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Tolérancement statistique : quels Tolérancement statistique : quels avantages ? Quels Risques ?avantages ? Quels Risques ?
Maurice PilletMaurice Pillet
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eDétermination de la cible en mécaniqueDétermination de la cible en mécanique
b
Condition = e – a – b – c – d
acd
e
Conditionb
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eDétermination des tolérances au pire des casDétermination des tolérances au pire des cas
b
tolérance
0.02 BB
Max
Min
Pire des cas tolérances = Tolérance condition
acd
e
Conditionb
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eDétermination des tolérances au pire des casDétermination des tolérances au pire des cas
B 0.02 B
b
0.25
1
pièces de Nb
Condition ToléranceTolérance
Pire des cas tolérances = Tolérance condition
1159
30
1 ± 0.54
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eUn exempleUn exemple
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eLes limites du pire des casLes limites du pire des cas
La division de l’intervalle de tolérance sur la cote condition conduit à des tolérances très
serrées sur les caractéristiques élémentaires
En cas de production bien conduite, la qualité demandée est
très supérieure au juste nécessaire
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eLe tolérancement statistiqueLe tolérancement statistique
a
b
c
d
e
Moyenne a, Écart type a
Moyenne b, Écart type b
Moyenne c, Écart type c
Moyenne d, Écart type d
Moyenne e, Écart type e
Condition
Moyenne : e–(a+b+c+d)
Variance : ²a +²b+²c+²d+²e
Quelles que soient les distributions sur
a, b, c, d, e
(Hypothèse : Indépendance)
acde
Conditionb
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eRelation entre sigma et la toléranceRelation entre sigma et la tolérance
Tolérance = 6 sigma
Tolérance = 8 sigma
Tolérance = 16 sigma
P= 2700 ppm
P= 63 ppm
P= 0.002 ppm
sigmaOn peut admettre une
relation de proportionnalité entre
l’écart type et la tolérance
Tolérance = 2 3 sigma
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eDétermination des tolérances au pire des casDétermination des tolérances au pire des cas
Pire des cas tolérances = Tolérance condition
Statistique tolérances² = Tolérance condition²
n
conditiontoléranceTolérance
n
conditiontoléranceTolérance
= 0.2
= 0.45
On multiplie la tolérance par
racine(n) !
1159
30
1 ± 0.54
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eLes limites du tolérancement statistiqueLes limites du tolérancement statistique
Si on se contente du simple critère de
conformité (Cpk>1.33)
On peut faire 100% de non-conformes sur la condition avec 100% de conformes sur les
caractéristiques !
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Le Tolérancement inertiel - une réponse ?Le Tolérancement inertiel - une réponse ?
MaxMin
Tolérancementtraditionnel
Cible
Tolérancementinertiel
222YYY
I Inertie
Écart type
Écart Moyenne/cible
IMax
i i Ciblex
nI
Y
22 )(1
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
La conformité avec le tolérancement inertielLa conformité avec le tolérancement inertiel
1.01.0 2 I
10 (I 0.1)
10.1
Une pièceI² = 0.1²=0.01
0.09
10.03
Un lot
10.3
222YYY
I
i i Ciblex
nI
Y
22 )(1
Acceptée
10.1 10.1210.0 09.03
12.01.00 222
I
Acceptée
09.0)09.0()1003.10( 22 I
Acceptée
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Les situations extrêmes Les situations extrêmes acceptéesacceptées
Max pour IY = 1
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
sigma
delta
Centré=0
Dispersion nulle = 0
= 1
=1
222YYY
I
22YY
I
22YY
I
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
Tolé
ran
cem
en
t in
ert
iel
35 pièces mesurées =0.0198 moy =0.103
I =0.104 Lot refusé
Le cas des tolérances unilatéralesLe cas des tolérances unilatérales
Une pièce mesurée 0.12
I²= 0.12² I = 0.12 Pièce refusée
#1
42 pièces mesurées =0.0253 moy =0.0633
I =0.068 Lot accepté
15
63
15
#2
0
15
5
15
#3
0.120.080.04
222YYY
I Ex : Circularité Imax = 0.1
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Et si on ne connaît pas la relationEt si on ne connaît pas la relation
Cond = e - ( a + b + c + d )Bruit = ???
X1 X2 X3 X4 Bruit
1 1.35 28.3 125 0.02 35,0
2 1.28 28.4 142 0.05 38,5
… … … … … …
53 1.53 28.5 135 0.03 41.2
Mais on dispose d’un historique
acde
Conditionb
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Principe du tolérancement par corrélationPrincipe du tolérancement par corrélation
La cote visée sur la variable résultante est de 15 ± 1
Corrélation entre X et Y
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5
X
Y
La cote visée sur la variable X est de 10.1 ± 0.3
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Méthode statistiqueMéthode statistique
Statistiques de la régression
R² 0.76 R² Ajusté 0.75
Ecart type résiduel 0.259093
Coefs Ecart type t Probabilité
Const 4.79 0.83 5.78 0.000
X 1.02 0.083 12.20 0.000
Corrélation entre X et Y y = 1.0178x + 4.7866
R2 = 0.7561
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5
X
Y
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Méthode statistiqueMéthode statistique
Statistiques de la régression
R² 0.76 R² Ajusté 0.75
Ecart type résiduel 0.259093
Coefs Ecart type t Probabilité
Const 4.79 0.83 5.78 0.000
X 1.02 0.083 12.20 0.000
Détermination de la cibleOn en déduit la relation pour établir la cible : Ycible = 4.79 + 1,02 Xcible
Détermination des tolérancesPour les limites, on utilise l'additivité des variances :
résidusVXVYV )(²02.1)(
04.0²02.1
²259.0)6/2(
²02.1
)()(
2
résidusVYVXV
21.004.0)( X
Xcible = (Ycible -4.79)/1,02 = (15-4.79)/1.02 = 10.03
X = 10 ± 0.6
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Application multicritèresApplication multicritères
D F R C J A
2.999 1.76 0.68 1.08 0.04 19.95
3.002 1.83 2.96 0.26 0.04 18.04
3.001 1.83 1.66 1.81 0.02 18.87
3.001 1.81 3.07 1.3 0.04 17.75
3.001 1.84 0.78 0.52 0.03 19.83
3.003 1.70 1.19 1.18 0.04 19.52
3.002 1.80 1.21 0.28 0.02 19.48
3.001 1.78 0.15 0.1 0.03 20.22
3.001 1.87 0.91 1.12 0.03 19.64
3.003 1.87 1.3 3.22 0.03 19.78
… … … … … …
3.000 1.78 0.52 0.5 0.03 19.85
3.003 1.66 1.74 0.21 0.02 18.55
3.000 1.79 1.84 0.2 0.02 18.84
3.001 1.85 0.9 0.62 0.01 19.70
2.999 1.88 2.11 0.13 0.04 19.08
F
D
AmplitudeJC
R
Régres Coef T P
Const 17,4 0,82 21,28 0,000
F 1,51 0,45 3,36 0,002
R -0,798 0,02 -34,58 0,000
J 8,71 2,98 2,92 0,007
Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J
S = 0.1508 R-carré (ajus) = 97.8%
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Tolé
ran
cem
en
t sta
tisti
qu
e e
xp
éri
men
tal
Application multicritèresApplication multicritères
Les valeurs cibles sont fixées par la relation Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J
On déduit facilement les tolérances avec la relation suivante :V(Amp) = 1,51² V(F) +0,80² V(R) + 8,71² V(J) +e²
2
)(2
)(2
)(2 9,7564,028,2²1508,0 JRFamp
F
D
AmplitudeJC
R Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J
S = 0.1508 R-carré (ajus) = 97.8%
2)(
2)(
2)( 9,7564,028,2²1508,0² JRF ITITITampIT
Tolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eTolé
ran
cem
en
t p
ire d
es c
as e
t sta
tisti
qu
eConclusionsConclusions
Tolérancement au pire des cas ; tolérancement statistique ;
Comment garantir la qualité ?A quelle coût ?
Une solution :Prendre en compte simultanément les critères d’écart et de dispersion
Tolérancement inertiel, Statistique + Cpm
D F R C J A
2.999 1.76 0.68 1.08 0.04 19.95
3.002 1.83 2.96 0.26 0.04 18.04
… … … … … …
2.999 1.88 2.11 0.13 0.04 19.08
Tolérancement statistique
Aussi lorsqu’on en connaît pas la relation Y = f (X)
![Formation Aux Normes ISO de Tolérancement V3[1] - Copy](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/55cf852e550346484b8b90a3/formation-aux-normes-iso-de-tolerancement-v31-copy.jpg)
