0) 2 ImEy(t) = g(x(t); u(t)); t 0 (1.2)

E =

Ir 00 0

est une matrice singulire et x =

xT1 x

T2

T = (x1; ::::; xn)

Test le vec-

teur d'tat de dimension n 1. Ce vecteur d'tat est dvis en une partie dynamique etune partie statique. Le modle dcrit par (1.2) reprsente la forme gnrale d'un systme

singulier non linaire.

Les systmes singuliers sont capables de dcrire les comportements des systmes qui ne

peuvent pas tre expliciter par les systmes ordinaires (les systmes gouverns seulement

par des quations direntielles). En outre, il y a plusieurs raisons de modliser les pro-

cessus physiques sous la forme dnie par (1.2), que de les dcrire seulement par des

quations direntielles ordinaires (EDO). En eet, lors de la simulation des processus

physiques, le modle est souvent rgi par des quations direntielles faisant intervenir

les variations des variables au cours du temps et des relations algbriques exprimant les

relations entre les variables d'tat. Cette reprsentation donne une signication physique

[Fang 93] ces variables d'tat.

Au-del-de a, plusieurs phnomnes physiques, comme les impulsions et les hysteresis

qui sont importants dans la thorie des circuits, ne peuvent pas tre traits correctement

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1.3. Exemples de systmes singuliers 11

dans les modles ordinaires. La reprsentation algbro-direntielle fournit une manire

approprie pour traiter de tels problmes [Lewi 86].

1.3 Exemples de systmes singuliers

La modlisation par des quations algbro-direntielles joue un rle essentiel, entre

autre, pour les circuits lectriques, les systmes mcaniques avec contraintes et les proces-

sus conomiques. Dans cette section, nous donnerons des exemples de processus dcrits

par des modles singuliers.

1.3.1 Problmes des Contraintes Variationnelles

Le premier exemple concerne l'tude d'un problme avec des contraintes variationnelles

[Dai 89]. Considrons un systme mcanique contrainte de position x(t), de vitesse

v(t) = _x(t) d'nergie cintique T (x(t); v(t)), sous l'inuence d'une force extrieure f(x(t); v(t); t)

et sous la contrainte (x(t)) = 0. La formulation de Lagrange-Euler du systme peut se

mettre sous la forme suivante :8


1.3.2 Systmes dynamiques singuliers de Leontief

Le modle dynamique fondamental de Leontief [Luen 77] des systmes conomiques est un

systme singulier. Son modle de description est :

x(k) = Ax(k) +B[x(k + 1) x(k)] + d(k) (1.5)

avec x(k) un vecteur de dimension n qui correspond au niveau de production de n secteurs

au moment k et A 2 Rnn la matrice d'entre-sortie appele aussi matrice de production.Ax(k) reprsente une partie de la production exige comme entre pour la production

courante, B 2 Rnn est la matrice des coecients de stock. B[x(k + 1) x(k)] est laquantit pour l'expansion des capacits qui apparat souvent sous la forme de capital.

Le vecteur d(k) reprsente les niveaux de la production qui sont demands. Les modles

conomtriques

1

de ce type ont t examins par Leontief dans [Leon 53], dans lequel les

deux cas temps discret et temps continu ont t considrs.

Gnralement, la plupart des lments dans la matrice B sont nulles d'o B est souvent

singulire. C'est parce que les productions dans un secteur n'exigent pas de capital en

stock de tous les autres secteurs. La reprsentation (1.5) peut tre rcrite sous la forme

suivante :

Bx(k + 1) = (In A+B)x(k) d(k) (1.6)Cette quation (1.6) correspond la forme d'un systme singulier. La reprsentation sin-

gulire peut surgir naturellement en modlisant un systme dynamique pratique.

1.3.3 Robot manipulateur trois bras : Skywash

Dans cette section, on se propose de prsenter un modle singulier d'un robot manipulateur

trois bras, utilis en tant que robot de nettoyage. Le mouvement de ce robot est limit

par la surface de nettoyage, ce qui conduit aux contraintes de singularit.

1.3.3.1 Description du systme :

La gure ci-dessous montre un robot manipulateur trois bras nettoyant la faade d'un

haut btiment [Wann 86]. Le dveloppement de ce genre de manipulateur fait partie de

plusieurs projets de recherche dans lesquels plusieurs institutions de recherche sont im-

pliqus [Wann 90], [Hill 94]. Ce manipulateur mobile appel Skywash appartient une

1. L'conomtrie est une branche de la science conomique qui a pour objectif d'estimer et de tester

les modles conomiques, partir de donnes issues de l'observation du fonctionnement rel de l'conomie

ou provenant d'expriences contrles.

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classe important de robots de service largement utiliss dans la construction, les services

publiques, et la protection de l'environnement [Schr 93].

La tche de ce manipulateur est de nettoyer la rgion entre les points A et B.

A

B

l1

l2

l3

1

2

3

y

x

gure 1.1 Robot manipulateur trois bras

Ce robot accomplit cette tche en dplaant le terminal du manipulateur du point A vers

le point B plusieurs reprises avec une force de contact spcique.

Avant d'entamer la modlisation, on suppose que la surface plane nettoyer est un corps

rigide et que l'extrmit du troisime bras est plate, lisse et rigide. Ainsi, il y a deux

contraintes sur le mouvement du robot :

La restriction sur le mouvement dans la direction de x, toujours donne par x 1m=s. L'orthogonalit du troisime bras sur la surface de nettoyage peut tre dcrite par :

1 + 2 + 3 = 0

Ces deux contraintes doivent tre vries pendant la phase de nettoyage.

1.3.3.2 Modlisation du systme :

La dynamique du robot peut tre prsente travers des quations de mouvement en

utilisant l'approche de d'Euler-Lagrange [Crai 86]. L'criture matricielle des quations du

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mouvement sous une fonction de contraintes donne le modle dynamique du manipulateur

trois bras gure 1.1. Ce modle est dcrit par les quations suivantes [Guan 10] :M() = C(; _)G() + F T + u () = 0(1.7)

avec 2 R3, _ 2 R3, 2 R3 reprsentent respectivement les positions, les vitesseset les acclrations articulaires, u 2 R3 dsigne le vecteur des couples de commandeappliqus aux articulations, F =

@ @est la Jacobienne de la fonction des contraintes

(), 2 R2 reprsente le vecteur des multiplicateurs lagrangien, F T est le vecteur desforces gnralises. La fonction des contraintes () est donne par :

() =

l1 cos(1) + l2 cos(1 + 2) + l3 cos(1 + 2 + 3) l

1 + 2 + 3

M() 2 R33 est la matrice d'inertie du systme, et est donne par :

M() =

24 m11 m12 m13m21 m22 m23m31 m32 m33

35avec :

m11() = m1l21 +m2(l

21 + l

22 + 2l1l2 cos(1)) +m3(l

21 + l

22 + 2l1l2 cos(2))

+m3(2l2l3 cos(3) + 2l2l3 cos(2 + 3));

m12() = m2(l22 + 2l1l2 cos(2)) +m3(l

22 + l

23 + 2l1l2 cos(2) + 2l2l3 cos(3)

+m3(l1l3 cos(2 + 3));

m22() = m2l22 +m3(l

22 + l

23 + 2l2l3 cos(3);

m23() = m3(l23 + l2l3 cos(3);

m33() = m3l23; m21 = m12; m32 = m23; m13 = m31 = 0

C(; _) 2 R3 est le vecteur des forces et/ou des couples dus aux acclrations centrifugeet de Coriolis, qui est donn par :

C(; _) = CI()N + CII()s (1.8)

avec : CI() est la matrice des couples de Coriolis, CII() est la matrice des couples

centrifuges.

N =

24 _1 _2_1 _3_2 _3

35 ; s =24 _21_22

_23

35

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et

CI() =

24 cI;11 cI;12 cI;13cI;21 cI;22 cI;23cI;31 cI;32 cI;33

35 ; CII() =24 cII;11 cII;12 cII;13cII;21 cII;22 cII;23cII;31 cII;32 cII;33

35o

cI;11() = 2m2l1l2 sin(2) 2m3l1(l2 sin(2) + l3 sin(2 + 3));cI;12() = 2m3l3(l2 sin(3) + l1 sin(2 + 3));cI;13() = cI;12()

cI;21() = cI;32() = cI;33() = 0

cI;22() = cI;23() = cI;31() = 2m3l2l3 sin(3)cII;11() = cII;22() = cI;33() = 0

cII;21() = cI;12() = (m2 +m3)l1l2 sin(2) +m3l1l3 sin(2 + 3);cII;31() = cI;13() = m3l3(l2 sin(3) + l1 sin(2 + 3));cII;32() = cI;23() = m3l2l3 sin(3)

et G() 2 R3 est le vecteur des forces et/ou couples dus aux forces de gravitation. Il estdonne par :

GT () =g1() g2() g3()

avec :

g1() = gm1l1 cos(1) + gm2(l1 cos(1) + l2 cos(1 + 2))

+gm3(l1 cos(1) + l2 cos(1 + 2) + l3 cos(1 + 2 + 3));

g2() = gm2l2 cos(1 + 2) + gm3(l2 cos(1 + 2) + l3 cos(1 + 2 + 3));

g3() = gm3l3 cos(1 + 2 + 3)

Si l'on choisit comme vecteur d'tat, le vecteur dni par :

xT =T _T T

Tavec =

1 2 3

Tet =

1 2

Tet comme vecteur de sorties, le vecteur

y(t) =1 3 1 2

T, alors le systme (1.7) peut tre dcrit par le modle singulier

non linaire suivant : E() _x(t) = A()x(t) +B()u(t)y(t) = Cx(t)(1.9)

o

E() =

24 I3 0 00 M() 00 0 0

35 ; A() =24 0 I3 0G() C(; _) F T

F 0 0

35 ; B() =24 0I3

0

35

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Notons que plusieurs autres applications et processus peuvent tre formules par des qua-

tions algbro-direntielles ou systmes singuliers. De ce fait, l'tude et le dveloppement

des mthodologies d'analyse et de synthse des systmes singuliers est d'une importance

grandissante dans divers domaines.

1.4 Les systmes singuliers linaires

L'utilisation des lois de la physique qui rgissent ou dcrivent les comportements des

systmes, sont souvent reprsents par des fonctions non linaires. La linarisation de ces

fonctions autour d'un point d'quilibre permet d'aboutir un comportement localement

linaire du systme originel. En eet, considrant le modle singulier suivant :E _x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)(1.10)

Ce systme (1.10), est obtenu aprs la linarisation de (1.2) autour d'un point d'quilibre

(x; u) = (0; 0) avec :

E =@f

@ _x

x=0u=0

; A =@f

@x

x=0u=0

; B =@f

@u

x=0u=0

; C =@g

@x

x=0u=0et D =

@g

@(u)

x=0u=0

Dans la description (1.10) ; x(t) 2 Rn est le vecteur des variables d'tat, u(t) 2 Rpreprsente l'entre de commande et y(t) 2 Rm est le vecteur des sorties mesurables.E, A 2 Rnn, B 2 Rnp, C 2 Rnm et D 2 Rmp sont des matrices constantes.Les systmes singuliers linaires ont t tudis principalement par L. Dai [Dai 89] et F. L.

Lewis [Lewi 86]. Les auteurs ont discut plusieurs proprits de cette classe de systmes

telles que les notions de rgularit, d'observabilit et de commandabilit ainsi que les

direntes stratgies de commande et d'observation. Ces tudes ont donn naissance

l'analyse numrique des systmes d'quations algbro-direntielles.

Avant d'entamer l'tude des proprits des systmes singuliers, il est intressant de noter

que ces systmes peuvent admettre une structure base sur le concept de la matrice de

transfert qui fournit un rapport entre les entres et les sorties du systme. Le concept

de la matrice de transfert permet de reprsenter le comportement dynamique du systme

(1.10) de manire algbrique tel que :

G(s) = C(sE A)1B +D (1.11)

Pour un systme dynamique, la fonction de transfert existe si la matrice (sE A) estnon singulire. La non-singularit de cette matrice est dnie par la rgularit du sys-

tme originel. Dans la suite, on se propose d'tudier la rgularit et l'impulsivit des

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1.4. Les systmes singuliers linaires 17

systmes singuliers linaires ainsi que les leurs formes quivalentes. Dans les paragraphes

qui suivent, certaines caractristiques particulires des systmes singuliers linaires rgu-

liers sont introduites. Il s'agit notamment de la solvabilit, la stabilit, l'atteignabilit

ainsi que l'observabilit des systmes singuliers linaires.

1.4.1 Rgularit et Impulsivit des systmes singuliers linaires

La rgularit est une proprit trs importante pour les systmes singuliers linaires. Elle

garantit l'existence et l'unicit des solutions pour cette classe de systmes. Considrant

le systme singulier linaire (1.10), la rgularit de ce systme concerne seulement les

matrices E et A.

Dnition 1.1 (Rgularit) Le couple matriciel (E;A) du systme (1.10) est dit rgulier

[Dai 89] si et seulement si le polynme :

det(sE A) 6= 0

o s dsigne l'oprateur de Laplace.

Dans le cadre des systmes standards, la notion de rgularit est toujours vrie dans

la mesure o pour toute condition initiale x(0) et une commande u(t) connue sur un

intervalle [0; t], la sortie y(t) du systme existe et est unique. En revanche, dans le cadre

des systmes singuliers, la sortie est unique pour une condition initiale dnie et une loi

de commande connue si le couple (E;A) est rgulier. De plus, l'impulsivit des systmes

physiques reprsente un phnomne indsirable et soulve un problme lors de l'tude de

la stabilit et de la stabilisation. En eet, il est important de vrier a priori si le systme

tudier n'est pas impulsif. De ce fait, un systme est dit non-impulsif impulse free si

sa rponse temporelle reste continue pour toute condition initiale et quelque soit le signal

de commande u(t).

Dnition 1.2 (Systme non impulsif) Un systme est dit non impulsif [Marx 03] c'est-

-dire n'admet pas de modes impulsifs si pour toute condition initiale x0 et toute commande

u(t) de classe , la solution x(t) est continue.

Le thorme suivant rsume certaines conditions de base pour qu'un systme singulier

linaire soit non-impulsif.

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Thorme 1.1 [Dai 89] Le systme singulier linaire rgulier (1.10) est non-impulsif (le

couple (E;A) est non impulsif) si est seulement si la condition suivante est vrie :

rang

E 0A E

= n+ rang(E) (1.12)

1.4.2 Equivalence entre systmes singuliers

Le choix des variables d'tat utilises pour dcrire un processus singulier donn (E;A;B;C)

n'est pas gnralement unique et par consquent le modle qui le dcrit n'est pas unique.

Il existe deux formes quivalentes de reprsentation d'tat des systmes singuliers linaires

qui sont :

La forme de Kronecker-Weierstrass qui existe que lorsque la paire (E;A) est rgulire. La dcomposition en valeurs singulires.Ces formes sont utilises pour l'analyse et la synthse des systmes singuliers.

1.4.2.1 Forme quivalente par dcomposition de Kronecker-Weierstrass

La dcomposition de Kronecker-Weierstrass [Dai 89] est obtenue par l'utilisation du r-

sultat suivant :

Pour tout systme de la forme (1.10) qui admet un couple (E;A) rgulier, il existe deux

matrices non singulires U1 et U2, telles que :

U1EU2 =

In1 00

et U1AU2 =

A1 00 In2

Le systme (1.10) est quivalent :

_x1(t) = A1x1(t) +B1u(t) (1.13)

_x2(t) = x2(t) +B2u(t) (1.14)

y(t) = C1x1(t) + C2x2(t) (1.15)

o x1 2 Rn1 , x2 2 Rn2 , n1 + n2 = n et est une matrice nilpotente [Guan 10], i.e.,toutes ses valeurs propres sont nulles.

est d'indice de nilpotence ( dim()) tel que 1 6= 0 et = 0.

U1B =

B1B2

; CU2 =

C1 C2

et U12 x =

x1x2

La dynamique du sous-systme (1.13) est xe par les valeurs propres de la matrice A1.

Le modle (1.13) est appel souvent sous-systme causal ou lent, tandis que le modle

(1.14) est appel sous-systme non causal ou rapide.

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Dnition 1.3 (Systme causal) [Marx 03] Le systme (1.10) o le triplet (E;A;B) est

dit causal si pour chaque condition initiale x0 et u(t) admissible (x0 = x(0)), le systme

admet une solution qui peut tre crite sous une forme ne contenant pas la driv de u(t).

D'une faon gnrale, les matrices U1 et U2, qui transforment un systme singulier en sa

forme quivalente dnie par (1.13)-(1.15), ne sont pas uniques. Cela revient dire, qu'il

existe d'autres formes quivalentes du systme singulier.

1.4.2.2 Forme quivalente par dcomposition en valeurs singulires

La seconde forme quivalente est fonde sur la dcomposition en valeurs singulires [Guan 10]

de la matrice E. En eet, pour toute matrice E 2 Rnn il existe deux matrices non sin-gulires V1 et V2 telle que :

V1EV2 =

Ir 00 0

L'utilisation de ces deux matrices permet de reprsenter le systme (1.10) sous la forme

suivante :

_x1(t) = A11x1(t) + A12x2 +B1u(t) (1.16)

0 = A21x1(t) + A22x2 +B2u(t) (1.17)

y(t) = C1x1(t) + C2x2(t) (1.18)

avec V1AV2 =

A11 A12A21 A22

; V1B =

B1B2

; CV2 =

C1 C2

; V

12 x =

x1x2

,

x1 2 Rr et x2 2 Rnr, o r = rang(E).La description dnie par (1.16)-(1.18) reprsente la deuxime forme quivalente du sys-

tme singulier (1.10). Dans cette transformation, les matrices V1 et V2 ne sont pas uniques,

ce qui implique l'existence d'autre formes quivalentes. La dcomposition en valeurs sin-

gulires, rete la signication physique des systmes singuliers. Par consquence, l'qua-

tion (1.16) est une quation direntielle qui constitue la mmoire du systme. La relation

(1.17) est une equation statique qui voque l'interconnection des variables d'tat. Ainsi,

un systme singulier peut tre reprsent comme un systme compos de plusieurs sous-

systmes interconnects.

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1.4.3 Rponse temporelle

Nous avons signal dans la section (1.4.1) qu'un systme singulier linaire a une solution

unique pour une certaine condition initiale si et seulement si il est rgulier. Dans cette

section, nous allons montrer que la rponse d'un systme singulier linaire [Mull 00] est

la somme des rponses du sous-systme lent (1.13) et du sous-systme rapide (1.14).

Le dveloppement est bas sur la forme quivalente par dcomposition de Kronecker-

Weiestrass du systme singulier (1.10).

1.4.3.1 Rponse temporelle du sous-systme lent

La rponse du sous-modle dynamique (1.13) voluant sous l'eet d'une entre u(t) peut

tre dtermine partir des conditions initiales donnes en calculant sparment l'eet

des conditions initiales et de l'entre. En eet, ce sous-systme admet une solution unique

pour toute entre u(t) connue sur un intervalle [0; t] et pour toute condition initiale x10.

Cette solution est donne par :

x1(t; u; x10) = x1i(t; x10) + x1u(t; u)

avec x1i(t; x10) est la rponse due la condition initiale x10 qui est dnie par :

x1i(t; x10) = eA1tx10

et x1u(t; u) est la rponse due l'entre de commande u(t) qui est dnie par :

x1u(t; u) =

Z t0

eA1(t)B1u()d

D'o, la solution temporelle devient alors :

x1(t) = eA1:tx10 +

Z t0

eA1:(t)B1u()d (1.19)

1.4.3.2 Rponse temporelle du sous-systme rapide

Le lemme (1) suivant donne la rponse temporelle du sous-modle rapide (1.14) du systme

singulier.

Lemme 1 [Dai 89] Considrons le modle statique (1.14) u(t) 2 C (de classe ), avec est l'indice de nilpotence de la matrice . Alors le sous systme (1.14) admet une rponse

temporelle de la forme :

y2(t) = C21X=0

B2u()(t) (1.20)

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Pour garantir la continuit de x2(t) par rapport au temps t, il faut que la commande u(t)

soit au moins de classe . Dans ce sens, la quantit joue un rle important dans la

thorie des quations algbro-direntielles linaires rgulires. Pour nir, l'tat x(t) et la

rponse y(t) du systme singulier (1.10) sont donns par :

x(t) = U2

In10

x1(t) + U2

0In2

x2(t)

ce qui est quivalent :

x(t) = U2

In10

(eA1:tx10 +

Z t0

eA1:(t)B1u()d) U2

0In2

1X=0

B2u()(t) (1.21)

et par suite :

y(t) = CU2

In10

(eA1:tx10+

Z t0

eA1:(t)B1u()d)CU2

0In2

1X=0

B2u()(t) (1.22)

La condition initiale qui vrie la contrainte suivante :

pour t ! 0+ x(0+) = U2In10

x10 U2

0In2

1X=0

B2u()(0+) (1.23)

est appele condition initiale admissible

2

. Donc un systme singulier a une trajectoire

unique lorsque la condition initiale x(0) est admissible et que la commande u(t) est

( 1) fois continment drivable par morceaux [Marx 03]. Pour s'aranchir des hypo-thses portant sur l'entre de commande u(t) et la condition initiale x(0), les auteurs

[Cobb 83] et [Verg 81] ont suggr que les systmes singuliers devraient adopter une solu-

tion gnralise en utilisant la thorie de distributions. Rappelons que, la drive au sens

des distributions, note f 0 d'une fonction f continue par morceaux, prsentant des sauts

d'amplitude fi au point i pour i = 1; :::; est donne par [Marx 03] :

f 0(x) = fx +X

k=1

fk(x i)

avec fx est la drive de f par rapport la variable x et (t) est l'impulsion unitaire. En ef-

fet, pour u(t) une fonction continue par morceaux de classe , l'quivalence distributionnel

du sous systme non causal (1.14) devient alors :

_x02 x2(0)(t) = x2(t) +B2u(t) (1.24)2. Le terme admissible est utilis pour dcrire les conditions initiales qui donnent naissance une

solution unique.

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En utilisant l'expression de l'tat x2(t) de (1.20), on obtient alors :

x2(t) = 1X=1

(1(t)x2(0)1X=0

B2u()(t) (1.25)

C'est la forme gnrale de la solution du sous systme rapide (1.14) aux sens de distribu-

tions. Cette solution est appele solution de distribution, dans lequel les termes impulsifs

apparaissent. Il rsulte de (1.19) et (1.25) que la rponse gnrale de l'tat est donne

par :

x(t) = U2

In10

(eA1:t

In1 0

U12 x(0) +

Z t0

eA1:(t)B1u()d)

U2

0In2

(1X=1

(1(t)0 In2

U12 x(0) +

1X=0

B2u()(t)) (1.26)

D'aprs l'expression (1.26), la rponse d'un systme singulier admet une forme complique.

Il comporte non seulement une partie exponentielle, qui dpend des valeurs propres de A1,

de la condition initiale x10 et de l'entre u(t) sur [0; t] (rponse du sous systme causal),

mais aussi une partie qui dpend des drivs de l'entre de commande (rponse du sous

systme non causal). Cette dirence fondamentale entre les deux sous systmes est

l'origine des appellations des sous systmes lent et rapide.

1.4.4 Stabilit des systmes singuliers linaires

La stabilit est la proprit qui permet un systme de revenir son tat d'quilibre

en un temps ni lorsque l'eet de la perturbation a cess. Cette proprit est essentielle

pour garantir le fonctionnement sr d'un systme dynamique. Dans ce paragraphe, nous

tudions la stabilit des systmes singuliers . Ce concept est une extension de la stabilit

des systmes ordinaires.

Dnition 1.4 [Wu 94] Soit B une rgion ouverte de rayon , i.e., B= fx 2 Rn; kxk < g,et x = x(t; t0;Ex(0)) la solution du systme (1.2). Le point d'quilibre x = 0 du systme

(1.2) est dit stable si pour chaque > 0, et t0 2 R+, il existe = (; t0) > 0 tel que six(0) 2 B, alors :

kx(t; t0; Ex(0))k < 8 t t0

Note : La condition initiale est donne sous la forme de Ex(0) 2 ImE, i.e., c'est unecondition initiale consistante que satisfait le systme singulier correspondant [Wang 06].

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Rappelons qu'une condition initiale donne dans l'espace de E est appele consistante,

dans le sens que les solutions seront continuellement dpendantes de celle-ci.

De mme, les dnitions de la stabilit uniforme et de la stabilit asymptotique pour les

systmes ordinaires peuvent tre gnralises aux systmes singuliers.

Dnition 1.5 [Wang 06] Le point d'quilibre x = 0 du systme (1.2) est dit asymptoti-

quement stable si il est stable et, il existe un 0(t0) > 0 tel que si

x(0) 2 B0 ) limt!1

kx(t; t0; Ex(0))k = 0

La dnition mentionne ci-dessus est aussi valable pour le cas des systmes singuliers

linaires.

On dmontre que dans le cas linaire un systme singulier caractris par la paire (E; A)

(1.10) est asymptotiquement stable si les ples de det(sE A) = 0 sont partie rellengative [Wang 06]. Dans ce cas on convient de dire que le couple (E;A) est dit stable.

1.4.5 Admissibilit des systmes singuliers linaires

Dans le cadre des modles singuliers, il est plus adquat de parler de l'admissibilit plutt

que de la stabilit [Dai 89]. En eet, dans la plupart des situations, les termes impulsifs

ne sont pas souhaitables, car ils peuvent saturer la rponse de l'tat ou mme dtruire le

systme. De ce fait, et pour que le systme singulier soit stable et non-impulsif impulse

free , on dnit une notion supplmentaire appele admissibilit.

Dnition 1.6 (Admissibilit) Le systme singulier (1.10) est dit admissible [Wang 06]

si et seulement si le couple (E;A) est rgulier, non-impulsif et stable.

Par la suite, et pour tudier l'observabilit des systmes singuliers, nous allons commencer

par la caractrisation de l'ensemble des tats atteignables depuis une condition initiale

donne.

1.4.6 tat atteignable

Contrairement aux systmes ordinaires, un systme singulier ne peut atteindre gnrale-

ment tous les tats possibles dans le sous-espace de dimension n. Ce concept est gnralis

dans la thorie des systmes singuliers comme l'ensemble des tats accessibles ou attei-

gnables [Dai 89].

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Dnition 1.7 (tat atteignable) [Dai 89] : un tat xa(t) 2 Rn est dit atteignable, s'ilexiste une condition initiale x(0) et une entre de commande admissible u(t) et tf > 0

telles que x(tf ) = xa(t)

Notons par R(0) l'ensemble des tats atteignables depuis une condition initiale nulle

x(0) = 0. R(0) est alors dni par :

R(0) = ImB1 A1B1 An111 B1

Im B2 NB2 N11 B2 avec dsigne la somme directe des espaces vectoriels.

1.4.7 Observabilit des systmes singuliers

Le problme fondamental de l'analyse de l'observabilit d'un systme physique est de pou-

voir dire si l'tat du systme peut tre dtermin en fonction des entres et des sorties.

Dans l'armative, la thorie de l'estimation fournit des outils pour reconstruire cet tat ;

nous rappelons que la connaissance des composantes de l'tat non mesures est en gnral

ncessaire pour rgler un systme ou pour dtecter les dfauts d'un systme. La valeur

initiale de l'tat d'un systme est en gnral inconnue. On peut alors se poser la question :

sous quelles conditions l'tat du systme peut-il tre dtermin partir des sorties et des

entres ? Ce problme est appel problme d'observabilit.

Contrairement aux systmes ordinaires, il y a plusieurs concept d'observabilit pour les

systmes singuliers. Dans cette section, nous allons rappeler les dirents concepts inter-

venant dans l'analyse de l'observabilit de cette classe des systmes.

Dnition 1.8 (Observabilit) [Marx 03] :

Le systme (1.10) est dit observable si la condition initiale x(0) peut tre dtermine de

manire unique par u(t) et y(t) pour t 2 [0;+1[.

Le thorme suivant caractrise l'observabilit du systme singulier (1.10) avec ses sous-

modles dynamique (1.13) et statique (1.14).

Thorme 1.2 [Dai 89]

1: Le sous-systme causal (1.13) est observable si et seulement si

rang

sE A

C

= n; 8 s 2 C

2: Les propositions suivantes sont quivalentes.

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2 a: Le sous-systme statique (1.14) est observable.

2 b: rang CT2 TCT2 (1)TCT2 T = n2.2 c: rang T CT2 T = n2.2 d: rang[ET CT ]T = n.

3: Les propositions suivantes sont quivalentes.

3 a: Le systme singulier est observable.

3 b: Les sous-systmes dynamique (1.13) et statique (1.14) sont observables.

3c: rang CT1 AT1CT1 (An111 )TCT1 T=n1 et rang CT2 TCT2 (1)TCT2 T=n2.3 d: rang[sET AT CT ]T = n et rang[ET CT ]T = n.

3 e: La matrice

O =

266666666666664

A EA E.

.

.

A EA

CC.

.

.

C

377777777777775(n+r1)nn2

est de plein rang colonne.

L'observabilit rete la capacit de reconstruire l'tat entier partir de la sortie mesure

et l'entre du systme. Pour tudier l'observabilit du sous-systme causal, on dnit

le concept de R-observabilit qui caractrise la capacit de reconstruire seulement l'tat

atteignable partir des donnes sur les entres et les sorties.

Dnition 1.9 (R-Observabilit) [Marx 03] : Le systme (1.10) est dit R-observable s'il

est observable dans l'ensemble atteignable.

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Thorme 1.3 [Dai 89]

Les propositions suivantes sont quivalentes.

1: Le systme singulier (1.13)- (1.14) est observable.

2: Le sous-systme (1.13) est observable

3: rang

sE A

C

= n; 8 s 2 C:

4: La matrice

O =

266666666666664

A EA E.

.

.

A EA

CC.

.

.

C

377777777777775(n+r1)nn2

est de plein rang colonne.

La proposition 3 permet de verier la R-observabilit du systme singulier linaire.

La R-observabilit ne concerne que l'tat atteignable, donc ne rete pas l'observabilit des

termes impulsifs. L'observabilit de ces termes revient tudier l'observabilit impulsive

ou Impo-observabilit [Daro 95].

Dnition 1.10 (Observabilit Impulsive) [Dai 89] : Le systme (1.10) est dit Impo-

observable si les termes impulsifs de l'tat peuvent tre dtermins de manire unique

partir de y(t) et u(t).

Thorme 1.4 [Dai 89] On considre le modle de la forme quivalente (1.13)-(1.14),

les propositions suivantes sont quivalentes.

1: Le systme (1.13)-(1.14) est Impo-observable.

2: Le sous modle non causal (1.14) est Impo-observable.

3: rang

24 E A0 E0 C

35 = n+ rang(E), et rang EC

= n.

4: KerT

Ker C2T

Im = f0g.

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Pour un systme singulier donn, l'observabilit, la R-observabilit et l'observabilit im-

pulsive prcisent la capacit de construire les variables d'tat. Un systme est Impo-

observable s'il est observable, l'inverse n'est pas vraie. La relation entre ces trois concepts

d'observabilit peut tre illustre par le diagramme suivant :

E; A; C) observable ,

8>>>:(In1; A1; C1)

observable ,(E;A;C)

R observable

(; In2; C2)

observable )(E;A;C)

impo observable

1.4.8 Dtectabilit des systmes singuliers

Pour les systmes linaires ordinaires, le concept de dtectabilit est plus faible que l'ob-

servabilit. La dtectabilit est la condition minimale pour qu'un systme ordinaire peut

avoir un observateur d'tat. Ce concept peut galement tre gnralis au cas des systmes

singuliers linaires.

La dtectabilit assure que les ples nis instables sont observables, ou les ples non

observables sont stables.

Dnition 1.11 (Dtectabilit des modes non impulsifs) : [Boul 08] Les modes non im-

pulsifs du systme linaire singulier (1.10) sont dtectables si la relation suivante est

satisfaite

rang

sE A

C

= n 8 s 2 C avecRe(s) 0 (1.27)

Dnition 1.12 (Dtectabilit des modes impulsifs) : [Boul 08] Les modes impulsifs du

systme linaire singulier (1.10) sont dtectables si la relation suivante est satisfaite

rang

24 E A0 E0 C

35 = n+ rangE (1.28)

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Exemple 1 : Circuit lectrique :

Considrons le circuit lectrique reprsent par la gure suivante [Marx 03] :

R1

R2

q(t)C

L

u(t)

i1(t) i2(t)

i3(t)

gure 1.2 circuit lectrique

Le circuit est command par une tension u(t). Les courants i1(t) et i2(t) traversant respec-

tivement les deux rsistances R1 et R2 sont considrs comme des variables de sorties. La

charge au bornes du condensateur de capacit C est note q(t) et L dsigne une inductance

pure. Si l'on choisit comme variables d'tat q(t), i2(t) et i3(t), on a alors les quations

dynamiques et algbriques suivantes :

dq(t)dt

= u(t)=R11=(CR1)q(t)i2(t) : L'intensit qui traverse le condensateur. Ldi2(t)

dt= 1

Cq(t)R2i2(t) : La tension aux bornes de l'inductance.

1Cq(t)+R1i1(t)u(t) = 0, 1C q(t)+R1i2(t)+R1i3(t)u(t) = 0 : L'quation algbriqueCes quations peuvent se mettre sous la forme d'un systme singulier comme suit :24 1 0 00 1 0

0 0 0

3524 _q(t)_i2(t)_i3(t)

35 =24 1=(CR1) 1 01=(LC) R2=L 0

1=C R1 R1

3524 q(t)i2(t)i3(t)

35+24 1=R10

1

35u(t)y(t) =

0 1 10 1 0

24 q(t)i2(t)i3(t)

35(1.29)

Le modle singulier (1.29) peut tre crit sous la forme quivalente de Kronecker-Weierstrass

(1.13)-(1.15) avec :

U1 =

24 1 0 00 1 00 0 0

35 ; U2 =24 1 0 00 1 0

0 1 1

35 ; A1 = 1=(CR1) 11=(LC) R2=L

= 0; B1 =

1=R10

; B2 = 0; C1 =

0 00 1

; C2 =

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1.5. Systme singulier linaire paramtres variants (LPV) 29

Pour tudier l'observabilit du circuit lectrique dcrit par (1.29), vrions la condition

3 c: du thorme (1.2),rang

C1C1A1

= n1 = 2 et rang

C2

= 1.

Le systme tudi est donc observable.

1.5 Systme singulier linaire paramtres variants (LPV)

Les systmes singuliers linaires paramtres variants (LPV) [Hamd 09] reprsentent

une gnralisation de la classe des systmes singuliers temps variant (LTV).

La principale dirence provient de la particularit que pour les systmes LPV, la dpen-

dance temporelle est dissimule dans les paramtres variables dans le temps (t) 2 Rl.Ces systmes sont dcrits par une reprsentation d'tat de la forme suivante :

E _x(t) = A((t))x(t) +B((t))u(t)y(t) = C((t))x(t)(1.30)

L'utilisation du terme LPV suggre que les paramtres peuvent tre connus en temps

rel alors que le terme LTV signie que le systme est non stationnaire (modle linaire

coecients variables dans le temps). De ce fait, un systme singulier LTV est un cas

spcial d'un systme LPV quand le vecteur des paramtres variants dans le temps est gal

au temps, i.e.

(t) = t; l = 1

D'un point de vue pratique, les systmes singuliers LPV peuvent tre considrs comme

tant des systmes singuliers linaires temps-invariant (LTI) aects par une incerti-

tude paramtrique temps variant (t) ou des modles rsultant de la linarisation des

processus non linaires le long d'une trajectoire de paramtre (t).

Il est possible de rapprocher des systmes singuliers non linaires par une classe spcique

de systmes LPV appel quasi-LPV (qLPV) lorsque certains lments des paramtres va-

riants (t) sont choisis comme tant des signaux du systme. Ces systmes sont obtenus

via une transformation LPV directe [Bria 08] ou en utilisant la reprsentation de Takagi-

Sugeno [Taka 85].

1.5.1 Reprsentation des systmes singuliers (LPV)

Les systmes singuliers LPV peuvent tre classs en plusieurs familles selon la faon dont

les paramtres agissent sur le systme. Parmi la grande varit de ces systmes LPV, il

est possible de distinguer trois types principaux qui sont couramment utiliss pour faire

face des systmes LPV.

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1.5.1.1 Systme singulier (LPV) ane

La reprsentation ane des systmes singuliers LPV est la forme la plus simple qui peut

tre rencontre. Les matrices de l'espace d'tat du systme (1.30) dpendent des para-

mtres variants. Leurs expressions gnrales sont donnes par :

A((t)) = A0+1(t)A1+ +l(t)AlB((t)) = B0+1(t)B1+ +l(t)BlC((t)) = C0+1(t)C1+ +l(t)C l(1.31)

Notons que le paramtre (t) varie dans un polytope de sommets i [Rodr 05] tels que

i 2 = f1; :::; lg. Chaque paramtre i varie entre les bornes limites connues de (t).i 2 [i; i]

1.5.1.2 Systme singulier (LPV) polytopique

Le passage entre la reprsentation ane et polytopique des systmes singuliers LPV est

possible car chaque matrice reprsentant le systme est une combinaison barycentrique

de plusieurs matrices :

A((t)) =1((t))A1+2((t))A2+ +h((t))AhB((t)) =1((t))B1+2((t))B2+ +h((t))BhC((t)) =1((t))C1+2((t))C2+ +h((t))Ch(1.32)

La forme polytopique du systme singulier LPV est rgie par les expressions suivantes :8>>>:E _x(t) =

hPi=1

i((t))(Aix(t) +Biu(t))

y(t) =hPi=1

i((t))Cix(t

(1.33)

avec :

i() 0;hXi=1

i((t)) = 1 (1.34)

et

h = 2l

Le terme polytopique vient du fait que le vecteur(t) volue dans un polytope dni par :

=

(((t)) 2 Rh; i((t)) 0; 8 i;

hXi=1

i((t)) = 1

)(1.35)

Il est important de noter que tout systme paramtres variants peut tre exprim comme

un systme polytopique. La modlisation LPV polytopique ore un cadre adquat pour

aborder le problme d'observation et de diagnostic des systmes singuliers notamment

l'aide de l'outil LMI.

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1.6. Systme singulier non linaire 31

1.5.1.3 Reprsentation linaire fractionnaire (LFR)

Cette reprsentation est l'interconnexion d'un systme dynamique linaire avec une ma-

trice (un systme statique) dpendant des paramtres. Tout type de systme LPV dont

les matrices d'tat dpendent rationnellement de paramtres, peut tre mis sous la forme

de LFR [Bria 08]. Cependant il n'est pas toujours ais de trouver une reprsentation LFR

d'ordre minimale, c'est dire avec une matrice de taille minimale.

1.6 Systme singulier non linaire

Un systme singulier non linaire est un ensemble d'quations (direntielles et al-

gbriques) non linaires, dcrivant l'volution temporelle des variables constitutives d'un

processus sous l'action d'un nombre ni de variables indpendantes appeles entres ou

variables de commande, ou simplement commandes, que l'on peut choisir librement pour

raliser certains objectifs. L'quation d'tat d'un systme singulier non linaire est :E _x(t) = f(x(t); u(t))y(t) = g(x(t); u(t))(1.36)

avec f et g sont deux fonctions non linaires de dimensions appropris. Cependant, bien

qu'il y ait des thories compltes pour le traitement analytique et numrique des systmes

ordinaires, la situation est beaucoup plus complexe dans le cas des systmes singuliers non

linaires. En eet, plusieurs problmes sont encore sans rponse.

Cette section prsente quelques proprits des systmes singuliers non linaires concernant

la rsolution et le concept d'indice [Sjb 06] pour cette classe de systmes.

1.6.1 Solvabilit des systmes singuliers

La solvabilit [Venk 95] signie qu'il existe une solution qui satisfait les quations

dynamiques et statiques du modle singulier (1.36) pour un tat initial donn.

La dnition d'une solution classique est adopte par He-Sheng Wang et al. [Wang 06] et

est formule comme suit.

Dnition 1.13 Considrons le modle singulier (1.2) et soit T R un sous-intervallede temps

Le vecteur d'tat x(t) : T 7! Rn est dit une solution de (1.36), si x(t) est continu etdrivable et satisfait (1.36).

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Dans la suite, un problme est dit solvable s'il admet au moins une solution. Cette dni-

tion semble normale mais il convient de noter que dans la majeure partie de la littrature,

le terme solvabilit est employ seulement pour les systmes qui ont une solution unique

quand les conditions initiales consistantes sont fournies.

1.6.2 Indice des systmes singuliers

Le traitement analytique et numrique des systmes singuliers est tout fait dirent

et plus compliqu que les systmes ordinaires. La recherche sur ce type de modles ma-

thmatiques, exige une classication approprie selon certains degrs de dicult. Cette

condition mne au dveloppement (indpendant) de plusieurs concepts d'indice [Sjb 06]

pour la classication de dirents types de systmes singuliers. Le concept d'indice joue

un rle principal dans l'analyse numrique des systmes singuliers. L'indice d'un modle

singulier fournit une mesure de dicult dans l'tude analytique aussi bien que dans la

rsolution numrique. Les concepts d'indice les plus couramment employs dans la littra-

ture, sont l'indice de direntiation et l'indice de perturbation. Dans la suite nous allons

tudier les notions de ces deux types d'indice.

1.6.2.1 Indice de direntiation

L'indice direntiel est le nombre minimal des direntiations requises pour obtenir un

systme quivalent base des quations ordinaires.

1.6.2.2 Exemple 1 (Indice 1)

Considrons le systme singulier suivant :_x1(t) = f(x1(t); x2(t))0 = g(x1(t); x2(t))(1.37)

avec f et g : Rn Rn 7! RnOn suppose que g(x1(t); x2(t)) et x2(t) sont de mmes dimensions et que les conditions

initiales sont consistantes (x(0) = 0 et g(x1(0); x2(0)) = 0).

Le problme dans le modle prcdent est que la drive de l'tat x2(t) n'apparat pas

explicitement, ce qui nous oblige chercher comment passer d'un systme singulier (1.37)

un systme ordinaire rgi seulement par des quations direntielles. Pour rpondre

cette question, on eectue la direntiation des contraintes algbriques par rapport au

temps de la faon suivante :

gx1(x1(t); x2(t)) _x1(t) + gx2(x1(t); x2(t)) _x2(t) = 0

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gx1(x1(t); x2(t))f(x1(t); x2(t)) + gx2(x1(t); x2(t)) _x2(t) = 0 (1.38)

avec gx1 et gx2 sont respectivement les matrices Jacobienne dnies par rapport aux va-

riables d'tat x1 et x2. Si la solution obtenue est inversible, le systme singulier (1.37)

peut s'crire sous la forme :_x1(t) = f(x1(t); x2(t))_x2(t) = g1x2 (x1(t); x2(t))gx1(x1(t); x2(t))f(x1(t); x2(t))(1.39)

Le systme ordinaire (1.39) est obtenu aprs une seule direntiation par rapport au

temps, on dit alors que le systme algbro-direntiel (1.37) est d'indice 1.

1.6.2.3 Exemple 2 (Indice 2)

Considrons le systme singulier suivant :_x1(t) = f(x1(t); x2(t))0 = g(x1(t))(1.40)

Pour les mmes conditions initiales de l'exemple 1, si on direncie le systme une seule

fois, on se ramne : _x1(t) = f(x1(t); x2(t))0 = gx1(x1(t))f(x1(t); x2(t))(1.41)

Le systme obtenu est encore de type algbro-direntiel. On ralise nouveau la di-

rentiation du systme (1.41) on obtient alors :

0 = gx1x1(x1(t))f(x1(t); x2(t))f(x1(t); x2(t)) + gx1(x1(t))fx1(x1(t); x2(t)) _x1(t)+gx1(x1(t))fx2(x1(t); x2(t)) _x2(t)

De la mme manire que l'exemple 1, si gx1fx2 est une matrice inversible, alors le systme

singulier (1.40) peut s'crire sous la forme ordinaire suivante :8


La motivation pour cette dnition est base sur le procd de rsolution des quations

algbriques (en utilisant leurs drivs si ncessaire) en transformant le systme singulier

en un systme ordinaire. Il existe aussi un autre type d'indice pour les systmes algbro-

direntiels ; il s'agit de l'indice de perturbation qui correspond une mesure de la sensi-

bilit des solutions par rapport aux perturbations du systme. L'indice de direntiation

et l'indice de perturbation ne sont pas toujours gaux.

1.6.2.4 Indice de perturbation

L'indice de perturbation est une mesure de la sensibilit aux perturbations d'un systme

singulier de la forme (1.36).

Dnition 1.15 [Hair 89] Soit x(t) une solution de (1.36) sur un intervalle [t0; T ]. L'in-

dice de perturbation de (1.36) est le plus petit entier p tel que pour toute fonction x^(t)

de classe C1 vriant :

f( _^x(t); x^(t); u(t)) = (x(t))

il existe une majoration de la forme

kx^(t) x(t)k C0@kx^(t0) x(t0)k+ sup

2[t0; T ]

Z

t0

(t)dt

+p1Xj=0

sup2[t0; T ]

(j)()

1Avalable pour toute fonction de drives susamment petites et o C est une constante

ne dpendant que de f et de t0 T .

1.6.3 Rduction d'indice

L'indice de direntiation mesure aussi d'une certaine faon la dicult qu'il y a pour

rsoudre un systme. En eet, la direntiation est une opration qui introduit des insta-

bilits numriques, donc plus on ralisera de direntiations, c'est--dire plus l'indice de

direntiation sera lev, plus le systme sera numriquement dicile rsoudre.

Les solveurs des systmes d'quations direntielles implicites et/ou d'quations algbro-

direntielles ne savent en gnral rsoudre que les systmes d'indice 1 et quelques sys-

tmes d'indice 2. Lorsque l'on a des systmes d'indice plus lev, comme dans l'exemple 2

du paragraphe prcdent, il faudra rduire l'indice. L'outil principale de rduction d'indice

est la direntiation des contraintes algbriques [Kunk 01] pour un systme singulier.

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1.6.4 Application : Rduction d'indice du modle singulier qui

dcrit un Pendule

Considrons le modle mathmatique du pendule [Sjb 06] reprsent sur la gure sui-

vante :

xx1

2

gure 1.3 Un pendule

Les quations dcrivant ce modle sont :

_x1(t) = x3(t) (1.42)

_x2(t) = x4(t) (1.43)

_x3(t) = x1(t)x5(t) bx23(t) (1.44)_x4(t) = x2(t)x5(t) bx24(t) g (1.45)0 = x21(t) + x

22(t) L2 (1.46)

Comme il est reprsent sur la gure 1.3, x1 et x2 sont respectivement les positions hori-

zontale et verticale du pendule. De plus, x3 et x4 reprsentent les vitesses horizontale et

verticale du pendule, x5 est la tension de la tige qui est considre inextensible et sans

masse, la constante b reprsente la force de frottement avec l'air et g est le champ de

pesanteur. L est la longueur de la tige. Dans la suite et travers l'exemple du pendule,

nous dvelopperons le concept de rduction d'indice pour le systme d'quations (1.42) -

(1.46). La direntiation de l'quation algbrique (1.46) par rapport au temps donne :

2x1(t) _x1(t) + 2x2(t) _x2(t) = 0

Remplaons _x1(t) par x3(t) et _x2(t) par x4(t), nous obtenons :

x1(t)x3(t) + x2(t)x4(t) = 0 (1.47)

Direncions la dernire quation algbrique (1.47),

( _x1(t)x3(t) + x1(t) _x3(t)) + ( _x2(t)x4(t) + x2(t) _x4(t)) = 0

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De la mme manire, si l'on remplace _x1(t) par x3(t) et _x2(t) par x4(t), on obtient alors,

(x23(t) + x1(t) _x3(t)) + (x22(t) + x2(t) _x4(t)) = 0 (1.48)

En substituant une autre fois (1.44) et (1.45) dans (1.48), on obtient :

(x23(t) x1(t)(x1(t)x5(t) + bx23(t)) + (x22(t) x2(t)(x2(t)x5(t) + bx24(t) + g)) = 0 (1.49)

Si l'on remplace l'quation (1.43) par (1.47) et l'quation (1.45) par (1.49) le modle du

pendule devient alors :

_x1(t) = x3(t) (1.50)

0 = x1(t)x3(t) + x2(t)x4(t) (1.51)

_x3(t) = x1(t)x5(t) bx23(t) (1.52)0 = 1

L2x23(t) bx1(t)x23(t) x2(t)(bx24(t) + g))

x5(t) (1.53)0 = x21(t) + x

22(t) L2 (1.54)

Le modle obtenu, est d'indice 1. Cette reduction prouve que seulement x1 et x3 sont

dtermines par des quations direntielles. Les autres variables sont donnes par les

quations algbriques. Par consquent, la dynamique du systme est dnie par x1 et x3

alors que x2, x4 et x5

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These Hamdi Habib 2012 Final