BUREAU D'APPLICATION DES METHODES

STATISTIQUES ET INFORMATIQUES

DT 16/2009

Théorie des ensembles flous : application à la

mesure de la pauvreté au Congo.

Samuel Ambapour

BBBAAAMMMSSSIII

BAMSI B.P. 13734 Brazzaville

2

DT 16/2009

Théorie des ensembles flous : application à la

mesure de la pauvreté au Congo.

Samuel Ambapour*

Résumé : Dans les approches traditionnelles de la pauvreté, l’identification des

pauvres est rendue possible par le choix d’un seuil de pauvreté. Or ce choix est

discutable parce qu’il est plus ou moins subjectif et dépend d’hypothèses de type

normatif. De plus, une restitution dichotomique de la population entre pauvres et non

pauvres simplifie par trop la réalité. Pour surmonter cette difficulté, une nouvelle

piste s’offre désormais aux chercheurs, celle de recourir à la théorie des ensembles

flous (fuzzy sets) très adaptée à l’étude des situations dont les connaissances sont

imparfaites (incertaines et imprécises), admettant ainsi qu’il n’existe pas de critère

précis pour distinguer quels éléments appartiennent ou non à un ensemble. Dans ce

texte, il est fait application de cette théorie pour mesurer la pauvreté au Congo.

Mots clés : Sous-ensembles flous, Fonctions d’appartenance, Mesures floues de la

pauvreté, Décomposition de la pauvreté. * Centre National de la Statistique et des Etudes Economiques. e-mail : ambapour_samuel@yahoo.fr

Nous tenons à remercier, Monsieur E.L. Djialeu, Elève Ingénieur Statisticien Economiste à l’ISSEA

(Yaoundé) pour avoir programmé les résultats interprétés dans ce texte. Nous remercions également,

Messieurs : G.Batsanga (CNSEE), Etaki Wa Dzon (CNSEE) et C.Massamba (CNSEE) pour leur

lecture attentive et leurs suggestions.

Ces documents de travail ne reflètent pas la position du BAMSI, mais n’engagent que leurs auteurs.

These working papers don’t reflect the position of BAMSI but only their authors view

3

Introduction

La pauvreté est habituellement définie par référence à un seuil. Il s’agit de

partitionner la population en deux classes : pauvres et non pauvres. Or, il n’ y a pas

de consensus dans la fixation de ce seuil et, la diversité existe1. Par ailleurs, cette

restitution dichotomique de la population entre pauvres et non pauvres paraît

abrupte et simplifie par trop la réalité (Cerioli & Zani ; Miceli, 1997) ; elle est

discutable car elle se présente comme une formulation du type « tout » ou « rien »

Vero (2006). De plus, elle conduit à une perte d’information ( Betti & Cheli, 2001).

Il est donc question ici, d’assouplir cette division abrupte de la population, s’il l’on

est d’avis que le passage d’un état de privation à une situation de non privation se

fait de manière graduelle. Pour ce faire, on peut recourir à la théorie des ensembles

flous introduite en 1965 par L.A. Zadeh, Professeur à l’université de Californie à

Berkeley, à partir de l’idée d’appartenance partielle à une classe, de catégorie aux

limites mal définies, de gradualité dans le passage d’une situation à une autre, dans

une généralisation de la théorie classique des ensembles, admettant des situations

intermédiaires entre le tout et le rien (Bouchon-Meunier, 1993).

La théorie des ensembles flous apparaît comme un outil bien adapté pour modéliser

un concept vague telle que la pauvreté2 étant donné le manque d’attributs précis

permettant de ranger les individus ou les ménages dans la classe des pauvres ou des

non pauvres. En fait, il s’agit d’établir une fonction d’appartenance des individus à la

pauvreté qui, à ses extrémités, inclut l’individu au groupe étudié ou l’en exclut de

façon certaine, mais qui, entre les valeurs extrêmes, varie à proportion de la

proximité au groupe (Vero & Werquin, 1997).

L’avantage de cette théorie, c’est qu’elle offre la possibilité de combiner la situation

financière et les conditions générales d’existence dans lesquelles les individus se

trouvent.

1 Hagenaaers a répertorié différents seuils de pauvreté que l’on peut classer en plusieurs catégories, selon que l’on

considère la pauvreté comme un concept absolu, relatif ou encore relevant de la subjectivité des individus (Voir

Miceli, 1997) 2 Effectivement, l’une des fonctions de la théorie des sous-ensembles flous est de modéliser les termes linguistiques

vagues ou imprécis, en particulier les qualificatifs exprimant l’appartenance graduelle à un ensemble comme par

l’adjectif « pauvre ». Ce terme étant alors défini sur un ensemble de référence : l’ensemble des ménages pour

« pauvres » (Voir Aladenise & Bouchon-Menier, 1997).

4

Il n’ y a pas très longtemps, Cerioli et Zani (1990) ont proposé une formulation de la

mesure multidimensionnelle floue de la pauvreté. Depuis, les travaux tant théoriques

(Cheli & Lemmi, 1994 ; Dagum, 2000 ; Chiappero Martinetti, 1994) que pratiques

(Betti & alii, 2005 ; Cheli et alii, 1994 ; Dagum & Costa, 2004) abondent dans ce

domaine. En Afrique, on peut citer les études de Appiah-Kubi et alii (2007) pour le

Ghana, de Mussard et Pi Alperin (2005) pour le Sénégal, de Diallo (2006) en ce qui

concerne la Guinée et enfin celle de Oyekale et Okunmadewa (2008) pour le Nigéria.

Cela étant, le mouvement de ce texte est le suivant : dans une première partie, après

avoir présenté de façon sommaire la théorie des sous-ensembles flous, on passe dans

une deuxième partie, à l’exposé des formulations qui ont été proposées dans la

littérature, pour adapter cette théorie à la mesure de la pauvreté. Enfin, dans la

troisième partie, on donne les résultats d’une analyse multidimensionnelle de la

pauvreté au Congo, effectuée en recourant à une mesure floue de la pauvreté.

1. Théorie des ensembles flous

La théorie des ensembles flous est en fait selon Zadeh, un pas vers un rapprochement

entre la précision des mathématiques classiques et la subtile imprécision du monde

réel : un rapprochement né de l’incessante quête humaine pour une meilleure

compréhension des cheminements mentaux de la connaissance (Kaufman, 1973). Elle

a donc pour objet d’étude, la représentation des connaissances imprécises et le

raisonnement approché. De ce fait (Gacône, 1997), on peut la situer à côté des

heuristiques de résolutions de problèmes, des systèmes experts, de l’apprentissage, de

l’intelligence artificielle distribuée et même du traitement de la langue naturelle.

Aujourd’hui, les domaines d’application dans lesquels il existe des utilisations de la

logique floue sont très variés : médecine, biologie, écologie, économie, recherche

scientifique… En économie par exemple, dans le cadre de la théorie des choix,

certains auteurs ont postulé le caractère flou des préférences des agents. Dans le

champ de la théorie des inégalités, des chercheurs comme Basu (1987), ont cherché à

rendre flou le préordre de Lorenz et certains indices d’inégalité. Ce cadre original a

été également privilégié pour étudier la pauvreté3 (Cérioli & Zani, 1990) et a permis

de rendre opératoires les concepts de capabilités et de fonctionnements de Sen

(Baliamoune-Lutz, 2004 ; Ben Hassine, 2006).

3 Il existe aujourd’hui une littérature assez consistance sur le sujet (voir Fusco, 2005)

5

Dans ce qui va suivre, nous allons présenter brièvement les concepts de base et les

principes de l’arithmétique de la théorie des ensembles flous. Pour de plus amples

développements de cette théorie, on peut consulter les ouvrages de base cités en

référence (Dubois & Prade, 1985 ; Bouchon-menier, 1993 ; Bouchon-Meunier &

Marsala, 2003 ; Gacône, 1997 et Kaufman, 1972).

1.1. Définition d’un sous-ensemble flou

Dans la théorie des ensembles classiques, il n’y a que deux situations acceptables pour

un élément, appartenir ou ne pas appartenir à un sous-ensemble. Le mérite de Zadeh

a été de tenter de sortir de cette logique booléenne en introduisant la notion

d’appartenance pondérée : permettre des graduations dans l’appartenance d’un

élément à un sous-ensemble, c'est-à-dire d’autoriser un élément à appartenir plus

moins fortement à ce sous-ensemble.

Soit X un ensemble de référence et soit xun élément quelconque de X . Un sous-

ensemble flou A de X est défini comme l’ensemble des couples :

{ }( , ( )),AA x x x Xµ= ∈ (1)

avec

[ ]: 0,1A Xµ → (2)

Ainsi, un sous-ensemble flou A de X est caractérisé par une fonction d’appartenance

( )A xµ qui associe, à chaque point x de X un réel dans l’intervalle[ ]0,1 ; ( )A xµ

représente le degré d’appartenance de x à A . On observe les trois cas possibles

suivants :

( ) 0

0 ( ) 1

( ) 1

A

A

A

x

x

x

µµ

µ

= < < =

(3)

Où, ( ) 0A xµ = si xn’appartient pas A ; 0 ( ) 1A xµ< < si x appartient partiellement à

A ; et ( ) 1A xµ = si x appartient entièrement à A . La fonction d’appartenance ( )A xµ

inclut ou exclut donc à ses extrémités, tout élément x au sous-ensemble A , mais

entre les valeurs extrêmes le degré d’appartenance varie à proportion de la proximité

à l’ensemble (Vero, 2002).

On peut faire remarquer que si A est un sous-ensemble classique, la fonction

d’appartenance qui lui est associée ne peut prendre que les valeurs extrêmes 0 et 1.

On a dans ce cas :

6

0,

( )

1,A

si x A

x

si x A

µ∉

= ∈

(4)

1.2. Caractéristiques d’un sous-ensemble flou

Un sous-ensemble flou est complètement défini par la donnée de sa fonction

d’appartenance. A partir d’une telle fonction, un certain nombre de caractéristiques

du sous-ensemble flou peuvent être étudiées.

1.2.1. Support et Hauteur

Ces deux caractéristiques, pour l’essentiel montrent, dans quelle mesure un sous-

ensemble flou A de X diffère d’un sous-ensemble classique de X . La première est le

support et la deuxième la hauteur.

Le support d’un sous-ensemble flou de A de X , noté ( )Supp A , est l’ensemble de tous

les éléments qui lui appartiennent au moins un petit peu. Formellement:

{ }( ) ( ) 0ASupp A x X xµ= ∈ > (5)

La hauteur du sous-ensemble flou A de X , notée ( )h A , est le plus fort degré avec

lequel un élément de X appartient à A . Formellement:

( ) sup ( )x X

h A xµ∈

= (6)

1.2.2. Noyau

Un sous-ensemble flou est normalisé si sa hauteur ( ) 1h A = . Le noyau d’un sous-

ensemble flou A de X , noté ( )Noy A , est l’ensemble de tous les éléments qui lui

appartiennent totalement (avec un degré 1). Formellement :

{ }( ) ( ) 1ANoy A x X xµ= ∈ = (7)

1.2.3. Cardinalité

La cardinalité d’un sous-ensemble flou A de X , noté A , est le nombre d’éléments

appartenant à A pondéré par leur degré d’appartenance. Formellement, pour A fini :

( )Ax X

A xµ∈

= ∑ (8)

Si A est sous-ensemble ordinaire de X , sa cardinalité est le nombre d’éléments qui le

composent, selon la définition classique.

7

1.2.4. α -coupe

Le sous-ensemble ordinaire Aα de X associé à A pour le seuil α est l’ensemble des

éléments qui appartiennent à A avec un degré au moins égal à .α On dit que α est

l’α − coupe de .A Formellement :

{ }( )AA x X xα µ α= ∈ ≥ (9)

et Aα est un sous-ensemble ordinaire de fonction caractéristique :

1 ( )( )

0 sinAsi x

A xonα

µ αχ

≥=

Si A est un sous-ensemble flou d’un univers X , de fonction d’appartenance Aµ , on

a : ] ]0,1

, ( ) sup . ( )Ax X x A xαα

µ α χ∈

∀ ∈ = (théorème de décomposition).

1.2. Opérations sur les sous-ensembles flous

Etant donné que le concept de sous-ensemble flou peut-être vu comme une

généralisation du concept d’ensemble classique, on est conduit à introduire des

opérations sur les sous-ensembles flous qui sont équivalentes aux opérations classiques

de la théorie des ensembles lorsqu’on a affaire à des fonctions d’appartenance à

valeurs 0 ou 1. On présente ici, les opérations les plus couramment utilisées4.

1.2.1. Egalité

Deux sous-ensembles flous A et B de X sont égaux, si leurs fonctions

d’appartenance prennent la même valeur pour tous les élément x de X .

Formellement A B= si et seulement si :

, ( ) ( )A Bx X x xµ µ∀ ∈ = (10)

1.2.2. Complément

Le complémentaire d’un sous-ensemble flou A de X noté Aest défini par :

, ( ) 1 ( )AAx X x xµ µ∀ ∈ = − (11)

Contrairement aux sous-ensembles classiques, la propriété de non contradiction n’est

pas satisfaite ici ( A A∩ ≠ ∅ ). De même que la propriété du tiers exclus ( A A X∪ ≠ ).

Par contre, les autres propriétés sont conservées, notamment : A= A ; X∅ = ;

X = ∅ ; A A X+ = si X est fini.

4 On pourra consulter Dubois et Prade (1985) pour d’autres opérations et propriétés.

8

1.2.3. Inclusion

Soit A et B deux sous-ensembles flous de X . Si pour n’importe quel élément x de

X , x appartient toujours moins à A qu’à ,B alors on dit que A est inclus dans

B ( A B⊆ ). Formellement, A B⊆ si et seulement si :

, ( ) ( )A Bx X x xµ µ∀ ∈ ≤ (12)

1.2.4. Union

L’union de deux sous-ensembles flous A et B de X est le sous-ensemble flou

constitué des éléments de X affectés du plus grand des degrés avec lesquels ils

appartiennent à A et B . Formellement, A B∪ est donné par :

( )( ) max ( ), ( )A B A Bx x xµ µ µ∪ = (13)

1.2.5. Intersection

L’intersection de deux sous-ensembles flous A et B de X est le sous-ensemble flou

constitué des éléments de X affectés du plus petit des degrés avec lesquels ils

appartiennent à A et B . Formellement, A B∩ est donné par :

( )( ) min ( ), ( )A B A Bx x xµ µ µ∩ = (14)

1.2.6. Propriétés de l’union et de l’intersection

Comme pour les ensembles classiques, toutes les propriétés de treillis distributif et les

relations de Morgan restent valables, ainsi que l’idempotence.

(a) Commutativité : A B B A∪ = ∪ ; A B B A∩ = ∩

(b) Associativité: ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ; ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

(c) Idempotence : A A A∪ = ; A A A∩ =

(d)Distributivité: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ; ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

(e) Les relations de Morgan : A B∪ = A ∩ B ; A B∩ = A ∪ B

(f) Les lois d’absorption : ( ) ( )A A B A A B A∪ ∩ = ∩ ∪ =

(g) A∩ ∅ = ∅ ; A X X∪ =

(h) Identité : A A∪ ∅ = ; A X A∩ =

(i) Cardinalité : A B A B A B+ = ∩ + ∪

(j) Formule d’équivalence : ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

(k) Formule de la différence symétrique : ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

9

2. Mesures floues de la pauvreté

On a admis qu’une vision dichotomique de la pauvreté (pauvres et non pauvres)

représente une simplification trop excessive de la réalité. Pour éviter cette

simplification, le nouveau concept ensembliste d’appartenance graduelle d’un élément

à un ensemble apparaît comme un cadre idéal pour modéliser la pauvreté. On peut

donc définir un sous-ensemble flou des pauvres en se référant aux expressions (1) et

(3). Considérons ,N l’ensemble de la population composée de n individus ou

ménages ( )1,2, ,i n= K . Le sous-ensemble flou Ρ des pauvres de N est défini comme

l’ensemble des couples :

{ }( , ( )),Pi i i NµΡ = ∈ (15)

Où, ( )P iµ représente le degré d’appartenance de chaque individu i au sous-ensemble

flou des pauvres de la population. On peut donc réécrire l’expression (3) comme

suit5 :

( ) 0

0 ( ) 1

( ) 1

P

P

P

i

i

i

µµ

µ

= < < =

(16)

Où, ( ) 0P iµ = si l’individu i n’est pas pauvre de façon sûre ; 0 ( ) 1P iµ< < si l’individu

i est partiellement pauvre ; et ( ) 1P iµ = si l’individu i est totalement pauvre.

Nous allons d’abord examiner les différentes méthodes de construction des fonctions

d’appartenance qui ont été proposées dans la littérature. Nous présenterons

successivement la formulation de Cérioli et Zani (1990) qualifiée de totalement floue

et l’approche de Cheli et Lemmi (1994) dite totalement floue et relative. Ensuite, on

s’interrogera sur la manière d’agréger les différents degrés d’appartenance afin de

préciser le degré d’appartenance de chaque individu au sous-ensemble flou global des

pauvres. On montrera enfin que, l’agrégation conduit à construire un indice général

de pauvreté. Nous suivrons pour ce faire, le plan adopté par Deutsch et Silber (2005),

en s’inspirant des travaux de Miceli (1997) et de Vero (2006).

5 Dans cette logique trivariée, le deuxième cas est le plus intéressant

10

2.1. Fonctions d’appartenance

L’étude de la pauvreté se fait à partir des indicateurs de pauvreté jugés pertinents,

traduisant chacun, un aspect particulier de la pauvreté. A partir de ces indicateurs, il

s’agit d’évaluer le degré d’appartenance de chaque individu ou ménage au sous-

ensemble flou des ménages pauvres. Le problème est alors de choisir parmi les

fonctions d’appartenance possibles6, celle la plus indiquée pour chacun de ces

indicateurs de privation. Nous commencerons par examiner, les mesures totalement

floues (approche de Cerioli & Zani) en distinguant trois catégories de variables : les

variables dichotomiques, les variables polytomiques et les variables continues. On

spécifiera une fonction d’appartenance pour chacune des trois catégories. On

présentera ensuite l’approche totalement relative (Cheli & Lemmi), qui peut

regrouper dans une formulation unique les fonctions d’appartenance pour les

différents types d’indicateurs de privation.

2.1.1. Mesures totalement floues

Cérioli et Zani (1990) sont les premiers auteurs, à avoir utilisé le concept de sous-

ensemble flou pour mesurer la pauvreté. Leur approche est qualifiée de Totally Fuzzy

Approach (TFA) . Ici, comme ailleurs, il s’agit d’évaluer le degré d’appartenance de

chaque individu ou ménage au sous-ensemble des pauvres à partir d’un ensemble

d’indicateurs de privation pertinents. Le choix de la fonction d’appartenance se base

sur ces indicateurs de privation pouvant être classés dans trois grandes catégories de

variables : les variables qualitatives dichotomiques, les variables qualitatives

polytomiques et les variables quantitatives (continues).

(a) Les variables dichotomiques

Un exemple de ce type de variable est la possession ou non d’un bien durable

(téléviseur par exemple). Considérons une population de n individus ou ménages

( )1,2, ,i n= K et soient k indicateurs de bien-être dichotomiques ( )1, , dl k= L . Notons

par lD le sous-ensemble des individus ou ménages privés du l ème− bien. Soit de plus

1 , , , ,l l il nld d d d= L L la valeur dichotomique traduisant le statut de possession par

rapport à ce bien : ild prend une valeur nulle quand l’individu i ne possède pas le

bien l et une valeur égale à 1 dans le cas contraire. Dans ce cas, la fonction

6 Pour la construction des fonctions d’appartenance en général, on peut consulter Aladenise et Bouchon -Meunier

(1997)

11

d’appartenance au sous-ensemble flou des pauvres pour chaque individu i de la

population s’écrit :

0, 1

1, 0l

il

D

il

si d

si d

µ=

= =

(17)

On peut faire remarquer immédiatement que lD n’est pas un sous-ensemble flou et

on peut vérifier que (17)et (4)sont identiques. En d’autres, dans le cas des variables

binaires, la fonction d’appartenance au sous-ensemble flou des pauvres se traduit

comme une appartenance traditionnelle à un ensemble classique.

(b) Les variables polytomiques

Ce sont des variables qualitatives a plus de deux modalités, chacune d’entre elles

correspondant à un certain degré de privation. Pour définir la fonction

d’appartenance, on peut ordonner les modalités selon un ordre croissant par rapport

au risque de pauvreté. Considérons le sous-ensemble lO des individus ou des ménages

se trouvant dans une situation de privation par rapport à l’indicateur l , où

01, ,l k= L . Notons lo , avec 1 , , ,l l il nlo o o o= L L , la variable polytomique permettant

d’évaluer le degré de pauvreté pour chaque individu ou ménage. Appelons

( )( ) (1) , , lsml lθ θ θ= L , avec 1, , lm s= L , les ls modalités possibles de la variable lo ,

ordonnées de telle manière que des valeurs croissantes de m dénotent d’un

renforcement de la privation. On peut alors associer des scores ( )mlψ avec 1, , lm s= L

aux différentes modalités ordonnées ( )mlθ . On peut alors établir la relation suivante

entre ces différents scores :

( )(1) ( ) lsml l lψ ψ ψ< < <L L (18)

Pour faciliter les choses, les scores prennent la valeur des ls premiers entiers. Ce qui

se traduit par :

( )ml mψ = (19)

avec 1, , lm s= L . Procéder de cette façon, suppose que les degrés de privation associés

aux différentes modalités sont espacés de manière égale. Vu la nature ordinale de la

variable lo , on peut choisir une valeur minl lo o= en dessous de laquelle on convient

qu’il n’y a plus de pauvreté, et à l’autre extrême une valeur de maxl lo o= repérant

clairement une situation de pauvreté. Si l’on fait correspondre aux valeurs minlo et

maxlo les scores respectifs minlψ et maxlψ , on peut alors retenir la fonction

d’appartenance suivante :

12

min

minmin max

max min

max

0

1

l

il l

il lO l il l

l l

il l

si

si

si

ψ ψψ ψµ ψ ψ ψ

ψ ψψ ψ

≤ −= < < − ≥

(20)

L’expression (20) montre que le degré d’appartenance au sous-ensemble flou des

pauvres croît à proportion de la proximité de la pauvreté.

(c)Les variables continues

Parmi les variables de ce type, on peut citer le revenu ou les dépenses. Ce sont donc

des variables quantitatives. Compte tenu des difficultés évoquées pour établir un seuil

de pauvreté, Cerioli et Zani supposent une incertitude sur ce seuil. Ils proposent alors

de retenir deux seuils : le premier noté minx , correspond à la valeur en dessous de

laquelle un individu ou un ménage peut-être classé sans ambiguïté comme pauvre, et

le deuxième, noté maxx , correspond à la valeur de la variable au-dessus de laquelle un

individu ou un ménage est considéré sans équivoque comme non pauvre. Entre ces

deux valeurs, la fonction d’appartenance prend les valeurs dans l’intervalle [ ]0,1 et

est une fonction décroissante dans le cas du revenu ou des dépenses par exemple. En

effet, l’on suppose qu’une augmentation de revenu se traduit par une amélioration

dans la situation de bien-être. Considérons le sous-ensemble lχ des individus ou des

ménages dénotant d’une situation défavorable suivant la l ème− variable, avec

1, , xl k= L . Soit par ailleurs, 1 , , ,l l il nlx x x x= L L , la variable continue permettant

d’évaluer la privation. On peut donner une forme générale de la fonction

d’appartenance comme suit :

( ) ( )l ili f xχµ = (21)

Si l’on suppose que le risque de pauvreté varie de façon linéaire entre minlx et maxlx ,

on peut formuler la fonction d’appartenance comme suit7 :

min

maxmin max

max min

max

1 0

( )

0

l

il l

l ill il l

l l

il l

si x x

x xi si x x x

x x

si x x

χµ

≤ < −= ≤ ≤ − >

(22)

7 Ici , la difficulté réside dans la manière de déterminer de façon pertinente les valeurs de minlx et maxlx

13

2.1.2. Approche totalement floue et relative

Cheli et Lemmi (1995) ont formulé deux objections8 à l’endroit de l’approche de

Cerioli et Zani. La première porte sur le caractère arbitraire dans l’établissement des

deux seuils de pauvreté minlx et maxlx . La deuxième objection concerne l’utilisation

d’une fonction d’appartenance linéaire qui repose sur l’hypothèse discutable d’une

équidistance entre les diverses modalités. Ces deux auteurs ont proposé une méthode

qui permet de dépasser les deux objections et qu’ils ont qualifiée de Totally Fuzzy

Relative (TFR). Tolalement floue parce que, elle évite la spécification des seuils

critiques inférieur et supérieur. Tolament relative, car le degré de privation de chaque

individu ou ménage pour un indicateur donné va dépendre de sa place dans la

distribution de l’indicateur.

Considérons l’ensemble jΞ des individus ou des ménages subissant une privation par

rapport à l’indicateur j . Soit par ailleurs, , ,j ij njξ ξ ξ= L , la variable traduisant l’état

de privation de n individus ou ménages en regard de l’indicateur j , avec 1, ,j k= K

et d o xk k k k= + + . Cheli et Lemmi définissent deux fonctions d’appartenance9, selon

que le risque de pauvreté ou la privation augmente avec un accroissement ou au

contraire une diminution de la valeur prise par la variable jξ . Dans le premier cas,

on a la fonction d’appartenance suivante :

( ) ( )j j iji Fµ ξΞ = (23)

Dans le deuxième cas, la fonction d’appartenance s’écrit comme le complément de la

première :

( ) 1 ( )j j iji Fµ ξΞ = − (24)

Où, jF représente la fonction de répartition de la variable jξ . Cependant, les deux

auteurs ont remarqué que les deux fonctions d’appartenance ci-dessus sont

inappropriées lorsque l’on utilise les indicateurs de privation à valeurs discrètes. Ils

ont pour cela proposé une version normalisée de la fonction d’appartenance (Miceli,

1997).

Soient ( )mjξ , 1, , jm s= L les différentes modalités de la variable jξ , classées par ordre

croissant par rapport au risque de pauvreté. De la sorte, (1)jξ constitue le risque

8 Pour des plus amples détails, voir Cheli et Lemmi (1995), Cheli et alii (1994) 9 Les deux fonctions (23) et (24) s’inscrivent parfaitement dans une conception relative de la pauvreté, car elles

sont définies en tenant compte de la position relative de chaque individu par rapport à l’ensemble des individus

(voir Aouni & alii pour plus de détails).

14

minimum de pauvreté et ( )js

jξ représente le risque maximum de pauvreté associé à

l’indicateur de privation j . On peut alors définir le degré d’appartenance au sous-

ensemble flou des pauvres de la manière suivante :

(1)

( ) ( 1)( 1) ( )

(1)

0

( ) ( ( )( ) 1

1 ( )j

j

ij j

m mj j j jm m

j ij jj j

si

i F Fsi m

F

ξ ξµ ξ ξ

µ ξ ξ ξξ

−Ξ −

Ξ

=

= − + = > −

(25)

Où, ( 1)( )j

mjµ ξ −

Ξ représente le degré d’appartenance au sous-ensemble flou jΞ d’un

individu dont la variable jξ prend la modalité ( 1)m− ; les modalités de la variable

jξ étant classées par ordre croissant par rapport au risque de pauvreté.

2.2. Agrégation des indicateurs de privation

Il est question maintenant, de déterminer le degré d’appartenance ( )p iµ de chaque

individu ou ménage à l’ensemble flou Ρ des pauvres. En d’autres termes, il s’agit de

réduire à une seule dimension les degrés d’appartenance obtenus selon les différents

indicateurs. Chiappero-Martinetti (1994) indique que l’on peut en général, réaliser

une opération d’agrégation10 par une fonction [ ]: 0,1k

h pour 2k ≥ , telle que :

1 2( ) ( ( ), ( ), , ( ))

kp i h i i iµ µ µ µΞ Ξ Ξ= K (26)

Où, 1 2, , , kΞ Ξ ΞK sont les k sous-ensembles flous déterminés sur les k indicateurs de

pauvreté. Notons qu’il existe au moins deux possibilités pour définir la fonction h .

Une première possibilité serait par exemple de prendre l’union des ensembles flous,

c'est-à-dire de considérer l’équation (13)et donc, de définir h comme une fonction

maximum : 1 2

max( ( ), ( ), , ( ))k

i i iµ µ µΞ Ξ ΞK . Dans ce cas, un individu ou un ménage est

qualifié de complètement pauvre dès lors qu’il manifeste une privation totale à l’égard

d’au moins un indicateur de privation. Une deuxième possibilité serait de prendre

l’intersection des ensembles flous et pour ce faire de prendre l’équation (14)

définissant h comme la fonction minimum : 1 2

min( ( ), ( ), , ( ))k

i i iµ µ µΞ Ξ ΞK . Dans ce

second cas, un individu est considéré comme complètement pauvre uniquement s’il se

10 L’agrégation peut intervenir à différents niveaux. On peut distinguer l’agrégation au niveau de chaque individu

ou bien celle au niveau d’indicateurs eux-mêmes agrégés. Ces deux options constituent en fait deux chemins

possibles pour obtenir un indice synthétique global (Fusco, 2005).

15

trouve dans une situation de privation absolue par rapport à la totalité des

indicateurs de privation.

Cependant, les deux possibilités évoquées ci-dessus présentent des inconvénients

(Miceli, 1997). Dans la première, on est conduit par exemple à juger de la même

façon deux individus avec, pour l’un, une privation par rapport à un seul indicateur

de privation et pour l’autre, une privation par rapport à l’ensemble des indicateurs.

Dans la deuxième, on est amené à attribuer le même degré d’appartenance à des

individus ou des ménages ayant des conditions de vie différentes. Pour pallier ces

difficultés, on est alors tenté d’élargir la procédure d’agrégation, permettant ainsi à la

fonction h de prendre des valeurs intermédiaires entre le maximum et le minimum,

traduisant de ce fait, des possibilités d’interaction entre les divers indicateurs de

privation (Miceli, 1997). S’il l’on est d’avis que la pauvreté doit être entendue comme

un cumul des désavantages, un moyen de tenir compte de cette exigence est d’utiliser

pour l’agrégation des opérations de moyenne de sorte que l’inégalité suivante soit

vérifiée (Chiapperro-Martinetti) :

1 1 1 1min( ( ), , ( )) ( ( ), , ( )) max( ( ), , ( ))

k ki i h i i i iµ µ µ µ µ µΞ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ≤ ≤K K K (27)

A h est généralement associée une structure axiomatique minimale vérifiant les

axiomes de monotonicité, de continuité et de symétrie (Aouni, Bettabar &

Belmokadem, 2002). Une classe d’opérateurs satisfaisant cette structure axiomatique

peut être formulée comme la moyenne généralisée des degrés d’appartenance :

( )1

1/

1

( ( ), , ( )) ( ) , 0k j

k

jj

h i i i

δδ

δ µ µ ω µ δΞ Ξ Ξ=

= ≠ ∑K (28)

δ est un paramètre11 qui permet de déterminer le type de moyenne. Par exemple ,

lorsque 0,δ → on obtient une moyenne géométrique, lorsque 1δ = − , on trouve une

moyenne harmonique. Dans le cas où 1δ = , on obtient une moyenne arithmétique.

Dans l’expression (28), jω représente les poids spécifiant l’importance relative à

accorder à chaque indicateur de bien-être. On a 0jω ≥ et 1

1k

jj

ω=

=∑ . Cérioli et Zani

ont proposé une formulation de la fonction d’appartenance ( )p iµ avec 1δ = :

1

( ) ( )j

k

p jj

i iµ ω µΞ=

=∑ (29)

11δ détermine également le niveau de substitution entre les indicateurs de privation. Le type de spécification (28)

correspond à la classe de fonction à élasticité de substitution constante (CES).

16

Ils ont suggéré l’utilisation du système de pondération suivant :

1

ln(1/ )

ln(1/ )

j

j

j k

j

µω

µ

Ξ

Ξ=

=∑

(30)

que l’on peut réécrire comme suit :

1

ln( )

ln( )

j

j

j k

j

µω

µ

Ξ

Ξ=

=∑

(31)

Où, 1

1/ ( )j j

n

i

n iµ µΞ Ξ=

= ∑ représente la proportion floue de ménages pauvres selon

l’indicateur de privation jξ . On peut faire remarquer que chaque jω est une fonction

inverse du degré de privation moyen dans la population selon l’indicateur jξ ; et

l’utilisation du logarithme est parfaitement justifié car on accorde plus d’importance

à des indicateurs de privation traduisant des symptômes de pauvreté moins fréquents

(Miceli, 1997).

De façon analogue et en relation directe avec l’expression (25), Cheli et lemmi (1995)

définissent jω de la manière suivante :

1

ln(1/ )j

k

jj

nω µΞ=

= ∑ (32)

On peut noter que l’expression de Cheli et Lemmi (1995) coincide avec celle de

Cérioli et Zani (1990) dans le cas des variables dichotomiques. De leur côté, Pi

Alperin et alii (2005) ont proposé de prendre en compte dans le système de

pondération de Cérioli et Zani les dépenses publiques du gouvernement pour chaque

indicateur :

1

ln(1/ ) (1 )

ln(1/ ) (1 )

j

j

jr

j k

jrj

d

d

µω

µ

Ξ

Ξ=

× +=

× +∑ (33)

Avec jrd , la proportion des dépenses publiques sociales, pour le j ème− indicateur,

par rapport aux dépenses publiques sociales totales. r représente les données

utilisées. Si l’information concerne les dépenses publiques sociales pour tout le pays

alors 1r = . Si l’information est utilisée par région, alors 1, ,r t= K pour pouvoir

distinguer les différentes régions du pays ( t étant le nombre de régions du pays).

Pour Pi Alperin et alii, introduire les dépenses publiques sociales du gouvernement

signifie que le poids associé à chaque indicateur augmente en reflétant l’intérêt public

17

pour celui-ci ; pour une personne sans cet indicateur, financé (partiellement) par le

gouvernement, la valeur du poids associé doit être plus élevée que celle des

indicateurs où il n’intervient pas.

Du côté des critiques, Vero et Werquin (1997) ont contesté la pertinence du système

de pondération de Cérioli et Zani et ont constaté que, ces derniers raisonnaient en

termes de cumul de privations12. Ils font remarquer qu’une telle mesure pose le

problème de la multicolinéarité des indicateurs non monétaires et de leur dépendance

au revenu. Des indicateurs très corrélés exposent au risque d’une sur-représentation

d’une dimension particulière dans la fonction d’appartenance agrégée (Vero, 2006). Ils

ont donc proposé un rééquilibrage de la pondération de deux handicaps fortement

corrélés ; ce qui conduit à minimiser le poids des indicateurs redondants. Considérons

n individus ou ménages ; soit k indicateurs de privation ( 1, , )j k= L . Notons par ijµ

le degré d’appartenance au sous-ensemble flou des pauvres de l’individu i selon

l’indicateur de privation j . On a : i∀ et j∀ , [ ]0,1ijµ ∈ . Si l’on prend en compte tous

les aspects de la pauvreté, un individu i est caractérisé par son vecteur de k degrés

d’appartenance ijµ , tel que ( )1, , , ,i j kµ µ µ µ= L K . Les degrés d’appartenance au sous-

ensemble flou des pauvres de chaque individu selon chaque indicateur de privation

forment la matrice n k×Π suivante :

11 1 1

1

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

j k

i ij ikn k

n nj nk

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µ

×

Π =

K K

K K K K K

K K

K K K K K

K K

Considérons maintenant if , la proportion des individus ayant autant ou plus de

privations que l’individu i sur chacun des indicateurs considérés. Pour construire la

fonction d’appartenance agrégée au sous-ensemble flou des pauvres, il faut au

préalable calculer une mesure d’appartenance intermédiaire au groupe des pauvres

( )pm i :

12 Le degré d’appartenance au sous-ensemble flou des pauvres est d’autant plus élevé que les handicaps s’ajoutent

les uns aux autres. Dès lors, le poids associé à deux privations telles que l’absence de douche et d’eau chaude est

supérieur au poids affecté au seul manque d’eau chaude. Il est égal à la somme des deux poids pris isolément.

Ainsi, le cumul est pris en compte dans la fonction d’appartenance par l’ajout pur et simple des manques

élémentaires (Véro, 2002).

18

1

ln(1/ )0 1

(1/ )( )

0 0

iin

ipi

i

fsi f

fm i

si f=

< ≤= =

∑ (34)

Le poids associé au vecteur de degré d’appartenance de iµ est égal à ln(1/ )if . Plus

un vecteur de biens ou de pratiques est repandu, plus, à l’inverse, le poids associé à la

privation de cet ensemble de biens et de pratiques sera important. Pour obtenir la

fonction d’appartenance agrégé, il suffit ensuite de centrer et de normer la mesure

d’appartenance agrégée intermédiaire. On obtient :

[ ][ ] [ ]

( ) min ( )0

( ) max ( ) min ( )

0 0

P Pi

P P P

i

m i m if

i m i m i

f

µ −

>= − =

(35)

2.3. L’indice multidimensionnel de la pauvreté

L’approche multidimensionnelle fondée sur la théorie des ensembles flous permet de

définir un indice de pauvreté par rapport à l’ensemble des ménages. Nous allons

maintenant examiner comment construire cet indice. Nous verrons que cet indice est

décomposable et cette décomposition peut se faire par groupe et par indicateur de

privation. Cette façon de faire permet d’identifier les causes de la pauvreté

structurelle permettant ainsi l’élaboration de politiques socio-économiques visant à la

réduire (Pi Alperin, Seyte & Terraza, 2005).

2.3.1. Construction d’un indice général de la pauvreté

Après avoir mesuré le degré de pauvreté de chaque individu ou ménage, nous pouvons

maintenant construire un indice de pauvreté pour l’ensemble des ménages. On peut

définir cet indice, comme la moyenne arithmétique des fonctions d’appartenance des

ménages (Cérioli & Zani) :

1

1( )

n

Pi

P in

µ=

= ∑ (36)

Avec [ ]0,1P∈ . Si l’on note par 1

( )n

Pi

iµ=

Ρ =∑ , le cardinal de l’ensemble Ρ des pauvres

(en se référant à l’équation (8)), l’expression (36)s’écrit alors :

19

Pn

Ρ=

Le paramètre P représente la proportion des ménages appartenant au sous-ensemble

flou des pauvres. On a 0P = si et seulement si ( ) 0P iµ = pour tous les individus ou

ménages, c’est-à-dire en absence totale de pauvreté. 1P = si et seulement si ( ) 1P iµ =

pour tous les individus ou ménages, c'est-à-dire dans les conditions d’extrême

pauvreté. Le cas le plus fréquent (cas intermédiaire) est celui où 0 1P< < c’est-à-dire

P est une fonction croissante du degré de pauvreté de chaque individu ou chaque

ménage.

Notons enfin que P peut s’exprimer comme une moyenne pondérée des degrés de

privations de la population des n individus ou ménages pour chaque indicateur et

donc :

1j

k

jj

P µ ωΞ=

= ×∑ (37)

L’ndice de pauvreté P donné par l’expression (36) possède la propriété de

décomposabilité et appartient à la classe des indices de pauvreté additivement

décomposables (Chakravaty, Mukherjee & Ranade, 1983 ; Foster, Greer &

Thorbecke, 1984). Par ailleurs, P peut être considéré comme une généralisation du

« Headcount Ratio » si l’on se limite à un seul indicateur de privation donné par le

revenu et que l’ensemble des pauvres Ρ n’est pas flou.

2.3.2. Décomposition de l’indice de la pauvreté multidimensionnelle

On introduit une décomposition de l’indice multidimensionnel de la pauvreté qui,

combine à la fois le rôle des groupes d’une population et les dimensions de la pauvreté

dans l’explication de la pauvreté totale (Mussard & Pi Alperin, 2005). Ce qui peut

permettre aux décideurs d’identifier les causes de la pauvreté et d’intervenir

structurellement pour la réduire.

(i) Décomposition par groupe

Cette décomposition permet de cibler les groupes les plus affectés par la pauvreté.

Divisons la surface économique totale en q groupes qG de taille ( 1, , )qn q s= K .

L’intensité de la pauvreté du i ème− ménage de qG s’écrit :

1

( ) ( )j

k

p q q jj

i iµ µ ωΞ=

= ×∑ (38)

L’indice de pauvreté multidimensionnel associé au groupe qG s’écrit :

20

1

1( )

qn

q p qiq

P in

µ=

= ∑ (39)

D’après (39) , P peut être calculé comme une moyenne pondérée du niveau de

pauvreté à l’intérieur de chaque groupe :

1 1

1( )

qns

p qq i

P in

µ= =

= ∑∑ (40)

Il est alors possible de mesurer la contribution du q ème− groupe à l’indice de

pauvreté global. Soit :

1

1( )

qnqP p q

i

C in

µ=

= ∑ (41)

(ii) Décomposition par indicateur de privation

On peut introduire la décomposition par indicateur de privation en démontrant qu’il

est possible de calculer la contribution du j ème− indicateur de privation à l’indice

de pauvreté global (Dagum & Costa, 2004). Ainsi, la contribution (absolue) du

j ème− indicateur de privation à l’indice de pauvreté multidimensionnel s’écrit :

j

jP jC µ ωΞ= × (42)

A partir de l’expression (42), on peut calculer la contribution du j ème− indicateur

de privation au q ème− groupe. Soit :

q j

j qP jC µ ωΞ= × (43)

Avec :

1

1( )

q

j j

nq

q jiq

in

µ µ ωΞ Ξ=

= ×∑ (44)

Cette décomposition permet d’obtenir plus d’informations sur les dimensions de la

pauvreté et d’affiner l’analyse dans la mise en place des politiques socio-économiques

adéquats visant à réduire la pauvreté.

iii) Décomposition multidimensionnelle

On peut décomposer l’indice P par groupe et par indicateur de privation.

Effectivement d’après (44) on peut définir P de la manière suivante :

1 1

( )j

s k

q jq j

P iµ ωΞ= =

= ×∑∑ (45)

21

Sous cette forme, on voit que P apparaît comme une fonction pondérée des indices

unidimensionnels du j ème− indicateur de privation dans le q ème− groupe. De ce

fait, la contribution du j ème− indicateur de privation du groupe q à l’indice de

pauvreté global s’écrit :

( )q

j

j

P q jC iµ ωΞ= × (46)

La décomposition simultanée offre toutes les combinaisons possibles

indicateur/groupe qui contribuent à l’état de la pauvreté de la surface économique

(Mussard & Pi Alperin, 2005) et toutes les données nécessaires visant à réduire la

pauvreté sont contenues dans ces combinaisons.

3. Application à la mesure de la pauvreté au Congo

Nous avons, dans un document récent (Ambapour, 2006), mesuré la pauvreté

multidimensionnelle au Congo, en adoptant une approche non monétaire par les

besoins de base. En effet, à partir des indicateurs non monétaires de bien-être, un

indicateur composite de la pauvreté avait été construit en se fondant sur le critère

d’inertie13 (Asselin, 2009). On se propose ici, de continuer cette analyse

multidimensionnelle de la pauvreté, en recourant cette fois-ci à la mesure floue.

L’avantage de cette approche est qu’elle intègre l’aspect monétaire et les conditions

générales d’existence dans lesquelles les ménages se trouvent. Ici, comme dans l’étude

précédente, la base de données utilisée dans cette application est l’ECOM : Enquête

Congolaise Auprès des Ménages réalisée par le CNSEE en 2005. Nous présentons dans

un premier temps, les indicateurs de privation choisis. Ils ont été dans la majorité des

cas déjà commentés dans notre précédent papier. Dans un deuxième temps, nous

donnons les résultats de l’analyse de la pauvreté obtenus selon la théorie des

ensembles flous.

13 Cette étude avait décelé trois types de pauvreté non monétaire : une pauvreté du point de vue des

infrastructures, une pauvreté traduisant la vulnérabilité de l’existence humaine et une pauvreté du point de vue

du confort des ménages. Par ailleurs, l’incidence de la pauvreté avec une classification hiérarchique des ménages,

correspondant au poids de la classe pauvre était de 70,67%.

22

3.1. Indicateurs de privation

La question du choix des indicateurs de privation a été longuement discutée par Cheli

et alii (1994) et par Cheli et Lemmi (1995). Ces auteurs notent que le choix des

indicateurs de privation revêt une importance fondamentale dans ce type de

recherche ; car chaque indicateur décrit un aspect particulier de la pauvreté. Par

ailleurs ils recommandent, dans l’analyse, de bien distinguer les variables d’effet (telle

que la possession des biens durables) et les variables de cause (tel que le chômage) de

la pauvreté14. Pi Aleperin et alii (2005) soulignent que l’importance des politiques

socio-économiques structurelles visant à réduire les principales causes de la pauvreté

dépend du choix des indicateurs représentant les états de privation et d’exclusion

sociale. Enfin, de son côté, Miceli (1997) fait remarquer que le choix des indicateurs

de privation est particulièrement délicat et ne saurait intervenir sans une dose

d’arbitraire plus ou moins grande et que, la mesure floue obtenue est conditionnée en

dernier lieu par la disponibilité des données. Cela étant, il a été retenu les indicateurs

de privation suivants :

1. Matériaux du toit ;

2. Matériaux des murs extérieurs ;

3. Electricité ;

4. Types de toilettes utilisées ;

5. Mode d’évacuation des eaux usées ;

6. Mode d’évacuation des ordures ménagères ;

7. Temps d’accès à l’eau pour boire ;

8. Temps d’accès aux marchés de produits alimentaires ;

9. Temps d’accès aux services de santé ;

10. Biens durables ;

11. Niveau d’instruction du chef de ménage ;

12. Situation actuelle du chef de ménage ;

13. Etat de santé du chef de ménage ;

14. Alimentation ;

15. Dépense par équivalent adulte.

14 L’analyse pouvant alors être menée séparément selon les deux types de variables. Malheureusement, dans ce

texte nous n’avons pas suivi cette voie.

23

Les neuf premiers indicateurs concernent les caractéristiques du logement ainsi que le

temps mis par les membres du ménage pour atteindre certains services sociaux de

base (source d’eau potable, marchés de produits alimentaires et structures de santé) ;

ce regroupement est d’ailleurs conforme au questionnaire QUIBB de l’ECOM. Ce

sont les principaux indicateurs de bien-être des ménages. Parmi ces indicateurs, il n’y

a que l’électricité qui est une variable dichotomique. Le degré d’appartenance à

l’ensemble des pauvres selon cet indicateur est donc simple. Il est nul si le logement a

l’électricité et prend la valeur de 1 s’il n’existe pas d’électricité dans le logement. Les

autres indicateurs de ce groupe sont considérés comme des variables polytomiques.

Les modalités de ces variables ont été rangées par degré de privation croissante (cf

expression (18)), ensuite a été utilisée la fonction d’appartenance de l’expression15

(20).

Nous avons ensuite un groupe de biens durables. Au total, 14 biens durables ont été

retenus couvrant plusieurs aspects (matériels de communication, appareils

électroménagers, moyens de déplacement). Ces biens étant des variables

dichotomiques, on a d’abord construit une fonction d’appartenance pour chaque bien

et le degré de privation pour chaque ménage pour ces biens a été calculé comme une

moyenne arithmétique16.

Les trois indicateurs suivants ont trait à l’éducation, l’emploi et la santé. Pour

l’éducation, il a été retenu le niveau d’instruction du chef de ménage, du niveau le

plus faible (aucun niveau) au niveau le plus élevé (niveau supérieur). Au total, huit

niveaux ont été retenus. L’emploi est capté par la situation actuelle du chef de

ménage : actif occupé, inactif et chômeur. Ces deux indicateurs de privation sont

considérés comme des variables polytomiques. En ce qui concerne la santé, il s’agit

précisément de l’état de santé du chef de ménage : malade/blessé ou non. C’est donc

une variable dichotomique.

15 Vu l’argumentaire développé par Miceli (1997), il est des raisons de préférer la formulation de Cérioli et Zani

plutôt que la méthode de Cheli et Lemmi (Voir Miceli pour les détails).

16 Le degré d’appartenance pour chaque bien durable k a été calculé comme suit :

0

1ijk

si k ix

si k i

∈= ∉

avec

1, 14k = K ; et le degré de privation de chaque ménage i pour la possession des biens durables n’est autre

chose que : 1

14ij ijkx x= ∑

24

L’avant dernier indicateur de privation a trait aux problèmes alimentaires rencontrés

par le ménage. C’est une variable polytomique ayant pour modalités : jamais,

rarement, quelquefois, souvent et toujours.

Le dernier indicateur de privation est lié aux diverses catégories des dépenses des

ménages. C’est la dépense de consommation finale par équivalent adulte. Cette

variable est donc corrigée par une échelle d’équivalence, en vue de tenir compte des

besoins différents ressentis par des ménages de taille et de composition différentes.

Dans le cadre de l’ECOM, il avait été retenu l’échelle de la FAO, qui semble la plus

proche des réalités africaines. Le degré de privation pour chaque ménage est calculé

en se référant à la formule (22) proposée par Cérioli et Zani. Cependant, dans cette

formulation minlx et maxlx représentent, respectivement, le seuil de pauvreté inférieur

et le seuil de pauvreté supérieur.

3.2. Mesure floue de la pauvreté au Congo

Le tableau 1 donne la mesure floue de la pauvreté P pour l’ensemble des ménages,

ainsi que pour chaque indicateur, la proportion des ménages pauvres ( )jµ ξ . On a

obtenu une valeur de P égale à 0,3037. En d’autres termes, 30,37% des ménages

congolais sont structurellement pauvres. La proportion des ménages pauvres ( )jµ ξ

varie d’un minimum de 0,0666 traduisant le faible état de privation en ce qui

concerne le temps d’accès à l’eau pour boire, à un maximum de 0,9470 reflétant une

privation moyenne plutôt prononcée pour le mode d’évacuation des eaux usées. Si

l’on s’en tient à la partie infrastructure du logement (voirie, système d’évacuation des

eaux usées), on peut dire que la pauvreté en termes d’assainissement est la plus

répandue dans les ménages congolais (avec 5( ) 0,9470µ ξ = et 6( ) 0,8095µ ξ = ).

Nous constatons en consultant le tableau 1 que 79% des ménages congolais sont

privés de biens durables. Notons que ces biens ne représentent pas la même utilité

pour tous les types de ménage et sont plutôt liés au style de vie des ménages et

reflètent le caractère plus ou moins aisé des conditions de vie, lesquelles dépendent

sans doute du niveau de développement du pays. En se référant toujours au tableau

1, on remarque également qu’environ 72% des ménages sont privés d’électricité. Ici

aussi, il faut noter que les infrastructures d’électricité dépendent de l’Etat. Elles

existent en général en ville, exception faite peut être des quartiers très reculés, et un

ménage peut en bénéficier même s’il est pauvre, tandis qu’elles sont pratiquement

25

absentes en milieu rural de telle sorte qu’un ménage n’ y a pas accès même s’il est

relativement aisé.

Tableau 1 : Pauvreté floue au Congo

Indicateur de privation

Proportion floue des

ménages pauvres

j jξ ( )jµ ξ

1 Matériaux du toit 0,5242

2 Matériaux des murs extérieurs 0,2591

3 Electricité 0,7169

4 Type de toilettes utilisées 0,4998

5 Mode d'évacuation des eaux usées 0,9470

6 Mode d'évacuation des ordures ménagères 0,8095

7 Temps d'accès à l'eau pour boire 0,0663

8 Temps d'accès aux marchés de produits alimentaires 0,2526

9 Temps d'accès aux services de santé 0,2515

10 Biens durables 0,7904

11 Niveau d'instruction du chef de ménage 0,4907

12 Situation actuelle du chef de ménage 0,1211

13 Etat de santé du chef de ménage 0,5202

14 Alimentation 0,5378

15 Dépense par équivalent adulte 0,5179

P Mesure floue de la pauvreté 0,3037

3.3. Décomposition de la pauvreté floue au Congo

On veut affiner l’analyse précédente, en procédant à la décomposition de la mesure

floue de la pauvreté. Deux types de décomposition seront effectués. Dans le premier,

les ménages sont répartis en cinq strates : Brazzaville, Pointe-Noire, Autres

Communes17, Milieu Semi urbain18 et Milieu Rural19. Dans le deuxième type, la

décomposition sera faite selon le sexe du chef de ménage. Signalons que d’autres

17 Dolisie, Nkayi, Mossendjo et Ouesso 18 Comprenant les localités d’au moins 10000 habitants qui ne sont pas des communes. Au total, dix localités :

Loudima, Madingou, Loutété, Sibiti, Mindouli, Kinkala, Gamboma, Makoua, Etoumbi, Impfondo. 19 Formé de localités de moins de 10000 habitants :Kakamoeaka, Louvakou, Mfouati, Zanaga, Mbandza-Ndounga,

Ignié, Ngo, Abala, Oyo, Bétou.

26

décompositions sont possibles, pouvant aider à expliquer et comprendre la pauvreté

au Congo. On pourrait penser à la décomposition selon la taille et la composition du

ménage, la décomposition selon les groupes socioéconomiques ou encore selon l’état

civil. Le choix des décompositions retenues est donc purement arbitraire pour ne pas

alourdir le contenu de ce texte20.

3.3.1. Décomposition par strate

On peut commencer l’analyse du tableau 2, en comparant la position relative de

chaque strate au vu de la valeur de la mesure floue de la pauvreté obtenue par

agrégation des 15 indicateurs de privation. On peut faire remarquer que la proportion

floue des ménages pauvres est la plus élevée dans le milieu rural et la moins élevée

dans les communes, le milieu semi urbain occupant une position intermédiaire. Ce

classement peut paraître naturel si l’on tient compte de la répartition inégalitaire des

infrastructures socioéconomiques entre le milieu rural et le milieu urbain.

On peut également constater que la position relative des trois premières strates (qui

sont des communes) est très proche (avec 0,2500P = pour Brazzaville, 0,2629P =

pour Pointe-Noire et 0,2560P = pour les autres communes). Effectivement, si l’on se

concentre sur la mesure floue de la pauvreté, on constate que Brazzaville présente les

meilleures conditions de vie, suivi de près par les ménages des Autres communes et de

Pointe-Noire. Pour ces trois strates, la mesure de la pauvreté est inférieure à la

moyenne qui est de 0.3037, calculée au niveau national.

Si l’on s’intéresse aux 15 indicateurs de privation sélectionnés individuellement, on

ne parvient à identifier qu’une seule situation où les ménages vivant en milieu rural

sont mieux lotis que les autres. Il s’agit de l’indicateur de privation concernant

l’emploi (la situation actuelle du chef du ménage). On peut aussi signaler trois cas où

les ménages vivant en milieu rural sont légèrement favorisés par rapport à ceux

vivant en milieu semi urbain. C’est le cas où l’on considère les indicateurs 6ξ , 13ξ et

14ξ . Reconsidérons maintenant la position relative des trois premières strates qui sont

des communes par rapport au 15 indicateurs de privation pris séparément. On relève

que dans 7 cas sur 15, la situation est en moyenne moins pénible à Brazzaville qu’à

Pointe-Noire et dans les autres communes. Parmi les indicateurs de privation

concernés, on peut citer les matériaux du toit et des murs, l’électricité,

20 D’autres décompositions sont disponibles : décomposition selon la taille du ménage, décomposition selon la

localisation (urbain et rural).

27

l’assainissement, le niveau d’instruction du chef de ménage, le temps d’accès aux

marchés de produits alimentaires.

On constate également que dans 7 cas sur 15, les conditions de vie sont en moyenne

meilleures à Pointe-Noire qu’à Brazzaville et dans les autres communes si l’on

considère les indicateurs de privation suivants : type de toilette, temps d’accès à

l’eau pour boire, temps d’accès aux services de santé, biens durables, état de santé du

chef de ménage, alimentation et dépense par équivalent adulte. Enfin, pour les autres

communes, la seule situation favorable concerne la variable relative à l’emploi c’est-à-

dire, la situation actuelle du chef de ménage.

Pour finir, si l’on envisage la pauvreté, telle qu’elle ressort de la dépense équivalente

par adulte, on retrouve la même hiérarchie de l’ECOM. Les ménages de Pointe- Noire

sont ceux qui bénéficient des meilleures conditions de vie

Tableau 2. Décomposition de la pauvreté floue par strate

Strates(a) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Indicateur de privation Proportion floue de ménages pauvres Ensemble

jξ ( )jµ ξ

1. 0,4934 0,4971 0,5025 0,5296 0,5970 0,5242

2. 0,0473 0,4000 0,1404 0,2743 0,4509 0,2591

3. 0,4624 0,6296 0,6968 0,8718 0,9493 0,7169

4. 0,4575 0,4381 0,4997 0,5131 0,5891 0,4998

5. 0,8785 0,9169 0,9530 0,9948 0,9997 0,9470

6. 0,5376 0,6649 0,9135 0,9818 0,9814 0,8095

7. 0,0312 0,0134 0,0296 0,1219 0,1380 0,0663

8. 0,1019 0,1391 0,1527 0,1645 0,6841 0,2526

9. 0,2117 0,1178 0,1275 0,2501 0,5327 0,2515

10 0,7487 0,7234 0,7926 0,8354 0,8547 0,7904

11. 0,4044 0,4074 0,4667 0,5729 0,6093 0,4907

12. 0,2117 0,1865 0,0936 0,0618 0,0428 0,1211

13. 0,4841 0,4547 0,5107 0,5991 0,5848 0,5202

14. 0,5172 0,4714 0,5287 0,5890 0,5845 0,5378

15. 0,5429 0,3274 0,5135 0,5772 0,6189 0,5179

qP 0,2500 0,2629 0,2560 0,3182 0,4298 0,3037

(a) : (1) Brazzaville, (2) Pointe-Noire, (3) Autres Communes, (4) Milieu Semi urbain, (5) Milieu Rural.

28

3.3.2. Décomposition selon le sexe du chef de ménage

On s’intéresse maintenant à la pauvreté floue des ménages congolais, on la

distinguant d’après le sexe de celui qui en est à la tête. Les résultats de cette

décomposition selon les 15 indicateurs de privation, ainsi que la mesure floue de la

pauvreté sont présentés dans le tableau 3.

La première remarque que l’on peut faire en observant ce tableau est que les

conditions de vie, telles qu’elles sont estimées par les 15 indicateurs de privation

sélectionnés, sont les meilleures dans 11 cas sur 15 pour les ménages ayant à leur tête

une personne de sexe masculin. En effet la mesure floue de la pauvreté s’élève pour ce

groupe de ménages à 0,2960, ce qui est inférieur à la moyenne calculée pour

l’ensemble des ménages établie à 0,3037.

Tableau 3. Décomposition de la pauvreté floue selon le sexe du chef de ménage

Sexe chef de ménage Homme Femme Ensemble

Indicateur de privation Proportion floue de ménages pauvres

jξ ( )jµ ξ

1 0,5262 0,5177 0,5242

2 0,2577 0,2637 0,2591

3 0,6998 0,7735 0,7169

4 0,4924 0,5240 0,4998

5 0,9450 0,9535 0,9470

6 0,8124 0,7997 0,8095

7 0,0669 0,0642 0,0663

8 0,2611 0,2243 0,2526

9 0,2578 0,2306 0,2515

10 0,7735 0,8464 0,7904

11 0,4334 0,6801 0,4907

12 0,1078 0,1648 0,1211

13 0,4762 0,6658 0,5202

14 0,5229 0,5870 0,5378

15 0,5074 0,5525 0,5179

qP 0,2960 0,3293 0,3037

Si l’on envisage la pauvreté sous l’angle de temps d’accès aux services sociaux de

base, on se rend compte que les ménages ayant à leur tête une femme présentent en

moyenne une privation plus faible. Le même constat peut être partiellement fait en

29

ce qui concerne l’assainissement et notamment sur le mode d’évacuation des ordures

ménagères. En revanche, l’examen de la pauvreté à la lumière de l’habitat montre, à

une exception près, que les ménages dont le chef de ménage est un homme bénéficient

des bonnes conditions de logement. Si l’on se concentre maintenant sur la pauvreté

basée sur les éléments de confort, d’équipement en biens durables, on constate aussi

que les ménages ayant à leur tête un homme ont en moyenne une privation plus

faible. La même observation peut être faite, si l’on regarde la pauvreté telle qu’en

témoigne la dépense équivalente par adulte.

3.3.3. Décomposition et contribution à la mesure floue de la pauvreté

Avant de conclure sur cette application, nous voulons donner un éclairage

supplémentaire à l’analyse floue de la pauvreté au Congo, en s’intéressant à la

contribution21 qu’apporte chacun des groupes considérés à la pauvreté totale. Les

données sont consignées dans le tableau 4.

Tableau 4 : Décomposition par groupe et contributions

Décomposition qP Contribution

absolue

Contribution

relative

Brazzaville 0,2500 0,0551 0,2205

Pointe-Noire 0,2629 0,0505 0,1921

Strates Autres communes 0,2560 0,0503 0,1965

Semi urbain 0,3182 0,0576 0,1809

Rural 0,4298 0,0902 0,2099

Sexe du chef

de ménage

Homme 0,2960 0,2274 0,7681

Femme 0,3293 0,0764 0,2321

On peut remarquer, en jetant brièvement un regard sur le tableau 4, que Brazzaville,

bien qu’ayant la mesure floue de la pauvreté la plus faible, est la strate qui contribue

le plus à la pauvreté au Congo (22%). Cela est dû essentiellement à la part assez

importante que représente Brazzaville dans l’ensemble de la population, environ 30%.

Ce même phénomène est également visible si l’on regarde les données de la

décomposition selon le sexe du chef de ménage. Effectivement, on se rend compte que,

les ménages dirigés par les hommes, sont ceux qui apportent la plus forte contribution

21 Signalons que ces contributions absolues et relatives ont été aussi calculées pour les indicateurs de

privation en ce qui concerne les tableaux 1, 2, et 3 mais, ne sont pas présentées.

30

à la pauvreté totale (près de 77%), bien que ce type de ménages ne soit pas

particulièrement touché par les mauvaises conditions de vie. Cette situation

s’explique également par la part relativement importante qu’occupent ces ménages

dans l’ensemble (77%)

Conclusion

L’objectif de ce texte était de présenter la théorie des ensembles flous dans l’optique

de l’appliquer pour mesurer la pauvreté multidimensionnelle au Congo. Cette théorie

telle que exposée brièvement permet en fin de compte de construire un indice

multidimensionnel de pauvreté qui combine à la fois la situation financière et les

conditions générales dans lesquelles les individus ou les ménages se trouvent. L’indice

ainsi construit est décomposable, conduisant à une analyse plus fine de la pauvreté.

Cette décomposition est faite soit par indicateur de privation, soit par groupe. Dans

le premier cas, il s’agit d’identifier les principales causes de la pauvreté, dans le

deuxième, de cibler les groupes les plus touchés par ce fléau. Au final, il est question,

à la lumière de ces décompositions, d’élaborer des politiques socio-économiques visant

à réduire la pauvreté.

L’application de la théorie des ensembles flous à la mesure de la pauvreté au Congo

conduit aux principales conclusions suivantes :

- l’indice flou de la pauvreté au Congo est égal à 0,3037 ; ce qui signifie que 30,37%

des ménages congolais sont structurellement pauvres ;

- en décomposant cette mesure par indicateur de privation, on s’aperçoit que la

pauvreté en termes d’assainissement (mode d’évacuation des eaux usées, mode

d’évacuation des ordures ménagères) est la plus répandue au Congo ;

- la décomposition de cet indice par strate montre que la proportion floue des

ménages pauvres est la plus élevée dans le milieu rural et la moins élevée dans les

communes, le milieu semi urbain occupant une position intermédiaire. Brazzaville,

bien qu’ayant la mesure floue de la pauvreté la plus faible, est la strate qui contribue

le plus à la pauvreté au Congo en raison de son poids important dans l’ensemble ;

- enfin, la décomposition selon le sexe du chef de ménage indique que les ménages

ayant à leur tête un homme, ont en moyenne une privation plus faible.

31

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36

SERIE DES DOCUMENTS DE TRAVAIL DU BAMSI

DT BAMSI

01/2001 « STATIS : une méthode d’analyse conjointe de plusieurs tableaux de

données »

Samuel Ambapour

02/2001 « Estimation des frontières de production et mesures de l’efficacité

technique»

Samuel Ambapour

03/2001 « Estimation d’un modèle d’emploi de court terme avec ajustement partiel »

Samuel Ambapour

04/2001 « Note sur la mortalité infantile »

Samuel Ambapour

05/2001 « Dix ans d’ajustement en Afrique : application d’un modèle de comptage »

Samuel Ambapour

06/2001« Mesure des attentes de la clientèle et évaluation du niveau de satisfaction »

Samuel Ambapour, Diana Lyse Mapouata

07/2002 « Ressources humaines et libéralisation : une approche stratégique »

Samuel Ambapour

08/2002« Le paradoxe de Todaro. Un test économétrique sur les données du Congo »

Samuel Ambapour

09/2003 « Incidence des migrations internes sur la structure par âge : une exploration

par le modèle de population stable »

Samuel Ambapour

10/2004 « Efficacité technique comparée des systèmes de santé en Afrique

subsaharienne : une application de la méthode de DEA »

Samuel Ambapour

11/2005 «Prévision des indices des prix à la consommation des ménages au Congo »

Christophe Massamba

12/2005 «Croissance économique et consommation d’énergie au Congo : une analyse

en termes de causalité »

Samuel Ambapour et Christophe Massamba

37

13/2006 « Pauvreté multidimensionnelle au Congo : une approche non monétaire »

Samuel Ambapour

14/2007 « Pauvreté et fécondité au Congo »

Samuel Ambapour, Armel Moussana Hylod

15/2008 « Pauvreté et santé nutritionnelle de l’enfant au Congo »

Samuel Ambapour, Armel Moussana Hylod

16/2009 « Théorie des ensembles flous : application à la mesure de la pauvreté au

Congo »

Samuel Ambapour

BAMSI REPRINT

01/2003 « Deux indices pour reconnaître une fécondité naturelle »

Samuel Ambapour

02/2003 « Trois cas pratiques d’application de la méthode statistique des indices »

Samuel Ambapour

03/2003 « Le modèle logistique. Un peu de statistique et d’histoire »

Samuel Ambapour

04/2003 « Introduction à l’analyse des données »

Samuel Ambapour

05/2003 « Applications de l’analyse des données aux traitements d’enquêtes. Mesure

de satisfaction de clientèle pour les grands services publics : le cas de la Société

Nationale d’Electricité »

Samuel Ambapour

06/2004 « La mise en œuvre des privatisations au Congo. Cas de trois entreprises du

secteur énergétique »

Samuel Ambapour

38

07/2009 « Two methods of simutaneous analysis in common components and unit

weights »

Gabriel Kissita, Samuel Ambapour, Roger Armand Makany, Dominique Mizere