Thesis Elbelrhiti

UNIVERSITE DENIS DIDEROT — Paris VII

Memoire presente pour obtenir

Docteur de l’Universite Paris VII

Specialite : Geophysique

par

Hicham ELBELRHITI

Laboratoire de Physique & Mecanique des Milieux Heterogenes

Ecole Superieure de Physique-Chimie Industrielle Paris

& Matieres et Systemes Complexes

Universite Paris 7

Morphodynamique des barkhanesEtude des dunes du Sud-Ouest Marocain

Soutenue le 13 Decembre 2005devant le jury compose de Madame et Messieurs

Sylvie BOURQUIN (Rapporteur)Stephane DOUADY (Directeur de these)Philippe GONDRET (Examinateur)

Francois METIVIER (Examinateur)Olivier POULIQUEN (Rapporteur)Pierre ROGNON (Examinateur)

Remerciements

Tout d’abord je tiens a remercier mes directeurs de these. En fait l’aventure a commencequand j’ai obtenu mon diplome de DESA a la faculte des sciences d’Agadir sur la pollution deseaux souterraine. Bref, sur un sujet tout a fait different de celui de cette these. A ce momentla, Belkacem Kabbachi – et vu les difficultes que j’ai eu– m’a conseille de changer carrementle sujet de ma these en me proposant un sujet sur les dunes barkhanes propose par l’equipede Stephane Douady et Bruno Andreotti. C’est ainsi que cette aventure a l’interface entre laphysique et la geologie a commence. Et je dois a Belkacem Kabbachi de m’avoir lance sur unsujet aussi passionnant.

Pendant ma premiere mission au terrain en novembre 2002, j’ai eu l’occasion de rencontrerStephane Douady pour la premiere fois. Durant mes quatre ans de la these, il a toujours faitpreuve d’une grande disponibilite a mon egard tout en me laissant une grande liberte de travail.

Bruno Andreotti qui a dirige ma these, dans le meilleur sens de cette expression (Nousavons partage 11 missions ensemble), toute en me laissant la liberte de trouver ma propre ap-proche et facon de travailler, il a ete toujours present pour assurer une stabilite dans les momentsfragiles et pour perturber des visions trop restreintes. Il m’a lance sur un sujet passionnant, etil n’a cesse d’y apporter son originalite. Il m’a soutenu aussi dans les aspects bien pratiquescomme la redaction de cette these et dans des aspects purement personnels comme trouver unlogement a Paris.

Je tiens a remercie egalement Sylvie BOURQUIN et Olivier Pouliquen pour avoir ac-cepte d’etre les rapporteurs de cette these mais aussi, en ce qui concerne Pouliquen de m’avoiraccompagne deux fois sur le terrain.

Durant cette these, j’ai eu l’occasion de discuter avec Pierre Rognon. Je le remercie pourcela, ainsi que pour avoir accepte d’etre membre de mon Jury de soutenance. Je tiens egalementa exprimer ma reconnaissance a Phillipe Gondret qui a accepte de faire partie de ce Jury etFrancois Metivier d’avoir accepte de presider mon Jury de soutenance..

Je remercie egalement Phillipe Claudin, avec eu j’ai eu l’occasion de collaborer durantcette these. J’ai beaucoup apprecie les trois missions que nous avons effectuees ensemble sur leterrain et surtout la longue mission des ondes.

Laurent Quartier a corrige des innombrables fautes de grammaire et d’orthographe dans lemanuscrit. C’est lui qui a concu et fabrique tous les outils et les instruments de mesures que j’aiutilises. En plus, il s’est occupe de tous mes papiers administratifs. Ces quatre annees auraientete beaucoup moins agreables et amusantes sans lui. Un grand merci aussi a sa patience, sonendurance et son exactitude

Au cours de mes quatre ans, j’ai rencontre beaucoup de problemes et heureusement qu’ilavait Yves Couder que, je le remercie, pour tous ce qui a fait pour moi. Abdelkarim Ezzaıdi, abeaucoup travaille pour obtenir les autorisations officielles pour permettant de travailler a longterme sur le terrain. Pascal Hersen a ete mon co-thesard, et j’ai des souvenirs agreables destrois missions que nous avons realises ensemble au terrain. J’ai eu aussi la chance de rencontrerImad Elkouch qui a prepare son DESA sur les dunes au sein de l’equipe Geomaride. J’ai surtoutapprecie son amour quant a son sujet de recherche. Malheureusement, je n’ai pas eu assez dutemps pour discuter avec lui. Egalement, je remercie Rachid Yagoti qui prepare un DEA aSeville pour ce qui m’a pris sur les psammophiles (les plantes qui vive dans le sable). HerveBellot technicien au CEMAGREF de Grenoble a monte notre petite mini-station eolienne . Jeles remercier pour ca et pour les deux mission que nous avons effectues sur le terrain.

Je remercie aussi Jose Wesfred qui m’a accueilli au PMMH et aussi les personnes qui fontfonctionner ce laboratoire. La secretaire Frederique Auger, les ingenieurs Jose Lanusa, Therry

Darnige. L’ambiance au PMMH etait stimulante et je suis content d’y avoir rencontre la bandedes thesard : Florent Malloggi, Gabriel Caballero Christophe Chevalier, Emmanuelle Rio, LenaıcBonneau et Antoine Faurriere qui posent quelques questions surprente tel que quel est le devenird’un chat dans le micro-onde . Les post-doctorants Khay Leindberg, jacco Sneiger, Shio Anogakiet sans oublier les chercheurs permanents Eric Clement, Evelyne Kolb et Anke Lindner. Quanta Adrian Daerr, je le remercie de m’avoir accompagne sur terrain en novembre 2004.

Je n’oublierai pas a remercier Monsieur, Jemati Cherqui et Belekhdim du centre geologiqueregional de Laayoun qui m’ont permis l’acces aux photographies aeriennes de la serie 1979.Ma reconnaissance aussi a Monsieur le Directeur du Centre de Developpement des EnergiesRenouvelable de Marrakech (CDER) et a Monsieur Nzili du meme etablissement de m’avoirfourni la base des donnees des enregistrements eoliens de Tarfaya de l’annee 1999.

Pendant ma these, j’avais la chance de louer une maison a Tarfaya pendant deux ans. Cettechance m’a permis d’entrer en contact direct avec les habitants de la region. Pour les remercier,j’ai fait une modeste recherche sur leurs connaissances sur les dunes que je me permets de lamettre dans les remerciements :

Dans sa these Oulahri (Oulehri, 1992) a mentionne que les bedouins autrefois cachaientleurs biens pendant les gazias et les guerres en dessous des faces d’avalanches des barkhaneset la taille de la barkhane utilisee comme cachette est choisie selon la duree que le bedouinveut cacher ses biens. Ceci montre non plus que ces gens de desert savent que la migrationdes barkhanes depend de leurs tailles, mais en plus elles savaient leurs vitesses de migration.Nous aussi durant notres sejours a Tarfaya nous avons constate que les autochtones de la regionont des connaissances et parfois des legendes autour de quelques dunes, et surtout en ce quiconcernes les megabarkhanes. A titre d’exemple, ils distinguent la couleur rouge de ces dunescar ils appellent l’endroit a cote de ces megadunes ”Alghord lahamr”, c’est-a-dire la barkhanerouge. D’ailleurs, meme si le mot barkhane est d’origine arabe, ces bedouins appellent leursbarkhanes des ” Ghordes ”, ce mot vient du son ”Ghooor” cree par des avalanches spontaneesqui naissent sur la face d’avalanche comme ils expliquent quelques habitants de Tarfaya. Lefaite qu’ils generalisent ce mot sur toutes les barkhanes de la region signifient que probablementtoutes les dunes de la region chantent, et pourtant ils avaient raison car nous avons enregistredes chants des dunes sur une barkhane de 8 m de haut, la seule difference entre le son desmegadunes et celui des barkhanes et que le premier est tres fort par rapport au second. Ceci peutetre explique par la difference de hauteurs de la face d’avalanche, sur les megas les avalanches ontbeaucoup plus de la surface pour donner un son tres fort. Concernant la vitesse de propagationdes dunes, Les bedouins pensent que les megabarkhanes sont statique et ne bougent plus, ducoups certains pensent qu’il cachaient en dessous un village puni par Dieu.

Pour les termes utilises pour decrire la forme des barkhanes, nous avons retenu le mot ”Taghorfa ” utilise pour decrire la face d’avalanche des barkhanes. Le mot arabe ”Ghorfa” quisignifie chambre pourrait etre a l’origine de cette appellation. Peut etre ils ont attribue ce noma la face d’avalanche parcequ’ elle est le lieu ou tous le sable et les objets flottants finirent pars’accumuler grace aux tourbillons de la zone de remous.

Table des matieres

1 Introduction geomorphologique 3

1.1 Le couvert vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Le regime de vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Couverture sableuse et alimentation en sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Synthese et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Techniques de mesure 17

2.1 Forme et position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Mesure de contour par GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Mesure par marquage physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Photographies aeriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4 Mesure de profils de hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.5 Forme tri-dimensionnelle d’une barkhane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Mesure de vitesse du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Granulometrie et couleurs des grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Mesure de transport de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Mesure de l’erosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Flux et flux sature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Comportement moyen et forme d’equilibre 47

3.1 Ecoulement de l’air, erosion et flux autour d’une barkhane . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Morphologie moyenne et longueur caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Propagation et flux caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Forme d’equilibre et selection de taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.1 Forme d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.2 Bilan de masse et selection de taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 Corridors of barchan dunes : stability and size selection. . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.1 Barchan modeling. The Ccc model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.2 Time and length scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.3 Flux instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.4 Collisional instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.5 Barchans corridors, an open problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Dynamique Hors Equilibre 89

4.1 Fluctuations de la propagation et de la forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.1 Champ de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.2 Fluctuation de la vitesse de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.3 Intermittence du regime de vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.4 Variabilite de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Fluctuations de la pente a la crete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3

4.3 Mise en evidence du caractere instable des barkhanes . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.1 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Nature des oscillations de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5 Mecanismes d’instabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.1 Amplitude des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.6 Recollement de la couche limite sur une face d’avalanche secondaire . . . . . . . . 1084.7 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5 Evolution d’un champs des dunes 115

5.1 Structuration en couloirs du champ des dunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 Parametres controlant la taille des dunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.3 Nucleation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4 Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.5 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 Conclusion 139

7 Bibliographie 143

7.1 Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A Chant des dunes 147

A.1 The song of the dunes as a self-synchronized instrument. . . . . . . . . . . . . . . 148A.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.1.2 Grains motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.1.3 Synchronization by resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150A.1.4 Resonance condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152A.1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Avant propos

L’ensablement constitue la manifestation ultime de la desertification qui menace en premierlieu les regions semi-arides, arides et sahariennes ou le risque de l’equilibre entre la disponibi-lite des ressources naturelles et leur exploitation est grande. L’accroissement demographique, lesurpaturage, l’urbanisation sont autant de facteurs responsables de la desertification. Au sud-Ouest marocain, l’ampleur de ce phenomene est aggrave par l’importance des stocks de sablemobilisables, qui constituent une menace serieuse et permanente pour l’ensemble des infrastruc-tures de developpement (fig. 1). La lutte contre ce fleau fait appel, en plus des techniquestraditionnelles, a des techniques modernes souvent pointues et onereuses (fig. 2). La rechercheen matiere de lutte contre l’ensablement pourrait s’ouvrir a nouvelles techniques moins cheres etplus efficaces. C’est l’une des raisons qui ont motive ce travail de doctorat sur la comprehensiondes mecanismes fondamentaux a l’œuvre dans les champs de barkhanes.

a

b c

d

Fig. 1 – b) et d) Les routes du Sahara Atlantique sont regulierement barrees par des barkhanes. a)Ensablement d’un bus a l’entree de Tarfaya. c) Photographie d’un batiment abandonne pour cause d’en-sablement.

1

a b

c

Fig. 2 – Pour lutter contre la propagation des barkhanes, les services concernes ont deploye differentestechniques.a) Tentative de fixation des dunes par des feuilles de palmier dattier (Tarfaya) b) Photographieaerienne prise en 1979 montrant un essai de fixation par depot de residus d’hydrocarbures (Laayoun) c)Deblaiement des routes a l’aide d’un bulldozer.

Ce memoire de these de doctorat porte sur l’etude de la morphodynamique dunaire autravers du cas du Sud-Ouest Marocain. Bien qu’emaille des fruits d’une collaboration rapprocheeavec des theoriciens, l’essentiel de notre travail a consiste a etudier sur le terrain, pendanttrois ans, la dynamique des barkhanes a l’echelle de la dune et du champ de dunes. Dans unpremier chapitre, nous presenterons les caracteristiques geomorphologiques de la region etudiee,en passant en revue les raisons pour lesquelles on y trouve l’un des plus beaux champs debarkhanes sur Terre. Puis nous effectuerons un ’traveling arriere’ en partant de l’echelle dugrain pour arriver au champ de dunes en fin de manuscrit, en passant par l’echelle de la dune.Plus precisement, nous profiterons de la description des techniques de mesure que nous avonsdeveloppees pour introduire au chapitre II les notions essentielles ayant trait au transport desable eolien. Puis, nous presenterons au chapitre III les resultats que nous avons obtenus surles proprietes moyennes des barkhanes (forme, rapports d’aspect, vitesse de propagation) endiscutant des mecanismes dynamiques a cette echelle. Les deux derniers chapitres constituentle cœur de cette etude. Le chapitre IV constitue une demonstration du caractere generiquementinstable des barkhanes. Enfin, dans le chapitre V, nous montrerons que la selection de la tailledes dunes ne provient pas d’un etat d’equilibre mais d’une regulation dynamique dont nousidentifierons les mecanismes principaux. Deux articles auquel nous avons contribue sont inseresdans le manuscrit. Le premier ( Hersen P., Andersen K.H., Elbelrhiti H., Andreotti B.,Claudin P. & Douady S. 2004 Corridors of barchan dunes : stability and size selection, Phys.Rev. E 69, 011304) presente essentiellement des resultats negatifs et montre que la selectionde taille au sein des champs de dunes – le probleme meme que nous nous sommes poses dupoint de vue du terrain - est un probleme ouvert. Cet article, en fin du chapitre III, peut etrelu independamment. Il est precede d’un court resume en francais qui permet une lecture rapidesans toutefois rentrer dans les details qui se trouvent dans l’article lui-meme. En annexe, nouspresentons un travail en cours de publication qui porte sur le chant des dunes et est doncdeconnecte – hormis le support du phenomene – des questions de dynamique dunaire.

2

Chapitre 1

Introduction geomorphologique

La zone du Sahara Atlantique situee entre Tarfaya, Laayoune et Sidi-Akhfenir (fig. 1.1)compte parmi les plus sensibles aux risques d’ensablement au Maroc (Sekkou 2000). C’est acet endroit que nous avons mene nos etudes de terrain sur la morphodynamique dunaire. Laphotographie de cette region prise par le satellite Landsat 2000 (fig 1.2.) permet de localiser lesgrandes zones d’accumulation de sable. Hormis quelques petits sites espaces le long de la cote,on observe essentiellement trois long bandeaux de quelques kilometres de large mais pouvantatteindre plusieurs centaines de kilometres de long. Ces “fleuves de sable” – pour suivre l’appel-lation poetique de Clos-Arceduc – sont tous trois orientes dans une meme direction NNE-SSW.La photographie aerienne reproduite sur la figure 1.3 montre une portion du fleuve de sable situe

Tantan

Sidi Akhfenir

Tarfaya

Laayoundunes

sebkha

N

routeoued

O. Chbika

O. Oum fatma

O. Elwaar

Maroc

20 Km

Tantan plage

Fig. 1.1 – Carte du Sahara Atlantique entre Tarfaya, Sidi-Akhfenir et Laayoun.

3

4 Morphodynamique des barkhanes

N

20 Km

Fig. 1.2 – Image satellite de la region etudiee (2000).

le plus a l’Ouest, qui prend sa source a Tarfaya, passe a Laayoune apres un parcours de 100 km,avant de se perdre 200 km plus loin au milieu d’un effondrement (sebkha). Seuls 15 km sontvisibles sur la photographie, qui permettent d’observer une structuration sous forme de dunesseparees les unes des autres, ayant une forme caracteristique de croissant. Toutes ces dunes –des barkhanes – pointent leurs cornes dans la meme direction, qui coıncide avec la direction dufleuve de sable et avec celle du vent dominant. Ce qui frappe de prime abord, c’est la structu-ration de ce champ de dunes en “couloirs” paralleles au sein desquels la taille des dunes sembleselectionnee. D’est en ouest (de droite a gauche sur la photo) on observe d’abord de grossesdunes entre 100 et 150 m de large, puis de petites dunes de 50 m de large, puis un couloir sansdunes, puis a nouveau de petites dunes. Cette organisation en couloirs au sein desquels la tailledes barkhanes est grossierement selectionnee persiste de maniere coherente sur une cinquantainede kilometres le long du fleuve de sable. Cette structure differe au long des 300 km du champ dedunes, avec en particulier des changements d’organisation a chaque accident geologique (sebkha,oued, eloignement soudain de la cote, etc). Cependant la taille des barkhanes demeure du memeordre de grandeur tout le long.

Ces quelques observations permettent d’hors et deja de poser les quelques questions qui

Introduction geomorphologique 5

Fig. 1.3 – Photographie aerienne du 3e fleuve de sable a quelques kilometres au Nord de Laayoun.

serviront de point depart a cette etude. Pourquoi y-a-t’il des dunes dans cette region ? Pourquoiest ce que ce sont des barkhanes ? D’ou provient cette forme de croissant caracteristique ? Qu’estce qui selectionne la taille des dunes a un endroit donne ? Comment expliquer la structurationdes champs de barkhanes en couloirs ? En guise d’introduction geomorphologique a notre sujetet a la zone dunaire que nous avons etudiee, nous allons parcourir ces questions, resolues pourles unes depuis plusieurs decennies, et encore ouvertes pour les autres.

La classification des differents types de dunes et en particulier la determination des pa-rametres controlant cette morphologie a constitue une part importante de l’activite scientifiquedans ce domaine. Les geomorphologues ont mis en evidence trois parametres principaux : lapresence ou non d’un couvert vegetal, la quantite de sable localement disponible et le regime devent. Nous allons d’abord presenter succinctement ces travaux et examiner a leur lumiere le casdu Sahara Atlantique.

1.1 Le couvert vegetal

Les dunes peuvent etres classees en deux grands groupes, les dunes fixees et les dunesmobiles. Les dunes fixees sont, comme l’indique leur nom, piegees par la vegetation et/ou latopographie, et ne peuvent migrer librement. A l’inverse, les dunes mobiles peuvent se remode-ler et se deplacer au gre des vents. Tsoar et al. (2002) ont recemment montre que la fixationdes dunes par la vegetation etait metastable. Si la vitesse du vent est relativement faible, lavegetation envahit spontanement les dunes. Si au contraire, la vitesse du vent est extremementelevee, la vegetation, plantee par exemple par la main de l’homme, ne peut survivre a l’abra-sion mecanique par le sable. Enfin, dans une gamme intermediaire de vitesses de vent, la memeetendue sableuse peut rester stable soit sous forme de dune active, soit sous forme de dune


200

150

100

50

19561954195219501948

TarfayaTantan

Fig. 1.4 – Precipitations enregistrees a Tantan et a Tarfaya durant la periode 1948 − 1957. Ce graphemontre que Tantan recoit beaucoup plus de pluie que Tarfaya (A. Elhabil et A. Meilhac 1967).

fixee. Cela signifie que le transport de sable sur une dune mobile suffit a empecher l’apparitionspontanee de plantes mais aussi que des plantes a la surface d’une dune limitent suffisammentle transport pour empecher l’abrasion.

Le climat constitue l’un des parametres primordiaux pour la fixation par la vegetation.Dans cette partie du Sahara Atlantique, il est de type saharien a hiver chaud. Du fait de la proxi-mite de la cote et des alizes maritimes qui soufflent sur cette region, le temps est generalementfrais et humide, entraınant de faibles ecarts thermiques. A titre d’exemple, la temperature noc-turne extreme ne descend guere au-dessous de 6◦. Cependant, ce climat doux devient de plusen plus sec et contraste au fur et a mesure que l’on s’eloigne de l’ocean et que l’on penetre versl’interieur du continent. L’interieur des terres recoit cependant beaucoup plus de pluies que labordure cotiere. A titre de comparaison la station de Tarfaya (fig. 1.1) situee sur la cote a recu41 mm/an de precipitation moyenne annuelle durant la periode de 1948 a 1957, alors que lastation de Tantan situee a une vingtaine de kilometres de la cote a enregistre durant la memeperiode une moyenne annuelle de 96 mm/an (fig. 1.4). Les quelques pluies tombent en generalsous forme d’averses (fig. 1.5). La region est egalement caracterisee par une forte nebulosite ainsique par une forte humidite sur la cote (50 a 80% le matin) qui conduit a de frequents brouillardsmatinaux se dissipant en milieu de journee (fig. 1.6). Ces conditions climatiques permettent aune vegetation de steppe, constituee par definition de plantules, de se developper. Le cortegefloristique de cette region est constitue entre autres de Traganopsis glomeratae, Euphorbielumechini, Salsola siebiri, Salsola tetragona, Salsola foetida, Salsola vermiculata, Sueda ifniensis,Teucrium chardonianum, Zygophylum geatulum, etc. (Murat 1949 ; Mathez & Sauvage 1975 ;Quezel 1965 ; Chaubert et al. 1966 ; Pletier & Msanda 1995). Le regime d’alizes maritimes setraduit par la presence des plantes caracteristiques de la region (steppe endemique) compre-nant des euphorbes cactoıdes et arborescentes. Du point de vue de la phytogeographie, celles-cidelimitent au Maroc “l’enclave macaronesienne marocaine” qui s’etend de Safi au Nord jus-qu’a Tarfaya au Sud (Emberger 1955 ; Quezel 1978). Au final, la tres rare vegetation arbustiveet ligneuse ne permet pas de fixer les dunes. Les quelques essais infructueux de plantation de


a b

Fig. 1.5 – a) En octobre 2003, les averses ont ete a l’origine de nombreuses mares aux alentours desbarkhanes (ici a Sidi Akhfenir). b) Ces mares donnent naissance en sechant a des sables mouvants.

Temperature moyenne annuelle 17 CTemperature nocturne 8-11 CTemperature diurne 25-27 C

Temperature nocturne extreme 6-7 CTemperature diurne extreme 38 C

Tab. 1.1 – Temperature enregistree a la station de Tarfaya (Elhabil et Meilhac 1967).

Fig. 1.6 – Photographie de la cote. Souvent la matinee est marquee par des brumes tout au long desfalaises.

Fig. 1.7 – Photographie d’une nebkha typique des couloirs des dunes, la distance entre les deux boueesest de 50 cm.


BarkhaneTransverse

Fig. 1.8 – Les differents types de dunes en fonction de la variabilite de la direction du vent.

Tamarix semblent indiquer que la region se situe bien au-dela du seuil de vent pour lequel lavegetation s’auto-entretient. Par contre ce type de vegetation permet l’accumulation de sabledans son sillage, donnant naissance a des “nebkhas” (fig. 1.7) qui ne depassent pas la trentainede centimetres de haut. En deux endroits, sur la plage de Megrio a une dizaine de kilometres auNord-Est de Laayoun et dans la sebkha de Khnifis, on trouve des “dunes buissons” de plus de1 m de haut qui naissent entre les racines des Tamarix.

1.2 Le regime de vent

Le second parametre qui controle la formation des dunes est le regime de vent. Plusprecisement, les geomorphologues ont mis en evidence la relation entre le type de dunes (dunestransverses, dunes lineaires, dunes en etoiles, etc) et la variabilite de la direction du vent (fig. 1.8).Lorsque la rose des vents comporte une unique direction dominante (exemple : Sahara Atlan-tique, Arquipa...), on observe majoritairement des barkhanes et des dunes transverses (fig. 1.9).Ces dernieres se presentent sous forme de rangs de dunes invariants dans la direction trans-verse au vent dominant et periodique selon la direction du vent. Lorsque le vent presente deuxdirections dominantes a 90◦ se forment des dunes lineaires (seifs) dont la ligne de crete suitla mediatrice des directions de vent principales. Ces dunes serpentent et s’allongent au coursdu temps (Pye & Tsoar 1990). Les dunes en etoiles se forment lorsque le vent a plus de deuxdirections principales (fig. 1.10). Elles ont generalement l’allure d’une large pyramide avec plu-sieurs bras sinueux. Contrairement a l’idee courante, ce ne sont pas des dunes isolees : ellesse presentent systematiquement sous forme de reseaux. Si l’on comprend bien les mecanismeselementaires a l’œuvre dans les premiers types de dunes, la formation des dunes etoiles reste ace jour completement enigmatique.

Le cycle de fonctionnement meteorologique dans la region de Tarfaya-Laayoun depend dela position de l’anticyclone des Acores et de la difference de pression qui en decoule (fig. 1.11).Ce cycle comporte deux phases. Au cours de la periode estivale, l’anticyclone des Acores setrouve aux latitudes moyennes, et les alizes qui en resultent (qui viennent du N-NE), sontresponsables des deplacements de sable les plus importants. Au cours de la periode hivernale,l’anticyclone des Acores est en position meridionale et engendre des vents faibles soufflant d’E-NE ou d’alizes soufflant du NE. La figure 1.12 montre la rose du deplacement potentiel du sable(nous detaillerons sa construction au chapitre III). Elle montre une unique direction de ventefficace (du N-NE) dans la region de Tarfaya-Laayoun.

Fryberger & Dean (1979) ont construit un indice quantitatif note RDP/DP pour ca-racteriser cette directionalite du regime de vent. Nous reviendrons sur cet indice en detail. Pourl’heure, contentons nous de le definir comme le rapport de la resultante du flux de sable divisepar le flux de sable absolu. Cet indice varie entre 0 et 1. Fryberger delimite ainsi les regimes devents :

1. unimodal (RDP/DP > 0.8) : le vent souffle constamment selon une seule direction sur


b

d

c

a

10 m

12 m

2 km

10 km

Fig. 1.9 – Differents types de dunes : a) une barkhane, b) et c) dunes transverses, d) dunes etoiles.

a

b2 km15 m

Fig. 1.10 – Reseau de dunes en etoiles de Merzoga au Sud-Est marocain a) photo satellite, b) phototerrestre.


a b

Fig. 1.11 – a) Lorsque l’anticyclone des Acores se trouve aux latitudes moyennes il donne naissance ades alizes de direction NNE. b) Carte des vents typique en periode d’Alizes.

toute l’annee, ce regime de vent est subdivise a son tour en deux categories : unimodaletroit si la distribution de direction du vent ne depasse pas 45◦ de large et unimodal largesi cette distribution est plus large que 45◦

2. bimodal (0.2 < RDP/DP < 0.62) : la distribution de vent sur l’annee comprend deuxmodes. Ce regime est aussi a son tour divises en deux : bimodal aigu si l’angle entre lesdeux modes est inferieur a 90◦ et bimodal obtus si cet angle est superieur a 90◦

3. complexe (RDP/DP < 0.2) : le regime de vent laisse apparaitre plus de deux modes.

L’indice de directionalite mesure au Sahara Atlantique vaut entre 0.87 et 0.91 selon les donneesutilisees. Cela indique l’un des regimes de vents les plus constants du monde. A titre d’exemplecitons d’autres champs de barkhanes celebres : Walis Bay en Namibie (0.87), Chimbote au Perou( 0.91), Bulgan en Mongolie ( 0.92) et Aranau au Bresil (0.97).

25

50 N(m2/an)

Fig. 1.12 – Rose des transports de la region de Tarfaya calculee a partir d’enregistrementsmeteorologiques (1999).


a

db

c

Fig. 1.13 – Differents types de falaises : a) les falaises abruptes constituent une barriere qui empechela montee du sable vers le continent, b) et d) les vagues erodent les falaises abruptes et contribuent aleur degradation. c) photographie d’une falaise morte ou une faible quantite de sable peut rejoindre lecontinent.

Fig. 1.14 – A cote du village de Sidi Akhfenir se trouve un trou sur la falaise qui montre le caracterepseudo-carstique de la dalle calcaire.


Fig. 1.15 – Pendant les crues, les oueds apportent des sediments terrigenes a l’ocean, qui se manifestentpar la formation d’une bande brunatre de quelques centaines de metres le long de la cote.

1.3 Couverture sableuse et alimentation en sable

Le dernier parametre controlant la formation des dunes est la couverture sableuse. Ainsisous un regime de vent unidirectionel, c’est la quantite de sediment mobilisable qui determine letype de modele dunaire. Si il n’y a pas de couverture sableuse, c’est-a-dire que le sol est constituesoit de la roche mere soit d’une couverture de grains grossiers, ce sont des barkhanes qui onttendance a se former. Si le sol est integralement recouvert de sable, le lit est modele sous formede dunes transverses. Il existe deux situations types. D’une part, il existe des deserts comme legrand Erg occidental ou a ete deposee une reserve de sable quasi-infinie, soumise a la sculptureeolienne. D’autre part, il existe des deserts ou il y a non plus un depot sableux mais un apportde sable par la mer. On a alors un controle des formations dunaires par le flux de sable entrantpar la cote. Sous les memes conditions de vent, il y aura formation de dunes transverses dans lepremier cas et de barkhanes dans le second.

Le sol du Sahara Atlantique est essentiellement constitue d’une dalle calcaire plate etdure formee durant le Moghrebien (Pliopleisocene). La jonction de cet immense plateau avecl’ocean Atlantique differe selon les endroits. Au Nord et sur plusieurs centaines de kilometresentre Tantan plage et Tarfaya, la communication se fait par des falaises abruptes qui empechenttoute montee massive de sable marin sur le continent (fig. 1.13 (a)). Ces falaises sont soumisesa l’action mecanique des vagues. Cela se traduit a 3 km au Nord de Sidi Akhfenir par un troudans le plateau (fig. 1.14). Ces falaises reculent progressivement par erosion de leur base suivied’effondrements (fig. 1.13(c)). Cette action des vagues finit a d’autres endroits par casser lesfalaises abruptes et donne naissance a des falaises intermediaires (fig. 1.13(b et d)), qui laissentune faible quantite de sable rejoindre le continent. A noter egalement l’existence de falaisesmortes separees de la ligne cotiere par des plages.

Ce sont ces falaises qui expliquent le fait que les couloirs de dunes soient localises puis-qu’elles constituent une barriere empechant le sable oceanique de rejoindre les terres. Des queces falaises disparaissent pour laisser place a des plages etendues, plus aucun obstacle topogra-phique n’empeche la monte du sable sur le plateau calcaire. Les couloirs de dunes se formentdans le sillage de ces plages. On peut distinguer trois grandes zones de plages dans notre regiond’etude. Une premiere plage prend naissance a Sidi Akhfenir et s’etale de part et d’autres deFoum Agoutir, qui donne naissance au fleuve de sable le plus a l’est. La deuxieme va du CabJuby jusqu’a 20 km a l’est de Tarfaya et donne naissance aux deuxieme et troisieme fleuves desable. Cette plage est interrompue par un petit troncon de falaise. Au sud du Cap Juby, la cotedevient presque parallele au vent dominant. Il existe une troisieme plage – la plus etendue dela region – le long de cette cote ouest, qui va de Megrio au Foum Elouade. A chaque deflexionde cette cote selon une direction perpendiculaire au vent dominant, du sable penetre sur le pla-


teau, et vient re-alimenter le troisieme fleuve du sable. En particulier, Oulehri a montre cettealimentation au cours de sa these en se basant sur le suivi des mineraux lourds (amphibole etepidote).

Si le sable constituant les dunes provient directement de l’ocean Atlantique, il est interessantde suivre en amont l’origine de ce sable marin. Nous avons evoque precedemment les aversesviolentes mais rares de la region. Apres l’une de ces averses, nous avons remarque la presenced’une bande brunatre tout au long de l’ocean Atlantique allant de Tantan plage jusqu’a Tarfaya.Cette bande peut atteindre un kilometre de large lors des grandes crues (Fig. 1.15). Elle montrea la fois l’apport de sediments terrigenes par les oueds et leur transport par de forts courantsparalleles a la cote. Ces courants sont induits par les vagues dans la zone de faible profondeur,les vagues etant elles memes excitees par le vent. La Seguia Elhamra apporte a elle seule 200000tonnes de sediments par an, tandis que les autres oueds situes au Nord de Tarfaya en apportent540000 tonnes par an dont 10 % de sable (Charouf 1989). Ces sediments terrigenes constituentune premiere source de sable marin. Ce transport se charge egalement par l’erosion des falaisescalcaires par les vagues. La seconde source possible est locale : la dalle calcaire affleurant entre lesdunes est elle-meme erodee par l’impact des grains de sable transportes par le vent. (fig. 1.16).

En resume, le Sahara Atlantique se caracterise donc par un vent unidirectionnel, un plateaucalcaire dur et des apports localises de sable oceanique. Il n’est donc pas etonnant que les bar-khanes soient les dunes les plus representees, en particulier au sein des trois fleuves de sable dela region . Dans les embouchures des oueds, la quantite de sable mobilisable est tellement grandeque les barkhanes couvrent presque toute la surface et commencent a se toucher par les cornes(fig. 1.17, 1.18 (b)). Aux endroits ou la couverture sableuse est encore plus grande, les barkhanesdisparaissent, laissant la place a des dunes transverses comme a Foum Agoutir (fig. 1.18 (c)).Un dernier type de dunes est represente dans la region, les mega-barkhanes (fig.1.19, 1.20).Ces dunes de grande dimension (650 m de large et 40 m de haut) par rapport aux barkhanesse trouvent a une dizaine de kilometres au Sud-est du village de Sidi Akhfinir. Du point devue des mecanismes dynamiques, rien ne les distingue des autres barkhanes. Du point de vuegeomorphologique, leur origine et leur mode de formation est totalement enigmatique a ce jour.

Le plateau calcaire est interrompu dans certains endroits par des oueds et d’immenses lacssecs (sebkhas). En particulier, la sebkha de Tah est connue pour etre le point le plus bas duMaroc. De maniere surprenante, les barkhanes peuvent descendre et escalader les falaises de cesobstacles, mais ce passage laisse des traces sur les fleuves de sables. Par d’exemple le passage dutroisieme fleuve de sable par l’oued Seguia Elhamra en devie la trajectoire de plusieurs kilometres

Fig. 1.16 – L’usure produite par l’impact de grains de sable sur la dalle calcaire produit des stries decorrosion qui indiquent la direction dominante du vent.


a

b

Fig. 1.17 – Les embouchures des oueds de la region se caracterisent par la presence de cordons dunairestout au long de l’annee. a) Photographie de l’oued Oum fatma, b) photo de l’oued Chbika.

a b

c

Fig. 1.18 – Photographie de barkhanes qui coalescent en dunes transverses au pied d’une falaise (a) etdans l’embouchure de l’oued a Chbika (b). c) Dunes transverses de Foum Agoutir.


Fig. 1.19 – Les megabarkhanes sont des grandes dunes en croissant qui ne se distinguent des barkhanesque par leur taille exceptionnelle (∼ 40 m de haut et d∼ 650 m de large dans le cas des megabarkhanesde Sidi-Akhfenir) et par leur mode de formation totalement inconnu.

(fig. 1.21). De la meme maniere, les barkhanes du deuxieme fleuve de sable traverse la sebkhade Tizfourine avant de disparaıtre au fond de la sebkha de Tah (fig. 1.21).

1.4 Synthese et conclusion

A travers une description du Sahara Atlantique septentrional, nous avons montre que tousles criteres connus favorisant la naissance et le developpement des barkhanes y sont reunis. Leregime de vent, domine par les Alizes, est unimodal etroit. La rarete des pluies et l’intensite duvent ne permettent pas a la flore de fixer les dunes. Le plateau calcaire sur lequel se trouvent leschamps de dunes n’est pas recouvert de sable en totalite. Il est alimente par l’ocean dans tousles endroits ou celui-ci n’est pas borde de falaises. Nous avons montre l’existence d’autres typesde dunes (dunes transverses et mega-barkhanes) en des lieux precis. Ces observations coıncidentparfaitement avec les travaux effectues dans le contexte geomorphologique sur les differents typesde dunes et les parametres qui les controlent.

Si les zones cotieres ou les trois fleuves de sable prennent leur source s’expliquent directe-ment par le relief cotier et l’entraınement des sediments le long de la cote, deux points restentinexpliques par les travaux anterieurs. Les fleuves de dunes restent collimates dans la directiondes vents dominants sur des centaines de kilometres. A premiere vue, la taille des dunes au sein

N

250m

Fig. 1.20 – Photographie aerienne des trois megabarkhanes.


a

b c

Fig. 1.21 – a) Franchissement des falaises de l’oued Seguia Elhamra par les dunes. b) Photographie del’extremite du deuxieme fleuve de sable, au fond de la sebkha de Tah. c) Photographies de dunes en traind’escalader une falaise.

de ces fleuve est relativement bien selectionnee et relativement homogene. La question de departde notre travail de these, ouverte a ce jour, est donc la suivante. Qu’est-ce qui selectionne la tailledes dunes a un endroit donne ? Comment s’organise un champ de dunes ? Comment expliquerla structuration en couloirs ?

Chapitre 2

Techniques de mesure

Nous avons vu au chapitre precedant le contexte geomorphologique du probleme quenous nous sommes pose. Avant de passer a l’etude de la dynamique des barkhanes propre-ment dite, nous presentons ici les mecanismes physiques elementaires au travers des differentestechniques de mesures que nous avons mises en œuvre. Ces techniques ainsi que les traitementsde donnees effectues ont ete developpes specifiquement pour cette etude et sont tous de concep-tion simple et robuste du fait des conditions d’experimentation. Nous les decrivons ici et endiscutons resolution et sensibilite, ainsi que les principes physiques sur lesquels elles reposent,quand cela est necessaire. Ce faisant, c’est aussi un parcours des mecanismes elementaires al’echelle du grain que nous proposons.

2.1 Forme et position

Comme nous l’avons vu au chapitre precedent, les barkhanes se caracterisent par leur formeen croissant et leur grande mobilite. Nous avons utilise differentes techniques pour determinerle contour des dunes (photographies aeriennes et GPS), leur forme en trois dimensions (mesurede pente et photographies terrestres) et leur deplacement (marquage physique, photographiesaeriennes et GPS).

2.1.1 Mesure de contour par GPS

Depuis quelques annees, l’utilisation du reseau de satellites militaires americain permet unpositionnement absolu (Global Positionning System) a quelques metres pres horizontalement etquelques dizaines de metres pres verticalement. Pour deux problemes au moins, cette sensibiliteest suffisante : la determination du contour d’une dune et les mesures de deplacement sur delongues durees et donc de longues distances. Il y a deux sources d’incertitude de mesure par GPS.D’une part, l’affichage des GPS que nous avons utilises (eTrex Summit) donne la position aumillieme de minute pres ce qui induit une discretisation de la mesure par pas de 1, 7 m environ1.D’autre part, les GPS affichent une precision, qui depend du nombre de satellites visibles. Nousavons systematiquement travaille avec une incertitude evaluee par l’appareil de 4 ou 5 metres.Nous avons nous-meme estime la sensibilite reelle en mesurant la position d’un meme pointphysique (des clous cimentes dans la dalle calcaire) au cours du temps (fig 2.1). L’ecart type desmesures donne 2 m environ (sur la distance a la position moyenne) ce qui valide l’incertitudedonnee par l’appareil. La figure 2.2 montre une falaise dont la position a ete mesuree a plusieursmois d’intervalle, l’une des mesures etant pendant la guerre d’Irak (Mars a Avril 2003) : onobserve un decalage systematique des deux courbes de 4 m environ. Il n’y a donc pas eu dedegradation significative de la qualite de la mesure pendant cette periode.

11, 80 m dans la direction Nord-Sud et 1, 65 m dans la direction Est-Ouest.

17


a b c4 m 4 m 4 m

position des clous par GPSposition par mesure de distance

1er clou

2 ème clou

3ème clou

4ème clou

5ème clou

-10

-20

-30

-40

20 40 60 80 100 120 1400

0

-60

y (m

)

x (m)

N 10 m

et d'angle des clous

Fig. 2.1 – Marquage GPS d’un meme clou cimente dans la dalle calcaire, a plusieurs dates entre No-vembre 2002 et Avril 2004. a) 4 mesures d’un premier clou. b) 4 mesures d’un second clou. c) 6 mesuresd’un troisieme clou. On note l’effet de la discretisation de la mesure et l’incertitude sur les mesures, dequelques metres. d) Superposition de cinq clous servant a mesurer physiquement la vitesse des barkhanes.Nous avons identifie les positions GPS des clous extremes a leur positions calcules a partir de l’angle etla distance entre eux. Nous remarquons que la marge d’erreurs sur les autres ne depasse pas 4 m.

La figure 2.3 montre un exemple caracteristique de “detourage” d’une dune a l’aide duGPS. Selon la taille de la dune, les points sont espaces de 5 a 20 metres. Il est a noter quela precision avec laquelle on peut pointer la limite de la dune est encore de l’ordre de quelquesmetres en particulier a l’arriere. A noter egalement le fait que les mesures sur les quelques minutesque dure le detourage sont encore plus precises en relatif que ce qui est indique ci-dessus, valableen absolu. On peut observer que cette technique donne une image fidele du contour de la dune(fig. 2.4). En particulier, les caracteristiques morphologiques (rapport d’aspect, cornes...) sonttres bien capturees. En complement, nous avons systematiquement fait des photographies desdunes de face et de profil de maniere a pouvoir reconstituer formes et emplacements des facesd’avalanches de la dune.

La vitesse de deplacement d’une barkhane decroıt rapidement avec sa taille. Une petitedune (1 m de haut) peut se propager de plus de 100 m/an, soit quelques dizaines de centimetrespar jour. Cela signifie que le GPS ne peut etre utilise a l’echelle de la semaine pour mesurer cedeplacement. En revanche, il est parfaitement adapte a la mesure de deplacements a l’echelle del’annee (a quelques pour cents pres). Une grande dune (7 m de haut) parcourt une distance de25 m/an environ. Le GPS est alors adapte a la mesure sur de plus longues periodes, en utilisant

Techniques de mesure 19

6 m

Fig. 2.2 – Superposition d’une portion de photographie aerienne montrant la falaise de la sebkha deTah avec deux detourages effectues le 15 octobre 2003 (violet) et 4 avril 2003 (bleu). Le calage de laphotographie a ete fait a partir de l’ensemble des contours GPS, independamment de la date. L’ecartentre les contours et la falaise est de moins de 5 m – bien que l’un ait ete determine pendant la periodede la guerre en Irak.

5m10m25m

Fig. 2.3 – Exemple de detourage GPS de quelques barkhanes de differentes tailles.


30 m 25 m

Fig. 2.4 – Gauche : le contour GPS d’une barkhane se superpose au metre pres a sa photographie, prisedepuis un cerf-volant. Droite : superposition d’une photographie aerienne de barkhane et du contour GPSeffectue 4 jours apres.

de vieilles photographies aeriennes. Par exemple, entre 1975, date de la premiere photographieaerienne, et 2004 annee de marquage par GPS, une grande dune se deplace typiquement de700 m ce qui donne une precision relative de l’ordre du pourcent.

2.1.2 Mesure par marquage physique

Pour mesurer precisement des deplacements sur des temps courts, nous avons place simple-ment de petites baguettes metalliques a la crete de la dune. A l’aide d’un simple metre (et d’uncompas pour la direction), on obtient des deplacements precis au centimetre. Sur une echellede temps intermediaire, nous avons mis en place une reference de position externe (un grandclou enfonce et cimente dans la dalle calcaire) a une vingtaine de metres en aval de la dune.Sur une periode de 18 mois, nous avons mesure regulierement, la distance et l’angle par rapportau nord entre cette reference et trois points de la face d’avalanche – aux extremites droite etgauche et au milieu. Le tri-decametre, manipule seul, autorise une precision de l’ordre de 10 cmet le compas, monte sur un support avec viseur permet d’acceder a l’angle avec une precision audegre. Avant que la reference de position ne se fasse recouvrir par la dune, nous en avons misune autre en place et repere la position de celle-ci par rapport a la premiere (distance et angle).On peut aisement calculer les coordonnees cartesiennes (x, y) des points mesures par rapport ala reference et deduire de ces mesures le deplacement mensuel de la barkhane avec une excellenteprecision.

2.1.3 Photographies aeriennes

La photographie aerienne est un moyen irremplacable pour etudier l’evolution des dunessur le long terme. Depuis plusieurs decennies, l’emploi de la photographie aerienne a hauteresolution a ete systematise, permettant une couverture totale des territoires. Ainsi, nous avonsreussi a reunir une importante serie de photographies aeriennes (tableau 2.1) du Sahara Atlan-tique, de 1975 a nos jours. Les conditions de prise de vue ayant ete perdues dans la plupart descas, nous avons du les reconstituer a partir des mentions sur les bords de ces photographies. Lesepreuves dont nous disposons ont ete tirees au contact et sont toutes au format 24 cm x 24 cm,


Annee Echelle Region objectif focale en (mm)

1975 1/50000 Agoutir,Tarafaya, Tah UAgI6018 152, 92

1976 1/20000 Laayoun,Tarafaya, Tah UAg434 152, 55

1979 1/60000 Laayoun SAgII 88, 82

1987 1/20000 Chbika UAg1022 151, 56

1991 1/50000 Agoutir,Chbika SAg73 88, 44

1999 1/20000 Laayoun SAg92 88, 5

Tab. 2.1 – Serie de photographies aeriennes utilisees dans cette etude.

qui est le standard des appareils Leica Geosystems de prise de vue aerienne. Il est en general faitmention du nom de l’objectif utilise qui correspond a de vieux objectifs Leica : SAg92 de focale88, 5 mm, SAgII de focale 88, 82 mm, etc (fig. 2.5). Selon les cas, la photographie mentionnesoit la date exacte et l’heure, soit l’annee seulement. Dans ce dernier cas, nous avons estime lemois a partir de l’inclinaison du soleil et des caracteristiques des dunes visibles. Dans la plupartdes cas, l’altimetre de l’avion est visible et l’echelle mentionnee mais nous ne les avons utilisesqu’a des fins de verifications – ils se sont averes peu precis.

Nous avons numerise les photographies aeriennes a l’aide d’un scanner a plat 2400 dpi.Toutes les photographies ont ete scannees a la resolution de 1 m/pixel sauf la serie a l’echelle1/20000, scannee a 25 cm/pixel. Par comparaison, les images satellites gratuites ont au mieuxune resolution de 15 m/pixel (il en existe a 1 m/pixel, mais a des prix prohibitifs) (fig. 2.6).

Ces contraintes de cout et de resolution nous ont amene a reflechir a d’autres techniquesd’observation et d’acquisition de donnees. Nous avons ainsi mis au point un systeme de prisede vue par cerf-volant. Le modele de cerf-volant utilise, de plusieurs metres d’envergure, a etechoisi pour sa grande stabilite, sa capacite a decoller par faible vent avec une charge de plusieurskilogrammes. L’appareil photographique numerique Leica n’ayant pas de declencheur electrique,nous avons concu une griffe radio-commandee permettant le declenchement a distance. Le cerf-volant a ete utilise jusqu’a des hauteurs de l’ordre de 100 m. Cela permet, compte tenu del’ouverture angulaire de l’appareil photographique, de couvrir un champ de 100 m de largetypiquement, avec une excellente resolution (10 cm/pixel). Si la couverture totale d’un grandchamp des dunes n’est guere possible, nous avons pu, par montage en mosaıque de differentesphotographies, obtenir des photographies presentant plusieurs dunes. Toutefois, la photographie

inclinaisonde l'avion heure de la photodate

altitude de l'avion

altitudede l'avion

heure inclinaison de l'avion

Fig. 2.5 – Hormis les photographies aeriennes de laayoun prises en 1976 sur lesquelles apparaissentpresque tous les parametres de la prise de la photographie (en-tete en haut), seuls quelques parametressont marques (en-tete en bas).


Fig. 2.6 – Depuis desormais une trentaine d’annees, les satellites d’observation permettent une cou-verture exhaustive de la Terre. Il est donc possible d’acquerir des images satellite des regions du mondeou il n’existe pas de couverture photographique aerienne recente. La resolution des images disponiblesgratuitement est encore insuffisante pour pouvoir les utiliser pour le suivi des dunes (photographie agauche) ; par comparaison la photographie aerienne de la meme region (a droite) offre un luxe de details.

par cerf-volant reste essentiellement dediee a l’etude des formes des dunes, mais peu a leurdynamique.

Le parametre caracterisant la resolution de la prise de vue – que ce soit une imagenumerique ou la digitalisation d’un tirage argentique – est la focale f de l’appareil photo, ex-primee en pixels. Pour une prise de vue plongeante depuis une hauteur H, l’echelle (le nombrede pixels par metres) vaut f/H. A contrario, connaissant la distance entre deux points visiblessur l’image et la focale, on peut determiner H. En plus de la distance H entre le centre optiqueet le centre de la photographie2, trois angles sont necessaires pour determiner la position del’appareil photo : les angles θ et ν reperent la position par rapport au repere centre sur le pointde visee est ϕ l’angle de l’appareil photo autour de la ligne de visee (fig. 2.7). Pour un reperageabsolu, il convient d’ajouter les coordonnees GPS du point de visee. Il y a donc globalementsix parametres pour caracteriser une prise de vue. Il faut donc avoir dans l’image trois points

2Quatre croix aux coins des photographies permettent d’en reperer le centre.

ϕ

θ

y

x

z

ν

Fig. 2.7 – Schema montrant les differents angles definissant la position l’appareil photo.


a

b

c

d

e f

Fig. 2.8 – Exemple de couplage photographie aerienne-GPS. a) Superposition des contours GPS sur laphotographie aerienne des megabarkhanes prise en 1975. Les carres rouges representent les points quenous avons fixes pour la superposition et represente par les photographies b), c) et d). Les cercles rougesrepresentent des tests pour l’incertitude (photographies e) et f)) de superposition.b) falaise juste derrierela premiere megabarkhane, c) des falaises a cote de la route, d) des falaises de la hamada, e) une falaisea cote des megabarkhanes f) virage de la route.

particuliers (points geodesiques, falaises, virages de routes, phares des ports, marabouts . . .etc)dont on puisse connaıtre les deux coordonnees (par marquage GPS par exemple). On ajuste alorsles six parametres pour que les six coordonnees decrivant cet ensemble de points coıncident aveccelles mesurees. S’il est relativement aise de fixer grossierement l’echelle et donc l’altitude dela prise de vue avec deux points rapproches, fixer finement les valeurs de tous les parametresdemande des points de references les plus eloignes possibles les uns des autres. Quand cela etaitpossible nous avons utilise beaucoup plus que trois points de calage, voire des lignes entieres.L’incertitude liee au calage des photographies aeriennes par rapport au GPS est illustree surla figure 2.8. On y voit superposes une photographie aerienne de 1975 et plusieurs contoursGPS. Les trois points de superposition (fig. 2.8 (b, c et d) sont eloignes les uns des autres maisencadre la megabarkhane que nous avons etudiee a l’aide de cette photographie. Une fois ces


Fig. 2.9 – Photographie montrant le dispositif de mesure sur une coupe longitudinale.

points fixes, nous constatons que le marquage GPS de la falaise represente sur la figure 2.8 (e)est parfaitement superpose a sa photographie ; le virage de la route (fig. 2.8 (f) est, lui, decaled’une dizaine de metres. En precision relative, sur de petites distances, on obtient donc uneresolution de l’ordre du metre (par exemple sur la mesure de la largeur d’une dune). En absolu,la precision depend legerement de la distance aux points de calage et n’excede pas 10 m.

2.1.4 Mesure de profils de hauteur

Pour mesurer un profil de hauteur selon une coupe bien choisie d’une dune, nous avonsutilise une technique d’integration. Nous plantons une rangee de piquets dont nous soignonsl’alignement et l’angle par rapport a la direction de propagation globale de la dune. Nous me-surons ensuite la distance et la pente entre chaque paire de piquets (fig.2.9). Pour la mesure depente, nous utilisons un inclinometre a affichage digital monte sur un support permettant, gracea un compas numerique monte sur un balancier, de mesurer simultanement l’angle par rapportau Nord. On a ainsi un controle local de la direction de mesure. Notons que la pente mesureeselon l’axe des piquets ne coıncide pas toujours avec la plus grande pente.

Une fois obtenu le profil de la dune a une certaine date, son evolution peut etre deduite

p1

p0

x1 x0

z0

z1

δx

δzδs

Fig. 2.10 – A partir des pentes p0 et p1 mesurees respectivement au premier et second piquet, et de lamesure de distance curviligne δs, on estime les increments de hauteur δz et de longueur δx.


piquets

Fig. 2.11 – Determination des profils de hauteur. On procede a des mesures relatives de hauteur pardes mesures de pentes et de distance curviligne. On en deduit le profil par sommation des increments dehauteur δz et de longueur δx. Par convention, on prend la reference de hauteur z = 0 au premier piquet.

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Ha

ute

ur

en

(m

)

2520151050Longueur en (m) x (m)

19/07/2003

22/07/2003

24/07/2003

z (m)

Fig. 2.12 – Trois profils d’une meme dune determines a partir de trois mesures de pente successives. Bienqu’effectuees a quelques jours d’intervalle sur une dune ayant peu evolue, ces trois mesures conduisent aune difference de hauteur de l’ordre de 60 cm, due a l’integration du bruit de mesure.


test 1test 2test 3test 40.8

0.6

0.4

0.2

0.0

14121086420

z (m)

x (m)

Fig. 2.13 – Quatre profils d’une meme dune (la plus petite de notre champ d’etude) determines a partirde quatre mesures de pente successives. Les profils ne different que par quelques centimetres en hauteur.

sur une periode qui peut aller de 15 jours pour une petite barkhane a 1 mois pour une grossepar une simple mesure d’erosion sur chaque piquet. La plupart des profils ont ete mesures selondeux axes orthogonaux : d’une part, selon l’axe longitudinal de la barkhane (selon la directiondu vent dominant), du pied de la dune jusqu’a la face d’avalanche ; d’autre part, selon un axetransversal reliant les deux cornes. On s’arrange dans ce cas pour que les deux series de mesureaient un piquet en commun qui permet de les relier. Dans d’autres situations, nous avons mesuretrois profils longitudinaux, l’un sur le dos et les deux autres sur les cornes.

Pour determiner le profil de hauteur, on convertit les mesures de pente p et de longueurentre piquets δs en distance horizontale δx et verticale δz :

δx =1

√

1 + p2δs δz =

p√

1 + p2δs (2.1)

ou p est l’estimation de la pente entre les deux piquets, calculee comme la moyenne des pentesmesurees au niveau de ces piquets. Enfin, on obtient les coordonnees x et z de chaque point parsommation a partir du sol (z = 0) des increments δx et δz (fig. 2.10, 2.11). Du fait du deplacementde la barkhane, il est necessaire de rajouter de nouveaux piquets sur l’axe longitudinal, au furet a mesure de l’avancee de la face d’avalanche. Cela nous a conduit a re-mesurer le profil de ladune (pente et distance) apres quelques jours seulement. Ce meme profil peut aussi se deduiredu profil initial via les mesures d’erosion. Il arrive frequemment que ces deux determinations dumeme profil ne coıncident pas. La figure 2.12 montre par exemple des profils d’une meme dunepresentant des differences de plusieurs dizaines de centimetres. D’ou proviennent ces differencesde hauteur entre des profils senses se superposer ? Comment corriger ces erreurs ?

Pour tester la fiabilite de nos mesures, nous avons mesure quatre fois le profil de la pluspetite dune de notre champ d’experience. Cette mesure a ete faite par temps calme, sans trans-port de sable, de sorte que la dune n’a pas evolue entre les mesures. La figure 2.13 montre queles mesures de pente presentent un bruit qui provoque une derive du profil de hauteur, au fil del’integration. L’erreur cumulee, visible a la crete, est cependant beaucoup moins importante quedans d’autre cas, par exemple sur la figure 2.12. Nous avons constate que pratiquement toutes lesbarkhanes du Sud-Ouest marocain presentent a leurs pieds une zone de mega-rides constitueesde grains plus grossiers, ainsi que des nebkas. Cela conduit a un bruit assez important sur lesmesures de pente, qui se repercutent directement sur les profils de hauteur. Nous avons essayede minimiser cet effet en choisissant la position de la ligne de coupe, voire en arasant les reliefsa l’arriere de la dune avant chaque mesure.

D’autre part, on peut effectuer une correction du profil si l’on connaıt precisement unedonnee integrale. Par exemple, on peut utiliser la mesure de la longueur de la face d’ava-


lanche pour en deduire la hauteur z du piquet situe a la crete. Des lors, tous les profilsdoivent partir d’une hauteur nulle au premier piquet et se terminer a la meme hauteur, cal-culee independamment. On peut facilement montrer qu’au sens des moindres carres, chaqueincrement δz doit etre corrige d’une quantite egale, qui est donc l’erreur totale commise sur lahauteur de la crete divisee par le nombre d’intervalles. La figure 2.14 montre simultanementle profil non corrige, la hauteur reelle de la face d’avalanche et le profil corrige par la donneeintegrale.

2.1.5 Forme tri-dimensionnelle d’une barkhane

Pour mesurer la forme d’une barkhane en trois dimensions, nous avons generalise lamethode de reconstruction stereographique a n photographies. La surface de la dune appa-

10

8

6

4

2

0

806040200 y (m)

avant la correction

5

4

3

2

1

0

50403020100 x (m)

avant la correction

a

b

z (m)

z (m)

Fig. 2.14 – a) Profil transversal d’une barkhane avant et apres correction. b) Profil du dos d’une barkhaneavant et apres correction en utilisant la hauteur de la face d’avalanche.


Fig. 2.15 – Maillage d’une barkhane par des balles de ping-pong. Gauche : photographie prise du cerf-volant. Droite : photographie prise a hauteur d’homme, utilisee pour la reconstruction tri-dimensionnelle.

raissant unie des que le soleil est au dessus de l’horizon, nous avons ajoute des points de reperesur la dune. Pour cela, nous avons fait un maillage tres fin avec des balles de ping-pong fluores-centes (fig. 2.15). Nous avons ensuite photographie la dune sous toutes les coutures. Les prisesde vue ont ete faites a partir de points repartis sur un cercle entourant la dune (fig. 2.16) – engeneral, nous avons utilise 36 photographies, soit une rotation de 10 ◦ entre chaque photogra-phie. Pour recaler chaque photographie, nous avons mis en place un repere materialise par quatrebouees (une centrale plus une sur chaque axe). Chaque photographie est pointee vers le centredu repere, i.e. celui-ci est grossierement sur l’axe optique de l’appareil et nous avons mesuresystematiquement la distance du point de prise de vue par rapport au repere ainsi que l’angle

rayo

n du

cer

cle

position photo

Fig. 2.16 – Schema montrant la disposition des points de prise de vue (carres) et des bouees materialisantle repere de reference (ronds) lors de la reconstitution en trois dimensions d’une barkhane.


u(z=1.6 m) (m/s)

u(z=0.2 m) (m/s)

12

10

8

6

4

2

0

1086420

Fig. 2.17 – La vitesse du vent au sommet du mat uz=1.6 est proportionnelle a celle du bas uz=0.2. Apartir de ce graphe, nous en deduisons la rugosite z0 ≃ 16 µm.

par rapport au Nord. Cela permet ainsi d’avoir une idee relativement precise de la position del’appareil par rapport au repere choisi.

Dans un deuxieme temps, on utilise toutes les photographies sur lesquelles une meme balleest visible pour trouver la position tri-dimensionnelle de celle-ci. A partir d’une image, on peutdire de la balle qu’elle est sur une droite – celle joignant le centre optique au pixel de la cameraCCD correspondant au centre de la balle. A partir de n images, on peut donc dire que la balleappartient a n droites dont on connaıt les equations. En pratique, il est evident que ces droitesne se croisent pas strictement. On considere donc que la balle est a l’endroit de l’espace quiminimise la somme du carre des distances aux n droites. La redondance apportee par le faitde prendre la dune en photographie sous toutes les coutures donne donc un gain de precisionremarquable.

Dans un troisieme temps, une fois l’ensemble des balles de ping-pong positionnees dansl’espace, on affine les positions des prises de vues, caracterisees comme pour les vues aeriennespar six parametres : les trois coordonnees du centre optique et les trois angles θ, ϕ et ν donnantl’orientation de l’appareil. Pour ce faire, on minimise la somme sur tous les points visibles surune photographie du carre de la distances entre la droite et la balle. On reajuste alors la position3D des balles, et ainsi de suite jusqu’a convergence.

Le grand nombre des balles utilisees – typiquement 200 – conduit a des erreurs de recon-naissance frequente. Les problemes se detectent alors en controlant les distances entre balles etdroites. De plus, la forme obtenue a la fin n’est extremement lisse que si des balles differentesn’ont pas ete malencontreusement associees sur differentes images. Nous avons donc pris soin,apres quelques essais, de ponctuer le maillage par des balles de couleur differente, reconnais-sables.

2.2 Mesure de vitesse du vent

Si le vent transporte d’enormes quantites de sable dans les regions arides comme le SaharaAtlantique, nous avons vu dans le chapitre introductif que sa variabilite conditionne le type demodele dunaire. Nous avons effectue deux types de mesures anemometriques : des mesures glo-


bales visant a caracteriser le vent soufflant sur le champ de dune sur de grandes echelles de tempset des mesures locales pour caracteriser l’ecoulement autour d’une dune et ses recirculations.

Premiere difficulte, meme sur terrain plat, la vitesse du vent n’est pas uniforme mais croitlogarithmiquement avec la hauteur z. Cela provient du fait que c’est la contrainte de cisaillementτ = ρairu

2∗ qui se conserve au travers de la couche limite atmospherique. En introduisant une

longueur de melange proportionnelle a la distance au sol, on peut mettre la contrainte turbulentesous la forme classique :

τ = ρair

(

Kz∂u

∂z

)2

(2.2)

ou ρair = 1, 2 kg/m3 est la masse volumique de l’air, et K ≃ 0.4 est la constante de Von Karman.En integrant l’equation 2.2 pour une contrainte constante, on retrouve le profil logarithmiqueattendu,

u(z) =u∗

Kln

z

z0, (2.3)

caracterise par la vitesse de cisaillement u∗ =√

τ/ρair et par la rugosite z0 (fig.2.17) . De nom-breuses etudes de terrain se sont heurtees aux deux memes difficultes. Idealement, on souhaiteraitpouvoir mesurer une vitesse de cisaillement et une rugosite instantanees. Comme il est difficilede mesurer la contrainte basale, on la mesure d’ordinaire indirectement, via les fluctuations devitesses ou en ajustant le profil de vitesse verticale. Cela n’est valide que sur des temps longs(la dizaine de minutes pour la turbulence atmospherique) et ne peut en aucun cas donner desvaleurs instantanees pertinantes. Deuxieme difficulte, l’ecoulement autour de la dune n’est plusune couche limite homogene de sorte que le profil de vitesse n’est plus logarithmique. La vitessedu vent a une hauteur z reflete typiquement les perturbations a l’echelle z. Il est donc illusoiresur une dune de 3 m de haut de vouloir mesurer la contrainte basale a partir de capteurs situesa 1 m et 5 m de haut par exemple.

Pour caracteriser globalement les variations de vent sur la region, nous avons installe surle phare du port de Tarfaya, a 3 km du site experimental, un mat muni d’une girouette etd’un anemometre a coupelles. L’acquisition se fait sur une centrale de type ”Starlogger”, dontla capacite en memoire permet d’enregistrer trois mois de donnees (minimum, maximum etmoyenne de la direction et de la vitesse du vent toutes les 15 minutes (fig. 2.18 (c), 2.19). Cemat est sureleve de 10 m par rapport a la surface du sol. L’interet de ces mesures vient d’une partde ce qu’elles correspondent aux periodes pendant lesquelles nous avons effectue nos releves deterrain, et d’autre part de la frequence d’acquisition elevee par rapport a la norme (96 mesurespar jour). Cela nous a permis d’etudier finement la variabilite reguliere sur 24 h mais aussi lastructure des evenements violents (tempetes). Nous avons pu acceder aux donnees d’une autrestation meteorologique, installee par le Centre de Developpement des Energies Renouvelables(CDER) a 500 m de notre champ d’etude. Cette station est constituee de trois anemometresplaces a 10 m, 20 m et 40 m du sol et d’une girouette qui permet de mesurer la direction duvent. Les minima, maxima et moyennes de ces donnees sont enregistrees chaque heure (fig. 2.20)(24 mesures par jour). Nous avons pu obtenir les donnees de l’annee 1999 ainsi que celles deshuit premiers mois de l’annee 2000.

Pour les mesures locales de vent, nous avons utilise simultanement deux dispositifs. Lepremier sert de reference et comporte deux anemometres a coupelles situes respectivement azB = 0.12 m et zH = 1.62 m du sol (fig. 2.18 (d et e).Le second, plus maniable, comporte unanemometre et une girouette a 20 cm du sol (fig. 2.18 (a). Ces anemometres sont de marque”Scientific Campbell”. Ils sont relies a de petites centrales portables d’acquisition de marque”Almemo”. La figure 2.17 montre que les fluctuations de vitesse sont extremement coherentesentre le haut et le bas du mat. La pente de la courbe vaut ln zH/z0/ ln zB/z0 ce qui permetd’extraire la rugosite aerodynamique z0.


a b c

d e f g

Fig. 2.18 – a) Montage utilise pour mesurer la vitesse du vent et la direction a 20 cm du sol, au sortirde la couche de saltation. b) Dans le travail quotidien de suivi dunaire, notamment apres chaque mesured’erosion et de profil de hauteur, nous avons mesure la vitesse du vent au sommet de la barkhane enutilisant un anemometre a moulinet portable. c) Photographie de la station anemometrique installee surle phare du port de Tarfaya, a 10 m d’altitude. d) et e) Mats utilises pour mesurer la vitesse de vent dereference de maniere a compenser les derives temporelles lors de mesures spatiales. f) Mat muni de quatreanemometres a coupelles pour mesurer le profil logarithmique de vitesse. g) Mat utilise pour mesurer leprofil de vitesse du vent selon une coupe transversale du champ de dunes.

2.3 Granulometrie et couleurs des grains

La granulometrie, la mineralogie et la morphoscopie des grains de sable ont deja ete beau-coup etudies dans le contexte geologique. Ces etudes se basent essentiellement sur la granu-lometrie par tamisage des grains, l’etude des mineraux lourds, la calcimetrie et l’observationau microscope optique ou electronique. Elles ont pu apporter des informations sur l’origine etla nature des grains constituant chaque edifice dunaire. Au Sahara Atlantique, un importanttravail de ce type a ete mene par Oulehri (1992). Nous n’avons donc utilise ces methodes queponctuellement, pour repondre a des questions specifiques. Nous avons effectue des analysesgranulometriques et des mesures de taux de calcaire sur des echantillons preleves aux cretes desbarkhanes. Les analyses granulometriques ont ete faites en utilisant une serie de tamis allantde 50 µm a 1 mm. Les resultats ont ete representes sous forme de distribution de probabiliteponderee soit en masse, soit en nombre de grains. Le pourcentage des carbonates de calciuma ete determine par la difference de poids d’un echantillon avant et apres attaque a l’acidechlorhydrique.

Sur le terrain, il est remarquable de constater que des differences de mobilite se traduisentpar des differences de teinte des dunes. Par exemple, les petites dunes mobiles de Foum Agoutiront une couleur jaune blanchatre tandis que les megabarkhanes situees a quelques kilometres


u(m/s)

t

8

6

4

2

0

0:004/07/03

6:00 12:00 18:00 0:005/07/03

u(max)u(m)u(min)

Fig. 2.19 – Exemple d’un enregistrement de la vitesse du vent de notre mini-station eolienne. Lesmesures sont tres fines (96 enregistrement par jour ). Les resultats sont exprimees en vitesse maximaleumax, vitesse moyenne um et vitesse minimale umin .

um (m/s)

t

40 m 20 m10 m

10

9

8

7

6

5

4

0:001/07/99

12:00 0:002/07/99

12:00 0:003/07/99

Fig. 2.20 – Exemple d’enregistrement de la vitesse du vent de la station eolienne du CDER. Sur chaqueanemometre sont effectues 24 enregistrements par jour de la vitesse maximale umax, de la vitesse moyenneum et de la vitesse minimale umin. Chaque anemometre est a une altitude differente des autres.


340

330

320

310

300

18:101/01/04

18:12 18:14 18:16 18:18 18:20

dat

dir (°)

t

Fig. 2.21 – Evolution de la direction du vent au cours du temps. Les fluctuations sont typiquement de40 ◦ en moins de 10 min.

seulement au Sud-Ouest sont de couleur rouge ocre. Cette difference de couleur est confirmeepar les photographies de grains prises a la loupe binoculaire (fig. 2.22). On peut observer lapresence d’eclats de rouille a la surface des grains, qui s’explique par la presence permanented’eau au cœur des dunes. On peut comprendre que ces depots de rouille soient d’autant plusimportants que les grains sont restes longtemps au sein de la dune. En effet, les chocs subis parles grains pendant les moments ou ils sont en saltation vraisemblablement erode et polit leursurface.

Nous avons egalement constate la presence sur le dos des megabarkhanes de grains decouleur noire que l’ont retrouve en grande quantite sur la plage a cinq kilometres en amont. Enexaminant ces grains noirs nous avons constate qu’ils sont attires par un aimant permanent, cequi est symptomatique d’un materiel ferreux. Ces grains ont la particularite d’etre plus densesque le quartz : 5046 kg/m3 en comparaison a 2650 kg/m3. Ils sont egalement plus petits que

Fig. 2.22 – Comparaison entre les grains du couloir des barkhanes a quelques kilometres avant Laayoun(a gauche) et les grains de la megabarkhane (a droite), nous remarquons qu’il y a moins de grains rougeorange dans les grains du couloir des dunes que dans l’echantillon de la megabarkhane.


100

80

60

40

20

0

800600400200

Pourcentage (%)

d (µm)

Dunes de Foum Agoutir

Barkhanes de Tarfaya

Les mégabarkhnanes

Fig. 2.23 – Les courbes en masse cumulatives des dunes de la regions.

les grains de sable : leur diametre est compris entre 80 et 100 µm. Cela suggere une memecapacite a s’envoler, la taille compensant la densite. En effet, le calcul montre que la vitesseseuil d’entraınement des grains de magnetite de 90 µm de diametre est de l’ordre de 4.5 m/salors que pour les grains de quartz de 180 µm elle est de l’ordre de 4.6 m/s.

Nous avons mesure le taux de calcaire sur des echantillons provenant des megabarkhaneset des petites barkhanes mobiles d’Agoutir. Nous avons trouve un taux de 38 % pour le sabled’Agoutir et 21 % pour le sable des megabarkhanes. Autre piste interessante, les megabarkhanesse situent a la sortie d’un chott3 dont les sediments alimentent egalement la megadune en limonsrouge-oranges. Cela se traduit sur les analyses granulometrique (fig. 2.23, 2.24) par un taux defraction fine (diametre inferieur a 50 µm) plus important sur les megabarkhanes que sur lesbarkhanes de Foum Agoutir.

2.4 Mesure de transport de sable

Outre la variabilite directionnelle du vent, une autre quantite importante qui pilote l’evolutiondes barkhanes ainsi que les echanges de matiere entre dunes est la quantite de sable mise enmouvement par le vent. Aussi avons-nous mis en place differentes methodes pour mesurer letransport de sable.

Commencons par definir et distinguer deux grandeurs distinctes mais reliees : le fluxsurfacique φ et le flux lineique q (Fig. 2.25). On definit le flux massique qm comme etant lamasse de grain franchissant une ligne unite par unite de temps. On convertit ce flux massique enflux volumique q en utilisant la masse volumique de la dune ρdune, egale a la masse volumiquedu sable ρsable fois la compacite de l’empilement de grains. Nos mesures de terrain donnentune valeur ρdune = 1500 kg/m3. Les unites de q sont des m3 par metre et par an, c’est-a-diredes m2/an. q intervient directement dans l’equation de conservation de la matiere qui, a unedimension, s’ecrit sous la forme :

∂th + ∂xq = 0 (2.4)

ou h designe la hauteur locale de la dune. L’autre flux massique d’importance est la masse de

3Il s’agit d’un bassin d’evaporation tres plat et etendu, a fond tapisse de sel.


d (µm)

10-5

10-4

10-3

10-2

800600400200

10-5

10-4

10-3

10-2

800600400200

d (µm)

d (µm)

P (d)

P (d)

P (d)

a

b

c

0.1

1

10

800600400200

-510

10

10

10

-4

-3

-2

Fig. 2.24 – Distribution granulometriques pour a) l’Oued Chbika, b) Tarfaya, c) les megabarkhanes. Cescourbes montrent un pic bien marque correspondant a une taille de grain particuliere. Les megabarkhanesont des grains legerement plus fins (pic a 160 µm) que les autres dunes de la region (180 µm).

grains quittant une surface unite par unite de temps. A nouveau cette masse peut etre convertieen volume via la masse volumique du lit de sable. Les unites de φ sont des m3 par m2 et paran, c’est-a-dire des m/an. Autrement dit, φ est homogene a une vitesse et q a un coefficientde diffusion. Si tous les grains ont la meme trajectoire de longueur l, on peut voir d’apres lafigure 2.25 que q et φ suivent en regime stationnaire la relation :

q = φl (2.5)


l

q

φ

Fig. 2.25 – Le flux q est le volume de sable qui traverse une section verticale de largeur unite par unitede temps. Pour des grains de sable dont le trajet typique est un saut de longueur l, le volume φ des grainsqui decollent d’une surface unite par unite de temps est egal a q/l.

En terme de flux φ, la conservation de la matiere s’ecrit alors :

∂th = φ(x − l) − φ(x) (2.6)

On voit donc que φ s’interprete comme un taux d’erosion – a ne pas confondre avec ∂th qui estle taux d’erosion effectif faisant le bilan de l’erosion et de la deposition de grains.

2.4.1 Mesure de l’erosion

La technique que nous avons utilisee pour mesurer l’erosion consiste a planter sur labarkhane des piquets munis d’un trait de jauge indiquant le niveau initial de la surface du sable.Apres un certain temps et par l’action du vent, la surface de sable evolue. En certains endroitson constate une erosion de la surface. En d’autres, il y a eu au contraire accretion des grains desable. La mesure de l’erosion (ou de l’accretion) s’obtient en mesurant la distance de la positionactuelle de la surface du sable et de sa position initiale. Cette mesure se fait a l’aide d’unpetit reglet (fig. 2.26). Apres avoir fait la mesure, on enfonce (ou remonte) a nouveau le piquetjusqu’au trait pour pouvoir refaire la mesure une autre fois. L’incertitude de cette mesure est del’ordre de la hauteur des rides eoliennes (quelques millimetres). Sur le dos de la dune barkhaneet avec l’experience cumulee, nous avons constate que l’erosion est relativement faible au niveau

Fig. 2.26 – L’erosion ou l’accretion sont mesures a l’aide d’un reglet.


lsal

Zsal

u(z)

Fig. 2.27 – Profil d’un grain en saltation. La trajectoire est asymetrique, ainsi la longueur de saltationlsal est 12 a 15 fois sa hauteur Zsal.

du bas du dos de la barkhane, alors qu’elle est tres forte juste avant la face d’avalanche. Nousavons alors choisi des piquets de 50 cm de haut pour le bas du dos et d’autres de l’ordre de 1 mpour ceux justes avant de la face d’avalanche.

2.4.2 Flux et flux sature

Au paragraphe precedent, nous avons vu que le transport de sable par le vent resulte del’equilibre entre l’erosion et le depot des grains. En fait pour une vitesse donnee, il existe unequantite maximum de sable que le vent peut transporter. Ce maximum est appele flux sature.

Dans le contexte eolien, on peut isoler deux principaux modes de transport des grains :la saltation et la reptation. La premiere correspond a la situation ou le grain fait un sautsuffisament haut pour etre accelere par le vent (fig. 2.27). Lorsqu’un tel grain au terme de sonsaut rebondit sur le lit sableux, une partie de son energie sert a deloger d’autres grains. Ceux-cise deplacent typiquement d’une quantite de l’ordre de quelques fois leur diametre puis s’arretent :c’est la reptation. Apres son impact, le salton generalement recommence une nouvelle trajectoireacceleree, mais peut egalement rester piege dans le lit. De meme, un repton peut etre promuen salton s’il decolle assez haut. Le flux de sable transporte par le vent est la somme des fluxcorrespondants a ces deux types de transport.

Determination du flux sature a partir des mesures de vitesse de vent

De nombreux modeles ont ete proposes pour la relation entre la vitesse de cisaillement etle flux de grains. Tous predisent que le flux est nul en dessous d’une vitesse seuil uth et croitavec u∗ au-dessus de ce seuil. L’existence d’un seuil d’entraınement provient directement du faitque les grains de la surface sont pieges geometriquement. La force de piegeage varie comme :ρsabled

3g tandis que la force d’entraınement hydrodynamique varie comme ρaird2u2

∗ (fig. 2.28).En prenant le rapport de ces quantites, on forme le nombre de Shields, qui est le nombre sansdimension qui pilote le seuil d’erosion :

Θ =ρair u2

∗

ρsable gd(2.7)

Notons qu’en toute rigueur, c’est la densite relative ρsable/ρair − 1 qui apparaıt dans cetteexpression et non le rapport des masses volumiques ρsable/ρair. Le nombre de Shields critique


Fig. 2.28 – Le seuil d’entraınement par le vent est traduit par l’augmentation de la difference de pressionentre le haut et le bas du grain. Plus la vitesse du vent est grande, plus cette difference de pression estgrande.

a ete determine de nombreuses fois. Nous nous sommes bases sur les tres belles mesures deRasmussen et al. (1996), qui donne un Shields critique Θth de 0.01. La vitesse seuil s’en deduitpar la relation :

uth =

√

Θthρsable

ρairgd (2.8)

Pour la taille de grains a laquelle nous avons affaire, d = 180 µm, la vitesse de cisaillementseuil vaut approximativement uth ≃ 0.2 m/s. Cela correspond, a la hauteur a laquelle notreanemometre est positionne (13 cm du sol), a une vitesse seuil de 4.5 m/s, valeur seuil effecti-vement observee. Sur ces memes mesures, le flux q peut etre ajuste a l’expression quadratiquesuivante :

q = A

√

d

g

ρair

ρsable(u2

∗ − u2th) (2.9)

Pour une taille de grain de 180 µ m, les mesures de Rasmussen donnent A ≃ 22.A partir des donnees de vents de l’annee 1999, nous pouvons, en utilisant la formule

precedente, calculer le flux q, et en prendre la moyenne temporelle en calculant

~Q =1

T

∫

~q dt (2.10)

Les resultats de ce calcul pour la region de Tarfaya est presente sur la figure 2.29, La va-leur noyenne Q est de l’ordre de 79.5 m2/an pour une masse volumique des grains ρsable ≃2550 kg/m3.

Mesure du flux par piegeage

Nous avons consacre une partie importante de notre travail de terrain a tenter de mettreau point une mesure de flux par piegeage et pesee des grains. Si il existe sur le marche des pieges’iso-cinetiques’ permettant d’aspirer localement les grains a la vitesse du vent, il n’existe pas depiege integral i.e. de methode pour mesurer q. En particulier, les methodes permettant d’attraperles grains volant sont peu efficaces pour capter les grains a ras du sol et reciproquement.

Pour notre part, nous avons tres naıvement teste des pieges constitues d’un recipientenfoui a ras du sol (fig. 2.30). Par cette methode, on arrive a capter convenablement tous les


20

15

10

5

0

1/01/99 1/03/99 1/05/99 1/07/99 1/09/99 1/11/99 1/01/00

um (m/s)

t

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

1/01/99 1/03/99 1/05/99 1/07/99 1/09/99 1/11/99 1/01/00t

q (m /heur)3

Fig. 2.29 – Determination du flux sature sur terrain plat a partir des mesures de la vitesse du vent. Le‘trou de mesure’ a ete perequationne et contribue a une hauteur de 5% a la moyenne annuelle.

grains roulants et plus generalement les grains de faible energie. La premiere surprise a etede constater qu’un piege muni d’un collecteur (par exemple un demi-cylindre de moustiquaire)visant a arreter les saltons piege systematiquement moins de grains qu’un piege de meme taille(un simple ’trou’ dans le lit sableux). Les pieges simples ont le gros defaut de ne pas etredes pieges integraux puisque des grains peuvent sauter par dessus le piege. Nous avons doncmesure simultanement, au meme endroit, les flux q captes par des pieges de differents diametresL (fig. 2.31). En extrapolant la courbe a diametre L nul, q(L) tend vers une constante quis’interprete comme le flux de grains roulant a la surface du lit de sable. A l’inverse, on observeun plateau lorsque le diametre du piege fait plus d’une trentaine de centimetres. De prime abord,un tel plateau pourrait etre la signature du fait que l’on piege tous les grains. Autrement dit,30 cm serait la longueur de saut caracteristique des saltons. Il faut cependant noter que ces


a b

Fig. 2.30 – a) Mesure du flux sur le dos d’une barkhane par des pieges de differents diametres alignessur le dos d’une barkahne. b) Exemple d’une bassine utilisee comme piege a sable.

gros pieges perturbent violemment l’ecoulement de couche limite et qu’il n’est pas exclu que lesgrains de plus grande energie rebondissent et ressortent du piege.

Pour tester ce premier resultat, nous avons concu un piege rectangulaire cloisonnes (fig. 2.32, 2.33).Etant donnee la contribution tres importante des grains roulants, les premiers compartimentsont ete choisis plus petits que les autres (24 mm au lieu de 52 mm). Le piege est soigneusementaligne dans la direction du vent et est protege des apports de sable lateraux par des ’douves’. Uncompartiment du piege a la distance x du debut ne capte que les grains dont la longueur de sauta est plus grande que x. Le flux Φx de grains pieges renormalise par le flux a l’entree du piege

L (mm)

25

20

15

10

5

0

6005004003002001000

q/Q

Fig. 2.31 – Flux de sable q mesure en fonction du diametre du piege L. Nous constatons que le fluxaugmente avec L, jusqu’a L ∼ 300 mm, valeur au-dela de laquelle il se stabilise. Les flux recueillis pendantles 20 minutes des experiences ont ete convertis au flux annuel.


direction du vent

saltons Largeur du piège

Fig. 2.32 – Schema du dispositif experimental qui permet de separer les flux des reptons de celui dessaltons.

Φ(0) est donc directement la probabilite ponderee en masse d’observer une longueur de saut plusgrande que x. La derivee de Φ(a)/Φ(0) est la densite de probabilite de la longueur de saut a. Onobserve sur la figure 2.34 que cette distribution presente une singularite en 0 (les grains roulants)suivie d’une decroissance sur une longueur caracteristique a. On retrouve que la contributiondes grains roulants au flux est de l’ordre du tiers. De maniere extremement etonnante, cettedistribution s’est averee independante de la vitesse du vent, en premiere approximation. Celacontredit la vision theorique de la saltation, qui concoit leur longueur de saut comme dependantquadratiquement de la vitesse du vent. Ces resultats sont preliminaires et suggerent de mettreau point une mesure non-perturbative de la distribution des longueurs de saut.

Pour ce qui est de construire un flux-metre, nous pouvons conclure qu’un piege de taillemodeste donne une mesure aussi bonne (ou aussi mauvaise) qu’un grand piege, le flux mesureetant proportionnel au flux mesure avec une grande bassine. Seconde conclusion, ces mesuresne sont pas envisageables pour des campagnes systematiques car fortement intrusives. Pourdisposer un seul piege, il faut creuser, poser le piege ferme, refermer le cone creuse autour dupiege, attendre que les rides se soient reformees, deboucher le piege, attendre, et le refermer...Ce dispositif ne permet pas non plus la mesure du transport entre les dunes, sur la roche mere.

Mesure du flux par les rides eoliennes

Nous avons donc pense a utiliser les rides eoliennes (fig. 2.35) comme ’capteurs’ de flux nonperturbatifs. Nous avons pu observer que la longueur d’onde des rides sur les dunes croıt avec la

directiondu vent

Fig. 2.33 – photographie du piege separant les saltons des reptons.


1. 0

0. 8

0. 6

0. 4

0. 2

0. 0

6005004003002001000

14

12

10

8

6

4

2

0

x10

-3

6005004003002001000

P(a)

a (mm)a

ba (mm)

φ(a)/φ(0)

Fig. 2.34 – a) Probabilite qu’un grain fasse un saut de longueur a plus grande que x. Cette probabiliteest directement le rapport des flux surfaciques recu en x et en 0. b) Densite de probabilite de longueurde saut a.

vitesse du vent. La relation n’est pas stricte dans la mesure ou les rides formees par un certainvent peuvent rester stables sous un vent plus fort ou plus faible, ce qui explique la dispersiondes donnees de terrain, par comparaison avec celles obtenues en soufflerie par Andreotti et al.(2005). La vitesse de propagation des rides eoliennes s’est averee etre plus directement reliee autransport. On s’attend en effet, par le meme argument que pour les dunes, a ce que la vitessede propagation des rides aille comme le flux de grains roulants divise par la hauteur de la ride.Sur le terrain, nous avons mesure systematiquement la vitesse des rides, leur longueur d’onde etle flux de sable (fig. 2.38). Pour mesurer la vitesse, nous avons pris deux photographies en vuedu dessus, en utilisant trois piquets comme reperes. Pendant ces mesures, nous avons egalementenregistre la direction et la vitesse du vent. Le flux est mesure avec un piege de 5 cm de diametre.Les premiers resultats illustres par la figure 2.37 (a) montre que la vitesse de propagation desrides croıt lineairement avec la vitesse du vent moins la vitesse seuil. La figure 2.38 (b) montre


profil laser

source lasera

b

Fig. 2.35 – a) rides eoliennes sur les dunes du Sahara Atlantique, b) La projection d’une source lasersur les rides eoliennes permet de tracer leurs profils. Un etalon de hauteur connue est pose sur la surfaceafin de mesurer la hauteur des rides.

Fig. 2.36 – Deux photographies decalees de quelques minutes, de la surface des rides eolienne, les cerclesnoirs indiquent les trois piquets qui servent a la superposition des deux photographies. Une girouetteindique la direction du vent, et la boussole permet de savoir la direction de propagation des rides.


λ (mm)

u*/u*th

c (mm/s)

u*/u*th

0.6

0.4

0.2

0.0

2.52.01.51.00.5

250

200

150

100

50

2.52.01.51.00.5a b

Fig. 2.37 – a) Vitesse de propagation des rides eoliennes en fonction de la vitesse du vent. b) Longueurd’onde λ des rides en fonction de la vitesse du vent moyennee sur quelques minutes.

5000

4000

3000

2000

1000

0

0.200.150.100.050.00

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.200.150.100.050.00q (m /an)

2

c (mm/s)

q (m /an)2

c λ (m /an)2

a b

Fig. 2.38 – a) Vitesse de propagation des rides eoliennes c en fonction du flux de grains roulants q. b)Produit de la vitesse des rides eoliennes c par leur longueur d’onde λ en fonction du flux q.


une relation de proportionnalite entre la vitesse des rides et le flux capte. La hauteur des ridesest proportionnelle a la longueur d’onde. On attendrait donc par l’argument a la Bagnold unerelation entre vitesse et longueur d’onde de la forme :

c ∝ q/λ

Etant donnee la faible correlation entre la longueur d’onde et le transport, la relation cλ ∝ qn’est ni plus ni moins convaincante que c ∝ q.

En conclusion, la mesure de la propagation des rides eoliennes semble une voie prometteusepour pouvoir acceder de maniere non perturbative au flux de sable transporte sur des echellesde temps de l’ordre de quelques minutes. Nos resultats montrent en tout cas que la methodemise au point (mesure de cλ) est au moins aussi precise que la methode par piegeage.

Derniere conclusion, nos tentatives de mesure de flux montrent a quel point la comprehensiondu transport eolien reste lacunaire. Les dependances des caracteristiques des rides (vitesse etlongueur d’onde) avec la vitesse du vent restent par exemple completement inexpliquee. Unequantite aussi simple que la distribution des longueurs de saut s’avere extremement surpre-nante : au lieu de la distribution attendue s’elargissant avec la vitesse du vent, nos mesuresmontre des distributions independantes de la vitesse du vent.


Chapitre 3

Comportement moyen et forme

d’equilibre

Dans la classification des formes dunaires proposee dans le contexte geomorphologique, lesbarkhanes se forment sous un regime de vent unidirectionnel. Des lors, ces dunes ont ete percuescomme pouvant garder une forme stable et une taille constante sur de longues periodes de temps– plusieurs decennies (Bagnold 1941 ; Finkel 1959). De ce point de vue, la question centrale pourles geomorphologues a donc ete de caracteriser et comprendre leur etat d’equilibre suppose,forme et vitesse de propagation. Nous allons momentanement adopter ce point de vue – lesdunes comme ondes solitaires stables – avant de le retourner pour montrer leurs comportementsdynamiques hors d’equilibre.

3.1 Ecoulement de l’air, erosion et flux autour d’une barkhane

Dans un premier temps, nous allons, a partir de nos mesures de terrain, illustrer lesmecanismes elementaires a l’echelle de la dune conduisant a la propagation des barkhanes.

Dos

Corne Pied Face d'avalanche

Cornegauche

droite

Flanc

4 m

Replat

Fig. 3.1 – Vue aerienne d’une barkhane de 1.3 m de haut de la region de Tarfaya.

47


x (m)

y (m)

10

5

0

-5

-10

151050-5-10-15

1.3

1

0.5

0.5 0

Fig. 3.2 – Vue en trois dimensions de la barkhane representee sur la figure 3.1. Le profil a ete mesurepar la technique de photographies presentee au chapitre precedent.

Pour l’essentiel, ceux-ci sont bien connus et ont fait l’objet de nombreuses etudes theoriques etexperimentales, sur le terrain et en soufflerie.

La figure 3.1 montre une photographie prise depuis un cerf-volant d’une petite dune –1.3 m de haut – que nous allons etudier en details. La dune se propage dans le sens du vent(de gauche a droite sur la figure), les cornes en avant. Elle presente presque idealement laforme en croissant caracteristique des barkhanes. On distingue classiquement differentes zones :de l’arriere a l’avant, sur la ligne centrale, le pied de la dune, le dos, le sommet, puis la faced’avalanche ; sur les cotes, les flancs et les cornes. Il est important de noter des a present le faitque la face d’avalanche ne couvre pas toute la largeur de la dune. La figure 3.2 montre la formetri-dimensionnelle de la dune par des lignes de niveau. On remarque une pente quasi-constantesur le dos (de l’ordre de 10◦) et sur la face d’avalanche (de l’ordre de 32◦). Notons egalementle fait que le maximum de la dune ne coıncide pas avec le haut de la face d’avalanche. Nousappellerons ‘replat’ cette zone entre le sommet et le haut de la face d’avalance.

La figure 3.3 presente les mesures de taux d’erosion ∂th sur la dune. On observe que ledos et les flancs de la dune sont presque uniformement erodes. Le sable preleve commence ase deposer apres le sommet de la dune et sur les cornes, mais surtout sur le dessus de la faced’avalanche. Lorsque l’angle de la congere devient trop grand, celle-ci donne naissance a unepetite avalanche. Les avalanches successives repartissent le sable depose et maintiennent cettepente a sa valeur d’equilibre. Au dela du pied de la face d’avalanche, on retrouve le sol dursans depot sableux : cela signifie que la face d’avalanche fonctionne comme un piege de sableintegral. Globalement, ce processus induit une propagation de la dune, le sable provenant du

Comportement moyen 49

10

5

0

-5

-10

151050-5-10-15

-60-40

-20 20

20

0

-80

-80

40 6080

100

x (m)

y (m)

Fig. 3.3 – Representation de la distribution spatiale de l’erosion ∂th (en mm/jour) sur la dune de lafigure 3.1. L’erosion a ete mesuree par la technique des piquets.

dos s’accumulant sur la face d’avalanche. Insistons sur le fait que le mouvement du sable n’alieu qu’en surface. Lorsqu’un grain de sable sur le dos de la dune se fait emporter par le vent, ilparcourt la longueur de la dune en quelques dizaines de secondes avant d’etre depose en haut de laface d’avalanche. La, il attend pendant quelques minutes la premiere avalanche, qui l’abandonnea une certaine hauteur. Il reste ensuite statique, a l’interieur de la dune pendant plusieurs moisle temps que toute la dune lui soit passee par dessus, avant de reapparaıtre sur le dos, de sefaire emporter, et ainsi de suite. Ce mouvement intermittent des grains trouve une traductionamusante dans leur couleur. Pendant toute la phase statique se forment des eclats de rouille ala surface des grains, qui sont partiellement erodes pendant la courte phase d’entraınement parle vent. Les dunes sont donc d’autant plus blanches qu’elles sont mobiles, d’autant plus rougesqu’elles se propagent lentement (voir paragraphe 2.3).

Il est interessant de comparer ces mesures d’erosion avec ce que l’on obtiendrait si ladune se propageait sans se deformer i.e. avec une hauteur de la forme h(x− ct, y). Par un calculimmediat, on obtient une proportionnalite entre le taux d’erosion et la pente dans la direction duvent : ∂th = −c∂xh. On peut voir sur la figure 3.3 que cette equation predit remarquablement leszones d’erosion (dos et flanc) et d’accretion (cornes, replat ainsi bien sur que la face d’avalancheelle-meme). De cette adequation remarquable naıt l’idee d’un processus d’auto-adaptation de laforme a l’ecoulement d’air qui conduirait a une onde solitaire stable.

Comme nous l’avons vu au chapitre precedent, c’est la vitesse du vent qui gouvernel’erosion. Plus exactement, la contrainte juste au dessus de la couche de saltation (typique-ment a 15 cm du sol) controle le flux sature qsat. Le taux d’erosion est directement relie a la


x (m)

y (m)

151050-5-10-15

5 6 7

7

8

88.5

bulle de

recirculation

10

5

0

-5

-10

Fig. 3.4 – Representation spatiale de la vitesse du vent (en m/s) sur une barkhane de 1.3 m de haut.Nous constatons que cette vitesse augmente au fur et a mesure qu’on surmonte le dos, et diminue lorsqu’ondescend par les cornes.

variation spatiale du flux par la relation de conservation de la matiere :

∂th + ~∇ · ~q = 0 (3.1)

Plusieurs etudes (Haward et al. 1978 ; Wiggs et al. 1996 ; Sauermann et al. 2001) ont montre quele vent diminue juste avant le pied de la dune puis augmente continument le long du dos. De cefait, le flux sature augmente ce qui explique l’erosion globale du dos. Il est important de realiserque, contrairement a l’incision de la roche mere par une riviere, l’erosion n’est pas controlee parla vitesse de l’ecoulement (on peut comparer par exemple le bas du dos et le sommet) mais bienpar la variation spatiale de cette vitesse. Autre remarque d’importance, le profil de vitesse duvent n’est plus logarithmique sur le dos de la dune et ne peut plus etre utilise pour estimer lacontrainte au sol. C’est pourquoi nous avons mesure la vitesse du vent juste au dessus de lacouche de transport, a 20 cm du sol (fig. 2.18 (a)).

On observe sur la figure 3.4 que la vitesse du vent chute pratiquement a 0 sur la face d’ava-lanche. Ceci est du au decollement de la couche limite turbulente a la crete, le re-attachementse faisant plusieurs dizaines de metres plus loin. Au sein de la bulle de recirculation le faibleecoulement qui subsiste est essentiellement inverse et ramene donc le sable vers la face d’ava-lanche pendant les periodes intermittentes ou il arrive a franchir le seuil de transport. Il n’y adonc pas de fuite de sable par la face d’avalanche. La dune peut etre alimentee en sable parl’arriere et perd du sable par les cornes (fig. 3.5). Notons des a present que l’equilibre entre lesflux entrants et sortants ne va pas de soi et sera discute par la suite.


= 0,1 g/cm/min

Fig. 3.5 – Flux de sable collecte par des pieges mis en different endroits d’une barkhane. Ces resultatsmontrent que le flux augmente au fur et a mesure qu’on surmonte le dos de la barkhane. Il augmenteegalement des flancs vers les cornes.

Derniere jonction, ce sont les modifications de l’ecoulement par la presence de la dune quiexpliquent les variations de vitesse du vent au sol. On peut expliquer de maniere rudimentaire lesobservations (fig. 3.4). Le dos de la dune oblige les lignes de courant a se pincer, ce qui expliquel’augmentation de la vitesse le long du dos. L’ecoulement atmospherique etant turbulent il nepossede pas d’echelle caracteristique (hormis la rugosite du sol, 6 ordres de grandeur plus petiteque la dune). On s’attend donc a ce que l’ecoulement ne depende que de la forme de l’obstacleet pas de sa taille. En d’autre mots, le vent augmente de la meme maniere quelque soit lataille des dunes, pourvu que celles-ci aient la meme forme. Deuxieme ingredient, il existe uneasymetrie violente entre convergence et divergence des lignes de courant : les effets inertielssont stabilisants dans le premier cas et destabilisants dans le second. Cet effet est notamment al’origine du decollement de couche limite. On s’attend donc a ce que l’ecoulement autour d’unebosse symetrique ne le soit pas et a ce que le maximum de vitesse soit en particulier deplace enaval du sommet (fig. 3.6). Avec ces simples arguments, on peut trouver la forme generique dela variation de vent autour d’un obstacle 2D de rapport d’aspect infinitesimal. La seule relationlineaire sans echelle caracteristique entre contrainte et profil de hauteur s’ecrit en Fourier :

τ = τ0(α|k| + iβk)h (3.2)

ou α et β sont des constantes sans dimension, reelles et positives, et k le nombre d’onde. Celadonne en terme de vitesse la relation,

u = U1

2(α|k| + iβk)h (3.3)

Reformulee dans l’espace direct, cette equation devient :

u = U

(

1 +α

2π

∫

∂xh(x′)

x − x′+

β

2∂xh

)

(3.4)


a)

b)

sommet

maximumde cisaillement

maximumdu flux

Lsat

λ/2≈λΒ/(2πΑ)

Fig. 3.6 – a) Schematisation des lignes de courant autour d’une bosse symetrique. La vitesse, etconsequement le flux sature, atteignent leurs valeurs maximales juste avant le sommet. Le flux ne re-joint la valeur sature qu’avec un retard Lsat. b) Sur la barkhane, une zone de recirculation se cree en avalde la face d’avalanche.

α traduit le pincement des lignes de courant et β l’asymetrie entre convergence et divergencede ces memes lignes. Plusieurs travaux ont tente de predire les valeurs de α et β a partir desequations de l’hydrodynamiques, mais le calcul exact est pour le moment hors de portee. Lesresultats approches predisent une dependance faible de ces deux parametres avec le logarithmede la taille de la dune divise par la rugosite hydrodynamique z0.

En resume, les mecanismes elementaires sont bien compris et mettent en jeu l’interactionentre la forme de la dune qui controle l’ecoulement autour d’elle et l’ecoulement lui meme qui,via le processus d’erosion/accretion, modifie la forme de la dune. L’idee centrale des etudespassees conduit a penser que ce processus conduit a la formation de dunes stables se propageantsans se deformer.

3.2 Morphologie moyenne et longueur caracteristique

Relations morphologiques

La plupart des etudes precedentes sur la forme des barkhanes ont ete menees au coursd’une seule mission de terrain de courte duree. Elles ont procede soit par un echantillonnagesystematique dans une zone donnee (par exemple l’Arequipa au Perou, Finkel 1959) soit parprelevement des plus “belles” dunes i.e. isolees et presentant une forme symetrique et lisse(Sauermann 2001). En premiere approximation, quatre parametres suffisent a caracteriser laforme en croissant (fig. 3.7) d’une barkhane :

- sa longueur L, mesuree selon l’axe central entre le pied de la barkhane et le bas de sa faced’avalanche

- sa hauteur H, mesuree selon un axe vertical 1

- la largeur W , mesuree de corne a corne

1On prendra garde au fait i) que le sommet de la dune peut ne pas coıncider avec le haut de la face d’avalancheet ii) qu’il faut multiplier la longueur de la face d’avalanche mesuree a l’aide d’un tridecametre par le sinus del’angle d’avalanche pour obtenir la hauteur de celle-ci.


sommetdosreplat

H

WL

Lcornes

faced'avalanche

Fig. 3.7 – La forme des barkhanes peut etre quantifiee a l’aide de quatre parametres morphologiques :la longueur L, la largeur W , la hauteur H et la longueur des cornes Lcornes.

H (m)

L (m)

80

60

40

20

086420

Hastenrath 1967 (42 barkhanes)

Finkel 1959 (44 barkhanes)

Sauermann 2001 (8 barkhanes)

Long & Sharp 1964 (27 barkhanes)


H (m)


160

140

120

100

80

60

40

20

086420

Finkel 1959 (44 barkhanes)

Sauermann 2001 (8 barkhanes)

Long & Sharp 1964 (27 barkhanes)


W (m)

a b

Fig. 3.8 – Relation entre la longueur L, largeur W et la hauteur H des barkhanes (mesures de terrain).La droite correspond a l’ajustement lineaire des mesures effectuees dans l’Arequipa au Sud du Perou(Finkel 1959, Hastenrath 1967, Hastenrath, 1987).


- la longueur des cornes Lcornes, mesuree entre le pied de la face d’avalanche et l’extremite descornes

Les figures 3.8 et 3.9 montrent respectivement la longueur, la largeur, et la longueur des cornesen fonction de la hauteur de la dune. Sur ces figures, chaque point represente une moyennesur quelques dunes de taille similaire. Ces graphes regroupent nos mesures effectuees sur plusde 200 barkhanes du Sahara Atlantique, ainsi que des donnees morphologiques publiees dansla litterature. Les trois series de mesures effectuees dans l’Arequipa (Perou) montrent que lesdifferents parametres H, W et L sont lies par des relations affines. En premiere approximation,le dos d’une barkhane est 8 fois plus large et long que haut, ce qui correspond a une pentemoyenne de l’ordre de 7◦. Par comparaison, Hesp and Hasting (Hesp & Hasting 1998) ont mesuredes pentes de l’ordre de 11◦ au point d’inflexion du dos. Les barkhanes de Californie etudieespar Long et Sharp (Long & Sharp 1964) presentent un rapport d’aspect L/H beaucoup plusimportant (de l’ordre de 14). Contrairement a celles des zones balayees par les Alizes (Arequipa,Sahara Atlantique), ces dunes-la ne sont actives que pendant une courte periode de l’annee.Nous verrons par la suite en quoi ceci peut etre relie a leur forme allongee.

Il est important de constater que la relation entre hauteur et longueur n’est pas lineairemais bien affine : si l’on extrapole la relation a hauteur nulle, on obtient une longueur decoupure de l’ordre de 14 m, ce qui correspond a la longueur d’apparition des proto-dunes – nousdiscuterons davantage ce point par la suite. Cela signifie que les dunes ne sont pas invariantesd’echelle : leur forme depend de leur taille. Plus precisement, Hastenrath (1967) et Sauerrmanet al. (2001) ont observe que les petites barkhanes presentent un replat (comme sur la fig. 3.7),tandis que les grandes barkhanes atteignent leur maximum de hauteur a la face d’avalanche.Toujours d’apres Sauermann et al. , les grandes barkhanes presenteraient un dos pratiquementrectiligne entre le pied de la dune et le sommet. Ces auteurs ont d’autre part observe que lesgrandes dunes ont des cornes tres developpees en proportion de leur dos tandis que les petitesdunes ont des cornes evanescentes. Ces observations sont schematisees sur la figure 3.10. Notonsdes a present la relativite de ces resultats : Cook et al. (1993) ont montre par l’exemple quedeux barkhanes de meme taille dans un meme champ de dunes peuvent avoir l’une un replat etl’autre non.

Les mesures de terrain effectuees dans differentes regions du monde (Finkel, Hatenrath,Long and Sharp et Sauermann ) ont montre que la relation entre la largeur des deux cornes d’unebarkhane et sa hauteur est aussi affine. Cela confirme que les barkhanes ne sont pas invariantesd’echelle. Meme si ces parametres affines varient d’une region a l’autre et d’une etude a l’autre, laforme generale de la barkhane est conservee avec un rapport d’aspect de l’ordre de W/L ≃ 1−1.2et H/L ≃ 0.1.

Longueur de saturation

Les relations morphologiques des dunes indiquent l’existence d’une echelle de coupure au-tour de 20 m de long. L’identification de la longueur caracteristique gouvernant cette echellea constitue une grande partie du travail de these d’Hersen (2004). Nous avons vu que la par-tie hydrodynamique du probleme ne presente pas d’echelle caracteristique. L’autre moitie duprobleme, a savoir le transport de sable, ne presente qu’une echelle pertinente, la longueur derelaxation du flux de sable q vers sa valeur saturee qsat. Nous noterons Lsat cette longueur desaturation.

Il n’existe qu’une seule mesure de la longueur de saturation, effectuee par Bagnold (1941).Nous avons reporte ses quelques points de mesure sur la figure 3.11. Nous avons nous memeeffectue une mesure de Lsat in situ, avec des grains provenant d’une dune. Pour ce faire, nousavons, sur la dalle calcaire, prepare a l’aide d’un bulldozer un lit de sable homogene de 20 m delong, 5 m de large (fig. 3.12) et quelques dizaines de centimetres d’epaisseur. Nous avons choisi


300

250

200

150

100

50

0

1612840

W (m)

H (m)

Fig. 3.9 – Relation entre la largeur W et la hauteur H des barkhanes du Sahara Atlantique (mesureseffectuees sur 130 barkhanes). La droite correspond a l’ajustement lineaire des mesures

grosse petite

Fig. 3.10 – Schema montrant la difference de morphologie entre petites et grosses barkhanes, d’apresSauermann, (2001)


10

8

6

4

2

0

86420x (m)

q (U.A)

Fig. 3.11 – La seule mesure de la longueur de saturation a ete faite par Bagnold. Dans ce graphe nouspresentons l’evolution du flux q mesure par Bagnold en fonction de la distance parcourue x. Le meilleurajustement exponentiel donne une valeur de la longueur de saturation de l’ordre de 2.3 m. Le flux estdonne en unite arbitraire (U.A).

une zone sans relief, sans plantes et sans dune en amont, avec un transport de sable relativementfaible. A 5 m en amont du lit de sable, nous avons installe une serie de nebkas artificielles demaniere a capter tout flux de sable entrant. Cela nous a garanti un flux de sable nul a l’entreedu lit de sable. Nous avons determine le flux q par integration du taux d’erosion ∂th, lui mememesure apres 24 h a partir de piquets munis d’un trait de jauge. Les variations spatiales de fluxainsi determinees sont representees sur la figure 3.13. On observe sur quelques metres une phased’augmentation du flux puis une saturation. Il est a noter que la courbe oscille legerement vers ladroite du graphe. Ceci est du a un double effet. D’une part, le flux etant mesure par sommationdes mesures d’erosion, les erreurs de mesures conduisent a une derive de la somme. D’autre part,

direction du vent

haie de nebkas

patch artificiel

20 m

5 m

Fig. 3.12 – Dispositif experimental pour mesurer la longueur de saturation.


800

600

400

200

0

108420x (m)

6

q (cm / jour)2

Fig. 3.13 – Evolution spatiale du flux Q en fonction de la distance parcourue d calculee a partir de notreexperience. Le meilleur ajustement exponentiel donne une valeur de la longueur de saturation de l’ordrede 1.7 m.

nous avons aplani la surface initiale du lit du mieux que le permettait nos instruments, maissans pouvoir eviter des variations de l’ordre de 20 cm sur 20 m. La difficulte provient de ce que1% de fluctuation sur le profil h induit plus de 10% de variation sur le flux sature. Compte tenude ces difficultes experimentales, on peut juger satisfaisante l’adequation des points de mesureavec une relaxation de premiere ordre :

q = qsat

[

1 − exp

(

−x

Lsat

)]

, (3.5)

qui correspond a une equation de charge lineaire de la forme,

Lsat∂xq = qsat − q. (3.6)

Le meilleur ajustement par l’equation 3.5 donne une longueur de relaxation de 1.7 m (notons quenous avons utilise des grains de diametre d = 180 µm). A titre de comparaison, l’ajustement surles mesures de Bagnold donne une longueur de 2.3 m pour des grains de diametre d = 250 µm.Notons au passage que la longueur de saturation (1.7 m) est beaucoup plus petite que la tailleminimale des dunes (20 m).

Nous n’avons pas pu reiterer cette mesure sous differentes conditions de vent. Du pointde vue theorique, il n’est du reste pas exclu que Lsat depende de la vitesse du vent. Cependant,il existe trois arguments qui nous conduisent a penser que ce n’est pas le cas. D’une part, leseul calcul theorique complet (Andreotti, 2004) ne predit une divergence de Lsat que tres presdu seuil puis une legere croissance avec la vitesse du vent, loin du seuil. Ces dependances sontglobalement sous-dominantes. D’autre part, l’effet de retard a l’equilibre le plus simple provientdu temps (et consequemment de la distance) qu’il faut pour qu’un grain accelere par un vent


donne atteigne la vitesse du vent. L’ecoulement autour du grain etant turbulent, l’equation dumouvement s’ecrit :

1

6πd3ρsable

d~v

dt=

Cx

8πd2ρair|~u − ~v|(~u − ~v) (3.7)

et donne une longueur inertielle Lin independante de la vitesse du vent :

Lin =4

3Cx

ρsable

ρaird (3.8)

Le troisieme argument est la validite de la loi d’echelle

Lsat ∝ρsable

ρaird (3.9)

entre les deux mesures existantes. Connaissant le rapport de densite ρsable/ρair ≃ 2125, l’experiencenous a permis de determiner le coefficient de proportionnalite entre Lsat et Lin. Que l’onconsidere la mesure de Bagnold (fig. 3.11) ou la notre (fig. 3.12), on obtient finalement :

Lsat = 4, 4ρsable

ρaird (3.10)

Nous verrons par la suite que cette quantite joue un role clef dans la dynamique dunaire.

3.3 Propagation et flux caracteristique

Vitesse moyenne de propagation des barkhanes

La seconde caracteristique tres etudiee dans le contexte geomorphologique est la mobilitedes barkhanes. Les differentes etudes sur le sujet ne se sont penchees que sur des vitesses depropagation moyennes. A nouveau, ces mesures s’appuient sur l’idee que les barkhanes sont desobjets isoles qui se propagent sans changer de forme. Comme pour les relations morphologiques,nous avons collecte les donnees de vitesses de propagation publiees dans la litterature (fig. 3.14).Malgre la grande dispersion des donnees, toutes les courbes concordent a montrer que la vitessedes dunes decroıt avec leur taille.

Nous avons vu plus haut que la migration resulte de l’erosion du dos et de la depositiondu sable ainsi preleve sur la face d’avalanche. La vitesse de la dune depend donc directement duflux de sable q a la crete et de la taille de la dune representee par sa hauteur h. En supposantque la dune se propage a la vitesse c sans changer de forme (fig. 3.15), la conservation de lamatiere s’ecrit simplement (Bagnold, 1941) :

c =q

h(3.11)

Pour une grande dune, il est raisonnable de considerer que le flux a la crete est sature. Or ceflux ne depend que de la vitesse du vent a cet endroit, qui est elle-meme invariante d’echelle.Cela signifie que le flux q a la crete est independant de la taille de la dune dans la limite desgrandes dunes. Les donnees collectees dans la litterature sont globalement en accord avec cettedecroissance de la vitesse en 1/h, et donnent des valeurs de q entre 100 et 400 (m2/an) (Finkel1959 ; Coursin 1964 ; Hasterath 1967). Nous avons effectue nos propres mesures de vitesse depropagation. Comparees a celles precedemment effectuees, elles couvrent – grace aux mega-dunesen particulier – une gamme d’echelles de taille et de temps beaucoup plus importante. La figure3.16 montre les mesures brutes qui temoigne d’une belle loi asymptotique allant comme l’inversede la taille. La question est maintenant d’affiner cette comprehension de la vitesse moyenne depropagation en recherchant les dependances du flux passant a la crete des dunes.


H (m)

(m/an)c

Hastenrath 1958-64

Finkel 1955-58

Slattery 1961-88

Long & Sharp 1941-56Long & Sharp 1956-63

Hastenrath 1964-83

Hastenrath 1955-58

40

30

20

10

01612840

H (m)

(an/m)1/c

Hastenrath 1958-64

Finkel 1955-58Hastenrath 1955-58

0.10

0.12

0.08

0.06

0.04

0.02

0.0076543210

a b

Fig. 3.14 – a) Vitesse c des barkhanes moyennees en fonction de leur hauteur H . Les lignes correspondentaux meilleurs ajustements – cf equation 3.15. b) Memes graphes avec l’inverse de la vitesse 1/c.

Flux a la crete, flux sur terrain plat

Si le flux q a la crete est sature, sa valeur peut etre determinee a partir de mesures devent. Le vent de reference est mesure sur terrain plat en dehors de la dune et est traduit entermes de vitesse de cisaillement sur terrain plat u∗. Nous avons vu au chapitre precedent que lavitesse du vent est plus grande en haut d’une dune que sur terrain plat. Nous avons mesure sur

direction du vent

h

cdtq = a Q

Fig. 3.15 – Schema illustrant le fait que la vitesse des barkhanes est inversement proportionnelle a leurhauteur.


W (m)

c (m/an)

entre 1979 et 2004

entre 1975 et 2004entre 1976 et 2004

entre 2003 et 2004160

140

120

100

80

60

40

20

0

6005004003002001000

Fig. 3.16 – Les mesures brutes de la vitesse des barkhanes c en fonction de leurs largeurs W . nous avonsfait ces mesures au Sahara Atlantique a differentes periodes entre 1975 et 2004 en utilisant differentesseries de photographies aeriennes.

u (m/s)

t

u (plat)u (sommet)

10

8

6

4

2

18:3812/09/04

18:40 18:42 18:44 18:46

Fig. 3.17 – La vitesse du vent mesuree sur le haut de la dune barkhane Vsommet est plus grande quecelle mesuree simultanement sur terrain plat VPlat. Ici nous representons des mesures effectuees le 12septembre 2004


differentes dunes le rapport s entre ces deux vitesses, mesurees a une meme hauteur au dessusdu sol (20 cm). La figure 3.17 montre que ces deux quantites suivent les memes derives de signal,meme si les fluctuations sont decorrelees. Nous avons obtenu des valeurs de s independantes dela vitesse du vent et de la taille de la dune, allant de 1.3 a 1.6 avec une moyenne :

s = 1.45 ± 0.05 (3.12)

Comme decrit au chapitre precedent, les series temporelles de vitesse de vent peuvent etreconverties en series temporelles de flux sature, via une relation etalonnee du type :

q = A

√

d

g

ρair

ρsable(u2

∗ − u2th) (3.13)

De la meme facon que pour la vitesse, il est interessant de definir deux flux : le flux sature surterrain plat Q et le flux sature a la crete d’une dune aQ. Avec ces notations, la vitesse des dunestend vers aQ/H pour les grandes dunes. a est par definition le rapport entre les flux satures ala crete et sur terrain plat et relie a s par :

a =s2u2

∗ − u2th

u2∗ − u2

th

=s2Θ − Θth

Θ − Θth(3.14)

On peut remarquer que par construction, a diverge au seuil d’erosion et tend vers s2 ≃ 2.1 loindu seuil.

Dans une experience ou l’on controle la vitesse de l’ecoulement, le nombre de ShieldsΘ apparaıt donc comme un parametre important du probleme. Sur le terrain, la vitesse estsans cesse en train de fluctuer a l’echelle de la minute, a l’echelle de la journee et a l’echelledes saisons. Il est donc tentant de s’abstraire de ce parametre que l’on ne controle pas endefinissant une valeur de a effective. Pour ce faire, nous avons calcule Q et aQ a partir desdonnees anemometriques a notre disposition. Pour l’annee 1999, nous trouvons Q = 79.5 (m2/an)et aQ = 218 (m2/an) ce qui donne en moyenne a = 2.75. En inversant la relation 3.14, on trouveque cette valeur de a est celle qui serait obtenue pour un vent permanent a la vitesse u∗ ≃ 1.7uth.

Vitesse de propagation adimensionnee

L’analyse theorique predit donc que la vitesse des barkhanes ne depend du vent que via leflux de reference Q. Si l’on veut adimensionner la relation vitesse/hauteur de maniere a obtenirune courbe maıtresse, il faut donc representer c/Q en fonction de la hauteur H. Notons quec/Q est homogene a l’inverse d’une hauteur. Les donnees de vent pour toute la periode pendantlaquelle l’avancee des dunes a ete mesurees (1975-2004) ne sont pas disponibles. Nous avonsdonc pour chaque periode de temps, ajuste les donnees par la forme

c =aQ

H + H0(3.15)

ou l’on a ajoute une hauteur de coupure H0 a la relation asymptotique. H0 peut s’interpreterqualitativement comme une hauteur minimale de dune (Bagnold 1941 ; Pye &Tsoar 1990 ; Cooket al. 1993 ; Andreotti et al. 2002).

Pour pouvoir interpreter les mesures de vitesses, nous avons converti les largeurs en hau-teurs en utilisant la relation etablie sur la figure 3.9. Vu le peu de precision sur la valeur de H0,nous avons ajuste les quatre series de points avec differents aQ mais le meme H0. Cela nousdonne d’une part une hauteur de coupure H0 ≃ 60 cm sur lequel nous reviendrons par la suite.D’autre part le flux a la crete aQ dans la zone situee entre Tarfaya et Tah vaut respectivement


H (m)

c/Q (1/m)3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0 10 20 40

Fig. 3.18 – Vitesse annuelle des barkhanes divisee par le flux c/Q en fonction de leurs hauteurs. Laligne est le meilleur ajustement.

H (m)

Q/c (m)6

5

4

3

2

1

01612840

Fig. 3.19 – Le flux divise par la vitesse annuelle des barkhanes Q/c donne une relation lineaire avec lahauteur H des dunes. La ligne est le meilleur ajustement lineaire.


0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

1/01/99 1/03/99 1/05/99 1/07/99 1/09/99 1/11/99dat

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

1/04/99 6/04/99 11/04/99 16/04/99 21/04/99 26/04/99dat

Q (m2/h)

Q_plat

31/12/1999a)

b)

q (m2/h)

t

t

Fig. 3.20 – a) Flux adimensione q sur terrain plat et au sommet des barkhanes calcule a partir desenregistrements du vent de l’annee 1999 a Tarfaya. b) Exemple du flux adimensione du mois d’avril del’annee 1999 .

206 m2/an, 210 m2/an et 207 m2/an pour les periodes 1975-2004, 1979-2004 et 2003-2004. Aproximite de Laayoune, aQ est legerement plus eleve (262 m2/an entre 1976 et 2004) (fig. 3.21).On observe un tres bon accord avec la valeur de aQ tiree des donnees meteorologiques sur l’annee1999 (aQ = 218 m2/an). La courbe adimensionnee qui en resulte est representee sur la figure3.20. On observe un excellent accord avec la parametrisation proposee ci-dessus (eq. 3.15).


100

80

60

40

20

0

1/01/99 1/03/99 1/05/99 1/07/99 1/09/99 1/11/99 1/01/00t

∫ q (m3)

Fig. 3.21 – Flux cumule q calcule a partir des enregistrements du vent de l’annee 1999 a Tarfaya.

3.4 Forme d’equilibre et selection de taille

3.4.1 Forme d’equilibre

La forme en croissant caracteristique des barkhanes est bien visible par les excroissancesdes cornes vers l’avant (fig 3.1). On peut comprendre la forme tri-dimensionnelle d’une barkhaneen la decoupant mentalement en tranches le long de l’axe du vent. Au centre, on trouve unegrande dune avec une grande face d’avalanche et, au fur et a mesure que l’on considere destranches de dune plus pres des cornes, la longueur de la tranche diminue ainsi que la fractionqu’occupe la face d’avalanche. Comme nous le verrons par la suite, la vitesse des dunes decroıtavec leur taille. Une barkhane peut donc apparaıtre comme composee de dunes unidimension-nelles couplees lateralement : si l’on part d’un tas initialement conique, les parties les plus bassesvont avancer plus vite que la partie centrale et former les cornes de la dune (fig. 3.29). Cette ana-lyse qualitative revele l’un des points essentiels a comprendre dans la dynamique de la barkhane :la forme tri-dimensionnelle naıt d’un couplage dans la direction transverse au vent directementlie a la composante du flux de sable dans cette direction. Apres analyse, cette composante duflux transverse au vent apparaıt liee au roulement des grains sur le sol, sensible a l’inclinaisondu sol. Cela se traduit au premier ordre par un flux transverse proportionnel a la pente et auflux longitudinal. Cela constitue donc un mecanisme de diffusion de la matiere, le coefficient dediffusion variant comme le flux q.

Cette forme caracteristique des barkhanes est conservee quelle que soit le fluide. Ainsiles barkhanes aquatiques obtenues au laboratoire donne des rapports d’aspect H/L et H/Wcomparables a leurs homologues eoliennes meme si les mecanismes de transport entre l’eau etl’air ne sont pas les memes (Hersen, 2004). La forme resulte donc de processus tres robustes : ladecroissance de la vitesse de propagation avec la hauteur et le couplage des ”tranches” de dunespar un flux lateral.

3.4.2 Bilan de masse et selection de taille

Si la selection de forme est tres claire, il n’en va pas de meme pour la selection de taille.Pourquoi observe t-on a un endroit donne des dunes d’une certaine taille ? Pourquoi la taille desbarkhanes est-elle relativement constante au fil des couloirs dunaires ? Pourquoi, si l’on excepteles trois mega-barkhanes, les dunes font elles au grand maximum 15 m de haut ? Pour aborder cesquestions, il convient d’abord de realiser que les dunes ne sont pas isolees mais qu’elles echangent


a b c

Z (m)

Z

W(m)

400

300

200

100

0

100806040200

Fig. 3.22 – a) et b) Photos aeriennes montrant des triangles sombres sans sable en aval des barkhanes.c) Longueur de cette zone sombre Z en fonction de la largeur de la dune W . Nous constatons une relationlineaire entre Z et W .

de la masse avec l’exterieur. Si l’on considere dans un premier temps une seule barkhane, elleperd en permanence du sable par les cornes et elle en gagne par l’arriere. Evidemment, le sableperdu par une dune est transporte sur le sol dur par le vent, diffuse lateralement au fil desrebonds, et atteint en quelques minutes l’arriere de la dune suivante.

On peut considerer en premiere approximation que le flux de sable s’homogeneise rapide-ment dans la zone interdunaire. Il existe des preuves indirectes de cette homogeneisation du flux.Nous avons pu constater que la quantite de sable stockee entre les asperites du sol et derriereles buissons (nebkhas) augmente avec le flux de sable. De ce fait, la luminosite du sol sur lesphotographies aeriennes traduit qualitativement les zones de transport. On voit sur la figure 3.22(a et b) que les dunes ont dans leur sillage une zone sombre qui se referme en triangle. On ob-serve l’existence d’une distance caracteristique en aval de la dune apres laquelle le flux semblerehomogeneise (fig. 3.22 (c)). Sous cette hypothese de flux homogene, une dune capte d’autantplus de sable par l’arriere qu’elle est large (fig. 3.29). Le flux total entrant Qin est proportionnela la largeur de la dune W et au flux dans la zone interdunaire qin :

Qin = Wqin (3.16)

Le flux total de sortie Qout est l’integrale sur la largeur des cornes du flux q. Nous pouvonsvoir sur la figure 3.5 que le vent dans les cornes est pratiquement egal au vent loin de la dune.De plus, il est raisonnable de penser que le flux est sature au niveau des cornes. On s’attenddonc a ce que le flux de sortie qout soit de l’ordre de grandeur du flux sature sur terrain plat Q.Cette idee est confirmee par les mesures directes effectuees avec des pieges a sable (fig. 3.5) ainsique par les predictions du modele C

cc (fig. 3.29 ), dont nous donnons les details dans l’article

joint ci-apres. Au final, plus les cornes sont larges et plus la barkhane perd de sable :

Qout = ∆qout (3.17)


Barkhanes stables Barkhanes instables

petitegrosse petitegrosse

Fig. 3.23 – La largeur des cornes comparee a celle du dos est le facteur determinant de la stabilite desbarkhanes vis-a-vis des echanges de sable. Les petites qui ont des grosses cornes disparaissent rapidementet les grosses qui ont des petites cornes tendent a grossir davantage. De maniere similaire, les petitesdunes qui ont des petites cornes et les grosses qui ont des grosses cornes arrivent a maintenir l’equilibreentre les flux entrant et sortant.

ou ∆ est la largeur totale des deux cornes de la dune. Le bilan de matiere d’une barkhane sededuit directement des equations (3.16) et (3.17) :

dV

dt= qinW − qout∆ (3.18)

Le volume V de sable dans la dune est une fonction croissante de sa largeur W .

Considerons que pour une certaine valeur du flux entrant qin, il existe une taille d’equilibreW∞ de la barkhane. Pour cette valeur, le flux sortant Qout est egal, par definition, au flux entrantqinW∞. Ce point correspond a l’intersection des deux courbes sur le graphique 3.32. La stabilitede la dune vis-a-vis d’une augmentation ou d’une diminution de masse depend de la relationentre le flux de sortie et la taille de la dune au voisinage du point d’equilibre. Il y a deux caspossibles. Si le flux sortant rapporte a la largeur de la dune augmente avec celle-ci, l’equilibre eststable. En effet, si la dune devient legerement plus grosse, elle se met a perdre plus de sable desorte qu’elle est ramenee vers l’equilibre. Si au contraire le flux sortant rapporte a la largeur dela dune decroıt avec celle-ci, l’equilibre est instable. En effet, si la dune devient legerement plusgrosse, elle se met a perdre moins de sable de sorte qu’elle grossit encore plus, et ainsi de suite. Sil’on accepte le fait que le flux de sortie qout vaut a peu pres Q quelle que soit la taille de la dune,le critere de stabilite peut etre traduit en termes geometriques. Les dunes sont individuellementstables si la largeur des cornes ∆ occupe plus de place en proportion pour les petites dunes quepour les grosses (fig.3.23). On peut proposer un argument relativement simple pour expliquerpourquoi ces dunes devraient etre instables. Dans le schema represente sur la figure 3.29, labarkhane se comprend en terme de ”tranches” de dunes couplees transversalement. Des lors, lescornes commencent a l’endroit ou les ”tranches” de dune ne possedent plus de face d’avalanche,c’est a dire lorsque la longueur de la tranche est de l’ordre de la longueur minimale des dunes. Ons’attend donc a ce que la largeur des cornes croisse tres faiblement avec la taille des dunes et a ceque celles-ci soient donc individuellement instables. C’est tres precisement ce que predisent tousles modeles disponibles, et en particulier le C

cc. C’est aussi ce que semble indiquer les experiences

effectuees sous l’eau, au Japon. L’ensemble de cette discussion sur la stabilite des champs dedunes a fait l’objet d’un article publie dans Phys. Rev. E, reproduit ci-apres.


Nous arrivons donc a un etat des lieux beaucoup plus ouvert qu’il n’y paraissait de primeabord. Si l’on comprend correctement les mecanismes physiques a l’echelle de la dune et lesraisons pour lesquelles les dunes ”isolees” prennent une forme de croissant, ce n’est pas le casdes autres questions elementaires qui se posent, notamment la stabilite et la selection de taille.Nous avons souligne un premier point d’achoppement dans le fait, ignore jusqu’a present, queles dunes echangent de la matiere meme lorsqu’elle ne sont pas en interaction aerodynamique.Le point de vue que nous allons adopter consiste donc a remettre en cause le graal qui soutendles etudes precedentes – la recherche de la barkhane d’equilibre – et a rechercher des traces dela dynamique des dunes. L’apparente stabilite des champs de dunes provient-elle de la stabiliteindividuelle des dunes ou de mecanismes dynamiques caches ? Soulignons la difficulte de notreentreprise, liee aux temps caracteristiques d’evolution des dunes. On peut par exemple definirle temps de retournement d’une barkhane comme etant le temps necessaire pour que tous lesgrains de la dune soient mobilises, c’est a dire le temps qu’il faut pour qu’une dune parcourt sapropre longueur. Ce temps est tres long, compare aux echelles de temps d’observation. A titred’exemple, le temps de retournement d’une barkhane de 1 m de haut est de l’ordre de 5 mois.Celui d’une dune de 5 m de haut est de l’ordre de 18 mois. Des lors, on comprend pourquoides missions de terrains de courtes durees ne peuvent permettre d’apprehender les phenomenesdynamiques. Il s’agit donc dans cette these de ”reveiller” la dynamique cachee derriere l’equilibreapparent des barkhanes.


3.5 Corridors of barchan dunes : stability and size selection.

P. Hersen, K.H. Andersen, H. Elbelrhiti, B. Andreotti, P. Claudin and S. Douady

Barchans are crescentic dunes propagating on a solid ground. They form dune fields

in the shape of elongated corridors in which the size and spacing between dunes are rather

well selected. We show that even very realistic models for solitary dunes do not reproduce

these corridors. Instead, two instabilities take place. First, barchans receive a sand flux at

their back proportional to their width while the sand escapes only from their horns. Large

dunes proportionally capture more than they loose sand, while the situation is reversed for

small ones : therefore, solitary dunes cannot remain in a steady state. Second, the propaga-

tion speed of dunes decreases with the size of the dune : this leads – through the collision

process – to a coarsening of barchan fields. We show that these phenomena are not specific

to the model, but result from general and robust mechanisms. The length scales needed for

these instabilities to develop are derived and discussed. They turn out to be much smaller

than the dune field length. As a conclusion, there should exist further – yet unknown –

mechanisms regulating and selecting the size of dunes.

Since the pioneering work of Bagnold (Bagnold 1941), sand dunes have become an ob-ject of research for physicists. Basically, the morphogenesis and the dynamics of dunes resultfrom the interaction between the wind, which transports sand grains and thus modifies theshape of the dune, and the dune topography which in turn controls the air flow. A lot of workshave been devoted to the study of the mechanisms at the scale of the grain (Owen 1964 ; Ho-ward 1977 ; Sorensen 1985 ; Jensen & Sorensen 1986 ; Anderson & Haaf 1988 ;Anderson & Haaf1991, Anderson & Sorensen 1991 ; Sorensen 1991 ; Willite et al. 1991 ; Rasmussen & Mikkelsen1991 ; Nalpanis et al. 1993 ; Iversen & Rasmussen 1994 ; Rasmussen et al. 1996 ; Riol et al. 2000 ;Sauermann et al. 2003 ; B. Andreotti 2004) and at the scale of a single dune (Beadel 1910 ; Fin-kel 1959 ; Coursin 1964 ; Long & Sharp 1964 ; Hastenrath 1967 ; Norri 1966 ; Hastenrath 1987 ;Slattery 1990 ; Hesp & K. Hastin 1998 ; Sauermann et al. 2000 ; Andreotti et al. 2002 b ; Hersenet al. 2002 ; Mulligan 1988 ; Zerman & Jensen 1987 ; Jackson & Hunt 1975 ; Howard et al. 1978 ;Jensen & Zeman 1985 ; Wipperman & Gross 1986 ; Hunt et al. 1988 ; Weng et al. 1991 ; Werner1995 ; Van Boxell et al. , 1999 ; Kroy et al. 2001 ; Sauremann 2001). The interested reader shouldrefer to a previous paper ( Andreotti et al. , 2002 a) for a review of these works. Our aim is tofocus here on dune fields and to show that most of the problems at this scale are still open oreven ill-posed.

The most documented type of dune, the barchan 2, is a crescentic shaped dune, hornsdownwind, propagating on a solid ground. In the general picture emerging from the literature,barchans are thought as solitary waves propagating downwind without changing their shape andweakly coupled to their neighborhood. For instance, most of the field observations concern geo-metric properties (morphologic relationships) and kinematic properties (propagation velocity).This essentially static description probably results from the fact that barchans do not change alot at the timescale of one field mission.

As shown on figure 3.24, barchans usually do not live isolated but belong to rather largefields ( Lettau & Lettau 1969). Even though they do not form a regular pattern, it is obviousthat the average spacing is a few times their size, and that they form long corridors of quiteuniformly sized dunes. Observing the right part of figure 3.24, the barchans have almost all thesame size (6 m to 12 m high, 60 m to 120 m long and wide). Observing now the left part of figure3.24, the barchans are all much smaller (1.5 m to 3 m high, 15 m to 30 m long and wide) anda small band can be distinguished, in which the density of dunes becomes very small. Globally,

2The success story of the barchan perhaps originates from the fact that cars can easily come close to their feet.


Fig. 3.24 – Aerial photograph showing part of the barchan field extending between Tarfaya, Laayouneand Sidi Aghfinir in southern Morocco, former Spanish Sahara. The trade winds, dominant in the region,blow from the north (from the top of the photograph). Several corridors are visible in which the sizeof barchans and their density is almost uniform. As confirmed by the three zooms, the size of dunes isdifferent from one corridor to another.

five corridors stretched in the direction of the dominant wind can be distinguished : from rightto left, no dune, large dunes, small dunes, no dune and small dunes again. Figure 3.24 showsonly 17 km of the barchan field but direct observations show that these five corridors persistin a coherent manner over the 50 km along the dominant wind direction without any naturalobstacle. The field itself remains composed of dunes between 1 m and 12 m along its 300 km.

The content of this paper is perhaps a bit unusual as we will mostly present negativeresults. Indeed, we will show that none of the dune models ( Howard et al. 1978 ; Jensen &Zeman 1985, Wippermann & Gross 1986, Hunt et al. 1988, Weng et al. 1991, Werner 1995, VanBoxel et al. 1999, Kroy et al. 2002, Sauermann 2001), nor the coarse grained field simulationLima et al. 2002 are able at present to reproduce satisfactorily the selection of size and theformation of these corridors.

More precisely, we shall first address the stability of solitary dunes, and conclude that,given reasonable orders of magnitude for dune sizes and velocities, barchans which are consideredas “marginally unstable” by other authors G. Sauermann, 2001 would in fact have the time todevelop their instability over a length much smaller than that of the corridor they belong to. Asa consequence, isolated dunes must be considered as truly unstable objects. Furthermore, theorigin of this instability is rather general and model independent, as it can be understood fromthe analysis of the output sand flux as a function of the dune size. One can wonder whetherinteractions via collisions between dunes can modify the dynamics and the stability of dunes. Ina recent paper Lima et al. , (2002) have investigated the dynamics of a field and have claimedto get realistic barchan corridors. However, they made use of numerical simulations into which


individual dunes are stable objects of almost equal size (6% of polydispersity). They consequentlyobtained a nearly homogeneous field composed of dunes whose width is that of those injected atthe upwind boundary. We show here that the actual case of individually unstable dunes leadsby contrast to an efficient coarsening of the barchan field.

The paper is organized as follows. In order to get a good idea of the mechanisms leadingto these two instabilities, we first derive a 3D generalization of the C

cc model previously used to

study 2D dunes (Andreotti et al. , 2002) ; . We then show that the two instabilities predictedby the C

cc model are in fact very general and we will derive in a more general framework the

time and length scales over which they develop. Turning to field observations, we will concludethat the formation of nearly uniform barchan corridors is an open problem : there should existfurther mechanisms, not presently known and may be related to more complicated and unsteadyeffects such as storms or change of wind direction, to regulate the dune size.

3.5.1 Barchan modeling. The Ccc model

We start here with the state of the art concerning the modeling of dunes by Saint-Venant like equations. First, the mechanisms of transport at the scale of the grain ( Owen1964 ; , Sørensen 1985 ; Jensen & Sørensen 1986 ; Anderson & Haff 1988 ; Anderson & Haff1988 ; Anderson et al. 1991 ; Sørensen 1991 ; Willetts et al. 1991 ; Rasmussen & Mikkelsen 1991 ;Nalpaniset al. 1993 ; Iversen & Rasmussen 1994 ; Rasmussen et al. 1996 ; Rioual et al. 1996 ;Sauermann et al. 1996 ; Andreotti 2003 ; , Andreotti et al. 2002 a ) determine at the macrosco-pic scale – at the scale of the dune – the maximum quantity of sand that a wind of a givenstrength can transport. As a matter of fact, when the wind blows over a flat sand bed, the sandflux increases and saturates to its maximum value Q after a typical length L called the saturationlength ( Sauermann et al. 1996 ; Andreotti et al. 2002 ; Hersen et al. 2002). This length deter-mines the size of the smallest propagative dune. The other part of the problem is to computethe turbulent flow around a huge sand pile of arbitrary shape Mulligan 1988 ; Zeman & Jensen1987). Since the Navier-Stokes equations are far too complicated to be completely solved, peoplehave derived simplified descriptions of the turbulent boundary layer (Jackson & Hunt 1975 ; Ho-ward et al. 1978 ; Jensen & Zeman 1985 ; Wippermann & Gross 1986 ; Hunt et al. 1988 ; Wenget al. 1991 ; Werner 1995 ; Van Boxel et al. 1999 ; Kroy et al. 2002, Sauermann 2001 ;). The firststep initiated by Jackson, Hunt et al. has been to derive an explicit expression of the basal shearstress in the limit of a very flat hill. (Kroy et al. 2002, Sauermann 2001) have shown that thisexpression can be simplified without loosing any important physical effect. In particular, it keepsthe non-local feature of the velocity field : the wind speed at a given place depends on the wholeshape of the dune.

Being a linear expansion, this approach can not account for boundary layer separation andin particular for the recirculation bubble that occurs behind dunes. Following Zeman and Jensen(1987) and later Kroy et al. the Jackson and Hunt formula is in fact applied to an envelope ofthe dune constituted by the dune profile prolonged by the separation surface.

As already stated in one of our previous papers (Andreotti et al. 2002), we proposed toname C

cc the class of models which describe the dynamics of dunes in terms of the dune profile h

and the sand flux q, and which include (i) the mass conservation, (ii) the progressive saturationof sand transport and (iii) the feedback of the topography on the sand erosion/depositionprocesses. We chose this fancy name in reference to the spatial organization of the dunes whichpropagate like the flight of wild ducks and geese.

2D and 3D main equations

Let us start with a quick recall of the set of 2D Ccc equations that we already introduced

in B. Andreotti et al. 2002 ; . Let x denote the axis oriented along the wind direction, and t the


time. The continuity equation which ensures mass conservation simply reads

∂th + ∂xq = 0. (3.19)

Note that q(x, t) denotes the integrated volumic sand flux, i.e. the volume of sand that crossesat time t the position x per unit time. The saturation process is modeled by the following chargeequation

∂xq =qsat − q

L. (3.20)

It is enough to incorporate the fact that the sand flux follows the saturated flux qsat with a spatiallag L. It is a linearized version of the charge equation proposed by Sauermann et al. (2001).

The saturated flux qsat is a growing function of the shear stress. This shear stress can berelated to the dune profile h by the modified Jackson and Hunt expression. Since this expressioncomes from a linear expansion, we can directly relate qsat to h by :

qsat(x)

Q= 1 + A

∫

dχ

πχ∂xhe(x − χ) + B ∂xhe(x), (3.21)

where Q is the saturated flux on a flat bed and he the envelope prolonging the dune on the lee side(see Appendix and Kroy et al. 2002 Andreotti et al. 2002 ; for the details of construction). Thelast term takes into account slope effects, while the convolution term encodes global curvatureones. The only relevant length scale is the saturation length L of the sand flux. The other relevantphysical parameter is the saturated sand flux on a flat bed Q. All the lengths are calculated inunits of L, time in units of Q/L2, and fluxes in unit of Q. A and B could in principle be predictedby the Jackson and Hunt analysis but we rather take them as two tunable phenomenologicalconstants.

In three dimensions, equations are very similar, albeit slightly different. In order to expressthe total sand flux (which is now a 2D vector), we need to distinguish saltons and reptons (Hersen,2003). The reason is that in contrast to the saltons, which follow the wind, the motion of thereptons is sensitive to the local slope (Howard, 1977). Because the reptons are dislodged by thesaltons, we assume that their fluxes are proportional (Andreotti, 2003), so that the total fluxcan be written as the sum of two terms, one along the wind direction ~x and the other along thesteepest slope (Howard, 1977) :

~qtot = q ~x − Dq ~∇h. (3.22)

The continuity equation then takes its generalized form

∂th + ~∇· ~qtot = 0. (3.23)

The down slope flux of reptons acts as a diffusive process. The diffusion coefficient is proportionalto q so that no new scale is introduced – D is a dimensionless parameter. This diffusion termintroduces a non-linearity that has a slight effect only : almost the same dynamics is obtainedif a constant diffusion coefficient is used instead. Equations (3.20) and (3.21) can be solvedindependently in each slice along x.

In summary, the Ccc model considered here includes in a simple way all the known dyna-

mical mechanisms for interactions between the dune shape, the wind and the sand transport.

Propagative solutions of the Ccc model.

In a previous paper Andreotti et al. (2002), we have studied in details steady propagativesolutions in the 2D case. They also apply to transverse dunes, i.e. invariant in the y direction. Wewill now focus on three dimensional solitary dunes computed with the C

cc model presented in the

latter section. The details of the integration algorithm and the numerical choice of the different


y

x

z

t=0

t=4

t=16

t=32

t=64

Fig. 3.25 – Evolution from a conical sand pile to a steady propagative barchan of width 63 L computedfrom the C

cc model. To obtain this steady solution the output flux is re-injected homogeneously at the

upwind boundary. Times are given in units of L2/Q. Stereoscopic view : a) place the figure at ∼ 60 cmfrom your eyes b) focus behind the sheet, at infinity (you should see three dunes) c) focus on the middledune and relax d) you should see the shape in 3D.

parameters can be found in the Appendix and a more detailed discussion about the influence ofthe diffusion parameter is discussed in (Hersen, 2003). Figure 3.25 shows in stereoscopic viewsthe time evolution of an initial conical sand pile (t = 0). Horns quickly develop (t = 16 and


w

1

x•

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

140120100806040200

Field measurements

C modelC

C

Fig. 3.26 – Relationship between the inverse velocity 1/x and the width w. Black dots : numericalsimulations of barchans in the steady state. Open circles : field measurements on barchans from theregion of Fig. 3.24 over a period of 27 years rescaled by Q = 66 m2/years and L = 3.5 m. The linecorresponds to the best fit by a Bagnold-like relation of the form x = aQ/(w + wc). It gives a = 56 andwc = 9.5.

t = 32) and a steady barchan shape is reached after typically t = 50. Note that the propagationof the dune is not shown on figure 3.25 : the center of mass of the dune is always kept at thecenter of the computation box.

The original Ccc model proposed by Kroy (2002), Sauermann et al. (2001) was the first of

a long series of models in which a steady solitary solution could be exhibited, with all the fewknown properties of barchans. In particular, the dunes present a nice crescentic shape with alength, a width, a height and a horn size that are related to each others by linear relationships.They propagate downwind with a velocity inversely proportional to their size, as observed on thefield. These properties are robust inside the class of modeling, since we get the same results withthe simplified version that we use here. We will only show in the following two of these properties,important for the stability discussion, namely the velocity and the volume as functions of thedune size.

Since they are linearly related one to the others, all the dimensions are equivalent toparameterize the dune size. We choose the width w as it is directly involved in the expression ofthe sand flux at the rear of the dune. Figure 3.26 shows the inverse of the propagation velocityof the dune as a function of w. The velocity decreases as the inverse of the size :

x ∼aQ

w + wc. (3.24)

The transverse velocity y is found to be null, as lateral inhomogeneities of the sand flux areunable to move dunes sideways A.R. Lima et al. , 2002. The volume V of the dune is plotted onfigure 3.27 as a function of its width. This relation is well fitted by :

V = bw2(w + wv), (3.25)

where the numerical coefficients are b ∼ 0.011 and wv ∼ 22.9. This value roughly correspondsto the volume of a half pyramid, with a height h ∼ 0.1w and a width w which gives a volumeV ∼ w3/60. One can observe that barchan dune are not self similar object : the deviationobserved for small dunes is related to the change of shape due to the existence of a characteristic


w

V

10-1

1

10

102

103

104

1 10 100

Field data (after Sauermann 2000 [27])

C modelC

C

Fig. 3.27 – Relationship between the volume V and the width w of barchans. Black dots : numericalsimulations of solitary barchans in the steady state. White circles : field measurements on barchans fromthe region of Fig. 3.24 obtained by Sauermann et al. (2000) rescaled by L = 3.5 m. Note the log-logscales. The solid line corresponds to the best fit by the relation V = bw2(w + wv). It gives b = 0.011 andwv = 22.9.

t=0 t=50 t=100 t=125

yx

200

150

100

50

0200150100500 t

V

V∞

Fig. 3.28 – Origin of the flux instability. Two dunes of initial widths 13.8 L and 16.6 L are submittedto a given flux, which is not the equilibrium sand flux for both dunes. The small dune (dotted line) isthen under supplied an can only shrink. On the contrary, the bigger dune (solid line) receive too muchsand and grows. The time evolution of their volume V , calculated from simulations of the C

cc model, is

shown on the right. Eventually, the small one disappears.

length L. The field data obtained on eight dunes by Sauermann et al. (2000) are consistantwith equation (3.25) and with the value of L determined from the velocity/width relationship(Figs. 3.26,3.27).

Instabilities

The choice of the boundary conditions is absolutely crucial : to get stationary solutions,the sand escaping from the dune and reaching the downwind boundary is uniformly re-injected atthe upwind one. Obviously, this ensures the overall mass conservation. Doing so, the simulationconverges to a barchan of well defined shape of width w∞ with a corresponding sand flux q∞.

However, under natural conditions, the input flux q is imposed by the upwind dunes. We


thus also performed simulations with a given and constant incoming flux. Figure 3.28 showsthe evolution of two dunes of different sizes under an imposed constant input flux. One is a bitlarger than the steady dune corresponding to the imposed flux, and the other is slightly smaller.It can be observed that none of these two initial conditions lead to a steady propagative dune :the small one shrinks and eventually disappears while the big one grows for ever. The steadysolution obtained with the re-injection of the output flux is therefore unstable.

If solitary dunes are unstable, it is still possible that the interaction between dunes couldstabilize the whole field. It is not what happened in the C

cc model. Instead, an efficient coarsening

takes place as shown by Sauermann in the chapter 8 of Sauermann, (2001).

As a first conclusion, the Ccc model predicts that solitary barchans and barchan fields

are unstable in the case of a permanent wind. We will see below that these two instabilitiesare generic and not due to some particularity of the modeling. In particular, they can be alsoobserved with the more complicated equations of Kroy, Sauermann et al. who deal with a non-linear charge equation and take explicitly into account the existence of a shear stress thresholdto get erosion.

Therefore, we can wonder what the dynamical mechanisms responsible for these instabi-lities are. Would they have time/length to develop in an actual barchan field ? Seeking answersto these questions, we will now investigate the two instabilities in a more general framework. Asa first step, we will investigate the time and length scales associated to the evolution of barchandunes.

3.5.2 Time and length scales

Three different time scales govern the dynamics of dunes : a very short one for aerodynamicprocesses (i.e. the grain transport), the turnover time for the dune motion, and a much largertime scale involved in the evolution of the dune volume and shape under small perturbations ofthe wind properties.

Turnover time

The dune memory time is usually defined as the time needed to propagate over its ownlength. Since the length and the width of the dune are almost equal – this is only a goodapproximation for steady dunes – we will use here the turnover time :

τt =w

x. (3.26)

In the geological community, the turnover time is believed to be the time after which the dunelooses the memory of its shape. The idea is that a grain remains static inside the dune during acycle of typical time τt : it then reappears at the surface and is dragged by the wind to the otherside of the dune. In other words, after τt all the grains composing a dune have moved, and theinternal structure of the dune has been renewed. But this does not preclude memory of the duneshape at times larger than τt, and one can wonder whether τt is the internal relaxation time scaleto reach its equilibrium shape. The scaling (3.24) of the propagation speed involves the cut-offlength scale wc, which can be measured by extrapolating the curve of Fig. 3.26 to zero. Note thatthe existence of a characteristic length scale also appears in the dune morphology (Sauermannet al. 2000, Sauermann 2001, Kroy et al. 2002, Andreotti et al. 2002 b) ; . In the following, wewill assume that the barchans are sufficiently large to be considered in the asymptotic regime.We checked that introducing cuts-off wc or wv to capture the shape of curves like that of figures3.26 or 3.27 in the region of small w does not change qualitatively the results. In the followingwe then take wc = 0 and wv = 0 for simplicity. Under this assumption, using the expression


input flux

output

flux

0.2

0.4

0.6

0.8

q/Q

x

y

Fig. 3.29 – Top : three dimensional shape of a barchan dune of width 33 L obtained with the Ccc model,

with semi-periodic boundary conditions to ensure the mass conservation. Bottom : profile of the resultingoutput sand flux. The sand loss is localized at the tips of the horns. There, the flux is almost saturated :q ∼ Q.

(3.24) of the propagation speed, the turnover time reads :

τt =w2

aQ. (3.27)

Of course, the length scale λt associated with the turnover time is the size of the dune itself :

λt = w. (3.28)

Relaxation time

Let us consider, now, a single barchan dune submitted to a uniform sand flux. The evo-lution of its volume is governed by the balance of incoming φin and escaping φout sand volumesper unit time :

V = φin − φout. (3.29)

φin is directly related to the local flux q upwind the dune, defined as the volume of sandthat crosses a horizontal unit length line along the transverse direction y per unit time. Assumingthat this flux q is homogeneous, the dune receives an amount of sand simply proportional to itswidth w :

φin = qw. (3.30)

The loss of sand φout is not simply proportional to w because the output flux is nothomogeneous. Figure 3.29 shows the flux in a cross-section immediately behind the dune. Onecan see that the sand escapes only from the tip of the horns, where there is no more avalancheslip face. As a matter of fact, the recirculation induced behind the slip face traps all the sandblowing over the crest. We computed in the model the output flux φout as a function of the dunewidth w (figure 3.30). Within a good approximation it grows linearly with w :

φout ∼ Q(∆ + αw). (3.31)


φout

w

∆

5

4

3

2

1

06050403020100

Fig. 3.30 – Output flux φout as a function of the barchan width w for the equilibrium input flux (whitecircles) and for a null input flux (black circles). φout is not simply proportional to w and does not vanishat small size. As a consequence, the sand loss is proportionally smaller for a large dune than for a smallone. The straight line corresponds to the best fit by a function of the form φout = Q(∆ + αw). It gives∆ = 1.33 and α = 0.05. Contrarily to velocity and size, no field measurements of the output flux havebeen conducted so far.

For the set of parameters chosen, the best fit gives α = 0.05 and ∆ = 1.33 L. Note thatthe discrepancy of φout with this linear variation for small dunes can be understood by theprogressive disappearance of the slip face (domes), leading to a massive loss of sand.

It can be observed from figure 3.29 that q is almost saturated in the horns. The ratioφout/Q then has a geometrical interpretation as it gives an estimate of the size of the horn tips.Therefore, in the C

cc model, the horn size is not proportional to the dune width, but grows

as ∆ + αw. This is consistent with the observations made by Sauermann et al. in southernMorocco : they claim that, at least for symmetric solitary dunes, the slip face is proportionallylarger for large dunes than for small ones, i.e. that the ratio of the horns width to the barchanwidth decreases with w.

With these two expressions for the input and output volume rates, the volume balancereads :

V = qw − Q(αw + ∆). (3.32)

If we call w∞ and q∞ the width and the flux of the steady dune for which the dune volume isconstant (V = 0), we can define τr = (V − V∞)/V , taken around the fixed point. We get :

τr =3bw3

∞

Q∆. (3.33)

It also gives us the relaxation length for the dune λr, which is the distance covered by the duneduring the time τr, i.e :

λr =3abw2

∞

∆. (3.34)


λq

yx

Fig. 3.31 – The flux screening length is the mean free path along the wind direction. In other words,it is the mean longitudinal distance between two dunes. Inset : the sand flux is much larger on the backof the dune (dark zone) than on the surrounding ground (gray zone). Downwind the dune, it becomesinhomogeneous and in particular, it is null inside the recirculation bubble (white zone) and low in thetriangular shadow zone (light grey). After few dune sizes, the diffusion of grains rehomogenizes the flux.

Flux screening length

For a dune field, the situation is a little bit more complex. The flux at the back of onedune is due to the output flux of an upwind dune. The latter is strongly inhomogeneous sincethe sand is only lost by the horns (figure 3.29). Field observations show that there is a sandless area downwind of the barchans – see also the inset of figure 3.31. This zone is larger thanthe recirculation bubble and indicates a small amount of sand trapped by the roughness of theground. The fact that this ‘shadow’ heals up is a signature of a lateral diffusion of the sand flux.The length of the shadow is typically a few times the dune width and is in general smaller thanthe distance between dunes. So, the flux can be considered as homogeneous when arriving atthe back of the next dune.

The distance λq over which the flux changes is thus the distance, along the wind direction,between two dunes. It is the mean free path of one grain traveling in straight line along the winddirection. Let us consider an homogeneous dune field composed of identical dunes of width w∞.The number of dunes per unit surface is N∞. It can be inferred from figure 3.31 that on averagethere is one dune in the surface λqw∞ (colored in gray on figure 3.31). The flux screening lengththus depends on the density of dunes as :

λq =1

N∞w∞. (3.35)

Note that this length is larger than the average distance (N∞)−1/2 between dunes – justlike the mean free path in a gas. Since the grains in saltation on the solid ground go much fasterthan the dune (by more than five orders of magnitude), the flux screening time τq can be takenas null :

τq = 0. (3.36)


Orders of magnitude

These different time scales can be estimated using the orders of magnitude obtained fromfield observations in the region of figure 3.24 coupled with the functional forms given by theCcc modeling. Fields measurements of the displacement of the dunes shown on figure 3.24 over

27 years have given aQ = 3700 m2/year and wc = 33 m. The Ccc model relates wc to L (Fig. 3.26)

so that the saturation length can be estimated to L ∼ 3.5 m. Similarly, the model gives 56 forthe value of a which allows to deduce the estimate of Q ∼ 66 m2/year, which is compatible withdirect measurements. These values give for the minimal horn width ∆ ∼ 4.6 m.

Let us consider a small dune of width 20 m and a large dune of width 100 m belongingto the corridors of dunes shown on figure 3.24. The distance λr covered by the dune before theequilibrium between the size and the sand flux be reached is respectively 160 m and 4 km. Inall the cases, it is much smaller than the dune field extension (typically 100 km correspondingto 5000 small dune widths or 1000 large dune widths). Obviously, λr is much larger than theturnover length λt = w, and it is therefore clear that the turnover scales does not represent thememory of the dune.

The density of dunes can be inferred from figure 3.24 and is around 0.1 /w2∞ (the average

distance between dunes is around 3 dune sizes). Directly from figure 3.24 or from formula (3.35),the flux adaptation length λq is around 10 dune sizes i.e. 200 m for the small dune and 1 kmfor the large one. Obviously, λq can be very different from place to place. For instance, the leftcorridor shown on figure 3.24 is much denser than the third from the left. If the density of smalldunes is 1 /w2

∞ instead of 0.1 /w2∞, λq becomes equal to the dune size (20 m).

Using the previous value of Q, the dune velocities are 180 m/year and 37 m/year forthe 20 m and 100 m barchans respectively. The corresponding turnover times τt are 5.2 weeksand 2.7 years, while the relaxation time τr is as large as 10 months for the small dunes and1.1 century for the large ones. Finally, the flux adaptation time τq is equal to the flux screeninglength λq divided by the grain speed (∼ 1 m/s). It can thus be estimated to 3 minutes for 20 mbarchans and 16 minutes for the 100 m ones.

The scale separation of the three times is impressive. τq ∼ 3 minutes ≪ τt ∼ 5.2 weeks ≪τr ∼ 10.4 months for the small dunes, whereas for the large ones it reads τq ∼ 16 minutes ≪τt ∼ 2.7 years ≪ τr ∼ 1.1 century. This shows that the annual meteorological fluctuations(wind, humidity) have potentially important effects : the actual memory time is always largerthan seasonal time.

Sauermann has estimated a characteristic time for the evolution of the volume of a 100 mwide dune. He found several decades (Sauermann, 2001), which is comparable to the value wefound for τr. On this basis he concluded that “ considering this timescale it is justified to claimthat barchans in a dune field are only marginally unstable.” This is an erroneous conclusionas the length λr (4 km for w = 100 m) should be compared to the corridor size (∼ 50 km).Moreover, for small dunes as those on the left corridor of figure 3.24, λr is found to be as small as160 m which is of the order of one hundredth of the portion of field displayed on the photograph.The evolution time and length scales could be thought as ‘very large’ ?- with respect to humanscales – but compared to the dune field size, they turn out to be small. Therefore, barchans havein fact the time and space to change their shape and volume along the corridors.

3.5.3 Flux instability

Stability of a solitary barchan

We seek to understand the generality of the instabilities revealed by the Ccc model. We will

first investigate theoretically the stability of a solitary dune in a constant sand flux q. We recallthat the overall volume of sand received by this dune per unit time is simply proportional to its


w0 0

φ φin

φout

unstable∆>0

w

φ

φin

φout

stable

∆<0

w∞w∞

Fig. 3.32 – The output volume rate ϕout = Q(∆+αw) gives, when compared to the input rate ϕin = qw,steady solutions that are unstable if ∆ > 0, and stable if ∆ < 0. The main point is to see whether thetwo lines cross from below or above at the steady point.

width : ϕin = qw. As found in the Ccc model, we suppose that ϕout = Q(∆ + αw) (figure 3.32

left). Let us investigate what happens for different values of the input flux q.If q < α (dot-dashed line) the two curves ϕin(w) and ϕout(w) do not cross, which means

that no steady solution can be found. Since the input sand volume rate is too low, any dunewill shrink and eventually disappear. On the other hand, a fixed point w∞ does exist for q > α(thin solid line). Suppose that this dune is now submitted to a slightly larger (resp. smaller)flux q (dotted lines) : it will grow (resp. shrink). However, the corresponding steady states arerespectively smaller and larger, so that they cannot be reached dynamically. We now fix theinput flux to q∞ and change the dune size w, as in figure 3.28. A dune of width slightly smallerthan w∞ under will shrink more and more because it looses sand more than it earns. In a similarway, a dune larger than w∞ will ever grow. In other words, the steady solutions are unstable.

This mechanism explains the flux instability of Ccc barchans. This stability analysis is

in fact robust and not specific to the linear choice for ϕout. Any more complicated functionwould lead to the same conclusion provided that ϕin crosses ϕout from below. The stability onlydepends on the behavior of the ϕ’s in the neighborhood of the steady state. How could a solitarybarchan be stable ? It is enough that ϕin crosses ϕout from above. Without loss of generality, wecan keep a linear dependence of ϕout on w in the vicinity of the fixed point, but this time with∆ < 0 (figure 3.32 right). In this case, the situation for which the input sand flux q is larger thanα (dot-dashed line) leads to an ever growing dune. Steady solutions exist when q < α. Becausea smaller (resp. larger) sand flux now corresponds to a smaller (resp. larger) dune width, thesesolutions are, by contrast, stable.

In a more quantitative and formal way, the mass balance for a barchan (3.32) can berewritten in terms of the dune width only :

w =q∞w − Q(∆ + αw)

3bw2. (3.37)

Linearizing this equation around the fixed point w∞ we obtain :

τrw = w − w∞. (3.38)

The sign of the relaxation time τr is that of ∆ – see relation (3.33). Therefore if ∆ is positive,w will quickly depart from its steady value w∞. In the inverse case ∆ < 0, any deviation of wwill be brought back to w∞.

In summary, the stability of a solitary barchan depends on whether the ratio of the outputvolume rate to its width ϕout/w increases or decreases with w. This quantity is perhaps not easy


yx

Fig. 3.33 – Sketch showing the instability due to the exchange of mass between the dunes : dunesslightly smaller than w∞ loose sand and make their downwind neighbors grow. Note that the dune fieldis assumed to remain locally homogenous.

to measure on the field but we have shown that it is directly related to the ratio of the size ofthe horn tips to the dune width. If viewed from the face, the horn tips become in proportionsmaller as the dune size increases, the barchan is unstable. This is what is predicted by the C

cc

model, in agreement with the few field observations (Sauermann et al. , 2000).

Stability of a dune field

At this point, the stability analysis leads to the fact that a single solitary barchan isunstable. Could then dunes be stabilized by their interaction via the sand flux ? Let us considera dune field which is locally homogeneous and composed, around the position (x,y), barchansof width w with a density N . We ignore for the moment the fact that dunes can collide. Theconservation of the number of dunes then reads

N = ∂tN + ∂x(xN) + ∂y(yN) = 0. (3.39)

The eulerian evolution of the dunes width is given by :

w = ∂tw + x∂xw + y∂yw. (3.40)

This equation has to be complemented by the equation governing the evolution of the sandflux q between the dunes which results from the variation of the volume of these dunes (andreciprocally) :

∂xq = −NV . (3.41)

These three equations can be closed using the previous modeling of x, y = 0, w and V = 3bw2w.Any homogeneous field of barchans of width w∞ and density N∞ is a solution, provided thatthere is a free flux q∞ = Q(∆/w∞ + α) between the dunes.

We are now interested in the stability of this solution towards locally homogeneous distur-bances. Note that such a choice is still consistent with equations that do not take collisions intoaccount. We thus expand w, q and N around their stationary values w∞, q∞, N∞, and introducethe length and time scales λr, λq and τr. We get :

τr∂tN + λr∂xN −N∞

w∞λr∂xw = 0, (3.42)

τr∂tw + λr∂xw = (w − w∞) +w2∞

Q∆(q − q∞), (3.43)

λq∂xq = −(q − q∞) −Q∆

w2∞

(w − w∞). (3.44)


yx

Fig. 3.34 – Sketch showing the instability due to the collisions between the dunes. If one dune is slightlylarger than the others, it goes slower and will absorb incoming dunes.

Without loss of generality we can write the disturbances under the forms : q − q∞ = q1eσt+ikx,

w−w∞ = w1eσt+ikx and N −N∞ = N1e

σt+ikx. Solving the system of linear equations we obtainthe expression of the growth rate σ as a function of the wavenumber k :

τrσ = ik

(

λq

1 + (kλq)2− λr

)

+(kλq)

2

1 + (kλq)2. (3.45)

The sign of the real part of the growth rate σ is that of τr and thus of ∆. The stability of thedune field is therefore that of the solitary dune. If ∆ < 0, which means that all the individualdunes are stable, the field is (for obvious reasons) stable. But in fact, all the individual dunesare unstable (∆ > 0), so that a field in which dunes interact via the sand flux is also unstable.

The result of the above formal demonstration, can also be understood via a simple argu-ment illustrated on figure 3.33. Consider a barchan dune field at equilibrium : for each dune,input and output volume rate are equal. Now, imagine that the input flux of a dune slightlydecreases for some reasons. As explained in the previous subsection, if this dune is unstable(∆ > 0) it tends to shrink. Consequently its output flux increases, and makes its downwindneighbors grow. Therefore, even a small perturbation of the sand flux can dramatically changethe structure of the field downwind.

3.5.4 Collisional instability

The free flux is not the only way barchans can influence one another. If sufficiently close,they can interact through the wind, i.e. aerodynamically. This is possible when the dunes getclose to each other. In this case, they actually collide. We therefore would like to investigate thebehavior of one particular dune in the middle of the field.

Let us consider a homogeneous field of barchans of width w∞, with an additional dune ofsize w = (1 + η)w∞. The variation of the volume of this dune is due to the sand flux as wellas the collisions of incoming dunes. These collisions are a direct consequence of the fact thatsmaller dunes travel faster (Eq. 3.24). The number of collisions per unit time is proportionalto the dune density N∞ times the collisional cross section w + w∞ times the relative velocityaQ (1/w∞−1/w). We assume that the collisions lead to a merging of the two dunes. Then, eachcollision leads to an increase of the mass of the larger dune by V∞ = bw3

∞. We can then writefor this particular dune :

V = qw − Q(αw + ∆)

+ N∞V∞(w + w∞)aQ(w − w∞)

ww∞

. (3.46)


0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

6543210

η

τr η

N∞=-1.6 Nc(∆>0)

N∞=1.6 Nc (∆<0)

N∞=0.5 Nc (∆<0)

•

Fig. 3.35 – Growth rate τr η of a dune due to collisions, as a function of the rescaled size η in threedifferent cases. If the solitary dune is unstable (∆ > 0), the field is also unstable towards the collisionalinstability (dot-dashed line). If the solitary dune is stable (∆ < 0), the stability of the field depends onthe dune density. At high density (solid line), the field is linearly unstable while at low density (dashedline), it is stable towards any disturbance.

Introducing a critical dune density Nc as

Nc =−∆

2abw3∞

, (3.47)

the equation governing the evolution of the width of the dune considered reads :

τrη =

(

1 −(2 + η)

2(1 + η)

N∞

Nc

)

η

(1 + η)2. (3.48)

Note that, rigorously speaking, Nc is a positive quantity and thus a true density only for ∆ < 0(see below). Figure 4.3 shows η as a function of the dune size. Expanding linearly around η = 0,we obtain the growth rate σ = η/η as :

τrσ = 1 −N∞

Nc. (3.49)

Therefore, if the dunes are individually unstable (case ∆ > 0, figure 4.3 a), the dunes arealways unstable towards the collisional instability. The barchan field quickly merge into one bigbarchan dune. If the dune are individually stable (∆ < 0), the same instability develops butonly when the dune density is larger than the critical dune density Nc (figure 4.3 b). Supposeindeed that one collision occurs in the middle of an homogeneous field, creating a dune of twiceits original volume. Since it is larger, this dune slows down and a second collision occurs beforethe large dune has recovered its equilibrium. If now the dune density is small (figure 4.3 c), thetime before a second collision happens is sufficiently large to allow the large dune to recoverits equilibrium volume, and in this case a field of stable dunes is stable towards the collisionprocess.

3.5.5 Barchans corridors, an open problem

The aim of this conclusion is twofold. We will first give a summary of the different resultspresented in this paper. Then we will discuss the problem of the size selection and the formation


of barchans corridors.

The starting point of the present work is the observation that barchan dunes are organi-zed in fields stretched along the dominant wind direction (figure 3.24) that can be as long as300 km. These barchans corridors are quite homogeneous in size and in spacing. For instance, thebarchans field between Tarfaya and Laayoune presents a zone of 50 km without any geologicalobstacle in which the same five coherent corridors persist. This size selection is of course not tobe taken in a strict sense : there are large fluctuations from one dune to another, which havealso to be explained.

We have shown that the stability of a solitary dune essentially depends on the relationshipbetween the size of the horns and that of the dune. Indeed, the dune receives at its back asand flux proportional to its size but releases sand only by its horns. If the size of the hornsis proportionally smaller for large dunes than for small ones, the steady state of the dune isunstable : it either grows or decay (figure 3.33). If, on the contrary, the sand leak increases fasterthan the dune size, it pulls the dune back to equilibrium. Furthermore we have shown that thefact that a dune is fed by the output flux of the dunes upwind does not change the stabilityanalysis. This is essentially because a dune can influence another dune downwind through theflux but there is no feedback mechanism.

We are thus left with a secondary question : how does the horns width evolve with thedune size ? The only field measurements from which the horns size can be extracted are theshape measurements of eight dunes by Sauermann et al. , (2000). The sum of the width of thetwo horns is found to be between 12 and 28 m for the five small dunes they measured (2 and 3 mhigh), and between 12 and 17 m for the three larger ones (heights between 6 and 8 m). If we trustthe relevance of their selection of dunes, this means that the horn size is almost independentof that of the dune. This is also coherent with their claim that the slip face is proportionallysmaller and the horns larger for small dunes than for large ones. In that case, solitary barchansshould be individually unstable.

The second indication is provided by the Ccc modeling, with which we recover that this

steady state is in fact unstable (figures 3.28 and 3.30), in fact for the very same reasons as above.The solution can be artificially stabilized by putting at the back of the dune exactly what itlooses by its horns but this is only a numerical trick. What determines the size of the horns inthe model ? The 3D solutions can be thought of coupled 2D solutions ( Andreotti et al. , 2002b) ; . Then, the horns start when there is no slip face, i.e. when the length becomes of the orderof the minimal size of dunes. This simple argument leads to think that the horns should keep acharacteristic size of order of few saturation lengths L whatever the dune size is.

We have shown that there is a second robust mechanism of instability. We know from fieldmeasurements, numerical models and theoretical analysis that the dune velocity is a decreasingfunction of its size. The reason is simply that the flux at the crest is almost independent of thedune size and will make a small dune propagate faster than a large one. This is sufficient topredict the coarsening of a dune field : because they go faster, small dunes tend to collide thelarge ones making them larger and slower. . . This collision instability should also lead to an evergrowing big dune.

The scales over which all instabilities develop are the relaxation time τr and length λr. Forthe eastern corridor of figure 3.24, the order of magnitude of the dune width is 100 m which givesτr ∼ 1.1 century and λr ∼ 4 km. For the western corridors, the dunes are smaller (w ∼ 20 mand the characteristic scales become τr ∼ 10 months and λr ∼ 160 m. These lengthes are muchsmaller than the extension of the corridor (300 km) so that these instabilities have sufficientspace to develop.

However, the actual barchan corridors are homogenous and one cannot see any evidenceof such instabilities. As a conclusion, the dune size selection and the formation of barchancorridors are still open problems in the present state of the art. There should exist another


Fig. 3.36 – Aerial photographs of several barchan dunes in the same region as the field of figure 3.24.They all exhibit an instability on the left side, leading to a periodic array of small slip-faces.

robust dynamical mechanism leading to an extra-leak of the dunes, to balance the collisionaland the flux instabilities. There are already two serious candidates for this mechanism. First,we do not have any information on the collision process. In the C

cc model presented here, the

collision of two dunes leads to a merging into a larger dune, but in the reality, it could lead to theformation of several dunes. Second, we have only investigated here the case of a permanent wind.We have shown that the dunes characteristic times are larger than one year so that the annualvariations of the wind regime could have drastic effects. Figure 3.36 shows aerial photographsof eight barchan dunes. They all present a periodic array of 1 m high slip faces on their leftside reminiscent of a secondary wind (probably a storm) coming from the west (from the left onthe figure). This new instability related to changes in wind direction could lead to a larger timeaveraged output flux than expected for a permanent wind. Further work in that direction willperhaps shed light on the formation of nearly homogeneous corridors of barchan dunes.

The authors wish to thanks S. Bohn, L. Quartier, B. Kabbachi and Y. Couder for manystimulating discussions. The barchans velocities of Fig. 3.26 have been measured with the helpof H. Bellot.

Appendix : the 3D Ccc model

The three starting equations of the model are the conservation of matter, the charge


equation and the coupling between the saturated flux and the dune shape h :

∂th + ∂xq = D ~∇ · (q~∇h), (3.50)

∂xq =qsat − q

L, (3.51)

qsat

Q= 1 + A

∫

dχ

π(χ − x)∂xhe + B ∂xhe. (3.52)

We recall that the overall flux is the sum of q along the wind direction, plus an extra flux dueto reptons along the steepest slope. The two last equations do not contain any y dependenceand can thus be solved for each slice in x independently, using a discrete scheme in space (dx).The conservation of matter (3.50) couples the slices through the diffusion term and is solved bya semi-implicit scheme of time step dt. To speed up the numerical computation of the saturatedflux, we use the discrete Fourier transform F of the dune envelope he :

qsat = Q(

1 + F−1 {F(he)(A|k| + iBk)})

. (3.53)

This envelope is composed of the dune profile h(x) up to the point where the turbulent boundarylayer separates :

x < xb : he(x) = h(x). (3.54)

In the absence of any systematic and precise studies on this separation bubble, we assume thatthe separation occurs when the slope is locally steeper than a critical value µb = 0.25 :

h(xb) − h(xb + dx) > µbdx. (3.55)

When the dune presents a slip face, the boundary layer thus separates at the crest. The separationstreamline is modeled as a third order polynomial :

xb < x < xr : he(x) = a + bx + cx2 + dx3. (3.56)

The four coefficients are determined by smooth matching conditions :

he(xb) = h(xb), he(xb − dx) = h(xb − dx), (3.57)

he(xr) = h(xr), he(xr + dx) = h(xr + dx), (3.58)

and the reattachment point xr is the first mesh point for which the slope is nowhere steeperthan µb. There is no grain motion inside the recirculation bubble, so that the charge equationshould be modified to ∂xq = −q for xb < x < xr. Similarly, on the solid ground (h = 0) noerosion takes place, so that ∂xq = 0.

The last important mechanism is the relaxation of slopes steeper than µd by avalanching.Rather than a complete and precise description of avalanches of grains, we treat them as anextra flux along the steepest slope :

∂th + ∂xq = ~∇ · [(Dq + Eδµ)~∇h], (3.59)

where δµ is nul when the slope is lower than µd and equal to δµ = |~∇h|2 − µ2d otherwise. For a

sufficiently large coefficient E, the result of this trick is to relax the slope to µd, independentlyof E. Note that, as the diffusion of reptons, these avalanches couple the different 2D slices. Thevalue of the parameters have been chosen to reproduce the morphological aspect ratios and aregiven in the following table :


A = 4.7 curvature effectB = 5.0 slope effectD = 0.1 Lateral diffusionµb = 0.25 separation slopeE = 50 avalanchesµd = 0.5 avalanche slopedx = 0.25 − 1.0 grid stepdt = 0.001 − 0.1 time stepM = 64 − 512 box size

The results presented in this paper have been obtained for different discretization time andspace steps, different box sizes and different total times. This explains the slight dispersion ofthe measurements.


Chapitre 4

Dynamique Hors Equilibre

Dans le chapitre precedent, nous avons discute du comportement moyen des barkhanes etdes problemes poses par la selection de la taille des dunes et par la structuration des champsen couloirs homogenes. Nous en arrivons maintenant au cœur de cette these puisqu’il s’agit demettre en evidence la dynamique hors d’equilibre des barkhanes.

N Tarfaya

route vers Laayoun

routeversTantan

650 m

20 m 40 m

a

a

b

b

c

c

Fig. 4.1 – Carte localisant le champ de dunes sur lequel nous avons effectue un suivi tout au long de lathese. Les encadres a, b et c sont des agrandissements successifs de la zone.

89


4.1 Fluctuations de la propagation et de la forme

Nous avons montre dans le chapitre precedent que la vitesse de propagation suit enmoyenne une loi dictee par la conservation de la matiere et la saturation du flux. On s’interessemaintenant aux fluctuations de cette vitesse de propagation lies a la variabilite saisonniere duvent.

4.1.1 Champ de mesures

Nous avons choisi de faire une etude systematique d’une portion de champ de barkhanessur une longue duree. Pour des raisons de commodite, nous avons choisi ces dunes a proximitede la ville de Tarfaya (fig. 4.1) au debut du troisieme fleuve de sable. Plus precisement, la zoneest situee a 6 km du Cap Juby dans la direction de migration moyenne des barkhanes (23◦ N).Outre son accessibilite – une route traverse le champ de dunes – ce site a ete choisi parce qu’ilpresente des barkhanes allant de 1 a 10 m de haut. De plus, nous avons verifie que ces dunessont soumises a la meme vitesse de vent – nous y reviendrons dans le dernier chapitre. La routesituee en amont des dunes impose une condition aux limites propre : lorsqu’une dune s’avise detraverser la route, un bulldozer en repartit le sable sur l’autre cote, qui repart en saltation (etnon sous forme de dune). Notons que les dunes sont suffisamment loin de la route pour que lafaible circulation ne perturbe en rien l’ecoulement atmospherique, mais suffisamment prochespour permettre un acces a pied.

4.1.2 Fluctuation de la vitesse de propagation

Nous avons represente sur les figures 4.2, 4.3 et 4.4, deux exemples representatifs de latrajectoire temporelle du creux de la face d’avalanche, mesures a l’aide d’un compas et d’untridecametre. Toutes nos mesures,effectuees entre novembre 2002 et janvier 2004 montrent quela vitesse de migration des barkhanes n’est pas constante au cours de l’annee. Il existe desperiodes de forte migration, d’autres ou elle est plus faible et, chose surprenante, des phasespendant lesquelles les barkhanes reculent.

Pendant la periode estivale – juin a septembre – dominee par les Alizes, toutes les bar-khanes ont la meme direction de migration N-NE. Non seulement cette direction fluctue pendantles autres saisons mais elle depend aussi de la taille des dunes. A titre d’exemple, la barkhanerepresentee sur la figure 4.2 a recule de 300 cm entre decembre 2002 et janvier 2003 alors quecelle de la figure 4.4 a avance de 450 cm vers le S-SW pendant la meme periode. Notre dureed’observation (de Novembre 2002 a Janvier 2004) peut etre grossierement decoupee en differentesperiodes d’activite :

1. Novembre et Decembre 2002 se caracterisent par une faible activite de migration. Endecembre 2002 les petites barkhanes se sont faiblement deplacees vers le S-SW alors queles moyennes et les grosses (H > 4 m) ont recule ;

2. Janvier et Fevrier 2003 se caracterisent par une tres forte activite de migration pour toutesles barkhanes etudiees ;

3. Mars et Avril 2003 se caracterisent par une vitesse de migration moyenne. Sur les 11 dunesque nous avons suivies, une seule fait exception qui s’est fortement deplacee pendant cetteperiode ;

4. entre Mai et Aout 2003, les barkhanes ont effectue l’essentiel de leur deplacement annuel ;

5. De Septembre 2003 a Janvier2004, la vitesse des dunes a progressivement decru jusqu’adevenir tres faible.

Dynamique hors d’equilibre 91

40

30

20

10

0

-10

-20

-15-10-50510

4/12/2002

1/10/2003

8/01/200318/03/200314/06/2003

16/01/2004

N 5m

y (m)

x (m)

Position de la faced'avalanche

Fig. 4.2 – Positions successives d’une barkhane de 4 m de haut au cours de l’annee 2003. Les flechesindiquent le sens de propagation de la face d’avalanche, les points noirs indiquent les positions des clousde reference servant pour la mesure.

4.1.3 Intermittence du regime de vent

Nous avons vu dans le chapitre introductif que la region se caracterise par un regime devent unidirectionnel etroit. Le critere quantitatif habituellement utilise (RDP/DP) pour ce faireest base sur le transport de sable et n’est sensible qu’aux vents susceptibles de faire bougersignificativement le centre de masse des dunes. La rose des flux (fig. 4.6a) se definit comme le


x (m)

y (m)

t (an)

t (an)

6

4

2

0

-2

1.21.00.80.60.40.20.0

-800

-600

-400

-200

0

1.21.00.80.60.40.20.0

Fig. 4.3 – Coordonnees du creux de la barkhane representee sur la figure 4.2 en fonction du temps.

flux de sable moyen conditionne par tranches angulaires de direction du vent. On constate que larose est extremement aıgue dans la direction de deplacement moyen des barkhanes (la directiondes couloirs). Si l’on considere maintenant la rose des maxima de flux (fig. 4.6b), on constatequ’il existe des evenements extremement intenses venant d’autres directions que les Alizes, tropcourts pour deplacer le centre de masse des dunes mais susceptibles d’en affecter la forme. C’esten ce sens qu’il faut interpreter le fait que la face d’avalanche puisse reculer.

De l’observation directe tiree de nos sejours sur le terrain, on peut recenser trois directionsde vents importantes :

– les Alizes, de direction NNE, qui provoquent l’essentiel du deplacement en masse desbarkhanes et qui controlent l’orientation des couloirs ;

– des vents secondaires, relativement frais et faibles, provenant du Nord-Ouest et del’Ouest, qui ont une influence tres limitee ;

– le ’Chergui’, rare mais violent, qui est un vent de terre chaud et sec soufflant par tempetesdu Sud Sud-Ouest. Il provient d’un deplacement soudain de l’anticyclone responsabledes Alizes vers le Nord de l’Europe ou il disparaıt avant de se reformer au large desCanaries. Il s’accompagnent de jets de poussiere intenses (fig. 4.7). Le ’Chergui’ induitde faibles reculs des dunes mais en modifie profondement la forme. Ceci est d’autant


-20

20

0

40

60

80

100

120

140

-10010203040

N

y (m)

x (m)

10 m

6/11/20023/12/200218/03/200328/04/20031/10/200314/12/2003

Position de la faced'avalanche

Fig. 4.4 – Positions successives d’une barkhane de 1 m de haut au cours de l’annee 2003. Les flechesindiquent le sens de propagation de la face d’avalanche, les points noirs indiquent les positions des clousde reference servant pour la mesure.


4/11/20036/11/2003

3.8

3.7

3.6

3.5

3.4

3.3

3.2

3.1

252423222120

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

302520151050a b

z (m) z (m)

x (m)x (m)

Fig. 4.5 – Evolution de la ligne de crete d’une barkhane de 4 m de haut lors d’un retournement de vent(ici un vent d’Ouest).

plus vrai que la dune est grosse : les petites barkhanes compensent tres vite ce reculapres le retour des Alizes.

4.1.4 Variabilite de forme

Cette discussion sur l’influence des tempetes intermittentes nous amene directement adiscuter des deformations des dunes. Par la technique des piquets, nous avons mesure les profilsde hauteur longitudinaux et transversaux d’un grand nombre de barkhanes. La figure 4.8 presenteun panorama des differentes formes de dunes que l’on peut observer au Sahara Atlantique (nousne presentons que les cas les plus simples et/ou les plus abondants). La grande variabilite deforme saute aux yeux et en particulier la complexite de certains profils transverses (a, b, d ete) compares a d’autres (c et g), lisses. Nous reviendrons sur l’origine de ces corrugations sur lesflancs des dunes par la suite.

A l’inverse des profils transversaux, les profils longitudinaux sont presque tous lisses maisvarient enormement d’une dune a l’autre dans la zone proche de la face d’avalanche. La figure 4.8montre que certaines barkhanes ont un sommet qui n’est pas a la face d’avalanche (fig. 4.8 (b, e

N25

50500750

(m2/an)

Fig. 4.6 – Gauche : rose des flux (1999). Droite : rose du maximum de flux.


N

Fig. 4.7 – Jet de poussiere au dessus des Canaries lors d’un retournement de vent (Chergui).


a

b

e

f

g

c

d

z (m) z (m)

x (m) y (m)

1.2

0.8

0.4

0.0

2520151050

1.2

0.8

0.4

0.0

14121086420

4

3

2

1

06050403020100

4

3

2

1

050403020100

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

14121086420

2.0

1.5

1.0

0.5

0.02520151050

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0403020100

1.20.80.40.0

302520151050

1.20.80.40.0

35302520151050

0.50.40.30.20.10.0

14121086420

0.50.40.30.20.10.0

86420

8

6

4

2

0

706050403020100

8

6

4

2

0

806040200

0.80.60.40.20.0

151050

Fig. 4.8 – Selection de quelques profils representatifs des barkhanes etudiees. A gauche sont representesles profils longitudinaux et a droite les profils transversaux correspondants. L’echelle verticale a etemultipliee par 5. Les points noirs correspondent aux points d’intersection entre les profils.


Fig. 4.9 – Photographie d’une petite dune presentant des cornes effilees et une grande face d’avalanche.

et f)), tandis que dans d’autres cas, le sommet est atteint en haut de la face d’avalanche (fig. 4.8(d et g)). D’ou provient cette variabilite de forme entre les profils longitudinaux des barkhanes ?Est-ce une propriete d’equilibre liee uniquement a la taille des dunes, comme l’ont recemmentpropose Sauermann et al. (2000 et 2001) ? Une meme barkhane peut-elle passer d’une forme aune autre ? Sous quelles conditions physiques ?

4.2 Fluctuations de la pente a la crete

Si nombre de petites dunes presentent un ’replat’, c’est-a-dire une zone de faible pentenegative entre le sommet de la dune et la face d’avalanches, ce n’est pas le cas de toutes(fig. 4.9). D’autre part, la figure 4.11 montre qu’une tres grande barkhane de 9 m de hau-teur peut egalement presenter un replat, mais de maniere temporaire. De fait, nous n’avonsremarque aucun replat sur les grandes dunes pendant la periode estivale tandis qu’il subsistede maniere permanente sur les petites dunes (Sauermann et al. 2000). Des lors, quelle sont lesconditions favorisant la separation du sommet d’avec la face d’avalanche ?

Les figures 4.10 et 4.11 montrent qu’une dizaine de jours suffisent a la formation d’unreplat. Cette naissance est bien visible sur la figure 4.11 (c) qui represente le profil d’erosionpendant cette periode. Il s’agit essentiellement de remarquer l’accumulation de 30 cm de sable en12 jours juste avant la face d’avalanche, responsable de la formation du replat. Ces fluctuationsde la pente a la crete ont ete enregistres pendant ses periodes ou de violents alizes alternent avecun calme relatif ou un vent d’ouest relativement faible. Une fois qu’un replat est ne, le sommetavance sous l’effet des alizes vers la face d’avalanche jusqu’a coıncidence(figs. 4.12a, 4.13d). Onremarque sur les figures 4.12(b) et (c) que la chute brutale de la pente, symptomatique del’existence du replat, coıncide avec un pic d’accretion d’environ 20 cm par jour, provenant del’erosion immediatement avant le replat.

Rappelons que dans le cas d’une forme en h(x − ct) se propageant sans se deformer, la

12/06/200315/06/2003

17/06/200319/06/200323/06/2003

a b

4

3

2

1

0

6050403020100

3.8

3.6

3.4

5856545250

z (m)

x (m)

z (m)

x (m)

Fig. 4.10 – a) Evolution temporelle du profil longitudinal d’une barkhane de 4 m pendant que se formeun replat. b) Agrandissement de la zone encadree.


29/04/20032/05/20034/05/2003

7/05/200310/05/2003

6/05/2003

a b

8.5

8.0

7.5

7.0

50454035

8

6

4

2

0

806040200

10

8

6

4

2

0

6040200

10. 5

10

9.5

9

8.5

8

7.5

7065605550

z (m)

x(m)

z (m)

x(m)

z (m)

y(m)

z (m)

y(m)

x(m)c

d

e

∂ th (mm/jour)-

-30-20-10

0102030

6050403020100

Fig. 4.11 – a) Evolution temporelle sur 12 jours du profil longitudinal d’une barkhane de 9 m dehaut. b) Agrandissement autour du replat. c) Profil longitudinal d’erosion −δh entre le 29/04/2003 etle 10/05/2003. Le dos est globalement erode jusqu’a x ≃ 45 m ou une epaisseur 300 mm de sable s’estdeposee, donnant naissance au replat. d) La coupe transversale de la meme dune pendant la meme periodemontre l’extension transverse du replat. e) Agrandissement de du profil transversal autour du replat.

pente ∂xh et le taux d’erosion ∂th sont liees par :

∂xh = −c∂th

La figure 4.12 (d) represente le taux d’erosion en fonction de la pente. Premier constat, il n’existepas de relation lineaire entre ces deux quantites sur la totalite de la dune, ce qui traduit le faitqu’elle se deforme. La position des points dans le graphique determine une sorte de vitesse depropagation locale que l’on pourrait definir comme le rapport −∂xh/∂th. On voit que les pointscorrespondant au dos de la dune s’alignent remarquablement sur une droite de faible pente i.e.


10/01/200313/01/2003

10/01/200313/01/2003

a

Z (m)

x (m)

4

3

2

1

0

50403020100

b

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

403020100

∂ xh

x (m)

x (m)c

d ∂ xh

∂ th (mm/jour)-

-150-100-50

050

100150

403020100

∂ th (mm/jour)-

-200

-100

0

100

200

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1

Fig. 4.12 – a) Evolution temporelle du profil longitudinal d’une barkhane de 4 m de haut montrantqu’une fois que le replat est ne, le sommet avance jusqu’a rejoindre la face d’avalanche. b) Profil lon-gitudinal d’erosion δh entre le 10 et le 12 janvier 2003. On observe une zone fortement erosive suivied’une zone de forte accretion, ce qui est symptomatique d’une propagation de la perturbation. c) Profillongitudinal de la pente ∂xh pendant la meme periode. d) Erosion ∂th en fonction de la pente ∂th. Lescroix correspondent au dos de la dune et les cercles au replat.


4.4

4.0

3.6

55504540

4

3

2

1

0

6050403020100

-0.1

0

0.1

50403020100

z (m)z (m)

x(m)x(m)

x(m)

∂ xh

x(m)

a b

c

d

e

19/03/200330/03/2003

δ

∂ xh

-30-20-10

010

50403020100

∂ th (mm/jour)- ∂ th (mm/jour)-

-30-20-10

010

0.150.100.050.00

Fig. 4.13 – a) Coupe longitudinale d’une autre barkhane montrant l’evolution d’un replat. b) agran-dissement de la zone de fluctuation de la pente. Le suivi de cette barkhane sur une periode de 11 joursrevele la croissance du replat. c) Evolution de l’erosion ∂th pendant la meme periode montre qu’il y aun depot de sable de l’ordre de 200 mm juste avant la face d’avalanche. d) L’evolution de la pente ∂xhentre le 19 et le 30 mars 2003 montre qu’elle est accentuee et deplacee par une distance δ. e) Le tracagede l’erosion ∂th en fonction de la pente ∂xh. Les croix presentent les points du dos caracterisees par unepente positive et par l’erosion. les cercles presentent les points des replat dont la partie qui est vers le dosest erode et l’autre est acrete ce qui montre que le sommet avance vers la face d’avalanche.

de faible vitesse de propagation. Les points correspondant au replat s’ecartent significativementde cette droite, se qui traduit une propagation beaucoup plus rapide de cette sous-structure surle dos de la dune.

En resume, les variations d’intensite du vent engendrent un battement de la pente a lacrete. Elle se traduit par une separation du sommet d’avec le haut de la face d’avalanche et laformation d’un replat. Cette perturbation relaxe par simple propagation sous l’effet des ventsredevenus constants. C’est la raison pour laquelle le phenomene ne s’observe pas en ete, pendantla saison des Alizes.

4.3 Mise en evidence du caractere instable des barkhanes

4.3.1 Observations

L’une des grandes surprises de nos premieres missions de terrain a ete de constater que peude dunes, au final, presentent la forme de croissant parfaite predite par les modeles (fig. 3.29)


150m

a

c

10m20m

b

Fig. 4.14 – (a) Le dos et les flancs des mega-barkhanes (a) (650 m de large et 40 m de haut) presententen toute saison des corrugations de surface plus ou moins regulieres, d’amplitude suffisante pour presenterune face d’avalanche. (b) et (c) Les dunes de de petite taille (on parlera plus loin de la taille elementaire)n’en presentent jamais (ici, 100 et 50 m metres de large respectivement).

et que l’on dessine d’ordinaire dans la typologie dunaire (fig. 1.9). Seules les dunes de taillemodeste, relativement isolees des autres, ne presentent pas de perturbations manifestes a laforme ideale. Les grosses barkhanes presentent systematiquement des structures secondaires,d’amplitude suffisamment grande la plupart du temps pour que se forment des series de facesd’avalanche secondaires (fig. 4.14). La fraction de barkhanes regulieres varie au gre des saisonset une meme dune peut etre tantot dans un etat apparemment stable et tantot presenter desstructures secondaires (Fig. 4.15). Les plus grandes dunes (10 m de haut et plus) – en particulierles mega-barkhanes dunes hors gabarit – presentent des corrugations de surface en toute saison.Nous avons pu constater que ces perturbations, tout comme le replat, se propagent plus vite que


b

a

10 m

12 m

Fig. 4.15 – Photographies des flancs d’une meme barkhane de taille moyenne a deux periodes de l’annee2003. a) Le 11 janvier 2003, la dune presentait des oscillations de surface. b) Le 14 juin 2003, la dune estredevenue d’apparence lisse.

la dune.

Ces remarques preliminaires soulevent un certains nombre de problemes. Quels sont lesmecanismes physiques responsables de la formation de ces oscillations de surface ? Presentent-elles une distance caracteristique ? Pourquoi ne s’en forme-t-il pas sur les petites barkhanes ?Sur quel temps caracteristique evoluent-elles ? Quelle est leur influence sur l’evolution globalede la barkhane ?

4.4 Nature des oscillations de surface

Pour etudier la nature de ces corrugations, nous avons selectionne cinq dunes dont lesflancs presentaient des oscillations de surface particulierement regulieres. Nous avons mesure lapente ∂xh et l’erosion ∂th selon une coupe longitudinale passant par ces oscillations (fig. 4.16).Nous avons egalement pris des series de photographies permettant de mesurer avec une bonneprecision absolue le profil de hauteur h(x) le long de cette coupe. En combinant les mesuresde pente et le profil moyen, nous avons pu obtenir une reconstruction a la fois excellente enrelatif et en absolu. La figure 4.16 montre le profil de hauteur dont on a soustrait les variationslentes pour ne garder que le profil de la perturbation δh. Par integration du taux d’erosion, onobtient le profil de flux q. Chacune des faces d’avalanche secondaires se comporte comme unpiege integral qui donne, par une mesure de hauteur et de deplacement, une mesure absolue deq extremement precise. Par combinaison des deux mesures, on obtient egalement un profil devariation de flux δq precis a la fois globalement et en relatif.

La figure 4.16 montre que la hauteur et le flux oscillent en phase, ce qui est la ca-racteristique d’une onde progressive en x − ct. En effet, de par la conservation de la matiere(∂th + ∂xq = 0), une onde se caracterise par une variation de flux proportionnelle a la variationde hauteur : δq = cδh. En comparant maintenant l’amplitude relative δq et de δh, on peutobserver que la vitesse c n’est pas constante mais decroıt du haut de la dune vers le bout descornes.

En conclusion, les corrugations des dunes ne sont rien d’autre que des ondes progressivesde surface, quasi-periodiques la plupart du temps.


a

b

x (m)

δh

0

-50

50

0

-0.5

0.5

10080604020

100806040200

0(m)

δq

(m2/an)

Hc

5 m xb

Fig. 4.16 – a) comparaison du profil de l’erosion δth et de celui du flux correspondant δq, nous remarquonsque ces deux oscillation sont en phase. b) Photo de la barkhane ou nous avons effectue la mesure montrantle lieu et l’axe des mesures

4.5 Mecanismes d’instabilite

Pour comprendre l’origine de l’instabilite de surface conduisant a ces trains d’onde, ilconvient de constater qu’ils se forment d’autant plus facilement que la taille de la dune est grandedevant la longueur d’onde caracteristique –nous y reviendrons. Sous l’hypothese de separationd’echelle entre la dune et la perturbation, la surface de la dune se comporte comme un lit se sableplat. L’instabilite lineaire d’un lit de sable homogene a ete initialement proposee par Andreottiet al. 2002. Nous la reprenons ici en la completant et en la discutant dans ce nouveau contexte.

Nous avons vu au chapitre precedent que la perturbation de la contrainte basale engendreepar une perturbation de hauteur se met sous la forme τ = τ0(α|k| + iβk)h. Cette modulationde la contrainte provoque une modulation du flux sature qsat, que l’on adimensionne par le fluxsature sur terrain plat Q :

qsat

Q=

τ − τth(1 + ∂xh/µa))

τ0 − τth(4.1)

ou τth est la contrainte seuil sur terrain plat et µa la pente de la face d’avalanche. Et on obtientfinalement la reponse lineaire en flux sature :

qsat = Q(A + iB)kh avec A =τ0α

τ0 − τthet B =

τ0β − τth/µa

τ0 − τth(4.2)

On cherche des solutions de la forme eσt+ik(x−ct) et l’on tire de l’equation de charge et de laconservation de la matiere, la relation de dispersion :

σ =Qk2(B − A|k|Lsat)

(1 + (kLsat)2)et c =

Q|k|(A + B|k|Lsat)

(1 + (kLsat)2). (4.3)

Un lit de sable homogene est donc instable a grandes longueurs d’onde, la longueur d’onde laplus instable etant gouvernee par la longueur de saturation — qui est du reste la seule longueur


du probleme. La vitesse de propagation de tous les modes etant inconditionnellement positive, ils’agit d’une instabilite convective. Cela signifie qu’une perturbation a un endroit provoque unedestabilisation en aval mais n’a aucun effet en amont.

L’instabilite de surface des dunes est d’origine purement hydrodynamique. Le schema dela figure 3.6 en presente schematiquement les differents mecanismes. Considerons une bossesymetrique. L’ecoulement autour de cette bosse est asymetrique, et en particulier le maximumde vitesse est legerement decale en amont du maximum de la bosse. De ce fait, le maximum deflux sature est egalement decale en amont du sommet, d’une distance proportionnelle a B/A eta la longueur de la bosse. De par l’existence d’un transitoire de saturation, le maximum de fluxest decale du maximum de flux sature d’une distance L vers l’aval. La question de la croissanceou de la decroissance de la bosse revient a determiner si le maximum de flux est avant ou apres lesommet de la bosse. En effet, avant la position du maximum de flux, le flux croıt, ce qui signifieque le lit s’erode ; apres le maximum, le flux decroıt et donc le sable se depose. Si le maximumde flux est en amont du sommet, celui-ci est dans la zone d’accretion et va donc croıtre. Sile maximum de flux est en aval du sommet, celui-ci se fait eroder. Cette analyse predit doncque pour croıtre, une bosse doit etre suffisamment longue. A l’inverse, un petit tas de sablese fait eroder ineluctablement. L’existence d’une taille minimale de dune, relevee initialementpar Bagnold, se voit ici expliquee par le transitoire a la saturation. Elle pose le probleme de lanucleation des barkhanes sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre suivant.

En conclusion, toute surface de sable suffisamment longue est generiquement instable vis-a-vis de perturbations periodiques de longueur d’onde fixee par la longueur de saturation du flux.Nous avons teste ce modele en mesurant toutes les quantites caracterisant une onde progressive :la vitesse, la longueur d’onde et l’amplitude.

Vitesse et propagation des ondes

Pour mesurer la vitesse de propagation des ondes, nous avons les avons simplementmarquees a l’aide de piquets. Cela est particulierement simple lorsqu’il y a une face d’avalanche ;dans le cas contraire, nous avons mis des piquets sur la ligne d’inflexion. Nous avons egalementmis des piquets en haut de la face d’avalanche d’un certain nombre de dunes ne presentant pasd’oscillations de surface, soumises au meme vent. Cela nous a permis de mesurer le flux de creteaQ de dunes ”stables” pendant le meme laps de temps. De cette mesure, on tire par une reglede proportionalite sur la hauteur relative a laquelle se situe l’onde, un flux de reference pourles ondes. La figure 4.17 montre que les ondes se propagent sur les flancs des dunes comme lesdunes sur terrain plat, et suivent une loi du type :

c

Q=

a

H + H0(4.4)

Cela constitue une confirmation quantitative de ce que le mecanisme conduisant a une instabilitesecondaire des dunes est le meme que le mecanisme d’instabilite primaire d’un lit sableux.

Bien entendu, nous n’avons de prediction directe que sur la vitesse des ondes dans le regimelineaire, c’est a dire a amplitude H nulle. On peut donc identifier dans la formule ci-dessus lavitesse a H = 0, c/Q = a/H0 a la vitesse de propagation du mode le plus instable. En calantles parametres A et B de maniere a reproduire la morphologie des barkhanes developpees, ondeduit une valeur de H0 proportionnelle a la longueur de saturation : H0 ≃ aLsat/5. Cela donneune valeur de l’ordre du metre, compatible avec les estimations du chapitre precedent. La courbeen trait plein sur la figure 4.17 a ete obtenue avec la prediction de de H0 tiree du calcul lineaire.On voit que l’accord est quantitativement bon – ainsi bien sur que dans la zone en 1/H.


H (m)151050 40

c/Q(m-1)

dunesondes

4

3

2

1

0

Fig. 4.17 – Comparaison de la vitesse des ondes et des barkanes, normalisee par le flux de reference Q,en fonction de leur hauteur H . Dans le cas des dunes, le flux de reference Q est le flux sature sur terrainplat. Dans le cas des ondes, il s’agit du flux qu’il y aurait eu a cet endroit si la dune avait ete lisse, et sepropageant sans se deformer. On le deduit de la hauteur et de la mesure de la vitesse de propagation depetites dunes aux environs. La courbe en trait plein correspond a la relation (4.4) dans laquelle la valeurde H0 est tiree du calcul de stabilite lineaire.

Longueur d’onde

Nous avons systematiquement mesure la longueur d’onde λ des ondes a partir de photo-graphies aeriennes sur les 500 dunes environ que comportent une zone de 20 km par 8 km. Nousavons egalement pris un nombre consequent de points de mesure sur le terrain, au tri-decametre.L’histogramme de ces mesures, presente sur la figure 4.18, montre un pic clair autour de 20 m.La meme mesure a ete faite sur le dos des megabarkhanes (40 m de haut), sur lesquelles lalongueur d’onde moyenne est legerement superieure, de l’ordre de 28 m (fig. 4.18). L’analyse destabilite lineaire predit que la longueur d’onde la plus instable vaut λmax ≃ 12Lsat ce qui donne20 m en utilisant la valeur mesuree pour Lsat. L’accord est donc a nouveau quantitatif avec laprediction.

Nous avons vu que Lsat depend lineairement de la taille des grains et du rapport dedensite entre les grains et le fluide environnant, avec une dependance sous-dominante en nombrede Shields. Cela permet de comprendre les longueurs d’onde centimetriques observees dans l’eaumais aussi la longueur d’onde de l’ordre de 600 m de la mega-barkhane martienne (fig. 4.19)–l’atmosphere martienne est 80 fois plus legere que la notre –.


100

80

60

40

20

0

100806040200

N

(m)λ

barkhanes

mégabarkhanes

Fig. 4.18 – Histogrammes des longueurs d’ondes λ pour les ondes sur les flancs de dunes de taillemoyenne et sur les mega-barkhanes. Cet histogramme presente un pic de 28 m pour les megabarkhanes,20 m pour les barkhanes regulieres

4.5.1 Amplitude des ondes

Au final, la chose la plus etonnante n’est pas tant l’instabilite des dunes vis-a-vis deperturbations de longueur d’onde λmax que l’existence de dunes apparemment stables ou, dumoins, ne presentant pas d’oscillation de grande amplitude a leurs surfaces. On pourrait invoquerdes effets non-lineaires stabilisant les dunes si, precisement, les grandes dunes n’etaient passystematiquement instables. Nous avons souligne le caractere convectif de l’instabilite. Comme ladune constitue un support de taille limitee, l’amplitude des ondes a un endroit sur la dune dependdirectement des perturbations qu’elle subit. Dans le cas d’un vent parfaitement unidirectionnel

6 km

Fig. 4.19 – Photographie d’une Mega-barkhane martienne.


a

b

cd

m /an2

Flux moyen Q Flux maximal Qmax

Fig. 4.20 – Reponse des barkhanes aux changements de direction du vent. Superposition d’une photo-graphie aerienne (t = 0) et de contours GPS pris a differentes dates t. La fleche jaune indique la directionnormale du vent. Les fleches de couleurs indiquent la direction du vent ayant conduit a des changementsde forme. a) Nucleation d’ondes a la surface d’une barkhane moyenne initialement lisse, sous l’effet d’unvent du N-W (contour a la date t = −80 mois). b) Destabilisation d’une barkhane moyenne conduisanta l’ejection d’un sillage de petites barkhanes de taille elementaire (contour a la date t = 50 mois). c)Evolution d’une petite barkhane sous l’effet de tempetes (contours violet a la date t = −15 mois et verta t = −12 mois). Une nouvelle face d’avalanche nuclee a l’oppose du vent. d) Mega-barkhane (contoura la date t = 350 mois). Les variations journalieres de direction du vent suffisent a maintenir la surfaceinstable en permanence.

sur une dune de taille moyenne, l’instabilite ne se verra quasiment pas, sauf par la presencede plis de tres petite amplitude pres de la face d’avalanche (fig. 4.20 b). Cela signifie aussique la nucleation d’ondes de surface constitue la reponse generique d’une dune a toute formede perturbation. En particulier, nous pouvons re-interpreter dans ce contexte les battements


80 cm

Fig. 4.21 – Photographie d’une sous-structure en forme de coquille de moule.

observes a la crete des dunes lorsque le vent change d’amplitude.

L’autre situation qui inhibe l’instabilite est le cas de dunes dont la longueur L est com-parable a la longueur d’onde d’instabilite λmax, pour la bonne raison que les ondes n’ont pas laplace de se former. λmax constitue donc la taille elementaire des dunes. Il est donc important ausujet de cette instabilite de discuter de l’influence de la taille de la dune en nombre de tailleselementaires.

En se basant sur nos observations ainsi que sur l’exploitation des photographies aeriennes,nous sommes arrives a la conclusion que les changements de direction de vent constitue unesource de perturbation excitant les ondes de surface extremement importante. La perturbationet donc la reaction des barkhanes aux changements de direction du vent depend de leur taille.Une petite barkhane de taille elementaire λmax comme celle representee sur la figure 4.20 (c) sereadapte facilement aux changements de direction de vent, par de simples changements de faced’avalanche. Les dunes un plus grosses (5−10λmax) comme celles representees sur les figures 4.20(a) et (b) reagissent aux changements de direction de vent par la formation d’un train d’onde surles flancs et les cornes. Les dune les plus grosses, en particulier la megabarkhane de la figure 4.20(d), de longueur 30λmax, sont en permanence destabilisees. Tres probablement, les fluctuationsquotidiennes de direction (de l’ordre de 15◦) suffisent a entretenir des ondes de surface de tresgrande amplitude.

4.6 Recollement de la couche limite sur une face d’avalanche

secondaire

Au paragraphe precedent, nous avons montre que la reaction generique d’une dune aune perturbation de petite amplitude (un leger changement de direction de vent par exemple)consiste en l’apparition d’ondes propagatives de surface. Nous avons identifie un autre type desous-structure ephemere sur les barkhanes qui presente une forme caracteristique de coquillede moule (fig. 4.21, 4.22). Outre les conditions de formation que nous detaillons ci-dessous,


20cm

Fig. 4.22 – Photographies de petites sous-structures en forme de coquille de moule, naissant en periodedes vents d’Ouest. Elles se forment le long de la face d’avalanche retournee comme dans les seifs (duneslongitudinales).

Fig. 4.23 – Photographie d’une sous-structure en forme de coquille de moule. Les girouettes indiquentla direction du vent et montrent le recollement de couche limite.


8/12/2003

22/12/2003

10

8

6

4

2

0

6040200

10

9.5

9

8.5

8

7.5

70656055a b

Z (m) Z (m)

x (m) x (m)

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

6050403020100x (m)

x (m)d

e

∂ xh

c ∂ xh

8/12/2003

22/12/2003

∂ th (mm/jour)-

80

40

0

-40

706050403020100

∂ th (mm/jour)-

80

40

0

-40

0.60.40.20.0-0.2-0.4

Fig. 4.24 – Effet du vent de terre (’Chergui’) sur une barkhane de 9 m de haut. a) Evolution du profillongitudinal pendant le retournement de vent. Une face d’avalanche de 1 m se forme dans le sens opposea la normale. b) Agrandissement des profils autour de la face d’avalanche nouvellement cree. c) Profilsde pente ∂xh. d) Profil d’erosion ∂th mesure entre le 8 et le 22 decembre 2003. e) Erosion ∂th en fonctionde la pente ∂xh. Les cercles correspondent a la zone de la sous-structure nucleee et les croix au reste dela dune.


la difference essentielle avec une onde simple resulte dans l’existence d’un transport de sableimportant au pied de la face d’avalanche, dans la zone de recirculation. Des que de la faced’avalanche secondaire est inclinee de plus d’une vingtaine de degres par rapport a la directiondu vent, on observe un recollement de la couche limite aerodynamique sur la face d’avalanche.Au lieu d’avoir un tourbillon de recirculation de faible intensite comme c’est le cas derriere unedune, il apparaıt un ecoulement tres rapide parallele a la face d’avalanche. On peut le constatera l’aide de girouettes (fig. 4.23) ou meme, plus simplement, par l’orientation des rides eoliennesperpendiculairement a la face d’avalanche sur la figure 4.21.

Cet ecoulement secondaire pratiquement perpendiculaire au vent global est en general audessus du seuil de transport, ce qui provoque un transfert de matiere le long de la face d’avalanche(fig. 4.23). C’est ce transport qui est responsable, en particulier, de la forme caracteristique decoquille de moule. Par rapport au cas des ondes simples, le recollement de couche limite constitueune manifestation importante des effets non-lineaires1. En particulier, c’est cet effet qui est al’origine de la formation des seifs, qui sont les dunes qui se forment lorsque l’on a deux directionsprincipales de vent a 45◦ environ l’une de l’autre. Cela constitue un enjeu d’importance pour lesrecherches a venir puisqu’aucun modele de dune ne reussit a l’heure actuelle a integrer cet effet.

Nous avons pu observer des sous-structures en forme de coquille de moule de taille allant dequelques centimetres (fig. 4.22) a quelques metres de haut (fig. 4.21). Dans ce dernier cas, on n’entrouve que quelques unes sur le dos d’une barkhane contrairement aux trains d’ondes mentionnesplus haut. Cette invariance d’echelle renforce l’idee selon laquelle il s’agit essentiellement d’unphenomene lie a l’ecoulement.

Les sous-structures en forme de coquille de moule se forment specifiquement pendant lesretournements de vent, en particulier pendant les tempetes de vent de terre hivernales (’Chergui’soufflant du S-SE). La figure 4.24 montre l’evolution d’une dune moyenne lors des retournementsde vent du 19 et du 22 decembre 2003. Seule la zone autour de la face d’avalanche se rearrangerapidement, le reste de la dune restant essentiellement statique. Il se forme une face d’avalancheinversee d’un metre de haut environ. Le profil d’erosion presente une zone d’erosion intense enamont d’une zone d’accretion, ce qui est symptomatique d’une propagation rapide en direction dupied de la dune. Le graphe de l’erosion en fonction de la pente montre que l’ensemble de la dunerecule, mais avec une vitesse d’ensemble beaucoup plus faible que la vitesse de la sous-structure.La figure 4.25 montre qu’il faut une dizaine de jours pour que l’une de ces sous-structures se

forme. L’erosion derriere la face d’avalanche est extremement intense et atteint 15 cm par jour(fig. 4.25 (c)). Comme les autres perturbations que nous avons recensees, les sous-structuresen forme de coquille de moule se resorbent en se propageant jusqu’a la face d’avalanche. Cettepropagation s’accompagne dans ce cas particulier d’un mouvement lateral lie au recollement decouche limite. La figure 4.26 est complementaire de la figure 4.25 et presente l’evolution de lacoupe transversale d’une dune lors de la disparition d’une sous-structure apres le retour desAlizes. On constate la presence d’un depot de sable massif pendant cette periode.

On peut resumer de la maniere suivante le scenario type d’apparition d’une sous-structureen forme de coquille de moule (fig. 4.27). La barkhane prend sa forme de croissant lisse pendantune periode d’alizes. Pendant une tempete des vents de terre, la barkhane evolue rapidementen regenerant une nouvelle face d’avalanche orientee dans la direction opposee a l’ancienne faced’avalanche. La presence d’un transport de sable se traduit par la formation de rides eoliennes surcelle-ci. Lorsque les Alizes reprennent, la petite ligne de crete precedemment creee se destabilisepour former une sous-structure au sein de laquelle la couche limite recolle, engendrant un trans-port lateral de sable. Cette sous-structure prend sa forme caracteristique de coquille de moule etse propage avec un angle de quelques dizaines de degres par rapport a la direction du vent. Ce fai-

1La selection de la hauteur des dunes resulte aussi d’une non-linearite, le decollement de couche limite. Cepen-dant, le fait que la recirculation soit en general sous le seuil de transport simplifie grandement le probleme dansce cas.


11/01/200413/01/200415/01/200416/01/200420/01/2004

10

8

6

4

2

0

806040200

9. 0

8. 5

8. 0

7. 5

7. 0

6. 5

45403530

y (m)

y (m)

y (m)

z (m)

z (m)a

b

c

150

100

50

0

806040200

∂ th (mm/jour)-

Fig. 4.25 – a) Evolution temporelle du profil transversal d’une barkhane de 9 m de haut montrantla naissance d’une sous-structure en forme de coquille de moule. b) Agrandissement autour de la sous-structure. c) Profil d’erosion ∂th.

sant, elle diminue d’amplitude et a pratiquement disparue lorsqu’elle rejoint la face d’avalanche.La barkhane est alors revenue a son etat de croissant lisse.

4.7 Synthese

Nous avons montre dans ce chapitre que les barkhanes sont loin d’etre des objets al’equilibre, stables, et se propageant sans se deformer. Les dunes sont generiquement instables,toute perturbation par rapport a la forme d’equilibre destabilise la surface pour former des sous-


22/03/200301/04/200303/04/2003

a

b

c

8

6

4

2

0

806040200

8

7

6

60504030

z (m)

z (m)

y (m)

y (m)

y (m)

∂ th (mm/jour)-

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

806040200

Fig. 4.26 – a) Evolution temporelle du profil transversal d’une barkhane de 8 m de haut montrant ladisparition d’une sous-structure en forme de coquille de moule. b) Agrandissement autour de la sous-structure. c) Profil d’erosion ∂th.

structures propagatives. Nous avons montre que derriere l’apparence d’un vent dominant respon-sable de l’essentiel du mouvement des dunes se cachent des variations tres importantes de direc-tion du vent, qui perturbent les dunes. La reponse des dunes a ces changements de vent depend deleur taille. Les petites dunes se readaptent rapidement. Les dune moyennes se destabilisent pourformer des structures secondaires. Les dunes les plus grosses restent destabilisees de manierepermanente. Suite a des retournements de vent complets se forment des sous-structures pluscomplexes au sein desquelles la couche limite recolle le long de la face d’avalanche, induisantun ecoulement secondaire important. L’une des pistes de recherche pour l’avenir consistera aetudier plus en profondeur les conditions de recollement et la transition entre les barkhanes et


N

VENTS DU S-W

direction du vent

fluxlatéral

Fig. 4.27 – Scenario type du comportement d’une dune moyenne pendant une tempete hivernale.

les dunes longitudinales (seifs). Pour l’heure, ayant montre que les dunes sont perpetuellementhors d’equilibre, il s’agit de changer d’echelle pour considerer la question initiale de la stabiliteapparente des couloirs de dunes. L’instabilite de surface mise en evidence permet-elle de resoudrele probleme de selection de taille pose precedemment ?

Chapitre 5

Evolution d’un champs des dunes

Ayant montre que les barkhanes ne sont pas des objets a l’equilibre mais bien des ob-jets generiquement instables vis-a-vis d’ondes de surface, nous faisons maintenant retour sur leprobleme que nous nous sommes initialement pose. Comment expliquer la structuration d’unchamp de dunes en couloirs au sein desquels la taille evolue peu ? En particulier, comment expli-quer que les deux instabilites vis-a-vis de transferts de matiere entre dunes (par les flux entrantet sortant, et par les collisions) ne conduisent pas a la fusion de l’ensemble du champ de duneen une seule mega-dune ? Nous allons revenir tout d’abord sur la structuration en couloirs deschamps de barkhanes avant de discuter les processus dynamiques susceptibles de reguler la tailledes dunes.

5.1 Structuration en couloirs du champ des dunes

La figure 5.1 montre une image Landsat du 3e fleuve du sable qui prend naissance aCap Juby a quelques kilometres au nord-est de Tarfaya et meurt dans un effondrement a 200kilometres au sud-ouest de Laayoun. Sur ses 100 premiers kilometres, il est oriente a 23 ◦ Nord,qui est la direction du vent dominant. Il croise deux obstacles successifs : l’oued Seguia Elhamraau niveau de Laayoun puis le convoyeur de phosphate. Le vent dominant tourne a ce niveaud’une vingtaine de degres de sorte qu’il existe un nouvel apport sableux depuis la cote. Lefleuve de sable est alors deflechi pour prendre une direction Nord-Sud. La premiere centaine dekilometres n’est pas exempte d’accidents de terrain mais les conditions de vent y sont a tout lemoins raisonnablement homogenes. Cela fait donc sens d’etudier l’evolution du champ de dunesa cette echelle.

Nous avons choisi trois surfaces de controle de meme taille (4 km selon l’axe du vent x par5 km selon la direction transverse y1) situees le long du fleuve de sable. La premiere est situeea une dizaine de kilometres de la plage de Tarfaya, en aval de la zone ou nous avons effectuenotre suivi. Il s’agit en substance de la premiere tranche de champ de dune homogene apresl’entree du sable sur la terre. La deuxieme est situee au niveau de la la sebkha de Tah, a trentekilometres de la plage de Tarfaya, dans une zone quelque peu perturbee par la presence de lasebkha. La troisieme est a une soixante-dix kilometres de la plage de Tarfaya, vingt kilometresavant la rupture brutale engendree par l’oued Seguia Elhamra arrosant Laayoun. Pour pouvoircomparer les trois zones, nous avons recale l’axe des y de maniere a ce que la limite Est duchamp coıncide. Sur la face Ouest, le champ de dunes se poursuit sur plusieurs kilometres : laposition y = 0 n’a donc pas d’autre sens que d’etre la limite de la surface de controle.

Pour faire cette etude, nous avons identifie, sur les photographies aeriennes etalonnees,l’integralite des dunes se trouvant dans la zone de controle – plus un bandeau en amont pour

1Par convention, les x croissants vont du Nord au Sud et les y d’Ouest en Est.

115


Laayoun

convoyeurde phosphates

Tarfaya

Tah

Fig. 5.1 – Photo satellite du troisieme fleuve de sable (jaune). La photographie a ete tournee de manierea ce que l’axe vertical coıncide avec l’axe du fleuve de sable entre Tafaya et Laayoun, et comprimeeverticalement d’un facteur 4. Dans cette transformation, les ecarts d’angle sont violemment amplifies.

Evolution d’un champs des dunes 117

Fig. 5.2 – Photographie aerienne montrant une partie de la surface de controle au Nord du champ (zonede Tarfaya).

les estimations de flux. Nous mesurons la largeur de chaque dune, Wn, et nous en deduisons unvolume Vn a partir de la relation, valable en moyenne :

Vn =W 3

n

45

Le facteur 1/45 est tire de quelques points de mesure que nous avons fait et des points effectuesdans la meme region par Sauermann (2001). Nous estimons aussi la vitesse de propagationmoyenne cn normalisee par le flux sature sur terrain plat Q :

cn

Q=

a

bWn + H0

ou b est le rapport d’aspect moyen H/W des dunes.Nous avons ensuite balaye la surface de controle selon y par une fenetre glissante de 4 km

de long et 500 m de large. Toutes les quantites que nous allons discuter sont donc des moyennesprises sur une surface S = 2 km2. La densite de dunes se definit comme le nombre de dunes parunite de surface :

N =1

S

∑

n/S

1


Fig. 5.3 – Photographie aerienne montrant une partie de la surface de controle au milieu du champ(zone de Tah).

ou∑

n/S designe la sommation sur toutes les dunes n appartenant a la sous-surface de controleS consideree. Bien qu’evidemment signifiante, cette quantite n’est pas tres bien construite puis-qu’une dune de volume quasi-nul compte pour autant qu’une dune de 10 m de haut. Elle adonc tendance a sur-ponderer les petites dunes. Pour compenser cet effet, on peut construiredes quantites moyennes ponderees non pas en nombre mais en volume de sable. La densite desable ǫ se construit comme le rapport du volume de sable total contenu dans les dunes divisepar la surface :

ǫ =1

S

∑

n/S

Vn

Cette quantite a la dimension d’une longueur et s’interprete comme la hauteur de sable qu’il yaurait sur la roche mere si l’on etalait tout le sable des dunes. Pour caracteriser la taille moyennedes dunes par canal, nous avons construit la largeur moyenne des dunes ponderee en volume,

W =

∑

n/S VnWn∑

n/S Vn

et le volume moyen des dunes,

V =

∑

n/S V 2n

∑

n/S Vn


Fig. 5.4 – Photographie aerienne montrant une partie de la surface de controle au Sud du champ (zonede Laayoun).

La figure 5.5 montre le profil transverse de la densite de dune N . Sur les trois surfacesde controle, on retrouve une faible densite de dune a la limite Est du champ (y ≃ 4 km) ainsiqu’une zone tres dense en dunes a 3 km a l’interieur du champ (y ≃ 1 km). Cette structure estpreservee sur pratiquement tout le champ de dune, avec malgre tout une variabilite importante(La densite de dunes chute d’un facteur trois a Tah).

Les figures 5.7 et 5.5 montrent que cette zone de dunes denses est constituee majoritaire-ment de petites dunes. La largeur et le volume moyen des dunes augmentent au fur et a mesureque l’on se rapproche de la limite Est du champ. A nouveau, la structuration en couloirs depetites et de grandes dunes persiste sur tout le champ, avec une certaine variabilite. A Tah, onconstate que les dunes sont moins denses mais ont une taille plus grande que celles des zones deTarfaya et Laayoun.

La densite de sable ǫ est representee sur la figure 5.6 et fluctue entre 30 et 70 cm. On voitque les variations transverses de volume et de densite de dunes se compensent grandement pourdonner une repartition beaucoup plus homogene du stock sableux. Dans la zone de Tarfaya, onnote toutefois un trou de couvert sableux qui correspond a un couloir pratiquement sans dune.Il faut souligner le fait que la densite de sable ǫ n’est pas un parametre de controle. Il ne s’agiten aucun cas d’un couvert sableux d’epaisseur ǫ qui est remodele par le vent. Dans le cas deschamps de barkhanes, c’est le flux de sable entrant qui est le parametre de controle pertinent,l’accumulation de sable en un endroit ou un autre resultant de la dynamique du champ de dunes.

En conclusion, nous avons developpe une analyse permettant de quantifier les observationsfaites sur les photographies aeriennes. La structuration en couloirs est reelle et averee, bienqu’une variabilite existe au fil du champ de dunes. La question qui se pose reste l’origine de laselection de taille. Pourquoi les trois premiers kilometres a l’Est du champ sont-ils constitues degrandes dunes tandis que les deux kilometres suivants sont constitues de petites ?


N (dunes/km2 )

y (km)

TarfayaTahLaayoun

350

300

250

200

150

100

50

0

43210

Fig. 5.5 – Nombre de barkhanes N par unite de surface en fonction de la position y transverse au champde dunes.

ε (m)

y (km)

TarfayaTahLaayoun

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

43210

Fig. 5.6 – Densite de sable ǫ i.e. volume de sable par unite de surface, en fonction de la position ytransverse au champ de dunes.


W (m)

y (km)

TarfayaTahLaayoun

250

200

150

100

50

0

43210

Fig. 5.7 – Largeur moyenne des barkhanes W en fonction de la position y transverse au champ de dunes.

y (km)

V(m3)

TarfayaTahLaayoun

103

2

3

4567

104

2

3

4567

105

2

3

4567

106

43210

Fig. 5.8 – Le volume du sable mobilisable par les dunes V en fonction de la position y transverse auchamp de dunes.


1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0543210-1

y (Km)

U/Uref

Fig. 5.9 – Les vitesses du vent enregistrees simultanement en different points au long de la largeur ducouloirs (sur 6 km) divisees par la vitesse du vent enregistre simultanement au point kilometrique 2.5presentent de faible fluctuations, ce qui montre que ces dunes recoivent le meme type du vent.

5.2 Parametres controlant la taille des dunes

La seule proposition ayant ete faite pour expliquer la structure en couloirs repose sur l’ideeque les barkhanes sont des objets a l’equilibre stable. Limat et al. 2000 ont construit un modelenumerique montrant que dans ces conditions, on retrouve au fil du champ la taille des dunesque l’on a injecte en debut de champ. Au dela du fait que nous avons prouve que les dunesne sont pas stables, nous rejetons vigoureusement l’idee selon laquelle la selection de la tailledes dunes viendrait des conditions initiales et resterait memorisee sur 100 km. En effet, nouspouvons constater sur la photo 5.1 que le champ se reforme avec la meme structure apres desobstacles geologiques (par exemple l’effondrement entre Tarfaya et Tah). Puisque les dunes nesont pas en situation d’equilibre, il doit exister des processus dynamiques regulant la taille.

Nous avons donc mesure un certain nombre de parametres qui pourraient controler laformation des couloirs de grosses et de petites dunes, a commencer par la vitesse et la directiondu vent. Nous avons mesure la vitesse du vent U selon une coupe transversale du champ dedune (voir chapitre II), et simultanement la vitesse du vent Uref en un point de reference situeen y = 1, 5 km (fig. 5.9). L’interet d’une mesure en deux points consiste a pouvoir corrigerla derive des conditions atmospheriques sur les deux heures que dure la mesure. La courbe deU/Uref reste autour de 1 ± 10%, ce qui signifie que le vent qui souffle sur les couloirs de grosseset de petites dunes est strictement le meme.

Le second parametre important est le flux de sable. Dans la mesure ou les couloirs de dunesn’existent que dans les endroits ou la falaise laisse sortir un flux de sable suffisamment important,on peut imaginer que c’est le flux qui pilote directement la taille des dunes dans chaque couloir.Bien sur, cela signifierait a nouveau une memoire des conditions d’entrees. Mais dans la mesureou l’on observe que le champ de dunes reste collimate selon l’axe du vent dominant, on peutimaginer que le flux le reste aussi. Au sein du champ de dunes, le sable est transporte sousdeux formes. Une partie du transport se fait sur le dos des dunes, qui contribue a les faireavancer. Nous noterons qdunes le flux de sable associe au deplacement des dunes. Il existe aussiune circulation de sable en saltation entre les dunes, sur la roche mere. Nous noterons qlibre le


a

b

N

1 km

Fig. 5.10 – a) Schema expliquant la methode de calcul du flux libre qlibre. Tout se passe comme si lazone hachuree etait la zone de flux libre. Sa surface sn est egale au produit de la largeur des cornes parla distance a la premiere dune dans le sillage. b) Construction des zones de circulation du flux libre surla surface de controle de Laayoun.

flux de sable ‘libre’. Le flux total qtotal est rigoureusement la somme de ces deux contributions.L’estimation de ces deux flux sur le terrain pose des problemes pratiques sur lesquels nous

avons passe une fraction de nos missions de terrain tres importante. La difficulte pour le fluxsous forme de dune reside essentiellement dans la mesure directe du volume des dunes. Nousavons contourne la difficulte en utilisant la relation, valable en moyenne, entre volume et largeur.La contribution d’une dune n au transport est egale a son volume Vn multiplie par sa vitessecn. Pour obtenir le flux qdunes, il faut ajouter toutes ces contributions et diviser par la surfacede controle :

qdunes

Q=

1

S

∑

n/S

cn

QVn =

1

S

∑

n/S

aVn

bWn + H0

La mesure directe du flux libre entre les dunes serait infiniment plus compliquee encore,puisqu’il faudrait concevoir des pieges a sable integrant la mesure sur de tres longues durees


y (km)

qdunes/Q

TarfayaTahLaayoun

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

43210

Fig. 5.11 – Flux transporte par les dunes qdunes en fonction de la position y transverse au champ dedunes.

et en quadriller le territoire. Faute de mieux, nous nous contentons d’une estimation basee surla largeur geometrique des cornes. Nous avons montre au chapitre III que les dunes ne perdentdu sable que par les cornes et que le flux de sortie des dunes est sensiblement egal au fluxsature sur terrain plat Q. Ce sable est ensuite transporte vers l’aval (avec une redistributiontransverse) jusqu’a ce qu’il rencontre l’arriere de la dune suivante (fig. 5.10). Comme il n’y apas d’accumulation entre les dunes, le flux moyen a l’aval d’une dune est egale au flux moyen ensortie. La contribution d’une dune au flux libre est donc egale au flux de sortie (≃ Q) multiplieepar la surface sn de la zone hachuree sur la figure 5.10, construite sur la largeur des cornes etsur la distance a la premiere dune en aval. Au final, le flux libre est defini par

qlibre

Q=

1

S

∑

n/S

sn

Cette mesure etant grandement determinee par la largeur des cornes, qui est une quantitegrandement variable d’une saison a l’autre, on ne peut empecher la possible existence de biais lieau moment ou la photographie a ete prise. Il est difficile d’estimer ab initio les barres d’erreurs surles flux ; nous nous sommes donc limites a constater que les mesures faites etaient relativementreproductibles et variaient peu le long du champ de dunes. On prendra soin, cependant, de nepas sur-interpreter les tendances visibles sur certaines courbes.

La comparaison entre les trois zones de controle permet de tirer un certain nombre deconclusions fermes.

• Tout d’abord, le flux total transporte dans un champ de dunes est de l’ordre de la moitiedu flux transporte en saltation sur terrain plat (fig. 5.13). Ce resultat est extremementsurprenant et riche de consequence. Pourquoi les dunes se forment-elles si il est possibledans les memes conditions que le meme flux soit transporte en saltation ? D’un pointde vue outrageusement finaliste, pourquoi n’y a-t-il pas de gain dans l’efficacite dutransport ?

• Second constat tire de la meme figure, le flux total est homogene spatialement auxincertitudes pres, non seulement selon la direction transverse aux couloirs mais aussi lelong de ceux-ci. Le flux de sable n’est donc pas le parametre qui controle la taille des


y (km)

TarfayaTahLaayoun

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.

0

1

43210

qlibre/Q

Fig. 5.12 – Flux libre qlibre en fonction de la position y transverse au champ de dunes.

dunes, puisque le meme flux est transporte dans les couloirs de petites et de grandesdunes.

• Au premier ordre, le flux transporte dans les dunes est independant de la taille des dunes.C’est le resultat attendu si l’on considere que la distance entre dunes est proportionnellea la taille des dunes. On a alors un flux egal au produit de la densite de dunes ∝ 1/W 2,de leur vitesse ∝ 1/W et de leur volume ∝ W 3. En regardant plus attentivement, onpeut constater que qdunes est tres legerement mais systematiquement plus grand dansles couloirs de petites dunes que dans les couloirs de grosses (fig. 5.11). Bien entendu, leflux chute brutalement lorsqu’il y a une zone sans dune comme c’est le cas dans la zone

y (km)

TarfayaTahLaayoun

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

43210

qtotal/Q

Fig. 5.13 – Flux total qtotal en fonction de la position y transverse au champ de dunes.


y (km)

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

43210

q/Q

qdunes/Q

qtotal/Q qlibre/Q

Fig. 5.14 – Repartion du flux total qtotal entre flux libre qlib et flux transporte par les dunes qdunes enfonction de la position y transverse au champ de dunes, dans la surface de controle de Tarfaya.

de Tarfaya. Le flux transporte par les dunes est de l’ordre de 0.15 Q, avec une grandefiabilite.

• Le flux libre est sensiblement plus grand, de l’ordre 0.25 Q, et est essentiellement ho-mogene, sauf dans le dernier kilometre avant le bord Est du champ de dunes.

Les figures 5.14, 5.15, 5.16 representent la contribution respective des dunes et du fluxlibre au flux total, dans les trois zones d’etude. On retrouve graphiquement les proportions3/8 et 5/8 trouvees precedemment. La nouveaute se situe entre y = 2 km et y = 3 km sur lafigure 5.14 et entre y = 0 et y = 1 km sur la figure 5.15. Dans ces deux endroits le couvertsableux ǫ chute brutalement (fig. 5.6), ce qui constitue la signature d’un canal sans dune. De

y (km)

q/Q0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

43210

qdunes/Q

qtotal/Q qlibre/Q

Fig. 5.15 – Repartion du flux total qtotal entre flux libre qlib et flux transporte par les dunes qdunes enfonction de la position y transverse au champ de dunes, dans la surface de controle de Tah.


y (km)

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

43210

q/Q

qdunes/Q

qtotal/Q qlibre/Q

Fig. 5.16 – Repartion du flux total qtotal entre flux libre qlib et flux transporte par les dunes qdunes enfonction de la position y transverse au champ de dunes, dans la surface de controle de Laayoun.

ce fait, le flux transporte sous forme de dunes chute egalement mais est strictement compensel’augmentation du flux libre. En observant attentivement la figure 5.1 dans la region entre lerectangle de Tarfaya et celui de Tah, on voit un large couloir de petites dunes devenir pendantune dizaine de kilometre un couloir sans dune avant de redevenir un couloir de petites dunes.Cela nous amene a conclure que l’on a affaire a un systeme bi-stable. Dans les memes conditions,le transport peut s’effectuer soit sous forme de dunes (plus le flux libre inter-dunes), soit ensaltation libre. La question de la nucleation du champ de dunes devient alors cruciale.

Seconde conclusion ferme, la taille des dunes n’est gouvernee par aucun des parametresexterieurs auxquels il est possible de songer (vitesse du vent, etat du sol, flux de sable). Deslors, cela signifie que la structure en couloirs est gouvernee par des processus dynamiques et quele parametre pertinent est simplement la distance au bord du couloir, dans un regime de ventdonne.

5.3 Nucleation

Le mono-couloir de la sebkha Tizfourine (fig. 5.17) jette un eclairage nouveau sur leprobleme de selection de taille qui nous occupe. Il s’agit d’un endroit tres localise ou le sablearrive a remonter la falaise d’un effondrement. Immediatement au dessus de la falaise, le ventchute brutalement de sorte que le sable se depose et forme une dune ancree sur le point d’injec-tion du flux. Cette nebkha geante (‘shadow dune’) se destabilise suivant le processus maintenanthabituel pour former un sillage periodique de dunes de taille elementaire. Dans ce couloir d’unedune de large, toutes les dunes sont, d’une certaine maniere, en bord de couloir. On observeque la taille des dunes augmente au fil du mono-couloir, exactement comme le predit la theorie.Cela signifie qu’en absence d’effets collectifs, les collisions conduisent a une fusion des dunes duchamp. Cela donne donc une piste importante pour resoudre le probleme de selection de taille.

Cette destabilisation d’une dune piegee sur un obstacle n’est pas sans rappeler l’emissionde dunes de taille elementaire dans le sillage des cornes des barkhanes fortement destabiliseessuite a un changement de direction de vent (fig. 4.20 b), et en particulier des megabarkhanes(fig. 4.20 d).


Fig. 5.17 – Mono-couloir de dunes nucleant a partir d’un point source a la sortie de la sebkha Tizfourine(effondrement). Les photographies aeriennes ont ete prises a 3 ans d’intervalle (a) 1979 et (b) 1976. Lataille des dunes grossit au fil du canal.

Les barkhanes ne se forment pas toutes par destabilisation periodique d’un amas sableux.La nucleation sur terrain peu accidente n’a pour ainsi dire jamais ete etudiee. De par les longueursmises en jeu, la formation des dunes eoliennes ne peut etre reproduite de maniere controleeen laboratoire ; les missions de terrain ponctuelles ne permettent pas d’observer ce type denaissance ; enfin, ce point n’a jamais ete aborde en simulation numerique. Les quelques tentativesd’experiences en soufflerie (B. Andreotti & S. Douady, 2001) ont uniquement permis de montrerqu’un tas de sable de quelques dizaines de centimetres de long et de haut se fait ineluctablementeroder. Le probleme de la nucleation pose un double probleme. Comment les dunes peuvent-ellesnaıtre, alors qu’elle ne peuvent passer par le stade d’un petit tas de sable ? Comment peut-ils’en former alors que le flux total de sable dans le champ de dune n’atteint pas la moitie du flux

Fig. 5.18 – a) Photographie d’une proto-dune (bouclier) sur le replat de la plage de Tarfaya. b) Photo-graphie d’une petite barkhane de 60 cm de haut, a cent metres de la zone ou se forment les boucliers.


09/01/200312/01/2003

13/01/2003

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

20151050 x (m)

z (m)

Fig. 5.19 – a) Profils longitudinaux montrant le passage en 5 jours d’un bouclier en barkhane.

sature sur terrain plat.

L’observation directe fournit la solution du premier de ces problemes, qui n’est qu’un para-doxe leger : les proto-dunes naissent directement avec une extension longitudinale et transversed’une vingtaine de metres, mais avec une epaisseur nulle. A la naissance du couloir de dunes deTarfaya, cela se produit juste au replat qui suit la pente de la plage, en legere depression (fig.5.18a). La longueur des boucliers barkhaniques varie entre 10 et 30 m. Quelques centaines de metresplus loin dans la direction des alizes, on trouve de petites barkhanes dont la hauteur varie entre

1 m

1 ma

b

Fig. 5.20 – a) Photographie du bouclier de la figure 5.19 prise le 4 janvier 2003. b) Photographie de labarkhane qui en resulte, le 12 janvier 2003.


L (m)

12

10

8

6

4

2

0

5040302010

C

Fig. 5.21 – Histogramme de la longueur des proto-dunes. Ces mesures ont ete faites en partie sur laplage de Tarfaya et en partie au sein du champ de dunes, sans que l’on puisse faire de distinction. Lalongueur λ presente un pic autour de 16 m, soit dix fois la longueur de saturation.

0, 6 et 1 m, ce qui est le minimum de hauteur pour une dune presentant une face d’avalanche(fig. 5.18 b). Si les boucliers sont des proto-dunes (Pacheco, 1946), par quel processus se fait latransformation ?

La figure 5.19 montre l’apparition d’une face d’avalanche sur une proto-dune, par un suivisur 5 jours de l’evolution du profil longitudinal. Le bouclier a initialement une longueur de16 m et ne presente ni corne, ni face d’avalanche (fig. 5.20 a). Le dos du bouclier se fait erodermais le depot de sable qui en resulte commence avant le sommet, ce qui fait croıtre la hauteurdu bouclier. Dans un premier temps, l’extremite aval du bouclier ne bouge pas et la masse desable accumulee se raidit vers l’avant, pour finalement devenir une face d’avalanche qui, elle, sepropage (fig. 5.20 b).

Nous avons mesure systematiquement la longueur des proto-dunes dans deux zones : d’unepart sur la plage de Tarfaya, a l’aide d’un tridecametre, et d’autre part dans le champ de dune,a partir des photographies aeriennes. La longueur moyenne de formation des proto-dunes estde l’ordre 16 m, soit sensiblement la meme valeur que la longueur d’onde de destabilisation desdunes. Cela invite a penser que la selection de taille procede des meme ingredients physiques,bien qu’il s’agisse maintenant de nucleation par saturation du flux. La figure 5.22 (a) confirmeen partie cette analyse. Il s’agit a nouveau de la formation d’une barkhane a partir d’uneproto-dune de 22 m de long. En plus du cas precedent, on observe que la proto-dune presentecomme precedemment une zone d’erosion suivie d’une zone d’accretion qui commence avant lemaximum de hauteur. Mais il y a une seconde zone d’erosion encore en aval, 16 m precisementdu debut de la proto-dune. Du sable s’echappe donc, qui ne participe plus a la formation de lanouvelle barkhane (fig 5.23). A nouveau, ce processus se comprend aisement dans le contexte del’instabilite en ondes de surface.

Nous avons pu constater que les proto-dunes se forment essentiellement pendant les alizesles plus violents, peut-etre simplement parce que la majorite de l’approvisionnement du continenten sable marin se fait pendant cette periode. Ces resultats ne referment pas completement lesujet puisque nous n’avons pas etudie finement les conditions de nucleation par saturation. Il


03/05/200305/05/200306/05/2003

07/05/200309/05/20030.8

0.6

0.4

0.2

0.0

2520151050

x (m)

a

b

x (m)

z (m)

∂ th (mm/jour)-

-100

-50

0

50

100

2520151050

Fig. 5.22 – a) Profils longitudinaux montrant la transformation d’une proto-dune en barkhane. b) Profild’erosion −∂th. Les fleches indiquent une discontinuite d’erosion, le sable present au dela de 16 m sefaisant eroder.

semble clair, cependant, que les dunes ne se formeraient pas si le terrain etait parfaitement platpuisque le transport de sable serait toujours loin de la saturation. D’autre part, un obstaclemassif comme un buisson garde captif le sable qui se depose dans son sillage. On retrouve doncl’idee emise plus haut d’un systeme bi-stable, les deux etats (transport avec dune ou sans dune)etant separes par une ‘barriere’. Sur la plage de Tarfaya, le leger replat qui suit la pente sableuseou se depose le sable marin semble suffire pour que le flux sature et depose des precurseurs dedune. Ce point ouvre une perspective theorique interessante : peut-on predire la perturbationminimale permettant d’engendrer une barkhane ?

En conclusion, les barkhanes nucleent a la taille elementaires λmax. Cette nucleationnecessite une perturbation pour survenir – en general une zone ou le vent decroıt spatialement.La dune peut alors survivre sur terrain plat. Le processus inverse existe egalement. Si une


1 m

1 m

Fig. 5.23 – a) Photographie de la proto-dune de la figure 5.22 prise le 5 mai 2003. b) Photographie de labarkhane qui en resulte le 7 mai 2003. On remarquera l’amas de sable qui se detache apres la naissancede la barkhane.

perturbation survient qui refait passer le sable des dunes en saltation, le transport peut ensuiterester sous cette forme sur terrain plat.

5.4 Collisions

Nous avons vu que la selection de taille des dunes ne peut provenir d’un etat d’equilibremais resulte de processus dynamiques. Nous avons pour le moment identifie trois instabilites

a b50 m50 m

Fig. 5.24 – Collision entre cinq dunes (a, 1979) de taille elementaire donnant en 2003 (b) une dune de≃ 100 m de large.


a bc

1

2

1

2

1

2

fed

15 m 15 m 15 m

15 m15 m15 m

Fig. 5.25 – Suivi d’une collision sur une periode de 2 ans. a) Contours du 27 juillet 2003. Les lignessur la dune 2 indiquent les axes selon lesquels les profils de la figure 5.26 ont ete fait. b) Contours du 23aout 2003. c) Contours du 16 janvier 2004. d) Contours du 18 avril 2004. e) marquage du 2 aout 2004, f)Contours du 4 juin 2005.

differentes :

• Les dunes semblent etre des objets individuellement instables vis-a-vis d’echanges desable avec l’exterieur. Pour qu’elle soient stables, il faudrait que la fuite de sable par lescornes augmente plus vite que la taille de la dune.

• Si les collisions entre deux dunes conduisent a une augmentation de volume de la dunela plus grosse, alors les champs de dunes sont instables vis-a-vis de la fusion des dunesen une macro-dune.

• Les dunes presentent generiquement une instabilite de surface convective, dont nousn’avons pas encore discuter du role a l’echelle du champ de dunes.

Les deux premieres conduisent a rendre les grosses dunes plus grosses et les petites dunes pluspetites. Pour expliquer l’equilibre apparent du champ de dunes, il faut donc soit invalider l’ideeselon laquelle les collisions conduisent a une fusion, soit identifier un nouveau mecanisme desur-fuite des dunes.

Aucune etude de terrain n’a serieusement entrepris l’etude des collisions entre dunes.Plusieurs simulations numeriques ont ete proposees (Schwammle & Herrmann 2003, Katsukiet al. 2004) qui tendent a montrer que les dunes se comportent comme des solitons qui peuventse traverser sans interagir. Ces travaux s’appuient sur les observations de terrain de Besler (2002).A partir de mesures granulometriques, Besler interprete les sous-structures des barkhanes quipresentent des faces d’avalanche comme de petites dunes escaladant le dos des grandes. Nousavons vu que les ondes se propagent effectivement sur le dos des dunes comme les dune sur le solferme. Cela ne signifie certainement pas que ces sous-structures aient ete auparavant de petitesdunes entrant en collision avec la grande.

Pendant nos missions de terrain, nous avons suivi differentes collisions par un marquageGPS regulier et des prises de vue par cerf-volant. Les collisions entre barkhanes de tailleelementaire sont relativement rapides : elles ont besoin de 18 a 24 mois pour etre completementterminees, ce qui permet l’emploi du marquage GPS. Les collisions entre grosses barkhanes ontbesoin de 5 a 10 ans pour s’achever, ce qui necessite le recours aux photographies aeriennes.


19/07/2003

20/07/2003

22/07/2003

24/07/2003

x (m)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

35302520151050

20/07/2003

21/07/2003

24/07/2003

W (m)

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

2520151050a

b

z (m)

z (m)

Fig. 5.26 – a) Evolution du profil transversal de la barkhane 2 de la figure 5.25 pendant juillet 2003.Cette evolution montre l’augmentation du volume de sable du cote de la collision. b) Le profil longitudinalde la meme barkhane pendant la meme periode confirme l’augmentation du volume de la dune cible parl’augmentation de la hauteur de la barkhane par plus de 50 cm.

Puisque les dunes naissent essentiellement a la taille λmax, il est raisonnable de penserque le processus de fusion par collision existe, tout au moins pour les petites dunes. Nous enavons releve quelques exemples. La figure 5.24 (a) est une photographie aerienne prise en 1979montrant cinq barkhanes qui ont fusionne depuis par collision pour donner naissance a uneseule barkhane de taille moyenne (fig. 5.24 (b). La figure 5.25 montre que la fusion commenced’abord par l’etablissement d’une jonction entre l’une des cornes de la barkhane impactante etla barkhane cible (fig. 5.25 (a). Cette derniere se met a grossir sur son flanc externe (fig. 5.26) eta se destabiliser sur son flanc interne. Au final, naıtront de cette collision deux petites barkhanesqui, une fois detachees, finiront par disparaıtre par perte de sable.

La figure 5.27 (b) montre la collision d’une dune de taille moyenne arrivant a l’arriered’une grosse dune. Lors du detourage GPS 5 ans apres la photographie, l’ensemble de la struc-


a

b

Fig. 5.27 – a) Photographie aerienne montrant quelques dunes de taille moyenne a la date de referencet = 0. A la date t = 60 mois (contour GPS), on constate une destabilisation en chaıne : le sillage de petitesdunes emis par une dune perturbe la suivante. b) Photographie aerienne montrant la collision co-axialede deux dunes de taille moyenne, prise a la date de reference t = 0. Le contour GPS a t = 60 mois montrel’emission d’un sillage de nouvelles barkhanes de taille elementaire.

Fig. 5.28 – Montage de photographies par cerf-volant prises a la date de reference t = 0 sur laquelle ontete reportes les contours GPS (jaune, t = 17 mois ; vert, t = 23 mois et violet, t = 33 mois) en montrantl’evolution ulterieure.


a b c

1

2

3

11

22

3 3

44

15 m 15 m 15 m

Fig. 5.29 – Emission d’une barkhane avant la collision de petites dunes.

ture ne depassait pas 2 m de haut et etait morcele en d’innombrables petites dunes. Cet exempledemontre qu’une collision peut s’interpreter comme une forme particuliere de perturbationdestabilisant la dune en aval. Dans ce cas precis, cette destabilisation conduit a une productionmassive de dunes de taille elementaire λmax. La figure 5.27 (a) montre un cas plus spectaculaireencore puisque c’est le sillage de petites dunes emis par une dune de taille moyenne qui sert deperturbation destabilisant la dune en aval, qui de ce fait emet un sillage de petites dunes, etainsi de suite.

Au final, la seule configuration qui pourrait passer pour une collision sans interaction est lecas de deux dunes de tailles elementaires se frolant (fig. 5.28). Dans ce cas seulement, la pertur-bation est minime et la taille des dunes est comparable a la longueur d’onde de destabilisation,ce qui les rend peu sensibles. Des que l’attaque se fait un peu plus frontale (figs. 5.29 et 5.30),

ab

1

2

1

2

3

3

15 m15 m

Fig. 5.30 – Division d’une barkhane par simple effet de voisinage.


la destabilisation des cornes se produit, meme dans le cas de petites dunes.L’exemple de la figure 5.29 est particulierement interessant. On observe que l’approche

des deux petites dunes assaillantes provoque un apport de sable qui vient grossir le flanc gauchede la barkhane assaillie. Cette derniere se destabilise et re-ejecte une partie de la masse gagneesous la forme d’une petite dune.

En conclusion, les collisions s’integrent totalement dans le cadre de l’instabilite de surfacedeveloppee au chapitre precedent. Elles conduisent de maniere systematique a la destabilisationde la dune attaquee, ce qui produit la plupart du temps l’emission d’un sillage de petites dunesa la taille elementaire. L’une des perspectives importante de notre travail consisterait a es-timer theoriquement la perturbation induite par des dunes attaquantes de differentes tailles,avec differents parametres d’impact et a les comparer aux realisations de terrain. Nos mesuresmontrent egalement les limites des modeles numeriques existants, qui prennent tres mal encompte l’interaction entre dune, du fait notamment de la description grossiere de la bulle derecirculation.

5.5 Synthese

Au cours de ce chapitre, nous avons presente une etude statistique complete d’un champ dedunes qui permet de quantifier l’existence de couloirs de dunes. Nous avons montre que les deuxparametres principaux, vitesse du vent et flux de sable entrant, sont homogenes sur la largeurdu champ de dune et ne peuvent etre les parametres controlant la selection de taille. D’autrepart, nous avons montre que le flux total transporte est toujours plus petit que le flux saturesur terrain plat. Cela traduit le fait qu’il existe deux etats metastables : l’un ou le transport sefait exclusivement par du flux libre et l’autre ou le transport se fait partiellement sous formede dunes. L’etude de la nucleation des barkhanes a revele des mecanismes semblables a ceuxprevalant dans l’instabilite d’un lit plat. En particulier, nous avons mis en evidence une selectionde la taille des proto-barkhanes legerement plus petite que la taille elementaire λmax. Enfin, nousavons montre que les collisions ne conduisent pas systematiquement a une fusion en masse, etencore moins a un comportement d’ondes solitaires stables n’interagissant pas. Au contraire,une dune attaquante constitue une perturbation pour la dune attaquee qui excite l’instabilitede surface.


Chapitre 6

Conclusion

Ce manuscrit de these de doctorat presente une contribution a l’etude de la morphodyna-mique des barkhanes. Nous y defendons une these au premier sens du terme : les dunes sont desobjets generiquement hors d’equilibre et la regulation en taille a l’echelle du champ de dunesest purement dynamique. Pour ce faire, nous avons developpe un certain nombre de techniquesvisant a reveler la dynamique cachee sous l’apparente stationnarite des dunes.

Le probleme dont nous sommes partis est ne dans les failles des modeles theoriques exis-tants. Ceux-ci predisent correctement la forme des dunes, leurs dimensions et leur vitesse maisne rendent pas compte de la structuration en champ de dunes. A l’inverse, il existe deux in-stabilites vis-a-vis d’echange de matiere (transfert de masse par flux libre et par collision) quiconduisent a un ‘murissement’ du champ de dunes par fusion. La question n’est pas de remettreen cause l’existence de ces mecanismes d’instabilite mais de mettre a jour un nouveau mecanismeregulant la taille des grandes dunes et reformant de petites dunes.

Nous avons montre que les dunes sont inconditionnellement instables vis-a-vis d’ondes desurface propagatives. La longueur d’onde de destabilisation λmax et la vitesse de propagation aamplitude nulle sont predites quantitativement par l’analyse de stabilite lineaire d’un lit de sablehomogene. La longueur d’onde la plus instable λmax est proportionnelle a la taille des grains et

b

a75 cm

75 cm

Fig. 6.1 – a) Photographie d’une petite barkhane prise le 12 octobre 2003. b) Photographie de la memedune prise le 2 novembre 2003 juste apres une tempete de vent de Terre. Le volume de la dune a fortementdiminue et la face d’avalanche de la barkhane a disparu.

139


150 m

Fig. 6.2 – Evolution sur le long terme (t = 350 mois entre la photographie et les contours GPS) d’unchamp de barkhanes. Bien que les plus grosses dunes (soulignees par des contours en pointilles) persistent,de nombreuses dunes sont apparues ou ont disparu, ce qui demontre que les destabilisations de dunesconstituent un processus essentiel de rearrangement a grande echelle.

au rapport de densite entre les grains et le fluide environnant, avec un pre-facteur relativementgrand lie a l’inverse du deplacement relatif du maximum de contrainte basale. λmax controleaussi la taille de formation des proto-barkhanes.

Nous avons montre que les barkhanes sont en perpetuel etat de changement de forme.De faibles changements de vent se traduisent par une oscillation de la crete de la dune faisanttemporairement apparaıtre un replat entre le sommet et la face d’avalanche. Des changementsde direction de vent plus importants destabilisent les flancs des dunes moyennes vis-a-vis d’os-cillations periodiques de surface. Lorsque les faces d’avalanches secondaires sont inclinees parrapport a la direction du vent, un nouvel effet – non-lineaire cette fois – se produit : le re-collement de couche limite a l’arriere des faces d’avalanche. Le transport de sable parallele ala face d’avalanche qui en resulte conduit a une forme de coquille de moule caracteristique.La comprehension fine de cet effet sera necessaire pour pouvoir comprendre dans le detail laformation des seifs.

Les collisions constituent l’autre source de perturbation importante. Nous avons montrequ’une dune assaillante constitue une perturbation qui provoque une destabilisation de la surfacede la dune assaillie de grande amplitude. La encore, nous avons montre les limites des modelesexistants qui predisent soit une fusion en masse, soit un comportement de soliton qui ne refletela realite que dans des cas tres particuliers (essentiellement pour des dunes de l’ordre de lalongueur d’onde de destabilisation).

Enfin, nous avons montre que la formation d’un champ de dunes dans une zone de fort fluxincident n’augmente pas la capacite de transport par rapport a la saltation sur la roche mere. Leflux total transporte, qui se repartit de maniere sensiblement egale entre le flux transporte parles dunes et le flux libre entre les dunes, est independant de la taille des dunes et vaut de l’ordrede la moitie du flux sature sur terrain plat. Il existe donc dans ces conditions deux solutionsd’equilibre metastables : le transport en saltation pure et le transport en champ de dunes. Lepassage de l’un a l’autre mode se fait par des perturbations de relief, a commencer par le replatqui suit la plage en amont du champ de dunes. Nous avons mis en evidence des portions duchamp de dunes ou un passage sans dune induit par un relief interrompt pendant une dizainede kilometre un couloir de petites dunes.

L’instabilite de surface des dunes apporte un debut de solution a la regulation en tailledes champs de dunes. En effet, lors de perturbations importantes comme une tempete hivernale(fig. 6.1) ou une collision, les ondes de surface ont une amplitude telle qu’elles deferlent dans lescornes, produisant une fuite de sable massive sous forme de petites dunes a la taille elementaire

Conclusion 141

λmax. La figure 6.2 montre que ces ejections de nouvelles dunes provoquent des rearrangementstres importants du champ. Elles constituent un surcroıt de perte de sable et regenerent des petitesdunes de taille elementaire. Nous avons donc bien identifie un nouveau mecanisme dynamiquesusceptible de reguler la taille des dunes au sein d’un champ. En particulier, on peut soupconnerque la reaction des dunes du cote ou les tempetes hivernales se produisent soit moins violentequ’au cœur du champ de dunes, ce qui expliquerait la taille plus grande des dunes sur le borddu champ.

Les perspectives ouvertes par notre travail sont multiples. Le prolongement le plus immediatconsistera a comprendre definitivement la formation des couloirs de dunes en integrant ladestabilisation de surface dans un modele d’interaction simple.


Chapitre 7

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7.1 Transport

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Annexe A

Chant des dunes

L’emission spontanee de son par des avalanches a fascine nombre d’explorateurs dontMarco Polo (1298) qui l’a comparee a un concert d’instruments de musique. Ce phenomene aete aborde dans la litterature scientifique tous les 10 ans depuis un siecle et aucune explicationsatisfaisante n’a jusqu’a ce jour ete proposee. Cela est sans doute lie a la rarete des duneschantantes. En effet, seules une quarantaine de dunes aux Etats-Unis, au Grand Sahara, enArabie Saoudite, en Chine ou au Chili seraient capables de ‘chanter’. Au Sahara Atlantique,nous avons eu la chance d’entendre le phenomene spontane puis de pouvoir tester que toutes lesbarkhanes de la region peuvent chanter, lorsque le temps le permet.

Durant nos missions de terrain, nous avons effectue de nombreuses mesures sur le chantdes dunes, en particulier sur les faces d’avalanche des megabarkhanes (fig. A.1). Ces mesures deterrain, depouillees par S.Douady et P.Hersen et completees par des experiences de laboratoiremenees par S.Protiere, ont fait l’objet d’un article soumis a Geophysical Review Letters. Nousen reproduisons le texte ci-dessous.

a b

Fig. A.1 – a) En poussant le sable de la face d’avalanche les jambes ecartees, on force des ava-lanches artificielles qui emettent un son grave, puissant et harmonieux. b) Dispositif experimentalpermettant de caracteriser le chant des dunes avec quatre microphones disposes a 3 m d’intervalleet place a cote du couloir d’avalanche ou descend l’experimentateur.

147


A.1 The song of the dunes as a self-synchronized instrument.

S. Douady⋆, A. Manning⋆, P. Hersen ⋆,§, H. Elbelrhiti†,‡, S. Protiere⋆, A. Daerr†, BKabbachi‡.

⋆ Matiere et Systemes Complexes, Unite Mixte de Recherche du Centre National de Re-cherche Scientifique & Universite Paris 7.

§ Bauer Laboratory, Center For Genomic Research, Harvard University, Cambridge, USA.† Physique & Mecanique des Milieux Heterogenes, Ecole Superieure de Physique-Chimie

Industrielle, Unite Mixte de Recherche. du Centre National de Recherche Scientifique, 4 rueVauquelin, 75005 Paris, France

‡ Geoenvironement des Milieux Arides, Geology Department, Universite Ibn Zohr, BP28/5, Cite Dakhla, 80000 Agadir, Morocco

Since Marco Polo (1298) it has been known that some sand dunes have the peculiar abilityof emitting a loud sound with a well defined frequency, sometimes for several minutes. The originof this sustained sound has remained mysterious, partly because of its rarity in nature. It hasbeen recognized that the sound is not due to the air flow around the dunes but to the motionof an avalanche and not to an acoustic excitation of the grains but to their relative motion. Bycomparing several singing dunes and two controlled experiments, one in the laboratory and onein the field, we here demonstrate that the frequency of the sound is the frequency of the relativemotion of the sand grains. The sound is produced because some moving grains synchronizetheir motions. The existence of a velocity threshold in both experiments further shows that thissynchronization comes from an acoustic resonance within the flowing layer : if the layer is largeenough it creates a resonance cavity in which grains self-synchronize. Sound files are providedas supplementary information.

A.1.1 Introduction

In musical instruments, sustained sound is obtained through the coupling of excitationand resonance. The excitation is a more or less periodic instability, like the rubbing stick-slipinstability of the bow of a violin or the Von-Karmann whistling instability of a flute. Thisexcitation is coupled with a resonance (the string for the violin, the air volume for the flute).The coupling results in the adaptation of the instability frequency to the one fixed by theresonance. Does the sound emitted by the sand dunes originate from a similar mechanism ? Ithas long been recognized that the song of dunes comes from the flowing motion of sand grainsin an avalanche (Darwin 1860 ; Curzon 1923 ; Lindsay et al. 1976 ; (Nori et al. ), 1997 ; (Cookeet al. 1993a. Direct observations, as we have done in Morroco, Chile, and China show thatthis sound does not originate from stick-slip motion of blocks of grain (as the bow of a stringinstrument), because it is produced only by dry grains flowing freely. Neither does it correspondto a resonance inside the dune (as in a wind instrument), because the same frequency has beenmeasured at different locations on a dune and, also, in the same field, in dunes of different sizes.

A.1.2 Grains motion

The first significant observation is that the frequency measured depends only on the size ofthe grains, each dune field having a characteristic grain size and frequency. Study of the motion ofthe grains in an avalanche shows how grains have to pass periodically over each other, dilatinglocally, and then hitting lower grains (Quartier et al. 2000). This particular motion explainsthat a grain flow with a constant velocity and an avalanche with a linear velocity profile indepth (Rajchenbach 2003). The corresponding velocity gradient is precisely the average shockfrequency, f . Experiments (Midi 2004) and theory (Quartier et al. 2000) , give f = 0.4

√

g/d ,

Chant des dunes 149

Fig. A.2 – Sketch of the laboratory experiment. The channel is of 1 m diameter and 25 cm width.b) Picture of the pushing blade in the channel, taken by the camera moving with the blade. Theblack spot on the top is the microphone (also rotating). The circles on the blade, separated by1 cm, allow direct measurement of the height of the pushed mass during the motion.

proportional to√

g/d as first proposed by Bagnold (1966). This diameter to frequency relationis in accordance with what has been measured (see A.1). Even if there is a slight deviation, asnoticed by Leach & Chartrand (1994), it is noticeable that the prediction is within the errorbars.In granular avalanches, this frequency is fixed by gravity. But pushing such “musical sand”with the hand a plate, or the legs can create different notes (Bolton & Julien, 1885 ; Lewis, 1936),

Fig. A.3 – Frequency emitted by the pushed (sheared) sand, measured in the laboratory ex-periment, as a function of the two laboratory control parameters, the height of mass of sandH, and the velocity of the pushing blade V. Four series of measurement are shown, two atconstant pushing velocity (red and orange curves), two at constant plugging depth (green andblue curves). The two insets show that the frequency depends on both parameters. In the upperleft, the frequency varies with the plugging depth, even at fixed velocity, and in the lower right,the two curves have opposite variations with the pushed height (the green and blue curves arenot vertical as the pushed height increases with velocity even at a constant plugging depth).The main plot shows that the four curves collapse on a single one when plotted as a function ofthe ratio of the velocity with the height, which is the mean shear rate to which the mass of sandis submitted. The frequency observed is ten times the mean shear, meaning that the height ofthe real shear zone, between the pushed mass and the fixed bed, is of the order of 10% of thepushed sand height.


Location Grains size Predicted Frequency Measured Frequency

Ghord Lahmar, (Tarfaya, Morocco) 160 µm 100 Hz 105 ± 10 Hz

Mar de dunas, (Copiapo, Chile) 210 µm 87 Hz 90 ± 10 Hz

Cerro Bramador, (Copiapo, Chile) 270 µm 77 Hz 75 ± 10 Hz

Sand Mountain, (USA)∗ 340 µm 68 Hz 63 ± 5 Hz

Tab. A.1 – Sound Frequency of Singing Dune. comparison of the frequency predicted from the grains size withthe measured frequency. ∗ from Lindsay et al. 1976), other from our own measurements (recordings SI1-SI3). ElCerro Bramador sound properties were first reported by Darwin (1860).

from 25 to 250Hz in Morocco (cf. supplementary recordings SF4 and SF51. To reproduce thiseffect in the laboratory, a blade is plugged at different depths into a prepared crest of singingsand (from Ghord Lahmar Tarfaya, Morocco), and pushed by a motor at different velocities(fig. A.2). This experiment allows an independent control of both the shearing velocity and themass of sheared sand, making it possible to obtain sustained sounds of constant and well definedfrequencies (supplementary recordings SF6 and SF7). This demonstrates that booming soundcan be reproduced in a controlled way in the laboratory, and consequently that the dune itselfis not needed to produce the sound. The results in figure A.3 show that it is neither the velocitynor the mass that controls the frequency but the shear applied to the grains. This demonstratesthe hypothesis of Poynting & Thomson (1922), and is conclusive proof that what is being heardis the relative motion of the grains.

A.1.3 Synchronization by resonance

Singing dunes present well sorted grains (Lindsay et al. , 1976 ; Van Rooyen & Verster1983). This means that they can all share the same average motion in the avalanche. Eachgrain, passing over lower grains and hitting them, creates a local sound wave with the associateddilatation, compression, and shocks. A priori all these events are desynchronized in the flowinglayer. All the pressure fluctuations then mainly cancel out, leading to a light high frequencyrustling, as is normally heard in sand avalanches (SI8). So, how can a low frequency sound beproduced ? The only possibility is that a given number of grains start to move coherently. Thenthe whole flowing layer will move up and down and its surface will directly emit a pressure wavein the air, like a loud speaker (or the ‘belly’ of a violin). The surface motion amplitude is theamplitude of the motion of one grain (between and ), times the number of coherent grains layers.Surprisingly, it is easy, with only a few synchronized layers of grains to obtain the high powermeasured, around 110 dB(Hersen 2004). The coherence of the shocks also explains the seismicwave emitted in the dune, that can be felt with the feet much further away than the acousticalsound transmitted through the air(Lindsay et al. 1976). The essential question is : why wouldthe grains synchronize ? It has been proposed recently that the grains excite a coherent wavewithin the dune, that in turn vibrates the grains coherently (Andreotti 2004). But why wouldthe random collision of the grains create a coherent wave in the first place ? We propose herethat the synchronization is due to a resonance, within the flowing layer, as dunes are not neededfor sound production. A moving sand grain emits a sound wave during its up and down motion.If the wave goes to the surface, reflects, and comes back to the grain after exactly one motionperiod, this sound wave can slightly push the grain, helping the grain to regularize its motion.It can also induce the grains which are close to move coherently, with the same phase.

1see supplemetary recordings SF1-SF12 to listen to the sound of dunes.

Chant des dunes 151

Fig. A.4 – a) Photo of the experiment on the dune. A channel, 45 cm wide, 3 m long, wasconstructed with lateral wood plates, with a gate in the middle, on the slip face of a singing dune.Using the spontaneous flow of the grains at their critical angle, two slopes of different heightsare prepared. Then the gate is removed (red arrow), and a controlled avalanche is produced(brown arrow). The sound level is recorded simultaneously with the surface flow. b) Amplitudeof the sound (pressure level P) as a function of the velocity at the surface U in the middle of thechannel. Three experiments are shown, starting with different initial height difference a) 5 cm,b) 6.5 cm, c) 10 cm. As the flow starts (colored arrows), the sound takes some time to develop(transient arrow). With the avalanche, the height difference decreases, the velocity at the surfacetoo, eventually stopping (dashed arrow). The durations of the experiments are roughly 15s. Inthe three experiments the sound stops for a surface velocity below 0.23 m/s. The bump seenbelow (not seen near the threshold, curve a), can be ascribed to a secondary sound emission inthe lower part of the channel.

A.1.4 Resonance condition

Considering the boundary conditions (a fixed sand bed below, and a free moving surfaceabove), this resonance condition corresponds to a depth of λ/4, where λ is the wave length (likethe resonance of a rod with one end handled and the other one free). For a smaller depth, noresonance can occur. But for any larger depth, the resonance can occur because the synchronizedlayers will appear at a quarter of a wavelength below the free surface. This reasoning is consistentwith our field observation that avalanches which are too thin do not produce any sound, whilewhen they become thick enough, even though they may be small in transverse directions, theysing. This height condition, H ≥ λ/4, can be rewritten as a grain velocity condition. Usingλ = c/f , with c the sound velocity in the sheared layer, it gives fH ≥ c/4. In the flowing layer,the shock frequency f is also the shear rate, so that the velocity at the surface is U = fH. Thusthe condition also reads U ≥ c/4. Controlled experiments have been conducted in the field ofTarfaya, Morocco, by constructing a channel in which a controlled avalanche is produced (seefigure.A.4). The results show that there is a threshold surface velocity below which no soundis emitted (supplemental files SF10-SF12). This threshold gives the sound speed velocity in theflowing layer, c = 4U = 0.92m/s. The laboratory experiment corroborates the field experiment.Figure A.5 shows the threshold curve in the velocity/depth coordinates. The curve indicatesthat there is a threshold velocity (dashed line), below which no sound can be made. Taking into


Fig. A.5 – Threshold curve of sound emission in the laboratory experiment depending on thevelocity of the blade V and the height of pushed sand H. The right threshold occurs when thesand is pushed too quickly, so that it is not sheared but projected away (fluidized). The lowerthreshold (for H 3 cm) could come from the fact that the number of pushed grains becomestoo small to obtain a proper shear in this particular shearing geometry (fig. A.2 b). The leftthreshold shows that there is no sound emission below a pushing velocity of 0.47 m/s. Inset,variation of the sound amplitude P with increasing velocity, from point a to b.

account that the sheared layer is now between the pushed pile and the static bottom, it thengives a resonance condition H ≥ λ/2 (like a string held at both ends), which translates for thepushing velocity into V ≥ c/2. This results gives a sound velocity c = 0.94m/s m/s, whichcompares well with the one measured in the field for the same sand .

A.1.5 Discussion

Surprisingly, 0.9m/s is also the threshold velocity for producing sounds obtained by [Ba-gnold, (1954)] when plunging a rod into singing beach sand. Could the sound emission in thiscase come from the creation of a supersonic shock wave ?. A resonance at a quarter of the acous-tic wave length is known in vertically vibrated layer of grains [Roy et al., 1990]. The surprisingresult, here, is the very low sound velocity : the sound velocity within quartz grains is around3750m/s and 330m/s in air. Considering a mixture of sand and air, a smaller sound velocityof around 10 − 33m/s can be obtained by an effective medium computation (Roy et al. 1990,but it is still much larger than the one observed. Such a low sound velocity, which has alsobeen proposed for singing sand recently (Patitsas 2003), could come from two factors. First thissound velocity is observed in the sheared layer. As the sound passes in part through the contactsbetween the grains, the reduced number of contacts in flowing sand make it more difficult for thepressure wave to propagate. The second reason can be related to the fact that not all sand aremusical, and not all well sorted dunes sing. The musical property comes probably from a specialsurface state of the singing sand grains [Qu et al., 1998]. The ability to sing has previously beenascribed to the presence of a silica gel layer on the grain surface (Goldsack et al. 1997), knownas desert glaze (Cooke et al. 1993b, Pye & Tsoar 1990. The importance of such a layer is shownby the fact that after intensive use the grains loose their sound-emitting properties. The surfacestate of the grains seems to reduce the sound velocity from its normal value to a much lower one.This could explain why the threshold (in height or velocity) for sound emission is not constant

Chant des dunes 153

across geographical locations. In China, several people pushing simultaneously as much sandas possible are needed to produce sound. It could also explain why normally avalanches neverproduce any sound, as it is difficult to produce a flowing layer that would be thick enough. Thissurprisingly low sound velocity for musical sand and its sensitivity on other parameters, suchas humidity and temperature (Curzon1923), or dust (Haff 1986) should now warrant particularattention.

A.1.6 Conclusion

This age-old natural mystery of singing avalanches reveals an original way of producingsound. The sound comes from the synchronized motion of grains, and it is shown here that theysynchronize because of a resonance inside the sheared layer. In this way singing avalanches maybe understood as a new type of instrument, as the frequency is not controlled by the resonance,but imposed by the motion of the grains. If a resonance is still needed, it is not to select thefrequency, but to produce the necessary self-synchronization of the grains.

acknowledgments.

Thanks are due to Herve Belot, who participated in the first experiments on the dunes,Marc Elsen, who was the first to train on the singing sand in the lab, Margherita Peliti, whotrained on a first version of the laboratory experiment, Laurent Quartier for constructing thelaboratory experiments, Bruno Andreotti for enforcing the idea that the sound could be emittedin the air as a loudspeaker, and Andres Illane-Campo, for guiding us in Copiapo to the singingdunes. This work was possible only thanks to an Action Concertee Incitative Jeune Chercheur.

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