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N° D’ORDRE THÈSE DE DOCTORAT SPECIALITE : PHYSIQUE Ecole Doctorale « Sciences et Technologies de l’Information des Télécommunications et des Systèmes » Présentée par : Benoît Puel Sujet : Conception de traducteurs et techniques multi-éléments optimisés pour le contrôle non destructif ultrasonore Soutenue le 28 septembre 2010 devant les membres du jury : M. Jean-François De Belleval Rapporteur M. Sylvain Chatillon Examinateur M. Jérôme Idier Rapporteur M. Dominique Lesselier Directeur de Thèse M. Lionel Pichon Président du Jury

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N° D’ORDRE

THÈSE DE DOCTORAT

SPECIALITE : PHYSIQUE

Ecole Doctorale « Sciences et Technologies de l’Information des Télécommunications et des Systèmes »

Présentée par :

Benoît Puel

Sujet :

Conception de traducteurs et techniques multi-éléments optimisés pour le contrôle

non destructif ultrasonore

Soutenue le 28 septembre 2010 devant les membres du jury :

M. Jean-François De Belleval Rapporteur

M. Sylvain Chatillon Examinateur

M. Jérôme Idier Rapporteur

M. Dominique Lesselier Directeur de Thèse

M. Lionel Pichon Président du Jury

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Remerciements

Ces travaux ont ete realises au Laboratoire de Simulation et Modelisation, au seindu Departement Departement Imagerie et Simulation pour le Controle du Centred’Etudes Nucleaires de Saclay, en collaboration avec le Laboratoire des Signaux etSystemes de Supelec.

Mes remerciements s’adressent d’abord a Monsieur Philippe Benoist, Chef deDepartement, et Monsieur Steve Mahaut, Chef du Laboratoire, pour m’avoir ac-cueilli en tant que stagiaire puis doctorant, et de m’avoir permis de travailler dansde bonnes conditions aussi bien scientifiques et materielles, que morales.

Je tiens a exprimer ma profonde reconnaissance envers Monsieur DominiqueLesselier, Directeur de recherche CNRS, qui a diriger ma these. Je tiens a le remercierpour ses conseils avises et le temps qu’il m’a consacre au cours de ma these.

Je remercie chaleureusement Monsieur Sylvain Chatillon pour son accueil, sonencadrement au sein du Laboratoire de Simulation et Modelisation.

Je remercie aussi Monsieur Jean-Francois de Bellevalle, Professeur a l’UniversiteTechnologique de Compiegne, et Monsieur Jerome Idier, Professeur a l’Ecole Centralde Nantes, d’avoir accepte d’etre les rapporteurs de ma these, ainsi que Monsieur Lio-nel Pichon, Directeur de Recherche a Paris 11, de m’avoir fait l’honneur de presiderle jury de these.

Je ne pourrais oublier de remercier mes collegues, tout d’abord pour la bonneambiance qu’ils insufflent, leur ouverture d’esprit, et leur accueil ; mais aussi pourleur aide, leur soutient, et leurs conseils sans lesquels ces travaux n’auraient puavancer autant. En particulier, je pense a Antoine Masia qui apporte forme a uti-lisation des outils de developpement et aide sans compter ; ainsi que Marie OdileBourdeau et Daniel Lobjois pour leur gentillesse et leur efficacite. Et pour tous lesbons moments partages sur � la passerelle �, mes remerciements les plus amicauxvont aux doctorants du DISC avec qui j’ai passe de bons moments : Sophie, Laura,Bo, Amira, Chiara, Tek, . . .

Un petit clin d’œil a l’association MAIOT et ses membres, en particulier Julien,Yohan, Sacha, Arounie et Agnes, qui m’ont beaucoup apportes durant ses quelquesannees parisiennes ; et a l’association BAYEN dans les pas de laquelle je marcheavec beaucoup de plaisir.

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4 Remerciements

Je remercie enfin tous ceux qu’il m’est impossible d’omettre : mes parents, monfrere, sa cherie et Emilie, et evidemment les � Space Loosers �.

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Table des matieres

Introduction 9

1 Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons 131.1 Principes physiques du CND US . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Les ondes elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 La piezoelectricite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Techniques de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Controle au contact ou en immersion . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Representation des donnees ultrasonores . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Detection et dimensionnement de defauts . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Outils de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Calcul du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Interaction faisceau–defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre d’un controle . . . . . . . 221.4.1 Conception du traducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 Deplacement du traducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Reglages de traducteurs multi-elements . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Optimisation d’un controle 312.1 Les notions d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Les algorithmes evolutionnistes en ultrasons . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Optimisation de la mise en forme d’un traducteur multi-element 322.2.2 Choix optimise des voies pour un traducteur sparse array . . . 332.2.3 Optimisation des lois de phase en HIFU . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Choix de l’algorithme evolutionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Strategie d’evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Algorithmes genetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Evolution differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Evolution Differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 Les etapes de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3 Strategies et parametre de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Randomised adaptive differential evolution . . . . . . . . . . . . . . . 44

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6 TABLE DES MATIERES

2.5.1 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.2 Mutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.3 Renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Outil d’optimisation 473.1 Problemes contraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Les contraintes par domaine borne . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.2 Les contraintes d’inegalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Le formatage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Conservation de la diversite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Multi-objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Solutions de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Choix de la demarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 RADE multi-objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.4 Choix d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Applications pour le CND US 654.1 Interfacage de l’outil d’optimisation avec CIVA . . . . . . . . . . . . 654.2 Definir un probleme d’optimisation en CND . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Fonctions objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.3 Fonctions de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.4 Reglage de l’ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Controle d’un piquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.1 Presentation du probleme de CND . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Definition du probleme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . 694.3.3 Resultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Conception d’un capteur SE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.1 Presentation du probleme de CND . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 Definition du probleme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . 734.4.3 Resultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Conception d’une barrette encerclee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.1 Presentation du probleme de CND . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.2 Definition du probleme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . 764.5.3 Resultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Conclusions et perspectives 85

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TABLE DES MATIERES 7

A Validation de l’outil sur des problemes mono-objectifs contraints 93A.1 Probleme contraint 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.2 Probleme contraint 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.3 Probleme contraint 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.4 Probleme contraint 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.5 Probleme contraint 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.6 Probleme contraint 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B Validation de l’outil sur des problemes multi-objectifs 101B.1 Probleme multi-objectif 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.2 Probleme multi-objectif 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.3 Probleme multi-objectif 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.4 Probleme multi-objectif 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.5 Probleme multi-objectif 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.6 Probleme multi-objectif 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

C Articles 109C.1 Article de journal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.2 Communications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C.3 Posters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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Introduction generale

Cadre des travaux de these

Le controle non destructif (CND) consiste a detecter et dimensionner des defautsa l’interieur, ou a la surface, de structures mecaniques. Il joue un role essentiel dansles domaines du nucleaire et de l’aeronautique, entre autres, pour lesquels les exi-gences en securite sont primordiales. Depuis de nombreuses annees, le commissariata l’energie atomique et aux energies alternatives (CEA) contribue au developpementde telles techniques, en particulier au travers du developpement de la plate-formede simulation multi-techniques (ultrasons, courants de Foucault et radiographie Xet γ), nommee CIVA [CIVA, ], et developpee au sein du departement imagerie etsimulation pour le controle.

De nombreux travaux ont ete menes sur l’inversion de donnees d’acquisitionsbasee sur les outils de simulation en partenariat avec le laboratoire signaux etsystemes (L2S) de Supelec [Breard, 2007, Fidahoussen et al., 2010]. Ces techniquesvisent a identifier et caracteriser les defauts automatiquement lors d’un controle.Dans ce contexte, le projet CAPVERS, soutenu par la Region Ile-de-France et pi-lote par Digiteo (parc de recherche dans le domaine des sciences et technologies del’information en Ile-de-France), a ete propose conjointement par le CEA et le L2S,avec pour objectif la conception de capteurs pour le CND a l’aide de methodesinverses. Mon sujet de these, mis en place dans le cadre de ce projet, vise plusparticulierement a la conception de traducteurs multi-elements pour le controle parultrasons.

Le controle par ultrasons est base sur la propagation d’une onde elastique dansune structure a controler, dont l’interaction avec un defaut (fissure, inclusion,. . .)genere des echos. L’onde est ensuite recue par un capteur ultrasonore, souvent lememe que celui utilise a l’emission. L’interpretation de cette mesure doit permettrede deceler la presence de defauts, leur nature et leur dimension. Le developpementde techniques multi-elements, reposant sur des traducteurs composes d’elementsindependants auxquels on applique des lois de retards, permet de piloter le fais-ceau ultrasonore genere (en termes de focalisation et/ou deviation) dans la pieceinspectee, et ainsi de maıtriser les caracteristiques du controle.

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10 Introduction generale

Motivations

Lorsqu’un expert souhaite mettre en œuvre un controle par ultrasons, il se basesur la connaissance qu’il a de la piece et des defauts recherches, et doit fixer unnombre important de parametres afin de concevoir et regler le traducteur et sondeplacement (cf. figure 1). Si dans certains cas le choix des parametres peut etretrivial, cette conception peut egalement s’averer complexe, en particulier dans le casde techniques multi-elements dans la mesure ou de nombreux parametres (decoupedu traducteur et pilotage par une ou plusieurs lois de retards) sont mis en jeu.

La structure a controler- geometrie- materiau

- heterogeneites- attenuation

Les defauts recherches- nature- position

- dimension- orientation

Mise en œuvre du controle

Conception dutraducteur

Deplacementdu traducteur

Reglage dutraducteur

- type- surface emettrice- type de decoupe- repartition deselements. . .

- position initiale- balayage- increment- pas. . .

- lois de retard etd’amplitude- balayage angulaireet electronique- sequences. . .

1Figure 1 – Parametres a prendre en compte et regler lors de la mise en œuvre d’uncontrole.

Aujourd’hui l’expert peut avoir recours aux outils de simulation et realiser,lorsque c’est necessaire, des etudes parametriques afin de trouver une solution quireponde au mieux a son besoin. Cependant ces methodes necessitent de passer untemps important a modifier les parametres des simulations (caracteristiques, posi-tion et reglage du capteur) et a interpreter chaque resultat. L’objectif de ces travauxde these est d’aider l’expert a trouver les parametres de controle qui satisfassent aumieux ses besoins en automatisant la recherche d’un optimum par l’utilisation in-tensive des outils de simulation.

La simulation

Nous nous sommes appuyes sur les modules de simulation ultrasonores imple-mentes dans CIVA : champ incident pour le calcul du champ ultrasonore se propa-geant dans la piece, et reponse defaut pour l’interaction du faisceau genere avec un

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L’optimisation 11

defaut. Ces modeles reposent sur des formulations semi-analytiques, melant expres-sion analytiques et integrations numeriques. Pour le calcul de champ, une integralede type Rayleigh-Sommerfeld est evaluee numeriquement par discretisation de lasurface emettrice. Cette methode permet de traiter des milieux de propagationheterogenes et anisotropes pour des geometries 2D et 3D. Elle repose sur les ap-proximations de haute frequence et de petites perturbations. Pour le calcul de lareponse echographique de defauts, la modelisation repose sur differentes approxi-mations en fonction de la technique d’inspection et des defauts (inclusions solides,fissures). Le modele le plus couramment utilise s’appuie sur l’approximation de Kir-chhoff, conduisant a l’application d’un coefficient de diffraction, fonction de l’ondeincidente et de l’onde diffractee, en chaque point du defaut.

Des validations [Raillon et al., 2009, Raillon et al., 2008] regulieres des modeles,dans le cadre de benchmarks internationaux, sont realisees en comparant les resultatsde simulation et d’acquisition. Elles montrent l’efficacite de ces modeles pour denombreux cas. De plus ces outils offrent l’avantage de beneficier de nombreusesfonctionnalites supplementaires, pour la visualisation et le traitement des resultats.

L’optimisation

Afin d’automatiser la recherche des parametres du controle qui repondent aumieux au besoin d’un utilisateur, nous nous sommes orientes sur les algorithmesmetaheuristiques qui sont capables de s’adapter a une large gamme de problemesdifferents, meme si c’est au detriment du temps de calcul. Pour le choix de l’al-gorithme, nos principales contraintes sont : d’avoir peu de parametres de reglage,d’etre facilement adaptable pour chaque probleme a resoudre, et de permettre uneutilisation aisee pour une personne non experte en optimisation.

De nombreux travaux ont ete menes dans ce domaine durant la derniere decennie.En particulier, ils ont permis de prendre en compte des contraintes en plus de lafonction objectif, et ce en ne rajoutant aucun parametre de reglage supplementairepour l’algorithme. Un deuxieme axe de recherche vise a resoudre des problemespour lesquels plusieurs fonctions objectif, en general contradictoires, sont definies.De nombreux algorithmes, souvent bases sur des algorithmes d’optimisation pourun seul objectif, ont ete proposes dans la litterature et permettent de resoudre cesproblemes efficacement.

Plan du manuscrit

Le premier chapitre presente les principes physiques sur lesquels reposent le CNDpar ultrasons, les notions de propagation d’onde elastique dans les milieux isotropespuis les principales techniques de controle. Les modeles de calcul de champ et d’in-teraction faisceau–defaut du module de simulation ultrasonore de CIVA sont decritsdans les grandes lignes. Finalement, les parametres a regler lors de la mise en œuvred’un controle ultrasonore sont detailles suivant trois categories : la conception, le

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12 Introduction generale

deplacement et le reglage du traducteur.Le deuxieme chapitre presente un etat de l’art des techniques d’optimisation uti-

lisees pour la conception de capteur ultrasonore, ainsi que des algorithmes evolution-nistes les plus courants. En particulier, l’Evolution Differentielle y est detaille preci-sement ainsi qu’une variante sur laquelle est base notre outil d’optimisation.

Le troisieme chapitre developpe trois aspects de l’optimisation qui ont ete developpespour augmenter les capacites de notre outil : la prise en compte des contraintes, lagestion de la precision et la resolution de problemes multi-objectifs.

Le quatrieme et dernier chapitre presente d’abord comment l’outil d’optimisationest connecte avec les modeles de simulation. Ensuite nous expliquons, dans un casgeneral, comment traiter des problemes de mise en œuvre de controle comme desproblemes d’optimisation. Finalement, trois cas d’applications realistes de controlesont presentes et resolus avec cet outil.

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Chapitre 1

Mise en œuvre d’un controle nondestructif par ultrasons

Ce chapitre introduit les notions physiques et techniques du controle non des-tructif par ultrasons ainsi que les enjeux et difficultes lies a la mise en œuvre d’uncontrole. Nous rappellerons brievement les notions de propagation d’onde et de trans-duction d’un signal electrique en ondes. Nous aborderons ensuite les principales tech-niques utilisees et les outils d’imagerie qui permettent de detecter et de dimensionnerles defauts. Nous verrons ensuite les principaux modeles utilises dans CIVA permet-tant de simuler la propagation d’ondes elastiques et la reponse du capteur lors del’interaction avec un defaut. Nous identifierons finalement les parametres influentslors de la mise en œuvre d’un controle ainsi que leur impact sur les performancesdu controle.

1.1 Principes physiques du CND US

Cette section presente les principes physiques fondamentaux intervenant en CNDpar ultrasons. Nous introduirons d’abord les ondes elastiques puis le phenomenepiezoelectrique qui permet de transformer un signal electrique en effort mecaniqueet inversement.

1.1.1 Les ondes elastiques

Les ondes elastiques sont des phenomenes vibratoires qui se propagent dansla matiere par le deplacement de particules. Elles sont donc observables dans desmilieux materiels aussi bien fluides que solides. Differents types d’ondes peuvent etreobserves : les ondes de volumes se propagent a l’interieur d’un volume, les ondes desurfaces se propagent a la surface d’un volume, les ondes guidees se propagent dansun milieu fini par reflexions multiples.

On distingue deux modes de propagation [Royer et Dieulesaint, 1974]. Pour lesondes longitudinales (dites ondes L), le deplacement particulaire est colineaire ala direction de propagation appelee vecteur d’onde. Pour les ondes transversales

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14 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

(dites ondes T ), le deplacement particulaire est perpendiculaire a la direction depropagation. Si les ondes L existent dans les milieux fluides et solides, les ondes Tne sont observables que dans les milieux solides. Les vitesses de propagation de cesdeux modes dans un meme milieu sont en general differentes. Une distinction estfaite pour les milieux anisotropes pour lesquels la direction d’energie, qui depend durepere cristallin local, peut etre differente de la direction de propagation. Les modessont alors appeles quasi-longitudinal et quasi-transversal.

Dans un fluide, la vitesse des ondes L (v) est donnee par [Carlin, 1953] :

vL =

√Cp

ρCvβis(1.1)

ou Cp et Cv representent respectivement les chaleurs massiques a pression constanteet a volume constant, ρ la masse volumique et βis le coefficient de compressibiliteisotherme.

De plus, l’equation regissant la propagation des ondes peut alors s’ecrire sous laforme [Royer et Dieulesaint, 1974] :

∆p− 1

v2

∂2p

∂t2= 0 (1.2)

ou p = p(~r, t) est une representation scalaire decrivant le champ au point ~r et autemps t. Cette equation est applicable aussi bien a la surpression acoustique qu’a lavitesse particulaire.

Dans un solide homogene isotrope, en se placant dans l’hypothese de petitesperturbations, les vitesses des ondes L (vL) et T (vL) sont donnees par :

vL =

√c11

ρ(1.3)

vT =

√c11 − c12

2ρ(1.4)

ou c11 et c12 sont les constantes de rigidites elastiques et ρ est la masse volu-mique du milieu. Le champ de deplacement particulaire ~u(~r, t) se decompose sousla forme d’une somme des deux vecteurs de deplacement des ondes L (~uL) et desondes T (~uT ). Dans le cas d’un milieu solide, isotrope, homogene et en l’absencede forces exterieures, ces vecteurs de deplacement verifient les equations 1.5 et 1.6[Royer et Dieulesaint, 1974] :

∆ ~uL −1

v2L

∂2 ~uL∂t2

= 0 (1.5)

∆ ~uT −1

v2T

∂2 ~uT∂t2

= 0 (1.6)

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1.2 Techniques de controle 15

Lorsqu’une onde de volume rencontre une interface separant deux milieux diffe-rents, plusieurs ondes peuvent etre generees : des ondes reflechies et des ondesrefractees. Pour chacune d’elles, des conversions de mode peuvent apparaıtre si aumoins un des milieux est solide. Par exemple, une onde L se propageant dans l’eaudonne, a l’interface avec un solide, des ondes L et T refractees dans le solide, et desondes L reflechies dans l’eau. Les directions de propagation sont alors donnees parla loi de Snell-Descartes :

sin θ1

v1

=sin θ2

v2

(1.7)

ou θ1 et θ2 sont respectivement les angles entre la direction de propagation dans lemilieu 1 et 2 et la normale a l’interface, et v1 et v2 sont les vitesses de propagationpour les modes donnes dans les milieux 1 et 2.

1.1.2 La piezoelectricite

La piezoelectricite traduit la propriete que possedent certains corps de se polari-ser electriquement lorsqu’ils sont soumis a une contrainte mecanique et reciproque-ment de se deformer lorsqu’on leur applique une tension electrique. De cette maniereil est possible de convertir un signal electrique en ondes elastiques, et inversement.Ce principe est largement utilise pour la fabrication de capteurs, aussi appeles tra-ducteurs, utilises pour des applications de CND US. Nous ne nous sommes doncinteresses qu’a cette technologie de capteur dans le cadre des travaux presentes ici.

Les traducteurs (figure 1.1) sont constitues d’une pastille composee essentielle-ment d’un cristal piezoelectrique. Des electrodes situees de chaque cote de la pastillepermettent de l’exciter. Le backing, compose d’un materiau absorbant les vibrations,permet d’amortir l’onde emise vers l’arriere du capteur afin de ne pas perturber lesmesures.

Les caracteristiques geometriques et materielles de cette pastille ont une influencesur la frequence centrale et la largeur de bande de l’onde emise ainsi que sur lefaisceau ultrasonore genere. Le faisceau d’une pastille plane est oriente suivant lanormale sur une largeur egale a celle de l’electrode interieure.

1.2 Techniques de controle

Un controle doit permettre de detecter une gamme de defauts dans une piece.Nous commencerons par presenter les controles au contact et en immersion. Apresune description des methodes de lecture de resultats d’acquisition, nous donneronsun apercu des moyens mis en œuvre pour la detection et le dimensionnement dedefauts a partir de ces images.

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16 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

Milieu de propagation

Backing

ElectrodesV

Fronts d’onde

Pastillepiezoelectrique

Generateurde tension

1Figure 1.1 – Schema de principe d’un traducteur ultrasonore.

1.2.1 Controle au contact ou en immersion

Nous avons vu precedemment qu’un traducteur permet de generer et de detecterun champ elastique se propageant dans un milieu. En general, un milieu couplantsitue entre le traducteur et la piece permet d’ameliorer la transmission des ondesultronores. On distingue deux methodes de controles : le controle en immersion etau contact (cf. figure 1.2).

Pour le controle en immersion, le capteur et la piece sont immerges dans unliquide, generalement l’eau. Cela permet de positionner le capteur librement afin demaıtriser les caracteristiques du faisceau. La distance entre le centre du capteur etla piece est appelee hauteur d’eau.

Le controle au contact est mieux adapte aux controles sur site pour lesquels ilest souvent impossible d’immerger la structure a controler. Ces capteurs possedentsouvent un sabot en plexiglas pour orienter le faisceau ultrasonore genere. Ce sabotest fabrique pour une geometrie de piece donnee, et donc difficilement adaptable ad’autres geometries.

1.2.2 Representation des donnees ultrasonores

Une part importante de l’efficacite d’un controle reside dans la representationet l’interpretation des mesures. L’analyse des donnees ultrasonores issues d’une ac-quisition requiert une representation de ces donnees facilitant leur lecture. Ainsi,le resultat d’un controle se compose d’un ensemble de signaux temporels recus enchaque position d’inspection. Ces donnees sont stockees sous forme d’amplitudesaffectees a un ensemble de points situes dans un espace a trois dimensions : les deux

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1.2 Techniques de controle 17

Controle au contact

Sabot

Piece Piece

Eau

Piezoelectriquehauteurd’eau

Controle enimmersion

Piezoelectrique

1Figure 1.2 – Illustration des controles au contact et en immersion.

axes de deplacement du traducteur (appeles balayage et increment) et le temps devol. Les representations generalement utilisees sont schematisees sur la figure 1.3.

balayageTir

echodynamiquetemps

increment

Deplacementdu traducteur

vue cumuleeC-SCAN

vue en coupeB-SCAN

signal temporelA-SCAN

−3

−6

−12

−∞

[dB]0

1Figure 1.3 – Representation des donnees ultrasonores d’un controle.

Le A-SCAN represente le signal recu par le traducteur en une position d’acqui-sition, appele tir, dans un repere amplitude/temps.

Le B-SCAN represente la juxtaposition de l’ensemble des ASCANs pour undeplacement mecanique sur l’axe de balayage dans un repere balayage/temps. L’am-plitude du signal est donnee par un code couleur.

L’echodynamique represente l’amplitude maximale obtenue pour chaque tir d’unbalayage, a une position d’increment fixee.

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18 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

Le C-SCAN represente l’amplitude maximale obtenue pour chaque tir, dans unrepere balayage/increment.

Les trois axes (balayage, increment et temps) presentes ici peuvent etre posi-tionnes dans le repere spatial tridimensionnel afin de visualiser ces donnees plusefficacement dans la piece. Pour les deux premiers axes, le changement de repereest immediat. Pour l’axe du temps, le probleme est plus complexe car il s’agitde repositionner spatialement un signal temporel. Un algorithme de reconstruction[Chatillon et al., 2009] est propose pour visualiser les donnees dans le repere spatialtridimensionnel. L’analyse de ces donnees permet de detecter et de dimensionner lesdefauts dans les pieces.

1.2.3 Detection et dimensionnement de defauts

Les defauts recherches sont generalement des fissures (defauts plans) ou desinclusions (defauts volumiques).

Les fissures sont dues a la fatigue mecanique ou a la corrosion. On distingue lesfissures debouchantes, qui se propagent depuis un bord de piece vers l’interieur, etles fissures non debouchantes qui se propagent a l’interieur de la piece. Certainesfissures peuvent presenter des profils irreguliers, par exemple de type ramifie.

On utilise aussi les defauts de reference dont la forme ne retranscrit pas forcementcelle des defauts qu’on recherche. Par exemple, un defaut de reference tres utilise estle trou generatrice dont la forme cylindrique est facilement obtenue par un percage.De tels defauts permettent de caracteriser entre autre la profondeur focale acoustiquedu traducteur ou servent de reference afin de comparer les amplitudes de plusieursresultats d’acquisition et/ou de simulation.

Dans les cas d’etude abordes lors de ce manuscrit, seules les fissures debouchanten fond de piece et les trous generatrices seront traites. La figure 1.4 representel’echographie BSCAN d’une fissure debouchante en fond de piece. L’echo de coin,a la base de la fissure, donne une information essentielle a la detection car sonamplitude est preponderante. Il permet aussi la localisation mais il ne donne aucuneinformation sur sa hauteur. Pour le dimensionner on utilise alors l’echo de diffraction,echo du a des phenomenes de diffraction sur l’arete superieure de la fissure, dontl’amplitude est plus faible.

1.3 Outils de simulation

L’utilisation d’outils de simulation permet d’aider les utilisateurs, soit a com-prendre des resultats d’acquisition (types d’ondes en jeu, a quoi sont dus les echos. . .), soit a mettre en œuvre un controle. Les travaux decrits dans ce manuscrit s’ap-puient sur la plate-forme de simulation CIVA pour le CND, developpee par le CEA.Dans cette section nous decrivons dans les grandes lignes les modeles utilises. Ilss’appuient sur des expressions semi-analytiques performantes en termes de temps decalcul (compare a des methodes par elements finis) et dont les resultats sont fiables

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1.3 Outils de simulation 19

Traducteur

Piece Defaut

Echo de diffraction(dimensionnement)

Echo de coin(detection)

−3

−6

−12

−∞

[dB]0

1Figure 1.4 – Detection et dimensionnement d’une fissure debouchant en fond depiece.

pour les applications visees. Nous aborderons d’abord le calcul du champ transmisdans la piece puis son interaction avec un defaut.

1.3.1 Calcul du champ

Le champ du potentiel acoustique (φ) rayonne par un capteur dans un milieufluide, peut etre modelise a l’aide de l’integrale de Rayleigh, basee sur la theoriescalaire de la diffraction. Dans le cas d’un traducteur fonctionnant en mode pistonon peut ecrire [Gengembre et al., 2006] :

φ(M) =

∫∫S

Vn(P )ejkr

2πrdS (1.8)

ou M est le point de l’espace auquel le champ est calcule, Vn(P ) la composantenormale de la vitesse particulaire, au point P de la surface S du traducteur, k estle nombre d’onde et r la distance parcourue par l’onde entre P et M .

Pour resumer et generaliser, l’onde issue de la source ponctuelle est vue, enun point d’observation fixe, comme une onde ayant le comportement d’une ondeplane mais dont l’amplitude decroıt avec la distance de propagation. La methodedes pinceaux [Gengembre et Lhemery, 2000] vise a appliquer exactement la memeapproximation, en considerant des propagations complexes, eventuellement dans desmilieux anisotropes et/ou heterogenes.

Une premiere etape consiste a generer des rayons allant de la surface emettrice dutraducteur au point de calcul. Un certain nombre de garanties, que nous ne decrironspas dans ce manuscrit, doivent etre verifiees pour s’assurer que le traducteur estsuffisamment discretise.

A la seconde etape, on calcule la contribution de chaque rayon sur le point decalcul. Pour des points de calcul suffisamment distants du traducteur (plusieurslongueurs d’onde), on considere un front d’onde localement plan dont l’intensitedecroıt avec la distance. Cette decroissance traduit la conservation d’energie dansl’angle solide Σ autour du pinceau pour une onde supposee spherique (figure 1.5).

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20 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

Dans notre cas M est le point de calcul et dS un element de la surface emettrice dutraducteur.

dS

rayon paraxial

rayon axialP

1Figure 1.5 – Schematisation d’un pinceau entre un point de calcul M et un elementde surface du traducteur dS dans un materiau homogene isotrope.

Le pinceau est decrit par le vecteur Ψ(dx, dy, dsx, dsy). dx et dy represententl’intersection d’un rayon paraxial avec le plan tangent au rayon axial. dsx et dsyrepresentent la projection du vecteur de lenteur du rayon axial. Le vecteur pinceauau point M est decrit par le vecteur ΨM(dxM , dyM , dsxM , dsyM). On obtient levecteur pinceau ΨP (dxP , dyP , dsxP , dsyP ), au point P du rayon se trouvant dans lememe milieu, avec la formule :

ΨP = LΨM =

[A BC D

]ΨM (1.9)

avec A, B, C et D des matrices 2 × 2 qui dependent des milieux dans lesquels lesondes se propagent. Cette matrice L traduit la divergence des rayons au cours de lapropagation dans le milieu.

Par exemple, dans le cas d’un materiau homogene isotrope, la matrice L est

donnee par : L =

[I r

s.I

0 I

]ou I est la matrice identite 2 × 2, 0 la matrice nulle

2× 2, r est la distance curviligne le long du rayon axial entre les points M et P ets est la lenteur (inverse de la vitesse) du materiau.

La matrice L d’une interface entre deux milieux de propagation est definie par :

L =

[Θ′Θ−1 0

hΘ′−TΛΘT Θ′−TΘT

]ou Θ et Θ′ sont des matrices 2 × 2 qui representent respectivement la projectiondu pinceau sur l’interface suivant l’axe du rayon axial avant et apres l’interactionavec la surface ; h = k′ cos θ′ − k cos θ avec θ et θ′ les angles incident et refracte (oureflechi) ; et Λ est une matrice 2× 2 qui decrit la courbure de l’interface a l’endroitde l’impact avec l’axe de rayon.

L’aspect elastodynamique de la propagation d’onde est donne, dans la matriceL, par la lenteur dans le materiau. Celle-ci, etant l’inverse de la vitesse, depend desconstantes de rigidites elastiques du materiau (cf. section 1.1.1).

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1.3 Outils de simulation 21

On peut ainsi calculer le champ de deplacement en un point en faisant le pro-duit des matrices decrivant la propagation dans les milieux (solides et liquides) et latransmission aux interfaces. Par exemple dans le cas classique d’un controle en im-mersion d’un materiau homogene (figure 1.6), on calcule la contribution d’un elementde surface du traducteur (au point d’impact P du rayon) sur le point de calcul Msitue dans le milieu homogene en posant le vecteur pinceau : ΨP = L3L2L1ΨM avecL3 la matrice de propagation dans l’eau, L2 la matrice de transmission a la surfacede la piece et L1 la matrice de propagation dans le materiau homogene.

Traducteur

M

L1

L3Eau

L2

P

Piece

1Figure 1.6 – Exemple de pinceau pour un controle en immersion d’une piece ho-mogene.

1.3.2 Interaction faisceau–defaut

Le calcul de l’interaction du faisceau avec un defaut s’appuie sur le principe deKirchhoff qui consiste a sommer la contribution des echos de chaque element desurface du defaut. Les defauts sont definis par une surface exterieure au travers delaquelle les ondes ne se propagent pas.

Pour que la simulation offre une bonne approximation du resultat d’une acqui-sition se placant dans les memes conditions, il est necessaire de prendre en comptela contribution de tous les modes d’onde et conversions de mode preponderants. Lapremiere etape consiste a realiser un calcul de champ aux points M de la surfacedu defaut, apres l’avoir discretise. Une deconvolution permet d’approcher la formedu signal du potentiel acoustique temporel (Φ(M, t)) pour en tirer une amplitude q,un dephasage ϕ et un temps de vol T . Le champ au point M au temps t peut alorss’ecrire sous la forme [Raillon-Picot et Lecoeur-Taıbi, 2000] :

Φ(M, t) = s(t)⊗ q(M)eiϕ(M)δ(t− T (M)) (1.10)

ou s est le signal de reference, ⊗ la fonction de convolution et δ la fonction de Dirac.

En combinant la theorie de diffraction de Kirchhoff et le principe de reciprociteentre l’emission et la reception, le signal electrique en sortie du traducteur (SER),

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22 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

pour un type de chemin d’onde (modes et conversions de mode), est obtenu ensommant la contribution de tous les elements de surface du defaut :

SER(t) = s(t)⊗∫∫

τD(qE(M)qR(M) [<{BER(M, i0, r)e

iϕEeiϕR} δ(t− TE − TR)

+ ={BER(M, i0, r)eiϕEeiϕR}TH {δ(t− TE − TR)}] dτD) (1.11)

ou les indices E et R representent respectivement les chemins d’onde a l’emissionet a la reception, τD la surface du defaut et BER le coefficient de diffraction pourles modes consideres en emission–reception. Celui-ci depend des angles i0 entre lerayon incident et la normale a la surface du defaut, et r angle d’observation del’onde diffractee (figure 1.7). < et = representent respectivement la partie reelle etimaginaire et TH la transformee d’Hilbert. Le signal total en sortie du traducteur(S) est obtenu en sommant le signal de tous les types de chemin pris en compte.

Chemin aller

Chemin retour

DefautM

i0r

Piece

Traducteur

1Figure 1.7 – Definition des angles i0 et r permettant d’obtenir le coefficient dediffraction pour l’exemple d’un controle au contact d’une piece comportant unefissure en fond de piece. Le chemin aller comporte un rebond en fond de piece et lechemin retour est direct.

1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre

d’un controle

Lorsqu’un controle doit etre mis en œuvre, les donnees d’entree sont la piece acontroler et le type de defauts recherches. Les defauts sont definis par leur geometrieet leur position dans la piece, et la piece par sa geometrie et les materiaux qui laconstituent. A partir de ces informations, il faut fixer un nombre important deparametres que l’on peut repartir en trois familles : la conception du traducteur,son deplacement et son reglage.

Dans cette section nous avons essaye de prendre en compte le plus de cas pos-sibles. Au vu de tous les problemes que peuvent rencontrer les experts pour mettreen œuvre un controle, la liste des methodes et des contraintes pour fixer la valeur

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1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre d’un controle 23

des parametres n’est pas exhaustive. Notons tout d’abord qu’un certain nombre deparametres s’imposent d’eux-memes. Par exemple, pour des raisons techniques, uncontrole sur site d’une piece se fera souvent au contact sauf si celle-ci est en presenced’eau.

1.4.1 Conception du traducteur

Cette partie presente les parametres les plus critiques dans la mise en œuvre d’uncontrole, car si la position ou le reglage du capteur peuvent etre modifies facilement,la fabrication d’un capteur coute cher et les modifications sont peu aisees. De plus,la conception du capteur a une influence tres importante sur le faisceau genere.Nous verrons d’abord les parametres majeurs pour la conception de capteurs mono-elements. Ensuite, nous verrons les avantages des techniques multi-elements maisaussi quelles contraintes supplementaires doivent etre prises en compte.

1.4.1.1 Traducteurs mono-element

La frequence (f) est sans doute le parametre le plus important. La longueurd’onde λ (λ = v/f ou v est la vitesse du mode considere dans le materiau) doitetre plus petite que la taille des defauts recherches afin que ceux-ci puissent etredetectes. Le mode d’onde considere est celui avec lequel on cherche a detecter ledefaut. De plus, elle a une influence directe sur les dimensions du faisceau ou encoresur la presence de lobes de reseau (pour les traducteurs multi-elements).

La focalisation permet de concentrer l’energie du faisceau dans une region del’espace appelee tache focale. Elle permet d’obtenir une meilleure detection grace aun meilleur rapport signal sur bruit, et un meilleur dimensionnement grace a unemeilleure resolution. La focalisation est obtenue par la mise en phase des sourcesde l’element (ou des elements) actif(s) du traducteur. Ceci peut etre realise a l’aided’une lentille acoustique ou de la mise en forme de la pastille piezo-electrique. Pourchacune de ces technologies, les geometries adoptees sont soit canoniques : cylin-drique, spherique, bifocale ou trifocale ; soit optimisees : surface de Fermat (surfacepour laquelle les contributions, issues de chaque point de la source, arrivent en phaseau un point de focalisation donne).

L’ouverture du traducteur a une influence directe sur la limite de champproche, distance au dela de laquelle le capteur ne peut plus focaliser. Dans le casd’un traducteur plan circulaire, de diametre D, en mode piston, dans un fluide, lalimite de champ proche se situe a une distance l0 du capteur donnee par :

l0 =D2

4λ(1.12)

De plus, les caracteristiques de la tache focale dependent aussi de l’ouverture.Les largeur l−3dB et longueur L−3dB de la tache focale (dimensions a mi-amplitude),

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24 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

pour un traducteur focalise dont l’ouverture est faible par rapport a la distancefocale F (F/D >> 1) sont approximees par :

l−3dB = λF

Det L−3dB = 8λ

F 2

D2(1.13)

La hauteur d’eau est fixee pour les controles en immersion. Lorsque l’incidenceest nulle, il faut verifier que les echos successifs entre la surface et le traducteur nese trouvent pas dans la zone temporelle dans laquelle on cherche les defauts.

Le sabot peut etre utilise pour les controles au contact. Sa forme et ses dimensionsdoivent prendre en compte deux criteres. Il faut verifier qu’il n’y a pas d’echos directs(echos de surface emis par le bord du traducteur et recus par l’autre, apres rebondsur la surface) ou d’echos de sabot (echos sur le contour du sabot qui reviennent surla pastille piezoelectrique).

Nous venons de voir les parametres les plus influents pour la conception d’uncapteur mono-element. Les formules proposees se restreignent a des cas simples depieces planes en incidence nulle. Il est neanmoins possible d’estimer, a partir de cesformules, les valeurs des parametres pour des cas plus realistes (par exemple lorsde la propagation dans deux milieux). Des etudes parametriques a l’aide d’outilsde simulation peuvent se reveler rapidement necessaires pour des situations pluscomplexes.

1.4.1.2 Traducteurs multi-elements

Un traducteur multi-element est constitue de plusieurs elements piezoelectriques.Les systemes d’acquisition multi-elements sont capables de piloter chaque element deces traducteurs independamment. Le pilotage electronique des retards, et eventuelle-ment des amplitudes, sur les differents elements permet d’engendrer un front d’ondede forme arbitraire, construit element par element selon le principe de Huygens,chaque element jouant le role d’un point source. Ainsi, le potentiel acoustique enun point M de l’espace emis par un traducteur multi-element [Chatillon, 2000] estdonne par l’equation :

φ(M) =n∑i=1

Aiejωτi

∫∫Si

Vn(P )ejkr

2πrdSi (1.14)

ou n est le nombre de voies, Ai et τi representent respectivement l’amplitude et leretard a l’emission appliques a l’element i et Si represente la surface de l’element i.

De nouveaux types de capteurs ont pu etre concus grace a cette technologie. Parexemple les capteurs flexibles (figure 1.8(a)) peuvent non seulement se deformer,pour epouser en permanence la forme de la piece, mais en plus une mesure de cettedeformation permet d’adapter les lois de retard en temps reel afin de conserver lescaracteristiques focales du champ transmis. Les barrettes encerclantes ou encerclees

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1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre d’un controle 25

(figure 1.8(b)) permettent de controler rapidement des tubes, en s’affranchissantd’un deplacement mecanique en rotation difficile a realiser.

(a) Traducteur flexible (b) Barrette encerclante

Figure 1.8 – Traducteurs issus de la technologie multi-element.

Les contraintes de conception presentees pour les traducteurs mono-elementssont applicables aussi aux traducteurs multi-elements. Par contre, cette technologierajoute des contraintes sur le decoupage de la pastille en plusieurs elements.

La decoupe se decline en plusieurs familles : les decoupes lineaires (figure 1.9(a)),matricielles (figure 1.9(b)), annulaires (figure 1.9(c)) et sectorielles (figure 1.9(d)).

La decoupe peut provoquer un artefact appele lobes de reseau qui deteriore lesperformances de focalisation du traducteur. En effet, les lobes de reseau sont desinterferences constructives qui apparaissent, du fait de la periodicite des elements,hors de la zone pour laquelle les lois de retard on ete calculees. Ce phenomene nondesire est observe pour les deviations angulaires importantes du faisceau ou lorsquela decoupe du traducteur est grossiere par rapport a la longueur d’onde.

Le pitch (dmax) est la distance entre deux elements centre a centre qui fixe laperiodicite du reseau d’elements. C’est le parametre sur lequel on agit generalementpour reduire les lobes de reseau : une valeur petite reduit les lobes de reseau maisaugmente le nombre d’elements pour une ouverture donnee.

A partir de l’etude de la fonction de directivite, qui represente l’energie transmisea la profondeur de focalisation et permet d’evaluer la presence de lobes de reseaux,[Wooh et Shi, 1999] a etudie les traducteurs lineaires dans un milieu de propagationhomogene et isotrope. Il a obtenu une formulation permettant de calculer la valeurdu pitch maximal garantissant l’absence de lobes de reseau :

dmax =λ

1 + sin(θs)

N − 1

N(1.15)

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26 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

(a) Decoupe lineaire (b) Decoupe matricielle

(c) Decoupe annulaire (d) Decoupe sectorielle

Figure 1.9 – Principales familles de decoupe de traducteurs.

ou θs est l’angle de deviation avec lequel est calculee la loi de retard, λ la longueurd’onde dans le milieu et N le nombre d’elements du capteur.

La valeur d =λ

2est souvent utilisee en pratique. Elle correspond au cas de

deviation angulaire le plus critique θs = 90◦ avec un nombre d’elements (N) suffi-samment grand dans l’equation 1.15.

Le regroupement de phases est une autre methode d’optimisation de decoupede capteur. Le principe de cette methode consiste a trouver la decoupe pour laquellele retard relatif a appliquer a deux elements voisins ne depassera pas une valeurdonnee. Pour cela, le retard, permettant de focaliser au point donne, est calcule enchaque point de la surface emettrice. Il est alors possible de regrouper les elementsde surfaces suivant un critere de phase (∆ϕ) pour obtenir des surfaces isophasesdefinissant le decoupage annulaire optimise. Le retard relatif maximum est donne par∆t = (∆ϕω)/(2π), avec ω la vitesse angulaire. La tolerance de phase generalementutilisee ([Mahaut, 1997], [Lupien et al., 2006]) est ∆ϕ = 60◦. Par exemple, le capteurobtenu pour focaliser a 10 mm de profondeur avec une incidence normale en ondes Lavec un traducteur de 79 mm de diametre et un critere de phase de 60◦ est representefigure 1.10.

La prefocalisation est obtenue par la mise en forme de la surface emettrice pourfocaliser dans une zone, de la meme maniere que les traducteurs mono-elements. Enoptimisant cette mise en forme pour une focale donnee, on limite le phenomene de

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1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre d’un controle 27

1 2 345678

∅79 mm

1Figure 1.10 – Exemple de decoupage annulaire optimise pour focaliser a 10 mmde profondeur en L0◦ avec un traducteur de 79 mm de diametre avec un critere dephase de 60◦.

lobes de reseau pour des focalisations voisines. Ainsi, l’energie transmise est plusimportante car elle se propage suivant la directivite naturelle de chaque element.

1.4.2 Deplacement du traducteur

Le deplacement du traducteur est souvent donne par la forme de la piece et lescontraintes specifiques au controle. Ces contraintes sont liees aux surfaces accessiblesde la piece ou de la structure a controler et au moyen mis en œuvre (robot, ma-nuel). Par exemple, pour un controle qui necessite une vitesse d’execution rapide,des balayages angulaires ou electroniques seront privilegies ; pour un tube de petitdiametre, une barrette encerclante ou encerclee est generalement appropriee.

Le deplacement est evident lorsque la structure de la piece est simple : parexemple de forme plane ou cylindrique, homogene et en materiau isotrope. Parcontre, il s’avere plus complexe lorsque les pieces ont une geometrie non-canoniqueou que le materiau est anisotrope. CIVA propose de prepositionner le traducteurafin que son rayon central, pour le mode de detection souhaite, arrive sur le centrede la fissure a detecter avec l’angle desire.

1.4.3 Reglages de traducteurs multi-elements

L’ajustement du pilotage electronique des elements d’un traducteur multi-ele-ment permet de modifier les caracteristiques focales du traducteur, en temps reelsi necessaire. Nous allons voir ci-dessous quelles sont les methodes proposees pourregler ces lois. Nous commencerons par le calcul d’une loi destinee a focaliser en unpoint geometrique qui est la plus utilisee. Nous decrirons ensuite un moyen d’op-timiser l’orientation et la profondeur du faisceau, puis le phenomene d’apodisationqui est obtenu grace a l’application de lois d’amplitude. Finalement nous decrironsl’utilisation de traducteurs de type sparse array qui permettent de reduire les lobesde reseau tout en utilisant un nombre reduit d’elements.

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28 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

1.4.3.1 Focalisation geometrique

Le calcul des lois de retard peut etre effectue a priori, des lors que la geometrie dela piece et les caracteristiques elastiques des differents milieux de propagation sontconnues. Pour illustrer le principe de la focalisation geometrique, prenons l’exempled’un traducteur lineaire avec lequel on souhaite focaliser en un point donne (appeleefocale geometrique). Pour chaque element, le retard applique est celui qui permettraaux ondes generees par tous les elements d’arriver en phase au point de focalisation.La loi de retard adequate est representee sur la figure 1.11 pour une piece homogeneisotrope.

Eau

Piece

Retards appliquessur les elements

Point focalgeometrique

1Figure 1.11 – Loi de focalisation geometrique d’un traducteur multi-elementlineaire dans une piece homogene isotrope.

Une loi de focalisation geometrique est celle qui permet de maximiser l’amplitudedu signal au point de focalisation. Cela permet par exemple de maximiser l’ampli-tude de l’echo sur un defaut. Mais cela ne signifie pas forcement que le maximumd’amplitude soit situe en ce point (figure 1.12). Ceci est du au couplage de deuxphenomenes : d’une part l’amplitude du signal decroıt en s’eloignant, du fait de ladivergence, de la source et d’autre part les signaux sur des rayons voisins se mettenten phase au point focal geometrique. Ainsi, meme si les signaux ne sont pas totale-ment en phase avant le point de focalisation, ils sont suffisamment constructifs, etavec des amplitudes suffisantes pour que le champ soit plus important localementavant le point de focalisation. De ce fait, le phenomene est d’autant plus vrai quela frequence est basse. Il est important de noter aussi qu’il est impossible de fairefocaliser acoustiquement un traducteur au dela de sa limite de champ proche.

De plus, une difference entre l’angle de deviation du point focal geometrique,

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1.4 Parametres influents pour la mise en œuvre d’un controle 29

Retards

Eau

Piece

Point focalgeometrique

−3

−6

−12

−∞

[dB]0

1Figure 1.12 – Exemple de focalisation geometrique avec un traducteur multi-element lineaire dans une piece homogene isotrope pour lequel le maximum d’am-plitude du champ n’est pas situe sur le point focal.

par rapport au centre de la surface du capteur, et l’angle de deviation du fais-ceau est observable. De fait, vue du point de focalisation geometrique, la bissectricedes rayons decrivant l’ouverture du capteur ne passe pas par le centre du capteur.[Chatillon, 2000] a developpe un algorithme de calcul de lois optimisees pour garantirune deviation de faisceau donnee.

1.4.3.2 Apodisation

L’application d’une loi d’amplitude permet de favoriser l’emission dans differenteszones du traducteur [Lu et Greenleaf, 1993, Mahaut, 1997]. Ainsi, l’application delois favorisant l’emission au centre du traducteur ameliore la detection en champproche et donne un meilleur rapport signal sur bruit au detriment d’une largeurfocale. Ces effets s’inversent lorsque l’emission est favorisee sur les bords du traduc-teur.

1.4.3.3 Reseaux lacunaires (Sparse array)

Les reseaux lacunaires, ou sparse array, sont des traducteurs multi-elements pourlesquels on cherche a casser la periodicite qui engendre les phenomenes de lobe dereseau en utilisant qu’une partie des elements. [Lockwood, 1996] a etudie l’applica-tion de tels capteurs pour les echographies medicales.

Les reseaux lacunaires sont generalement obtenus a partir de traducteurs multi-

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30 1. Mise en œuvre d’un controle non destructif par ultrasons

elements standards pour lesquels seulement une partie des elements est utilisee. Pourla conception d’un reseau lacunaire, s’il est possible d’utiliser des voies differentes al’emission et a la reception afin de generer des lobes de reseau differents, le capteurdevient alors moins sensible a ces artefacts [Austeng et Holm, 2002]. En effet, si unlobe est emis dans une zone, mais qu’en reception le capteur est peu sensible a cettezone, alors l’impact du lobe de reseau est moindre.

1.5 Conclusion

Nous avons vu dans ce premier chapitre les principaux aspects du controle nondestructif par ultrasons. Les principaux modeles de simulation developpes dansle module ultrasons de CIVA permettent de reproduire la propagation d’ondeselastiques lors d’un controle. L’outil de simulation se revele utile pour la mise enœuvre de controle, en particulier lors de la conception de traducteur.

Aujourd’hui, les modeles de simulation sont fiables et rapides, les systemes multi-elements sont matures et la maıtrise dynamique du faisceau offre de nombreusespossibilites. C’est pourquoi nous proposons d’utiliser les modeles de simulation, pouraider les experts a definir la valeur des parametres du controle pour lesquels lasolution n’est pas immediate.

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Chapitre 2

Optimisation d’un controle

La conception de traducteurs multi-elements et le reglage de leur pilotage presen-tent des difficultes pour lesquelles nous cherchons un moyen d’optimisation le plusgenerique possible. S’il existe parfois des methodes simples et rapides d’optimisation,elles ne sont applicables que pour des cas tres cibles. Dans les autres cas, une etudeparametrique basee sur la simulation est souvent necessaire.

Afin d’automatiser cette approche parametrique, nous nous sommes interesses ala famille des metaheuristiques. Elle regroupe les algorithmes d’optimisation visanta resoudre les problemes pour lesquels on ne connaıt pas de methode classiqueplus efficace (par exemple les formules donnees a la section 1.4). Ces algorithmespresentent de l’interet en physique car ils permettent de resoudre simplement desproblemes complexes.

2.1 Les notions d’optimisation

En mathematique, l’optimisation d’une fonction f : A→ R consiste a rechercherl’element x0 de A pour lequel f atteint son minimum (reciproquement son maxi-mum), c’est a dire que ∀x ∈ A, f(x0) ≤ f(x) pour une minimisation (reciproquementf(x0) ≥ f(x) pour une maximisation). L’argument du minimum designe l’ensembledes solutions x pour lesquels f atteint sa valeur minimale ce qui est note par :

arg minx∈A

f(x) := {x ∈ A tel que ∀y ∈ A : f(x) ≤ f(y)} (2.1)

Les algorithmes metaheuristiques resolvent de tels problemes en testant, suivantune logique donnee, un grand nombre de solutions appelees solutions candidates quenous noterons X. Une solution candidate est un vecteur de N variables sur lesquelleson agit pour resoudre le probleme. En ingenierie, un probleme d’optimisation doitetre traduit par le biais d’une fonction mathematique appelee fonction objectif etnotee f . La definition de cette fonction est sans doute le point le plus important quipermet d’aboutir a une solution optimale pertinente.

Nous nous sommes plus particulierement interesses aux algorithmes evolutionnis-tes (AE) qui s’inspirent des theories de l’evolution pour resoudre les problemesd’optimisation. Ils visent a faire evoluer une population de solutions candidates,

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32 2. Optimisation d’un controle

aussi appeles individus, en lui appliquant des operateurs qui sont de deux types :les operateurs de selection qui privilegient des individus par rapport aux autres,et les operateurs de variation qui apportent de la diversite en creant de nouveauxindividus.

Ces algorithmes sont adaptes a la resolution de problemes d’optimisation eningenierie car ils permettent de resoudre des problemes de nature differente avecpeu d’adaptation (quelques parametres de reglage en general). On parle alors deprobleme boıte noire car l’algorithme n’a pas besoin de connaıtre la nature de lafonction objectif pour fonctionner, il doit seulement pouvoir evaluer chacun desindividus avec celle-ci.

2.2 Les algorithmes evolutionnistes en ultrasons

Des AE ont deja ete utilises pour resoudre des problemes d’optimisation en ultra-sons. Ci-dessous nous presentons trois exemples d’applications issus de la litterature :la mise en forme de la surface emettrice d’un traducteur multi-element, le choix desvoies pour un traducteur sparse array, et la generation des lois pour un traducteurmulti-element en traitement medical HIFU.

2.2.1 Optimisation de la mise en forme d’un traducteurmulti-element

Acoustic Ideas a developpe le logiciel Continuum Probe DesignerTM implemen-tant une methode d’optimisation de traducteurs multi-elements. Il permet de trouverla mise en forme de la surface emettrice du traducteur qui necessitera un minimumd’elements. La recherche de cette surface optimale est realisee par un AE : la strategied’evolution de type (1 + λ)[Chen et al., 2006].

Il permet de traiter en particulier l’exemple illustre figure 2.1 pour lequel lesdonnees d’entree du logiciel sont des couples de profondeur de focalisation (pj) etde largeur de tache focale (lj) pour les points j = 1, . . . ,M . Dans un premier tempsl’ouverture du traducteur est calculee pour garantir la largeur de tache focale pourtoutes les profondeurs de focalisation a partir de la formule 1.13. La surface dutraducteur est decrite par revolution d’un profil 2D autour de l’axe ~z. Ce profil(p(r)) est defini, en fonction du rayon r, par la fonction polynomiale de degre P :

p(r) =P∑i=0

αi ri (2.2)

Le logiciel utilise la strategie d’evolution pour rechercher les coefficients αi dupolynome p(r) qui vont definir la surface qui minimise le nombre d’elements dutraducteur. La decoupe du traducteur est obtenue par regroupement de phases de60 (voir section 1.4.1.2) pour la profondeur focale necessitant le plus d’elements. Ceprincipe est traduit par la fonction objectif :

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2.2 Les algorithmes evolutionnistes en ultrasons 33

R

p(r)~z

~x~y

[p1; l1]

[p2; l2]

[pM ; lM ]

Piece

Traducteur

1Figure 2.1 – Probleme d’optimisation de traducteur multi-element pour le controlede billette de titane a differentes profondeurs.

f(X) =

∫ R

0

Mmaxj=1

∣∣∣∣dφdr∣∣∣∣ dr (2.3)

ou une solution candidate X est definie par l’ensemble des coefficients du polynomeX = [α1, . . . , αP ], r le rayon du traducteur et φ la phase du signal sur la surface dutraducteur lorsqu’il focalise a la profondeur donnee.

[Lupien et al., 2006] donnent un exemple d’application sur une piece cylindriqueen titane pour laquelle ils cherchent a focaliser entre 0,2” et 4,5” de profondeur avecune largeur de tache focale a −6 dB constante de 1 mm. Ils ont ainsi pu obtenir untraducteur avec 31 anneaux alors qu’un traducteur a surface de Fermat focalisant a3” necessite 47 anneaux et un traducteur plan necessite 412 anneaux.

2.2.2 Choix optimise des voies pour un traducteur sparsearray

[Yang et al., 2006] ont travaille sur la conception d’un traducteur lineaire de typesparse array (1.4.3.3) en vue de n’utiliser que 16 voies sur les 36 disponibles. L’uti-lisation d’un algorithme genetique permet d’augmenter la resolution, grace a uneplus grande ouverture qu’avec un traducteur lineaire de 16 elements, tout en conser-vant le meme nombre de voies. Afin d’ameliorer la qualite du signal, la methode desreseaux lineaires a moindre redondance [Leech, 1956] a ete couplee avec l’algorithmed’optimisation.

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34 2. Optimisation d’un controle

L’objectif est de reduire la largeur du lobe principal ainsi que l’amplitude deslobes secondaires. La fonction objectif alors utilisee est :

f(X) = k1 MLW + k2 MSL (2.4)

ou une solution candidate X est definie par l’ensemble des voies actives X =[γ1, . . . , γ36] (γi = 1 si la ie voie est active, sinon γi = 0), MLW est la largeurdu lobe principal, MSL est l’amplitude maximale des lobes secondaires et k1 et k2

sont les poids associes a chacun de ces criteres.Le traducteur sparse array, obtenu grace a cette optimisation, genere un faisceau

beaucoup plus resolu (2,5 fois moins large) que celui du traducteur initial de 16elements. Ce reseau est decrit par : 1101001010100101010010101001000100011. Lescaracteristiques focales de ce traducteur sparse array sont donnees dans le tableau2.1.

Orientation a 0 Orientation a 10 Orientation a 30MLW (degre) 1,3 1,3 1,4

MSL (dB) −28,688 7 −25,399 0 −23,462 2

Table 2.1 – Caracteristiques du faisceau du traducteur de type Sparse Array opti-mal obtenu avec un algorithme genetique.

2.2.3 Optimisation des lois de phase en HIFU

[Lu et al., 2005] ont applique au traitement medical HIFU (high intensity focusedultrasound) une methode d’optimisation des lois de phase basee sur un algorithmegenetique. Dans ce domaine, la focalisation du champ est un probleme majeur : ilfaut detruire des tissus pathogenes, par exemple une tumeur, sans endommager lestissus sains.

L’algorithme genetique recherche les phases θi a appliquer aux voies d’un tra-ducteur circulaire de 256 elements, qui permettent de maximiser le rapport entrel’energie acoustique dans la zone focale et l’energie emise par le transducteur. Lafonction objectif utilisee est :

f(X) =P τM PMuτM uM

(2.5)

ou une solution candidate X est definie par l’ensemble des phases de chaque voieX = [θ0, . . . , θ255], P est le vecteur des pressions complexes du champ acoustique auxpoints de controle, u est le vecteur des excitations complexes du reseau d’elementset τ est la transposee de la conjuguee du vecteur.

L’optimisation a permis, en simulation, de maıtriser la focalisation du faisceaupour des applications complexes telles qu’une sextuple focalisation symetrique parrapport a l’axe du traducteur (representee figure 2.2) et une quadruple focalisationasymetrique par rapport a l’axe du traducteur (representee figure 2.3). Pour chacunede ces deux figures, (a) represente le profil de l’intensite sur le plan z = 110 mm, (b)

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2.3 Choix de l’algorithme evolutionniste 35

la projection du profil de l’intensite suivant l’axe x, (c) le contour des focales sur leplan x-y et (d) le contour des focales sur le plan x-z.

Figure 2.2 – Profil de l’intensite pour une sextuple focalisation aux points (2, 0,110), (1, 1,7, 110), (−1, 1,7, 110), (−2, 0, 110), (−1, −1,7, 110), et (1, −1,7, 110).

2.3 Choix de l’algorithme evolutionniste

Au vu des applications tirees de la bibliographie, il nous a fallu faire un choixsur l’AE la plus adaptee a nos besoins. Nos principales contraintes sont de pouvoirresoudre une large gamme de problemes avec un nombre limite de parametres dereglage pour l’algorithme afin qu’un non specialiste puisse l’utiliser sans apprentis-sage. D’apres le no free lunch theorem enonce par [David et William, 1997], aucun al-gorithme ne surpasse tous les autres dans toutes les situations. Le choix n’etant doncpas evident, nous nous sommes interesses aux AE les plus utilises pour des applica-tions d’ingenierie semblables aux notres [Rocca et al., 2009] : strategies d’evolution,les algorithmes genetiques et les algorithmes a evolution differentielle.

2.3.1 Strategie d’evolution

La premiere strategie d’evolution est apparue en 1965 [Rechenberg, 1965] et futun des premiers algorithmes metaheuristiques propose. Ses trois grandes etapes sont :la recombinaison des individus parents entre eux pour obtenir un individu (unique),la mutation de cet individu en ajoutant une variable aleatoire tiree suivant une loi

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36 2. Optimisation d’un controle

Figure 2.3 – Profil de l’intensite pour une quadruple focalisation aux points (1, 1,110), (3, 1, 110), (1, 3, 110) et (3, 3, 110).

normale pour obtenir la nouvelle generation et la selection des meilleurs individusparmi les parents et les enfants.

Des variantes ont ete proposees afin d’ameliorer les performances, en particulier[Hansen et Ostermeier, 1996] ont propose en 1996 la CMA-ES (Covariance MatrixAdaptation Evolution Strategy). Cette variante permet de resoudre des problemesmulti-modaux avec un grand nombre de variables reelles pour peu de parametres dereglage de l’algorithme. Ses performances ont ete illustrees par le benchmark presentepar [Hansen, 2006], quelle que soit la dimension du probleme. En revanche, la naturede l’algorithme n’est pas propice a l’adaptation a des problemes d’optimisation pluscomplets (contraints ou multi-objectifs par exemple).

2.3.2 Algorithmes genetiques

Les algorithmes genetiques [Holland, 1975] sont apparus en 1975. A l’origine,ils fonctionnaient avec un codage binaire de variables mais d’autres types de co-dages sont apparus pour combler cette limitation. Ses trois grandes etapes sont :le croisement entre les individus parents pour obtenir de nouveaux individus, lamutation de ces individus par une petite perturbation tiree aleatoirement pour ob-tenir la nouvelle generation et la selection des meilleurs individus parmi les parentset les enfants. Ces algorithmes sont tres utilises, en particulier pour resoudre desproblemes d’ingenierie.

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2.4 Evolution Differentielle 37

2.3.3 Evolution differentielle

[Price et al., 2005] ont propose les algorithmes a evolution differentielle (ED) quipermettent de travailler sur des variables reelles. Ses trois grandes etapes sont : lamutation des parents par une perturbation, donnee par la difference de plusieursparents, pour obtenir une population intermediaire, le croisement entre cette popu-lation et les parents pour obtenir la nouvelle generation et la selection des enfantsqui se sont ameliores par rapport a leur parent.

Ces algorithmes trouvent un nombre croissant d’applications du fait de leur sim-plicite d’implementation et d’application a un probleme donne, ainsi que de leursperformances reconnues. [Hansen, 2006] presente les resultats d’un benchmark meneen 2005 sur des problemes d’optimisation. Parmi les algorithmes presentes on trouvel’ED et sa variante le L-SaDE [Qin et Suganthan, 2005]. On constate que ces deuxalgorithmes sont bien positionnes (parmi les trois premiers) pour la resolution deproblemes de petite dimension. Par contre leurs performances se degradent pour desdimensions plus importantes.

2.3.4 Conclusion

Nous avons retenu l’evolution differentielle pour son faible nombre de parametresde reglage, ses performances reconnues et pour sa simplicite de mise en œuvre quia facilite l’implementation dans la plateforme de simulation CIVA. Ce choix estaussi motive par les capacites de l’algorithme a s’adapter facilement a la resolutionde problemes contraints ou multi-objectifs. Ces problematiques seront abordeesulterieurement.

Dans les parties suivantes, nous decrivons en premier lieu l’evolution differentielle(ED) proposee par Storn puis la variante proposee par [Nobakhti et Wang, 2007]appelee Randomised adaptive differential evolution (RADE).

2.4 Evolution Differentielle

2.4.1 Introduction

L’evolution differentielle, schematisee sur la figure 2.4, est un processus iteratifmettant en œuvre des operateurs de mutation, croisement et selection. Elle consistea faire evoluer une population d’individus, ou solutions candidates, pour rechercherla solution optimale au probleme donne. Un individu est un vecteur de variables,que nous appellerons genes, et sa capacite a repondre au probleme est donnee parl’evaluation de la fonction objectif pour cet individu.

Nous ne traitons que la recherche du minimum, sachant qu’il est possible detraiter la maximisation d’une fonction f(X) en minimisant −f(X). Commenconspar definir les ecritures et les operateurs qui sont utilises par la suite :

– ng est le nombre de variables du probleme, qui correspond aussi au nombre degenes de chaque individu.

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38 2. Optimisation d’un controle

x(k)

11

x(k)

15

x(k)

14

x(k)

13

x(k)

12

X(k

)1

x(k)

21

x(k)

25

x(k)

24

x(k)

23

x(k)

22

X(k

)2

x(k)

41

x(k)

45

x(k)

44

x(k)

43

x(k)

42

X(k

)4

x(k)

31

x(k)

35

x(k)

34

x(k)

33

x(k)

32

X(k

)3

v(k+

1)

11

v(k+

1)

15

v(k+

1)

14

v(k+

1)

13

v(k+

1)

12

V(k

+1)

1

v(k+

1)

21

v(k+

1)

25

v(k+

1)

24

v(k+

1)

23

v(k+

1)

22

V(k

+1)

2

v(k+

1)

41

v(k+

1)

45

v(k+

1)

44

v(k+

1)

43

v(k+

1)

42

V(k

+1)

4

v(k+

1)

31

v(k+

1)

35

v(k+

1)

34

v(k+

1)

33

v(k+

1)

32

V(k

+1)

3

v(k+

1)

11

x(k)

15

v(k+

1)

14

x(k)

13

v(k+

1)

12

U(k

+1)

1

x(k)

21

v(k+

1)

25

v(k+

1)

24

x(k)

23

x(k)

22

U(k

+1)

2

v(k+

1)

41

x(k)

45

x(k)

44

v(k+

1)

43

x(k)

42

U(k

+1)

4

x(k)

31

x(k)

35

v(k+

1)

34

x(k)

33

x(k)

32

U(k

+1)

3

Renouvellem

ent

Cro

isem

ent

MutationEvaluation +

Selection

Init

ialisa

tion

+Evaluation

Test

des

cri

tere

sd’a

rret

x(k)

51

x(k)

55

x(k)

54

x(k)

53

x(k)

52

X(k

)5 v(k+

1)

51

v(k+

1)

55

v(k+

1)

54

v(k+

1)

53

v(k+

1)

52

V(k

+1)

5

v(k+

1)

41

v(k+

1)

45

x(k)

44

x(k)

43

x(k)

42

U(k

+1)

5

v(k+

1)

11

x(k)

15

v(k+

1)

14

x(k)

13

v(k+

1)

12

X(k

+1)

1

x(k)

21

x(k)

25

x(k)

24

x(k)

23

x(k)

22

X(k

+1)

2

x(k)

31

x(k)

35

v(k+

1)

34

x(k)

33

x(k)

32

X(k

+1)

3

v(k+

1)

41

x(k)

45

x(k)

44

v(k+

1)

43

x(k)

42

X(k

+1)

4x(k)

51

x(k)

55

x(k)

54

x(k)

53

x(k)

52

X(k

+1)

5

k=

0

k=

k+1

1

Figure 2.4 – Schema de principe de l’evolution differentielle.

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2.4 Evolution Differentielle 39

– np represente la taille des populations.– k est le numero de la generation. Celle-ci est initialisee a 0 et s’incremente a

chaque iteration.– X

(k)i est le ie individu de la population a la generation k.

– V(k+1)i est le ie individu mutant cree a la generation k.

– U(k+1)i est le ie individu fils cree a la generation k.

– XU et XL sont les individus qui definissent respectivement les bornes superieu-re et inferieure du domaine d’initialisation.

– x(k)ij est le je gene de l’individu X

(k)i . Cette notation s’applique aussi pour les

individus mutants (V(k+1)i ) et fils (U

(k+1)i ) ainsi qu’aux bornes (XU et XL).

– rand genere aleatoirement un reel compris entre 0 et 1, il est obtenu par unedistribution uniforme.

– f(X) est la fonction objectif evaluee pour un individu X.– Xa = Xb +Xc ⇔ ∀j ∈ [1, ng], xaj = xbj + xcj.– Xa = Xb −Xc ⇔ ∀j ∈ [1, ng], xaj = xbj − xcj.– ∀F ∈ R, Xa = FXb ⇔ ∀j ∈ [1, ng], xaj = Fxbj.

2.4.2 Les etapes de l’ED

2.4.2.1 Initialisation

La premiere etape de l’algorithme est l’initialisation des individus de la popula-tion. Elle est realisee par un tirage aleatoire uniforme dans le domaine d’initialisa-tion :

x(0)ij = rand

(xUj − xLj

)+ xLj (2.6)

2.4.2.2 Mutation

La mutation permet d’obtenir des individus mutants a partir des individus de lapopulation. Chaque individu mutant (V

(k+1)i ) est cree en apportant une perturbation

a un individu de reference. Il existe plusieurs types de mutations qui different sur lemode de selection de l’individu de reference, ainsi que sur le type de variation. Dansnotre etude, nous nous interesserons seulement a deux types de mutation : rand etbest.

La mutation de type rand (illustree figure 2.5) se base sur des tirages aleatoirespour assurer une exploration maximale du domaine de recherche. L’individu dereference est donc tire aleatoirement et la perturbation est obtenue par la differencede deux autres individus aussi tires aleatoirement, au facteur de mutation (F ) pres.L’individu mutant est donne par :

V(k+1)i = X(k)

ai+ F

(X

(k)bi−X(k)

ci

)(2.7)

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40 2. Optimisation d’un controle

ou X(k)ai , X

(k)bi

et X(k)ci sont des individus tires aleatoirement dans la population en

s’assurant que les indices ai, bi et ci sont differents de i et les uns des autres.

X(k)ai

X(k)ci

X(k)bi

x(k)11

x(k)15

x(k)14

x(k)13

x(k)12

X(k)1

x(k)21

x(k)25

x(k)24

x(k)23

x(k)22

X(k)2

x(k)41

x(k)45

x(k)44

x(k)43

x(k)42

X(k)4

x(k)31

x(k)35

x(k)34

x(k)33

x(k)32

X(k)3

x(k)51

x(k)55

x(k)54

x(k)53

x(k)52

X(k)5

x(k)61

x(k)65

x(k)64

x(k)63

x(k)62

X(k)6

x(k)71

x(k)75

x(k)74

x(k)73

x(k)72

X(k)7

x(k)81

x(k)85

x(k)84

x(k)83

x(k)82

X(k)8

x(k)91

x(k)95

x(k)94

x(k)93

x(k)92

X(k)9

v(k+1)i1

v(k+1)i5

v(k+1)i4

v(k+1)i3

v(k+1)i2

V(k+1)i

1Figure 2.5 – Strategies de mutation rand.

La mutation de type best (illustree figure 2.6) se base sur le meilleur individupour assurer une convergence rapide de l’algorithme. L’individu de reference est lemeilleur individu X

(k)best de la population a la generation k, c’est-a-dire que ∀i ∈

[1, np], f(X(k)best) ≤ f(X

(k)i ). La perturbation est obtenue par la difference de deux

autres individus tires aleatoirement au facteur de mutation (F ) pres. L’individumutant est donne par :

V(k+1)i = X

(k)best + F

(X(k)ai−X(k)

bi

)(2.8)

ou X(k)best est le meilleur individu de la population a la generation k, c’est a dire que

∀i ∈ [1, np], f(X(k)best) ≤ f(X

(k)i ). Xai et Xbi sont des individus tires aleatoirement

dans la population en s’assurant que les indices ai et bi sont differents de i, best etl’un de l’autre.

Le facteur de mutation F est un parametre defini par l’utilisateur dans l’inter-valle : F ∈ [0, 2]. [Nobakhti et Wang, 2007] recommandent de choisir F ∈ [1/np, 1[.En particulier, il est deconseille de choisir F = 0 ou F = 1 car ces valeurs engendrentdes problemes de stagnation montres par [Lampinen et Zelinka, 2000].

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2.4 Evolution Differentielle 41

X(k)best

X(k)ai

X(k)bi

x(k)11

x(k)15

x(k)14

x(k)13

x(k)12

X(k)1

x(k)21

x(k)25

x(k)24

x(k)23

x(k)22

X(k)2

x(k)41

x(k)45

x(k)44

x(k)43

x(k)42

X(k)4

x(k)31

x(k)35

x(k)34

x(k)33

x(k)32

X(k)3

x(k)51

x(k)55

x(k)54

x(k)53

x(k)52

X(k)5

x(k)61

x(k)65

x(k)64

x(k)63

x(k)62

X(k)6

x(k)71

x(k)75

x(k)74

x(k)73

x(k)72

X(k)7

x(k)81

x(k)85

x(k)84

x(k)83

x(k)82

X(k)8

x(k)91

x(k)95

x(k)94

x(k)93

x(k)92

X(k)9

v(k+1)i1

v(k+1)i5

v(k+1)i4

v(k+1)i3

v(k+1)i2

V(k+1)i

1Figure 2.6 – Strategies de mutation best.

Le principal effet de F sur la recherche est de fixer un compromis entre l’explora-tion du domaine entier et l’exploitation des resultats precedemment obtenus. Unevaleur faible de F provoque une exploitation intensive car la perturbation est faibleet donc reduit la probabilite de converger, alors qu’une valeur elevee de F pro-voque une surexploration du domaine car la perturbation est importante et reduitsignificativement la vitesse de convergence.

2.4.2.3 Croisement

Le croisement (illustre figure 2.7) consiste a melanger les genes de l’individumutant avec ceux de l’individu parent. Cela permet de limiter les variations dansl’espace de recherche. [Price et al., 2005] ont propose deux types de croisement :binaire et exponentiel. Nous avons choisi de ne traiter que le cas binaire decrit ci-dessous.

Pour chaque gene de chaque individu fils (U(k+1)i ), on tire un nombre aleatoire-

ment entre 0 et 1, puis on le compare au taux de croisement Cr ∈ [0, 1] pour

determiner si on conserve le gene mutant (v(k+1)ij ) ou bien si on recupere le gene

parent (x(k)ij ). De plus, un indice jrand

i ∈ [1, ng] est tire aleatoirement pour chaqueindividu afin de conserver au moins un gene mutant et qu’un individu fils ne soitpas identique a son pere. L’individu fils est donne par :

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42 2. Optimisation d’un controle

x(k)i1

x(k)i5

x(k)i4

x(k)i3

x(k)i2

X(k)i

v(k+1)i1

v(k+1)i5

v(k+1)i4

v(k+1)i3

v(k+1)i2

V(k+1)i

v(k+1)i1

x(k)i5

x(k)i4

v(k+1)i3

x(k)i2

U(k+1)i

1Figure 2.7 – Le croisement.

u(k+1)ij =

{v

(k+1)ij si rand ≤ Cr ou j = jrand

i

x(k)ij sinon

(2.9)

Le taux de croisement Cr ∈ [0, 1] est un parametre defini par l’utilisateur.[Nobakhti et Wang, 2007] recommandent de choisir Cr ∈ [0,1, 0,7] (attention, dans

cet article il est recommande de prendre Cr ∈ [0,3, 0,9] mais ce Cr est relatif a x(k)ij

et non a u(k+1)ij ). Une petite valeur entraıne de petites perturbations, ce qui ralentit

la convergence. A contrario, une grande valeur entraıne une perte plus rapide dediversite mais, de fait, augmente le risque de convergence prematuree.

2.4.2.4 Selection

La selection (figure 2.8) consiste a ne conserver que les individus qui se sontameliores au cours des operations de mutation et de croisement. Les individus de lapopulation a la generation k + 1 sont donnes par :

X(k+1)i =

{U

(k+1)i si f(U

(k+1)i ) < f(X

(k)i )

X(k)i sinon

(2.10)

2.4.2.5 Test des criteres d’arret

A chaque nouvelle generation, les criteres d’arret sont evalues. Des que l’undes criteres d’arret est verifie, l’algorithme est arrete et la meilleure solution dela population finale est definie comme la solution optimale. Le defi est de trouverun bon compromis entre un nombre de generations suffisant pour garantir, autantque faire se peut, l’obtention du minimum global, mais pas excessif, pour eviter degaspiller des ressources de calcul.

[Zielinski et al., 2006] ont liste un grand nombre de criteres d’arret applicables al’ED, en les repartissant dans les categories suivantes :

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2.4 Evolution Differentielle 43

f(X (k)i )

f(U(k+1

)

i

)

x(k)i1

x(k)i5

x(k)i4

x(k)i3

x(k)i2

X(k)i

x(k)i1

x(k)i5

v(k+1)i4

x(k)i3

x(k)i2

U(k+1)i

x(k)i1

x(k)i5

v(k+1)i4

x(k)i3

x(k)i2

X(k+1)i

1Figure 2.8 – La selection.

– Les criteres de reference bases sur la valeur de f(X) a atteindre. Il est peu cou-rant que cette valeur soit connue dans les problemes d’ingenierie, neanmoins,il peut arriver qu’une valeur suffisante soit definie ne correspondant pas force-ment a l’optimum.

– Les criteres exhaustifs bases sur des ressources de calcul limitees. Ce sont lescriteres d’arret les plus courants, en particulier fixer un nombre maximum degenerations.

– Les criteres bases sur l’amelioration de la fonction objectif.– Les criteres bases sur le mouvement des individus dans le domaine de recherche.– Les criteres bases sur la distribution des individus dans le domaine de re-

cherche.– Les criteres mixtes qui couplent plusieurs criteres des autres categories.

2.4.2.6 Renouvellement

Cette etape consiste a prendre en compte le passage a une nouvelle generationet donc a mettre a jour les indices (k = k + 1). De plus, c’est a cette etape qu’on

stocke le meilleur individu X(k+1)best qui sera utilise pour la mutation suivante dans

le cas d’une strategie de type best. Nous verrons que cette etape sera utile pour lesvariantes etudiees ensuite, afin d’observer l’evolution de la nouvelle population aucours des dernieres generations.

2.4.3 Strategies et parametre de l’ED

Differentes strategies peuvent etre utilisees pour les ED, en fonction du type deprobleme a traiter. La convention utilisee pour decrire la strategie choisie est de laforme DE/x/y/z avec :

– x le type de choix pour l’individu de reference lors de la mutation. Les princi-paux proposes dans la litterature sont : rand, best et rand-to-best.

– y le nombre de perturbations appliquees. Ce nombre est generalement de 1 ou2.

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44 2. Optimisation d’un controle

– z le type de croisement. Dans la litterature, sont proposes : binaire et expo-nentiel

Le choix du type de mutation se limite, dans notre cas, aux deux types demutation rand et best. Le premier favorise l’exploration du domaine de recherchealors que le second privilegie la convergence. Les autres types de mutation sont descompromis entre ces deux strategies qui impliquent souvent de definir des parametresd’optimisation supplementaires.

Le choix du nombre de perturbations ne semble pas avoir un impact signi-ficatif sur la recherche et il peut impliquer l’ajout de parametres d’optimisationsupplementaires. Notre algorithme ne prend donc en compte qu’une seule perturba-tion.

Le choix du type de croisement se limite, dans notre cas, au croisement bi-naire presente a la section 2.4.2.3. Pour la strategie exponentielle, un premier ti-rage aleatoire definit le premier gene mutant, puis une serie de tirages aleatoiresdependants de la valeur de Cr donne le nombre de genes mutants successifs (voir[Price et al., 2005] pour plus de precisions).

Pour resumer, nous avons fait le choix de limiter notre algorithme aux deuxstrategies : DE/rand/1/bin et DE/best/1/bin.

Pour realiser une optimisation, il faut fixer la valeur des parametres de l’ED.Dans notre cas il s’agit de fixer :

– np le nombre d’individus dans la population. Il est generalement choisi dansl’intervalle : np ∈ [2ng, 20ng], et plus la valeur est grande, plus la rechercheest robuste.

– F le facteur de mutation que nous choisirons dans l’intervalle F ∈ [1/np, 1[.– Cr le taux de croisement que nous choisirons dans l’intervalle Cr ∈ [0,1, 0,7[.Les valeurs des parametres de l’ED ainsi choisies suivent les recommandations

proposees par [Lampinen et Zelinka, 2000] et permettent de reduire les risques destagnation.

Nous venons de decrire l’algorithme par evolution differentielle pour lequel nousnous sommes limites a deux strategies, et qui demandent de fixer les trois pa-rametres. Le choix de leur valeur depend du probleme a traiter. Voyons maintenantune maniere de s’affranchir du choix de F .

2.5 Randomised adaptive differential evolution

[Nobakhti et Wang, 2007] ont propose une variante de l’ED, appelee randomisedadaptive differential evolution (RADE), qui regule la valeur de F au cours de l’op-timisation. L’interet est non seulement de reduire le nombre de parametres a fixer

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2.5 Randomised adaptive differential evolution 45

par l’utilisateur, mais aussi de favoriser en meme temps l’exploration maximale dudomaine et l’exploitation des individus parents au cours de l’optimisation.

Pour mettre en place cette demarche, la premiere idee est d’attribuer un facteurde mutation F

(k)i propre a chaque individu X

(k)i et qui peut evoluer au cours des

generations. La valeur des F(k)i est definie dans l’intervalle [0, 1, 0, 9]. Ci-dessous,

nous decrivons les modifications apportees a l’ED pour obtenir le RADE.

2.5.1 Initialisation

A l’initialisation de la population principale, on attribue une valeur a F(0)i pour

chaque individu X(0)i par un tirage aleatoire uniforme entre 0.1 et 0.9 donne par :

F(0)i = 0,1 + 0,8 rand (2.11)

2.5.2 Mutation

Les mutations des strategies rand et best sont respectivement redefinies, avec lesnouveaux facteurs de mutation, par :

V(k+1)i = X(k)

ai+ F

(k)i

(X

(k)bi−X(k)

ci

)(2.12)

et

V(k+1)i = X

(k)best + F

(k)i

(X(k)ai−X(k)

bi

)(2.13)

2.5.3 Renouvellement

Toutes les cinq generations, les valeurs des F(k)i sont regulees de maniere a favo-

riser les individus pour lesquels la fonction f s’ameliore le plus.

Pour une generation courante k multiple de cinq, on construit d’abord le vecteurd’adaptation Γ(k) defini par :

Γ(k)i = f(X

(k−5)i )− f(X

(k)i ) (2.14)

ou Γ(k)i est le ie element de Γ(k), relatif au ie individu.

On calcule ensuite la valeur mediane de Γ(k) par l’intermediaire du vecteurd’adaptation ordonne Γ′(k) pour lequel les Γ

(k)i sont ordonnes par ordre croissant.

La mediane est alors donnee par Γ′(k)np/2

. Finalement on tire un nouveau F(k+1)i pour

la moitie des individus dont l’evolution a ete la plus faible. Celui-ci est defini par :

F(k+1)i =

{0,1 + 0,8 rand si Γ

(k)i ≤ Γ

′(k)np/2

F(k)i sinon

(2.15)

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46 2. Optimisation d’un controle

2.6 Conclusion

Les metaheuristiques ont deja permis de resoudre avec succes des problemes d’op-timisation de transducteurs ultrasonores. Pour resoudre un maximum de problemeset reduire le nombre de parametres d’optimisation a fixer nous avons choisi d’uti-liser l’algorithme RADE. Nous proposons ensuite d’etendre les capacites d’un telalgorithme afin de resoudre une large gamme des problemes d’optimisation et ainsirendre son utilisation plus adaptee a la resolution de problemes de CND US.

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Chapitre 3

Outil d’optimisation

L’optimisation de problemes d’ingenierie, tels que la mise en œuvre de controlespar ultrasons, doit prendre en compte une quantite importante d’a priori qui rend ladefinition de la fonction objectif complexe. Un exemple classique consiste a optimiserle faisceau transmis par un traducteur multi-element avec pour contrainte de ne pasdepasser un nombre donne d’elements.

Dans ce chapitre, nous etudierons les moyens que nous avons mis en œuvrepour developper un outil d’optimisation, base sur le RADE, et capable de gererces a priori de facon simple pour l’utilisateur. Nous proposons trois extensions del’algorithme : la prise en compte des contraintes, celle de la precision sur les variables,et la resolution de problemes multi-objectifs.

3.1 Problemes contraints

Les problemes d’optimisation contraints s’ecrivent sous la forme :

Minimiser f(X)Soumis a gm(X) ≤ 0 m = 1, . . . , nc

xLj ≤ xj ≤ xUj j = 1, . . . , ng

(3.1)

ou deux types de contraintes sont donnes : les contraintes par domaine borne(xLj ≤ xj ≤ xUj ) definissent, pour chaque variable, le domaine dans lequel la solutionest recherchee, et les contraintes d’inegalites (gm(X) ≤ 0) definissent des relationsd’inegalites entre plusieurs variables qui doivent etre respectees par la solution opti-male. Notons que les contraintes par domaine borne representent un cas particulierde contraintes d’inegalites et qu’elles peuvent etre traitees plus efficacement que cesdernieres.

Certains problemes definissent en plus des contraintes d’egalite du type h(X) =0, qui peuvent etre traitees comme des contraintes d’inegalite de la forme |h(X)|−ε ≤0. Cette methode, souvent utilisee en optimisation numerique, demande de definirla valeur ε de l’erreur maximale desiree.

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48 3. Outil d’optimisation

3.1.1 Les contraintes par domaine borne

Afin de garantir que la solution optimale trouvee par l’algorithme est bien dansle domaine de recherche, differentes methodes permettant de reintroduire dans cedomaine les solutions candidates qui sont generees a l’exterieur. Ces contraintes sontappliquees sur les individus fils, entre l’operateur de croisement et l’evaluation decette solution. Deux methodes de prise en compte des contraintes par domaine bornesont presentees ci-dessous.

3.1.1.1 Mur reflechissant

Le mur reflechissant, illustre par la figure 3.1, consiste a effectuer une symetriesur la borne la plus proche, ce qui est donne par :

u(k+1)ij =

2xUj − u(k)

ij si u(k+1)ij > xUj

2xLj − u(k)ij si u

(k+1)ij < xLj

u(k+1)ij sinon

(3.2)

u(k+1)iju

(k+1)ij

xUjxL

j

1Figure 3.1 – Mur reflechissant.

Cette methode presente l’avantage de maintenir de la diversite en conservantla convergence, car si la population converge sur une frontiere, les solutions candi-dates ainsi contraintes restent au voisinage de cette frontiere (dans le domaine derecherche).

3.1.1.2 Remise dans l’intervalle par la moyenne

La remise dans l’intervalle par la moyenne, illustree par la figure 3.2, consiste aplacer la variable au voisinage du centre du domaine, ce qui est donne par :

u(k+1)ij =

xLj − xUj

2+ u

(k+1)ij si u

(k+1)ij > xUj

xUj − xLj2

+ u(k+1)ij si u

(k+1)ij < xLj

u(k+1)ij sinon

(3.3)

Cette methode presente l’avantage d’apporter de la diversite, en apportant uneperturbation importante, au detriment de la convergence. De ce fait, elle est plutotadaptee aux problemes pour lesquels des convergences prematurees sont observees.

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3.1 Problemes contraints 49

u(k+1)iju

(k+1)ij

xUjxL

j xLj + xU

j

2

1Figure 3.2 – Remise dans l’intervalle par la moyenne.

3.1.2 Les contraintes d’inegalite

Les contraintes d’inegalite sont moins faciles a prendre en compte que les contrain-tes par domaine borne. En effet, pour les secondes, il est possible d’appliquer une cor-rection sur chaque variable independamment. Au contraire, les contraintes d’inegalitedependent de plusieurs variables, donc si une inegalite est fausse pour une solutioncandidate donnee, il serait arbitraire d’agir sur une variable plutot que sur une autrepour corriger la solution. De plus une telle correction n’est pas forcement evidente.

Nous nous sommes alors appuyes sur une demarche, proposee par [Deb, 2000],qui distingue deux types de solutions : les solutions faisables pour lesquelles toutesles inegalites sont respectees, et les solutions non faisables qui en violent au moinsune. Il est alors possible de redefinir l’operateur de selection comme suit :

– une solution faisable est toujours choisie par rapport a une solution non fai-sable,

– entre deux solutions faisables, on choisit la solution dont la fonction objectifest la meilleure,

– entre deux solutions non faisables, on choisit la solution qui a la plus faibleviolation des contraintes.

Ce choix est justifiable par les resultats des algorithmes utilisant cette methodelors du benchmark CEC 2006 sur la resolution de problemes mono-objectifs contraints[Liang et al., 2006].

Suivant cette methode, il est necessaire de definir une fonction de violation descontraintes g qui depend de toutes les contraintes gm. [Deb, 2000] l’a initialementdefinie par g(X) =

∑nc

m=1 max{0, gm(X)}. Or, les contraintes peuvent avoir desunites differentes dont la sommation pose alors probleme.

Nous proposons de definir la violation des contraintes g(k) pour laquelle chaquecontrainte gm est normalisee par rapport a sa valeur maximale g

(k)m,Max observee

jusqu’a la generation courante k (donnee par g(k)m,Max = max

k′∈[0,k+1](gm(U

(k′)i ))) :

g(k)(X) =nc∑m=1

max(0, gm(X))

g(k)m,Max

(3.4)

3.1.2.1 L’objectif equivalent

Pour prendre en compte cette notion dans le RADE de facon transparente nousproposons d’utiliser un objectif equivalent (η(k)), qui remplace l’objectif dans l’algo-

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50 3. Outil d’optimisation

rithme d’optimisation, et qui est defini par :

η(k)(X) =

1 +

g(X)

ncsi g(k)(X) > 0

f(X)− f (k)Min

f(k)Max − f

(k)Min

sinon(3.5)

ou f(k)Max et f

(k)Min sont respectivement les valeurs maximale et minimale observees

sur l’objectif f jusqu’a la generation k, et donnee par f(k)Max = max

k′∈[0,k+1](f(U

(k′)i )) et

f(k)Min = min

k′∈[0,k+1](f(U

(k′)i )).

Ainsi defini, l’objectif equivalent η(k) a les proprietes suivantes :– si 0 ≤ η(k)(X) ≤ 1 alors X est faisable,– si 1 < η(k)(X) ≤ 2 alors X est non faisable,– toutes les grandeurs (la fonction objectif f et les contraintes gm) sont norma-

lisees, comprises entre 0 et 1, et donc comparables.

3.1.2.2 Selection

Nous venons de definir l’objectif equivalent qui permet de differencier les solu-tions faisables et non faisables en respectant les recommandations de [Deb, 2000].Nous pouvons donc redefinir l’operateur de selection :

X(k+1)i =

{U

(k+1)i si η(k)(U

(k+1)i ) < η(k)(X

(k)i )

X(k)i sinon

(3.6)

3.1.2.3 Renouvellement

De la meme maniere, lors du calcul de vecteur d’adaptation Γ(k), decrit parl’equation 2.14 pour les problemes non contraints, il suffit de remplacer la fonctionobjectif par l’objectif equivalent lorsque le probleme est contraint :

Γ(k)i = η(k)(X

(k−5)i )− η(k)(X

(k)i ) (3.7)

3.1.3 Conclusion

Cette demarche permet de prendre en compte deux types de contraintes pour laresolution de problemes d’optimisation. L’avantage est double. D’abord cela permetd’eviter de generer des configurations non coherentes (des longueurs negatives parexemple). De plus, meme si les solutions non faisables ne produisent pas de configu-rations incoherentes, la methode s’affranchit d’un calcul CIVA, couteux en temps,pour des solutions qui ne presentent pas d’interet ; par exemple une solution dont lenombre d’elements est superieur au nombre de voies du systeme multi-element. Cetalgorithme base sur le RADE sera par la suite appele RADEC.

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3.2 Precision 51

3.2 Precision

Lors de la resolution de nos premiers problemes d’optimisation de controle enCND US, nous avons mis en evidence que lorsque la population converge, des calculssont effectues pour des solutions voisines tellement proches que la mise en œuvrede ces solutions serait identique du fait de la precision technologique. Par exemple,l’information de positionnement d’un capteur au micrometre pres n’est pas utileetant donne que le systeme de deplacement ne permet d’avoir des precisions que del’ordre du dixieme de millimetre. Donc deux solutions qui se differencient uniquementpar un ecart de l’ordre du micrometre sont en realite identiques du point de vue dela mise en œuvre.

3.2.1 Le formatage

Pour prendre en compte cette precision sur les variables, le vecteur de precisionXP doit etre defini par l’utilisateur. L’espace de recherche est alors echantillonne,pour former une grille dont le pas est donne par xPi pour chaque variable i. Il estalors possible de formater les solutions fils (Ui) afin de placer ces individus sur lepoint de la grille le plus proche :

uij = floor

(uij − xLjxPj

)× xPj + xLj (3.8)

ou floor(a) est la valeur entiere de a.En utilisant une telle methode, le risque qui se presente est d’obtenir plusieurs

solutions exactement identiques alors qu’elles etaient initialement (faiblement) dif-ferentes. De ce fait la diversite de population est reduite. Nous avons vu que l’opera-tion de mutation (equation 2.7) est celle qui apporte de la diversite aux solutions filspar le biais d’une perturbation. Cette perturbation est donnee par la difference dedeux individus de la population. Donc si ces deux individus sont identiques, aucunediversite ne peut etre apportee. Un simple formatage des solutions augmente doncle risque d’une convergence prematuree de la population.

3.2.2 Conservation de la diversite

Nous proposons donc un moyen de conserver la diversite de la population. SoitU (k) l’ensemble de toutes les solutions candidates gerees jusqu’a la generation cou-

rante k, et donne par : U (k) =k+1⋃k′=0

{U

(k′)i

}. Soit U (k)[i] le ie element de U (k). Il est

alors possible de verifier si une nouvelle solution candidate qui vient d’etre formateea deja ete generee. Si ce n’est pas le cas alors cette solution est conservee telle quelle.Sinon, la solution voisine le plus proche et encore non generee est recherchee :

U(k+1)i =

{voisin(U

(k+1)i ) si ∃j ∈ N tel que U

(k+1)i = U (k)[j]

U(k+1)i sinon

(3.9)

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52 3. Outil d’optimisation

ou la fonction voisin(U) donne la solution voisine de U la plus proche encore nongeneree. Cette fonction est decrite ci-dessous.

La recherche du voisin est realisee par niveau. Soit VnivU l’ensemble des individusvoisins de U au niveau niv. La solution W sur la grille de recherche est un voisin deU au niveau niv si :

W ∈ VnivU ⇔{∃j ∈ [1, ng] tel que |uj − wj| = niv × xPj∀j ∈ [1, ng] , |uj − wj| ≤ niv × xPj

(3.10)

La figure 3.3 illustre l’exemple d’un probleme a deux variables et la grille derecherche associee. C’est ainsi que les voisins de U = (u1, u2) au niveau 1 sont lessolutions : W1 = (u1 − xP1 , u2 − xP2 ), W2 = (u1 − xP1 , u2), W3 = (u1 − xP1 , u2 + xP2 ),W4 = (u1, u2−xP2 ), W5 = (u1, u2 +xP2 ), W6 = (u1 +xP1 , u2−xP2 ), W7 = (u1 +xP1 , u2)et W8 = (u1 + xP1 , u2 + xP2 ).

U

W1 W2 W3

W4

W5W6W7

W8

niv = 3

niv = 2

niv = 1

xP2

xP1

variable 2

variab

le1

1Figure 3.3 – Exemple de grille pour un probleme a deux variables et illustrationdes voisins (W1, W2, W3, W4, W5, W6, W7, W8) de niveau 1 d’une solution U .

Maintenant que la notion de voisin est definie, la demarche complete permettant,lorsqu’une nouvelle solution (Ue) est generee, de prendre en compte la precision pourdonner une solution Us est donnee par l’organigramme de la figure 3.4.

Cet algorithme peut etre explicite comme suit. La solution Ue est formatee. Sicette solution a deja ete generee, alors la solution voisine non generee la plus procheest recherchee, sinon elle est conservee. Lors de la recherche du voisin, la boucle enbleu scanne aleatoirement les solutions au niveau donne jusqu’a trouver un voisinencore non genere. La boucle en vert permet de passer au niveau superieur si toutesles solutions des niveaux inferieurs ont deja ete generees.

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3.3 Multi-objectif 53

Us = formatage(Ue)

Entree : Ue

Us a deja etegenere ?

niv = 1

non

non

oui

oui

oui

non

Sortie : Us

Calcul de Vl’ensemble des voisins

du niveau niv

Us est tirealeatoirement parmi

les elements de V

Us a deja etegenere ?

Us est retirede V

V est-il vide ?

niv = niv + 1

1Figure 3.4 – Organigramme decrivant l’algorithme de gestion de la precision.

3.2.3 Conclusion

La prise en compte de la precision est realisee a l’initialisation des individus (X(0)i )

puis entre la conservation des contraintes (U(k+1)i ) et l’evaluation. Cela apporte un

double interet a l’optimisation : non seulement le resultat obtenu a plus de sens pourl’utilisateur, mais en plus on s’affranchit de calculs directs (CIVA) qui n’apportentpas une information interessante et surtout qui sont couteux en temps.

3.3 Multi-objectif

Nous proposons finalement d’etendre notre outil d’optimisation a la resolutionde problemes comptant plusieurs objectifs concurrents. Cette approche permet parexemple de formuler un probleme pour lequel on cherche simultanement, pour uneouverture donnee, a minimiser le nombre d’elements et reduire l’amplitude des lobesde reseau. Il est evident que plus on ameliore un objectif, plus on deteriore l’autre.

Les problemes d’optimisation multi-objectifs contraints peuvent s’exprimer sousla forme :

Minimiser fl(X) l = 1, . . . , noSoumis a gm(X) ≤ 0 m = 1, . . . , nc

xLj ≤ xj ≤ xUj j = 1, . . . , ng

(3.11)

Resoudre de tels problemes consiste a rechercher l’ensemble des solutions ditesde Pareto qui representent l’ensemble des meilleurs compromis entre les differents

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54 3. Outil d’optimisation

objectifs. La figure 3.5 illustre cela pour un exemple de probleme a deux objectifs(f1 et f2). La zone grise represente l’ensemble des solutions dans le domaine desobjectifs et les lignes rouges definissent les solutions de Pareto.

f1(X)

f 2(X

)

1Figure 3.5 – Illustration du front de Pareto (en rouge) dans le domaine des objectifs.

Nous verrons d’abord plus en detail la notion de solution de Pareto. Ensuitenous justifierons et detaillerons nos choix pour la methode d’optimisation multi-objectif. Nous decrirons l’algorithme ainsi developpe puis le validerons. Finalement,nous proposerons une methode pour aider l’utilisateur a choisir une solution parmicelles constituant le front de Pareto.

3.3.1 Solutions de Pareto

La premiere notion importante est celle de dominance [Angell et Kirsch, 2004].La dominance forte, qu’on appellera simplement dominance par la suite, est definiepar l’operateur vectoriel binaire �. Pour deux vecteurs A = (a1, . . . , an) et B =(b1, . . . , bn), la relation de dominance est donnee par :

A � B ⇔ ∀i ∈ [1, n], ai ≤ bi et A 6= B (3.12)

On definit aussi la contraposee de cet operateur par :

A � B ⇔ ∃i ∈ [1, n] tel que ai > bi ou A = B (3.13)

Definition Une solution X0 est appelee solution de Pareto si et seulement si iln’existe pas de solution X du domaine de recherche U telle que, pour la fonction

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3.3 Multi-objectif 55

multi-objectif F : U → Z, F(X) � F(X0). On utilise aussi le terme de solution nondominee. Il est important de noter que la notion de dominance est appliquee dansle domaine des objectifs (Z) et non dans le domaine des solutions (U).

Nous cherchons a definir une methode permettant d’obtenir l’ensemble des solu-tions de Pareto, aussi appele ensemble de Pareto ou front de Pareto.

On definit F : U → Z la fonction multi-objectif du probleme, qu’on peut ecriresous forme vectorielle : F(X) = (f1(X), . . . , fno(X)) ; et U l’ensemble des solutionsevaluees. D’apres la definition donnee precedemment, X0 est une solution de Paretode l’ensemble U si et seulement si

@X ∈ U tel que F(X) � F(X0) (3.14)

Nous proposons maintenant une demarche permettant d’obtenir le nouvel en-semble de Pareto lorsqu’une nouvelle solution candidate est evaluee.

Soit Sm l’ensemble des solutions de Pareto de l’ensemble Um des m indivi-dus evalues (Um = {X1, . . . , Xm}). Lorsqu’on evalue un nouvel individu Xm+1, oncherche l’ensemble Sm+1 des solutions de Pareto de l’ensemble Um+1 = Um∪{Xm+1}.

Dans un premier temps, on regarde si Xm+1 est une solution de Pareto de Um+1.• Pour cela, on montre d’abord que Xm+1 est une solution de Pareto de Um+1 si etseulement si il est solution de Pareto de Um.

Demonstration Par definition (equation 3.14) : Xm+1 ∈ Sm+1 ⇔ @X ∈ Um+1 telque F(X) � F(Xm+1). Or Um+1 = Um ∪ {Xm+1} nous permet d’ecrire Xm+1 ∈Sm+1 ⇔ @X ∈ Um tel que F(X) � F(Xm+1) et F(Xm+1) � F(Xm+1). D’apresl’equation 3.13 F(Xm+1) � F(Xm+1) est toujours vrai.

On a donc bien Xm+1 ∈ Sm+1 ⇔ @X ∈ Um tel que F(X) � F(Xm+1).

• On montre ensuite que Xm+1 est une solution de Pareto de Um+1 si et seulementsi il est solution de Pareto de Sm.

Demonstration On veut montrer que Xm+1 ∈ Sm+1 ⇔ @Y ∈ Sm tel que F(Y ) �F(Xm+1). En s’appuyant sur le resultat de la demonstration precedente, cela revienta montrer que @Y ∈ Sm tel que F(Y ) � F(Xm+1) ⇔ @X ∈ Um tel que F(X) �F(Xm+1).

On demontre par l’absurde la premiere implication : @Y ∈ Sm tel que F(Y ) �F(Xm+1)⇒ @X ∈ Um tel que F(X) � F(Xm+1). On fait l’hypothese que l’individuZ ∈ Um domine Xm+1 (F(Z) � F(Xm+1)). Hors Sm ⊂ Um.

– Si Z ∈ Sm alors F(Z) � F(Xm+1) (premier membre de l’implication appliquea Z) qui aboutit a une contradiction avec l’hypothese.

– Si Z ∈ Um \ Sm alors ∃Y ′ ∈ Sm tel que F(Y ′) � F(Z), et l’hypothesenous dit que F(Z) � F(Xm+1). La transitivite de l’operateur �, facilementdemontrable, nous permet d’ecrire que F(Y ′) � F(Z) � F(Xm+1)⇒ F(Y ′) �F(Xm+1) qui conduit la encore a une contradiction avec le premier membrede l’implication (car Y ′ ∈ Sm).

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56 3. Outil d’optimisation

La seconde implication : @X ∈ Um tel que F(X) � F(Xm+1) ⇒ @Y ∈ Sm telque F(Y ) � F(Xm+1) est evidente car Sm ⊂ Um.

Pour conclure, on vient de montrer que :

Xm+1 ∈ Sm+1 ⇔ @Y ∈ Sm tel que F(Y ) � F(Xm+1) (3.15)

On cherche maintenant l’ensemble des solutions de Pareto (Sm+1) de Um+1. Nousdevons traiter les deux cas suivants :• Si Xm+1 n’est pas une solution de Pareto de Um+1 (Xm+1 /∈ Sm+1) il est evidentque le front de Pareto est defini par :

Sm+1 = Sm (3.16)

• Si Xm+1 est une solution de Pareto de Um+1 (Xm+1 ∈ Sm+1) alors il est evident queles autres solutions de Pareto de Sm+1 ne peuvent provenir que de Sm. On definitalors le front de Pareto par :

Sm+1 = {Xm+1} ∪ {Y ∈ Sm tel que F(Xm+1) � F(Y )} (3.17)

3.3.2 Choix de la demarche

Dans la litterature, plusieurs algorithmes bases sur l’ED ont ete proposes pourresoudre les problemes multi-objectifs. La plupart d’entre eux s’inspirent de lademarche proposee par [Deb et al., 2002] applique a un algorithme genetique appeleNSGAII et s’appuyant sur deux principes : l’ordonnancement de la non dominanceet le critere de diversite.

Le choix de celle-ci est justifiable grace aux resultats des algorithmes utilisantune methode similaire lors des benchmarks CEC 2007 [Huang et al., 2007] et 2009[Zhang et al., 2009].

Nous nous sommes donc appuyes sur cette methode pour adapter notre outild’optimisation a la resolution de problemes d’optimisation multi-objectifs contraints(ou non). Nous decrivons ci-apres l’ordonnancement de la non dominance et le criterede diversite que nous utilisons.

3.3.2.1 Ordonnancement de la non dominance

L’ordonnancement de la non dominance consiste a ordonner un ensemble desolutions U suivant differents fronts Sr, le premier front S1 etant le front de Pareto.Il est generalement realise sur une population contenant les individus peres et fils dela generation donnee. De fait, on obtient a la fin de l’optimisation un front de Paretocontenant au maximum 2np individus. Dans la mesure ou le calcul direct est rapide,il est important de gagner du temps sur l’ordonnancement de la non dominance dontla complexite algorithmique depend fortement du nombre d’individus a ordonner.En particulier, [Deb et al., 2002] propose un algorithme d’ordonnancement dont la

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3.3 Multi-objectif 57

complexite est O(noN2) avec no le nombre d’objectifs et N le nombre d’individus

ordonnes.Dans notre cas, l’evaluation des objectifs (necessitant un ou plusieurs calculs

CIVA) prend un temps tres superieur a celui de l’ordonnancement. Nous avonsjuge interessant d’utiliser une archive externe pour conserver et ordonner tous lesindividus evalues au cours d’une optimisation. Cela nous permet de decrire les frontsplus precisement et ainsi de proposer un ordonnancement de la non dominance leplus fin possible. De plus, on obtient ainsi un front de Pareto final comportant unnombre d’individus independant de np. L’utilisation d’une archive exterieure a dejaete proposee par [Huang et al., 2005] afin de conserver le front de Pareto.

Commencons par definir les variables utilisees ensuite. Soit U (k) l’ensemble conte-nant toutes les solutions candidates evaluees a la generation k. S(k)

r est le re front

de U (k), c’est a dire l’ensemble des solutions de Pareto de U (k) \r−1⋃r′=1

S(k)r′ . Donc S(k)

1

est le front de Pareto de U (k). Par la suite, le rang (r) du front auquel appartient

un individu (X ∈ S(k)r ) sera note χ(k)(X), et le nombre de fronts a la generation k,

χ(k)Max.

L’algorithme permettant de recalculer l’ordonnancement de la non dominance,lorsque les nouveaux individus fils (U

(k+1)i ) sont evalues, est decrit par l’organi-

gramme de la figure 3.6.Cet algorithme peut etre explicite comme suit. L’etape d’initialisation, encadree

en gris, consiste a recuperer les fronts de la generation precedente et, parmi lesnouvelles solutions, ne conserver que celles qui sont faisables dans Tprec. Cet ensemblepermet d’introduire au fur et a mesure les solutions aux fronts r (Sr). De plus lerang r est initialise a 1 pour organiser les solutions des rangs les meilleurs vers lesmoins bons.

La boucle principale, en orange, trie les solutions (X) tant qu’elles n’ont pastoutes ete ordonnees. La boucle bleu teste si la solution X appartient au front. Pourcela, elle ne doit etre dominee par aucune solution du front Sr comme nous l’avonsdecrit a l’equation 3.15. Si elle est dominee par une solution du front, elle est ajouteea l’ensemble Tsuiv qui permet d’enlever au fur et a mesure les individus du front r(Sr) pour tester s’ils appartiennent au front suivant. Si X appartient au front, alorsl’algorithme passe dans la boucle verte pour tester si les solutions du front (Y ) enfont toujours partie.

Finalement, lorsque toutes les solutions de Tprec ont ete testees, l’algorithme passeau niveau suivant pour trier les solutions de Tsuiv.

La complexite de cet algorithme pour l’ordonnancement de N individus estevaluee comme suit. La boucle principale encadree en orange, est executee au maxi-mum N2 fois, car il ne peut pas y avoir plus de N fronts pour lesquels on a au moinsun individu et le re front contient au plus N − r individus. Ensuite les deux bouclesbleu et verte sont executees sur au plus tous les individus du front (entre un et N−r

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58 3. Outil d’optimisation

Entree : U(k+1)i

i = 1

U(k+1)i est ajoute Tprec

oui

non

i > np ?non

oui

Tprec est-il vide ?oui

non

r = 1

j = 1

F(Y ) � F(X) ?

j = j + 1

non

j > taille(S(k)r ) ?

non

j = 1oui

oui

F(X) � F(Y ) ?

j = j + 1

oui

non

j > taille(S(k)r ) ?

non

oui

Tprec = ∅ ?oui

non

Tprec = Tsuivr = r + 1

Tsuiv = ∅

Les fronts S(k)r sontinitialises avec les valeurs

de la generation k − 1

Sortie : S(k)r , χ(k)Max

U(k+1)i est-ilfaisable ?

Le premier element deTprec est enleve de

l’ensemble et appele X

Y est le je element

du front S(k)r

Y est le je element

du front S(k)r

X est ajoute aTsuiv

Y est enleve dufront S(k)r et

ajoute a Tsuiv

1Figure 3.6 – Organigramme decrivant l’algorithme d’ordonnancement de la non-dominance.

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3.3 Multi-objectif 59

comme precedemment). Finalement la comparaison de dominance (�) est realiseesur les no objectifs.

La complexite algorithmique est donc de O(noN3). Il est donc important de jus-

tifier ce choix par rapport a l’algorithme du NSGAII dont on a vu que la complexiteest de O(noN

2). Il s’agit d’abord d’un choix de simplicite au detriment de la rapiditequi n’est pas critique pour nous. La seconde raison est que la complexite algorith-mique s’appuie sur l’evaluation asymptotique, c’est-a-dire le cas le plus critique. Enparticulier, l’utilisation de l’echappement si X est dominee par un Y permet de li-miter le nombre d’iterations en ne faisant pas la comparaison avec tout le front. Deson cote, l’algorithme d’ordonnancement utilise par NSGAII realise totalement sesdeux boucles de complexite N2. On peut esperer ainsi que les pertes de temps sontlimitees.

3.3.2.2 Critere de diversite

Le critere de diversite permet de quantifier la densite d’individus se trouvanta proximite de l’individu donne dans le domaine des objectifs. Pour ce faire, nousutilisons la methode de la crowding distance proposee par [Deb et al., 2002], pourlaquelle nous proposons une variante que nous avons appele distance d’encombrementfinie qui garantit que la valeur du critere de diversite soit comprise dans l’intervalle[0, no] (et non [0,∞[ comme propose initialement). Cela nous permettra de definirun objectif equivalent pour les problemes multi-objectifs.

Cette methode demande de trier, pour chaque front S(k)r , les solutions S l,(k)

r parordre croissant suivant chaque fonction objectif fl a la generation courante k. SoitS l,(k)r le front trie suivant l’objectif l et S l,(k)

r [i] son ie element. Le critere de diversitede X a la generation k est note δ(k)(X).

L’algorithme de calcul du critere de diversite δ(k)(X) pour une solution X a lageneration k est decrit par l’organigramme de la figure 3.7.

δ(k)(X) = 0 i premier oudernier element

de Sl,(k)r ?

non

oui

l = 1

δ(k)(X) = δ(k)(X) + 1

δ(k)(X) = δ(k)(X) +fl(Sl,(k)r [i+ 1])− fl(Sl,(k)r [i− 1])

f(k)l,Max − f

(k)l,Min

l = l + 1l > no

non

oui

Calcul de i, la positionde X dans son front

ordonne suivantl’objectif l Sl,(k)r

Entree : X

Sortie : δ(k)(X)

1Figure 3.7 – Organigramme decrivant l’algorithme de calcul du critere de diversite.

Cet algorithme peut etre explicite comme suit. Apres l’initialisation du critere

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60 3. Outil d’optimisation

de diversite a 0, une boucle sur les objectifs l, encadree en bleu, est realisee. Pourl’objectif donne, si la solution est a la premiere ou la derniere position du frontordonne, la valeur du critere de diversite est incrementee de 1, valeur maximaleatteignable. Sinon δ(k)(X) est incremente de la distance entre les deux voisins de X,du point de vue de l’objectif l considere, normalisee par la distance entre les valeursextremes de cet objectif sur le front (f

(k)l,Max et f

(k)l,Min).

La seule difference entre la distance d’encombrement finie et la crowding dis-tance est la valeur attribuee aux positions extremes. Attribuer la valeur 1 revient aconsiderer la distance normalisee entre les valeurs extremes f

(k)l,Max et f

(k)l,Min. En s’ap-

puyant sur l’exemple de la figure 3.8, on voit que pour un objectif donne (f2), lesindividus aux positions extremes (X1 et X6) sont privilegies par rapport aux autres,pour lesquelles la distance entre les solutions voisines est forcement inferieure a celledes valeurs extremes. La definition d’un critere de diversite dont la valeur est finiepermet de definir l’objectif equivalent en multi-objectif.

f1

f 2

X1

X2

X3

X4

X5

X6

f2(X

1)−

f2(X

6)

f2(X

3)−

f2(X

5)

1Figure 3.8 – Calcul de la diversite, par la methode de la distance d’encombrementfinie, pour un exemple de front de Pareto.

3.3.3 RADE multi-objectif

Cette section propose une serie de modifications a apporter au RADE afin deresoudre des problemes multi-objectifs, en se basant sur l’ordonnancement de la nondominance et le critere de diversite qui viennent d’etre proposes. Nous continuerons anous attacher a limiter le nombre de parametres de reglage necessitant l’interventionde l’utilisateur.

3.3.3.1 Objectif equivalent

De la meme maniere que pour la prise en compte des contraintes, nous propo-sons de definir un objectif equivalent pour les problemes multi-objectifs a partir desgrandeurs mises en jeu :

– Le rang : χ(k)(X) ∈ [1, χ(k)Max], plus sa valeur est faible, meilleur est l’individu.

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3.3 Multi-objectif 61

– Le critere de diversite : δ(k)(X) ∈ [0, no], plus sa valeur est grande, plus lesindividus voisins de X sont eloignes, et plus il doit etre favorise.

– La violation des contraintes : g(X) ∈ [0, nc], plus sa valeur est grande, plus Xs’eloigne d’une solution faisable.

L’objectif equivalent multi-objectif η(k) est defini par :

η(k)(X) =

χ

(k)Max +

g(X)

ncsi g(k)(X) > 0

χ(k)(X)− δ(k)(X)

nosinon

(3.18)

qui garantit les proprietes suivantes :– Entre deux solutions de rangs differents, celle dont le rang est le plus petit est

privilegiee : si χ(k)(X1) < χ(k)(X2) alors η(k)(X1) < η(k)(X2).– Entre deux solutions du meme rang, celle dont le critere de diversite est le

plus grand est choisie : si χ(k)(X1) = χ(k)(X2) et δ(k)(X1) > δ(k)(X2) alorsη(k)(X1) < η(k)(X2).

– La differentiation entre les solutions faisables et non faisables suit toujours lesrecommandations de [Deb, 2000] : si 0 ≤ η(k)(X) ≤ χ

(k)Max alors X est faisable ;

et si χ(k)Max < η(k)(X) ≤ χ

(k)Max + 1 alors X est non faisable.

3.3.3.2 Mutation

Dans le cas multi-objectif, seule la mutation de type rand sera utilisable. Eneffet, la mutation de type best necessite de definir la meilleure solution parmi lesparents, chose rarement possible en multi-objectif.

3.3.3.3 Selection

Nous avons choisi de proposer deux types de selection. La premiere est basee surl’objectif equivalent et la seconde sur les fronts de Pareto.

La selection basee sur l’objectif equivalent redefinit simplement la selectionen remplacant, dans l’algorithme original, la fonction objectif (f) par l’objectifequivalent (η) :

X(k+1)i =

{U

(k+1)i si η(k)(U

(k+1)i ) < η(k)(X

(k)i )

X(k)i sinon

(3.19)

La selection basee sur les fronts de Pareto, inspiree par celle proposee par[Deb et al., 2002], est decrite par l’organigramme de la figure 3.9.

Cet algorithme peut etre explicite comme suit. Dans l’encadrement bleu, l’algo-rithme boucle tant que la nouvelle population n’est pas remplie et que le front rn’a pas besoin d’etre elague (pruned en anglais) [Kukkonen et Deb, 2006]. Le frontqui doit etre elague est copie dans l’ensemble temporaire T afin de lui retirer les

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62 3. Outil d’optimisation

Entree : S(k)r

r = 1 S(k)r doit-il etre

elague ?

non

ouir = r + 1

La population X(k+1)i est remplie

avec les elements de S(k)r

T = S(k)r

T est-ilsuffisamment

elague ?

Retirer de T la solutionpour laquelle δ(k)(X)

est le plus petit

non

oui

La population X(k+1)i est remplie

avec les elements de T Sortie : X(k+1)i

1Figure 3.9 – Organigramme decrivant l’algorithme de la selection basee sur lesfronts de Pareto.

solutions dont le critere de diversite est le plus faible. Dans l’encadrement vert, lescriteres de diversite sont recalcules a chaque fois qu’une solution est enlevee pourobtenir une bonne repartition sur le front. Finalement, toutes les solutions de T sontutilisees pour la nouvelle population.

3.3.3.4 Renouvellement

Lors du calcul de vecteur d’adaptation Γ(k), decrit par l’equation 2.14 pour leRADE, il suffit de remplacer la fonction objectif par l’objectif equivalent lorsque leprobleme est contraint :

Γ(k)i = η(k)(X

(k−5)i )− η(k)(X

(k)i ) (3.20)

3.3.4 Choix d’une solution

Etant donne que le resultat d’une optimisation multi-objectif est un ensemblede solutions (front de Pareto), le choix d’une solution releve de la responsabi-lite de l’utilisateur. C’est finalement a lui de choisir ce qu’il considere le meilleurcompromis. Ce choix peut etre aide par le biais de l’approche Fuzzy membership[Varadarajan et Swarup, 2008] que nous avons un petit peu modifiee pour prendreen compte une ponderation αl sur chaque objectif et ainsi permettre d’en favorisercertains par rapport a d’autres.

A chaque solution de l’ensemble de Pareto (Xi ∈ S1) est associee une fonctionmembre µi, definie par

µi =no∑l=1

αlf

(k)l,Max − fl(Xi)

f(k)l,Max − f

(k)l,Min

(3.21)

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3.4 Validation 63

La solution qui donne le meilleur compromis est alors celle qui maximise la valeurde µi.

3.3.5 Conclusion

Nous avons propose une methode pour resoudre les problemes multi-objectifs apartir du RADE et sans rajouter de parametre de reglage pour l’utilisateur. Lesmodifications apportees sont un petit peu plus lourdes que celles permettant deprendre en compte les contraintes ou la precision. Finalement, l’utilisateur peut uti-liser son expertise au service de la resolution du probleme donne et non de l’etudeparametrique a mettre en œuvre pour y parvenir. Cet algorithme est appele RADE-MOC.

3.4 Validation

Nous proposons de valider ces modifications sur des problemes d’optimisationpour lesquels les resultats sont connus. Les variantes RADEC et RADEMOC ontete testees sur des problemes issus de benchmarks du Congress on EvolutionaryComputation. Il est important de noter qu’il s’agit d’une validation de principe.

En effet, les problemes issus de ces benchmarks ne representent pas vraimentle type de problemes a resoudre en CND US puisqu’ils necessitent un nombred’evaluations de solutions de l’ordre de 50 000. Si la simulation CIVA permettantd’evaluer les solutions dure en moyenne 2 minutes (duree de simulation credible),une telle optimisation prendrait environ 70 jours. Nous visons des durees d’optimi-sation inferieures a quatre jours. Malgre tout, ces benchmarks permettent de voircomment se comporte l’algorithme et s’il arrive a converger de maniere fiable (surplusieurs tirages) vers la bonne solution.

Les resultats du RADEC pour la resolution de problemes contraints issus duCEC2006 [Liang et al., 2006] sont presentes dans l’annexe A. Le premier problemene provient pas de ce benchmark mais presente l’interet d’etre plus proche du typede problemes que nous souhaitons resoudre. Nous avons aussi pu tester avec succesla gestion de la precision. Pour tous les problemes du benchmark, sauf le dernier,l’algorithme arrive a converger avec une precision de 10−4 sur la solution optimalepour chaque execution.

Les resultats du RADEMOC pour la resolution de problemes multi-objectifs issusdu CEC2009 [Zhang et al., 2009] sont presentes dans l’annexe B. Quatre des sixproblemes traites donnent un resultat satisfaisant etant donne que le front obtenuest proche du front de Pareto des problemes. Pour les deux derniers problemes,une partie des algorithmes participants au benchmark a aussi obtenu un resultatmediocre, ce qui permet d’affirmer que ces problemes sont complexes a resoudre.

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64 3. Outil d’optimisation

3.5 Conclusion

Nous avons propose trois ameliorations du RADE afin de prendre en compte lescontraintes, la precision et de permettre la resolution de problemes multi-objectifs.De plus, nous avons montre les capacites de ces algorithmes a resoudre des problemesd’optimisation mathematique, issus de la litterature. Pour conclure ce memoire, noustraitons des problemes d’optimisation de controle en CND US.

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Chapitre 4

Applications pour le CND US

Dans ce dernier chapitre, nous testons les algorithmes presentes dans les chapitresprecedents sur des problemes d’optimisation de controles par ultrasons. Pour cela, ila d’abord fallut interfacer l’outil d’optimisation avec le module ultrasons de la plate-forme CIVA. Nous abordons ensuite, d’un point de vue general, comment formuler unprobleme de mise en œuvre de controle par ultrasons en un probleme d’optimisationautomatique. Finalement, trois problemes de controle par ultrasons sont traites :le positionnement d’un capteur pour le controle d’un piquage, la conception d’untraducteur SE pour optimiser ses performances de focalisation, et la conceptiond’une barrette encerclee pour controler des fissures en paroi externe de tube.

4.1 Interfacage de l’outil d’optimisation avec CIVA

Commencons par definir les termes utilises dans ce chapitre afin de lever lesambiguıtes sur des notions qui peuvent porter a confusion :

– Les variables sont celles du probleme d’optimisation (cf. section 2.4.1).– Les parametres d’optimisation sont les parametres de reglage de l’algo-

rithme : en particulier le taux de croisement Cr, la taille de la population npet la strategie, mais aussi la definition des variables, de la (ou des) fonction(s)objectif et des contraintes.

– Les parametres de simulation sont les parametres qui definissent la simu-lation CIVA. Lors d’une optimisation, la plupart sont constants, et certainsdoivent varier pour chaque solution candidate s’ils ont ete definis comme va-riables du probleme d’optimisation.

Pour evaluer les solutions candidates, l’algorithme a evolution differentielle (ED)doit pouvoir lancer des series de simulations avec des valeurs de parametres differentes.La figure 4.1 schematise les echanges de donnees entre l’ED et la plate-forme CIVApermettant d’evaluer les fonctions objectifs a partir des resultats de simulation.

Les donnees d’entrees de l’outil d’optimisation sont :

– un fichier .civa, renseignant les parametres de simulation pour le probleme atraiter, et

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66 4. Applications pour le CND US

Fichier .civa

Traitement

Resultats

EvolutionDifferentielle

CIVAModification desparametres de

simulation

Executiondu calcul

Evaluation de la(des) fonction(s)

objectifs(s)

Solution(s) optimale(s)

Donneesd’entree

Parametres del’optimisation

1Figure 4.1 – Echanges de donnees entre l’evolution differentielle et le module ul-trasons de CIVA.

– les parametres de l’optimisation contenant les variables du probleme, la (oules) fonction(s) objectif, les contraintes, les criteres d’arret. . .

Au cours d’une optimisation, lorsqu’une solution candidate doit etre evaluee, lesvaleurs des parametres de la simulation sont modifiees, puis le calcul de champ oud’echo (en fonction du probleme) est execute. Le resultat de simulation est ensuitetraite par la (ou les) fonction(s) objectif afin d’evaluer la solution candidate.

Un grand nombre de parametres de simulation peuvent etre choisis comme va-riables du probleme d’optimisation. Neanmoins, a l’heure actuelle, il n’est possibled’agir sur les lois de retard que par l’intermediaire du calcul des lois geometriques (enmodifiant les coordonnees du point de focalisation), mais pas encore sur les retardsindividuels de chaque element. De plus seuls les parametres de simulation reels ouentiers sont geres par l’outil d’optimisation. Il est possible de gerer d’autres typesde parametres (par exemple des listes de choix) a condition de definir un operateurde mutation ainsi qu’un ordonnancement.

Une amelioration qu’il paraıt important d’envisager afin de reduire les dureesd’optimisation serait de paralleliser les simulations. En effet, l’ED est un algorithmepour lequel l’evaluation de toutes les solutions candidates d’une population peutetre faite simultanement. S’il etait possible d’executer les calculs CIVA soit sur lesdifferents processeurs d’une machine, soit sur un parc de machines en reseau, le tempsd’optimisation serait alors divise par le nombre de calculs effectues en parallele.

4.2 Definir un probleme d’optimisation en CND

Dans cette section, nous decrivons, d’un point de vue general, comment choisiret definir les parametres d’optimisation (variables, fonctions objectif et contrainte,et reglage de l’algorithme) pour un probleme de controle par ultrasons donne.

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4.2 Definir un probleme d’optimisation en CND 67

4.2.1 Variables

Les variables sont les parametres de simulation sur lesquels l’algorithme agit pouroptimiser la (ou les) fonction(s) objectif.

Chaque variable est definie par les elements suivants :

– Le nom permet d’identifier dans CIVA le parametre a modifier.– Les bornes inferieure et superieure definissent le domaine d’initialisation,

ainsi que le domaine de recherche si une contrainte par domaine borne estdefinie.

– La precision definit la finesse en dessous de laquelle l’information n’est pluspertinente. Cette valeur n’est prise en compte que si une precision est specifieepour toutes les variables.

– La contrainte par domaine borne renseigne le type de contrainte pardomaine borne utilisee pour la variable (mur reflechissant ou remise par lamoyenne), ou si aucune n’est appliquee.

Dans les problemes suivants, les variable seront definies avec le formalisme :� nom ([borne inferieure, borne superieure], precision) : description �, sachant queles contraintes par domaine borne seront toujours des murs reflechissants. De plus,pour faciliter l’ecriture des solutions candidates (X), elles sont notees comme desvecteurs de leurs variables (xi) : X = [x1, x2, x3, . . . ].

4.2.2 Fonctions objectif

L’evaluation d’une fonction objectif est fondee sur le resultat de simulation pourla solution donnee. Elle consiste a realiser un traitement sur ces resultats pourobtenir une valeur reelle. Pour qu’une fonction objectif soit pertinente, elle doitgarantir :

– de mesurer les bonnes donnees : Pour comparer des solutions, un expertprocede souvent a des mesures simples (par exemple comparer des maximad’amplitude entre le faisceau et le lobe), mais, en realite, il peut aussi considererd’autres criteres, souvent qualitatifs, lies a son experience, selon lesquels ilpeut rejeter des solutions qu’il juge alors non pertinentes (par exemple si laprofondeur de focalisation n’est pas suffisante). Lorsque que ce traitement estautomatise, il est alors necessaire de prendre en compte l’ensemble de cescriteres pour obtenir une solution optimale pertinente.

– l’homogeneite du resultat : La valeur de la fonction objectif doit etre ho-mogene, et avoir un sens physique.

– un ordonnancement correct : Il est necessaire qu’une solution definie commemeilleure qu’une autre par l’expert le soit aussi par l’ED, et donc que la valeurde la fonction objectif soit plus faible (lors d’une minimisation).

La definition de la (ou des) fonction(s) objectif represente sans doute l’elementprimordial pour converger vers une solution qui reponde au besoin.

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68 4. Applications pour le CND US

4.2.3 Fonctions de contraintes

La definition de fonctions de contraintes permet d’aider l’algorithme a conver-ger plus rapidement en s’affranchissant de simulations, couteuses en temps, pourdes solutions candidates qui sont visiblement peu performantes ou incoherentes. Encontrepartie sur-contraindre le probleme risque d’aboutir a des solutions connues etpeu originales.

4.2.4 Reglage de l’ED

Nous resumons ici les parametres sur lesquels il est possible d’agir pour ameliorerl’efficacite de l’outil d’optimisation en fonction du probleme a resoudre.

La taille de la population np ∈ [2ng; 20ng] permet de regler la robustesse de l’ED :plus sa valeur est grande, plus l’algorithme est robuste mais plus la convergence estlente. Etant donne que les calculs directs sont couteux en temps, nous choisissonsdans les cas d’application suivant une valeur de np = 5ng.

Le taux de croisement Cr ∈ [0,1; 0,7] permet de regler l’ordre de grandeur des per-turbations appliquees pour la creation de nouvelles solutions candidates. Une petitevaleur entraıne de faibles perturbations et ralentit la convergence, la recherche estsituee au voisinage des solutions parentes. Au contraire, une grande valeur impliqueune convergence plus rapide avec le risque qu’elle soit prematuree. En pratique, surles cas de CND que nous avons testes, la valeur 0,7 est appropriee et les risques deconvergence prematuree sont faibles. Neanmoins, il peut etre interessant d’utiliserune valeur plus petite pour la resolution de problemes plus contraints pour lesquelsdes solutions sont souvent recherchees a la limite du domaine de faisabilite.

La strategie de mutation best, pour les problemes mono-objectifs, permet d’acce-lerer la convergence mais avec des risque plus importants de convergence prematuree.Elle peut donner un bon ordre d’idee en un temps plus cours que la strategie randqui donne un resultat plus precis pour un temps d’optimisation plus important.

Pour les problemes multi-objectifs, la selection basee sur l’objectif equivalent ousur les fronts permet d’avoir des compromis differents pour la description du frontde Pareto (cf. section 3.3.3.3). La premiere donne des valeurs souvent plus prochesdu front de Pareto reel, alors que la seconde donne une meilleure dispersion avec unnombre plus important de solutions sur le front.

4.3 Controle d’un piquage

4.3.1 Presentation du probleme de CND

Le piquage est une structure de forme complexe, formant une jointure entre deuxtubes. Ce type d’assemblage est present, par exemple, dans les circuits primaireset secondaires des centrales nucleaires. Son controle pose un certain nombre deproblemes : les formes sont irregulieres, les parties a controler sont peu accessibles,et le positionnement du capteur n’est pas trivial.

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4.3 Controle d’un piquage 69

La figure 4.2 definit le piquage etudie, ses dimensions, ainsi que le defaut pourlequel on cherche a maximiser la detection. Il s’agit d’une fissure plane orienteesuivant l’axe ~x, et situee a l’intersection des surfaces internes des deux tubes. Letraducteur utilise est un multi-element flexible compose d’une matrice de 8 × 8elements fonctionnant a 2 MHz. Les elements ont une forme carree de 2,5 mm decote, et l’espace entre les elements est de 1,5 mm dans le plan d’incidence et de 1mm dans le plan orthogonal.

α

Defaut

~x~y

~z

27 mm

Traducteurflexible

30,5mm

1Figure 4.2 – Definition du probleme de controle d’une fissure dans un piquage.

4.3.2 Definition du probleme d’optimisation

4.3.2.1 Variables

Pour optimiser la detection du defaut, il est possible d’agir sur la position etl’orientation du traducteur et sur les lois de retard :

– Y ([30 mm, 100 mm], 0,5 mm) : distance curviligne depuis le sommet du tube.– Θ ([0 , 90 ], 0,3 ) : position angulaire sur le piquage.– α ([0 , 90 ], 0,5 ) : position angulaire du capteur sur son axe.– r ([100 mm, 250 mm], 1 mm) : distance du point focal geometrique au centre

de la surface emettrice du capteur.– θ ([−80 , 80 ], 0,3 ) : angle de deviation du point focal geometrique dans le

plan d’incidence.– φ ([−80 , 80 ], 0,3 ) : angle de deviation du point focal geometrique par rapport

au plan d’incidence.

La precision angulaire definie sur Θ donne une valeur spatiale maximale, au pieddu cone, de 0,5 mm pour le positionnement du capteur. Les precisions angulaires

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70 4. Applications pour le CND US

definies pour θ et φ donnent une valeur spatiale de l’ordre de 1 mm de precisionpour la position du point focal et pour les valeurs maximale de r.

Une etude precedente, menee par un expert, a permis de trouver une solutionque nous noterons Xexp. Celle-ci a ete obtenue en cherchant le couple orientation (α)– position angulaire (Θ) de maniere a favoriser l’arrivee en phase du front d’ondesur l’arete du defaut. Cette solution est donnee par

Xexp = [91 mm, 50 , 20 , 153 mm, 44 , 0 ]

4.3.2.2 Fonction objectif

La fonction objectif definie pour cette application consiste a maximiser l’ampli-tude de l’echo de coin sur le defaut donne. La simulation est donc realisee en calculreponse defaut et la fonction objectif est donnee par

f(X) = −Amax(X) (4.1)

ou Amax(X) est l’amplitude absolue maximale du signal de la solution candidate X.

4.3.3 Resultats et discussion

L’optimisation de ce cas d’application a ete realisee une premiere fois sansprendre en compte la precision des variables et une seconde en la prenant en compte.Nous avons regle l’algorithme avec les valeurs suivantes : np = 5ng, Cr = 0,7,kMax = 100 et la strategie utilisee est DE/rand/1/bin. Pour faciliter la lecture desresultats, nous presentons l’amplitude obtenue en dB (fdB(X)), avec comme valeurde reference la valeur obtenue par l’expert :

fdB(X) = 20 log

(f(X)

f(Xexp)

)(4.2)

Le tableau 4.1 compare les solutions obtenues par l’expert (Xexp), l’outil d’opti-misation sans prendre en compte la precision (Xnoprec) et en la prenant en compte(Xprec). L’utilisation de l’outil d’optimisation permet une nette amelioration de l’am-plitude de detection du defaut, de presque 5 dB. Ces resultats ont ete obtenus pourun temps de calcul d’environ 37 heures (soit un jour et demi) sur un processeur Core2 Duo a 2,66 GHz et 3 Go de memoire vive.

La figure 4.3 represente la superposition des echodynamiques, pour un balayagesur l’axe Θ autour de la position optimale, de ces trois resultats. Pour l’echo de coin,qui permet la detection du defaut, on retrouve le resultat precedent. De plus, l’echode diffraction, qui permet de dimensionner le defaut, gagne par la meme occasion 4dB.

Tous ces resultats montrent non seulement les capacites de l’outil d’optimisa-tion a traiter efficacement des configurations complexes, mais en plus que les solu-tions obtenues avec et sans precision sont tres proches et donnent des performances

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4.4 Conception d’un capteur SE 71

Y Θ α r θ φ fdB(X)Xexp 91 49 20 153 44 0 0 dBXnoprec 94,628 54,594 21,230 155,486 39,626 1,959 +4,72 dBXprec 94,5 54,6 22,5 188 39,4 0,4 +4,74 dB

Table 4.1 – Comparaison des solutions optimales obtenues par un expert (Xexp),et avec l’outil d’optimisation sans prendre en compte la precision (Xnoprec) et en laprenant en compte (Xprec).

expert

avec precisionsans precision

Echo de coin Echo de diffraction

expert

avec precisionsans precision

4, 7 dB4 dB

1Figure 4.3 – Echodynamiques, pour un balayage sur l’axe Θ autour de la positionoptimale, de ces trois resultats donnes en echo de coin (a gauche) et de diffraction(a droite).

equivalentes. En regardant l’evolution de la valeur de la fonction objectif du meilleurindividu a chaque generation, representee sur la figure 4.4, on remarque que le faitde prendre en compte la precision sur les variables a accelere la convergence vers lasolution optimale.

Une solution au moins aussi performante que celle de l’expert est trouvee en 23generations (environ 9h) en prenant en compte la precision, et en 33 generations(environ 12h) sans precision. Une solution, dont l’ecart d’amplitude avec la solutionoptimale est inferieur a 1 dB, est obtenue en 33 generations dans le premier cas et51 (env. 19h) dans le second.

4.4 Conception d’un capteur SE

4.4.1 Presentation du probleme de CND

Nous cherchons a concevoir un traducteur capable de detecter des fissures enfond de piece avec des ondes L et une incidence de 45 dans un tube en acier (figure4.5). Le bruit de structure etant non negligeable, il est necessaire de maximiser lerapport signal a bruit, et donc les caracteristiques focales. Une frequence basse de500 kHz est choisie pour reduire les effets du bruit de structure (d’autant plus fortque la frequence est elevee) ainsi que les lobes de reseau. Le traducteur propose estun multi-element de type SE : compose de deux matrices d’elements distincts pourl’emission et la reception. Les dimensions du sabot sont definies sur la figure.

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72 4. Applications pour le CND US

Generations (k)

fdB

(X(k)

best)

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

50 20 40 60 80 100

sans precision

avec precision

1Figure 4.4 – Evolution de la fonction objectif du meilleur individu de la populationa chaque generation.

Fissure

Traducteur SE

∅1025

mm

∅885

mm

~x

~y

~z

αt

matrice dereception

matriced’emission

dER135 mm

90 mm

19◦

1Figure 4.5 – Definition du probleme du controle de fissure en paroi interne d’untube.

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4.4 Conception d’un capteur SE 73

Le capteur devant etre deplace manuellement par l’utilisateur lors du controle,ses dimensions ne doivent pas exceder celles definies par le sabot. De plus, le systemed’acquisition permet de commander un maximum de 64 voies independantes.

La demarche sur laquelle s’appuie cette etude repose sur une technique utiliseepour verifier experimentalement les performances de focalisation des traducteurs.Celle-ci consiste a comparer les echos sur des trous generatrices situes dans une piecede reference a differentes profondeurs. La loi de retard est calculee pour focaliser aune profondeur de 70 mm et avec une deviation angulaire de 45 . Ainsi, on peutgarantir qu’un capteur focalise a la profondeur desiree ou non.

4.4.2 Definition du probleme d’optimisation

4.4.2.1 Variables

Pour optimiser la focalisation du traducteur, nous nous interessons aux pa-rametres decrivant la decoupe et l’orientation des pastilles dans le sabot. Du faitde la symetrie, la description d’une seule pastille est suffisante :

– NbLig ([4 , 16], 1) : nombre de lignes d’elements de la matrice d’emission.– NbCol ([2 , 8], 1) : nombre de colonnes d’elements de la matrice d’emission.– LIncid ([2 mm , 25 mm], 1 mm) : largeur des elements dans le plan d’incidence.– LOrtho ([2 mm , 25 mm], 1 mm) : largeur des elements suivant l’axe orthogonal

au plan d’incidence.– αt ([0 , 10 ], 0,5 ) : angle de toit (angle entre les deux matrices).– dER ([10 mm , 20 mm], 0,5 mm : distance entre les deux matrices.L’espace entre les elements est choisi constant avec une valeur de 1 mm sur les

deux axes.Une etude precedente, menee par un expert, a permis de trouver une solution

notee Xexp. Celle-ci a ete obtenue par une etude parametrique, en cherchant a utiliserun maximum d’elements. Cette solution est donnee par

Xexp = [8, 4, 8 mm, 12 mm, 5 , 16 mm]

4.4.2.2 Fonction objectif

La fonction objectif definie pour cette application consiste a maximiser l’ampli-tude de l’echo en fond de piece, tout en garantissant que la focalisation acoustiqueest a la meme profondeur (probleme de focalisation aborde a la section 1.4.3.1). Pourcela, on s’appuie sur un calcul d’echo dans une piece tubulaire, illustree sur la figure4.6, dont l’epaisseur est plus grande que celle du tube reel et contenant quatre trousgeneratrices (TG) aux profondeurs 50 mm, 60 mm, 70 mm et 80 mm.

L’objectif est non seulement de garantir que l’amplitude est maximale pour le 3e

trou generatrice dont la profondeur est egale a l’epaisseur initiale du tube (70 mm)mais aussi de maximiser l’amplitude sur ce trou generatrice. Nous avons donc definila fonction objectif suivante :

f(X) = −coefA3 (4.3)

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74 4. Applications pour le CND US

TG1TG2

TG3TG4

TG1TG2TG3TG4

amplitude maximale

Echodynamique

~z

~x

~y(80 mm)(70 mm)

(60 mm)(50 mm)

1Figure 4.6 – Simulation permettant d’evaluer l’objectif du probleme de conceptiond’un traducteur SE.

ou coef est un coefficient de penalisation defini par

coef =

1 si A3 = max

i=1,...,4({Ai})

0,5 si A2 ou A4 = maxi=1,...,4

({Ai})0,25 si A1 = max

i=1,...,4({Ai})

et Ai est l’amplitude absolue maximale du signal d’echo sur le trou generatrice n i.Cette fonction permet de penaliser l’amplitude des solutions ne focalisant pas a

la bonne profondeur.

4.4.2.3 Fonctions contraintes

La premiere contrainte consiste a garantir que la solution ne possede pas plus de64 elements. Etant donne que les variables NbLig et NbCol sont donnees pour uneseule des deux matrices cette contrainte est definie par

g1(X) = NbLig NbCol ≤ 32 (4.4)

Les deux autres contraintes, relatives a l’encombrement, doivent garantir que lesmatrices ne depassent pas du traducteur. Leur dimension est alors limitee a 71 mmdans le plan incident et 51 mm suivant l’axe perpendiculaire, avec un espace entreles elements (gap) de 1 mm sur les deux axes :

g2(X) = NbLig LIncid+ gap(NbLig − 1) ≤ 71 (4.5)

g3(X) = NbCol LOrtho+ gap(NbCol − 1) ≤ 51 (4.6)

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4.5 Conception d’une barrette encerclee 75

4.4.3 Resultats et discussion

Nous avons regle l’algorithme avec les valeurs suivantes : np = 5ng, Cr = 0,2,kMax = 200 et la strategie utilisee est DE/rand/1/bin.

Pour faciliter la lecture des resultats, nous presentons l’amplitude obtenue en dB(fdB(X)), avec comme valeur de reference la valeur obtenue par l’expert :

fdB(X) = 20 log

(f(X)

f(Xexp)

)(4.7)

Le tableau 4.2 compare les solutions obtenues par l’expert Xexp et par l’outild’optimisation Xout. Cette derniere permet une amelioration sensible de 1 dB del’amplitude de detection sur le trou generatrice a la profondeur de 70 mm. Ce resultata ete obtenu pour un temps de calcul d’environ 5 heures sur un processeur Core 2Duo a 2,66 GHz avec 3 Go de memoire vive.

Variables g1(X) g2(X) g3(X) fdB(X)Xexp [8, 4, 8, 12, 5, 16] 64 71 mm 51 mm 0 dBXout [6, 4, 11, 12, 8, 10] 48 71 mm 51 mm +1,19 dB

Table 4.2 – Comparaison des solutions optimales obtenues par un expert (Xexp) etpar l’outil d’optimisation (Xout).

La figure 4.7 represente la superposition des echodynamiques, pour un balayagedans le plan d’incidence, de ces deux resultats. On retrouve le gain d’amplitudeobserve precedemment.

expertoutil d’optimisation

1 dB

1Figure 4.7 – Echodynamique des solutions obtenues par un expert et l’outil d’op-timisation.

4.5 Conception d’une barrette encerclee

4.5.1 Presentation du probleme de CND

Nous nous interessons ici au controle d’un tube en acier inoxydable, rempli d’eau,pour lequel le traducteur, une barrette encerclee, doit etre concue (cf. figure 4.8). Des

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76 4. Applications pour le CND US

fissures debouchantes (en vert), en paroi externe et orientees suivant l’axe du tube(~z), doivent etre detectees avec des ondes L a 45 . Un balayage electronique permetd’inspecter le tube suivant sa section, dans le plan (~x, ~y), et un balayage mecaniquepermet de deplacer le traducteur le long de l’axe du tube (~z). Le diametre interieurdu tube est de 50 mm et son epaisseur est de 5 mm.

∅ 60 mm∅ 50 mm

Tube

Defaut

electronique

~x

~y~z

∅ 40 mm

Barretteencerclee

Balayage

1Figure 4.8 – Description du controle de tube avec une barrette encerclee.

Nous souhaitons concevoir le traducteur multi-element et trouver le nombred’elements necessaires pour la sequence de balayage electronique dans le but degenerer le meilleur faisceau. La qualite du faisceau est donnee par son incidence surle defaut (la plus proche possible de 45 ), sa profondeur et le rapport entre les ampli-tudes du faisceau et celles des lobes de reseau. Pour cette etude, nous considerons quele systeme d’acquisition est capable de controler jusqu’a 256 voies independantes.Un bon compromis est recherche entre une frequence de controle basse produisantun faisceau avec peu de lobes de reseau mais de faibles resolution et profondeur defocalisation, et une frequence elevee qui produit l’effet inverse.

4.5.2 Definition du probleme d’optimisation

4.5.2.1 Variables

Les variables suivantes permettent de definir le traducteur et la sequence appro-priee :

– lOrtho ([1 mm, 10 mm], 0,5 mm) : Largeur du traducteur suivant l’axe ortho-gonal au plan d’incidence.

– espInt ([1 mm, 10 mm], 0,5 mm) : Espace entre les elements.– lElem ([0,2 mm, 1,5 mm], 0,1 mm) : Largeur des elements dans le plan d’in-

cidence.

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4.5 Conception d’une barrette encerclee 77

– nbElem ([3, 20], 1) : nombre d’elements pour une sequence.– freq ([2 MHz, 10 MHz], 1 MHz) : frequence centrale du controle.– θ ([45 , 80 ], 1 ) : angle de deviation utilise pour le calcul des lois de retard.Pour ce cas d’application nous n’avons pas de solution proposee par un expert

avec laquelle comparer nos resultats.

4.5.2.2 Fonction objectif

Nous avons vu precedemment que l’evaluation des solutions repose sur les ca-racteristiques focales du traducteur dans le tube. Ces informations peuvent alorsetre obtenues a partir du champ transmis dans la piece, pour lequel les interactionsavec la surface externe du tube (aussi appeles rebonds en fond de piece) ne sont pasprises en compte.

Nous avons alors defini des fonctions objectif s’appuyant sur le calcul du champde deplacement des ondes L pour la configuration illustree sur la figure 4.9. Letube est simule avec un diametre exterieur superieur a celui de la piece a controler(en pointilles) afin d’avoir plus d’informations sur la directivite et l’amplitude auvoisinage du fond de piece. L’echantillonnage de la zone de calcul est de 161 × 61points, avec un pas de 0,2 mm suivant chaque axe. Les lois de retard sont calculeespour focaliser en fond de piece (h = 5 mm) avec une deviation angulaire θ donneepar la solution candidate.

Zone de calcul

Lois de retard

∅ 64 mm

Point de focalisation geometrique

Diametre dutube reel

Diametre du tubesimule θ

h

~x~y

1Figure 4.9 – Parametres de la simulation CIVA realisee pour l’evaluation des fonc-tions objectif.

Nous proposons de definir deux fonctions objectif : f1 qui optimise l’angle d’in-cidence du faisceau sur le defaut afin d’etre le plus proche possible de 45 , et f2 quimaximise le rapport entre les amplitudes du faisceau et celles des lobes de reseau.

L’incidence du faisceau est calculee a partir du calcul du champ de deplacement.La figure 4.10 represente le champ obtenu pour une solution candidate X donnee.Si on considere le pixel Ai, et Bi sa projection sur la surface externe du vrai tube

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78 4. Applications pour le CND US

(en pointilles) suivant sa direction locale ~di extraite du calcul CIVA. L’angle αi,

entre−−−→AiBi et

−−→OBi, ou O est le centre du tube dans la section donnee, represente

la direction de propagation de l’onde au point Ai sur un defaut qui serait place aupoint Bi. f1 est alors definie par l’erreur moyenne entre 45 et les αi pour les n pixelsAi dont l’amplitude est superieure a −3 dB comparee a l’amplitude maximale pourle calcul de champ donne :

f1(X) =1

n

n∑i=1

|45 − αi(X)| (4.8)

−3

−6

−12

−∞

[dB]0

12mm

35 mm

αi

rayon

Ai

Bi

~di

1Figure 4.10 – Definition des parametres permettant d’evaluer la fonction objectiff1 a partir d’un calcul de champ.

Le rapport entre le faisceau et les lobes de reseau est calcule a partir desvaleurs definies sur la figure 4.11 qui represente le champ obtenu pour une solutioncandidate X donnee. La direction locale ~d du point focal geometrique P est extraitedu calcul de champ CIVA. Ensuite deux frontieres sont positionnees de chaque cotede P avec pour vecteur directeur ~d et separee d’une distance ∆. ∆ est la largeura −6 dB du faisceau, mesuree sur le fond de piece (cercle en pointilles), et dontl’amplitude est calculee par rapport a l’amplitude maximale du champ.

Les p pixels situes en dehors des frontieres sont consideres comme n’appartenantpas au faisceau, et donc pouvant etre potentiellement des lobes de reseau, leur am-plitude est alors notee Alobe

i . De ce fait, pour minimiser les lobes de reseau, la valeurmoyenne des amplitudes des lobes de reseau Alobe(X), donnee par

Alobe(X) =1

p

p∑i=1

Alobei

doit etre minimisee.Les q pixels situes a l’interieur des frontieres, et dont l’amplitude est superieure a

−3 dB par rapport a l’amplitude maximale du champ donne, sont consideres commerepresentant le faisceau et leur amplitude est notee Afai

i . Afin de favoriser les solutions

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4.5 Conception d’une barrette encerclee 79

12m

m35 mm

λi P

~d

Ai

Frontieres

∆−3

−6

−12

−∞

[dB]0

1Figure 4.11 – Definition des parametres permettant d’evaluer la fonction objectiff2 a partir d’un calcul de champ.

dont la profondeur de focalisation est plus importante, un poids wi est donne achaque pixel Afai

i en fonction de sa distance λi par rapport a la surface externe duvrai tube :

wi = 1− λi5

De ce fait, si Afaii se trouve sur la surface interne du tube, alors wi = 0, donc

sa contribution devient nulle. Si maintenant il se trouve sur la surface externe,alors wi = 1, et sa contribution est totale. Finalement, s’il se trouve sur la surfaceexterne du tube simule, alors wi = 3/5 et sa contribution est de 3/5Afai

i . De cefait, pour maximiser l’energie du faisceau en fond de piece, la moyenne ponderee desamplitudes du faisceau, donnee par

Afai(X) =1

q

q∑i=1

wiAfaii

doit etre maximisee.

Finalement, ces deux sous-objectifs sont reunis en un seul pour definir la secondefonction objectif (f2) donnee par le rapport entre l’amplitude moyenne ponderee dufaisceau et l’amplitude moyenne des lobes de reseau :

f2(X) = − Afai

Alobe(4.9)

Ce rapport peut aussi etre calcule en decibel et donne par :

fdB2 (X) = 20 log(−f2(X)) (4.10)

4.5.2.3 Fonction contrainte

Comme demande dans le probleme, nous devons garantir que les solutions n’aientpas plus de 256 elements. Pour cela il faut que le perimetre de la barrette divisee

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80 4. Applications pour le CND US

par le pitch inter-element soit inferieur a 256 :

g(X) =40π

estInt(X) + lElem(X)≤ 256 (4.11)

4.5.3 Resultats et discussion

Nous avons regle l’algorithme avec les valeurs suivantes : Cr = 0,7, np = 5ng,kmax = 50 generations, la strategie utilisee est DE/rand/1/bin et la selection multi-objectif est basee sur les fronts (cf. 3.3.3.3). Sur les 1 530 solutions candidatesgenerees, 1 422 sont faisables. Le temps de calcul total est d’environ 50 heuressur un processeur Core 2 Duo a 2,66 GHz et 3 Go de memoire vive.

Les fronts de Pareto obtenus aux generations 0, 10, 20 et 50 sont representessur la figure 4.12. A la 50e, et derniere, generation, le front de Pareto est composede 94 solutions. Nous ne nous interesserons qu’aux 41 solutions dont la valeur def1 est inferieure a 8 . Ces solutions sont reportees dans le tableau 4.3 avec leurscaracteristiques et un numero permettant de les identifier.

f1(X) [deg]

fdB

2(X

)[dB]

k = 0 k = 10 k = 20 k = 50

5

7

9

11

13

15

17

190 10 20 30 40

1Figure 4.12 – Fronts de Pareto obtenus pour l’optimisation de la conception d’unebarrette encerclee.

On peut remarquer que toutes les solutions ont les memes valeurs d’espace entreles elements et de largeur d’element. Ces valeurs donnent le plus petit pitch inter-element permettant de ne pas depasser 256 elements, tout en minimisant les lobesde reseau. Si cela paraıt normal, ce qui est plus etonnant est de trouver une largeurd’element aussi petite, a la limite inferieure de son domaine de recherche. Meme

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4.5 Conception d’une barrette encerclee 81

numero X g(X) f1(X) [deg] fdB2 (X) [dB]

1 [3,5, 0,3, 0,2, 14, 7, 67] 256 0,98 11,05

2 [4, 0,3, 0,2, 14, 8, 67] 256 1,06 11,54

3 [4, 0,3, 0,2, 13, 10, 66] 256 1,11 11,61

4 [4, 0,3, 0,2, 15, 6, 67] 256 1,19 11,96

5 [4, 0,3, 0,2, 16, 6, 68] 256 1,20 12,20

6 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 66] 256 1,52 12,56

7 [4, 0,3, 0,2, 13, 9, 63] 256 2,08 12,66

8 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 65] 256 2,12 12,78

9 [4, 0,3, 0,2, 16, 10, 66] 256 2,15 12,80

10 [4, 0,3, 0,2, 16, 8, 66] 256 2,26 12,83

11 [4, 0,3, 0,2, 13, 9, 62] 256 2,63 13,05

12 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 64] 256 2,70 13,19

13 [4, 0,3, 0,2, 15, 7, 64] 256 2,83 13,25

14 [4, 0,3, 0,2, 17, 9, 66] 256 2,96 13,27

15 [4, 0,3, 0,2, 17, 8, 66] 256 3,00 13,33

16 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 9, 63] 256 3,17 13,47

17 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 8, 63] 256 3,24 13,48

18 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 63] 256 3,40 13,71

19 [4, 0,3, 0,2, 15, 9, 63] 256 3,43 13,72

20 [4, 0,3, 0,2, 15, 8, 63] 256 3,48 13,81

21 [4,5, 0,3, 0,2, 16, 8, 63] 256 4,01 14,07

22 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 7, 61] 256 4,70 14,09

23 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 8, 61] 256 4,80 14,10

24 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 61] 256 4,80 14,19

25 [4, 0,3, 0,2, 15, 8, 61] 256 4,90 14,23

26 [4, 0,3, 0,2, 14, 9, 60] 256 4,93 14,25

27 [4,5, 0,3, 0,2, 14, 10, 59] 256 5,36 14,26

28 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 8, 60] 256 5,36 14,31

29 [4,5, 0,3, 0,2, 15, 10, 60] 256 5,39 14,43

30 [4,5, 0,3, 0,2, 16, 8, 61] 256 5,48 14,45

31 [4, 0,3, 0,2, 13, 8, 58] 256 5,56 14,56

32 [4, 0,3, 0,2, 16, 8, 61] 256 5,81 14,79

33 [4, 0,3, 0,2, 13, 10, 57] 256 6,34 14,95

34 [4, 0,3, 0,2, 17, 10, 61] 256 6,82 14,99

35 [4, 0,3, 0,2, 12, 7, 55] 256 7,13 15,02

36 [4, 0,3, 0,2, 15, 8, 58] 256 7,25 15,04

37 [4, 0,3, 0,2, 15, 10, 58] 256 7,31 15,17

38 [4, 0,3, 0,2, 16, 10, 59] 256 7,32 15,18

39 [4, 0,3, 0,2, 16, 8, 59] 256 7,48 15,21

40 [4, 0,3, 0,2, 16, 9, 59] 256 7,49 15,22

41 [4, 0,3, 0,2, 13, 10, 55] 256 7,67 15,37

Table 4.3 – Solutions du front de Pareto a la 50e generation pour lesquelles f1(X) <8 .

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82 4. Applications pour le CND US

si on cherche generalement a avoir des elements aussi grands que possible afin demaximiser l’energie transmise, une petite valeur permet de rendre les elements moinsdirectifs et ainsi d’ameliorer les capacites de deviation du traducteur.

Les trois parametres qui influencent le plus le compromis entre les deux objectifssont le nombre d’elements de la sequence, la frequence et la deviation de la foca-lisation. Lorsque la deviation θ est elevee, f1 est meilleure mais en contrepartie f2

se deteriore. Par contre, il est plus difficile de donner une tendance generale surl’influence de l’ouverture et de la frequence sur les fonctions objectif.

Le champ des deplacements des solutions candidates 18, 21 et 22 est representefigure 4.13. Ces solutions ont ete identifiees pour leur bonne capacite a resoudrele probleme avec trois types de compromis. La solution 18 est celle qui presente lameilleure deviation angulaire des trois, la solution 21 a le faisceau qui focalise le plusbas, et la solution 22 presente les lobes de reseau les plus faibles.

Cet exemple met en evidence l’avantage du front de Pareto qui laisse a l’uti-lisateur le choix du meilleur compromis qu’il souhaite. De plus, lorsque certainescontraintes ne peuvent pas (ou difficilement) etre exprimees mathematiquement pouretre prises en compte par l’algorithme (par exemple les contraintes de fabrication detraducteur), elles peuvent alors etre prises en compte par l’utilisateur lors du choixd’une solution parmi le front de Pareto.

4.6 Conclusion

Nous avons montre que l’outil d’optimisation que nous proposons permet deresoudre un certain nombre de problemes de mise en œuvre de controle non des-tructif. Nous avons pu mettre en valeur l’interet de gerer les contraintes d’inegalite,la precision sur les variables ainsi que les problemes multi-objectifs. Cela permetde simplifier l’utilisation de l’algorithme et de resoudre des cas d’application en untemps raisonnable.

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4.6 Conclusion 83

f1 = 3,4◦ ; fdB2 = 13,7 dB

Solution 18

[4, 0,3, 0,2, 15, 10, 63]

Solution 21

[4,5, 0,3, 0,2, 16, 8, 63]

f1 = 4◦ ; fdB2 = 14,1 dB

Solution 22

[4,5, 0,3, 0,2, 15, 7, 61]

f1 = 4,7◦ ; fdB2 = 14,1 dB

−3 −6 −12 −∞[dB]

0

1Figure 4.13 – Champ de deplacement des solutions 18, 21 et 22.

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Conclusions et perspectives

Conclusions

La these avait pour objectif de developper un outil d’aide a la conception detraducteurs multi-elements optimises et a la mise en œuvre de controles ultraso-nores. Cet outil devait etre utilisable avec les modules de simulation implementesdans CIVA pour le calcul de champ ultrasonore et l’interaction faisceau–defaut. Ilest base sur des modeles semi-analytiques qui permettent de traiter la propagationd’ondes elastiques dans des pieces heterogenes, anisotropes et de forme complexe,et l’interaction de ces ondes elastiques avec des defauts au sein de la piece.

Nous avons vu dans le chapitre 1, qu’en s’appuyant sur plusieurs principes phy-siques simples, il etait possible de parametrer le controle. Malheureusement, ceux-cine sont valables que dans des domaines d’application restreints (incidence nulle,un seul milieu de propagation, . . .). Afin de proposer une methode applicable a undomaine plus large, nous nous sommes orientes sur des algorithmes d’optimisationheuristiques.

Dans un premier temps, nous nous sommes attaches a la resolution de problemesformules par une simple fonction objectif. Apres une etude bibliographique des algo-rithmes et de leur utilisation pour resoudre des problemes en ultrasons, nous avonschoisi d’utiliser le randomized adaptive differential evolution comme moteur de notreoutil d’optimisation.

Dans un deuxieme temps, nous avons cherche comment permettre a l’utilisateurd’apporter des informations supplementaires afin de mieux definir son probleme.Nous avons alors travaille sur trois types d’a priori :

– les contraintes permettent de definir des relations d’inegalites, impliquantplusieurs variables du probleme, devant etre respectees par la solution opti-male,

– la precision sur les variables permet non seulement de limiter les calculs ens’affranchissant de l’evaluation des solutions trop proches d’une solution dejaevaluee, mais aussi de proposer a l’utilisateur une solution qui fait sens (enlimitant le nombre de decimales),

– les problemes multi-objectifs demandent d’optimiser simultanement plu-sieurs fonctions objectifs, qui sont souvent contradictoires : l’amelioration del’une d’elles peut en degrader une autre.

C’est ainsi qu’en connectant les algorithmes developpes, capables de traiter desproblemes avec information a priori, aux modeles directs, capables de simuler de

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86 Conclusion et perspectives

nombreuses configurations de controles, nous avons pu proposer un outil utilisabledans de nombreux cas. Nous l’avons ensuite teste sur trois cas d’applications decontroles par ultrasons. Les resultats ainsi obtenus ont pu etre en partie comparesaux resultats obtenus par un expert, montrant ainsi l’efficacite de l’outil et la perti-nence lors de la prise en compte des a priori.

Perspectives

Ces travaux ouvrent plusieurs perspectives afin d’ameliorer l’outil d’optimisation.Nous proposons deux axes de travail : les gains de temps et de performance, etl’extension a de nouvelles fonctionnalites.

Comme nous l’avons deja envisage a la section 4.1, la parallelisation des calculsentraınerait un gain de temps tres important, qui rendrait d’autant plus attractifl’utilisation d’un tel outil.

Nous avons aussi vu sur les cas d’applications, en particulier pour la conceptionde la barrette encerclee, que pour obtenir une convergence sur une solution repondanta un besoin donne, il est parfois necessaire de definir une fonction objectif qui n’estpas intuitive. Il est donc important de faire une etude sur un nombre consequent decas d’application, afin de proposer un moyen de construire rapidement la fonctionobjectif qui repond au besoin de l’utilisateur.

Le troisieme element a prendre en compte est le choix des criteres d’arret quenous avons aborde rapidement a la section 2.4.2.5. Le choix de continuer ou nonl’optimisation est une decision qui necessite une certaine expertise dans le domaine.L’automatisation du choix et du reglage des criteres d’arret pourrait, au moins danscertains cas, rendre l’utilisation de l’outil plus aisee et efficace.

Pour le deuxieme axe, on peut citer trois extensions possibles :Si on est maintenant capable de faire une optimisation en prenant en compte

la precision avec laquelle un parametre peut etre defini (par exemple une tolerancede fabrication, ou une erreur de positionnement), on n’est pas capable de connaıtrela sensibilite de la fonction objectif a ce parametre. Il serait alors interessant defavoriser les solutions pour lesquelles une erreur de positionnement ou de fabrica-tion n’entraıne pas une degradation importante des performances par rapport auxsolutions plus performantes, mais plus sensibles aux erreurs.

Il est parfois inapproprie de faire fabriquer un capteur specifique pour une appli-cation donnee, en general pour des raisons financieres. L’idee est alors de rechercherun capteur dans une base de donnees, soit de capteurs disponibles dans le labora-toire, soit de capteurs standards. Il serait alors interessant de trouver une methoded’optimisation capable d’effectuer cette recherche en evaluant le moins possible desolutions de la base de donnees, pour eviter une recherche exhaustive couteuse entemps.

Avec l’outil propose, il est possible de trouver la position du capteur, ainsi queson reglage, pour detecter un defaut a une localisation donnee. Mais lors du controle,

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Perspectives 87

c’est toute une zone de la piece qu’il faut inspecter. Il paraıt donc interessant detrouver une solution pour optimiser directement la trajectoire du capteur et sonreglage associe.

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Annexe A

Validation de l’outil sur desproblemes mono-objectifscontraints

Nous avons teste le RADEC sur six problemes d’optimisation mono-objectifscontraints. Le premier est issu de l’article de [Deb, 2000] et les suivants du CEC 2006[Liang et al., 2006]. Pour tous les problemes, nous avons regle l’algorithme avec lesvaleurs suivantes : np = 10ng, Cr = 0,7 et la strategie utilisee est DE/rand/1/bin.

Les problemes 2 a 6 sont evalues par le nombre de solutions candidates genereespour trouver une solution satisfaisante. Une solution satisfaisante X est une solutionfaisable pour laquelle

f(X)− f(X∗) ≤ 0.0001

avec X∗ la solution optimale du probleme.Pour chacun des problemes, l’optimisation est executee 25 fois avec un nombre

maximum de 500 000 solutions candidates generees.Le taux de faisabilite (τfai) d’un probleme est donne par :

τfai = Optimfai/Optim (A.1)

ou Optimfai est le nombre d’optimisations trouvant au moins une solution faisable,et Optim le nombre d’optimisations total.

Le taux de reussite (τreu) est donne par :

τreu = Optimsat/Optim (A.2)

ou Optimsat est le nombre d’optimisations trouvant au moins une solution satisfai-sante.

Finalement la performance (τperf) est donne par :

τperf = Fessat Optim/τreu (A.3)

ou Fessat est le nombre moyen de solutions candidates generees pour trouver unesolution satisfaisante.

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94 A. Validation de l’outil sur des problemes mono-objectifs contraints

A.1 Probleme contraint 1

Minimiser f(X) = (x21 + x2 − 11)2 + (x1 + x2

2 − 7)2

Soumis a g1(X) = (x1 − 0,05)2 + (x2 − 2,5)2 − 4,84 ≤ 0,g2(X) = 4,84− x2

1 − (x2 − 2,5)2 ≤ 0,0 ≤ x1 ≤ 6 et 0 ≤ x2 ≤ 6.

(A.4)

La valeur de la fonction objectif f est representee par un code couleur sur la figureA.1(a) pour tous les couples (x1,x2) du domaine de recherche. Si les contraintes nesont pas prises en compte, f trouve son minimum au point (3,2) avec f(3, 2) =0. Les contraintes sont tracees en noir et le domaine de faisabilite, en forme decroissant de lune, represente environ 0,7% du domaine de recherche. On peut voirque l’optimum du probleme non contraint est en dehors du domaine de faisabilite. Lafigure A.1(b) represente, dans le meme domaine de recherche, l’objectif equivalent ηpour ce probleme. Le domaine de faisabilite est retrouve par les valeurs 0 < η < 1. Lasolution optimale du probleme contraint est donnee par X∗ = (2,246 826, 2,381 865),situee a l’intersection des deux droites noires, et pour laquelle f(X∗) = 13,590 85.

(a) Objectif f . (b) Objectif equivalent η.

Figure A.1 – Representation de l’objectif et de l’objectif equivalent du problemecontraint 1 dans le domaine de recherche.

Les resultats obtenus par le RADEC sont compares avec ceux de l’algorithmeGA TS-R propose par [Deb, 2000] pour des conditions identiques : le meme nombrede generations (kMax = 50) et la meme taille de population (np = 10ng) ont etechoisis. Le tableau A.1 presente l’erreur commise sur la fonction objectif du resultatoptimal par rapport a f(X∗) pour 50 executions. De plus, la prise en compte de laprecision (RADEC+P) est testee pour une precision de 10−4 sur chaque variable.

Ce premier probleme est resolu efficacement par le RADEC et donne des resultatsmeilleurs que ceux du GA TS-R. Le RADEC+P permet d’ameliorer encore un petitpeu les resultats.

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A.1 Probleme contraint 1 95

Methode ε Non Valeurs optimales≤ 1% ≤ 2% ≤ 5% ≤ 10% ≤ 20% ≤ 50% > 50% Faisable Meilleur Mediane Moins bon

GA TS-R 29 31 31 32 33 39 11 0 13,59085 13,61673 117,02971RADEC 35 36 36 38 38 41 9 0 13,59092 13,60407 58,42261RADEC+P 36 38 41 46 46 49 1 0 13,59087 13,59578 80,30722

Table A.1 – Nombre d’executions (sur 50) dont l’erreur commise sur la solutionoptimale est de ε% pour la resolution du probleme contraint 1.

Par rapport aux problemes suivants, celui-ci presente la particularite d’avoir peude variables et d’etre moins complexe a resoudre. En contrepartie, son optimisationdoit etre faite avec un nombre faible de solutions candidates generees : 1020 quandles problemes suivants en generent 500 000. En cela ces premiers resultats nousinteressent particulierement car ils se rapprochent plus des types de problemes aresoudre en CND US.

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96 A. Validation de l’outil sur des problemes mono-objectifs contraints

A.2 Probleme contraint 2

Minimiser f(X) = 54∑i=1

xi − 54∑i=1

x2i −

13∑i=5

xi

Soumis a g1(X) = 2 x1 + 2x2 + x10 + x11 − 10 ≤ 0,g2(X) = 2 x1 + 2x3 + x10 + x12 − 10 ≤ 0,g3(X) = 2 x2 + 2x3 + x11 + x12 − 10 ≤ 0,g4(X) = −8x1 + x10 ≤ 0,g5(X) = −8x2 + x11 ≤ 0,g6(X) = −8x3 + x12 ≤ 0,g7(X) = −2x4 − x5 + x10 ≤ 0,g8(X) = −2x6 − x7 + x11 ≤ 0,g9(X) = −2x8 − x9 + x12 ≤ 0,0 ≤ xi ≤ 1 i = 1, . . . , 9,0 ≤ xi ≤ 100 i = 10, 11, 12,0 ≤ x13 ≤ 1.

(A.5)

La solution optimale est donnee par

X∗ = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1)

avec

f(X∗) = −15

Pour cette solution, les contraintes g1, g2, g3, g7, g8 et g9 sont actives, c’est a direque leur valeur est nulle.

Meilleure Mediane Moins Moyenne Ecart type Taux de Taux de Performancebonne faisabilite reussite

39130 40430 41860 40310,4 855,8481 100 100 40310,4

Table A.2 – Tableau de performances du RADEC pour le probleme 2.

Les performances observees dans le tableau A.2 pour resoudre ce probleme clas-serait 4e le RADEC par rapport aux dix autres algorithmes proposes dans le bench-mark.

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A.3 Probleme contraint 3 97

A.3 Probleme contraint 3

Minimiser f(X) = 5.3578547x23 + 0.8356891x1 x5 + 37.293239x1 − 40792.141

Soumis a g1(X) = −85.334407− 0.0056858x2 x5 − 0.0006262x1 x4

+0.0022053x3 x5 ≤ 0,g1(X) = 85.334407 + 0.0056858x2 x5 + 0.0006262x1 x4

−0.0022053x3 x5 − 92 ≤ 0,g3(X) = −80.51249− 0.0071317x2 x5 − 0.0029955x1 x2

−0.0021813x23 + 90 ≤ 0,

g4(X) = 80.51249 + 0.0071317x2 x5 + 0.0029955x1 x2

+0.0021813x23 − 110 ≤ 0,

g5(X) = −9.300961− 0.0047026x3 x5 − 0.0012547x1 x3

−0.0019085x3 x4 + 20 ≤ 0,g6(X) = 9.300961 + 0.0047026x3 x5 + 0.0012547x1 x3

+0.0019085x3 x4 − 25 ≤ 0,78 ≤ x1 ≤ 102 et 33 ≤ x2 ≤ 45,27 ≤ xi ≤ 45 i = 3, 4, 5.

(A.6)La solution optimale est donnee par

X∗ = (78.0, 33.0, 29.9952560256815985, 45.0, 36.7758129057882073)

avec

f(X∗) = −30665.53867178332

Pour cette solution, les contraintes g2 et g5 sont actives.

Meilleure Mediane Moins Moyenne Ecart type Taux de Taux de Performancebonne faisabilite reussite

14950 16050 18850 16180 908,6253 100 100 16180

Table A.3 – Tableau de performances du RADEC pour le probleme 3.

Les performances observees dans le tableau A.3 pour resoudre ce probleme clas-serait 3e le RADEC par rapport aux dix autres algorithmes proposes dans le bench-mark.

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98 A. Validation de l’outil sur des problemes mono-objectifs contraints

A.4 Probleme contraint 4

Minimiser f(X) = x21 + x2

2 + x1 x2 − 14x1 − 16x2 + (x3 − 10)2 + 4 (x4 − 5)2

+(x5 − 3)2 + 2 (x6 − 1)2 + 5x27 + 7 (x8 − 11)2 + 2 (x9 − 10)2

+(x10 − 7)2 + 45Soumis a g1(X) = 4 x1 + 5x2 − 3x7 + 9x8 ≤ 0,

g2(X) = 10 x1 − 8x2 − 17x7 + 2x8 ≤ 0,g3(X) = −8x1 + 2x2 + 5x9 − 2x10 − 12 ≤ 0,g4(X) = 3 (x1 − 2)2 + 4 (x2 − 3)2 + 2x2

3 − 7x4 − 120 ≤ 0,g5(X) = 5 x2

1 + 8x2 + (x3 − 6)2 − 2x4 − 40 ≤ 0,g6(X) = x2

1 + 2 (x2 − 2)2 − 2x1 x2 + 14x5 − 6x6 ≤ 0,g7(X) = 0.5 (x1 − 8)2 + 2 (x2 − 4)2 + 3x2

5 − x6 − 30 ≤ 0,g8(X) = −3x1 + 6x2 + 12 (x9 − 8)2 − 7x10 ≤ 0,−10 ≤ xi ≤ 10 i = 1, . . . , 10.

(A.7)La solution optimale est donnee par

X∗ = (2.17199634142692, 2.3636830416034, 8.77392573913157, 5.09598443745173,0.990654756560493, 1.43057392853463, 1.32164415364306, 9.82872576524495,8.2800915887356, 8.3759266477347)

avec

f(X∗) = 24.30620906818

Pour cette solution, les contraintes g1 a g6 sont actives.

Meilleure Mediane Moins Moyenne Ecart type Taux de Taux de Performancebonne faisabilite reussite

14950 16050 18850 16180 908,6253 100 100 16180

Table A.4 – Tableau de performances du RADEC pour le probleme 4.

Les performances observees dans le tableau A.4 pour resoudre ce probleme clas-serait dernier le RADEC par rapport aux dix autres algorithmes proposes dans lebenchmark.

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A.5 Probleme contraint 5 99

A.5 Probleme contraint 5

Minimiser f(X) = (x1 − 10)2 + 5 (x2 − 12)2 + x43 + 3 (x4 − 11)2 + 10x6

5 + 7x26

+x47 − 4x6 x7 − 10x6 − 8x7

Soumis a g1(X) = 2 x21 + 3x4

2 + x3 + 4x24 + 5x5 − 127 ≤ 0,

g2(X) = 7 x1 + 3x2 + 10x23 + x4 − x5 − 282 ≤ 0,

g3(X) = 23 x1 + x22 + 6x2

6 − 8x7 − 196 ≤ 0,g4(X) = 4 x2

1 + x22 − 3x1 x2 + 2x2

3 + 5x6 − 11x7 ≤ 0,−10 ≤ xi ≤ 10 i = 1, . . . , 7.

(A.8)La solution optimale est donnee par

X∗ = (2.33049935147405174, 1.95137236847114592,−0.477541399510615805,4.36572624923625874,−0.624486959100388983, 1.03813099410962173,1.5942266780671519)

avec

f(X∗) = 680.630057374402

Pour cette solution, les contraintes g1 et g4 sont actives.

Meilleure Mediane Moins Moyenne Ecart type Taux de Taux de Performancebonne faisabilite reussite

43470 49630 56910 49910 4482,668 100 100 49910

Table A.5 – Tableau de performances du RADEC pour le probleme 5.

Les performances observees dans le tableau A.5 pour resoudre ce probleme clas-serait 8e le RADEC par rapport aux dix autres algorithmes proposes dans le bench-mark.

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100 A. Validation de l’outil sur des problemes mono-objectifs contraints

A.6 Probleme contraint 6

Minimiser f(X) = x1 + x2 + x3

Soumis a g1(X) = 0.0025 (x4 + x6)− 1 ≤ 0,g2(X) = 0.0025 (x5 + x7 − x4)− 1 ≤ 0,g3(X) = 0.01 (x8 − x5)− 1 ≤ 0,g4(X) = 833.33252x4 + 100x1 − x1 x6 − 83333.333 ≤ 0,g5(X) = 1250 x5 + x2 x4 − x2 x7 − 1250x4 ≤ 0,g6(X) = x3 x5 + 1250000− x3 x8 − 2500x5 ≤ 0,100 ≤ x1 ≤ 100001000 ≤ xi ≤ 10000 i = 2, 3,10 ≤ xi ≤ 1000 i = 4, . . . , 8.

(A.9)

La solution optimale est donnee par

X∗ = (579.306685017979589, 1359.97067807935605, 5109.97065743133317,182.01769963061534, 295.601173702756792, 217.982300369384632,286.41652592786852, 395.601173702746735)

avec

f(X∗) = 7049.24802052867

Pour cette solution, toutes les contraintes sont actives.

Meilleure Mediane Moins Moyenne Ecart type Taux de Taux de Performancebonne faisabilite reussite

370320 463200 497360 460915 31726,75 100 64 720179,7

Table A.6 – Tableau de performances du RADEC pour le probleme 6.

Les performances observees dans le tableau A.6 pour resoudre ce probleme clas-serait 10e le RADEC par rapport aux dix autres algorithmes proposes dans le bench-mark.

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Annexe B

Validation de l’outil sur desproblemes multi-objectifs

Nous avons teste l’outil d’optimisation pour six problemes d’optimisation multi-objectifs, dont quatre non contraints et deux contraints. Ils sont issus du Congresson Evolutionary Computation 2009 [Zhang et al., 2009]. Pour tous les problemes,nous avons regle l’algorithme avec les valeurs suivantes : np = 10ng, Cr = 0,1, lastrategie utilisee est DE/rand/1/bin et la selection est basee sur l’objectif equivalent.

Pour chaque probleme, les resultats sont presentes pour 30 calculs d’optimisationet la performance de chacun de ces calculs est donnee par le calcul de l’IGD, definicomme suit. Soit P ∗ un ensemble de points du front de Pareto uniformement repartidans le domaine des objectifs. Soit P ′ l’ensemble des solutions du front de Paretoobtenu par le calcul. L’IGD est alors defini par

IGD(P ∗, P ′) =

∑p∈P ∗ d(p, P ′)

|P ∗| (B.1)

ou d(p, P ′) est la plus petite distance Euclidienne entre le point p de P ∗ et les pointsde P ′.

De plus, le temps de calcul (moyenne et ecart type) est donne afin de suivre lesconsignes du benchmark, et ainsi de permettre au lecteur de comparer efficacementles algorithmes.

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102 B. Validation de l’outil sur des problemes multi-objectifs

B.1 Probleme multi-objectif 1

Minimiser f1(X) = x1 +2

|J1|∑j∈J1

[xj − sin

(6πx1 +

n

)]2

f2(X) = 1−√x1 +2

|J2|∑j∈J2

[xj − sin

(6πx1 +

n

)]2

Soumis a 0 ≤ x1 ≤ 1−1 ≤ xj ≤ 1 pour j = 2, . . . , n

(B.2)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n} etn = 30.

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par : 0 ≤ f1 ≤ 1et f2 = 1 −√f1. Les performances observees dans le tableau B.1 pour resoudre ceprobleme classeraient 11e le RADEMO par rapport aux treize autres algorithmesproposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenu pour la meilleure solutionest compare au front de Pareto du probleme sur la figure B.1.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type0,037221 0,001127 0,034858 0,03987 171,284 26,4257

Table B.1 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

1Figure B.1 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 1.

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B.2 Probleme multi-objectif 2 103

B.2 Probleme multi-objectif 2

Minimiser f1(X) = x1 +2

|J1|∑j∈J1

y2j

f2(X) = 1−√x1 +2

|J2|∑j∈J2

y2j

Soumis a 0 ≤ x1 ≤ 1−1 ≤ xj ≤ 1 pour j = 2, . . . , n

(B.3)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n}, n =

30 et yj =

{xj − [0.3x2

1 cos(24πx1 + 4jπ/n) + 0.6x1] cos(6πx1 + jπ/n) si j ∈ J1

xj − [0.3x21 cos(24πx1 + 4jπ/n) + 0.6x1] sin(6πx1 + jπ/n) si j ∈ J2

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par : 0 ≤ f1 ≤ 1et f2 = 1 −√f1. Les performances observees dans le tableau B.2 pour resoudre ceprobleme classeraient 10e le RADEMO par rapport aux treize autres algorithmesproposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenu pour la meilleure solutionest compare au front de Pareto du probleme sur la figure B.2.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type0,017350 5,87 10−4 0,016286 0,018651 285,301 96,1581

Table B.2 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

1Figure B.2 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 2.

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104 B. Validation de l’outil sur des problemes multi-objectifs

B.3 Probleme multi-objectif 3

Minimiser f1(X) = x1 +2

|J1|∑j∈J1

h(yj)

f2(X) = 1− x21 +

2

|J2|∑j∈J2

h(yj)

Soumis a 0 ≤ x1 ≤ 1−2 ≤ xj ≤ 2 pour j = 2, . . . , n

(B.4)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n}, n =30, yj = xj − sin(6πx1 + jπ/n) et h(t) = |t|/(1 + e2|t|).

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par : 0 ≤ f1 ≤ 1et f2 = 1 − f 2

1 . Les performances observees dans le tableau B.3 pour resoudre ceprobleme classeraient 11e le RADEMO par rapport aux treize autres algorithmesproposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenu pour la meilleure solutionest compare au front de Pareto du probleme sur la figure B.3.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type0,058072 6,86 10−4 0,056886 0,059938 333,429 43,5092

Table B.3 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

1Figure B.3 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 3.

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B.4 Probleme multi-objectif 4 105

B.4 Probleme multi-objectif 4

Minimiser f1(X) = x1 + (1/(2N) + ε)| sin(2Nπx1)|+ 2

|J1|∑j∈J1

h(yj)

f2(X) = 1− x1 + (1/(2N) + ε)| sin(2Nπx1)|+ 2

|J2|∑j∈J2

h(yj)

Soumis a 0 ≤ x1 ≤ 1−1 ≤ xj ≤ 1 pour j = 2, . . . , n

(B.5)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n}, n =30, N = 10, ε = 0.1, yj = xj − sin(6πx1 + jπ/n) et h(t) = 2t2 − cos(4πt) + 1.

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par tous les points(i/(2N), 1 − i/(2N)) pour i = 0, 1, . . . , 2N . Les performances observees dans letableau B.4 pour resoudre ce probleme classeraient 12e le RADEMO par rapportaux treize autres algorithmes proposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenupour la meilleure solution est compare au front de Pareto du probleme sur la figureB.4.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type1,175038 6,61 10−2 1,035742 1,286833 224,187 38,0176

Table B.4 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

1Figure B.4 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 4.

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106 B. Validation de l’outil sur des problemes multi-objectifs

B.5 Probleme multi-objectif 5

Minimiser f1(X) = x1 +2

|J1|∑j∈J1

(xj − x0.5(1+3(j−2)/(n−2)

1

)2

f2(X) = 1− x1 +2

|J2|∑j∈J2

(xj − x0.5(1+3(j−2)/(n−2)

1

)2

Soumis a g(X) = −f1 − f2 + a| sin [Nπ(f1 − f2 + 1)] |+ 1 ≤ 00 ≤ xj ≤ 1 pour j = 1, . . . , n

(B.6)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n}, n =10, N = 10 et a = 1.

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par tous les points(i/(2N), 1 − i/(2N)) pour i = 0, 1, . . . , 2N . Les performances observees dans letableau B.5 pour resoudre ce probleme classeraient 5e le RADEMO par rapport auxsept autres algorithmes proposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenu pourla meilleure solution est compare au front de Pareto du probleme sur la figure B.5.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type0,013025 1,25 10−3 0,009897 0,015637 27,2163 1,87229

Table B.5 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

1Figure B.5 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 5.

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B.6 Probleme multi-objectif 6 107

B.6 Probleme multi-objectif 6

Minimiser f1(X) = x1 +2

|J1|

(4∑j∈J1

y2j − 2

∏j∈J1

cos(20yjπ/√j) + 2

)

f2(X) = 1− x21 +

2

|J2|

(4∑j∈J2

y2j − 2

∏j∈J2

cos(20yjπ/√j) + 2

)Soumis a g(X) = −f 2

1 − f2 + a| sin [Nπ(f 21 − f2 + 1)] |+ 1 ≤ 0

0 ≤ xj ≤ 1 pour j = 1, . . . , n

(B.7)

avec J1 = {j : j est impaire et 2 ≤ j ≤ n}, J2 = {j : j est paire et 2 ≤ j ≤ n}, n =10, N = 10 et a = 1.

Le front de Pareto de ce probleme d’optimisation est donne par tous les points(i/(2N), 1 − i/(2N)) pour i = 0, 1, . . . , 2N . Les performances observees dans letableau B.1 pour resoudre ce probleme classeraient 6e le RADEMO par rapport auxsept autres algorithmes proposes dans le benchmark. Le front de Pareto obtenu pourla meilleure solution est compare au front de Pareto du probleme sur la figure B.1.

IGD CPU (s)moyenne ecart type min max moyenne ecart type0,278481 3,28 10−2 0,203618 0,344959 32,7267 7,55159

Table B.6 – Tableau de performances du RADEMO pour le probleme multi-objectif5

Front recherche

Front obtenu

f 2

f1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

1Figure B.6 – Comparaison des fronts de Pareto recherche et obtenu pour leprobleme 6.

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Annexe C

Articles

Les articles suivants sont issus des travaux de these.

C.1 Article de journal

• B Puel, D Lesselier, S Chatillon and P Calmon, Optimization tool for ultrasonicarrays design using a hybrid Differential Evolution, NDT&E International (soumis-sion a venir).

C.2 Communications

• B Puel, D Lesselier, S Chatillon and P Calmon, Simulation-based optimization ofthe design and settings of ultrasonic phased-array transducers with an evolutionaryalgorithm, QNDE 2010, San Diego.

• B Puel, S Chatillon and D Lesselier, Ultrasonic NDT optimization using Ran-domized Adaptive Differential Evolution, Journal of Physics : Conference Series,GDR-AFPAC 2010, Kendal.

• B Puel, D Lesselier, S Chatillon, Conception de traducteurs et techniques multi-elements optimises pour le controle non destructif ultrasonore, 5e journee Optimeo(2009), Gif-sur-Yvette.

C.3 Posters

• B Puel, D Lesselier, S Chatillon et P Calmon, Optimisation de techniques CND parapplication d’un algorithme evolutionniste a des donnees ultrasonores, Traitementdu signal pour le controle non-destructif acoustique : etat de l’art et perspectives(2010), Angers.

• B Puel, S Chatillon et D Lesselier, Conception de traducteurs et techniques multi-elements optimisees pour le controle non destructif ultrasonore, GDR ondes 2009,Paris.

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110 C. Articles

• B Puel, D Lesselier, S Chatillon, CAPVERS : Conception de capteurs et de tech-niques CND par methodes inverses, Forum Digiteo 2009, Palaiseau.• B Puel, D Lesselier, S Chatillon, CAPVERS : Conception de capteurs et de tech-niques CND par methodes inverses, Forum Digiteo 2008, Gif-sur-Yvette.