Numéro d’ordre : 2008 - 40 Année 2008

THÈSE

présentée devant

L’ÉCOLE CENTRALE DE LYON

pour obtenir le grade de

DOCTEUR

Spécialité : Mécanique

par

Guillaume INQUIÉTÉ

Ingénieur de l’École Centrale de Lyon

SIMULATION NUMÉRIQUE DE LA PROPAGATION DES ONDES DANS LES STRUCTURES COMPOSITES STRATIFIÉES

Présentée et soutenue publiquement le 19 décembre 2008, devant le jury d’examen :

Olivier Allix

Anne-Sophie Bonnet-BenDhia

Oliver Polit

Bernard Troclet

Benoît Petitjean

Louis Jezequel

Mohamed Ichchou

Professeur, ENS Cachan

Professeur, ENSTA

Professeur, Université Paris X

Senior Expert, EADS Astrium ST

Expert, EADS Innovation Works

Professeur, ECL

Professeur, ECL

President

Rapporteur

Rapporteur

Examinateur

Examinateur

Directeur de thèse

Co-Directeur de thèse

vii

Remerciements

Cette thèse CIFRE est le fruit d’une collaboration entre l’Ecole Centrale de Lyon, EADS Innovation Works et EADS Astruim Space Transportation. Dans ce triumvirat, je tiens tout d’abord à remercier les professeurs Louis Jezequel et Mohammed Ichchou pour avoir accepté de me suivre pendant ces trois années et pour tous les conseils avisés qui ont su me donner. Je remercie aussi Bernard Troclet pour m’avoir fait confiance en me proposant ce sujet passionnant et pour m’avoir suivit tout au long de cette étude. Ma gratitude s’adresse également à Benoit Petitjean qui a toujours su être à mon écoute et qui m’a transmis ses connaissances et sa vision de la mécanique. Enfin, bien qu’elle soit partie d’EADS Innovation Works avant la fin de mes travaux, j’exprime ma profonde reconnaissance à Patricia Saad pour son écoute, ses conseils et sa disponibilité.

Mes remerciements s’adressent également aux professeurs Anne-Sophie Bonnet-BenDhia et Oliver Polit pour avoir accepté de rapporter ma thèse et pour l’intérêt qui ont porté à ces travaux. J’espère qu’à l’avenir nous serons amenés à échanger de nouveau sur ce sujet passionnant. Un grand merci aussi au professeur Olivier Allix pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse et pour toutes les recommandations qui a su me donner lors de nos entrevues à EADS Innovation Works.

J’adresse également mes remerciements aux membres et aux thésards du laboratoire LTDS pour leur accueil et leur sympathie. Un merci chaleureux à Isabelle Tixier pour s’être occupée des formalités administratives, à Olivier Bareille et Stéphane Lemahieu pour m’avoir épaulé durant mes essais et à Bastien Hiverniau et Vincent Jaumouillé, pour leur amitié et les échanges passionnants que nous avons sur la mécanique.

J’associe aussi à ces remerciements mes collègues d’EADS Innovation Works qui ont souvent répondu à mes questions techniques et avec qui j’ai passé des très bons moments de détente. Pensant qu’il est très difficile de tous les citer, je tiens simplement à dire merci à tous ceux qui se reconnaitront à travers ces quelques lignes.

Enfin, un immense merci à ma famille et mes amis qui ont toujours su être là pour m’encourager et me soutenir durant ces longues années. Je remercie particulièrement mon amie, Bénédicte, pour sa patience et pour tout le réconfort qu’elle a su m’apporter sans relâche.

ix

Résumé

Lors du vol d’un lanceur, la séparation de la coiffe et des charges utiles est assurée par des dispositifs pyrotechniques. L’environnement vibratoire produit par ces dispositifs est généralement très sévère, ce qui peut entraîner la dégradation des équipements « sensibles » placés à proximité. Pour éviter ce type d’incident, il est nécessaire de prédire correctement les niveaux vibratoires en pied de ces équipements. Des simulations numériques sont donc réalisées à partir de codes explicites, mais peuvent parfois conduire à des prévisions médiocres. Des travaux de recherche ont donc été entrepris afin de fiabiliser ces outils de simulation.

Dans ce contexte, nous étudions tout d’abord la capacité des éléments finis standard à représenter la propagation d’ondes élastiques dans les poutres et plaques composites stratifiées, dès que l’on s’intéresse à des fréquences relativement élevées. Pour ce faire, nous étudions la dispersion des ondes à partir des théories utilisées pour formuler les éléments, et nous comparons les résultats obtenus à ceux prédits à partir de la méthode des éléments finis ondulatoires. A travers différents cas tests, nous montrons que les éléments finis standard peuvent être insuffisants pour modéliser les poutres et plaques composites stratifiées à hautes fréquences. Des éléments finis d’ordre plus élevé ont aussi été testés cependant aucun d’entre eux n’a été jugé satisfaisant. Nous en concluons donc pour l’instant que seuls les éléments solides peuvent permettre de reproduire correctement les phénomènes de dispersion d’ondes.

Par la suite, les travaux portent sur la capacité d’un code explicite à simuler la réponse transitoire d’une structure composite stratifiée lorsque cette dernière est sollicitée par un choc haute fréquence [0-100kHz]. Dans ce travail, différentes simulations ont été effectuées sous le logiciel Abaqus/Explicit et leurs prévisions ont été comparées à des calculs semi-analytiques. Les résultats obtenus montrent que le logiciel peut être employé dans le cadre de notre problématique à condition que le paramétrage numérique (taille des éléments, ordre des fonctions d’interpolation, intégration numérique) soit correctement ajusté pour que les erreurs de dispersion, inhérentes à la méthode des éléments finis couplée à un schéma d’intégration en temps, restent faibles.

Pour finir, nous concluons ce travail en comparant les résultats théoriques aux mesures expérimentales réalisées à partir de la technique inhomogeous wave correlation. Les comparaisons effectuées montrent que la théorie du premier ordre en flexion reproduit correctement la dispersion de l’onde de flexion pour une plaque composite stratifiée de 0 à 3 kilohertz. Des travaux complémentaires sont à prévoir pour étudier la validité des modèles à plus hautes fréquences car le banc d’essai utilisé est limité en raison de la fréquence de coupure du pot vibrant.

Mots clés

propagation d’ondes, structure composite stratifiée, méthode des éléments finis, hautes fréquences, dispersion d’ondes, choc pyrotechnique, méthode des éléments finis ondulatoires, dynamique transitoire.

xi

Abstract

During the launch phase, space launchers utilize pyrotechnic devices to separate fairing and payload. Shocks generated by device activation and characterized by high peak acceleration and broadband frequency spectrum could damage payload equipments placed at the vicinity of the devices. Consequently, vibration level must be accurately predicted before flights in order to make sure that equipments are not damaged. Numerical simulations are performed but, in some cases, results are not accurate enough. Hence, research studies are conducted to improve the reliability of numerical tools.

In this context, the capability of standard finite element to model elastic wave propagation in laminated composite plate and beam at high frequencies is first studied. To perform this study, wave dispersion is evaluated theoretically and compared to the results estimated by the wave finite element method. Results presented highlight that standard finite element can be insufficient to model laminated composite beam and plate. Otherwise, comparisons are also performed with high order finite element but results show that there are not sufficent. Therefore, we conclude that solid finite element can only be used to model accurately wave dispersion phenomena.

Second, the study focus on the ability of explicit software to simulate the transient response of laminated composite structure submitted to high frequency shocks [0-100 kHz]. In this work, numerical simulations are performed with Abaqus/Explicit and a semi-analytical method. By comparing the results, it is demonstrated that Abaqus/Explicit can be used to predict accurately the propagation of elastic wave at high frequencies however numerical parameters (element length, order of the interpolation function, numerical integration) must be adjusted correctly to avoid numerical dispersion induced by the finite element method coupled with time integration method.

At last, measurements obtained by the inhomogeneous wave correlation technique are compared to the theoretical results. It is shown that the first order shear deformation theory can be employed to model the dispersion of flexural wave in a laminated composite plate from 0 to 3 kilohertz. To validate model at higher frequencies, the mock up has to be enhanced because the cut off frequency of the shaker restrict its use.

Keywords

wave propagation, laminated composite structure, finite element method, high frequencies, wave dispersion, pyrotechnical shock, wave finite element method, transient dynamic.

xiii

Abréviations

AE Acoustic Emission CFL Courant-Friedrich-Lewy CIFRE Convention Industrielle de Formation par la Recherche CLPT Classical Laminate Plate Theory CND Contrôle Non Destructif DDL Degré de liberté DFT Discrete Fourier Transform EADS European Aeronautic Defense and Space Company ESD Energy Spectral Density ESL Equivalent Single Layer FDM Finite Difference Method FDTD Finite Difference in Time Domain FEM Finite Element Method FRF Fonction de Réponse en Fréquence FSDT First order Shear Deformation Theory IDFT Inverse Discrete Fourier Transform IWC Inhomogeneous Wave Correlation LTDS Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes LW Layer-Wise MAC Modal Assurance Criterion MEST Méthode Énergétique Simplifiée Transitoire MMC Mécanique des Milieux Continus PDE Partial Differential Equation PST Periodic Structure Theory RDM Résistance Des Matériaux SAFE Semi-Analytical Finite Element SEA Statistical Energy Analysis SEM Spectral Element Method SFEM Spectral Finite Element Method SRS Shock Response Spectra VS-FDM Velocity-Stress Finite Difference Method WFE Wave Finite Element

xv

Table des matières

Introduction .............................................................................................................................. 1

Chapitre 1 État de l’art............................................................................................................ 5

1.1 Introduction ............................................................................................................................. 5 1.2 Comportement dynamique d’une structure soumise à un choc haute fréquence..................... 5 1.3 Revue des théories dédiées à la modélisation des structures................................................... 8

1.3.1 Hypothèses ...................................................................................................................... 9 1.3.2 Les théories de poutres .................................................................................................. 10 1.3.3 Les théories de plaques.................................................................................................. 14

1.4 Revue des méthodes dédiées à la simulation en dynamique transitoire ................................ 16 1.4.1 Les méthodes énergétiques............................................................................................ 16 1.4.2 Les méthodes numériques ............................................................................................. 18 1.4.3 Les méthodes semi-analytiques..................................................................................... 24 1.4.4 Les méthodes hybrides .................................................................................................. 28 1.4.5 Synthèse......................................................................................................................... 30

1.5 Conclusion............................................................................................................................. 31

Chapitre 2 Modélisation de la propagation d’ondes dans les poutres composites stratifiées ................................................................................................................................. 33

2.1 Introduction ........................................................................................................................... 33 2.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de poutres ..................................... 33

2.2.1 La théorie élémentaire ................................................................................................... 34 2.2.2 La théorie du premier ordre en flexion.......................................................................... 38 2.2.3 Les théories du premier ordre en traction...................................................................... 42

2.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE.......................................... 48 2.3.1 Formulation ................................................................................................................... 48 2.3.2 Programmation .............................................................................................................. 55 2.3.3 Analyse de convergence................................................................................................ 55

2.4 Applications........................................................................................................................... 57 2.4.1 Poutre isotrope à section rectangulaire.......................................................................... 57 2.4.2 Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » à section rectangulaire ..................... 61 2.4.3 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » à section rectangulaire.......................... 64 2.4.4 Convergence des prévisions calculées à partir de la WFE1D ....................................... 66

2.5 Conclusion............................................................................................................................. 69

Chapitre 3 Modélisation de la propagation d’ondes dans les plaques composites stratifiées ................................................................................................................................. 71

3.1 Introduction ........................................................................................................................... 71 3.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de plaques..................................... 71

xvi

3.2.1 La théorie élémentaire (CLPT)...................................................................................... 72 3.2.2 La théorie du premier ordre en flexion (FSDT) ............................................................ 76

3.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE.......................................... 81 3.3.1 Extension de la formulation au cas des plaques ............................................................ 81 3.3.2 Analyse de convergence................................................................................................ 87

3.4 Applications........................................................................................................................... 87 3.4.1 Plaque isotrope .............................................................................................................. 88 3.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » .............................................................. 91 3.4.3 Plaque composite stratifiée « unidirectionnelle ».......................................................... 96

3.5 Conclusion........................................................................................................................... 101

Chapitre 4 Simulation de la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute fréquence............................................................................................................................... 103

4.1 Introduction ......................................................................................................................... 103 4.2 Simulation à partir d’un code explicite ............................................................................... 103

4.2.1 Discrétisation spatiale des équations de la MMC........................................................ 103 4.2.2 Résolution du système matriciel dans le domaine temporel........................................ 107 4.2.3 Réduction du coût numérique des simulations............................................................ 108 4.2.4 Analyse de convergence.............................................................................................. 110

4.3 Simulation à partir de la méthode WFE .............................................................................. 112 4.3.1 Extension de la formulation à la dynamique transitoire .............................................. 113 4.3.2 Programmation ............................................................................................................ 114

4.4 Applications......................................................................................................................... 116 4.4.1 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope »............................................................. 116 4.4.2 Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » ........................................................ 120 4.4.3 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » ............................................................ 123

4.5 Conclusion........................................................................................................................... 126

Chapitre 5 Validation des modèles ..................................................................................... 127

5.1 Introduction ......................................................................................................................... 127 5.2 Revue des techniques d’identification de la vitesse de phase d’une onde........................... 127

5.2.1 Les techniques basées sur la propagation d’ondes ......................................................128 5.2.2 Les techniques basées sur les vibrations forcées......................................................... 131 5.2.3 Synthèse....................................................................................................................... 133

5.3 Identification à partir de la technique IWC ......................................................................... 134 5.3.1 Mesure du champ vibratoire........................................................................................ 134 5.3.2 Corrélation du champ à partir d’ondes inhomogènes.................................................. 135 5.3.3 Limitations de la technique ......................................................................................... 137

5.4 Applications......................................................................................................................... 140 5.4.1 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai virtuel)...................................... 140 5.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai reel) .......................................... 142

5.5 Conclusion........................................................................................................................... 144

Conclusion et perspectives................................................................................................... 145

Références bibliographiques ............................................................................................... 147

Annexe A Résultantes et moments dans les théories de plaques...................................... 155

A.1 Loi de comportement d’un matériau composite.................................................................. 155 A.2 Théorie CLPT...................................................................................................................... 157 A.3 Théorie FSDT...................................................................................................................... 158

Annexe B Résultantes et moments dans les théories de poutres ...................................... 161

xvii

B.1 Théorie élémentaire............................................................................................................. 161 B.2 Théorie du premier ordre en flexion.................................................................................... 163 B.3 Théorie de Gopalakrishnan ................................................................................................. 164

Annexe C Identification par intercorrélation de la vitesse d’une onde........................... 167

1

Introduction

Dans l’industrie spatiale, les dispositifs pyrotechniques tels que les cordeaux de découpe, les vérins poussoirs ou bien encore les boulons explosifs sont largement utilisés afin d’accomplir de nombreuses fonctions de séparation et de déploiements. A titre d’exemple, la figure 0.1 illustre la séparation de la coiffe du lanceur européen Ariane V réalisée à partir de cordeaux de découpe.

Figure 0.1 : Séparation de la coiffe du lanceur Ariane V à partir de cordeaux de découpe.

Ces dispositifs sont privilégiés par rapport aux autres technologies car ils offrent de nombreux avantages comme un gain important de masse, une bonne résistance aux conditions extrêmes de température et de pression, ainsi qu’une grande longévité nécessaire lors de missions spatiales de longue durée. Neanmoins, leur mise à feu est un inconvénient majeur car cela génère des chocs mécaniques hautes fréquences sollicitant les structures environnantes. En raison du faible espace disponible sur un lanceur, les équipements électroniques sont souvent placés à proximité des dispositifs pyrotechniques. Ils subissent donc un environnement vibratoire très sévère pouvant les endommager.

Historiquement, les effets de ces chocs sur les équipements étaient négligés pensant que leur faible durée ne pouvait les détériorer. C’est seulement à la suite d’une expertise [Moening, 1986] qu’on comprit qu’ils pouvaient être à l’origine de dommages survenus soit au moment même du choc soit après celui-ci. Un choc peut donc fragiliser un équipement qui sera ensuite mis hors service par les effets d’autres ambiances vibratoires. D’après les expertises, ces dommages peuvent être mécaniques (fissuration des matériaux fragiles, derackage de connecteurs, desserrage de visserie, etc.) ou bien électriques (changement d’état de relais, perte de continuité électrique, microcoupures, éjection de particules conductrices générant un court-circuit, etc.). Pour bien mesurer l’importance de cette problématique, on ne peut s’empêcher de rappeler l’échec dramatique de la mission Soyouz 11 causé par l’ouverture accidentelle d’une valve de pressurisation lors de la séparation de l’orbiteur et de la capsule, qui entraîna la mort par axphyxie de trois cosmonautes.

2

Depuis, la problématique des chocs d’origine pyrotechnique a été prise en compte par les industriels. Les équipements dits « sensibles » subissent désormais une procédure de qualification avant vol afin de garantir leurs intégrités durant les missions. Cette procédure issue du savoir-faire industriel était basée à l’origine uniquement sur des analyses expérimentales mais depuis quelques années les outils de simulation numériques viennent de plus en plus assister les ingénieurs en phase de conception. Il est donc envisageable, à partir de ces nouveaux moyens, d’atteindre la spécification dite « 0.1 f » garantissant ainsi aux clients un meilleur confort des charges utiles.

Pour y arriver, les 27 industriels européens participant au développement des lanceurs Ariane ont créé en 1994 le pôle « choc pyrotechnique ». L’un des objectifs de ce pôle est d’améliorer les outils de simulation afin que les ingénieurs puissent estimer la propagation des chocs, depuis la source jusqu’aux pieds des équipements plus précisément. En effet, pour l’instant, les corrélations entre les essais et les calculs sont médiocres ce qui les oblige à spécifier des niveaux de qualification bien plus importants que ceux mesurés en vol. Un autre objectif de ce pôle concerne la mise au point de protocoles destinés à guider les ingénieurs lors de la mise au point d’une simulation. En effet, les industriels constatent bien souvent que ce qui est le plus coûteux pour obtenir des prévisions fiables n’est pas le temps de la simulation elle-même mais le temps de mise au point de cette dernière.

A l’heure actuelle, ces simulations sont réalisées à partir de codes de calcul développés à l’origine pour la dynamique rapide (exemple les codes Radioss, LS-Dyna, Abaqus/Explicit, MSC.Marc). Ces codes se basent sur la méthode des éléments finis (FEM, Finite Element Method) couplée à un schéma d’intégration en temps afin de solutionner les équations du mouvement dans le domaine spatio-temporel. Pour mettre au point une simulation à partir de ce type de code, il faut suivre les étapes suivantes.

La première étape consiste à établir un modèle physique des phénomènes que l’on cherche à simuler. Pour être performant, ce modèle doit représenter correctement les phénomènes tout en possédant un nombre très limité de paramètres. Pour la problématique des chocs pyrotechniques, les difficultés rencontrées dans l’établissement d’un modèle concernent principalement la modélisation des structures, de l’amortissement et des liaisons [Dommanget et al., 1997]. Si l’on ne tient compte que de la modélisation des structures de type poutre ou plaque, ce qui nous intéressera plus particulièrement dans cette thèse, on note l’existence d’un grand nombre de théories pour représenter leur comportement dynamique. Pour les phénomènes à grandes longueurs d’ondes (basses fréquences), les théories élémentaires, basées sur des hypothèses statiques, sont couramment employées car elles représentent bien les différents mécanismes de déformation (flexion, traction, cisaillement). L’utilisation de ces théories permet alors une réduction significative du nombre de degré de liberté (ddl) par rapport aux modèles tridimensionnels. Pour les phénomènes à petites longueurs d’ondes (hautes fréquences), les mécanismes se complexifient mettant alors à défaut les hypothèses statiques. Des théories approchées prenant en compte des mécanismes de déformation supplémentaires ont alors été proposées pour pallier ces limitations ; toutefois, ces dernières nécessitent l’introduction de nouveaux paramètres qui les rendent parfois inapplicables pour certaines structures en raison de leur géométrie ou bien de leur matériau. Ces limitations sont bien maîtrisées pour les structures en matériaux isotropes ; par contre, pour celles en matériaux composites et sandwich, cela n’est pas le cas. Enfin, notons que dans le cas où les théories élémentaires et approchées ne sont pas applicables, on est obligé de recourir à une modélisation tridimensionnelle de la structure.

Une fois le modèle physique défini, on se retrouve en possession d’un système d’équation que l’on cherche à résoudre pour simuler les phénomènes. Dans la plupart des problèmes, les structures ont des géométries complexes, ce qui impose l’emploi d’une méthode adaptée car le calcul analytique n’est alors plus envisageable. La méthode des éléments finis, souvent implémentée dans les codes industriels, est l’une des plus adaptées pour traiter ce type de problématique. En effet, en discrétisant en sous domaine la structure, on transforme le système d’équation continu en un système discret qui peut ensuite être résolu en temps à partir des méthodes d’intégration temporelle. Le modèle est alors dit numérique et non plus physique car les solutions approchées qui en découlent dépendent des paramètres physiques ainsi que des paramètres numériques de la discrétisation spatio-temporelle. Ces

3

paramètres numériques ont une influence significative sur la qualité des résultats. En effet, des erreurs liées à la discrétisation peuvent survenir lorsque certains de ces paramètres ne sont pas bien calibrés. Par exemple, lorsqu’on cherche à simuler la propagation d’un choc dans une structure, on constate d’après [Géradin et al., 1992] que ces erreurs peuvent entraîner une modification sur la vitesse de propagation (erreur de dispersion), ainsi qu’une amplification ou une atténuation artificielle de l’amplitude du choc (erreur d’amplification). Par ailleurs, il faut signaler que ces erreurs se cumulent à chaque incrément de temps ce qui veut dire que pour des simulations en temps longs (régime stationnaire établie), l’erreur initiale doit être très faible si l’on veut que l’erreur finale soit négligeable. Ce type d’erreur a été étudié dans la littérature par [Belytschko et al.,1977] ; toutefois dans les applications industrielles, elles sont souvent peu contrôlées. Pour calibrer la taille des éléments et donc garantir la convergence de la FEM temporel, on utilise la règle couramment admise qui dit qu’un minimum de 5 éléments par longueur d’ondes à la fréquence maximale suffit. Bien qu’elle semble suffire dans certains cas, cette règle est purement empirique et aucune étude n’a démontré sa validité. Une attention particulière doit donc être donnée lors du choix de la taille des éléments si l’on veut éviter que les erreurs de dispersion et d’amplification dégradent les prévisions. Autrement, lorsque les phénomènes présentent des longueurs d’ondes très faibles ou bien que la discrétisation spatio-temporelle est très fine, on peut être amené à dépasser les capacités du calculateur ce qui amène l’industriel à recourir à des méthodes de réduction de coût de calcul comme le calcul adaptatif-parallèle [Grédé et al., 2006], ou bien en la couplant à d’autres méthodes plus adaptées à hautes fréquences, comme par exemple la théorie variationnelle des rayons complexes [Chevreuil, 2005].

Enfin, la dernière étape consiste à valider le modèle en vue de garantir des simulations fiables et précises. En règle générale, les industriels comparent les résultats de simulation à des mesures acquises lors de campagnes d’essais. Dans le cadre des études sur les chocs pyrotechniques, les validations sont souvent très difficiles à mettre en place et ceci pour plusieurs raisons. Tout d’abord, les mesures sont réalisées à partir de jauges de déformation ou bien d’accéléromètres ce qui veut dire que les corrélations essai/calcul se font à partir de réponses temporelles locales. Ces mesures sont très sensibles aux conditions d’essais (positionnement du capteur, offset lié au support du capteur, etc.). C’est pourquoi, on préfère les post traitées afin de comparer des spectres de réponse au choc [Lalanne, 1999]. Par ailleurs, le nombre de mesures acquises est souvent limité en raison du coût des essais. On peut donc effectuer des corrélations uniquement en certains points de la structure. De plus, il est très difficile pour l’heure de mesurer l’effort généré par un dispositif pyrotechnique sur une structure. En raison de ces limitations, il est souvent difficile pour les industriels de comprendre l’origine des différences entre essai et calcul. Lors des tests de validation menés par le pôle choc [Dommanget et al., 2005], il a été choisi de corréler les prévisions obtenues à partir de différents codes industriels à des mesures acquises lors de découpes pyrotechniques sur des plaques isotrope et sandwich. A partir des corrélations, les industriels ont pu dresser une liste de recommandations concernant l’établissement du modèle physique cependant, l’influence des paramètres numériques sur les corrélations semble encore peu connue.

Cette thèse CIFRE, réalisée à EADS Innovation Works en collaboration avec le Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes (LTDS) de l’École Centrale de Lyon et EADS Astrium Space Transportation, a pour but d’évaluer la capacité d’un code explicite à simuler les phénomènes de propagation d’ondes lorsque ces derniers présentent une petite longueur d’ondes comparativement à la taille de la structure étudiée. Dans ce travail, nous nous intéresserons uniquement à des structures élémentaires (poutres et plaques) réalisées en matériaux composites stratifiées et dont les dimensions sont représentatives de celles d’un lanceur (de l’ordre du mètre). Par ailleurs, le choc sollicitant la structure ne sera pas représentatif d’un choc pyrotechnique ; toutefois, son contenu fréquentiel sera suffisamment élevé (de l’ordre du kHz) pour que les ondes engendrées par le choc présentent des longueurs d’ondes comparables.

Le présent document synthétise les travaux de recherche menés durant les trois années de thèse. Ils sont dissociés en cinq chapitres dont l’organisation répond au plan suivant :

4

Après une description succincte de la phénoménologie d’un choc pyrotechnique, nous chercherons, dans le premier chapitre, à synthétiser les difficultés inhérentes à la simulation numérique des phénomènes de propagation d’ondes dans les structures composites stratifiées. Pour cela, les différentes théories utilisées pour établir un modèle représentatif des phénomènes sont revues ainsi que les différentes méthodes permettant le calcul de la réponse transitoire.

Fort de cette synthèse, nous étudierons dans le second et le troisième chapitres la limite d’utilisation des éléments finis poutres et plaques proposés dans le code Abaqus/Explicit. Pour ce faire, nous comparerons les prévisions (vitesses de phase, plans d’ondes) obtenues à partir des différentes théories utilisées pour la formulation de ces éléments, à celles calculées à partir de la méthode des éléments finis ondulatoires (WFE, Wave Finite Element). A travers ce travail, nous montrerons que certains éléments structuraux ne peuvent être utilisés pour reproduire les phénomènes de propagation d’ondes et qu’il est donc nécessaire d’utiliser un modèle tridimensionnel pour les représenter. De plus, nous verrons dans certains cas que le caractère prédictif des théories utilisées peut être remis en cause ; toutefois, cela peut être résolu en s’appuyant sur la méthode WFE.

Dans le quatrième chapitre, nous allons ensuite évaluer la capacité de la FEM temporel implémentée dans le code Abaqus/Explicit à simuler les phénomènes de propagation d’ondes à haute fréquence. Lors de ces simulations, les différents paramètres numériques tels que le nombre de ddl, l’ordre des fonctions d’interpolation ou bien encore l’intégration numérique seront ajustés afin de garantir la convergence des solutions EF. La validité de ces solutions sera ensuite étudiée en comparant les réponses transitoires et les vitesses de phase mesurées par intercorrélation aux prévisions calculées par la méthode WFE. A partir de ces comparaisons, nous montrons que les erreurs de dispersion ne sont pas négligeables et demandent à être mieux contrôlées en temps moyens et a fortiori en temps longs. Des pistes de recherche sont alors proposées pour accroître les capacités du code explicite.

Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons un essai visant à étudier la validité du modèle numérique utilisé pour les simulations. Cet essai s’appuie sur la technique d’identification inhomogeneous wave correlation (IWC) développée par [Berthaut, 2004] pour mesurer les caractéristiques ondulatoires de structure de type plaque (vitesse de phase, amortissement spatial). En corrélant les résultats expérimentaux à ceux théoriques, nous démontrons que ce type d’essai est prometteur pour garantir la validité de la théorie utilisée pour modéliser une plaque composite stratifiée.

5

Chapitre 1

État de l’art

1.1 Introduction

A travers ce chapitre, nous allons tout d’abord décrire brièvement le comportement dynamique d’une structure soumise à un choc afin d’éviter toutes ambiguïtés avec d’autres problématiques sur ce que l’on désignera ensuite par phénomène « haute fréquence ». De plus, nous profiterons de cette description pour établir les hypothèses prises dans ce travail. Suite à cette discussion, les différentes théories approchées classiquement utilisées pour représenter le comportement dynamique des poutres et des plaques seront discutées. Nous tenterons alors de dégager pour chacune d’elles les limites d’utilisation en ce qui concerne l’analyse de la propagation des chocs hautes fréquences. Une seconde revue est ensuite proposée sur les méthodes utilisées en dynamique transitoire. Après avoir rappelé brièvement leurs formulations, nous discuterons de l’applicabilité de ces méthodes pour notre problématique. Enfin, pour conclure cette étude bibliographique, nous synthétiserons certaines difficultés inhérentes à une simulation numérique, ce qui nous permettra alors d’introduire les développements apportés tout au long de cette thèse pour mettre au point des simulations fiables et prédictives.

1.2 Comportement dynamique d’une structure soumise à un choc haute fréquence

Figure 1.1 : Plaque soumise à un choc mécanique.

6

Lorsqu’une structure est soumise à un choc mécanique très bref, comme c’est le cas lorsque l’on active un dispositif pyrotechnique sur un lanceur ou bien lorsqu’un projectile impacte une structure, on observe différents régimes vibratoires qui peuvent être dissociés en fonction de l’allure du champ de déplacement. Pour illustrer notre propos, nous considérerons l’exemple d’une plaque sollicitée ponctuellement par un choc F(t) (figure 1.1). Les quatre régimes vibratoires pouvant être dissociés sont les suivants :

1) Temps très courts après le choc (0 à 0.5 millisecondes)

2) Temps courts après le choc (0.5 à 1 millisecondes)

3) Temps moyens après le choc (1 à 3 millisecondes)

4) Temps longs après le choc (3 à 10 millisecondes)

Figure 1.2 : Régimes vibratoires d’une plaque soumise à un choc mécanique.

1) Dans les temps très courts après le choc, on observe un premier régime vibratoire caractérisé par la propagation d’une onde dans un milieu semi infini (l’onde n’a subi aucune réflexion au niveau des parois de la structure).

2) Dans les temps courts après le choc, on observe un régime vibratoire qui est là encore caractérisé par un phénomène de propagation d’ondes ; toutefois, ces dernières sont désormais guidées par l’épaisseur de la plaque. Ce phénomène de guidage se rencontre très fréquemment puisqu’une grande majorité de structures, comme les poutres, les plaques ou bien encore les coques présentent au moins une dimension plus faible que les autres. Dans ce cas, on désigne souvent la structure par le terme de « guides d’ondes ».

3) Dans les temps moyens après le choc, les ondes guidées se sont propagées jusqu’aux bords de la plaque, ce qui entraîne alors des phénomènes de réflexion d’ondes. Les ondes réfléchies interfèrent avec l’onde directe ce qui donne alors naissance à des modes de vibration localisés en certains endroits de la plaque.

7

4) Enfin, dans les temps longs après le choc, les ondes guidées se sont réfléchies de nombreuses fois au niveau des bords de la plaque. Ces ondes interfèrent désormais entre elles sur l’ensemble de la plaque ce qui fait que la structure vibre en tous points. A partir de cet instant, on ne distingue plus l’onde directe ainsi que ses multiples réflexions mais les modes globaux de la structure. Ces modes, bien connus en dynamique des structures, semblent être engendrés par les phénomènes d’interférence entre les différentes ondes ; toutefois, ceci n’a jamais pu être rigoureusement démontré comme le mentionne [Langley, 1997]. Pour s’en convaincre, on peut s’intéresser à l’étude proposée dans [Doyle, 1997] qui consiste à analyser le spectre d’un signal temporel présentant un nombre plus ou moins élevé de réflexions. A travers cet exemple simple, on constate que les pics de résonance sont de plus en plus marqués suite aux arrivées successives des réflexions au point de mesure (figure 1.3). Bien que très intéressante, cette étude ne nous permet pas d’appréhender l’influence de l’amortissement structural puisque le signal temporel choisi est non amorti. Or, l’amortissement a une influence très significativement sur le comportement vibratoire d’une structure. En effet, si l’on observe le spectre calculé à partir d’un signal amorti (figure 1.4), on constate que les pics de résonances sont moins marqués dans le domaine dit des moyennes fréquences (MF), et sont lissés en hautes fréquences (HF). De ce fait, on peut dire que les ondes réfléchies arrivant à des temps de plus en plus longs ont un contenu fréquentiel de plus en plus faible ou bien encore que les hautes fréquences parcourent des distances plus faibles que les basses fréquences. Dans ce cas, la réponse d’une structure soumise à un choc présente un contenu fréquentiel HF uniquement à proximité de la source du choc et non un champ diffus comme cela peut être le cas lorsque la structure est soumise à des chocs aléatoirement distribués en temps et en espace (exemple la pluie sur un toit).

Figure 1.3 : Analyse spectrale des signaux mesurés sur une poutre soumise à un choc mécanique.

Lors d’un choc pyrotechnique, on peut distinguer trois zones en fonction de leur éloignement de la source du choc pour lesquelles les phénomènes en temps courts (propagation d’ondes) et temps longs (réponse modale) contribuent différemment. D’après [Troclet et al., 1999], ces zones se définissent ainsi :

1) Zone proche : cette zone est suffisamment proche du dispositif pyrotechnique pour que la réponse structurale soit dominée par l’onde émise directement par le dispositif. Les niveaux d’accélération atteints dans cette zone peuvent être supérieurs à 100000g sur une bande

8

fréquentielle pouvant aller jusqu’à 100 kHz. Selon les structures et l’intensité de la source, la dimension de cette zone peut varier de 15 à 50 cm.

2) Zone intermédiaire : localisée à la suite de la zone proche, la zone intermédiaire est dominée par l’onde directe ainsi que la réponse modale. Les niveaux d’accélération sont plus faibles mais avec un contenu fréquentiel toujours important au dessus de 10 kHz. Cette zone s’étend approximativement jusqu’à 1 mètre.

3) Zone lointaine : Cette zone est suffisamment loin de la source du choc pour que la réponse structurale soit dominée uniquement par la réponse modale. Les niveaux d’accélération atteignent quelques milliers de g pour un contenu fréquentiel compris entre 0 et 10 kHz.

Généralement, les concepteurs doivent respecter les normes en vigueur en plaçant les équipements en zone lointaine pour que les niveaux vibratoires en pied d’équipements soient minimes. Cependant, en raison du faible espacement disponible sur un lanceur ou un missile, il arrive parfois que ces équipements subissent les forts niveaux d’accélérations liés à la propagation d’ondes. Ces phénomènes que l’on désignera comme phénomènes hautes fréquences du fait de leur contenu fréquentiel très élevé (~100 kHz) sont ceux que nous allons tenter de simuler dans ce mémoire. Par ailleurs, il est intéressant de préciser en vue des simulations que les structures sollicitées par un choc d’origine pyrotechnique vibrent environ quelques dizaines de millisecondes.

Figure 1.4 : Spectre d’un signal amorti.

1.3 Revue des théories dédiées à la modélisation des structures

Lorsque l’on souhaite bâtir un modèle numérique à partir d’un code de calcul, on a généralement accès à une large gamme d’éléments finis qui ont été formulés à partir de différentes théories.

Premièrement, on rencontre les éléments structuraux (poutres, plaques et coques) qui sont formulés à partir de théories élémentaires ou bien approchées (pour les poutres, Euler-Bernoulli ou Timoshenko et, pour les plaques, Kirrchoff-Love ou Mindlin). Ces éléments permettent une réduction significative du nombre de degrés de liberté (ddl) d’un modèle tout en conservant son caractère prédictif. Seulement, à haute fréquence, ils peuvent être mis en défaut car les théories approchées utilisées pour leur formulation ne permettent plus de reproduire les phénomènes de propagation d’ondes. Dans ce cas, il existe un second type d’éléments : les éléments solides. Ces éléments ne sont pas limités à haute fréquence pour reproduire les phénomènes puisqu’ils sont formulés à partir de la theorie de l’élasticité 3D, cependant ils imposent souvent un nombre prohibitif de ddl. En pratique, on veut bâtir des modèles ayant un nombre de paramètres le plus faible. C’est pourquoi, les éléments structuraux sont préférés aux éléments solides dans la plupart des études car leur paramétrage est réduit. Pour faire un bon usage de ces éléments, il est toutefois primordial de bien connaître leurs limites car sinon on risque de les utiliser en dehors de leur domaine de validité.

9

Dans cette section, nous allons effectuer une revue des différentes théories proposées dans la littérature pour modéliser le comportement dynamique d’une structure. On s’intéressera en particulier à leur capacité à reproduire la dispersion d’une onde, c’est-à-dire la dépendance de la vitesse de l’onde par rapport à la fréquence. L’objectif de cette revue est d’évaluer si les éléments finis structuraux proposés dans les codes seront adaptés à notre problématique. Si ce n’est pas le cas, cette revue doit aussi permettre d’identifier les théories pouvant servir à formuler de nouveaux éléments qui seront eux aptes à répondre à nos besoins. Sachant que nos cas d’applications dans cette thèse se limiteront aux poutres et aux plaques, nous allons présenter dans un premier temps les théories de poutres puis dans une seconde partie les théories de plaques. Une attention particulière sera portée à la prise en compte des matériaux composites stratifiés.

1.3.1 Hypothèses Conscients qu’il existe un grand nombre de théories pour représenter le comportement dynamique

d’une structure, nous allons adopter des hypothèses de travail afin de restreindre l’étendue de notre revue.

La première hypothèse considérée dans ce travail concerne l’échelle d’observation du matériau. Pour définir cette échelle, il faut tenir compte de la plus petite longueur d’ondes mise en jeu et la comparer aux dimensions de la structure étudiée ainsi qu’à la taille des hétérogénéités présentes dans le matériau. A partir de cette comparaison, on pourra alors déterminer s’il est possible d’utiliser ou pas des propriétés homogénéisées pour représenter le comportement dynamique du matériau considéré.

Figure 1.5 : Les différentes échelles d’observation d’un matériau composite.

Dans cette étude, les longueurs d’ondes mises en jeu peuvent être de l’ordre du millimètre ce qui veut dire que pour les matériaux comme l’aluminium l’échelle macroscopique suffit. On s’appuiera donc sur les lois de Hooke pour représenter, dans les différentes théories, le comportement de ce type de matériau. En ce qui concerne les matériaux composites stratifiés, il existe plusieurs types d’hétérogénéités dont les échelles d’observations varient (figure 1.5). De ce fait, on peut être amené à homogénéiser partiellement ou complètement un matériau composite. Premièrement, on distingue les hétérogénéités liées aux constituants d’un pli de matériau composite, c’est-à-dire, les fibres de carbone et la résine. Ces hétérogénéités étant à une échelle microscopique (10 µm), on peut raisonnablement homogénéiser les propriétés du pli et décrire ce dernier à partir d’une loi de Hooke orthotrope. La seconde source d’hétérogénéité résulte de l’empilement des plis de matériau composite (stratification). Ces hétérogénéités ont une dimension de l’ordre de 0.1 à 0.3 mm ce qui veut dire qu’elles sont à une échelle mésoscopique. Les longueurs d’ondes des phénomènes étudiés étant assez proches, une homogénéisation complète du matériau peut être mise en défaut. Une attention particulière doit donc

10

être portée durant cette étude sur l’homogénéisation complète des plis si l’on veut être en mesure de reproduire correctement le comportement dynamique dans la direction de stratification.

Enfin, sachant que le choc imposé à la structure est élastique, nous nous placerons dans le cadre de la théorie linéaire de l’élasticité (petits déplacements et petites déformations), ceci quelque soit le matériau considéré.

1.3.2 Les théories de poutres Historiquement, la première théorie développée pour étudier les vibrations libres (modes propres)

d’une poutre est celle proposée par Euler (1744) et Bernoulli (1751). Cette théorie, couramment appelée « théorie élémentaire » du fait qu’elle repose sur les hypothèses de la résistance de matériaux (RDM), est simple à mettre en œuvre, seulement elle est fortement limitée dès que l’on s’intéresse à des fréquences élevées car elle est valable uniquement lorsque le champ de déplacement dans la section de la poutre est uniforme et reste perpendiculaire à la fibre neutre.

En 1876, une seconde théorie dite « exacte » a été proposée par Pochhammer afin d’étudier l’ensemble des ondes se propageant à travers une poutre isotrope à section circulaire. Pour bâtir sa théorie, l’auteur s’est basé sur les équations élastodynamiques écrites en coordonnées cylindriques afin d’obtenir un système d’équations (relation de dispersion) qui une fois résolu permet de caractériser la vitesse de l’onde ainsi que le champ de déplacement dans la section de la poutre (déformée de section) qui lui est associée. Seulement, la résolution de ces équations était plutôt ardue ce qui fait qu’il fallu attendre le développement des méthodes numériques pour que [Onoe et al., 1962] puisse déterminer les caractéristiques ondulatoires associées aux différentes ondes. A partir de ce travail, il a été démontré qu’il existait une infinité d’ondes pouvant se propager dans une poutre, dont une partie est progressive quelle que soit la fréquence (ondes principales), tandis que pour l’autre partie, elles sont évanescentes à basses fréquences et deviennent progressives à partir d’une certaine fréquence de coupure (ondes secondaires). En analysant les déformées de section associées à ces ondes, on est en mesure de distinguer trois types d’ondes : les ondes de traction souvent appelées ondes longitudinales, les ondes de flexion souvent appelées ondes transversales, et enfin les ondes de torsion. Les désignations utilisées dans ce travail pour distinguer ces ondes seront : Ln pour les ondes longitudinales, TZn pour les ondes transversales suivant z, TYn pour les ondes transversales suivant y, Tn pour les ondes de torsion. Pour ce faire une idée de la dispersion de ces ondes, les courbes de dispersion ainsi que les déformées de section associées à quelques ondes pouvant se propager dans une poutre cylindrique ont été représentées sur la figure 1.6.

En parallèle des études sur la théorie de Pochhammer, certains chercheurs ont voulu mettre au point des théories plus simplifiées que la théorie exacte, mais moins rudimentaires que la théorie élémentaire. Pour développer ce type de théories, différentes approches ont été proposées ; toutefois le concept est le même. Il faut chercher à approcher le comportement dynamique à partir d’un nombre limité de mécanismes de déformation. Toute la difficulté est alors d’arriver à choisir les mécanismes qui contribuent majoritairement dans la bande fréquentielle d’étude.

Dans ces théories dites « approchées », on retrouve tout d’abord la théorie de Timoshenko (1921) qui propose d’additionner à la théorie élémentaire les effets du cisaillement transverse ainsi que les effets d’inerties de rotation de la section mis en avant plus tôt par Rayleigh (1894). Grâce à cette nouvelle théorie, il démontra qu’il était possible de prédire correctement la dispersion de l’onde principale de flexion (TZ0) à des fréquences plus élevées (figure 1.7). En ce qui concerne les ondes longitudinales, Love (1927) propose d’incorporer à la théorie élémentaire les effets d’inertie liés aux efforts latéraux (effet de Poisson) afin de prédire à plus hautes fréquences la dispersion de l’onde principale longitudinale (L0).

Dans les années 50, Mindlin propose une approche générale permettant de développer des théories approchées. Pour cela, il ne s’appuie plus directement sur les équations d’équilibre comme c’était le cas dans les précédentes théories, mais sur une approximation du champ de déplacement par un développement en série de Taylor, ce qui permet, une fois le principe de Hamilton appliqué, d’obtenir

11

les équations d’équilibre. La complexité de la théorie dépend alors du degré d’approximation de la série de Taylor. Par exemple, on parlera de théorie du nième ordre si un champ de déplacement u est développé en série de Taylor par rapport à la variable z de la façon suivante :

( ) ( ) ( )0

, , , , ,n

j ji i

j

u x y z t z u x y t=

=∑ (1.1)

Grâce à cette approche, Mindlin et Herrmann proposèrent dans [Mindlin et al., 1950] une théorie du premier ordre capable de prédire la dispersion de l’onde longitudinale principale (L0) ainsi que l’apparition de l’onde longitudinale secondaire (L1). A partir des travaux de [Miklowitz et al., 1957], on constate que les prévisions obtenues par cette théorie sont comparables à celles mesurées lors d’essais. En 1960, Mindlin et McNiven raffinent dans [Mindlin et al., 1960a] la théorie précédente en approximant le champ de déplacement à l’ordre deux. Les comparaisons avec la théorie exacte montre alors que cette nouvelle théorie prédit plus précisément la dispersion de l’onde longitudinale principale et aussi l’apparition de non plus une mais deux ondes longitudinales secondaires (L1, L2). En s’appuyant sur ces résultats, on remarque que la quantité d’ondes secondaires qui sera prédite par la théorie correspond à l’ordre d’approximation choisi. De plus, lorsque l’ordre de la théorie est supérieur ou égal à deux, on peut dire aussi que le gauchissement de la section est pris en compte.

Figure 1.6 : Dispersion des ondes dans une poutre cylindrique isotrope : (a) géométrie de la poutre, (b) courbes

de dispersion, (c) déformée de section de l’onde L0, (d) déformée de section de l’onde T0

(extrait de [Mazuch, 1996]).

Hormis les théories d’Euler-Benoulli et de Timoshenko, les différentes théories citées précédemment ont toutes été développées pour étudier les ondes dans les poutres isotropes à section circulaire (si le lecteur souhaite plus de détails sur ces études il peut se référer à [Graff, 1991]). Sachant que dans ce travail on souhaite modéliser des poutres composites stratifiées à section rectangulaire, nous devons également recenser les théories développées pour des poutres à section rectangulaire, ainsi que celles développées pour des poutres constituées d’un matériau non isotrope.

Pour ce qui est de la prise en compte d’une section rectangulaire, Mindlin et Fox ont tenté dans [Mindlin et al., 1960b] d’obtenir une théorie exacte ; toutefois, cette dernière ne peut s’appliquer

12

qu’aux poutres possédant un rapport spécifique entre épaisseur et largeur. Dans [Medick, 1966], l’auteur utilise l’approche générale proposée par Mindlin pour les poutres à section circulaire, et montre que cette dernière peut s’étendre facilement aux cas des poutres à section rectangulaire. Un peu plus tard, [Muller, 1983], propose lui aussi une théorie approchée. En comparant sa théorie à celle de [Medick, 1966], il montre qu’à hautes fréquences sa théorie est plus à même de prédire la dispersion de l’onde longitudinale principale. Enfin, plus récemment, une théorie de poutre bidimensionnelle comparable à celle de [Mindlin et al., 1950] a été proposée dans [Doyle, 1997] afin d’étudier la dispersion des ondes longitudinales dans les poutres à section rectangulaire.

Figure 1.7 : Comparaison des courbes de dispersion de l’onde principale de flexion pour les théories de Euler-

Bernoulli, Timoshenko, Pochhammer (extrait de [Graff, 1991]).

Concernant les poutres dont le matériau n’est pas isotrope, on constate là encore une abondance de travaux influencés principalement par l’arrivée dans l’industrie des matériaux composites. L’une des premières théories développées est celle de [Touratier, 1980]. Pour construire sa théorie, l’auteur s’appuie sur la formulation à deux champs de Hellinger-Reissner qui consiste à approcher à la fois le champ de déplacement ainsi que le champ de contrainte. De plus, il utilise non plus des séries de Taylor pour approcher les deux champs mais des séries de fonctions trigonométriques. En approximant à un certain ordre ces expressions, il construit à la manière de Mindlin, des théories approchées d’ordre plus ou moins élevé.

Pour les poutres composites stratifiées, [Reddy, 2003] propose d’utiliser les théories de plaques appelées CLPT et FSDT, qui seront présentées à la section suivante, en imposant des hypothèses sur les résultantes et les moments. Dans cette théorie, on postule donc à la fois des hypothèses sur le champ de déplacement et de contrainte ; cela peut donc s’apparenter à une approche mixte. Au final, on obtient une théorie dont les équations du mouvement sont analogues à celle d’Euler-Bernoulli et Timoshenko mais pour les poutres composites stratifiées. Enfin, [Gopalakrishnan et al., 2007] propose une théorie du premier ordre en flexion et en traction en utilisant la même approche que [Doyle, 1997]. Dans cette théorie, l’hypothèse de contrainte plane est aussi appliquée mais sur la loi de comportement d’un pli et les approximations sont faites uniquement sur le champ de déplacement.

13

Dans la plupart des théories approchées, il est nécessaire d’introduire des coefficients « pondérateurs »1 si l’on veut que les valeurs asymptotiques des vitesses de phase soient comparables à celles mesurées expérimentalement. A priori, cela veut donc dire que les théories approchées ne sont pas prédictives puisque ces coefficients ne peuvent être évalués qu’à partir d’essais. Pour pallier cette limitation, certains travaux proposent d’estimer a priori ces coefficients. On note par exemple le travail de [Cowper, 1966] à partir duquel on peut connaître les valeurs prises par le coefficient de la théorie de Timoshenko pour différents types de section. D’autres travaux cherchent à satisfaire exactement les contraintes aux frontières latérales en choisissant des formulations adaptées, ce qui leur évite ainsi d’introduire des coefficients pondérateurs. La formulation à deux champs de Heillinger-Reissner utilisée dans [Touratier, 1980] en fait partie.

Le tableau 1.1 synthétise les différentes théories discutées précédemment suivant six critères. On constate à partir de cette synthèse qu’aucune théorie ne peut être généralisable mais qu’il faut sélectionner en fonction de ces besoins celles qui sera la plus adaptée. Dans les codes de calcul, on est limité car les éléments structuraux sont formulés uniquement à partir des théories d’Euler-Bernoulli et de Timoshenko. Bien entendu, on peut utiliser des éléments solides pour obtenir un modèle numérique qui ne sera pas limité sur la bande fréquentielle d’étude ; toutefois, au prix d’un nombre important de ddl. Des travaux récents ont permis le développement d’éléments finis à partir des théories approchées d’ordre élevé. On notera par exemple le travail de [Ganapathi et al., 1999] qui a développé à partir de la théorie de Touratier un élément fini à 3 nœuds pour analyser le comportement statique et dynamique de poutres composites stratifiées.

Nom Type Matériau Section Coefficients Type d’ondes

Euler-Bernoulli élémentaire isotrope circulaire non Ln (1) TZn (2)

Timoshenko approchée isotrope quelconque oui TZn (2)

Love approchée isotrope circulaire oui Ln (1)

Mindlin-Herrmann approchée isotrope circulaire oui Ln (2)

Mindlin-McNiven approchée isotrope circulaire oui Ln (3)

Mindlin-Fox approchée isotrope rectangulaire non Ln (inf) TZn (inf)

Muller approchée isotrope rectangulaire oui Ln (3) TZn (2)

Doyle approchée isotrope rectangulaire oui Ln (2) TZn (2)

Reddy approchée composite stratifié

rectangulaire oui Ln (1) TZn (2)

Touratier approchée isotrope

transverse rectangulaire non

Ln (inf) TZn (inf)

Gopalakrishnan approchée composite stratifié

rectangulaire oui Ln (2) TZn (2)

Pochhammer elasticité 3D isotrope circulaire non Ln (inf) TZn (inf)

Tableau 1.1 : Synthèse des théories de poutres.

1 Dans la littérature, ce coefficient est souvent nommé de différentes manières comme par exemple : coefficient pondérateur, coefficient ajusteur, coefficient de cisaillement, coefficient de Timoshenko, etc.

14

1.3.3 Les théories de plaques Concernant les plaques, le développement des théories se rapproche fortement de celui des poutres

parfois même des approches similaires sont utilisées, en particulier en ce qui concerne les premières théories développées pour les plaques isotropes.

A la fin du 19ème siècle, les travaux de Kirchhoff et Love, utilisant les hypothèses de la RDM, ont permis de développer une théorie élémentaire capable de prédire le comportement dynamique d’une plaque isotrope. Cette théorie, limitée en fréquence comme celle d’Euler-Bernoulli en raison des hypothèses de la RDM, permet de caractériser uniquement dans les basses fréquences les ondes transversale et longitudinale principales.

En 1917, Lamb propose une théorie exacte pour les plaques isotropes en s’appuyant sur l’étude menée par Rayleigh en 1887 sur les ondes de surface. L’auteur analyse non plus les ondes se propageant à la surface d’un milieu semi-infini mais le guidage des ondes de volumes (P, SV, SH) dans un milieu doublement borné, c’est-à-dire une plaque. Pour bâtir sa théorie, Lamb utilise les équations élastodynamiques en imposant dans la largeur de la plaque une hypothèse de déformation plane, ainsi qu’une hypothèse sur le champ de contrainte afin de tenir compte des surfaces libres de la

plaque (surface inférieure ( ), , , 0zz x y h tσ − = , surface supérieure ( ), , , 0zz x y h tσ = ). A partir de la

théorie proposée, on constate qu’il y a existence d’une infinité d’ondes qui peuvent être dissociées en fonction de la distribution de leurs champs de déplacement dans l’épaisseur de la plaque. On distingue les ondes longitudinales et transversales qui présentent respectivement un champ de déplacement symétrique et antisymétrique parallèle à la direction de propagation. Par ailleurs, il y a aussi les ondes de cisaillement dont le champ de déplacement est perpendiculaire à la direction de propagation. Pour tenir compte du fait qu’il existe plusieurs ondes du même type, nous utiliserons les notations Sn, An et SHn qui sont couramment employées pour désigner respectivement les ondes longitudinales, transversales et de cisaillement. Il faut noter également qu’il existe, comme pour les poutres, des ondes principales et secondaires. On peut les identifier simplement grâce au système de notation choisi car les ondes principales correspondent aux ondes pour lesquelles le paramètre n est nul. Pour illustrer ces résultats, nous avons représenté à la figure 1.8 les courbes de dispersion ainsi que les variations du champ de déplacement dans l’épaisseur de certaines ondes. Enfin, pour conclure sur la théorie exacte, on notera que [Meeker et al., 1964] ont modifié l’approche prise par Lamb afin de caractériser à la fois les ondes An, Sn et les ondes SHn car ceci ne pouvait se faire auparavant en raison de l’hypothèse de déformation plane. C’est d’ailleurs cette théorie qui est le plus souvent présentée dans les ouvrages. Pour s’en convaincre le lecteur pourra se référer à [Graff, 1991].

Figure 1.8 : Dispersion des ondes dans une plaque isotrope (extrait de [Graff, 1991]).

15

A partir de 1950, les chercheurs ont une nouvelle fois voulu mettre au point des théories approchées afin de pouvoir analyser plus simplement la propagation d’ondes dans les plaques. Pour ce faire, l’approche générale de Mindlin basée sur une approximation du champ de déplacement en série de Taylor a été appliquée avec succès aux plaques isotropes. Une première théorie du premier ordre proposée dans [Mindlin, 1951] a permis de caractériser à haute fréquence les ondes transversales. De même, Mindlin et Medick développent dans [Mindlin et al., 1959] une théorie d’ordre deux pour étudier la propagation des ondes Sn. Si l’on compare ces deux théories à la théorie élémentaire, on constate que pour l’onde A0, la valeur asymptotique de la vitesse de phase est désormais finie et que, pour l’onde S0, la dispersion est prise en compte. On notera enfin que les deux théories prennent en compte l’apparition des ondes secondaires et que deux coefficients pondérateurs sont introduits afin que les valeurs asymptotiques approchent les valeurs expérimentales.

Maintenant, en ce qui concerne les plaques constituées d’un matériau composite stratifié, les premières théories à avoir été proposées sont des extensions des théories précédentes. On note par exemple la théorie classique des stratifiés (CLPT, Classical Laminate Plate Theory) de [Stavsky, 1961] qui reprend les hypothèses de la théorie élémentaire de Kirchoff-Love ou bien encore la théorie du premier ordre en cisaillement transverse (FSDT, First order Shear Deformation Theory) de [Whitney et al., 1970] qui est une extension de la théorie du premier ordre proposée dans [Mindlin, 1951] pour étudier les ondes transversales. Pour chacune de ces théories approchées, le matériau composite stratifié est homogénéisé complétement ; c’est pourquoi, elles sont souvent désignées par le terme de couche équivalente (ESL, Equivalent Single Layer). Dans cette classe de théorie, on note aussi la théorie des modules effectifs (en anglais, Effective Modulus Theory) introduite dans [Sun et al., 1990] et dont les prévisions ont été comparées à la théorie exacte par [Sun et al., 1996].

Nom Type Matériau Homogénéisation Coefficients Type d’onde

Kirchhoff-Love élémentaire isotrope - non Sn (1) An (2)

Reissner (CLPT) élémentaire composite stratifié

ESL non Sn (1) An (2)

Mindlin approchée isotrope - oui An (2)

Mindlin-Medick approchée isotrope - oui Sn (3)

Muller-Touratier approchée isotrope - non Sn (1) An (1)

Whitney (FSDT) approchée composite stratifié

ESL oui Sn (1) An (2)

Sun approchée composite stratifié

ESL non Sn (n) An (n)

Reddy approchée composite stratifié

LW non Sn (n) An (n)

Rayleigh-Lamb élasticité 3D isotrope - non Sn (inf) An (inf)

Nayfeh élasticité 3D composite stratifié

- non Sn (inf) An (inf)

Tableau 1.2 : Synthèse des théories de plaques.

Au cours des trente dernières années, des améliorations significatives ont été apportées aux théories approchées afin qu’elles prédisent plus précisément le comportement dans l’épaisseur de la plaque, c’est-à-dire la distribution des champs de contrainte, déformation, déplacement. On note tout d’abord les théories développées à partir de la formulation à deux champs de Heillinger-Reissner, comme par exemple la théorie de [Muller et al., 1995]. Comme pour les poutres discutées précédemment, ces théories permettent de prédire correctement la dispersion des ondes tout en s’affranchissant de l’introduction de coefficients pondérateurs, comme c’est le cas pour la FSDT. Par ailleurs, une seconde classe de théorie désignée par le terme zig-zag (LW, Layer-Wise), abolit l’hypothèse

16

d’homogénéisation et considère indépendant chaque pli [Reddy, 2003]. Malheureusement, ces théories peuvent, pour certaines stratifications, être très lourdes car le nombre de degrés de liberté dépend du nombre de plis contrairement aux théories de type ESL. Pour ce faire une idée des améliorations apportées par ces nouvelles théories, on peut se référer au travail de [Carrera, 2000], qui montre que les prévisions globales (modes propres) et locales (distribution du champ des déformations et des contraintes dans l’épaisseur) sont mieux prédites par rapport aux théories CLPT ou FSDT. Pour ce qui est de la caractérisation des ondes dans les plaques composites stratifiées, peu de travaux ont été proposés à partir de ces nouvelles théories approchées comme le fait remarquer Lih dans [Lih, 1995].

Enfin, on ne pourrait conclure cette revue sans mentionner la théorie exacte développée par [Nayfeh, 1995] pour les matériaux composites qui reprend globalement l’approche prise par Lamb, c’est-à-dire la réflexion des ondes de volumes (P, SV, SH) dans un milieu borné par plusieurs plans toutefois, en ne retenant plus l’hypothèse de déformation plane du fait de l’existence de couplages entre les modes An, Sn et SHn [Prosser et al., 1994].

Une synthèse des théories suivant cinq critères est proposée dans le tableau 1.2. On constate à nouveau qu’aucune théorie ne peut être généralisable et qu’il faut suivant nos besoins employer la théorie la plus adaptée si l’on veut que le modèle qui en découle soit simple à mettre en œuvre et prédictif sur la bande fréquentielle d’étude. Ce choix est limité dans les codes de calcul puisque leurs éléments structuraux sont développés uniquement à partir des théories CLPT et FSDT. Ce problème a bien été compris par les universitaires ce qui fait que des nouveaux éléments ont été développés à partir des théories approchées d’ordre plus élevé que la CLPT et la FSDT. Toutefois, peu de codes commerciaux proposent ces nouveaux éléments. Des explications supplémentaires sur ce point bloquant seront données à la section 1.4.2.2 lorsque l’on abordera les méthodes utilisées en dynamique transitoire. Finalement, lorsque les théories CLPT et FSDT sont mises en défaut, il nous faut recourir aux éléments solides. Une réduction significative du nombre de ddl peut toutefois être apportée pour les plaques isotropes si l’on utilise des éléments solides à déformation plane (2D) car cette hypothèse est valable pour ce type de structure.

1.4 Revue des méthodes dédiées à la simulation en dynamique transitoire

Pour simuler la réponse transitoire d’une structure, nous avons en règle générale deux choix possibles. Tout d’abord, on peut calculer analytiquement la réponse par synthèse modale ou ondulatoire (décomposition en ondes planes). Ce type de calcul est cependant vite limité dès lors que l’on étudie des structures à géométries complexes. C’est pourquoi, on doit recourir à d’autres méthodes de calcul, comme par exemple la FEM couplée aux méthodes d’intégration temporelle, très répandue dans les codes de calcul. Ces méthodes « numériques » sont très bien adaptées pour traiter les structures à géométrie complexe ; toutefois, ceci est moins vrai lorsque l’on souhaite étudier des phénomènes à petites longueurs. C’est pourquoi certains codes ont été développés à partir des méthodes « énergétiques » du fait de leurs performances. Un inconvénient majeur toutefois concerne leurs hypothèses fondatrices. Si l’on prend par exemple la SEA (Statistical Energy Analysis), il faut vérifier qu’un nombre suffisant de modes propres contribue dans la réponse pour que ces prévisions soient correctes. Par ailleurs, il existe aussi des méthodes « semi-analytiques » ou bien « hybrides » qui ont été proposées par les universitaires mais qui pour l’heure sont peu appliquées industriellement.

En résumé, il n’existe pas de méthode universelle pour effectuer un calcul transitoire mais une large gamme de méthodes plus ou moins adaptées en fonction du problème à traiter. C’est la raison pour laquelle, dans cette section, nous allons décrire succinctement les différentes méthodes existantes et analyser celles qui sont les plus adaptées pour traiter notre problématique.

1.4.1 Les méthodes énergétiques Le terme « méthodes énergétiques » fait référence aux méthodes utilisées couramment en

dynamique des structures pour prédire les niveaux vibratoires en moyennes et hautes fréquences. Bien

17

qu’à l’origine ce type de méthodes ait été utilisé pour prédire les phénomènes stationnaires, des extensions ont été proposées afin qu’elles puissent être aussi applicables aux phénomènes transitoires. Pour développer ces méthodes, on s’appuie généralement sur un bilan énergétique qui, une fois résolu, permet d’estimer l’évolution temporelle des grandeurs énergétiques (énergies internes, puissances dissipées, puissances transmises). Pour tenir compte du comportement dynamique de la structure, on calcule a priori des paramètres dits « ondulatoires » (vitesse de groupes, coefficients de couplage) intervenant dans le bilan énergétique via les théories présentées à la section 1.3 ou bien par essais. Parmi les méthodes énergétiques, on distingue principalement deux types de méthodes, celles pour lesquelles les grandeurs sont définies globalement, et celles pour lesquelles les grandeurs énergétiques sont définies localement.

1.4.1.1 Analyse statistique transitoire de l’énergie La première méthode, l’analyse statistique transitoire de l’énergie (TSEA, Transient Statistical

Energy Analysis) proposée par [Lyon et al., 1995], est une extension de la méthode SEA au cas transitoire. En ajoutant, au bilan de puissance, un terme de flux d’énergie dépendant du temps de la façon suivante :

injectee transmise dissipeeii ij i

EP P P

t

∂ = − −∂

(1.2)

la TSEA est capable d’estimer les variations temporelles des énergies internes associées à chaque sous système. Pour obtenir des prévisions correctes, il n’est pas utile de décrire précisément les structures et donc cela facilite grandement sa mise en œuvre. Cependant, des difficultés majeures peuvent être rencontrées avec la TSEA :

(a) Les prévisions obtenues par la TSEA sont valables uniquement en temps longs car elle suppose que la réponse de la structure soit diffuse pour être applicable. En effet, d’après l’étude menée dans [Sui, 2003], on constate que les équations de la TSEA découlent des équations de diffusion de la chaleur, ce qui veut donc dire qu’elle peut prédire la réponse structurale uniquement dans le cas où les ondes se sont diffusées dans l’ensemble de la structure.

(b) La méthode TSEA exige la connaissance a priori de paramètres ondulatoires (coefficients de couplage, vitesses de groupe). En pratique, ces caractéristiques sont déterminées à partir d’essais ce qui peut mettre en défaut le caractère prédictif de la méthode. On notera que l’approche numérique, présentée aux sections 2.3 et 3.3, est de plus en plus employée afin de pallier cette limitation.

(c) La méthode TSEA n’est pas applicable lorsque peu de modes propres sont mis en jeu (densité modale faible).

1.4.1.2 Méthode énergétique simplifiée transitoire Contrairement à la méthode TSEA qui emploie les équations de la diffusion de la chaleur, la

méthode énergétique simplifiée transitoire (MEST), développée dans [Sui, 2003], se base sur la théorie du transport des ondes dans les milieux inhomogènes, ce qui veut dire qu’elle peut être appliquée sans qu’il y ait nécessairement diffusion des ondes dans la structure, c’est-à-dire en temps courts. Par ailleurs, l’énergie n’est plus prédite par sous système (vision globale) mais en tout point de la structure (vision locale). Ceci permet donc une analyse plus approfondie des phénomènes transitoires. Bien que très prometteuse, la MEST nécessite la connaissance a priori de paramètres ondulatoires, problème qui a déjà été soulevé pour la TSEA. De plus, cette méthode n’a été appliquée pour l’instant qu’à des structures académiques. Des développements supplémentaires sont donc nécessaires afin de pouvoir utiliser cette méthode dans notre problématique.

18

1.4.2 Les méthodes numériques Dans le groupe des méthodes numériques, nous avons classé les méthodes faisant appel aux

techniques de discrétisation en espace et en temps développées pour solutionner de façon approchée les équations aux dérivées partielles (PDE, Partial Differential Equation) dans le domaine spatio-temporel. L’opération de discrétisation est indépendante de la physique à simuler, ce qui veut dire que ces méthodes peuvent être utilisées afin de traiter un grand nombre de problèmes : électromagnétisme, acoustique ou bien encore mécanique. On comprend donc pourquoi elles se sont très bien répandues industriellement, sachant qu’en plus, le nombre d’inconnues considéré peut être très important grâce à la puissance des moyens informatiques actuels et aux possibilités offertes par le calcul parallèle. Le seul inconvénient de ces méthodes provient des erreurs numériques pouvant être engendrées lors de la discrétisation. Pour certaines problématiques, il se peut que les solutions approchées divergent de la solution exacte en raison de la consistance ou de la stabilité de la méthode.

1.4.2.1 La méthode des différences finies en temporel La méthode des différences finies (FDM, Finite Difference Method) est sans nul doute la technique

de discrétisation la plus simple à mettre en œuvre puisqu’il suffit de s’appuyer sur des développements de Taylor pour approximer une dérivée partielle. Pour illustrer le concept de la FDM, nous allons cherché à approximer les dérivées partielles présentes dans les équations élastodynamiques suivantes :

2 2

2i i

ijkl ij k

u uC f

t x xρ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ (1.3)

Considérons tout d’abord les développements de Taylor d’ordre deux du champ de déplacement u aux points 1+ix et 1ix − :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

31 22i i i i

u h uu x u x h x x h

x xο+

∂ ∂= + + +∂ ∂

(1.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

31 22i i i i

u h uu x u x h x x h

x xο+

∂ ∂= + + +∂ ∂

(1.5)

En sommant les expressions (1.4) et (1.5), on exprime une approximation d’ordre deux de la dérivée seconde comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )21 1

2 2

2i i ii

u x u x u xux

x h+ −− +∂ ≈

∂ (1.6)

En approximant de cette façon les différentes dérivées partielles présentes dans (1.3), on est en mesure de calculer une solution approchée des équations élastodynamiques. En se référant à [Cohen, 2002], on constate qu’il existe différents types de schémas d’approximation qui conduisent tous à une solution approchée du problème traité mais dont la qualité de la solution peut varier. Deux notions apparaissent alors primordiales pour analyser la convergence d’un schéma : la consistance et la stabilité. La première notion, la consistance, correspond à la différence entre la solution approchée et la solution exacte d’un problème tandis que la seconde, la stabilité, permet d’évaluer si, au fil des itérations, la solution reste stable, c’est-à-dire qu’elle ne présente aucune amplification artificielle. Différentes versions de la FDM ont été proposées dans la littérature afin d’optimiser la consistance et la stabilité de la méthode. Dans le cadre de l’élastodynamique, la méthode proposée dans [Virieux, 1984] est la plus répandue. Cette méthode se base sur une réécriture des équations élastodynamiques pour ne faire intervenir que les champs de vitesse et de contrainte. Après réécriture, ces équations s’expriment :

19

ijiijkl i

j

ij kijkl

l

vC F

t x

vC

t x

σ

σ

∂∂ = + ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂

(1.7)

où iF est le terme source d’accélération. Dans ces nouvelles équations, les quantités calculées sont

désormais les vitesses et les contraintes et non plus le déplacement, c’est pourquoi cette méthode porte le nom suivant : Velocity-Stress Finite Difference Method (VS-FDM). De manière analogue à la Finite Difference in Time Domain (FDTD) de [Yee, 1966] utilisée en électromagnétisme (la vitesse représentant la champ électrique E et la contrainte le champ magnétique B), Virieux propose de résoudre par un schéma « saute mouton » les équations (1.7), c’est-à-dire que les maillages sont décalés d’un demi pas de temps en espace et en temps, permettant ainsi d’utiliser des approximations centrées uniquement. Cela veut donc dire que pour calculer les composantes de la vitesse en it , on

utilise les valeurs des contraintes calculées en 1 2it − qui ont été quant à elles obtenues à partir des

valeurs de la vitesse en 1it − . En répétant ce schéma « saute mouton » pour tous les incréments de

temps, on est en mesure de calculer la réponse sur tout l’intervalle de temps. De même pour le domaine spatial, on estime la réponse sur tout le domaine spatial en utilisant là encore un schéma « saute mouton ».

A l’origine, la VS-FDM était appliquée pour étudier la propagation d’ondes volumiques dans un milieu hétérogène non borné (Géophysique). Plus récemment, [Dominguez, 2006] a appliqué cette méthode afin de simuler la propagation d’ondes volumiques à travers l’épaisseur de plaques composites stratifiées présentant des porosités. Bien que cette méthode présente de nombreux avantages, il paraît difficile de l’employer pour notre problématique car elle est très mal adaptée pour traiter les géométries complexes ainsi que les conditions limites. De plus, elle est très coûteuse dès que l’on cherche à calculer la réponse dans un espace tridimensionnel car elle ne permet pas l’utilisation des théories approchées discutées à la section 1.3.

1.4.2.2 La méthode des éléments finis en temporel Dans la partie précédente, nous avons conclu que la FDM était limitée pour traiter les problèmes

dans lesquels les structures ont des géométries complexes. Fort de ce constat, nous proposons ici d’utiliser une seconde technique de discrétisation spatiale mieux adaptée, il s’agit de la FEM. Enfin, par rapport au domaine temporel, on discrétisera les équations à partir de la technique d’intégration temporelle directe [Géradin et al., 1992] qui fait partie des méthodes FDM. Cette méthode sera denommée FEM temporel tout au long de ce mémoire.

Discrétisation spatiale

Contrairement à la FDM, la FEM ne cherche plus à solutionner une PDE écrite sous une forme forte mais plutôt sous une forme faible (formulation variationnelle). En dissociant la forme faible en sous domaines (éléments finis), on va chercher à approcher le champ de déplacement continu à partir de fonctions d’interpolation définies sur chaque domaine (fonctions par morceaux). Si l’on considère un élément fini i, le déplacement en un point M de cet élément s’exprime alors :

( ) ( ) ( ), , , , ,i iu x y z t N x y z q t= (1.8)

avec : N la matrice des fonctions d’interpolation et iq le vecteur des déplacements associés aux

nœuds de l’élément i. Les nœuds d’un élément sont définis en fonction du type de fonctions d’interpolation. Dans les codes de calcul, les éléments utilisent bien souvent des polynômes de

20

Lagrange linéaires (P1) ou quadratiques (P2) comme fonctions d’interpolation. La répartition des nœuds associée à ces types d’éléments est représentée sur la figure 1.10.

Ensuite, pour calculer le champ de déplacement sur l’ensemble de la structure, on doit assembler les vecteurs des déplacements nodaux de chaque élément afin d’aboutir au système matriciel suivant :

[ ] [ ] [ ] M U C U K U F+ + =ɺɺ ɺ (1.9)

où [ ]M est la matrice de masse, [ ]C la matrice d’amortissement, [ ]K la matrice de raideur. Les

vecteurs U et F représentent respectivement le vecteur des déplacements nodaux et le vecteur

des forces nodales.

Figure 1.9 : Méthodes numériques proposées dans les codes de calcul pour simuler la réponse transitoire d’une

structure.

Discrétisation temporelle

La résolution en temps du système matriciel (1.9) peut s’opérer à partir de différentes techniques comme le montre la figure 1.9 ; toutefois, comme le déclare [Géradin et al., 1992], l’intégration temporelle est la plus adaptée par rapport à la synthèse modale à hautes fréquences car un nombre trop important de modes propres sont mis en jeu. Cette technique de discrétisation fait partie des méthodes FDM car elle cherche à approcher les dérives temporelles présentes dans (1.9) de la façon suivante :

( )1 1

2 21 1

1

1

2

n n n n

n n n n n

U U tU tU

U U tU t U t U

γ γ

β β

+ +

+ +

= + − ∆ + ∆

= + ∆ + ∆ − + ∆

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺɺ (1.10)

21

avec : 1n nt t t+∆ = − l’incrément de temps et ( ),γ β les constantes d’approximation. Dans le cas où

1 2γ = et 0β = , on a affaire à un schéma dit « explicite » puisque les quantités 1nU + et 1nU +ɺ sont

calculées uniquement à partir des quantités calculées à l’incrément de temps n . Inversement, lorsque

1 2γ = et 1 4β = , le schéma est dit « implicite » car les quantités 1nU + et 1nU +ɺ sont calculées à

partir des quantités calculées aux incréments n et 1n+ . Ces schémas d’approximation qui font partie de la famille des schémas de [Newmark, 1959] sont les plus répandus dans les codes de calcul. En règle générale, le schéma implicite est dédié à la résolution des problèmes de vibrations stationnaires tandis que le schéma explicite est plutôt dédié à la résolution des problèmes de propagation d’ondes comme l’explique [Bonini, 1995].

Figure 1.10 : Répartition des nœuds dans les éléments linéaire (gauche) et quadratique (droite).

Avantages et inconvénients

La méthode qui vient d’être présentée est fréquemment utilisée pour simuler les phénomènes transitoires en dynamique des structures, que ce soit dans un contexte industriel ou universitaire. Ceci est dû au fait que la méthode est bien adaptée pour traiter les géométries complexes, mais aussi parce que des éléments finis structuraux ont pu être développés à partir des théories élémentaires et approchées discutées à la section 1.3, ce qui a permis une réduction significative du coût des calculs (temps, stockage mémoire) pour calculer la réponse transitoire de grandes structures ce qui n’était pas le cas pour la FDM. Dans l’ensemble des travaux proposés, on notera en particulier le travail de [Bartoli et al., 2005] dans lequel l’auteur étudie à partir du code de calcul Abaqus/Explicit la détection des défauts dans les rails de chemin de fer à partir d’ondes guidées. Bien que très efficace, on peut relever tout de même certains inconvénients de la FEM temporel :

Le premier inconvénient concerne la formulation des éléments finis, en particulier le choix de la théorie. Nous avons déjà conclu lors des revues menées à la section 1.3 qu’il y avait dans les codes de calcul une insuffisance d’éléments finis développés à partir de théories approchées d’ordre élevé capables de prédire les phénomènes de dispersion d’ondes à hautes fréquences. De ce fait, lorsque les éléments structuraux proposés sont mis en défaut, on ne peut éviter l’utilisation d’éléments solides (théories exactes) pouvant entraîner des calculs prohibitifs. Il faudrait donc inclure dans les codes de nouveaux éléments ; toutefois, ceci n’est pas trivial comme le fait remarquer [Tessler, 1995]. En effet, des incompatibilités pourraient alors exister entre les éléments de différents ordres ou bien encore parce que certaines théories ont un nombre de ddl très important comme par exemple les théories approchées de type LW.

Le second inconvénient, numérique cette fois, concerne la consistance et la stabilité de la méthode. En analysant ces deux notions, [Belytschko et al.,1977] met en avant des erreurs liées à la discrétisation spatio-temporelle pouvant dégrader la convergence des solutions approchées. Tout d’abord, on note les erreurs liées à la consistance de la méthode qui interviennent quand le nombre d’éléments par longueurs d’ondes est trop faible (figure 4.5). En pratique, lorsque le nombre d’éléments est trop faible, on constate sur les réponses transitoires une modification de la vitesse de propagation (erreur de dispersion) ainsi qu’une diminution de l’amplitude. En règle générale, pour assurer un faible taux d’erreur, les concepteurs utilisent un minimum de 5 éléments par longueur d’ondes à la fréquence maximale d’étude. Seulement, cette règle est basée sur des considérations

22

physiques et non sur des considérations numériques, ce qui veut dire qu’elle ne garantit pas la convergence des solutions approchées à chaque calcul comme le fait remarquer [Bouillard, 1997].

Enfin, [Géradin et al., 1992] fait remarquer qu’il existe des problèmes liés à la stabilité de la méthode intervenant lorsque l’incrément de temps t∆ est supérieur à la limite de stabilité. Ce type de problème existe uniquement lorsque le schéma est conditionnellement stable, ce qui est le cas du schéma de Newmark explicite. En pratique, lorsque l’incrément de temps est supérieur à la limite de stabilité, on observe une amplification sévère de la réponse transitoire qui fait généralement diverger le calcul (erreur d’amplification). Pour contrôler ces phénomènes d’instabilité, il faut déterminer la limite de stabilité du schéma et ainsi choisir un incrément de temps inférieur à cette limite. Seulement, la détermination de cette limite n’est pas simple car elle requiert le calcul de la plus grande fréquence propre du système matriciel (1.9), ce qui peut être très coûteux lorsque le nombre de ddl est important. C’est pourquoi, on préfère plutôt employer l’approximation dite CFL (Courant–Friedrichs–Lewy) qui permet de calculer une valeur approchée de la limite de stabilité.

Pour indication, on notera qu’il existe aussi des réflexions d’ondes artificielles lorsque les maillages sont irréguliers [Rodriguez, 2004]. Pour ne pas avoir à tenir compte de ce type d’erreur, nous utiliserons dans ce travail uniquement des maillages réguliers.

Réduction du temps de calcul et du stockage mémoire

Au fil des années, des enrichissements ont été apportés à la méthode pour réduire le temps des calculs ainsi que le stockage mémoire. Dans ces enrichissements, on note tout d’abord l’intégration réduite [Imbert, 1979] qui cherche à réduire le nombre de points d’intégration lors du calcul numérique des matrices élémentaires (figure 1.11). Cette technique fait apparaître des modes de déformation à énergie nulle (en anglais Hourglass modes) qui peuvent venir dégrader les réponses transitoires. Associées à l’intégration réduite, des techniques de contrôle sont généralement proposées pour éviter que ces modes artificiels viennent pénaliser les prévisions. Dans ces techniques, on note par exemple la « physical stabilization » proposée par [Belytschko et al., 1994] qui a été implémentée dans le code Radioss.

Par ailleurs, un second enrichissement permettant un gain significatif sur les temps de calcul est la condensation de masse (en anglais Mass lumping). L’idée est de diagonaliser la matrice de masse qui est généralement diagonale par bande (consistante) afin qu’elle puisse être inversible plus rapidement. Pour effectuer la diagonalisation, il existe différentes techniques comme la « HRZ mass lumping » [Hinton et al., 1976] et la « Lobatto mass lumping » [Fried et al., 1975] toutefois la plus répondue est celle qui consiste à sommer les termes de la matrice de masse [Belytschko et al.,1977]. Ces techniques sont très intéressantes pour réduire le temps de calcul ; toutefois, Belytschko montre que les erreurs de dispersion peuvent être réduites lorsque la matrice de masse est une combinaison des matrices de masse consistante et diagonale. Il se peut donc que le gain de temps avec la condensation de masse ne soit pas si significatif à hautes fréquences lorsque les erreurs sont importantes car il faudrait alors raffiner le maillage afin de réduire l’erreur et donc augmenter le temps de calcul.

Figure 1.11 : Répartition des points d’intégration dans un élément linéaire à integration complète (gauche) et à

intégration réduite (droite).

Enfin, les techniques de calcul parallèle permettent elles aussi une réduction significative du temps de calcul puisque l’objectif de ce type de méthode est de diviser un calcul sur n calculateurs afin de

23

réduire de n fois le temps de calcul. D’un point de vue pratique, les gains obtenus sont plus faibles car il faut tenir compte de l’algorithme permettant de répartir le calcul sur les n calculateurs. Cette technique souvent implémentée dans les codes tend à être de plus en plus employée grâce à l’arrivée des « clusters » de calcul dans les entreprises.

Amélioration de la convergence

D’autres enrichissements ont été proposés pour améliorer la convergence de la méthode FEM. Les éléments finis d’ordre élevé qui utilisent des fonctions d’interpolation polynomiales d’ordre élevé font partie de ces enrichissements. Généralement, ces éléments sont couplés à la technique « Lobatto mass lumping » afin d’obtenir une convergence « spectrale » de la solution [Cohen, 2002]. On ne parle alors plus d’éléments finis d’ordre élevé mais d’éléments finis spectraux et donc la méthode qui en découle porte le nom de méthode des éléments finis spectraux (SFEM, Spectral Finite Element Method). Pour aller même plus loin, [Fauqueux, 2003] propose d’utiliser une formulation mixte afin de réduire aussi le stockage mémoire de la matrice de raideur. Dans ce travail, les éléments définis se nomment alors les éléments finis mixtes spectraux. Cette méthode a été appliquée dans [Grob, 2006] pour simuler la propagation d’ondes dans les plaques. A travers ce travail, on constate que la méthode permet d’obtenir de meilleures réponses transitoires sans pénaliser le temps de calcul et le stockage mémoire.

Adaptation de maillage en temps

Les techniques d’adaptation de maillage ont tout d’abord été mises au point pour les problèmes statiques [Babuska et al., 1978] puis elles ont été extrapolées dans d’autres domaines comme par exemple l’acoustique par [Bouillard, 1997]. Parmi ces techniques, on recense la r-méthode qui modifie le placement des noeuds, la p-méthode qui modifie l’ordre des fonctions d’interpolation, et enfin la h-méthode qui modifie la quantité d’éléments. L’utilisation de telles techniques requiert au préalable de mesurer l’erreur commise. Pour cela, on emploie les estimateurs d’erreur a posteriori comme l’erreur en relation de comportement [Ladevèze, 1983], la méthode de lissage [Zienkiewicz et al., 1987], ou bien encore la méthode des résidus [Babuska et al., 1978].

Dans le cadre de notre problématique, les phénomènes hautes fréquences sont localisés. De ce fait, le maillage n’a pas nécessairement besoin d’être raffiné là où les phénomènes ne sont pas présents. Inversement, le maillage devrait être raffiné suffisamment là où le phénomène se produit pour que la solution approchée converge mieux. Il serait donc intéressant d’adapter le maillage en fonction du temps. Fort de cette idée, [Leclère, 2001] propose d’enrichir la méthode FEM en couplant les techniques de calcul adaptatif (améliorer la convergence) ainsi que la technique de décomposition de domaine (réduire le temps). Pour mettre au point sa méthode, l’auteur propose tout d’abord d’employer la méthode de Galerkin discontinue au lieu de la méthode de Galerkin classique afin de pouvoir découpler le maillage spatial et le maillage temporel. Ainsi, il sera possible d’adapter le maillage à chaque incrément de temps. L’adaptation de maillage est quant à elle effectuée à partir de technique d’adaptation discutée précédemment c’est-à-dire la h-méthode pour l’adaptation et la méthode des résidus pour l’estimation de l’erreur. Au final, les résultats présentés par l’auteur montrent que le maillage se raffine bien au niveau du phénomène (figure 1.12) montrant ainsi la faisabilité d’une telle méthode. Par ailleurs, des simulations sur la propagation des chocs d’origine pyrotechnique ont aussi été menées à partir de cette méthode par [Boullard, 2004] et [Grédé et al., 2006].

24

Figure 1.12 : Simulation de la propagation d’ondes avec adaptation de maillage (extrait de [Leclère, 2001]).

Pour résumer, la FEM temporel paraît bien adaptée pour traiter les géométries complexes. En revanche, elle ne l’est pas très bien en ce qui concerne les phénomènes à petites longueurs d’ondes (éléments structuraux mis en défaut, erreurs numériques importantes). Des enrichissements ont donc été proposés pour réduire le temps de calcul et/ou améliorer la convergence de la méthode. A première vue, les techniques proposées sont intéressantes ; cependant il est nécessaire de les tester auparavant afin de vérifier leur applicabilité car dans certains cas, elles peuvent réduire le temps de calcul au détriment de la convergence des solutions (condensation de masse) ou bien faire apparaître des modes de déformation artificiels (intégration réduite).

1.4.3 Les méthodes semi-analytiques Dans le paragraphe précédent, nous avons présenté des méthodes cherchant à approcher la solution

des équations du mouvement à partir de fonctions polynomiales par morceaux. Nous avons conclu qu’une de ces méthodes, la FEM temporel, était très bien adaptée pour traiter des géométries complexes mais qu’elle l’était moins pour traiter les phénomènes à petites longueurs d’ondes. Pour pallier ces limitations, des chercheurs ont alors voulu mettre au point de nouvelles méthodes mieux adaptées : les méthodes semi-analytiques. Dans la littérature, on distingue trois grands types de méthodes semi-analytiques : la méthode des éléments spectraux2, la méthode des éléments finis semi-analytiques et enfin la méthode des éléments finis ondulatoires. Le concept fondateur de ces méthodes est souvent proche. En effet, on couple les techniques de calcul pour traiter à la fois les géométries complexes (numérique) et les phénomènes à petites longueurs d’ondes (analytique). Du fait de l’utilisation de techniques analytiques, il est souvent nécessaire de transformer le problème temporel en un problème fréquentiel afin d’en calculer la solution. La réponse transitoire peut être finalement obtenue à partir d’une transformation de Fourier ou Laplace. En règle générale, on préfère employer la transformation de Fourier car il existe un outil numérique puissant très largement implémentée dans des codes comme Matlab ou Scilab et qui est capable d’approcher une transformée de Fourier continue : la transformation de Fourier discrète (DFT, Discrete Fourier Transform). Enfin, on notera que certains auteurs comme [Tang, 2008] ont cherché à mettre au point des méthodes semi analytiques en s’affranchissant du passage dans le domaine fréquentiel ; toutefois, nous n’en discuterons pas dans cette revue car elles sont limitées pour l’instant aux problèmes stationnaires.

1.4.3.1 La méthode des éléments spectraux Proposée par [Doyle, 1997], la méthode des éléments spectraux (SEM, Spectral Element Method)

est semblable à la méthode FEM dans le sens où elle cherche à transformer les équations du mouvement en un système matriciel afin de pouvoir les résoudre plus simplement à partir de techniques numériques. La différence fondamentale entre la SEM et la FEM provient de la formulation des éléments. Dans la SEM, les éléments sont formulés à partir de fonctions

2 Cette méthode porte aussi souvent le nom de méthode des rigidités dynamiques (DSM, Dynamic Stiffness Matrix)

25

d’interpolation sinusoïdales dont la phase a été déterminée a priori à partir des théories élémentaires ou approchées discutées à la section 1.3. Grâce à ces fonctions, il est possible comme pour le calcul analytique d’approcher exactement le champ de déplacement à une fréquence donnée puisque ces dernières vérifient exactement les équations du mouvement.

Principe

Pour illustrer le principe de la méthode, nous allons montrer la manière de formuler un élément spectral permettant d’étudier la propagation d’ondes longitudinale dans une poutre. Pour cela, il faut premièrement postuler la forme du champ de déplacement. On utilise alors la décomposition en ondes planes suivante :

( ) ( )11ˆ ik L xik xu x Ae Be− −−= + (1.11)

où 1k est le nombre d’ondes gouvernant la phase et u désigne le spectre de u . Le nombre d’onde 1k est déterminé en menant une analyse de dispersion à partir de la théorie d’Euler-Bernoulli (pour avoir des détails sur ce type d’analyse on pourra se reporter à la section 2.2.1). Les amplitudes A et B sont quant à elles déterminées à partir des conditions limites en 0x = et x L= .

( ) ( )1 11 2ˆ ˆ ˆ ˆ0 , ik L ik Lu u A Be u L u Ae B− −= = + = = + (1.12)

avec : 1u et 2u les déplacements nodaux en 0x = et x L= . Ensuite, en remplaçant les amplitudes déterminées précédemment dans (1.11), il est possible d’exprimer le déplacement et la force axiale en un point M de l’élément spectral à partir des expressions suivantes :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i

i

u x g x u g x u

F x EA g x u g x u

= +

′ ′ = + (1.13)

avec : 1g et 2g les fonctions d’interpolation sinusoïdales définies par :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

11 1

1 1 1

2 21

22

ˆ 1

ˆ 1

ik L xik x i k L

ik L x ik L x i k L

g x e e e

g x e e e

− −− −

− + − − −

= − −

= − − − (1.14)

En définissant, les forces nodales à partir de l’expression (1.13) de la manière suivante :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

F F EA g u g u

F F L EA g L u g L u

′ ′ = − = − +

′ ′ = = +

(1.15)

on obtient finalement la matrice élémentaire associée à l’élément spectral :

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1 11

21 21 1 11

221 2 2 22

ˆ ˆ ˆ0 0 1 2ˆ ˆ ˆ2 11

i k L ik L

ik L i k Li k L

g gF u ue eik LEA EA

g L g L u ue eeF

− −

− −−

′ ′ − − + − = = ′ ′ − +− (1.16)

Une fois l’élément défini, il suffit alors d’assembler comme pour la FEM les différentes matrices élémentaires et de calculer la réponse fréquentielle en imposant les conditions limites et les chargements sur la structure complète. La réponse transitoire est finalement obtenue en calculant la

26

transformée de Fourier discrète inverse (IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform) de la réponse fréquentielle.

Avantages et inconvénients

Cette méthode est très avantageuse pour traiter les problèmes à petites longueurs d’ondes car elle ne requiert pas un nombre minimal d’éléments par longueur d’ondes pour converger. Ainsi, le coût des calculs ne varie plus en fonction de la fréquence d’étude comme c’était le cas avec la FEM. Dans les applications proposées à partir de cette méthode, on note le travail de [Ruotolo, 2005] qui étudie la propagation d’un choc haute fréquence dans un treillis de poutres composites. Les résultats présentés dans ce travail montrent que la SEM est capable de simuler avec précision la réponse transitoire du treillis à haute fréquence. Malheureusement, la SEM est limitée à des cas académiques car elle utilise les théories de poutre et de plaque élémentaires ou approchées pour définir les fonctions d’interpolation.

1.4.3.2 La méthode des éléments finis semi-analytiques Dans la méthode des éléments finis semi-analytiques (SAFE, Semi-Analytical Finite Element), le

champ de déplacement est formulé à partir d’une décomposition en ondes planes (fonctions d’interpolation sinusoïdales) dans la direction de propagation, et à partir d’éléments finis (fonction d’interpolation polynomiales par morceaux) dans les directions perpendiculaires à la propagation. De ce fait, elle permet d’approcher exactement le champ là où les longueurs d’ondes sont faibles sans avoir à utiliser une quantité importante d’éléments.

Principe

Si l’on considère un élément semi-analytique i, le déplacement d’un point M de cet élément s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, , , , i kx ti iu x y z t N y z q t e ω−= (1.17)

avec : N la matrice des fonctions d’interpolation polynomiales, iq le vecteur des déplacements

nodaux associé à l’élément i et k le nombre d’ondes.

Ensuite, on procède comme pour la FEM, c’est-à-dire qu’on va transformer les équations élastodynamiques en un système matriciel. Après calcul et, si l’on ne tient pas compte des efforts extérieurs appliqués pour l’instant, le système matriciel obtenu est le suivant :

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 2 21 2 3

ˆ 0K ik K k K M Uω− + − = (1.18)

où: [ ]1K , [ ]2K , [ ]3K et [ ]M sont respectivement les matrices globales de raideur et de masse. Le

vecteur U représente quant à lui les déplacements de l’ensemble des nœuds du maillage (u désigne

le spectre de u ). Généralement, le système (1.18) est transformé de la manière suivante :

[ ] [ ]( ) ˆ 0A k B Q− = (1.19)

avec :

[ ] [ ] 22

112

31 2

ˆ00 ˆ, ,ˆ0

UK MK MA B Q

KK M iK kU

ωωω

−− = = = −− − (1.20)

27

Le système (1.19) peut se résoudre à partir de méthodes numériques simples puisqu’il s’agit d’un problème aux valeurs propres. Les solutions de ce système permettent de déterminer les vitesses de phase (valeurs propres) ainsi que les déformées (vecteurs propres) des différentes ondes pouvant se propager dans la direction x. Le nombre de ces ondes dépend alors directement du nombre d’éléments utilisés pour le maillage. On peut ainsi facilement adapter le modèle numérique en fonction de la quantité d’ondes se propageant dans la structure sur la bande fréquentielle d’étude.

Une fois avoir déterminé numériquement ces paramètres ondulatoires, on calcule ensuite analytiquement la réponse fréquentielle en imposant les conditions aux limites et les chargements. Pour cela, on s’appuie simplement sur la synthèse ondulatoire (calcul analytique) puisque le champ est formulé en ondes planes dans la direction de propagation. A partir de ce calcul, les amplitudes associées à chacune des ondes sont alors déterminées. Enfin, si l’on souhaite déterminer la réponse transitoire, il suffit finalement de calculer la IDFT de la réponse fréquentielle.

Avantages et inconvénients

La SAFE est une méthode fréquemment employée en contrôle non destructif (CND) afin d’étudier l’interaction d’une onde avec un défaut [Hayashi et al., 2003], [Damljanovic et al., 2004] et [Jezzine, 2006] ou bien encore en dynamique des structures pour réduire les vibrations [Gry, 1996]. Dans ces différentes applications, les auteurs s’intéressent principalement à des poutres ayant une section complexe comme par exemple des rails de chemin de fer [Damljanovic et al., 2004], [Gry, 1996]. Cependant, des travaux ont aussi été menés en ce qui concerne les plaques par [Dong et al., 1972], [Mukdadi et al., 2002] et [Chitnis et al., 2003] ; toutefois, seules les caractéristiques ondulatoires (vitesse de phase, déformée) ont été déterminées. A partir de ces différents travaux, on constate que la SAFE est très bien adaptée pour traiter les phénomènes à petites longueurs d’ondes ; seulement aucun code ne propose pour l’instant des éléments semi-analytiques, ce qui veut dire que l’on doit systématiquement développer de nouveaux éléments pour traiter un problème. Par ailleurs, la SAFE est limitée à des cas académiques, poutres et plaques, ce qui veut dire qu’on ne peut l’utiliser pour traiter des structures plus complexes.

1.4.3.3 La méthode des éléments finis ondulatoires Dans les deux méthodes précédentes, nous avons vu que le champ de déplacement était formulé à

partir de fonctions sinusoïdales dans la direction de propagation. Malheureusement, pour la SEM, nous avons vu qu’elle pouvait être limitée car elle emploie des théories élémentaires pour caractériser la phase des fonctions d’interpolation. De même, pour la SAFE, nous avons vu qu’il était nécessaire de développer des éléments semi-analytiques, ce qui limite fortement son utilisation. La troisième méthode que nous allons présenter ici, la méthode des éléments finis ondulatoires (WFE, Wave Finite Element) tente de pallier ces limitations en couplant la théorie des structures périodiques (PST, Periodic Structural Theory) introduite dans [Mead, 1973] à la FEM.

Principe

Pour appliquer la WFE, il faut tout d’abord mailler à partir d’éléments finis une période de la structure (cellule). Une fois le maillage défini, on se retrouve alors en possession du système matriciel (1.9) qui, exprimé ensuite dans le domaine fréquentiel, nous donne :

[ ] [ ]( ) 2 ˆˆK ω M u f− = (1.21)

avec : u le spectre de u . Ensuite, on postule le vecteur des déplacements nodaux ainsi que le vecteur des forces nodales sous forme d’ondes planes de la façon suivante :

28

( ) ( )( ) ( )

ˆˆ , , ,

ˆ ˆ, , ,

ikx

ikx

u x y z U y z e

f x y z F y z e

−

−

=

= (1.22)

où : U et F représente la déformée de l’onde. En utilisant le théorème de Floquet, on est capable de déduire des relations entre les extrémités droite et gauche de la cellule car les déplacements et les efforts sont égaux à ces extrémités. En effet, si l’on prend l’exemple d’une structure 1D-périodique, les relations entre les extrémités s’écrivent :

( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ, , , ,

ˆ ˆ, , , ,

U x d y z U x y z

F x d y z F x y z

+ =

+ = (1.23)

avec : d la taille d’une cellule. A partir des expressions (1.22) et (1.23), on est en mesure de transformer le système matriciel (1.21) en un problème aux valeurs propres dont les solutions représentent les vitesses de phase (valeurs propres) et les déformées (vecteurs propres) associées aux différentes ondes. Grâce à la base formée par ces ondes, il suffit d’imposer les conditions limites et les chargements extérieurs et ainsi calculer à partir d’une synthèse ondulatoire la réponse fréquentielle de la structure. Finalement, la réponse transitoire peut ensuite être déterminée en appliquant une IDFT à la réponse fréquentielle précédemment calculée.

Avantages et inconvénients

Dans les applications de la WFE, on note tout d’abord qu’elle a beaucoup été employée afin de caractériser les vitesses de groupes qui sont nécessaires lorsqu’on utilise des méthodes énergétiques comme la SEA. Dans ces travaux, on retrouve le travail de [Houillon, 1999] sur les ossatures de caisse automobile ou bien encore le travail de [Akrout, 2005] sur les plaques raidies. D’autres travaux s’axent plutôt sur le calcul de la réponse forcée d’une structure comme par exemple [Mencik et al., 2006] qui calcule la réponse d’une conduite submergée par un fluide ou bien encore [Duhamel et al., 2003] qui calcule la réponse d’une plaque simplement supportée et excitée en son centre. A travers ces applications, on constate que la WFE est un outil simple à mettre en œuvre car elle nécessite peu de développements contrairement à la SAFE. En effet, Il suffit pour développer le modèle numérique de la cellule d’utiliser un code de calcul capable d’extraire les matrices de masse et de raideur du modèle et de les exploiter ensuite à partir d’un logiciel de calcul matriciel comme par exemple Matlab ou Scilab. En revanche, on constate aussi que le fait d’utiliser une discrétisation éléments finis d’une cellule peut entraîner des erreurs numériques. C’est pourquoi, certains chercheurs comme [Akrout, 2005] et [Waki et al., 2006] pour les structures 1D-périodiques ou bien [Manconi et al., 2007] pour les structures 2D-périodiques ont mené des travaux sur ce thème. Enfin, on remarque qu’il existe peu de résultats dans la littérature concernant des études sur la réponse transitoire à haute fréquence d’une structure à partir de la WFE. Généralement, les auteurs cherchent principalement à résoudre des problèmes stationnaires.

1.4.4 Les méthodes hybrides Dans les travaux de recherche menés sur la problématique des chocs pyrotechniques, certains

laboratoires ont développé des méthodes hybrides couplant les méthodes basses fréquences et les méthodes hautes fréquences. De ce fait, le principe des méthodes hybrides consiste à calculer la réponse fréquentielle sur les domaines basses et hautes fréquences à partir de la méthode la plus adaptée. En règle générale, les méthodes hybrides utilisent systématiquement la FEM pour traiter la partie basse fréquences car elle est très répandue. En revanche, en ce qui concerne la partie moyennes et hautes fréquences, différentes méthodes ont été utilisées : la SEA ou bien la théorie variationnelle des rayons complexes (TVRC).

29

1.4.4.1 FEM + SEA La première méthode hybride présentée ici est celle développée par [Bodin, 2001] pour calculer la

réponse d’un équipement électronique à un choc pyrotechnique. Cette méthode utilise la FEM pour calculer la partie basse fréquence et la SEA pour calculer la partie haute fréquence.

Principe

Pour procéder à un tel calcul, il faut tout d’abord marquer la fréquence de transition entre les domaines basses et hautes fréquences. Pour cela, l’auteur propose d’utiliser le paramètre de transmissibilité effective qui traduit l’accélération transmise par un mode propre depuis la source du choc jusqu’au point de mesure.

Une fois cette fréquence déterminée, on procède ensuite au calcul de la réponse fréquentielle sur chaque domaine. Pour les basses fréquences, les calculs FEM sont réalisés à partir du code de calcul MSC.Nastran. Le calcul des réponses temporelles est mené à partir de la synthèse modale ou bien à partir de la méthode d’intégration temporelle implicite. Un filtrage passe bas de la réponse est pratiqué pour ne conserver que l’information avant la fréquence de transition. Pour les hautes fréquences, on utilise tout d’abord la SEA via le code de calcul AutoSEA2 pour déterminer l’amplitude de la réponse fréquentielle. La phase n’étant pas prédite par la SEA, il faut donc la reconstruire. L’auteur propose pour cela d’employer l’approche dite « pseudo-aléatoire » qui consiste à affecter à n modes propres

présents sur le domaine haute fréquence une phase définie aléatoirement sur l’intervalle [ ],π π− par

une loi normale. La réponse transitoire est une nouvelle fois obtenue en appliquant une IDFT à la réponse fréquentielle reconstruite (amplitude, phase). Comme pour les basses fréquences, un filtrage passe haut est appliqué à la réponse afin de conserver l’information après la fréquence de transition. Enfin, la réponse transitoire couvrant les deux domaines est calculée en sommant les réponses transitoires basse et haute fréquence.

Avantages et inconvénients

A partir de cette méthode, l’auteur montre que les prévisions sont comparables aux résultats d’essais, si l’on tient compte d’une marge de 6 dB. L’intérêt majeur de cette méthode réside dans le fait qu’il est possible d’utiliser le maillage construit pour d’autres problématiques (statique, analyse modale) ce qui permet de réduire le temps de mise au point des simulations. Toutefois, ce gain n’est peut être pas si élevé car comme le fait remarquer l’auteur la mise au point d’une simulation SEA nécessite de l’expertise. De plus, le caractère prédictif de cette approche peut être mis en cause car il est nécessaire de connaître a priori les paramètres ondulatoires (vitesse de groupe, facteurs de couplage) du fait de l’utilisation de la SEA.

1.4.4.2 FEM + TVRC Cette méthode développée par [Chevreuil, 2005] permet elle aussi de calculer la réponse transitoire

d’une structure soumise à un choc en couplant deux méthodes de calcul sur les domaines basses et moyennes fréquences à la différence près que la sommation des réponses se fait d’abord sur les réponses fréquentielles et non sur les réponses transitoires et qu’elle contourne les difficultés liées à la SEA.

Principe

Dans cette méthode, le problème est tout d’abord scindé en deux domaines en définissant une fréquence de transition. Ensuite, le calcul de la partie basse fréquence de la réponse fréquentielle est réalisé à partir du code de calcul MSC.Nastran. La méthode de calcul choisie dans le code est la synthèse modale car elle est bien adaptée lorsque peu de modes contribuent à la réponse, ce qui est le cas en basse fréquence. Ensuite, pour la partie moyenne fréquence, les prédictions sont réalisées par la TVRC (Théorie Variationnelle des Rayons Complexes). Cette méthode, initialement développée par [Rouch, 2003] pour résoudre les problèmes stationnaires en moyennes fréquences, permet de faire face

30

aux limitations des méthodes FEM et SEA. La formulation de la TVRC s’appuie sur une approche dite multi-échelle, c’est-à-dire qu’au lieu d’approcher à partir de polynômes par morceaux le champ de déplacement comme pour la FEM, on va utiliser une base de fonctions sinusoïdales vérifiant exactement les équations du mouvement (rayons complexes). Ensuite, en utilisant une forme faible pour vérifier les conditions aux limites, on va être en mesure de calculer la réponse fréquentielle en tout point de la structure en calculant la participation de chaque rayon complexe. Finalement, les parties basses et moyennes fréquences des réponses fréquentielles sont fenêtrées puis sommées afin d’estimer la réponse sur la bande fréquentielle complète. Finalement, la réponse transitoire est calculée en appliquant une IDFT à la réponse fréquentielle.

Avantages et inconvénients

Les prédictions réalisées à partir de cette méthode ont été comparées à la méthode FEM temporel (section 1.4.2.2). Les comparaisons montrent que les coûts de calcul de la méthode proposée sont plus faibles que pour la FEM. Des premières simulations ont été réalisées afin d’étudier la propagation des chocs pyrotechniques dans des plaques ; toutefois, aucune validation expérimentale n’a pour l’instant été effectuée. Des simulations sur des structures plus complexes et composites devraient elles aussi être proposées.

Nom Catégorie Domaine de résolution

Coût numérique Type des structures

Applicabilité

TSEA énergétique temporel faible complexe industrielle

MEST énergétique temporel faible poutre universitaire

FDM numérique temporel élevé poutre / plaque industrielle

FEM numérique temporel élevé complexe industrielle

SEM semi-analytique fréquentiel moyen poutre / plaque universitaire

SAFE semi-analytique fréquentiel moyen poutre / plaque universitaire

WFE semi-analytique fréquentiel moyen poutre / plaque universitaire

FEM + TVRC hybride fréquentiel moyen poutre / plaque universitaire

FEM + SEA hybride fréquentiel moyen complexe industrielle

Tableau 1.3 : Synthèse des méthodes de simulation.

1.4.5 Synthèse Afin de comparer plus efficacement les méthodes qui viennent d’être présentées, nous les avons

regroupées dans le tableau 1.3. Les quatre critères pris pour la comparaison permettent d’évaluer les avantages et inconvénients à utiliser industriellement les différentes méthodes dans le cadre de notre problèmatique. A partir de cette synthèse, on est en mesure de comprendre qu’aucune des méthodes ne possède un niveau de maturité suffisant pour prédire avec précision la propagation des chocs hautes fréquences. En effet, pour certaines, le coût numérique est trop élevé, voire prohibitif, à hautes fréquences, tandis que pour les autres, on peut simuler uniquement la réponse transitoire de structures simples comme les plaques et les poutres. Sachant qu’industriellement les structures sont majoritairement complexes, il a donc été décidé de realiser les prévisions à partir de la FEM temporel

31

malgré ses limitations. En règle générale, ces calculs sont realisés à partir de code de calcul existant comme par exemple Radioss. Toute la difficulté pour l’industriel réside dans le choix du code car ils ne proposent pas tous le même type d’éléments et de méthode de simulation.

1.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons tout d’abord décrit le comportement dynamique d’une structure soumise à un choc haute fréquence afin de spécifier ce qu’on entendait par phénomène « haute fréquence ». Lors de cette description, nous avons vu que ces phénomènes étaient des phénomènes de propagation d’ondes localisés à proximité de la source du choc. Il ne faut donc pas les confondre avec ceux que l’on rencontre fréquemment dans les problématiques stationnaires car ils sont eux localisés sur l’ensemble de la structure (champ diffus) en raison d’excitations aléatoirement distribuées en temps et en espace. Ceci étant dit, d’un point de vue industriel, seule la partie basse fréquence du choc est prise en compte lors de la qualification des équipements puisque les normes imposent qu’ils soient placés suffisamment loin de la source du choc pour ne pas subir les phénomènes hautes fréquences. Seulement, il arrive parfois qu’en raison du faible espace disponible et des méconnaissances sur ces phénomènes que les équipements subissent ces niveaux vibratoires très sévères. C’est pourquoi, afin de mieux les contrôler, nous apportons notre contribution aux travaux de recherche menés sur cette thématique en évaluant la capacité des outils de simulations industriels à prendre en compte les phénomènes hautes fréquences. Pour mener cette étude, nous avons dressé les hypothèses suivantes :

1) Les structures étudiées présenteront une géométrie simple de type poutre ou plaque, les dimensions de ces structures seront cependant comparables à celles rencontrées sur un lanceur, c’est-à-dire de l’ordre du millimètre pour les sections (poutre) et les épaisseurs (plaque) et du mètre pour les autres dimensions.

2) Les matériaux constituant les structures seront isotropes ou composites stratifiés.

3) Seuls les phénomènes hautes fréquences seront pris en compte dans les simulations numériques, la réponse modale intervenant dans les temps longs ne sera pas, quant à elle, investiguée dans cette thèse.

4) Le choc ne sera pas représentatif d’un cordeau de découpe pyrotechnique (charge défilante, explosion) mais il tiendra compte du contenu fréquentiel très élevé (~100kHz).

A partir de ces hypothèses de travail et grâce aux différentes revues menées dans les sections 1.3 et 1.4, nous pouvons affirmer que des difficultés existent pour mettre au point des simulations numériques fiables et précises dans le cadre de la propagation d’ondes. Tout d’abord, on constate des difficultés dans les codes industriels liés à la modélisation des structures. En règle générale, on s’appuie sur des éléments structuraux pour effectuer ce type de modélisation afin d’obtenir un modèle possédant un nombre de paramètres physiques et numériques faible. Malheureusement, les théories élémentaires et approchées utilisées pour formuler ces éléments sont limitées sur un certain domaine fréquentiel pour reproduire la dispersion des ondes. Dans ce cas, on doit recourir aux éléments solides ; toutefois, le nombre de paramètres peut rapidement devenir prohibitif si l’on s’intéresse à un contenu fréquentiel élevé. Au cours des dernières années, des améliorations notables ont été apportées sur les théories approchées afin d’étendre leurs domaines de validité ; seulement nous avons vu qu’elles ne sont pas pour l’instant implémentées dans les codes pour des raisons numériques, ou bien tout simplement parce qu’elles n’ont pas encore demontré leurs intérêts. Par conséquent, si l’on veut développer des modèles numériques de faible taille et prédictif, il nous faut être en mesure d’évaluer a priori leur capacité à reproduire les phénomènes locaux (champ de déplacement) et globaux (vitesse et directivité d’une onde).

Autrement, ils existent des difficultés dans les codes mais cette fois liés à la méthode numérique utilisée pour effectuer les calculs transitoires. Bien souvent, les industriels utilisent les codes de dynamique rapide tels que Radioss s’appuyant sur la FEM temporel. Ces codes souvent appelés

32

« codes explicites » du fait qu’ils utilisent le schéma de Newmark explicite sont les mieux adaptés par rapport aux autres méthodes car ils permettent de traiter aisément les structures complexes (section 1.4). Néanmoins, nous avons aussi vu qu’ils l’étaient moins en ce qui concerne les problématiques hautes fréquences en raison d’erreurs numériques qui leurs sont inhérentes. On note tout d’abord des erreurs liées à la discrétisation spatio-temporelle (erreur de dispersion) qui font qu’on est obligé de raffiner le maillage à mesure où là fréquence augmente. Pour assurer un niveau d’erreur faible, des règles ont été définies ; seulement elles ne tiennent compte que des aspects physiques et non des aspects numériques des techniques de discrétisation. Bien qu’elles semblent suffire pour certaines problématiques, nous devons tout de même vérifier leur pertinence en ce qui concerne la propagation d’ondes. Par ailleurs, nous avons aussi constaté lors de la description de la FEM temporel que certaines techniques numériques comme la condensation de masse, l’intégration réduite ou bien encore les éléments finis d’ordre élevé sont proposées afin de réduire le coût des calculs ou bien améliorer la convergence des solutions approchées. Sur ces techniques, il a alors été dit que certaines pouvaient dans le cadre d’étude sur la propagation d’ondes entraîner l’apparition d’ondes artificielles ou bien augmenter les erreurs de dispersion. A nouveau, nous devons nous questionner sur l’intérêt d’utiliser de telles techniques dans notre étude car peu de réponses à ces questions sont accessibles dans la littérature. En règle générale, les problèmes rencontrés avec la FEM temporel sont solutionnés en développant de nouvelles méthodes de calcul plus à même de répondre aux besoins comme par exemple les méthodes semi-analytiques ou hybrides présentées respectivement aux sections 1.4.3 et 1.4.4. Cependant, ces dernières restent pour la plupart limitées aux cas académiques et n’ont pour l’instant pas été implémentées dans les codes de calcul, ce qui limite fortement leur usage par les industriels.

En conclusion, si nous voulons simuler avec fiabilité et précision la propagation d’ondes à hautes fréquences dans les structures composites stratifiées, nous devons investiguer les différentes questions suscitées précédemment en ce qui concerne la mise au point d’une simulation à partir d’un code explicite. Nous allons donc tout d’abord évaluer a priori le domaine de validité des éléments finis structuraux proposés par les codes explicites. Ceci fera l’objet du chapitre 2 en ce qui concerne les éléments poutres et du chapitre 3 en ce qui concerne les éléments plaques. Ensuite, nous vérifierons la précision des simulations réalisées à partir d’un code explicite dans le chapitre 4 en comparant les prévisions à celle de la méthode WFE. Enfin, au chapitre 5, nous proposerons des essais permettant d’étudier la validité des modèles. Lors de ces essais, on cherchera avant tout à comparer des grandeurs globales telles que la vitesse des ondes car nous pensons qu’elles sont moins sensibles aux conditions d’essais ce qui permet de meilleures corrélations essais/calculs.

33

Chapitre 2

Modélisation de la propagation d’ondes dans les

poutres composites stratifiées

2.1 Introduction

A travers ce chapitre, on cherche à établir la limite d’utilisation des éléments finis poutres proposés dans les codes de calcul pour étudier la propagation d’ondes. Pour cela, nous allons étudier leurs capacités à reproduire les phénomènes de dispersion d’ondes, en particulier la dépendance de la vitesse par rapport à la fréquence (courbe de dispersion). De plus, pour parfaire cette étude sur la dispersion, nous étudierons la déformation de la section de la poutre (déformée de section) pour chaque onde, ce qui nous permettra d’appréhender si l’élément reproduit bien les mécanismes de déformation mis en jeu sur la bande fréquentielle d’étude.

Pour ce faire, nous allons analyser la dispersion à partir des théories de poutres, utilisées pour formuler les éléments et comparer les prévisions obtenues à celles calculées numériquement par la méthode WFE. Ainsi, on sera en mesure d’appréhender la limite fréquentielle des différentes théories, mais aussi d’identifier l’origine de ces limitations, ce qui permettra alors de proposer des enrichissements aux éléments poutres présents dans les codes de calcul. Pour démontrer l’intérêt de cette approche, différents cas d’applications sont présentés à la fin de ce chapitre.

Enfin, il est important de noter qu’à travers cette étude nous nous intéressons uniquement à l’influence du paramétrage physique de l’élément (choix de la théorie de poutres) sur la reproduction des phénomènes de dispersion. L’influence des paramètres numériques sera quant à elle abordée au Chapitre 4.

2.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de poutres

Dans cette première partie, nous allons conduire une analyse sur la dispersion des ondes à partir des théories élémentaires et approchées utilisées pour formuler les éléments finis poutres. De plus, nous avons décidé de mener cette analyse à partir des théories approchées d’ordre plus élevé afin d’appréhender leurs intérêts. Pour cela, nous allons développer pour chaque théorie, les équations du mouvement, ce qui nous permettra ensuite, en postulant le champ de déplacement sous forme d’ondes planes harmoniques, de caractériser la dispersion des ondes. Pour les poutres isotropes, ce travail ne présente aucune nouveauté ; toutefois, en ce qui concerne les poutres composites stratifiées à section rectangulaire, ce qui nous intéresse ici, ceci est moins vrai car la prise en compte de matériau composite stratifié n’est pas une chose maîtrisée dans les théories de poutres. Nous avons donc du

34

nous baser sur les travaux de [Reddy, 2003] afin de définir des caractérisques mécaniques homogénéisés dans les théories élémentaire et du premier ordre en flexion. De plus, une attention particulière sera aussi accordée sur l’influence des coefficients pondérateurs utilisés dans certaines théories.

2.2.1 La théorie élémentaire La théorie élémentaire proposée ici est basée sur les travaux de [Reddy, 2003] qui utilise un

développement en série pour définir les équations du mouvement. Cette théorie peut être vue comme une extension de la théorie d’Euler-Bernouilli aux cas des poutres composites stratifiées car les équations du mouvement qui en découlent sont équivalentes. Ceci vient du fait que dans les deux théories, on emploie les hypothèses de la résistance des matériaux (RDM) qui sont 1) la section de la poutre est indéformable et 2) la section de la poutre reste perpendiculaire à la fibre moyenne après déformation.

Dans le cadre des hypothèses de la RDM, le champ de déplacement de la poutre se formule de la manière suivante :

( ) ( ) ( )00 0,

w xu u x z w w x

x

∂= − =

∂ (2.1)

avec : 0u le déplacement longitudinal de la section suivant x et 0w le déplacement transversal de la

section suivant z . A la figure 2.1, nous avons représenté les différents efforts et moments qui résultent du champ de déplacement.

Figure 2.1 : Réprésentation des efforts et des moments pris en compte dans la théorie élémentaire.

A partir de (2.1), il est possible, en employant la théorie linéaire de l’élasticité, d’écrire le champ de déformation comme suit :

2

00 02

, 0 , 0xx xx x zz xz

u wu w u wz z

x x x z z xε ε κ ε γ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = − = − = = = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2)

avec : 0xxε la déformation longitudinale et xκ la courbure. On remarque via (2.2) que le cisaillement

transverse est nul dans la théorie élémentaire. Maintenant, en vue d’obtenir les équations du mouvement représentant le comportement dynamique de la poutre, nous allons calculer la variation des énergies potentielle et cinétique. Ces variations s’expriment :

( ) ( ) , xx xxV VU dv T u u w w dvδ σ δε δ ρ δ δ= = +∫ ∫ ɺ ɺ ɺ ɺ (2.3)

En introduisant les expressions des déformations dans les équations (2.3), on obtient :

35

20 0

20

0 00 0 0 00

L

xxS

L

S

u wU z dsdx

x x

w wT u z u z w w dsdx

x x

δ δδ σ

δδ ρ δ δ

∂ ∂= − ∂ ∂

∂ ∂ = − − + ∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ

(2.4)

Ensuite, en calculant l’intégrale sur la section de la poutre présente dans l’équation (2.4), on est en mesure d’exprimer les variations des énergies potentielle et cinétique de la manière suivante :

( )

20 0

20

0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 20

L

x x

L

Y Y

u wU N M dx

x x

w w w wT J u u w w J u u J dx

x x x x

δ δδ

δ δδ δ δ δ

∂ ∂= − ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = + + − + ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

(2.5)

Les équations (2.5) font alors apparaître les différents mécanismes de déformation. Soit, xN la

résultante associée à la traction et xM le moment associé à la flexion dont les expressions sont

données par :

, x xx x xxS SN ds M zdsσ σ= =∫ ∫ (2.6)

ainsi que 0J la masse linéique et ( )1 2,Y YJ J les moments d’inerties d’ordre 1 et 2 suivant y définies

par :

( ) ( )20 1 2, , 1, ,Y Y S

J J J z z dsρ= ∫ (2.7)

En négligeant les moments d’inerties ( )1 2,Y YJ J supposés très faibles, puis en intégrant par parties

(2.5), les variations d’énergie deviennent :

( )2

0 0 0 0 0 0 020 0 ,

L Lx xN M

U u w dx T J u u w w dxx x

δ δ δ δ δ δ ∂ ∂= − − = − + ∂ ∂

∫ ∫ ɺɺ ɺɺ (2.8)

A présent, on peut appliquer le principe de Hamilton en vue d’obtenir les équations du mouvement. En l’absence de forces extérieures, le principe de Hamilton s’écrit :

( )0

0T

U T dtδ δ− =∫ (2.9)

Sachant que les variations 0uδ et 0wδ varie indépendamment et arbitrairement, on peut alors formuler

les équations du mouvement de la façon suivante :

20

0 0 2

2 20

0 02 2

:

:

x

x

N uu J

x t

M ww J

x t

δ

δ

∂ ∂= ∂ ∂

∂ ∂ = ∂ ∂

(2.10)

36

Si l’on veut analyser la dispersion des ondes, il nous faut exprimer les équations (2.10) uniquement à partir des déplacements ( )00,wu . Pour ce faire, on doit donc établir les relations entre les résultantes,

les moments et les déplacements présents dans (2.10). Dans le cadre des poutres composites stratifiées à section rectangulaire, nous allons suivre l’approche de [Reddy, 2003] afin de déterminer la résultante

xN et le moment xM en fonction des déplacements ( )0 0,u w . Pour ce faire, on utilise les relations

développées en annexe B.1:

2

0 0* * 211 11

, x x

u wb bN M

A x D x

∂ ∂= = −∂ ∂

(2.11)

A partir de (2.11), on peut identifier les modules élastiques homogénéisés suivants :

* *11 11

,x zY

b bE E

A A D I= = (2.12)

avec : b la largeur de la poutre, A l’aire de la section S, YI le moment quadratique de la section S

suivant l’axe y définis par :

2 , YS SA ds I z dz= =∫ ∫ (2.13)

Ce qui permet alors de réécrire (2.11) de la façon suivante :

2

0 02

, x x x z Y

u wN E A M E I

x x

∂ ∂= = −∂ ∂

(2.14)

On notera que dans le cas de la poutre isotrope, les expressions sont semblables, à condition de prendre x zE E E= = . Finalement, en remplaçant les relations (2.14) dans (2.10), on est en mesure

d’écrire les équations du mouvement fonction uniquement des déplacements ( )0 0,u w . Ces équations

s’écrivent :

2 20 0

02 2

4 20 0

04 2

0

0

x

z Y

u uE A J

x t

w wE I J

x t

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂ + = ∂ ∂

(2.15)

Fort des équations du mouvement (2.15), nous pouvons désormais caractériser la dispersion des ondes. Pour ce faire, on postule le champ de déplacement (2.1) sous forme d’ondes planes harmoniques comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ,i t kx i t kxu x t Ue w x t Weω ω− −= = (2.16)

En introduisant les expressions (2.16) dans les équations (2.15), on obtient les relations de dispersion suivantes :

2 2

0

4 20

0

0

x

z Y

E Ak J

E I k J

ωω

− =

+ = (2.17)

37

Les nombres d’ondes solutions des relations (2.17) sont :

1 14 4

0 0 01,2 3,4 5,62 2

, ,x z Y z Y

J J Jk k k i

E A E I E Iω

ω ω

= ± = ± = ±

(2.18)

ce qui nous donne en terme de vitesses de phase pour les ondes progressives :

14

1,2 3,40 0

,x z YE A E Ic c

J Jω

= ± = ±

(2.19)

En analysant les solutions (2.18) et (2.19), on retrouve les résultats bien connus de la théorie élémentaire sur la dispersion des ondes, c'est-à-dire que la théorie prédit uniquement l’onde principale longitudinale, et les deux premières ondes transversales, l’une progressive (nombre d’ondes réel) et l’autre évanescente (nombre d’ondes imaginaire). On notera enfin que pour toutes ces ondes, il y a existence d’une onde se propageant vers les x positifs (nombre d’ondes positif) et une onde se propageant vers les x négatifs (nombre d’ondes négatif).

Si l’on mène une analyse asymptotique à hautes fréquences (ou pour des petites longueurs d’ondes), on obtient les vitesses limites suivantes :

1,2 3,40

,xE Ac c

J= ± = ±∞ (2.20)

A partir de cette analyse, on constate que la vitesse de l’onde longitudinale est inchangée et que la vitesse de l’onde transversale tend vers une valeur infinie. Une nouvelle fois, on retrouve un constat classique fait sur la théorie élémentaire, c’est-à-dire, que la théorie est fausse puisqu’elle prédit une vitesse infinie pour l’onde transversale et ne tient pas compte de la dispersion de l’onde principale longitudinale à hautes fréquences. A titre d’exemple, les courbes de dispersion d’une poutre isotrope à section rectangulaire sont représentées à la figure 2.2.

Figure 2.2 : Exemple de courbes de dispersion pour la théorie élémentaire.

38

2.2.2 La théorie du premier ordre en flexion Comme nous venons de le voir lors de l’étude asymptotique, la théorie élémentaire est limitée dès

que l’on s’intéresse aux fréquences élevées. Ceci est dû au fait que les hypothèses issues de la RDM ne suffisent plus pour modéliser le comportement dynamique de la poutre à ce niveau de fréquence. Pour pallier ces limitations, il est intéressant d’employer une théorie du premier ordre en flexion car ce type de théorie revoit l’hypothèse stipulant que la section de la poutre reste perpendiculaire à la fibre moyenne. Nous allons donc à nouveau utiliser une approche comparable à celle de [Reddy, 2003] afin de développer une théorie du premier ordre en flexion comparable à celle de Timoshenko mais pour les matériaux composites stratifiés. Les éléments finis poutres formulés à partir de la théorie de Timoshenko pourront ainsi être utilisés pour traiter les poutres composites stratifiés.

Pour tenir compte des hypothèses de la théorie de Timoshenko, le champ de déplacement de la poutre doit être formulée comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ,u x z z x w x z w xφ= − = (2.21)

avec : 0w le déplacement transverse de la section suivant z et 0φ la rotation de la section dans le plan

( )zx, . Les différents effort et moment qui résultent du champ de déplacement sont illustrés sur la figure 2.3.

Figure 2.3 : Réprésentation des efforts et moments pris en compte dans la théorie du premier ordre en flexion.

De même, le champ de déformation s’exprime désormais de la façon suivante :

0 00 , 0 , 2xx zz xz xz

wu w u wz

x x z z x x

φε ε γ ε φ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = = − = = = = + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.22)

A partir de (2.22), on note que, pour la théorie du premier ordre en flexion, le cisaillement transverse n’est pas nul. C’est d’ailleurs ce mécanisme de déformation qui fait que la section de la poutre n’est plus perpendiculaire à la fibre moyenne [Graff, 1991]. Pour développer les équations du mouvement, on procède de la même manière analogue à la théorie précédente, c’est-à-dire que l’on va calculer les variations des énergies potentielle et cinétique puis appliquer le principe de Hamilton. Après calculs et en l’absence de forces extérieures, les équations obtenues s’écrivent :

20

0 0 2

20

0 2 2

:

:

x

xx Y

Q ww J

x t

MQ J

x t

δ

φδφ

∂ ∂= ∂ ∂

∂ ∂ − = ∂ ∂

(2.23)

avec : xM le moment de flexion, xQ la résultante associée au cisaillement transverse, 0J la masse

linéique et 2YJ le moment d’inertie d’ordre 2 suivant y définis par :

39

( ) ( ) ( )20 2 , , , 1,x xx x xz YS S S

M zds Q x ds J J z dzσ σ ρ= = =∫ ∫ ∫ (2.24)

Désormais, pour analyser la dispersion des ondes, on doit exprimer les équations du mouvement uniquement à partir des déplacements ( )00,φw . Dans le cadre des poutres composites stratifiées à

section rectangulaire, il faut procéder comme pour la théorie élémentaire, c’est-à-dire à partir des expressions entre les résultantes, les moments et les déformations d’une plaque puis poser les hypothèses simplificatrices de la théorie des poutres [Reddy, 2003]. D’après les calculs menés en annexe B.2, on aboutit alors aux relations suivantes :

0 00* *

55 11

,x x

wb bQ M

F x D x

φα φ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ (2.25)

Il est important de noter que dans les expressions (2.25) nous avons introduit le coefficient pondérateur α . Ceci vient du fait que le cisaillement transverse n’est pas constant sur la section de la poutre et donc xQ ne peut pas être intégré facilement sur la section.

De nouveau, on peut identifier des modules élastiques homogénéisés, ce qui donne :

* *11 55

, zY

b bE G

D I F A= = (2.26)

avec : YI le moment quadratique de la section S suivant y défini par :

2Y S

I z dz= ∫ (2.27)

En remplaçant (2.26) dans (2.25), les résultantes et les moments se réécrivent :

0 00 ,x x z Y

wQ GA M E I

x dx

φα φ∂ ∂ = − = − ∂ (2.28)

A partir des relations déterminées précédemment, on peut écrire les équations (2.23) uniquement à

partir des déplacements ( )0 0,w φ de la façon suivante :

2 20 0 0

02 2

2 20 0 0

0 22 2z Y Y

w wGA J

x x t

wGA E I J

x x t

φα

φ φα φ

∂ ∂ ∂− = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∂

(2.29)

Pour déterminer les relations de dispersion, on postule ensuite le champ de déplacement (2.21) sous forme d’ondes planes harmoniques :

( ) ( )

0 0 , i t kxi t kx ew We e

ωω φ−−= = Φ (2.30)

Puis en introduisant (2.30) dans les équations (2.29), on aboutit au système d’équations suivant :

40

2 2

02 2

2

0

0z Y Y

WGAk J ik GA

ik GA E I k GA J

α ω αα α ω

− − = Φ+ −

(2.31)

Pour que ce système possède une solution non triviale, il est nécessaire que son déterminant soit nul. On en déduit ainsi la relation de dispersion des ondes transversales pour la théorie du premier ordre en flexion :

4 22 1 0 0A k A k A− + = (2.32)

avec : les coefficients 2, 1 0,A A A définis par

( )2 2 2 22 1 2 0 0 2 0, ,z Y Y z Y YA GAE I A GAJ E I J A J GA Jα α ω ω ω α ω= = + = − (2.33)

Tout d’abord, on constate, en analysant la relation de dispersion (2.32), qu’elle est polynomiale

d’ordre deux en 2k . Cela veut donc dire qu’il existe quatre ondes transversales dont une moitié se propage vers les x positifs et l’autre vers les x négatifs du fait que les nombres d’ondes k et –k sont solutions de (2.32). A présent, intéressons nous aux améliorations apportées par la théorie du premier ordre en flexion. A la figure 2.4, les courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie du premier ordre en flexion et la théorie élémentaire sont comparées pour une poutre isotrope à section rectangulaire. A basse fréquence, on constate que les deux théories sont identiques. Ceci peut aussi se vérifier en menant une analyse asymptotique, les vitesses limites calculées étant alors :

14

3,40

z YE Ic

Jω

= ±

(2.34)

Figure 2.4 : Comparaison des courbes de dispersion entre la théorie élémentaire (-) et la théorie du premier

ordre en flexion (- -).

En comparant les expressions (2.19) et (2.34), on vérifie bien que les deux théories donnent des résultats semblables à basses fréquences. Par contre, à hautes fréquences, les valeurs limites des vitesses de phase sont :

41

3,4 5,60 2

, Y

Y

EIGAc c

J J

α= ± = ± (2.35)

A la vue des valeurs (2.35) et des courbes de dispersion (figure 2.4), on peut dire que la vitesse de l’onde principale transversale est désormais finie contrairement à celle prédite par la théorie élémentaire pour laquelle la vitesse tendait vers une valeur infinie (cf. équation (2.20)). De plus, on constate que la première onde secondaire, évanescente quelque soit la fréquence pour la théorie d’Euler-Bernouli, devient progressive à partir d’une certaine fréquence de coupure. Cette fréquence peut être déterminée en recherchant la fréquence pour laquelle le nombre d’ondes est nul. Après calcul, cette fréquence de coupure s’exprime :

2

1

2cY

GAf

J

απ

= (2.36)

Influence du coefficient correcteur

Pour exprimer la résultante xQ , nous avons vu qu’il fallait introduire un coefficient pondérateur α

dans (2.28). Ce coefficient a une importance cruciale sur les courbes de dispersion comme on peut le voir à la figure 2.5 ou bien au niveau des expressions (2.35) et (2.36). En effet, les vitesses limites de l’onde principale, ainsi que la fréquence de coupure de l’onde secondaire dépendent de α . Il est donc indispensable de bien savoir l’évaluer si l’on souhaite obtenir un modèle physique prédictif. Pour ce faire, différentes méthodes ont été proposées dans la littérature. Grâce à ces travaux, les valeurs de ce coefficient pour une majorité de sections (circulaire, rectangulaire, etc.) ont pu être établies et sont recensées dans [Cowper, 1966]. Pour une section rectangulaire, ce qui nous intéresse particulièrement dans cette étude, le coefficient pondérateur vaut 0.85 pour un coefficient de Poisson 0.3ν = . Par ailleurs, il faut noter que ces coefficients ont été déterminés pour des poutres isotropes, ce qui veut dire qu’ils ne sont pas forcément les mêmes pour les poutres composites stratifiées. Si l’on se réfère à [Reddy, 2003], on constate même qu’ils sont obligatoirement différents et dépendent malheureusement des propriétés de chaque pli ainsi que de la stratification. Cela veut donc dire qu’on est obligé de les déterminer pour chaque stratification, ce qui peut être très pénalisant dans certains cas. Dans les cas d’application présentés à la section 2.4, nous étudierons l’influence de ces coefficients sur les prévisions et on vérifiera ainsi s’ils dépendent bien de la stratification.

Figure 2.5 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : α = 0,85 (-) et α = 0,65 (- -).

42

2.2.3 Les théories du premier ordre en traction A partir de la théorie du premier ordre en flexion présentée précédemment, nous avons vu qu’il

était possible, en tenant compte d’un plus grand nombre de mécanismes de déformation, d’améliorer les prévisions à hautes fréquences pour les ondes transversales. Ainsi, les éléments finis formulés à partir de cette théorie pourront être plus à même de modéliser le comportement dynamique des poutres composites stratifiées à hautes fréquences tout en ayant un nombre limité de paramètres physiques. Pour les ondes longitudinales, les éléments finis sont formulés uniquement à partir de la théorie élémentaire, ce qui laisse à penser que nous pourrons être limités pour traiter nos cas d’application, du fait qu’elle ne prédit pas la dispersion de l’onde principale ainsi que l’existence des multiples ondes secondaires. En vue de faire face à ces limitations, nous avons choisi de tester la capacité des théories approchées d’ordre élevé dédiées aux ondes longitudinales, même si ces dernières ne sont pas encore implémentées dans les codes de calcul. De ce fait, si les éléments structuraux sont mis en défaut, nous pourrons proposer des enrichissements à apporter aux codes pour ainsi éviter l’emploi des éléments solides générant un nombre de ddl prohibitif.

2.2.3.1 Théorie de Muller La première théorie approchée choisie dans ce travail est la théorie du premier ordre en traction

proposée dans [Muller, 1983] pour les poutres isotropes. Cette théorie prend en compte des mécanismes de déformation liés aux effets de Poisson et au cisaillement transverse. Pour introduire ces nouveaux mécanismes, Muller postule le champ de déplacement de la poutre de la façon suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, , , , , , ,u x y z u x v x y z y x w x z z xϕ ψ= = = (2.37)

avec : 0u le déplacement longitudinal de la section suivant x et 0ϕ , 0ψ les déplacements latéraux de

la section suivant y et z . Les efforts et les moments associés à chaque ddl ( )0 0 0, ,u ϕ ψ sont

représentés à la figure 2.6.

Figure 2.6 : Réprésentation des efforts et moments pris en compte dans la théorie de Muller.

A partir du champ de déplacement (2.37), on en déduit, via la théorie linéaire de l’élasticité, le champ de déformation comme suit :

00 0

0 0

, ,

, , 0

xx yy zz

xy xz yz

uu v w

x x y z

u v u w v wy z

y x x z x x z y

ε ε ϕ ε ψ

ϕ ψγ γ γ

∂∂ ∂ ∂= = = = = =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = = + = = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.38)

De même que pour les précédentes théories, on va exprimer les équations du mouvement à partir du principe de Hamilton. Pour cela, on exprime les variations d’énergie potentielle et cinétique. Ces variations sont données par les expressions suivantes :

43

( )

0 0 00

0 0 0 2 0 0 2 0 00

L yx zy z

L

Z Y

MN MU u N N dx

x x x

T J u u J J dx

δ δ δϕ δψ

δ δ ϕ δϕ ψ δψ

∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂

= − − −

∫

∫ ɺɺ ɺɺɺɺ

(2.39)

avec : xN la résultante associée à la traction, yN la résultante associée à l’effort latéral suivant y, zN

la résultante associée à l’effort latéral suivant z, yM et zM les moments associés au cisaillement

transverse, 2YJ et 2ZJ les moments d’inerties d’ordre 2 suivant l’axe y et z. Ces efforts, ainsi que les

moments, sont définis par les expressions suivantes :

2 2

2 2

, ,

, ,

y yy z zz y xyS S S

z xz Y ZS S S

N ds N ds M yds

M zds J z ds J y ds

σ σ σ

σ ρ ρ

= = =

= = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (2.40)

En appliquant le principe de Hamilton en l’absence de forces extérieures, on obtient les équations du mouvement suivantes :

20

0 0 2

20

0 2 2

20

0 2 2

:

:

:

x

yy Z

zz Y

N uu J

x tM

N Jx t

MN J

x t

δ

ϕδϕ

ψδψ

∂ ∂= ∂ ∂∂ ∂− = ∂ ∂

∂∂ − = ∂ ∂

(2.41)

Pour exprimer les relations entre les résultantes ( ), ,x y zN N N , les moments ( ),y zM M et les

déplacements ( )0 0 0, ,u ϕ ψ dans le cadre des poutres isotropes à section rectangulaire, on commence

par exprimer la loi de Hooke :

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx xx

yy yy

zz zz

yz yz

xz xz

xy xy

σ ελ µ λ λσ ελ λ µ λσ ελ λ λ µσ γµσ γµσ γµ

+ + +

=

(2.42)

Puis en introduisant les expressions (2.42) dans (2.40), on obtient les relations recherchées qui sont données par :

( ) ( )

( )

0 00 0 0 0

0 0 00 0

2 , 2

2 , ,

x y

z y Z z Y

u uN A A A N A A A

x xu

N A A A M I M Ix x x

λ µ λ ϕ λ ψ λ λ µ ϕ λ ψ

ϕ ψλ λ ϕ λ µ ψ µ µ

∂ ∂= + + + = + + +∂ ∂

∂ ∂ ∂= + + + = =∂ ∂ ∂

(2.43)

44

avec : ( ),Y ZI I les moments quadratiques de la section S suivant y et z définis par :

2 2 , Y ZS SI z dz I y dy= =∫ ∫ (2.44)

Fort des relations (2.43), on déduit finalement les équations du mouvement fonction uniquement des

déplacements ( )0 0 0, ,u ϕ ψ de la façon suivante :

( )

( )

( )

2 20 0 0 0

02 2

2 20 0 0

0 0 22 2

2 20 0 0

0 0 22 2

2

2

2

Z Z

Y Y

u uA A A J

x x x t

uI A A A J

x x t

uI A A A J

x x t

ϕ ψλ µ λ λ

ϕ ϕµ λ λ µ ϕ λ ψ

ψ ψµ λ λ ϕ λ µ ψ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + = ∂ ∂ ∂

(2.45)

En postulant le champ de déplacement sous forme d’ondes planes harmoniques comme suit :

( ) ( ) ( )0 0 0 , , i t kx i t kx i t kxu Ue e eω ω ωϕ ψ− − −= = Γ = Ψ (2.46)

On obtient le système d’équation suivant :

21 2 3 3

23 4 5 3

23 3 7 6

a a k ia k ia k U

ia k a a k a

ia k a a a k

− − − − − Γ − − Ψ

(2.47)

avec : les coefficients ia définis par :

( ) ( )

( )

2 21 0 2 3 4 2

25 6 7 2

, 2 , , 2

, , 2

Z

Z Y Y

a J a A a A a J A

a I a I a J A

ω λ µ λ ω λ µ

µ µ ω λ µ

= = + = = − +

= = = − + (2.48)

Ce système d’équations possède une solution non triviale uniquement si son déterminant est nul, on en déduit ainsi la relation de dispersion des ondes longitudinales :

6 4 23 2 1 0 0A k A k A k A+ + − = (2.49)

avec : les coefficients iA définies par :

3 2 5 6

2 22 1 5 6 3 6 2 5 7 2 4 6 3 5

3 2 2 21 2 4 7 1 5 7 1 4 6 3 3 4 3 7 2 3

20 1 4 7 1 3

2

A a a a

A a a a a a a a a a a a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a a

A a a a a a

= −

= + + + +

= − − − − − − +

= −

(2.50)

45

La relation de dispersion obtenue est d’ordre trois en k2, ce qui veut dire qu’il y a existence de trois ondes longitudinales pouvant se propager vers les x négatifs ou positifs puisque k et –k sont solutions de (2.49).

Figure 2.7 : Comparaison des courbes de dispersion entre la théorie élémentaire (-) et la théorie de Muller (--).

Les courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie du premier ordre en traction sont comparées à celles de la théorie élémentaire sur la figure 2.7. A partir de ces courbes, on constate qu’à basse fréquence la théorie présente des résultats identiques à celle de la théorie élémentaire. On peut vérifier cette affirmation à partir d’une analyse asymptotique. En effet, si l’on cherche les vitesses limites lorsque la fréquence tend vers zéro (ou bien lorsque les longueurs d’ondes sont grandes), on obtient les valeurs suivantes :

( )( )1,2

0 0

3 2A EAc

J J

µ λ µλ µ

+= ± = ±

+ (2.51)

A plus haute fréquence, on observe des écarts entre les deux théories. La première est due à la dispersion de l’onde principale et la seconde à l’apparition des deux ondes secondaires. Les fréquences de coupure des ondes secondaires peuvent être obtenues en cherchant la fréquence pour laquelle le nombre devient nul. En menant le calcul, on détermine deux fréquences de coupure :

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )1 2 2 2

2 2

1/ 42 2

2 2 2 2

1, 2

2 2

2 16

Y Z

Y Z

Y Z Y Z

f f A J JJ J

J J J J

λ µπ

λ µ µ λ µ

= + +

± + + − +

(2.52)

Enfin, à fréquences très élevées, l’étude asymptotique nous permet de déterminer les vitesses suivantes :

( )

1,2 3,4 5,62 2 0

2 , , Z Y

Z Y

AI Ic c c

J J J

λ µµ µ += ± = ± = (2.53)

46

On constate que les vitesses de l’onde principale et de la première onde secondaire tendent vers la

vitesse des ondes de cisaillement Sc µ ρ= , tandis que pour la deuxième onde secondaire, la

vitesse tend vers l’onde de pression ( )2Pc λ µ ρ= + . D’après les travaux de [Muller, 1983], la

vitesse de l’onde principale doit tendre vers la vitesse de l’onde de Rayleigh Rc . C’est pourquoi, on introduit un coefficient pondérateur qui va permettre d’ajuster la vitesse limite de l’onde principale. Si l’on définit le coefficient Rα de la façon suivante :

2

2R

RS

c

cα = (2.54)

et que l’on l’introduit dans l’expression des moments yM et zM (cf. équation (2.43)), on obtient :

0 0,xz R Z xy R YM I M Ix x

ψ ϕα µ α µ∂ ∂= =∂ ∂

(2.55)

Les vitesses limites obtenues à partir des nouvelles expressions de yM et zM sont alors :

( )

1,2 3,4 5,60

2 , , R R

Ac c c c c

J

λ µ+= ± = ± = (2.56)

Comme convenu, en introduisant le coefficient pondérateur, on constate à partir de (2.56) que la vitesse limite de l’onde principale est bien celle de l’onde de Rayleigh. Pour bien appréhender l’influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des trois ondes longitudinales, nous avons représenté, à titre d’exemple, les courbes de dispersion d’une poutre isotrope à section rectangulaire pour plusieurs valeurs de Rα (figure 2.8).

Figure 2.8 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : αR=1 (-) et αR=0.8 (--).

2.2.3.2 Théorie de Gopalakrishnan Pour modéliser les poutres composites stratifiées à haute fréquence, il faut faire appel à la théorie

du premier ordre en traction proposée par [Gopalakrishnan et al., 2007]. Cette théorie est comparable à

47

celle de Muller dans l’approche ; toutefois, la poutre est modélisée uniquement dans le plan (x,z). De ce fait, la résultante yN et le moment yM schématisés à la figure 2.6 ne sont plus pris en compte dans

cette théorie. En suivant la même approche que la théorie de Muller, les équations du mouvement pour une poutre composite stratifiée à section rectangulaire sont :

20

0 0 2

20

0 2 2

:

:

x

zz Y

N uu J

x t

MN J

x t

δ

ψδψ

∂ ∂= ∂ ∂

∂∂ − = ∂ ∂

(2.57)

En utilisant les relations entre la résultante ( ),x zN N , le moment zM et les déplacements ( )0 0,u ψ

développées annexe B.3 qui sont :

0 0 011 13 0 13 33 0 55 , , x z z

u uN A A N A A M D

x x x

ψψ ψ∂ ∂ ∂= + = + =∂ ∂ ∂

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (2.58)

on est en mesure d’exprimer les équations du mouvement (2.57) en fonction uniquement des

déplacements ( )0 0,u ψ :

2 20 0 0

11 13 02 2

2 20 0 0

55 13 33 0 22 2Y

u uA A J

x x t

uD A A J

x x t

ψ

ψ ψψ

∂ ∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∂

ɶ ɶ

ɶ ɶɶ

(2.59)

A partir des équations (2.59), nous pouvons analyser la dispersion des ondes en postulant le champ de déplacement sous forme d’une onde plane harmonique :

( ) ( )0 0 , i t kx i t kxu Ue eω ωψ− −= = Ψ (2.60)

En introduisant (2.60) dans (2.59), on en déduit le système d’équation suivant :

2 2

0 11 132 2

13 2 55 33

0

0Y

UJ A k ikA

ikA J D k A

ωω

− − = Ψ− −

ɶ ɶ

ɶ ɶɶ (2.61)

La relation de dispersion recherchée est ensuite obtenue en calculant le polynôme caractéristique de (2.61) :

4 22 1 0 0A k A k A+ + = (2.62)

avec : iA les coefficients définis par :

( )( )

2 11 55

2 2 21 11 33 13 11 2 0 55

2 20 2 33 0

Y

Z

A A D

A A A A A J J D

A J A J

ω ω

ω ω

=

= − − −

= −

ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ

(2.63)

48

Les solutions obtenues à partir de (2.62) correspondent aux nombres d’ondes associés à l’onde principale et secondaire. Du fait que k et k− sont solution de (2.62), il y a pour chaque type d’ondes une onde se propageant vers les x positifs et un onde se propageant vers les x negatifs. Si l’on effectue une analyse asymptotique à basses fréquences de la relation de dispersion, on obtient les vitesses limites suivantes :

( )2

11 33 13

1,2 3,433 0

, A A A

c cA J

−= ± = ±∞

ɶ ɶ ɶ

ɶ (2.64)

En analysant ces vitesses limites calculées pour les différents cas d’application présentés à la section 2.4, nous verrons que cette théorie convient pour modéliser uniquement certaines stratifications du matériau composite stratifié. Nous n’avons donc pas présenté l’analyse de dispersion à hautes fréquences car, n’étant pas généralisable à l’ensemble des stratifications, cette théorie conviendrait peu si elle était implémentée dans un code de calcul. Pour poursuivre ce travail, il faudrait donc s’intéresser à d’autres théories, comme par exemple celle de Touratier (cf. section 1.3.2), si l’on veut contourner l’usage des éléments solides lorsque la théorie élémentaire est limitée.

2.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE

Dans cette seconde partie de l’étude, nous présentons la méthode WFE qui permettra, à partir de ses prévisions, d’évaluer la validité des théories de poutres. Le choix de cette méthode a été conditionné principalement par le fait qu’elle est à la fois simple à mettre en oeuvre et prédictive sur une large bande fréquentielle. Pour l’adapter à nos besoins, des travaux complémentaires sur sa convergence ont été menés car, nous le verrons, les critères de convergence proposés dans la littérature sont inadaptés dès que l’on s’intéresse à la dispersion des ondes à hautes fréquences.

2.3.1 Formulation A l’origine, différents travaux ont été initiés par [Mead, 1973] en vue de simuler le comportement

dynamique des structures en MF et HF à partir de la théorie des structures périodiques (PST, Periodic Structure Theory). Dans ces travaux, l’auteur propose de caractériser dans un premier temps les ondes planes harmoniques pouvant se propager à travers une période de la structure (cellule), puis ensuite d’estimer, à partir d’une superposition ondulatoire (calcul analytique), la réponse dynamique de la structure complète. Par la suite, des travaux ont été proposés par [Thompson, 1993] afin d’étudier la propagation des ondes à hautes fréquences dans les rails de chemin de fer. Afin de prendre en compte la section complexe du rail, l’auteur couple la FEM et la PST, ce qui lui permet alors de ne pas être limitée fréquentiellement pour déterminer les caractéristiques ondulatoires (courbes de dispersion, déformées de section). Dans les deux travaux précédents, les caractéristiques ondulatoires sont calculées à partir d’un problème aux valeurs propres polynomiales d’ordre deux qui peut s’avérer délicat à résoudre. C’est pourquoi, [Zhong et al., 1995] propose de reformuler le problème aux valeurs propres en s’appuyant sur une description en variables d’état. S’en suit alors le travail de [Houillon, 1999] qui adapte la méthode WFE afin qu’elle puisse être formulée à partir d’éléments finis standard proposés dans les codes de calcul. De ce fait, il sera possible de généraliser la méthode WFE à l’ensemble des structures périodiques sans avoir recours à de nouveaux éléments finis, comme c’est le cas pour la méthode SAFE (cf. 1.4.3.2). Grâce aux différents développements proposés par [Houillon, 1999], différents travaux ont pu être proposés afin d’analyser les caractéristiques ondulatoires pour des structures complexes. On notera par exemple le travail de [Mencik et al., 2006] dans lequel on cherche à estimer les caractéristiques ondulatoires d’une poutre submergée par un fluide, ou bien encore le travail de [Akrout, 2005] sur les poutres à section creuses. Dans cette section, nous allons tout d’abord revenir sur la définition d’une structure 1D-périodique afin de dresser certaines hypothèses d’étude. Ensuite, nous écrirons les équations du mouvement en suivant l’approche prise par [Houillon, 1999]. A partir de ces équations, nous formulerons le problème aux valeurs propres permettant de caractériser

49

les ondes pouvant se propager librement dans les structures 1D-périodiques. Enfin, nous verrons de quelle manière les courbes de dispersion ont été post traitées à partir des valeurs et vecteurs propres.

2.3.1.1 Définition d’une structure 1D-périodique

Figure 2.9 : Structure 1D-périodique.

Tout d’abord, définissons le terme de structure « 1D-périodique » pour ainsi bien comprendre les hypothèses d’utilisation de la méthode WFE1D. D’une manière générale, on désigne par structure 1D-périodique, toute structure divisible en sous domaines, appelés cellules, ayant des propriétés géométriques et mécaniques similaires suivant une direction de l’espace (figure 2.9). Dans les problèmes de dynamique des structures, ce type de structures se rencontre souvent. On peut citer par exemple les rails de chemin de fer supportés périodiquement, les structures raidies, etc. Pour ces cas d’applications, la période est clairement définie par l’espacement des supports ou des raidisseurs. En ce qui concerne les structures ne comportant aucune modification d’impédance mécanique liée à la présence d’un support ou d’un raidisseur, comme c’est le cas pour les poutres à section constante, la période peut être choisie arbitrairement puisque la structure est divisible en sous domaines de dimension quelconque. Dans ce travail, nous étudierons uniquement ce dernier type de structures 1D-périodiques.

2.3.1.2 Modélisation d’une cellule par éléments finis Dans cette section, nous allons écrire, pour une structure 1D-périodique, l’équation de transfert

modélisant le franchissement d’une cellule à partir de la FEM. Cette équation nous permettra à la section suivante d’extraire les caractéristiques ondulatoires, c’est-à-dire les courbes de dispersion, ainsi que les déformées de la section associées à chaque onde.

Figure 2.10 : Modélisation éléments finis d’une cellule 1D-périodique.

Considérons la cellule p de longueur d discrétisée par la FEM (figure 2.10). À partir de matrices de masse et raideur obtenues par un code de calcul, on peut exprimer dans le domaine fréquentiel l’équation du mouvement discrétisée de la cellule p de la manière suivante :

50

( )[ ] [ ]( ) 2 ˆˆ1pp

iα K ω M u f+ − = (2.65)

avec : [ ]K la matrice de raideur, [ ]M la matrice de masse, ˆ p

f le vecteur des forces nodales de la

cellule p , ˆ pu le vecteur des déplacements nodaux de la cellule p et α le facteur d’amortissement

hystérétique ( pu désigne le spectre de pu ). On notera que dans ce travail nous limitons la discrétisation spatiale à un seul élément suivant la direction de propagation car les cellules étudiées ont toutes une section constante suivant cette direction. Seule la section de la cellule, définie dans le plan

( ),x y , peut comporter plusieurs éléments. La technique de condensation, présentée dans [Akrout,

2005] pour décrire la cellule uniquement à partir des noeuds de sections, ne sera donc pas employée dans cette thèse.

Maintenant, reformulons l’équation du mouvement en introduisant la matrice de rigidité dynamique

définie par [ ] ( )[ ] [ ]21D iα K ω M= + − , et décomposons le vecteur des forces nodales et le vecteur

des déplacements nodaux sur les sections gauche (indice L) et droite (indice R) de la cellule. L’équation du mouvement (2.65) devient alors :

ˆˆ

ˆˆ

pp

LL LR L L

RL RR R R

D D u f

D D u f

=

(2.66)

Ensuite, à partir des deux vecteurs d’état suivants :

ˆ ˆ

, ,ˆ ˆ

p p

L R

L R

u u

f f

− (2.67)

on réécrit l’équation (2.66) de la façon suivante :

[ ]ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

L R

L R

u uT

f f

= −

(2.68)

avec la matrice de transfert de la cellule p définie par

[ ]1 1

1 1LR LL LR

RL RR LR LL RR LR

D D DT

D D D D D D

− −

− −

−= − + −

(2.69)

En exprimant la continuité des déplacements et l’équilibre des forces entre les cellules p et 1+p , on est en mesure de relier le vecteur d’état de la section gauche de la cellule p à celui de la section

gauche de la cellule 1+p comme suit :

1ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

L R

L R

u u

f f

+ =

− (2.70)

51

Finalement, en remplaçant (2.70) dans (2.68), on détermine l’équation de transfert reliant les vecteurs d’état de la section gauche des cellules p et 1p + :

[ ]1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

L L

L L

u uT

f f

+ =

(2.71)

Pour certains cas d’applications, il peut être délicat de calculer la matrice de transfert [ ]T car, si l’on

analyse la relation (2.69), on constate que LRD doit être inversible. De plus, même si LRD est inversible, des problèmes de conditionnement peuvent survenir. C’est pourquoi, [Zhong et al., 1995] propose une nouvelle formulation de l’équation de transfert afin de pallier ces problèmes. Si l’on considère les matrices suivantes :

[ ] [ ]0 0 , n n

LL RL RL RR

I IL N

D D D D

= = − −

(2.72)

on montre facilement que :

[ ] [ ]1 1ˆ ˆˆ ˆ

, ˆ ˆˆ ˆ

p pp pL RL L

R RL R

u uu uL N

u uf f

+ + = =

(2.73)

A partir des expressions (2.73) et de la relation (2.71), on détermine une nouvelle équation de transfert qui s’exprime :

[ ] [ ]1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

L L

R R

u uN L

u u

+

=

(2.74)

Tout d’abord, il faut noter que :

[ ] [ ][ ] 1T N L

−= (2.75)

Ensuite, si l’on analyse les relations (2.73), on constate que les matrices [ ]N et [ ]T ne nécessitent

plus l’inversion de LRD , ce qui confirme donc que cette nouvelle formulation sera plus adaptée lors de

la résolution du problème aux valeurs propres que nous aborderons dans la section suivante.

2.3.1.3 Caractérisation des ondes A partir du modèle éléments finis décrit dans la section précédente, nous allons pouvoir caractériser

les différentes ondes. Pour ce faire, on va bâtir à partir du théorème de Floquet une relation qui traduit la différence de phase entre les sections de la cellule p lorsqu’une onde plane harmonique se propage.

Formulation du problème aux valeurs propres

Si l’on exprime premièrement le vecteur d’état de la section gauche sous forme d’ondes planes harmoniques comme suit :

52

ˆˆ

,ˆ ˆ

p

L L ikx

L L

u Ue

f F

− =

(2.76)

on peut exprimer à partir du théorème de Floquet, l’égalité entre les vecteurs d’état des cellules p et

1p + du fait que la structure soit périodique d’une longueur d . Cette relation s’exprime :

1ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

L L

L L

u u

f fλ

+ =

(2.77)

avec : djkxe−=λ la constante de phase. Cette relation est bien entendu valable pour les vecteurs d’état de la section droite :

1ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

R R

R R

u u

f fλ

+ =

(2.78)

Fort des relations (2.77) et (2.78), on peut formuler un problème aux valeurs propres polynomiales qui, en le solutionnant, nous permettra d’obtenir les caractéristiques des différentes ondes. Si l’on consulte la littérature, on distingue trois variantes pour formuler ce problème. La première est celle proposée par [Mead, 1973]. Elle consiste à injecter les relations (2.77) et (2.78) dans l’équation du mouvement (2.66) pour ainsi obtenir le problème aux valeurs propres suivant :

[ ] [ ] [ ]( ) 1 ˆ 0LR LL RR RL LD D D D uλ λ −+ + + = (2.79)

A une pulsation ω donnée, ce système revient alors à un problème aux valeurs propres polynomial d’ordre deux difficile à résoudre. C’est pourquoi, on propose plutôt d’injecter les relations (2.77) et (2.78)dans l’équation de transfert (2.74), proposée par [Zhong et al., 1995], ce qui nous permettra d’obtenir un problème aux valeurs propres mieux posé qui s’exprime :

[ ] [ ]N LλΦ = Φ (2.80)

avec : iλ les valeurs propres et R

L

ui

i ui

φφ

Φ =

les vecteurs propres.

Le problème (2.80) est un problème aux valeurs propres généralisé d’ordre un. Il est donc plus simple à résoudre d’un point numérique que le problème (2.79). De ce fait, une grande majorité des travaux utilise la formulation (2.80). Par ailleurs, on peut remarquer que les solutions de (2.80) s’exprime directement à partir de celles de (2.73). En effet, si l’on se réfère à [Zhong et al., 1995], on constate que les valeurs propres sont identiques et que les vecteurs propres sont reliés à partir des expressions (2.73). Dans les cas d’applications proposés dans la section 2.4, nous nous sommes donc basés sur la formulation (2.80) pour caractériser les différentes ondes.

Liens entre les valeurs et vecteurs propres et les caractéristiques ondulatoires

Maintenant, analysons les relations entre les valeurs et vecteurs propres, obtenues à partir de (2.80) et les caractéristiques ondulatoires recherchées (vitesse de phase, déformées de section). En définissant n comme étant le nombre de déplacements nodaux d’une section, on peut dire qu’il existe n2 valeurs

propres iλ et vecteurs propres iΦ à la pulsation kω . Physiquement, une valeur propre iλ représente

53

la constante de phase, et un vecteur propre iΦ représente la déformée de la section de la i -ème onde.

Pour calculer le nombre d’ondes d’une onde i à partir de iλ , il suffit simplement d’employer la

relation suivante :

( )log i

ikjd

λ=

− (2.81)

En analysant les valeurs prises par les nombres d’ondes, on constate qu’il existe à la pulsation ω , n ondes se dirigeant vers les x positifs (partie réelle positive), et n ondes se dirigeant vers les x négatifs (partie réelle négative). Par ailleurs, on distingue trois types d’ondes : les ondes progressives (k purement réel), les ondes évanescentes (k purement imaginaire) et enfin les ondes complexes ( k complexes). Pour bien distinguer les liens existants, une synthèse est proposée au tableau 2.1.

Type d’onde λ λ k

progressive

( ) ( )Re Imλ λ≪ 1≈ ( ) ( )Re Imk k≫

complexe

( ) ( )Re Imλ λ≈ 1< ( ) ( )Re Imk k≈

évanescente

( ) ( )Re Imλ λ≫ 1< ( ) ( )Re Imk k≪

Tableau 2.1 : Liens entre les valeurs propres et les nombres d’ondes.

2.3.1.4 Post traitement des courbes de dispersion A partir de la WFE1D présentée précédemment, il est possible d’afficher, pour une pulsation

donnée kω , les nombres d’ondes ainsi que les déformées de section de l’ensemble des ondes.

Seulement, en pratique, on souhaite plutôt pouvoir afficher, pour une onde donnée, l’évolution de son

nombre d’ondes ainsi que sa déformée de section sur un ensemble de pulsations [ ]1 nω ω⋯ . Dans ce

cas, il est nécessaire d'identifier, pour chaque onde, les nombres d’ondes et les déformées qui lui sont

associés sur l’ensemble des pulsations [ ]1 nω ω⋯ . Pour réaliser ce post traitement, on apparie tout

d’abord les différentes valeurs et vecteurs propres ( ),i

λ Φ déterminés aux pulsations kω et 1kω + .

Pour ce faire, deux méthodes ont été proposées dans la littérature. La première méthode, proposée par [Houillon, 1999], s’appuie sur le Modal Assurance Criterion (MAC) développé en analyse modale pour apparier les modes propres à partir des déformées modales. Dans le cadre de la WFE1D, ce

critère est extrapolé pour apparier les ( ),i

λ Φ à partir des déformées de section. A titre d’exemple, si

l’on souhaite apparier à une déformée uiφ déterminée à la pulsation kω , l’une des déformées ujφ

déterminée à la pulsation 1kω + , il faut que le MAC :

( )( )( )( )

t u u t u ui j j i

t u u t u ui i j j

MACφ φ φ φ

φ φ φ φ

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ (2.82)

54

soit supérieur à une valeur donnée comprise entre 0 et 1 ( ujφ représente le conjugué de u

jφ ).

Figure 2.11 : Post traitement des courbes de dispersion.

La seconde méthode, proposée par [Zhong et al., 1995], s’appuie quant à elle sur le fait qu’à une pulsation donnée kω , les vecteurs propres iΦ vérifient la propriété suivante :

[ ] 10 si Tj n i j iJ λ λ−Φ Φ = = (2.83)

avec : [ ]nJ la matrice définie par

[ ] 0

0n

nn

IJ

I

= −

(2.84)

55

A partir de cette propriété, [Zhong et al., 1995] proposent d’apparier au vecteur propre ( )i kωΦ , le

vecteur propre ( )1j kω +Φ , si ce dernier maximise la quantité suivante :

( )( ) [ ] ( )( )1

T

i k n j kJω ω +Φ Φ (2.85)

Pour que ce critère soit valide, il faut que les vecteurs propres ( )kωΦ se différencient peu des

vecteurs propres ( )1kω +Φ car sinon (2.85) ne peut être apparentée à (2.83). En pratique, cette

hypothèse semble vérifiée dès lors que l’écart entre kω et 1kω + est faible.

Ensuite, une fois les ( ),i

λ Φ appariés entre kω et 1kω + par l’une des deux méthodes, il suffit d’itérer

l’opération sur [ ]1 nω ω⋯ pour ainsi obtenir le post traitement désiré. Pour les applications présentées

à la section 2.4, le post traitement mis en place pour afficher les courbes de dispersion est celui schématisé à la figure 2.11. A partir de ce schéma, on constate que seules les ondes progressives sont

post traitées. De plus, la méthode retenue pour apparier les ( ),i

λ Φ est celle proposée par [Houillon,

1999], ceci en raison de sa simplicité de mise en œuvre.

2.3.2 Programmation La programmation de la WFE1D est l’un des avantages majeurs de la méthode par rapport aux

autres méthodes semi-analytiques (cf. section 1.4.3). En effet, comme on peut le constater sur le schéma à la figure 2.12, elle repose sur l’utilisation de logiciels standard fréquemment utilisés par les industriels et les universitaires, ce qui facilite ainsi fortement sa programmation. La première étape consiste à extraire les matrices de masse et de raideur à partir du code Abaqus/Standard. Pour ce faire, il suffit d’établir un modèle EF de la cellule en utilisant la librairie d’EF standard implémentée dans le code et de les extraire à partir de la fonction proposée par le code. Une fois ces matrices extraites, on résout le problème aux valeurs propres (2.80) sur l’ensemble des pulsations, à partir d’une méthode de résolution standard que l’on retrouve dans le logiciel Matlab. Enfin, en programmant le post traitement discuté à la section 2.3.1.4, on est finalement en mesure d’afficher la courbe de dispersion ainsi que les déformées de section d’une ou plusieurs ondes sur la bande fréquentielle d’étude.

Figure 2.12 : Programmation de la méthode WFE1D.

2.3.3 Analyse de convergence Les prévisions obtenues à partir de la WFE1D peuvent être dégradées en raison d’erreurs

numériques liées à l’utilisation de la FEM. À titre d’exemple, on compare sur la figure 2.13, les courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie élémentaire à celles calculées à partir de la WFE1D lorsque la cellule est modélisée à partir d’un élément fini de poutre. Théoriquement, les résultats devraient être identiques car il s’agit du même modèle physique. Or, on remarque qu’à partir d’une certaine fréquence les prévisions de la WFE1D se dégradent par rapport à la référence

56

analytique. Pour comprendre l’origine de ces erreurs, un travail a été mené dans [Waki et al., 2006]. A partir des résultats de son travail, l’auteur a mis en avant trois sources d’erreur possibles.

La première source d’erreur est liée au mauvais conditionnement de la matrice de transfert [ ]T .

Elle se caractérise par l’apparition de valeurs propres artificielles lors de la résolution du problème aux valeurs propres (2.80). Pour réduire ces erreurs, l’auteur recommande d’utiliser la formulation de [Zhong et al., 1995] présentée à la section 2.3.1.3.

La seconde source d’erreur provient de la discrétisation par EF de la cellule. Cette erreur, négligeable en BF, s’amplifie à mesure où la fréquence augmente car les longueurs d’ondes mises en jeu deviennent de plus en plus faibles par rapport à la taille des EF. Les travaux, menés par [Duhamel et al., 2003], montrent que pour une cellule modélisée à partir des matrices de masse et de raideur suivantes (élément poutres en traction formulé à partir de la théorie d’Euler-Bernoulli) :

[ ] [ ]1 1 2 1,

1 1 1 26

EA SdK M

d

ρ− = = −

(2.86)

L’erreur relative entre les nombres d’ondes analytiques et numériques reste négligeable à condition que la taille des éléments respecte le critère suivant :

2xd λ π≤ (2.87)

avec : xλ la longueur d’ondes de l’onde longitudinale principale. A partir de (2.87), on retrouve la

conclusion classique stipulant qu’un minimum de six éléments par longueur d’ondes est nécessaire pour obtenir des résultats précis. Par ailleurs, si l’on monte encore plus haut en fréquence, [Akrout, 2005] montre qu’il y a existence d’un phénomène de repliement de spectre (en anglais Aliasing effect), c’est-à-dire l’apparition d’une limite dans la détermination du nombre d’ondes. Pour prédire cette limite, les auteurs ont mis en place un critère de recouvrement analogue à celui de Nyquist-Shannon :

( )Re kd

π< (2.88)

Pour réduire cette erreur liée à la discrétisation FEM, il parait donc trivial de choisir une valeur de d suffisamment faible pour ainsi respecter (2.87) et (2.88). Malheureusement, comme le montre [Waki et al., 2006], une troisième source d’erreur peut être rencontrée lorsque d est trop faible. Cette erreur, liée à la précision des nombres flottants, se manifeste lors du calcul des termes de la matrice de

rigidité dynamique [ ]D .

A partir de cette analyse, nous constatons que les études menées sur les erreurs numériques se limitent à des cellules modélisées à partir d’éléments finis de poutres ou bien à l’analyse des phénomènes de repliement de spectre pouvant être observés pour un maillage donné. Par contre, aucune étude de convergence n’a pour l’instant été proposée afin de garantir la convergence des prévisions WFE1D dès que l’on modélise la cellule à partir d’éléments solides. C’est pourquoi, pour traiter nos cas d’application, nous avons tenté dans un premier temps d’utiliser le critère de convergence (2.87) afin de garantir des prévisions correctes. Malheureusement, comme nous le verrons lors de l’étude de convergence proposée à la section 2.4.4, ce dernier est mis en défaut dès qu’on cherche à prédire la dispersion des ondes à hautes fréquences.

57

Figure 2.13 : Erreur numérique sur les prévisions WFE : (-) théorie élémentaire, (--) WFE1D.

2.4 Applications

Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre la WFE1D et montrer qu’elle est efficace pour étudier la validité des différentes théories de poutres présentées à la section 2.2. Pour cela, nous allons nous appuyer sur deux structures tests : une poutre isotrope à section rectangulaire et une poutre composite stratifiée à section rectangulaire. Un troisième test sera aussi mené afin d’étudier l’influence de la stratification de la poutre composite stratifiée. A travers les comparaisons, nous verrons que les théories de poutres peuvent être limitées sur la bande fréquentielle d’étude fixée à [0-100kHz]. Ces limitations peuvent provenir des prévisions globales (vitesses de phase) et/ou des prévisions locales (déformée de section). De plus, il sera montré que les théories du premier ordre ne peuvent être utilisées pour reproduire les phénomènes de propagation dans certaines configurations d’empilement de la poutre composite stratifiée. Enfin, en ce qui concerne la méthode WFE1D, on constatera à partir d’une analyse de convergence que des erreurs numériques viennent dégrader les prévisions lorsque la cellule est modélisée grossièrement. Pour garantir la fiabilité des prévisions, le critère de convergence discuté à la section 2.3.3 a été employé ; toutefois, on montrera qu’il ne suffit pas pour traiter nos applications.

2.4.1 Poutre isotrope à section rectangulaire La première structure test est une poutre isotrope à section rectangulaire dont les propriétés

géométriques et mécaniques sont regroupées sur la figure 2.14.

Figure 2.14 : Propriétés géométriques et mécaniques de la première poutre test.

58

2.4.1.1 Caractérisation des ondes par WFE1D Dans un premier temps, nous allons analyser les prévisions obtenues à partir de la WFE1D. Ceci

nous permettra de filtrer les ondes qui ne seront pas prises en compte lors de la validation des théories. Pour obtenir ces prévisions, nous avons testé plusieurs maillages toutefois on se contente ici de présenter les prévisions obtenues à partir d’un seul calcul. Les résultats obtenus à partir des autres maillages seront comparés lors de l’étude de convergence à la section 2.4.4. Par ailleurs, les paramètres numériques utilisés pour le calcul WFE1D sont listés dans le tableau 2.2. Ils seront identiques pour les prochains tests.

0f

(kHz) maxf

(kHz)

f∆

(kHz) Amortissement α Critère MAC Critère IMAG

1 100 1 0 0.5 1

Tableau 2.2 : Paramètres numériques WFE1D utilisés pour les tests 1, 2 et 3.

Les figures 2.15 et 2.16 représentent respectivement les courbes de dispersion et les déformées de section calculées à partir de la WFE1D. On constate sur les courbes que onze ondes progressives existent sur la bande [0-100kHz]. A partir de leurs déformées de section, on peut identifier leurs types. A basse fréquence, on retrouve les quatre ondes principales transversale suivant z (TZ0), transversale suivant y (TY0), longitudinale (L0) et de torsion (T0). Ensuite, à partir de 40kHz, on observe l’apparition de deux ondes secondaires, l’onde secondaire transversale suivant y (TY1) et une onde secondaire de flexion cylindrique suivant z qu’on denommera (FCZ1). Enfin, à haute fréquence, on observe cinq nouvelles ondes dont trois correspondent aux ondes secondaires longitudinale (L1), transversale suivant z (TZ1) et de torsion (T1). Pour les comparaisons avec les théories, nous nous restreignons aux ondes longitudinales L0 et L1 ainsi qu’aux ondes transversales suivant z, TZ0 et TZ1 car un choc pyrotechnique sollicite majoritairement la structure longitudinalement et transversalement suivant z. Après cette sélection, il ne nous reste donc plus que quatre ondes sur la bande [0-100kHz].

Figure 2.15 : Courbes de dispersion determinées par WFE1D.

2.4.1.2 Validation des théories de poutres Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées à la

figure 2.17 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A partir de ces comparaisons, on note tout d’abord que la théorie élémentaire est valide jusqu’à 7kHz pour l’onde TZ0 et jusqu’à 50kHz pour l’onde L0. Ce constat n’est pas étonnant car si l’on analyse par exemple les déformées de section de l’onde L0 (figure 2.18), on constate qu’à partir de 50kHz les inerties latérales ne peuvent plus être négligées. Les hypothèses de la théorie élémentaire ne sont donc plus suffisantes pour approcher le comportement dynamique de la poutre.

59

onde TZ0 (1) onde TY0 (2) onde T0 (3)

onde L0 (4) onde TY1 (5) onde FCZ1 (6)

onde (7) onde (8) onde T1 (9)

onde TZ1 (10) onde L1 (11)

Figure 2.16 : Déformées de section déterminées par la WFE1D.

En ce qui concerne la théorie de Muller, on constate qu’elle n’est valide jusqu’à 50kHz tout comme la théorie élémentaire. Ceci paraît surprenant car dans la théorie de Muller, les inerties latérales sont prises en compte. Une explication peut toutefois être donnée. Si l’on observe précisément la déformée de section à 50kHz (figure 2.18), on constate que le champ de déplacement présente une distribution demi-sinusoïdale dans la largeur de la poutre. Or dans la théorie de Muller, les mécanismes de déformation pris en compte ne peuvent approcher de manière exacte ce type de déformation (cf. section 2.2.3). Cette explication peut d’ailleurs aussi être utilisée pour expliquer les différences observées pour l’onde L1.

Enfin, pour la théorie du premier ordre en flexion, on observe à partir des courbes qu’elle prédit parfaitement la dispersion de l’onde TZ0 sur la bande [0-100kHz]. On peut d’ailleurs faire une remarque intéressante sur cette conclusion en analysant l’évolution de la déformée de section de l’onde à la figure 2.19. On observe que la section de la poutre ne reste pas plane à partir de 50kHz tout comme l’onde L0. Or, dans la théorie du premier ordre en flexion, on postule une hypothèse selon laquelle la section reste plane. On peut donc dire que les prévisions locales (déformée de section) sont erronées ; toutefois, en ce qui concerne les prévisions globales (vitesse de phase), les résultats sont en accord avec la référence. Cette remarque déjà faite par d’autres chercheurs [Muller, 1983] est très

60

intéressante car elle montre bien que les théories élémentaires ou approchées peuvent convenir pour prédire certaines grandeurs et pas d’autres. Pour l’onde TZ1, on observe un léger décalage sur la fréquence de coupure qui peut toutefois être corrigé en ajustant précisément le coefficient pondérateur. Ce coefficient a été fixé conformément aux recommandations du code de calcul, c’est-à-dire à 0.85.

Figure 2.17 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories d’Euler-Bernoulli (bleu), Timoshenko (vert), Muller (rouge) et la WFE1D (noir).

Le premier test proposé dans cette section montre clairement la limite des différentes théories. La conclusion majeure apportée par ce test est la suivante : la théorie du premier ordre en traction (théorie de Muller) n’offre aucune amélioration par rapport à la théorie élémentaire pour les poutres à section rectangulaire. Cette conclusion est intéressante car dans le cadre des poutres à section circulaire, la théorie du premier ordre en traction (théorie de Mindlin-Herrmann) donne de meilleurs résultats que la théorie élémentaire [Graff, 1991]. Finalement, pour modéliser la structure test en traction, il faut tester d’autres théories approchées (cf. tableau 1.1) ou bien se contenter d’utiliser des éléments finis solides. Pour le comportement dynamique en flexion suivant z, la théorie du premier ordre en flexion convient mais uniquement si l’on s’intéresse à des prévisions globales (vitesse de phase, nombre d’ondes). Par contre, en ce qui concerne les prévisions locales (déformée de section), il est nécessaire d’enrichir la théorie car elle ne tient pas compte de tous les mécanismes de déformation existant dans la bande de fréquence.

Figure 2.18 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.

Figure 2.19 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.

61

2.4.2 Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » à section rectangulaire

La seconde structure test est une poutre composite stratifiée à section rectangulaire dont les propriétés géométriques et mécaniques sont regroupées à la figure 2.20. Pour ce test, nous choisirons premièrement d’orienter tous les plis composites à 0°, c'est-à-dire parallèles à la direction de propagation.

Figure 2.20 : Propriétés géométriques et mécaniques de la seconde et troisième poutre test.

2.4.2.1 Caractérisation des ondes par WFE1D Les courbes de dispersion ainsi que les déformées de section calculées à partir de la WFE1D sont

représentées aux figures 2.21 et 2.22.

Figure 2.21 : Courbes de dispersion déterminées par WFE1D.

On constate à partir de ces prévisions qu’il y a existence de onze ondes progressives sur la bande fréquentielle [0-100kHz]. On peut grâce à leur déformée de section identifier le type de chacune de ces ondes. A basse fréquence, on remarque la présence des quatre ondes TZ0, TY0, L0 et T0. A mesure où l’on monte en fréquence, on constate l’apparition de différentes ondes secondaires à partir de 25kHz. La première onde secondaire observée est l’onde FCZ1. Ensuite, à partir de 40kHz, on observe l’apparition de la deuxième onde secondaire qui est cette fois l’onde TY1. Enfin, au delà de 50kHz, on voit apparaître quatre nouvelles ondes secondaires dont trois correspondent aux ondes FCZ2, L1 et FCZ3. Pour la suite, nous allons conserver uniquement les ondes TZ0, L0, L1 afin de les comparer aux prévisions calculées à partir de théories de poutres en vue de les valider.

2.4.2.2 Validation des théories de poutres Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées sur

la figure 2.23 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A partir de ces comparaisons, on note tout d’abord que la théorie élémentaire est incapable de prédire le comportement en flexion suivant z . Inversement, elle est valide jusqu’à 40 kHz pour prédire le comportement en traction de la poutre composite stratifiée.

62

onde TZ0 (1) onde TY0 (2) onde T0 (3)

onde L0 (4) onde FCZ1 (5) onde TY1 (6)

onde (8) onde FCZ2 (9) onde L1 (10)

onde FCZ3 (11)

Figure 2.22 : Déformées de section déterminées par WFE1D.

Maintenant, en ce qui concerne les théories du premier ordre, on constate que, pour la théorie de Gopalakrishnan, les prévisions sont correctes jusqu’à 40kHz. Au delà de cette fréquence, la vitesse de l’onde L0 n’est plus correctement prédite, en particulier sur la bande (40-90kHz), là où les phénomènes de dispersion deviennent complexes. Pour expliquer cet échec, on doit analyser l’évolution de la déformée de section associée à l’onde L0. Sur la figure 2.24, on voit très clairement apparaître trois mécanismes de déformation de la section : une déformation axiale, une déformation latérale suivant z et une déformation latérale suivant y. Les deux premiers mécanismes sont très bien reproduits à partir de la théorie de Gopalakrishnan ; par contre, le troisième ne peut l’être car cette théorie est basée sur des hypothèses de contrainte plane. De part cette explication, on comprend mieux pourquoi la théorie est limitée dans la bande (40-90kHz) pour prédire l’onde L0.

63

Figure 2.23 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories de Euler-Bernoulli (bleu pointillé),

Timoshenko avec α=0.85 (vert), Timoshenko avec α=0.9 (vert pointillé),Gopalakrishnan (rouge) et la WFE1D (noir).

Pour le comportement en flexion de la poutre, on constate que la théorie du premier ordre en flexion est apte à reproduire la vitesse de l’onde TZ0 ; toutefois, à condition de modifier le coefficient pondérateur. En effet, comme on peut le constater à la figure 2.23, les prévisions obtenues à partir d’un coefficient de 0.85 montrent des divergences par rapport aux courbes calculées par WFE1D. En affectant une valeur de 0.9 à ce coefficient, on remarque alors que les prévisions s’améliorent en particulier la vitesse asymptotique à haute fréquence ; toutefois des écarts persistent à basses fréquences. Pour tenter de comprendre ces écarts, nous pouvons analyser l’évolution de la déformée de section de l’onde TZ0 représentée à la figure 2.25. On visualise alors bien le déplacement transverse mais pas la rotation de la section alors que l’on s’attend à l’observer sur la bande de fréquence [0-100kHz]. Ceci est sans doute dû au fait que nous analysons uniquement les déformées de section à partir de leurs champ de déplacement, or il faudrait pour mieux se rendre compte des mécanismes de déformation post traiter le champ de déformation de la section.

Figure 2.24 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.

Pour cette seconde structure test, nous pouvons donc conclure que les différentes théories en traction sont incapables de donner des prévisions globales (vitesse de phase, nombre d’ondes) et locales (déformées) tandis que la théorie du premier ordre en flexion donne des prévisions globales correctes sur la dispersion des ondes ; toutefois, des validations complémentaires devront être apportées car les post traitements proposés ne sont pas suffisants. En vue des simulations à partir du code explicite que nous aborderons au chapitre 4, nous retiendrons qu’il faut modéliser les structures à partir d’éléments solides si l’on veut pouvoir prédire avec précision la propagation d’un choc sur la bande [0-100kHz].

64

Figure 2.25 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.

2.4.3 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » à section rectangulaire Dans ce troisième test, nous cherchons à savoir si, lorsque l’on modifie la stratification d’une

poutre composite stratifiée, les conclusions apportées sur la validité des théories sont sensiblement les mêmes ou bien si elles sont à revoir complètement. Dans le dernier cas, il faudrait mettre au point un nouveau modèle numérique qui alourdirait alors le temps de mise au point d’une simulation puisque les éléments finis ne seraient alors pas les mêmes. Pour évaluer l’influence de la stratification, nous allons considérer la même structure test que celle définie à la section 2.4.2. Les propriétés géométriques et mécaniques seront donc celles données sur la figure 2.20. La stratification choisie pour ce troisième test est la suivante : [45/-45/0/90]8S ce qui correspond à une stratification dite « quasi-isotrope ».

Figure 2.26 : Courbes de dispersion déterminées par WFE1D.

2.4.3.1 Caractérisation des ondes par WFE1D Les courbes de dispersion ainsi que les déformées de section calculées à partir de la WFE1D sont

représentées sur les figures 2.26 et 2.27. On observe à partir des courbes de dispersion l’existence de six ondes progressives dont quatre sont des ondes principales et deux sont des ondes secondaires. Pour identifier le type d’ondes, on observe les déformées qui leur sont associées (figure 2.27). Pour les basses fréquences, on retrouve les quatre ondes classiques c’est-à-dire les ondes TZ0, TY0, L0 et T0. A plus hautes fréquences, les ondes qui apparaissent sont identifiées comme étant les ondes FCZ1 et FCZ2 (flexion cylindriques suivant z). Pour la validation des théories que nous allons présenter ensuite, seules les ondes TZ0 et L0 seront conservées.

2.4.3.2 Validation des théories de poutres Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées à la

figure 2.28 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A travers ces comparaisons, on constate tout d’abord que la vitesse de phase de l’onde L0 est correctement prédite par la théorie élémentaire sur la bande [0-100kHz]. Si l’on analyse les prévisions locales, c’est-à-dire qu’on analyse l’évolution de la déformée de section (figure 2.29), on remarque que la section ne reste plus plane à partir de 80kHz, ce qui veut dire que les hypothèses de la théorie élémentaire sont insuffisantes à partir de cette fréquence.

65

onde TZ0 (1) onde TY1 (2) onde T0 (3)

onde L0 (4) onde FCZ1 (5) onde FCZ2 (6)

Figure 2.27 : Déformées de section déterminées par WFE1D.

Pour la théorie de Gopalakrishnan, on constate, contrairement à la seconde structure test, que les prévisions sont incorrectes, quelle que soit la fréquence. Cette observation se fait simplement à partir des vitesses de phase ; toutefois, elle est moins claire lorsque l’on analyse les nombres d’ondes car comme on peut le voir à la figure 2.28, il semble alors que les nombres d’ondes prédits soient en accord avec les résultats WFE1D. Cette remarque est intéressante car elle montre une nouvelle fois que la validation d’une théorie dépend fortement de la grandeur physique que l’on cherche à simuler. On conçoit donc que, lorsque l’on mène une étude de validation, il est important de bien mettre en avant les grandeurs qui seront prises comme référence. Par exemple, dans notre cas, on s’est intéressé aux courbes de dispersion (nombres d’ondes ou vitesse de phase) et aux champs de déplacement dans la section de la poutre (déformée de section). On aurait pu prendre aussi des grandeurs comme les vitesses de groupe (globale), ou bien le champ de déformation dans la section de la poutre (locale).

Figure 2.28 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories de Euler-Bernoulli (bleu pointillé), Timoshenko avec α=0.85 (vert), Timoshenko avec α=0.913 (vert pointillé),Gopalakrishnan (rouge) et la

WFE1D (noir).

66

Figure 2.29 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.

Ceci étant dit, on va désormais discuter de la validité de la théorie du premier ordre en flexion. D’après la figure 2.28, on constate que les vitesses de phase et les nombres d’ondes sont correctement prédits, à condition de prendre un coefficient pondérateur de 0.913 et non 0.85 afin d’éviter le léger écart observé à hautes fréquences sur la comparaison des nombres d’ondes et ainsi, éviter des erreurs de dispersion d’origine physique lors de simulations. Pour les prévisions locales, on constate là aussi que la théorie du premier ordre en flexion est correcte à partir de l’évolution de la déformée de section représentée à la figure 2.30.

Figure 2.30 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.

Finalement, on conclut à partir de ce troisième test que lorsqu’on travaille sur une bande fréquentielle fixe et que l’on modifie la stratification d’une poutre composite stratifiée ; dans ce cas, il faut reconduire systématiquement une étude de validité car les prévisions changent significativement, ce qui fait qu’on peut être amené à revoir nos conclusions. En effet, lorsque les plis sont orientés à [0]32S, on constate qu’il est nécessaire d’utiliser des éléments solides si l’on veut prédire le comportement dynamique en flexion et en traction de la poutre. A contrario, lorsque les plis sont orientés à [45/-45/0/90]8S, on constate que les éléments solides sont à utiliser uniquement pour prédire le comportement en traction, car celui en flexion peut être correctement prédit à partir des éléments finis poutres formulés par la théorie du premier ordre en flexion, à condition de bien ajuster le coefficient pondérateur a priori.

2.4.4 Convergence des prévisions calculées à partir de la WFE1D Pour établir les prévisions des différents tests, nous avons préalablement mené plusieurs calculs

WFE1D en vue d’analyser la convergence des solutions obtenus. Pour ce faire, nous nous sommes basés sur le critère de convergence discuté dans la section 2.3.3. Ce critère stipule qu’un minimum de six éléments par longueurs d’ondes suffit pour obtenir des prévisions fiables. Or, comme nous l’avons déjà fait remarquer, il existe plusieurs longueurs d’ondes mises en jeu lorsque l’on étudie la dispersion d’ondes à hautes fréquences. En effet, il y a celle dans la direction de propagation mais aussi celles dans les directions perpendiculaires à la propagation. C’est pourquoi, nous proposons de mener l’étude de convergence en deux étapes. Tout d’abord, on fait varier la taille des éléments suivant la direction de propagation. Dans ce cas, on applique le critère discuté à la section 2.3.3. Puis, dans la deuxième partie de l’étude, on fait varier le nombre d’éléments dans la section de la poutre. Enfin, il est aussi important de noter que nous nous sommes intéressés dans cette étude uniquement à des maillages réguliers. Pour d’autres types de poutres comme par exemple les poutres à section circulaires, il faudrait aussi tenir compte de cette source d’erreur.

67

2.4.4.1 Influence de la discrétisation dans la direction de propagation Dans cette section, nous allons faire varier uniquement la taille des éléments solides dans la

direction de propagation. Les différents maillages utilisés sont ceux représentés à la figure 2.31. On constate bien à partir de cette figure que le nombre d’éléments reste identique dans les directions perpendiculaires à la propagation. La taille de ces éléments est fixée à 3 millimètres (mm) suivant les directions z et y . En ce qui concerne la taille des éléments suivant x , elle varie entre 0.6 et 10 mm.

Maillage très grossier (nx = 10 mm) Maillage grossier (nx = 5 mm)

Maillage fin (nx = 1 mm) Maillage très fin (nx=0.6 mm)

Figure 2.31 : Maillages utilisés pour étudier l’influence de la discrétisation dans la direction de propagation.

Les courbes de dispersion obtenues à partir des différents maillages sont représentées à la figure 2.32. A travers ces comparaisons, on constate, tout d’abord, que la taille des éléments influence les prévisions à mesure que la fréquence augmente, ce qui paraît tout à fait normal puisque l’on emploie la FEM. Par ailleurs, les erreurs observées montrent qu’on a tendance à surévaluer les prévisions pour ce qui est des nombres d’ondes et donc, à sous évaluer les vitesses de phase. Maintenant, si on s’intéresse à la taille des éléments, on peut dire que les prévisions convergent dès lors que l’on prend une taille inférieure ou égale à 1 mm. La longueur d’ondes maximum étant de 225 rad/m, cela nous donne un total de 28 éléments par longueur d’ondes. Si l’on prend un total de 6 éléments par longueur d’ondes (courbe bleue), on constate sur les courbes de dispersion que le comportement en flexion est correctement reproduit mais pas le comportement en traction, en particulier lorsque l’onde devient dispersive. Pour ce test, nous avons donc mis en défaut le critère proposé à la section 2.3.3. Pour comprendre cet échec, il faut revoir les conditions dans lesquelles ce critère a été défini. En effet, l’étude menée par [Duhamel et al., 2003] était basée sur des éléments poutres en traction qui ne reproduisent pas la dispersion de l’onde principale longitudinale. Or c’est principalement la raison pour laquelle ce critère est mis en défaut. On en conclut donc que ce critère ne peut être généralisé lorsque l’on utilise des éléments finis solides.

68

Figure 2.32 : Comparaison des courbes de dispersion pour les maillages très grossier (vert), grossier (bleu), fin

(rouge) et très fin (noir).

2.4.4.2 Influence de la discrétisation de la section de la poutre Dans la section précédente, nous avons vu qu’il fallait au minimum 28 éléments par longueur

d’ondes dans la direction de propagation afin d’assurer la convergence des résultats. Nous avions volontairement raffiné le maillage afin de ne pas observer d’écarts liés à la discrétisation dans la section de la poutre. Or, comme nous l’avons dit en introduction, la discrétisation dans la section peut aussi jouer un rôle dans la convergence des solutions. C’est pourquoi, nous avons aussi fait varier entre 2 mm et 9 mm la taille des éléments dans les directions perpendiculaires à la propagation (figure 2.33). On notera que ces éléments ont des tailles identiques dans les directions perpendiculaires et que leur taille dans la direction de propagation est inférieure à 1 mm.

Maillage très grossier (ny=nz=9 mm) Maillage grossier (ny=nz=6 mm)

Maillage fin (ny=nz=3 mm) Maillage très fin (ny=nz=2 mm)

Figure 2.33 : Maillages utilisés pour étudier l’influence de la discrétisation dans la section de la poutre.

69

Les courbes de dispersion obtenues à partir des différents maillages sont représentées à la figure 2.34. A travers ces comparaisons, on remarque une nouvelle fois qu’à mesure où l’on monte en fréquence les erreurs s’amplifient. De plus, on peut dire que, quand le maillage est grossier, les fréquences de coupure prédites ont une tendance à être sous évaluées, que ce soit pour les ondes L1 et TZ1. En ce qui concerne les ondes principales, on constate que les erreurs interviennent principalement sur l’onde longitudinale et en particulier lorsque cette dernière est dispersive.

Figure 2.34 : Comparaison des courbes de dispersion pour les maillages très grossier (vert), grossier (bleu), fin

(rouge) et très fin (noir).

2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié la validité des éléments poutres dans le cadre de la propagation d’ondes. En particulier, nous nous sommes interessés à la capacité de ces éléments à reproduire la dispersion des ondes. Pour ce faire, nous avons choisi de comparer les courbes de dispersion calculées à partir des différentes théories de poutre à celles obtenues par la méthode WFE1D. Le choix de la méthode WFE1D a été conditionné par le fait que la méthode garantit des résultats fiables sur le domaine fréquentiel d’étude. A travers les différentes applications présentées, nous avons démontré l’intérêt de notre approche dans le cadre des poutres composites stratifiées à section rectangulaire. En particulier, nous avons pu montrer qu’on était à même de déceler les limites des différentes théories, en ce qui concerne la reproduction de grandeurs globales, comme les vitesses de phase ou bien les nombres d’ondes (courbes de dispersion), mais aussi de grandeurs locales comme la distribution du champ de déplacement dans le section de la poutre (déformées de section). Finalement, grâce à ce travail, nous pouvons affirmer que le paramétrage physique (théories de poutres) des EF proposés par les codes de calcul ne répond pas entièrement aux besoins industriels, que ce soit pour simuler le comportement dynamique en traction ou en flexion d’une poutre. Dans le premier cas, cette limitation est due principalement au fait que les éléments ne permettent pas de reproduire la dispersion de l’onde longitudinale principale, tandis que dans le second cas, ceci vient du fait qu’il faille ajuster a priori un coefficient pondérateur pour obtenir des résultats prédictifs. En conclusion, on peut dire que l’introduction de nouveaux éléments dans les codes parait nécessaire si l’on veut optimiser la taille des modèles et ainsi éviter d’avoir recours systématiquement aux éléments solides, comme ce sera le cas lors des calculs transitoires présentées au chapitre 4.

71

Chapitre 3

Modélisation de la propagation d’ondes dans les

plaques composites stratifiées

3.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va chercher à établir la limite d’utilisation des éléments finis plaques dans le cadre des études sur la propagation d’ondes. Pour ce faire, nous allons reprendre la démarche proposée au chapitre 1 pour les éléments finis poutres, c’est-à-dire que nous allons étudier la capacité des théories de plaque, utilisées pour formuler les éléments, à reproduire les phénomènes de dispersion. Ces phénomènes sont proches de ceux rencontrés dans les poutres ; toutefois, il faut tenir compte en plus de la directivité des ondes car elles peuvent se propager dans plusieurs directions. L’analyse de validité se fera donc à partir des courbes de dispersion mais aussi à partir des plans d’ondes. De ce fait, on évaluera si la dépendance de l’onde par rapport à la fréquence et à la direction de propagation est correcte. A nouveau, nous compléterons cette analyse de validité en étudiant le champ de déplacement dans l’épaisseur (déformée d’épaisseur) de la plaque pour chaque type d’ondes. Ainsi, on sera en mesure d’apporter des meilleures conclusions sur la validité des théories, lors des applications présentées en fin de ce chapitre, car on tiendra compte de leur capacité à prédire des grandeurs globale (vitesses de phase, nombres d’ondes) et locale (champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque).

3.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de plaques

Dans cette première partie, nous allons conduire une analyse sur la dispersion à partir des théories élémentaires et approchées utilisées pour formuler les éléments finis plaques dans les codes de calcul. On écrira pour chaque théorie les équations du mouvement, ce qui nous permettra ensuite, en postulant le champ de déplacement sous forme d’ondes planes harmoniques, de déterminer les caractéristiques ondulatoires associées à chaque type d’ondes. Toute la difficulté dans ce travail provient à nouveau de la prise en compte d’un matériau composite stratifié. En effet, dans la plupart des études proposées dans la littérature, on se restreint bien souvent aux stratifications dites « symétriques » (orientation des plis identiques par rapport au feuillet moyen de la plaque) afin de simplifier l’étude. Dans l’analyse proposée ici, nous ne postulerons aucune hypothèse sur la stratification afin que notre analyse puisse être généralisable aux matériaux composites non symétriques. Enfin, nous porterons à nouveau une attention particulière sur les coefficients pondérateurs car ils peuvent jouer un rôle important sur la dispersion des ondes.

72

3.2.1 La théorie élémentaire (CLPT) La théorie élémentaire présentée dans [Stavsky, 1961] est analogue à la théorie de Kirchhoff-Love,

développée pour les plaques isotropes, car elle repose sur les hypothèses classiques utilisées en résistance des matériaux : 1) l’épaisseur h est petite devant la longueur et la largeur de la plaque, 2) le déplacement suivant l’épaisseur est supposé linéaire, 3) La section droite de la plaque reste perpendiculaire au feuillet moyen. Pour tenir compte de ces hypothèses, le champ de déplacement est formulé de la façon suivante :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

00

00

0

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

wu x y z t u x y t z

xw

v x y z t v x y t zy

w x y z t w x y t

∂= −∂

∂= −∂

=

(3.1)

avec : ( )0 0 0, ,u v w les déplacements du feuillet moyen.

Figure 3.1 : Mécanismes de déformation dans la théorie CLPT.

A partir de ce champ de déplacement, on peut déduire le champ de déformation. Pour cela, on s’appuie sur la théorie linéaire de l’élasticité, ce qui nous donne :

2 20 00 0 0 0 0

2

200 0

2

0

, 2 2

, 2 0

0 , 2 0

xx xx x xy xy xy xy

yy yy y xz xz

zz yz yz

u w u v wz z z z

x x y x x y

v wz z

y y

w

z

ε ε κ γ ε γ κ

ε ε κ γ ε

ε γ ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = = + − = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + + = =∂ ∂∂= = = =∂

=

=

(3.2)

avec : ( )0 0 0, ,xx yy xyε ε γ les déformations membranaires et ( ), ,x y xyκ κ κ les courbures. A partir des

expressions (3.2), on vérifie que les cisaillements transverses xzγ et yzγ sont bien négligés dans la

théorie élémentaire, ce qui veut dire que 3) est bien vérifié puisque aucun gauchissement de la section de la plaque n’est pris en compte. Désormais, exprimons les variations d’énergie cinétique et potentielle de la plaque :

73

( )

( )xx xx yy yy xy xyV

V

U dv

T u u v v w w dv

δ σ δε σ δε σ δγ

δ ρ δ δ δ

= + +

= + +

∫

∫ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

(3.3)

En intégrant suivant l’épaisseur de la plaque les expressions (3.3), on obtient :

( )

0 0

2 22

02 2

0 0 0 0 0 0 0

2

xy xy yyxx

S

xy yyxx

S

N N NNU u v

x y x y

M MMw dS

x x y y

T J u u v v w w dS

δ δ δ

δ

δ δ δ δ

∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂+ + + ∂ ∂ ∂ ∂

= + +

∫

∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

(3.4)

avec : ijN les résultantes membranaires, ijM les moments de flexion (voir la figure 3.1 pour la

définition des résultantes et des moments) et 0J la masse surfacique définis par :

2 2 2

02 2 2, ,

xx xx xx xxh h h

yy yy yy yyh h h

xy xy xy xy

N M

N dz M zdz J dz

N M

σ σσ σ ρσ σ

− − −

= = =

∫ ∫ ∫ (3.5)

avec : h l’épaisseur totale de la plaque. A partir des énergies (3.4), on détermine, via le principe de Hamilton, les équations du mouvement de la plaque. En l’absence de forces extérieures appliquées sur la plaque, ces équations s’expriment :

20

0 0 2

20

0 0 2

2 22 20

0 02 2 2

:

:

: 2

xyxx

xy yy

xy yyxx

NN uu J

x y t

N N vv J

y x t

M MM ww J

x x y y t

δ

δ

δ

∂∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.6)

Les équations (3.6) dépendent des résultantes ijN et des moments ijM . Or, si l’on veut effectuer une

analyse de dispersion à partir de ces équations, nous avons besoin qu’elles soient exprimées uniquement à partir des déplacements 0 0 0( , , )u v w . Pour ce faire, on introduit dans (3.6) l’expression

des résultantes et des moments en fonction des déplacements, détaillées en annexe A.2, ce qui permet ainsi de réécrire les équations (3.6) de la façon suivante :

( )

( )

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

11 16 66 16 12 66 262 2 2 2

3 3 3 3 20 0 0 0 0

11 16 12 66 26 03 2 2 3 2

2

3 2

u u u v v vA A A A A A A

x x y y x x y y

w w w w uB B B B B J

x x y x y y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.7)

74

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

16 12 66 26 66 26 222 2 2 2

3 3 3 3 20 0 0 0 0

16 12 66 26 22 03 2 2 3 2

4 4 4 4 40 0 0 0

11 16 12 66 26 224 3 2 2 3

2

2 3

4 2 2 4

u u u v v vA A A A A A A

x x y y x x y y

w w w w vB B B B B J

x x y x y y t

w w w wD D D D D D

x x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

04

3 3 3 30 0 0 0

11 16 12 66 263 2 2 3

3 3 3 3 20 0 0 0 0

16 12 66 26 22 03 2 2 3 2

3 2

2 3

w

y

u u u uB B B B B

x x y x y y

v v v v wB B B B B J

x x y x y y t

∂∂ ∂ ∂ ∂− − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Fort des équations (3.7), nous allons désormais pouvoir étudier la dispersion des ondes en postulant le champ de déplacement sous forme d’une onde plane harmonique de la manière suivante :

( ) ( )( )( )

0cos sin

0

0

i k r i t

u U

v V e e

w W

θ θ θ ω+ −

=

(3.8)

En introduisant l’expression (3.8) dans les équations du mouvement (3.7), on en déduit alors un système d’équation d’ordre trois ayant pour déterminant :

2 2 31 2 3 4

2 2 33 5 2 6

3 3 44 6 7 2

0

a k a a k a k

a k a k a a k

a k a k a k a

++ =

− (3.9)

avec : les coefficients ia définis par :

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

1 11 16 66

2

2 0

2 2

3 16 12 66 26

3 2 2

4 11 16 12 66

3

26

2 2

5 66 26 22

6 16

cos 2 cos sin sin

cos cos sin sin

cos 3 cos sin 2 cos sin

sin

cos 2 cos sin sin

cos

a A i A i i A i

a J i

a A i A A i i A i

a B i B i i B B i i

B i

a A i A i i A i

a B i

θ θ θ θ

ω

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ

θ θ θ θ

= + +

= − −

= + + +

= − − − +

−

= + +

= − ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

3 2 2

12 66 26

3

22

4 3 2 2

7 11 16 12 66

3 4

26 22

2 cos sin 3 cos sin

sin

cos 4 cos sin 2 2 cos sin

4 cos sin sin

B B i i B i i

B i

a D i D i i D D i i

D i i D i

θ θ θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ

− + −

−

= + + +

+ +

(3.10)

75

Finalement, si l’on calcule le polynôme caractéristique de ce déterminant, on obtient la relation de dispersion souhaitée. Cette relation s’exprime :

( ) ( )

( ) ( )2 2 2 8 2 2 6

1 5 7 1 6 3 7 3 4 6 4 5 2 5 7 1 2 7 2 6 4 2

2 2 4 2 2 2 .32 7 3 2 1 5 2 5 2 1 2 2

2

0

a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a k

a a a a a a a k a a a a k a

− − + − + + − −

+ + − − + − = (3.11)

Les racines de la relation (3.11) sont au nombre de huit et correspondent aux nombres d’ondes ik

associés aux ondes principales S0, A0, SH0 et à l’onde secondaire A1 (cf section 1.3.3 pour les notations). En règle générale, les expressions des nombres d’ondes sont complexes car elles tiennent compte des différents couplages existant dans une plaque composite stratifiée. Toutefois, pour s’en faire une idée, nous allons considérer une plaque composite stratifiée dont l’empilement est symétrique par rapport à la fibre neutre de la plaque, ce qui évitera ainsi le couplage flexion/membrane. Par ailleurs, pour les ondes Sn et SHn, l’expression des nombres d’ondes peut se complexifier en fonction de la direction de propagation. En effet, d’après [Prosser et al., 1994], on remarque que, pour les ondes Sn, le champ de déplacement est purement longitudinal lorsque l’onde se propage dans les axes d’orthotropie du matériau alors que dans les autres directions, le champ de déplacement est quasi longitudinal, c’est-à-dire principalement longitudinal avec une composante transversale. Pour les ondes SHn, les propriétés sont identiques, sauf que cette fois, le champ de déplacement est purement transversal dans les axes d’orthotropie et quasi transversal partout ailleurs. Si l’on considère que 0° est un axe d’orthotropie du matériau, alors les nombres d’ondes associées aux différentes ondes S0, A0, SH0 dans cette direction s’expriment de la façon suivante :

0 0 0

11 22 114

0 0 0

, , S SH A

A A Dc c c

J J Jω= = = (3.12)

Maintenant, si l’on considère une direction hors axe d’orthotropie comme par exemple 45°, les nombres d’ondes s’expriment dans cette direction :

( )

( )( )

0 0

0

11 66 22 22

0 0

11 16 12 66 26 224

0

2 ,

4

4 2 2 4

4

S SH

A

A A A R Ac c

J J

D D D D D Dc

Jω

+ + += =

+ + + + +=

(3.13)

avec :

( ) ( )( ) ( )2 2

11 66 22 11 66 22 66 12 662 4 4R A A A A A A A A A= + + − + + + +

A partir des expressions (3.12) et (3.13), nous pouvons dire que, dans les directions d’orthotropie, les ondes S0 et SH0 sont non dispersives aussi bien à basses fréquences qu’à hautes fréquences.

Pour ce qui est de l’onde A0, on constate qu’à haute fréquence la vitesse de phase tend vers l’infini, ce qui vent donc dire que la CLPT est limitée à partir d’une certaine fréquence. Enfin, pour l’onde secondaire A1, le nombre d’ondes est purement complexe (onde évanescente) sur toute la bande fréquentielle. Là encore, on peut affirmer que la théorie CLPT est limitée, car elle ne peut prédire le passage à l’état progressif de l’onde A1. A titre d’exemple, les courbes de dispersion obtenues à partir des expressions (3.11) pour une plaque isotrope sont tracées à la figure 3.2.

76

Figure 3.2 : Exemple de courbes de dispersion.

3.2.2 La théorie du premier ordre en flexion (FSDT) Dans la section précédente, nous avons montré que la théorie élémentaire permettait uniquement

d’analyser la dispersion des ondes à basses fréquences. Nous devons donc employer une autre théorie si l’on veut pouvoir caractériser les ondes principales et secondaires à des fréquences plus élevées. On peut donc utiliser la FSDT proposée par [Whitney et al., 1970] qui revoit l’hypothèse 3) de la théorie élémentaire en tenant compte des déformations liées au cisaillement transverse, ainsi que des inerties de rotation de section. Du fait de ces nouvelles hypothèses, le champ de déplacement doit être reformulé de la manière suivante :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

0

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , ,

x

y

u x y z t u x y t z x y t

v x y z t v x y t z x y t

w x y z t w x y t

φφ

= +

= +

=

(3.14)

Comme on peut le constater, le champ de déplacement dépend maintenant de cinq degrés de liberté et non trois, comme c’était le cas pour la théorie élémentaire. Les deux nouveaux degrés de liberté

( ),x yφ φ utilisés pour modéliser la plaque correspondent aux rotations suivant les axes Ox et Oy .

Figure 3.3 : Mécanismes de déformation dans la théorie FSDT.

A partir du champ de déplacement (3.14), on calcule, via la théorie linéaire de l’élasticité, le nouveau champ de déformation de la plaque comme suit :

77

0 00 0 0

00 0

0 0

, 2

, 2

0 , 2

yx xxx xx x xy xy xy xy

yyy yy y xz xz x

zz yz yz y

u u vz z z z

x x y x y x

v wz z

y y x

w w

z y

φφ φε ε κ γ ε γ κ

φε ε κ γ ε φ

ε γ ε φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = = + + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + = + = = +∂ ∂ ∂

∂ ∂= = = = +∂ ∂

(3.15)

A partir de (3.15), on constate bien que, désormais, les déformations xzγ et yzγ liées au cisaillement

transverse sont prises en compte par la théorie FSDT. Maintenant, si l’on calcule les variations des énergies cinétique et potentielle de la façon suivante :

( )

( )xx xx yy yy xy xy yz yz xz xzV

V

U dv

T u u v v w w dV

δ σ δε σ δε σ δγ σ δγ σ δγ

δ ρ δ δ δ

= + + + +

= + +

∫

∫ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

(3.16)

et qu’on les intègre suivant l’épaisseur de la plaque, on obtient :

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2

xy xy yy yxx x

S

xy xy yyxxx x y y

x y x xS

N N N QN QU u v w

x y x y x y

M M MMQ Q dS

x y x y

T J u J u J v J v J u J

δ δ δ δ

δφ δφ

δ φ δ φ δ φ δφ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + − ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +

∫

∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ

( )1 0 2 0 0 0y yJ v J J w w dSφ δφ δ+ + +ɺɺɺɺ ɺɺ

(3.17)

avec : xQ et yQ les résultantes associées aux efforts tranchants (voir la figure 3.3 pour la définition

des résultantes) qui sont définies par :

2

2

hx xz

hy yz

Qdz

Q

σσ−

=

∫ (3.18)

Pour déterminer les équations du mouvement, on applique le principe de Hamilton à partir des variations d’énergie (3.17). En l’absence de forces extérieures, ces équations prennent la forme suivante :

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0

:

:

:

xyxx

y xyy

yx

NNu J u J

x y

N Nv J v J

y x

QQw J w

x y

δ φ

δ φ

δ

∂∂ + = +∂ ∂

∂ ∂+ = +

∂ ∂∂∂ + =

∂ ∂

ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

ɺɺ

(3.19)

78

1 0 2

1 0 2

:

:

xyxx x x

y xyy y y

MMQ J u J

x y

M MQ J v J

y x

δφ φ

δφ φ

∂∂ + − = +∂ ∂

∂ ∂+ − = +

∂ ∂

ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

Avant même de caractériser la dispersion des ondes, il est nécessaire d’exprimer les équations du

mouvement uniquement à partir des déplacements ( )0 0 0, , , ,x yu v w φ φ . Pour cela, on utilise les

relations entre les résultantes, les moments et les déplacements déterminés en annexe A.3. En injectant ces relations dans (3.19), les équations (3.19) se réécrivent :

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

11 16 66 16 12 66 26 112 2 2 2 2

2 2 22 2 2 20

16 66 16 12 66 26 0 12 2 2 2 2

2 2 20 0 0

16 12 66 262

2

2

x

y y yx x x

u u u v v vA A A A A A A B

x x y y x x y y x

uB B B B B B J J

x y y x x y y t t

u u uA A A A

x x y

φ

φ φ φφ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂

( )

2 2 2 20 0 0

66 26 22 162 2 2 2

2 2 2 22 2 20

12 66 26 66 26 22 0 12 2 2 2 2

2 2 20 0 0

55 45 452 2

2

2

2

x

y y y yx x

y yx x

v v vA A A B

y x x y y x

vB B B B B B J J

x y y x x y y t t

w w wF F F

x x y x y x y y

φ

φ φ φ φφ φ

φ φφ φ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + + + + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

20

0 2

2 2 22 2 2

11 16 66 16 12 66 262 2 2 2

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

11 16 66 16 12 66 262 2 2 2

0 055 45 1

2

2

y y yx x x

x y

wJ

t

D D D D D D Dx x y y x x y y

u u u v v vB B B B B B B

x x y y x x y y

w wF F J

x y

φ φ φφ φ φ

φ φ

∂= ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ − + − + = ∂ ∂

( )

( )

2 20

22 2

2 2 22 2 2

16 12 66 26 66 26 222 2 2 2

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

16 12 66 26 66 26 222 2 2 2

0 045 44

2

2

x

y y yx x x

x y

uJ

t t

D D D D D D Dx x y y x x y y

u u u v v vB B B B B B B

x x y y x x y y

w wF F J

x y

φ

φ φ φφ φ φ

φ φ

∂ ∂+∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ − + − + = ∂ ∂

220

1 22 2

yvJ

t t

φ∂∂ +∂ ∂

(3.20)

79

A présent, à partir de (3.20), on peut déterminer la relation de dispersion. Pour cela, on doit postuler le champ de déplacement sous forme d’une onde plane harmonique :

( ) ( )( )( )cos sin

0 0 0

i k r i tx y x yu v w U V W e eθ θ θ ωφ φ + − = Φ Φ

(3.21)

avec : ( ), , , ,x yU V W Φ Φ les amplitudes associées aux ddl ( )0 0 0, , , ,x yu v w φ φ . En introduisant

ensuite (3.21) dans (3.20), on obtient un système d’équations d’ordre cinq dont le déterminant vaut :

2 2 2 21 2 3 4 5 6

2 2 2 23 7 2 6 8 5

29 2 10 11

2 2 2 24 5 6 10 12 13 14 15

2 2 2 26 8 5 11 14 15 16 17

0

0

00 0

a k a a k a k a a k

a k a k a a k a k a

a k a a k a k

a k a a k a k a k a a k a

a k a k a a k a k a a k a

+ ++ +

=++ − + +

+ − + +

(3.22)

où : ia sont les coefficients définis par :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

2 2

1 11 16 66

2

2 0

2 2

3 16 12 66 26

2 2

4 11 16 66

2

5 1

2 2

6 16 12 66 26

2

7 66 26

cos 2 cos sin sin

cos cos sin sin

cos 2 cos sin sin

cos cos sin sin

cos 2 cos sin

a A i A i i A i

a J i

a A i A A i i A i

a B i B i i B i

a J i

a B i B B i i B i

a A i A i i

θ θ θ θ

ω

θ θ θ θ

θ θ θ θ

ω

θ θ θ θ

θ θ

= + +

= − −

= + + +

= + +

= − −

= + + +

= + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2

22

2 2

8 66 26 22

2 2

9 55 45 44

10 55 45

11 45 44

2 2

12 11 16 66

2

13 55 2

2

14 16 12 6

sin

cos 2 cos sin sin

cos 2 cos sin sin

cos sin

cos sin

cos 2 cos sin sin

cos

A i

a B i B i i B i

a F i F i i F i

a F i F i

a F i F i

a D i D i i D i

a F J i

a D i D D

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ θθ θ

θ θ θ θ

ω

θ

+

= + +

= + +

= +

= +

= + +

= − − −

= + +( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

6 26

15 45

2 2

16 66 26 22

2

17 44 2

cos sin sin

cos 2 cos sin sin

i i D i

a F

a D i D i i D i

a F J i

θ θ θ

θ θ θ θ

ω

+= −

= + +

= − − −

(3.23)

Finalement, la relation de dispersion cherchée est obtenue en calculant le polynôme caractéristique du déterminant (3.22). Les nombres d’ondes solutions de cette relation sont au nombre de dix ; toutefois on peut en distinguer cinq pour lesquelles l’onde se dirige vers les x positifs et cinq pour lesquelles

80

l’onde se dirige vers x négatifs. Par ailleurs, ces nombres d’ondes ik sont associés aux trois ondes

principales S0, A0, SH0 et aux deux ondes secondaires A1, SH1. À l'inverse de la théorie CLPT, nous n’allons pas tenter d’analyser les expressions analytiques de ces nombres d’ondes car elles sont trop complexes, ceci quel que soit le type de stratification ou de direction de propagation. Néanmoins, pour ce faire une idée des améliorations apportées par la FSDT, nous avons comparé à la figure 3.4 les courbes de dispersion d’une plaque isotrope calculées à partir de la CLPT et de la FSDT. A partir de ces comparaisons, la vitesse de l’onde A0 ne tend plus vers l’infini à hautes fréquences. De plus, la théorie FSDT prédit bien le comportement progressif des ondes secondaires A1, SH1 à partir d’une certaine fréquence de coupure. Enfin, on constate que seules les vitesses des ondes S0 et SH0 calculées par la FSDT restent inchangées par rapport à la CLPT.

Figure 3.4 : Comparaison des courbes de dispersion calculées par la théorie CLPT (--) et FSDT (-).

Influence du coefficient pondérateur

Dans la théorie FSDT développée précédemment, nous avons dû introduire un coefficient pondérateur afin d’établir une expression analytique des efforts tranchants xQ et yQ (cf. annexe A.3).

Ce coefficient peut influencer significativement le comportement dynamique de la plaque. Nous devons donc appréhender de quelle manière il modifie la dispersion des ondes. Pour cela, nous avons fait varier la valeur du coefficient pondérateur et nous avons comparé les courbes de dispersion obtenues à la figure 3.5. A partir de cette comparaison, on peut constater que le coefficient modifie principalement la vitesse limite de l’onde A0 à hautes fréquences, ainsi que les fréquences de coupure des ondes A1 et SH1. De ce fait, il est possible, en ajustant la valeur de ce coefficient, d’approcher au mieux les résultats expérimentaux. Pour les plaques isotropes, la valeur de ce coefficient est généralement fixée à 5/6 pour que les énergies de déformation soient égales lorsque l’on considère une distribution constante ou parabolique du cisaillement transverse dans l’épaisseur de la plaque [Reddy, 2003]. Cette valeur convient bien pour traiter les problèmes statiques ; toutefois, comme le montre

[Graff, 1991], il est préférable de le fixer à 2 12π si l’on veut prédire de façon exacte la fréquence de coupure de l’onde A1. On constate donc que la valeur de ce coefficient peut varier en fonction du type de problème traité. De plus, lorsque la plaque est constituée d’un matériau composite stratifié, il se peut aussi que ce coefficient prenne des valeurs différentes en fonction de la stratification du matériau [Reddy, 2003]. Dans les cas d’applications présentés dans la section 2.4, nous analyserons si le coefficient pondérateur influence nos prévisions, ceci afin d’évaluer le caractère prédictif de la FSDT dans le cadre de notre problématique.

81

Figure 3.5 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : α = 5/6 (-) et α = 0,6 (- -).

3.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE

Dans la section précédente, une approche analytique a été proposée pour calculer les courbes de dispersion associées aux ondes se propageant dans une plaque modélisée à partir des théories CLPT et FSDT. En vue d’analyser leur validité, nous proposons à travers cette section d’étendre la méthode WFE présentée au chapitre précédent au cas des plaques.

3.3.1 Extension de la formulation au cas des plaques Pour étendre la méthode WFE, nous nous sommes tout d’abord intéressés au travail de [Hinke et

al., 2004] dans lequel la plaque est modélisée à partir d’éléments solides en déformation plane. Ce modèle numérique est très intéressant car il revient à considérer que la plaque peut être vue comme une structure 1D périodique. De ce fait, les courbes de dispersion peuvent être évaluées très simplement en utilisant la formulation WFE1D proposée à la section 2.3.1. Nous avons testé cette formulation pour traiter nos cas d’application, ceci afin d’éviter de nouveaux développements ; seulement, nous le verrons à la section 2.4, les prévisions obtenues n’étaient pas à la hauteur de nos attentes, ce qui nous a donc conduit vers les travaux de [Akrout, 2005]. Dans son travail, l’auteur propose une nouvelle formulation de la WFE basée elle aussi sur la PST développée par [Mead, 1973] mais pour les structures 2D-périodiques. Pour bien distinguer cette formulation de la WFE1D, nous utiliserons le terme de WFE2D par la suite. Les exemples numériques proposés dans [Akrout, 2005] montre que la WFE2D prédit correctement les plans d’ondes pour des plaques isotropes et orthotropes. Autrement, on notera aussi les travaux de [Manconi et al., 2007] qui utilise aussi la WFE2D mais cette fois pour étudier la dispersion des ondes dans les coques sandwich cylindriques. La différence notable entre ces deux travaux provient principalement de l’écriture et de la résolution du problème aux valeurs propres permettant de caractériser les ondes. Dans un cas, le problème est résolu dans un système de coordonnées cartésiennes (WFE2D_CART) et, dans l’autre cas, le problème est résolu dans un système de coordonnées cylindriques (WFE2D_CYL). Les solutions obtenues dans les deux cas sont équivalentes ; toutefois, d’un point de vue numérique, il peut exister des différences notables. C’est pour cette raison que nous avons été amenés à apporter des développements supplémentaires à la WFE2D_CYL afin d’être en mesure de traiter les cas d’application présentés dans la section 3.4. Les développements proposés ici ont pour but d’améliorer la résolution numérique du problème aux valeurs propres, mais aussi de proposer des post traitements simples des courbes de dispersion et des plans d’ondes, en utilisant les outils déjà développés pour la WFE1D dans la section 2.3.1.4.

82

3.3.1.1 Définition d’une structure 2D-périodique

Figure 3.6 : Structure 2D-périodique.

Pour qu’une structure soit dite 2D-périodique, il faut qu’elle puisse être divisible en sous domaines, appelés cellules, ayant des propriétés géométriques et mécaniques identiques suivant deux directions de l’espace (figure 3.6). A titre d’exemple, on peut citer les plaques bi raidies, dont la cellule est définie par l’espacement entre les raidisseurs, ou bien encore les plaques sandwich nid d’abeille pour lesquelles la cellule est définie à partir de la géométrie hexagonale du nida. Pour ces deux exemples, la cellule se définie simplement en raison des éléments structuraux placés périodiquement (raidisseur, nida). Néanmoins, les structures continues, comme les plaques ou bien encore les coques cylindriques, peuvent elles aussi être considérées comme des structures 2D-périodiques car elles sont décomposables en cellule de taille arbitraire. Dans cette thèse, nous nous intéressons uniquement aux structures continues.

3.3.1.2 Modélisation par éléments finis d’une cellule Pour analyser le comportement dynamique d’une structure 2D-périodique, nous utiliserons la

même démarche que pour les structures 1D-périodique, c’est-à-dire que nous allons tout d’abord construire un modèle éléments finis de la cellule qui servira ensuite à définir un problème aux valeurs propres. En solutionnant ce problème aux valeurs propres, les caractéristiques ondulatoires (courbes de dispersion, plans d’ondes, déformée d’épaisseur) des différentes ondes pourront être déterminées.

Figure 3.7 : Modélisation par éléments finis d’une cellule 2D-périodique.

Tout d’abord, considérons le modèle éléments finis de la cellule ( ),p q de taille ( ),x yd d représentée

sur la figure 3.7. A partir des matrices de masse [ ]M et de raideur [ ]K calculées à partir d’un code de

calcul, il est possible d’écrire simplement dans le domaine spectral les équations du mouvement de la cellule de la façon suivante :

83

( )[ ] [ ]( ) ( ) ( ),,2 ˆˆ1p qp q

iα K ω M u f+ − = (3.24)

avec : ( ),ˆ

p qu vecteur des déplacements nodaux, ( ),ˆ p q

f vecteur des efforts nodaux et α le facteur

d’amortissement hystérétique (u désigne le spectre de u ). En introduisant la matrice de rigidité

dynamique [ ] ( )[ ] [ ]21D i K Mα ω= + − et en décomposant les vecteurs des déplacements et efforts

nodaux sur les bords, gauche bas LB , gauche haut LT , droit bas RB, droit haut RT , on réécrit l’équation du mouvement (3.24) comme suit :

( ) ( ),,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆ ˆ

p qp q

LBLB LB LB LT LB RB LB RT LB

LT LB LT LT LT RB LT RT LT LT

RB LB RB LT RB RB RB RT RB RB

RT LB RT LT RT RB RT RT RTRT

fD D D D u

D D D D u f

D D D D u fD D D D u f

=

(3.25)

Nota : Le modèle de la cellule se compose uniquement d’un seul élément dans le plan ( ),x y . Seule

l’épaisseur de la cellule peut comporter plusieurs éléments. Nous considérons donc qu’il n’existe aucun nœud interne dans notre modèle numérique. Cette hypothèse est uniquement applicable aux structures continues qui font l’objet de notre étude. En se référant à [Akrout, 2005], le lecteur trouvera une formulation prenant en compte les nœuds internes indispensables pour traiter les structures 2D-périodiques présentant des éléments structuraux, comme par exemple des raidisseurs.

La cellule ( ),p q étant reliée aux cellules ( )1,p q+ , ( ), 1p q+ et ( )1, 1p q+ + par ses bords, on

peut exprimer la continuité des déplacements entre les cellules, ce qui nous donne les relations suivantes entre les vecteurs des déplacements nodaux :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( 1, ) ( , ) ( , 1) ( , ) ( 1, 1) ( , )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

p q p q p q p q p q p q

LB RB LB LT LB RTu u u u u u+ + + += = = (3.26)

De plus, on peut aussi exprimer l’équilibre des efforts nodaux appliquées sur la cellule ( ),p q .

Lorsque aucune force extérieure n’est appliquée sur la cellule, cette relation d’équilibre est la suivante :

( ) ( ) ( ) ( ), 1, , 1 1, 1ˆ ˆ ˆ ˆ 0p q p q p q p q

LB LB LB LBf f f f+ + + +

+ + + = (3.27)

A partir de l’équation du mouvement (3.25) et des relations de continuité (3.26) et d’équilibre (3.27)qui viennent d’être développées, nous allons dans la partie suivante formuler un problème aux valeurs propres nous permettant de caractériser les ondes harmoniques pouvant se propager librement dans une plaque.

3.3.1.3 Caractérisation des ondes Pour caractériser les ondes à partir du modèle EF développé dans la section précédente, on doit tout

d’abord exprimer la différence de phase entre les bords des cellules lorsqu’une onde plane harmonique se propage à travers cette dernière. Pour ce faire, on emploie comme pour les poutres le théorème de Floquet. Ensuite, à partir de cette relation, on formule un problème aux valeurs propres dont les valeurs et vecteurs propres sont liés aux caractéristiques ondulatoires recherchées.

84

Formulation du problème aux valeurs propres

Si l’on exprime premièrement les vecteurs des déplacements et forces nodaux du bord LB sous forme d’ondes planes harmoniques, cela nous donne les expressions suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ,, ˆˆ ˆˆ ,x y x yp qp q p qp q i k x k y i k x k y

LB LB LB LBu U e f F e+ += =

(3.28)

Ensuite, à partir du théorème de Floquet, on peut exprimer l’égalité entre les vecteurs des

déplacements et forces nodaux des cellules ( ),p q , ( )1,p q+ , ( ), 1p q+ et ( )1, 1p q+ + comme

suit :

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ]( )

1, , , 1 ,

1, 1 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ

p q p q p q p q

LB x LB LB y LB

p q p q

LB x y LB

u u u u

u u

λ λ

λ λ

+ +

+ +

= =

= (3.29)

avec : x xik dx eλ −= et y yik d

y eλ −= les constantes de phase suivant les directions de propagation x et

y . De même pour les vecteurs des forces nodales, les expressions sont :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1, , , 1 ,

1, 1 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ

p q p q p q p q

LB x LB LB y LB

p q p q

LB x y LB

f f f f

f f

λ λ

λ λ

+ +

+ +

= =

=

(3.30)

Enfin, en introduisant (3.29) dans (3.26), ainsi que (3.30) dans (3.27), on en déduit les relations

traduisant la différence de phase entre les bords de la cellule ( ),p q :

( )

[ ]( )

,

,

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

p q

LB

p qxLTLB

yRB

x yRT

Iu

Iuu

Iu

Iu

λλ

λ λ

=

(3.31)

et

( ),

1 1 1 1

ˆ

ˆ0

ˆ

ˆ

p q

LB

LTy x x y

RB

RT

f

fI I I I

f

f

λ λ λ λ− − − −

=

(3.32)

Fort de ces relations, il suffit ensuite de remplacer (3.31) dans (3.25) puis de multiplier à droite

l’expression obtenue par 1 1 1 1y x x yI I I Iλ λ λ λ− − − − , ce qui nous donne, après calcul, le système

d’équations suivant :

85

( ) ( ) ( )( ) ( )

[ ]( )

1, , , , , , , ,

1 1 1, , , , , ,

,1 1, , ˆ 0

LB LB LT LT RB RB RT RT LB LT RB RT y LT LB RT RB y

LB RB LT RT x RB LB RT LT x LB RT x y RT LB x y

p q

RB LT x y LT RB x y LB

D D D D D D D D

D D D D D D

D D u

λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

−

− − −

− −

+ + + + + + +

+ + + + + +

+ + =

(3.33)

Si n est le nombre de déplacements nodaux au bord LB , alors les vecteurs des efforts et déplacements nodaux sont de taille 1n× , les matrices ,ij klD de taille n n× et donc de surcroît le

système (3.33) est d’ordre n . En résolvant ce système, on obtient alors 2n solutions (problème aux valeurs propres d’ordre 2).

D’après [Manconi et al., 2007], deux approches existent pour résoudre (3.33). La première consiste à

fixer deux des trois inconnues ( ), ,x yω λ λ pour ainsi se ramener à un problème aux valeurs propres

polynomial d’ordre 2 pour déterminer la troisième inconnue. Le problème aux valeurs propres ainsi obtenu peut ensuite être résolu à partir de techniques numériques implémentées dans les codes comme Matlab. Seulement, cette approche est très intéressante à condition qu’on connaisse a priori deux des

trois inconnues ( ), ,y xω λ λ . Ceci est le cas pour les cylindres car leurs nombres d’ondes

circonférentiel ne peut prendre que des valeurs discrètes. En pratique, on préfère généralement analyser la dispersion des ondes à partir d’une onde plane harmonique exprimée dans un système de coordonnées cylindriques, comme cela a été fait dans la section 3.2 pour les théories de plaque. La formulation WFE2D_CYL proposée dans [Manconi et al., 2007] nous paraît donc plus adaptée à nos besoins que la WFE2D_CART proposée dans [Akrout, 2005] qui emploie quant à elle la première

approche en fixant les inconnues ( ), xω λ .

Pour formuler la WFE2D_CYL, nous devons remplacer dans (3.33) les nombres d’ondes ( ),x yk k par

leurs expressions en coordonnées cylindriques :

( ) ( )cos , sinx yk k k kθ θθ θ= = (3.34)

On fait alors apparaître θ la direction de propagation et kθ le nombre d’ondes suivant la direction de

propagation. En fixant les variables ( ),ω θ connues a priori, le système (3.33) devient un problème

aux valeurs propres transcendentales en kθ , sauf pour les valeurs 2m

mπθ = pour lesquelles le

problème aux valeurs propres est polynomial d’ordre deux en kθ . La résolution des problèmes aux

valeurs propres transcendentaux peut être opérée à partir de techniques numériques ; toutefois, elles

donnent lieu à une infinité de valeurs ( )i

kθ ce qui demande donc un tri car seulement 2n sont

réellement solutions de (3.33). Pour contourner ces difficultés et ainsi pouvoir utiliser la même programmation que pour la WFE1D, nous proposons de fixer θ à zéro et de faire varier le repère du matériau dans le modèle EF. Tout reviendra alors à considérer un modèle EF par direction de propagation iθ , ce qui permettra ensuite de n’avoir qu’à traiter des problèmes aux valeurs propres

polynomiaux d’ordre deux de la forme suivante :

86

( )( )( )( ) [ ]( )

2, , , ,

, , , ,

, , , ,

,

, , , , ˆ 0

LB RB LT RT RB LT LB RT x

LB LB LT LT RB RB RT RT x

LB LT RB RT LT LB RT RB x

p q

RB LB RT LT LT RB RT LB LB

D D D D

D D D D

D D D D

D D D D u

λ

λ

λ

+ + +

+ + + +

+ + + +

+ + + + =

(3.35)

Pour bien distinguer la nouvelle formulation de la WFE2D_CYL par rapport à celle de [Manconi et al., 2007], nous les avons comparé sur la figure 3.8.

Figure 3.8 : Les formulations de la WFE2D_CYL : (a) formulation proposée (b) formulation de

[Manconi et al, 2007].

Liens entre les valeurs et vecteurs propres et les caractéristiques ondulatoires

Une fois le problème aux valeurs propres résolu pour ( ),ω θ fixée, on se retrouve en possession

des 2n solutions ( )1 2

,ix i i n

λ=

Φ⋯

. A partir de ces solutions, on peut déduire les nombres d’ondes ikθ à

partir de la relation suivante :

( )log i

xi

x

kjdθ

λ=

− (3.36)

En examinant les valeurs des nombres d’ondes calculées précédemment, on constate qu’il existe différents types d’ondes. La moitié d’entre elles a un nombre d’ondes à partie réelle positive et une seconde moitié pour lesquelles la partie réelle est négative. Cela veut donc dire qu’il y a n ondes se propageant dans la direction positive et n se dirigeant dans la direction négative. Par ailleurs, ces ondes peuvent être de trois formes différentes si l’on compare la partie réelle et la partie imaginaire de leurs nombres d’ondes : évanescente, complexe et progressive. Ces propriétés étant identiques pour la

87

WFE1D et la WFE2D, on peut donc se reporter au tableau 2.1 pour avoir une synthése des liens existant entre les valeurs propres et les nombres d’ondes recherchées.

Enfin, à partir des 2n valeurs propres, iΦ c'est-à-dire, le champ de déplacements suivant l’épaisseur

de la plaque (déformée d’épaisseur), on est en mesure de retrouver les différentes ondes de plaques : les ondes symétriques Sn, les ondes antisymétriques An et les ondes de cisaillement SHn.

3.3.1.4 Post-traitement des courbes de dispersion et des plans d’ondes A partir des résultats obtenus par la WFE2D_CYL, il est possible d’afficher, pour une direction de

propagation 0θ fixée et une pulsation 0ω fixée, les nombres d’ondes ainsi que les déformées

d’épaisseur pour l’ensemble des ondes. En pratique, on souhaiterait plutôt afficher la fonction

( )0,k θ ω (courbe de dispersion) ou bien la fonction ( )0,k θ ω (plan d’ondes) pour une onde donnée.

Pour effectuer un tel post traitement, il faut identifier pour chaque onde les nombres d’ondes et les

déformées d’épaisseur qui leurs sont associées sur l’ensemble des pulsations [ ]1 nω ω⋯ si l’on

souhaite afficher les courbes de dispersion, ou bien sur l’ensemble des directions [ ]1 nθ θ⋯ si l’on

souhaite afficher les plans d’ondes. Ce post traitement peut donc être réalisé simplement en utilisant celui mis en place pour la WFE1D à la section 2.3.1.4.

3.3.2 Analyse de convergence Tout comme la WFE1D, les résultats calculés à partir de la WFE2D_CYL peuvent présenter des

erreurs numériques. Si l’on se reporte à la section 2.3.3, nous avions mis en avant l’origine de ces erreurs, particulièrement celles liées à la discrétisation EF de la cellule. Dans cette analyse, il avait alors été dit que la taille des éléments utilisés pour modéliser la cellule devait respecter un certain critère si l’on voulait restreindre les erreurs et ainsi caractériser précisément la dispersion des ondes. Des tests, semblables à ceux de [Waki et al., 2006], ont été menés par [Manconi et al., 2007] pour évaluer les erreurs numériques pouvant être rencontrées lors d’un calcul WFE2D_CYL. A travers ce travail, l’auteur remarque une nouvelle fois qu’il est nécessaire d’utiliser un minimum de 6 à 10 éléments par longueur d’ondes pour que les nombres d’ondes calculés convergent vers les solutions analytiques. Pour établir ce critère de convergence, des éléments finis de plaques formulés à partir de la théorie de Kirchhoff-Love ont été utilisés. On peut donc penser que, tout comme le critère proposé pour les poutres (cf. section 2.3.3), il peut être mis en défaut à hautes fréquences. Par ailleurs, une étude a aussi été menée dans [Manconi et al., 2007] pour évaluer les erreurs de dispersion sur les plans d’ondes. A partir de cette analyse, on montre que l’erreur fluctue périodiquement par rapport à la direction de propagation θ . De plus, cette analyse nous informe que le maximum de cette erreur est obtenu pour un certain rapport entre les tailles xd et yd de la cellule. Bien qu’intéressante, les

résultats de l’étude menée par [Manconi et al., 2007] ne semblent pas applicables dans notre travail et ceci pour deux raisons. La première vient du fait que nous avons proposé une nouvelle formulation pour la WFE2D_CYL et la seconde vient du fait que l’étude a été effectuée à partir d’éléments de plaques, ce qui veut dire que le critère de convergence risque de ne pas être applicable à hautes fréquences. Des développements sur ce thème sont donc à prévoir.

3.4 Applications

Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre l’extension de la WFE proposée et montrer qu’elle est efficace pour étudier la validité des différentes théories de plaques proposées à la section 3.2. Les deux structures tests qui ont été choisies sont une plaque isotrope et une plaque composite stratifiée. Un troisième test est aussi proposé afin d’étudier l’influence de la stratification sur la validité des théories de plaques. Pour ces différents tests, nous allons procéder comme pour les poutres c’est-à-dire comparer la dispersion des ondes par rapport à des grandeurs globales (nombre d’ondes, vitesses de phase) ainsi que des grandeurs locales (déformée d’épaisseur), ceci afin de rendre nos conclusions suffisament pertinentes sur la limite fréquentielle des théories. En même temps, nous comparerons

88

aussi les prévisions obtenues à partir des trois formulations de la WFE afin de démontrer les améliorations apportées par la WFE2D_CYL par rapport aux WFE2D_CART et WFE1D. Lors des différentes comparaisons, nous verrons que la théorie élémentaire est limitée sur la bande de fréquence étudiée [0-100kHz]. Ces limitations peuvent survenir au niveau des grandeurs globales (vitesses de phase) et/ou locales (champ de déplacement). En ce qui concerne la théorie FSDT, nous allons montrer que cette théorie permet bien de reproduire avec précision les prévisions globales sur toute la bande de fréquence, tandis que pour les prévisions locales elle peut donner des résultats erronés à haute fréquence. De plus, nous verrons que, pour chaque stratification, il est nécessaire d’ajuster le coefficient pondérateur de la FSDT si l’on veut obtenir des prévisions correctes.

3.4.1 Plaque isotrope La première structure test est une plaque isotrope d’une épaisseur de 6 mm dont les propriétés

mécaniques sont regroupées au tableau 3.1. Pour information, ces propriétés ont été choisies arbitrairement afin d’être identiques à celles de la plaque aluminium utilisée lors de la campagne d’essai C1 du pôle chocs pyrotechniques [Dommanget et al., 2005].

( )1E

GPa

( )2E

GPa

( )3E

GPa 12ν 13ν 23ν

( )12G

GPa

( )13G

GPa

( )23G

GPa

( )3

ρ

kg m

70 70 70 0.3 0.3 0.3 2.7 2.7 2.7 2500

Tableau 3.1 : Propriétés mécaniques de la première plaque test.

3.4.1.1 Caractérisation des ondes par WFE Avant même d’étudier la validité des théories CLPT et FSDT, nous allons analyser les prévisions

obtenues à partir des différentes formulations de la WFE discutées à la section 3.3.1. Ces vérifications numériques n’ont pour l’instant fait l’objet d’aucune publication dans la littérature. C’est pourquoi, nous les avons répétées pour chaque structure test afin d’évaluer les limitations des différentes formulations et ainsi justifier l’intérêt des développements effectués. L’objectif final étant bien entendu de se doter d’une approche numérique capable d’être généralisée aux différents cas d’applications.

(a) WFE1D (b) WFE2D

Figure 3.9 : Maillages utilisés pour les calculs WFE1D et WFE2D.

Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL

Tout d’abord, les résultats obtenus à partir de la WFE1D et la WFE2D_CYL sont comparés à la figure 3.10(a), pour les courbes de dispersion dans la direction 0°, et à la figure 3.10(b), pour les plans d’ondes à la fréquence 100kHz. Pour indication, les maillages utilisés pour obtenir ses résultats sont représentés sur la figure 3.9. A travers ces comparaisons, on constate que les résultats prédits par la WFE1D et la WFE2D_CYL sont analogues pour les ondes S0 et A0 sur la bande [0-100kHz]. En

89

revanche, pour l’onde SH0, on constate que la WFE1D ne la prédit pas et ceci parce que les éléments utilisés sont bidimensionnels et donc n’ont pas de ddl perpendiculaire au plan de la plaque.

(a) courbes de dispersion à 0° (b) plan d’ondes à 100kHz

Figure 3.10 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-).

Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL

Maintenant, si l’on compare les prévisions obtenues à partir de la WFE2D_CYL et la WFE2D_CART (figure 3.11 (a-b)), on constate que les résultats sont strictement identiques sur la bande [0-100kHz]. Les maillages utilisés pour effectuer ces deux calculs sont semblables et correspondent à celui représenté à la figure 3.9. On conclut donc que pour effectuer les tests de validation, la WFE2D_CYL et la WFE2D_CART peuvent être employées. Dans le cas où l’on souhaite étudier la validité des théories uniquement pour les ondes S0 et A0, les trois formulations de la WFE conviennent.

3.4.1.2 Validation des théories de plaques Fort des résultats de la section précédente, nous avons choisi de mener l’étude sur la validité des

théories CLPT et FSDT à partir de la WFE2D_CYL.

(a) courbes de dispersion à 0° (b) plan d’ondes à 100kHz

Figure 3.11 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-).

Comparaison CLPT / WFE2D_CYL

Dans un premier temps, intéressons nous à la théorie CLPT. Les courbes de dispersion suivant la direction 0° obtenues à partir de cette théorie sont comparées sur la figure 3.12 aux courbes de dispersion calculées à partir de la WFE2D_CYL. On constate alors que les grandeurs globales (vitesses de phase) en ce qui concerne l’onde principale sont incorrectes à partir de 40kHz,

90

contrairement aux ondes SH0 et S0 pour lesquelles les prévisions sont exactes sur toute la bande [0-100kHz].

(a) courbes de dispersion à 0° (b) plan d’ondes à 100kHz

Figure 3.12 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-).

Si l’on s’intéresse aussi aux grandeurs locales et en particulier à la déformée d’épaisseur pour les ondes S0, A0 et SH0 (figure 3.13), on constate à 100kHz que la distribution des champs de déplacement pour les ondes A0 et S0 n’est plus linéaire. Cela veut donc dire que l’hypothèse de linéarité postulée pour la CLPT ne convient plus à ce niveau de fréquence. On remarque donc, comme pour les poutres, que les courbes de dispersion peuvent être correctement prédites bien que les hypothèses prises sur le champ de déplacement soient trop simplificatrices.

onde S0

onde A0

onde SH0

Figure 3.13 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les ondes S0, A0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de

propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).

91

Par ailleurs, pour évaluer la validité de la CLPT par rapport à la direction de propagation de l’onde, nous avons aussi comparé les plans d’ondes associés aux différentes ondes principales à la fréquence 100kHz. A partir des résultats présentés sur la figure 3.12(b), on peut dire que la directivité des ondes S0 et SH0 est correctement reproduite tandis que pour l’onde A0, on observe des écarts et ceci quelle que soit la direction de l’onde.

Comparaison FSDT / WFE2D_CYL

Nous venons de voir précédemment que la théorie CLPT était limitée sur la bande [0-100kHz]. A présent, nous allons étudier la validité de la théorie FSDT en procédant de la même façon que pour la CLPT. Tout d’abord, si l’on compare les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.14 (a)), on constate que les résultats sont identiques entre la FSDT et la WFE2D_CYL sur la bande [0-100kHz]. De même, en ce qui concerne la directivité de l’onde, on observe sur la figure 3.14(b) que les prévisions sont correctes sur toutes les directions du plan d’ondes. Pour ce qui est des grandeurs locales, les conclusions sont les mêmes que pour la CLPT c’est-à-dire que le champ de déplacement dans l’épaisseur ne peut être reproduit exactement à partir de théorie FSDT car elle est basée sur la même hypothèse de linéarité que la CLPT. Enfin, il est important de noter que les calculs FSDT ont été réalisés en utilisant un coefficient pondérateur déterminé à partir du critère énergétique (cf. section 3.2.2), c'est-à-dire 0.85.

(a) courbes de dispersion à 0° (b) plan d’ondes à 100kHz

Figure 3.14 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-).

Pour résumer ce premier test, nous avons vu que la théorie CLPT était capable de prédire correctement sur la bande [0-100kHz] les grandeurs globales pour les ondes principales SH0 et S0. Pour la FSDT, on peut dire qu’elle est capable sur la bande [0-100kHz] de donner les prévisions globales des ondes principales A0, S0 et SH0. Enfin, on rappelle que ces deux théories sont limitées en ce qui concerne la prévision des grandeurs locales à hautes fréquences du fait de la non linéarité du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque.

3.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » La seconde structure test est une plaque composite stratifiée composée de 16 plis de matériau

M55J/M18 d’épaisseur 0,1 mm. Les propriétés mécaniques du matériau M55J/M18 sont regroupées dans le tableau 3.2. Pour ce test, nous choisissons d’adopter une stratification quasi-isotrope [45/-45/0/90]2S.

( )1E

GPa

( )2E

GPa

( )3E

GPa 12ν 13ν 23ν

( )12G

GPa

( )13G

GPa

( )23G

GPa

( )3

ρ

kg m

310 6.5 6.5 0.365 0.365 0.365 4.3 4.3 2.87 1550

Tableau 3.2 : Propriétés mécaniques du matériau M55J/M18.

92

Dans la prochaine section, nous étudierons une plaque similaire en utilisant une stratification différente pour ainsi voir l’influence de la stratification sur les résultats.

3.4.2.1 Caractérisation des ondes par WFE Dans cette première partie du test, nous allons à nouveau chercher à analyser les prévisions

obtenues à partir des formulations WFE1D, WFE2D_CART et WFE2D_CYL. A travers cette comparaison, on vérifiera si elles donnent toutes des résultats semblables ou bien, si l’une d’entre elles est limitée car pour l’heure aucune des trois formulations n’a été employée pour étudier les phénomènes de dispersion dans les plaques composites stratifiées. Pour effectuer les prévisions, nous avons utilisé les maillages représentés sur la figure 3.15.

(a) WFE1D (b) WFE2D

Figure 3.15 : Maillages utilisés pour les calculs WFE1D et WFE2D des plaques composites stratifiées.

Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL

Premièrement, si l’on compare la WFE1D et la WFE2D_CYL, on constate sur la figure 3.16 que les courbes de dispersion calculées à partir de ces deux approches sont identiques sur la bande [0-100kHz] pour les ondes principales S0 et A0. Pour ce qui est de l’onde SH0, il est impossible pour la WFE1D de reproduire cette onde car les éléments finis utilisés pour modéliser la cellule ne possèdent pas de ddl dans la direction z comme on peut le voir sur la figure 3.16.

Figure 3.16 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

Par ailleurs, si l’on s’intéresse à la directivité des ondes à 100kHz (figure 3.17), nous pouvons dire que les approches WFE1D et WFE2D_CYL prédisent les mêmes résultats pour les ondes A0 et S0, et ceci quelle que soit la direction de propagation.

93

(a) onde S0 (b) onde A0

Figure 3.17 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.

Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL

Deuxièmement, comparons la WFE2D_CART à la WFE2D_CYL. Les courbes de dispersion ainsi que les plans d’ondes calculés à partir de ces deux approches sont comparés sur la figure 3.18 et la figure 3.19. On constate alors que les deux formulations prédisent des résultats identiques ; toutefois on remarque que le coût numérique est plus important pour la WFE2D_CART que pour la WFE2D_CYL. En effet, pour obtenir les prévisions à partir de la WFE2D_CART, il faut augmenter à chaque fréquence l’étendue du domaine discrétisé xλ , tandis que pour la WFE2D_CYL ; on conserve

toujours le même nombre de directions pour effecteur le calcul. A titre d’exemple, à la fréquence 100kHz, il faut tenir compte de 1201 incréments pour la WFE2D_CART alors que pour la WFE2D_CYL, le nombre d’incréments est de 73 et reste fixe.

Figure 3.18 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Courbes de dispersion à 0°.

En conclusion, nous pouvons donc dire que la WFE2D_CYL et la WFE2D_CART donnent des résultats analogues ; toutefois, lorsqu’on cherche à prédire la dispersion des ondes à hautes fréquences, le coût numérique peut devenir prohibitif pour la WFE2D_CART, d’où l’intérêt d’avoir développé pour nos applications la WFE2D_CYL. De ce fait, on privilégiera la formulation WFE2D_CYL pour analyser la validité des théories de plaque pour la seconde structure test.

3.4.2.2 Validation des théories de plaques Pour valider les théories de plaques, nous avons décidé, comme pour la première structure test, de

comparer les grandeurs globales (courbes de dispersion, plans d’ondes) et locales (déformée d’épaisseur) à celles calculées à partir de la WFE. La formulation WFE choisie est la WFE2D_CYL car, comme nous venons de le voir précédemment, elle est la plus adaptée pour ce test.

94

(a) onde S0 (b) onde SH0 (b) onde A0

Figure 3.19 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Plans d’ondes à 100kHz.

Comparaison CLPT / WFE2D_CYL

Pour débuter cette analyse de validité, nous allons nous intéresser aux prévisions fournies par la théorie CLPT. En observant sur la figure 3.20, la dispersion des ondes suivant la direction de propagation 0°, on constate tout d’abord que les grandeurs globales pour les ondes principales S0 et SH0 sont en accord avec celles de référence calculées par WFE2D_CYL sur la bande [0-100kHz]. En revanche, pour ce qui est de l’onde principale A0, on voit très clairement sur la figure 3.20 qu’à partir de 40kHz, la vitesse de phase de l’onde divergent de la courbe de référence. A partir des plans d’ondes tracés sur la figure 3.21, on constate même que cette divergence s’observe sur toutes les directions de propagation. Au passage, on remarquera que la directivité des différentes ondes dans la seconde structure test est circulaire et donc semblable à celle de la première structure test. Ainsi, on comprend mieux pourquoi la stratification choisie pour la seconde structure test est appelée stratification quasi isotrope.

Figure 3.20 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

De plus, il est important de bien remarquer les valeurs maximales prises par les grandeurs globales car, comme nous le verrons à la section suivante, elles évoluent significativement dès qu’on modifie la stratification.

(a) onde A0 (b) onde S0 (c) onde SH0

Figure 3.21 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.

95

Par ailleurs, si l’on observe l’évolution de la déformée d’épaisseur pour chaque onde (figure 3.22), on remarque que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement prise dans la théorie CLPT convient sur la bande [0-100kHz]. Enfin, pour l’onde A0, il est difficile d’arriver à discerner l’influence de l’inertie de rotation sur le champ de déplacement. Il serait plus intéressant pour cela de post traiter les champs de contraintes ou déformations. De toute façon, cette vérification a peu d’intérêt pour ce test car nous avons déjà constaté qu’à partir de 40kHz les grandeurs globales divergent ; or, on sait que c’est l’inertie de rotation qui est responsable de cette divergence.

onde S0

onde A0

onde SH0

Figure 3.22 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les ondes A0, S0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de

propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).

Comparaison FSDT / WFE2D_CYL

A présent, intéressons nous à la validité de la théorie FSDT. Pour ce faire, nous comparons aux résultats obtenus par WFE2D_CYL, les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.23), ainsi que les plans d’ondes à la fréquence 100kHz (figure 3.24). A partir de ces comparaisons, on constate que la théorie FSDT prédit précisément la dispersion des ondes A0, S0 et SH0, ceci quelle que soit la fréquence dans la bande [0-100kHz] et aussi quelle que soit la direction de propagation. Par ailleurs, on peut aussi dire que les déformées d’épaisseur sont correctement reproduites à partir de la théorie FSDT, car comme nous l’avons déjà observé pour la CLPT, l’hypothèse de linéarité est valable sur la bande [0-100kHz]. Néanmoins, on note un inconvénient majeur à la théorie FSDT : le coefficient pondérateur. En effet, pour valider cette théorie, il nous a fallu utiliser un coefficient pondérateur de 0.65. On constate donc que grâce à l’outil numérique proposé ici, nous sommes en mesure d’évaluer a priori ce coefficient et ainsi ne pas avoir à remettre en cause le caractère prédictif de la théorie FSDT. D’ailleurs, cette estimation a priori du coefficient pondérateur est indispensable car comme nous le verrons à la section suivante, il diffère en fonction de la stratification choisie.

96

Figure 3.23 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

En résumé, nous pouvons dire pour ce second test que la théorie CLPT donne des prévisions correctes sur la bande [0-100kHz] pour les ondes principales S0 et SH0, et sur la bande [0-40kHz] pour l’onde principale A0, que ce soit pour les grandeurs globales ou locales. Enfin, la théorie FSDT est valide pour reproduire la dispersion des différentes ondes principales sur toute la bande [0-100kHz] à condition d’ajuster correctement le coefficient pondérateur à partir de la WFE2D.

(a) onde A0 (b) onde S0 (c) onde SH0

Figure 3.24 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.

3.4.3 Plaque composite stratifiée « unidirectionnelle » La dernière structure test que nous présentons ici est analogue à celle étudiée à la section 3.4.2, ce

qui veut dire que les propriétés mécaniques des plis sont celles présentées au tableau 3.2. A travers ce test, nous souhaitons analyser l’influence de la stratification sur les phénomènes de dispersion et ainsi, évaluer les modifications qu’il faut apporter sur les conclusions données à la section 3.4.2. Pour ce faire, nous avons choisi de modifier l’orientation des plis et de tous les aligner suivant la direction 0°.

Figure 3.25 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

97

3.4.3.1 Caractérisation des ondes par WFE Dans la section précédente, nous avions conclu que la WFE2D_CYL était la plus adaptée pour

analyser la dispersion des ondes dans une plaque composite stratifiée dont la stratification est quasi isotrope. Pour voir si ces conclusions sont les mêmes lorsqu’on modifie la stratification, nous allons mener les mêmes comparaisons que dans la section 3.4.2.

(a) onde S0 (b) onde A0

Figure 3.26 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.

Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL

Dans un premier temps, nous allons comparer les prévisions obtenues par la WFE1D et la WFE2D_CYL. Dans la direction de propagation 0°, la figure 3.25 présente une comparaison des courbes de dispersion calculées à partir des deux formulations. On constate alors que les résultats sont en accord pour les ondes principales A0 et S0, et que la WFE1D ne prend toujours pas en compte l’onde SH0 à cause du fait qu’elle utilise des éléments solides à déformation plane. Ensuite, si l’on s’intéresse à la directivité des ondes (figure 3.26), on constate cette fois que les résultats pour l’onde principale S0 sont en désaccord pour toutes les directions de propagation, hormis celles correspondant aux axes principaux d’orthotropie du matériau c'est-à-dire 0° et 90°.

Figure 3.27 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour l’onde S0

(x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).

Pour comprendre cet échec, il faut s’intéresser aux déformées d’épaisseur des ondes Sn et SHn lorsqu’elles se propagent dans un matériau composite stratifié. En effet, d’après [Prosser et al., 1994], on sait que hors des directions principales d’orthotropie, les ondes Sn sont quasi longitudinales car leur

98

déplacement est une combinaison des déplacements longitudinal et transversal. Ceci est aussi vrai pour les ondes SHn car elles sont quasi transversales. On conclut donc que la WFE1D n’est pas utilisable hors des axes d’orthotropie. Pour illustrer nos propos, nous avons représenté l’évolution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque en fonction de la direction de propagation pour l’onde principale S0 (figure 3.27). A partir de ces figures, on observe bien que l’onde S0 est purement longitudinale pour les directions de propagation 0° et 90°, tandis que pour la direction de propagation 45°, on voit que le champ de déplacement n’est plus purement longitudinal mais qu’une composante transverse apparaît.

Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL

Maintenant, si l’on compare les prévisions obtenues à partir de la WFE2D_CART et de la WFE2D_CYL, on constate, à partir de la figure 3.28, qui représente les courbes de dispersion dans la direction 0° et, à partir de la figure 3.29, qui représente les plans d’ondes à la fréquence 10kHz, que les résultats sont corrects pour les trois ondes principales. Toutefois, le coût numérique peut devenir prohibitif pour la WFE2D_CART à mesure où l’on s’intéresse aux hautes fréquences ; c’est pourquoi il est à nouveau préférable d’employer la WFE2D_CYL.

Figure 3.28 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Courbes de dispersion à 0°.

3.4.3.2 Validation des théories de plaques Fort des résultats obtenus à la section précédente, nous pouvons désormais étudier la validité de la

théorie CLPT, s’en suivra celle de la théorie FSDT.

(a) onde A0 (b) onde S0 (c) onde SH0

Figure 3.29 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Plans d’ondes à 10kHz.

Comparaison CLPT / WFE2D_CYL

Tout d’abord, s’il l’on compare les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.30) et les plans d’ondes à 10kHz (figure 3.31), on peut dire que les prévisions obtenues pour les ondes S0 et SH0 sont en accord entre la théorie CLPT et la WFE2D_CYL. A contrario, pour l’onde A0, on constate que

99

la théorie est limitée sur la bande [0-20kHz] et ceci quelque soit la direction de propagation. Maintenant, si l’on analyse les grandeurs locales prédites par la WFE2D_CYL (figure 3.32), on peut dire que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement utilisée pour la CLPT est valide sur la bande de fréquence [0-100kHz]. On conclut donc, tout comme pour la seconde plaque test, que les grandeurs locales et globales sont correctement prédites par la théorie CLPT pour les ondes S0 et SH0 sur la bande [0-100kHz], et pour l’onde A0 sur la bande [0-20kHz].

Figure 3.30 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

Comparaison FSDT / WFE2D_CYL

Sachant que pour la CLPT les conclusions sont identiques pour les tests 2 et 3, nous allons tenter de voir s’il en va de même pour la théorie FSDT. Pour cela, les courbes de dispersion à 0° (figure 3.33) ainsi que les plans d’ondes à 10kHz (figure 3.34) calculés à partir de la FSDT sont comparés aux prévisions de la WFE2D_CYL. On constate alors simplement que la dépendance fréquentielle et angulaire des grandeurs globales (nombres d’ondes) est correctement prédite par la théorie FSDT. De même, en ce qui concerne les grandeurs locales, les déformées d’épaisseur représentées sur la figure 3.32 montrent que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement est valide sur la bande [0-100kHz].

(a) onde A0 (b) onde S0 (c) onde SH0

Figure 3.31 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 10kHz.

On peut donc conclure que la théorie FSDT n’est pas limitée que ce soit pour prédire les grandeurs globales et locales. Enfin, il est important de noter que, pour cette troisième structure, nous avons utilisé un coefficient pondérateur égal à 0.85. On voit donc que pour la FSDT, la stratification peut entraîner des modifications car pour une stratification [45/-45/0/90]2S, le coefficient doit être ajusté à 0.65, alors que pour une stratification [0]8S, le coefficient doit être ajusté à 0.85.

100

onde S0

onde A0

onde SH0

Figure 3.32 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les ondes A0, S0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de

propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).

En conclusion, nous pouvons dire que la stratification a une influence sur les conclusions apportées à la théorie FSDT et non à la théorie CLPT. Cette influence est due essentiellement au coefficient pondérateur utilisé par la théorie FSDT qui varie en fonction de la stratification. Il faut donc impérativement ajuster a priori ce coefficient sinon on risque d’engendrer des erreurs de dispersion lors de simulation. L’utilisation de la WFE2D_CYL avant une simulation peut donc être une bonne voie pour éviter ce type d’erreur ; toutefois, le mieux serait de s’orienter vers des théories approchées qui ne nécessitent pas de coefficients pondérateurs, comme par exemple les théories approchées développées à partir de la formulation à deux champs de Heillinger-Reissner (cf. tableau 1.2).

Figure 3.33 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.

101

(a) onde A0 (b) onde S0 (c) onde SH0

Figure 3.34 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 10kHz.

3.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié la capacité des éléments plaques à reproduire la propagation d’ondes. En particulier, nous avons voulu voir si le paramètrage physique (théorie de plaque) des éléments proposés dans les codes de calcul convenait en terme de dispersion des ondes. Pour ce faire, nous avons étendu l’approche prise dans le cadre des poutres (cf. chapitre 1) c’est-à-dire que nous avons analysé la dispersion prédite par les différentes théories de plaque et nous avons comparé les prévisions obtenues à celles de la méthode WFE. Dans un premier temps, il nous a fallu étendre la WFE car elle ne répondait pas intégralement à nos besoins d’un point de vue numérique. En comparant les différentes formulations de la WFE lors de nos applications, nous avons alors pu montrer l’interêt de nos développements dans le cadre des plaques composites stratifiées. Fort de cet outil, nous avons alors pu étudier la validité des différentes théories en analysant à chaque fois si elles pouvaient reproduire précisément les grandeurs globales (vitesse de phase, nombres d’ondes) ainsi que les grandeurs locales (champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque). Sachant que dans les plaques les ondes peuvent se propager dans plusieurs directions, nous avons dû prendre en compte la dépendance fréquentielle de ces grandeurs, mais aussi la dépendance vis à vis de la direction de propagation. Finalement, à partir de différentes applications présentées, nous avons pu constater que le paramétrage physique (théories de plaques) des éléments était correct en ce qui concerne les grandeurs globales, à condition d’ajuster a priori le coefficient pondérateur. En revanche, en ce qui concerne les grandeurs locales, nous avons vu que le paramétrage n’est pas forcément adéquat à hautes fréquences en raison de la complexification du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque. Néanmoins, pour parfaire cette analyse, il serait intéressant d’observer la répartition des contraintes dans l’épaisseur de la plaque, car nous avons vu que, dans certaines applications, il était difficile d’interpréter les prévisions à partir uniquement des déplacements. Pour conclure, on peut donc dire que l’approche proposée est bien adaptée pour étudier la validité des éléments et que, grâce à cette dernière approche, nous avons pu mettre en avant le fait que les éléments proposés dans les codes de calcul sont bien adaptés ; toutefois, des études complémentaires sont à prévoir en ce qui concerne leurs prévisions locales.

103

Chapitre 4

Simulation de la réponse transitoire d’une structure

soumise à un choc haute fréquence

4.1 Introduction

Dans les précédents chapitres, nous avons étudié la validité du paramétrage physique (théorie de poutre et de plaque) des EF afin qu’ils reproduisent les phénomènes de propagation d’ondes à hautes fréquences. Désormais, nous allons simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc et évaluer l’influence du paramétrage numérique (taille des éléments, fonction d’interpolation d’ordre élevé, intégration réduite). Pour realiser ces simulations, nous emploierons le code Abaqus/Explicit, ainsi que la méthode WFE qui sera étendue dans ce chapitre au calcul transitoire. A partir des différentes applications présentées, nous verrons que le code explicite est mis en défaut à plusieurs reprises. Dans ce cas, des recommandations sont données afin d’enrichir le code et accélérer le paramètrage numérique du modèle.

4.2 Simulation à partir d’un code explicite

A travers cette première section, nous allons tout d’abord décrire la méthode implémentée dans un code explicite tel que Abaqus/Explicit, c’est-à-dire : la FEM temporel. Dans un premier temps, nous détaillerons la discrétisation par la FEM des équations de la mécanique des milieux continus (MMC). Ensuite, afin d’évaluer la réponse transitoire en tout point de la structure, les équations semi discrétisées en espace seront résolues dans le domaine temporel à partir de l’intégration directe temporelle. Au final, une discussion sur la convergence de la méthode sera proposée afin d’identifier les sources d’erreurs numériques pouvant venir dégrader les prévisions.

4.2.1 Discrétisation spatiale des équations de la MMC

Figure 4.1 : Problème de référence en mécaniques des milieux continus.

104

Pour pouvoir appliquer une méthode numérique telle que la FEM, il faut impérativement écrire les équations de la MMC sous une forme variationnelle, ce qui veut dire que les équations seront résolues au sens faible. Pour ce faire, rappelons tout d’abord la forme forte des équations de la MMC pour la structure représentée sur la figure 4.1

sur

sur

iji

i

ij j ext

ux

n f σ

σρ

σ

∂= Ω ∂

= ∂Ω

ɺɺ (4.1)

où : Ω est la structure et σ∂Ω la frontière de la structure où sont appliqués les efforts extérieurs

(conditions limites statiques). Dans ce système d’équations, le champ des contraintes ijσ est relié au

champ des déformations ijε à partir de la loi de comportement du matériau. Cette dernière s’exprime :

:ij ijkl ijCσ ε= (4.2)

De même, à partir de la théorie de l’élasticité, une seconde relation peut être établie entre le champ de déplacement iu et le champ de déformation ijε :

( ) 1

2ji

ijj i

uuu

x xε

∂∂= + ∂ ∂ (4.3)

Enfin, les conditions limites cinématiques doivent aussi être prises en compte

u

du u∂Ω

= (4.4)

où : u∂Ω est la frontière de la structure où sont imposés les déplacements. Enfin, il faut aussi tenir

compte des conditions initiales

00

00

t

t

u u

u u=

=

=

= ɺ ɺ (4.5)

Formulation variationnelle

A partir des équations précédentes, nous pouvons écrire une forme variationnelle du problème en nous appuyant sur le principe des puissances virtuelles (PPV). Si l’on considère le champ de déplacement virtuel uδ vérifiant les conditions limites cinématiques (champ cinématiquement admissible) et qu’on intégre les équations (4.1) sur le domaine spatiale défini par la structure, on obtient la forme variationnelle suivante :

( ) ( )iji i i ij j i

i

u u dv u dv n u dsx

σ

σρ δ δ σ δ

Ω Ω ∂Ω

∂ = + ∂

∫ ∫ ∫ɺɺ (4.6)

On peut ensuite réécrire la forme variationnelle en intégrant par partie le second terme de l’équation (4.6)

105

( )( )iji ij i ij ij

i

u dv u u dvx

σδ σ δ σ ε δ

Ω Ω

∂ = − ⋅ ∂

∫ ∫ (4.7)

Sachant que le champ est cinématiquement admissible, on peut simplifier l’expression (4.7) puisque

0ij iuσ δ = . La forme variationnelle s’exprime alors :

( ) ( )( ) ( )i i ij ij ij j iu u dv u dv n u dsσ

ρ δ σ ε δ σ δΩ Ω ∂Ω

= − ⋅ +∫ ∫ ∫ɺɺ (4.8)

Définition des matrices élémentaires

A présent, nous pouvons appliquer la FEM à la forme variationnelle (4.8) en vue de transformer les équations en un système matriciel. Pour cela, il faut décomposer la structure (domaine Ω ) en éléments finis (sous domaines eΩ ) de formes géométriques simples pour lesquels le champ de

déplacement est approché par des fonctions d’interpolation. Si l’on considère un élément e, le champ de déplacement au sein de cet élément s’écrit en un point M de la façon suivante :

( ) ( ) ( ) , eu M t N M q t = (4.9)

avec : eN matrice des fonctions d’interpolation pour l’élément e, q vecteur des déplacements

aux nœuds de l’élément e.

Remarque : les fonctions d’interpolation utilisées pour formuler des éléments finis sont majoritairement des polynômes de Lagrange, de Serendip ou bien encore des polynômes d’Hermite, le degré du polynôme définissant alors l’ordre de l’élément fini. Dans la majorité des codes industriels comme Abaqus/Explicit, les éléments sont au maximum d’ordre deux ce qui veut dire que les fonctions d’interpolation ont un dégré inférieur ou égale à deux.

Maintenant, si l’on substitue le champ de déplacement (4.9) dans l’équation (4.3), on peut exprimer le champ de déformation à partir des déplacements nodaux de la façon suivante :

[ ] [ ]

T

ij i

T ei

ei

D v

D N q

B q

ε =

=

=

(4.10)

Finalement, en introduisant (4.9) et (4.10) dans (4.8) puis en considérant que le champ de déplacement vituel uδ est unitaire, il est possible de transformer, pour un élément e, la forme variationnelle (4.8) en un système matriciel de la façon suivante :

e e eM q K q F + = ɺɺ (4.11)

avec : eK la matrice de raideur, eF le vecteur des forces extérieures aux noeuds, eM la

matrice de masse de l’élément e définis par :

106

[ ]

, T Te e e e e e

Te ei

K B C B dv M N N dv

F N f ds

ρΩ Ω

∂Ω

= =

=

∫ ∫

∫ (4.12)

Les éléments isoparamétriques

En pratique, pour formuler ces matrices élémentaires, on procède généralement à une transformation géométrique des coordonnées nodales (figure 4.2). Ainsi, les fonctions d’interpolation peuvent être définies aisément pour un élément de géométrie simple (élément fini de référence) et ensuite être projetées sur la géométrie physique (élément fini physique). La matrice de transformation

jacobienne permettant de projeter les fonctions de l’espace de référence ( ),ξ η dans l’espace physique

( ),x y étant alors définies de la façon suivante :

[ ]

T Te e

T Te e

N NX Y

JN N

X Y

ξ ξ

η η

∂ ∂ ⋅ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ⋅ ∂ ∂

(4.13)

Grâce à cette transformation, l’intégration des matrices élémentaires (4.12) peut desormais être indépendante de la géométrie de l’élément puisqu’elles peuvent se réécrire comme suit :

[ ] ( )

( )

1 1

1 1

1 1

1 1

det

det

Te e e

Te e e

K B C B J d d

M N N J d d

ξ η

ρ ξ η

+ +

− −+ +

− −

=

=

∫ ∫

∫ ∫

(4.14)

Remarque : lorsque les fonctions de l’élément fini de référence sont identiques à celles de l’élément fini physique, on dit alors que l’élément fini est isoparamétrique, tandis que si les fonctions sont différentes entre les deux éléments, on parle alors d’éléments finis subparamétriques. En règle générale, les éléments finis proposés dans les codes industriels sont isoparamétriques.

Figure 4.2 : Élément isoparamétrique brick 2D.

107

Assemblage des matrices élémentaires sur l’ensemble de la structure

A présent, pour obtenir le système matriciel de la structure complète, il faut assembler les matrices élémentaires pour l’ensemble des éléments constituants le modèle. Ce système matriciel s’écrit alors :

[ ] [ ] M U K U F+ =ɺɺ (4.15)

avec : [ ]M et [ ]K la matrice de masse et de raideur de la structure, ainsi que F le vecteur des

forces extérieures définis par

[ ] [ ] [ ]_ _ _

1 1 1

, , nb elements nb elements nb elements

e e e

e e e

K K M M F F= = =

= = = ∑ ∑ ∑ (4.16)

Prise en compte de l’amortissement de la structure

Enfin, si l’on introduit de l’amortissement dans le système matriciel (4.15), on obtient :

[ ] [ ] [ ] M U C U K U F+ + =ɺɺ ɺ (4.17)

avec : [ ]C la matrice d’amortissement s’exprimant à partir des matrices de masse et de raideur si l’on

prend un modèle d’amortissement de Rayleigh :

[ ] [ ] [ ]C M Kα β= + (4.18)

Dans la section suivante, on va évaluer les différentes dérivées en temps présentes dans (4.17) afin de calculer la réponse transitoire de la structure.

4.2.2 Résolution du système matriciel dans le domaine temporel A travers cette section, nous allons chercher à résoudre l’équation (4.17) sur un intervalle de temps

discret [ ] 1n n Nt

=⋯. Pour ce faire, les codes de calcul proposent différentes méthodes numériques

comme la synthèse modale ou bien l’intégration temporelle directe (voir figure 1.9). La méthode recommandée lorsque la réponse transitoire présente un contenu fréquentiel élévé est, comme nous l’avons vu lors de la revue des méthodes (cf. section 1.4.2.2), l’intégration directe temporelle et, en particulier, celle formulée à partir du schéma explicite de Newmark. Ce schéma d’intégration, aussi appelé schéma des différences centrées, est un schéma à un pas de temps qui nécessite la connaissance de l’accélération au temps nt pour déterminer le déplacement et la vitesse au temps 1nt + . Si l’on pose

1 2γ = et 0β = dans (1.10), on obtient les équations suivantes :

( )

2

1

1 1

2

2

n n n n

n n n n

tU U tU U

tU U U U

+

+ +

∆= + ∆ +

∆ = + +

ɺ ɺɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ

(4.19)

À partir des équations (4.19), on constate alors, bien que ce schéma d’intégration nécessite la

connaissance de 1nU +ɺɺ pour déterminer 1nU + et 1nU +

ɺ . Il n’est donc pas purement explicite. C’est

pourquoi, on doit le coupler avec un algorithme de résolution de type prédicteur-correcteur ou bien utiliser des vitesses intermédiaires, c'est-à-dire décaler les grilles vitesse et déplacement d’un demi pas

108

de temps. En règle générale, les codes explicites utilisent le second algorithme. Pour bien cerner le

caractère explicite obtenu via l’algorithme de résolution, supposons nUɺɺ connue. La vitesse au temps

1 2nt + se calcule alors comme suit :

1 2 1 2 2n n n

∆tU U U+ −= +ɺ ɺ ɺɺ (4.20)

avec : 1 2nU −ɺ la vitesse déterminée au temps 21−nt .

A partir de l’expression (4.20), on est en mesure de déterminer le déplacement au temps 1+nt de la

manière suivante :

1 1 2n n nU U U ∆t+ += + ɺ (4.21)

Ensuite, à partir de (4.21), on déduit les forces internes présentes dans le système matriciel (4.17) :

[ ] int1 1n nF K U+ += (4.22)

ainsi que les forces visqueuses

[ ] vis1 1 2n nF C U+ += ɺ (4.23)

Enfin, en remplaçant (4.22) et (4.23) dans (4.17) et en supposant que les forces extérieures sont connues au temps 1nt + , il est possible d’estimer l’accélération au temps 1+nt en inversant la matrice de

masse dans l’équation (4.17) :

[ ] ( )1 ext vis int1 1 1 1

-

n n n nU M F F F+ + + += − −ɺɺ (4.24)

Lors de la prochaine itération, l’accélération 1nU +ɺɺ servira à calculer la vitesse 3 2nU +

ɺ puis le

déplacement 2nU + . On a alors bien affaire à un schéma explicite puisqu’il suffit de connaître

l’accélération au temps précédent pour évaluer la vitesse et le déplacement au temps suivant. L’algorithme de résolution qui vient d’être présenté et qui est programmé dans le code explicite utilisé à la section 4.4, est celui réprésenté à la figure 4.3.

Remarque : ce schéma est souvent appelé schéma explicite de type accélération [Bonini, 1995] pour bien le distinguer des autres schémas, comme par exemple le schéma explicite de type déplacement.

4.2.3 Réduction du coût numérique des simulations Au fil des années, la FEM temporel proposée dans les codes de calcul a été enrichie par les

développeurs en vue de réduire le coût numérique des simulations (temps de calcul, taille mémoire). Conscient qu’il existe un grand nombre d’approches permettant de réduire le coût numérique d’une simulation, nous allons présenter uniquement celles qui peuvent être mis en défaut dans notre cadre d’étude.

4.2.3.1 Intégration numérique des matrices élémentaires Tout d’abord, comme on peut le constater dans [Imbert, 1979], il existe différentes possibilités pour

réaliser l’intégration des matrices élémentaires (4.14). On a premièrement l’intégration complète qui

109

permet de realiser une intégration exacte des matrices en utilisant un nombre défini de points d’intégration. Il existe aussi l’intégration reduite qui, comme son nom l’indique, permet d’intégrer les matrices élémentaires à partir d’un nombre réduit de points d’intégration sans modifier les propriétés de convergence du schéma d’intégration. Cette technique d’intégration est intéressante pour deux raisons. La première permet de réduire le coût numérique de la méthode, en particulier en dynamique non linéaire. La seconde permet de compenser la surévaluation de la rigidité des éléments inhérente à toutes méthodes d’approximation de type déplacement. Malheureusement, il existe aussi certains inconvénients à cette technique. En effet, lorsqu’on utilise l’intégration réduite, des modes de déformations parasites (en anglais Hourglass mode) apparaissent. Pour contrôler ces modes, plusieurs techniques ont été proposées comme par exemple celle de [Flanagan et al., 1981]. Ces techniques proposent généralement d’injecter des forces secondaires afin de contrer la déformation de l’élément. A la suite d’une simulation, une attention particulière doit alors être donnée sur l’énergie des forces secondaires car elle doit reste négligeable par rapport à l’énergie totale. En règle générale, les codes explicites préconisent que cette énergie reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale.

Figure 4.3 : Algorithme de résolution implémenté dans un code explicite.

4.2.3.2 Condensation de masse Un second enrichissement apporté à la FEM temporel est la condensation de masse (en anglais,

Mass lumping). Cette technique a pour but de rendre moins coûteux le calcul de l’expression (4.24) en procédant à une diagonalisation de la matrice de masse. A nouveau, plusieurs techniques de condensation ont été proposées, comme nous l’avons montré lors de la revue des méthodes de calcul (cf. section 1.4). En s’intéressant plus particulièrement à la technique utilisée pour les applications de la section 4.4, on constate qu’elle est l’une des plus simples à mettre en œuvre car il suffit d’effectuer la sommation des termes lignes et colonnes de la matrice de masse :

1

0

nleike

kdiag

M i jM

i j=

= =

≠

∑ (4.25)

A titre d’exemple, la matrice de masse d’un élément poutre linéaire en traction se diagonalise à partir de (4.25) comme suit :

2 1 1 0

, 1 2 0 16 2

e ediag

SL SLM M

ρ ρ = =

(4.26)

110

Numériquement, la condensation de masse a un intérêt certain car elle permet une réduction significative du coût numérique.

Remarque : le code explicite utilisé lors des applications présentées à la section 4.4 impose d’utiliser des matrices de masse diagonales.

4.2.4 Analyse de convergence Comme pour toutes méthodes numériques, les solutions obtenues à partir de la FEM temporel sont

des solutions approchées du problème (4.1) en raison de la discrétisation spatio-temporelle. Pour s’assurer de la convergence de ces dernières, il est donc crucial d’effectuer une analyse de convergence, c'est-à-dire étudier la stabilité et la consistance de la méthode. Dans le cadre de structures complexes, ce type d’étude est souvent très compliquée voir impossible. C’est pourquoi, il est proposé ici de ne pas en mener mais plutôt de résumer les conclusions fournies dans la littérature.

4.2.4.1 Stabilité Tout d’abord, intéressons nous à la stabilité de la FEM temporel. D’après l’étude menée dans

[Géradin et al., 1992], il apparaît que le schéma explicite de Newmark, présenté à la section 4.2.2, est conditionnellement stable. Cela veut dire que le pas de temps t∆ défini dans (4.19) doit toujours être inférieur à un pas de temps critique si l’on souhaite que la réponse transitoire ne diverge pas. Pour une structure amortie, cette limite de stabilité s’exprime

( )2max max

max

21critt t ξ ξ

ω∆ ≤ ∆ = + − (4.27)

avec : maxω la plus grande valeur propre du système matriciel (4.17) et maxξ le facteur

d’amortissement à la pulsation maxω .

En règle générale, on ne cherche pas à déterminer la plus grande valeur propre du système matriciel (4.17) car cela peut s’avérer coûteux numériquement lorsque cette dernière présente un nombre important de ddl. On préfere plutôt s’appuyer sur le fait que cette valeur propre est majorée par la plus grande valeur propre d’une matrice élémentaire, soit :

( )max maxmax e

elementsω ω≤ (4.28)

Ainsi, la limite de stabilité (4.27) peut être modifiée de la façon suivante :

max

2e

tω

∆ ≤ (4.29)

En pratique, pour estimer la valeur propre maxeω , on utilise la condition de Courant-Friedrich-Lewy

(CFL) [Courant et al., 1928] qui montre que, dans le cas d’un élément poutre linéaire en traction, la valeur propre est égale à :

maxmin

2e c

xω =

∆ (4.30)

avec : minx∆ la longueur du plus petit élément et c la vitesse de l’onde longitudinale dans une poutre.

Pour les autres types d’éléments (coques, solides, etc.), la condition CFL peut être généralisée

111

toutefois, la longueur minx∆ , ainsi que la vitesse c sont alors plus complexes à évaluer comme on

peut le constater dans [Abaqus/Explicit, 2007].

Remarque : les pas de temps utilisés pour les simulations présentées à la section 4.4 ont été déterminés automatiquement par le code à partir de la condition CFL présentées précédemment.

4.2.4.2 Consistance

Figure 4.4 : Analyse de la consistance de la FEM temporel.

Pour évaluer la consistance de la FEM temporel, on doit estimer l’écart entre la solution approchée et la solution exacte du problème (4.1). Pour cela, nous nous sommes intéressés au travail de [Belytschko et al.,1977] qui étudie l’écart entre la vitesse théorique et la vitesse approchée lorsqu’une onde longitudinale se propage dans une poutre isotrope (figure 4.4). Pour conduire cette analyse, l’auteur considère tout d’abord l’équation du mouvement d’une poutre isotrope en traction

2 2

202 2

0u u

ct x

∂ ∂− =∂ ∂

(4.31)

avec : 0c E ρ= la vitesse théorique de l’onde longitudinale et u le déplacement longitudinal de la

poutre. Ensuite, une discrétisation spatio-temporelle de l’équation (4.31) est réalisée à partir de la FEM temporel. Les équations discrétisées obtenues sont alors les suivantes :

( )

1 12 1 1 1

1 0 2

2

1

1 1

20

2

2

m m mm n n nn

m m m mn n n n

m m m mn n n n

u u uu c

x

tu u tu u

tu u u u

+ −+ + +

+

+

+ +

− ++ = ∆

∆= + ∆ +

∆= + +

ɺɺ

ɺ ɺɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ

(4.32)

où : ( ),mnu u m x n t= ∆ ∆ représente le déplacement approché, t∆ le pas de temps, x∆ la taille de

l’élément. Maintenant, si l’on conduit une analyse de dispersion comme à la section 2.2 à partir de l’onde plane harmonique suivante

( )i mk nmnu e

ω−= (4.33)

avec : k k x= ∆ le nombre d’ondes adimensionné et tω ω= ∆ la pulsation adimensionnée. On est en mesure, en introduisant (4.33) dans (4.32), de déterminer une relation de dispersion approchée. D’après [Belytschko et al.,1977], cette relation de dispersion s’exprime :

( ) ( )2 2 2sin 2 sin 2 0kσ ω− = (4.34)

où : 0c t xσ = ∆ ∆ le nombre de Courant qui est égal à un lorsque 0t x c∆ = ∆ (pas de temps critique).

112

Si l’on analyse la relation de dispersion déterminée précédemment, on peut tout d’abord faire remarquer qu’on retrouve bien la relation de dispersion théorique si l’on effectue un développement

limité pour ( ), 0t x∆ ∆ → , soit

2 2 20 0c k ω− = (4.35)

La méthode est donc bien consistante puisque la solution approchée est alors égale à la solution exacte. Cependant, lorsque la discrétisation est trop grossière, la relation (4.34) nous informe de l’apparition d’un phénomène de dispersion numérique. Sur une réponse transitoire mesurée en un point de la structure, ce phénomène se traduit par un étalement du signal qui s’amplifie au fil des itérations temporelles ainsi qu’un affaiblissement de l’amplitude (figure 4.5). Pour contrôler ces phénomènes néfastes et ainsi garantir une précision suffisante des simulations, les industriels utilisent actuellement une règle préconisant qu’un minimum de cinp à huit éléments par longueur d’ondes à la fréquence maximale de l’excitation suffit pour garantir la convergence des solutions approchées. Néanmoins, en dynamique transitoire, cette règle ne semble pas viable car elle tient compte uniquement de l’erreur de dispersion induite par la discrétisation spatiale. Or, comme nous venons de le voir, il existe aussi une erreur de dispersion liée à la discrétisation temporelle qui s’amplifie à mesure des itérations. Il semble donc nécessaire de tenir compte du nombre total d’itérations si l’on veut garantir des prévisions fiables sur toute la durée d’une simulation. Une première idée consisterait donc à raffiner encore plus le maillage ; toutefois, le coût numérique des simulations risque alors de devenir prohibitif. Pour pallier cette limitation, certains chercheurs proposent de raffiner uniquement le maillage là où il y a propagation d’ondes [Grédé et al., 2006]. Une autre méthode consiste à améliorer la convergence de la FEM temporel en utilisant des éléments finis spectraux [Cohen, 2002] ; toutefois, cette dernière n’a pour l’instant pas été mise en oeuvre dans nos cas d’application.

Figure 4.5 : Illustration des erreurs de dispersion sur une réponse transitoire.

4.3 Simulation à partir de la méthode WFE

Dans la section précédente, nous avons décrit la FEM temporel implémentée dans un code explicite. Lors de l’analyse de convergence, nous avons vu que cette méthode pouvait donner des prévisions médiocres, voire fausses, en raison d’un phénomène de dispersion numérique lié à la discrétisation spatio-temporelle. Lors des applications présentées à la section 4.4, il est intéressant, pour vérifier la qualité des prévisions, de comparer ces dernières à celles calculées analytiquement.

113

Pour effectuer ce type de calcul, il faut premièrement décomposer le champ de déplacement en ondes planes harmoniques, puis procéder à une synthèse ondulatoire pour déterminer la réponse fréquentielle. La réponse transitoire se calcule ensuite simplement en appliquant la tranformée de Fourier discrète inverse (IDFT) de la réponse fréquentielle. Cette méthode analytique est très souvent utilisée pour étudier la propagation d’ondes lorsque la structure peut être modélisée à partir des théories simplifiées et approchées présentées à la section 1.3.2 comme le montre [Doyle, 1997]. En revanche, à hautes fréquences, la méthode analytique ne convient plus puisque les théories sont trop simplifiées pour pouvoir prendre en compte un nombre suffissant d’ondes guidées (mode stationnaire dans la direction de propagation) lors de la synthèse ondulatoire. Bien entendu, on pourrait employer une théorie exacte ; toutefois, elles sont limitées aux structures simples.

Pour pallier ces limitations, nous proposons dans cette section une méthode semi-analytique utilisant pour la synthèse ondulatoire les ondes planes harmoniques caractérisées à partir de la méthode WFE1D (section 2.3.1). Grâce à cette méthode, on ne sera plus limité fréquentiellement puisque la base d’ondes guidées utilisée pour le calcul sera suffisamment complète en vue d’assurer la convergence des résultats à hautes fréquences. Pour bien différencier cette méthode de celle proposée pour les problématiques stationnaires [Mencik et al., 2006], nous la dénommerons par la suite : WFE1D temporel. Il est aussi important de noter que les prévisions obtenues par la méthode semi analytique peuvent être desormais dégradées, contrairement à la méthode analytique, du fait de la discrétisation spatiale (voir section 2.3.3). Néanmoins, ces erreurs peuvent être contrôlées a priori en menant une analyse de convergence semblable à celle menée à la section 2.4.4. Enfin, précisons que la WFE1D temporel est limitée aux structures pour lesquelles la WFE1D est valable. Cela veut donc dire que pour traiter des structures plus complexes comme les plaques composites stratifiées, des dèveloppements supplémentaires sont à prévoir.

4.3.1 Extension de la formulation à la dynamique transitoire

Figure 4.6 : Structure périodique soumise à un choc.

Pour simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute fréquence, il nous faut

premièrement exprimer le choc dans le domaine fréquentiel [ ] 1k k Mω

= ⋯ à partir d’une DFT :

( ) ( )1

ˆ m k

Mjt

ext k mm

f ω f t e ω−

=

=∑ (4.36)

Ensuite, le vecteur d’état doit être décomposé sur la base des ondes guidées caractérisées par la WFE1D (voir section 2.3.1). Pour une cellule p, la décomposition du vecteur d’état s’exprime :

1 1

1 1

ˆ

ˆ

pu un n

L p- p- Ni li i l lf f

i li lL

ua b

f

φ φλ λφ φ

−

= =

= + ∑ ∑ (4.37)

114

avec : [ ] 1i i na

= ⋯ et [ ] 1l l n

b= ⋯

les facteurs de participation des n ondes se propageant respectivement

vers les x positifs et négatifs (rappel : n correspond au nombre de ddl utilisés pour modéliser l’une des

sections de la cellule p). Dans ce problème, les inconnues ne sont plus les forces nodales pLf et les

déplacements nodaux ˆ pLu mais les facteurs de participation ia et lb . Pour les déterminer, nous devons

formuler un système matriciel à partir des conditions aux limites appliquées au niveau des cellules 1 et N (figure 4.6). Par exemple, lorsque la poutre est soumise à un effort sur la section gauche de la cellule 1 et que la section droite de la cellule N est libre, les conditions aux limites s’expriment :

[ ]

1ˆ ˆ

0

L ext

NR

f f

f

=

(4.38)

En introduisant l’expression des forces nodales données par (4.37) dans (4.38), on obtient le système matriciel suivant :

[ ]

ˆ

0

f N fi i l l l ext

N f fi i i l l

a b f

a b

φ λ φ

λ φ φ

− =

(4.39)

Les facteurs ia et lb peuvent ensuite être calculés en inversant le sytème matriciel (4.39) comme suit :

[ ][ ] [ ]

1ˆ

0

f N fi l l exti

N f fl i i l

fa

b

φ λ φ

λ φ φ

−− =

(4.40)

Enfin, en itérant sur l’ensemble des pulsations discrètes le calcul des facteurs de participation et en introduisant ces derniers dans (4.37), on obtient finalement la réponse fréquentielle de la structure. Il

ne reste alors plus qu’à calculer la réponse temporelle sur le domaine temporel [ ] 1i i Mt

= ⋯ en effectuant

une IDFT de la réponse fréquentielle déterminée précédemment. Pour une cellule p, les déplacements nodaux de la section gauche s’expriment de la manière suivante :

( ) ( ) 1

1ˆ k m

Mp p jtL k L m

m

u t u ω eM

ω−

=

= ∑ (4.41)

4.3.2 Programmation A l’instar de la WFE1D, la programmation de la WFE1D temporel est l’un des avantages majeurs

de cette méthode par rapport aux autres méthodes semi-analytiques (cf. section 1.4.3). En effet, elle repose sur l’utilisation de fonctions standards implémentées dans les codes de calcul, ce qui simplifie alors fortement sa programmation. Le code, qui a été developpé dans le logiciel Matlab pour effectuer les simulations, est celui schématisé sur la figure 4.7. A travers ce schéma, on constate que la principale difficulté concerne le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel, en particulier le paramétrage numérique des fonctions DFT et IDFT. Bien entendu, pour développer ces fonctions, nous nous sommes basés sur les fonctions de base proposées sous Matlab, néanmoins il a fallu les surcharger afin de tenir compte du problème de repliement (en anglais Aliasing), mis en évidence dans [Doyle, 1997], lors du calcul de la réponse transitoire.

115

Figure 4.7 : Programmation de la méthode WFE1D temporel.

Figure 4.8 : Illustration du phènomène de repliement.

Ce problème, intrinsèque à la discrétisation des signaux, se manifeste lorsque M, le nombre de

valeurs discrètes dans [ ] 1i i Mt

= ⋯, n’est pas suffisamment grand par rapport à la durée totale de la

vibration. Pour illuster ce problème de repliement, nous avons représenté, sur la figure 4.8, les signaux temporels mesurés à différentes positions d’observation lorsqu’une onde longitudinale se propage dans une poutre infinie. A travers cet exemple, on constate que la réponse temporelle se replie dés lors que la vibration entraînée par le passage de l’onde ne peut être contenu dans le domaine temporel

[ ] 1i i Mt

= ⋯. Pour simplifier, on peut dire que ce phénomène de repliement s’apparente à une machine à

écrire dont le chariot revient en début de ligne lorsqu’il a atteint la fin de cette dernière. En pratique, il nous faut donc s’assurer que le nombre M est suffisamment grand pour que le domaine temporel puisse contenir l’ensemble de la réponse sans repliement.

116

Enfin, lors du calcul de la réponse fréquentielle, une hypothèse doit être faite concernant la valeur de la réponse à la pulsation 0ω . En effet, à cette pulsation, les ondes ne se propagent pas, et de ce fait

il est impossible d’estimer leurs facteurs de participation. Or, pour les applications présentées à la section 4.4, nous avons décidé de ne pas inclure de composante statique lors de la définition du choc. Nous pouvons donc, considérer que la réponse fréquentielle est nulle à cette pulsation, soit :

( ) 0ˆ 0p

Lu ω = (4.42)

4.4 Applications

Dans cette section, nous allons évaluer l’influence du paramètrage numérique sur les prévisions lorsque l’on cherche à simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute fréquence. Pour cela, des simulations vont être menées à partir du code Abaqus/Explicit en faisant varier les différents paramètres numériques (taille des éléments, ordre des fonctions d’interpolation, intégration reduite). En comparant les réponses transitoires simulées, nous tenterons d’évaluer le paramétrage garantissant la convergence des solutions. Ensuite, à partir de ce paramètrage, nous vérifierons la qualité des prévisions en les comparant avec celles calculées par la WFE1D temporel. Grâce aux différents cas tests présentés, nous constaterons que le code explicite est mis à défaut à plusieurs reprises. Des pistes seront donc proposées afin que l’on puisse obtenir des prévisions fiables et précises dans le cadre de la problématique des chocs pyrotechniques. Enfin, il faut rappeler que l’on évalue les limitations du code explicite en ce qui concerne la modélisation de la structure. Les chocs utilisés dans les cas tests ne seront donc pas représentatifs de ceux générés par un dispositif pyrotechnique.

4.4.1 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » La première structure test est la poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » présentée à la section

2.4.3. Ses propriétés mécaniques et géométriques sont donc celles données sur la figure 2.20. Par ailleurs, la longueur de la poutre étudiée est de 1,50 m.

Figure 4.9 : Représentation du signal temporel (gauche) et de la DFT du choc défini pour les poutres

composites stratifiées quasi-isotrope et unidirectionnelle.

Au chapitre 2, nous avions évalué la capacité du paramétrage physique des éléments poutres à modéliser les phénomènes de propagation d’ondes. Désormais, nous allons définir un modèle numérique à partir de ces éléments et appliquer un choc à l’une des extremités de la poutre. A partir du code explicite, nous tenterons de simuler la réponse de la poutre à proximité du choc en temps moyens, c'est-à-dire que les ondes émises par le choc auront eu le temps de se propager et de se réflechir sur les bords. Sachant qu’un choc pyrotechnique génère principalement des ondes L0 et TZ0, nous avons décidé d’analyser les réponses transitoires de la poutre lorsque cette dernière est sollicitée longitudinalement et transversalement. Pour ce faire, nous utiliserons le choc représenté sur la figure 4.9 qui est caractérisé par un contenu fréquentiel élevé s’étendant jusqu’à 100kHz. Cela veut donc dire que les réponses mesurées à proximité du choc présenteront elles aussi un contenu fréquentiel élevé. Il faut toutefois noter que les deux chocs ne seront pas appliqués en même temps, ceci afin d’éviter la

117

superposition des ondes L0 et TZ0 dans la réponse. Les schémas réprésentés sur la figure 4.10 résume ce cas test.

Génération et détection d’une onde onde L0

Génération et détection d’une onde TZ0

Figure 4.10 : Description des cas de charge imposés aux poutres les poutres composites stratifiées quasi-isotrope et unidirectionnelle.

4.4.1.1 Influence des paramètres numériques du modèle La première étape de notre test consiste à faire varier la taille des éléments et comparer les réponses

transitoires simulées. En procédant à cette analyse, on cherche à déterminer la taille minimale permettant d’assurant la convergence des réponses. Pour réaliser ces simulations, nous nous sommes basés sur des éléments poutres car, comme nous l’avons montré à la section 2.4.3, ils sont suffisants pour modéliser les phénomènes de propagation d’ondes sur la bande [0-100kHz]. Deux types d’éléments poutres sont proposés par le code explicite [Abaqus/Explicit, 2007]. Il y a des éléments dits linéaires car leur fonction d’interpolation est d’ordre un, et des éléments dits quadratiques dont les fonctions d’interpolation sont d’ordre deux. Dans ce test, nous avons décidé d’analyser la convergence des solutions pour ces deux types d’éléments car, comme le montre [Belytschko et al.,1977], elle peut varier significativement. Enfin, on notera que, dans toutes simulations realisées, les éléments ont une taille identique.

Figure 4.11 : Influence de la discrétisation sur les vitesses longitudinales mesurées à 15 cm du choc : éléments linéaires (gauche) et éléments quadratiques (droite).

Les résultats de cette première analyse sont présentés sur la figure 4.11, pour le choc longitudinal, et sur la figure 4.12, pour le choc transversal. Pour les éléments poutres linéaires, on constate qu’il y a convergence des réponses en temps moyens dès lors que la taille des éléments est inférieure à 5 mm pour le choc longitudinal, et 0.5 mm pour le choc transversal. Sachant que les dimensions de la section sont de 20 mm x 6.4 mm, on remarque que les résultats convergent, même lorsque le rapport dimension minimale de la section sur longueur des éléments est inférieur à 1. Cette remarque est interessante car il arrive parfois que les industriels preconisent de ne pas utiliser des éléments poutres lorsque ce ratio est inférieur 1. De plus, on constate que, pour dimensionner le maillage, la règle classique stipulant que les ondes de flexion sont dimensionnantes est valable. Ceci n’est pas vraiment surprenant car les ondes L0 et TZ0 présentent des longueurs d’ondes bien distinctes (voir section 2.4.3) comme en basse fréquence, là où cette régle s’applique. Pour les éléments quadratiques, on retrouve les mêmes constatations puisque les résultats montrent que les réponses convergent lorsque la taille des éléments est inférieure à 20 mm pour le choc longitudinal et 2 mm pour le choc transversal.

118

Figure 4.12 : Influence de la discrétisation sur les vitesses transversales mesurées à 15 cm du choc : éléments linéaire (gauche) et éléments quadratiques (droite).

Bien qu’à partir des éléments linéaires et quadratiques nous pouvons garantir la convergence des réponses, il nous faut tout de même effectuer un choix. Pour cela, intéressons nous au coût numérique des différentes simulations. Le tableau 4.1 repertorie pour chaque taille d’élément le nombre total de ddl utilisés ainsi que le nombre d’itérations temporelles nécessaires pour calculer la réponse sur l’intervalle de temps fixé. Pour le calcul des critères de maille, nous nous sommes basés sur les longueurs d’ondes calculées à partir de la WFE1D, c'est-à-dire, 84 mm pour l’onde L0 et 14 mm pour l’onde TZ0. A partir du tableau 4.1, nous pouvons conclure que le coût numérique pour les éléments quadratiques est plus faible que celui des éléments linéaires car leur rapport nombre total de ddl / nombre total d’itérations temporelles reste plus faible, quelque soit le type d’ondes. De plus, nous pouvons aussi dire, à la vue des valeurs du critère de maille, qu’au moins huit éléments par longueur d’ondes doivent être utilisés si l’on veut garantir la convergence des solutions en temps moyens. Cette constatation montre alors bien que la règle appliquée industriellement ne peut être valable dans ce cas puisque les erreurs de dispersion ne sont alors pas négligeables.

Type d’élément Type

d’ondes Taille élément

(suivant x) Critère de

maille à 100kHz Nombre total de

ddl

Nombre total d’incréments

temporels élément poutre linéaire (B31)

L0 5 mm 16λ 1 806 6 193

élément poutre quadratique (B32)

L0 20 mm 4λ 906 3 645

élément poutre linéaire (B31)

TZ0 0.5 mm 30λ 18 006 165 916

élément poutre quadratique (B32)

TZ0 2 mm 8λ 9 006 190 462

Tableau 4.1 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.

4.4.1.2 Vérification des prévisions à partir de la WFE1D temporel Fort de l’analyse précédente, nous pouvons désormais vérifier la qualité des prévisions en les

comparant à celles de référence calculées par la WFE1D temporel. Premièrement, comparons les réponses transitoires. Pour réaliser les calculs WFE1D temporel, nous avons utilisé les paramètres donnés dans le tableau 4.2.

La figure 4.13 présente les comparaisons des réponses transitoires simulées à partir du code explicite et de la WFE1D temporel pour les chocs longitudinal et transversal. On constate à partir de ces comparaisons que le code simule avec précision la réponse de la poutre en temps courts (onde directe) et ceci pour les deux chocs. Pour s’en convaincre, nous avons mesuré virtuellement les vitesses de phase des ondes propagées par le choc à partir de la technique d’identification présentée Annexe C. Nous les avons ensuite comparées aux vitesses calculées à la section 2.4.3. Les comparaisons des vitesses présentées sur la figure 4.14 montrent alors bien que le code simule

119

correctement la propagation des ondes L0 et TZ0 puisque leur vitesse est comparable à celle déterminée par la WFE1D.

type d’élément nombre nœud

epaisseur

nombre nœud

longueur

nombre nœud

largeur

amortissement hystérétique

incrément temps

temps simulation

élément solide multicouche

linéaire (C3D8) 9 2 11 0.01 0.5 µs 20 ms

Tableau 4.2 : Paramètres utilisés pour les calculs WFE1D temporel.

Autrement, en ce qui concerne les simulations en temps moyens, on observe directement à partir de la comparaison des réponses transitoires (figure 4.13) que le code est incapable de prédire correctement la vitesse des ondes réfléchies pour le choc transversal. En effet, les instants à partir desquels les ondes réflechies atteignent la position de mesure, ici 15 cm, sont sous estimés. Ce constat est en accord avec l’analyse de convergence de la FEM temporel menée dans [Belytschko et al.,1977] puisque l’auteur déclare que la méthode sous estime la vitesse des ondes lorsque l’on emploie une matrice de masse diagonale, ce qui est le cas ici. On peut toutefois émettre une reserve sur cette conclusion car les conditions limites sont prises en compte différemment dans les simultations FEM temporel (conditions limites 1D) et WFE1D temporel (conditions limites 3D). Or, on sait que ces dernières peuvent entrainées des différences importantes sur la propagation d’onde.

Figure 4.13 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses longitudinale (gauche) et transversale (droite) mesurées à 15 cm du choc.

Pour conclure sur ce premier test, nous pouvons dire que les éléments quadratiques sont plus intéressants que les éléments linéaires car ils permettent une convergence plus rapide des solutions EF tout en conservant un rapport faible entre le nombre total de ddl à utiliser, et le nombre total d’itérations temporels. Par ailleurs, nous avons aussi observé que les éléments quadratiques sont insuffisants pour prédire la réponse transitoire de la poutre en temps moyens lorsque cette dernière est soumise à un choc transversal.

Figure 4.14 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses de phase de l’onde L0 (gauche) et de l’onde TZ0 (droite).

120

4.4.2 Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » La seconde structure testée dans cette section est la poutre composite stratifiée unidirectionnelle

étudiée à la section 2.4.2. L’objectif de ce test est donc d’évaluer l’influence de la stratification sur les simulations en vue d’appréhender les risques inhérents à la simulation lorsque l’on modifie l’empilement d’une structure. Pour effectuer cette étude, nous allons pratiquer les mêmes analyses que lors du test précédent, c'est-à-dire évaluer l’influence des paramètres numériques et vérifier la qualité des prévisions pour ainsi conclure. Avant même de mener ce test, il est primordial de rappeler que la stratification influence déjà la modélisation de la poutre. En effet, si l’on se reporte à la section 2.4.2, nous avons constaté que les théories de poutre étaient incapables de reproduire la dispersion des ondes L0 et TZ0 et donc, que le modèle numérique devait être réalisé à partir d’éléments solides. Malheureusement, le code Abaqus/Explicit ne propose pas d’éléments solides multicouches pour modéliser les structures composites stratifiées. Il propose uniquement des éléments coques solides multicouches. Nous nous sommes donc basés sur ces éléments pour réaliser ce cas test.

4.4.2.1 Influence des paramètres numériques du modèle Le code Abaqus/Explicit propose seulement des éléments coques solides à intégration réduite. Ce

type d’élément est intéressant pour réduire le coût numérique des simulations ; toutefois, à condition que l’énergie des forces utilisées pour contrôler les modes de déformation à énergie nulle soit négligeable par rapport à l’énergie totale de la structure (section 4.2.3.1). Pour s’en assurer, il est possible sous Abaqus/Explicit d’effecter un bilan énergétique afin de vérifier que l’énergie des forces reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale. La figure 4.15 présente deux exemples de bilan énergétique effectué lorsque l’on applique un choc longitudinal et transversal sur l’une des extrémités de la poutre. A travers ces exemples, on constate que l’influence de l’intégration réduite est négligeable puisque l’énergie des forces de contrôle est nulle sur toute la durée de la simulation. Nous pouvons donc l’utiliser sans crainte pour réduire le coût de nos simulations.

Figure 4.15 : Influence de l’intégration réduite.

Suite au travail sur l’intégration réduite, nous nous sommes interessés à l’influence de la taille des éléments sur les réponses transitoires. Comme pour la première structure test, nous avons fait varier la taille des éléments et nous avons ensuite comparé les résultats jusqu’à ce qu’il y ait corrélation des réponses. Les modèles étant realisés à partir d’éléments coques solides, seule la taille des éléments suivant la direction de propagation de l’onde est considérée comme variable. La discrétisation utilisée dans la section de la poutre est alors fixée à dix éléments dans la largeur et 8 éléments dans l’épaisseur. Pour effectuer ce choix, nous nous sommes une nouvelle fois basés sur la méthode WFE1D. En effet, au regard des déformées de section évaluées à la section 2.4.2, nous avons pu appréhender, pour chaque onde guidée, les longueurs d’ondes dans la section et ainsi trouver la taille minimale des éléments dans la largeur et l’épaisseur de la poutre.

Ceci étant dit, nous pouvons désormais nous intéresser aux résultats obtenus. La figure 4.16 présente une comparaison des réponses transitoires lorsque l’on fait varier la taille des éléments dans la direction de propagation, ceci pour les chocs longitudinal et transversal. On constate que la taille

121

minimale des éléments doit être de 2 mm pour assurer la convergence des réponses dans le cas du choc longitudinal. Pour le choc transversal, la taille minimale est de 0.5 mm ; cependant il nous a été impossible de comparer les réponses pour une taille d’éléments plus faible en raison des limitations du calculateur. Nous avons donc considérer, à la vue des comparaisons entre la taille 1 mm et 0.5 mm, que la convergence des réponses etait atteinte pour 0.5 mm puisque les écarts observés étaient très faibles.

Pour ce faire une idée du coût numérique des différentes simulations, nous avons réuni pour chaque taille d’élément la valeur du critère de maille, le nombre total de ddl constituant le modèle numérique ainsi que le nombre total d’itérations utilisées (tableau 4.3). On notera que pour calculer les différents critères de maille, nous nous sommes basés sur les longueurs d’ondes calculées à partir de la WFE1D, c'est-à-dire 18 mm pour l’onde L0 et 15 mm pour l’onde TZ0. A partir de ces résultats, on remarque à nouveau qu’il faut utiliser au minimum huit éléments par longueur d’ondes si l’on veut pouvoir assurer la convergence des solutions en temps moyens. Si un choc est appliqué à la fois longitudinalement et transversalement, le dimensionnement du maillage doit être effectué à partir de l’onde de flexion TZ0.

Figure 4.16 : Influence de la taille des éléments sur les vitesses longitudinale (gauche) et transversale (droite) mesurées à 15 cm du choc.

Par ailleurs, il est important de noter que, pour cette analyse de convergence, nous n’avons pas pu évaluer la performance des éléments d’ordre élévé puisque Abaqus/Explicit propose seulement des éléments coques solides linéaires. Des investigations futures doivent donc être menées sur ce point car, comme nous l’avons conclu pour la poutre composite stratifiée quasi isotrope, ces éléments présentent un meilleur rapport qualité/coût numérique.

Type élément Type d’ondes Taille élément

(suivant x)

Critère de maille à 100kHz

Nombre total de ddl

Nombre total d’itérations temporels

élément coque solide multicouche linéaire

(SC8R) L0 2 mm 8λ 223 047 12 356

élément coque solide multicouche linéaire

(SC8R) TZ0 0.5 mm 32λ 891 297 170 617

Tableau 4.3 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.

4.4.2.2 Vérification des prévisions à partir de la WFE1D temporel Dans la section précédente, nous avons calibré les paramètres numériques du modèle afin d’assurer

la convergence des prévisions. A présent, nous allons confronter ces prévisions à celles calculées par la WFE1D temporel et ainsi vérifier leurs qualités. Pour effectuer les simulations à partir de la WFE1D temporel, nous avons employé les paramètres donnés dans le tableau 4.2. Les comparaisons

122

des vitesses, longitudinale et transversale, simulées à partir des deux méthodes sont représentées sur la figure 4.17.

Figure 4.17 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses longitudinale (gauche) et transversale (droite) mesurées à 15 cm du choc.

A partir de ces comparaisons, on constate tout d’abord que les prévisions calculées pour le choc longitudinal sont correctes même en temps moyens, alors que pour le choc transversal, les prévisions semblent convenir uniquement en temps courts. Pour mieux s’en convaincre, nous avons à nouveau décidé d’identifier par intercorrélation la vitesse de phase des ondes en temps courts. Les vitesses de phase identifiées sont comparées sur la figure 4.18 aux vitesses de référence prédites par la WFE1D. On remarque sur ces comparaisons que les vitesses identifiées sont différentes de celles prédites par la WFE1D. Pour l’onde L0, ceci vient du fait qu’il est difficile d’identifier par intercorrélation la vitesse d’une onde lorsque cette dernière se superpose à une autre onde. Or, comme on peut le voir à la figure 4.17, l’onde directe L0 se superpose à la première onde réflechie L0 en raison du caractère dispersif de l’onde. Pour l’onde TZ0, l’écart vient non plus de l’identification par intercorrélation mais de l’homogénéisation realisée par le code pour décrire la déformation de l’élément coques solides dans son épaisseur [Abaqus/Explicit, 2007]. Pour s’en convaincre, nous avons réalisé un calcul WFE1D en modélisant la section de la poutre à partir des éléments coques solides et non des éléments solides comme c’etait le cas dans la section 2.4.3. En comparant les vitesses ainsi calculées à celles identifiées par intercorrélation (figure 4.18), on constate cette fois que les vitesses se corrèlent parfaitement. Les erreurs observées à partir de 20kHz sont donc bien liées à la technique d’homogénéisation utilisée pour prendre en compte la contrainte dans l’épaisseur de la poutre. On conclut donc que le code explicite est incapable de prédire la réponse transitoire lorsque la poutre est sollicitée transversalement à hautes fréquences.

Figure 4.18 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses de phase de l’onde L0 (gauche) et de l’onde TZ0 (droite).

En conclusion, dans ce cas test, nous avons voulu mettre en avant les corrections à apporter à un modèle numérique lorsque l’on modifie la stratification d’une poutre composite stratifiée. À la section

123

2.4.2, nous avons étudié qu’une modification de la stratification pouvait nécessiter un changement du type d’élément. La poutre devait alors être modélisée à partir d’éléments solides. Dans ce second test, nous nous sommes rendu compte, lors de la création du modèle, que le code explicite proposait uniquement des éléments coques solides. Nous avons donc tenté de les utiliser ; cependant plusieurs difficultés ont été rencontrées. Premièrement, pour faire converger les réponses transitoires, nous avons constaté que le nombre d’éléments devait être élevé ce qui entrainait même parfois un coût numérique prohibitif. Nous avons donc essayé d’utiliser des éléments d’ordre plus élevé pour améliorer la convergence mais nous nous sommes heurtés au fait que ce type d’élément n’est pas implémenté dans le code Abaqus/Explicit. Enfin, nous avons aussi vu lors des vérifications qu’il était impossible de simuler la réponse transitoire de la poutre pour un choc transversal car l’homogénéisation dans l’épaisseur de l’élément est incorrecte dans le domaine des hautes fréquences.

4.4.3 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » La dernière structure testée dans cette section est la plaque composite stratifiée quasi isotrope

étudiée à la section 3.4.2. L’objectif de ce test est semblable aux précédents, c'est-à-dire, que nous allons analyser la capacité du code explicite à prédire la réponse transitoire de la structure lorsqu’elle est soumise à un choc haute fréquence. Pour ce faire, nous allons bâtir un modèle numérique à partir de la théorie FSDT validée au chapitre 3, et simuler en temps moyens la réponse transitoire de la plaque à proximité de la source du choc (figure 4.19). Le choc défini pour ce test est celui représenté à la figure 4.20. Il est caractérisé par un contenu fréquentiel élevé s’étendant jusqu’à 15kHz et est appliqué transversalement à la plaque. Des tests similaires ont aussi été realisés à partir d’un choc longitudinal ; cependant des problèmes avec la modélisation EF de l’effort ont été rencontrés. Des investigations futures sont donc à prévoir concernant ce point bloquant.

Figure 4.19 : Description des points d’application du choc et de mesure.

La première étape du test consiste à évaluer l’influence des paramètres numériques du modèle sur la convergence des solutions. Une fois les paramètres calibrés, la vitesse de phase est identifiée par intercorrélation et comparée à celle calculée par WFE2D. Cette comparaison a pour but d’analyser la dispersion numérique de l’onde en temps courts car, comme nous avons pu le voir précédemment, elle est difficile à quantifier depuis une comparaison de réponses transitoires.

124

Figure 4.20 : Représentation du signal temporel (gauche) et de la DFT de l’effort utilisé pour le test 3.

4.4.3.1 Influence des paramètres numériques du modèle Par défaut, le code Abaqus/Explicit propose d’utiliser des éléments coques à intégration réduite.

Des simulations ont donc été réalisées à partir de ces éléments afin d’évaluer s’il etait possible de les employer. La figure 4.21 représente le bilan énergétique effectué lors d’une de ces simulations. Contrairement aux poutres, on constate que l’énergie des forces de contrôle n’est pas nulle. Cependant, elle reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale. Les éléments coques à intégration réduite peuvent donc être employés pour ce test puisque l’on ne risque pas de dégrader les prévisions.

La seconde étape de ce travail consiste à évaluer la convergence des solutions en faisant varier la taille des éléments coques. Pour simplifier l’étude, nous avons utilisé des éléments pour lesquels les tailles sont identiques dans les directions x et y. Pour la stratification étudiée, cette hypothèse semble raisonnable car les ondes se propagent à la même vitesse quelque soit la direction de propagation (voir le plan d’ondes associé à l’onde A0 calculé par la WFE2D à la section 3.4.2). Les vitesses transversales simulées à proximité du choc dans les directions 0°, 45° et 90° sont comparées sur la figure 4.22 pour les différentes tailles d’éléments.

Figure 4.21 : Influence de l’intégration réduite.

A travers ces comparaisons, on constate dans un premier temps que les simulations réalisées à partir du code explicite sont correctes en temps courts, hormis dans la direction 45° lorsque l’élément fait 10 mm. En effet, un léger decalage des réponses apparaît, ce qui veut dire qu’il y a certainement de la dispersion numérique. En temps moyens, on observe là aussi des erreurs de dispersion mais cette fois plus significatives. Cela nous laisse donc penser que la convergence n’est pas assurée. D’autres simulations ont été realisées à partir d’éléments plus petits, seulement leur coût numérique devenait prohibitif. Nous avons donc conclu qu’il est impossible, pour ce test, d’évaluer la taille minimale des éléments garantissant la convergence des réponses en temps moyens.

Ensuite, pour estimer les coûts numériques, nous avons listé les paramètres numériques utilisés pour effectuer les différentes simulations. La longueur d’ondes utilisée pour le calcul des critères de maille, a été estimée par la WFE2D_CYL et est égale à 4 cm. A la vue des résultats présentés dans le tableau 4.4, nous pouvons dire qu’il est necessaire, en temps courts, de prendre au minimum huit

125

éléments par longueur. A contrario, pour les simulations en temps moyens, nous pouvons uniquement affirmer qu’en dessous de seize éléments par longueur d’ondes la convergence n’est pas assurée. Par ailleurs, il est important de noter que, pour cette analyse de convergence, nous n’avons pas pu une nouvelle fois employer d’éléments d’ordre élévé parce que le code explicite n’en propose pas. Des analyses complémentaires doivent donc être menées pour savoir s’il est possible d’accélérer la convergence des solutions à partir de ce type d’éléments.

Figure 4.22 : Influence de la taille des éléments sur les vitesses transversales mesurées à proximité du choc dans les directions 0° (gauche), 45° (milieu) et 90° (droite).

4.4.3.2 Vérification des vitesses de phase à partir de la WFE2D_CYL La dernière étape de ce test consiste à vérifier que les réponses transitoires sont valables en temps

courts. Contrairement aux cas tests précédents, nous nous baserons uniquement sur la comparaison des vitesses de phase identifiée par intercorrélation car la méthode WFE temporel ne peut être appliquées pour l’instant aux plaques. Les comparaisons des vitesses de phase de l’onde A0 dans les directions 0°, 45° et 90° sont représentées sur la figure 4.23. On remarque, dans les directions 0° et 90°, que les vitesses identifiées se corrèlent bien à celles calculées par WFE2D_CYL puisque l’erreur maximale est de 5%. En revanche, dans la direction 45°, on observe des écarts plus importants de l’ordre de 7% pour les tailles 2.5 et 5 mm, et de 16% pour la taille 10 mm. Ceci s’explique simplement puisque la

distance entre deux nœuds dans la direction 45° est plus grande d’un rapport 2 que dans les directions 0° et 90°. On s’attend donc à ce que l’erreur de dispersion liée à la discrétisation spatiale soit plus elevée. Autrement, on peut aussi remarquer que, quelque soit la direction, les vitesses identifiées pour les tailles 2.5 et 5 mm sont identiques alors que pour 10 mm elles se décorrèlent à mesure où l’on monte en fréquence. De part cette observation, nous pouvons dire que la simulation realisée à partir des éléments de 10 mm n’a pas convergée.

Type élément Taille élément (suivant x et y)

Critère de maille (à 15kHz)

Nombre total de ddl Nombre total d’itérations

Elément coque multicouche linéaire

(S4) 10 mm 4λ 56 070 4 827

Elément coque multicouche linéaire

(S4) 5 mm 8λ 221 958 9 546

Elément coque multicouche linéaire

(S4) 2.5 mm 16λ 883 206 19 190

Tableau 4.4 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.

Pour résumer, nous avons vu que le code explicite était capable de simuler avec précision la réponse transitoire en temps courts à condition de prendre au moins huit éléments par longueur d’ondes. En ce qui concerne les simulations en temps moyens, nous avons montré que les réponses ne convergent pas lorsque l’on prennait moins de 16 éléments par longueur d’ondes. Pour parfaire ce travail, nous avons réduit le coût numérique à partir de l’intégration réduite ; toutefois, le mieux serait d’utiliser des éléments d’ordre élevé. Malheureusement, aucun élément de ce type n’est implémenté dans le code Abaqus/Explicit. Enfin, lors des vérifications, nous avons montré que l’erreur de

126

dispersion était plus importante dans la direction 45° que dans les directions 0° et 90° en raison de la discrétisation spatiale.

Figure 4.23 : Vérification à partir de la WFE2D_CYL des vitesses de phase identifiées par intercorrélation dans les directions 0° (gauche), 45° (milieu) et 90° (droite).

4.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons décrit, dans un premier temps, la méthode FEM temporel implémentée dans le code Abaqus/Explicit. Lors de cette description, nous avons mis en avant le paramétrage numérique (discrétisation spatio-temporelle, intégration des matrices, condensation de masse) utilisé par le code pour simuler la réponse transitoire d’une structure. Par la suite, une analyse de convergence a été proposée et nous avons constaté que les solutions pouvaient être polluées en raison d’erreurs de dispersion. Pour vérifier la qualité des solutions lors des applications, nous proposons donc de les comparer à celles calculées à partir d’une méthode semi-analytique. Pour cela, la méthode WFE a été étendue à la dynamique transitoire. Cette méthode, basée sur une synthèse ondulatoire d’ondes guidées, entraîne elle aussi des erreurs de dispersion ; toutefois, ces dernières peuvent se contrôler avant une simulation à partir des courbes de dispersion (voir section 2.4.4).

Différents tests ont ensuite été menés à partir des deux méthodes pour évaluer la capacité d’un code explicite à simuler la réponse transitoire d’une structure composite stratifiée soumise à un choc haute fréquence. Lors de ces tests, nous avons montré que les maillages devaient être très raffinés et qu’il ne suffisait pas de prendre huit éléments par longueur d’ondes pour garantir la convergence des solutions sur toute la durée d’une simulation. La règle de conception utilisée industriellement pour dimensionner les maillages est donc à revoir. Des analyses ont été menées à partir des éléments d’ordre élevé ; ce qui nous a permis de constater qu’ils étaient une bonne solution pour réduire le coût numérique d’une simulation. Il faut noter toutefois que le code Abaqus/Explicit propose uniquement des éléments quadratiques poutres. Nous n’avons donc pas pu les tester pour des simulations réalisées à partir d’autres types d’éléments (coques solides, coques, etc.).

Autrement, comme au chapitre 2, nous avons analysé les modifications à apporter au paramétrage numérique d’un modèle lorsque l’on fait varier la stratification de la structure. Hormis la modification du type d’élément, les résultats ont montré qu’il est impossible de simuler la réponse transitoire en temps courts d’une poutre composite stratifiée unidirectionnnelle, alors que pour une poutre composite stratifiée quasi isotrope cela l’est. Pour comprendre cet échec, des investigations ont été menées et nous avons compris que l’erreur etait liée unquiement à la technique d’homogénéisation utilisée par le code pour prendre en compte la stratification dans l’epaisseur d’un élément coque solide.

Enfin, lors de ce travail, nous avons aussi montré que les erreurs de dispersion étaient difficiles à quantifier en temps courts à partir de la seule comparaison de réponses transitoires. Pour pallier cette limitation et ainsi parfaire les vérifications, nous avons vu que la comparaison des vitesses de phase était une bonne solution ; toutefois, à condition d’améliorer les techniques d’identification. En effet, l’identification des vitesses ne peut se faire correctement lorsque les ondes se superposent dans la réponse.

127

Chapitre 5

Validation des modèles

5.1 Introduction

Pour vérifier la qualité de leurs simulations, les industriels comparent à des essais les réponses transitoires mésurées à différents endroits de la structure, ou bien des spectres de réponse au choc (SRS, Shock Response Spectrum). Lorsque ces corrélations essai/calcul concordent, ils sont en mesure d’affirmer que les prévisions simulées sont valides. En pratique, il arrive cependant qu’on observe des écarts sur les corrélations essai/calcul qui mettent alors en doute la validité du modèle utilisé pour les simulations. Dans ce cas, on cherche à analyser ses limitations en vue de le recaler. Cependant, cela est très difficile car, premièrement, les réponses transitoires peuvent être très sensibles aux données de l’essai [Dommanget et al., 2005] et deuxièmement, l’interprétation physique à partir d’un SRS est rendue difficile en raison de la perte d’information occasionnée lors de son calcul [Lalanne, 1999]. Par ailleurs, il faut aussi remarquer qu’aucun capteur ne permet actuellement de mesurer l’effort généré par un choc pyrotechnique. Lors du recalage d’un modèle, il est donc compliqué de savoir si les limitions proviennent plutôt du modèle de la structure ou du choc. Dans ce chapitre, nous cherchons donc à mettre au point un essai dédié à la validation du modèle de la structure à hautes fréquences. Pour cela, nous nous sommes basés sur des grandeurs globales, les courbes de dispersion, afin de pallier les limitations décrites précédemment. Comme pour l’analyse modale en dynamique stationnaire, cet essai devra être vu comme étant complémentaire d’un essai choc. En effet, dans le premier cas, on cherchera uniquement à valider le modèle de la structure, tandis que dans le second, on validera un modèle cormprenant à la fois la structure et le choc.

5.2 Revue des techniques d’identification de la vitesse de phase d’une onde

A travers cette première section, nous allons présenter les différentes techniques proposées dans la littérature pour identifier les vitesses de phase. Pour les décrire, nous les avons dissociées en fonction du type de phénomène mis en jeu : 1) propagation d’ondes (regime transitoire), 2) vibration forcée (regime stationnaire). Suite à cette description, une synthèse sera proposée en vue de sélectionner celle qui paraît la plus adaptée à nos besoins. Pour ne pas alourdir cette revue, il est important de noter que nous nous sommes volontairement limités aux techniques utilisées pour mesurer les vitesses de phase. Les techniques telles que l’analyse temps-fréquence, utilisées pour identifier les vitesses de groupe ne seront donc pas présentées ici. Pour s’en faire une idée, on pourra se référer à la revue menée dans [Grondel, 2000].

128

5.2.1 Les techniques basées sur la propagation d’ondes Premièrement, intéressons-nous aux techniques que l’on recontre couramment en contrôle non

destructif (CND), c'est-à-dire les techniques mettant en jeu des phénomènes de propagation d’ondes.

5.2.1.1 L’identification directe L’identification directe est sans nul doute l’une des techniques les plus simples à mettre en oeuvre

pour mesurer une vitesse de phase. En effet, il suffit simplement de mesurer deux signaux distants d’une longueur L dans la direction de propagation de l’onde (figure 5.1), et de mesurer leur déphasage ∆φ. La vitessse de phase se calcule alors à partir de l’expression suivante :

L

cω

φ=

∆ (5.1)

Cette technique d’identification est fortement limitée car elle s’applique uniquement aux ondes non dispersives. Cependant, on la rencontre parfois en émission acoustique (AE, Acoustic Emission) pour identifier la vitesse des ondes S0 [Prosser et al., 1994].

Figure 5.1 : Montage expérimental utilisé pour l’identification directe et l’identification par intercorrélation.

5.2.1.2 L’identification par intercorrélation L’identification directe étant limitée aux ondes non dispersives, les chercheurs ont dû mettre au

point des techniques d’identification plus sofistiquées pour pouvoir traiter les ondes dispersives. L’identification par intercorrélation, qui fait partie de ces techniques, se différencie principalement de l’identification directe au niveau du traitement des signaux. En effet, pour évaluer la phase, on doit désormais estimer une fonction d’intercorrélation entre les deux signaux (voir Annexe C).

Figure 5.2 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par densité spectrale d’energie (extrait de

[Grondel, 2000]).

Historiquement, cette technique a été appliquée en AE [Prosser et al., 1994] ; cependant on l’utilise désormais pour d’autres applications comme par exemple : le CND à partir d’ondes de Lamb [Barnoncel, 2006], la vibroacoustique [Guillaumie et al., 2005] ou bien encore en choc [Grédé et al., 2006]. La différence vient alors principalement du type de capteur utilisé pour effectuer la mesure des signaux : capteur AE, transducteur piézocomposite, vibromètre laser (Figure 5.3). De même pour

129

émettre les ondes, les dispositifs sont différents. On utilise par exemple des cassés de mine en émission acoustique, des transducteurs piézocéramiques en CND ou bien encore des pots vibrants en vibroacoustique (Figure 5.4).

(a) Capteur EA (b) Capteur piézocéramique (c) Vibromètre laser

Figure 5.3 : Les différents types de capteur utilisés pour l’identification par intercorrelation.

Malheurement, il arrive parfois que cette technique soit limitée en raison des phénomènes de superposition d’ondes. En pratique, ces superpositions se rencontrent lorsque la propagation est multimodale ou bien lorsqu’il y a des réflexions d’ondes sur les bords de la structure.

5.2.1.3 L’identification par densité spectrale d’énergie Comme nous l’avons dit précédemment, il est difficile de mesurer la vitesse d’une onde lorsque

plusieurs modes se propagent en même temps dans la structure (propagation multimodale). En CND, ce problème se rencontre souvent lorsqu’on cherche à mettre au point un contrôle à partir d’ondes de Lamb. Des techniques ont donc été développées afin de pouvoir identifier la vitesse des ondes lorsque la réponse structurale est multimodale. Dans ces techniques, on note tout d’abord la technique d’identification proposée par [Grondel, 2000] qui s’appuie sur le montage expérimental présenté sur la figure 5.2. Dans cet essai, l’auteur utilise un transducteur sabot pour émettre les ondes. Ce transducteur, piloté par un générateur de fonction sinusoïdale à fréquence variable, permet de selectionner le type d’ondes émises. Pour les mesures, l’auteur utilise une barrette piézocéramique dont le positionnement est assuré par une vis micrométrique. La précision de ce type de montage est alors de l’ordre de 0.01 mm, ce qui permet d’identifier les vitesses à des fréquences de l’ordre du MHz. En ce qui concerne le traitement des signaux appliqué, l’auteur propose de calculer la densité spectrale d’énergie (ESD, Energy Spectral Density) du signal mesuré à partir de l’expression suivante :

( ) ( ) ( )21

0

1,

xp p

Njk x

p p ppx

P k s x t w x eN

−−

== ∑ (5.2)

où : ( ),ps x t représente le signal mesuré sur xN points de mesure et ( )pw x une fenêtre de

pondération permettant d’optimiser l’identification. Sachant que le signal mesuré est de la forme :

( ) ( )nb_modes

1

, cosi ii

s x t S k x tω=

= −∑ (5.3)

L’auteur montre que la ESD du signal (5.3) s’exprime comme suit :

130

( ) ( )( )( )( )

21 2

0

sin 2

4 sin 2

xNx p ii

pp x p i

N k kSP k

N k k

−

=

− = −

∑ (5.4)

A partir de l’expression (5.4), on constate qu’il suffit de chercher les différents maxima de la ESD pour identifier les nombres d’ondes ki et de surcroît les vitesses de phase.

Dans [Grondel, 2000], l’identification par densité spectrale d’énergie a été utilisée avec succès pour identifier la vitesse des ondes de Lamb dans des plaques composites stratifiées. Le caractère contraignant de cette méthode reste toutefois le nombre important de mesures à effectuer. En effet, pour bâtir les courbes de dispersion, il faut réitérer la mesure de la réponse structurale sur l’ensemble des fréquences étudiées, ce qui peut être fastidieux pour certains cas d’applications.

(a) Cassé de mine (b) Émetteur piézocéramique (c) Pot vibrant

Figure 5.4 : Les différents types d’émetteur utilisés pour l’identification par intercorrelation.

5.2.1.4 L’identification par transformée de Fourier 2D L’identification par transformée de Fourier 2D, proposée dans [Alleyne et al., 1991], est l’une des

techniques les plus répandues en CND par ondes de Lamb, car elle permet une mesure rapide des courbes de dispersion, contrairement à l’identification par densité spectrale d’énergie présentée précédemment. Cette technique utilise le même type de montage expérimental que l’identification par densité spectrale d’énergie ; cependant l’emission des ondes se fait maintenant sur une large bande fréquentielle. De ce fait, le traitement du signal a dû être modifié pour ainsi tenir compte du contenu fréquentiel du signal. L’auteur propose pour cela d’appliquer une DFT en espace et en temps (spatial-temporal DFT) dont l’expression est donnée par :

( ) ( ) ( )1 1

0 0

1ˆ , ,

x tn p m q

N Ni k x t

n m p qp qx t

u k u x t eN N

ωω− −

− +

= == ∑ ∑ (5.5)

Grâce à ce type de traitement, il est désormais possible d’identifier sur toute une bande de fréquence les vitesses de phase ainsi que les amplitudes associées à chacune des ondes.

Les résultats présentés dans [Alleyne et al., 1991] montrent que l’identification des vitesses des ondes S0, A0 et A1 est très précise pour des fréquences de l’ordre du Mhz. Les erreurs observées sur les corrélations essai/calcul restent toujours inférieures à 2%. De plus, l’auteur montre que la technique s’applique lorsqu’il y a présence d’ondes réflechies sur le signal ; toutefois, ces dernières ne se superposent pas à l’onde directe. Enfin, cette technique s’adapte très bien au besoin industriel car les essais peuvent être menés à partir d’une large gamme de transducteurs. On note par exemple les travaux de [Alleyne et al., 1991] avec des transducteurs à couplage fluide, les travaux de [Castaings et al., 1996] avec des transducteurs à couplage air ou bien encore les transducteurs piézocéramiques collés utilisés dans [Grondel, 2000]. Une illustration des différents types de capteurs et d’émetteurs est donnée à la figure 5.5.

131

Figure 5.5 : Les différents capteurs et émetteurs utilisés pour l’identification par transformée de Fourier 2D.

5.2.2 Les techniques basées sur les vibrations forcées Toutes les techniques présentées précédemment ont été mises au point pour le CND. Or, en

vibroacoustique, des travaux analogues ont aussi été menés afin d’identifier les paramètres ondulatoires nécessaires aux méthodes énergétiques présentées à la section 1.4.1. Dans la littérature, on constate qu’il existe un grand nombre de ces techniques ; toutefois, elles sont dédiées majoritairement aux poutres. Pour ne pas surcharger cette partie, nous nous sommes donc restreints uniquement à celles proposées pour traiter les plaques.

Figure 5.6 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par phonoscopie (extrait de [Maliczak et al.,

2004]).

5.2.2.1 L’identification par phonoscopie La phonoscopie, développée à l’origine par [Villot et al., 1992], est une technique permettant

d’estimer l’intensité vibratoire de parois en génie civil ; toutefois, elle peut aussi être employée pour déterminer les nombres d’ondes d’une plaque composite sandwich comme on peut le voir dans [Maliczak et al., 2004]. Dans cette technique, un haut parleur est utilisé afin d’émettre une onde acoustique dans une salle réverbérante (figure 5.6). Les réflexions de cette onde sur les parois de la salle permettent ensuite de solliciter la plaque sur toute sa surface. Pour les mesures, on balaie un microphone à proximité de la plaque et on déduit ensuite son champ vibratoire à partir de la technique nearfield acoustical holography (NAH) introduite dans [Williams, 1999]. Les nombres d’ondes sont finalement identifiés en appliquant une double DFT en espace (2D spatial DFT) sur le champ mesuré. Pour ne pas confondre cette transformée à la spatial-temporal DFT (équation (5.5)), considèrons u le champ vibratoire mesuré à la pulsation ω . La 2D spatial DFT de ce champ s’exprime alors :

( ) ( ) ( )11

0 0

1ˆ , ,

yxn p m q

NNi k x k y

n m p qp qx y

u k k u x y eN N

−−− +

= == ∑ ∑ (5.6)

Cette technique a été appliquée avec succès dans [Villot et al., 1992] pour une paroi équipée d’une fenêtre sur [0-2kHz], mais aussi dans [Maliczak et al., 2004] pour une plaque sandwich sur [0-

132

1.5kHz]. Son inconvénient majeur reste cependant sa précision. En effet, lorsque l’on utilise une 2D spatial DFT, on peut rencontrer des problèmes de fenêtrage imposé par les bords de la structure qui entraîne des dégradations sur les nombres d’ondes prédits.

5.2.2.2 L’identification par corrélation Une seconde technique utilisée en vibroacoustique est celle proposée dans [Fergusson et al., 2002].

Le montage utilisé pour mesurer le champ vibratoire est semblable à celui représenté sur la figure 5.8. La plaque est donc sollicitée ponctuellement à partir d’un pot vibrant et le champ est mesuré à partir d’un laser sur une grille de points régulièrement espacés. Pour identifier les plans d’ondes, l’auteur applique ensuite au champ mesuré une 2D spatial DFT. Cependant, comme pour l’identification par phonoscopie, les prévisions obtenues sont dégradées en raison du fenêtrage imposé par les bords de la structure. Pour pallier cette limitation, l’auteur modifie alors le traitement du signal en ne calculant

plus la fonction (5.6) sur un maillage régulier ( ),x yk k , mais en cherchant à partir des moindres carrés

les valeurs des nombres d’ondes maximisant la fonction (5.6). On n’a donc plus affaire à une identification par 2D spatial DFT mais à une identification par corrélation puisqu’on cherche à corréler

au mieux le champ ( )ˆ ,u x y à partir d’une onde homogène s’exprimant :

( )x p y qi k x k yeϕ − += (5.7)

A partir de ce nouveau traitement, l’auteur améliore la précision des résultats, que ce soit pour des plaques isotrope ou composite stratifiée ; toutefois, cela reste toujours insuffisant. On note aussi qu’une seule direction du plan d’ondes peut être identifiée à partir de cette technique. D’autres travaux ont donc été entrepris pour pallier les insuffisances de l’identification par corrélation. Un premier travail [Halkyard, 2007] propose d’étendre au cas des plaques l’approche « maximum likelihood », introduite dans [Halliday, 2002], et de la coupler à l’identification par corrélation. Pour ce faire, l’auteur transforme la recherche par moindres carrés en une recherche par moindres carrés non linéaires et utilise l’approche « maximum likelihood » pour effectuer la résolution. Pour initier la recherche, l’auteur utilise les nombres identifiés par l’identification par corrélation de [Fergusson et al., 2002]. Grâce à ces modifications, il montre qu’il est désormais possible d’identifier avec précision les plans d’ondes pour des plaques isotrope et composite stratifiée. Néanmoins, on doit préciser que cette technique utilise un nombre fixe d’ondes homogènes pour effectuer les corrélations. Ceci peut donc entacher son caractère prédictif. Un second travail [Berthaut, 2004] propose lui aussi une nouvelle identification par corrélation ; toutefois, en ne corrélant plus le champ u à partir d’ondes homogènes (5.7) mais à partir d’ondes inhomogènes exprimées en coordonnées cylindriques, soit :

( ) ( ) ( )( )1 cos sinp qik i x y

eη θ θϕ − + += (5.8)

En choisisant des ondes inhomogènes, l’auteur montre que cette nouvelle technique, baptisée inhomogeneous wave correlation (IWC), est capable d’identifier avec précision les nombres d’ondes et ceci dans toutes les directions. Les structures testées étaient des plaques sandwich nid d’abeille, des parois poroélastiques ou bien encore des plaques raidies. Par ailleurs, les identifications ont été réalisées à des fréquences comprises entre 0 et 5 kHz.

Enfin, pour conclure, il est important de noter que les techniques d’identification par corrélation présentent toutes une limite fréquentielle. En effet, il s’avère qu’à basses fréquences la réponse de la plaque est dominée par ses modes propres. Or, en observant à la figure 5.7 la 2D spatial DFT d’un de ces modes, on constate que l’énergie n’est pas équirépartie sur toutes les directions de propagation et donc qu’il sera impossible d’identifier les nombres d’ondes dans ces directions. Pour faire face à ce problème, les auteurs proposent de confronter les plans d’ondes identifiés expérimentalement à ceux calculés théoriquement pour ainsi extrapoler les nombres d’ondes dans les directions peu porteuses d’energie [Berthaut, 2004].

133

Figure 5.7 : Champ de déplacement d’un mode propre (gauche) 2D spatial DFT du mode propre (droite).

5.2.3 Synthèse En vue de sélectionner une des techniques d’identification présentées précédemment, nous les

avons synthétisées suivant six critères dans le tableau 5.1. A partir de cette synthèse, nous pouvons tout d’abord dire qu’aucune des techniques d’identification n’est pour l’instant apte à répondre entièrement à nos besoins.

Tout d’abord, si l’on s’intéresse aux techniques basées sur les phénomènes de propagation d’ondes, on remarque qu’elles permettent une identification des vitesses sur une très large bande fréquentielle même lorsque la propagation est multimodale. On note aussi qu’il existe une très grande variété de moyens d’essai disponibles ce qui permet une meilleure adaptation du banc d’essai à nos besoins. En revanche, il semble très difficile à partir de ces techniques de traiter les fréquences inférieures à 100kHz puique les signaux présentent des superpositions d’ondes liées aux réflexions sur les bords de la structure. Il faudrait donc conduire des travaux de recherche sur le traitement des signaux afin de pallier cette limitation.

Technique d’identification

Physique utilisée

Type Emission des

ondes Mesure de la

réponse Traitement

signaux Applications

Directe Propagation

d’ondes monomode Cassé de mine Capteur AE - CND

Intercorrélation Propagation

d’ondes monomode

Cassé de mine Piézocéramique

Pots vibrants

Capteur AE Piézocéramique

Vibromètre

Temporal DFT

CND Vibroacoustique

Choc

Densité spectrale d’énergie

Propagation d’ondes

multimode Transducteur

type sabot piézocéramique Spatial DFT CND

Transformée de Fourier 2D

Propagation d’ondes

mutlimode

Transducteur collé, couplage air ou couplage

fluide

Transducteur collé, couplage air ou couplage

fluide

Temporal-Spatial DFT

CND

Phonoscopie Vibrations

forcées monomode Haut parleur Microphone

2D Spatial DFT

Vibroacoustique

Corrélation Vibrations

forcées monomode Pot vibrant

Vibromètre laser

Corrélation à partir d’ondes

Vibroacoustique

Tableau 5.1 : Synthèse des techniques d’identification.

134

Autrement, en ce qui concerne les techniques basées sur les vibrations forcées, on constate là encore que les moyens d’excitation et de mesure proposés sont très diversifiés pour faciliter la mise en œuvre expérimentale. Par ailleurs, les résultats présentés dans la littérature sont prometteurs puisqu’ils indiquent que ces techniques permettent une identification correcte des vitesses dans le domaine des basses fréquences. Malheureusement, on note aussi certains inconvénients à ces techniques. Tout d’abord, il est difficile de les utiliser au delà de quelques kilohertz en raison des limitations inhérentes aux moyens d’excitation. Par ailleurs, les moyens ne permettent pas de sélectionner le type d’ondes ce qui empêche donc l’identification de certaines courbes de dispersion. Enfin, il se pose un problème de dualité onde/mode qui limite les identifications à basse fréqeunce.

Au final, nous décidons d’utiliser la technique IWC car elle nous semble plus à même d’identifier les vitesses sur la bande [0-100kHz]. Bien entendu, nous ne pourrons pas traiter l’ensemble des fréquences, cependant, des travaux futurs pourront être menés pour étendre l’applicabilité de cette technique.

5.3 Identification à partir de la technique IWC

A travers cette section, nous allons décrire la technique IWC qui a été developpée dans [Berthaut, 2004]. Dans un premier temps, nous présenterons l’essai permettant d’aquérir le champ vibratoire de la plaque lorsqu’on la sollicite par un bruit blanc. Nous verrons ensuite de quelle manière identifier les vitesses de phase lorsque l’on corrèle ce champ à des ondes inhomogènes. Enfin, une discussion sur la limite fréquentielle de la technique IWC viendra conclure cette section pour ainsi appréhender les éventuelles erreurs commises lors des tests qui seront présentés à la section suivante.

5.3.1 Mesure du champ vibratoire Lorsque l’on veut mener une identification à partir de la technique IWC, il faut premièrement

mener des expériences afin d’acquérir le champ vibratoire de la plaque. En dynamique stationnaire, il existe différentes façons d’acquérir ce champ, que ce soit en ce qui concerne l’exitation, ou bien en ce qui concerne la mesure. Si l’on se réfère à la revue menée à la section 5.2.2, on constate que l’excitation peut être realisée à partir d’un haut parleur ou un pot vibrant, alors que pour la mesure, ce sont un microphone ou un vibromètre laser qui peuvent être utilisés.

Figure 5.8 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par corrélation (extrait de [Berthaut, 2004]).

Dans le cadre de cette thèse, nous avons employé le même appareillage que celui utilisé dans [Berthaut, 2004], c'est-à-dire, un pot vibrant pour l’excitation et un vibromètre pour la mesure (voir figure 5.8). L’utilisation de ces appareils présente plusieurs avantages comme le mentionne l’auteur. Tout d’abord, l’utilisation d’un pot vibrant permet d’exciter la structure à des fréquences pouvant aller jusqu’à 5kHz mais aussi de contrôler la qualité de la force générée par le pot vibrant grâce au capteur de force placé entre le pot et la structure. De même, pour la mesure, le fait d’utiliser un vibromètre

135

laser permet une mesure sans contact de la vitesse de la plaque. Par ailleurs, si ce vibromètre est à balayage, il sera possible d’effectuer un balayage automatique de l’ensemble des points de mesure, ce qui peut s’avérer très pratique lorsque l’on doit répéter plusieurs fois l’essai ou bien lorsque le nombre de points est important.

Nom Pot vibrant Vibromètre laser Capteur de force Echantillonneur

Référence Brüel & Kjaer

4801 Brüel & Kjaer

8330 Brüel & Kjaer

8001

Brüel & Kjaer PULSE™ 3560-C

Tableau 5.2 : Nomenclature des appareils utilisés pour réaliser le banc d’essai.

Bien entendu, ce banc d’essai présente aussi certains inconvénients. Tout d’abord, il est impossible d’identifier les vitesses au-delà de 5kHz en raison de la fréquence de coupure du pot. D’autres moyens d’excitation devront donc être testés à l’avenir afin de pouvoir augmenter la limite fréquentielle du banc. Deuxièment, la précision de positionnememnt du vibromètre laser à balayage est très faible pour permettre de realiser des identifications à hautes fréquences. Pour y remédier, il serait préférable d’utiliser un vibromètre laser fixe et de le piloter à un système de déplacement micrométrique toutefois, cela peut être coûteux à mettre au point.

A présent, en ce qui concerne le pilotage du banc, un échantillonneur est utilisé pour recueillir les signaux issus du vibromètre et du capteur de force, mais aussi pour émettre un bruit blanc vers le pot vibrant. On notera que ce signal est amplifié avant d’être émis au pot à partir d’un amplificateur de courant.

Figure 5.9 : Banc d’essai realisé pour mesurer le champ vibratoire d’une plaque soumise à un bruit blanc.

Au final, le banc d’essai realisé est celui représenté sur la figure 5.9. La nomenclature des appareils utilisés pour réaliser ce banc est, quant à elle, donnée dans le tableau 5.2. On précise enfin que les essais realisés à partir de ce banc peuvent être simulés à partir d’un code de calcul standard. Par conséquent, des essais virtuels ont été menés pour ainsi calibrer les différents paramètres de l’essai réel.

5.3.2 Corrélation du champ à partir d’ondes inhomogènes Fort du champ vibratoire, nous pouvons désormais identifier la vitesse de l’onde émise par le pot

en utilisant la technique IWC. Pour cela, considérons u le champ vibratoire mesuré à la pulsation ω . D’après [Langley, 1997], ce champ peut être décomposé en ondes inhomogènes de la façon suivante :

136

( ) ( ) ( ) ( )( )1 cos sin

1 1

, j j jN N

ik i x y

j c j j cj j

u x y A e u A uγ θ θ ϕ− + +

= =

= + = +∑ ∑ (5.9)

avec : jϕ la ième onde inhomogène et cu le terme correspond au champ proche qui peut être négligé

lorsqu’on se situe loin des sources d’excitation et des bords. Le principe de la technique IWC est simple puisqu’il consiste à extraire du champ vibratoire u les nombres d’ondes jk . Pour cela, on va

corréler au champ vibratoire u une onde inhomogène iϕ à partir du critère de corrélation suivant :

( , , )i

Si i i

i i

S S

u dxdy

IWC ku u dxdy dxdy

ϕγ θ

ϕ ϕ

⋅=

⋅ ⋅ × ⋅ ⋅

∫∫

∫∫ ∫∫ (5.10)

Ce critère permet de quantifier l’énergie de l’onde iϕ contenu dans le champ vibratoire u .

L’identification des paramètres ondulatoires peut alors être opérée à partir de (5.10) en cherchant les

valeurs de ( ),i ik γ pour lesquelles le critère est maximum. Toute la difficulté de la technique IWC

réside donc dans la recherche de ce maximum. Pour éviter les minima locaux, [Berthaut, 2004] propose d’effectuer la recherche suivant trois étapes :

1) On recherche la valeur du nombre d’ondes 0k maximisant le critère IWC lorsque

l’amortissement spatial est nul.

2) En utilisant le nombre d’ondes trouvé à la première étape, on recherche ensuite la valeur de l’amortissement spatial 0γ maximisant le critère IWC.

3) A partir des valeurs ( )0 0,k γ déterminées aux étapes 1) et 2), on opère une dernière recherche

autour de ces valeurs à partir d’une méthode de gradient.

Au final, on identifie à la pulsation ω et dans la direction θ les paramètres ondulatoires de la plaque,

c'est-à-dire, le nombre d’ondes ( ),k ω θ et l’amortissement spatial ( ),γ ω θ .

En itérant l’algorithme de recherche décrit précédemment sur un ensemble fini de directions, on est

alors en mesure d’identifier les plans d’ondes ( )0,k θ ω ainsi que l’amortissement structural ( )0,γ θ ω

en fonction de la direction de propagation de l’onde. Pour éviter d’éventuelles erreurs lors de cette identification, un tri est effectué sur les paramètres identifiés afin de ne pas tenir compte des ondes transportant peu d’énergie dans une direction iθ . Pour cela, on doit vérifier que les paramètres

( )0,ik θ ω et ( )0,iγ θ ω répondent aux conditions suivantes :

− La quantité d’énergie de l’onde ne doit pas être trop faible : ( , , ) 0.35iIWC k γ θ >

− L’amortissement de l’onde ne doit pas être trop important (onde évanescente) : 1%γ <

− L’amortissement de l’onde doit être positif : 0%γ >

− Le nombre d’ondes doit être compris dans l’intervalle ( ) ( )100 ,x xπ π∆ ∆

137

avec : x∆ la distance entre deux nœuds du maillage expérimental. Enfin, la dernière étape consiste à itérer toute la procédure sur la bande fréquentielle d’étude pour ainsi être en mesure d’identifier les

courbes de dispersion ( )0,k θ ω ainsi que l’amortissement structural ( )0,γ θ ω en fonction de la

fréquence. Bien entendu, si l’on s’intéresse aux vitesses de phase et non aux nombres d’ondes, il suffit d’utiliser la relation c kω= lors du post-traitement.

Pour bien distinguer toutes les étapes qui viennent d’être décrites, nous avons réprésenté à la figure 5.10 l’algorithme implémenté sous Matlab permettant d’identifier les plans et les courbes de dispersion à partir de la technique IWC.

Figure 5.10 : Algorithme décrivant les étapes d’une identification à partir de la technique IWC.

5.3.3 Limitations de la technique Lors de la description de la technique IWC menée à la section précédent, nous avons vu de quelle

façon identifier les vitesses de phase à partir d’un champ vibratoire. Cependant, nous n’avons pas émis d’hypothèse concernant la décomposition du champ donnée à l’équation (5.9). En effet, il a été dit brièvement que certains paramètres seront rejetés car ils correspondent à des ondes contribuant faiblement dans la décomposition ; néanmoins on ne sait pas comment cela va affecter l’identification, en particulier la dépendance angulaire et fréquentielle des vitesses. De plus, la décomposition du champ utilisé se base sur une approche ondulatoire alors que l’on a plutôt tendance, en vibration forcée, à utiliser une approche modale. On peut donc se questionner sur les limites de cette technique. En particulier, peut-on identifier les vitesses lorsque peu d’ondes contribuent dans la décomposition et lorsque les longueurs d’ondes sont grandes par rapport aux dimensions de la structure (domaine basse fréquence) ?

138

Exemple 1 Amplitude constante

Exemple 2 Amplitude continue

Exemple 3 Amplitude discrète

Nombres d’ondes

jk

Amplitudes

jA

Champ vibratoire

u

Nombre d’ondes identifiés

( )0,ik θ ω

Tableau 5.3 : Analyse des limites de la technique IWC liées à l’amplitude des ondes inhomogènes.

Des hypothèses ont déjà été émisses dans [Berthaut, 2004]. D’après l’auteur, la technique IWC identifie correctement les paramètres lorsque que le recouvrement modal3 est fort, car dans ce cas, l’énergie se répartit dans toutes les directions de propagation. A travers l’hypothèse donnée, on associe une vision modale et une vision ondulatoire des phénomènes. Or, d’après [Langley, 1997], ces deux approches peuvent être utilisées pour analyser le comportement dynamique d’une structure ; toutefois il est impossible d’expliquer à partir d’une approche ondulatoire l’existence d’un mode et vis et versa. Cela veut donc dire qu’on ne peut assurer le fait qu’un fort recouvrement modal entraîne une équirépartition des ondes puisqu’il existe une dualité entre les deux approches. Pour tenter d’appréhender les limites de la technique IWC, nous allons donc plutôt vérifier, à partir d’exemples simples, sa capacité à identifier correctement les paramètres lorsque ces derniers ont été fixés arbitrairement.

3 Le recouvrement modal est une grandeur physique couramment employée en dynamique stationnaire. Il est le produit de la densité modale, du facteur d’amortissement et de la fréquence. A partir de sa valeur, on est en mesure d’identifier les régimes vibratoires basses, moyennes et hautes fréquences. Par exemple, lorsque ce dernier est inférieur à 1, on dit que le régime vibratoire est basse fréquence et donc que la réponse structurale présente un comportement modal marqué pour ces fréquences.

139

Exemple 1

Nombre d’ondes faible Exemple 2

Nombre d’ondes élevé

Nombres d’ondes

jk

Amplitudes

jA

Champ vibratoire u

Nombre d’ondes identifiés

( )0,ik θ ω

Tableau 5.4 : Analyse des limites de la technique IWC par rapport à la longueur d’ondes.

Premièrement, analysons les limites lorsque l’on fait varier l’amplitude des ondes inhomogènes dans la décomposition du champ vibration vibratoire. Pour effectuer cette analyse, nous avons défini trois exemples pour lesquels les nombres d’ondes jk ont été fixés à 10 rad/m. La distribution des

amplitudes jA suivant la direction θ peut quant à elle varier de façon constante, continue ou bien

discrète. A la vue des résultats présentés dans le tableau 5.3, on vérifie bien que la technique IWC

identifie correctement les plans d’ondes ( )0,ik θ ω uniquement lorsque les amplitudes sont constantes

ou bien continues par rapport à la direction θ . En s’intéressant à la forme du champ vibratoire, on constate aussi que l’identification peut se faire uniquement suivant certaines directions lorsque le champ est dominé par la réponse d’un mode (exemple 3). La technique IWC est donc limitée lorsque la réponse de la structure est fortement modale ou bien encore lorsque le recouvrement modal est inférieur à 1.

Maintenant, nous allons étudier les limites lorsque l’on fait varier les nombres d’ondes et que l’on fixe la distribution des amplitudes jA . Les résultats obtenus pour cette étude sont représentés dans le

tableau 5.4. On constate à la vue du champ vibratoire que l’identification des nombres d’ondes s’effectue correctement à condition que la longueur d’ondes soit suffisamment grande par rapport aux dimensions de la structure (exemple 2). Ces exemples nous montrent donc une nouvelle fois que la technique IWC est limitée dans le domaine des basses fréquences.

140

Pour pallier les limitations décrites précédemment, on peut extrapoler la valeur des nombres d’ondes pour lesquels l’identification a échoué. Pour cela, [Berthaut, 2004] propose de corréler les plans d’ondes identifiés à un plan d’ondes de référence et de rechercher par moindres carrées la valeur du nombre d’ondes donnant la meilleure corrélation. Dans la plupart des travaux, les plans d’ondes de référence sont définis à partir des théories de plaques et se limitent à des plans d’ondes de forme circulaire ou elliptique. Cette solution semble donc difficilement applicable dans le cadre des structures composites car ils sont généralement plus complexes et fortement dépendants de l’empilement (voir section 3.4). De plus, l’extrapolation est rendue difficile en basses fréquences en raison du peu de valeurs identifiées. Nous n’avons donc pas mis en œuvre cette extrapolation lors des tests qui seront présentés à la section suivante.

5.4 Applications

Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre la technique IWC et voir si elle est capable d’identifier avec précision la vitesse de l’onde A0 se propageant dans la plaque composite stratifiée décrite à la section 3.4.2. Dans un premier temps, nous identifierons les vitesses à partir d’un essai virtuel en vue de calibrer les différents paramètres du banc (grille de points de mesure, conditions limites à appliquer à la plaque) et ensuite nous menerons l’identification à partir d’un essai réel. Sachant que l’objectif de ce chapitre est d’évaluer la validité du modèle de la structure, nous comparerons les vitesses identifiées à celles prédites à partir de la FSDT.

Figure 5.11 : Définition des maillages expérimentaux testés par essais virtuels.

5.4.1 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai virtuel) Comme nous l’avons mentionné à la section 5.3.1, l’un des principaux avantages de la technique

IWC est la simplicité avec laquelle on peut mettre en place un essai virtuel. De ce fait, nous avons conduit des simulations afin de définir le maillage expérimental et les conditions limites qui seront utilisées lors de l’essai réel qui sera présenté à la section suivante. De plus, il est intéressant à partir de cet essai virtuel de pouvoir vérifier que les identifications sont correctes sur la bande fréquentielle d’excitation du pot, ici [0-5kHz], car on peut imaginer qu’à ce niveau de fréquence la réponse structurale présente un recouvrement modal faible.

Dans un premier temps, nous avons cherché à calibrer la grille de points de mesure. Pour cela, deux maillages expérimentaux ont été définis. Leur dimensionnement s’est effectué à partir des nombres d’ondes estimés à la section 3.4.2, c'est-à-dire que nous avons utilisé le nombre d’ondes prédit à la fréquence maximale, puis nous l’avons ensuite utilisé pour determiner les ecarts entre les points correspondant aux critères 5λ et 2.5λ . Ces critères ont été choisis pour assurer un bon compromis entre le nombre total de points de mesure et pour éviter les problèmes de recouvrement (théorème de Shannon). On notera aussi que le nombre de points est le même suivant les directions x et y car, pour l’onde A0, les nombres d’ondes sont égaux suivant ces deux directions (voir section 3.4.2). Au final, les points sont espacés de 2 cm pour le premier maillage et de 4 cm pour le second maillage.

141

Pour une plaque de dimensions 1.04m x 0.88m, le nombre total de points est donc de 2385, pour le premier maillage, et de 621 pour le second (figure 5.11).

Une fois les deux maillages définis, nous avons determiné le champ vibratoire en chaque point de mesure à partir du code Abaqus/Standard. Les plans d’ondes et les courbes de dispersion de la plaque ont ensuite pu être identifiés en appliquant la technique IWC. Un exemple de plan d’ondes identifié avant et après tri des paramètres est représenté sur la figure 5.12. On constate à partir de ce résultat que l’algorithme de tri proposé dans [Berthaut, 2004] a une influence non négligeable sur les identifications. En effet, un nombre important de nombres d’ondes a été éliminé, ce qui fait que l’on ne peut pas déduire la forme du plan d’onde.

Plan d’ondes identifié avant tri

Plan d’ondes identifié après tri

Figure 5.12 : Influence de l’algorihme de tri sur les plans d’ondes.

Les causes de cet échec ne sont pas encore maitrisées ; toutefois, il nous semble que cela est dû principalement au fait que l’onde porte peu d’énergie dans les directions pour lesquelles les nombres d’ondes ont été éliminés. En effet, en analysant plus précisément le tri des paramètres à partir de l’exemple présenté à la figure 5.12, on constate que 60% des paramètres ont été eliminés en raison d’un critère IWC trop faible. Pour faire face à ce problème, nous pouvons bien entendu suivre l’approche proposée par [Berthaut, 2004], c'est-à-dire, extrapoler les paramètres dans les directions peu porteuses d’energie ; toutefois, nous avons préféré simplifier l’approche en moyennant uniquement les nombres d’ondes suivant θ . Dans le travail présenté ici, cette moyenne des valeurs peut être effectuée pour l’onde A0 car elle présente un plan d’ondes circulaire. Par contre, pour les autres ondes, il faudra définir une nouvelle approche car les plans d’ondes sont plus complexes (voir les résultats présentés à la section 3.4.2). Les plans d’ondes identifiés après moyenne des valeurs sont comparés aux plans d’ondes déterminés à partir de la FSDT dans le tableau 5.5 pour les deux maillages expérimentaux. De même, sur la figure 5.13, une comparaison des courbes de dispersion est donnée. A travers ces différentes comparaisons, on constate que les identifications sont correctes pour les maillages fin et grossier lorsque les bords sont libres. L’erreur maximale commise est d’environ 2%, pour le maillage fin et de 5 % pour le maillage grossier. On en conclut que les deux maillages conviennent ; toutefois, que la qualité des identifications n’est pas la même. Lors de l’essai réel, il faudra donc faire un choix entre une identification rapide ou précise des vitesses.

Pour analyser l’influence des conditions limites, nous avons aussi identifié les plans d’ondes et les courbes de dispersion lorsque l’on encastre les bords de la plaque pour le maillage grossier. En comparant à nouveau les vitesses identifiées à celles théoriques dans le tableau 5.5 et la figure 5.13, on remarque que les conditions limites influencent très faiblement les résultats. Nous pouvons donc fixer les bords de la plaque à notre convenance lors de l’essai réel sans risque de dégradation

142

1kHz 2.5kHz 5kHz

Maillage fin

bords libres

Maillage grossier bords libres

Maillage grossier bords

encastrés

Tableau 5.5 : Corrélation essai virtuel / calcul des plans d’ondes à 1, 2.5 et 5 kHz.

5.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai reel) A la section précédente, nous avons conduit un essai virtuel qui nous a permis de calibrer les

paramètres de notre banc d’essai. A présent, nous pouvons réaliser un essai réel en employant ces paramètres et nous intéresser à la validité du modèle de la plaque composite stratifiée sur la bande [0-5kHz].

Maillage fin bords libres

Maillage grossier bords libres

Maillage grossier bords encastrés

Figure 5.13 : Corrélation essai virtuel / calcul de la vitesse de phase moyenne pour le maillage fin (gauche), le maillage grossier conditions limites libres (milieu) et le maillage grossier conditions limites encastrées (droite).

143

Dans cet essai, nous avons employé le banc d’essai décrit à la section 5.3.1 pour effectuer la mesure du champ vibratoire. Le maillage expérimental défini est le maillage de 621 points représenté à la figure 5.11. D’apres l’essai virtuel mené précédemment, ce maillage correspond à un critère de maille de 2.5λ ce qui veut donc dire que nous avons plutôt privilégié la rapidité de l’essai que sa qualité. Lors de l’essai, le choix de ce maillage était indispensable pour réduire la durée totale de l’essai car nous avons constaté que le temps de mise au point pouvait être long en raison d’un mauvais rapport signal/bruit de la mesure de vitesse.

1kHz 2kHz 3kHz

Tableau 5.6 : Corrélation essai / calcul des plans d’ondes à 1, 2 et 3 kHz.

Ensuite, une fois les mesures effectuées, nous avons pu identifier les plans d’ondes ainsi que les courbes de dispersion en appliquant la technique IWC. Neanmoins, comme pour l’essai virtuel, nous avons été obligés d’effectuer une moyenne suivant θ des vitesses de phase car trop de valeurs étaient éliminées par l’algorithme de tri. Par ailleurs, il faut aussi noter que la cohérence des mesures est très inférieure à un au delà de 3kHz. Les identifications ont donc été réalisées uniquement sur la bande [0-3kHz].

Figure 5.14 : Corrélation essai / calcul de la vitesse de phase moyenne.

Maintenant, si l’on corrèle les essais aux prévisions théoriques calculées à la section 3.4.2.2, on remarque sur les vitesses de phase identifiées par la technique IWC un bruit important lié au mauvais rapport signal/bruit de la chaîne d’acquisition. Ce bruit est très génant car il nous empêche de quantifier précisement les écarts sur l’ensemble des fréquences (figure 5.14). Bien entendu, en ce qui concerne les plans d’ondes (tableau 5.6), on n’observe aucun bruit par rapport à la direction de propagation car nous avons moyenné les valeurs. La validité de la théorie FSDT semble donc difficile à évaluer pour cet essai en raison du bruit existant ; toutefois, on peut tout de même dire, à la vue de

144

ces résultats que la théorie FSDT peut être employée pour modéliser la plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » à condition que l’on ne cherche pas à évaluer précisément les vitesses expérimentales. La technique IWC semble donc prometteuse pour valider la modélisation d’une structure ; toutefois, des travaux de recherche devront être menés sur le bruit observé afin de parfaire cette validation.

5.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons voulu mettre en place un essai permettant de juger la validité des théories utilisées pour modéliser les structures composites stratifiées. Pour ce faire, nous avons decidé, comme dans les chapitres précédents, de nous baser sur la comparaison de vitesses de phase car cette grandeur semble bien adaptée pour évaluer, avec précision, la validité d’une théorie lorsque l’on simule des phénomènes de propagation d’ondes.

Dans un premier temps, une revue des différentes techniques d’identification a été menée afin d’appréhender celle qui est la plus adaptée à nos applications. A partir de cette revue, nous avons décidé d’employer la technique IWC qui cherche à identifier les vitesses de phase en corrèlant à des ondes inhomogènes le champ vibratoire de la plaque mesuré en plusieurs points. Dans cette technique, il est envisageable d’optimiser virtuellement un essai sans avoir à conduire des réglages sur le banc d’essai réel car la mesure du champ peut être effectuée à partir d’un banc d’essai réel ou bien à partir d’un code de calcul.

Des tests ont ensuite été conduits sur la plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » afin de valider la théorie FSDT utilisée lors des simulations à la section 4.4.3. Le maillage expérimental ainsi que les conditions limites ont tout d’abord été optimisés à partir d’essais virtuels. Nous avons pu constater, lors de ces essais, qu’il était difficile d’identifier les vitesses de phase dans les directions du plan d’ondes peu porteuses d’energie. Pour pallier cette limitation, une moyenne des vitesses a été effectuée suivant la direction de propagation. Suite à cela, l’essai réel a été mis en œuvre en utilisant le paramétrage défini lors des essais virtuels. Les résultats de cet essai ont montré que la théorie FSDT était valide pour modéliser la vitesse de phase d’une onde A0 sur la bande [0-3kHz]. Des développements sont tout de même à prévoir car un bruit important a été observé sur les vitesses identifiées, ce qui empêche donc une quantification précise des écarts. D’autres moyens d’excitation devront être aussi testés à l’avenir car nous sommes pour l’instant dans l’incapacité d’étudier la validité des théories au delà de la bande d’excitation d’un pot vibrant, ici [0-5kHz].

145

Conclusion et perspectives

Sur les lanceurs spatiaux, la séparation de la coiffe et des étages est assurée par des dispositifs pyrotechniques. Les chocs générés lors de leurs activations sont très sévères, ce qui peut engendrer des dégradations sur les équipements de la charge utile. Afin d’éviter ce type d’incident, les industriels estiment, via des essais ou bien des simulations numériques, les niveaux vibratoires que vont subir les équipements « sensibles » en vue de les qualifier avant vol. Dans certains cas, il arrive que les prévisions obtenues à partir des simulations numériques soient médiocres voire fausses. C’est pourquoi, des études R&T ont été entreprises depuis quelques années afin d’améliorer les outils de simulation pour ainsi être en mesure de prédire avec fiabilité les niveaux vibratoires. Les travaux présentés dans ce mémoire contribuent à ces travaux de recherche en tentant, à partir d’un code explicite, de simuler avec précision les phénomènes de propagation d’ondes dans des structures composites stratifiées de géométries simples (poutres et plaques).

Dans le premier chapitre, nous avons établi un état de l’art sur les outils de simulation pouvant être mis en œuvre afin d’étudier les phénomènes de propagation d’ondes. Deux revues ont été menées afin d’identifier, tout d’abord, les théories dédiées à la modélisation des structures, et ensuite, les méthodes de calcul dédiées à la simulation de réponses transitoires. Nous avons alors conclu que les codes explicites étaient pour l’instant les plus à même de prédire la réponse transitoire de structures spatiales soumises à des chocs pyrotechniques ; toutefois, certaines difficultés ont été identifiées. Premièrement, les éléments proposés dans les codes explicites sont formulés à partir de théories élémentaires et approchées qui peuvent être mises à défaut à hautes fréquences. Des théories d’ordre plus élevé existent, cependant elles n’ont pas encore été implémentées dans les codes pour des raisons numériques ou bien tout simplement parce que ces théories n’ont pas été appliquées lors d’études sur la propagation d’ondes. Deuxièmement, la méthode FEM temporel implémentée dans les codes explicites présente des erreurs de dispersion pouvant dégrader les prévisions. Il était donc impératif d’investiguer ces deux différents points afin de garantir la précision des simulations numériques.

Dans un premier temps, nous nous sommes donc intéressés à la modélisation des poutres et plaques composites stratifiées à partir des éléments finis proposés dans les codes. Pour évaluer la limitation de ces éléments, nous avons estimé leur capacité à reproduire la dispersion des ondes en particulier la vitesse de phase ainsi que le champ de déplacement dans la ou les directions perpendiculaires à la direction de propagation de l’onde. Pour cela, nous avons prédit la dispersion des ondes à partir des différentes théories de poutre et de plaque, mais aussi à partir de la méthode Wave Finite Element (WFE) en vue de valider les résultats. Le choix de cette méthode a été conditionné principalement par le fait qu’elle est simple à mettre en œuvre et prédictive sur une large bande de fréquence. Il est important de noter que la méthode WFE utilisée dans ce travail a du être étendue pour répondre à nos besoins (prise en compte d’un matériau composite stratifiée, adaptation aux cas des plaques). A travers les différents cas d’applications présentés, nous avons montré que les éléments finis de poutre et de plaque pouvaient être insuffisants et donc qu’il fallait recourir à des éléments solides si l’on voulait reproduire correctement les phénomènes de dispersion d’ondes. Pour les poutres composites stratifiées, les limitations sont dues premièrement au fait que les éléments poutres sont incapables de

146

reproduire la dispersion de l’onde longitudinale principale et deuxièmement, au fait que le coefficient pondérateur varie fortement en fonction de l’empilement, ce qui remet en cause le caractère prédictif de la théorie utilisée. En ce qui concerne les plaques composites stratifiées, là encore, on observe des limites liées à l’introduction d’un coefficient pondérateur pour prédire la dispersion de l’onde transversale principale. A l’avenir, il serait donc intéressant d’évaluer la capacité d’autres théories, comme par exemple celles développée par [Touratier, 1980], afin de pouvoir contourner l’utilisation d’éléments solides lorsque les éléments finis structuraux sont mis à défaut.

Suite aux travaux menés sur la modélisation des structures composites stratifiées, nous nous sommes axés sur la simulation de la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute fréquence. Dans ce travail, nous souhaitions évaluer l’influence des paramètres numériques (taille des éléments, l’ordre des fonctions d’interpolation ou bien encore l’intégration numérique) sur la qualité des réponses. Pour ce faire, nous avons décidé de comparer les prévisions obtenues à partir du code explicite à celles calculées à partir de la méthode WFE temporel. Cette méthode est une extension de la synthèse ondulatoire puisqu’elle approche le champ de déplacement à partir d’une décomposition en ondes planes harmoniques à la différence près qu’elle utilise les caractéristiques ondulatoires déterminées à partir de la méthode WFE. Grâce à cette méthode, on est capable d’évaluer précisément la réponse transitoire à hautes fréquences puisque les erreurs de dispersion rencontrées avec la FEM temporel sont contrôlables avant la simulation. A partir des cas d’application traités, nous avons pu constater qu’il fallait au minimum huit éléments par longueurs d’ondes pour garantir la convergence des solutions EF. Ce constat est valable uniquement lorsque l’on utilise des éléments quadratiques car, pour les éléments linéaires, il faut en général au minimum seize éléments par longueurs d’ondes. La règle industrielle stipulant que cinq éléments par longueurs d’ondes peuvent suffire est donc à revoir. Par ailleurs, nous avons montré qu’il était difficile de quantifier les erreurs de dispersion en temps courts à partir de la seule comparaison des réponses transitoires. Nous proposons donc pour cela d’identifier sur les réponses transitoires la vitesse de phase de l’onde et de la comparer à celle prédite par la méthode WFE. Au final, nous pouvons affirmer que la méthode FEM temporel implémentée dans le code Abaqus/Explicit peut convenir pour traiter certains cas d’application. Cependant, il serait intéressant à l’avenir de généraliser les éléments finis d’ordre élevé afin de réduire le coût numérique des simulations car il peut devenir prohibitif rapidement pour des structures industrielles.

Enfin, dans une dernière partie de l’étude, nous avons mis en place un essai afin de valider la modélisation des structures composites stratifiées. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur la technique Inhomogeous Wave Correlation (IWC) en vue d’identifier la vitesse de phase d’une onde et ainsi la comparer avec les prévisions théoriques. Dans cette technique, le champ stationnaire d’une plaque est corrélé à des ondes inhomogènes en vue d’identifier la vitesse de phase. Les résultats présentés montrent que, pour une plaque composite stratifiée quasi isotrope, la théorie du premier ordre en flexion (FSDT) peut être employée sur la bande [0-3kHz]. Malheureusement, aucune comparaison n’a pu être faite à plus hautes fréquences en raison des limites du pot vibrant utilisé pour les essais.

147

Références bibliographiques

[Abaqus/Explicit, 2007] ABAQUS/Explicit User’s Manual, Volume IV, Version 6.7, ABAQUS, Inc, 2007.

[Akrout, 2005] Akrout S., Comportement dynamique déterministe et large bande des structures guidées. Thèse de doctorat, École Centrale Lyon, 2005.

[Alleyne et al., 1991] Alleyne D., Cawley P., A two-dimensional Fourier transform method for the measurement of propagating multimode signals, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89(3), p. 1159-1168, 1991.

[Babuska et al., 1978] Babuska I., Rheinboldt W.C., Error estimates for adaptive finite element computations. SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 15(4), p. 736-754, 1978.

[Barnoncel, 2006] Barnoncel D., Étude d’un système de contrôle santé intégré pour structures sandwich composites utilisant des transducteurs piézoélectriques minces, Thèse de doctorat, Conservatoire National des Arts et Métiers, 2006.

[Bartoli et al., 2005] Bartoli I., Lanza di Scalea F., Fateh M., Viola E., Modeling guided wave propagation with application to the long-range defect detection in railroad tracks. NDT&E International, vol. 38, p. 325-334, 2005.

[Belytschko et al.,1977] Belytschko T., Mullen R., On dispersive Properties of Finite Element Solutions, Modern Problems in Elastic Wave Propagation, Eds. J. Achenbach and J. Miklowitz, Wiley, New York, 1977.

[Belytschko et al., 1994] Belytschko T., Leviathan I., Physical stabilization of the 4-node shell element with one point quadrature. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 113, p. 321-350, 1994.

[Berthaut, 2004] Berthaut J., Contribution à l’identification large bande des structures anisotropes – Application aux tables d’harmonie des pianos, Thèse de doctorat, Centrale Lyon, 2004.

[Bodin, 2001] Bodin E., Comportement dynamique d’un équipement électronique soumis à des chocs mécaniques ou pyrotechniques. Thèse de doctorat, Université de Technologie Compiègne, 2001.

148

[Bonini, 1995] Bonini J., Contribution à la prédiction numérique de l’endommagement de stratifiés composites sous impact basse vitesse. Thèse de doctorat, École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, 1995.

[Bouillard, 1997] Bouillard P., Méthodes de contrôle de la qualité de solutions éléments finis (application à l’acoustique). Thèse de doctorat, Université Libre de Bruxelles, 1997.

[Boullard, 2004] Boullard A., Propagation d’ondes dans les coques simples ou en nid d’abeilles soumises à des charges mobiles. Application au lanceur Ariane 5. Thèse de doctorat, École Centrale Paris, 2004.

[Carrera, 2000] Carrera E., An assessment of mixed and classical theories on global and local response of multilayered orthotropic plates. Composites Structures, vol. 50, p. 183-198, 2000.

[Castaings et al., 1996] Castaings M., Cawley P., The generation, propagation, and detection of Lamb waves in plates using air-coupled ultrasonic transducers, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 100(5), p. 3070-3077, 1996.

[Chevreuil, 2005] Chevreuil M., Sur une nouvelle approche en calcul dynamique transitoire, incluant les basses et les moyens fréquences. Thèse de doctorat, École Nationale Supérieure de Cachan, 2005.

[Chitnis et al., 2003] Chitnis M.R., Desai Y.M., Shah A.H., Kant T., Comparisons of displacement-based theories for waves and vibrations in laminated and sandwich composite plates. Journal of Sound and Vibration, vol. 263, p. 617-642, 2003.

[Cohen, 2002] Cohen G.C., High-order numerical methods for transient wave equations. Springer édition, 2002.

[Courant et al., 1928] Courant R., Friedrichs K.O. and Lewy H., Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen, vol. 100, no. 1, pages 32–74, 1928.

[Cowper, 1966] Cowper G.R., The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory. Journal of Applied Mechanics, vol. 33, p. 335-340, 1966.

[Damljanovic et al., 2004] Damljanovic V., Weaver R.L., Forced response of a cylindrical waveguide with simulation of the wavenumber extraction problem. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 115(4), p. 1582-1591, 2004.

[Dominguez, 2006] Dominguez, N., Modélisation de la propagation ultrasonore en milieu complexe – Application au contrôle non destructif et à la caractérisation de la porosité dans les matériaux composites stratifiés. Thèse de doctorat, Université Toulouse III, 2006.

[Dommanget et al., 1997] Dommanget M., Troclet B., Analyse du comportement dynamique de la capsule ARD lors des chocs de séparation lanceur/capsule. Atelier CNES, 1997.

[Dommanget et al., 2005] Dommanget M., Roux P., Tie B., Laine B., Deu J.-F, Plates submitted to pyrotechnical shock - Modelisation of metallic and sandwich plates. 6th International symposium on launcher technologies, Munich, Allemagne, 2005.

149

[Dong et al., 1972] Dong S.B., Nelson R.B., On natural vibrations and waves in laminated orthotropic plates. Journal of Applied Mechanics, vol. 39, p. 739-745, 1972.

[Doyle, 1997] Doyle J.F., Wave propagation in structures: spectral analysis using fast discret Fourier transforms. Second édition, Springer, 1997.

[Duhamel et al., 2003] Duhamel D., Mace B.R., Brennan M.J., Finite element analysis of the vibrations of waveguides and periodic structures. ISVR Technical Memorandum 922, 2003.

[Fauqueux, 2003] Fauqueux S., Éléments finis mixtes spectraux et couches absorbantes parfaitement adaptées pour la propagation d’ondes élastiques en régime transitoire. Thèse de doctorat, Université Paris IX, 2003.

[Fergusson et al., 2002] Fergusson N.S., Halkyard C.R., Mace B.R., Heron K.H., The estimation of wavenumbers in two-dimensional structures, Proceedings of ISMA Conference, 2002.

[Flanagan et al., 1981] Flanagan D.P., Belytschko T., A uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass control, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 17, p. 679–706, 1981.

[Fried et al., 1975] Fried I., Malkus D.S, Finite element mass matrix lumping by numerical integration with no convergence rate loss. International Journal of Solids and Structures, vol. 11, p. 461-466, 1975.

[Ganapathi et al., 1999] Ganapathi M., Patel B.P., Polit O., Touratier M., A C1 finite element including transverse shear and torsion warping for rectangular sandwich beams. International Journal of Numerical Methods in Engineering, vol. 45(1), p. 47-75, 1999.

[Géradin et al., 1992] Géradin M., Rixen D., Théorie des vibrations – application à la dynamique des structures. Masson édition, 1992.

[Gopalakrishnan et al., 2007] Gopalakrishnan S., Chakraborty A., Roy Mahapatra D., Spectral finite element method – Wave propagation, Diagnostics and Control in Anisotropic and Inhomogeneous Structures. Springer Édition, 2007.

[Grédé et al., 2006] Grédé A., Tie B., Aubry D., Space-time discontinuous Galerkin solvers for numerical modeling of elastic shock wave propagation in honeycomb sandwich shells. 7th World Congress on Computational Mechanics, Los Angeles, États-Unis, 2006.

[Graff, 1991] Graff F.G., Wave motion in elastic solids. Second edition, Dover Publications, 1991.

[Grob, 2006] Grob P., Méthodes numériques de couplage pour la vibroacoustique instationnaire : éléments finis spectraux d’ordre élevé et potentiels retardés. Thèse de doctorat, Université Paris IX, 2006.

[Grondel, 2000] Grondel S., Contribution à l’optimisation du contrôle santé intégré par ondes de Lamb – Application à la surveillance de structures aéronautiques. Thèse de doctorat, Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, 2000.

150

[Gry, 1996] Gry L., Dynamic modelling of railway track based on wave propagation. Journal of Sound and Vibration, vol. 195(3), p. 477-505, 1996.

[Guillaumie et al., 2005] Guillaumie L., Grisval J.-P., Berton B., Numerical results for the wave number characterisation of the FUBACOMP panel, Rapport FACE/ONERA/6.2/TR 0008, 2005.

[Halkyard, 2007] Halkyard C.R., Maximum likelihood of flexural wavenumbers in lightly damped plates, Journal of Sound and Vibration, vol. 300, p. 217-240, 2007.

[Halliday, 2002] Halliday P., Grosh K., Maximum likelihood estimation of structural wave components from noisy data, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 111(4), p. 1709-1717, 2002.

[Hayashi et al., 2003] Hayashi T., Kawashima K., Sun Z., Rose J.L., Analysis of flexural mode focusing by a semianalytical finite element method. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 113(3), p. 1241-1248, 2003.

[Hinke et al., 2004] Hinke L., Mace B.R., Brennan M.J., Finite Element Analysis of waveguides. ISVR Technical Memorandum No 932, 2004.

[Hinton et al., 1976] Hinton E., Rock T., Zienkiewicz O.C., A note on mass lumping and related processes in the finite element method. Earthquake Engineering. & Structural Dynamics, vol. 4, p. 245–249, 1976.

[Houillon, 1999] Houillon L., Modélisation vibratoire des carrosseries automobiles en moyennes et hautes fréquences. Thèse de doctorat, École Centrale Lyon, 1999.

[Imbert, 1979] Imbert J.-F., Analyse des structures par éléments finis. Cepadues Édition, 1979.

[Jezzine, 2006] Jezzine K., Approche modale pour la simulation globale de contrôles non-destructifs par ondes élastiques guidées. Thèse de doctorat, Université Bordeaux I, 2006.

[Krieg et al., 1973] Krieg R.D., Key S.W., Transient shell response by numerical time integration, International Journal of Numerical Methods in Engineering, vol. 7, p. 273-286, 1973.

[Ladevèze, 1983] Ladevèze P., Error estimate procedure in the finite element method and application. SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 3(20), p. 485-509, 1983.

[Lalanne, 1999] Lalanne C., Vibrations et chocs mécaniques tome 2 : Chocs mécaniques. Hermès Science Publications, 1999.

[Langley, 1997] Langley R.S., Some perspectives on wave-mode duality in SEA. IUTAM Symposium on Statistical Energy Analysis, Southampton, Angleterre, 1997.

[Leclère, 2001] Leclère J.-M., Modélisation parallèle de la propagation d’ondes dans les structures par éléments finis adaptatifs. Thèse de doctorat, École Centrale Paris, 2001.

[Lih, 1995] Lih S.-S., Mal A.K., On the accuracy of approximate plate theories for wave field calculations in composite laminates. Wave Motion, vol. 21, p. 17-34, 1995.

151

[Lyon et al., 1995] Lyon R.H., DeJong R.G., Theory and application of statistical energy analysis. Second Édition. Butterworth-Heinemann, 1995.

[Manconi et al., 2007] Manconi E., B.R. Mace, Modelling wave propagation in two-dimensional structures using a wave/finite element technique. ISVR Technical Memorandum No 966, 2007.

[Maliczak et al., 2004] Maliczak C., Bouvet P., Berton B., Fubacomp panels : measurements of vibroacoustic properties and derivation of input parameters for transmission loss calculation, Rapport FACE/VIBRATEC-/6.2/TR-0001, 2004.

[Mazuch, 1996] Mazuch T., Wave dispersion modelling in anisotropic shells and rods by the finite element method, Journal of Sound and Vibration, vol. 198(4), 2148-2167, 1996.

[Mead, 1973] Mead D.J., A general theory of harmonic wave propagation in linear periodic systems with multiple coupling. Journal of Sound Vibration, vol. 27(2), p. 429-438, 1973.

[Medick, 1966] Medick M.A., One dimensional theories of wave propagation and vibrations in elastic bars of rectangular cross section. Journal of Applied Mechanics, vol. 33, p.489-495, 1966.

[Meeker et al., 1964] Meeker T.R., Meitzler A.H., Guided wave propagation in elongated cylinders and plates. Physical Acoustics, Academic Press, vol. 1a, p. 111-167, 1964.

[Mencik et al., 2006] Mencik J.-M., Ichchou M.N., Wave finite elements in guided elastodynamics with internal fluid. International Journal of Solids and Structures, vol. 44(7-8), 2148-2167, 2006.

[Miklowitz et al., 1957] Miklowitz J., Nisewanger C.R., The propagation of compressional waves in a dispersive elastic rod. Part II : Experimental results and comparison with theory. Journal of Applied Mechanics, vol. 24, p. 240-244, 1957.

[Mindlin et al., 1950] Mindlin R.D., Herrmann G., A one-dimensional theory of compressional waves in an elastic rod. 1nd U.S. National Congress Applied Mechanics, New York, 1950.

[Mindlin, 1951] Mindlin R.D., Influence of rotatory inertia and shear on flexural vibrations of isotropic, elastic plates. Journal of Applied Mechanics, vol. 18, p. 31-38, 1951.

[Mindlin et al., 1959] Mindlin R.D., Medick M.A., Extensional vibrations of elastic plates. Journal of Applied Mechanics, vol. 26, p. 561-569, 1959.

[Mindlin et al., 1960a] Mindlin R.D., McNiven H.D., Axially symmetric waves in elastic rods. Journal of Applied Mechanics, vol. 27, p. 145-151, 1960.

[Mindlin et al., 1960b] Mindlin R.D., Fox E.A., Vibrations and waves in elastic bars of rectangular cross section. Journal of Applied Mechanics, vol. 27, p. 152-158, 1960.

[Moening, 1986] Moening C.J., Pyrotechnic shock flight failures. Shock and Vibration bulletin, vol. 56(3), p. 3-28, 1986.

152

[Mukdadi et al., 2002] Mukdadi O.M., Desai Y.M., Datta S.K., Shah A.H., Niklasson A.J., Elastic guided waves in a layered plate with rectangular cross section. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 112(5), p. 1766-1779, 2002.

[Muller, 1983] Muller P., Contribution à l’étude de la dispersion dans les guides élastiques uniformes. Thèse de doctorat, Université Paris 6, 1983.

[Muller et al., 1995] Muller P., Touratier M., On the so-called variational consistency of plate models, I. Indefinite plates : evaluation of dispersive behaviour. Journal of Sound and Vibration, vol. 188(4), p. 515-527, 1995.

[Nayfeh, 1995] Nayfeh A.H., Waves propagation in layered anisotropic media : with applications to composites. Elsevier. 1995.

[Newmark, 1959] Newmark M.N., A method of computation for structural dynamics, Proc. American Society of Civil Engineers 85, EM3, 1959.

[Nilsson et al., 2002] Nilsson E., Nilsson A.C., Prediction and measurement of some dynamic properties of sandwich structures with honeycomb and foam cores, Journal of Sound and Vibration, vol. 251(3), p. 409-430, 2002.

[Onoe et al., 1962] Onoe M., McNiven H.D., Mindlin R.D., Dispersion of axially symmetric waves in elastic rods. Journal of Applied Mechanics, vol. 29, p.729-734, 1962.

[Prosser et al., 1994] Prosser W.H., Gorman M.R., plate mode velocities in graphite/epoxy plates. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 96(2), p. 902-907, 1994.

[Reddy, 2003] Reddy J.N., Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis, Second Edition, CRC Press, 2003.

[Stavsky, 1961] Stavsky Y., Bending and stretching of laminated aeolotropic plates. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, vol. 87, p. 31-56, 1961.

[Rodriguez, 2004] Rodriguez J., Raffinement de maillage spatio-temporel pour les équations de l’élastodynamique. Thèse de doctorat, Université Paris IX, 2004.

[Rouch, 2003] Rouch P., Ladevèze P., The variational theory of complex rays: a predictive tool for medium-frequency vibrations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 192 p. 3301-3315, 2003.

[Ruotolo, 2005] Ruotolo R., A spectral element for laminated composite beams: theory and applications to pyroshocks analysis. Journal of Sound and Vibration, vol. 270, p.149-169, 2004.

[Sui, 2003] Sui F., Theoritical study on time-varying vibroacoustic energy at high frequencies. Thèse de doctorat, École Centrale de Lyon, 2003.

[Sun et al., 1990] Sun C.T., Liao W.C., Analysis of thick laminates using effective moduli. Journal of Composite Materials, vol. 24, p. 977-993, 1990.

153

[Sun et al., 1996] Sun C.T., Luo J., McCoy R.W., Analysis of wave propagation in thick-section composite laminates using effective moduli. Composite Part B, vol. 27, p. 613-621, 1996.

[Tang, 2008] Tang B., Combined dynamic stiffness matrix and precise time integration method for transient forced vibration response analysis of beams. Journal of Sound and Vibration, vol. 309, p. 868-876, 2008.

[Tessler, 1995] Tessler A., Vibration of thick laminated composite plates. Journal of Sound and Vibration, vol. 179(3), p. 475-498, 1995.

[Thompson, 1993] Thompson D.J., Wheel-rail noise generation, Part III: rail vibration. Journal of Sound and Vibration, vol. 161, p. 423-446, 1993.

[Touratier, 1980] Touratier M., Propagation des ondes élastiques dans les tiges rectangulaires et à matériau composite renforcé de fibres unidirectionnelles. International Journal of Engineering Sciences, vol. 18, p. 931-946, 1980.

[Troclet et al., 1999] Troclet B., Chemoul B., Louass E., Ariane 5 Shock Environment. Spacecraft and Launch Vehicle Dynamics Environments, JPL / The Aerospace Corporation Workshop, El Segundo, USA, June 08- 10, 1999.

[Villot et al., 1992] Villot M., Chaveriat G., Roland J., Phonoscopy : An acoustical holography technique for plane structures radiating in enclosed space, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 91(1), p. 187-195, 1992.

[Virieux, 1984] Virieux J., SH-wave propagation in heterogeneous media : velocity-stress finite-difference method. Geophysics, vol. 49, p. 0933-1957, 1984.

[Waki et al., 2006] Waki Y., Mace B.R., Brennan M.J., On numerical issues for the wave/finite element method. ISVR Technical Memorandum No 964, 2006.

[Whitney et al., 1970] Whitney J.M., Pagano N.J, Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates. Journal of Applied Mechanics, vol. 37, p. 1031-1036, 1970.

[Williams, 1999] Williams E.G., Fourier Acoustics – Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography. Academic Press, London, 1999.

[Yee, 1966] Yee K.S., Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. 14(3), p. 302-307, 1966.

[Zienkiewicz et al., 1987] Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z., A simple error estimator and adaptive procedure for pratical engineering analysis. International Journal of Numerical Methods in Engineering, vol. 24, p. 337-357, 1987.

[Zhong et al., 1995] Zhong W.X., Williams F.W., On the direct solution of wave propagation for repetitive structures. Journal of Sound and Vibration, vol. 181(3), p. 485-501, 1995.

154

155

Annexe A

Résultantes et moments dans les théories de

plaques

Dans cette annexe, nous allons exprimer les résultantes ijN , iQ et les moments ijM en fonction

des déplacements de la plaque, lorsque cette dernière est constituée d’un matériau composite stratifié. Premièrement, nous allons écrire dans le répère global la loi de comportement d’un pli composite afin de relier le champ des contraintes au champ des déformations. Ensuite, les résultantes et les moments des théories CLPT (section 3.2.1), et FSDT (section 3.2.2) seront exprimés en tenant compte du comportement mécanique des différents plis composites.

A.1 Loi de comportement d’un matériau composite

Figure A.1 : Définition d’un pli composite unidirectionnel.

Un pli composite unidirectionnel est classiquement assimilé à un matériau orthotrope dont les axes

principaux d’orthotropie sont définis à partir du repère local ( )1 2 30, , ,x x x

. En règle générale, l’axe

( )10,x est contenu dans le plan du pli et parallèle à la fibre. L’axe ( )20,x est lui aussi contenu dans

le plan du pli mais perpendiculaire à la fibre. Enfin, l’axe ( )30,x est perpendiculaire au plan du pli

(voir figure A.1). Dans ce repère local, la relation entre champ de contrainte et le champ de déformation (loi de comportement) d’un matériau orthotrope s’exprime :

156

1 11 12 13 1

2 12 22 23 2

3 13 23 33 3

4 44 4

5 55 5

6 66 6

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

C C C

C C C

C C C

C

C

C

σ εσ εσ εσ εσ εσ ε

=

(A.1)

avec : ijC les coefficients définis par :

23 32 12 32 13 13 12 2311 12 13

2 3 1 3 1 2

13 31 23 21 13 12 2122 23 33

1 3 1 3 1 2

44 23 55 31 66 12

12 21 23 32

1 , ,

1 1 , ,

, ,

1

C C CE E E E E E

C C CE E E E E E

C G C G C G

ν ν ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν

− + += = =∆ ∆ ∆

+ + −= = =∆ ∆ ∆

= = =− −∆ = 31 13 21 32 13

1 2 3

2

E E E

ν ν ν ν ν− −

(A.2)

Maintenant, il nous faut exprimer la loi de comportement dans le repère global ( )0, , ,x y z

. Pour cela,

considérons la matrice de rotation [ ]T suivante :

[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 0 0 sin 2

sin cos 0 0 0 sin 2

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

sin cos sin cos 0 0 0 cos sin

T

θ θ θθ θ θ

θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ

−

= −

− −

(A.3)

A partir de la matrice [ ]T , on est en mesure d’exprimer la loi de comportement (A.1) dans le repère global comme suit :

[ ][ ][ ]TC T C T = (A.4)

ce qui nous donne

11 12 13 16

12 22 23 26

13 23 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

xx xx

yy yy

zz zz

yx yz

xz xz

xy xy

C C C C

C C C C

C C C C

C C

C C

C C C C

σ εσ εσ εσ γσ γσ γ

=

(A.5)

157

Dans le cas où le problème peut être ramené à un problème à deux dimensions, ce qui est souvent le cas lorsqu’on emploie les théories des plaques, les équations se simplifient via l’hypothèse de contraintes planes 03 =σ . En définissant les constantes de rigidité réduites ijQ de la manière

suivante :

13 3

33

avec , 1,2,6jij ij

C CQ C i j

C′ = − = (A.6)

La loi de comportement (A.5) devient :

11 12 16

12 22 26

16 26 66

44 45

45 55

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

xx xx

yy yy

xy xy

yz yz

xz xz

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

C C

C C

σ εσ εσ γσ γσ γ

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′

(A.7)

A.2 Théorie CLPT

Figure A.2 : Stratification d’une plaque.

Fort de la loi de comportement (A.7), nous allons désormais pouvoir exprimer les résultantes ijN et

les moments ijM . Pour cela, il faut premièrement réécrire les expressions (3.5) en tenant compte de la

stratification (figure A.2), cela nous donne :

1 1

1

1 1

2

0 21

, k k

k k

k

k

x xx x xxn nh h

y yy y yyh hk k

xy xy xy xyk k

nh h

k kh hk

N M

N dz M zdz

N M

J dz dz

σ σσ σσ σ

ρ ρ

− −

−

= =

− −=

= =

= =

∑ ∑∫ ∫

∑∫ ∫

(A.8)

Désormais, chaque pli k peut être pris en compte. Il convient donc maintenant de définir le champ des contraintes pour chacune des couches. Pour un pli k , la loi de comportement en contrainte plane est donnée par (A.7). Toutefois, dans la théorie CLPT, on a vu que les déformations en cisaillement

xzyz γγ , sont nulles. De ce fait, la loi de comportement (A.7) d’un pli k se simplifie de la manière

suivante :

158

11 12 16

12 22 26

16 26 66

xx xx

yy yy

xy xyk

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

σ εσ εσ γ

′ ′ ′ ′ ′ ′= ′ ′ ′

(A.9)

En introduisant (A.9) dans (A.8), on exprime les résultantes et les moments en fonction des déformations. Les expressions alors obtenues sont :

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16

12 22 26

16 26 66

+x xx x

y yy y

xy xy xy

x x

y y

xy xy

N A A A B B B

N A A A B B B

N A A A B B B

M D D D

M D D D

M D D D

ε κε κγ κ

κκκ

=

=

(A.10)

avec : [ ]A la matrice de rigidité en membrane, [ ]B la matrice de couplage membrane/flexion, [ ]D la

matrice de rigidité en flexion. Les coefficients de rigidité sont reliés à ceux de la loi de comportement (A.9) ces matrices sont définies par :

( )( ) ( )( )

( )( )

2 21 1

1 1

3 31

1

1 ,

2

1

3

n n

ij k k ij ij k k ijk kk k

n

ij k k ij kk

A h h Q B h h Q

D h h Q

− −= =

−=

′ ′= − = −

′= −

∑ ∑

∑ (A.11)

On notera que lorsque les plaques étudiées présentent une stratification symétrique par rapport au

feuillet moyen, la matrice [ ]B de couplage membrane/flexion est nulle. Enfin, sachant que dans les

plaques les déformations se relient aux déplacements à partir des relations (3.2), on peut finalement

exprimer les résultantes ijN et les moments ijM en fonction des déplacements ( )0 0 0, ,u v w ce qui

permettra alors d’écrire les équations du mouvement (3.6) uniquement à partir des déplacements.

A.3 Théorie FSDT

Pour la théorie FSDT, la démarche est la même que pour la théorie CLPT présentée précédemement à

la différence près qu’il faille tenir compte des efforts tranchants ( ),x yQ Q et des moments d’inerties

( )1 2,J J . Nous allons donc nous intéresser uniquement à l’expression de ces efforts car pour les

efforts ijN et les moments ijM les expressions sont données par (A.10). Tout d’abord, exprimons les

efforts tranchants et les moments d’inerties en tenant compte de la stratification représentée à la figure A.2 :

1 1

12

1 12

, k k

k k

n nh hx xz Ykh h

y yzk kYk

Q J zdz dz

Q J z

σρ

σ− −= =

= =

∑ ∑∫ ∫ (A.12)

159

Pour calculer les expressions (A.12), on va exprimer pour chaque pli k le champ des contraintes à partir de la loi de comportement. Si l’on ne considère que le cisaillement transverse, la loi de comportement (A.7) d’un pli k s’exprime :

44 45

45 55

yz yz

xz xzk

C C

C C

σ γσ γ

′ ′ = ′ ′

(A.13)

Sachant que les contraintes ( ),yz xzσ σ ne sont pas constantes dans l’epaisseur d’un pli, nous ne

pouvons intégrer simplement (A.12). Il faut donc effectuer une nouvelle hypothèse c’est-à-dire que les

déformations en cisaillement transverse ( ),yz xzγ γ sont égales aux déformations en cisaillement du

plan moyen 00 , xzyz γγ (distribution constante dans l’épaisseur), ce qui permet alors, en introduisant

(A.13) dans (A.12) d’exprimer les efforts tranchants comme suit :

44 45

45 55

y yz

x xz

Q F F

Q F F

γγ

=

(A.14)

avec : [ ]F la matrice de rigidité en cisaillement transverse. Les coefficients de cette matrice se

définissent en fonction de ceux de la loi de comportement (A.7) de la manière suivante :

( ) ( )11

n

ij k k ij kk

F h h Cα −=

′= −∑ (A.15)

On notera dans l’expression (A.15) qu’un coefficient pondérateur α a été introduit. Ce coefficient

doit permettre d’ajuster les efforts tranchants ( ),x yQ Q en raison de l’hypothèse prise sur les

déformations ( ),yz xzγ γ . Enfin, à partir des relations (3.15), on peut finalement déterminer les

résultantes et les moments en fonction des déplacements ( )0 0 0, , , ,x yu v w φ φ .

161

Annexe B

Résultantes et moments dans les théories de

poutres

B.1 Théorie élémentaire

Dans cette annexe, nous allons présenter l’approche proposée dans [Reddy, 2003] pour déterminer la résultante xN et le moment xM indroduits dans la théorie élémentaire (cf. section 2.2.1).

Figure 1.1 : Stratification d’une poutre à section rectangulaire.

Premièrement, on écrit les résultantes et les moments de la théorie CLPT (annexe A.2) en considérant que la stratification est symétrique par rapport à la fibre neutre de la poutre. D’après l’annexe A, ces expressions sont données par :

011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

, x xx x x

y yy y y

xy xy xy xy

N A A A M D D D

N A A A M D D D

N A A A M D D D

ε κε κγ κ

= =

(B.1)

ou bien en les inversant :

162

0 * * *11 12 16 11 12 16

0 * * *12 22 26 12 22 26

0 * * *16 26 66 16 26 66

, xx x x x

yy y y y

xy xy xy xy

A A A N D D D M

A A A N D D D M

A A A N D D D M

ε κε κγ κ

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

= =

(B.2)

avec : * *,ij ijA D les matrices inverses de ,ij ijA D (matrices de souplesse). Les coefficients des

matrices *ijA s’expriment de la manière suivante :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

* 2 *11 22 66 26 12 16 26 12 66

* * 216 12 26 16 22 22 11 66 16

* * 226 12 16 26 11 66 11 22 12

2 2 211 22 66 12 16 26 11 26 22 16 66 12

1 1,

1 1,

1 1,

2

a a

a a

a a

a

A A A A A A A A A

A A A A A A A A A

A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

∆ = + − − −

(B.3)

De même pour ceux de la matrices *ijD :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

* 2 *11 22 66 26 12 16 26 12 66

* * 216 12 26 16 22 22 11 66 16

* * 226 12 16 26 11 66 11 22 12

2 2 211 22 66 12 16 26 11 26 22 16 66 12

1 1,

1 1,

1 1,

2

d d

d d

d d

d

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D D D

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

∆ = + − − −

(B.4)

Ensuite, en considérant que dans une poutre, les résultantes ,y xyN N et les moments ,y xyM M sont

nuls, on est en mesure d’ecrire, à partir de (B.2), les expressions suivantes :

011 11 , xx x x xA N D Mε κ∗ ∗= ⋅ = ⋅ (B.5)

Il est important de remarquer que les déformations ( ),yy xyε γ présentes dans (B.2) ne sont pas nuls

puisqu’elles dépendent de xM . A priori, cela veut dire que les déplacements ( )0 0,u ω dépendent de la

coordonnée y , ce qui remet en cause l’hypothèse considérant que le champ de déplacement dépend uniquement de x . Toutefois, ces déformations peuvent être considérées comme étant négligeable dans

le cas où le rapport longueur/largeur ( )L b est suffisamment élevé.

Enfin, sachant que dans les poutres les déformations ( )0 ,xx xε κ s’expriment à partir des déplacements

( )0 0,u w de la façon suivante :

2

0 0 02

, xx x

u w

x xε κ∂ ∂= = −

∂ ∂ (B.6)

163

On obtient finalement les expressions recherchées :

2

0 0* * 211 11

, x x

u wb bN M

A x D x

∂ ∂= = −∂ ∂

(B.7)

B.2 Théorie du premier ordre en flexion

Dans cette annexe, nous allons présenter l’approche proposée dans [Reddy, 2003] pour déterminer la résultante xQ et le moment xM introduits dans la théorie du premier ordre en flexion (cf. section

2.2.2).

Tout d’abord, considérons les résultantes et les moments calculés dans l’annexe A.3 pour la théorie FSDT :

11 12 16 0

44 4512 22 26 0

45 5516 26 66

, x x

y yzy y

x xzxy xy

M D D DQ F F

M D D DQ F F

M D D D

κγ

κγκ

= =

(B.8)

En inversant les matrices ijD , ijF de la manière suivante :

11 12 16 0

44 4512 22 26 0

45 5516 26 66

, x x

yyzy y

xxzxy xy

D D D MQF F

D D D MQF F

D D D M

κγ

κγκ

∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ ∗ ∗

= =

(B.9)

avec : * *,ij ijD F les matrices inverses de ,ij ijD F (matrices de souplesses). Les coefficients

des matrices *ijD s’expriment de la manière suivante :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

* 2 *11 22 66 26 12 16 26 12 66

* * 216 12 26 16 22 22 11 66 16

* * 226 12 16 26 11 66 11 22 12

2 2 211 22 66 12 16 26 11 26 22 16 66 12

1 1,

1 1,

1 1,

2

d d

d d

d d

d

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D D D D

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

= − = −∆ ∆

∆ = + − − −

(B.10)

De même pour ceux de la matrice *ijF :

* * *

44 55 55 44 45 45

244 55 45

, ,F F F

F

F F F F F F

F F F

= ∆ = ∆ = − ∆

∆ = −

(B.11)

164

Pour les poutres, il apparaît que les résultantes yQ et les moments ,y xyM M sont nuls. On peut donc,

grâce aux expressions (B.2), exprimer la déformation xκ ainsi que le cisaillement transverse de la

façon suivante :

011 55 , x x xz xD M F Qκ γ∗ ∗= ⋅ = ⋅ (B.12)

Ensuite, en reliant les déformations et les déplacements qui sont donnés par :

00 00 , x xz

w

x x

φκ γ φ∂ ∂= = −∂ ∂

(B.13)

On obtient finalement les expressions recherchées :

0 00* *

55 11

,x x

wb bQ M

F x D x

φα φ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ (B.14)

B.3 Théorie de Gopalakrishnan

Dans cette annexe, nous allons présenter de quelle manière déterminer la résultante ( ),x zN N et le

moment zM introduit dans la théorie de Gopalakrishnan (cf. section 2.2.3.2).

Tout d’abord, il faut réécrire la loi de comportement (A.5) en appliquant l’hypothèse de contrainte plane dans le plan (x-z) et en négligeant le cisaillement transverse. Pour cela, il faut imposer les hypothèses suivantes :

0yy yz xyσ γ γ= = = (B.15)

A partir des hypothèses (B.15), on réécrit la loi de comportement (A.5) comme suit :

11 13

13 33

55

0

0

0 0

xx xx

zz zz

xz xz

Q Q

Q Q

Q

σ εσ εσ ε

=

ɶ ɶ

ɶ ɶ

ɶ

(B.16)

Ensuite, en tenant compte de la stratification de la poutre (figure 1.1), les résultantes et les moments (2.40) s’expriment :

[ ] [ ]

[ ]

1 1

1

1 1

1

= , k k

k k

k

k

n nh h

x xx xx z zz zzk kS h S hk k

n h

z xz zz kkS hk

N ds b dz N ds b dz

M zds b z dz

σ σ σ σ

σ σ

− −

−

= =

=

= = =

= =

∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

∑∫ ∫ (B.17)

En introduisant (B.16) dans (B.17), les expressions deviennent :

165

1 1

1

11 13 13 331 1

551

, k k

k k

k

k

n nh h

x xx zz z xx zzh hk k

n h

z xzhk

N b Q Q dz N b Q Q dz

M b Q dz

ε ε ε ε

γ

− −

−

= =

=

= + = +

=

∑ ∑∫ ∫

∑∫

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ

(B.18)

avec : b la largeur de la poutre. Enfin, sachant que les déformations s’expriment à partir des déplacements de la façon suivante :

0 00 , , xx zz xz

uz

x x

ψε ε ψ γ∂ ∂= = =∂ ∂

(B.19)

On réécrit les expressions des résultantes et des moments, en introduisant (B.19) dans (B.18) et ainsi on obtient :

0 0 011 13 0 13 33 0 55 , , x z z

u uN A A N A A M D

x x x

ψψ ψ∂ ∂ ∂= + = + =∂ ∂ ∂

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (B.20)

avec :

1 2, 1, ,k i

k i

h

ij ij ijhi

A D bQ z z bdz+ = ∑∫ɶ ɶɶ (B.21)

167

Annexe C

Identification par intercorrélation de la

vitesse d’une onde

Les simulations réalisées à partir d’un code explicite ne permettent pas de connaître directement la dispersion des ondes propagées lors d’un choc. Cependant, il est possible en employant une méthode d’identification de déterminer la dispersion d’une onde à partir des réponses transitoires calculées. Pour identifier la dispersion d’une onde par intercorrélation, il faut tout d’abord acquérir deux signaux suivant le sens de propagation de l’onde comme le montre le schéma de la figure 5.1. Dans ce travail, les signaux sont issus des simulations présentées à la section 4.4. Un traitement du signal est ensuite appliqué à ces signaux afin d’estimer leurs déphasage et ainsi la vitesse de phase. Le traitement effectué est le suivant :

1. Soit ( )u t et ( )v t , les deux signaux mesurés en 1x et 2x . On définit 12 xx∆ −= la distance

algébrique entre les deux positions de mesure.

2. Ces deux signaux sont traités par une fenêtre naturelle afin d’éliminer les ondes réfléchies.

3. À partir des transformées de Fourier discrètes des deux signaux ( )u ω et ( )v ω , on estime la

fonction interspectrale de la manière suivante :

( ) ( ) ( )( ) ( )1,2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

u vS

u v

ω ωω

ω ω⋅

=⋅

(C.1)

4. Le déphasage des deux signaux est ensuite calculé à partir de la fonction interspectrale :

( ) ( )( )( )( )

1,21

1,2

Imtan

Re

Sk

S

ωϕ ω π

ω−

= +

(C.2)

5. L’estimation du modulo-π nécessite de recourir à une procédure de dépliement de la phase. Cette procédure peut être réalisée manuellement ou automatiquement, ceci dépend du logiciel employé pour effectuer cette opération.

168

6. Une fois la phase dépliée, il est alors possible de déduire la vitesse de phase de l’onde :

( ) ( )c ω ωϕ ω

∆= (C.3)